"Distraction" og "Derision". Ikke helt enkle operationer.

Transkript

1 "Distraction" og "Derision". Ikke helt enkle operationer. av Anna Kristjánsdóttir og Edda Óskarsdóttir The Mock Turtle went on. "We had the best of educations. Reeling and Writhing, of course, to begin with, and then the different branches of Arithmetic Ambition, Distraction, Uglification and Derision." "I never heard of Uglification", Alice ventured to say. "What is it?". The Gryphon lifted up both its paws in surprice. "Never heard of uglifying!" it exclaimed. "You know what to beautify is, I suppose?" "Yes," said Alice, doubtfully: "it means to make anything prettier." "Well, then," the Gryphon went on, "if you don'tknow what to uglify is, you are a simpleton." Regneoperationerne Med historien om Lise i Eventyrland er matematikeren Charles Dodgon, alias Lewis Carrol, inde på at idéer om at regneoperationer måske ikke er så neutrale og afskåret fra følelser som skolen tit forsøger at give fornemmelse af. At de fire regneoperationer får nærm est sit eget liv og udrives derved fra barnets naturlige verden, får et andet og en del mere fordrejet formål end det at væ re naturlige redskaber i barnets egen forståelige verden. "De fire regneoperationer" kender alle. Det hersker der vel ingen tvivl om? Men når man ser næ rmere på dem og deres plads i matematikundervisningen skjuler sig meget heri. En af de første bemæ rkelsesværdi ge ting er at der er mange voksne som ikke ser ud til at skelne mellem regneoperationer og metoder til at regne, men anser nærm est at den algoritme man

2 lær er det er selve regneoperationen. Og selvom børn i slige tilfæ lde kan have beskæfti get sig med division i sin leg og brugt den uden vanskeligheder på enkle problemer, anser disse voksne at børnene ikke læ rer at dividere før en algoritme tages op med dem. Division er sådan synonym med en bestemt divisionsalgoritme og behandles hovedsaglig i næ r tilknytning til den, ikke på anden måde. Ganske vist dække r de eksempler et barn har fra at fordele lige mellem sig og sine søskende eller kammerater ikke divisionen som regnaoperation men det er muligvis en endnu større forvræng else at sige at forståelse af den bliver givet via undervisning i den gæ ngse divisionsalgoritme. Ethvert barn bringer et varieret kendskab med sig til skolen. De bringer levende spørgsmål som regneoperationerne kan hjælpe dem med at løse. Men de bringer ikke lært e algoritmer med sig. Hvordan reagerer de voksne i skolen og hjemme når skolen begynder? Ved at give barnet små, knapt forståelige, portioner af arbejdsmetoder? Eller ved at deltage i den intellektuelle leg som barnet beskæft iger sig med, en meningsfuld leg med tal? Gør de det ved at overtage ansvaret over barnets videre udvikling i regning eller ved ikke at tage ansvar fra barnet og ikke forbyde dets aktive søgen efter mening? Undervisning i regning Hvilke tanker gør folk sig om undervisning i regning? Anser man det problemfyldt at undervise i regning? En temmelig lang erfaring i Island giver anledning til at påstå at speciallære re søger gerne råd om mange ting vedrørende undervisning. Men de søger sjældent råd angående regneoperationer og undervisning i dem. De må enten anses for at vær e enkle og ligetil eller at emnet er for delikat og ikke let at tage op til diskussion for en voksen person, måske specielt ikke en læ rer. Det er et emne man føler at man har forstået engang for alle og en næ rmere granskning er der lidt eller ingen grund til at foretage. Men er der grund til at tage de voksnes forståelse af regneoperationer op til diskussion og næ rmere granskning? Forekommer de forskellige regneoperationer enkle eller vanskelige og hvis der er forskel på svarene, efter hvilken operation der er tale om, hvilken kan årsagen så vær e? En traditionel undervisning i regning bruger, i takt med navnet, mest tid på regneoperationerne og trods alternative veje i denne undervisning får de hovedrollen i regningen. Trods dette og den anerkendte vigtige position regningen har inden for matematikundervisningen lykkes den islandske skole ikke sæ rlig godt med den sammenlignet med andre områder. I den internationale forskning Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) deltog Island i både 3./4. klasse og 7./8. klasse. Det var bemærk elsesvæ rdigt at de områder i matematik som de islandske elever klarede sig forholdsvis bedst i var de områder som var nyest i læsepl an og lær emidler, d.v.s. geometri (målinger ikke inkluderet) og statistik. Sammenlignet med andre nationer klarede de sig på den anden side betydelig væ rre i regning. Dette skete til trods for at regning har inden for matematikundervisningen altid fået megen opmærksomh ed både i skole og hjem, den anses for vigtig og de voksne, både forældr e og lær ere, synes at det er det område de kender bedst inden for matematikens pensum.

3 En forskel på regneoperationerne Selv om en dybere diskussion af regneoperationerne og deres multible representationsformer i det daglige liv ser ud til at forekomme sjældent p å lær eres eller foræld res initiativ forekommer en diskussion om dem i en speciel sammenhæng. Nogle af dem anses for ligetil i undervisningen men andre for at vær e svæ re at hjælpe børnene til at beherske. I den gæ ngse omtale gæld er det første addition og multiplikation og det andet subtraktion og division. Dette gælder dog ikke kun den gængse omtale men bekræ ftes ved resultat fra en omfattende undersøgeles inden for en af de største kommuner inden for Island. I et meget omfattende spørgeskema som under foråret 1998 blev lagt for alle foræ ldre i en af de største kommuner i Island blev der bedt om eksempler, hvis disse eksisterede, på noget i matematikundervisningen foræ ldrenes barn kunne godt lide at arbejde med og også tilsvarende om eksempler på noget barnet ikke kunne lide. 58% af foræ ldrene svarede på det første spørgsmål og 45% på det sidste. Spørgsmålene var åbne og svarene siden kategoriseret. Svarene på det første spørgsmål var ikke helt så specifike som på det andet, de var mere omfattende og henviste til at regne generelt som f.eks. 46% af foræl drene sagde at deres børn i tredje klasse godt kunne lide. Når det kommer til det som foræl drene siger at deres børn ikke kan lide er de mere specifike i svarene. Sådan siger 25% af foræ ldrene til børn i fjerde klasse at barnet ikke kan lide at arbejde med subtraktion og 31% af foræld rene til børn i sjette klasse siger ad deres børn ikke kan lide at subtrahere og dividere. Begge procenttal er langt de højeste som forekommer over det foræ ldrene nævne r. Og det går videre i den samme retning. 18% af foræ ldrene til børn i 8. klasse næ vner brøk og procent som noget barnet ikke kan lide at arbejde, med hvor alt andet som nævnes er under 5%. [Klassenumre er de samme som i Norge.] Resultaterne viser altså at elevernes attityde til subtraktion og division er ifølge foræ ldrene en helt anden end til addition og multiplikation, som er ikke reporteres negative oplysninger om m.h.t. børnenes anskuelse. Er det fordi subtraktion og division er så meget svæ rere i sig selv og fjernere end addition og multiplikation eller er det en opfattelse som ikke har nogen rigtig fodfæ ste men hænge r sammen med hvordan man underviser i subtraktion og division? Subtraktion Harald ejede 8 guldfiske. Han gav 5 af dem til Marit. Hvor mange havde han da tilbage? Signe ejede 5 computerspil. På sin fødselsdag fik hun nogle flere fra familien. Nu ejer hun 8 computerspil. Hvor mange fik hun i fødselsdagsgave? Signe ejer nogle computerspil. Hun fik 5 nye i fødselsdagsgave så nu ejer hun 8 computerspil. Hvor mange ejede hun før sin fødselsdag? Harald ejede 8 guldfiske. Han gav nogle til Marit og havde da selv 5 guldfiske. Hvor mange fiske gav han til Marit? I alle ovenstående problemer forekommer 8 5 som abstraktion og henvisning på hvordan man som voksen finder løsningen. Men problemerne har vidt forskellige rødder i barnets tanker og forrige oplevelser. Og der er endnu flere muligheder.

4 En gruppe på 8 børn spillede et boldspil. 5 af børnene var drenge og de andre piger. Hvor mange var pigerne? Knud ejer 5 farveblyanter. Helga ejer 8 farveblyanter. Hvor mange flere er Helgas farveblyanter en Knuds? Helga ejer 8 farveblyanter. Hun ejer 5 flere end Knud. Hvor mange farveblyanter ejer Knud? Problem kategoriseringen ovenfor bygger på Carpenter, Mosers og Rombergs forskning af børns regning uden eller før deres kendtskab til formelle algoritmer. Deres omfattende forskning af børnenes oplevelse af problemer og deres veje til at udarbejde en løsning ifølge egne metoder og med de materialer barnet fandt mening i er anerkendt som basis for børns forståelse af regneoperationer, ikke af børns kunnen i algoritmer. I fortsætt else deraf har Fennema, Carpenter o.fl. skapt et omfattende forsknings /udviklingsprojekt med lær erne i fokus og for at finde med lær erne veje til at bruge resultat fra børnene på læ rernes egne vilkår i deres undervising. Det vigtige er næ rmiljø problemer, børnenes egne algoritmer og argumenter. Miljøet der skabes er et fæ lles læ ringsmiljø for børn og voksne. Det sidste nævnes Cognitively Guid ed Instruction (CGI). I CGI omtales problemerne omtales problemerne om Harald og Marit ud fra børnenes forståelse af sammenhæng som seperation og problemerne om Signe som union. Problemet om børnene som spillede boldspil er del del helhed. Og problemerne om Knud og Helga er sammenligning eller komparison. Rødderne eller histiorierne bag problemerne er sådan vidt forskellige selv om regneoperationen i de voksnes tanker er kun een, subtraktion. Børn kan løse alle disse problemtyper selv om de naturligvis ikke alle er lige enkle for dem. Det hæ nger sammen med hvad der er kendt og hvad er ukendt i hvert problem. De arbejder laborativt eller med tegninger for at løse men med en mening i sine tanker. De bruger det at tælle, men også med fuld mening i sine tanker. Og de læ rer talkombinationer ud fra rigeligt arbejde af denne type med talproblemer. Men variationen i problemerne kan ikke forenkles og skæ res ned til een type af problem, nemlig den første som nævnt es. Det er ingen forenkling. Det er en forsvigtelse med den rigdom problemer som handler om forskel. Og problemer om forskel er der rigeligt af i vores liv og rigelige muligheder for at modellere dem alt efter barnets udvikling og erfaring. Men en nedskæring af problemtyper til den førstnævnte og at lægge i undervisning mest eller kun væ gt på at "trække fra" eller "tage fra" betyder simpelt hen at subtraktion ikke behandles generelt men kun en lille del af den. Både læ rte algoritmer kan derved blive meget vanskelige at forstå og især bliver problemer barnet møder i ord eller virkelighed unødvendig komplicerede og uattraktive. Tilknytning til special undervisningen Som speciallær er har man mange eksempler på at almindelige børn som klarer sig forholdsvis godt i skolen bliver henvist til specialundervisning når de ikke klarer matematikken. De kan ikke følge med i lær erens undervisning af algoritmerne. Dette forekommer både i subtraktion og division. Problemer som følgende bliver uoverstigelige. Hanne har en pose med slikkeri. Der er 78 stykker i den. Hun, Ole og Sigga skal få lige mange hver for sig. Hvor mange stykker for hver og en af dem?

5 Ole har 573 kroner. Han købte Pokemon billeder som koster 8 kroner hver. Hvor mange billeder fik han for sine penge og hvor meget havde han tilbage? Når det kommer til disse problemer bliver det almindeligt så at børnenes opmærksom hed og kræf ter drejer sig udelukkende om algoritmer de har lær t. Ikke engang løsningen er relevant i deres øjne. Og læ rerne siger at eleverne formår ikke at adaptere deres forståelse af division eller lige fordeling til algoritmerne de nu læ rer at bruge. Her er der ikke tale om situationer hvor eleverne får lov til at udvikle egne algoritmer men situationer, som er de mest almindelige, hvor læ rerne viser frem algoritmer og lader eleverne tilegne sig metoderne ved at øve disse. Angående læ rte algoritmer peger Carpenter og Hiebert på den mulighed at bruge kendte algoritmer med børn men ikke kun deres egne udviklede algoritmer. De siger herom: "An alternative method for giving meaning to algorithms is to help students connect the symbolic algorithm to other external representations that have meaning for students, usually physical material that embody the principles of place value." De næ vner altså den næ re tilknytning algoritmerne i så fald må have med børnenes laborative metoder for at løse problemerne. Og de understreger materiale som klargør vel vores talsystem og dets opbygning. Men dette har faktisk en naturlig forklaring og stemmer som oftest fra en kløft mellem forklaring af hvilke problemer er division så igen hvordan den læ rte algoritme forklares. Division og division barn får totalt 24 klodser. 3) 7 2 Et eksempel på dette kan være 72 unifix klodser som er ordnet i stange på 10 klodser. Og ifølge en meget almindelig tilnæ rmelse til division i hjem og i skole fortolker man så at 3 børn skal hvert og et få lige meget. Ud fra dette er det muligt at forstå den i Island gæ ngse algoritme hvis forklaringen på den er at børnene først får lige mange stange, d.v.s. 2 hver. Den ene stang opløses siden i klodser og een stang og to klodser er tolv klodser. Da får hvert barn fire kloser, d.v.s. hvert Men det er ikke sikkert at algoritmen forklares i undervisningen på denne måde og i realiteten er det mere sandsynligt at den forklares på en anden måde. Det er mere almindeligt blandt voksne at algoritmen til 72:3 forklares mundligt ved at spørge: Hvor tit går 3 op i 7? Og så har den ikke rigtig tilknytning til barnets opfattelse af at dette drejer sig om børn som skal få lige meget.

6 For at forklare dette kan vi se på to forskellige problemer som begge abstraheres til 18:3. På æblet ræ et ude i haven hæng er der 18 æbler. Ragnar og hans venner, ialt 3 drenge, har fået lov til at spise dem, alle lige mange. Hvor mange æble r får enhver af dem? På æblet ræ et ude i haven hæng er der 18 æbler. Ragnar har fået lov til at spise 3 æble r fra træet hv er dag. Hvor mange dage vil han kunne spise æble r fra træet? Hvis en gruppe voksne, f.eks. læ rere bliver bedt om at fortæ lle en hisorie som belyser problemet som er udtrykt ved 18:3 er der meget få som begynder med en historie af den sidst nævnte type og de fleste kommer slet ikke med en historie af den slags uden et krav på at tænke nærm ere efter. Det samme gæ lder unge mennesker og børn. Den første type er derfor den gængse opfattelse af division. Det kan næ sten udtrykkes ved at sige at folk opfatter at det at dividere er at give et antal mennesker lige mange stykker af et eller andet. Men når de samme mennesker, æl dre og yngre, bliver bedt om at citere hvordan de tæ nker sig igennem den gæ ngse algoritme, spørger de sig selv hvor tit 3 går op i 7. Her er de inde i den anden type historie eller problem og hvis ikke den er lige kendt ud fra laborativt arbejde og tegninger, og derved lige tilgængelig i tankerne, giver algoritmen ingen rigtig mening. Den bliver kun en uforståelig metode man må lær e udenad. Igen har vi her et tydeligt eksempel på en forsnæ vring lige som ved subtraktionen. Man undersøger laborativt og snakker om kun den første type her ovenfor. Den anden, den gentagne subtraktion, får ikke den opmærksom hed den burde have. Faktisk burde den have langt større opmærksom hed end den anden på grund af dens muligheder til grundlæggende forståelse vedrørende bl.a. brøk og arbejde med brøk. Matematisk sagt er der en farlig skævhed i b ehandling af de to ekvationer som begge er vigtige: 3 = 18 Hvor meget får enhver? 3 = 18 Hvor mange gange? Den farlige forsnæ vring som fremkommer ved at omtale om division går mest eller udelukkende ud fra den første og at en lær t algoritme siden hen forklares ved den sidste, kan siges at vær e i hovedtræ k årsagen til at division bliver besvæ rlig for elverne, ikke at divisionen er besvæ rlig i sig selv. Forsnævring en gæ lder både divisionens "natur" i den explorative eller legende fase og også algoritmens fortolkning. Disse støtter derved ikke hinanden og det som Carpenter og Hiebert taler om kommer aldrig til virkelighed trods det at børnene bruger laborativt materiale for at forsøge at forstå. Tilbage til Lise Der er grund til at sige: Subtraktion og division er mæ gtige redskaber for at klare de varierende regneproblemer livet bringer os og hjælpe os til at opdage vores styrke til at begribe og finde ud af situationer. De behøver ikke i sig selv at vær e mere besvæ rlige at forstå end addition og multiplikation. Men børnenes læ ringsmiljø må byde på den fulde variation af problemer disse indebæ rer og der må vær e en klar sammenhæ ng mellem opfattelse af problemerne og de algoritmer eller metoder barnet bruger for at løse problemerne, både hvis det skaber algoritmerne selv men også hvis de er læ rte. Hvis ikke kan vi nemt skabe både

7 "Distraction" og "Derision" og regning bliver meningsløs i stedet for at væ re et godt og spændend e redskab. Kilder: The Mock Turtle's Story (1982) The Complete Illustrated Work of Lewis Carroll. Avenel Books, p Anna Kristjánsdóttir 1997 Nokkrar niðurstöður úr TIMSS. [Ópr.] Rannsókn á stöðu stærð fræ ðikennslu í grunnskólum Hafnarfjarðar. Úrvinnsla gagna vorið 1999 [Ópr.] Carpenter T.P., J.M. Moser & T.A. Romberg.(1982) Addition and subtraction: A cognitive perspective. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Fennema, E., Carpenter, T.P. & Peterson, P.L. (1989) Learning mathematics with understanding: Cognitively guided instruction. In J.E. Borphy (Ed.) Advances in research on teaching (Vol. 1, pp ). Greenswich, CT: JAI Press Hiebert J., Carpenter T.P. (1992) Learning and Teaching with Understanding. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (Ed.) D. Grouw, p

8