Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit"

Transkript

1 Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1

2 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele tl De rtioelle tl De reelle tl Itervller: ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING Avedelser TAL OG REGNEREGLER Legeme M Aksiomer: Sætiger udledt fr ksiomere Pretesregeregler Brøkregeregler Oversigt over ksiomere og sætigere Komplekse tl POTENSREGNEREGLER Ekspoetiel ottio: NUMERISK VÆRDI / ABSOLUT VÆRDI Avedelser f umerisk værdi GENNEMSNIT Aritmetisk geemsit Hrmoisk geemsit Geometrisk geemsit Kvdrtisk geemsit

3 MÆNGDELÆRE Mægdelære reges ormlt som grudlæggede ide for mtemtik. Dvs. t m ud fr mægdelære k udlede l de mtemtik. Det er imidlertid et både bstrkt og omstridt projekt, og det er ikke det, vi skl fokusere på i dee korte itroduktio. Vi skl i stedet se på de væsetlige begreber og symboler ide for mægdelære, fordi disse optræder mge steder ide for de forskellige emer, som vi behdler i de 3 år i gymsiet, og oftest bliver de behdlet, som om m burde kede dem, hvilket ikke lægere er tilfældet, d mægdelære forsvdt fr folkeskole for mge år side. Vi idleder med det, der seere blev kedt som de ive defiitio på e mægde: Defiitio 1: E mægde er e smlig f objekter, der betrgtes som e helhed. Objektere i e mægde kldes mægdes elemeter. Eksempel 1: Objekter skl forstås meget bredt, så mægder kue være: A {3,8,12, 23} B {1,2,3,4,5,...} C { Q,7,, blå, } D { 2,7, 3,9, 7,0 } E { A, B, C, D} {{3,8,12,23},{1,2,3,4,5,...},{ Q,7,, blå, },{ 2,7, 3,9, 7,0 }} Bemærk ottioe. De krøllede preteser kldes Tuborgklmmer eller Tuborgpreteser, og de bruges til t fgræse de elemeter, som mægde består f. Lighedsteget = giver, t udtrykkee på hver side f teget er es, dvs. t A er det smme som {3,8,12,23}, hvilket er vist i mægde E. M læser A {3,8,12,23} som A er mægde beståede f elemetere 3, 8, 12 og 23. De edelige mægder k m også give på følgede måde: A er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er tl. B er e uedelig mægde, d de tre prikker giver, t systemet fortsætter, således t der er uedeligt mge elemeter i mægde. C er e edelig mægde med 5 elemeter f forskellig krkter (bogstv, tl, tl, ord og figur). D er e edelig mægde med 3 elemeter, der lle er pukter i ple. E er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er mægder. Læs oveståede beskrivelse f mægdere grudigt og smmelig de med udtrykkee i eksempel 1. 3

4 Med tilhører -symbolet giver m, t et elemet ligger i e mægde. Symbolet giver, t et elemet ikke ligger i e mægde. Eksempel 2: I eksempel 1 hr m bl.. 3 A ; 3 B ; 3 C ; 3 D ; 3 E blå C ; blå D ; 2,7 D ; 2,0 D Det er også vigtigt t bemærke, t rækkefølge f elemeter ikke hr oge betydig. Det følger f dee defiitio: Defiitio 2: To mægder er es, hvis de ideholder de smme elemeter. Dvs. hvis det om ethvert elemet i de ee mægde gælder, t det også er elemet i de de mægde og omvedt. At mægdere A og B er es skrives A B At mægdere A og B ikke er es skrives A B Eksempel 3: Mægdere 6,9,3 og 3,6,9 er es, dvs. 6,9,3 3,6,9. Mægdere, b, c, dog c, d, b, er es, dvs., b, c, d c, d, b,. Mægdere 2,3,4 er IKKE es, d 1 er elemet i de første mægde, 1,2,3 og me ikke i de de (og omvedt gælder om 4), dvs. 1,2,3 2,3,4. Mægdere bc,, og b, er IKKE es, d c ku er elemet i de første mægde. E mægde k som vi så i eksempel 1 - godt ideholde dre mægder, og der er ikke oget i vores formulerig, der forhidrer, t e mægde ideholder sig selv. Me det er ikke uproblemtisk. Prøv t se på følgede to beskrivelser f det, der er kedt som Russells prdoks (efter Bertrd Russell, der levede ): Russells prdoks: Mægdeversioe: Se på mægde M beståede f lle de mægder, der ikke ideholder sig selv. Ideholder mægde M sig selv? De sproglige versio: De mdlige brber i bye brberer etop dem, der ikke brberer sig selv. Brberer brbere sig selv? Dette prdoks førte til, t m gik væk fr de ive defiitio f mægder og i stedet udrbejdede e såkldt ksiomtisk versio. Vi veter dog med ksiomer til vores behdlig f tl og vil i stedet se på e række symboler og begreber. Defiitio 3: De tomme mægde er mægde, der ikke ideholder oge elemeter. De tomme mægde gives også med teget. Det giver ikke rigtig oge meig t komme med et eksempel, d det jo hedder De tomme mægde, dvs. det er, der er de tomme mægde. Me det k æves, t hvis m vil de tllee på bggrud f mægdelære, så er det tllet 0, der svrer til de tomme mægde. 4

5 Defiitio 4: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e delmægde f A, hvis der ikke fides oget elemet i B, der ikke også er elemet i A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er delmægde-symbolet. Defiitio 5: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e ægte delmægde f A, hvis B er e delmægde f A, og hvis B A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er ægte delmægde -symbolet. Bemærk, hvord m i Defiitio 5 ved t skrive B Aheviser tilbge til Defiitio 2. Det gælder helt geerelt, t m gere må hevise til tidligere defiitioer. Eksempel 4: Ld A, c, h, b, k Så gælder:, c, b, k A og, c, b, k A,,,, c, h, b, k A me, c, h, b, k er ikke e ægte delmægde f A. Mægde c d e er hverke e delmægde eller e ægte delmægde f A. Bemærk, t ægte delmægde er et skrppere krv ed delmægde, så hvis e mægde B er e ægte delmægde f A, er de også bre e delmægde f A. Med de grfiske måde t give mægder, vil e delmægde være helt omsluttet f de opridelige mægde: Her er R e ægte delmægde f A. Bemærk, t det f Defiitio 4 følger, t ehver mægde er e delmægde f sig selv, smt t de tomme mægde er e delmægde f lle mægder. Dvs. der gælder geerelt: Sætig 1: For ehver mægde A gælder: A A og A. Vi skl seere uder emet Kombitorik lære t tælle tllet f delmægder f e mægde. 5

6 Vi skl u se på e række begreber, der kommer i spil, år der optræder mere ed é mægde. Defiitio 6: Ld A og B være to mægder. Vi k så idføre følgede begreber: ) Fællesmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der både tilhører A og B. Fællesmægde for A og B skrives A B. b) A og B siges t være disjukte, hvis ige elemeter tilhører både A og B, dvs. hvis A B. c) Foreigsmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der tilhører midst é f mægdere A eller B. Foreigsmægde der også kldes uiosmægde for A og B skrives A B. d) Differesmægde mellem A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, som tilhører A, me ikke tilhører B. De gives A\ B. Eksempel 5: Ld A 4,9,12,18, 27 og B 0,9,12,15 AB. M hr så: 9,12 A B 4, 0,9,12,15,18, 27 A\ B 4,18, 27 B\ A 0,15 Eksempel 6: Ld A k,, r og B c, p. M hr så: A B Dvs. A og B er disjukte. A B c, k,, p, r A \ B k,, r, dvs. A \ B A B \ A c, p, dvs. B \ A B På figure til højre er fællesmægde og de to differesmægder givet. Eksempel 7: For edeståede mægder gælder: A 5, 2,1,9 B 5,3,9 A B 5,9 A B 5, 2,1,3,9 A\ B 2,1 B\ A 3 6

7 Huskeregler: M k bemærke, t fællesmægde for to mægder som udggspukt er midre ed hver f de to mægder, mes foreigsmægde er større ed disse. Hvis m forestiller sig lidt lim på iderside f bue, k følgede billede derfor muligvis fugere som huskeregel: Ellers k uiosmægde/foreigsmægde huskes på, t symbolet liger et u (som i uio ~ fgforeig), mes fællesmægdes symbol k omformes til et A for Ad ~ og. Vi hr u idført ogle symboler, der vedes i forbidelse med flere mægder. Der gælder e række sætiger, hvorf vi ser på ogle edefor i sætig 2. Det er vigtigt, t du tæker over dem og idser, t de er rigtige (beyt figure som hjælp): Sætig 2: For mægdere A, B og C gælder: ) A B og A Ber begge mægder (Stbilitet) b) A B B A (Kommuttivitet) c) A B B A (Kommuttivitet) d) A B C AB C (Associtivitet) e) A B C AB C (Associtivitet) f) AB C A B A C (Distributivitet) g) AB C A B A C (Distributivitet) Sætigere 2.d og 2.e kræver lidt ekstr forklrig. Det er væsetligt t bemærke, t vi ku hr idført og som symboler, der virker mellem to mægder og resulterer i e mægde. Med pretese giver m ltså, t m ide i pretese hr vedt teget mellem de to mægder og derfor u ku hr é mægde i pretese, hvorefter m k vede teget ige. Poite med ssocitive love er, t m ikke behøver t skrive pretesere. Du keder det fr tllee, hvor du k tillde dig t skrive 3 7 4, etop fordi der gælder Grudmægde: I ogle situtioer f.eks. år vi skl løse ligiger rbejder m med e såkldt grudmægde, der fortæller os, hvilke objekter vi k rbejde med, år vi skl de mægder. Vlget f grudmægde fhæger f situtioe, og det veder vi tilbge til. Nu ser vi på begrebet komplemetærmægde, der ku giver meig, år m tger udggspukt i e grudmægde. Defiitio 7: Ld G være grudmægde, og ld A være e delmægde f G. Komplemetærmægde til A består f lle de elemeter i grudmægde, der IKKE tilhører A. Komplemetærmægde skrives: Og der gælder ltså: 7

8 Eksempel 8: Ld G 1,3,5,7,9,11,13 og ld A 1,7,11,13. Så er: Eksempel 9: Ld G 1,2,3,4,5,... og ld 2,4,6,8,10,... C Så er A 1,3,5,7,9,... A. Det sidste begreb, vi får brug for, er det krtesiske produkt, som er væsetligt, år vi skl idføre koorditsystemer og give pukter i koorditsystemer. Defiitio 8: Det krtesiske produkt A B f mægdere A og B er mægde beståede f lle de ordede pr b,, hvor A og b B. Dette skrives:, A B b A b B Højreside i udtrykket i ederste lije læses: Mægde beståede f lle de pr komm b for hvilket det gælder, t tilhører store A og b tilhører store B. Bemærk ordet ordede i defiitioe, der fortæller, t der er forskel på 3,7 og 7,3. Eksempel 10: Ld mægdere A og B være givet ved A 1,3,8 og B 2,7 Så er AB 1,2, 1,7, 3,2, 3,7, 8,2, 8,7 8. Eksempel 11: Ld mægdere A og B være givet ved A,9 og B, q Så er AB,,, q, 9,, 9, q. Udvidelse: Når vi seere i rumgeometrie skl rbejde med tredimesioelle koorditsystemer, udvider vi det krtesiske produkt, så vi får: A BC, b, c A b B c C I et ormlt koorditsystem, der er et krtesisk koorditsystem i ple, rbejder vi med pukter på forme xy,, hvor x-kse X består f lle puktere på de vdrette tllije, mes y-kse Y består f lle puktere på de lodrette tllije. I et tredimesioelt koorditsystem idføres e ekstr tlkse, z-kse, der peger ud f ple, og som giver ledig til e ekstr koordit på puktere, der derfor bliver x, y, z.

9 TAL Tl er e del f sproget og hverdge, og det er vist de færreste, der kommer i tvivl om, t de hr med tl t gøre, år de ser størrelsere 8, -26 og 5,917. Me forståelse f, hvd et tl er, hr ædret sig geem tide, og der er ldrig opstået fuld eighed bldt mtemtikere om, hvorår oget er et tl. F.eks. er det ikke lle, der betrgter de komplekse tl som rigtige tl. Vi skl her se på forskellige idfldsvikler til begrebet tl og geemgå de vigtigste tlmægder. De turlige tl Tl opstår f behovet for t kue tælle. Dvs. de simpleste forståelse f tl er som det, m tæller med. Me selv dee simple tlforståelse giver ledig til problemer. Tllet 1 idtger f.eks. e særsttus. Mtemtik er udviklet flere forskellige steder i verde, og ide for de meget lsidige græske mtemtik (udviklet i e periode på godt 1000 år fordelt ogelude ligeligt omkrig år 0) opstod på e tidspukt de tke, t 1 ikke vr et tl, me derimod ehede. Det skl forstås på de måde, t år m skl tælle, giver m først med ehede, hvd det er, m tæller. Dvs. m siger E ste, og derefter ved m, år m begyder t sige 2, 3, 4 osv., t det er ste, m tæller. Eller m dre ord: M begyder først t tælle, år m siger 2. Dette k virke som e uvæsetlig detlje, me det er i hvert fld vigtigt t vide, år m skl forstå sætigere i f.eks. Euklids Elemeter, der blev skrevet omkrig 300 fvt. og måske er det mest berømte mtemtiske værk. Ellers vil m udre sig over ekelte formuleriger, hvor det ser ud til, t Euklid hr glemt tllet 1. Vi tger dog 1 med, år vi skl defiere de tlmægde, der giver de tl, m tæller med: Defiitio 1: De turlige tl er tlmægde 1,2,3,4,5,.... Bemærk, t De turlige tl er e uedelig tlmægde. Vi skl seere i forbidelse med emet Uedeligheder og verdesbilleder beskæftige os mere med dee tlmægde og se, t der fides forskellige slgs uedeligheder. Bemærk også selve ottioe med et dobbeltstreget N. D de turlige tl er e helt bestemt tlmægde, hr de fået sit eget symbol (der også fides i Mple uder Commo Symbols ), og år m skriver - i modsætig til bre t skrive N ved m ltså, t der er tle om de turlige tl. 9

10 Vi hr idført de turlige tl ud fr tkegge om, t m tæller med dem. E de mulig og ært beslægtet idfldsvikel er, t m måler med tl. Dvs. du skl tæke på et lijestykke som ehede, og dre lijestykker måles så med dee ehed: Det røde lijestykke er ltså 4 (eheder). Me hvd med det blå lijestykke? Her kommer vi i problemer ide for de turlige tl og udskyder derfor tkegge om t måle med tllee. Regeregler: Vi går u ud fr, t vi hr idført de turlige tl med heblik på t tælle. Vi opdger så, t vi også k rege med tllee. Vi idfører regeopertioe dditio givet med teget + ved: Defiitio 2: Ld og b være to tl bseret på de smme ehed. M dderer tllee og b ved t tælle det smlede tl eheder, der idgår i og b. Additioe skrives b, og m klder og b for ddeder, mes b kldes summe. Bemærk, t summe i sig selv er et tl. Hvis vi et øjeblik glemmer det tilsyeldede problem ved t måle med tllee, k dditio illustreres ved edeståede figur, hvor de to lægder lægges smme ved t plceres for ede f hide (e metode vi seere skl bruge i forbidelse med vektorregig). 10

11 E meget væsetlig poite ved dditio er, t de to tl skl være bseret på de smme ehed. F.eks. k m ikke lægge 2 æbler og 3 pærer smme, d tllet 2 er bseret på ehede æble, mes tllet 3 er bseret på ehede pære. Hvis m idveder, t m d hr 5 frugter, er det ikke e pssede idvedig, for de 5 frugter er fremkommet ved e de dditio, emlig 2 frugter lgt smme med 3 frugter. Ide for fysik og kemi k m ikke lægge to tl med forskellige eheder smme. F.eks. k m ikke lægge e krft på 3N (de fysiske størrelse krft k gives i ehede ewto) smme med e lægde på 5m. Og m k heller ikke lægge e lægde på 5m smme med e lægde på 13mm, ide m hr sørget for t omrege de ee lægde, så de hr smme ehed som de de. Når m rbejder med brøker, k m heller ikke lægge dem smme, før de hr fælles æver. Oveståede poite er vigtig, me e midst lige så vigtig poite er, t m fktisk ltid k lægge tl smme, hvis de er bseret på smme ehed. Det fører til følgede dditioer, hvor du skl være opmærksom på, t du slet ikke behøver t forstå de udtryk, der står efter tllee, me blot hele tide bemærke, t det er es udtryk, der står bg begge tl. Du vil få eorm glæde f t idprete dig dee tkegg: 4x 7x 11x x x x 9 log 14 log 23log 2bc 6bc 8bc x y z x y z x y z y y y 11si 5si 16si Vi kue også hve defieret dditio ved t tge udggspukt i mægder: Altertiv defiitio: Ld A og B være disjukte mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. Summe ber tllet f elemeter i foreigsmægde A B. Mægdelære giver os også e forholdsvis simpel defiitio på regeopertioe multipliktio: Defiitio 3: Ld A og B være mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. M multiplicerer og b ved t tælle tllet f elemeter i det krtesiske produkt A B, og det skrives b. I produktet b kldes og b fktorer. 11

12 M kue også defiere multipliktio ved: Altertiv defiitio: M multiplicerer tllee og b ved b gge t ddere med sig selv: b... b ddeder Når dditiosteget + og multipliktiosteget er på plds, opdger m ogle regler, der gælder for disse regeopertioer: Stbilitet: Når m dderer eller multiplicerer to turlige tl, er summe eller produktet også et turligt tl. Kommuttivitet: For dditio: b b For multipliktio: b b Associtivitet: For dditio: b c b c For multipliktio: bc b c Distributivitet: b c b c Smmelig disse regler med sætig 2 fr mægdelære. Ige er de distributive lov de lov, der kombierer de to regeopertioer, mes de ssocitive love fritger os fr t vede preteser i visse situtioer. De kommuttive lov for multipliktio keder du måske som: Fktoreres orde er ligegyldig. Cifre: Der er uedeligt mge turlige tl: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, Me de er bygget op f et begræset tl cifre, emlig de ti cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Cifree vedes også til t skrive decimltl (f.eks. 487,3061), og det er tllet f forskellige cifre, der lægger v til forskellige tlsystemer. Totlssystemet (Det biære tlsystem) rbejder med de to cifre 0 og 1, vores titlssystem rbejder som ævt med ti cifre, mes bl.. bbyloere hvde et 60-tlssystem, dvs. et system med 60 cifre. Vores tidsregig med miutter og sekuder, smt vores vikelmåliger k føres tilbge til et 60-tlssystem. 12

13 De hele tl De æste tlmægde, vi skl se på, er De hele tl. Hermed dropper vi kroologie (de historiske rækkefølge), hvor De rtioelle tl blev udviklet før De hele tl. Til gegæld k det præseteres mere overskueligt og smmehægede. Vi hr set, hvord de turlige tl k opstå ud fr behovet for t kue tælle, smt hvord regeopertioere dditio og multipliktio k vedes, år m rbejder med turlige tl. Problemere med de turlige tl opstår først, år m vil udvide med regeopertioe subtrktio ( mius ). Ld os prøve t se på følgede situtio: E bode hr 7 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 20? Dette giver ledig til følgede ligig (skrevet med utidig ottio): x 7 20 For t løse dee ligig idfører vi e regeopertio subtrktio, der er det modstte f dditio forstået på de måde, t de k ophæve hide: x x Disse to lijer kræver fktisk e msse forklrig, me vi skl seere gøre det mere formelt. Lige u skl du ku fokusere på tkegge: 20 7 er det tl, der lgt til 7 giver 20. Eller geerelt: b er det tl, der dderet med b giver. Bemærk ltså, t regeopertio subtrktio k formuleres ud fr dditio. Dette hr edu ikke ført til problemer, me hvd sker der, hvis m bytter om på 7 og 20? 20 x 7. Dette svrer til e bode, der hr 20 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 7? Dette er et meigsløst spørgsmål. I dette tilfælde skulle bode srere hve stillet spørgsmålet: Hvor mge får skl jeg miste eller give væk, før jeg hr 7?. Dvs. i de meget simple situtio, hvor m tæller, k dditio svre til t få får, mes subtrktio svrer til t miste får. Og herfr er der ikke lgt til t tæke på gæld, for hvis m mister mere, ed m hr, kommer m til t skylde, og så opstår de egtive tl. I de simple tlforståelse hr vi ltså: Oversigt: Regeopertioe dditio svrer til t få. Regeopertioe subtrktio svrer til t miste. Negtive tl svrer til gæld. Bemærk, t der er forskel på egtive tl og regeopertioe subtrktio. Vi skker derfor om et regemius (subtrktio) og et fortegsmius (egtivt tl). Vi skl gøre mere ud f dette, år vi ser mere formelt på tllee. Negtive tl opstår ltså hvis vi vel t mærke ccepterer deres eksistes år vi løser 20 x 7. 13

14 Vi er u æste fremme ved de hele tl. Vi mgler ku tllet 0. Dette tl hr si helt ege historie. I positiostlsystemer (som f.eks. vores 10-tlssystem) hr 0 i begydelse været givet som et mellemrum. Dvs. hvis m skulle skrive 307, skrev m 3 7. Seere fik det sit eget symbol, og edelig i 628 evt. udgv de idiske mtemtiker Brhmgupt værket Brāhmsphuṭsiddhāt, hvor ikke blot 0 idgår med symbol og v, me hvor det også specifikt behdles som et tl, der idgår på lige fod med dre tl i beregiger. Al dee sk hr u ført frem til: Defiitio 4: De hele tl er tlmægde..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,.... Det væsetlige t bemærke er, t år vi rbejder med de hele tl, k vi ude t bekymre os vede regeopertioere dditio, multipliktio og subtrktio. Dvs. vi k være sikre på, t vi, hvis vi tger to hele tl og ete lægger dem smme, gger dem med hide eller trækker dem fr hide, så får vi ige et helt tl. Det er det, vi klder stbilitet. Bemærk også, t de turlige tl ku vr stbile over for dditio og multipliktio, for hvis vi tger to turlige tl (der jo er positive) og trækker det største fr det midste, får vi et egtivt tl, der IKKE er et turligt tl. Vi hr ltså: Opsmlig: Stbilitet ide for de turlige tl: b b Stbilitet ide for de hele tl: b b b 14

15 De rtioelle tl Vi er u ået til brøkere og skl først se på, hvord de fremkommer. Som ævt tidligere opstod de før de egtive tl og 0, og m hr kuet rege med brøker i flere tuside år. Vi så, hvord de egtive tl og regeopertioe subtrktio kue opstå ud fr dditio. Vi skl u se, hvord brøkere og regeopertioe divisio k opstå ud fr multipliktio. Vi går f grude som vil blive tydelige seere over til t kigge på æbler i stedet for får. Vi ser på situtioe: 4 persoer spiser hver 5 æbler. Hvor mge æbler spises i lt? Dvs. t der 4 gge spises 5 æbler, og m får udregige 45 20, dvs. der spises 20 æbler. Regeopertioe divisio opstår, år m ædrer problemstillige lidt: Vi hr 20 æbler, og 4 persoer vil gere spise disse æbler (ligelig fordelig). Hvor mge får de hver? Dette giver ledig til ligige: 4x 20 Vi løser dee ligig ved t idføre regeopertioe divisio, der er det modstte f regeopertioe multipliktio forstået på de måde, t de ophæver hide: 4 x 20 4 x x 5 Ige kræves der egetlig e del mere forklrig, og vi skl også srt gøre det mere formelt, me bemærk det væsetlige: Vi hr multipliceret x med 4 og efterfølgede divideret resulttet med 4, og disse to opertioer hr ophævet hide, så vi ku hr x tilbge. Vi hr dermed fået idført regeopertioe divisio, me mgler stdig brøkere. For selvom vi godt ved og k se det i vores udregig t tllet 5 k skrives som brøke 20, så er det ikke 4 ødvedigt med brøker edu. Brøkere opstår først, hvis de 4 persoer f.eks. ku hr 19 æbler. I så fld fører problemstillige til: 19 x 4 Og de væsetlige poite er: 19 k ikke skrives som et helt tl. Vi hr ltså fået e y slgs tl, 4 som vi klder brøker, og som k fremkomme, år vi idfører regeopertioe divisio. Det skl dog lige tilføjes, t m fktisk godt k udgå brøker, selvom m idfører regeopertioe divisio. Det skl vi se på, år vi i 3.g behdler emet Tlteori. 15

16 Defiitio 5: Ved e divisio f tllet med tllet b fås det tl, der multipliceret med b giver. Divisioe skrives b, hvor kldes dividede eller tællere, b kldes divisore eller ævere og b kldes kvotiete eller brøke. Vi idfører så edu e tlmægde: Defiitio 6: De rtioelle tl er tlmægde beståede f lle de tl, der k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk de meget vigtige detlje, t lle hele tl også k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. F.eks. hr m: 7 ; 7 ; 0 ; 0 ; Derfor vil lle hele tl også være rtioelle tl (me ikke omvedt, hvilket vi så med 19 4 ). For t forstå mægde f rtioelle tl bedre skl vi ltså u besvre spørgsmålet: Hvilke tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver? Vi ved llerede, t lle hele tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Ld os u se på decimltllee (dvs. tl som vi skriver med et komm efterfulgt f decimler). Der fides tre typer f decimltl (også kldet decimlbrøker): 1) Decimltl med et edeligt tl decimler. 2) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der opstår e sekves i decimlere, der getger sig i det uedelige (såkldt periodiske uedelige decimltl). 3) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der ikke opstår et system i decimlere. Edelige decimlbrøker: Edelige decimlbrøker er tl f type 45, , , ,9 Ld os se på, om vi på e eller de måde k skrive disse tl som brøker med hele tl i tæller og æver. 5 6 Vi klder tllet for og multiplicerer det så med et tl bldt 10, 100, 1000, 10000, 10, 10, 6 der er tilstrækkelig stort til, t m får et helt tl. I tilfældet 45, er 10 tilstrækkelig stort: 45, Vi hr ltså fået skrevet tllet 45, som e brøk med hele tl i tæller og æver. Det er ikke e uforkortelig brøk, me det er heller ikke ødvedigt i dee smmehæg. 8 Med tllet 0, er det 10, m multiplicerer med: 16

17 0, Ige er tllet blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Med tllet ,9 er det 10 m multiplicerer med: , Tllet er u blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk, t dee fremggmåde k beyttes på lle edelige decimlbrøker. Det er bre et spørgsmål om t vælge et pssede stort tl t multiplicere med. Det er u vist, t smtlige edelige decimlbrøker k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, dvs. t de tilhører de rtioelle tl. Periodiske uedelige decimlbrøker: Periodiske uedelige decimlbrøker er tl f forme: 5, ,3 12, ,9 27, ,925 89, , , , Bemærk, t der i hvert f tllee er e sekves på mellem 1 og 12 tl, der getger sig i det uedelige, smt hvord m med strege over dee sekves k give tllet kortere. Bemærk også, t sekvese ikke ødvedigvis begyder lige efter kommet. Vi skl u ige geem e række eksempler se på, hvord vi omskriver disse tl til brøker med hele tl i tæller og æver. Vi begyder på smme måde med t multiplicere med et pssede f 5 6 tllee 10, 100, 1000, 10000, 10, 10,, me derefter bliver det lidt derledes, d vi trækker vestresidere fr hide og højresidere fr hide: 5, , , , Det lykkedes os ltså t få skrevet tllet 5,3 som e brøk med hele tl i tæller og æver. Der er dog lige de helt cetrle poite i hele udregige, som du skl være opmærksom på. Hlere på de to tl 53,3 og 5,3 er es, etop fordi de opridelige decimlbrøk er uedelig og de smme sekves (i dette tilfælde tllet 3) getges i det uedelige. Derfor forsvider hle, år de to tl trækkes fr hide. 17

18 Vi ser u på tllet 12,9. Ige multiplicerer vi med 10: 12, ,9 12, ,9 9 Ige hr vi fået skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Me i dette tilfælde er der lige e ekstr meget vigtig detlje. Bemærk, t Og det skl forstås præcis som lighedsteget viser: 12,9og 13 er det smme tl!, dvs. vi hr fktisk vist, t 12,9 13. E de idfldsvikel til t forstå dette muligvis overrskede resultt er, t der ikke er oge forskel (forstået som e fstd på tllije) på de to tl, og derfor er de to tl es. Vi ser u på tllet 27,925. I dette tilfælde multiplicerer vi med Tjek, t du k se poite med, t det etop er tllet 1000, vi beytter: 27, , , , Ige lykkedes det t få skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Som sidste eksempel ser vi på tllet 89, Her foretger vi to multipliktioer. Tjek ige, t du k se poite med begge multipliktioer: , , , , Også her lykkedes det os t skrive tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Og det skulle u være klrt, t de vedte metode k bruges i lle situtioer med periodiske uedelige decimlbrøker, dvs. vi hr u set, t lle disse k skrives som brøker. Ikke-periodiske uedelige decimlbrøker: M kue måske u få de tke, t lle tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, me de ikke-periodiske uedelige decimlbrøker (dvs. decimlbrøker hvor der ldrig fremkommer et system i decimlere) k ikke. Det er ikke oget, vi beviser edu. Det kommer uder emet Tlteori, hvor vi bl.. beviser, t 2 ikke k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Opsmlig: De rtioelle tl uedelige decimlbrøker. består f de hele tl, de edelige decimlbrøker smt de periodiske 18

19 Der er som ævt tl (f.eks. De reelle tl 2 og ), der ikke k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Disse tl kldes irrtioelle tl. Disse tl k ikluderes, hvis vi begyder t tæke på tl som pukter på e tllije. Vi ser ltså på tllije (tlkse): Der er flere vigtige tig t bemærke omkrig tllijer. De er kotiuerte (dvs. smmehægede), hvilket skl forstås på de måde, t tllije der er e uedelig mægde f pukter ikke hr oge huller. Dvs. du k ikke slå ed oget sted mellem to pukter på lije ude t rmme et yt pukt. De irrtioelle tl ligger også på tllije. Repræseteret ved -,, 2 og e ovefor. Eulers tl e støder vi på msser f gge fremover. Det udgør smme med 0,1 og ok de vigtigste tl ide for mtemtik. I Mple fider du det uder Commo Symbols. Tilføj det til die fvoritter med det smme. Tstturets e fugerer IKKE. Også de rtioelle og hele tl ligger som vist på tllije. Defiitio 7: De reelle tl er tlmægde beståede f lle tl på tlkse. Med dee defiitio skulle m tro, t vi hvde fået ikluderet lle tl, me som vi seere skl se, fides der også komplekse tl (tlmægde ), der godt k ligge ude for tlkse. Dem får vi dog ikke brug for u, så vi k smle op ved t se på vores 4 tlmægder smme: 19

20 Itervller: Du kommer i gymsiet til t rbejde e hel del med fuktioer og grfer. I de smmehæg er det vigtigt t bemærke, t vi (æste) ltid rbejder med reelle tl. Dvs. vi rbejder med kotiuerte tlkser. Der er ltså ige huller på tlkse, og mellem to vilkårligt vlgte forskellige tl på tlkse ligger der uedeligt mge dre tl. Uset hvor tæt på hide de to opridelige tl ligger. Dette giver problemer, hvis vi f.eks. øsker t give mægde f pukter, der ligger mellem tllee 1 og 4 (begge tl iklusive), og forsøger t vede vores ottio med tuborgpreteser. For hvis m skriver 1,2,3,4, hr m ku fået 4 tl med, me der ligger jo uedeligt mge tl på tlkse mellem 1 og 4 og ikke ku de 4 give turlige tl. Vi k heller ikke skrive 1,...,4, for det er e helt igeem ugyldig ottio, d de tre prikker giver, t der i de foregåede tl er fremkommet et system, der fortsættes, me ét tl k ikke give et system. Vi hr simpelthe brug for e helt de ottio. Defiitio 8: Et itervl er e smmehægede tlmægde, dvs. et område på tlkse ude huller. Et itervl består f uedeligt mge reelle tl. Nottio: Når vi rbejder med tlkser (dvs. reelle tl) vedes e ottio med firktede preteser,, og til t give itervller. Nottio: Vi veder betegelsere åbe, hlvåbe, lukkede, begræsede og ubegræsede om itervller. Et itervl siges t være vestrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er midre ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være højrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er større ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være begræset, hvis det er både vestrebegræset og højrebegræset. Hvis et itervl hverke er højrebegræset eller vestrebegræset, er det ubegræset. Et itervl siges t være vestreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være højreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er større ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være åbet, hvis det både er vestreåbet og højreåbet. Et itervl siges t være lukket, hvis det hverke er vestreåbet eller højreåbet. M giver, t et itervl er lukket i det ee edepukt, på følgede forskellige måder: Dvs. t tllet ligger i itervllet. Og tllet er etop det tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet, og som dermed betyder, t itervllet ikke er vestreåbet. 20

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

KULTURARVEN det skal der ske. vegne

KULTURARVEN det skal der ske. vegne KULTURARVEN det skl der ske R E M G DO være et kulturrve e. f g i r v skl be g kommu Kommue borgere o e d å b r fo I Roskilde de g ligt æri idetitet o fælles, sy ber lokl k s e d e rdifuld eskytte d rrv

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere