Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit"

Transkript

1 Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1

2 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele tl De rtioelle tl De reelle tl Itervller: ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING Avedelser TAL OG REGNEREGLER Legeme M Aksiomer: Sætiger udledt fr ksiomere Pretesregeregler Brøkregeregler Oversigt over ksiomere og sætigere Komplekse tl POTENSREGNEREGLER Ekspoetiel ottio: NUMERISK VÆRDI / ABSOLUT VÆRDI Avedelser f umerisk værdi GENNEMSNIT Aritmetisk geemsit Hrmoisk geemsit Geometrisk geemsit Kvdrtisk geemsit

3 MÆNGDELÆRE Mægdelære reges ormlt som grudlæggede ide for mtemtik. Dvs. t m ud fr mægdelære k udlede l de mtemtik. Det er imidlertid et både bstrkt og omstridt projekt, og det er ikke det, vi skl fokusere på i dee korte itroduktio. Vi skl i stedet se på de væsetlige begreber og symboler ide for mægdelære, fordi disse optræder mge steder ide for de forskellige emer, som vi behdler i de 3 år i gymsiet, og oftest bliver de behdlet, som om m burde kede dem, hvilket ikke lægere er tilfældet, d mægdelære forsvdt fr folkeskole for mge år side. Vi idleder med det, der seere blev kedt som de ive defiitio på e mægde: Defiitio 1: E mægde er e smlig f objekter, der betrgtes som e helhed. Objektere i e mægde kldes mægdes elemeter. Eksempel 1: Objekter skl forstås meget bredt, så mægder kue være: A {3,8,12, 23} B {1,2,3,4,5,...} C { Q,7,, blå, } D { 2,7, 3,9, 7,0 } E { A, B, C, D} {{3,8,12,23},{1,2,3,4,5,...},{ Q,7,, blå, },{ 2,7, 3,9, 7,0 }} Bemærk ottioe. De krøllede preteser kldes Tuborgklmmer eller Tuborgpreteser, og de bruges til t fgræse de elemeter, som mægde består f. Lighedsteget = giver, t udtrykkee på hver side f teget er es, dvs. t A er det smme som {3,8,12,23}, hvilket er vist i mægde E. M læser A {3,8,12,23} som A er mægde beståede f elemetere 3, 8, 12 og 23. De edelige mægder k m også give på følgede måde: A er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er tl. B er e uedelig mægde, d de tre prikker giver, t systemet fortsætter, således t der er uedeligt mge elemeter i mægde. C er e edelig mægde med 5 elemeter f forskellig krkter (bogstv, tl, tl, ord og figur). D er e edelig mægde med 3 elemeter, der lle er pukter i ple. E er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er mægder. Læs oveståede beskrivelse f mægdere grudigt og smmelig de med udtrykkee i eksempel 1. 3

4 Med tilhører -symbolet giver m, t et elemet ligger i e mægde. Symbolet giver, t et elemet ikke ligger i e mægde. Eksempel 2: I eksempel 1 hr m bl.. 3 A ; 3 B ; 3 C ; 3 D ; 3 E blå C ; blå D ; 2,7 D ; 2,0 D Det er også vigtigt t bemærke, t rækkefølge f elemeter ikke hr oge betydig. Det følger f dee defiitio: Defiitio 2: To mægder er es, hvis de ideholder de smme elemeter. Dvs. hvis det om ethvert elemet i de ee mægde gælder, t det også er elemet i de de mægde og omvedt. At mægdere A og B er es skrives A B At mægdere A og B ikke er es skrives A B Eksempel 3: Mægdere 6,9,3 og 3,6,9 er es, dvs. 6,9,3 3,6,9. Mægdere, b, c, dog c, d, b, er es, dvs., b, c, d c, d, b,. Mægdere 2,3,4 er IKKE es, d 1 er elemet i de første mægde, 1,2,3 og me ikke i de de (og omvedt gælder om 4), dvs. 1,2,3 2,3,4. Mægdere bc,, og b, er IKKE es, d c ku er elemet i de første mægde. E mægde k som vi så i eksempel 1 - godt ideholde dre mægder, og der er ikke oget i vores formulerig, der forhidrer, t e mægde ideholder sig selv. Me det er ikke uproblemtisk. Prøv t se på følgede to beskrivelser f det, der er kedt som Russells prdoks (efter Bertrd Russell, der levede ): Russells prdoks: Mægdeversioe: Se på mægde M beståede f lle de mægder, der ikke ideholder sig selv. Ideholder mægde M sig selv? De sproglige versio: De mdlige brber i bye brberer etop dem, der ikke brberer sig selv. Brberer brbere sig selv? Dette prdoks førte til, t m gik væk fr de ive defiitio f mægder og i stedet udrbejdede e såkldt ksiomtisk versio. Vi veter dog med ksiomer til vores behdlig f tl og vil i stedet se på e række symboler og begreber. Defiitio 3: De tomme mægde er mægde, der ikke ideholder oge elemeter. De tomme mægde gives også med teget. Det giver ikke rigtig oge meig t komme med et eksempel, d det jo hedder De tomme mægde, dvs. det er, der er de tomme mægde. Me det k æves, t hvis m vil de tllee på bggrud f mægdelære, så er det tllet 0, der svrer til de tomme mægde. 4

5 Defiitio 4: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e delmægde f A, hvis der ikke fides oget elemet i B, der ikke også er elemet i A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er delmægde-symbolet. Defiitio 5: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e ægte delmægde f A, hvis B er e delmægde f A, og hvis B A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er ægte delmægde -symbolet. Bemærk, hvord m i Defiitio 5 ved t skrive B Aheviser tilbge til Defiitio 2. Det gælder helt geerelt, t m gere må hevise til tidligere defiitioer. Eksempel 4: Ld A, c, h, b, k Så gælder:, c, b, k A og, c, b, k A,,,, c, h, b, k A me, c, h, b, k er ikke e ægte delmægde f A. Mægde c d e er hverke e delmægde eller e ægte delmægde f A. Bemærk, t ægte delmægde er et skrppere krv ed delmægde, så hvis e mægde B er e ægte delmægde f A, er de også bre e delmægde f A. Med de grfiske måde t give mægder, vil e delmægde være helt omsluttet f de opridelige mægde: Her er R e ægte delmægde f A. Bemærk, t det f Defiitio 4 følger, t ehver mægde er e delmægde f sig selv, smt t de tomme mægde er e delmægde f lle mægder. Dvs. der gælder geerelt: Sætig 1: For ehver mægde A gælder: A A og A. Vi skl seere uder emet Kombitorik lære t tælle tllet f delmægder f e mægde. 5

6 Vi skl u se på e række begreber, der kommer i spil, år der optræder mere ed é mægde. Defiitio 6: Ld A og B være to mægder. Vi k så idføre følgede begreber: ) Fællesmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der både tilhører A og B. Fællesmægde for A og B skrives A B. b) A og B siges t være disjukte, hvis ige elemeter tilhører både A og B, dvs. hvis A B. c) Foreigsmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der tilhører midst é f mægdere A eller B. Foreigsmægde der også kldes uiosmægde for A og B skrives A B. d) Differesmægde mellem A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, som tilhører A, me ikke tilhører B. De gives A\ B. Eksempel 5: Ld A 4,9,12,18, 27 og B 0,9,12,15 AB. M hr så: 9,12 A B 4, 0,9,12,15,18, 27 A\ B 4,18, 27 B\ A 0,15 Eksempel 6: Ld A k,, r og B c, p. M hr så: A B Dvs. A og B er disjukte. A B c, k,, p, r A \ B k,, r, dvs. A \ B A B \ A c, p, dvs. B \ A B På figure til højre er fællesmægde og de to differesmægder givet. Eksempel 7: For edeståede mægder gælder: A 5, 2,1,9 B 5,3,9 A B 5,9 A B 5, 2,1,3,9 A\ B 2,1 B\ A 3 6

7 Huskeregler: M k bemærke, t fællesmægde for to mægder som udggspukt er midre ed hver f de to mægder, mes foreigsmægde er større ed disse. Hvis m forestiller sig lidt lim på iderside f bue, k følgede billede derfor muligvis fugere som huskeregel: Ellers k uiosmægde/foreigsmægde huskes på, t symbolet liger et u (som i uio ~ fgforeig), mes fællesmægdes symbol k omformes til et A for Ad ~ og. Vi hr u idført ogle symboler, der vedes i forbidelse med flere mægder. Der gælder e række sætiger, hvorf vi ser på ogle edefor i sætig 2. Det er vigtigt, t du tæker over dem og idser, t de er rigtige (beyt figure som hjælp): Sætig 2: For mægdere A, B og C gælder: ) A B og A Ber begge mægder (Stbilitet) b) A B B A (Kommuttivitet) c) A B B A (Kommuttivitet) d) A B C AB C (Associtivitet) e) A B C AB C (Associtivitet) f) AB C A B A C (Distributivitet) g) AB C A B A C (Distributivitet) Sætigere 2.d og 2.e kræver lidt ekstr forklrig. Det er væsetligt t bemærke, t vi ku hr idført og som symboler, der virker mellem to mægder og resulterer i e mægde. Med pretese giver m ltså, t m ide i pretese hr vedt teget mellem de to mægder og derfor u ku hr é mægde i pretese, hvorefter m k vede teget ige. Poite med ssocitive love er, t m ikke behøver t skrive pretesere. Du keder det fr tllee, hvor du k tillde dig t skrive 3 7 4, etop fordi der gælder Grudmægde: I ogle situtioer f.eks. år vi skl løse ligiger rbejder m med e såkldt grudmægde, der fortæller os, hvilke objekter vi k rbejde med, år vi skl de mægder. Vlget f grudmægde fhæger f situtioe, og det veder vi tilbge til. Nu ser vi på begrebet komplemetærmægde, der ku giver meig, år m tger udggspukt i e grudmægde. Defiitio 7: Ld G være grudmægde, og ld A være e delmægde f G. Komplemetærmægde til A består f lle de elemeter i grudmægde, der IKKE tilhører A. Komplemetærmægde skrives: Og der gælder ltså: 7

8 Eksempel 8: Ld G 1,3,5,7,9,11,13 og ld A 1,7,11,13. Så er: Eksempel 9: Ld G 1,2,3,4,5,... og ld 2,4,6,8,10,... C Så er A 1,3,5,7,9,... A. Det sidste begreb, vi får brug for, er det krtesiske produkt, som er væsetligt, år vi skl idføre koorditsystemer og give pukter i koorditsystemer. Defiitio 8: Det krtesiske produkt A B f mægdere A og B er mægde beståede f lle de ordede pr b,, hvor A og b B. Dette skrives:, A B b A b B Højreside i udtrykket i ederste lije læses: Mægde beståede f lle de pr komm b for hvilket det gælder, t tilhører store A og b tilhører store B. Bemærk ordet ordede i defiitioe, der fortæller, t der er forskel på 3,7 og 7,3. Eksempel 10: Ld mægdere A og B være givet ved A 1,3,8 og B 2,7 Så er AB 1,2, 1,7, 3,2, 3,7, 8,2, 8,7 8. Eksempel 11: Ld mægdere A og B være givet ved A,9 og B, q Så er AB,,, q, 9,, 9, q. Udvidelse: Når vi seere i rumgeometrie skl rbejde med tredimesioelle koorditsystemer, udvider vi det krtesiske produkt, så vi får: A BC, b, c A b B c C I et ormlt koorditsystem, der er et krtesisk koorditsystem i ple, rbejder vi med pukter på forme xy,, hvor x-kse X består f lle puktere på de vdrette tllije, mes y-kse Y består f lle puktere på de lodrette tllije. I et tredimesioelt koorditsystem idføres e ekstr tlkse, z-kse, der peger ud f ple, og som giver ledig til e ekstr koordit på puktere, der derfor bliver x, y, z.

9 TAL Tl er e del f sproget og hverdge, og det er vist de færreste, der kommer i tvivl om, t de hr med tl t gøre, år de ser størrelsere 8, -26 og 5,917. Me forståelse f, hvd et tl er, hr ædret sig geem tide, og der er ldrig opstået fuld eighed bldt mtemtikere om, hvorår oget er et tl. F.eks. er det ikke lle, der betrgter de komplekse tl som rigtige tl. Vi skl her se på forskellige idfldsvikler til begrebet tl og geemgå de vigtigste tlmægder. De turlige tl Tl opstår f behovet for t kue tælle. Dvs. de simpleste forståelse f tl er som det, m tæller med. Me selv dee simple tlforståelse giver ledig til problemer. Tllet 1 idtger f.eks. e særsttus. Mtemtik er udviklet flere forskellige steder i verde, og ide for de meget lsidige græske mtemtik (udviklet i e periode på godt 1000 år fordelt ogelude ligeligt omkrig år 0) opstod på e tidspukt de tke, t 1 ikke vr et tl, me derimod ehede. Det skl forstås på de måde, t år m skl tælle, giver m først med ehede, hvd det er, m tæller. Dvs. m siger E ste, og derefter ved m, år m begyder t sige 2, 3, 4 osv., t det er ste, m tæller. Eller m dre ord: M begyder først t tælle, år m siger 2. Dette k virke som e uvæsetlig detlje, me det er i hvert fld vigtigt t vide, år m skl forstå sætigere i f.eks. Euklids Elemeter, der blev skrevet omkrig 300 fvt. og måske er det mest berømte mtemtiske værk. Ellers vil m udre sig over ekelte formuleriger, hvor det ser ud til, t Euklid hr glemt tllet 1. Vi tger dog 1 med, år vi skl defiere de tlmægde, der giver de tl, m tæller med: Defiitio 1: De turlige tl er tlmægde 1,2,3,4,5,.... Bemærk, t De turlige tl er e uedelig tlmægde. Vi skl seere i forbidelse med emet Uedeligheder og verdesbilleder beskæftige os mere med dee tlmægde og se, t der fides forskellige slgs uedeligheder. Bemærk også selve ottioe med et dobbeltstreget N. D de turlige tl er e helt bestemt tlmægde, hr de fået sit eget symbol (der også fides i Mple uder Commo Symbols ), og år m skriver - i modsætig til bre t skrive N ved m ltså, t der er tle om de turlige tl. 9

10 Vi hr idført de turlige tl ud fr tkegge om, t m tæller med dem. E de mulig og ært beslægtet idfldsvikel er, t m måler med tl. Dvs. du skl tæke på et lijestykke som ehede, og dre lijestykker måles så med dee ehed: Det røde lijestykke er ltså 4 (eheder). Me hvd med det blå lijestykke? Her kommer vi i problemer ide for de turlige tl og udskyder derfor tkegge om t måle med tllee. Regeregler: Vi går u ud fr, t vi hr idført de turlige tl med heblik på t tælle. Vi opdger så, t vi også k rege med tllee. Vi idfører regeopertioe dditio givet med teget + ved: Defiitio 2: Ld og b være to tl bseret på de smme ehed. M dderer tllee og b ved t tælle det smlede tl eheder, der idgår i og b. Additioe skrives b, og m klder og b for ddeder, mes b kldes summe. Bemærk, t summe i sig selv er et tl. Hvis vi et øjeblik glemmer det tilsyeldede problem ved t måle med tllee, k dditio illustreres ved edeståede figur, hvor de to lægder lægges smme ved t plceres for ede f hide (e metode vi seere skl bruge i forbidelse med vektorregig). 10

11 E meget væsetlig poite ved dditio er, t de to tl skl være bseret på de smme ehed. F.eks. k m ikke lægge 2 æbler og 3 pærer smme, d tllet 2 er bseret på ehede æble, mes tllet 3 er bseret på ehede pære. Hvis m idveder, t m d hr 5 frugter, er det ikke e pssede idvedig, for de 5 frugter er fremkommet ved e de dditio, emlig 2 frugter lgt smme med 3 frugter. Ide for fysik og kemi k m ikke lægge to tl med forskellige eheder smme. F.eks. k m ikke lægge e krft på 3N (de fysiske størrelse krft k gives i ehede ewto) smme med e lægde på 5m. Og m k heller ikke lægge e lægde på 5m smme med e lægde på 13mm, ide m hr sørget for t omrege de ee lægde, så de hr smme ehed som de de. Når m rbejder med brøker, k m heller ikke lægge dem smme, før de hr fælles æver. Oveståede poite er vigtig, me e midst lige så vigtig poite er, t m fktisk ltid k lægge tl smme, hvis de er bseret på smme ehed. Det fører til følgede dditioer, hvor du skl være opmærksom på, t du slet ikke behøver t forstå de udtryk, der står efter tllee, me blot hele tide bemærke, t det er es udtryk, der står bg begge tl. Du vil få eorm glæde f t idprete dig dee tkegg: 4x 7x 11x x x x 9 log 14 log 23log 2bc 6bc 8bc x y z x y z x y z y y y 11si 5si 16si Vi kue også hve defieret dditio ved t tge udggspukt i mægder: Altertiv defiitio: Ld A og B være disjukte mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. Summe ber tllet f elemeter i foreigsmægde A B. Mægdelære giver os også e forholdsvis simpel defiitio på regeopertioe multipliktio: Defiitio 3: Ld A og B være mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. M multiplicerer og b ved t tælle tllet f elemeter i det krtesiske produkt A B, og det skrives b. I produktet b kldes og b fktorer. 11

12 M kue også defiere multipliktio ved: Altertiv defiitio: M multiplicerer tllee og b ved b gge t ddere med sig selv: b... b ddeder Når dditiosteget + og multipliktiosteget er på plds, opdger m ogle regler, der gælder for disse regeopertioer: Stbilitet: Når m dderer eller multiplicerer to turlige tl, er summe eller produktet også et turligt tl. Kommuttivitet: For dditio: b b For multipliktio: b b Associtivitet: For dditio: b c b c For multipliktio: bc b c Distributivitet: b c b c Smmelig disse regler med sætig 2 fr mægdelære. Ige er de distributive lov de lov, der kombierer de to regeopertioer, mes de ssocitive love fritger os fr t vede preteser i visse situtioer. De kommuttive lov for multipliktio keder du måske som: Fktoreres orde er ligegyldig. Cifre: Der er uedeligt mge turlige tl: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, Me de er bygget op f et begræset tl cifre, emlig de ti cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Cifree vedes også til t skrive decimltl (f.eks. 487,3061), og det er tllet f forskellige cifre, der lægger v til forskellige tlsystemer. Totlssystemet (Det biære tlsystem) rbejder med de to cifre 0 og 1, vores titlssystem rbejder som ævt med ti cifre, mes bl.. bbyloere hvde et 60-tlssystem, dvs. et system med 60 cifre. Vores tidsregig med miutter og sekuder, smt vores vikelmåliger k føres tilbge til et 60-tlssystem. 12

13 De hele tl De æste tlmægde, vi skl se på, er De hele tl. Hermed dropper vi kroologie (de historiske rækkefølge), hvor De rtioelle tl blev udviklet før De hele tl. Til gegæld k det præseteres mere overskueligt og smmehægede. Vi hr set, hvord de turlige tl k opstå ud fr behovet for t kue tælle, smt hvord regeopertioere dditio og multipliktio k vedes, år m rbejder med turlige tl. Problemere med de turlige tl opstår først, år m vil udvide med regeopertioe subtrktio ( mius ). Ld os prøve t se på følgede situtio: E bode hr 7 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 20? Dette giver ledig til følgede ligig (skrevet med utidig ottio): x 7 20 For t løse dee ligig idfører vi e regeopertio subtrktio, der er det modstte f dditio forstået på de måde, t de k ophæve hide: x x Disse to lijer kræver fktisk e msse forklrig, me vi skl seere gøre det mere formelt. Lige u skl du ku fokusere på tkegge: 20 7 er det tl, der lgt til 7 giver 20. Eller geerelt: b er det tl, der dderet med b giver. Bemærk ltså, t regeopertio subtrktio k formuleres ud fr dditio. Dette hr edu ikke ført til problemer, me hvd sker der, hvis m bytter om på 7 og 20? 20 x 7. Dette svrer til e bode, der hr 20 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 7? Dette er et meigsløst spørgsmål. I dette tilfælde skulle bode srere hve stillet spørgsmålet: Hvor mge får skl jeg miste eller give væk, før jeg hr 7?. Dvs. i de meget simple situtio, hvor m tæller, k dditio svre til t få får, mes subtrktio svrer til t miste får. Og herfr er der ikke lgt til t tæke på gæld, for hvis m mister mere, ed m hr, kommer m til t skylde, og så opstår de egtive tl. I de simple tlforståelse hr vi ltså: Oversigt: Regeopertioe dditio svrer til t få. Regeopertioe subtrktio svrer til t miste. Negtive tl svrer til gæld. Bemærk, t der er forskel på egtive tl og regeopertioe subtrktio. Vi skker derfor om et regemius (subtrktio) og et fortegsmius (egtivt tl). Vi skl gøre mere ud f dette, år vi ser mere formelt på tllee. Negtive tl opstår ltså hvis vi vel t mærke ccepterer deres eksistes år vi løser 20 x 7. 13

14 Vi er u æste fremme ved de hele tl. Vi mgler ku tllet 0. Dette tl hr si helt ege historie. I positiostlsystemer (som f.eks. vores 10-tlssystem) hr 0 i begydelse været givet som et mellemrum. Dvs. hvis m skulle skrive 307, skrev m 3 7. Seere fik det sit eget symbol, og edelig i 628 evt. udgv de idiske mtemtiker Brhmgupt værket Brāhmsphuṭsiddhāt, hvor ikke blot 0 idgår med symbol og v, me hvor det også specifikt behdles som et tl, der idgår på lige fod med dre tl i beregiger. Al dee sk hr u ført frem til: Defiitio 4: De hele tl er tlmægde..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,.... Det væsetlige t bemærke er, t år vi rbejder med de hele tl, k vi ude t bekymre os vede regeopertioere dditio, multipliktio og subtrktio. Dvs. vi k være sikre på, t vi, hvis vi tger to hele tl og ete lægger dem smme, gger dem med hide eller trækker dem fr hide, så får vi ige et helt tl. Det er det, vi klder stbilitet. Bemærk også, t de turlige tl ku vr stbile over for dditio og multipliktio, for hvis vi tger to turlige tl (der jo er positive) og trækker det største fr det midste, får vi et egtivt tl, der IKKE er et turligt tl. Vi hr ltså: Opsmlig: Stbilitet ide for de turlige tl: b b Stbilitet ide for de hele tl: b b b 14

15 De rtioelle tl Vi er u ået til brøkere og skl først se på, hvord de fremkommer. Som ævt tidligere opstod de før de egtive tl og 0, og m hr kuet rege med brøker i flere tuside år. Vi så, hvord de egtive tl og regeopertioe subtrktio kue opstå ud fr dditio. Vi skl u se, hvord brøkere og regeopertioe divisio k opstå ud fr multipliktio. Vi går f grude som vil blive tydelige seere over til t kigge på æbler i stedet for får. Vi ser på situtioe: 4 persoer spiser hver 5 æbler. Hvor mge æbler spises i lt? Dvs. t der 4 gge spises 5 æbler, og m får udregige 45 20, dvs. der spises 20 æbler. Regeopertioe divisio opstår, år m ædrer problemstillige lidt: Vi hr 20 æbler, og 4 persoer vil gere spise disse æbler (ligelig fordelig). Hvor mge får de hver? Dette giver ledig til ligige: 4x 20 Vi løser dee ligig ved t idføre regeopertioe divisio, der er det modstte f regeopertioe multipliktio forstået på de måde, t de ophæver hide: 4 x 20 4 x x 5 Ige kræves der egetlig e del mere forklrig, og vi skl også srt gøre det mere formelt, me bemærk det væsetlige: Vi hr multipliceret x med 4 og efterfølgede divideret resulttet med 4, og disse to opertioer hr ophævet hide, så vi ku hr x tilbge. Vi hr dermed fået idført regeopertioe divisio, me mgler stdig brøkere. For selvom vi godt ved og k se det i vores udregig t tllet 5 k skrives som brøke 20, så er det ikke 4 ødvedigt med brøker edu. Brøkere opstår først, hvis de 4 persoer f.eks. ku hr 19 æbler. I så fld fører problemstillige til: 19 x 4 Og de væsetlige poite er: 19 k ikke skrives som et helt tl. Vi hr ltså fået e y slgs tl, 4 som vi klder brøker, og som k fremkomme, år vi idfører regeopertioe divisio. Det skl dog lige tilføjes, t m fktisk godt k udgå brøker, selvom m idfører regeopertioe divisio. Det skl vi se på, år vi i 3.g behdler emet Tlteori. 15

16 Defiitio 5: Ved e divisio f tllet med tllet b fås det tl, der multipliceret med b giver. Divisioe skrives b, hvor kldes dividede eller tællere, b kldes divisore eller ævere og b kldes kvotiete eller brøke. Vi idfører så edu e tlmægde: Defiitio 6: De rtioelle tl er tlmægde beståede f lle de tl, der k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk de meget vigtige detlje, t lle hele tl også k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. F.eks. hr m: 7 ; 7 ; 0 ; 0 ; Derfor vil lle hele tl også være rtioelle tl (me ikke omvedt, hvilket vi så med 19 4 ). For t forstå mægde f rtioelle tl bedre skl vi ltså u besvre spørgsmålet: Hvilke tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver? Vi ved llerede, t lle hele tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Ld os u se på decimltllee (dvs. tl som vi skriver med et komm efterfulgt f decimler). Der fides tre typer f decimltl (også kldet decimlbrøker): 1) Decimltl med et edeligt tl decimler. 2) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der opstår e sekves i decimlere, der getger sig i det uedelige (såkldt periodiske uedelige decimltl). 3) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der ikke opstår et system i decimlere. Edelige decimlbrøker: Edelige decimlbrøker er tl f type 45, , , ,9 Ld os se på, om vi på e eller de måde k skrive disse tl som brøker med hele tl i tæller og æver. 5 6 Vi klder tllet for og multiplicerer det så med et tl bldt 10, 100, 1000, 10000, 10, 10, 6 der er tilstrækkelig stort til, t m får et helt tl. I tilfældet 45, er 10 tilstrækkelig stort: 45, Vi hr ltså fået skrevet tllet 45, som e brøk med hele tl i tæller og æver. Det er ikke e uforkortelig brøk, me det er heller ikke ødvedigt i dee smmehæg. 8 Med tllet 0, er det 10, m multiplicerer med: 16

17 0, Ige er tllet blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Med tllet ,9 er det 10 m multiplicerer med: , Tllet er u blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk, t dee fremggmåde k beyttes på lle edelige decimlbrøker. Det er bre et spørgsmål om t vælge et pssede stort tl t multiplicere med. Det er u vist, t smtlige edelige decimlbrøker k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, dvs. t de tilhører de rtioelle tl. Periodiske uedelige decimlbrøker: Periodiske uedelige decimlbrøker er tl f forme: 5, ,3 12, ,9 27, ,925 89, , , , Bemærk, t der i hvert f tllee er e sekves på mellem 1 og 12 tl, der getger sig i det uedelige, smt hvord m med strege over dee sekves k give tllet kortere. Bemærk også, t sekvese ikke ødvedigvis begyder lige efter kommet. Vi skl u ige geem e række eksempler se på, hvord vi omskriver disse tl til brøker med hele tl i tæller og æver. Vi begyder på smme måde med t multiplicere med et pssede f 5 6 tllee 10, 100, 1000, 10000, 10, 10,, me derefter bliver det lidt derledes, d vi trækker vestresidere fr hide og højresidere fr hide: 5, , , , Det lykkedes os ltså t få skrevet tllet 5,3 som e brøk med hele tl i tæller og æver. Der er dog lige de helt cetrle poite i hele udregige, som du skl være opmærksom på. Hlere på de to tl 53,3 og 5,3 er es, etop fordi de opridelige decimlbrøk er uedelig og de smme sekves (i dette tilfælde tllet 3) getges i det uedelige. Derfor forsvider hle, år de to tl trækkes fr hide. 17

18 Vi ser u på tllet 12,9. Ige multiplicerer vi med 10: 12, ,9 12, ,9 9 Ige hr vi fået skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Me i dette tilfælde er der lige e ekstr meget vigtig detlje. Bemærk, t Og det skl forstås præcis som lighedsteget viser: 12,9og 13 er det smme tl!, dvs. vi hr fktisk vist, t 12,9 13. E de idfldsvikel til t forstå dette muligvis overrskede resultt er, t der ikke er oge forskel (forstået som e fstd på tllije) på de to tl, og derfor er de to tl es. Vi ser u på tllet 27,925. I dette tilfælde multiplicerer vi med Tjek, t du k se poite med, t det etop er tllet 1000, vi beytter: 27, , , , Ige lykkedes det t få skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Som sidste eksempel ser vi på tllet 89, Her foretger vi to multipliktioer. Tjek ige, t du k se poite med begge multipliktioer: , , , , Også her lykkedes det os t skrive tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Og det skulle u være klrt, t de vedte metode k bruges i lle situtioer med periodiske uedelige decimlbrøker, dvs. vi hr u set, t lle disse k skrives som brøker. Ikke-periodiske uedelige decimlbrøker: M kue måske u få de tke, t lle tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, me de ikke-periodiske uedelige decimlbrøker (dvs. decimlbrøker hvor der ldrig fremkommer et system i decimlere) k ikke. Det er ikke oget, vi beviser edu. Det kommer uder emet Tlteori, hvor vi bl.. beviser, t 2 ikke k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Opsmlig: De rtioelle tl uedelige decimlbrøker. består f de hele tl, de edelige decimlbrøker smt de periodiske 18

19 Der er som ævt tl (f.eks. De reelle tl 2 og ), der ikke k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Disse tl kldes irrtioelle tl. Disse tl k ikluderes, hvis vi begyder t tæke på tl som pukter på e tllije. Vi ser ltså på tllije (tlkse): Der er flere vigtige tig t bemærke omkrig tllijer. De er kotiuerte (dvs. smmehægede), hvilket skl forstås på de måde, t tllije der er e uedelig mægde f pukter ikke hr oge huller. Dvs. du k ikke slå ed oget sted mellem to pukter på lije ude t rmme et yt pukt. De irrtioelle tl ligger også på tllije. Repræseteret ved -,, 2 og e ovefor. Eulers tl e støder vi på msser f gge fremover. Det udgør smme med 0,1 og ok de vigtigste tl ide for mtemtik. I Mple fider du det uder Commo Symbols. Tilføj det til die fvoritter med det smme. Tstturets e fugerer IKKE. Også de rtioelle og hele tl ligger som vist på tllije. Defiitio 7: De reelle tl er tlmægde beståede f lle tl på tlkse. Med dee defiitio skulle m tro, t vi hvde fået ikluderet lle tl, me som vi seere skl se, fides der også komplekse tl (tlmægde ), der godt k ligge ude for tlkse. Dem får vi dog ikke brug for u, så vi k smle op ved t se på vores 4 tlmægder smme: 19

20 Itervller: Du kommer i gymsiet til t rbejde e hel del med fuktioer og grfer. I de smmehæg er det vigtigt t bemærke, t vi (æste) ltid rbejder med reelle tl. Dvs. vi rbejder med kotiuerte tlkser. Der er ltså ige huller på tlkse, og mellem to vilkårligt vlgte forskellige tl på tlkse ligger der uedeligt mge dre tl. Uset hvor tæt på hide de to opridelige tl ligger. Dette giver problemer, hvis vi f.eks. øsker t give mægde f pukter, der ligger mellem tllee 1 og 4 (begge tl iklusive), og forsøger t vede vores ottio med tuborgpreteser. For hvis m skriver 1,2,3,4, hr m ku fået 4 tl med, me der ligger jo uedeligt mge tl på tlkse mellem 1 og 4 og ikke ku de 4 give turlige tl. Vi k heller ikke skrive 1,...,4, for det er e helt igeem ugyldig ottio, d de tre prikker giver, t der i de foregåede tl er fremkommet et system, der fortsættes, me ét tl k ikke give et system. Vi hr simpelthe brug for e helt de ottio. Defiitio 8: Et itervl er e smmehægede tlmægde, dvs. et område på tlkse ude huller. Et itervl består f uedeligt mge reelle tl. Nottio: Når vi rbejder med tlkser (dvs. reelle tl) vedes e ottio med firktede preteser,, og til t give itervller. Nottio: Vi veder betegelsere åbe, hlvåbe, lukkede, begræsede og ubegræsede om itervller. Et itervl siges t være vestrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er midre ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være højrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er større ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være begræset, hvis det er både vestrebegræset og højrebegræset. Hvis et itervl hverke er højrebegræset eller vestrebegræset, er det ubegræset. Et itervl siges t være vestreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være højreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er større ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være åbet, hvis det både er vestreåbet og højreåbet. Et itervl siges t være lukket, hvis det hverke er vestreåbet eller højreåbet. M giver, t et itervl er lukket i det ee edepukt, på følgede forskellige måder: Dvs. t tllet ligger i itervllet. Og tllet er etop det tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet, og som dermed betyder, t itervllet ikke er vestreåbet. 20

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere