Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse"

Transkript

1 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoper Øvelse 1 Forslag til svar fremgår af teksten på de næste par sider i lærebogen.

2 Kapitel Tallenes historiske udvikling Øvelse skrives sådan i kileskrift Øvelse Idet vi benytter friheden i fortolkningen af positionerne til at læse de første fire tegn som tallet 4, hvorefter de næste tre står efter kommaet og dermed angiver 30 60, skrives 1 4 som: 14 skrives med de første seks tegn, og skrives med de sidste ni tegn, dvs. 14 skrives som: Man kan ikke se på dette tal, at det er ca Det kunne godt tolkes som et tal, der var 60 gange større og for den sags skyld 60 gange mindre osv. Øvelse 3 5 timer 40 minutter og 55 sekunder kan skrives som den øverste række, 7 timer 45 minutter og 4 sekunder som rækken under. Herefter er additionen ikke vanskelig, resultatet bliver som rækken under stregen: 13 timer 6 minutter og 19 sekunder.

3 3 Øvelse 5 1) Svar: 8 17 = 136. ) \ \ Svar: = = Øvelse 6 Arealet af en cirkel med diameter 9 bliver Med moderne matematik får man 4,5 63,61. d r r r, og da Omskriver man babylonernes formel får man ,16 kan man hævde, at de benyttede ca. 3,16 som værdi for π. Øvelse 9 Her er en idé til, hvad man kan gøre, idet man starter med trekanten med kateterne 1 og 1, hvorefter de forskellige kvadratrødder successivt optræder som hypotenuser i de nytilkomne retvinklede trekanter.

4 4 Kapitel 3 Læremidler fra regnebog til CAS Øvelse fx = = og = = Eleven får bl.a. styrket sin opmærksomhed på positionens rolle. Lidt anderledes med , der fx kan udregnes som = = Øvelse = (4 cifre) Som overslag kan man sige: = =.500, dvs. ved brug af lommeregner skal man forvente omkring fire cifre. På den anden side kan to tocifrede tal godt resultere i et trecifret tal som ved =100, og i den anden ende giver = 9801, så antallet af cifre synes ikke at kunne overstige = (5 cifre) Overslag: = = , dvs. man forventer cirka fem cifre. Ser vi på ekstremerne for et tocifret tal gange et trecifret, får vi på den ene side = 1000, altså et firecifret tal. Går vi til den anden ekstrem, finder vi = 98901, altså 5 cifre. Hermed har vi faktisk bevist, at et tocifret gange et trecifret tal giver et resultat med enten fire eller fem cifre = (6 cifre) Overslag: = = , dvs. forvente cirka seks cifre. Men kan et trecifret gange et firecifret tal give 7 cifret resultat? Vi prøver med = , så 7 cifre er muligt = (7 cifre) Fortsæt selv undersøgelsen. Her har vi to 4-cifrede tal, som ganget samme giver et 7-cifret tal og ikke = 8 cifre. Men giver det altid enten 7 eller 8, når man har sådan to 4-cifrede tal? = (5 cifre) Overslag: = = , dvs. forvente cirka fem cifre. 1 8 = 96 ( cifre) Overslag: = = 100, her ville man så forvente cirka tre cifre, men forhåbentlig godtage et resultat på 96. Ekstremerne er 10 1 = 10 og 99 9 = 891. Hvad mon vi kan sige, når et n-cifret tal ganges med et m-cifret tal? Vi kan åbenbart ikke være sikre på, at produktet har n + m cifre. Kan det have n + m + 1, n + m 1? Kan vi overbevise os selv om, at den enten giver n + m eller n + m 1 cifre? Hvis vi går tilbage til eksemplerne, er der så tilfælde, hvor vi sikkert kan afgøre, om vi rammer n + m, og tilfælde hvor det klart er n + m 1? Generelt svar på opgaven: Et n-cifret tal ganget med et m-cifret tal giver et resultat med enten n + m eller n + m 1 cifre.

5 5 Bevis 10 n er det mindste tal med n + 1 cifre. Så hvis t n er et n-cifret tal, og t m er et m-cifret tal, så gælder n1 n m1 m n 10 tn 10 og 10 tm 10, og dermed 10 m n m tntm 10, hvoraf aflæses at t n t m har mindst n + m 1 cifre og højst n + m cifre.

6 6 Kapitel 4 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Øvelse a = = Øvelse V = = 71 X. 983 X omskrevet til base V Rest = X = V. 651 VII = 31 X. 651 VII = II. Rest 448 Rest = 73 Rest = 3 Rest = 3 Rest 0

7 7 Øvelse 4 1) EF XVI = 751 X. ) ABE XVI + BAD XVI = 166B XVI. og da 166B XVI FED XVI = 67E XVI > 0 er udsagnet korrekt. Øvelse Øvelse Øvelse 7 1 V 13 V = 33 V. 4 V 43 V V 33 V = 11 V.

8 8 Øvelse Øvelse Øvelse : 4 = : 1 = Øvelse 1 Som man kan se i to-tabellen i base V er lige tal repræsenteret både med ulige og lige slutciffer. Det er derfor ikke nemt at afgøre om går op i et tal opskrevet i base V. 5 X = 10 V, og det er derfor nemt at afgøre, om det går op i et tal skrevet i base V. det sker netop, når tallet slutter på 0.

9 9 Kapitel 5 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal I øvelse 1 er svaret hele tiden er 81 divideret med 6, altså 13, 13½ eller 14, men fortolkningen af resten afhænger meget af den konkrete situation. Der er ikke flere løsningsforslag, da aktiviteterne i dette kapitel er af formen Overvej/diskuter.

10 10 Kapitel 6 De positive rationale tal Øvelse 7 a b består af a stykker af længde én b'endedel. b c består af c stykker af længden én b'endedel. a c b b består derfor af a + c stykker af længden én b'endedel, hvilket også kan skrives som a b c. Øvelse 9 6) Vi har, at a c, og vi skal vise, at a a c c. b d b b d d Vi ser først på a a c, der ifølge øvelse 4.5 er ensbetydende med ( ) b b d a( b d) b( a c), vi ganger ind i en parentes ab ad ba bc, vi subtraherer ab = ba på begge sider af lighedstegnet ad bc ifølge 5) a c b d. Det sidste var givet at være sandt, så derfor er også det ensbetydende udsagn a a c sandt. b b d Tilsvarende for a c c, hvorefter vi har vist, at a a c c er et sandt udsagn og kan b d d b b d d konkludere, at hvis man adderer brøker af forskellig størrelse ved at addere tæller med tæller og nævner med nævner, så får man et resultat, der ligger mellem de to brøker, der skulle adderes. Vi interesserer os i dette kapitel kun for positive brøker. Læseren kan ved en senere lejlighed overveje, om det vi her har vist også gælder, hvis vi tillader negative brøker, som man jo gør i skolen og i samfundet.

11 11 7) Vi finder tre brøker, der ligger mellem 1 7 og 1 8 : Vi finder en tilstrækkelig stor fællesnævner, således at der ligger tre brøker med den samme fællesnævner mellem de to givne brøker: og, og de tre brøker bliver: , og Men vi kunne også have udnyttet vores fund i 6) ovenfor, for den metode fortæller os, at , således at vi har fundet en brøk med den ønskede egenskab. Derefter kan vi bruge samme metode igen til at finde en brøk mellem 1 og 8 15 osv. Øvelse Øvelse 17 Da måling er en form for division bliver svaret cirka 5 divideret med 3 4. Ganges i stedet med den omvendte brøk får svaret 100 eller 33 flasker og en tredjedel flaske, hvilket lige akkurat giver os den ønskede smagsprøve. 3 Øvelse Øvelse 3 Gruppe promille; 1,5; 1 1 ; 1,500; 6 4 ; ; 1 8 ; 3 1 ; 6: 4 6 Gruppe 0,75; ppm; tre fjerdedele; 750 promille; 3 4 ; ; 1 ; 75 %; 3: 4 8

12 1 Undersøgelse 1 De omtalte beviser følger her Sætning Den uforkortelige brøk n t kan skrives som et endeligt decimaltal i netop de tilfælde, hvor n s primfaktoropløsning kun indeholder og 5. Bevis 1) Først viser vi: Hvis n t er et endelig decimaltal, så indeholder n s primfaktoropløsning kun og 5. Et endeligt decimaltal bliver til et naturligt tal, hvis den ganges med en passende 10 erpotens. t Hvis derfor kan skrives som et endeligt decimaltal, så er T t n n passende tierpotens. et naturligt tal, hvor T betegner en n går med andre ord op i (T t). Det betyder, at hele n s primfaktoropløsning forekommer i (T t). Men da n t var uforkortelig, har t og n ingen fælles primfaktorer. Derfor må alle n s primfaktorer forekomme i T. Men de eneste primfaktorer, der forekommer i en tierpotens, er og 5. Altså indeholder n s primfaktoropløsning udelukkende primfaktorerne og 5. ) Dernæst viser vi: Hvis n s primfaktoropløsning kun indeholder og 5, kan n t skrives som et endeligt decimaltal. Antag, at n 5 a b for naturlige tal a og b. Vi vil først vise, at brøken kan forlænges, så den får en tierpotens i nævneren. Men det er klart, at man ved at gange med en toerpotens eller en femmerpotens bringer n op på en tierpotens. Hvis fx b er større end a, så vil vi gange n med b a, hvilket giver ba a b ( ba) b b b n Vi har altså vist, at vi kan forlænge n t med et tal (i tilfældet ovenfor med b a ), så brøken får en tierpotens i nævneren. Men en brøk med tierpotens er pr. definition en decimalbrøk og kan nemt skrives i den sædvanlige notation som et endeligt decimaltal med et komma.

13 13 Sætning 3 Enhver uforkortelig brøk n t, hvor n indeholder andre primfaktorer end og 5 har en uendelig periodisk decimaltalsfremstilling, og periodelængden er mindre end n. Bevis Vi forestiller os, at vi bestemmer decimaltalsfremstillingen for et sådant n t ved en divisionsalgoritme. Vi ved fra sætning, at divisionen aldrig går op. Så ved hver deldivison i den lange division får vi en kvotient, og der vil optræde en rest forskellig fra 0. Når man dividerer med n, kan der imidlertid kun optræde n 1 forskellige sådanne rester, nemlig 1,, 3,, n 1. Hvis der optrådte en rest større end n, ville vi straks kunne lade n gå op en gang mere. Derfor vil der undervejs i den lange division på et tidspunkt, senest efter n 1 divisioner, optræde en rest, som man allerede har haft. Og lige så snart en sådan tidligere rest optræder igen, gentager divisionsmønsteret sig akkurat som første gang, det optrådte, og det vil igen optræde for tredje gang osv. Resterne vil begynde at optræde i et periodisk mønster, og tilsvarende vil kvotienterne selvfølgelig (cifrene i decimaltalsfremstillingen) optræde i perioder. Eksempel Beviset for sætning 3 kan illustreres ved følgende eksempler, hvor vi udregner 1 11 og. Fed skrift angiver rest. Bemærk, at henholdsvis 1 og 11 dukker op som rest igen til sidst, hvilket er kernen i beviset ovenfor. Eksempel 1 : 13 Eksempel 11 : 13 1 : 1 3 = 0, : 1 3 = 0,

14 14 Øvelse 4 a) 80 kan ikke skrives som et endeligt decimaltal. 117 Antag, at 80 kan skrives som et endeligt decimaltal som fx 0, , som er det svar, man får 117 på en skolelommeregner. Antag altså, at 80 = 0, gælder eksakt. Ved at gange på hver 117 side af lighedstegnet med en passende tierpotens,(som i dette tilfælde skal være ), kan vi opnå, at der står et helt tal på højresiden af udtrykket. I den konkrete situation = ; hvis vi så ganger med 117 på hver side = Men dette kan ikke være muligt, for på højre side har vi 117 som indeholder fx primfaktoren 13. Ser vi nemlig på venstre side, så består 80 af primfaktorerne og 5, og det samme gør enhver tierpotens og derfor specielt Vi har altså udelukkende og 5 i primfaktoropløsningen på venstre side, mens der står 13 og 3 og sikkert andre grimme ting gemt i det store tal på højre side. De to sider kan derfor ikke være lig med hinanden. Den sætning, vi bygger på her, er sætningen om primfaktoropløsningens entydighed. b) kan skrives som et endeligt decimaltal. Ideen er at opløse 80 i de relevante faktorer: Så forlænger vi brøken til højre, så vi får en tierpotens i nævneren. Det sker klart nemmest ved at 3 forlænge med 5, hvorefter den vi kan fortsætte: , endeligt decimaltal. og er dermed omskrevet til et

15 15 Øvelse 5 1) x 0, x , x 13, x x13,13 0,13 999x x ) q 0, q 10 0, q 5, q , q 5.536, q 10q 5.536,536 5, q q 9.990

16 16 Kapitel 7 Brøkregning i den fagdidaktiske skole, RME Ingen løsningsforslag

17 17 Kapitel 8 Negative tal og repræsentationer Ingen løsningsforslag

18 18 Kapitel 9 Talteori og matematisk tankegang Øvelse så 7 går op i 91; kvotienten er 13. Øvelse Listen af primtal under 100 er altså, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Øvelse 4 Det ene af tallene (p, p + 1) er lige. Det eneste lige primtal der findes er. Derfor kan der kun findes ét sæt primtalsnaboer, nemlig (, 3). Når p er ulige, vil der blandt tallene (p, p +, p + 4) altid være ét, der ligger i 3-tabellen, fordi det er åbenlyst, at et af de tre på hinanden følgende tal (p, p + 1, p + ) må ramme 3-tabellen, og hvis det er p + 1, så vil p + 4 også gøre det. Da det eneste primtal i tretabellen er selve 3, kan der kun være det ene sæt primtalstrillinger (3, 5, 7). [Da der ikke findes primtalstrillinger findes der heller ikke primtalfirlinger, men der findes nogle dobbelttvillinger af formen (p, p +, p + 6, p + 8). Hvis du selv prøver at finde sådanne vil du sikkert falde over de samme tal som dem på Ishango-knoglen, side 48 i lærebogen. Da disse er år gamle kan dette sammenfald give anledning til mange og store tanker. For mere information googles på prime quadruplets ] f ( n) n n 41ser ud til at give primtal, når man sætter forskellige n-værdier ind. Imidlertid er f (41) og dermed et sammensat tal. Er der nogle af funktionsværdierne f( n), n = 1,,..., 40, der ikke er primtal?

19 19 Øvelse 5 13 x 10 Det ser ud som om stiger med ca.,3 hver gang. Derfor er det bedste bud, at 8,9 så ( x ) 13 (10 ) (10 ) 10 : 8, På hjemmesiden kan man finde det præcise antal Øvelse 6 sfd(330,77): Rest sfd(330,77) = 11. Øvelse 7 5 (-) = 1 Undersøgelse 1 1) 17x + 5y = 1 Da sfd(5,17) = 1 findes der ifølge sætning 3 løsninger til ligningen. ) 15x + 5y = 6 Da sfd(5,15) = 5 findes der ifølge sætning 3 løsninger til ligningen 15a + 5b = 5. Hvis der også fandtes en løsning til 15x + 5y = 6, ville vi have 15(x a) + 5(y b) = 1. Men det ville betyde, at sfd(5,15) = 1 og er derfor en modstrid. Der findes derfor ingen løsninger til 15x + 5y = 6. 3) 4x + 33y = 6. Da sfd(4,33) = 3 findes løsninger til ligningen 4a + 33b = 3. x = a og y = b er derfor løsning til 4x + 33y = 6. 4) 65x + 91y = 6? sdf(91,65) = 13 og derfor findes en løsning til 65a + 91b = 13. Hvis der også findes løsninger til 65x + 91y = 6, ville (a x) og (b y) opfylde 65(a x) + 91(b y) = 1, hvilket ville betyde, at sfd(91,65) = 1. Det er en modstrid, så der kan ikke være løsninger til 65x + 91y = 6.

20 0 5) 46x + 11y = 11. Denne ligning har en løsning da sfd(46,11) = 11. 6) 46x + 11y = 3. Denne ligning har ingen løsning. I kombination med løsningen til 5 ville det give en løsning til ligningen 46x + 11y = 1, hvilket ville betyde, at sfd(46,11) er 1. Øvelse 8 Hvis p a1 a... an p a1 a... an. Fra sætningen ved vi nu, at p a 1 eller p a... an. Hvis p a 1 har vi bevist at p går op i den ene af faktorerne. Hvis p ikke går op i a 1 ved vi p a... an. Ved at sætte parenteser igen, kan vi så komme frem til, at p a eller p a3... an. Enten kan vi så konkludere p a eller vi kan sætte endnu en parentes... kan man, ved at sætte parenteser, tænke på det som om Da der er et endelig antal faktorer, må argumentationen slutte på et tidspunkt, og vi kan konkludere at p går op i mindst en af faktorerne. Øvelse Øvelse 10 1)75 = 3 5 og 1 = 3. Derfor er de begge på formen p q og har divisorerne1, p, q, p q, p q. ) 10 = Divisorerne er derfor 3 5 7, 3 5 7, 3 5 7, 3 5 7,..., I alt er der 16 divisorer i tallet 10, nemlig tallene 1,, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 1, 30, 35, 4, 70, 105, 10. 3) 60 = 3 5, 84 = 3 7 og 96 = 3 har alle 1 divisorer. 4) Tal med netop divisorer er primtal.

21 1 5) Hvad kan du fx sige om tal med præcis tre divisorer? Øvelse 11 1) Der er 3 4 =1 divisorer. ) De 8 divisorer er p 0 q 0 r 0, p 1 q 0 r 0, p 0 q 1 r 0, p 0 q 0 r 1, p 1 q 1 r 0, p 1 q 0 r 1, p 0 q 1 r 1 og p 1 q 1 r 1. 3) Divisorer i p n er 1, p, p,..., p n 1, p n dvs. i alt n + 1 divisorer. 4) Overlades til læseren. 5) Fra punkt 4 ved vi, at p x q y... r z har (x +1)(y +1)... (z +1) divisorer nårp, q,..., r er primtal. (x +1)(y +1)... (z +1) kan kun give 11 hvis alle faktorer pånær n er 1 og den sidste er 11. Derfor må det eftersøgte tal være et primtal opløftet i 10 potens. 10 = 51 og der er således ikke plads til større primtal opløftet i 10 potens. Det eftersøgte tal er derfor 51. Øvelse 1 1) sfd(7,5) Da 7 = 3 3 og 5 = 5 er sfd(7,5) = 1. I mfm(7,5) skal alle primfaktorerne indgå med maksimal vægt. Dvs = ) Hvis forskellen skal være lille, skal de to tal indeholde de samme primfaktorer med fx kun et - tal som afvigelse. Fx og sfd af de to tal er og mfm er ) Dette argument kan holdes på mindre symbolkrævende plan, hvis man konstaterer, at a b indeholder alle de forekommende primfaktorer i a og b, men det gør mfm(a,b) også, idet dog de primtal, der er fælles for a og b, ikke kommer med to gange, men de kommer med i sfd(a,b), hvor de netop kommer med i den lavere potens, der blev udeladt i mfm(a, b). Derfor kommer alle primfaktorer i a og b med i den rette potens når man multiplicerer mfm(a,b) og sfd(a,b).

22 Øvelse 13 Du kan blot kopiere beviset for sætning 6 efter at overalt erstattes med 17. Det samme kan du gøre med ethvert tal x, som ikke er et kvadrattal eller kvadratet på en brøk, se øvelse 14. Øvelse 14 Antag at n er et rationalt tal. p n hvor brøken er forkortet mest muligt. q p Som i beviset for sætning 6 får vi så at n er en uforkortelig brøk, og dermed (atter som i q beviset for sætning 6) at n p. Den eneste situation hvor dette ikke giver anledning til en modstrid, er hvis n er et kvadrattal. Altså er n irrational på nær når n er et kvadrattal. Øvelse 15 n er lige er ensbetydende med at n er lige n er lige er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at n er lige n er lige n er lige.

23 3 Kapitel 10 Hvordan får vi styr på uendeligheden? Øvelse 1 (I første oplag af bogen refereres der i øvelsen til definition 4. Det skulle være definition ) Hvis f er en injektiv afbildning, så afbilder den aldrig to tal i det samme tal. Derfor må alle tre tal afbildes i noget forskelligt, hvilket vil sige, at hele mængden {1,,3} rammes, hvilket igen vil sige, at f er surjektiv. Ifølge definition er mængden da endelig. Hvis læseren synes, at vi ovenfor lod os rive med af dagligsproget, og at formuleringen ikke giver et eksakt bevis, så kan man i stedet se på alle de seks mulige injektive afbildninger af {1,,3} til sig selv. De kan angives på tabelform. Mulige afbildninger Tabellen viser de muligheder, der er for at fastlægge en afbildning af de to første tal. I alle tilfældene er der kun ét muligt valg for, hvad afbildningen kan gøre ved 3, hvis det skal være en injektiv afbildning. 3 må i alle tilfældene afbildes i det element, der endnu ikke har været brugt. Så man også på denne måde se, at alle de injektive afbildninger bliver surjektive. De hele tal er ikke en endelig mængde ifølge vores definition. Definer fx. afbildningen f : ved f ( t) t. f er injektiv, da t giver noget forskelligt for alle forskellige hele tal t. Billedet af bliver alle de lige tal. f er derfor ikke surjektiv (de ulige tal rammes ikke). Mængden er da pr. definition uendelig. Øvelse Man kan bede de studerende om at sætte sig ned og lade være med at sidde flere på hver stol. Hermed etableres en injektiv afbildning fra mængden af studerende til mængden af stole. Hvis der så viser sig at være ubesatte stole, så er afbildningen klart ikke surjektiv, og ifølge vores definition på færre end (definition 3) er der færre studerende end stole. Hvis vi skal afgøre det, før de studerende komme ind i lokalet og stadig vil være tro mod vores definition 3, så kunne vi lave følgende afbildning fra mængden af stole til mængden af studerende. Vi nummererer stolene fortløbende fra 1 og opad. Ligeledes med de studerende. Funktionen knytter så stolen med nummer 1 til den studerende med nummer 1, stolen med nummer til den studerende med nummer osv. Vi kan hurtigt afgøre, hvilken vej denne afbildning ikke vil være surjektiv. Det er altså blot en dybere måde at anvende tællemetoden på. Den mængde, der optælles til det største tal i tælleremsen, har også flest elementer.

24 4 Lad f være afbildningen, der til ethvert primtal p i [300,400] knytter tallet p 1. Da dette tal er lige er det sammensat, og det ligger i intervallet [300,400], da 300 ikke er et primtal. Denne klart injektive afbildning rammer dog ikke alle sammensatte tal, idet 400 ikke rammes. Når der således findes en injektiv, men ikke surjektiv afbildning fra mængden af primtal til mængden af sammensatte tal, så er der pr. definition 5 tale om, at der er færre primtal, end der er sammensatte tal. (Primtallene mellem 300 og 400 er: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, , 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397. Der er altså 16 sådanne primtal. Dermed er der 84 sammensatte tal i intervallet, altså er det rigtigt, hvad vi skriver). Taflet klarer vi nemt, hvis vi kan se, at der er en dessertgaffel ved hver kuvert, og der også er et portvinsglas ved hver kuvert. Hermed etableres en bijektion fra mængde af dessertgafler til mængden af kuverter og herfra til mængden af portvinsglas. Den sammensatte funktion bliver en funktion fra mængden af dessertgafler til mængden af portvinsglas. (Læseren bedes bære over med, at vi således problematiserer det helt elementære, men det er missionen med dette kapitel). Øvelse ,,,,,,,,,,... så er nummer 8 på listen. 3 Hvornår kommer vi til 117, dvs. en brøk med sum af tæller og nævner på 318? 01 Denne brøk vil efter systematikken ovenfor være den 117. brøk i opskrivningen af brøker med tæller + nævner = 318. Vi mangler blot at finde ud af, hvor mange brøker vi har skrevet, inden dem med tæller + nævner = 318 dukker op. Der er 1 brøk med tæller + nævner = Der er brøker med tæller + nævner = 3 Der er 3 brøker med tæller + nævner = 4... Der er 316 brøker med tæller + nævner = 317. Derfor har vi skrevet = brøker, inden vi går i gang med dem, hvor tæller + nævner = er derfor nummer = på listen, hvis det ikke var, fordi vi vil undgå at tælle 01 brøker, der angiver samme rationale tal med to gange. Så konklusionen er, at vi når frem til brøken 117 senest, når vi har talt brøker op. 01 Øvelse 4 Fejlen består i antagelsen om, at de to flokke på hhv. n og 1 køer har samme farve. Det kan vi ikke vide. Tænk på situationen, hvor der er køer. Den ene fjerner vi, så har den resterende ko ganske rigtigt én farve. Men når vi i induktionsskridtet bytter om på de to køer, kan vi ikke vide, at de har den samme farve.

25 5 Kapitel 11 Algebras stofdidaktik Øvelse 3 Idet vi skriver F for falsk og S for sand, får vi: a a,f a a (forudsat a > 0), F 11a , F 6a 6 a c a :, F c d d a a a 16 4, hvis er positiv, S a a a 16 4, hvis er positiv, F b b b a b 8a b S 4a b 6 a b, F a,f a b c b c, for a, b og c positive, F Øvelse 1 A = artillerister, K = kavalerister og I = infanterister A = 3K I = 4A 350 = A + I + K = A + 4A A 350 =5 1 3 A A = 660, I = 640, K = 0

26 6 Øvelse 13 ( x 6) : x x1 : x x10 : x x5 x 5 Øvelse 14 Fx: Hvorfor får du sytten, hvis du tænker på et tal, som du firedobler, før du lægger 10 til og halverer resultatet, som du nu lægger 9 til, før du halverer endnu en gang for til sidst at trække det oprindelige tal fra og lægge 10 til?.

27 7 Kapitel 1 Talmønstre og figurrækker Øvelse Nummer n Trekanttal nn ( 1) Firkanttal n Sekskanttal (n 1) n k-kanttal 1 k 3k 3... Rekursive formler: Trekanttal: T( n 1) T( n) n 1, Firkanttal: F( n 1) F( n) ( n 1) 1, Sekskanttal: S( n 1) S( n) 4( n 1) 3, k-kanttal: K( n 1) K( n) ( k )( n 1) ( k 3). ( k ) n ( k 4) n Øvelse 3 - selvfølgelig skal den ikke hedde opgave 3. Nummer n Trekanterne nn ( 1) 3 Firkanterne n( n 3) Dobbelttrappen n 3n 1 Sekskanterne n 1 Rekursionsformler: Trekanterne : T( n) T( n 1) 3 n. Firkanterne : F( n) F( n 1) n. Dobbelttrappen : D( n) D( n 1) 4n 1. Sekskanterne : T( n) T( n 1) 4.

28 8 Øvelse 4 Summen af de første n naturlige tal Sn. ( ) Da S( n 1) 1... ( n 1) n ( n 1) S( n) n 1har vi en rekursiv formel for talfølgen S( n 1) S( n) n 1. Opgaven postulerer, at vi kan finde S( n) 1 n( n 1), og vi skal bevise dette pr. induktion. I. Første skridt er at vise, at formlen er korrekt, når n = 1. S(1) 1 (1 1) 1, hvilket er summen af det første naturlige tal. 1 II. Vi antager nu, at formlen gælder for tallet n, altså at vi kan beregne summen af de første n naturlige tal som S( n) 1 n( n 1), og så skal vi bevise, at formlen også gælder for nummer n + 1. Hvis vi sætter n + 1 ind i formlen, får vi S( n 1) ( n 1)( n 11) ( n 1)( n ) n n 1. 1 Vi skal altså ud fra S( n) 1 n( n 1) prøve at bevise S( n 1) n n 1. 3 Det eneste, vi ved med sikkerhed, er, at vi kan beregne Sn ( 1) ud fra sammenhængen S( n 1) S( n) n 1. Da vi har antaget, at S( n) 1 n( n 1), kan vi beregne Sn ( 1) til n n n n S( n 1) S( n) n 1 n( n 1) n 1 1 n 1 Så det lykkedes os at bevise 1 S( n 1) n n 1. Det sidste udtryk er det samme som formlen 3 gav, og der er derfor overensstemmelse mellem det, formlen fortæller og den rekursive sammenhæng, og induktionsbeviset er fuldført, idet vi nu kan anvende induktionsaksiomet, Peanos 5. aksiom. Vi giver endnu et induktionsbevis for en af formlerne fra øvelse 3 Vi fandt for dobbelttrappen, at D( n) D( n 1) 4n 1, eller samme formel udtrykt for nummer n + 1: D( n 1) D( n) 4( n 1) 1. Vi har også angivet, at vi tror, at vi kan beregne Dn ( ) ud fra formlen D( n) n 3n 1, men dette er endnu ikke bevist. Vi vil nu ved hjælp af et induktionsbevis påvise, at der faktisk gælder naturlige tal n. D( n) n 3n 1 for alle I. For at benytte induktionsbeviset, skal vi sikre os, at formlen passer for n = 1. D(1) , hvilket er det korrekte antal tændstikker.

29 9 II. Vi antager derfor, at formlen er korrekt for nummer n, altså at vi kan beregne antal tændstikker i den n te figur ved D( n) n 3n 1. Vi skal nu bevise, at formlen også er korrekt for figur nummer n + 1. Vi vil først lige finde ud af, hvordan den formel egentlig ser ud for Dn ( 1). Sætter vi n + 1 ind i formlen, får vi D( n 1) ( n 1) 3( n 1) 1 ( n n 1) 3( n 1) 1 n 7n4. Vi skal nu bevise at D( n) n 3n 1medfører, at D n n n ( 1) 7 4. Det eneste vi med sikkerhed ved er, at D( n 1) D( n) 4( n 1) 1. Vi kan beregne Dn ( 1), idet vi på højre side indsætter D( n 1) D( n) 4( n 1) 1 n 3n 1 4( n 1) 1 n 7n4. D( n) n 3n 1. Vi får så altså præcis det ønskede, det samme som formlen giver, når vi indsætter n + 1. Vi kan nu ud fra induktionsaksiomet slutte, at formlen tal n. D( n) n 3n 1 gælder for alle naturlige Øvelse 5 selvfølgelig skal den ikke hedde øvelse 8, som den hedder i 1. oplag af bogen. Antallet af træk, der skal til at flytte et tårn med n skiver, er n 1. Øvelse 6 selvfølgelig skal den ikke hedde øvelse 9, som den gør i 1. oplag Hvis On ( ) betegner omkredsen af figuren efter n inddelinger af siderne, gælder der 4 3 O( n) O( n 1) eftersom en kant ved hver inddeling får lagt en tredjedel af sin oprindelige længde til. Vi kan derfor regne baglæns 3 n O( n) O( n 1) O( n ) O( n 3)... O(1). n Da vi forudsætter, at den første trekant har omkreds 3, får vi derfor On 4 1 ( ) 3. 3

30 30 Kapitel 13 Tidlig algebra Ingen løsningsforslag.

31 31 Kapitel 14 Funktioner og funktionsbegrebet Øvelse 7 1) y 3,5x 14 ) y x 3) yx 3 1) billedmængde [14, [ 1 ) billedmængde 0,3 3) billedmængde [11, [ Øvelse 8 3 1) Den direkte proportionalitet f, hvor f, angives: x og f ( x) indsættes i f ( x) ax, hvilket giver f ( x) x ) Den omvendte proportionalitet g, hvor g, angives: k 66 x og g( x) indsættes i g( x),hvilket giver k og dermed 7 5 x gx ( ) 35 x ) Den lineære funktion, hvis graf indeholder punkterne, og, findes: y1 y Hældningskoefficienten findes ved at indsætte punkternes koordinater i x1 x 16 giver. 335, hvilket samt det ene punkts koordinater indsættes i : y x b, hvilket giver y h( x) x

32 3 1 4) a. Billedmængden for f svarende til x 0 : Vi har f ( x) x. For x 0 bliver højre side 110 negativ eller 0, dvs. billedmængden af x 0 bliver det negative reellele tal samt 0, eller udtrykt i mængdelærens sprog: { y y 0} b. Billedmængden for g svarende til x 0 : Vi har gx ( ) 35 x. Her må vi undgå x = 0 for at undgå x i nævneren. Men x< 0 svarer til at x gennemløber alle negative tal, hvilket er ensbetydende med, at 1 gennemløber alle negative tal og dermed også, at gx ( ) gennemløber alle x negative tal. Billedmængden bliver altså de negative reelle tal eller i mængdelærens sprog: { y y 0} c. Billedmængden for h når x 0 : Vi har h( x) x Tænker vi på det som en ret linje med negativ hældning, der skærer y-aksen i punktet (0, ) får vi, at det, der ligger i. kvadrant og over den rette linje, udgør billedmængden. Mere præcist bliver 597 billedmængden { y y }. 335 Dette kan også skrives detaljeret med brug af de regler der gælder for manipulation med uligheder og som vi så på i forrige kapitel: x 0 x 0 x 0 x h( x) Øvelse 9 Lineær funktion. x angiver antal km. pris(x) = 30x + 0. Øvelse 1 Det viser sig, at der i værste tilfælde skal tre punkter til at afgøre, om der er tale om en ligefrem k proportionalitet: f ( x) x, en omvendt proportionalitet: f ( x), x 0 eller den lineære x funktion: f ( x) ax b. Hvis man ved, hvilken af de tre typer der er tale om, er det nok med to punkter. Så ud fra to punkter kan man få fastlagt helt konkret, hvilken funktion der kan være tale om inden for hver kategori. Er man usikker på, hvilken type der er tale om, indsætter man det tredje punkt i hver af de mulige, og det vil kun stemme i en af dem, hvorefter man har bestemt typen og kan fastlægge den konkrete funktion.

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 4.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 4.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Facitliste til MAT X Grundbog

Facitliste til MAT X Grundbog Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere