Elevers oplevelse af matematik med GeoGebra under frie undervisningsrammer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elevers oplevelse af matematik med GeoGebra under frie undervisningsrammer"

Transkript

1 Elevers oplevelse af matematik med GeoGebra under frie undervisningsrammer Student s experience of mathematics with GeoGebra in a free learning environment Elisabeth Pugh Rosenkvist Didaktik m.s.h.p. matematik. Matematikdidaktisk speciale med mundtligt forsvar under vejledning af Morten Misfeldt Vinter 2011/12 Maks anslag svarende til 80 normalsider I specialet anslag svarende til 80 normalsider 1

2 Resumé I dette speciale undersøges nogle elevers oplevelse af den matematik, som de har arbejdet med i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Eleverne har arbejdet med computerprogrammet GeoGebra, hvor de har løst nogle opgaver om brøker eller multiplikation, og herefter har de udviklet et brætspil, ved brug af GeoGebra. Der ses også på, hvordan eleverne arbejder med computerprogrammet GeoGebra, og hvordan de oplever at gå eksperimenterende og udforskende til værks frem for at arbejde ud fra en tastevejledning. Derudover undersøges det, hvordan eleverne engagerer og interesserer sig i spilprojektet og matematikundervisningen, der er præget af større frihed for eleverne til at arbejde med matematikken og deres egne ideer, som de har lyst til. Undervisningen er derfor markant anderledes end den almindelige tavle-bogundervisning, som de fleste elever er vant til. Formål. Formålet med specialet er at undersøge, hvilken matematikoplevelse eleverne har i deres arbejde med Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Derudover undersøges elevernes oplevelse af den mere frie undervisningsstruktur. Databehandling. Der er blevet foretaget otte interview med ni grundskoleelever, hvoraf fem var piger og fire var drenge. Disse interview er blevet behandlet ud fra en grounded theory databehandling, hvor udgangspunktet har været så åbent og objektivt som muligt. Dette har ført til en gruppering af koderne og givet 8 temaer, der hedder: Anderledes, følge opgavebeskrivelse, selvstændighed, engagement og interesse, brøker, it og GeoGebra, matematik og samarbejde. Disse temaer er brugt gennem analysen, hvor teorien også er blevet inddraget. På baggrund af analysen, er forskningsspørgsmålene forsøgt besvaret. Teori. I specialet er der brugt tre teoretikere. Til at belyse undervisningssituationen, er Guy Brousseau (1997) blevet inddraget med Teorien om didaktiske situationer. Paperts (1983) konstruktionistiske læringssyn er brugt til at analysere elevernes arbejde ud fra et perspektiv om meningsfuldhed. Dette er taget ud fra hans bog Mindstorm, der er blevet oversat til dansk som Den totale skildpaddetur. Derudover er David Shaffer (2006) blevet inddraget med sit kapitel Escher s World fra bogen How Computer Games Help Children Learn. Shaffer bidrager med betragtning omkring, hvordan computerspil kan inddrage elever i et læringsmiljø, hvor de anvender matematikken som et redskab. Eleverne skal være spildesignere, hvor de bruger matematikken til at udforme og skabe et brætspil. 2

3 Resultater. I specialet konkluderes det, at spilprojektet som en del af matematikundervisningen, kan være med til at give eleverne en bredere opfattelse af matematikken som skolefag. De oplever, at der ikke kun er et rigtigt eller forkert svar, men at matematikken kan bruges på mange forskellige måder. I spiludviklingen oplever de, hvordan matematikken kan bruges som et redskab i et meningsfuldt arbejde. Eleverne er alle motiverede af friere undervisningsrammer og brugen af GeoGebra, men for at have en vis føling og styring med elevernes matematikfaglige udbytte, er det dog vigtigt, at eleverne holdes fast til opgaverne. 3

4 Abstract In this dissertation students experience of the mathematics that they have worked with in Brøkknuseren and Multiplikationsknuseren is examined. The students have been working with the computer software GeoGebra, they have solved exercises about fractions or multiplication and then they have made a board game that is developed using GeoGebra. It has also been examined how students work with GeoGebra and how they feel by the approach of exploratory. Additionally, the students engagement and interest in the game project is studied. The lessons are characterized by a greater freedom for the students to work with mathematics and their own ideas as they wish. Teaching is therefore significant different than the regular board-book teaching most students are accustomed to. Purpose. The aim of the dissertation is to examine the mathematics experience students have in the work with Brøkknuseren and Multiplikationsknuseren. In addition, the students experience of the free structure is studied. Data processing. There have been eight interviews with nine primary school students, five of them girls and four boys. These interviews have been treated from a grounded theory perspective, where the starting point has been so open and objectively as possible. This has led to a grouping of codes and given 8 themes, called: Different, Follow the Task, Own Design / Independence, Engagement and Interest, Fractions, IT and GeoGebra, Mathematics, and Cooperation. These themes are used in the analyses together with theory. Based on the analysis, the research questions are attempted answered. Theory. In the dissertation, three theorists have been included. To illustrate the teaching situation, Guy Brousseau (1997) has been used with The Theory of Didactical Situations. Papert s (1983) constructionist of learning is used to analyze students work from a perspective of meaningfulness. This has been taken from his book Mindstorm, which has been translated to Danish as Den totale skildpaddetur. Furthermore, David Shaffer (2006) has been included with his chapter Escher s World from the book How Computer Games Help Children Learn. Shaffer contributes consideration about how computer games can involve students in a learning environment where they use mathematics as a tool. Students should be game designers and use mathematics to design and create a board game. Results. The dissertation concludes that the game project as part of mathematics teaching can support a broader view of mathematics as school subject. The students 4

5 experience that there is not only one right or wrong answer, but that mathematics can be used as a tool for a meaningful work. The students are all motivated by a free learning environment and the use of geogebra. However, in order to have a certain control with the students mathematical achievement, it is important that students are held firmly to the tasks. 5

6 Forord Dette speciale er udarbejdet på didaktik m.s.h.p. matematik ved Danmarks Pædagogiske Universitetsskole, Aarhus universitet, vinter 2011/12. I forbindelse med udarbejdelse af specialet har jeg fået hjælp fra flere personer, og jeg skylder dem derfor en stor tak. Først og fremmest vil jeg give en stor tak til min vejleder, Morten Misfeldt, der har lagt mange vejledertimer og et stort engagement i mit speciale. Derudover vil jeg også takke de lærere, der har været med i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren, for at jeg måtte indsamle empiri til mit speciale, ved at interviewe deres elever. 6

7 Indhold 1. Indledning Motivation Forskningsspørgsmålene State of the art Sammenkædning Teori Konstruktivisme Konstruktionisme Teorien om didaktiske situationer Det didaktiske dobbeltspil Dannelse af viden Didaktiske og adidaktiske situationer Den didaktiske kontrakt Papert Styre computeren Eleverne konstruerer selv Magtfulde ideer og meningsfuldhed Ikke noget rigtigt eller forkert Meningsfuld matematik Mikroverden Epistemisk spil og epistemisk ramme Færdigheder Identitet Værdier Viden Epistemologi Forskningsspørgsmål version

8 4. Metode Projektet kort Min metodologi Min metode Min analyse Analyse Præsentation af data Præsentation af eleverne Temaerne Anderledes Følge opgavebeskrivelse Selvstændighed Engagement og interesse Brøker It og GeoGebra Matematik Samarbejde Forskelle mellem interaktionerne Aksialkodning Svar på Forskningsspørgsmål Elevernes brug af begreberne Brøkknuseren (5. klasseelever) Multiplikationsknuseren (3. klasseelver) GeoGebra Relation til matematik Konstruktion af noget meningsfuldt Epistemisk ramme Anderledes undervisning Personlig tilknytning Den didaktiske er kontrakt anderledes

9 6.3.3 Krav fra undervisningen Diskussion Teorierne Lærer-elev-interaktion Motivation Undervisningsrammer Konstruktivisme Samarbejde Konklusion Perspektivering Litteraturliste Bilag 1: Interview Hans Henrik Bilag 2: Interview Rasmus Bilag 3: Interview Julie og Emma Bilag 4: Interview Natasja Bilag 5: Interview Emil (3.a) Bilag 6: Interview Puk (3.a) Bilag 7: Interview Mads (3.c) Bilag 8: Interview Frederikke (3.a) Bilag 9: Interviewguide Bilag 10: Beskrivelse af GeoGebra Bilag 11: Beskrivelse af Brøkknuseren Bilag 12: Beskrivelse af Multiplikationsknuseren Bilag 13: Klasserumsobservationer

10 1. Indledning Mange elever oplever matematik som et fag, hvor der findes én løsning, og hvor det gælder om at finde det rigtige svar. Dette er ikke kun en opfattelse mange elever har, men også et flertal i samfundet tænker matematik som et firkantet fag med bestemte regler, der skal følges. Kan man følge matematikkens regler, har man fundet nøglen til succes, men kan man ikke aflæse og forstå matematikreglerne, kan man ikke blive god til matematik. Dette kan være en problematisk holdning, fordi det muligvis tidligt ekskluderer nogle elever fra matematikken, fordi de ikke allerede har fundet nøglen til matematikreglerne. Der er heldigvis andre måder at se på matematikken på. F.eks. har Lena Lindenskov og Peter Weng udviklet et begreb, de kalder for et regnehul (Lindenskov & Weng 2004). Det handler om, at matematikken er et stort landskab, hvor man ikke nødvendigvis kan begå sig alle steder og derfor kan have nogle huller. Hvis eleven falder i et sådan hul, er det lærerens ansvar at få eleven op og arbejde et andet sted i matematiklandskabet. På den måde skulle eleven gerne få en bredere opfattelse af matematikken og opleve det som et fag, der handler om andet end at finde nøglen til det rigtige svar. En anden måde at give eleverne en anderledes oplevelse af matematikfaget kan være ved at integrere teknologien mere i undervisningen. Der findes i dag mange forskellige computerprogrammer, internetsider og matematikspil, der kan anvendes i matematikundervisningen. Flere af disse matematikspil kan dog ikke ændre på den konservative matematikopfattelse, da spillene netop går ud på at bruge den rigtige nøgle til at komme med det rigtige svar. Hvis eleverne derimod selv skal fremstille et spil, der handler om matematikken, bliver matematikken pludselig brugt på en helt ny måde. Matematikken bliver brugt i en kreativ sammenhæng, hvor eleven kan opfatte sig selv som spildesigner. Her skal eleverne ikke finde det rigtige resultat, men anvende matematikken til at konstruere noget sjovt og kreativt. Derved bidrager matematikken med at opnå et mål, som f.eks. kan være at konstruere nogle ensvinklede trekanter, der skal bruges som en del af en spilleplade. Mange elever oplever også, at matematikken ikke er meningsfuld, fordi de ikke kan se, hvad den skal bruges til. Når eleverne bruger matematikken til at udvikle f.eks. et spil, kan matematikken bruges som et redskab og kan derfor blive mere meningsfuld for nogle elever. 10

11 1.2 Motivation Morten Misfeldt kører et forskningsprojekt, der hedder Kreativ digital matematik (Andresen & Misfeldt, 2011). Projektet går ud på, at skoleelever skal udtænke og producere deres eget brætspil ved hjælp af matematikprogrammet GeoGebra 1. Udover at lave et spil, skal eleverne også arbejde med nogle matematikopgaver, hvor de skal bruge GeoGebra til at løse dem. Det er muligt at løse opgaverne på forskellige måder, så der ikke kun er ét rigtigt svar. Eleverne gives hermed mulighed for at få en mere mangfoldig oplevelse af matematikken. Jeg har derfor brugt Misfeldts forskningsprojekt til at indsamle mine data fra de to interventioner: Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. 1.3 Forskningsspørgsmålene Forskningsspørgsmålene til dette speciale er opstået ud fra de formål, der lå bag Brøkknuseren og på baggrund af en dialog med Misfeldt. Mine forskningsspørgsmål er blevet til: 1. Hvordan arbejder eleverne med GeoGebra og hhv. brøker og multiplikation? 2. Hvordan oplever eleverne en relation til matematikken? 3. Hvordan er undervisningsformen kvalitativt anderledes end den almindelige matematikundervisning? Det første forskningsspørgsmål er stillet på baggrund af formålene med Brøkknuseren. Et af formålene med Brøkknuseren var, at eleverne skulle få et kendskab til GeoGebra og blive i stand til at bruge det til at udvikle et brætspil. Derudover var der en intention om, at eleverne skulle lære om brøkregning eller multiplikation i hhv. Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren (Link A). Dette er forsøgt opnået, ved at eleverne fik stillet nogle opgaver om brøker eller arealberegning af firkanter, som de skulle løse i GeoGebra. Eleverne har derfor arbejdet eksplicit med brøker eller multiplikation. Som følge deraf var der en forventning om, at det var noget, de ville fortælle om i interviewene. Derudover har eleverne arbejdet med GeoGebra på en sådan måde, at de burde udtrykke en vis fortrolighed med programmet. Det er derfor interessant at finde ud af, hvordan eleverne har oplevet deres arbejde med GeoGebra og brøker eller multiplikation. Det andet spørgsmål går på elevernes relation til matematikken i deres arbejde. Det er interessant at undersøge, om eleverne selv havde en oplevelse af, at de 1 En kort beskrivelse af GeoGebra findes i bilag 10 11

12 beskæftigede sig med matematik i deres spiludvikling, og i så fald, hvordan de oplevede den matematik, de brugte til at udvikle spillet og den matematik, de muligvis havde med i deres spil. Det kunne tænkes, at eleverne følte, de blot havde beskæftiget sig med it eller bare haft det sjovt med computeren. Misfeldt havde en vis tvivl om, hvorvidt eleverne faktisk oplevede, at de havde arbejdet med matematik i selve udviklingen af deres spil. Det sidste forskningsspørgsmål er interessant, da eleverne har arbejdet på en markant anderledes måde, end den normale undervisning foregår på. Brugen af computeren i undervisningen samt lærerens rolle har været særlig forskellig fra den almindelige matematikundervisning. Elevernes arbejde med GeoGebra har været præget af en eksperimenterende og undersøgende tilgang, og eleverne følte muligvis, at undervisningen var mindre lærerstyret, da de havde mulighed for at udtrykke og udfolde deres egen ideer og ønsker. 12

13 2. State of the art I dette kapitel beskrives, hvordan jeg har berørt den forskning, der eksisterer på området. Først gennemgås hvordan der er søgt efter artikler, og efterfølgende sammenkæder jeg artiklerne ud fra deres resuméer. For at stifte bekendtskab med, hvad der eksisterer af videnskabelig litteratur på området, har jeg foretaget en søgning i databasen ERIC, gennemgået tidsskriftet MONA fra samt de to store internationale tidsskrifter Journal for Research in Mathematics Education og Educational Studies in Mathemathics fra I min første søgning i ERIC, søgte jeg på fire nøgleord, hvor jeg brugte trunkering for at få mest muligt med. Derefter foretog jeg samme søgninger dog med en begrænsning i uddannelsesniveau til elementary education. I tabellen nedenfor ses antallet af hits, jeg fik frem på de forskellige søgeord. Søgeord Antal hits Antal hits med begrænsning GeoGebra 15 0 Mathematic* creativity Dynamic* geometry Epistemic game* 21 1 Da søgningen med begrænsning på GeoGebra og epistemic game* kun gav 0 og 1 resultat, valgte jeg at se på alle 15 og 21 hits, der omhandlede Geogebra og epistemic game*. Søgningen samt gennemgangen af de nævnte tidsskrifter førte i alt til 31 interessante artikeltitler, hvor jeg udtog abstrakt til nærmere gennemsyn. Da jeg gennemgik alle resultaterne, frasorterede jeg bl.a. artikler, der omhandlede problemløsning, beviser, læreruddannelse i GeoGebra og GeoGebra knyttet til bestemte områder i matematikken. Efter gennemlæsning af abstrakterne, fandt jeg 11 artikler interessante i forhold til mit speciale. Disse 11 artikler har jeg kort beskrevet nedenfor ud fra deres abstrakter og derefter sammenfattet de emner, artiklerne omhandler. Aydin & Monaghan (2011) forsøger at øge elevernes læring af den matematik, der findes i verden omkring os. I artiklen undersøges én måde at åbne op for elevernes færdigheder til at se matematikken i hverdagen. Der udforskes potentialer, der kan få eleverne til at se matematikken i den virkelige verden ved at bruge GeoGebra. 13

14 Battista (2002) præsenterer eksempler, der illustrerer, hvordan dynamisk software kan forbedre elevernes geometriske forståelse og ræsonnement. Elevernes forståelse af todimensionelle former undersøges i forhold til, om den kan forbedres ved brug af interaktiv geometrisoftware. Bielaczuc & Kapur (2010) argumenterer for, at uddannelse i dag efterspørger, at elever bliver engageret i kreativt arbejde. Tidligere var der forventninger om, at eleverne besad en vis mængde viden, men dette er ikke længere tilstrækkeligt. I dag skal den viden følge med kreativitet. Dette skift er ikke bare teknologisk eller pædagogisk, men epistemologisk. I artiklen ser forfatterne på kreativ arbejde gennem det teoretiske perspektiv; epistemisk spil. Bolden et. al. (2010) mener, at kreativitet oftere er associeret til kunst end til matematik. Flere lærere har en snæver opfattelse af kreativitet i forhold til undervisningen, og mange kæder det sammen med ressourcer og teknologi (frem for tænkning). På den måde bliver kreativitet i undervisningen forbundet med undervisningsmetoden snare end undervisningsindholdet, så det handler om at undervise på en kreativ måde frem for at undervise i kreativitet. Drijvers et. al. (2010) beskriver, hvordan den teknologiske tilgængelighed i bl.a. matematikken udfordrer lærerens måde at styre elevernes læring. Det undersøges, hvilken styringsform læreren udvikler ved brug af teknologi i undervisningen. Denne styringsform viser sig, at være tæt knyttet til lærernes forudgående opfattelse af brugen af teknologi i undervisningen. Edwards (1991) observerer nogle elever, der bruger en computer-mikroverden til at udforske transformationsgeometri. Artiklen viser, at eleverne var i stand til at bruge den visuelle feedback, de fik fra mikroverdnen samt at bruge diskussioner med deres partnere til at rette deres egne fejl og støtte deres læring. Jones (2004) beskæftiger sig med integrering af digitale teknologier i australske skoler. Inden for de forskellige fagområder skulle brugen af digitale teknologier på en eller anden måde medtages, men Jones (2004) skriver, at effekten af dette har været meget tvivlsom og diskutabel. Artiklen reporterer om en undersøgelse af elevers kreativitet gennem computerbaserede aktiviteter. Li (2010) argumenterer for, at teknologien udfordrer os til at overveje nye aspekter af undervisningen og læring. I artiklen undersøges elevers læringsoplevelser ved udviklingen af digitale spil. I forbindelse med elevernes arbejde med spiludviklingen, udviser de karaktertræk som kreativitet, engagement og ny identitet. Derudover viser eleverne en øget forståelse af selve faget samt en øget problemløsningsevne. 14

15 McLester (2005) nævner, at forskning, der understøtter brugen af spil som undervisningsværktøj, er stigende. I artiklen fokuseres på epistemiske spil, hvor eleverne fordyber sig i en virtuel verden med samfundsmæssige og kulturelle aspekter, som eleverne skal tilpasse sig. Morrison, D. & Collins, A. (1995) introducerer epistemisk spilteori som en ramme for tænkningen omkring design af et konstruktivstisk læringsmiljø. Der diskuteres epistemisk kompleksitet, epistemisk spilteori, udviklingen af epistemisk udtryksevne og teknologiens rolle i udviklingen af epistemisk udtryksmulighed. Nash & Shaffer (2011) beskriver, hvad epistemiske spil handler om. De skriver, at spillerne skal agere ud fra en professionels måde at se og løse problemstillinger på. De ser på spillernes interaktion med deres mentorer i et epistemisk spil, og resultaterne viser, at spillerne formår at imitere og internalisere den professionelle måde at tænke på. 2.1 Sammenkædning Bielaczuc & Kapur (2010) argumenterer for, at samfundet efterspørger kreativt tænkende personer, hvilket er grunden til, at kreativiteten strækker sig ind i uddannelsessystemet. Der er dog forskel på at undervise på en kreativ måde og på at undervise med et formål om, at eleverne skal udvikle deres kreative evner og tænkning, hvilket Bolden et. al. (2010) påpeger. De nævner også, at det kan være en stor udfordring for læreren at undervise specifikt i kreativitet. Dette kan muligvis skyldes, at kreativitet i undervisningen ofte kædes sammen med de ressourcer, man har til rådighed herunder den digitale teknologi. Det bliver derfor forstået som at skulle undervise på en kreativ måde frem for at undervise i kreativitet (ibid.). Jones (2004) fortæller, at man på nogle skoler har arbejdet med elevernes kreativitet gennem computerbaserede aktiviteter, da man mener, at computeren netop kan støtte denne udvikling, så der undervises i kreativitet. Teknologien påvirker læringen og undervisningsindholdet, men Drijvers et. al. (2010) argumenterer for, at også lærernes måde at styre undervisningen på udfordres af teknologien. Li (2010) argumenterer for, at teknologien også udfordrer eller giver os anledning til at overveje undervisningen og læringen i et nyt perspektiv. Edwards (1991) beskriver, hvordan computeren giver eleverne mulighed for at få en feedback på deres arbejde, som de kan bruge til at rette deres egne fejl. Dette kan f.eks. gøres ved hjælp af computermikroverdener. Battista (2002) argumenterer også for, at computeren kan være en støtte i undervisningen og mener, at dynamisk geometrisoftware kan forbedre elevernes geometriske forståelse. Andre snakker om, 15

16 hvordan spil kan indgå i undervisningen (Li 2010; McLester 2005; Morrison & Collins 1995; Nash & Shaffer 2011). Nash & Shaffer (2011) foreslår en slags spil, de kalder epistemisk spil, hvor en professionel praksis simuleres, og eleverne bliver spillere i dette virtuelle univers. McLester (2005) skriver, at eleverne skal tilpasse sig og arbejde med de samfundsmæssige og kulturelle aspekter, de bliver stillet overfor i denne virtuelle verden. Epistemiske spil kan bruges i undervisningen, hvor eleverne arbejder med og skal tage stilling til samfundsmæssige problemstillinger. Dette gør de ved at indleve sig i det professionelle miljø og tage stilling til forskellige problemstillinger. Dette kan f.eks. være som en designer. Nash & Shaffer (2011) påpeger, at det er muligt for eleverne at fordybe sig og imitere denne professionelle måde at tænke og resonere på. Li (2010) foreslår, at eleverne selv skal udvikle et spil. I denne forbindelse, er det interessant at se på de læringsoplevelser, som eleverne får gennem udviklingen af digitale spil. I følge Li oplever størstedelen af eleverne positive følelser som begejstring, glæde, intelligent eller stolthed over deres spil. I den forbindelse er kreativitet også et ord, der går igen i forhold til spiludviklingen. Denne spiludvikling giver ikke kun eleverne erfaring med spildesignet og processen i det, men eleverne lærer også andet fagligt. Li argumenterer derfor for, at teknologien kan rykke eleverne fra at være passive konsumere til at blive kreative skabere. 16

17 3. Teori I det følgende kapitel vil jeg beskrive de teorier, som jeg senere bruger til at analysere og diskutere mine data. Alle tre teorier bygger på en grundlæggende tanke om, at eleven selv skal være aktiv i dannelsen af ny viden. Der er dog forskel på, i hvor høj grad teorierne ser lærerens indflydelse som påvirkning af elevernes læringsproces. Hvor Brousseau (1997) anser læringen som en vekselvirkning mellem lærerens indblanding og elevens selvstændige arbejde, argumenterer Papert (1983) og Shaffer (2006) for, at elevens læringsproces er afhængig af muligheden for selv at konstruere noget meningsfuldt. Da alle tre teorier bygger på en form for konstruktivisme, har jeg et kort indledende afsnit med det. Den første teoretiker, jeg bruger, er Guy Brousseau (1997) med teorien om didaktiske situationer kombineret med Carl Winsløws (2006) fortolkning og version heraf fra. Teorien handler om, hvordan viden skal personliggøres og fællesgøres for at være brugbar viden. For at gøre dette arbejder læreren og eleven i en vekselvirkning mellem didaktiske og adidaktiske situationer, som Brousseau kalder det didaktiske spil. Derudover beskrives lærerens og elevens rolle i den didaktiske kontrakt, som begge parter er forpligtet overfor. Til analysen vil jeg i særdeleshed bruge hans begreber omkring det didaktiske spil og elevernes mulighed for at personliggøre viden. Dernæst bruger jeg Seymour Papert med bogen Mindstorms (1980), der i 1983 blev oversat til dansk med titlen Den totale skildpaddetur. Den handler om, hvordan computeren ikke bare skal fungere som et undervisningsværktøj, men kan være med til at ændre den måde, eleverne tænker og lærer på. Computeren giver eleverne mulighed for at skabe mikroverdener, hvor de kan udfolde sig i matematikken på en meningsfuld måde. Det bliver muligt for eleverne at konstruere noget konkret, som de kan snakke om, og på den måde bliver det lettere at personliggøre og konkretisere det formelle, som eleverne ellers kan have svært ved. I tiden op gennem 80 erne modtager Paperts arbejde rigtig meget interesse, og der skabes en stor it-bølge, hvor hans arbejde bliver en form for mainstream. Problemet med hans ideer og arbejde er, at det ikke fungerer for de almindelige skolelærere, som har problemer med at bevare den matematikfaglige relation i arbejdet. De formår ikke at skabe den læring, som Papert gør, og man tager derfor afstand til hans arbejde og bliver mere curriculumorienteret. Siden 90 erne har Paperts arbejde ikke haft nogen synderlig interesse inden for matematikdidaktikken. Jeg vælger alligevel at bruge 17

18 hans arbejde, da jeg mener, han giver et rigtig godt bud på, hvordan computeren kan integreres og bruges i matematikundervisningen. Problemet med at eleverne mister matematikrelationen i deres arbejde, mener jeg, minimeres ved at de arbejder med det meget skolematematikprægede program GeoGebra. I analysen vil jeg hovedsageligt bruge de tanker omkring, hvordan eleverne selv kan være aktive i konstruktionen af deres viden. Den sidste teoretiker er David Shaffer (2006). Her bruger jeg kapitlet Escher s World fra How Computer Games Help Children Learn. Shaffer fremlægger en idé til, hvordan computeren kan bruges til at stille eleverne over for relevante og virkelige problemstillinger. Gennem simulerede computerspil, skal eleverne indgå i et rollespil som professionel og varetage dennes arbejde. I arbejdet som designer, bruger eleverne geometrien på en måde, så matematikken bliver et meningsfuldt værktøj. Shaffer fokuserer meget på, at eleverne arbejder som de professionelle og derved lærer at tænke innovativt og kreativt, hvilket jeg dog har valgt ikke at fokusere så meget på. Jeg har derimod valgt at lægge vægt på hans beskrivelse af undervisningsmiljøet, den meningsfulde matematik, og hvordan computeren bruges i denne sammenhæng. I analysen vil jeg hovedsageligt bruge hans tanker og ideer om det friere og mere ustrukturerede undervisningsmiljø samt, hvordan matematikken bliver brugbar og meningsfuld for eleverne som redskab. 3.1 Konstruktivisme Den konstruktivistiske læringsteori er udsprunget fra Jean Piagets arbejde og indeholder derfor flere af hans begreber. To af disse begreber er assimilation og akkommodation. Assimilation sker, når ny viden passer ind i allerede eksisterende skemaer, og der ikke er noget der rykker på ens verdensbillede. Glasersfeld beskriver assimilation som treating new material as an instance of something known (Glasersfeld 1995, 62). De nye indtryk behandler man altså som noget, der passer ind i tidligere konstruerede skemaer. Ved akkommodation sker der ikke en genkendelse, og der kræves derfor en ændring i skemaet eller et helt nyt mentalt skema. Ifølge den radikale konstruktivisme er disse mentale skemaer en måde, hvorpå vi strukturerer vores viden. Grundtanken i konstruktivismen er, at man selv aktivt danner og konstruerer viden i sit eget hoved. Piaget explains that, in his view, knowledge arises from the active subject s activity, either physical or mantal, and that it is goaldirected activity that gives knowledge its organization (Glasersfeld 1995, 56). 18

19 Viden er ikke et billede eller en kopi af virkeligheden, men konstrueret ud fra ens egen erfaringsverden. Viden er derfor ikke noget, der kan modtages passiv eller overføres fra en person til en anden, men opstår under aktivitet. Man skal derfor selv aktivt konstruere sin viden ud fra de aktiviteter, man deltager i. På den måde skaber man også sit eget verdensbillede, og ifølge den radikale konstruktivisme kan man ikke være sikker på, om man deler samme forståelse eller opfattelse med andre. Man kan have en antaget-fælles-forståelse, hvor der ikke umiddelbart er opstået nogle misforståelser, der giver anledning til at tro andet. 3.2 Konstruktionisme En variation af den konstruktivistiske læringsteori udspringer fra Paperts arbejde og kaldes konstruktionismen. Denne læringsform består af to former for konstruktion. Den første er den konstruktivistiske grundtanke; læring er en aktiv proces, hvor man aktivt konstruerer viden ud fra ens erfaringer og oplevelser af verden. Denne viden konstrueres ekstra effektivt, hvis man er engageret i at konstruere et produkt, der er personligt meningsfuldt, hvilket er den anden del. Det er som udgangspunkt underordnet, hvad man konstruerer, så længe det er meningsfuldt for en, og der kan dannes nogle vigtige kulturelle relationer. Hands-on aktiviteter er derfor nødvendige, men ikke tilstrækkelige. Man kan godt forestille sig hands-on aktiviteter, hvor eleverne blot skal følge en liste af instruktioner og derfor ikke nødvendigvis er personligt interesserede. Et eksempel herpå, mener jeg f.eks., kunne være en meget instrueret gennemgang af GeoGebra og dets muligheder. Den dybere pointe ligger i, at eleverne med større sandsynlighed bliver intellektuelt engageret, når produktet, de konstruerer, er meningsfuldt. When students design and construct products that are meaningful to themselves (or to others around them), they tend to approach their work with a sense of caring and interest that is missing in most school activities. In doing so, students are more likely to explore, and to make deep connections with, the mathematical and scientific concepts that underlie the activities (Resnick 1997, 28). For at disse konstruktionistiske læringsaktiviteter kommer til sin fulde effekt, skal eleverne have frihed til at forfølge deres egne ideer og fantasier. De skal opfordres til at finde deres egne projekter, hvor de også kan komme i kontakt med kulturelle aspekter. Paperts konstruktionisme er blevet kritiseret af disessa og Cobb (2004) for ikke at være en teori. 19

20 However, such frameworks themselves typically fail to serve the role of theory in the sense that we believe to be most important for one central reason: They do not cleanly separate their scientific claims and validation from their suggested actions (disessa & Cobb 2004, 82). Ideen og tankerne omkring konstruktionismen er dog stadig interessant og learning by designing (disessa & Cobb, 2004), ser de også som en magtfuld og brugbar ramme for undervisning. 3.3 Teorien om didaktiske situationer Brousseau (1997) har udviklet teorien om didaktiske situationer (TDS), der bygger på et konstruktivistisk grundsyn, hvor eleven selv skal producere sin viden: learning is a modification of a student s knowing which she must produce herself and which the teacher must only instigate (Brousseau 1997, 227). Winsløw (2006) betegner TDS dels som et værktøj, der kan bruges til at designe undervisningssituationer og undervisningsforløb, og dels som en samling af modeller, der kan bruges til at analysere undervisningen og dens resultater. TDS kan derfor både bruges fremadrettet og til at se bagud på undervisningen Det didaktiske dobbeltspil I TDS arbejdes der med to forskellige former for viden. Der er den personlige viden (connaissance) og den officielle eller fælles viden (savoir). Den personlige viden er knyttet til konkrete situationer og handler om individets forestillinger og ideer om et genstandsområde. Denne viden kommer derved fra individets egne oplevelser og erfaringer. Den officielle viden er fælles og giver mulighed for, at andre kan forstå, anerkende og bruge denne viden. Denne viden udspringer dels fra en personlig viden, men er gjort eksplicit og findes bl.a. i videnskabelige artikler, lærebøger osv. I tilegnelsen af ny viden, er begge former for viden essentiel, og der er derved to modsatrettede processer: en personliggørelse af den officielle viden og en fællesgørelse af den personlige viden. Når læreren frembringer den officielle viden for en elev, er eleven nødt til at forholde sig personligt til den viden for at personliggøre den. I undervisnings-sammenhæng kaldes det et didaktisk miljø, hvor underviseren tilrettelægger omgivelserne og strukturen, så eleven har mulighed for at tilegne sig den tilsigtede viden. Denne dobbelte proces, med personliggørelse og fællesgørelse, kalder Brousseau for det didaktiske dobbeltspil. Læreren har ansvar for at arrangere 20

21 miljøet og muligvis genarrangere det, så vinderstrategierne er mulige for eleven, og læreren kan derfor være nødt til at gå ind og ud af det didaktiske miljø. Som Figur 1 viser, arbejder eleven med det didaktiske miljø under løbende påvirkning fra læreren, der arrangerer og muligvis genarrangerer miljøet. Lærer Elever Miljø Figur 1: Elevinteraktion med miljø og lærer Brousseau (1997) bemærker, at det kan virke mere simpelt og lige til for læreren bare at fremlægge den officielle viden for eleverne, men på den måde springes delen over, hvor eleven kan etablere sin personlige viden. There is a strong temptation for the teacher to short-circuit these two phases and to teach knowledge directly as if it were a cultural fact, thus saving the cost of this double manoeuvre. The knowledge is presented and students make it their own as best they can (Brousseau 1997, 227). Dette kan være problematisk, da det derved ikke ligger i elevens viden, men i den begrænsede hukommelse og derfor lettere glemmes igen. Det er derfor vigtigt, at læreren i så vidt muligt omfang både sørger for at give eleven mulighed for at personliggøre og derefter hjælper med at fællesgøre den viden Dannelse af viden Når viden skal produceres og omsættes, er der tre forskellige aktører: forskeren, læreren og eleven. Når forskeren producerer viden, sker dette som en personlig udbygning på den eksisterende officielle viden. Denne udvidelse er baseret på forskerens personlige viden, og forskeren skal vurdere, hvor meget og hvilken del af denne nye viden, der kan være interessant for andre. Dette skal herefter bringes på en eksplicit, officiel form, der derved bliver fællesgjort. Elevens tilegnelse af viden minder om forskerens produktion af viden, hvor der tænkes over spørgsmål, opgaver afprøves og svar formuleres. Lærerens opgave er modsat forskerens og elevens, da læreren skal 21

22 muliggøre videntilegnelsen for eleven. Læreren har til opgave at re-personliggøre den officielle viden og derefter re-fællesgøre den personlige viden, som eleverne har opnået. Brousseau (1997, 23) understreger vigtigheden i, at eleven får mulighed for at personliggøre viden: It must become the student s knowledge, that is to say, a fairly natural response to relatively particular conditions, conditions that are essential if she is to make sense of this knowledge. Læreren skal skabe et slags simuleret videnskabeligt mikrosamfund, hvor den officielle viden omsættes til et didaktisk miljø, som eleven kan lære ved. Winsløw (2006, 137) beskriver det på denne måde: Man kan således [ ] anskue undervisningssituationen som en kombination af to spil: elevernes arbejde med det af læreren arrangerede didaktiske miljø, som har til formål at personliggøre (evt. en konkret del af) den officielle viden, og lærerens spil med dette arbejde: iværksættelsen af det og fællesgørelsen af dets resultater Forskerens og elevens arbejde kan siges at minde meget om hinanden, hvor lærerens tilstedeværelse i det didaktiske miljø udgør forskellen Didaktiske og adidaktiske situationer Det didaktiske spil indeholder en række situationer, hvor læreren er mere eller mindre indblandet. De forskellige situationer, hvor læreren griber ind kaldes didaktiske situationer, og en adidaktisk situation opstår følgelig, når eleven arbejder alene. Til de adidaktiske situationer stiller læreren en opgave, som eleven selv skal løse. Eleven må have tillid til, at læreren stiller en opgave i passende sværhedsgrad, og at opgaven derfor kan løses på egen hånd. Not only can she [the student] do it, but she must do it because she will have truly acquired this knowledge only when she is able to put it to use by herself in situations which she will come across outside any teaching context and in the absence of any intentional direction (Brousseau 1997, 30). Vekselvirkningen mellem de didaktiske og adidaktiske situationer bliver til det didaktiske spil. Det er i de adidaktiske situationer, at eleven har bedst mulighed for at personliggøre den viden, der arbejdes med, mens de didaktiske situationer retter sig mod tilegnelsen af den fællesgjorte viden. Brousseau (1997) pointerer, at det er vigtigt, at læreren er opmærksom på, at den viden, eleven har etableret gennem adidaktiske 22

23 situationer, igen skal fællesgøres til officiel viden. Læreren har således til opgave både at bringe den officielle viden til adidaktiske situationer og derefter at omdanne den opnåede information tilbage til den officielle viden Den didaktiske kontrakt Det didaktiske spil indeholder nogle spilleregler, der skal overholdes, for at eleven og læreren kan vinde, hvilket sker ved at eleven lærer det ønskede. Spillereglerne er en slags uformel kontrakt mellem lærer og elev, der består af gensidige forpligtelser. På den ene side skal eleverne acceptere det didaktiske miljø og den kontrakt, der ligger, for at det didaktiske spil kan fungere. Eleverne skal engagere sig og deltage i de problemstillinger, læreren fremlægger. På den anden side har læreren et ansvar for elevernes succes. Det vil sige, at læreren er forpligtet til at designe de adidaktiske situationer, så eleverne kan lære det tilsigtede. Derved er både eleven og læreren ansvarlige over for den didaktiske kontrakt. Brousseau (1997) beskriver flere paradokser ved den didaktiske kontrakt. Et af dem går på, at når læreren stiller eleven spørgsmål til en problemstilling, er det ikke for at få et svar, da læreren allerede kender svaret og løsningen til problemstillingen, men for at eleven selv finder svaret. Eleven skal derved finde svar på spørgsmålet velvidende, at læreren godt kender svaret. Læreren skal forsøge at hjælpe eleven til selv at komme frem til svaret og må derfor ikke fortælle præcis, hvad eleven skal gøre, da det vil ødelægge elevens mulighed for selv at finde løsningen. Ved at gøre spørgsmålet lettere og lettere, øges risikoen for, at meningen med det oprindelige spørgsmål forsvinder. Læreren står derved i en kompleks situation, hvor elevens arbejde i den adidaktiske situation skal støttes, uden at læreren tager styringen og gør det til en didaktisk situation. Lærerens ønske om at eleven kommer frem til det rigtige resultat, må ikke være så styret, så læreren giver eleven hele svaret. Et andet og vigtigt paradoks er bruddet på den didaktiske kontrakt. Begge parter er som sagt forpligtet over for den didaktiske kontrakt, men samtidig er det altafgørende at den selv samme kontrakt brydes, for at den kan blive opfyldt. Hvis læringen ikke sker, har både eleven og læreren fejlet og derved ikke opfyldt deres del af kontrakten. På den anden side nævner Brousseau (1997, 32) også: And if the contract rests only of the rules of the teacher s or the student s behaviour, scrupulously respecting it will condemn the didactical relationship to failure. 23

24 Når eleven arbejder i en adidaktisk situation, må ønsket om at opfylde kontrakten ikke være dominerende, og den didaktiske kontrakt skal derfor kun ligge i baggrunden. Winsløw (2006, 146) skriver: Hvis den [kontrakten] ikke forsvinder, kan den ikke opfyldes. I den adidaktiske situation skal kontrakten i det mindste træde i baggrunden for eleverne, dvs. deres virksomhed må ikke være domineret af et ønske om at opfylde den. I en vis forstand er en sådan fortrængning af kontrakten altså også en betingelse for læring. Det er derfor en nødvendighed for elevens læring, og derved for at det didaktiske spil kan vindes, at eleven ikke forsøger at opfylde kontrakten, men arbejder med faget for egen vindings skyld. 3.4 Papert Papert skriver sin bog Mindstorm i en tid, hvor computere og andet teknologi endnuikke er en udbredt selvfølge i skolen. Han ser computeren som et hjælpemiddel i lære-processen, der ikke blot støtter selve læringsprocessen, men også kan være med til at præge andre former for indlæring. For ham er computeren en oplagt mulighed til at reformere skolematematikken og undervisningen. Papert har en vision om, at en ny tilgang til undervisningen, kunne være præget af elevernes deltagelse og aktivitet, frem for den traditionelle curriculumtænkning. Denne vision udspringer fra den konstruktivistiske tanke, at eleverne selv aktivt opbygger deres egne intellektuelle strukturer. Det er eleverne, der skal gå på opdagelse og udforske de mikroverdener, de bliver stillet overfor. Papert påpeger, at børn har indsamlet en enorm stor mænge viden inden de overhovedet begynder i skolen. Dette er sket, ved det han kalder Piaget-indlæring eller indlæring uden undervisning. Det bunder i, at børn har en medfødt evne til at lære, da de er nysgerrige og eksperimenterende. Papert opstiller et normativt tankesæt, der går på, at børn opbygger mentale konstruktioner ved at bygge virkelige konstruktioner. Ved at bygge disse virkelige konstruktioner bliver børnene i stand til at konstruere deres egen viden og begreber uden nogen påtvunget formel undervisning. 24

25 3.4.1 Styre computeren I Paperts vision, har computeren en central rolle. For det første mener han, at computeren kan være med til at nedbryde den skarpe kulturelle opdeling, der eksisterer mellem naturvidenskaben og humaniora, så der kan opstå et mere humant forhold til matematikken. Derudover mener han, at computeren skal fremme tænkningen og påvirke den måde, vi lærer på. Det skal ikke blot være i forbindelse med arbejdet med computeren, men også i arbejdet væk fra computeren, hvor vores måde at tænke på, skal være præget af computeren. Den skal have indflydelse på de strategier, vi bruger til at skaffe os adgang til viden. På den måde er computeren ikke bare et instrument, der bruges i selve arbejdet, men i hele tankeprocessen. Papert konstaterer, at brugen af computeren i dag fungerer som en slags substitut for læreren i undervisningen. I mange skoler i dag betyder datamaskinstøttet undervisning, at man lader datamaskinen undervise barnet. Man kunne sige, at datamaskinen bruges til at programmere barnet. I min version programmerer barnet datamaskinen (Papert 1983, 10). Papert udtrykker en vision om, at børn lærer at bruge computeren, så de kan styre den og ikke omvendt. Ved at styre computeren, får eleverne en indsigt i læringsprocessen, der også kan være med til at ændre den måde, de lærer og forstår andre ting på. Ved hjælp af computeren kan man udvikle en ny begrebsmæssig ramme, hvor det formelle kan konkretiseres, da computeren skaber et bindeled mellem den formelle og den konkrete verden. På den måde har eleven bedre mulighed for at personliggøre det formelle, og computeren bidrager til mere end blot at være endnu et stykke undervisningsværktøj Eleverne konstruerer selv Papert beskriver, hvordan eleverne arbejder med computeren på en måde, så de i brugen af matematikken selv er aktive og konstruerende. Ved hjælp af programmeringssproget LOGO 2, konstruerer eleverne forskellige geometriske figurer, hvilket er et væsentligt aspekt i den konstruktionistiske læringsproces. Papert beskriver, hvordan Skildpaddegeometrien 3 og LOGO giver eleverne mulighed for at afprøve deres egne ideer, hvor de har ubegrænsede muligheder for at skabe og konstruere forskellige 2 LOGO er et programmeringssprog, der er udviklet til at være letforståeligt for ikke-programmører, så elever kan bruge det. 3 Skildpaddegeometri kalder Papert den form for geometri, som eleverne arbejder med, når de bruger programmeringssproget LOGO. Det stammer fra, at man vha. LOGO kunne få en gulvskildpadde til at bevæge sig efter, hvordan man havde programmeret den. 25

26 figurer på forskellige måder inden for systemet. Papert argumenterer også for, at eleverne skal bruge computeren på samme måde som professionelle arbejder med den på. Computeren skal derfor bruges som et redskab til at skabe et produkt og ikke til at overføre viden direkte til eleven. Ved at bruge computeren på den måde, mener han, at arbejdet kan blive mere meningsfyldt for flere elever. Derved bidrager computeren også til at være andet end blot et undervisningsværktøj, der fungerer som substitut for læreren. Desuden argumenterer Papert for, at computeren kan gøre eleverne til aktive, konstruerende og skabende elever frem for at sidde som passive konsumere, der forsøger at modtage læring som en direkte overførsel fra læreren Magtfulde ideer og meningsfuldhed Det er vigtigt, at elevernes konstruktioner udspringer fra deres egne ideer, så de har en personlig interesse i det. Det kan være mange forskellige typer af konstruktioner, og der er næsten uanede muligheder, så længe det udspringer fra elevens egen interesse. Det vigtige ligger i, at konstruktionerne indeholder det Papert kalder for magtfulde ideer. But what causes some of them to be specially valued in the Logo culture is their contact with powerful ideas that enables them to serve as transitional objects for the personal appropriation of the ideas (Papert 1999, XIII). Konstruktionen skal tage udgangspunkt i elevens personlige ide, og det er lærerens ansvar og opgave, at frembringe de magtfulde ideer, så eleven bringes i kontakt med de vigtige begreber i vores kultur. Læreren har et ansvar og en forpligtelse over for traditionen og kulturen. Det er derfor lærerens ansvar, at finde de magtfulde ideer frem, der gemmer sig i elevens personlige ide og konstruktion, så eleven kan lære det væsentlige heri. Papert skriver, at viden ikke handler om at lære det men om at kende til det, da et vidensområde indeholder en samling af væsentlige ideer. Gennem de magtfulde ideer, får eleven en indsigt i at kende til området. Det handler altså ikke bare om, at eleven lærer at konstruere sin ide, men om at kende til de kulturelle vigtige begreber og ideer, der ligger i det. Ideen er, at tidligere erfaringer med Skildpadder 4 er en god måde at lære at kende til, hvad det vil sige at lære et eksakt fag ved at tilegne sig dets væsentlige ideer (Papert 1983, 141). Disse væsentlige og magtfulde ideer har læreren et ansvar for at gøre tilgængelig for eleven, så elevens ide og konstruktion sættes i relation til faget og kulturen. Netop 4 Fra LOGOs skildpaddegeometri 26

27 fordi disse ideer er funderet i elevens egen konstruktion, vil det have en meningsfuldhed for eleven Ikke noget rigtigt eller forkert Når eleverne programmerer i LOGO, kommer de sjældent til den rigtige løsning første gang. De skal derfor lære at isolere og korrigere de fejl, der gør, at programmet ikke kører, som det skal. Eleven lærer på den måde af sine fejl og lærer, hvordan man kan komme videre derfra. Her handler det ikke om at have lavet det rigtigt eller forkert, hvilket matematikken i skolen for de fleste elever ellers gør. Dette kritiserer Papert (1999, VII): Life is not about knowing the right answer or at least it should not be it is about getting things to work. Papert nævner, at eleverne oftest prøver at slette og glemme sine fejl frem for at korrigere og bruge det til videre arbejde. Skolen lærer dem, at fejl er af det onde; det sidste, man ønsker at gøre, er at spekulere på dem, opholde sig ved dem eller tænke over dem. Barnet fryder sig over at kunne udnytte datamaskinens evne til at slette det hele, uden at nogen kan se sporene. Fejlretningsfilosofien kræver en anden holdning. Fejl er en fordel, fordi de får os til at undersøge, hvad der er sket, til at forstå, hvad der gik galt og gennem forståelsen rette det (Papert 1983, 119). Papert anser fejlene som en fordel, da det bør få eleven til at undersøge, hvorfor fejlen er opstået, og hvordan den kan rettes. Dette kan udvikle elevens forståelse på området, og Papert argumenterer for, at fejlfinding i programmeringen lærer eleverne om problemløsning. Det lærer eleverne, at sidde fast i en problemstilling og derved at have problemer med at lære. Papert fremhæver, at det er vigtigt, elever lærer at have problemer med at lære matematikken, da det ofte kan skabe frustration, når den nye viden ikke læres lige med det samme. Derudover støtter dette tanken om, at matematik ikke skal være så firkantet inddelt i rigtigt og forkert. Papert henviser til Piagets arbejde, der viser, at det er nødvendigt for børn først at opbygge deres egen og muligvis meget anderledes matematik for at lære de fundamentale matematiske begreber, vi bruger. Det er derfor ikke nødvendigvis en direkte fejlforståelse eller forkert teori, når de snakker ukorrekt om matematikken, men blot en nødvendig proces på vej mod det matematiske begreb. Når elever lærer, at der i skolen er noget forkert og noget rigtigt, går det imod deres udvikling af begrebs- 27

28 dannelse og læring af teorier. Papert mener, at skolens forkastning af de falske teorier er med til, at eleverne mister deres læringslyst. I stedet for at kvæle børnenes kreativitet må løsningen være at skabe et intellektuelt miljø, der er mindre dominerende end skolens, når det gælder sandt og falskt (Ibid., 137) Meningsfuld matematik For mange elever er den almindelige matematik ikke meningsfuld, hvilket Papert mener, skyldes den manglede kobling mellem matematikken og vores hverdag. Hverken eleverne eller læreren formår at give et kvalificeret svar på, hvad matematikken skal bruges til, og det føles derfor formålsløst at lære. Ifølge Papert, kan computeren netop kæde tingene sammen, så der dannes en kobling mellem hverdagen og matematikken. En måde at gøre dette på, er at bruge computeren og matematikken som et redskab i det professionelle arbejde. Det handler om, at eleverne konstruerer noget, der for dem er meningsfuldt, og hvor de benytter sig af matematikken. Når de konstruerer noget meningsfuldt ved hjælp af matematikken, giver det dem en mulighed for at snakke om den matematik, de har brugt, og reflektere herpå Mikroverden Computeren kan give mulighed for at udvikle en ny begrebsmæssig ramme til tænkning om et begreb eller fagligt område, som eleverne kan udforske. Dette kalder Papert for en mikroverden og er et essentielt begreb i hans fremstilling. Det dækker over en afgrænset verden, hvor der er et sæt veldefinerede spilleregler med muligheder og begrænsninger. Papert mener, at mikroverdenerne giver bedre muligheder for at lære, da der skabes et sted, hvor en bestemt form for tænkning har lettere ved at vokse frem. I vores hverdag eksisterer der mange forskellige mikroverdener, som man måske ikke umiddelbart er klar over. Disse mikroverdener er med til, at vi lærer. F.eks. nævner han en mikroverden, der handler om at danne par og se én til én forhold. Denne verden oplever børn også, når de opfordres til selv at danne par. Når børn bliver opmærksomme på par, er de i en selvkonstrueret mikroverden, en mikroverden bestående af par, på samme måde, som vi anbragte vores elever i en mikroverden, der bestod af geometri- og fysik-skildpadder (Ibid., 166). 28

29 En mikroverden skal være enkel og forståelig med ubegrænsede mulige kombinationer. Der kan være begrænsninger i form af materialer, men det væsentlige er, at mikroverdenen har oceaner af udforskningsmuligheder, og eleven får lov til at lege frit med dets elementer. Computeren giver gode muligheder for at skabe mikroverdener, og eleverne har mulighed for at konstruere deres egen personlige mikroverden. En vigtig betingelse for børns intellektuelle vækst er ifølge Piaget, at de kan reflektere over deres egen tænkning, hvilket bliver muligt, når de skaber deres egne mikroverdner med deres egne spilleregler. GeoGebra kan opfattes som en matematisk mikroverden. Det er en velafgrænset verden, hvor eleverne kan bevæge sig inden for geometriens regler. Noss og Hoyles (1996, 65) skriver om en mikroverden: The idea of microworlds involves an intention to develop en open and investigative stance to mathematical enquiry GeoGebra danner netop rammer for en matematisk verden, hvor eleverne kan undersøge og udforske deres ideer, ved at lege frit med matematiske objekter. 3.5 Epistemisk spil og epistemisk ramme Shaffer (2006) arbejder med, hvordan computerspil kan være potentielle læringsmuligheder for eleverne. Disse computerspil kalder han epistemiske spil og handler grundlæggende om at lære at tænke innovativt. Han mener, at spillene kan være et middel, hvor eleverne får mulighed for at beskæftige sig med virkelige problemstillinger og løsningerne dertil. Now, three decades later, learning to solve real problems is more important than ever, and this book is about how we can use computer and video games to do just that. It is about how a particular kind of computer and video game epistemic games can help young people learn the ways of innovation they need to thrive in a complex world (Shaffer 2006, 4). Han opfatter derfor computeren som et godt læringsredskab og støtte til at udvikle elevernes kreative og innovative ideer. I de epistemiske spil, skal spillerne indleve sig i rollen som en professionel. En professionel er ifølge Shaffer en person, der udfører ikke-standardiseret arbejde og derfor skal tænke kreativt og innovativt for at løse arbejdsopgaverne. Hver profession har en værktøjskasse af viden (knowledge), færdigheder (skills) og værdier (values), som sammen med identiteten (identity) og epistemologien (epistemology) kaldes den epistemiske ramme. Disse værktøjer bruges af den professionelle til at se og agere på verden på en særlig måde. Shaffer mener, at 29

30 hvis man kan få elever til at lege disse professioner som et rollespil, lærer de både skolefærdigheder og innovation på samme tid. De skal spille spillet som en af disse professioner og påtager sig den identitet og rolle som en professionel. De skal producere de samme produkter som disse professionelle gør, hvilket er muligt ved hjælp af computeren Færdigheder Ved hjælp af computere får vi mulighed for at gøre mere, end vi selv kan. Computeren kan indeholde nogle programmer og redskaber, så det bliver muligt at arbejde med problemstillinger uden et særligt forudgående kendskab til emnet. Derudover åbner den op for en større verden og giver bl.a. mulighed for, at eleverne kan arbejde og gøre som innovative professionelle. I Shaffers ide er computeren et væsentligt element, der indeholder nye læringsmuligheder, der kan bruges i undervisningen. Han påpeger, at computeren kan gøre disse læringsmuligheder mere autentiske, motiverende og ikke mindst mere relevante for eleverne og samfundet. Det handler om at bruge computerspil til at lære eleverne vigtige ideer på meningsfulde måder, der er brugbare i en omskiftende verden. Det bringer os tættere på ting ude i verden, og på den måde kan elever komme til at arbejde som andre professionelle og lære at gøre og tænke som f.eks. en spidesigner. What computers do, in all of these examples, and in every other way we use them, is let us work with simulations in the world around us (Shaffer 2006, 9). I Escher s World bruger eleverne et program, der hedder Geometer s Sketchpad, hvor de kan arbejde med geometri. Programmet har nogle indbyggede muligheder, der danner en mikroverden, som gør det muligt for eleverne at arbejde med geometrien, selvom de aldrig før har beskæftiget sig med det i skolen. I denne mikroverden er det de matematiske love, der gælder, og eleverne bruger derfor matematiske ideer, når de bruger programmet til at opbygge deres egne ideer og designs. Shaffer påpeger, at mange elever oplever matematikken som meningsløs, fordi de ikke kan se formålet med den. For at gøre matematikken meningsfuld, skal den ifølge Shaffer fremstilles og bruges i en meningsfuld sammenhæng. Matematikken skal bruges som et redskab til at opnå andre mål, og derved bliver den også meningsfuld. Når eleverne i Escher s World arbejder med computerprogrammet Geometer s sketchpad, benytter de sig af matematiske ideer til at opbygge deres design. Uden forudgående kendskab til geometri, skal de mestre fundamentale matematiske principper for at kreere flotte billeder og figurer. De skal altså bruge matematikken 30

31 som et værktøj til f.eks. at lave billederne, og Shaffer mener derved, at den matematiske viden, som eleverne opnår, også får en mening for dem. I modsætning til de almindelige stillede matematikopgaver, skal matematikken her bruges med et formål for øje Identitet Når eleverne sætter sig ind i rollen som f.eks. spildesigner, kan det have betydning for, hvordan de ser sig selv. Når de arbejder som en professionel, kan det motivere dem at identificere sig selv med det arbejde og den måde at tænke på. Gennem computerspil mener Shaffer, at man kan få eleverne til at lege sig ind i en bestemt profession som i et rollespil. Ved at spille spillet, tillægger de sig en identitet og en rolle, der svarer til den profession, som rollespillet omhandler. Spiller-ne skal producere de samme produkter, som disse professionelle gør, hvilket er muligt ved hjælp af computeren. I spillet kan elever gå frem og tilbage mellem den virtuelle og den virkelige verden. Gennem disse computerspil med simulerede miljøer lærer eleverne både at tænke som professionen og lærer samtidig de hertilknyttede skolefærdigheder. Hver profession har, som tidligere skrevet, en værktøjskasse, der er en del af den epistemisk ramme. Denne må eleverne lære at mestre, hvilket de får mulighed for gennem det epistemiske spil. Computers are creating a world that places a premium on innovation and creative thinking, and computer and video games make it possible to prepare young people for life in that world but only once we understand how people learn the epistemologies of creative innovation. One way to do this is through epistemic games: games that are fundamentally about learning to think in innovative ways (Ibid., 10) Værdier Shaffers brug af computerspil handler om andet end underholdning. De epistemiske spil er et middel, der kan motivere elever til at udvikle de færdigheder, viden og attitude, som Shaffer mener, de har brug for til at opnå succes i den foranderlige verden, vi befinder os i. Derudover handler værdier om, hvordan det at sætte sig ind i den professionelles arbejde og tankegang, har betydning for, at eleverne lærer at værdsætte de ting, en professionel ser som vigtige, meningsfulde og værd at bekymre sig omkring. 31

32 I Escher s World beskriver Shaffer, hvordan eleverne påtager sig rollen som designere. Ved at miljøet omkring dem er autentisk, har de mulighed for at fordybe og indleve sig i rollen. Selve lokalerne og arbejdsrytmen er meget anderledes end den almindelige skolegang, og eleverne indgår i et andet slags læringsfællesskab. Ud over at arbejde selvstændigt på hver deres projekt, benytter eleverne sig også af noget Shaffer kalder Pinup. Her fremlægger eleverne deres ideer og arbejde for hinanden i grupper og giver hinanden feedback i form af kritik, kommentarer og forslag. Hele miljøet, eleverne arbejder i, passer til, at de nu er designere, hvor mødetiderne er fleksible, og deadlines skal overholde. The Oxford Studio was thus, in one sense, a very unstructured environment. Students were free to do what they wanted to do when they wanted to do it. To a casual observer, it might even have looked downright chaotic. But the large blocks of unscheduled time and the flexibility of the routine made room for a different kind of structure (Ibid., 82). Ved at skabe et så autentisk miljø som muligt, bliver eleverne mere motiverede for at indgå i rollen og derved arbejde med og lære de forskellige færdigheder og værdier, der hører med til professionen. Shaffer (2002, 198) påpeger også vigtigheden i både at kunne arbejde selvstændigt og med andre. For students to be successful in relatively autonomous learning (or working) environments, they need to know how to work independently, how to collaborate with their peers and with experts in their learning process, and how to balance these two modes of working and thinking Viden Computeren har været med til at ændre, hvad det vil sige at vide noget, da man ved at beherske internettet kan finde utrolig meget viden på kort tid. Det har derfor også ændret på den viden, man har behov for som innovativ tænkende. Det er ikke muligt at sige præcis, hvilken viden man får brug for, og det er derfor vigtigere at lære, hvordan man skaffer sig adgang til ny viden. Elever skal ikke kun lære hvad de skal gøre, men de skal også lære hvordan, de gør det. En måde at arbejde med det på kunne f.eks. være gennem problemløsning, hvor eleven skal arbejde med processen i at sidde fast og derfra arbejde sig videre. Shaffer skriver, at megen undervisning handler om at opnå en deklarativ viden (declarative knowledge) frem for en proceduremæssig viden (procedural knowledge). Der lægges altså mere vægt på at give eleverne en viden om, hvad man skal gøre frem 32

33 for, hvordan det skal gøres. Det skal forstås på den måde, at man skal kunne forklare, hvordan det skal gøres i stedet for faktisk selv at kunne udføre det. Det undrer Shaffer, at det er denne form for viden, der vægtes og testes i skolen, da det ikke er den slags viden, der er mest brug for i samfundet. Procedural knowledge, however, is generally undervalued in school assessments. That is ironic, since in the world outside of school, knowing how to do things is generally more useful than knowing how to talk about things (Shaffer 2006, 92). Den deklarative viden bygger på et læringssyn, hvor eleven skal lære omkring emnet, før der kan arbejdes med det. Til at løse et problem, skal man altså først finde ud af, hvilken matematisk regel, man skal anvende, og derefter bruge den til at løse problemet. Dette er lige modsat læringssynet, der ligger bag Escher s World. Her kunne eleverne afprøve deres ideer i den virtuelle verden, før de egentlig kunne forstå dem. Det er en helt uundgåelig situation, at sidde fast med et problem. Shaffer påpeger vigtigheden i, at eleverne oplever dette og arbejder sig ud af problemet, da det er en vigtig læringsproces, der er med til at udvikle eleverne. Delen med at sidde fast og komme videre er også vigtig for de professionelle, da det er med til at udvikle deres innovative og kreative tanker. They learn the skills and knowledge of innovative thinking in a practicum, by getting stuck and unstuck over and over and over and talking about why and how with the help of peers and mentors (Ibid., 100). De reflekterer over deres arbejde ved at lave sparring med kollegaer og mentorer, hvor de befinder sig i zonen for nærmeste udvikling Epistemologi Gennem det epistemiske spil, lærer eleverne at arbejde og tænke som en professionel. Men hvad betyder det, at de har lært at tænke sådan? Og hvordan har det betydning for resten af deres læring? Shaffer beretter, at eleverne både lærer at tænke og arbejde som den professionelle og den faglige matematik, som de bruger i deres arbejde. Denne matematikfaglige viden kan eleverne også bruge til at løse almindelige standardiserede matematikopgaver, og den er derfor ikke fastlås i det epistemiske spil. 5 Vygotskys ( ) begreb for det område man kan udføre ved hjælp fra andre (Gads 2007) 33

34 In other words, they learned school math, and their learning stuck with them later, even though none of them was studying geometry in school when they took the final test (Ibid., 88). Shaffer påpeger, at det at lære at tænke som f.eks. en designer, rækker langt ud over selve spildelen. Han beretter, at eleverne i Escher s World blev mere selvsikre og fremstod derfor også bedre i de andre fag. Eleverne fik et nyt syn på læring og på sig selv som elev. In other words, knowledge learned in the context of a useful epistemology gave Natalie a powerful way of seeing the world a professional vision as a designer that helped her do better in all of her classes at school (ibid., 91). 3.6 Forskningsspørgsmål version 2.0 På baggrund af teorien har jeg revideret mine forskningsspørgsmål og er kommet frem til følgende forskningsspørgsmål: 1. Hvordan bruger eleverne begreberne om brøkregning, multiplikation, cirkler og firkanter? Og hvordan beskriver de deres arbejde med GeoGebra? 2. Hvordan oplever eleverne, at de bruger matematikken til at konstruere noget meningsfuldt? Og hvordan oplever eleverne den epistemiske ramme i forhold til matematik? 3. Hvorledes føler eleverne en personlig tilknytning til det spil, de konstruerer? Hvordan er den didaktiske kontrakt anderledes end normalt? Og hvilke krav stiller undervisningen til den didaktiske kontrakt? 34

35 4. Metode Dette kapitel er delt ind i fire dele. I første del beskrives kort det projekt, jeg er gået ind i, og hvad jeg ønsker at undersøge. Herefter følger den metodologi, mit speciale går ind under. Dernæst fremstilles den konkrete metode, jeg har brugt til indsamling af data og sluttelig beskrives det, hvordan jeg har behandlet og analyseret mine data. 4.1 Projektet kort I mit speciale har jeg taget udgangspunkt i et allerede eksisterende projekt med design og undervisningsforløb. Morten Misfeldt har i samarbejde med Lis Zacho udviklet og afviklet et undervisningsforløb på baggrund af programmet GeoGebra, de har kaldt Brøkknuseren. Kort fortalt gik forløbet ud på, at eleverne skulle arbejde som spildesignere, hvor de ved brug af programmet GeoGebra har løst opgaver om brøker. Eleverne skulle herefter bruge programmet til selv at udvikle et brætspil, der kunne printes og spilles. Formålet med forløbet var at give eleverne et kendskab til GeoGebra og samtidig undervise dem i brøkregning (Link A). Derudover lå der et ønske om, at eleverne skulle opleve matematik som noget kreativt, sjovt og anderledes end bare tavle-bog-undervisning. Dette skulle de opleve ved at udtrykke sig selv på en kreativ måde med matematikken (Andresen & Misfeldt 2011). Det efterfølgende redesign af Brøkknuseren kom til at hedde Multiplikationsknuseren og var grundlæggende det samme. I denne version var brøkregningen blevet udskiftet med multiplikation, men eleverne skulle stadig udvikle et spil. Med et ønske om at undersøge elevernes oplevelse af matematikken, foretog jeg 4 interview med elever efter afslutningen af såvel forløbet med Brøkknuseren som forløbet med Multiplikationsknuseren. Mit perspektiv har ligget på, hvordan eleverne har oplevet matematikken som anderledes, og jeg har altså ikke udforsket deres læringsudbytte, selvom dette også ville være interessant. 4.2 Min metodologi Mit speciale kan siges at gå ind under designbaseret forskning. Specialet er dog blot et lille udsnit af den samlede designbaserede forskning, som Misfeldt står bag. Design research er en metodologi med åben metodefrihed, som kan danne ramme for forskningen. Det vil sige, at man kan benytte sig af forskellige metoder og kombinere dem, som det er hensigtsmæssigt til den forskning, man laver. Da design research 35

36 kombinerer teori og empiri, er det en god forskningstilgang til at forstå, hvordan, hvornår og hvorfor fornyelse og ændring i læringsmiljøet virker (The Design-Based Research Collective, 2003). Design research har ifølge Cobb et al. (2003) fem karakteristiske kendetegn. De mener for det første, at formålet med eksperimentet er at udvikle en gruppe af teorier, der handler om både læringsprocessen og baggrunden for selve designet. For det andet er designet baseret på velkendt teori og bliver derefter grundlag for udviklingen af ny teori. For det tredje har forskningen altid to sider: En aktiv og en reflekterende. Som fjerde punkt nævner de, at designet bliver afprøvet og ændret flere gange. Og sluttelig mener de, at de teorier, der er udviklet gennem processen, kræver ydmyghed i den forstand, at de er forbundet med en speciel læringsproces, og at teorien er knyttet til en aktuel praksis. Teorien kan derfor ikke nødvendigvis generaliseres og forstås som en overordnet læringsteori, der kan bruges i andre læringssammenhænge (The Design-based Research Collective 2003). I design research er forskningen og designet indbyrdes afhængige. Som Cobb og Gravemeijer (2008, 1) skriver det: On one hand, the design of learning environments serves as the context for research, and, on the other hand, ongoing and retrospective analyses are conducted in order to inform the improvement of the design. Design research handler om at udvikle specifikke teorier ved at designe undervisning og systematisk at studere denne undervisning og midlerne, der skal støtte læringen. Denne teoridannelse sker på baggrund af vekselvirkningen mellem designet og analysen. Det er processen med design analyse og re-design, der tilsammen skaber nogle cyklusser, som danner grundlag for teoridannelsen (Cobb et al. 2003). Design Analyse Figur 2: Designcyklus Cobb & Gravemeijer (2008) skriver, at design research er blevet kritiseret på dette punkt, da processen af designet og de empiriske afprøvninger sker på enkeltstående situationer uden efterfølgende kontrol. Det ser de dog ikke som et problem, da formålet med forskningen er at skabe domæne-specifikke teorier og forklaringer, der handler om læringsprocessen i den kontekst, det er afprøvet i og derved ikke at 36

37 ophæve det til teorier, der er gældende i alle situationer og kontekster. Cobb et al. (2003) kalder derfor de domæne specifikke teorier for ydmyge, da de netop er knyttet til en konkret praksis. Formålet med teoridannelsen er at skabe forbindelse mellem de intentionelle læringsprocesser, intervention og teori, og ud fra det forbedre læringsmiljøet. I design research ligger der derved et intentionelt mål om at forandre undervisnings- og læringsmiljøet. I teorien skal der ikke bare indgå designet, men også overvejelser om, hvordan og hvorfor det nye design virker bedre end det gamle. Inden udførelsen af designet skal den teoretiske intention med forskningen klarlægges, og det skal overvejes, hvad pointen med studiet er. Der skal beskrives, hvad man forventer at se, og hvilken læreproces man forventer, eleverne gennemgår. Dette kalder Misfeldt (2010) for forestillet læringsvej. Han mener, at Den forestillede læringsvej muliggør, at vi udstiller vores overraskelse over samspillet imellem intention, design og virkelighed, og dermed bliver vi i stand til at kvalificere den teoretiske forståelse af f.eks. læring, som er sat på spil i en planlagt intervention (Misfeldt 2010, 47). Misfeldt (2010) pointerer, at der kan opstå uoverensstemmelse mellem den forestillede læringsvej og den empiriske virkelighed, som data og interventionen viser. Dette kan man tolke på to forskellige måder. På den ene side kan man opfatte det som en fejl, hvor man bliver nødt til at ændre noget i interventionen, så re-designet bedre opnår de læringsmål, der er lagt for designet. På den anden side kan det opfattes som ny indsigt, hvor man kan ændre i den forestillede læringsvej, så den bedre hænger sammen med den empiriske virkelighed. Denne dobbelte retning, hvor empirien både peger fremad og tilbage, mener Misfeldt (2010,52) netop er en styrke i design research. Den designbaserede tilgang har en særlig styrke i at knytte teori og praksis tættere til hinanden, da den forestillede læringsvej og samspillet imellem denne og de empiriske resultater er lige relevante og forståelig for både forskning og praksis. Dette bevirker også, at design research er en oplagt tilgang til at undersøge og udarbejde teori, der er forankret i undervisningen. Misfeldt (2011) argumenterer for, at designinterventioner er særligt stærke i to henseender. På den ene side kan det potentielt være med til at udvikle en bedre praksis, der bygger på resultater fra uddannelsesforskningens tidligere arbejde. På den anden side er det en oplagt mulighed for at afprøve nye former for undervisningssituationer og udføre empirisk forskning herpå. I Brøkknuseren er det netop den sidste tilgang, der er brugt. Da jeg i mit speciale går ind i et eksisterende projekt, er designet og interventionen allerede foretaget på forhånd, og min opgave har derfor hovedsageligt ligget på 37

38 analysedelen. På baggrund af interviewene fra Brøkknuseren, er jeg kommet med forslag til nogle ændringer, der blev medtaget i re-designet, der kørte som Multiplikationsknuseren. Her har jeg ligeledes indsamlet data i form af interview, og sammen med de tidligere interview har jeg analyseret og diskuteret mine forskningsspørgsmål. 4.3 Min metode Da jeg startede mit speciale i juni måned, havde eleverne kun 2 sessioner tilbage af Brøkknuseren og var derfor mere eller mindre færdige med at lave deres spil. Jeg deltog i den ene undervisningssession, hvor jeg gik rundt mellem de arbejdende elever og observerede, hvad de lavede, og hvordan de arbejdede. På baggrund af disse observationer, formålene med forløbet og en dialog med Misfeldt, udarbejdede jeg en interviewguide (se bilag 9) med hovedtemaer som kreativitet, matematik og matematikforståelse, It og brug af GeoGebra samt undervisningsform. Til at indsamle kvalitative data, kan man bruge mange forskellige metoder herunder interview, hvilket jeg har benyttet mig af. Det kan f.eks. være brugbart til at undersøge nogle meninger, opfattelser og lignende hos personer, som man ikke direkte kan observere. Når man skal interviewe, kan det umiddelbart virke lige til og simpelt at gå til, men Patton (2002) argumenterer for, at det let kan gøres dårligt, hvis man ikke har gjort sig nogle velovervejede tanker omkring det. Ved kvalitative interview har man et ønske om at få andre personers syn og opfattelse på et emne. Det er derfor vigtigt, at intervieweren skaber nogle trygge rammer for interviewet, så respondenten kan føle sig komfortabel og tryg til at svare åbent og ærligt på spørgsmålene, der bliver stillet. Intervieweren skal forsøge at sætte sig ind i respon-dentens verden og Patton (2002) understreger derfor vigtigheden i at kunne lytte. Der er ifølge Patton tre grundlæggende tilgange til at indsamle data gennem kvalitative interview. Det første er det uformelle interview, der foregår som en almindelig samtale og udelukkende består af tilfældige spørgsmål, der springer frem fra selve konversationen. Derudover kan man lave en generel interviewguide, hvor man har noget baggrundsviden om respondenterne, og laver en tjekliste, så man sikrer sig at komme forbi alle de relevante emner, man ønsker at belyse. Den tredje mulighed er et åben-standardiseret interview. Her er en interviewguide nøje udarbejdet, og man forsøger at spørge alle respondenter de samme spørgsmål og mere eller mindre også med det samme ordvalg. 38

39 Det har stor betydning for alle tre tilgange, at spørgsmålene giver respondenten mulighed for at svare med sine egne ord og udtrykke sin egen personlige mening. Det er derfor vigtigt, at man ikke kommer til at lægge ordene i munden på respondenten, men husker at en vigtig rolle for intervieweren netop er at lytte. Dette hænger tæt sammen med ønsket om at opleve respondentens syn og oplevelse, som Patton (2002, 348) skriver det: The purpose of qualitative interviewing is to capture how those being interviewed view their world, to learn their terminology and judgments, and to capture the complexities of their individual perceptions and experiences. Det er muligt at kombinere de forskellige interviewteknikker. Patton (2002) nævner bl.a. at det er almindeligt, at starte ud med en standardiseret interviewguide, men ellers lade interviewet tage forskellige drejninger, alt efter hvad respondenten svarer. Dette er til dels den tilgang jeg har benyttet mig af. Jeg har dog ikke afveget meget fra mit spørgeskema, og jeg har stillet alle spørgsmålene fra mit spørgeskema til samtlige respondenter. Denne tilgang har jeg brugt, så jeg på den ene side havde mulighed for at stille andre relevante spørgsmål, der måtte dukke op under selve interviewet. På den anden side var interviewet heller ikke så frit, så den efterfølgende proces med at sammenligne og analysere de forskellige interview ville være for vanskelig. Ved at ensrette interviewene, var der større mulighed for at finde tydelig sammenlignelighed mellem mine data og derved skabe fælles koder og temaer. Jeg har foretaget i alt otte interview med ni elever. Fire interview med fem elever fra 5. klasse samt fire interview med elever fra 3.a og 3.c. Fra 5. klasse var der to drenge og tre piger, hvoraf to af pigerne havde lavet et spil sammen og blev interviewet sammen. Fra 3. klasse var der en dreng og en pige fra hver klasse. Da jeg først er kommet sent ind i forløbet og derfor ikke har haft mulighed for at følge eleverne og deres arbejde, bad jeg læreren Lis Zacho om at udvælge de fem elever fra 5. klasse for mig. Ligeledes har lærerne fra 3.a og 3.c udvalgt eleverne til mig. Interviewene foregik på lærerens kontor og forløb i undervisningstiden, så eleverne blev trukket ud fra undervisningen, når det var deres tur og kom tilbage, når interviewet var overstået. Jeg optog interviewene med en diktafon og gjorde mig nogle noter på papir samtidig. Hvert interview varede minutter, og jeg fik foretaget alle interviewene på to dage. 39

40 4.4 Min analyse Jeg ønskede at undersøge elevernes oplevelse af matematikken i forløbet med Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren og har på baggrund af formålene med undervisningsforløbet opstillet tre forskningsspørgsmål, som jeg har forsøgt at besvare ud fra mine kvalitative interview. Hvert interview har jeg transskriberet og brugt programmet Atlas.ti til den efterfølgende databehandling. I dette program har jeg kunnet markere dele af teksten og derved udtage de citater, jeg skulle bruge i analysen. Programmet har været meget anvendeligt i den åbne kodningsproces, jeg har foretaget. I den første gennemgang af mine data, har jeg dannet mange forskellige koder, som jeg efterfølgende har samlet til otte temaer. Dette har jeg gjort ud fra grounded theorys åbne kodningsproces, hvor der startes ud med mange forskellige koder, der løbende bliver reduceret og sammenlagt til få overskuelige temaer (Creswell 2008). I første omgang af databehandlingen forsøgte jeg at være så åben og objektiv som mulig, da jeg foretog kodningerne, for ikke at komme til at udelukke noget, som måske kunne have betydning. I grounded theory er det vigtigt at forsøge at være så objektiv som muligt i kodningsprocessen, før man lægger sig helt fast på sit teoretiske ståsted. Da det alligevel er mig, der har valgt de forskellige koder, vil de bære præg af en vis subjektivitet, hvilket Charmaz (2006) påpeger ikke kan undgås. Selvom man forsøger at gå a-teoretisk til værks, er det ikke muligt for forskeren at skrive sig helt ud. Man kan ikke undgå at medtage noget af sin forforståelse, hvilket man skal gøre sig klart (Charmaz 2006). Moreover, a grounded theory procedure does not minimize the role of the researcher in the process. The researcher makes decisions about the categories throughout the process (Charmaz, 1990). The researcher brings certain questions to the data, along with a store of sociological concepts (p. 1165). The researcher also brings values, experiences, and priorities. Any conclusions developed are suggestive, incomplete, and inconclusive (Creswell 2008, 439). Efter den første kodningsproces har jeg sammenlagt koderne til forskellige temaer, så jeg til sidst endte ud med 8 temaer, som jeg har brugt til at strukturere min analyse. Ud fra temaerne har jeg lavet et aksialkodningsdiagram. Til hvert tema, har jeg udtaget citater og set på, hvad eleverne har sagt herom, og på den måde givet en redegørelse og analyse af, hvordan elevernes opfattelser til temaerne har været. Efterfølgende har jeg brugt dette til at besvare forskningsspørgsmålene, hvor jeg også har valgt at inddrage tre teoretikere, der hver kan være med til at belyse forskellige dele. På baggrund af analysen og diskussionen vil jeg komme med nogle anbefalinger i forhold til et videre design. 40

41 5. Analyse I det følgende kapitel vil jeg kort præsentere mine data i form af de forskellige koder og temaer, som jeg er kommet frem til samt give en lille introduktion af hver elev og deres spil. Efterfølgende vil jeg analysere temaerne ud fra elevernes udsagn. Afslutningsvis vil jeg påpege væsentlige forskelle, jeg har registreret mellem de to forløb; Brøkknuseren med 5. klasse og Multiplikationsknuseren med 3. klasse. 5.1 Præsentation af data I min gennemgang af interviewene dannede jeg 45 koder, hvor jeg har fjernet 5 koder, som jeg ikke finder direkte relevante for analysen. Dette drejer sig om koderne: spillet, udbytte, hjælp, lære af fejl og lærerhjælp. I præsentationen af eleverne beskriver jeg elevernes spil ud fra deres egne udsagn, og koden spillet er derfor på sin vis stadig med. Andre koder har lappet ind over hinanden, og der er derfor stadig dele fra de ekskludere koder med. De resterende 40 koder har jeg efterfølgende grupperet i 8 temaer. Tabellen nedenfor viser sammenhængen. Tema Indhold Koder Anderledes Handler om hvad eleverne har oplevet anderledes i forhold til den almindelige undervisning Følge opgavebeskrivelse Selvstændighed Engagement og interesse Eleverne beskriver, hvordan de på nogle områder skulle følge en opgavebeskrivelse Dette tema indeholder de elementer, hvor eleverne fortæller om noget, de selv har valgt at gøre Berører elevernes deltagelse i forhold til den almindelige undervisning Anderledes, frie rammer. Følge opgavebeskrivelse Egen kreativitet/forfølge egen ide, flot, figurer i spillet, lave figurer og mønstre, selv bestemme, selv finde løsning, tegne figurer i spillet. Engagement og interesse, formål med at lære, give hurtigt op, manglende udfordring, samarbejde, 41

42 Brøker It og GeoGebra Matematik Samarbejde Omhandler alle de steder, hvor eleverne fortæller noget om brøker Dette tema handler om elevernes brug af computeren Indeholder mange forskellige koder, der er matematikrelateret Handler om elevernes opfattelse af samarbejdet sjovt, svære spørgsmål/regnestykker, svært i starten men blev let, udfordrende. Brøker Brug af GeoGebra, brug af It, brug af Multiplikationsknuseren, computeren regner for en, GeoGebra til eksamen, it, nemmere måde at regne på. Almindelig matematikundervisning, de fire regningsarter, former og figurer, gange, kontrollere regnestykke, lektier, matematikopfattelse, opgaver, regnestykker, tabeller, tegne regnestykker. Samarbejde, hjælpe hinanden. Følge opgavebeskrivelse og brøker er begge temaer, der er opstået på en enkelt kode. Brøker kunne eventuelt lægges under matematik, men jeg har valgt at lade det være et tema for sig, da 5. klassen eksplicit har arbejdet med brøker. 5.2 Præsentation af eleverne Jeg har foretaget fire interview fra hvert forløb. Brøkknuseren foregik med en blandet 5. klasse, hvor jeg interviewede to drenge og tre piger. Multiplikationsknuseren foregik i to forskellige 3. klasser, hvor jeg interviewede en pige og en dreng fra hver klasse. Jeg har snakket med lærerne, der hver har beskrevet deres elevers 42

43 engagement i forløbet og deres matematiske niveau. 5. klasse har afviklet en matematiktest i maj måned, hvor de kunne score op til 10, hvilken jeg også har fået resultaterne fra. Fra 5. klasse har jeg interviewet: Holger, der er en matematikfaglig stærk elev, har scoret c9-10 i mat5 testen. Læreren fortæller, at han har moret sig over mulighederne i programmet og arbejdet flittigt i timerne. Interviewet varede 16 min. 56 sek. og findes i bilag 1. Holgers spil består af en spilleplade med flere cirkler inde i hinanden med nogle felter, hvoraf nogle af dem er farvede. Man starter i den yderste cirkel og bevæger sig ind til midten, som er mål. Der slås med en terning, og man flytter det viste antal øjne. Hver gang man lander på et farvet felt, skal man besvare et spørgsmål. Dette spørgsmål får man på computeren, hvor man trækker en cursor fra spørgsmål 0 til spørgsmål 30. Hvis man svarer rigtigt, slår man med terningen igen og rykker frem. Svarer man forkert, slår man med terningen og rykker tilbage. Ideen med spillet er, at spørgsmålene er så svære, at man ikke kan komme i mål. sp5:hvad er picassos fulde navn Figur 3: Holger og Runes spil 43

44 Rune, der fagligt ikke er stærk i matematik og har scoret c4 i mat5 testen. Læreren siger, at han er interesseret i IT og elektronik. Interviewet varede 14 min. 16 sek. og findes i bilag 2. Rune har lavet sit spil med Holger og kalder det The Impossible Game. Navnet har det fået, fordi det skal være næsten umuligt at vinde. Spillepladen er en cirkel med firkanter eller trekanter. I spillet får man en masse spørgsmål og regnestykker, der er meget svære. Når man svarer rigtigt, må man rykke frem, og når man svarer forkert, skal man rykke tilbage. Spørgsmålene får man frem på computeren ved at trække en prik over en linje. Denne detalje, i drengenes spil med at få spørgsmålene frem på computerskærmen, er ikke teknisk ukompliceret. Emilie og Jane mener ikke selv, at de er dygtige til matematik, men har alligevel scoret henholdsvis c7 og c6 i mat5 testen. Læreren fortæller, at de ikke er interesseret i matematik, men alligevel har fået succesoplevelser med at arbejdet med GeoGebra. Interviewet varede 18 min. 54 sek og findes i bilag 3. De virkede en smule generte eller usikre i starten af interviewet. Deres spil er et brætspil, hvor man slår med en terning og rykker sin brik. Felterne er cirkler med regnestykker i, der skal udregnes, når man lander på dem. Hvis man regner rigtig, må man rykke videre. Der er nogle felter med masker på, hvor alle spillere skal give et bud på regnestykket, og den der svarer rigtigt, må slå med terningen og rykke videre. Spillet hedder Påfuglespillet, da der er et billede af en påfugl i midten. Figur 4: Emilie og Janes spil 44

45 Nanna, er en to-sproget pige, der har scoret c6 i mat5 testen. Hun har arbejdet alene med spillet, men læreren fortæller, at hun har nydt at kunne arbejde med programmets muligheder. Det virker på mig, som om hun er en elev, der godt kan lide at have en fast opgavebeskrivelse, som hun kan følge. Hun er også den eneste elev, der har brøker med i sit spil. Interviewet varede 17 min. 29 sek. og findes i bilag 3. Nannas spil hedder Regnbuemesteren, fordi spillepladen er et æble med forskellige farver på. Pladen består af nogle cirkler, hvor spillebrikkerne skal rykkes på. I spillet slår man med en terning og trækker nogle spørgsmål med brøkopgaver. Der er forskellige farver, der indikerer sværhedsgraden i brøkopgaverne. Hvis man svarer forkert, skal man rykke to felter tilbage, men hvis man svarer rigtigt, må man rykker to felter frem. Figur 5: Nannas spil Fra 3.a har jeg interviewet: Elias er meget dygtig til matematik, fortæller læreren. Han føler ofte, den daglige undervisning kan være lidt kedelig. Han har arbejdet kreativt med en makker, som har samme interesser, som ham selv. De har kunnet følge et fantasispor og har lavet et flot produkt i den genre. Til tider blev arbejdet mere fyldt med fantasi end matematik, men produktet blev godt. Interviewet varede 13 min. 31 sek. og findes i bilag 5. Elias spil er en slags skakspil med udvidede regler. Man skal slå med to terninger og gange antallet af øjne, før man må rykke. Hvis man svarer forkert, må 45

46 man ikke flytte sine brikker. Derudover er der nogle sorte huller i spillepladen, hvor brikken ryger ud, hvis den lander der. Pernille, hvor læreren fortæller, at hun normalt har ret svært ved matematik i forhold til resten af klassen, som ligger på et højt niveau i forhold til landsgennemsnittet. Hun er ikke så svag, at udfordringerne i dette projekt har været for store. Hun er gået op i det og fik lavet et flot produkt. Interviewet varede 10 min. 55 sek. og findes i bilag 6. Pernilles spil minder lidt om Ludo. Spillepladen består af nogle runde cirkler og fire firkanter i hvert af de fire hjørner, hvor ens spillebrikker starter. I midten er der en stor rød cirkel, hvor der står mål. For at komme ud med en brik, skal man slå en 5 er. På nogle af de runde felter er der gangestykker. Hvis man lander herpå, har man 30 sekunder til at regne svaret ud. Hvis man ikke når det, skal man vente en omgang. Fra 3.c har jeg interviewet: Magnus, som er en meget dygtig elev med overgennemsnitlige evner for matematik, har en rimelig stor interesse i at blive udfordret, fortæller læreren. Han brændte for projektet med spilfabrikken og var meget ivrig efter at vise de andre elever, hvad og hvordan han gjorde. Interviewet varede 16 min. 27 sek. og findes i bilag 7. Magnus spilleplade består af fire stykker papir, hvor to papirer udgør en verden; der er en plusverden og en gangeverden. Man slår med to terninger og afhængig af, hvilken verden man er i, skal man plusse eller gange antallet af øjne på terningerne, og så rykker man det resultatet giver. Freja, er ligeledes en meget dygtig elev med overgennemsnitlige evner for matematik. Hun har mest været interesseret i at kunne nørde solo og var ikke interesseret i dialog og samarbejde, men har alligevel lavet spillet sammen med sin makker. Interviewet varede 18 min. 48 sek. og findes i bilag 8. Freja nåede ikke at blive helt færdig med spillet, men det var udtænkt. Spillepladen er et rektangel med to streger i midten og nogle streger andre steder. For enden er der en cirkel, der fører til forskellige verdner. I spillet er der forskellige opgaver, hvor man må rykke videre, hvis man klarer opgaven. Hvis man taber den, skal man rykke et felt tilbage. 5.3 Temaerne Til hvert tema har jeg samlet elevernes holdninger og udtaget citater som understøttende eksempler. Til hvert lille afsnit har jeg analyseret, så der vil være en vekselvirkning mellem citater og analyse gennem hvert temaafsnit. 46

47 5.3.1 Anderledes Dette tema handler om, hvad eleverne har oplevet som anderledes. Det være lige fra rammerne til indholdet af undervisningen og elevernes opfattelse af sig selv i undervisningssituationen. Eleverne fortæller, at den matematik de har arbejdet med har været anderledes end den, de plejer at arbejde med. En af eleverne fortæller, at matematikken har været i historier og gåder, og Magnus fortæller at: Altså det har været det har været ret mærkeligt i forhold til, hvad vi plejer. Det er noget helt andet opgaver, og så er det så er det helt anderledes. Man er ikke helt vant til (Bilag 7, l ). Freja giver et eksempel på, hvordan opgaverne har været anderledes: Jeg har faktisk også, jeg har arbejdet med, man skulle forklare med tegninger, hvad et regnestykke giver. Sådan på en måde, sådan tegningagtig regningstykker (Bilag 8, l ). Nogle af eleverne fokuserer på, hvad de plejer at arbejde med i matematikundervisningen, og her fortæller de, at indholdet har været noget andet. F.eks. siger Freja: Altså, øhm Vi plejer ikke at have så meget, vi plejer at måle meget, men vi plejer ikke, at... Vi plejer mere at regne, vi plejer ikke så meget og Noget med former, det er ikke så tit, vi gør det. Og vi går næsten aldrig på computeren. Øhm Ja, vi vi, altså det, vi plejer heller ikke at lave noget med cirkler. Vi gør ikke så meget det der med former (Bilag 8, l ). En elev siger også, at det har været den sjove slags matematik, de har arbejdet med, hvilket for ham viser sig ved, at tiden går hurtigt, når han har matematik. Jeg synes, det er interessant at finde ud af, hvorfor eleverne oplever matematikken i programmet som en anderledes matematik. Selve matematikken er egentlig den samme slags matematik, som de normalt beskæftiger sig med. Jeg mener, at grunden til, at de opfatter matematikken anderledes kan være fordi, de beskæftiger sig med den på en ny måde. Matematikken foregår i et anderledes undervisningsmiljø, og det kan derfor være svært for eleverne at skelne mellem, om forandringen ligger i indholdet eller metoden. Som Freja siger, har de også arbejdet med figurer tidligere, men behandlingen af figurerne har været anderledes, hvor de plejer at måle frem for 47

48 selv at tegne figurerne. Og det var rigtig sjovt der, hvor vi selv skulle lave firkanterne, vi plejer bare at skulle måle firkanterne (Bilag 8, l ). Eleverne lægger også vægt på, at computeren og aktiviteten på computeren har været anderledes. Magnus fortæller, hvordan det var at arbejde med GeoGebra: Altså, det har været meget, meget anderledes, fordi, pga. det normale, det vi plejer at bruge på internettet, det var sådan nogle spilhjemmesider (Bilag 7, l ). Ved at arbejde med GeoGebra og Brøkknuseren eller Multiplikationknuseren, er computeren blevet brugt på en ny og anderledes måde og viser nogle nye muligheder, som Nanna kommenterer. I: Hvordan synes du, dette projekt har været anderledes end den almindelige undervisning I har? N: Jeg synes det har været sjovt og anderledes. I: Hvordan har det været anderledes? N: Altså, man laver det på computeren, og den siger svarene til en, så det er sådan lidt, når man sådan er i gang med selv at regne det, og så man siger hov, nu står svaret og lige pludselig. Det er lidt sådan mærkeligt, fordi jeg er vant til selv at regne det ud. Og skal vide, hvad det giver. Og så er det også sjovt, man skal lave sådan nogle mærkelige ting, man skal lave et hus. Det, synes jeg, er meget sjovt (Bilag 4, l ). Figur 6: Tegning af hus med træer og traktor 48

49 Nanna oplever, at computeren regner for hende. Hvis Nanna havde været yngre og ikke havde lært at regne endnu, kunne dette være et eksempel på, hvordan Shaffer mener, at computeren giver mulighed for at gøre ting, som man ellers ikke selv ville kunne jf. afsnit Elevernes tilgang og brug af computeren har været væsentlig forskellig fra, hvordan de hidtil har arbejdet. Når eleverne bruger matematikspil på forskellige spilhjemmesider, bruges computeren som en slags substitut for læreren eller matematikbogen, og eleverne sidder og regner og besvarer opgaver. I de almindelige matematikspil, får eleverne stillet en opgave af computeren, f.eks. hvad er 6 gange 3?, og så skal eleverne taste svaret ind på computeren. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren har eleverne aktivt skulle styre computeren og ikke omvendt. Det er eleverne, der har bestemt, hvad de vil have tegnet på skærmen, og hvordan det skal se ud. Derved konstruerer de selv noget, hvilket, Papert mener, er en forudsætning for en frugtbart læring. På denne måde bliver eleven en aktiv deltager frem for en passiv konsumer, der mere eller mindre kun modtager uden selv at skulle reflektere over det. Dette svarer til Paperts ønske om, at eleven skal programmere computeren og ikke omvendt jf. afsnit For nogle af eleverne har alene brugen af computeren gjort matematikundervisningen sjovere. J: Altså, jeg synes det er sjovere, fordi det er på computeren og sådan (Bilag 3, l. 14). For Rune er der stor forskel på at skulle skrive i hånden og skrive på computeren. Det letter arbejdet for ham, at han ikke skal skrive i hånden, og han føler, det går hurtigere. Dette er en af de ting, som Shaffer nævner, at computeren kan bidrage med. Det virker både som et godt redskab for Rune og som en god motivation for hans læring. Nanna påpeger også, at hendes rolle som elev har været anderledes. Normalt sidder hun i undervisningen og modtager eller regner opgaver for sig selv. Her har hun fået en rolle, hvor hun skal udvikle et spil, som andre kan spille. I: Hvad syntes du om at lave det her spil? N: Jeg synes, det har været sjovt, også lidt mærkelig, fordi man plejer jo at, selv at spille nogle andre folk som har lavet nogen spil. Det at skulle selv lave et spil har været ret sjovt, fordi at så kan det, er der også andre, som skal spille ens eget spil, som en selv har fundet på. Så det synes jeg er meget sjovt (Bilag 4, l ). Det tyder på, at Nanna lever sig ind i det epistemiske spil og univers som spildesigner jf. afsnit Hun påtager sig delvist rollen som spildesigner, da hun sammenligner sit arbejde med andre, der producerer spil. Flere af eleverne giver også udtryk for, at undervisningsrammerne har været anderledes, da de selv har måttet bestemme en stor del, og det har derfor været mere frit. En væsentlig ting er, at de ikke har været bundet til en matematikbog og skulle følge opgaverne i den, som de ofte gør. I spiludviklingen har de haft frie rammer, til at 49

50 bestemme, hvordan produktet skulle være. En elev, der bliver spurgt til, hvordan arbejdet med GeoGebra i spiludviklingen har været, svarer: H: ( ) det var en del sjovere, for så kunne man bare lave sit eget spil og sine egne regler og så lave sine egne spørgsmål (Bilag 1, l ). Nogle af eleverne siger direkte, at det er sjovere, når rammerne er frie, så de selv må bestemme. I: Hvorfor var det sjovere? E: Fordi der måtte man selv bestemme, hvad man ville lave, og sådan noget (Bilag 5, l ). En af eleverne sammenligner undervisningen med fotofilter, de havde arbejdet med på computeren, hvor rammerne ikke var ligeså frie. Så skal man forme noget bestemt, som man skal tegne, men i det her der skulle man bare bruge nogle bestemte værktøjer, og så måtte man tegne lige det, man havde lyst til (Bilag 1, l ). Emilie og Jane mener, at mere af matematikundervisningen kunne foregå på den mere frie måde. Det er også en pointe i konstruktionismen, at eleverne skal have frihed til at forfølge deres egne ideer og ikke være bundet til f.eks. matematikbogen eller instruktioner til at konstruere noget bestemt jf. afsnit 3.2. Shaffer beskriver også disse frie rammer som en mulighed for, at eleverne bedre kan identificere sig med rollen som spildesigner og dennes arbejde. Undervisningen har haft en væsentlig anden karakter, end de er vant til i forhold til lærestyringen. Elevernes udsagn tyder på, at de er vant til en undervisning, der hovedsageligt er opbygget af didaktiske situationer, hvor dette forløb overvejende har bestået af adidaktiske situationer jf. afsnit Det er tydeligt, at eleverne har arbejdet med deres spil, fordi de selv har haft en stor interesse i at udvikle det, som de gerne ville have det. F.eks. siger Magnus: Altså ja, altså vi skulle lave det godt, det var en del af spillet. Vi har faktisk fået det hele med, som vi gerne ville have med i spillet (Bilag 7, l ). Det er ifølge Brousseau (1997) i disse adidaktiske situationer, hvor eleverne har bedst mulighed for at personliggøre den viden, de arbejder med. Den efterfølgende fællesgørelse af deres personlige viden må forventes at komme løbende, når de beskæftiger sig med det matematiske emne i den efterfølgende undervisning. Flere af elevernes udsagn tyder på, at den didaktiske kontrakt er trådt i baggrunden, når de arbejder med deres spil. De har selv ideer og ønsker til, hvordan de skal lave deres spil, og det er disse ideer, som de forfølger. 50

51 5.3.2 Følge opgavebeskrivelse Selvom eleverne har oplevet undervisningsrammerne som meget frie og selv har kunnet bestemme mange ting, fortæller nogle elever alligevel, at der var ting, som de skulle følge og gøre. Freja fortæller, at det var hårdt, da de skulle træne i GeoGebra. I: Hvad synes du om at have lave det her spil og arbejde med det? F: Jamen, altså, det var sjovt, men det var lidt hårdt, da vi bare skulle træne det, men det var sjovt. I: Hvordan skulle I træne det? F: Vi skulle øve os i at lave firkanter og sådan noget. Vi skulle klare nogle opgaver, før vi kunne starte med spillet. Vi skulle bl.a. lave rektangler og firkanter og smiley og et hus og alt muligt (Bilag 8, l ). Figur 7: Firkanter tegnet i GeoGebra Nanna fortæller også om de opgaver, de fik stillet i GeoGebra. Hun er dog mere positiv end Freja. N: Altså, vi skulle tegne nogle trekanter, og så vi skulle lave nogle trekanter inde i GeoGebra. Og så skulle man så lave sådan nogle mønstre-agtige figurer som satte sammen, så det blev til sådan en rigtig stor ting-figur med alle mulige flotte mønstre og trekanter (Bilag 4, l ). Holger fortæller, at der var nogle dele i spilprocessen, som de skulle og herefter kunne de selv vælge, hvordan de ville udbygge deres spil. Han fortæller, at de først skulle 51

52 lave en spilleplade og andre ting, og når det var gjort, kunne de sætte deres eget præg på spillet. I: Kan du fortælle mig hvad det [spillet] går ud på? H: Det går ud på at man Først skal man lave en spilleplade, så bagefter skal man lave nogle regler og skrive dem ned inde i GeoGebra. Og så skal man, øhhh, ja og så skal man lave nogle spørgsmål. Og det er det, man skal lave, og så kan man bygge videre på det (Bilag 1, l ). Dette viser tydeligt, at rammerne ikke har været fuldstændige frie. Undervisningen har været mindre præget af lærerstyringen, men der var alligevel en vis form for styring af elevernes læring. Det var formegentlig en nødvendighed, med nogle fastlagte rammer, for at undervisningen ikke skulle være fri leg og køre i forskellige retninger. Eleverne udtrykker også en form for didaktisk kontrakt, der er anderledes end den, de følger i den almindelige undervisning. Selvom eleverne får givet meget frihed til at bestemme meget selv, er der stadig stillet nogle krav og forventninger til dem og deres arbejde. Disse forventninger er ikke helt de samme, som dem der stilles i den almindelige matematikundervisning, og den didaktiske kontrakt er derfor også lidt anderledes, end eleverne er vant til Selvstændighed I dette tema fortæller eleverne om elementer, hvor de selv har valgt at udføre noget på en bestemt måde. Det handler om de aspekter, hvor eleverne har haft mulighed for at bruge deres egen kreativitet og egen valgfrihed. Eleverne har tænkt over, hvordan deres spil skal være, så det ikke bare er tilfældigt, hvordan det har taget sig ud. De beskriver, at de har valgt, om spilpladen skal være som en firkant, en cirkel eller bestående af mange cirkler. Der er også tænkt over farverne og Nanna har f.eks. valgt at kalde sit spil for Regnbuemesteren, fordi hun har brugt forskellige farver til spilpladen. Magnus giver tydelig udtryk for, at de havde nogle klare ideer og ønsker med spillet, som de har arbejdet på at få lavet. M: Altså ja, altså vi skulle lave det godt, det var en del af spillet. Vi har faktisk fået det hele med, som vi gerne ville have med i spilet. I: Hvad var det for nogle ting, I gerne ville have med i spillet? M: Altså, det var jo det der med de to verdner, og træstammerne. Og hullerne og de forskellige ting, man kan i verdnerne med terningerne I: Med plus og gange? M: Ja, og så tabellerne (Bilag 7, l ). 52

53 Det er et godt eksempel på, at eleverne har konstrueret deres spil ud fra deres egen personlige interesse, hvilket er vigtigt for deres læring jf. afsnit 3.2. Flere elever har også kreeret spilbrikker og kort til deres spil, hvor de har tegnet det i GeoGebra, mens andre har fundet billeder på internettet. Nogle har valgt billeder fra internettet, da de ikke mente, at de selv kunne tegne det, så det blev pænt nok. Figur 8: Billedsøgning Emilie og Jane fortæller også, hvordan de har besluttet at sætte et billede af en påfugl i midten af spilpladen, da de har kaldt deres spil for Påfuglespillet. Det er heller ikke tilfældigt, hvordan deres spilleplade er kommet til at se ud. De har regnet ud, hvor mange cirkler der skulle være, og hvordan de skulle placeres, så det også blev flot. Emilie siger: Nej, nej, det var sådan at de (cirklerne) skulle sidde tæt på hinanden, eller hvor mange der var og sådan noget. Og de skulle være lige store eller blive mindre. J: Det skulle passe ind, så der var et lige antal, for ellers så passede det jo ikke (Bilag 3, l ). Dette er også et godt eksempel på, at den didaktiske kontrakt træder lidt i baggrunden, da eleverne følger deres egne ønsker med hensyn til, hvordan deres spil skal blive. Det er altså ikke noget, de gør for at tilfredsstille læreren. 53

54 Eleverne fortæller samstemmende, at de oplever undervisningen som mere fri. Det er tydeligt at høre, at eleverne har mange positive udsagn om, at de selv kan bestemme, hvordan de vil gøre det. De mener stort set alle, at det var sjovest at lave spillet, da de her havde mest frihed. De fortæller bl.a., at man kunne gøre det, som man ville. F: Det var sjovt, og man kunne selv bestemme, hvordan spillet kunne se ud, og... og sådan noget I: Ja, er det godt, at man selv kan bestemme? F: Ja, for det ville ikke være så fedt, hvis man bare skulle lave et bestemt spil, og så skulle man bare lave det. Det er sjovere, når man selv kunne bestemme, hvad det er for et spil (Bilag 8, l ). Denne undervisningsform giver eleverne mulighed for at udtrykke deres egne ideer og bruge matematikken til at fremstille den ide, som de har, hvilket de alle er meget positivt stemte overfor. En af grundene til at eleverne er så glade for denne undervisningsform og synes, det er rigtig sjovt, kan skyldes, at der ikke er noget, der er rigtigt eller forkert. Ifølge Papert (1983) er opgaver med et rigtigt eller forkert svar ellers noget der kendetegner skolesystemet og især matematikken, og som han mener, kan være med til at kvæle børnenes kreativitet. Denne undervisning åbner til gengæld op for elevernes kreative udfoldelsesmuligheder, som Papert savner i undervisningen. Når opdelingen mellem rigtigt og forkert er udvisket, har eleverne mulighed for at udvikle en begrebsdannelse på deres egen måde og i deres eget tempo. De lærer også, at matematikken ikke er så firkantet og stringent, som mange kan føle. Det kunne tyde på, at nogle af eleverne har fået rokket deres indstilling om, at matematik er et firkantet fag, der udelukkende handler om at regne opgaver. Dette kunne være et lille skridt på vejen mod Paperts ønske om at gøre matematikken mere human og nedbryde den skarpe kulturelle linje, der går mellem naturvidenskaben og humaniora jf. afsnit Undervisningsformen giver eleverne mulighed for at udvikle deres ideer og viden i deres eget tempo, hvilket Papert med henvisning til Piaget siger, er vigtigt jf. afsnit Eleverne har brug for at udvikle deres egne teorier og egne ord for de matematiske begreber, før de kan forstå det helt. Dette ses bl.a. på, hvordan nogle af eleverne bruger de matematiske begreber eller mangel på samme. F.eks. omtaler Rune en cirkel som den runde cirkel, og Emilie og Jane snakker om bobler. Magnus forklarer, at de har lavet opgaver på en matematikspilhjemmeside, med: M: Stor gås - lille gås I: Stor gås lille gås? M: Ja, det der med. Krokodillenæb. 54

55 I: Nåe, sådan noget med større end og mindre end? M: Ja, og ligesom (Bilag 7, l ). Freja forklarer, at hun har arbejdet med kvadrater: F: Altså, jeg har lært at lave lige, altså lige firkanter og I: Lige firkanter? F: Stregerne er lige og at det fylder lige meget på hver linje og sådan noget (Bilag 8, l ). Holger kalder matematikken med cirkler og vinkler for abstrakt matematik. Det er tydeligt, at eleverne udvikler og bruger deres egne ord omkring matematikken og de matematiske begreber. Den måde, eleverne har arbejdet med computeren på har givet mulighed for, at de selv kunne eksperimentere sig frem. På den måde har Emilie og Jane oplevet, hvordan de selv kunne komme frem til et resultat uden at skulle spørge om hjælp. Emilie fortæller: Men altså, vi fandt ud af, hvordan man tog prikkerne væk på cirklen og bogstaverne, hvor vi sådan bare prøvede os lidt frem, og så var der noget med nogle prikker, usynlige prikker, og så klikkede vi der (bilag 3, l ). Eleverne beskriver her, hvordan de har siddet fast i et problem og selv kommet frem til en løsning. Shaffer (2006) pointerer, at det netop er en vigtig læringsproces. Det er i denne vekselvirkning mellem at sidde fast i processen og komme videre, at kreative løsninger skabes, og hvor man udvikler sig. Dette var en succesoplevelse for pigerne, da de oplevede, at de selv kunne klare det. Denne oplevelse kan give dem mod på at prøve at kaste sig ud i mulige løsninger til andre problemstillinger, som de måtte opleve, frem for at opgive på forhånd. Jeg ser det som en vigtig læreproces i forhold til den kreative udvikling, at eleverne oplever processen i at arbejde sig videre fra en problemstilling og muligvis komme til en løsning Engagement og interesse Dette tema handler om elevernes deltagelse og interesse i forløbet i forhold til deres almindelige matematikundervisning. Det ses, at alle eleverne har haft en god oplevelse med forløbet. De udtrykker sig alle sammen positivt omkring forløbet. Der bruges ord som koncentreret, ivrig, aktiv, sjovt og hyggeligt. F.eks. siger Rune: 55

56 Jeg synes, det har været sjovt i forløbet, og det er gået sådan Jeg synes det har været virkelig, virkelig, virkelig sjovt. Jeg ved ikke rigtig andet. Det var rigtig sjovt (Bilag 2, l ). Der er en enkelt elev, der synes, at opgaverne var kedelige, fordi de for ham var trivielle og ensformige H: Altså.. Jeg synes det var meget kedeligt, at man skulle blive ved med at lave de samme opgaver (Bilag 1, l. 111). Magnus siger, at det har været den sjove slags matematik, de har beskæftiget sig med, der hvor timen går hurtigt. Han fortæller også, at det har været sjovt, fordi det har været anderledes. Forløbet har tydeligvis været en god oplevelse for eleverne, og det virker som om, de er gået ind i hhv. Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren med en åben indstilling til det. Elevernes forudgående indstilling til projektet, mener jeg også kan have stor betydning for deres udbytte. Hvis en af eleverne lagde ud med en modstand for at arbejde med computeren eller en indstilling til, at det kunne eleven ikke, ville der formegentlig også være flere negative ord knyttet til forløbet. Flere af eleverne fortæller, at de har været mere aktive og engagerede i dette undervisningsforløb end den almindelige undervisning. Mens andre siger, at de hverken har været mere eller mindre med i timerne, men at de også plejer at følge med i timen. Det kunne derfor tyde på, at de normalt aktive elever er lige så aktive som tidligere, mens de mindre aktive elever er blevet mere aktive. Der er forskellige grunde til, at eleverne har været mere aktive i disse timer. Nanna blev særlig betaget af at skulle lave trekantsmønstre; mønstre, som kun bestod af trekanter. Hun fortæller, at hun kunne lave nogle store figurer, som blev flotte. For Holger ligger interessen meget i, at han får udfordringer, da det ellers bliver trivielt og kedeligt. Det virker formålsløst for ham at skulle lave de samme typer opgaver igen og igen. Holger bliver spurgt, hvad han synes om arbejdet med GeoGebra og svarer dertil: Altså, jeg synes, det var meget kedeligt, at man skulle blive ved med at lave de samme opgaver. Altså, jeg synes, hvis man har forstået en opgave, ik, så forstår jeg bare ikke pointen i, at man f.eks. laver den fem gange. ( ) Fordi nu har jeg jo forstået, hvordan man skal gøre. Så forstår jeg ikke, at man skal lave fem andre opgaver (Bilag 1, l , ). Holger fortæller, at det blev sjovt, da han fandt udfordring i at finde gode og svære spørgsmål til spillet. Jeg mener, en væsentlig grund til, at eleverne føler sig mere interesserede og engagerede i dette forløb er fordi, det faglige giver mening for dem hver især. De har mulighed for at arbejde med noget forskelligt, og derved kan de finde det, der er 56

57 meningsfyldt matematik for dem. Det er forskelligt, hvori de finder deres egen passion, hvilket ifølge Papert er vigtigt for elevernes læring jf. afsnit Det er nemlig vigtigt, at deres konstruktion tager udgangspunkt i noget, der er personligt meningsfuldt. Det er derefter lærerens opgave at fremhæve de magtfulde ideer, der måtte være at finde. Som Shaffer (2006) skriver, bliver matematikken her et redskab til at opnå andre mål. Selve matematikken er derfor ikke i fokus som læringsmål, men de skal anvende matematikken på en eller anden måde for at udvikle deres spil. Jeg mener også, at de har arbejdet med andre former for matematik, end dem, de selv nævner. F.eks. fortæller nogle af eleverne, at der skal være lige stor chance for hver spiller for at vinde, og der derfor skal være lige mange felter til hver. Eller at der skal være spørgsmål nok, hvis man lander på alle spørgsmålsfelterne. F: Ja, vi har brugt det til at regne hvor mange ligesom, at det skal være lige for at alle spillere har lige god chance for at vinde (Bilag 8, l ). Man kan derfor argumentere for, at de også har beskæftiget sig med noget sandsynlighed. Andre kunne have arbejdet med størrelsesforhold og afstande mellem objekterne. Der er bred enighed om, at spildelen i forløbet var det mest interessante og det sjoveste. Der er dog en enkelt elev, der udtrykker ligeså stor begejstring for opgaverne, som de lavede op til spilprocessen. Nanna bliver spurgt: I: Hvad er det særlige i det her, du synes, der har været rigtig sjovt? N: Det er opgaverne i GeoGebra. I: Så opgaverne før I skulle lave spillet eller opgaverne ved at lave spillet. N: I det hele taget det hele, alle opgaverne. Det, synes jeg, har været meget sjovt (Bilag 4, l ). Det er interessant, at eleverne oplever størst glæde ved spiludviklingen, hvor de også selv føler, de har den største frihed til at gøre det, som de har lyst til. Det viser, at eleverne har en lyst til at eksperimentere og udføre noget på egen hånd frem for at sidde som mere passive modtagere af undervisningen. Dette kan ifølge Li (2010) hænge sammen med, at teknologien, og derved brugen af computeren til spiludviklingen, er med til at rykke eleverne fra at være passive konsumere til at blive kreative skabere. Det er også noget, Papert er inde på, da det er en vigtig del af konstruktionismen, at eleverne netop selv er engagerede skabere af noget meningsfuldt. 57

58 Selvom opgaverne i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren også har været anderledes end den almindelige undervisning, er spiludviklingen alligevel væsentlig anderledes. Papert argumenterer for, at det er ganske naturligt, at børn er nysgerrige og har en interesse i at undersøge og eksperimentere, hvilket spillet på sin vis har givet dem mulighed for. Deres store interesse kan muligvis også skyldes, at der ikke er noget der er rigtigt eller forkert, og eleverne derfor kan føle større frihed jf. afsnit De fleste elever fortæller da også, at det er motiverende, at de selv måtte bestemme, og de mere frie rammer har givet et større engagement, og de er blevet mere interesserede i projektet. I: Hvordan kan det være, at det var spillet, der var det sjoveste? M: Øhm, det er nok fordi, man selv får lov til at bestemme ting, hvad man skal lave. Der er ikke noget fast, man skal lave (Bilag 7, l ). I den normale undervisning arbejder eleverne efter en matematikbog, og Emilie og Jane mener, at det kan være svært at fokusere på opgaverne, og de kommer til at snakke i stedet for at lave matematik. De frie rammer virker motiverende for dem, og de mener godt, at mere matematikundervisning kunne foregå på den måde. De er glade for, at bogen er udskiftet med noget sjovere. De siger også, at de frie rammer og deres mulighed for selv at bestemme og udvikle ideer gør det sjovere for dem. J: Altså, jeg synes, det var sjovest at lave spillet. E: Ja. I: Hvad var der ved det, der gjorde det sjovere end det andet? E: Øh, altså, i starten der skulle vi lave de der opgaver, og det var fint nok, men Det er sådan lidt sjovere, når man selv må finde på og kan bruge. J: At opgaven ikke er lavet, og nu skal du gøre sådan. E: Så man selv må finde på, men stadigvæk lærer (Bilag 3, l ). Når pigerne fortæller, at mere matematikundervisning kunne foregå under friere rammer, mener jeg, det er et udtryk for, at pigerne ikke har en fuldstændig firkantet og konservativ holdning til, hvordan matematikundervisning bør foregå. For dem er der også læringspotentiale i den friere undervisning, hvor de selv har mulighed for at bestemme, hvordan de vil gribe det an. Jeg kunne forestille mig, at disse piger ville have glæde af mere åbne matematikopgaver, hvor der kan være flere mulige løsninger og måder at gribe det an på. Computeren nævnes af mange, som værende en motiverende faktor, der har gjort undervisningen mere interessant. Nogle fortæller, at undervisningen er sjovere, når man bruger computeren, andre fortæller at arbejdet med GeoGebra har været ekstra sjovt. Det er fælles for dem alle, at de oplever brugen af computeren og GeoGebra som 58

59 noget positivt. Det har også fået Rune til at være mere aktiv, mener han selv. Dette kan skyldes, at teknologien og computeren har en stor personlig interesse for ham og det derfor er interessant at bringe hans egen interesse ind i undervisningen. Flere elever kommer med nogle udtryk, der tyder på, at deres arbejde har været meningsfyldt, og der derfor har været et formål med at lære og bruge matematikken. Emilie og Jane har ikke været gode eller glade for tabellerne, men i fremstillingen af deres spil, blev det nødvendigt for dem at bruge tabellerne. I: Hvordan lærte I mere om tabellerne ved at bruge det her GeoGebra? J: Det er nok fordi, vi brugte nogle af tabellerne til at lave spillet. Der skulle være lige mange bobler så i stedet for at tælle, så brugte vi tabellerne. E: Det er også det der med, at hvis vi ikke kan tabellerne, kan vi jo ikke komme videre (Bilag 3, l ). De fortæller altså, at det var en nødvendighed for dem at kunne tabellerne for at komme videre i spillet, og jeg mener, at det derfor gav mening, for dem, at arbejde med. Flere elever fortæller også, at det var nødvendigt at regne ud hvor mange spørgsmål, de skulle bruge i spillet, eller hvor mange firkanter eller cirkler, der skulle være. Når det bliver nødvendigt at kunne matematikken for at komme videre i processen, har eleverne også et tydeligt formål med at lære den. Det blev derfor meningsfuldt for dem at udregne disse ting, da de skulle bruge resultatet til noget konstruktivt og ikke bare skrive svaret i deres kladdehæfte. For Holger gav det mening at skulle lære en masse svære spørgsmål til spillet, da han mente, spillet ville være kedeligt med lette spørgsmål. Der er også andre, der fortæller, at der skal være noget udfordring i deres spil, så de har derfor lavet nogle svære regnestykker i spillet. Selvom de helt frit kunne vælge, lægger de vægt på, at der skal være nogle svære spørgsmål, så det bliver mere udfordrende. Dette mener jeg tydeligt viser, at eleverne er engagerede i at lave deres spil, og at de har et ønske om, at det skal blive godt. De kunne vælge at lave noget meget simpelt og hurtig blive færdig med spillet, men de lægger alle meget engagement og energi i deres spil. Det er et tydeligt udtryk for, at de arbejder med spillet ud fra deres egen interesse og ikke med et ønske om at opfylde lærerens krav. Den didaktiske kontrakt er derfor ikke styrende for deres læring, hvilket er en forudsætning for, at den didaktiske kontrakt kan opfyldes jf. afsnit Det er sandsynligt, at ideen i at udvikle noget og derved få et produkt ud af undervisningen, kan være en af grundene til elevernes engagement. F.eks. svarer Pernille: I: Hvorfor var det mere interessant? P: Fordi, der lavede man jo noget selv, i stedet for bare at sidde og løse nogle opgaver på computeren (Bilag 6, l ). 59

60 Det er meget sandsynligt, at de andre elever også har en lignende følelse, da de alle fortæller meget positivt omkring deres spil. Det er endnu et tydeligt eksempel på, at elever gerne vil være aktive og selv konstruere noget frem for at sidde passive og forsøge at modtage viden. Emilie og Jane var hurtige til at give op i den almindelige undervisning, hvis opgaven ikke lykkedes for dem første gang, da det var hurtigere og lettere og spørge om hjælp eller springe den over. I arbejdet med deres spil, oplevede de, at de faktisk selv kunne komme videre og finde en løsning ved selv at prøve sig frem. De fandt ud af, at det kan betale sig at prøve, og at det derved også bliver lettere. J: Altså, man skulle lige finde ud af hvordan. Jeg kan huske første gang vi prøvede, så sad vi bare og blev rigtig sure og sådan. E: Åe, det her kan vi ikke det her. J: Men så når man har prøvet det så lidt, så blev det lettere og også lidt sjovere. E: Det er sådan tit, man gir op i starten, sådan det der det kan jeg ikke så, det gider jeg ikke lave. I starten var vi ikke så vilde med, men når man så ser, hvad det rigtig går ud på, så er det sjovere (Bilag 3, l ). Pigerne giver udtryk for, at de ofte giver op, når de sidder fast i et problem. Shaffer (2006) beskriver, hvordan det er vigtigt og uundgåeligt for professionelle at sidde fast i et problem, men løsningen til at komme videre, er med til at udvikle dem og deres kreative ideer. Det er derfor også en vigtig erfaring for eleverne, at det er muligt for dem selv at tænke mulige løsningsmetoder og muligvis selv komme videre. Papert (1983) fremhæver vigtigheden i, at elever oplever og lærer at sidde fast og komme videre fra en problemløsning, da denne følelse ofte er forbundet med frustration. På samme måde opstår frustrationen, når ny viden ikke læres med det samme. Ved at lære at tackle denne frustration, når man er kørt fast, kan de også bruge det, når matematikken ikke er lige forståelig Brøker Dette tema er med, da eleverne fra 5. klasse har arbejdet eksplicit med brøkopgaver i Brøkknuseren, og det er derfor interessant, hvad de har at sige om det. Der er kun 1 ud af de 5 elever, der direkte nævner brøker som noget, de har arbejdet med. Nanna har haft brøkregning med i sit spil, og hun fortæller også, at de arbejdede med nogle brøkopgaver inden de gik i gang med spiludviklingen. I: Hvad er det for nogle opgaver, I startede med at lave? 60

61 N: Vi starter med at skulle noget med brøker. Altså skulle starte med at tegne nogle cirkler. Skulle vide, hvor meget der kunne være inde i den og omkredsen. Så skulle man dele dem op i fjerdedele og så videre. Og så skulle man bare vide, hvor mange pizzaer f.eks. der var inde. Og så skulle man jo selv regne det, for man skulle skrive det. Og så gør den det af sig selv, ik, laver de der trekant-ting (Bilag 4, l ). Figur 9: Cirkler med 1/3 og 1/6 Nanna viser en fin forståelse for den brøkregning, de har arbejdet med. Hun forsøger at beskrive, hvordan de skulle regne ud, hvor mange grader hvert stykke skulle være i cirklen, hvis de skulle deles i x-antal brøkdele. Det er muligt, at disse brøkopgaver har givet hende mulighed for at personliggøre den viden, hun havde om brøker. Ifølge Papert kan computeren netop være med til at muliggøre processen i at personliggøre det formelle jf. afsnit Noget der tidligere har virket uforståeligt eller usammenhængende, kan nu pludselig give mening, fordi det kan personliggøres ved hjælp af computeren. Brousseau argumenterer for, at det kan personliggøres, fordi eleven sidder og arbejder med det på sin egen måde uden indblanding fra lærerens side. Rune og Holger fortæller også om deres brøkarbejde. Rune forklarer, hvordan han har arbejdet med brøker, men dog uden at nævne brøker direkte. I: Hvad er det for andre ting? R: Jamen, altså, f.eks. hvordan man regner cirkel ud, hvad hedder det altså, hvor meget der kan være inde i, f.eks. og alt mulig andet. ( ) I: Kan du forklare, hvordan du skulle gøre det på computeren, hvis det var? R: Jeg skulle, hvad det hedder, trykke på nogle knapper, så når du havde trykket på dem så viste den nærmest med det samme på, eller nogle små bidder inde i den, hvor meget der kunne være inde i den [cirklen] (Bilag 2, l , 34-36). Det lader ikke til, at Rune helt forstår, hvorfor han har inddelt cirkler i mindre dele. For ham virker det som om, det handler mere om cirklerne, og det ville være en anden 61

62 matematik, hvis det var firkanter, der skulle deles ind på samme måde. Det tyder ikke på, at det på nogen måde har givet mening for ham, hvorfor han inddeler cirklerne, som han gør. Det kan muligvis være for abstrakt for ham at skulle overføre matematikken fra opgaven til en cirkelinddeling. Holger fortæller heller ikke, at han har arbejdet med brøker, men det fremgå alligevel, da han fortæller om det første arbejde med GeoGebra. I: Hvad med arbejdet i GeoGebra, hvad synes du om det? H: ( ) Hvis du på denne her måde, på denne her specielle måde skal du lave fire fjerdedele. Så forstår jeg bare ikke, hvis jeg kan lave fire fjerdedele, hvorfor kan jeg så ikke lave tre, øh, tre sjettedele, f.eks.? Fordi nu har jeg jo forstået, hvordan man skal gøre. Så forstår jeg ikke, at man skal lave fem andre opgaver (Bilag 1, l ). Holger kan tydeligvis løse de stillede brøkopgaver uden problemer, men det lader alligevel ikke til at give mening for ham. For ham er det bare gentagelse, der vidner om træningen af den proceduremæssige viden. Jeg mener derfor ikke, at Holger ser noget meningsfyldt formål med disse opgaver, og derfor bliver det kedeligt. Det er meget kritisabelt, at de fleste elever ikke nævner brøker direkte, som en del af den matematik, de har arbejdet med. Det har direkte været en del af formålet med Brøkknuseren, og eleverne har fået stillet opgaver, der var specifik rettet mod brøkregningen, hvorfor det er forventet, at eleverne ville fortælle herom. Det kan muligvis skyldes, at det ikke har været den del af forløbet, der har haft deres største interesse. Det er også muligt, at de ikke har set meningen med de opgaver, de skulle lave, og det derfor ikke har haft betydning at fortælle om. Det kan eventuelt også skyldes, at eleverne ikke har været fastholdt til opgaverne, da de skulle skifte mellem GeoGebra og Brøkknuseren på internettet og derfor ikke har lavet ret mange af opgaverne. De nævner alle, at de har arbejdet med cirkler, og nogle af dem fortæller om, hvordan de har arbejdet med dem og ikke bare brugt dem som figurer i deres spil. Det er muligt, at eleverne ville kunne fortælle, at det er brøkregning, hvis jeg spurgte dem mere ud omkring det. Det er også muligt, at de alle ville svare ja, hvis jeg spurgte direkte, om de havde arbejdet med brøker. Men der er ikke noget, der giver anledning til at tro, at de selv føler, de har lært noget nyt om brøker, hvilket er kritisabelt. Spørgsmålet er, om de nu er bedre rustet til at lære om brøker, og om de ville kunne sammenkæde undervisning i brøker med det brøkarbejde, de nu har haft i GeoGebra. Ifølge Shaffer (2006) kan eleverne sagtens lære noget matematikfagligt, mens de arbejder med spiludviklingen. Så selvom de ikke giver udtryk for, at de har lært noget om brøker, er det ikke usandsynligt, at de nu vil være bedre rustet til at 62

63 modtage og forstå undervisning i brøkregning. Det er dog ikke til at sige med sikkerhed. Derimod fortæller Emilie og Jane, at de er blevet bedre til tabellerne, hvilket, jeg mener, skyldes, at den matematik har givet mening for dem i forbindelse med deres spil. Eleverne, der arbejdede med Multiplikationsknuseren, nævner alle noget med det i deres arbejde. De fortæller alle sammen, at de har regnet opgaver og haft gangeopgaver med i deres spil. Da multiplikation er en af de fire regningsarter, som de tydeligvis anser for vigtig matematik, er det ikke underligt, at de snakker meget om, hvordan de har brugt det i deres spil. Det er derfor ikke til at sige, om det faktisk skyldes, de opgaver de har arbejdet med, eller om det hænger sammen med den matematikopfattelse, de har. Pernille fortæller at multiplikation er den eneste matematik, hun har brugt. Mange af de andre elever fortæller også, at de har arbejdet med firkanter, hvilket er en klar henvisning til opgaverne. Der er dog ikke nogle af eleverne, de kæder firkanterne sammen med multiplikation, hvilket kunne tyde på, at deres matematikopfattelse har stor betydning for deres brug af gange i spillene. Flere af eleverne påpeger også vigtigheden i at træne tabellerne for at blive bedre. Da alle elever har arbejdet med gange på den ene eller anden måde, må det også forventes, at de har lært noget mere omkring tabellerne It og GeoGebra Dette tema handler om elevernes brug af computeren i undervisning, herunder brugen af internettet, GeoGebra og andre programmer. De fleste elever har arbejdet med computeren i anden undervisning, men fortæller at forløbet med Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren har været anderledes og sjovere. Nogle fortæller, at de normalt bruger nogle hjemmesider, hvor der er matematikopgaver, som de skal løse. Andre har også arbejdet med Word, Excel og Fotofilter eller fundet billeder på internettet. Der er enighed blandt eleverne om, at computeren gør undervisningen sjovere. Eleverne snakker positivt om arbejdet med computeren og fortæller, det har været sjovt og motiverende. Rune beskriver, hvordan han synes, det er lettere at skrive på computeren. I: Er det hovedsageligt computeren der har været den motiverende faktor? R: Ja, også det. Men i stedet for at man skal bruge tid på at skrive det ned i hånden, så kan man bare trykke på. F.eks. hvis jeg skal skrive et 7-tal f.eks. eller 8-tal, så i stedet for at, tager det noget tid at skrive det, kan du bare trykke på en knap og så har du skrevet 8 (Bilag 2, l ). 63

64 Dette er et eksempel på, hvordan computeren kan muliggøre eller gøre nogle ting lettere, som Shaffer netop påpeger jf. afsnit Nogle elever synes, at arbejdet med GeoGebra har været meget anderledes, end den måde de normalt bruger computeren og internettet på. Rune siger f.eks., at arbejdet med GeoGebra har været sjovere, end når de har arbejdet med Word eller nogle af de andre programmer. Dette kan skyldes, at eleverne har fået lov til at gå direkte til computeren og prøve forskellige ting af, uden at skulle følge præcise lærerinstrukser og tastevejledninger. På den måde opdager de funktioner, hvor computeren gør noget muligt, som de ellers ikke ville have opdaget, hvilket Shaffer beskriver. Nogle elever oplever, at GeoGebra har gjort matematikken sjovere, og de har erfaret, at man kan lave matematik på mange måder. I: Hvad er det vigtigste, som du har lært her i GeoGebra? M: Det er nok, at man kan bruge matematik på mange måder (Bilag 7, l ). Her fortæller Freja, hvordan hun har brugt GeoGebra: I: Og hvordan var det I skulle lave de opgaver? F: Vi skulle øh der var sådan nogle firkanter oppe øverst i det der program, og så kunne man trykke på en, og så var der forskellige slags prikker. Og man kunne trykke på en anden, så var der forskellige streger. Og hvis man trykkede på den, så kunne man, så kunne pilen lave (Bilag 8, l ). Jeg mener, det er en vigtig erfaring for eleverne, at matematik kan gøres på forskellige måder. Det kan være med til at rykke på den typiske holdning, at matematik kun handler om at løse opgaver fra en bog eller tavlen. Det kan ligeledes være et tegn på, at matematikken kunne blive mere human, som Papert (1983) udtrykker det. Opgaverne, som de har arbejdet med i GeoGebra, synes de fleste elever, har været sjove. Der er flere, der nævner de figurer, som de har tegnet i GeoGebra, og alle elever giver udtryk for, at de godt kan bruge GeoGebra igen. Flere af de ældste elever fokuserer på, at det eventuelt kan bruges til eksamen, og en enkelt mener, han kan bruge det, når han kommer i Gymnasiet. Rune er klar til at bruge det straks. I: Hvornår tror du, at du kan bruge GeoGebra igen? R: Det tror jeg nærmest snart, jeg kunne her, hvis det skulle være. Det kommer an på, hvad det hedder, hvad jeg skal f.eks. måske til en eksamen, eller et eller andet (Bilag 2, l ). 64

65 Om eleverne selv kobler GeoGebra til eksamen og gymnasiet, eller om det skyldes, at læreren har fortalt, at mulighederne i GeoGebra rækker ud over Brøkknuseren, ved jeg ikke. Men efter at eleverne har brugt programmet, er de i hvert fald ikke blevet afskrækket fra at bruge det igen. Nogle af de yngre elever mener, at de kunne finde på at bruge det hjemme i deres fritid, hvor de kunne lave nogle matematikopgaver på samme måde, som de har gjort i skolen. Der er ikke så mange elever, der tænker, at det kan bruges til lektier, men de kan bruge det, hvis de arbejder med noget, der ligner det, som de allerede har arbejdet med i forløbet, som f.eks. at tegne firkanter eller cirkler. En af eleverne siger f.eks.: I: Tror du, at du kan bruge programmet igen, GeoGebra, på et tidspunkt? F: Ja, måske, hvis jeg skulle lave et eller andet spil eller et eller andet på et tidspunkt, eller hvis jeg skulle lave en lige firkant og et eller andet. Ja, så tror jeg godt (Bilag 8, l ). Det virker til, at eleverne har fået et godt kendskab til programmet og er fortrolige med det, så de alle føler, at de kan bruge det igen. Eleverne kan også se muligheder i, hvornår og i hvilke situationer, de kan bruge det. Runes åbenhed til programmet og indstilling til at kunne bruge det straks, kan skyldes den udforskende tilgang, de har haft til programmet. Han er ikke begrænset til kun at se programmets muligheder i forhold til den matematik, han allerede har beskæftiget sig med i GeoGebra, men er klar på at udforske nye muligheder. De fleste elever har prøvet forskellige matematikspil på internettet, og flere af eleverne mener, man kan bruge mobilen, computeren og internettet til at træne matematikken. Magnus fortæller, hvordan man kan blive god til matematik: M: Ved at øve sig. Ved at du sidder der hjemme og laver gangestykkker på mobil og på computer (Bilag 7, l ). Flere af drengene fortæller om et spil, der hedder Minecraft, som de spiller i skolen og hjemme. I spillet skal man bl.a. beregne hvor mange ressourcer, der skal bruges til at bygge forskellige ting. Det er tydeligt, at eleverne er klar til at bruge mere teknologi i undervisningen, og at det muligvis ville kunne få flere af de matematiksvage elever med. Jeg mener, at den eksperimenterende tilgang, som eleverne har haft, er med til at gøre dem fortrolige med programmet og vide, at programmet rummer en masse muligheder, som de endnu ikke har stiftet bekendtskab med. 65

66 5.3.7 Matematik Temaet matematik strækker sig fra, hvordan eleverne normalt oplever matematikundervisningen til den slags matematik, de har beskæftiget sig med her, samt deres opfattelse af at være god til matematik. Det er fælles for alle, at de i den almindelige undervisning arbejder ud fra en matematikbog. De fleste af eleverne fortæller også, at de har et matematikhæfte, hvor de skriver opgaverne ned og regner i. Elias siger: E: Vi plejer bare at lave noget i matematikbogen. Så når vi har lavet et kapitel, så skal vi lave sådan nogle sider. Sådan nogle sider, hvor vi skal lave de ting, der også har været i kapitlet. Og så klipper vi dem ud. Og så får [læreren] dem. Så senere så får vi dem igen og ser, hvordan vi lavede dem og sådan (Bilag 5, l. 9-12). Nogle fortæller, at de arbejder med et kapitel ad gangen, og læreren bruger tavlen til at introducere det nye emne. Nogle gange bruges tavlen også til, at en elev kommer op og regner et stykke, som læreren har skrevet op. Emilie og Jane mener godt, at man kunne lave mere matematikundervisning, hvor rammerne var mere frie. De mener ikke, at matematik nødvendigvis behøver at følge en bog eller foregå på tavlen. Det kan være et udtryk for, at det er lettere at personliggøre viden, når rammerne er frie til, at eleverne selv kan bestemme, hvordan de vil arbejde med opgaverne. Det er ifølge Brousseau vigtigt, at eleverne selv får mulighed for at arbejde med og bruge den nye viden. Nogle elever fortæller, at de somme tider arbejder på computeren i undervisningen, mens elever fra andre klasser siger, at det gør de aldrig. Den undervisning, eleverne beskriver, tyder hovedsageligt på at være opbygget af didaktiske situationer jf. afsnit 3.3.3, hvor læreren har den styrende rolle. Da opgaveregningen foregår på lærerens præmisser, og eleven skal følge en fastlagt metode, mener jeg, det kan diskuteres, hvorvidt det kan anses for at være en adidaktisk situation. Afhængig af elevernes indstilling til matematikken, og alt efter hvordan opgaveregningen bruges af eleverne, kan det godt indeholde dele af adidaktiske situationer. Hvis eleverne regner opgaverne for at tilfredsstille læreren, med et ønske om at opfylde den didaktiske kontrakt, er der ikke meget plads til udfoldelse af adidaktiske situationer. For de elever, der opfatter opgaveregningen som rent rutinearbejde, eller synes det er kedeligt, fordi de ikke ser noget formål med det, er regningen muligvis kun for at opretholde deres del af den didaktiske kontrakt. Disse elever har svære ved at danne deres personlige viden og må tage til takke med den fællesgjorte viden, som læreren fremlægger. Andre elever vil måske opleve opgaveregningen som udfordrende og gøre 66

67 det for deres egen lærings skyld, og derved skubbe den didaktiske kontrakt til side. For disse elever kan opgaverne have karakter af en adidaktisk situation og derved være en mulighed for eleven til selv at personliggøre viden. Lektier synes hovedsageligt at være noget der bliver givet, hvis eleverne ikke når at lave de opgaver, der er udvalgt, i skolen. Nogle siger, at de får lektier for til hver gang, og det er vigtigt, at man laver sine lektier, da man ellers bare får flere for. En elev fortæller, at de er begyndt at få ugeopgaver for, som skal laves hjemme, og en anden elev fortæller, at de får ekstraopgaver, men det refereres ikke til som lektier. R: Vi plejer at lave matematik, hvor vi får nogle opgaver i en bog, så skal vi skrive dem ned i et hæfte vi har, et gult hæfte. Så får vi nogle lektier for til, altså det kommer an på hvornår det er, til næste dag, næste dag måske. ( ) I: Er det vigtigt at man laver de lektier? R: Ja, det er det. Ellers kommer der bare flere og så plus de andre. Så Hvis du ikke når at lave dem, så får du bare dobbelt så mange plus de andre, vi fik (Bilag 2, l , ). Det tyder på, at de bruger ordet lektier om opgaver, som de ikke har nået at lave i skolen og derfor skal lave hjemme. Nogle elever fortæller, at de næsten aldrig får lektier for, men fortæller alligevel, at de har ugeopgaver eller ekstraopgaver. På den måde bliver lektier lidt negativt ladet eller et bevis på, om man er god til matematik eller ej, da det kun er de langsommere elever, der får den slags lektier for. Ugeopgaver og ekstraopgaver er fælles for alle. For nogle af eleverne blev matematik opfattet som et kedeligt fag, men her fortæller de alle, at matematikken godt kan være sjov. R: ( ) bare fordi matematik kan godt nogle gange være lidt kedeligt. Så kunne man lave det sjovt nogle gange (Bilag 2, l.8-9). To elever fortæller, at de har arbejdet med den sjove slags matematik. Den ene fortæller, at det er, når tiden går hurtigt, og den anden siger: I: Hvilke slags matematik har der været med? R: Det har været den sjove slags, der hvor man kunne regne sådan nogle sjove regnestykker ud, som man troede var svære, men som man fandt ud af var let nok (Bilag 2, ). Det er interessant, hvorfor nogle af eleverne oplever denne matematik, som den sjove slags. En grund kunne eventuelt være, at eleverne oplever, at computeren giver matematikken nogle nye muligheder. Rune fortæller f.eks., at han med computeren 67

68 kunne lave nogle svære regnestykker. Computeren gør det derfor muligt at lave noget, som ikke nødvendigvis var muligt uden computeren, hvilket Shaffer nævner jf. afsnit Det er også muligt, som tidligere skrevet, at eleverne blander metoden og indholdet sammen, og derfor forveksler matematikken med den måde, de udfører det på. Når jeg spørger til den slags matematik, eleverne har arbejdet med, nævner de alle nogle af regningsarterne. Det er tydeligt, at de fire regningsarter er den slags matematik, som fylder for dem. De fleste nævner plus og gange, som noget de har med i deres spil. F.eks. fortæller en elev: M: Der er en plusverden og en gangeverden. Så når man er i plusverden, så skal man plus de to terninger og gå, og når man er i gangeverden skal sige f.eks. 5 gange 4, og så rykker man det (Bilag 7, l ). Han fortæller også, at gangeverdenen er større end plusverdenen. En enkelt elev har også brøkregning med. Langt de fleste elever nævner også forskellige geometriske former, som noget de har brugt. Nogle siger, at de har arbejdet med figurer som cirkler, firkanter og femkanter. Emilie og Jane nævner også, at de har arbejdet med rumfang, radius, diameter og cirkelperiferi. I: Hvilken matematik er I stødt på, mens I skulle lave de her opgaver? J: Bl.a. det der med rumfang lavede vi noget om. E: Og radius og diameter. J: Og cirkelperiferi og sådan noget (Bilag 3, l ). Holger mener, han har arbejdet med en mere abstrakt matematik, da det ikke har handlet om regningsarterne, men om cirkler og vinkler med mere. I selve spillet har han dog også nogle regnestykker med. I: Hvilke slags matematik har der været i det her forløb? Det kan også være der har været flere slags? H: Øhm, I GeoGebra er det nok mere, sådan, hvis du forstår, abstrakt matematik. Sådan i stedet for plusser og minus så er det mere øh, cirkler og vinkler og sådan (Bilag 1, l ). Holger mener også, at der i princippet er matematik i alt. I: Ja, synes du, der har været matematik med, når I har udviklet spillet, da I ligesom har lavet det og produceret det? 68

69 H: Der er vel i princippet matematik i alt. Ja, for vi har jo lavet en cirkel, hvor man i princippet bare kan blive ved med at zoome ind, næsten ik. Så bliver der en cirkel igen (Bilag 1, l ). Jeg synes, det er meget positivt, at eleverne har arbejdet med flere former for matematik. Det kan give eleverne mulighed for at lære, at der findes flere relationer mellem de forskellige dele i matematikken. Disse relationer kan styrke deres matematiske begrebsforståelse og forhåbentlig gøre det muligt for dem at danne relationer til nye begreber. Jeg spurgte eleverne, hvad det vil sige, at være god til matematik, og hvordan man kan blive det. Det er en udbredt betragtning blandt eleverne, at identiteten at være god til matematik kræver, at man skal være god til at regne. Nogle af eleverne lægger vægt på, at man skal være god til tabellerne, hvilket kunne skyldes en påvirkning fra læreren, da en elev siger: F: Ja, tabellerne det er det vigtigste. Hvis man kan tabellerne siger [læreren] også, så bliver det meget lettere for en (Bilag 8, l ). 3. klasses eleverne fortæller, at de ikke har lært division endnu, men det skal man kunne, når man bliver ældre. Pernille fortæller, at det også er vigtigt, at man bruger linealen. I: Kan du fortælle mig, hvad vil det sige at være god til matematik? P: Det vil sige, man kan gange, og man kan plus, og man kan minus, og når man kommer op i de højere klasser, så kan man også dividere I: Ja. Er det det, der kræves for at man er god til matematik? P: Man skal jo også bruge linealen nogle gange, så man ikke bare laver sjuskede streger, fordi man ikke gider bruge linealen. ( ) Men det er jo først i de højere klasser, man lærer at dividere (Bilag 6, l ,169). Det virker til, at Pernille vil retfærdiggøre, at hun ikke kan division endnu, men hun føler alligevel, at det er nødvendigt at kunne, for at være god til matematik. Emilie og Jane har regnestykker af forskellige sværhedsgrader med i deres spil og har en tydelig ide om, hvilke slags opgaver, der er de svære. J: Så er det også alle mulige forskellige, altså det er divider, gange og plus og sådan noget. Øh, Ikke bare plus. E: Nej, og minus (Bilag 3, l ). Det viser, at plus og minus anses for lette stykker, mens gange- og dividerstykker er svære. Dette hænger også sammen med, at plus og minus er det, man lærer først. 69

70 Flere elever mener også, at man skal kunne regne stykkerne hurtigt. En elev siger, at man skal kunne forstå det og skal synes, det er en smule sjovt, for at man kan være god til matematik. Ifølge Nanna kan man være god til matematik på flere niveauer. I: Hvad vil det sige at være god til matematik? N: Det synes jeg... Bare god, eller rigtig rigtig god? I: Ja, sådan rigtig god. N: Og det synes jeg så, at hvis man er rigtig hurtig til at regne hovedregning. Og næsten kan rigtig mange af svarene. Og man synes, det er meget nemt, alle de der opgaver (Bilag 4, l ). Dette hænger godt sammen med, at Jane og Emilie mener, man godt kan være god til nogle områder inden for matematikken og dårlig til andre. I: Hvornår er man god til matematik? Hvad vil det sige at være god til matematik? J: Altså, når man kan det. Men man kan også godt selv synes, man er god, uden man er mega god sådan til det. E: Det er også forskelligt, hvad det er, man er god til. Det kan være man er helt vild god til gange, og så er man vild dårlig til, ja, dividere eller sådan noget eller minus. I: Er man god til matematik, hvis man er god til gange men ikke så god til divider? J: Ja, man kan lære det andet. E: Ja, det tager vel lidt lang tid for at blive, alle, sådan meget lang tid (Bilag 3, l ). Jeg synes, det er interessant, at pigerne fortæller sådan. Jeg ved dog ikke, om det er en generel opfattelse, at man godt kan have svagheder inden for nogle områder og stadig være god til matematik. Det hænger godt sammen med Nannas indstilling til, at man kan være god til matematik på flere niveauer. Det er dog også tydeligt, at den gængse holdning er, at de fire regningsarter er vigtige. De fire regningsarter fylder en stor del af deres matematik og er tæt forbundet med identiteten at være god til matematik. Der er en udbredt holdning i samfundet, at hvis man ikke kan regne, så kan man ikke være god til matematik. Det er derfor ikke underligt, at eleverne netop lægger vægt herpå. Det er derfor meget interessant, at pigerne fortæller noget andet og ikke udtrykker en opfattelse af matematik, som noget man kan eller ikke kan. Der er ikke noget, der tyder på, at eleverne mener, det er dårligere at bruge papir og blyant til et regnestykke frem for hovedregning. Til opgaverne i deres spil er det okay at bruge papir og blyant, hvis man ikke kan regne det ud i hovedet. Men det at være 70

71 hurtig til hovedregning er også en del af at være rigtig god til matematik, mener flere af dem. N: Og det synes jeg så, at hvis man er rigtig hurtig til at regne hovedregning, og næsten kan rigtig mange af svarene, og man synes det er meget nemt, alle de der opgaver. I: Hvis man synes, det er nemt? N: Ja, og man kan, hvis nu at ingen fra klassen kender svaret, og man er den eneste, som er rigtig god til det man har fået at vide og kender svaret. Det, synes jeg også, er sejt (Bilag 4, l ). Lommeregneren er ikke rigtig noget, de snakker om, og det lader også til, at hovedregning alligevel har en hvis betydning, da man helst skal kunne regne opgaver hurtigt. De fleste nævner ikke, om man må bruge lommeregneren i deres spil, men Jane og Emilie fortæller, at lommeregneren kan bruges til at kontrollere, om man har regnet rigtigt. For at blive god til matematik, er der bred enighed om, at det er vigtigt, at man øver sig og træner bl.a. sine tabeller. Rune fortæller: Der er en ting at gøre, og det er bare at øve sig og øve sig (Bilag 2, l. 180). De fortæller, at man kan øve sig hjemme på mobilen, computeren eller med sine forældre. Nanna mener også, at man kan lære af sine fejl, og derved blive bedre. N: Uhm, ved også at lære af sine fejl. I: Og hvordan kan man gøre det? N: Hvis nu, som jeg sagde før, hvis den anden person, altså havde et andet svar. Hvis nu jeg havde et andet svar, og f.eks. den person så havde ret, og jeg så ikke havde, så lærer jeg så af mine fejl (Bilag 4, l ). Emilie og Jane påpeger, at man skal høre efter og sætte sig ind i det nye stof. Der er flere ting, der peger på, at den didaktiske kontrakt har stor betydning for, hvordan eleverne opfatter det at være god til matematik, og hvordan man bliver det. Det viser, at de elever, der følger den didaktiske kontrakt, har lettere ved at blive god til matematik. Eleverne fortæller ikke, at der bare er nogle mennesker, der kan finde ud af matematikken, og andre der ikke kan, men at det er noget, vi alle kan øve os på og blive bedre til Samarbejde Dette tema skildrer elevernes samarbejde. Det fortæller noget om de muligheder og udfordringer, eleverne oplever ved at samarbejde med en anden elev. 71

72 Eleverne er alle vant til at have muligheden for at arbejde sammen med en anden, og de fleste bruger det også i den almindelige undervisning. Nanna har, som den eneste af de interviewede personer, valgt at arbejde alene. 3. klasserne blev sat sammen med en makker og havde derfor ikke noget valg. De snakker alle sammen positivt om samarbejdet på nær Freja, der også nævner nogle vanskeligheder ved at arbejde sammen med en anden. I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en i det her? F: Altså, det har været lidt hårdt, fordi man kunne ikke rigtig blive enige i, hvem der skulle styre musen og sådan noget. Så det har været lidt svært, men vi kunne godt finde ud af det.( ) F: Ja, vi har været lidt ivrig, mig og Kasper med at øh.., fordi vi ikke lige kunne finde ud af, hvem der skulle gøre hvad. ( ) I: Så I kom bagud. Var det fordi, I ikke sad og arbejdede, men fordi I lavede noget andet? F: Nej, vi sad og arbejdede med det, men vi skændtes meget af tiden, og kunne ikke rigtig finde ud af, hvad spillet skulle handle om og sådan noget. Så vi prøvede at lave et spil hver og så blande det sammen på en måde (Bilag 8, l.44-49,165, ). Rune er en af dem, der har haft meget glæde af at samarbejde. Han fortæller, at det på den måde er nemmere, sjovere og går hurtigere. Nanna har hovedsageligt arbejdet alene og foretrækker normalt også at arbejde alene, men hun synes også, det kan være sjovt og lærerigt at arbejde sammen med en anden. N: Jeg plejer altid at ville arbejde alene, fordi så synes jeg, det går det lidt bedre. Men når vi ikke må deles om... hvis vi ikke må få en hver, fordi der er andre, der skal bruge dem på skolen, så skal vi nogle gange være to og to, og så plejer jeg bare at være sammen med nogle andre. I: Og det er computeren I så skal deles om? N: Ja, og så skal man lave det sammen, en hver og så skal man gemme det. I: Hvordan synes du, det har fungeret at arbejde sammen på den måde? N: Det er også sjovt, men nogle gange, så når man tror, man selv har ret, og den anden også tror, den har ret, så spørger vi jo så også de voksne, og så kan det godt være det er en selv har ret, men det kan også være en selv, der tager fejl. Så lærer man også på en måde noget af sine egne fejl (Bilag 4, l.46-55). Emilie og Jane er meget glade for at arbejde sammen, da de synes, de kan hjælpe hinanden på den måde. I: Hvordan synes I, det har været at arbejde sammen? 72

73 J: Det synes jeg har været godt. E: Ja, det synes jeg også har været rigtig fedt, fordi at også det med at samarbejde. J: Fordi vi er nemlig ikke sådan, vi er fine nok til det, men vi er ikke så gode til matematik, så derfor har det været godt sådan at kunne hjælpe hinanden (Bilag 3, l.44-48). Derudover fortæller de, at samarbejdet giver mulighed for, at de kan diskutere, hvordan de skal lave opgaverne og spillet, hvilket er rigtig hyggeligt. Emilie siger: Ja, at man sidder sådan sammen, og det er computeren, og så skal man komme med ideer, sådan. Ja, det er rigtig hyggeligt. Skal vi ikke gøre det på den her måde, eller hvad med den her måde (Bilag 3, l ). Samarbejdet har mange muligheder, men også udfordringer, som Freja beskriver. Eleverne er generelt positive over for samarbejdet, og jeg synes, de beskriver mange gode muligheder i samarbejdet. Ifølge Shaffer er det også vigtigt, at eleverne både kan arbejde selvstændigt og samarbejde med en makker jf. afsnit Værdier. De er alle sammen vant til at have muligheden for at arbejde sammen med en anden i matematikundervisningen, og samarbejdet her har også virket positivt for de fleste. De nævner f.eks., at det er nemmere, sjovere, mere lærerigt, går hurtigere, og man kan hjælpe hinanden. Derudover fortæller Emilie og Jane også, at man kan snakke om sine ideer med sin makker. Nanna foretrækker normalt at arbejde alene, men giver også udtryk for, at det kan være sjovt og lærerigt at arbejde sammen med en anden. Freja er den eneste, der snakker om nogle vanskeligheder ved at arbejde sammen og siger, at det kunne være lidt svært. Hun og hendes makker, havde svært ved at blive enige om, hvem der f.eks. skulle styre computermusen. Emilie og Jane mener, det er bedst at arbejde sammen med en på samme matematiske niveau som en selv. De påpeger også det hyggelige element ved at arbejde sammen med en, hvor man kan snakke og diskutere sine ideer. I: Hvad er det ved det, der gjorde, at I siger, det er hyggeligt? J: Altså, at man laver det sammen. P: Ja, at man sidder sådan sammen og det er computeren, og så skal man komme med ideer, sådan. Ja, det er rigtig hyggeligt. Skal vi ikke gøre det på den her måde, eller hvad med den her måde (Bilag 3, l ). De fleste har valgt, eller er blevet sat til, at arbejde sammen med en anden i dette forløb, hvilket ikke er noget nyt for dem, da de ofte gør det i den almindelige 73

74 undervisning. Dette mener jeg, giver en god mulighed for, at de kan diskutere og få en slags sparring på deres ideer, som Shaffer (2006) pointerer er en vigtig del i at udvikle kreative løsninger. Hvis de ikke selv kan komme videre, kan de spørge andre elever eller læreren til råds. 5.4 Forskelle mellem interaktionerne Da der er foretaget nogle ændringer fra det første forløb med Brøkknuseren, der blev anvendt af 5. klasse til det næste med Multiplikationsknuseren, der blev anvendt af 3. klasserne, er det interessant at se, hvilke forskelle der kan spores hos elevernes oplevelse af forløbene. Udover ændringerne i forløbene, er der også en væsentlig ændring i målgruppen. 5. klasse har en viden og modenhed, der giver andre forventninger end i en tilsvarende 3. klasse. Dette forhold medtages løbende i behandlingen af elevernes udsagn. Alle eleverne er positive over for den lidt anderledes undervisning. Der er dog lidt forskelle på, hvad de fortæller. Eleverne, der anvendte Multiplikationsknuseren, lægger meget vægt på, at de selv må bestemme. F: Ja, men Det var sjovt, og man kunne selv bestemme, hvordan spillet kunne se ud, og... og sådan noget I: Ja, er det godt, at man selv kan bestemme F: Ja, for det ville ikke være så fedt, hvis man bare skulle lave et bestemt spil, og så skulle man bare lave det. Det er sjovere, når man selv kunne bestemme, hvad det er for et spil (Bilag 8, l ). Eleverne fra Brøkknuseren går mere op i, at undervisningsrammerne har været frie, så de har haft mulighed for at gøre det, som de gerne ville. De fortæller også mere direkte, hvilke tiltag de af den grund har gjort i spillet. Jane og Emilie har nøje arbejdet på, hvordan cirklerne i deres spil skulle være. J: Nej, nej, det var sådan, at de skulle sidde tæt på hinanden, eller hvor mange der var og sådan noget. E: Og de skulle være lige store eller blive mindre. J: Det skulle passe ind, så der var et lige antal, for ellers så passede det jo ikke (Bilag 3, l ). Disse små forskelle, kan skyldes den aldersforskel, der er på eleverne. Forskellen kan være en ren sproglig ting, eller det kan være, fordi 5. klasseeleverne kan være mere 74

75 vant til, at der er nogle ting, de selv må bestemme og derfor ikke oplever det, som en særlig forskel. En anden iøjefaldende forskel, jeg også mener skyldes aldersforskellen, er elevernes deltagelse i den almindelige undervisning. De fortæller alle, at de er meget engagerede i forløbet med Brøkknuseren eller Multiplikationsknuseren, men hvor det for 3. klassen virker som en selvfølge, er det ikke nødvendigvis det for 5. klasseeleverne. Alle de interviewede elever fra 3. klasse fortæller, at de altid er med i undervisningen, og dette forløb har ikke været nogen undtagelse. Et par af eleverne fra 5. klasse fortæller, at de har været mere med i dette forløb, fordi det har været sjovere. Det kunne derfor tyde på, at de elever, der ikke er særlig deltagende i den almindelige undervisning er blevet interesseret i denne undervisning. Jeg har spurgt eleverne, hvilke fag de har arbejdet med i dette forløb, da nogle af dem også har haft dansk og billedkunst indover. Her svarer eleverne fra Brøkknuseren, at it også har været et fag, de har beskæftiget sig med, mens eleverne fra Multiplikationsknuseren kun nævner matematik. Grunden til denne forskel kan være, at Brøkknuseren blev afholdt i nogle skemalagte it-timer, mens Multiplikationsknuseren foregik i matematiktimerne. 5. klassen har ligeledes haft andre timer, de har kaldt it, hvor de har arbejdet med andre programmer. Jeg ved ikke, om 3. klasserne har haft noget tidligere, som de har kaldt for it. Derfor opfatter de måske ikke it som et selvstændigt fag. Eleverne fra Brøkknuseren fortæller, hvordan de fik hjælp af læreren eller hjælper hinanden. De fortæller på den måde, hvordan samarbejdet har været givtigt og lærerigt. Dette nævner eleverne fra Multiplikationsknuseren ikke rigtig noget om. De fortæller, at samarbejdet har været sjovt, men nævner ikke noget om, at de kan hjælpe hinanden, eller hvordan de brugte lærerhjælpen. Et sidste og meget interessant aspekt er elevernes arbejde med hhv. brøker i Brøkknuseren og gange i Multiplikationsknuseren. Som tidligere skrevet, er det ikke alle eleverne fra Brøkknuseren, der nævner brøker. Da eleverne eksplicit skulle have arbejdet med brøkopgaver, var det forventet, at de også ville fortælle om det, som en del af den matematik, de har beskæftiget sig med. Eleverne fra Multiplikationsknuseren fortæller alle, at de har arbejdet med gange. Det er dog ikke tydeligt, hvor mange af dem, der nævner det, som en del af de opgaver, de har arbejdet med, inden de skulle lave deres spil. Pernille fortæller dog, at multiplikation er den eneste slags matematik, hun har beskæftiget sig med. Det gælder både 1) til opgaverne, 2) til udviklingen af spillet og 3) i selve spillet. Freja fortæller, at hun har fået regnestykker, som hun skulle vise med tegninger. Om disse regnestykker også 75

76 omhandler gange, fortæller hun ikke. Magnus fortæller, at han har brugt gange, men om det kun er i forbindelse med hans spil eller også til opgaverne i Multiplikationsknuseren er ikke klart. Elias nævner kun gange i forbindelse med sit spil. Det er derfor ikke helt tydeligt, hvorvidt de refererer til de opgaver, de har lavet eller til deres eget spil. Eleverne snakker til gengæld om de firkanter og figurer, som de har lavet i opgaverne, og på den måde refererer alle til deres arbejde med Multiplikationsknuseren. E: Først, så skulle vi lave sådan nogle opgaver. I: Ja. Hvad var det for nogle slags opgaver? E: Det var sådan nogle firkanter og sådan. Så skulle vi lave flere med et bestemt kvadrat og så lave det større og større og sådan noget (Bilag 5, l.88-91). Jeg mener, det er naturligt, at eleverne refererer til de firkanter, de har arbejdet med, da opgaverne handler om arealberegning af firkanter, og opgavebeskrivelserne ikke indeholder ord som gange eller multiplikation (se bilag 12 og Link B). Ud fra disse betragtninger, kan man udlede, at eleverne fra Multiplikationsknuseren refererer mere til de opgaver, de har lavet, end eleverne fra Brøkknuseren gør. Da det netop var et kritisabelt punkt fra Brøkknuseren, at eleverne ikke refererede tilstrækkeligt til brøkregningen, som de havde lavet i GeoGebra, er det positivt at se, at eleverne i Multiplikationsknuseren i meget højere grad gør det. Dette kan sandsynligvis skyldes, at GeoGebra har været samlet på samme platform som Multiplikationsknuseren med opgaverne, og eleverne har derfor ikke skulle skifte mellem de to sider. På den måde er de måske også blevet holdt mere fast i opgaverne og ikke så let blevet distraheret med andre interessante facetter i GeoGebra. En anden mulighed er lærerens styreform og lærerens vilje til at eleverne skulle arbejde sig gennem opgaverne, før de kunne gå i gang med spillet. Det virker også her til, at opgaverne hos 3. klasse blev betragtet som en vigtig del af træningen i GeoGebra, inden de skulle i gang med spillet. F.eks. siger Freja: F: Jamen, altså, det var sjovt, men det var lidt hårdt, da vi bare skulle træne det, men det var sjovt. I: Hvordan skulle I træne det? F: Vi skulle øve os i at lave firkanter og sådan noget. Vi skulle klare nogle opgaver, før vi kunne starte med spillet (Bilag 8, l ). Her har eleverne fra 5. klasse måske haft mere frit spil til, hvorvidt de ville arbejde med opgaverne eller gå i gang med spillet. Det er også muligt, at brøkregningen har været relativ svære for 5. klasse, end gange har været for 3. klasse. 76

77 5.5 Aksialkodning Hensigten med en aksialkodning er at finde mønstre og undersøge, hvordan et tema hænger sammen med andre temaer. I en aksialkodning vælges et tema som sættes i midten som kernekategori af den proces, der udforskes, og derefter relateres andre temaer til denne kernekategori (Creswell 2008). Dette laves ved at tegne et kodningsdiagram, som illustrerer forbindelsen mellem de forskellige temaer (Creswell 2008, 437). Context Causal Conditions Core Category Strategies Consequences Intervening Conditions Figur 10: Kodningsdiagram I diagrammet har jeg valgt temaet matematik, som kernekategorien. Denne har jeg valgt, fordi det er et centralt omdrejningspunkt for mit speciale og det tema, der indeholder flest koder. Aksialkodningen tager derfor udgangspunkt i denne kategori, og på figuren ses det, hvordan jeg har relateret de andre temaer hertil. Samarbejde + Følge opgavebeskrivelse It og GeoGebra + Brøker Matematik Engagement og interesse Anderledes Egen udførelse/ selvstændighed Figur 11: Mit kodningsdiagram 77

78 Multiplikationsknuseren og Brøkknuseren har i kombination med GeoGebra dannet udgangspunkt for elevernes matematikudfoldelse og billede af matematik. Den selvstændige arbejdsform og elevernes samarbejde har, sammen med elevernes billede af matematik, ført til et højt engagement og har givet eleverne en anderledes oplevelse med matematik. Den type matematik, eleverne har beskæftiget sig med, har været præget af deres arbejde med GeoGebra og læremidlet, det være sig Brøkknuseren eller Multiplikationsknuseren. Læremidlerne er dog ikke separate koder og indgår derfor ikke direkte i diagrammet, men de har alligevel stor betydning for elevernes matematiske aktivitet. Elevernes store medbestemmelse har haft stor indflydelse på deres engagement og interesse. Eleverne har kunnet arbejde med den matematik, som har givet mening i forhold til deres opgaver og spiludvikling. Elevernes engagement og interesse har været præget af flere forskellige faktorer. En af dem, er den kontekst, som eleverne befandt sig i; de skulle samarbejde om at løse opgaver og udvikle et spil. Dette samarbejde havde tydeligvis en positiv effekt på de fleste elevers engagement i forløbet. Derudover har elevernes frihed til at følge deres egne interesser og udforske deres egne ideer også haft en stor betydning. Til opgaverne har eleverne haft frihed til at udvikle deres egne svar og fortolkninger. F.eks. skulle eleverne tegne en smiley, hvilket der ikke kun findes én rigtig løsning på, og eleverne har derfor haft stor fortolkningsfrihed til løsningerne af opgaverne. Denne frihed har også betydet, at eleverne taler meget positivt om spiludviklingen, og alle fortæller at det har været sjovt. Eleverne har vist en stor selvstændighed i forløbet, hvilket bl.a. er kommet til udtryk i deres store engagement. Elevernes øgede engagement og interesse samt den måde, de er gået til opgaverne og spiludviklingen på, har fået betydning for, hvordan de oplevede deres arbejde og matematikken. Eleverne har oplevet deres matematikundervisning som markant anderledes end normalt på flere områder. De har både oplevet matematikken og undervisningsrammerne som forskellig fra det vante. Flere af eleverne har fået en fornyet forståelse af matematik som noget, der kan bruges på mange forskellige måder. 78

79 6. Svar på Forskningsspørgsmål I dette kapitel vil jeg besvare mine forskningsspørgsmål, som jeg har revideret på baggrund af teorien. Ud fra analysen er jeg nu i stand til at besvare mine forskningsspørgsmål version 2.0, som er gengivet nedenfor. 1. Hvordan bruger eleverne begreberne om brøkregning, multiplikation, cirkler og firkanter? Og hvordan beskriver de deres arbejde med GeoGebra? 2. Hvordan oplever eleverne, at de bruger matematikken til at konstruere noget meningsfuldt? Og hvordan oplever de den epistemiske ramme i forhold til matematik? 3. Hvorledes føler eleverne en personlig tilknytning til det spil de konstruerer? Hvordan er den didaktiske kontrakt anderledes end normalt? Og hvilke krav stiller undervisningen til den didaktiske kontrakt? 6.1 Elevernes brug af begreberne I hvert forløb, var der en intention om, at eleverne skulle lære om brøkregning eller multiplikation i hhv. Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Ved Brøkknuseren har eleverne siddet med cirkler, som de skulle dele ind i forskellige brøkdele (Se bilag 11). I Multiplikationsknuseren skulle eleverne tegne og måle nogle firkanter, hvor de skulle beregne arealerne (Se bilag 12). Der var derfor en klar forventning om, at eleverne ville bruge flere begreber knyttet hertil og derved vise, at de havde lært noget om brøker og multiplikation. Derudover var der et ønske om, at eleverne skulle få et kendskab til GeoGebra og blive i stand til at bruge det til at udvikle et brætspil Brøkknuseren (5. klasseelever) Da jeg spurgte ind til elevernes arbejde med matematikken i Brøkknuseren, var det kun Nanna, der svarede direkte, at hun havde arbejdet med brøker. Dette var noget overraskende, da de alle burde have arbejdet med det. Nanna fortæller også, at de alle startede med nogle opgaver omkring brøker, hvor de tegnede cirkler i GeoGebra, som de skulle dele ind i et bestemt antal pizzastykker. De andre elever nævner ikke direkte brøkerne, men Holger refererer dog til nogle opgaver i GeoGebra, hvor han skulle lave fire fjerdedele og andre lignende opgaver. De andre elever fortæller, at de har arbejdet med cirkler og vinkler og ganget cirkler sammen, hvilket jeg mener, er deres forsøg på at forklare deres arbejde med brøkerne. 79

80 Eleverne bruger begreberne cirkler, vinkler, pizzastykker og fire fjerdele, men det er alligevel meget uklart for mig, hvor meget eleverne har arbejdet med brøker i Brøkknuseren, og hvor meget de har fået ud af det. Det er muligt, at nogle elever blot er blevet introduceret til opgaverne og derefter hurtigt gået videre med deres eget spil. Andre har måske lavet opgaverne, men har ikke kunne se den dybere mening med udførelsen. Det kan enten skyldes, at det har været for abstrakt, at skulle overføre matematikken fra opgaven til en cirkelinddeling. Det kan også være, at opgaverne har handlet om træningen af den proceduremæssige viden jf. afsnit og derfor ikke har haft et meningsfyldt formål for eleverne. Jeg mener, der kan stilles spørgsmålstegn ved, hvor meget de har lært af brøkopgaverne Multiplikationsknuseren (3. klasseelver) Eleverne fra Multiplikationsknuseren fortæller alle, at de har arbejdet med firkanter og gangestykker, når jeg spørger ind til deres brug af matematik i forløbet. Freja fortæller, at hun har haft regnestykker med. Det er sandsynligt, at disse regnestykker også er gangestykker, men det ikke helt tydeligt. Hun fortæller bl.a., at hun brugte regnestykker til at finde ud af, hvor mange firkanter, der skulle være. Der er ikke nogen af eleverne, der fortæller, hvordan de konkret har arbejdet med multiplikation i forbindelse med opgaverne i GeoGebra eller nævner en decideret sammenhæng mellem firkanterne og gangestykkerne. De nævner det som to separate ting, de har beskæftiget sig med. Det kan derfor overvejes, om eleverne er bevidste om, at de har arbejdet med multiplikation i deres arbejdet med firkanterne. I den forbindelse er det værd at overveje, hvorvidt, man mener, det er nødvendigt for eleverne at være klar over dette. Når eleverne ikke er opmærksomme på denne forbindelse, bruger de multiplikation som et værktøj til at opnå et andet mål. Hvis de derimod er bevidste over brugen af gange, kan de muligvis lettere selv skabe relation til andre dele af matematikken og derved udvide deres begrebsforståelse. Ud fra elevernes brug af begreberne gange og firkanter, mener jeg, det er tydeligt, at eleverne har arbejdet med multiplikationsopgaverne og mere eller mindre direkte beskæftiget sig med gangestykker. De fleste elever fortæller også, at de har brugt gange i deres spil som opgaver eller til at regne dele ud til deres spil. Alt i alt mener jeg, at eleverne udtrykker et omfangsrigt arbejde med multiplikation. 80

81 6.1.3 GeoGebra Eleverne beretter om en god aktivitet og forståelse omkring GeoGebra og beskriver deres arbejde med en stor selvstændighed. Alle eleverne mener, at de er i stand til at bruge programmet igen og kan se muligheder til, hvornår de kan bruge det. De ældste elever tænker på det som en mulighed til eksamen, og de yngre elever kunne finde på at bruge programmet hjemme til at lave nogle matematikøvelser. Eleverne har haft en stor interesse i programmet og udtrykker tydelig begejstring for den måde, programmet er blevet introduceret på. Rune sammenligner med undervisning, de havde i Word, hvor GeoGebra var meget sjovere, da der ikke var en udførlig tastevejledning, der skulle følges. Flere elever prøver at beskrive, hvordan de skulle trykket, så de fik forskellige funktioner frem i GeoGebra. Andre elever forklarer, hvordan de prøvede sig frem med at undersøge forskellige dele i programmet for f.eks. at få nogle prikker til at forsvinde. Eleverne beskriver deres arbejde med GeoGebra som noget positivt. I og med eleverne føler sig trygge ved at skulle bruge GeoGebra igen og udviser den gode forståelse omkring programmet, mener jeg, at elevernes arbejde med GeoGebra kan siges at være succesfuldt. 6.2 Relation til matematik Misfeldt havde en bekymring om, at eleverne ikke opfattede, at de arbejdede med matematik og derfor efterfølgende ikke ville karakterisere deres arbejde som noget matematisk. De ville måske opleve, at de blot havde arbejdet med it eller måske leget, fordi de havde produceret et spil. Mine data viser dog, at dette ikke er tilfældet. I mine interview med eleverne fortæller de alle, at de har arbejdet meget med matematik, og de er også i stand til at give eksempler på den matematik, de har beskæftiget sig med Konstruktion af noget meningsfuldt Eleverne fortæller alle, at de har været meget engagerede i at udvikle deres spil, og de viser også, at de har brugt matematikken i det. Eleverne fortæller, hvordan de skulle bruge matematikken til at udforme deres spil, som de gerne ville have det. Dette er et udtryk for, at matematikken har haft et formål og deres arbejde har været meningsfuldt. Flere af eleverne fortæller, at de har brugt matematik til at lave nogle opgaver til deres spil. Dette har ofte været regnestykker med bl.a. gange eller andre regningsarter. Derved fortæller eleverne, at de har brugt matematikken til at 81

82 konstruere et vigtigt element i deres spil. Andre elever fortæller, at de har brugt figurer til at designe deres spilleplade og matematikken til at beregne, f.eks. hvor mange firkanter der skulle være på hver led. Det er tydeligt at høre, at eleverne har oplevet, at de har brugt meget matematik til at skabe deres spil. Der er alligevel noget matematik, eleverne ikke selv nævner direkte, men som de på anden måde giver udtryk for at have arbejdet med på en eller anden måde. Der er f.eks. ikke nogen af eleverne, der fortæller direkte, at de har arbejdet med afstanden mellem to objekter eller med størrelsesforhold. Det kunne også tænkes, at de på en eller anden måde har arbejdet med sandsynlighed i forhold til, at der skal være spørgsmål eller opgaver nok, hvis en spiller rammer alle felterne. Disse dele af matematikken har formegentlig fungeret som et værktøj til at udforme spillet, som de ønsker, og der har derfor også været en del skjult matematik i deres arbejde. Dette er dog ikke noget matematik, som de selv har oplevet og tænkt over, at de har brugt, selvom det kan have været en stor del af deres arbejde. Det er også muligt, at de ikke har arbejdet så meget med det i matematikundervisningen endnu, så det derfor ikke direkte tænkes som matematik. Eleverne er alle klar over, at de har arbejdet med matematikken, og de har brugt matematikken på forskellige måder til at udvikle deres spil, som de gerne ville have det. Der kan dog stilles spørgsmål til, i hvor stor udstrækning, de har lært noget nyt matematik. For de flestes vedkommende kan matematikken have bidraget til en større begrebsrelation. Eksempelvis fortæller Freja, at de også har arbejdet med firkanter tidligere, men det har været på en anden måde. Jeg mener derfor, at hun højst sandsynligt har fået udvidet sin begrebsforståelse omkring firkanter og nu kan forbinde det med flere matematiske relationer. Jeg ser det som en force, at forløbene kan styrke elevernes matematiske relationer, da mange begreber kun introduceres og arbejdes med på en enkelt måde, og den matematiske relation derfor ofte er svag Epistemisk ramme Eleverne har været placeret i et epistemisk spil, hvor de har skullet agere som spildesignere. Det er kun Nanna, der giver udtryk for, at hun har identificeret sit arbejde med matematikken som en spildesigners. De andre elever har formegentlig opfattet deres egen rolle som elev og arbejdet med matematik og spillet ud fra det. Flere elever ytrer en mening om, at matematikken har været den sjove slags matematik. Hvis dette bunder i en almindelig opfattelse af matematik, som noget kedeligt, mener jeg, det er et meget positivt resultat. Det viser, at eleverne oplever en anden værdi og nytte af matematikken. Dette kan muligvis hænge sammen med, at 82

83 GeoGebra har givet eleverne mulighed for at arbejde med matematikken på en ny måde. Nogle elever fortæller, hvordan de tidligere har arbejdet med figurer i matematikundervisningen, men det har foregået på en anden måde. Det er tydeligt, at de fire regningsarter og forskellige former og figurer har været en stor del af den matematik, som de har oplevet. For de yngre elever, er det hovedsageligt gange og firkanter, de nævner. De ældre elever har lidt mere diversitet i den matematik, de har oplevet at arbejde med. Derudover nævner Emilie og Jane nogle forskellige begreber, der hører til cirklen, som radius, diameter og cirkelperiferi. Pigerne virke usikre på disse begreber, og der ligger formegentlig kun en svag begrebsforståelse bag. De er alle klar over, at de har beskæftiget sig med matematik, og for de flestes vedkommende har de også kunne se flere former for matematik i deres arbejde. Det er kun Pernille, der udelukkende nævner gange som den matematik, hun har arbejdet med. For de fleste elever handler dét at være god til matematik om, at kunne regne forskellige ting eller at kunne regne hurtig. Enkelte elever mener også, at man kan være god til nogle områder inden for matematikken og lidt mindre god inden for andre områder. Der er bred enighed om, at man er nødt til at øve sig for at blive god til matematik. Det vil sige, at der kun er en vej frem, og det er træning. Det fremgår ikke, om forløbet med Brøkknuseren eller Multiplikationsknuseren direkte har påvirket nogle af elevernes opfattelse af, hvad det vil sige at være god til matematik. 6.3 Anderledes undervisning Det er helt tydeligt, at undervisningen med Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren har været meget anderledes end den almindelige matematikundervisning. Eleverne skulle fremstille et konkret produkt, der var noget helt andet end den almindelige opgaveregning. Hele undervisningsstrukturen og undervisningsforløbet lægger op til en anden form for didaktisk kontrakt, end de er vant til fra den almindelige matematikundervisning Personlig tilknytning Eleverne har alle lagt et stort engagement i deres spil og fortæller, at det var sjovt, at de selv kunne bestemme meget. Flere elever udtrykker klare ønsker, de havde med deres spil, og de viser derved et ejerskab af deres spil. Der er ikke nogle af eleverne, der fortæller, at de ikke vidste, hvad de skulle lave. Der er heller ikke noget, der tyder på, at eleverne har søgt råd fra læreren om, hvordan de skulle lave deres spil. Spillene 83

84 er derved opstået ud fra elevernes egne ideer. Netop fordi eleverne skal opbygge spillet fra bunden og selv bestemme hvordan, bliver deres personlige tilknytning til spillet og deres arbejde også større. Eleverne fortæller meget beskrivende om deres spil i forhold til de opgaver, som de også har lavet. Dette viser også, at de har haft en personlig interesse og tilknytning i det, og derfor har set det som et meningsfuldt projekt Den didaktiske er kontrakt anderledes Eleverne beskriver deres almindelige undervisning som udtalt bog og opgaveregning. De følger en matematikbog, hvor læreren introducerer et nyt kapitel ved tavlen, og derefter kan eleverne regne selvstændigt eller sammen med hinanden. Nogle af eleverne skal også regne opgaver, som skal afleveres til læreren. Derudover får eleverne lektier for, hvis de ikke når at færdiggøre dagens opgaver. Den didaktiske kontrakt er bundet meget op på opgaveregning, som eleverne kan lave mere eller mindre selvstændigt. Der er en tydelig styring fra lærerens side, der fortæller, hvad og hvordan opgaverne skal regnes. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren har undervisningsmiljøet været mere fleksibelt, hvor eleverne har bevæget sig mere frit mellem deres egen computer og de andres computere for at se, hvordan de andre har gjort. Undervisnings-situationen i Brøkknuseren karakteriserer Zacho som kaotisk, da eleverne kalder på hinanden for at vise noget frem og bevæger sig mellem de forskellige computere. Til gengæld har eleverne på den måde været gode til at videndele, ved at de har forklaret hinanden, hvordan man kan gøre forskellige ting. I den almindelige undervisning, hvor eleverne arbejder med de samme opgaver, kunne videndeling opfattes som afskrivning og snyd og er derfor ikke noget, der bliver praktiseret åbent. Det er meget sandsynligt, at undervisningssituationen i Multiplikationsknuseren har foregået på en tilsvarende måde Krav fra undervisningen Den fælles introduktion til GeoGebra har ikke været præget af lærerens rolle til at gennemgå programmet med instruktioner om, hvordan de bruger de forskellige funktioner. Eleverne har fået stillet nogle opgaver, og så har de selv skulle gå på opdagelse i programmet for at løse opgaverne. Læreren er derved ikke kommet med en konkret tastevejledning til programmet, og eleverne har været overladt til en mere eksperimenterende tilgang. Eleverne har selv kunne forfølge deres nysgerrighed og afprøve forskellige funktioner i programmet. På den måde har de kunne finde muligheder, som ellers ikke ville være blevet introduceret. Det har også givet eleverne 84

85 mulighed for at lære programmet i deres eget tempo, så de hurtige elever ikke skulle kede sig og vente på andre, og de elever, der har brug for at arbejde mere med en funktion, har haft mulighed for det. Den didaktiske kontrakt har derfor gået på, at eleverne selv kunne løse opgaverne ved brug af GeoGebra. Der har muligvis også været en forventning om, at eleverne skulle gennem alle opgaverne før de begyndte på deres eget spil. Hvis nogle elever valgte at springe opgaverne over, kunne det opfattes som et brud på kontrakten. I den almindelige undervisning, producerer eleverne resultaterne til nogle opgaver, der er stillet af læreren eller fra matematikbogen. Disse opgaver skal de lave, for at de selv kan se på dem senere eller for at aflevere dem til læreren, så han kan tjekke dem. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren havde eleverne på sin vis stadig nogle matematikopgaver, som de skulle løse. Opgaverne skulle dog ikke skrives i deres matematikhæfte, men laves på computeren i GeoGebra. Udover at kunne løse opgaverne, skulle eleverne derfor også vise, at de kunne bruge GeoGebra til at gøre dette. Et andet mål i kontrakten var, at eleverne fremstillede et spil, som de kunne spille med deres kammerater. Deres produkt skulle vises frem og bruges af flere end bare dem selv og eventuelt læreren, og der kunne derfor være en forventning om, at de lavede et godt spil, som de selv kunne være tilfredse med. Eleverne fortæller også, hvordan de ønskede at gøre spillet godt. Dette, mener jeg, bunder i deres egen interesse for spillet og ikke et krav fra lærerens side. Det er muligt, at undervisningen med spiludviklingen lægger mere op til, at eleverne kan bryde kontrakten, da de har mange muligheder for at arbejde med deres egne ideer inden for de givne rammer. 85

86 7. Diskussion I det følgende kapitel vil jeg diskutere forskellige problemstillinger, der er relevante i forhold til mit speciale. Først vil jeg diskutere mit valg af teorier til at belyse analysen, og hvordan teorierne ser på lærer-elev-interaktionen. Dernæst diskuteres elevernes engagement og interesse i forløbene og undervisningsrammerne. Afslutningsvist vil der være en diskussion af konstruktivismen og elevernes samarbejde. 7.1 Teorierne Da fokus for dette speciale har ligget på elevernes oplevelse af matematikken og undervisningen sammenlignet med deres almindelige matematikundervisning, har Brousseau (1997) været rimelig oplagt at inddrage til at belyse undervisningssituationen. Jeg mener, han har givet et interessant perspektiv på den elevlæreinteraktion, der findes i undervisningen. Hans teori om didaktiske situationer indeholder nogle konkrete begreber, som jeg har fundet meget anvendelige. Særligt har jeg kunne bruge ideen om samspillet mellem didaktiske og adidaktiske situationer samt den didaktiske kontrakt. Da undervisningen på flere måder har været anderledes, har det også betydet en ændring i den didaktiske kontrakt. Elevernes og lærerens gensidige forventninger til hinanden har ændret sig. Normalt introducerer læreren et nyt emne, som eleverne skal arbejde med og løse opgaver i. Opgaverne skal elverne løse og skrive ned i deres hæfte for at vise det til læreren. Det kan derfor overvejes, om nogle af eleverne laver opgaverne for at tilfredsstille lærerens ønske frem for at opfylde deres egen interesse. Det er problematisk, hvis eleverne ikke kan tilsidesætte kontrakten for deres egen læring. Eleverne har vist stor interesse og engagement i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren, og jeg mener derfor, at det kan være lettere for eleverne at sætte den didaktiske kontrakt i baggrunden i forbindelse med deres arbejde på computeren. Når eleverne bliver så personligt engagerede i det, de laver, er det svært at forestille sig, at de udelukkende gør det for at møde lærerens forventninger. Hvis eleverne har lettere ved at arbejde med spillet for deres egen interesse og derved sætte den didaktiske kontrakt i baggrunden for deres læring, kan det overvejes, om der er et større læringspotentiale i denne undervisningsform. Ud fra dette bør det overvejes, hvordan denne interesse kan fordres hos eleverne også i den almindelige undervisning. Det har været interessant at bringe Paperts (1983) værk i spil, da det ellers har været betragtet som et overstået kapitel i mange år. Jeg opfatter Papert, som en slags historiefortæller, som ikke præsenterer en direkte teori med konkrete teoretiske 86

87 begreber. Dette er netop, hvad disessa & Cobb (2004) kritiserer ham for. De mener, at hans teori er mere en slags forskrevne pædagogiske strategier. Hans tanker om elevernes konstruktion og ideen om, hvordan computeren kan være med til at give eleverne mulighed for at konstruere noget matematisk, mener jeg bestemt, er værd at arbejde videre med. Med programmer som GeoGebra kan Paperts ideer muligvis bedre komme til sin ret, da skolematematikken er meget tydeligere, og programmet i sig selv udstråler et matematisk værktøj. Jeg har derfor fundet flere af hans tanker og ideer anvendelige i dette speciale. F.eks. er det interessant, hvordan han belyser problematikken omkring matematik som et konservativt fag, der er styret af et rigtigt eller forkert svar. Om det er muligt at bringe naturvidenskaben og humaniora tættere sammen, er jeg ikke sikker på, men jeg mener, det er vigtigt, at matematik bliver opfattet i en bredere forstand. Jeg ser helt klart nogle muligheder i brugen af computeren, der kan åbne op for skolematematikken, så den ikke udelukkende består af rigtige og forkerte svar. Det er et perspektiv på matematikken, som jeg mener, er vigtigt at dyrke, og her kan Papert være inspirerende, så eleverne får kendskab til en mere kreativ matematik. Da Shaffer (2006) beskæftiger sig med det, han kalder for epistemisk spil, kan der drages direkte paralleller til Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Hans centrale begreb med epistemisk ramme og hvordan eleverne indgår i et slags rollespil, hvor de påtager sig identiteten fra en professionel, har vist sig ikke at været særlig oplagt i dette speciale. Til gengæld har jeg fundet det anvendeligt, hvordan han beskriver elevernes brug af matematikken som et redskab til at opnå andre mål. Det har været helt tydeligt, at eleverne har brugt matematikken på forskellige måder for at få deres spil til at blive, som de ønskede. Derudover kan der drages paralleller til undervisningsrammerne, der er skabt, så eleverne netop har frihed, til at arbejde som de har lyst til. I Shaffers epistemiske spil er rammerne også med til at lade eleverne indleve sig i den epistemiske ramme og identificere sig med den profession, de arbejder med. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren har rammerne også været mere frie, men de har dog stadig været bundet op på den skolestruktur, som vi har. Projektet er forløbet i nogle it- og matematiktimer, der har ligger i løbet af dagen mellem andre fag. Det er oplagt at forestille sig, at eleverne påtager sig elevrollen, når de træder ind på skolen, hvor dagen er skemalagt med forskellige fag. Eleverne har derfor svært ved at skulle træde ud af denne elevrolle for at tillægge sig en identitet som spildesigner. Jeg mener ikke, det er problematisk, at eleverne forbliver i deres elevrolle, da de stadig kan lære af den epistemiske ramme. Derudover kommer Shaffer med den væsentlige pointe, at eleverne ikke bare lærer om den epistemiske rammer, der hører til professionen, men eleverne lære også noget fagligt. Dvs. at de får matematisk faglighed med, når de bruger matematikken som værktøj i deres 87

88 arbejde. Det har dog ikke været muligt for mig at undersøge, i hvor høj grad eleverne har fået noget matematikfagligt med sig, men jeg mener bestemt godt, at det kan være tilfældet. 7.2 Lærer-elev-interaktion Hver af de tre teoretikere har deres bud på, hvordan samspillet mellem læreren og eleven bør være for at optimere læringsprocessen. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren var det lærerens ansvar at skabe og opstille de rammer, som eleverne skulle arbejde inden for. Shaffer (2006) påpeger, at læreren skal designe miljøet, så eleverne kan indleve sig i den identitet, der følger med rollen som spildesigner. Det kan diskuteres, hvorvidt eleverne har følt sig som spildesignere, og i hvor høj grad de bare har opfattet sig selv som elever. Der er kun en enkelt elev, der lægger op til, at hun har følt sig som spildesigner. Dette gør hun ud fra det arbejde, hun laver og det produkt, hun er ved at fremstille. Resten af eleverne oplever ikke deres rolle som anderledes, selvom de føler, at deres arbejde er forskelligt fra det, de plejer at lave i matematikundervisningen. Det er måske heller ikke underligt, at eleverne ikke automatisk går ud af elevrollen og påtager sig identiteten som en spildesigner. Eleverne er alle klar over, at de befinder sig i skolen og deres opgave dér, er at lære noget. Selvom de har fået meget frihed til at konstruere og fremstille deres eget spil, er de klar over, at der også ligger et læringsmål fra lærerens side. Selvom de ikke ser sig selv som deciderede spildesignere, mener jeg stadig, at de kan få nogle af disse værdier med. F.eks. lærer de, at man ofte skal igennem mange forskellige ideer, før man ender med den tanke, der fører til slutproduktet. Det er ikke bare en enkelt opstået ide, der fører til spillet. Løbende bliver de nødt til at reflektere over deres arbejde og vurdere, om det er på vej mod noget, de gerne vil have, eller om der er noget, der skal ændres. Det fremgår til gengæld tydeligt, at eleverne har arbejdet og konstrueret deres spil ud fra deres egne personlige ideer og ønsker, hvilket Papert (1983) understreger vigtigheden i. Det er elevens opgave at konstruere noget, der kan være personligt meningsfuldt. Det er herefter lærerens ansvar at finde og fremhæve de magtfulde ideer, der måtte være i deres spil. Eleverne fortæller ikke noget om, hvordan læreren kommenterer på deres arbejde. Det er derfor ikke til at sige med sikkerhed, om læreren åbner op for disse magtfulde ideer. Da eleverne beretter om meget selvstændighed og frihed, virker det ikke til, at læreren har åbnet op for nogle tanker eller diskussioner omkring deres enkelte spil. I Multiplikationsknuseren har lærerne introduceret elevernes arbejde med spillene, ved at tage en fælles snak med hele klassen omkring, hvad et godt spil er. Dette kan muligvis hænge sammen med en 88

89 magtfuld ide, men snakken tages inden eleverne er begyndt at lave deres spil, og den tager derfor ikke udgangspunkt i elevernes konkrete arbejde. Bortset fra det, lader det ikke til, at læreren blander sig eller kommenterer løbende på elevernes arbejde. Læreren kunne eventuelt have motiveret eleverne til at undersøge nogle ting ved den matematik, som de arbejdede med. For eksempel ved at spørge eleverne, hvad der ville ske, hvis de trak i hjørnerne af en firkant, eller gjorde nogle objekter større eller mindre. Læreren kunne også spørge eleverne, hvorfor der skal være lige gode muligheder for alle spillere at vinde, eller spørge ind til andre dele af deres spil, for at få eleverne til at reflektere over deres valg. Det tyder på, at eleverne har siddet og arbejdet meget selvstændigt, når de ikke har spurgt læreren om hjælp. Ud fra Brousseau (1997) kan man derfor sige, at eleverne hovedsageligt har siddet og arbejdet med deres spil i adidaktiske situationer. Læreren har opstillet det didaktiske miljø, som eleverne arbejder med, og alt efter behov, må læreren blande sig og evt. ændre på det didaktiske miljø. Måske vurderer læreren, at eleverne skal springe nogle opgaver over eller lave flere af samme slags. I Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren, har eleverne umiddelbart arbejdet uden meget indblanding fra læreren, og de har derfor haft rigtig god mulighed for at personliggøre den viden, de har arbejdet med. Eleverne har arbejdet med spillet og matematikken på deres egen måde og derfor haft oplagt mulighed for at personliggøre matematikken. Det er dog også vigtigt, at læreren afslutningsvis tager styringen og gør miljøet til en overvejende didaktisk situation for at bringe elevernes viden på officiel form. Det kan diskuteres, hvor meget læreren har gjort for at fællesgøre den matematik, eleverne har arbejdet med. Der er dog ikke meget, der tyder på, at det direkte er noget, der har været en fast del af undervisningen. Jeg kan dog sagtens forestille mig, at fællesgørelsen af viden kan ske på et senere tidspunkt, når de beskæftiger sig med det fælles i klassen. Jeg mener, at det kunne være interessant at have en fælles klassediskussion omkring den matematik, som de hver i sær har brugt i deres spil. Dette kunne eventuelt ske ved, at eleverne skulle fremlægge deres spil og fortælle, hvad de har lavet og brugt af matematik. Dette kunne også foregå i mindre grupper som det Shaffer kalder Pinup jf. afsnit Efterfølgende kunne læreren styre en diskussion omkring hvilken matematik, der var at finde i flere af spillene og derved forsøge at fællesgøre den viden. 7.3 Motivation Eleverne fortæller alle, at de har været meget engagerede i undervisningen med Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Nogle elever har været meget mere deltagende i denne undervisning, fordi det har været anderledes end den almindelige 89

90 matematikundervisning, eller fordi de har haft mere frie rammer til at gøre det, på deres egen måde. Andre elever fortæller, at de har været ligeså aktive, som de plejer. Det interessante er, at alle eleverne har været interesserede og engagerede i undervisningen, og det kunne derfor tyde på, at denne form for undervisning også har fanget de elever, der normalt ikke er særlig deltagende i matematikundervisningen. Det er derfor værd at overveje, hvorfor disse elever har været mere engagerede. Rune giver udtryk for, at computeren er en stor motivation for ham, og han synes, undervisningen bliver meget sjovere og lettere, når de kan bruge computeren (Bilag 2). Jeg tror dog ikke, at alle eleverne bliver vilde med at løse matematikopgaver bare fordi, det foregår på computeren. På den måde vil computeren blot fungere som en slags substitut for læreren eller matematikbogen, hvilket Papert (1983) kritiserer. Jeg tror nærmere, at svaret skal findes i den måde, som computeren er blevet brugt på. Eleverne har ikke fået en tastevejledning, som de skulle følge, men har selv skulle forsøge sig frem. De har arbejdet eksperimenterende, udforskende og ikke mindst har de haft mulighed for at arbejde med deres egne ideer i spiludviklingen. Det er tydeligvis en vigtig faktor for elevernes motivation, at de selv har fået lov til at bestemme rigtig meget. Derved har de også kunnet arbejde med matematikken på forskellige måde alt efter, hvad de har fundet interessant og meningsfuldt. Det bør derfor overvejes, om det er muligt, at ændre noget ved den almindelige matematikundervisning, så flere elever kan blive motiveret til at engagere sig mere. I den forbindelse vil det også være interessant at tænke over, hvad man ønsker, at eleverne skal opnå og få ud af matematikken. Dette er dog en hel anden diskussion, der hører til begrundelsesproblematikken, og vil ikke blive diskuteret her. Det er bare vigtigt at have i baghovedet, at en diskussion om, hvordan matematikundervisningen bør foregå også hænger sammen med, hvad man ønsker, eleverne skal have ud af undervisningen. Her drejer det sig dog mere om, hvordan eleverne kan blive mere aktive og deltagende i undervisningen. En måde kunne måske være, at stille eleverne nogle åbne matematikopgaver, der kan løses på forskellige måder. Eksempelvis nogle opgaver, hvor eleverne mere eller mindre selv kunne bestemme, hvordan de ville løse dem. Derved kunne elever, der finder computeren motiverende, bruge denne og evt. GeoGebra til at løse matematikopgaverne. Efterfølgende kunne eleverne præsentere nogle af de forskellige måder, som de har løst opgaverne på, hvilket giver læreren mulighed for at fællesgøre elevernes personlige viden, så den bringes på en officiel form jf. afsnit Undervisningsrammer Når undervisningen er mere fri, og eleverne selv kan bestemme en stor del, er det selvfølgelig også svære eller måske endda umuligt at styre, hvad de lærer af det, og 90

91 deres læringsudbytte bliver derfor tvivlsomt. Jo fastere rammerne er, desto lettere må det være, at styre elevernes potentielle læring. Ved at lave mere styrende rammer, mener jeg dog, at man mister noget helt essentielt, der har været centralt i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren; nemlig elevernes frihed til at udvikle kreative ideer og ikke mindst noget selvstændighed omkring deres læring og arbejdsproces. Der kan selvfølgelig argumenteres for, at det ikke er muligt at styre elevernes læring, og det derfor ikke er helt til at sige, hvad de lærer. Dette kan være problematisk ud fra en lærers synspunkt, der skal klargøre eleverne til eksamen og kunne forsvare elevernes undervisning over for skolen og ikke mindst over for forældrene. Jeg mener dog, at eleverne får nogle kvaliteter med, som ikke nødvendigvis kan gøres op i matematikfaglighed. Mange elever fortæller, hvordan de har mulighed for at arbejde med deres egne ideer og selv bestemmer, hvordan de vil gøre det. På den måde oplever mange elever matematikken anderledes, og deres opfattelse af matematikken bliver derfor mere bred. Eleverne oplever, at matematik er andet end et forkert eller rigtigt svar, som de skal skrive i deres hæfte. De lærer at snakke om nogle matematiske begreber, da de skal samarbejde om opgaverne og spillet. Dette, mener jeg, kan være en lettere overset del i den almindelige matematikundervisning, særligt efter den mundtlige matematikeksamen er taget fra afgangsprøven. Eleverne fortæller klart, at de ved opgaveregning hovedsageligt arbejder med den proceduremæssige viden og lærer at løse opgaver. Jeg mener derfor, det er vigtigt at finde en balance, hvor eleverne har deres frihed til at udvikle ideer, men stadig befinder sig inden for de læringsrammer, som læreren har sat. Det kan være en god styring at fastsætte noget matematisk, som spillet skal omhandle. Det kan f.eks. være brøker eller multiplikation, som det har været i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. 7.5 Konstruktivisme Det kan siges, at eleverne selv har konstrueret et brætspil ud fra deres egne ønsker og ideer. Papert (1983) påpeger, at elevernes konstruktion skal udspringe fra deres personlige interesse, så produktet bliver personligt meningsfuldt. Det kan diskuteres, hvorvidt brætspillet som sådan udspringer fra elevernes personlige interesse. På den ene side, har eleverne fået til opgave at lave dette spil. I første omgang har eleverne også fået besked på, at spillet skulle omhandle brøker eller gange. Det er derfor en opgave de har fået, fordi de går i skole og skal lære noget. På den anden side har eleverne fået den frihed, til at lave den type spil, som de har fundet interessant. Eleverne fra Brøkknuseren har også lavet spil, der ikke nødvendigvis indeholdt noget om brøker. Udformningen, reglerne og delvist indholdet af spillet, har eleverne derfor fuldstændig selv kunne bestemme over og gøre på den måde, som de havde lyst til. 91

92 Nogle elever har arbejdet ud fra en fantasiramme, mens andre har fundet inspiration i traditionelle brætspil som f.eks. Ludo. Generelt kan man derfor sige, at eleverne har haft rig mulighed for at basere deres spil på deres egen personlige interesse. Der kan dog argumenteres for, at elevernes samarbejde har betydet, at de måtte gå på kompromis med deres egne ideer og ønsker. Dette er tydeligst for Freja, idet hun og makkeren besluttede at lave hver deres udkast til et spil og derefter prøve at blive enige. Selvom elevernes spil muligvis ikke er udsprunget 100 % fra deres egne personlige interesser og ønsker, har de alligevel konstrueret det på baggrund af deres egne ideer. I konstruktionen af spillet og de opgaver, som de har lavet, har eleverne også selv konstrueret deres viden. Ifølge den radikale konstruktivisme kan vi derfor ikke vide med sikkerhed, hvorvidt denne viden stemmer overens med vores egen og andres forståelse (Glasersfeldt, 1995). Elevernes viden konstrueres ud fra, hvordan de oplever matematikopgaverne, og vi kan ikke være sikre på, at eleverne faktisk oplever dem på samme måde, som hensigten er med dem. Dette er selvfølgelig sat lidt på spidsen af konstruktivismen, men det kan alligevel være vigtigt at have in mente, hvis eleverne spørger om hjælp til opgaverne. Det kan skyldes, at de ikke har den samme forståelse af opgaven, og hjælpen skal derfor handle om at bringe elevens forståelse af opgaven tættere på den antaget-fælles-forståelse, som læreren har. Det kan også være en grund til, at nogle elever har brug for, at opgaverne bliver forklaret på forskellige måder. 7.6 Samarbejde Det har været et centralt element, at eleverne har haft en at samarbejde med. Det har ikke været noget nyt for dem, at arbejde sammen med en anden, og der har derfor heller ikke vist sig de store komplikationer med samarbejdet. Eleverne fortæller alle, at de har fået noget godt ud af samarbejdet, og nogle kan også se fordelen i, at man kan hjælpe hinanden. Det er en rigtig god pointe, at eleverne finder ud af at kunne søge hjælp hos hinanden. Det kan også være en oplagt mulighed for eleverne at udvikle deres ideer og kreativitet og muligvis også deres matematiske begrebsforståelse. Når eleverne bruger matematikken som et redskab i spiludviklingen, er de også nødt til at snakke om det med deres partner. De skal derfor formulere sig og forklare, hvordan de mener, matematikken skal bruges, og hvordan det skal udforme sig. F.eks. har mange af eleverne brugt trekanter og firkanter til at skabe spillepladen, og har været nødt til at forklare for hinanden, hvordan de har tænkt sig, at det skal se ud. Ifølge Shaffer (2002) er det vigtigt, at eleverne formår at samarbejde, men det er også vigtigt, at de kan arbejde selvstændigt. De fleste elever giver udtryk 92

93 for, at de oftest arbejder sammen med en anden, da det giver en eller anden form for støtte. Når eleverne skal arbejde med computeren, er der formegentlig ikke nok computere til, at hver enkelt elev kan sidde med sin egen, og de er derfor nødt til at arbejde sammen med en anden. Elevernes selvstændige arbejde må derfor komme i fokus i en anden situation, når de f.eks. ikke arbejder med computeren. 93

94 8. Konklusion I dette speciale har jeg undersøgt elevernes oplevelse af den matematik, de har arbejdet med i hhv. Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. Dette har jeg gjort ved at interviewe 9 elever fra de to interventioner. Databehandlingen af disse interview har hovedsageligt foregået ved hjælp af databehandlingsprogrammet Atlas.ti. På baggrund af mit speciale, kan det konkluderes, at eleverne oplever et meningsfyldt arbejde med matematikken, når de bruger den til at udvikle deres eget spil. Arbejdet med GeoGebra har været præget af stor interesse og nysgerrighed, der har fået dem til at eksperimentere og udforske programmets muligheder. Dette har bevirket, at eleverne føler sig trygge og åbne over for at skulle bruge programmet igen. Selvom eleverne har befundet sig inden for den epistemiske ramme af en spildesigner, er der ikke meget, der giver anledning til at tro, at eleverne påtager sig rollen som spildesigner, men snarer oplever elevrollen som mere fri. Som følge af den friere arbejdsmetode, som forløbene har givet anledning til, føler eleverne en større interesse, og flere elever har været mere engagerede, end de plejer at være i den almindelige matematikundervisning. Dette grunder bl.a. i, at undervisningsrammerne har givet eleverne mulighed for at bestemme meget selv, og de har forfulgt deres egne ideer. Elevernes brug af matematikken som redskab i udviklingen af deres spil har påvirket deres generelle opfattelse af matematikken. Flere elever har fået en bredere opfattelse af matematik som noget, der kan bruges på forskellige måder og ikke kun handler om at regne opgaver i sit matematikhæfte. Nogle af eleverne mener også, at den friere undervisningsform kan bruges i mere matematikundervisning. Undervisningsformen har også betydet, at eleverne hovedsageligt har arbejdet i adidaktiske situationer, hvor de har haft god mulighed for at personliggøre deres viden. Det har til gengæld ikke været oplagt for lærerne at skabe nogle didaktiske situationer, hvor de har kunnet fællesgøre den viden, som eleverne har fået. Elevernes udbytte og arbejde med brøker i Brøkknuseren er meget tvivlsom, og det må derfor siges, at Brøkknuseren ikke har været god nok på området omkring opgaverne. Det har til gengæld vist sig, at elevernes arbejde omkring opgaverne i Multiplikationsknuseren har givet et bedre resultat. Eleverne har været mere knyttet til de opgaver, de skulle lave forud for deres spil. Selvom eleverne giver bedre udtryk for de opgaver, de har lavet, er det alligevel svært at afgøre, hvor meget eleverne har lært. 94

95 Jeg mener, at der er mange læringspotentialer i disse undervisningsforløb, og det kan være et rigtig godt supplement til den almindelige undervisning. Det kan dog ikke erstatte den almindelige undervisning, da der er for lidt styring med elevernes læringsudbytte. Undervisningsforløbet kan derimod inddrages for at inspirere og motivere eleverne til at opleve matematikken på nye måder. 95

96 9. Perspektivering Da dette speciale er en lille del af en større designbaseret forskning vil det være oplagt at arbejde videre på. Et re-design af Multiplikationsknuseren vil indeholde mange af de samme dele, men der kan tilføjes nogle nye elementer. Jeg har fire punkter, som jeg mener, ville være relevante at overveje i forhold til et videre forløb. For det første har det både i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren været tvivlsomt, hvor meget eleverne har lært om hhv. brøker og gange. Selvom der ses en betydelig fremgang i elevernes relation til opgaverne i Multiplikationsknuseren, er det alligevel usikkert, hvor meget nyt de har lært. Ifølge Shaffer (2006) lærer eleverne også det matematikfaglige ved at bruge det som redskab til at udvikle deres spil, og det er derfor slet ikke utænkeligt, at eleverne har lært en stor del om den matematik, de har brugt i deres spiludvikling. For at få en klarere fornemmelse af, hvad eleverne lærer, kunne man foretage en matematiktest før og efter forløbet. Denne kunne f.eks. indeholde nogle geometriopgaver, til at undersøge elevernes matematik-fagligheder på det område. For det andet er det svært at se, hvornår læreren kan ændre det didaktiske miljø til didaktiske situationer, hvor elevernes viden kan fællesgøres. Dette kunne muligvis ske ved det Shaffer (2006) kalder Pinup, hvor eleverne fremlægger deres produkt og tanker for andre elever eller hele klassen. Ud fra det kunne læreren hjælpe med at sætte matematiske begreber på deres arbejde og lave en fællesgørelse af deres viden. For at få eleverne til at reflektere over deres arbejde og den matematik, de har brugt, kunne nogle elever have glæde af at føre logbog. Det kan være en hjælp for nogle elever, at de får tid til et reflektere over deres tanker og over den matematik, som de har arbejdet med. På den måde kan de blive bevidste over, hvordan de har brugt matematikken og muligvis kan det være med til at give dem en bredere matematikopfattelse, så det ikke kun drejer sig om at komme med de rigtige svar på opgaverne. Det tredje punkt handler om de opgaver, der er stillet i Brøkknuseren og Multiplikationsknuseren. De matematikfaglige opgaver er udformet, så de ligner hinanden i en sådan grad, at de bærer tydelig præg af træning af den proceduremæssige viden. For de fleste elever, vil opgaverne være trivielle, når først de har løst den første opgave. Jeg mener derfor, at der skal være større fokus på at udforme opgaverne, så de bliver mere varierende, og eleverne skal beskæftige sig med matematikken på forskellige måder. 96

97 10. Litteraturliste Andresen, M. & Misfeldt, M. (2011): Scenario based teaching and a new representational competence. To be presented at the sixth Nordic Conference on Mathematics Education, NORMA 11. Iceland, May 2011 Battista (2002): Learning Geometry in a Dynamic Computer Environment. Teaching Children Mathematics, 8 (6), abstract Bielaczuc & Kapur (2010): Playing Epistemic Games in Science and Mathematics Classrooms. Educational Technology, 50 (5), abstract Bolden, D. et. al (2010): Pre-Service Primary Teachers Conceptions of Creativity in Mathematics. I Educational studies in Mathematics, 73 (2), abstract Brousseau, G. (1997): Theory of Didactical situations in Mathematics: Didactique des mathematiques, , Dordrecht: Kluwer Academemic Publisher, s.19-76, Cobb & Gravemeijer (2008): Experimenting to Support and Understand Learning Processes. I A. E. Kelly, R.A. Lesh, & J. Y. Baek (Eds.), Handbook of design research methods in education: innovations in science, technology, engineering, and mathematics learning and teaching. New York; London: Routledge Cobb, P. et. al. (2003): Design Experiments in Educational Research. Educational Researcher, 32 (1), s Creswell, J. (2008): Educational Research. Planning, Conduction and Evaluation Quantitative and Qualitative Research. disessa, A. & Cobb, P. (2004): Ontological innovation and the Role of Theory in Design Experiments. The journal of the Learning Science, 13 (1), s Drijvers, P. et. al. (2010): The Teacher and the Tool: Instrumental Orchestrations in the Technology-Rich Mathematics Classroom. Educational Studies in Mathematics, 75 (2), abstract Edwards (1991): Children s Learning in a Computer Microworld for Tranformation Geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (2), abstract Glasersfeld, E. v. (1995): Radical constructivism. A way of knowing and learning. Studies in Mathematics Education Series: 6, The Flamer Press, London, s

98 Jones (2004): Encouraging Creativity with Digital Technology in Early Primary Classrooms. Australian Educational Computing. 19 (2), abstract Li (2010): Digital Game Building: Learning in a Participatory Culture. Educational Research, 52 (4), abstract Lindenskov, L. & Weng. P. (2004): Regnehuller et nyttigt begreb i fokuseringen på matematikvanskeligheder? Matematik, 2, s McLester (2005): Student Gamecraft: What Do Students Learn When They Create Their Own Games? Technology & Learning, 26 (4), abstract Morrison, D. & Collins, A. (1995): Epistemic fluency and constructivist Learning Environments. Educational Technology, 35 (5), abstract Nash & Shaffer, D. (2011): Mentor Modeling: The Internalization of Modeled Professional Thinking in an Epistemic Game. Journal of Computer Assisted Learning, 27 (2), abstract The Design-Based Research Collective (2003): Design-Based Research: An Emerging Paradigm for Educational Inquiry. Educational researcher, 32, s. 5-8 Misfeldt, M. (2010): Forestillet læringsvej i IT-baserede pædagogiske udviklingsprojekter. Dansk pædagogisk tidsskrift, 4 (10), s Misfeldt, M. (2011): To aspekter af design i matematikdidaktisk forskning. I Andresen, M., (Eds.) Viden om lærere lærerviden. København: NAVIMAT, s Misfeldt (2011b): Arbejdsnoter, 8. December Intern afrapportering fra projektet kreativ digital matematik i foråret 2011, in progress. Noss, R. & Hoyles, C. (1996): Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and Computers. University of London, U.K. Papert, S. (1983): Den totale skildpaddetur. Oversat fra engelsk af Dalgaard, L. & Jensej, B. K. Gads Forlag Papert, S. (1999): Introduction: What is Logo? And Who Needs It? Logo Philosophy and Implementation, s. IV-XVI Patton, M.Q. (2002): Qualitative research and evaluation methods. Thousand Oaks: Sage. 3. Edition, s

99 Resnick, M. (1997): Constructions, In Turtles, termites, and traffic jams: explorations in massively parallel microworlds. London: The MIT press Shaffer, W. D. (2006): Introduction and Skills: Escher s World. In How computer games help children learn. New York: Palgrave MacMillian, s. 1-16, Shaffer (2002): Design, Collaboration, and computation: The Design Studio as a Model for Computer-Supported Collaboration in Mathematics. I T. koschmann, R. Hall & N. Miyake (Eds.) Computer support for collaborative learning 2, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, s Sträßer, R. (2002): Research on Dynamic Geometry Software (DGS) an Introduction. ZDM 24 (3): 65 Winsløw, C. (2006): Teorien om didaktiske situationer. I Didaktiske elementer. Frederiksberg: Biofolia, s Link A: Kreativ digital matematik (2011): Brøkknuseren. [online] Tilgængelig på: [10. december 2011]. Link B: Spilfabrikken Multiplikationsknuseren. [online] Tilgængelig på: https://sites.google.com/site/spilfabrikken/home [10. december 2011]. Link C: Geogebra. [online] Tilgængelig på: [10. december 2011]. 99

100 Bilag 1: Interview Hans Henrik I: Må jeg lige høre engang, hvad hedder du? H: Hans Henrik I: Hans Henrik, ok. Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er lidt interesseret i at finde ud af, hvilken oplevelse af matematik du har haft i dit arbejde her med Brøkknuseren, og særligt i forbindelse med det her spil du har lavet. I: Så nu vil jeg starte med at spørge dig. Øhm, hvordan er det, i plejer at have matematik? H: Vi plejer at have bøger, og så sidder man, så har vi en ugeplan over, hvad vi skal lave, så laver vi bare individuelt, og så skal man have nået det. Ellers så får man sådan en hvid seddel, hvis man har glemt at lave sine lektier, eller man har glemt noget. I: Ok. Er man selv med til at fastsætte, hvad man skal nå at lave på den ugeplan? H: Nej, det er en ugeplan, det er en kollektiv ugeplan, som vi alle sammen får, og så skal vi alle sammen nå at lave det. I: Ok, så det er de samme ting i sidder og arbejder med hver for sig. I: Hvordan synes du dette projekt, dette forløb med Brøkknuseren og spillet har været anderledes end den almindelige undervisning? H: Øhh. Jeg synes, det er sådan lidt anderledes fordi man kan. Altså, man kan jo lave digitale spil. Man kan ikke lave sådan noget, eller det kunne man jo. Man kunne også godt lave vores spil til et kortspil. Men jeg synes, det er lidt nemmere at lave det her, fordi man bare skal bruge musen. I: Så der har været noget med it. H: Uhm. I: Kan du komme i tanke om noget, som du har lært her i det her forløb, som du måske ikke ville have lært i en almindelig undervisning, hvor du havde siddet med din ugeplan? H: Jeg har jo lavet sådan et, vi har lavet sådan et spil... som vi tre i vores gruppe, vi har baseret på et helt verdensspil, og det er samtidig. Så hvis der f.eks. er et spørgsmål, der hedder nævn alle mobiltelefonerne i verden, men hvis alle er med i spillet, så ville det være meget nemt, for så skulle de bare alle nævne et. I: Så hvad tænker du, at du har lært? H: Altså, jeg har lært, altså en af mine venner vidste, hvor mange ben et tusindben har. I: Og hvor mange er det? H: Det er 320 I: Så du har lært alle mulige små nye ting? H: Så har jeg selvfølgelig også lært, hvordan men bruger GeoGebra. I: Det lyder som en god ting. Du snakkede om, at du havde arbejdet sammen med nogle andre. Hvem har du arbejdet sammen med? H: Rasmus og Tobias I: Ja, så du arbejdede sammen med to andre? 100

101 H: Ja I: Og hvordan har det været sådan at arbejde sammen med nogle andre? H: Det har været sjovt I: Er det noget i plejer? H: [ryster på hovedet] Eller jo, nogle gange sidder man to eller tre om en opgave. Jeg har en sidemakker, vi er begge to ret gode til matematik, så vi plejer at lave det. Så har jeg en, som sidder lidt længere væk, men vi arbejder også meget, nogle gange sammen. I: Er det almindeligt i klassen? H: Det er almindeligt i klassen. I: At i nogle gange arbejder sammen, og nogle gange så sider man alene? H: Uhm. I: Og du synes, det var meget sjovt at arbejde sammen med nogle andre? H: Ja I: Nåe, men så var i jo i gang med dette spil. Og har lavet det her spil. Kan du fortælle mig, hvad det går ud på? H: Det går ud på at man. Først skal man lave en spilleplade, så bagefter skal man lave nogle regler og skrive dem ned inde i GeoGebra. Og så skal man, øhhh, ja og så skal man lave nogle spørgsmål. Og det er det, man skal lave, og så kan man bygge videre på det. I: Så hvordan spiller man jeres spil? H: Der gør man ved at, der er sådan en cirkel. En yderste cirkel og så går den ind, ind, ind, indtil man kommer i mål. Og så er der f.eks. Så starter man, og hver gang man lander på et farvet felt, så skal man besvare et af spørgsmålene. Så har vi sådan en curser, hvor man trækker et spørgsmål, ing? Så er det sådan en, hvor at, så er der et spørgsmål. Først står den på 0, så er der, tror det er 30 spørgsmål. Så trækker man en gang sådan lige hurtig, og så kommer der et spørgsmål. Så når man lander på næste gang, er det en anden person, der skal have et andet spørgsmål, så trækker man bare igen. I: Så det hele foregår på computeren i GeoGebra? H: Ja I: Så har i en spilleplade på computeren? H: Uhm I: Kan du prøve at forklare lidt mere detaljeret, hvordan den ser ud? H: Må jeg prøve at tegne den. I: Ja, det må du gerne. Kan du tegne den her? H: Nu er jeg så ikke så god til at tegne [tegner tre cirkler inden i hinanden] Så er der en masse, så er der f.eks. et farvet felt, og så er der en masse tern. Der er en masse tern, der går ind. Så tager man, så f.eks. så starter man her. Det er et farvet felt, det går hele vejen ind. Hvis du så lander på et farvet felt, så har man en cur Sådan en ting her oppe, sådan en nærmest sådan en lille lang ting, streg. Så sidder der sådan en her ude for enden, så står den på 0, trækker man i den, så står der 1 og så er det spørgsmål 1, og heroppe så står der

102 I: Ok, så skiftes man til at få et spørgsmål? H: Eller hver gang man lander på den her. Og reglerne er at, der er sådan en regelboks heroppe, hvor der står reglerne. Og reglerne er, at hver gang.. man slår med en 6-sidet terning, og så rykker man jo, hvad der står på den. Og hvis man, lander man på et farvet felt, så tager man et spørgsmål, eller vælger et spørgsmål, eller modstanderen kigger på spørgsmålet. Og så, hvad det hedder. Ja, og så hvis man svarer rigtigt, slår man med terningen igen og rykker frem, og svarer man forkert, slår man med terningen og rykker tilbage. I: Ok, så rykker man også tilbage. Så hvordan kan man vinde det her spil? H: Øhh, ved at komme ind i midten I: Ved at komme ind i midten, så det gælder om at svare rigtigt og slå så langt som muligt? H: Ja, Men det er umuligt, for der er meget, meget svære spørgsmål. F.eks. nævn Picassos fulde navn, og man må ikke bruge hjælpemidler, og det er så langt [viser med hænderne] på et Worddokument. I: Hold da op, Hvad er det, 30 cm? Eller 20 måske? Så det er simpelthen umuligt at gennemføre jeres spil? H: Ja, med mindre det er hele verden, der spiller det samtidig. Det er det, det er baseret på, ik. Der er også et der hedder, nævn alle dine kropsdele på latin. I: Så skal man kunne noget latin? H: Ja I: Hvad syntes du så om at have lave det her? H: Jeg synes, det var meget sjovt, fordi at i starten var det jo sådan lidt kedeligt, fordi først skulle vi finde på nogle spørgsmål. Så fandt vi på nogle svære spørgsmål, og så fandt vi ud af, det skulle bare være umuligt. I: Hvorfor synes du, det til at starte med var kedeligt? H: Det var sådan lidt, det var ikke specielt udfordrende. I: Hvad var det så, der fik det til at blive sjovt til sidst? H: Fordi at, hvis man. Det var sjovt at, hvis man kunne finde nogen, der var så klog, at de kunne svare på alle spørgsmålene. I stedet for, at de kunne alle da svare på. Så er det sådan lidt kedeligt spil, synes jeg. I: Var det selve det at lave det og udvikle det, har det været? Hvordan synes du, det har været? H: Det var meget sjovt at finde på spørgsmålene. For det var svært hele tinden at finde på nogle gode, svære spørgsmål. I: Hvad med arbejde i GeoGebra, hvad synes du om det? H: Altså.. Jeg synes, det var meget kedeligt, at man skulle blive ved med at lave de samme opgaver. Altså, jeg synes, hvis man har forstået en opgave, ik, så forstår jeg bare ikke pointen i, at man f.eks. laver den 5 gange. Altså hvis man f.eks. Hvis du på denne her måde, på denne her specielle måde skal du lave fire fjerdedele. Så forstår jeg bare ikke, hvis jeg kan lave fire fjerdedele, hvorfor kan jeg så ikke lave tre, øh, tre sjettedele, f.eks.? Fordi nu har jeg jo forstået, hvordan man skal gøre. Så forstår jeg ikke, at man skal lave fem andre opgaver. 102

103 I: Så det var selve arbejdet med Brøkknuseren, på internettet som i fulgte? H: [nikker] I: Hvordan har det været at arbejde med GeoGebra, mens i lavede det her spil, for der var vel ikke sådan nogle bestemte opgaver, i skulle følge? H: Nej, det var en del sjovere, for så kunne man bare lave sit eget spil og sine egne regler og så lave sine egne spørgsmål. I: Ja. Hvad tror du, der var det vigtigste, du har lært ved at bruge GeoGebra? H: Hmm. Det vigtigste? I: Ja, eller det bedste du har lært ved det? H: Det vigtigste, tror jeg nok, at jeg kan bruge det, når jeg bliver ældre, til matematik. I: Hvornår tror du, at du kommer til at kunne bruge det? H: Til eksamenerne og i gymnasiet. I: Så du tænker at GeoGebra, det er et godt værktøj som du senere hen kan bruge, er det rigtigt? H: Uhm I: Hvilken del i det her forløb med Brøkknuseren og arbejdet med GeoGebra og afslutningen, hvoffor en del var mest interessant? H: Det har nok været at lave spillet. I: Hvad er det, der lyder eller får dig til at tænke, det var mere interessant? H: Jeg synes, det er sjovere, når det er mere frit, og man selv bestemmer. I: Ja, så man kommer lidt væk fra de ugeplaner i har? H: Uhm I: Hele det her forløb, er det rigtigt, at det har været en blanding af både dansk, it og matematik? H: Det er mere en blanding af it, matematik og billedkunst. For vi har også haft fotofilter. Der har også været lidt dansk. I: Så i har faktisk haft fire fag ind over. Hvad for en af de her synes du, i har arbejdet mest med? H: Matematik I: Så hovedvægten har ligget på matematik? H: Uhm I: Hvilke slags matematik har der været i det her forløb? Det kan også være der har været flere slags? H: Øhm, I GeoGebra er det nok mere. Sådan, hvis du forstår, abstrakt matematik. Sådan i stedet for plusser og minus, så er det mere øh, cirkler og vinkler og sådan. I: Ja, har i arbejdet med andre former? H: Øhm, der har jo været noget plus, og så har der været noget teknik, og hvordan man skulle gøre det. I: Ellers noget matematik, du synes, i har arbejdet med? H: Nej, egentlig ikke. 103

104 I: Nej, ok. Lige for at vende tilbage til det med dit spil. Hvordan har der været matematik med i selve spillet, har i haft det? H: Ja, vi har lavet nogle meget svære regnestykker i selve spillet, i spørgsmålene. I: Ja, synes du, der har været matematik med, når i har udviklet spillet, da i ligesom har lavet det og produceret det? H: Der er vel princippet matematik i alt. Ja, for vi har jo lavet en cirkel, hvor man i princippet bare kan blive ved med at zoome ind, næsten ik. Så bliver der en cirkel igen. I: Så der ligger cirkler inde i hinanden? H: [nikker] I: Hvordan synes du dit engagement eller interesse har været i det her forløb i forhold til den almindelige undervisning? H: Jeg synes, det her har nok været, altså, altså hvis man tager mine yndlingsfag, så er det først natur og teknik og sløjd, og så er det it og it-matematik og billedkunst. I: Ja, så har du været, synes du, du har været anderledes engageret i det her forløb. Har du været mere eller mindre med? H: Mere I: Du har været mere med. Hvordan synes du, du har været mere med? H: Det er fordi, det er en del sjovere, når man, f.eks. i Fotofilter i stedet for i almindelig billedkunst. Så skal man forme noget bestemt, som man skal tegne, men i det her der skulle man bare bruge nogle bestemte værktøjer, og så måtte man tegne lige det, man havde lyst til. I: Så det der med at det har været frit og man selv kan vælge, det synes du har været vigtigt? H: Uhm. I: Nåe, Så har jeg bare lige nogle afsluttende spørgsmål. Sådan lidt med noget generel matematik. Hvad vil det sige for dig at være god til matematik? Hvad kræver det at være god til matematik? H: Jeg synes ikke, det kræver at være hurtig. Jeg syne, det kræver at kunne mere. At kunne regne ting ud og kunne forstå nye måder. Og kunne lære tingene hurtigt. Jeg synes, det kræver at man ligesom Når man har lavet f.eks. en opgave, så synes jeg, man burde, når man har tænkt over den opgave og lavet den, så synes jeg, man burde kunne forstå den opgave. I: Ja, det vil så sige, man er god til matematik? H: Ja, det synes jeg. I: Er der en opskrift på, hvordan man bliver god til det? H: Ja, det er vel at tænke opgaven, når man har lavet en opgave, så tænke den igennem. Nogle gange som mig, så spiller jeg et computerspil eller bare går rundt og laver nogle store regnestykker. I: Så du laver nogle store regnestykker. Hvordan gør du det? H: Øh, der er sådan et spil, der hedder Mindcraft, hvor man selv er arkitekt, hvor man kan bygge lige det man har lyst til. Så skal man beregne, hvor mange ressourcer, man skal bruge på at bygge de forskellige ting. I: Mindcraft? Okay, det lyder da sjovt. Er det noget du tit spiller? H: Ja, det spiller vi også som regel i frikvartererne. I: Så det er noget i har lært her oppe på skolen? 104

105 H: [nikker] I: Også noget du nogle gange spiller der hjemme? H: Ja I: Det lyder da meget sjovt. Så er jeg faktisk igennem med de forskellige små spørgsmål, jeg havde. Det var meget interessant, at høre, mange tak for det. Er der noget ekstra du sådan lige kommer i tanke om? Noget du tænker du vil tilføje? Noget, der lige passer ind? H: Nej, ikke specielt. 105

106 Bilag 2: Interview Rasmus R: Jeg hedder Rasmus I: Ja, hej Rasmus. Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at finde ud af, hvilken matematikoplevelse, matematikopfattelse du har haft i det her forløb med opgaverne i Brøkknuseren og særligt med det spil, som du har lavet. R: Ja, jeg synes det har været meget sjovt på grund af, at man selv kunne finde ud af at designe sit eget spil, og, jamen altså, man kunne lave sit spil sjovt, bare fordi matematik kan godt nogle gange være lidt kedeligt. Så kunne man lave det sjovt nogle gange. Man kunne også godt lave det sådan, så f.eks. vores gruppe, vi har lavet sådan et spil, der hedder The Impossible Game. Vi har lavet sådan et spil, der handler om at, tja, alle mulige spørgsmål, der er rigtig svære, f.eks. hvad er Picassos fulde navn. Og alle mulige svære gangestykker og regnestykker. Det synes vi, var meget sjovt at lave. I: Hvordan plejer i at have matematik? R: Vi plejer at lave matematik, hvor vi får nogle opgaver i en bog, så skal vi skrive dem ned i et hæfte vi har, et gult hæfte. Så får vi nogle lektier for til, altså det kommer an på, hvornår det er, til næste dag, næste dag måske. Eller til, hvis det nu er fredag så til på mandag. I: Så i har lektier for derhjemme, som i skal sørge for at lave også? R: Ja I: Hvordan synes du, at dette projekt har været anderledes end den almindelige undervisning? R: Jeg synes, det har været sjovere, på grund af, man fik lov til at arbejde med computere. Og man fik lov til sådan, normalt så arbejder man også lidt med hinanden, men her var der rigtig meget samarbejde, synes jeg. Det var rigtig godt. I: Ja, samarbejde, det synes du, var godt. Det kommer vi også tilbage til senere. Kunne du komme i tanke om noget, kunne du tænke på noget, som du har lært her i det her forløb, som du ikke ville have lært ved den almindelige undervisning? R: Uhm, jeg har lært, jeg tror jeg har lært noget mere om, hvordan man bruger ting. Altså F.eks. bruger GeoGebra og de andre ting, matematikting. I: Hvad er det for andre ting? R: Jamen, altså, F.eks. hvordan man regner cirkel ud, hvad hedder det altså, hvor meget der kan være inde i, f.eks. og alt mulig andet. I: Kan du fortælle lidt mere om det, det lyder interessant? R: Nej, det kan jeg ikke. Det er nemmere på en computer og vise det. I: Kan du forklare, hvordan du skulle gøre det på computeren, hvis det var? R: Jeg skulle, hvad det hedder, trykke på nogle knapper, så når du havde trykket på dem, så viste den nærmest med det samme på, eller nogle små bidder inde i den, hvor meget der kunne være inde i den. I: Inde i den, det er inde i cirklen? R: Ja, inde i cirklen, ja 106

107 I: Ok, men det er lettest at vise det Så du har lært noget om, hvordan man bruger GeoGebra? R: Ja, rigtig meget. I: Hvem har du arbejdet sammen med i det her projekt? R: Jeg har arbejdet sammen med en, der hedder Holger og en der hedder Jacob. I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en? R: Det har været rigtig godt I: Plejer du at arbejde sammen med andre? R: Ja. I: Hvordan kan det være? R: Jeg synes det er, hvad hedder det, nemmere og sjovere at arbejde sammen med nogen i stedet for at være alene, det er meget sjovere. Så går det også lidt hurtigere. I: Der er ikke for meget snak? R: Nej, det plejer der i hvert fald ikke at være. I: Okay. Kan du ikke fortælle mig om det spil, i har lavet? R: Vi har lavet sådan et spil, der går ud på, at man bare kommer, en hel masse spørgsmål. Vi har nærmest lavet 30 spørgsmål. Du starter fra 1 og så går op. Så hver eneste gang du har svaret rigt Eller, du starter med at slå med nogle terninger, så har vi lavet sådan en cirkel med nogle, hvad hedder det, firkanter i eller trekanter. Så hver eneste gang du slår, hvis du f.eks. hvis du slår en 3 er, og du lander på et farvet felt, så skal du tage sådan en prik hen over en lilje. Når du har gjort det én gang kommer der et spørgsmål, hvis du svarer forkert på spørgsmålet, skal du rykke en tilbage, hvis du svarer rigtigt, må du rykke en frem. I: Så det gælder om at svare rigtigt for at kunne komme frem? R: Til gengæld, det er derfor vi har kaldt det The Impossible Game, pga. det sker nærmest aldrig. I: Nå, så man kan ikke svare rigtig på det? R: Jo, hvis man virkelig er god. I: Kan I svare rigtigt på dem? R: De fleste kan vi. I: Kan man vinde det her spil? Hvordan vinder man? R: Man vinder ved at komme helt ind i midten, af den runde cirkel. Så skal du så svare på 30 spørgsmål, sådan cirka eller mindre, det kommer an på. Hvis du er rigtig heldig at ramme, så kan du lade være med at ramme de fleste, af de der farvede felter. I: Så man slår med terningen, og så hvis man rammer på de farvede felter, så får man et spørgsmål? R: Ja I: Så hvis man er heldig, så springer man udenom spørgsmålene? R: Ja, men så skal du være rigtig heldig. I: Hvad syntes du om at lave det? R: Jeg synes, det har været rigtig sjovt. I: Hvad er det specielt ved det, du synes der var sjovt? R: Det er stadig det med at arbejde med computeren. Være sammen med andre personer og få lov til at arbejde med sådan nogle spil, som man selv må lave. 107

108 I: Noget som du selv må lave. Er det meget anderledes end i plejer? R: Nae, ikke sær med computeren har vi lavet noget med Power Point og Word, det er lidt anderledes. I: Hvordan har det her forløb været med at arbejde med GeoGebra i forhold til, når i har prøvet at arbejde med Word? R: Jeg synes, hvis jeg må sige det, meget sjovere. I: Det må du gerne sige. Hvad er det der har været meget sjovere? R: Der var så mange ting at vælge imellem. Det var så sjovt, på grund af, f.eks. man kunne regne ting, der plejer at tage evigheder ud på. I: Så var det programmet, der var sjovere end Word eller måden i gjorde? R: Det var måden og programmet. I: Hvordan har det ellers været at arbejde med GeoGebra? R: Jeg synes, det har været sjovt, i forløbet og, det er gået sådan Jeg synes, det har været virkelig, virkelig, virkelig sjovt. Jeg ved ikke rigtig andet. Det var rigtig sjovt. I: Hvad var det vigtigste du har lært i det her program? R: Det tror jeg rent faktisk, var det hele, hvis jeg skal være helt ærlig. Alting, synes jeg, har været vigtige at lære. I: Hvordan kan det være? R: Jamen altså. Man får nogle andre, hvad hedder det, man laver noget andet, når man gør det på computeren er det nærmest lidt anderledes end at skrive det i hånden. Sådan altså, jeg ved ikke hvorfor. Man skriver ikke, man skriver det ind på computeren, så går det sådan lidt hurtigere, synes man selv. Så synes man, at man laver det hurtigere. I: Hvornår tror du, at du kan bruge GeoGebra igen? R: Det tror jeg nærmest snart, jeg kunne her, hvis det skulle være. Det kommer an på, hvad det hedder, hvad jeg skal f.eks. måske til en eksamen, eller et eller andet. I: Ja, hvad kan du så bruge GeoGebra til? R: Hvis jeg f.eks. har glemt, hvordan man dividerer, eller et eller andet, så kan jeg bruge GeoGebra til at vise mig det, for eksempel. I: Så man kan bruge det som en lommeregner, er det det? R: Ja, også det, det kan man også bruge det til. Man kan også bruge det til et hjælpemiddel, hvis man ikke helt kan huske det. Så viser den så, så viser den, hvordan man kan vise det, hvordan man kan gøre det. I: Nåe, så den viser også metoden til at gøre det? R: Naej, men man kan se det. Der står så alle mulige ting, hvordan man kan gøre det. I: I hele det her forløb, hvor i starten, hvor I har arbejdet med Brøkknuseren og opgaverne, spiludviklingen og her til slut. Hvad synes du, har været mest interessant? R: Nok spillet. Det sjoveste, det var at lave spillet. Det var rigtig interessant. I: Ja, hvad er det, der har fået det til at være sjovest? R: At man kunne lave sådan nogle sjove spørgsmål, hvis man ville. Og f.eks. lave sådan nogle sjove 108

109 figurer, har vi også kunne lave i GeoGebra. F.eks. til at starte med, der lavede vi alle mulige figurer og smiley og alt muligt. Det var også rigtig sjovt at lave også. I: Var det noget i brugte i det, i spillet? R: Nej, det gjorde vi ikke. Der brugte vi kun en rund cirkel og nogle trekanter og nogle spørgsmål. I: Men det har alligevel været rigtig sjovt at arbejde med det inden? R: Ja I: Hele det her har det har været en blanding af dansk, it og også matematik. Hvad synes du, der har været mest af? R: Mest af, det tror jeg nok har været it en blandet med Matematik. I: Hvad får dig til at... Har du et eksempel på det? R: Ja, men altså it, det synes jeg, var meget med computeren og altså, ting på computeren. Matematik, det var meget GeoGebra sammen med computeren. Det, synes jeg, var meget det samme, men synes jeg var rigtig sjovt sammen. Sådan så man lavede matematik på computeren i stedet for at skrive det i en bog eller på et hæftet. I: Nu siger du, at der har været meget matematik med i det. Hvilke slags matematik har der været med? R: Det har været den sjove slags, der hvor man kunne regne sådan nogle sjove regnestykker ud, som man troede var svære, men som man fandt ud af var let nok. I: Er de lette, fordi man kunne regne dem ud på computeren, eller? R: Vi fik nogenlunde at vide, hvordan vi kunne gøre det, sådan, ok. Jeg kan ikke helt huske det. Jeg fandt bare ud af, det blev nemt alligevel. I: Ja, så i har haft nogle forskellige regnestykker? R: Ja I: Er der noget andet matematik, i har haft med også? R: Ikke lige hvad jeg kan komme i tanket om. I: Hvad med i jeres spil. Hvilken matematik har i haft med der? R: Der har vi haft nogle divisionsstykker og noget plus og minus og gange. Og så nogle enkelte divisioner. I: Er der noget andet matematik i har haft med? R: Øhh, det tror jeg ikke. I: Hvad med i den proces, hvor i har udviklet og lavet spillet. Har i da brugt noget matematik? R: Der har vi brugt noget med, hvor vi skulle regne ud, hvor meget, hvor mange, hvad hedder det f.eks., hvor mange spørgsmål, vi skulle have, for at det gav sådan det samme. Hvis der nu, der var en, der var så uheldig at ramme pletterne hver eneste gang, han slog. Så skulle vi have nok spørgsmål eller flere. Det var så 30 spørgsmål i det hele. I: Så hvordan har i regnet det ud? R: Hvordan vi regnede det ud Vi regne ud ved at vi skulle Aller først skulle vi lige se, vi skulle regne ud, hvor stor den cirklen skulle være, og hvor mange trekanter der skulle være. 109

110 I: Og så fandt i ud af det? R: Ja I: Hvordan synes du, din interesse og dit engagement har været i det her i forhold til den almindelige undervisning? R: Jeg har været sådan lidt mere aktiv, synes jeg. Det har været lidt sjovere. I: Hvordan har du været mere aktiv? R: Altså, jeg synes, det er Jeg gad ligesom at lave mere, når jeg var på computeren i stedet for at skrive det. I: Er det hovedsageligt computeren, der har været den motiverende faktor? R: Ja, også det. Men i stedet for, at man skal bruge tid på at skrive det ned i hånden, så kan man bare trykke på f.eks., hvis jeg skal skrive et 7-tal f.eks. eller 8-tal, så i stedet for at, tager det noget tid at skrive det, kan du bare trykke på en knap, og så har du skrevet 8. I: Så det kommet frem. R: Ja I: Så du synes, det virker lidt lettere! I: Nåe, men her til sidst, har jeg bare lige nogle, sådan generelle spørgsmål om matematik, og så er vi ved at være slut, lige om lidt. Hvad synes du, det vil sige at være god til matematik? R: At man kan forstå det og at, hvad hedder det, man synes det er en lille smule sjovt. Det behøver ikke være super fantastisk sjovt. Men det er bare lidt sjovt, så er det ok. Så synes man ligesom, at man godt kan komme i gang med det. I: Så man skal have en god forståelse og sjovt. Er det det, det kræver? R: Ja, det synes jeg. I: Hvordan bliver man så god til det? R: Der er én ting at gøre, og det er bare at øve sig og øve sig. I: Så man bliver nødt til at arbejde med det. Øver du dig meget? R: Engang i mellem, men ikke sådan dagligt, vil jeg så sige. Men, det kommer an på, altså, jeg gør det for det meste, min far kan godt sige, at jeg skal øve på de og de ting. Hvis jeg hvis han kan se, at jeg lige skal øve mig lidt mere. I: Har i lektier for til hver gang? R: Det er lidt forskelligt. De fleste gange har vi lektier for. Hver eneste gang vi har matematik. I: Er det vigtigt, at man laver de lektier? R: Ja, det er det. Ellers kommer der bare flere og så plus de andre. Så Hvis du ikke når at lave dem, så får du bare dobbelt så mange plus de andre, vi fik. I: Plejer du at lave dine lektier? R: Ja I: Det var rigtig rigtig interessant. Mange tak for det. R: Det var så lidt. I: Er der noget du tænker, du kan tilføje? Et eller andet du lige kommer i tanke om? R: Nej, det tror jeg ikke. 110

111 Bilag 3: Interview Julie og Emma I: Hej med jer. Hvad er det, I hedder? J: Jeg hedder Julie E: Og jeg hedder Emma. I: Julie og Emma, jeg skriver lige lidt samtidig. Jeg vil gerne stille jer nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at vide noget om, hvilken matematikoplevelse I har haft i det her forløb med Brøkknuseren og i særdeleshed med det her spil, som I har lavet. I: Hvordan er det I plejer at have matematik? J: I en bog. E: Ja, og på tavlen I: Ja, bogen og tavlen. Hvordan synes I det her projekt, det har været anderledes end det, I plejer at lave? J: Altså, jeg synes det er sjovere, fordi det er på computeren og sådan. E: Ja, Og man må selv finde på spil og sådan noget. I: Man kan selv finde på spil. Er der noget i det her forløb, som I har lært her, som I måske ikke ville have lært i en almindelig undervisning? J: Nej, det tror jeg ikke I: Ville I have lært det samme med at sidde med bogen og tavlen? J: Nej E: Nej, ikke rigtig, tror jeg. J: Nej I: I behøver ikke være nervøse. Man kan lige få et øjeblik til lige at tænke igennem. Gad vide hvad der var nyt og anderledes, der gjorde, at arh det her har vi måske lært her, og hvis jeg havde kigget i bogen og arbejdet med den, var det nok ikke det, jeg havde oplevet. J: Altså, jeg synes det er blevet bedre med tabellerne, fordi vi lavede sådan et spil med tabellerne. E: Ja, fordi, vi har haft det, ikke særlig godt med tabeller, og sådan, mig og Julie. I: Og det er jer begge to det gælder? J: Ja I: Så I har arbejdet noget med tabeller og blevet bedre til det? J: Uhm I. Kunne I ikke have lært det ved en bog? J: Nej, fordi når man sidder med en bog, kommer man meget til at snakke sammen. Og så opdager man ikke helt, sådan, ja. I: Så laver man noget andet end at lave med bogen, er det det du siger? J: Ja I: Men det er da godt, at I er blevet lidt mere på tabellerne. Er det kun jer to, der har arbejdet sammen? 111

112 E: Ja. I: Og det har I gjort i hele forløbet? J: Ja, sådan da. E: Ja, med mindre en af os var syge. I: Hvordan synes I, det har været at arbejde sammen? J: Det synes, jeg har været godt. E: Ja, det synes jeg også, har været rigtig fedt, fordi at også det med at samarbejde. J: Fordi vi er nemlig ikke sådan, vi er fine nok til det, men vi er ikke så gode til matematik, så derfor har det været godt sådan at kunne hjælpe hinanden. Så man ikke sidder sammen med en, der er mega god, og så regner bare alle stykkerne. E: Så lærer man ikke rigtig noget. Det er mere, hvis man er sammen med nogen på sin egen niveau, så kan man lære begge to, fordi at hvis den ene ikke kan det stykke, så kan det være den anden kan, så det ikke bare er en, der regner, sådan er det, sådan er det. I: Plejer I to at arbejde samme? J+E: Ja I: Så I kender hinanden godt, og ved hvordan I arbejder sammen. E: Vi er bedste venner I: Tror I det er bedre at arbejde sammen, når man er på niveau, kunne man ikke lære rigtig meget af en, der måske ligger højere end en selv? J: Jo, det kunne man jo godt, men det er måske bare ikke så sjovt. E: Det kan godt være sådan lidt, sådan åe er jeg virkelig så dårlige til det. I: Nåe, kan I fortælle mig lidt om det spil, hvad går det ud på? J: Altså, det er sådan et normalt brætspil, sådan hvor man slår med en terning, og så... E: Så må man rykke, ik? J: Jo E: Og så er der et regnestykke inde i en af sådan en bobbel, som er de felter, så har man sådan en brik, og så skal man regne regnestykket ud. J: Og hvis man regner rigtig, så må man rykke videre. E: Og så kan man også godt risikere at lande på sådan nogle masker, øhm, som hedder duel af en art. Så alle dem, der spiller spillet, der følger en regne-, sådan en regneting regnemaskine. Så der er et stykke papir ved siden af, hvor der står en masse meget svære stykker. Altså, så skal man så gætte, så skal alle, skal regne det ud og så komme med et svar. J: Den der har gættet rigtigt, de må slå med terningen, så vinder de og må rykke videre. I: Men havde man en lommeregner til at regne det ud på? E: Det er til sidst, hvis nu alle har gættet på stykket, så kan man regne det ud, hvis nu man er i tvivl, om det er rigtigt eller ej. I: Så man landet et sted og så skal alle gætte på, hvad svaret er, og så kan man regne efter på lommeregneren? Og den der så har ret må så rykke videre? Så gælder det om at komme ind i midten, eller? J: Ja, indtil påfuglen. E: Der er sådan er påfugl. Fordi vi har kaldt det Påfuglespillet. 112

113 I: Har I selv tegnet påfuglen? J: Nej, det var et billede vi har Googlet I: Så det har I fundet på Google. Hvordan har I så fået det over? J: Nej, det hjalp ham drengen, manden os med. Men vi prøvede selv, men det kunne vi så ikke E: Men, altså vi fandt ud af, hvordan man tog prikkerne væk på cirklen og bogstaverne, hvor vi sådan bare prøvede os lidt frem, og så var der noget med nogle prikker, usynlige prikker, og så klikkede vi der. I: Så det fandt I selv frem til. Hvordan var det, selv at opleve, selv at kunne finde frem til det? Åe, det er sådan man gør det? E: Det var fint, sådan så man ikke hele tiden behøvede at spøge om hjælp. Sådan er det meget på den nemme måde, sådan åe, det her det kan jeg ikke. I: Det var fint, at I bare kunne prøve jer frem. Var der andre ting hvor I prøvede jer frem og så fandt I ud af det? J: Ja, hvordan man lavede sådan nogle bobler, hvor man trykkede, og så kørte man musen længere væk, så blev de større. Det var fordi, vi ville gerne.., hvis man selv skulle sidde og tegnede dem, blev de ikke så flotte. I: Kan I prøve at beskrive for mig, hvordan jeres spilleplade ser det ud? E: Øhm, der er sådan et billede af en påfugl inde i... Så er der en af de der bobler, så står der mål inde i. Så er der en masse bobler, der går rundt om, og så ned til start. J: Og så er der også nogle stykker inde i den. E: Og på nogle af dem, er der masker. Og så indtil mål. I: Er det regnestykker hele vejen igennem? J: Ja E: Og så nogle af dem starter det med at være let, og så bliver det svære og svære. Og på maskerne, der er det rigtig svært. I: Der er det rigtig svært, og det er der, hvor alle er med til at svare på det? J: Så er det også alle mulige forskellige, altså det er divider, gange og plus og sådan noget. Øh, Ikke bare plus. E: Nej, og minus I: Så der er også gange og divider. Så er det noget man skal lave, hovedregning det hele? J: Ja. E: Ja, men altså, man kan godt, hvis nu man spiller sammen med nogen, som har svært ved det, så kan man også have et papir ved siden af og skrive det ned. Det er ikke fordi, der er tid på det. I: Det lyder smart. Hvad synes I om at have lavet det her spil? E: Øhm, det var hyggeligt, meget hyggeligt. J: Det var også sjovt, sådan at lave det. I: Hvad er det ved det, der gjorde, at I siger, det er hyggeligt? J: Altså, at man laver det sammen. E: Ja, at man sidder sådan sammen, og det er computeren, og så skal man komme med ideer, sådan. Ja, det er rigtig hyggeligt. Skal vi ikke gøre det på den her måde, eller hvad med den her måde. 113

114 I: Så sjovt og hyggeligt. Hvordan har det ellers været at arbejde med det her program, GeoGebra? J: Det var lidt svært i starten, fordi at man skulle lige lære det at kende, men ellers var det fint. I: Hvordan var det, det blev fint? J: Altså, man skulle lige finde ud af, hvordan... Jeg kan huske første gang vi prøvede, så sad vi bare og blev rigtig sure og sådan. E: Åe, det her kan vi ikke det her. J: Men så når man har prøvet det så lidt, så blev det lettere og også lidt sjovere. E: Det er sådan tit, man gir op i starten, sådan det der, det kan jeg ikke så, det gider jeg ikke lave. I starten var vi ikke så vilde med, men når man så ser, hvad det rigtig går ud på, så er det sjovere. I: Hvad var det, ved det, der fik jer til at sige, at det er måske ok det her? J: At vi nok fandt ud af, det var lettere, end vi troede, det var. E: Ja, det var også. Ja.. I: Tror I, der er andre ting her, hvor man oplever det først, så tænker man ih hvor er det svært, og når man så arbejder med det? E: Uhm. I: Det tror jeg, der er rigtig mange ting her i livet. Så er det måske godt at have prøvet, hvis jeg arbejder lidt med det så. Tror I, I kan bruge det i en anden situation? J: Ja, måske lade være med at give op så hurtigt. Der var gået 5 minutter, så havde vi allerede givet op. I: Plejer I det, eller var det på grund af programmet? E: Vi plejer sådan, at hvis vi ikke rigtig kan det. Øj, det er bare irriterende det her og så væk med det I: Så er det godt at arbejde videre med det. Hvad var det vigtigste, I har lært i det her program GeoGebra? J: Altså, jeg tror nok for mig, at jeg blev bedre til tabeller, fordi vi lavede også en af de tidligere opgaver, der lavede vi også noget med tabellerne, kan jeg huske. E: Ja, det er rigtigt, det var nemmere at lære de ting på, fordi at... Ja, det ved jeg ikke, det der med bogen, så skal man huske det. Så er det er sjovere, hvis man sådan, får ind i det sjove, ikke sådan nu skal vi lære tabellerne, 6-12 I: Hvordan lærte I mere om tabellerne ved at bruge det her GeoGebra? J: Det er nok fordi, vi brugte nogle af tabellerne til at lave spillet. Der skulle være lige mange bobler, så i stedet for at tælle, så brugte vi tabellerne. E: Det er også det der med, at hvis vi ikke kan tabellerne, kan vi jo ikke komme videre. I: Så for overhovedet at gennemføre spillet, så bliver man nødt til at kunne noget. Har I haft spillet spillet? E: Ikke endnu. I: Men det bliver der mulighed for senere. Det kan i have liggende til et frikvarter. E: Ja. I: Hvornår tror I, at I kan bruge GeoGebra igen? Hvis I tror, I kommer til at bruge det igen, det kan jo også godt være, at I tænker, at det kommer I aldrig til at bruge. 114

115 J: I skolen eller sådan noget? I: Det kan også være, hvis I tænker, I bruger det der hjemme. J: Altså, jeg tror ikke, jeg ville bruge det så meget hjemme, men jeg tror godt, vi kunne finde på at bruge det i skolen. I: I hvad for en forbindelse kunne det være? Sammen med hvad? E: Lige nu har vi om rumfang, det kunne måske være. Det lavede vi i hvert fald noget om, der i programmet, der med det der 3-demensionelle, eller hvad det hedder. I: Så noget med rumfang, der kunne man godt komme til at, det kan være I skal bruge mere i det. I: Igennem hele det her forløb, hvad synes I så, var det mest interessant fra start til slut? J: Altså, jeg synes, det var sjovest at lave spillet. E: Ja I: Hvad var der ved det, der gjorde det sjovere end det andet? E: Øh, altså, i starten, der skulle vi lave de der opgaver, og det var fint nok, men Det er sådan lidt sjovere, når man selv må finde på og kan bruge. J: At opgaven ikke er lavet, og nu skal du gøre sådan. E: Så man selv må finde på, men stadigvæk lærer. I: Er det noget med at rammerne er mere frie? E: Ja, meget. I: Tror I man kunne have mere matematikundervisning, hvor det var mere frit, hvad man kunne lave? E: Ja. I: Og det ville I synes var mere interessant? E + J: Ja, meget I: Meget, ligefrem. Det lyder rigtig godt. I: Hele det her forløb, det har været en blanding af it og dansk og matematik, er det rigtigt? J: Ja, og også lidt billedkunst. I: Hvad synes I, der har været mest af? E: Matematik I: Det er det der har vægtet tungest? E: Ja I: Hvilken slags matematik har der så været i det? Det kan godt være der har været flere slags matematik? J: Det ved jeg ikke. I: Hvilken matematik er I stødt på, mens I skulle lave de her opgaver? J: Blandt andet det der med rumfang lavede vi noget om. E: Og radius og diameter. J: Og cirkelperiferi og sådan noget. I: Ja, er der andre ting, I tænker, I er stødt på? E: Øhm, regningsarterne. 115

116 I: Ja, plus gange og E: Minus I: Er det sådan det, I tænker, I er stødt på? Eller har der været anden matematik også? J:Jeg synes ikke, der er andet. E: Nej. I: Hvilken matematik har I så med i jeres spil? E: Regningsarterne. I: Har I brugt noget matematik mens I har udviklet spillet, og sådan som I har lavet det? J: Ja, vi brugte tabellerne til at finde ud af, hvor store tingene skulle være, så de passede sådan. E: Ja, også når vi skulle lave cirklerne, så de skulle være lige store. Hvor bred diameteren var, ja. I: Der har I også brugt tabeller eller? J: Nej, nej, det var sådan, at de skulle sidde tæt på hinanden, eller hvor mange der var og sådan noget. E: Og de skulle være lige store eller blive mindre. J: Det skulle passe ind, så der var et lige antal, for ellers så passede det jo ikke. I: Så tegning af cirkler har også været en del af det? J+E: Ja I: Hvordan synes I jeres interesse og engagement har været ift. den almindelige undervisning? E: Bedre, det plejer at være sådan lidt I: Hvordan har den været bedre? J: Det er lidt svært at forklare, men. E: Vi er sådan matematik åe nej. J: Bare når man hørte matematik før, så var det bare rigtig kedeligt. E: Det er anderledes, når vi skal lave det der andet GeoGebra, eller ja. Så er det sådan uhm. I: Det lyder ok? Så hvis man i dag siger matematik, hvad tænker I så? J: Det er måske ikke lige mit yndlingsfag, men det er fint nok. E: Det er meget bedre end det var engang. I: Så hvis man arbejder med GeoGebra, så er det en anden form for matematik? E + J: Ja I: Som er mere indbydende? Så er det ikke helt Åe nej? E: Jaa I: Nåe, jeg har lige her til slut har jeg lige nogle spørgsmål sådan mere generel om matematikken? Nu siger I, det har været sådan lidt Åe nej. Hvad tænker I Hvornår er man god til matematik? Hvad vil det sige at være god til matematik? J: Altså når man kan det. Men man kan også godt selv synes man er god, uden man er mega god, sådan til det. E: Det er også forskelligt, hvad det er, man er god til. Det kan være, man er helt vild god til gange, og så er man vild dårlig til, ja, dividere eller sådan noget eller minus. I: Er man god til matematik, hvis man er god til gange, men ikke så god til divider? 116

117 J: Ja, man kan lære det andet. E: Ja, det tager vel lidt lang tid for at blive, alle, sådan meget lang tid. I: Hvordan bliver man så god til matematik? J: Ved at øve sig. E: Ja, og høre efter. J: Og sætte sig ind i det. I: Høre efter. Så man skal sørge for at lave sine lektier, så bliver man god til matematik? E: Ja, uhm I: Det var faktisk ved at være hvad jeg har haft. Det var smadder interessant at høre jeres ideer, og hvordan I har oplevet det. Er der noget andet, I tænker på, et eller andet at tilføje, der kunne være interessant at tilføje, eller noget I er kommet i tanke om. Hvad som helst? J: Nej, ikke rigtig. 117

118 Bilag 4: Interview Natasja I: Hej, Natasja. Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at finde ud af, hvilken oplevelse af matematik, du har haft i dit arbejde med Brøkknuseren og særligt med det spil, som du har lavet. I: Men, jeg starter lige med at spørge. Hvordan plejer I at have matematik? N: Altså, vi plejer bare at skulle arbejde, og så må man bytte pladser. Og så kan man så sidde sammen med dem, man gerne vil arbejde sammen med. Og så, vi plejer bare at lave opgaverne, og hvis vi har brug for hjælp, rækker vi hånden op. Og så kommer lærerne sådan over til en og hjælper en, men hvis der er rigtig mange, der skal have hjælp, så får vi sådan en hjælpeliste, man skal skrive sig på. I: Er det oppe på tavlen man skriver sig på? N: Ja. I: Så sidder man med kopier eller en bog? N: Altså, vi plejer bare at sidde med en bog, og så har vi sådan et matematikhæfte, hvor vi skriver opgaverne ind og så skal regne dem. I: Er det det samme I laver i hele klassen, eller kan man sidde med nogle forskellige bøger? N: Vi har de samme bøger I: Hvordan synes du, dette projekt har været anderledes end den almindelige undervisning I har? N: Jeg synes, det har været sjovt og anderledes. I: Hvordan har det været anderledes? N: Altså, man laver det på computeren, og den siger svarene til en, så det er sådan lidt, når man sådan er i gang med selv at regne det, og så man siger hov, nu står svaret og lige pludselig. Det er lidt sådan mærkeligt, fordi jeg er vant til selv at regne det ud. Og skal vide, hvad det giver. Og så er det også sjovt, man skal lave sådan nogle mærkelige ting, man skal lave et hus. Det synes jeg, er meget sjovt. I: Du nævnte før, at man kunne række hånden op og bede om hjælp, og hvis der var rigtig mange, der havde brug for hjælp, kunne man skrive sig op. Synes du I har haft mere brug for hjælp her? N: Nej. I: Har det være mindre, eller har det været det samme? N: Det er det samme. I: Så man har stadig haft en lille smule brug for hjælp ind i mellem? N: Ja I: Hvis du tænker på det her projekt i forhold til den almindelige undervisning, i plejer at have. Kan du så komme i tanke om noget, du tror du har lært her, som du måske ikke ville have lært? N: Øhm, ja, altså, øh, på computeren Nu ved jeg nogle nye Excel og nogle nye steder, hvor man kan downloade programmet og man kan skrive det op på en anderledes måde, og man kan lave 118

119 opgaverne meget nemmere, og det ser mere overskueligt ud, og så har jeg også lært at farve tingene på det. Og, ja I: Nu nævnte du Excel. Hvor meget har i arbejdet med det program? N: Det har vi arbejdet ikke særlig meget med, men vi skulle arbejde lidt med det for lige at vide øh, hvordan det lige bruges til, hvordan man sådan skal regne stykkerne ud. Man regner det ikke selv, men det regner den for en. I: Så det er lidt ligesom en lommeregner? N: Ja I: Har du arbejdet sammen med nogen i det her projekt? N: Jeg plejer altid at ville arbejde alene, fordi så synes jeg, det går det lidt bedre. Men når vi ikke må deles om... hvis vi ikke må få en hver, fordi der er andre der skal bruge dem på skolen, så skal vi nogle gange være to go to, og så plejer jeg bare at være sammen med nogle andre. I: Og det er computeren, I så skal deles om? N: Ja, og så skal man lave det sammen, en hver og så skal man gemme det. I: Hvordan synes du, det har fungeret at arbejde sammen på den måde? N: Det er også sjovt, men nogle gange, så når man tror, man selv har ret, og den anden også tror, den har ret. Så spørger vi jo så også de voksne, og så kan det godt være, det er en selv har ret, men det kan også være en selv, der tager fejl. Så lærer man også på en måde noget af sine egne fejl. I: Det lyder også som en god måde at lære på. N: Ja. I: Du har siddet og lavet det her spil. Det har du mest gjort alene? N: Det har jeg kun gjort alene. I: Det har du gjort helt alene? N: Ja, det har jeg gjort helt alene. I: Kan du ikke fortælle mig lidt om det spil, du har lavet? N: Altså, jeg kalder den for Regnbuemesteren. Fordi at spilpladen er et æble med nogle forskellige farver på. Så er det sådan nogle cirkler, som man skal gå på med sin spillebrik. Det er så, at den øverste farve, som jeg har skrevet i spilreglerne, til den sidste farve, er sværhedsgrad i brøker. Så når man så trække et spørgsmål, så skal man slå med terningen først, og så den farve, der så er på det, er så det spørgsmål, man skal trække. Og så forskellige sværhedsgrader, og så bliver det svært. Og så gælder det så om at komme hen til æblet, det er den, der vinder. I: Har du tegnet æblet i GeoGebra? N: Nej, den har jeg kopieret over. Men ellers så har jeg tegnet alt det andet selv og spillebrikkerne, og øhm kortene og sådan noget selv. I: Du har kopieret det over, er det fordi du har fundet et billede på internettet, som du har hentet ind? N: Ja. I: Spillet, er det noget du spiller på computeren eller er det printet ud? N: Det er printet ud. I: Det er printet ud, så du har sådan en regulær spilleplade. Kan du ikke fortælle, hvordan sådan 119

120 spillepladen præcis ser ud? N: Altså, den er på et firkantet papir, som er blevet lamineret. Og så er der sådan nogle runde cirkler, sådan rundt, sådan hele vejen rundet. Det er dem, man sådan skal gå på. Og så er der sådan en firkant inde i midten, hvor æblet, billedet er, hvor der så står vinder i de fire hjørner. Og så er der sådan et lille, hvis vi siger, at hele cirklen er her, med alle de der cirkler, så er der to cirkler, som går hen til æblet, så man også kommer den vej. Hvis man så svarer forkert på det spørgsmål, man har fået, fordi man skal jo ikke selv læse det op, for der står svaret også på, ik. Øhm, så skal man rykke to felter tilbage, men hvis man så svarer rigtigt, må man, rykker man to felter frem. I: Okay, så det er vigtigt at svare rigtigt? N: Ja, for at skulle vinde. Så det handler om videnskaben, og om man selv er god til det. I: Hvad er det for nogle slags spørgsmål, der er med? N: Det er bare regne-brøk spørgsmål. Altså, hvad f.eks. en halv hundrede dele eller et eller andet plus hinanden, eller minus, eller noget. I: Og det skal man kunne gøre i hovedet? N: Man må også godt tage et papir, hvis man ikke kan det i hovedet selv. I: Det lyder som et rigtig, rigtig godt spil. Har du prøvet at spille det endnu? N: Nej, det har jeg ikke. I: Det kan være, du skal have det med hjem og spille det. Har du nogle søskende? N: Jeg har en lillesøster. I: Hvad syntes du om at lave det her spil? N: Jeg synes, det har været sjovt, også lidt mærkelig, fordi man plejer jo at selv at spille nogle andre folk, som har lavet nogle spil. Det at skulle selv lave et spil har været ret sjovt, fordi at så kan det, er der også andre, som skal spille ens eget spil, som en selv har fundet på. Så det, synes jeg, er meget sjovt. I: Hvad er det særlige i det her, du synes, der har været rigtig sjovt? N: Det er opgaverne i GeoGebra. I: Så opgaverne før i skulle lave spillet eller opgaverne ved at lave spille? N: I det hele taget det hele, alle opgaverne. Det, synes jeg, har været meget sjovt. I: Hvad er det for nogle opgaver, i startede med at lave? N: Vi starter med at skulle noget med brøker. Altså, skulle starte med at tegne nogle cirkler. Skulle vide hvor meget, der kunne være inde i den og omkredsen. Så skulle man dele dem op i fjerdedele og så videre. Og så skulle man bare vide, hvor mange pizzaer f.eks. der var inde. Og så skulle man jo selv regne det, for man skulle skrive det. Og så gør den det af sig selv, ik, laver de der trekantting. I: Hvad er det for nogle trekant-ting? Kan du prøve at forklare det lidt mere? N: Hvis jeg har en cirkel og gerne vil have nogle ottendedele inde i den, altså jeg vil have otte stykker inde i den. Så skal jeg trykke, der hvor der er cirkel, der cirkel-knap-ting på computeren, og så står der så 45 grader eller. Og så skal man så regne ud, hvor meget otte stykker skal være. Når man så trykker ok, så kommer der en, og når man så trykker igen, kommer den næste og så videre. 120

121 I: Hvordan synes du, det har været at arbejde med GeoGebra? N: Sjovt og meget lærerigt. I: Hvordan har det være lærerigt? N: Altså, jeg har lært mange nye ting, og på den måde synes jeg, det har været lærerigt. I: Kan du komme med et eksempel på noget nyt, du har lært? N: Øh, jeg har lært, hvordan man skal gange cirkler, og hvordan man skal lave de der pizzastykker inde i. I: Ja, kan du beskrive det lidt nærmere? N: Øh, altså. Det jeg fortalte før, hvis jeg skal have otte pizzastykker. Og så deler 365 eller 60 eller deromkring, grader i det hele. I: 360. N: Ja, og så skal man så få det hele til at blive det samme. Og så skulle gange det for at få det til det, sådan så der kunne komme flere, altså otte stykker i det hele. Så i stedet for bare at have en, så er det for at få op til otte stykker. I: Hvad var det vigtigste, du har lært i GeoGebra i programmet? N: Uhm, øh, jeg tror bare, altså. Det er de nye ting, som er kommet ind i det, som er blevet blandet sammen til at det... Programmet er nok det vigtigste. I: Så er det selve det der med at kunne bruge programmet? N: Ja. I: Hvornår tror du, at du kan bruge det her GeoGebra igen? N: Uhm, altså, når jeg får matematikopgaver for, som man så skal lave alle mulige cirkler-ting. I: Så kan du godt bruge det igen? N: Uhm. I: Hvilken del i hele det her forløb, synes du, der har været mest interessant? N: Uhm, hvilken del, jeg synes, har været mest interessant? Altså, det har været der, hvor vi skulle prøve at lave trekantsmønstre. Altså, man skulle lave alle mulige forskellige mønstre, og så skulle det være sådan et rigtig stort mønster ud af rigtig mange trekanter. I: Det lyder interessant, kan du fortælle mere om det? N: Altså, vi skulle tegne nogle trekanter, og så vi skulle lave nogle trekanter inde i GeoGebra. Og så skulle man så lave sådan nogle mønstre-agtige figurer, som satte sammen, så det blev til sådan en rigtig stor ting-figur med alle mulige flotte mønstre og trekanter. I: Og hvorfor synes du, det var rigtig interessant? N: Jeg synes, det var sjovt, og blev flot. Og jeg vidste ikke, at man kunne gøre sådan nogle ting ud af trekanter. I: Det lyder sjovt. Hele det her forløb, det har været en blanding af it, dansk og matematik. Hvilken af de her synes du, der har været mest af? N: Det synes jeg har været it. Sagde du it, dansk og matematik? I: Ja, er det ikke det der har været? N: Jo, men it, det er jo det med computeren, ik? I: Jo. Og det er så det, vi har med matematik. Det er det, vi har haft mest af i it. Fordi vi kalder faget 121

122 it. Så har vi bare dansk og matematik nogle gange i det. Det, mener jeg så, er mest matematik i det. I: Så overordnet så hedder faget it, og det synes du I har beskæftiget jer meget med, og så har der måske været meget input fra matematikken. Er et sådan forstået? N: Ja, for vi har ikke haft særlig meget dansk, vi har kun haft det to gange eller sådan noget. I: Der har været meget matematik, siger du. Hvilke slags matematik har der været med? Der har måske været forskellige slags? N: Der har været brøker, og plusstykker. Fordi Brøkknuseren og GeoGebra det var det, vi havde om brøker. Og i Excel det var, hvordan man nu skulle skrive agurker og finde ud af, hvad de kostede, og hvis man skulle det, så skulle vi lave to og to sådan en indkøbningsliste til en fest. Og så skulle vi så skrive, hvad det var, vi ville have, og så skulle vi så skrive ved siden af, hvad det kostede. Så skulle vi så skrive alt det der A + B + A1+B1 og sådan noget. Og så kom det bare videre, og så fik vi så resultatet, hvor meget det så ville blive, så man ikke blev snydt f.eks. Så en nemmere måde at kunne regne det på. I: Skulle man prøve at regne lidt i hovedet inden man trykkede det ind på Excel? N: Det synes jeg ikke. Det synes jeg, man skulle i GeoGebra. I: Lige for at vende tilbage til dit spil. Hvordan er der matematik med i dit spil? N: Det der er matematik i det, er nok brøkerne med plus og minus i det. Ja, det er det, der er i det spil. I: Har der været noget matematik med i den måde, du har lavet og udviklet spillet på? N: Altså, mener du cirkler og sådan noget? I: Det kunne det godt være. N: Ja, der er cirkler og firkanter. I: Og firkanter. Så det er den slags matematik, du har brugt til at lave spillet? N: Uhm. I: Lige afslutning Hvad vil det sige at være god til mat? N: Det synes jeg.. Bare god, eller rigtig rigtig god? I: Ja, sådan rigtig god. N: Og det synes jeg så, at hvis man er rigtig hurtig til at regne hovedregning. Og næsten kan rigtig mange af svarene. Og man synes, det er meget nemt, alle de der opgaver. I: Hvis man synes, det er nemt? N: Ja, og man kan, hvis nu at ingen fra klassen kender svaret, og man er den eneste som er rigtig god til det, man har fået at vide og kender svaret. Det synes jeg også er sejt. I: Hvordan bliver man så god til matematik? N: Uhm, ved også at lære af sine fejl. I: Og hvordan kan man gøre det? N: Hvis nu, som jeg sagde før, hvis den anden person, altså havde et andet svar. Hvis nu jeg havde et andet svar og f.eks. den person så havde ret, og jeg så ikke havde, så lærer jeg så af mine fejl. I: Så hvis man sørger for at tage det til sig, og ikke blive ved med at sige jeg har ret. Er det sådan? N: Ja 122

123 I: Nå, men så er jeg faktisk nået igennem, og synes det var rigtig, rigtig interessant at høre til det, så mange tak for det. Har du et eller andet du lige gerne vil tilføje eller er kommet i tanke om? N: Nej. I: Tak for det Natasja. 123

124 Bilag 5: Interview Emil (3.a) I: Hej Emil E: Hej I: Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at finde ud af, hvilken oplevelse af matematikken du har haft i det her forløb med multiplikationsknuseren og særligt med det spil du har været med til at lave. Først så har jeg nogle generelle spørgsmål I: Kan du fortælle mig hvordan plejer i at have matematik? E: Altså det som vi har nu. Så.. som Vi plejer bare at lave noget i matematikbogen. Så når vi har lavet et kapitel, så skal vi lave sådan nogle sider. Sådan nogle sider, hvor vi skal lave de ting, der også har været i kapitlet. Og så klipper vi dem ud. Og så får [læreren] dem. Så senere så får vi dem igen og ser, hvordan vi lavede dem og sådan I: Er det nogle opgaver i afleverer til [læreren]? E: Ja, det er sådan nogle, der er i matematikbogen. Så klipper man dem ud, når man er færdig. I: Hvordan synes du dette projekt været anderledes, end det i plejer at lave? E: Meget fordi vi brugte computere, og øh og det plejer vi ikke at bruge. I: Er der andre ting, der har gjort det anderledes? E: Ja, vi skulle, vi plejer ikke at skulle lave sådan rigtig meget med firkanter, og sådan noget. Det plejer vi ikke. Vi plejer mest at lave med stykker. Og de der jeg ikke lige kan huske, hvad hedder. Der hvor der er bogstaver nederst, og så er der tal, og så skal man finde det der. Nej, jeg kan ikke huske hvad det hedder. I: Prøv at forklar det, så kan det være jeg ved, hvad det er. E: Ok. Nederst er der bogstaver og så i siden, der er der tal. Så, så, er der et bogstav, hvis nu det er G og så et tal, der er 5. Så G-5 så, hvis der er noget der, så skal man. Det er sådan noget vi laver nu. I: Noget med noget koordinatsystem? Er det det, det hedder? E: Ja I: Ok, så det er sådan noget i arbejder med nu? E: Ja I: Kan du tænke på noget, du har lært i det her forløb med Multiplikationsknuseren, som du ikke ville have lært i en almindelig undervisning. Er der noget nyt noget? E: Ja, vi har lært at bruge Multiplikationsknuseren. Det havde vi ikke lært, hvis vi ikke havde det. I: Nej, det er klart. Er der ellers noget, som du måske ville have lært, eller har lært, hedder det? E: Nej I: Nej, du kan ikke komme i tanke om noget? Det er ok. I: Hvem har du arbejdet sammen med i det her forløbet? E: Lukas I: Du har arbejdet sammen med Lukas. Plejer i at arbejde sammen? E: Nej 124

125 I: Plejer du at arbejde sammen med nogen, når i laver matematikogaver? Eller plejer du at arbejde alene? E: Der er ikke nogen jeg specielt arbejder sammen med, men jeg plejer at arbejde sammen med en. I: Ok. Så det skifter bare lidt hvem du arbejder sammen med? E: Ja I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en i det her? Hvordan har det været at arbejde sammen med Lukas? Med at skulle lave spil og Multiplikationsknuseren sammen? E: Øhm, det har været fint nok, fordi vi er venner og vi leget rimelig tit sammen. Så. I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en, i forhold til hvis du skulle lave det selv? E: Det ved jeg ikke. Det var kun to der har lavet det selv, det var fordi de ikke kunne finde ud af at arbejde sammen, så... I: Så delte de sig op? E: Ja, så jeg ved det ikke I: Nu er vi nået lidt hen til jeres spil. Kan du fortælle mig lidt. Hvad går jeres spil ud på? E: Altså, da det var vi lavede det, da vi skulle spille det, der gjorde vi ikke helt, som man skulle, fordi vi ikke kunne finde nogen terning. Det er sådan en slags skakspil. Så er der også sådan nogle streger, som der går rundt. Og så hvis man røg ned i dem, så var sådan en ude i siden, med Det var der de døde kom hen. Hvis man ramte en af hullerne, så røg man der hen. I: Og så er man ude? E: Ja, nej så var brikken var ude. For det var jo et skakspil I: Nåe, så man havde mange brikker? E: Ja I: Så sad man to overfor hinanden på samme måde? E: Ja. Man brugte bare en.. Vi brugte en [host] vi brugte en terning eller to terninger. Og så Eller man brugte kun en, eller det var lidt lige meget. Men først så slog man med den ene og det den gav, skrev man op. Og så slog man igen, og så det den gav, gangede man det med det, man slog først. Så hvis man regnede det forkert, kunne man ikke rykke med brikken, og hvis man regnede rigtigt, kunne man godt rykke med brikken, som man kunne i det almindelige. I: Så skakreglerne var det samme? E: Ja I: Og så var der bare nogle sorte huller også? E: Og så skulle man slå med terninger også, og gange det det gav I: Så spillepladen lignede en skakplade? E: Ja, bare, vi kom bare til at lave for mange. Det var derfor vi lavede det ude i siden. I: Hvad syntes du om at lave det? E: Hmm, det var sjovt. I: Hvad var det specielt, der gør at du synes det var sjovt? E: Det var forskellige ting. I hvert fald at arbejde på computeren. Det var også sjovt at lave de ting på Multiplikationsknuseren I: Ja? E: Uhmm. [pause] 125

126 I: Så sjovt, det har det der? E: Ja I: Hvordan har det været at arbejde med programmet med GeoGebra, det program i har siddet med? E:Det var også sjovt. I: Hvad gjorde det sjovt? E: De der ting, man skulle lave med de der streger og cirkler og, ja... I: Med nogle streger og cirkler. Hvad var det for noget i skulle lave med det? E: Først så skulle vi lave sådan nogle opgaver. I: Ja. Hvad var det for nogle slags opgaver? E: Det var sådan nogle firkanter og sådan. Så skulle vi lave flere med et bestemt kvadrat, og så lave det større og større go sådan noget. I: Så i skulle sidde og arbejde med kvadrater? E: Ja, det var det vi mest skulle lave. I: Hvad er det vigtigste du har lært i GeoGebra, kan du komme i tanke om det? E: Næ I: Det hele har måske været vigtigt. Var der ikke noget der var lidt vigtigere. Noget du kan bruge senere? E: Det tror jeg ikke. I: Tror du, at du kan bruge GeoGebra igen på et tidspunkt? E: [Lille pause] Jaaa I: Jaaa måske? Hvad skulle det være? Hvornår kunne det være? E: Fordi man lærte lidt mere om de der kvadrater, og Så det tror jeg godt jeg kan bruge. I: Hvornår kunne du bruge det, tror du? E: Hvis vi skulle det i matematikbogen eller andre steder. I: Så hvis i får nogle andre opgaver med kvadrater, så kan det være du kan bruge GeoGebra til at løse opgaverne, eller hvordan? E: Ja Til at finde ud af Fordi, så kunne man bedre se, hvad for nogle der var inde i, hvor mange der var inden i. I: Hvilken del i forløbet var mest interessant. Det første med opgaver, eller det næste, der hvor i selv skulle lave jeres spil? E: Der hvor vi selv skulle lave vores spil. I: Hvorfor var det sjovere? E: Fordi der måtte man selv bestemme, hvad man ville lave, og sådan noget I: Er det vigtigt man selv må bestemme? E: Nej, men I: Hvorfor er det sjovere, når man selv må bestemme? E: Fordi så kan man selv finde på nogle ting og sådan noget. I: Ja, det lyder godt. Hvilke fag har der været med. Hvilke fag har i arbejdet med i dette forløb? E: Matematik 126

127 I: Er det kun matematik, eller har der været andre fag lidt med også? E: Det tror jeg ikke I: Så det har bare været matematik? E: Ja I: Hvilke slags matematik har du så arbejdet så med? E: Kvadrater og cirkler og sådan noget. I: Ja? E: Og måle ting op. Hvor langt de skal være. I: Ja, er der ellers noget matematik der har været med? E: Det kan jeg ikke huske om der er. I: Hvordan er der så matematik med i jeres spil. Det spil du har lavet? E: Man skal regne, når man slår med terningerne. I: Ja? E: Det er nok det eneste. I: Ok. Da i sådan skulle udvikle spillet og lave det. Har i så brugt noget matematik til at udvikle det? E: Uhm. Vi har brugt matematik til at regne, hvor lang siderne skulle være. Så de ikke var for store eller små. Så der var plads til brikkerne I: Ja. Hvordan har din interesse været i det her forløb i forhold til, hvordan den plejer at være i den almindelige matematikundervisning? E: Uhm. [lang pause] Altså det var sådan lige sjovt, synes jeg. I: Det har været lige sjovt. Så du har ikke været mere med i det her eller mindre med. Det har været det samme? E: Uhm I: Plejer du at være meget engageret i matematiktimerne? E: Ja I: Du plejer at være meget med. Så er det svært at være mere med! I: Hvad vil det sige at være god til matematik? E: Man er god til at regne og lave kvadrater, tror jeg, og sådan noget. I: Og lave kvadrater? E: Og andre ting I: Hvad er det for nogle andre ting? E: Det er andre, jeg kan ikke huske hvad de andre firkanter hedder, hvor det ikke er alle siderne der er lige lange I: Hedder det et rektangel? E: Ja I: Kvadrater og rektangler. Nogle forskellige figurer? Er der noget andet, man skal kunne for at være god til matematik? E: Det ved jeg ikke 127

128 I: Ved du så hvordan man blive god til matematik? E: Man regner meget I: Man regner meget? E: Uhm I: Hvad er det man regner? E: Gangestykker og minus- og plusstykker og sådan noget. I: Ja, uhm? E: Det gør jeg meget. I: Gør du det her oppe eller hjemme? E: Jeg gør det her. I: Arbejder du også med matematik der hjemme? E: Ja I: Hvad laver du så der hjemme med matematik? E: Det er forskelligt I: Hvad er det sidste du har lavet, kan du huske det? E: Det var ekstraopgaver, man har i matematik. Det er sådan nogle ekstraopgaver, vi får i timerne I: Uhm. Hvad handlede de om? E: Det kan jeg ikke huske. Det var før Efterårsferie I: Så det er lang tid siden? E: Ja, jeg gad ikke lave noget i efterårsferien. I: Så du har bare haft ferie? Så skal hjernen lige køres op i gear igen? E: Ja, jeg lavede ikke matematik i efterårsferien. I: Det var sådan det jeg havde af spørgsmål. Har du noget der kunne være interessant, som jeg har glemt at spørge sig om? E: Nææ I: Så skal du bare have tak! 128

129 Bilag 6: Interview Puk (3.a) I: Hej Puk. Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at vide, hvilken matematikoplevelse du har haft i det her forløb med multiplikationsknuseren og med det spil, som du også har lavet. Først så har jeg nogle generelle spørgsmål. I: Kan du fortælle mig, hvordan plejer i at have matematik? P: Altså, hvis det er helt rigtigt, så plejer vi faktisk bare at sidde og lave nogle sider i bogen. I: Og hvordan foregår det? P: Det foregår, måske så bliver man delt op i grupper, og så kan man arbejde sammen med en. Så kan man sidde på gangen eller i klassen. Man må også gerne arbejde alene. I: Plejer du at arbejde sammen med nogen eller alene? P: Det er lidt forskellige, det kommer an på hvaffor nogle opgaver vi laver, og om der er nogle der spørger mig, om vi skal være sammen. I: Hvordan har dette projekt været anderledes end den almindelige undervisning? P: Der har man ligesom lavet på computeren, det der GeoGebra og Multiplikationsknuseren. I: Så i har arbejdet på computeren. Er der andet der har været anderledes? P: Altså, nu er vi begyndt at få sådan nogle opgaver, der hedder ugeopgaver. Som vi har fået i dag og så skal vi lave dem til på næste tirsdag. I: Og hvad går de ud på dem i har fået nu? P: Det har vi slet ikke lige kigget på endnu. Men der står nogle opgaver man skal løse. Og hvis man ikke bruger lineal, til at lave de der streger under tallene, så kan [læreren] godt sætte dem som en fejl. I: Er det nogle opgaver i skal lave her oppe eller der hjemme? P: Det er der hjemme I: Så det er nogle hjemmeopgaver i alle sammen har? P: Ja I: Kan du tænke på noget, du har lært i det her forløb, som du måske ikke ville have lært i den undervisning i plejer at have? E: [Lang pause] Nej. I: Nej, det er ok, det er helt i orden! I: Hvem har du arbejdet sammen med? P: Altså på computeren? I: Ja? P: Så har jeg arbejdet med Simone I: Sammen med Simone. Plejer i at arbejde sammen? P: Ja, lidt. Nogle gange I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en, når i skulle lave det her spil? P: Det har været meget godt. For at man ikke lige, hvis nu jeg var i tvivl om noget, hvis hun så bare kunne det. 129

130 I: Så det har været godt at arbejde sammen med en? P: Ja I: Kan du fortælle mig om dit spil, hvad det går ud på? P: Vi have sådan en plade, som vi havde lavet nogle runde cirkler på og nogle firkanter ude i... Hvis nu du havde en brik og jeg havde en brik, og så slog jeg med terningen. Man skulle så have en 4 er for at komme ud, nej en 5 er det. Så hvis man slår en 5 er, så må man rykke ud. Så må man rykke ud på det tættest,der var på ens spilbrik. Så hvis man var rigtig tæt på mål og slog en 5 er, så må man komme ind i mål, og så skal man bare have de andre brikker ind. I: Er det lidt ligesom Ludo? P: Ja, lidt. I: Det tænker jeg sådan, at man skal slå en 5 er og komme ud? P: I Ludo skal man bare slå en 6 er eller en Globus. I: Så hvordan ser spilpladen ud? Kan du beskrive den? P: Ja, der er nogle fire små firkanter her, og der skal man stille sine spilbrikker, og der er fire små firkanter, og der, og der, er der fire små firkanter. Så er der en kæmpe stor rød cirklen inde i midten, hvor der står mål, og så er der nogle små runde cirkler her ude på banen, hvor der står gangestykker på nogle af dem. Hvis man lander på et gangestykke så har man 30 sekunder til at regne det ud, og hvis man ikke regner det ud så skal man vente en omgang. I: Skal man regne det ud i hovedet eller må man godt..? P: Man må godt bruge papir. Hvis man synes det er rigtig svært, må man gerne bruge papir. Men det tager jo også tiden for en at hente et papir. I: Er det nogle svære gangestykker? P: Argh I: Kan du give et eksempel på et af de gangestykker i havde? P: Jeg kan ikke huske nogle af dem. I: Slet ikke? P: Nej. I: Nåe, okay. Hvad syntes du så om at have lavet det? P: Det har været sjovt. I: Hvad er det der gør det sjovt? P: Det var at man brugte computeren. I: Var der andet der gjorde at det var sjovt at arbejde med? P: At arbejde sammen med nogen. I: At arbejde sammen. Er der ellers noget i det her forløb? P: Ej I: Hvordan har det været at arbejde med programmet der hedder GeoGebra? P: Det synes jeg var meget sjovt. I: Ja, hvorfor har det været sjovt? P: Fordi, at man har kunne lave alle mulige ting på programmet og alt sådan noget. 130

131 I: Hvad er det for nogle ting, man har kunnet lave? P: Man kunne lave spil, og alle mulige spil, og så var der også nogle opgaver, man skulle løse i starten og så. I: Ja, nogle opgaver i starten. Var de gode? P: Ja, de var faktisk lidt svære, men også gode. I: Hvad var det vigtigste du har lært i GeoGebra? P: [lang pause] Det kan jeg ikke komme i tanke om. I: Det er svært? P: Ja I: Tror du, du kan bruge GeoGebra igen på et tidspunkt? P: Ja I: Hvornår skulle det være? I hvilken forbindelse tror du, det kunne bruges? P: Når jeg kedede mig. I: Når du kedede dig? Her oppe i skolen eller der hjemme? P: Der hjemme. I: Hvordan ville du så bruge det der hjemme? P: Jeg ville bare gøre ligesom vi gør det her i skolen. I: Og hvordan er det? P: Vi laver de der opgaver og så bagefter, så er der sådan et videoklip der er lagt ind med [læreren], der fortæller nede på biblioteket. I: Hvordan fungerer det, at der er sådan et videoklip med Simon? Det var sjovt, det var ham, eller ville det være sjovere hvis det var en anden en? P: Det var lidt sjovt at det var ham. I: Hvad fortæller han på det videoklip? P: Det kan jeg ikke helt huske, men jeg tror vist det var noget om,hvordan man brugte programmet og sådan noget. I: Er det sådan en lille hjælp, man kan hente? P: Det kan man godt sige I: Så der hjemme der kunne du også godt finde på at arbejde med GeoGebra og sidde og lave nogle af de her opgaver? P: Ja, hvis jeg kedede mig I: Ville det være en sjovere måde at få lektier for på eller er det det samme? P: Det er det samme I: Hvilken del i forløbet, synes du, var mest interessant? Er det det første, hvor i har lavet de der opgaver i GeoGebra? P: Det var da vi lavede vores eget spil. I: Det var da i lavede jeres eget spil. Jeres helt eget spil. Hvorfor var det sjovest? P: Fordi man havde lavet et helt spil. Der var I: Ja, kan du fortælle lidt mere om det? P: Altså ligesom man lavede en spilleplade så.. øhm.. Ligesom jeg har fortalt, hvordan den ser ud. 131

132 Så ja I: Hvorfor var det mere interessant? P: Fordi der lavede man jo noget selv, i stedet for bare at sidde og løse nogle opgaver på computeren. I: Så det der med, at man selv skulle lave det. Det var en vigtig ting? P: Det var sjovt i hvert fald. I: Hvilke fag har der været med i det her? P: Matematik. I: Har der været andre fag med? P: Nej. I: Så det har været matematik. Hvilke slags matematik har du så haft arbejdet med? P: Altså i GeoGebra? I: Ja, både i GeoGebra og også som? P: Vi har brugt gange. I: I har brugt gange. Har i haft andet matematik med? P: Ikke i vores spil. I: Da i skulle lave nogle af de der opgaver? P: Der havde vi kun gange. I: Så det var kun gange i brugte der. Og i jeres eget spil? P: Der var der også kun gange. I: Har i brugt noget matematik til at udvikle, til at lave spillet. På en eller anden måde? P: Altså, vi har brugt nogle regnestykker. I: Hvad er det for nogle regnestykker i har brugt? P: Ligesom 10 gange 10 I: Ja. Er det nogle regnestykker der er i spillet eller er det nogle i har brugt til at? P: Det er i spillet. I: Har i brugt noget matematik, når i skulle lave spillet, når i skulle tegne og bestemme hvordan det skulle være og bestemme reglerne eller? P: Nej I: Der har i ikke haft noget matematik? P: Nej, ikke rigtig I: Hvordan har din interesse været i det her i forhold til, hvordan du plejer at være i matematiktimerne? P: Meget sjovere. I: Har du været mere med? P: Ja. I: Hvorfor har det være meget sjovere? P: Fordi at man brugte jo computeren. Man lavede det der spil. Og de der opgaver, der allerede var på computeren. 132

133 I: Synes du det er sjovere når man skal bruge computeren? P: Ja I: Så det kunne i godt gøre noget mere i matematiktimerne? P: Ja I: Kan du fortælle mig, hvad vil det sige at være god til matematik? P: Det vil sige, man kan gange, og man kan plus, og man kan minus, og når man kommer op i de højere klasser så kan man også dividere. I: Ja. Er det det der kræves for at man er god til matematik? P: Man skal jo også bruge linealen nogle gange, så man ikke bare laver sjuskede streger, fordi man ikke gider bruge linealen. I: Så det er også en vigtig del af at være god i matematik? P: Ja, til at lave de der lige streger. Men det er jo først i de højere klasser man lærer at dividerer. I: Hvordan kan man så blive god til matematik? P: Man kan starte med at øve sig der hjemme sammen med mor og far. Man kan også bruge tabellerne, hvis nu man skal gange. I: Øver du der hjemme med mor og far? P: Ja, lidt. Nogle gange når jeg har tid. I: Det var faktisk det jeg ville spørge om. Du har måske noget du tænker, jeg burde have spurgt om, noget du tænker der kunne være interessant for mig at vide. Noget jeg ikke var klar over. Så skal du have mange tak. 133

134 Bilag 7: Interview Mads (3.c) I: Hej Mads. Jeg har nogle spørgsmål, jeg gerne vil stille dig, fordi jeg er interesseret i at finde ud af, hvilken matematikoplevelse du har haft i det her forløb med multiplikationsknuseren og særligt med det spil, som du også har lavet. Det glæder jeg mig til at høre om. Jeg har lige nogle forskellige spørgsmål, og først så vil jeg bare høre... I: Hvordan er det i plejer at have matematik? M: I en bog så en I: Ja, hvordan det? M: Altså, vi laver sådan nogle opgaver i, så har vi sådan et hæfte. Nogle gange så gør vi det på computer. I: Ja? M: Hvor vi bruger forskellige hjemmesider I: Ok. Der bruger i internettet? M: Ja I: Hvordan tænker du, at dette projekt har været anderledes end den almindelige matematikundervisning? M: Fordi det var ikke rigtig regnestykker. Det var mere sådan historier og gåder agtig noget. I: Gåder? M: Ja, som man sådan skulle løse I: Hvordan har det virket, at det ikke var nogle bestemte matematikopgaver i skulle løse? M: Det har været lidt mere sjovt. Fordi altså, normalt er det bare sådan: sidde i en bog regne lave sådan nogle mærkelige opgaver. I: Kan du tænke på noget, du har lært i den her undervisning, som du måske ikke ville have lært hvis i havde lavet den almindelig undervisning? M: Ja, måske at man godt kunne have det sjovt uden uden at man skulle lave det i en bog. I: Så undervisningen kunne godt være sjov, på en anden måde end bare at sidde med bogen? M: Ja Og regne på tavlen. I: Og regne på tavlen. Det gør man også? M: Ja, det starter man nok med og får forklaret. I: Er det elever eller læreren? M: Altså han, [læreren] kalder nogle gange nogle op. Så har han lavet nogle regnestykker. Så skal de så regne det. I: Har du arbejdet sammen med nogen i det her forløbet? M: Ja, min makker som hedder Katja I: Plejer i at arbejde sammen? M: Nej, altså når det er makkeropgaver, gør vi. Ellers så arbejder jeg sammen med Gustav. I: Oka, så du plejer altid at arbejde sammen med nogle andre, eller arbejder du også nogle gange alene? 134

135 M: Jeg arbejder også nogle gange alene. I: Ja, så Katja når det er makkeropgaver og nogle gange Gustav, når det er andre opgaver? M: Ja I: Makkeropgaver er det noget, hvor jeres lærer har bestemt, at nu skal i arbejde sammen, eller hvad vil det sige? M: Nej, nogle gange siger han makker, og nogle gange kan vi selv finde en. I: Okay, på den måde. Nu er vi nået til det spil du har lavet, som du har lavet eller i har lavet. Det har du lavet sammen med Katja? M: Jo I: Kan du ikke fortælle mig lidt, hvad det går ud på, fordi det kender jeg jo ikke? M: Jo, altså, det går ud på så en. Vi har lavet det inde på computeren i Multiplikationsknuseren. Vi har lavet sådan en masse runde brikker, som vi har fundet. Som vi har lagt som brikker. Så har vi så lavet en masse forskellige huller, og sådan noget som man skal bruge noget træ, man kan finde for at komme over. Så har vi lavet sådan nogle porte, hvor man skal regne. Så og så.. og så har vi.. og så skal man kunne lave nogle tabeller for at komme videre til en anden verden. I: Du siger i har fundet nogle runde brikker. Hvor har i fundet dem henne? M: Altså, det ligger inde på Multiplikationsknuseren. I: Okay. Multiplikationsknuseren er det det program i har arbejdet med som også hedder GoeGebra? M: Ja, vi arbejdede med GeoGebra, men vi skrev inde på Google Multiplikationsknuseren, og så står der spilfabrikken. I: Så kom i ind på den side? M: Ja, og så sagde vi bare GeoGebra eller opgaver. Men så til sidst, når vi lavede spillet, så gik vi ud i start og så alle ting, eller hvad det nu hedder. Alle og så var der noget, der hedder GG som så går længere ud, så man skal man tryk på GeoGebra. Så kommer der en hjemmeside frem, eller hjemmesiden kommer ikke frem, men så kommer der et ark, hvor man kan lave tingene ligesom inde på GeoGebra. I: Ok, hvad er forskellen på den og den på Multiplikationsknuseren? M: Altså på GeoGebra, så er der nogle forskellige opgaver, så der hvor man laver ting der kan gemmes ja I: Det skal man gøre når man går ned i Startmenuen og henter GeoGebra. Så hvis man skal gemme, så skal man hente den derfra? M: Ja I: Okay, fordi på Multiplikationsknuseren kan man ikke gemme? M: Jo, det kan man godt, men den anden er sådan nemmere at gemme. I: Kan du prøve at beskrive den. Har i lavet en spilleplade? M: Ja I: Kan du prøve at beskriv den? M: Det er sådan fire papirer, som er linket sammen, hvor at øhhh der er så prikker der går rundt. Så to papirer er en verden, så skal man videre til næste verden, for at klare det. Der er træstammer nogle steder, man skal ned og hente for at komme videre. Og så slår man med en terning. Man slår 135

136 med to terninger, og hvis du slår en... Der er en plusverden og en gangeverden. Så når man er i plusverden, så skal man plus de to terninger og gå, og når man er i gangeverden skal sige f.eks. 5 gange 4, og så rykker man det. I: Og hvor meget skal man så rykke? M: 45 nej, 20 I: Okay, hold da op. Så er der godt nok mange prikker. Så kan man nå at rykke rigtig langt? M: Ja, men gangeverden er også lidt større. I: Okay, så det tager stadigvæk noget tid at komme igennem gangeverden? M: Ja, man skal følge tre spor, og to af dem ender galt i gangeverden. Så skal helt ned i den ene ende og helt op i den anden ende og så helt op. I: Så det er næsten en labyrint også, eller hvordan? M: Ja, det kan man godt sige, fordi, men altså man kan jo stadig se, hvor man skal rykke hen. I: Hvad synes du om at have lave det her? M: Det har været et meget sjovt forløb, fordi altså, det er noget helt andet end man plejer. I: Ja, hvordan synes du, det var anderledes? M: Altså de ting man laver. Det er sådan brikker, forskellige brikker. Som man skal stable ligesom i normal matematikopgave bare på andre måder. Lave ting figurer ud af det som man skal bruge. I: Hvordan har det været at arbejde med det program, der hedder GeoGebra og bruge de funktioner, der er deri? M: Altså, det har været meget, meget anderledes, fordi, pga. det normale, det vi plejer at bruge på internettet. Det var sådan nogle spilhjemmesider. Hvor at øhh, man så kunne gå på dansk eller matematik, når vi havde matematik gik vi på matematik. Og så lavede vi sådan nogle hvor Står gås lille gås I: Stor gås lille gås? M: Ja, det der med. Krokodillenæb I: Nåe, sådan noget med større end og mindre end? M: Ja, og ligesom I: Hvad er det vigtigste, som du har lært her i GeoGebra? M: Det er nok, at man kan bruge matematik på mange måder. I: Ja, kan du komme med et eksempel? M: Ja, du kan jo bruge figurer til at regne. I: Ja. Det lyder også sjovt. Det lyder lidt anderledes. Kan du forklare, hvordan man gør det? M: Ja, hvis nu du har en lagkage. Hvis nu du har 7 lagkager og du skylder 8 væk, og så den næste på skolen skylder 6 væk, og sådan kan man blive ved. Så skal man hele tiden fjerne og plusse og minus og gange nogle gange. Hvordan har i så gjort det på computeren? Altså først så lavede vi jo bare opgaver inde på GeoGebra, hvor der var sådan nogle, nede i opgaven var der nogle gangetegne. Så skulle man tegne, så stod der: Tim har 5 flødeboller og han skylder 4 væk til Johnatan, og Johnatan går ned og køber 5 ik! Så så er det 10, siger vi bare. Jeg kan ikke huske, hvad det var jeg sagde. Så skal man tegne 136

137 flødeboller, lave 10 flødeboller I: Okay, har det har været godt at gøre det sådan? M: Ja, det synes jeg I: Tror du at du kan bruge programmet GeoGebra igen på et tidspunkt? M: Ja, det tror jeg. I: Hvornår tror du det ville være? M: I min fritid. I: I din fritid? M: Ja, hvis jeg ikke har noget at lave. I: Så ville du sidde og bruge programmet lidt? M: Ja. I: Hvordan ville du bruge det? M: Altså, det ville jeg bruge til bare sådan for sjov at lave opgaverne i. I: Så du ville måske bruge det til at lave nogle matematikopgaver i? M: Ja. I: Det kunne du godt finde på. Så det kunne måske bruges til at lave lektier i, hvis du får lektier for? M: Ja, det kommer an på, hvad det er for nogle lektier jeg får for. Men jeg plejer altid at lave det i skolen I: Ok, så du plejer ikke så tit at få lektier for? M: Nærmest aldrig. I: Hvilken del i forløbet, synes du, har været mest interessant. Var det det første med Multiplikationsknuseren eller? M: Nej, det var nok spillet. I: Hvordan kan det være, at det var spillet, der var det sjoveste? M: Øhm, det er nok fordi, man selv får lov til at bestemme ting, hvad man skal lave. Der er ikke noget fast man skal lave. I: Er det sjovt at man selv må? M: Ja I: Og så laver, holder man ikke bare frikvarter, eller laver alt muligt andet? M: Nej I: Så i har faktisk lavet det der var ideen, med spillet? M: Altså ja, altså vi skulle lave det godt, det var en del af spillet. Vi har faktisk fået det hele med, som vi gerne ville have med i spilet. I: Hvad var det for nogle ting, i gerne ville have med i spillet? M: Altså, det var jo det der med de to verdner, og træstammerne. Og hullerne og de forskellige ting, man kan i verdnerne med terningerne. I: Med plus og gange? M: Ja, og så tabellerne. I: Hvilke fag har der været med i det her forløb? M: Altså, jeg vil sige at vi også har haft lidt dansk og billedkunst med. 137

138 I: Okay, så der har været dansk og billedkunst. Hvilke fag har der ellers været? M: Matematik. I: Matematik, har der været andre fag i det? M: [lang pause] Nej, nej det synes jeg ikke. I: Hvilke slags matematik har du arbejdet med? Det kan være der har været flere slag? M: Jeg synes, jeg har arbejdet med den sjove del af matematik. I: Den sjove del? M: Det er der hvor det går hurtigt. I: Og hvad er det, der er den sjove del? M: Hvor tiden går hurtigt. Hvor man hurtigt kan lave ting, på en måde. Og det er sjovt, og timen ikke går langsomt. I: Ja, kan du komme med et eksempel på noget af det matematik du har arbejdet med? M: Ja, det tror jeg godt, jeg ville kunne. Altså, vi har arbejdet med figurer. Så har vi også arbejdet lidt med plus I: Og lidt med plus? M: Ja I: Er der andet matematik i har brugt. Af alt det matematik du kan komme i tanke om. Hvad har i så haft brugt her? M: Øhhh.. Også gange Og dividere og minus I: Og minus? M: Det er nok det jeg kan komme i tanke om. I: Ja, så nogle figurer, plus og gange, og dividerer og minus har i brugt? M: Ja I: Hvilken slags matematik er der så med i netop dit spil? M: Det vil jeg nok sige, det er nok gange, plus og minus. I: Ja, gange, plus og minus. I har ikke noget med divider med? M: Nu skal jeg lige tænke mig om [pause] Jo det har vi faktisk. I: Har i brugt noget matematik til at udvikle spillet, når i har lavet det? M: Altså, nej, det vil jeg ikke sige. I: Hvordan synes du at din interesse har været i det her forløb i forhold til, hvordan den plejer at være i den almindelige matematiktime? M: Altså, det har været det har været ret mærkeligt i forhold til, hvad de plejer. Det er noget helt andet opgaver, og så er det så er det helt anderledes. Man er ikke helt vandt til I: Har du være mere med? M: Ligesom jeg plejer. Bare ligesom jeg plejer. Jeg plejer at være med i hele timen. I: Hvad vil det sige at være god til matematik? M: Man kan tabellerne. I: Man kan tabellerne? M: Man kan regne, det er selvfølgelig rimelig vigtigt. Og så man kan minus. Man skal bare kunne, 138

139 man skal sådan set bare kunne lægge tal sammen og bruge tabellerne, sådan [knipser med fingrene] Og sådan [knipser med fingrene] I: Sådan, dvs. man skal kunne det hurtigt? M: Ja. Det skal vi gerne kunne, når vi er færdige med 3. klasse. I: Så er man god til matematik, når man går ud af 3. klasse og man kan tabellerne og..? M: Ja, så burde man nok, så kan man i hvert fald alle tabellerne. Det er ikke sikkert, man kan gøre det sådan [knipser med fingrene] vel. Ikke alle i hvert fald. I: Hvordan kan man så blive god til matematik? M: Ved at øve sig. Ved at du sidder der hjemme og laver gangestykkker på mobil og på computer I: Gør du det? M: Ja, det gør jeg. Jeg spiller også spil. I: Hvad er det for noget spil? M: Mindcraft. Og der, skal man både noget med at lægge sammen, fordi så kan man få nogle brikker, og det kan jeg få noget nyt ud af. Hvis nu jeg har noget træ, og det skal give fire planks, ik. Så skal jeg jo regne ud. Man kan have 64 i en bunke. Så skal jeg regne ud, hvor mange jeg skal bruge til at få en hel bunke. Det skal jeg så bruge 16, for så ganger jeg 4 med 16. I: Så bliver man nødt til at kunne tabellerne? M: Ja I: Det var vist det jeg gerne ville spørge om. Det kan være der er noget du tænker jeg har overset. Noget du tænker der er vigtigt? M: Nej, det synes jeg faktisk ikke. I: Så vil jeg sige mange tak. 139

140 Bilag 8: Interview Frederikke (3.a) I: Hej Frederikke. Jeg har nogle spørgsmål som jeg vil stille dig, fordi jeg er interesseret i at vide, noget om den matematik, som du har arbejdet med i Multiplikationsknuseren, og med det spil som du også har lavet. Først så har jeg nogle generelle spørgsmål. I: Hvordan plejer i at have matematik? F: Altså, øhh Altså vi plejer. I matematikmatikbogen har vi et kapitel, vi er i gang med, og det. Det er så det, vi øh Det er så det vi, arbejder vi med det en uge eller. Så går vi videre med et nyt kapitel. Det er det, vi plejer at arbejde med. Så er der nogle forskellige opgaver i det der. Så er der nogle gangekapitler og sådan noget I: Ja, så i har bogen og så tager i et kapitel ad gangen? F: Ja I: Hvordan synes du, denne matematikundervisning eller det her forløb har været anderledes end den matematik i plejer at lave? F: Altså, øhm Vi plejer ikke at have så meget, vi plejer at måle meget, men vi plejer ikke, at... Vi plejer mere at regne, vi plejer ikke så meget og Noget med former, det er ikke så tit, vi gør det. Og vi går næsten aldrig på computeren. Øhm Ja, vi vi, altså det, vi plejer heller ikke at lave noget med cirkler. Vi gør ikke så meget det der med former I: Ja, så det har i arbejdet meget med her? F: Ja I: Kan du så komme i tanke om noget, du har lært her i det her forløb med Multiplikationsknuseren og GeoGebra, som du ikke ville have gjort i en almindelig matematikundervisning med bogen? F: Altså, jeg har lært at lave lige, altså lige firkanter og I: Lige firkanter? F: Stregerne er lige, og at det fylder lige meget på hver linje og sådan noget. I: Det ville du ikke have lært i den almindelige undervisning i laver normalt? F: Altså, jo på tavlen, men ikke i matematikbogen så meget. I: Tavlen, bruger i den normalt? F: Ja, det er til at forklare opgaver og sådan noget. Og til at lave noget nyt, hvis vi skal i gang med et nyt kapitel, vi aldrig har haft før, så bruger vi den. I: Er der noget andet, du kan komme i tanke om, som i ikke ville have lært, men som du har fået med her? F: Øh [pause] Ja, at man kunne lave, at man kan lave [pause]det er lidt svært I: Det kan være svært at komme i tanke om noget, det er okay. Lad os bare gå videre I: Har du arbejdet sammen med nogen i det her forløb? F: Ja, jeg har arbejdet sammen med min gamle makker Kasper I: Sammen med Kasper, plejer i at arbejde sammen? F: Øhhh, nej, nej, nogle gange gør vi, når at det er, når det er. Nogle gange gjorde vi, da vi var makker, hvis man skulle lave et eller andet med ens makker. 140

141 I: Okay, men ellers ikke. Plejer du at arbejde sammen med nogen, når i har opgaver? F: Nej I: Så arbejder du alene? F: Ja I: Hvordan har det været at arbejde sammen med en i det her? F: Altså, det har været lidt hårdt, fordi man kunne ikke rigtig blive enige i, hvem der skulle styre musen og sådan noget. Så det har været lidt svært, men vi kunne godt finde ud af det. I: I kunne godt finde ud af det, ja! I: Kan du fortælle mig om det spil i har lavet. Hvad går det ud på? F: Altså, vi har ikke helt fået vores spil færdigt. Men vi har tænkt at lave et, hvor der Hvor der er nogle felter, og så var det et kapløb på en måde. Så var der forskellige verdner, så kunne man komme forbi øhhh. Nogen man skulle klare og slå højere med terningerne. I: Uhm. Så noget konkurrence mellem dem der spillede det? F: Ja I: Hvor langt nåede i med at få lavet jeres spil? F: Vi nåede at lave første verden, der hvor man skulle komme ind til de andre, det var det eneste I: Ja, hvordan så jeres spilpladen så ud, kan du prøve at beskrive det? F: Der var ligesom en rektangel. Og så var der tre, to streger i midten. Så var der seks streger her. Så nede for enden, der var der sådan en rund cirkel, som man skulle komme ind til de andre verdner. Og så var der alle mulige opgaver, så stod der et tegn for en opgave, på hvert felt og så stod der start her oppe, og så galt det bare om at komme videre. Så måtte man rykke et felt frem. Og hvis man klarede det, måtte man rykke en frem og hvis man tabte den, måtte man rykke en tilbage. I: Så man kunne blive ved med at rykke tilbage, hvis man svarede forkert? F: Uhm I: Hvad synes du om at have lave det her spil. Og arbejde med det? F: Jamen, altså, det var sjovt, men det var lidt hårdt, da vi bare skulle træne det, men det var sjovt. I: Hvordan skulle i træne det? F: Vi skulle øve os i at lave firkanter og sådan noget. Vi skulle klare nogle opgaver, før vi kunne starte med spillet. Vi skulle bl.a. lave rektangler og firkanter og smiley og et hus og alt muligt. I: Og hvordan var det i skulle lave de opgaver? F: Vi skulle øh der var sådan nogle firkanter oppe øverst i det der program, og så kunne man trykke på en, og så var der forskellige slags prikker. Og man kunne trykke på en anden, så var der forskellige streger. Og hvis man trykkede på den, så kunne man, så kunne pilen lave I: Okay. Hvad synes du om at lave de her forskellige opgaver, som i skulle igennem først? F: Ja, jeg synes det var svært, men det var også sjovt, og man fik oplevet noget. I: Ja, hvordan blev det sjovt? I: Altså, vi havde ikke rigtig prøvet det og, øhm.. Det var lidt sjovt, man kunne ikke rigtig, altså. Det var sjovere end at sidde i matematikbogen. Der skal man bare regne og sådan noget. Og det var rigtig sjovt der, hvor vi selv skulle lave firkanterne, vi plejer bare at skulle måle firkanterne. I: Så i plejer, at have nogle firkanter der er tegnet, og så skal i måle dem? F: Ja, så skal vi bare måle dem. 141

142 I: Og nu skulle i selv tegne dem? F: Ja I: Hvordan synes du så, det har været at arbejde med jeres spil. Du siger det var lidt svært at arbejde med opgaverne.? F: Ja, men Det var sjovt, og man kunne selv bestemme, hvordan spillet kunne se ud, og... og sådan noget I: Ja, er det godt at man selv kan bestemme? F: Ja, for det ville ikke være så fedt, hvis man bare skulle lave et bestemt spil, og så skulle man bare lave det. Det er sjovere når man selv kunne bestemme hvad det er for et spil I: Hvordan har det været at arbejde med programmet GeoGebra, det program i brugte? F: Ja, øhm [pause] Ja, det har været øhm det har været lidt underligt i forhold til, hvad vi plejer at arbejde med så en. I: Ja, hvordan har det været underligt? F: Vi skulle lige pludselig arbejde med computer, og vi skulle lave smiley, og alt muligt. Vi plejer at skulle måle og regne og sådan noget I: Hvad var det vigtigste du har lært i det her program, GeoGebra? F: Det er nok, det er nok at lave det er nok, at lave firkanter og finde ud, hvordan man laver smiley er. Lære programmet at kende ligesom. I: Ja? F: Det har været det vigtigste. I: Tror du, at du kan bruge programmet igen, GeoGebra. På et tidspunkt? F: Ja, måske, hvis jeg skulle lave et eller andet spil eller et eller andet på et tidspunkt, eller hvis jeg skulle lave en lige firkant og et eller andet. Ja, så tror jeg godt I: Så kunne du godt bruge det igen? F: Ja I: Hvilken del i forløbet var mest interessant, det første når i skulle arbejde med opgaverne og Multiplikationsknuseren eller det bagefter, hvor i selv skulle lave jeres spil? F: Jeg tror det var sjovest, det der spil. Ja fordi, jeg kan ikke så godt lide Jeg kan bedre lide, at man selv kan bestemme hvad for at spil, i stedet for at der bare står, man skal lave en firkant og en kvadrat og sådan noget. I: Så var det bedre. Og skulle ifølge de opgaver som i havde fået først? F: Ja, vi dem skulle vi følge, sådan at vi lærte programmet, så vi kunne lave det der spil. I: Og der blev man nødt til at lave de der opgaver for at lære programmet at kende? F: Ja I: Hvilke fag har der været med i det her forløb, hvilke fag har i skulle bruge? F: Vi har skulle bruge matematik og. Lidt dansk, ikke så meget dansk, men lidt øhm ja, det tror jeg I: Så dansk og matematik har der været med? 142

143 F: Ja, meget altså rigtig meget matematik, det har næsten været det hele. Men der har været lidt dansk I: Så der har været en del matematik. Hvilke slags matematik har du arbejdet med? F: Det er ikke sådan med regnestykker, det er mere noget med former. I: Ja, noget med former. Har der været andet matematik med? Der kunne godt have været flere slags matematik, som du har arbejdet med? F: Jeg har faktisk også, jeg har arbejdet med, man skulle forklare med tegninger, hvad et regnestykke giver. Sådan på en måde, sådan tegningagtig regningstykker. I: Kan du forklare lidt mere om det? Det lyder interessant? F: Ja, øhm der var et regnestykke og så, så skulle man regne ud, hvad det giver. Så skulle man på en måde vise det. F.eks. hvis der stod tre plus tre er seks. Så skulle man tegne f.eks. tre flødeboller her og tre flødeboller her, og så skulle man lave et plus, og så skulle man på en måde vise at det gav seks. I: Så det er mest former i har arbejdet med i matematik? F: Ja I: Og så siger du noget med nogle regnestykker alligevel? F: Ja, der er lidt, men ikke så meget, man fik et regnestykke at vide, og så skulle man vise det med tegninger hvad det gav. I: Så det er ikke ligesom, når man regner i en bog, det er en anden slags matematik, synes du? F: Ja I: Hvilken matematik har i brugt til at.. når i skulle lave jeres spil, til at udvikle jeres spil. Har i brugt matematik til det? F: Ja, vi har brugt matematik. Vi har jo lavet former i spillet, der skulle man jo lave former. I: Hvad er det for nogle former i har lavet? F: Firkanter meget, vi har også lavet nogle cirkler og nogle femkanter faktisk. I: Og femkanter. Er der noget andet matematik i har brugt? F: Ja, vi har også brugt, man skulle noget med, vi har også brugt regnestykker, faktisk, når man landede på et felt, så kunne det være en opgave. Vi har også brugt regnestykker, ja. I: Så i spillet er der nogle regnestykker? F: Ja I: Har i brugt regnestykker, når i skulle lave og udvikle spillet, mens i har arbejdet med det? F: Ja, lidt I: Lidt, hvornår, hvordan har i brugt det? Kan du komme i tanke om det? F: Ja, vi har på en måde regnet ud, hvor mange felter der skulle være til sammen og sådan noget. Hvor mange felter der skulle være et sted f.eks. et sted, hvor der ikke var firkanter, fordi det kunne være lidt svært, fordi at Vi har brugt det til at regne ud, hvor mange felter der skulle være forskellige steder, og vi. Ja, vi har brugt det til at regne hvor mange ligesom, at det skal være lige for at alle spillere har lige god chance for at vinde. I: Okay, så det skulle i regne på, så de skulle have lige gode chance for at vinde? 143

144 F: Ja, fordi, først kom vi til at lave dem lidt forkert, så den ene spiller havde lidt mere ret til at vinde end de andre, fordi vi kom til at lave det så den fik lidt mindre felter at gå på. I: Hvordan har dit interesse været i det her i forhold til, hvordan du plejer at være i de almindelige matematiktimer? F: Altså, det har været.. altså, jeg har været, det her har jeg nok. Altså, jeg har været meget koncentreret i det og øh og de, og øhm, og jeg har også været lidt ivrig. I: Lidt ivrig? F: Ja, vi har været lidt ivrig, mig og Kasper med at øh.., fordi vi ikke lige kunne finde ud af, hvem der skulle gøre hvad. I det normale, der plejer jeg bare at tage det stille og roligt. I: Så her har i skulle være hurtigere til at komme igennem tingene? F: Ja I: Har du været mere med i det her, synes du, eller er det det samme? F: Altså, jeg tror jeg har været mere med i de normale matematiktimer. I: Altså normalt plejer du at være mere med i timerne, end du har været her? F: Ja, fordi, vi mig og Kasper kom meget lang bagud i forhold til nogle af de andre, men der var nogle af de andre, der var lidt mere bagud end os, men vi har sådan været lige lidt midt i mellem, men vi plejer at være... Jeg plejer at være ret godt med i de normale matematiktimer. I: Så i kom bagud. Var det fordi, i ikke sad og arbejde, men fordi i lavede noget andet? F: Nej, vi sad og arbejdede med det, men vi skændtes meget af tiden, og kunne ikke rigtig finde ud af, hvad spillet skulle handle om og sådan noget. Så vi prøvede at lave et spil hver og så blande det sammen på en måde I: Ja, og fungere det at gøre det sådan? F: Ja I: Så fik i lidt af dine tanker og lidt af Kaspers og fik det blandet sammen? F: Men vi nåede ikke rigtig langt, for det tog lidt tid. I: Hvad vil det sige at være god til matematik? Altså, det vil sige, at man hurtigt kan regne stykkerne ud og man er, man er, hvis der er nogen der bare kommer og spørger dig om et regnestykke, så kan du bare sige det med det samme, og være god til det. Og du er god til tabeller. I: Så noget med, at du kan regne hurtigt og være god til tabellerne? F: Ja, tabellerne det er det vigtigste. Hvis man kan tabellerne siger [læreren] også, så bliver det meget lettere for en. I: Og [læreren] det er jeres lærer? F: Ja I: Hvordan bliver man så god til matematik? F: Altså, man øver sig på det og tabellerne, man siger dem igennem rigtig, rigtig mange gange, indtil man kan dem i hovedet, har dem i hovedet, og så kan man begynde at øve, det der med, hvad er 8 gange 7 og sådan noget. Og når man så kan øhm, så er man allerede meget, godt på vej til at blive god til matematik. 144

145 I: Det var vist det jeg gerne ville spørge om. Er der noget du kommer i tanke om, som du har oplevet her, som jeg ikke har spurgt til. Noget du tænker er vigtigt for mig at vide? F: Nej, ikke rigtig 145

146 Bilag 9: Interviewguide Hvad hedder du? Jeg vil gerne stille dig nogle spørgsmål, fordi jeg er interesseret i at finde ud af, hvilken oplevelse af matematik du har haft i dit arbejde med Brøkknuseren/Multiplikationsknuseren og særligt med det spil, du har arbejdet med. Hvordan plejer I at have matematik? Hvordan har dette projekt været anderledes end den almindelige undervisning? Kan du tænke på noget, du har lært her, som du ikke ville have gjort i en almindelig undervisning? Hvem har du arbejdet sammen med gennem forløbet? Hvordan har det været at arbejde sammen med en? Plejer du det? Kan du fortælle mig om dit spil? Hvad går det ud på? Hvordan ser det ud? Beskriv spillepladen Hvad syntes du om at lave det? Hvorfor/ Hvad var det specielt, der får dig til at synes, det var Hvordan har det været at arbejde med GeoGebra? Hvorfor Hvad var det vigtigste du lærte i GeoGebra? Hvornår tror du, at du kan bruge GeoGebra igen? Hvilken del i forløbet var mest interessant? Hvorfor/ Det lyder interessant, kan du fortælle mere om det Det har jo været en blanding af dansk, it og matematik. Hvad synes du, du har arbejdet mest med gennem forløbet? Kan du give et eksempel? Hvilke slags matematik har du arbejdet med? Måske flere slags? Hvordan er der matematik med i dit spil? Hvordan har du brugt matematik til at udvikle det? Hvordan har dit engagement/interesse været ift. den almindelige matematikundervisning? Hvad vil det sige at være god til mat? Hvordan bliver man det? Det var vist det jeg gerne ville spørge om. Mange tak for det, det var meget interessant. Har du ellers selv noget du gerne vil tilføje eller er kommet i tanke om? 146

147 Bilag 10: Beskrivelse af GeoGebra GeoGebra hører med til kategorien af dynamiske geometri software (DGS). Sträußer (2002) beskriver, at disse programmer hovedsageligt anvendes til at konstruere og analysere opgaver og problemer inden for den elementære geometri. Dette har gjort DGS til et af de mest brugte stykker software i skolen verden over (Sträußer 2002). GeoGebra er netop udviklet til matematikundervisning i skolen med særlig henblik på algebra og geometri. Det er et gratis program, der er oversat til mange sprog, inklusiv dansk. Programmet er udviklet, så det er intuitivt enkelt at gå til og teknisk ukompliceret at komme i gang med. Til trods for at det er simpelt at starte op med, er der alligevel mulighed for at lave kompliceret matematik, og det kan derfor bruges gennem hele skolesystemet fra folkeskolen til gymnasieniveau. Programmet udstråler et matematikrigt redskab, og giver brugeren mulighed for at forbinde de fire matematiske felter: Geometri, algebra, regning og statistik. Programmet gør det let at skifte mellem forskellige repræsentationer af det matematiske objekt med et grafisk vindue, et algebraisk vindue og en tabel, der kan vises eller skjules alt efter behov (Link C). Da programmet er så matematikstærkt, kan det næsten ikke undgås, at eleverne arbejder med matematiske objekter, dog uden at eleverne føler at det er særlig matematiktungt og derved uoverkommeligt. Eleverne kan tegne eller konstruere forskellige figurer. Hvis eleven f.eks. konstruerer en retvinklet trekant, vil trekanten beholde sin egenskab, selvom der trækkes i hjørnerne. Det dynamiske program gør det muligt at flytte og ændre på objektet uden at det miste sin egenskab, og der kan derfor hurtigt skabes mange forskellige retvinklede trekanter. 147

148 Bilag 11: Beskrivelse af Brøkknuseren Brøkknuseren er opbygget over en scenarioorienteret hjemmeside, der lægger op til, at eleverne skal arbejde som spildesignere og løse nogle opgaver for at blive ansat på spilfabrikken. På den første side bydes eleverne velkommen til Brøkknuseren, og der står fire punkter, som de skal igennem. Øverst oppe er der syv faneblade: Home, Lær programmet at kende, Løse opgaver om brøker, Udvikling af spil, Ansættelsesprøve, Så til arbejdet og Om dette læremiddel. I fanebladet Lær programmet at kende, står der seks opgaver, som eleverne skal løse i GeoGebra (Link A): 1. Tegn en ret, spids og stump vinkel Mål alle vinklerne 2. Tegn en cirkel Hvad kan du beregne? Skriv på navne på cirklens forskellige dele 3. Tegn en trekant Mål vinklerne Hvad kan du beregne på trekanten? 4. Tegn en flot figur, der kun består af trekanter 148

149 5. Tegn et hus i koordinatsystemet Hvad har du brug for at kunne? 6. Lav en have med frugttræer rundt om huset, på en plantegning af hus og have I fanebladet Løse opgaver om brøker, står der nogle forskellige opgaver om brøker, som eleverne skal løse. De bliver bedt om at tegne brøker, hvor en cirkel skal deles op i x antal lige store dele. De skal også undersøge brøker og tegne, hvordan brøker forlænges og forkortes. Derudover skal de sammenligne brøker, lave et plus-, et minus- og et gangestykke med brøker. Der er i alt 14 opgaver. Fjerde faneblad hedder Udvikling af spil. Her gøres eleverne klar til, at de selv skal opfinde et spil om brøker, som andre elever også kan spille. Dette skal laves i GeoGebra. Der er desuden en vejledning til eleverne, hvor der står, hvad de skal igennem (Link A): Opfinde et spil om brøker Lave spillereglerne for dit spil Find et godt navn til dit spil Lave en spilleplade i GeoGebra Lave brikker til spillet i GeoGebra Printe dit spil Laminere dit spil Spille dit spil Byt spil med dine klassekammerater og spil hinandens spil Selvom der står, at spillet skal handle om brøker, var det kun en af de interviewede elevers spil, der gjorde det. I fanebladet Ansættelsesprøve skal eleverne igen lave nogle forskellige opgaver i GeoGebra. Der er 7 opgaverne, der består af: tekstopgaver, opgaver hvor eleverne skal tegne mønstre, opgaver hvor eleverne skal undersøge, hvad der sker med en cirkels areal, når radius ændres, og skrivning af en jobansøgning til spilfabrikken. I det sjette faneblad Så til arbejdet, bliver eleverne stillet nogle forskellige opgaver af spilfabrikken. En af opgaverne hedder: Du er så glad for at være blevet ansat på fabrikken, så du har lavet en lagkage som du deler med dine bedste kollegaer. Du skærer kagen ud i 12 stykker. Peter spiser ¼, Olivia spiser 1/3 og du spiser 1/12, hvor meget lagkage er der tilbage? Tegn det hele i GeoGebra (Link A). 149

150 I sidste faneblad er mål, udviklingszone og arbejdsprocessen for Brøkknuseren beskrevet. Her står der, at eleverne skal lære at navigere i programmet og bruge programmets funktioner til opgaveløsning. Derudover står der: Det er et fokuspunkt for arbejdet med GeoGebra, at observere om programmet kan generere mere læring og lyst til læring hos eleverne end traditionel undervisning vha. bøger. Kan arbejdet med GeoGebra generere en læring om brøker (Link A). Der følger ikke nogen tastevejledning med, og eleverne skal derfor arbejde undersøgende og eksperimenterende med opgaverne og GeoGebra. Eleverne skal arbejde sammen med en anden og indbyrdes skal eleverne videndele deres erfaringer og viden med programmet. 150

151 Bilag 12: Beskrivelse af Multiplikationsknuseren Multiplikationsknuseren har skiftet teknisk platform i forhold til Brøkknuseren, så GeoGebra er blevet indlejret i hjemmesiden. Det gør det muligt at lave opgaver, der indeholder GeoGebra, så eleverne kan arbejde med opgaverne i selve internetvinduet og ikke skal skifte over til et andet GeoGebravindue. På første side bydes eleverne velkommen til spilfabrikken Multiplikationsknuseren. Der er en kort video til højre, hvor direktøren fra spilfabrikken fortæller om Multi-plikationsknuseren. Til venstre står der fire punkter, som eleverne skal arbejde med, inden de kan blive ansat på spilbrikken. Øverst er der otte faneblade: Velkommen spilbygger, Prøv GeoGebra, Opgaver, Spilprojekt, Ansættelsesprøve, Ansøg om arbejde, Om dette læremiddel og Webstedsoversigt. I fanebladet, der hedder Prøv GeoGebra, er der et GeoGebravindue, hvor eleverne kan arbejde med de forskellige funktioner, der er i programmet. I højre side er der en lille videointroduktion til GeoGebra, der varer næsten 2 minutter. Under videoen står der ni opgaver, som eleverne skal løse i GeoGebravinduet. Opgaverne går ud på, at eleverne skal tegne forskellige prikker, streger, trekanter, firkanter, smileyer og et hus. Der er meget på siden, så det kræver en stor skærm for at kunne se det hele på en gang. Når eleverne arbejder på en bærbar computer, er det ikke muligt at se hele skærmbilledet, og de må derfor scrolle til siden for at se videoen og ned til opgaverne. I tredje faneblad, er der tre opgaver, som eleverne kan trykke på. Til hver af disse opgaver er GeoGebra integreret, og eleverne skal tegne kvadrater og rektangler og finde arealet af disse. 151

152 I fanebladet Spilprojekt står der, at eleven skal opfinde et spil med multiplikation. Spillet skal laves i GeoGebra og til sidst spilles med andre elever. Der er desuden en vejledning til eleverne, hvor der står, hvad de skal igennem: 1. skal du få en god ide til et spil 2. så skal du tegne en spilleplade 3. så skal du printe din spilleplade ud 4. så skal du skrive spillereglerne og printe dem ud 5. så skal du spille dit spil med din makker 6. så skal I spille hinandens spil (Link B) Femte faneblad: Ansættelsesprøve indeholder ni opgaver, der er skrevet med tæt og lille tekst. Det kan godt se lidt uoverskueligt ud. Sjette faneblad hedder Ansøg om arbejde, og her får eleverne til opgave at skrive en ansøgning, hvor der er fem forskellige punkter, den skal indeholde. De skal bl.a. skrive, hvad de har lært i GeoGebra, og hvad de har lært om multiplikation. Derudover skal de skrive, hvad de kunne tænke sig at arbejde med på spilfabrikken, og om de har ideer til nye ting der skal opfindes på fabrikken. I sidste faneblad står de overordnede formål med projektet samt en lærervejledning. 152

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Som mentalt og moralsk problem

Som mentalt og moralsk problem Rasmus Vincentz 'Klimaproblemerne - hvad rager det mig?' Rasmus Vincentz - November 2010 - Som mentalt og moralsk problem Som problem for vores videnskablige verdensbillede Som problem med økonomisk system

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning?

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? eller knudramian.pbwiki.com www.regionmidtjylland.dkc Indhold Professionsforskning til problemløsning eller som slagvåben? Hvad er forskning? Hvad

Læs mere

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Jørgen Goul Andersen (email: goul@ps.au.dk) & Henrik Lolle (email: lolle@dps.aau.dk) Måling af lykke eksploderer!

Læs mere

teknologi, matematik og målstyret undervisning Morten Misfeldt

teknologi, matematik og målstyret undervisning Morten Misfeldt teknologi, matematik og målstyret undervisning Morten Misfeldt ForskningsLab: It og Lærings Design læringsdesignit, Le Forskningstemaer Elever som producenter og designere Spil, leg og læring IT og fagdidaktik

Læs mere

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Kapitel 5 At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Robin Millar Praktisk arbejde er en væsentlig del af undervisningen i naturfag. I naturfag forsøger vi at udvikle elevernes kendskab til naturen

Læs mere

Et bud på en it didaktik for. Morten Misfeldt

Et bud på en it didaktik for. Morten Misfeldt Et bud på en it didaktik for matematik Morten Misfeldt Plan Hvem er jeg og hvad laver jeg Hvorfor en it-didaktik for matematik It som vilkår for matematik som videnskabsdisciplin og skolefag It og matematikundervisning

Læs mere

Fra viden til virkelighed

Fra viden til virkelighed Fra viden til virkelighed Dialog om hvordan alle elever lærer mere 2 Redaktionel opbygning Guiden indledes med en kort præsentation af baggrunden for udgivelsen samt af det datamateriale, der ligger til

Læs mere

KEA The sky is the limit 20. November 2013

KEA The sky is the limit 20. November 2013 KEA The sky is the limit 20. November 2013 Agenda Kort om Dansk Standard og standarder Dansk Standard er den nationale standardiseringsorganisation i Danmark Omsætning DKK 194 mio.kr. 160 medarbejdere

Læs mere

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Læringscyklus Kolbs model tager udgangspunkt i, at vi lærer af de erfaringer, vi gør os. Erfaringen er altså udgangspunktet, for det

Læs mere

Fjernundervisningens bidrag til læring

Fjernundervisningens bidrag til læring Fjernundervisningens bidrag til læring FEM TING VI KAN L ÆRE FRA UNDERSØGELSER AF FJERNUNDERVISNING I DANMARK v/søren Jørgensen, pæd.råd. evidencenter Introduktion Formålet er at vise, hvad erfaringerne

Læs mere

POSitivitiES Positive Psychology in European Schools HOW TO START

POSitivitiES Positive Psychology in European Schools HOW TO START POSitivitiES Positive Psychology in European Schools HOW TO START POSitivitiES Positive Psychology in European Schools PositivitiES er et Comenius Multilateral europæisk projekt, som har til formål at

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0 Userguide NN Markedsdata for Microsoft Dynamics CRM 2011 v. 1.0 NN Markedsdata www. Introduction Navne & Numre Web Services for Microsoft Dynamics CRM hereafter termed NN-DynCRM enable integration to Microsoft

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Brugerdreven innovation

Brugerdreven innovation Det innovative potentiale Brugerdreven innovation Hvad er det, brugere kan se? Hvordan optager organisationer brugerviden? Om at skære ud i pap Cases: Fjernvarmeanlæg, rensningsanlæg, indeklima Jacob Buur

Læs mere

Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser

Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser Af Tatiana Chemi, PhD, Post Doc. Forsker, Universe Research Lab/Universe Fonden i og Danmarks Pædagogiske

Læs mere

Kan man omdanne undervisningen til et spil?

Kan man omdanne undervisningen til et spil? Kan man omdanne undervisningen til et spil? - Erfaringer fra VUC Storstrøm med at gøre undervisningssituationen til et spil samtidig med at kursisterne lærer ved selv at skabe spil. Charlotte Lærke Weitze,

Læs mere

Dagtilbud med mening - et legende og udviklingsorienteret dagtilbud

Dagtilbud med mening - et legende og udviklingsorienteret dagtilbud Vision for fremtidens dagtilbud 2020 i Ballerup 18. september, 2014 v7 Dagtilbud med mening - et legende og udviklingsorienteret dagtilbud Visionens tre overordnede mål Alle børn trives og udvikler sig

Læs mere

Ny lærebog om matematikkens. naturfagenes. didaktik. Litteratur

Ny lærebog om matematikkens. naturfagenes. didaktik. Litteratur 98 MONA 2006 3 Ny lærebog om matematikkens og naturfagenes didaktik Anmeldelse: Carl Winsløw: Didaktiske Elementer. En indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik. 1. udgave. Biofolia, 2006. 252

Læs mere

Skovbørnehaven ved Vallekilde-Hørve Friskoles Læreplan og. Børnemiljøvurdering. August 2014

Skovbørnehaven ved Vallekilde-Hørve Friskoles Læreplan og. Børnemiljøvurdering. August 2014 Skovbørnehaven ved Vallekilde-Hørve Friskoles Læreplan og Børnemiljøvurdering. August 2014 Ifølge dagtilbudsloven, afsnit 2, kapitel 2, 8, skal der i alle dagtilbud udarbejdes en skriftlig pædagogisk læreplan

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Byens Rum. The Meaningful City of Tomorrow

Byens Rum. The Meaningful City of Tomorrow Byens Rum The Meaningful City of Tomorrow The vision of the future is always changing, dependent of the technology and knowledge on all fields: If you design the best building you know to design, that's

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

GIVE IT. SOME ENGlISH1. Hedwig

GIVE IT. SOME ENGlISH1. Hedwig Doth Ernst Jacobsen og Henriette BETH Brigham GIVE IT SOME ENGlISH1 Hedwig Give It Some English I 2014 Doth Ernst Jacobsen og Henriette Beth Brigham og Forlaget Hedwig Sat med Calibri og Futura Grafisk

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Beskrivelse af undervisningsmodellen Faglig læring pa Den Kreative Platform Søren Hansen, Aalborg universitet

Beskrivelse af undervisningsmodellen Faglig læring pa Den Kreative Platform Søren Hansen, Aalborg universitet Beskrivelse af undervisningsmodellen Faglig læring pa Den Kreative Platform Søren Hansen, Aalborg universitet I en ny pædagogisk model fra Aalborg universitet tilrettelægges den faglige undervisning som

Læs mere

Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor

Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor Bianca Albers Familie og Evidens Center Fokus for oplægget Evidens Ledelse Implementering Outcome Evidensbaseret vs. evidensinformeret

Læs mere

Perspektiver på det gode børneliv. - En fælles skole- og dagtilbudspolitik for de 0-16 årige

Perspektiver på det gode børneliv. - En fælles skole- og dagtilbudspolitik for de 0-16 årige Perspektiver på det gode børneliv - En fælles skole- og dagtilbudspolitik for de 0-16 årige Perspektiver på det gode børneliv - En fælles skole- og dagtilbudspolitik for de 0-16 årige Den fælles politik

Læs mere

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard)

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) På den allerførste skoledag fik de farver og papir. Den lille dreng farved arket fuldt. Han ku bare ik la vær. Og lærerinden sagde: Hvad er

Læs mere

UNIVERSITY COLLEGE LILLEBÆLT

UNIVERSITY COLLEGE LILLEBÆLT UNIVERSITY COLLEGE LILLEBÆLT Den skabende skole makers mindset FabLab Innovation, Odense d. 28/4 2014 Helle Munkholm Davidsen, ph.d. Centerleder Innovation og Entreprenørskab Forskning og innovation, UCL

Læs mere

Baltic Development Forum

Baltic Development Forum Baltic Development Forum 1 Intelligent Water Management in Cities and Companies developing and implementing innovative solutions to help achieve this objective. Hans-Martin Friis Møller Market and Development

Læs mere

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d.

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSCAPE SPRAWL Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSKABSSPREDNING Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. I Center for Strategisk Byforskning har vi de sidste 10 år

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

Innovativ undervisning med it. hvad sker der? Rasmus Fink Lorentzen, ph.d.-stipendiat, VIA UC/IUP (DPU) ralo@viauc.dk

Innovativ undervisning med it. hvad sker der? Rasmus Fink Lorentzen, ph.d.-stipendiat, VIA UC/IUP (DPU) ralo@viauc.dk Innovativ undervisning med it hvad sker der? Rasmus Fink Lorentzen, ph.d.-stipendiat, VIA UC/IUP (DPU) ralo@viauc.dk Kilde: Politiken februar15 om Technucation Status på it Agenda Hvad taler vi om, når

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse. Oplægsholder: Inge Pia Christensen

Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse. Oplægsholder: Inge Pia Christensen Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse Oplægsholder: Inge Pia Christensen Improving the safety of patients in NHS 2013-16 The National Health Service (NHS)

Læs mere

Didaktiske situationer

Didaktiske situationer www.navimat.dk Didaktiske situationer Funktionelle sammenhænge i 9. klasse Eleverne arbejder koncentreret med deres opgave i begyndelsen koncentrerer de sig mest om at svare på de spørgsmål, der er blevet

Læs mere

Vejledning til brugen af bybrandet

Vejledning til brugen af bybrandet Vejledning til brugen af bybrandet Indhold Hvorfor bruge bybrandet? s. 3-4 Inspiration/ big idea s. 5-10 Syv former for bybranding s. 11-18 Brug af logoet s. 19-21 Find desuden flere cases, designelementer

Læs mere

Store IT-Innovationer TØ2

Store IT-Innovationer TØ2 Store IT-Innovationer TØ2 TØ2 Kontor One minute papers fra sidst Fremlæggelser Øvelse: Strip Sequence Tips og tricks til OO1 Næste gang Kontor Kontor Turing 123 - Rasmus og Kirstine Kontortid? - Evt fredag

Læs mere

Første del: indsatsen

Første del: indsatsen Første del: indsatsen Beskriv den indsats I vil sætte i gang Hvilke konkrete aktiviteter består jeres indsats af, og hvem skal gøre hvad? Elever i 5.a skal arbejde med emnet design Et tværfagligt forløb

Læs mere

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014 Definition af pædagogiske begreber I tekster om reformen af erhvervsuddannelserne anvendes en række pædagogiske begreber. Undervisningsministeriet beskriver i dette notat, hvordan ministeriet forstår og

Læs mere

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions Udlejnings software Vores udvikling er ikke stoppet!! by Soft-Solutions RentCalC, som er danmarks ubetinget bedste udlejnings software, kan hjælpe dig med på en hurtigt og simple måde, at holde styr på

Læs mere

Nyhedsbrev 15 Februar 2008

Nyhedsbrev 15 Februar 2008 Nyhedsbrev 15 Februar 2008 FTU Boghandel Halmstadgade 6, 8200 Århus N Tlf: 86 10 03 38 / Mail:ftu@ats.dk / Inet: www.ftu.dk Hvem er FTU Boghandel? FTU Boghandel er en specialboghandel indenfor teknik,

Læs mere

Læsning og skrivning i matematik. Hvordan og hvorfor?

Læsning og skrivning i matematik. Hvordan og hvorfor? Læsning og skrivning i matematik Hvordan og hvorfor? Læsning og skrivning i matematik Lidt historik Det matematiske sprog Multimodale sider Er der redskaber, som kan hjælpe? Hvilke udfordringer har eleverne

Læs mere

Skab virksomhedens autentiske identitet gennem medarbejderne

Skab virksomhedens autentiske identitet gennem medarbejderne Skab virksomhedens autentiske identitet gennem medarbejderne 4 5 Skab virksomhedens autentiske identitet gennem medarbejderne Når en buschauffør begynder at bruge sin egen person bag rattet, skaber han

Læs mere

Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere

Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere 79 Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere Lena Lindenskov, Danmarks Pædagogiske Universitetsskole, Aarhus Universitet Kommentar til artiklen Matematik er noget man bruger til at lave

Læs mere

Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012

Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012 Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012 Af Kontorchef Brian Wessel Program Status på gennemførelsen af reglerne i DK Udfordringerne og svar herpå Erhvervsstyrelsens

Læs mere

Faglighed på Faaborgegnens Efterskole Hvad er sammenhængen mellem undervisning og vellykket læring?

Faglighed på Faaborgegnens Efterskole Hvad er sammenhængen mellem undervisning og vellykket læring? Faglighed på Faaborgegnens Efterskole Hvad er sammenhængen mellem undervisning og vellykket læring? Faaborgegnens Efterskole www.faae.dk 2011 Pædagogikkens to stadier: I skolen terper man de små tabeller

Læs mere

Overblik Program 17. nov

Overblik Program 17. nov Overblik Program 17. nov Oplæg, diskussion og sketchnoting af artikler Pencils before pixels, Drawing as... og Learning as reflective conversation... Intro til markers Øvelser: Formundersøgelser & idegenerering

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012

UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012 UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012 Indhold Målgruppe for uddannelsen... 2 Dit udbytte på uddannelsen... 2 Den Kreative Platform... 3 Uddannelse på diplom niveau... 3 Uddannelses omfang... 4 Seminarer...

Læs mere

Overfør fritvalgskonto til pension

Overfør fritvalgskonto til pension Microsoft Development Center Copenhagen, January 2009 Løn Microsoft Dynamics C52008 SP1 Overfør fritvalgskonto til pension Contents Ønsker man at overføre fritvalgskonto til Pension... 3 Brug af lønart

Læs mere

From Human Factors to Human Actors - The Role of Psychology and Human-Computer Interaction Studies in System Design

From Human Factors to Human Actors - The Role of Psychology and Human-Computer Interaction Studies in System Design ? VAD From Human Factors to Human Actors - The Role of Psychology and Human-Computer Interaction Studies in System Design? VEM Skrevet af Liam J. Bannon Director of the IDC and Professor of Computer Science,

Læs mere

TRUE NORTH S LÆRINGSSYSTEM

TRUE NORTH S LÆRINGSSYSTEM Kompetenceudvikling indenfor klasserumsledelse, relationsopbygning og levering af faglighed, så alle lærer med engagement og glæde. Dette kursus kobler al den vigtigste og bedste viden vi har om læring,

Læs mere

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Af Jytte Vinther Andersen, konsulent, og Helle Plauborg, ph.d.-stipendiat 20 Denne artikel handler om aktionslæring. Aktionslæring er

Læs mere

Backup Applikation. Microsoft Dynamics C5 Version 2008. Sikkerhedskopiering

Backup Applikation. Microsoft Dynamics C5 Version 2008. Sikkerhedskopiering Backup Applikation Microsoft Dynamics C5 Version 2008 Sikkerhedskopiering Indhold Sikkerhedskopiering... 3 Hvad bliver sikkerhedskopieret... 3 Microsoft Dynamics C5 Native database... 3 Microsoft SQL Server

Læs mere

Hvad skal eleverne lære og hvorfor?

Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Af Karina Mathiasen Med indførelse af Folkeskolereformen og udarbejdelse af Folkeskolens nye Fælles Mål er der sat fokus på læring og på elevernes kompetenceudvikling.

Læs mere

BIRKERØD GYMNASIUM, HF, IB & KOSTSKOLE

BIRKERØD GYMNASIUM, HF, IB & KOSTSKOLE Strategiplan BG på vej mod 2020 og BG s første 150 år Mission På BG uddanner vi unge uddannelsesegnede, så de opnår størst mulig studiemæssig kompetence og personlig og almen dannelse. Det gør vi ved at

Læs mere

Matematikken former morgendagens satellitter

Matematikken former morgendagens satellitter Matematikken former morgendagens satellitter Michael Lumholt Adm. Direktør ml@ticra.com "Fremtidens matematik" Maj 2014, KU/DTU Page 1 Agenda Kort introduktion til TICRA Eksempler på hvordan vi arbejder

Læs mere

Undervisning. Verdens bedste investering

Undervisning. Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Lærerne har nøglen The principles show how important are design and the orchestration of learning rather than simply providing

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Diplomuddannelse er ikke en privat sag

Diplomuddannelse er ikke en privat sag Transfer fra diplomuddannelse - en pædagogisk ledelsesopgave Anne-Birgitte Rohwedder. Pædagogisk leder på Randers Social - og Sundhedsskole. Master I pædagogisk udviklingsarbejde fra DPU, Aarhus Universitet,

Læs mere

PÆDAGOGISKE LÆRERPLANER I MARIEHØNEN

PÆDAGOGISKE LÆRERPLANER I MARIEHØNEN PÆDAGOGISKE LÆRERPLANER I MARIEHØNEN Følgende opridser de mål og planer for børnenes læring, vi arbejder med i Mariehønen. Vi inspireres af Daniels Sterns formuleringer omkring barnesynet med udgangspunkt

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Randi Boelskifte Skovhus Lektor ved VIA University College Ph.d. studerende ved Uddannelse og Pædagogik, Aarhus Universitet Denne artikel argumenterer

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Brug af gamification til samarbejde og motivation af universitetsstuderende

Brug af gamification til samarbejde og motivation af universitetsstuderende Brug af gamification til samarbejde og motivation af universitetsstuderende David Lindholm, AAUE DUNk12 Hvem er jeg? PhD fellow ved Centre for Design, Learning & Innovation, Inst. for læring og filosofi,

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC)

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) - Gruppering af chasere igen bag efter. På den måde kan laves cirkelbevægelser og det kan 2,787.00 DKK Side 1 Sunlite pakke 2006 Standard (EC) LAN (SUN SL512EC

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1 Indledning Alle projekter har et mål. Hvad enten det drejer sig om et personligt projekt om at holde op med at ryge, projektet med at bygge en bro eller projektet med at arrangere en havefest for hele

Læs mere

Udadreagerende adfærd - Fra overlevelse til overskud. Cand.psych. Petra Patzwaldt

Udadreagerende adfærd - Fra overlevelse til overskud. Cand.psych. Petra Patzwaldt Udadreagerende adfærd - Fra overlevelse til overskud Cand.psych. Petra Patzwaldt Aftenens program kl. 19-21:00 Lidt om mig selv Vi starter med en fortælling Forskellige tanker om udfordringerne ved børn

Læs mere

Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide

Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide 70 MONA 2006 4 Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide Annemarie Møller Andersen, Institut for curriculumforskning, Danmarks Pædagogiske Universitet Kommentar til artiklen Analyse og design

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Vejledning i at skrive en motiveret ansøgning

Vejledning i at skrive en motiveret ansøgning Vejledning i at skrive en motiveret ansøgning Denne vejledning er en hjælp til dig, som skal skrive en motiveret ansøgning i forbindelse med ansøgning om optagelse på IT-Universitetets kandidat- master

Læs mere

What s Love Got to Do With It?

What s Love Got to Do With It? What s Love Got to Do With It? Gram Grid Present Continuous Vi sætter verberne i ing-form, når vi vil beskrive at noget er i gang. Der er fire hovedkategorier af ing-form: 1 Den almindelige form (common

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med.

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med. Ansøgning Yderligere bemærkninger til ansøgningen Det var fedt at rammerne var så åbne, som jeg så det var der kun to krav til projektet: Det skulle være open source og det skulle have det offentliges

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Ilisimatusarfik HD Dimittender 2011

Ilisimatusarfik HD Dimittender 2011 HD dimittender 2011 Louise Langholz lol@ral.gl Forandringsledelse Fra forståelse til handling en planlagt organisationsforandring En undersøgelse af hvordan Royal Arctic Line A/S gennemfører etablering

Læs mere

Syllabus. On-Line kursus. POSitivitiES. Learning. Applied Positive Psychology for European Schools

Syllabus. On-Line kursus. POSitivitiES. Learning. Applied Positive Psychology for European Schools PositivitiES Applied Positive Psychology for European Schools POSitivitiES Positive European Schools On-Line kursus Learning This project has been funded with support from the European Commission.This

Læs mere

Vi ved, hvad der skal til

Vi ved, hvad der skal til Vi ved, hvad der skal til -nu skal der handling bag ordene Danmarks Lærerforenings skolepolitiske indspil Danmarks Lærerforening Copyright 2012 1. oplag 2012 Fotos: Ulrik Jantzen Layout: Stig Nielsen Så

Læs mere

Facilitering af Kreativitet & Innovation i VELUX Gruppen. Line Louise Overgaard Concepts & Innovation Support

Facilitering af Kreativitet & Innovation i VELUX Gruppen. Line Louise Overgaard Concepts & Innovation Support Facilitering af Kreativitet & Innovation i VELUX Gruppen Line Louise Overgaard Concepts & Innovation Support Fordi lys skaber liv VELUX Gruppen Etableret i 1941 Mere end 10.000 ansatte globalt heraf 2.600

Læs mere

Green Care: Status from Denmark

Green Care: Status from Denmark AARHUS UNIVERSITET Karen Thodberg 27. juni 2012 Green Care: Status from Denmark Senior scientist Karen Thodberg, Institute of Animal Science, Aarhus Universitet, og Carsten Ørting Andersen, Grøn Omsorg

Læs mere

Udvikling af forskningsorienterede miljøer

Udvikling af forskningsorienterede miljøer Udvikling af forskningsorienterede miljøer - Strategiske valg, hvordan kommer vi i gang og lavthængende frugter Erhvervsakademiernes Rektorkollegium Seminar Nyborg Strand Den 13. jan. 2013 Søren Barlebo

Læs mere

Det fleksible fællesskab

Det fleksible fællesskab Kultur Det fleksible fællesskab Kirsten Hastrup unı vers Kultur Det fleksible fællesskab Kultur Det fleksible fællesskab Af Kirsten Hastrup unıvers Kultur Det fleksible fællesskab er sat med Adobe Garamond

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner

II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner Særfag 18. Agenter, handlinger og normer (Agents, actions and norms) a. Undervisningens omfang: 4 ugentlige timer i 2. semester. Efter gennemførelsen

Læs mere

Den kreative skole! Lene Tanggaard, Ph.d., Professor

Den kreative skole! Lene Tanggaard, Ph.d., Professor Den kreative skole! Lene Tanggaard, Ph.d., Professor Hovedpointer 1) Fællesgør ansvar 2) Du behøver ikke at kunne forme det i ler! 3) Bevæg jer på kanten I et forskningsmæssigt perspektiv At beskrive og

Læs mere

Lene Tanggaard, Ph.d., Professor, Institut for Kommunikation, Aalborg Universitet

Lene Tanggaard, Ph.d., Professor, Institut for Kommunikation, Aalborg Universitet Lene Tanggaard, Ph.d., Professor, Institut for Kommunikation, Aalborg Universitet It may be that genuine learning may always have this dark side, this not-fully knowing what one is doing. It may be learning

Læs mere

Projektledelse i praksis

Projektledelse i praksis Projektledelse i praksis - Hvordan skaber man (grundlaget) for gode beslutninger? Martin Malis Business Consulting, NNIT mtmi@nnit.com 20. maj, 2010 Agenda Project Governance Portfolio Management Project

Læs mere