Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse"

Transkript

1 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoper Øvelse 1 Forslag til svar fremgår af teksten på de næste par sider i lærebogen.

2 Kapitel Tallenes historiske udvikling Øvelse skrives sådan i kileskrift Øvelse Idet vi benytter friheden i fortolkningen af positionerne til at læse de første fire tegn som tallet 4, hvorefter de næste tre står efter kommaet og dermed angiver 30 60, skrives 1 4 som: 14 skrives med de første seks tegn, og skrives med de sidste ni tegn, dvs. 14 skrives som: Man kan ikke se på dette tal, at det er ca Det kunne godt tolkes som et tal, der var 60 gange større og for den sags skyld 60 gange mindre osv. Øvelse 3 5 timer 40 minutter og 55 sekunder kan skrives som den øverste række, 7 timer 45 minutter og 4 sekunder som rækken under. Herefter er additionen ikke vanskelig, resultatet bliver som rækken under stregen: 13 timer 6 minutter og 19 sekunder.

3 3 Øvelse 5 1) Svar: 8 17 = 136. ) \ \ Svar: = = Øvelse 6 Arealet af en cirkel med diameter 9 bliver Med moderne matematik får man 4,5 63,61. d r r r, og da Omskriver man babylonernes formel får man ,16 kan man hævde, at de benyttede ca. 3,16 som værdi for π. Øvelse 9 Her er en idé til, hvad man kan gøre, idet man starter med trekanten med kateterne 1 og 1, hvorefter de forskellige kvadratrødder successivt optræder som hypotenuser i de nytilkomne retvinklede trekanter.

4 4 Kapitel 3 Læremidler fra regnebog til CAS Øvelse fx = = og = = Eleven får bl.a. styrket sin opmærksomhed på positionens rolle. Lidt anderledes med , der fx kan udregnes som = = Øvelse = (4 cifre) Som overslag kan man sige: = =.500, dvs. ved brug af lommeregner skal man forvente omkring fire cifre. På den anden side kan to tocifrede tal godt resultere i et trecifret tal som ved =100, og i den anden ende giver = 9801, så antallet af cifre synes ikke at kunne overstige = (5 cifre) Overslag: = = , dvs. man forventer cirka fem cifre. Ser vi på ekstremerne for et tocifret tal gange et trecifret, får vi på den ene side = 1000, altså et firecifret tal. Går vi til den anden ekstrem, finder vi = 98901, altså 5 cifre. Hermed har vi faktisk bevist, at et tocifret gange et trecifret tal giver et resultat med enten fire eller fem cifre = (6 cifre) Overslag: = = , dvs. forvente cirka seks cifre. Men kan et trecifret gange et firecifret tal give 7 cifret resultat? Vi prøver med = , så 7 cifre er muligt = (7 cifre) Fortsæt selv undersøgelsen. Her har vi to 4-cifrede tal, som ganget samme giver et 7-cifret tal og ikke = 8 cifre. Men giver det altid enten 7 eller 8, når man har sådan to 4-cifrede tal? = (5 cifre) Overslag: = = , dvs. forvente cirka fem cifre. 1 8 = 96 ( cifre) Overslag: = = 100, her ville man så forvente cirka tre cifre, men forhåbentlig godtage et resultat på 96. Ekstremerne er 10 1 = 10 og 99 9 = 891. Hvad mon vi kan sige, når et n-cifret tal ganges med et m-cifret tal? Vi kan åbenbart ikke være sikre på, at produktet har n + m cifre. Kan det have n + m + 1, n + m 1? Kan vi overbevise os selv om, at den enten giver n + m eller n + m 1 cifre? Hvis vi går tilbage til eksemplerne, er der så tilfælde, hvor vi sikkert kan afgøre, om vi rammer n + m, og tilfælde hvor det klart er n + m 1? Generelt svar på opgaven: Et n-cifret tal ganget med et m-cifret tal giver et resultat med enten n + m eller n + m 1 cifre.

5 5 Bevis 10 n er det mindste tal med n + 1 cifre. Så hvis t n er et n-cifret tal, og t m er et m-cifret tal, så gælder n1 n m1 m n 10 tn 10 og 10 tm 10, og dermed 10 m n m tntm 10, hvoraf aflæses at t n t m har mindst n + m 1 cifre og højst n + m cifre.

6 6 Kapitel 4 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Øvelse a = = Øvelse V = = 71 X. 983 X omskrevet til base V Rest = X = V. 651 VII = 31 X. 651 VII = II. Rest 448 Rest = 73 Rest = 3 Rest = 3 Rest 0

7 7 Øvelse 4 1) EF XVI = 751 X. ) ABE XVI + BAD XVI = 166B XVI. og da 166B XVI FED XVI = 67E XVI > 0 er udsagnet korrekt. Øvelse Øvelse Øvelse 7 1 V 13 V = 33 V. 4 V 43 V V 33 V = 11 V.

8 8 Øvelse Øvelse Øvelse : 4 = : 1 = Øvelse 1 Som man kan se i to-tabellen i base V er lige tal repræsenteret både med ulige og lige slutciffer. Det er derfor ikke nemt at afgøre om går op i et tal opskrevet i base V. 5 X = 10 V, og det er derfor nemt at afgøre, om det går op i et tal skrevet i base V. det sker netop, når tallet slutter på 0.

9 9 Kapitel 5 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal I øvelse 1 er svaret hele tiden er 81 divideret med 6, altså 13, 13½ eller 14, men fortolkningen af resten afhænger meget af den konkrete situation. Der er ikke flere løsningsforslag, da aktiviteterne i dette kapitel er af formen Overvej/diskuter.

10 10 Kapitel 6 De positive rationale tal Øvelse 7 a b består af a stykker af længde én b'endedel. b c består af c stykker af længden én b'endedel. a c b b består derfor af a + c stykker af længden én b'endedel, hvilket også kan skrives som a b c. Øvelse 9 6) Vi har, at a c, og vi skal vise, at a a c c. b d b b d d Vi ser først på a a c, der ifølge øvelse 4.5 er ensbetydende med ( ) b b d a( b d) b( a c), vi ganger ind i en parentes ab ad ba bc, vi subtraherer ab = ba på begge sider af lighedstegnet ad bc ifølge 5) a c b d. Det sidste var givet at være sandt, så derfor er også det ensbetydende udsagn a a c sandt. b b d Tilsvarende for a c c, hvorefter vi har vist, at a a c c er et sandt udsagn og kan b d d b b d d konkludere, at hvis man adderer brøker af forskellig størrelse ved at addere tæller med tæller og nævner med nævner, så får man et resultat, der ligger mellem de to brøker, der skulle adderes. Vi interesserer os i dette kapitel kun for positive brøker. Læseren kan ved en senere lejlighed overveje, om det vi her har vist også gælder, hvis vi tillader negative brøker, som man jo gør i skolen og i samfundet.

11 11 7) Vi finder tre brøker, der ligger mellem 1 7 og 1 8 : Vi finder en tilstrækkelig stor fællesnævner, således at der ligger tre brøker med den samme fællesnævner mellem de to givne brøker: og, og de tre brøker bliver: , og Men vi kunne også have udnyttet vores fund i 6) ovenfor, for den metode fortæller os, at , således at vi har fundet en brøk med den ønskede egenskab. Derefter kan vi bruge samme metode igen til at finde en brøk mellem 1 og 8 15 osv. Øvelse Øvelse 17 Da måling er en form for division bliver svaret cirka 5 divideret med 3 4. Ganges i stedet med den omvendte brøk får svaret 100 eller 33 flasker og en tredjedel flaske, hvilket lige akkurat giver os den ønskede smagsprøve. 3 Øvelse Øvelse 3 Gruppe promille; 1,5; 1 1 ; 1,500; 6 4 ; ; 1 8 ; 3 1 ; 6: 4 6 Gruppe 0,75; ppm; tre fjerdedele; 750 promille; 3 4 ; ; 1 ; 75 %; 3: 4 8

12 1 Undersøgelse 1 De omtalte beviser følger her Sætning Den uforkortelige brøk n t kan skrives som et endeligt decimaltal i netop de tilfælde, hvor n s primfaktoropløsning kun indeholder og 5. Bevis 1) Først viser vi: Hvis n t er et endelig decimaltal, så indeholder n s primfaktoropløsning kun og 5. Et endeligt decimaltal bliver til et naturligt tal, hvis den ganges med en passende 10 erpotens. t Hvis derfor kan skrives som et endeligt decimaltal, så er T t n n passende tierpotens. et naturligt tal, hvor T betegner en n går med andre ord op i (T t). Det betyder, at hele n s primfaktoropløsning forekommer i (T t). Men da n t var uforkortelig, har t og n ingen fælles primfaktorer. Derfor må alle n s primfaktorer forekomme i T. Men de eneste primfaktorer, der forekommer i en tierpotens, er og 5. Altså indeholder n s primfaktoropløsning udelukkende primfaktorerne og 5. ) Dernæst viser vi: Hvis n s primfaktoropløsning kun indeholder og 5, kan n t skrives som et endeligt decimaltal. Antag, at n 5 a b for naturlige tal a og b. Vi vil først vise, at brøken kan forlænges, så den får en tierpotens i nævneren. Men det er klart, at man ved at gange med en toerpotens eller en femmerpotens bringer n op på en tierpotens. Hvis fx b er større end a, så vil vi gange n med b a, hvilket giver ba a b ( ba) b b b n Vi har altså vist, at vi kan forlænge n t med et tal (i tilfældet ovenfor med b a ), så brøken får en tierpotens i nævneren. Men en brøk med tierpotens er pr. definition en decimalbrøk og kan nemt skrives i den sædvanlige notation som et endeligt decimaltal med et komma.

13 13 Sætning 3 Enhver uforkortelig brøk n t, hvor n indeholder andre primfaktorer end og 5 har en uendelig periodisk decimaltalsfremstilling, og periodelængden er mindre end n. Bevis Vi forestiller os, at vi bestemmer decimaltalsfremstillingen for et sådant n t ved en divisionsalgoritme. Vi ved fra sætning, at divisionen aldrig går op. Så ved hver deldivison i den lange division får vi en kvotient, og der vil optræde en rest forskellig fra 0. Når man dividerer med n, kan der imidlertid kun optræde n 1 forskellige sådanne rester, nemlig 1,, 3,, n 1. Hvis der optrådte en rest større end n, ville vi straks kunne lade n gå op en gang mere. Derfor vil der undervejs i den lange division på et tidspunkt, senest efter n 1 divisioner, optræde en rest, som man allerede har haft. Og lige så snart en sådan tidligere rest optræder igen, gentager divisionsmønsteret sig akkurat som første gang, det optrådte, og det vil igen optræde for tredje gang osv. Resterne vil begynde at optræde i et periodisk mønster, og tilsvarende vil kvotienterne selvfølgelig (cifrene i decimaltalsfremstillingen) optræde i perioder. Eksempel Beviset for sætning 3 kan illustreres ved følgende eksempler, hvor vi udregner 1 11 og. Fed skrift angiver rest. Bemærk, at henholdsvis 1 og 11 dukker op som rest igen til sidst, hvilket er kernen i beviset ovenfor. Eksempel 1 : 13 Eksempel 11 : 13 1 : 1 3 = 0, : 1 3 = 0,

14 14 Øvelse 4 a) 80 kan ikke skrives som et endeligt decimaltal. 117 Antag, at 80 kan skrives som et endeligt decimaltal som fx 0, , som er det svar, man får 117 på en skolelommeregner. Antag altså, at 80 = 0, gælder eksakt. Ved at gange på hver 117 side af lighedstegnet med en passende tierpotens,(som i dette tilfælde skal være ), kan vi opnå, at der står et helt tal på højresiden af udtrykket. I den konkrete situation = ; hvis vi så ganger med 117 på hver side = Men dette kan ikke være muligt, for på højre side har vi 117 som indeholder fx primfaktoren 13. Ser vi nemlig på venstre side, så består 80 af primfaktorerne og 5, og det samme gør enhver tierpotens og derfor specielt Vi har altså udelukkende og 5 i primfaktoropløsningen på venstre side, mens der står 13 og 3 og sikkert andre grimme ting gemt i det store tal på højre side. De to sider kan derfor ikke være lig med hinanden. Den sætning, vi bygger på her, er sætningen om primfaktoropløsningens entydighed. b) kan skrives som et endeligt decimaltal. Ideen er at opløse 80 i de relevante faktorer: Så forlænger vi brøken til højre, så vi får en tierpotens i nævneren. Det sker klart nemmest ved at 3 forlænge med 5, hvorefter den vi kan fortsætte: , endeligt decimaltal. og er dermed omskrevet til et

15 15 Øvelse 5 1) x 0, x , x 13, x x13,13 0,13 999x x ) q 0, q 10 0, q 5, q , q 5.536, q 10q 5.536,536 5, q q 9.990

16 16 Kapitel 7 Brøkregning i den fagdidaktiske skole, RME Ingen løsningsforslag

17 17 Kapitel 8 Negative tal og repræsentationer Ingen løsningsforslag

18 18 Kapitel 9 Talteori og matematisk tankegang Øvelse så 7 går op i 91; kvotienten er 13. Øvelse Listen af primtal under 100 er altså, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Øvelse 4 Det ene af tallene (p, p + 1) er lige. Det eneste lige primtal der findes er. Derfor kan der kun findes ét sæt primtalsnaboer, nemlig (, 3). Når p er ulige, vil der blandt tallene (p, p +, p + 4) altid være ét, der ligger i 3-tabellen, fordi det er åbenlyst, at et af de tre på hinanden følgende tal (p, p + 1, p + ) må ramme 3-tabellen, og hvis det er p + 1, så vil p + 4 også gøre det. Da det eneste primtal i tretabellen er selve 3, kan der kun være det ene sæt primtalstrillinger (3, 5, 7). [Da der ikke findes primtalstrillinger findes der heller ikke primtalfirlinger, men der findes nogle dobbelttvillinger af formen (p, p +, p + 6, p + 8). Hvis du selv prøver at finde sådanne vil du sikkert falde over de samme tal som dem på Ishango-knoglen, side 48 i lærebogen. Da disse er år gamle kan dette sammenfald give anledning til mange og store tanker. For mere information googles på prime quadruplets ] f ( n) n n 41ser ud til at give primtal, når man sætter forskellige n-værdier ind. Imidlertid er f (41) og dermed et sammensat tal. Er der nogle af funktionsværdierne f( n), n = 1,,..., 40, der ikke er primtal?

19 19 Øvelse 5 13 x 10 Det ser ud som om stiger med ca.,3 hver gang. Derfor er det bedste bud, at 8,9 så ( x ) 13 (10 ) (10 ) 10 : 8, På hjemmesiden kan man finde det præcise antal Øvelse 6 sfd(330,77): Rest sfd(330,77) = 11. Øvelse 7 5 (-) = 1 Undersøgelse 1 1) 17x + 5y = 1 Da sfd(5,17) = 1 findes der ifølge sætning 3 løsninger til ligningen. ) 15x + 5y = 6 Da sfd(5,15) = 5 findes der ifølge sætning 3 løsninger til ligningen 15a + 5b = 5. Hvis der også fandtes en løsning til 15x + 5y = 6, ville vi have 15(x a) + 5(y b) = 1. Men det ville betyde, at sfd(5,15) = 1 og er derfor en modstrid. Der findes derfor ingen løsninger til 15x + 5y = 6. 3) 4x + 33y = 6. Da sfd(4,33) = 3 findes løsninger til ligningen 4a + 33b = 3. x = a og y = b er derfor løsning til 4x + 33y = 6. 4) 65x + 91y = 6? sdf(91,65) = 13 og derfor findes en løsning til 65a + 91b = 13. Hvis der også findes løsninger til 65x + 91y = 6, ville (a x) og (b y) opfylde 65(a x) + 91(b y) = 1, hvilket ville betyde, at sfd(91,65) = 1. Det er en modstrid, så der kan ikke være løsninger til 65x + 91y = 6.

20 0 5) 46x + 11y = 11. Denne ligning har en løsning da sfd(46,11) = 11. 6) 46x + 11y = 3. Denne ligning har ingen løsning. I kombination med løsningen til 5 ville det give en løsning til ligningen 46x + 11y = 1, hvilket ville betyde, at sfd(46,11) er 1. Øvelse 8 Hvis p a1 a... an p a1 a... an. Fra sætningen ved vi nu, at p a 1 eller p a... an. Hvis p a 1 har vi bevist at p går op i den ene af faktorerne. Hvis p ikke går op i a 1 ved vi p a... an. Ved at sætte parenteser igen, kan vi så komme frem til, at p a eller p a3... an. Enten kan vi så konkludere p a eller vi kan sætte endnu en parentes... kan man, ved at sætte parenteser, tænke på det som om Da der er et endelig antal faktorer, må argumentationen slutte på et tidspunkt, og vi kan konkludere at p går op i mindst en af faktorerne. Øvelse Øvelse 10 1)75 = 3 5 og 1 = 3. Derfor er de begge på formen p q og har divisorerne1, p, q, p q, p q. ) 10 = Divisorerne er derfor 3 5 7, 3 5 7, 3 5 7, 3 5 7,..., I alt er der 16 divisorer i tallet 10, nemlig tallene 1,, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 1, 30, 35, 4, 70, 105, 10. 3) 60 = 3 5, 84 = 3 7 og 96 = 3 har alle 1 divisorer. 4) Tal med netop divisorer er primtal.

21 1 5) Hvad kan du fx sige om tal med præcis tre divisorer? Øvelse 11 1) Der er 3 4 =1 divisorer. ) De 8 divisorer er p 0 q 0 r 0, p 1 q 0 r 0, p 0 q 1 r 0, p 0 q 0 r 1, p 1 q 1 r 0, p 1 q 0 r 1, p 0 q 1 r 1 og p 1 q 1 r 1. 3) Divisorer i p n er 1, p, p,..., p n 1, p n dvs. i alt n + 1 divisorer. 4) Overlades til læseren. 5) Fra punkt 4 ved vi, at p x q y... r z har (x +1)(y +1)... (z +1) divisorer nårp, q,..., r er primtal. (x +1)(y +1)... (z +1) kan kun give 11 hvis alle faktorer pånær n er 1 og den sidste er 11. Derfor må det eftersøgte tal være et primtal opløftet i 10 potens. 10 = 51 og der er således ikke plads til større primtal opløftet i 10 potens. Det eftersøgte tal er derfor 51. Øvelse 1 1) sfd(7,5) Da 7 = 3 3 og 5 = 5 er sfd(7,5) = 1. I mfm(7,5) skal alle primfaktorerne indgå med maksimal vægt. Dvs = ) Hvis forskellen skal være lille, skal de to tal indeholde de samme primfaktorer med fx kun et - tal som afvigelse. Fx og sfd af de to tal er og mfm er ) Dette argument kan holdes på mindre symbolkrævende plan, hvis man konstaterer, at a b indeholder alle de forekommende primfaktorer i a og b, men det gør mfm(a,b) også, idet dog de primtal, der er fælles for a og b, ikke kommer med to gange, men de kommer med i sfd(a,b), hvor de netop kommer med i den lavere potens, der blev udeladt i mfm(a, b). Derfor kommer alle primfaktorer i a og b med i den rette potens når man multiplicerer mfm(a,b) og sfd(a,b).

22 Øvelse 13 Du kan blot kopiere beviset for sætning 6 efter at overalt erstattes med 17. Det samme kan du gøre med ethvert tal x, som ikke er et kvadrattal eller kvadratet på en brøk, se øvelse 14. Øvelse 14 Antag at n er et rationalt tal. p n hvor brøken er forkortet mest muligt. q p Som i beviset for sætning 6 får vi så at n er en uforkortelig brøk, og dermed (atter som i q beviset for sætning 6) at n p. Den eneste situation hvor dette ikke giver anledning til en modstrid, er hvis n er et kvadrattal. Altså er n irrational på nær når n er et kvadrattal. Øvelse 15 n er lige er ensbetydende med at n er lige n er lige er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at n er lige n er lige n er lige.

23 3 Kapitel 10 Hvordan får vi styr på uendeligheden? Øvelse 1 (I første oplag af bogen refereres der i øvelsen til definition 4. Det skulle være definition ) Hvis f er en injektiv afbildning, så afbilder den aldrig to tal i det samme tal. Derfor må alle tre tal afbildes i noget forskelligt, hvilket vil sige, at hele mængden {1,,3} rammes, hvilket igen vil sige, at f er surjektiv. Ifølge definition er mængden da endelig. Hvis læseren synes, at vi ovenfor lod os rive med af dagligsproget, og at formuleringen ikke giver et eksakt bevis, så kan man i stedet se på alle de seks mulige injektive afbildninger af {1,,3} til sig selv. De kan angives på tabelform. Mulige afbildninger Tabellen viser de muligheder, der er for at fastlægge en afbildning af de to første tal. I alle tilfældene er der kun ét muligt valg for, hvad afbildningen kan gøre ved 3, hvis det skal være en injektiv afbildning. 3 må i alle tilfældene afbildes i det element, der endnu ikke har været brugt. Så man også på denne måde se, at alle de injektive afbildninger bliver surjektive. De hele tal er ikke en endelig mængde ifølge vores definition. Definer fx. afbildningen f : ved f ( t) t. f er injektiv, da t giver noget forskelligt for alle forskellige hele tal t. Billedet af bliver alle de lige tal. f er derfor ikke surjektiv (de ulige tal rammes ikke). Mængden er da pr. definition uendelig. Øvelse Man kan bede de studerende om at sætte sig ned og lade være med at sidde flere på hver stol. Hermed etableres en injektiv afbildning fra mængden af studerende til mængden af stole. Hvis der så viser sig at være ubesatte stole, så er afbildningen klart ikke surjektiv, og ifølge vores definition på færre end (definition 3) er der færre studerende end stole. Hvis vi skal afgøre det, før de studerende komme ind i lokalet og stadig vil være tro mod vores definition 3, så kunne vi lave følgende afbildning fra mængden af stole til mængden af studerende. Vi nummererer stolene fortløbende fra 1 og opad. Ligeledes med de studerende. Funktionen knytter så stolen med nummer 1 til den studerende med nummer 1, stolen med nummer til den studerende med nummer osv. Vi kan hurtigt afgøre, hvilken vej denne afbildning ikke vil være surjektiv. Det er altså blot en dybere måde at anvende tællemetoden på. Den mængde, der optælles til det største tal i tælleremsen, har også flest elementer.

24 4 Lad f være afbildningen, der til ethvert primtal p i [300,400] knytter tallet p 1. Da dette tal er lige er det sammensat, og det ligger i intervallet [300,400], da 300 ikke er et primtal. Denne klart injektive afbildning rammer dog ikke alle sammensatte tal, idet 400 ikke rammes. Når der således findes en injektiv, men ikke surjektiv afbildning fra mængden af primtal til mængden af sammensatte tal, så er der pr. definition 5 tale om, at der er færre primtal, end der er sammensatte tal. (Primtallene mellem 300 og 400 er: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, , 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397. Der er altså 16 sådanne primtal. Dermed er der 84 sammensatte tal i intervallet, altså er det rigtigt, hvad vi skriver). Taflet klarer vi nemt, hvis vi kan se, at der er en dessertgaffel ved hver kuvert, og der også er et portvinsglas ved hver kuvert. Hermed etableres en bijektion fra mængde af dessertgafler til mængden af kuverter og herfra til mængden af portvinsglas. Den sammensatte funktion bliver en funktion fra mængden af dessertgafler til mængden af portvinsglas. (Læseren bedes bære over med, at vi således problematiserer det helt elementære, men det er missionen med dette kapitel). Øvelse ,,,,,,,,,,... så er nummer 8 på listen. 3 Hvornår kommer vi til 117, dvs. en brøk med sum af tæller og nævner på 318? 01 Denne brøk vil efter systematikken ovenfor være den 117. brøk i opskrivningen af brøker med tæller + nævner = 318. Vi mangler blot at finde ud af, hvor mange brøker vi har skrevet, inden dem med tæller + nævner = 318 dukker op. Der er 1 brøk med tæller + nævner = Der er brøker med tæller + nævner = 3 Der er 3 brøker med tæller + nævner = 4... Der er 316 brøker med tæller + nævner = 317. Derfor har vi skrevet = brøker, inden vi går i gang med dem, hvor tæller + nævner = er derfor nummer = på listen, hvis det ikke var, fordi vi vil undgå at tælle 01 brøker, der angiver samme rationale tal med to gange. Så konklusionen er, at vi når frem til brøken 117 senest, når vi har talt brøker op. 01 Øvelse 4 Fejlen består i antagelsen om, at de to flokke på hhv. n og 1 køer har samme farve. Det kan vi ikke vide. Tænk på situationen, hvor der er køer. Den ene fjerner vi, så har den resterende ko ganske rigtigt én farve. Men når vi i induktionsskridtet bytter om på de to køer, kan vi ikke vide, at de har den samme farve.

25 5 Kapitel 11 Algebras stofdidaktik Øvelse 3 Idet vi skriver F for falsk og S for sand, får vi: a a,f a a (forudsat a > 0), F 11a , F 6a 6 a c a :, F c d d a a a 16 4, hvis er positiv, S a a a 16 4, hvis er positiv, F b b b a b 8a b S 4a b 6 a b, F a,f a b c b c, for a, b og c positive, F Øvelse 1 A = artillerister, K = kavalerister og I = infanterister A = 3K I = 4A 350 = A + I + K = A + 4A A 350 =5 1 3 A A = 660, I = 640, K = 0

26 6 Øvelse 13 ( x 6) : x x1 : x x10 : x x5 x 5 Øvelse 14 Fx: Hvorfor får du sytten, hvis du tænker på et tal, som du firedobler, før du lægger 10 til og halverer resultatet, som du nu lægger 9 til, før du halverer endnu en gang for til sidst at trække det oprindelige tal fra og lægge 10 til?.

27 7 Kapitel 1 Talmønstre og figurrækker Øvelse Nummer n Trekanttal nn ( 1) Firkanttal n Sekskanttal (n 1) n k-kanttal 1 k 3k 3... Rekursive formler: Trekanttal: T( n 1) T( n) n 1, Firkanttal: F( n 1) F( n) ( n 1) 1, Sekskanttal: S( n 1) S( n) 4( n 1) 3, k-kanttal: K( n 1) K( n) ( k )( n 1) ( k 3). ( k ) n ( k 4) n Øvelse 3 - selvfølgelig skal den ikke hedde opgave 3. Nummer n Trekanterne nn ( 1) 3 Firkanterne n( n 3) Dobbelttrappen n 3n 1 Sekskanterne n 1 Rekursionsformler: Trekanterne : T( n) T( n 1) 3 n. Firkanterne : F( n) F( n 1) n. Dobbelttrappen : D( n) D( n 1) 4n 1. Sekskanterne : T( n) T( n 1) 4.

28 8 Øvelse 4 Summen af de første n naturlige tal Sn. ( ) Da S( n 1) 1... ( n 1) n ( n 1) S( n) n 1har vi en rekursiv formel for talfølgen S( n 1) S( n) n 1. Opgaven postulerer, at vi kan finde S( n) 1 n( n 1), og vi skal bevise dette pr. induktion. I. Første skridt er at vise, at formlen er korrekt, når n = 1. S(1) 1 (1 1) 1, hvilket er summen af det første naturlige tal. 1 II. Vi antager nu, at formlen gælder for tallet n, altså at vi kan beregne summen af de første n naturlige tal som S( n) 1 n( n 1), og så skal vi bevise, at formlen også gælder for nummer n + 1. Hvis vi sætter n + 1 ind i formlen, får vi S( n 1) ( n 1)( n 11) ( n 1)( n ) n n 1. 1 Vi skal altså ud fra S( n) 1 n( n 1) prøve at bevise S( n 1) n n 1. 3 Det eneste, vi ved med sikkerhed, er, at vi kan beregne Sn ( 1) ud fra sammenhængen S( n 1) S( n) n 1. Da vi har antaget, at S( n) 1 n( n 1), kan vi beregne Sn ( 1) til n n n n S( n 1) S( n) n 1 n( n 1) n 1 1 n 1 Så det lykkedes os at bevise 1 S( n 1) n n 1. Det sidste udtryk er det samme som formlen 3 gav, og der er derfor overensstemmelse mellem det, formlen fortæller og den rekursive sammenhæng, og induktionsbeviset er fuldført, idet vi nu kan anvende induktionsaksiomet, Peanos 5. aksiom. Vi giver endnu et induktionsbevis for en af formlerne fra øvelse 3 Vi fandt for dobbelttrappen, at D( n) D( n 1) 4n 1, eller samme formel udtrykt for nummer n + 1: D( n 1) D( n) 4( n 1) 1. Vi har også angivet, at vi tror, at vi kan beregne Dn ( ) ud fra formlen D( n) n 3n 1, men dette er endnu ikke bevist. Vi vil nu ved hjælp af et induktionsbevis påvise, at der faktisk gælder naturlige tal n. D( n) n 3n 1 for alle I. For at benytte induktionsbeviset, skal vi sikre os, at formlen passer for n = 1. D(1) , hvilket er det korrekte antal tændstikker.

29 9 II. Vi antager derfor, at formlen er korrekt for nummer n, altså at vi kan beregne antal tændstikker i den n te figur ved D( n) n 3n 1. Vi skal nu bevise, at formlen også er korrekt for figur nummer n + 1. Vi vil først lige finde ud af, hvordan den formel egentlig ser ud for Dn ( 1). Sætter vi n + 1 ind i formlen, får vi D( n 1) ( n 1) 3( n 1) 1 ( n n 1) 3( n 1) 1 n 7n4. Vi skal nu bevise at D( n) n 3n 1medfører, at D n n n ( 1) 7 4. Det eneste vi med sikkerhed ved er, at D( n 1) D( n) 4( n 1) 1. Vi kan beregne Dn ( 1), idet vi på højre side indsætter D( n 1) D( n) 4( n 1) 1 n 3n 1 4( n 1) 1 n 7n4. D( n) n 3n 1. Vi får så altså præcis det ønskede, det samme som formlen giver, når vi indsætter n + 1. Vi kan nu ud fra induktionsaksiomet slutte, at formlen tal n. D( n) n 3n 1 gælder for alle naturlige Øvelse 5 selvfølgelig skal den ikke hedde øvelse 8, som den hedder i 1. oplag af bogen. Antallet af træk, der skal til at flytte et tårn med n skiver, er n 1. Øvelse 6 selvfølgelig skal den ikke hedde øvelse 9, som den gør i 1. oplag Hvis On ( ) betegner omkredsen af figuren efter n inddelinger af siderne, gælder der 4 3 O( n) O( n 1) eftersom en kant ved hver inddeling får lagt en tredjedel af sin oprindelige længde til. Vi kan derfor regne baglæns 3 n O( n) O( n 1) O( n ) O( n 3)... O(1). n Da vi forudsætter, at den første trekant har omkreds 3, får vi derfor On 4 1 ( ) 3. 3

30 30 Kapitel 13 Tidlig algebra Ingen løsningsforslag.

31 31 Kapitel 14 Funktioner og funktionsbegrebet Øvelse 7 1) y 3,5x 14 ) y x 3) yx 3 1) billedmængde [14, [ 1 ) billedmængde 0,3 3) billedmængde [11, [ Øvelse 8 3 1) Den direkte proportionalitet f, hvor f, angives: x og f ( x) indsættes i f ( x) ax, hvilket giver f ( x) x ) Den omvendte proportionalitet g, hvor g, angives: k 66 x og g( x) indsættes i g( x),hvilket giver k og dermed 7 5 x gx ( ) 35 x ) Den lineære funktion, hvis graf indeholder punkterne, og, findes: y1 y Hældningskoefficienten findes ved at indsætte punkternes koordinater i x1 x 16 giver. 335, hvilket samt det ene punkts koordinater indsættes i : y x b, hvilket giver y h( x) x

32 3 1 4) a. Billedmængden for f svarende til x 0 : Vi har f ( x) x. For x 0 bliver højre side 110 negativ eller 0, dvs. billedmængden af x 0 bliver det negative reellele tal samt 0, eller udtrykt i mængdelærens sprog: { y y 0} b. Billedmængden for g svarende til x 0 : Vi har gx ( ) 35 x. Her må vi undgå x = 0 for at undgå x i nævneren. Men x< 0 svarer til at x gennemløber alle negative tal, hvilket er ensbetydende med, at 1 gennemløber alle negative tal og dermed også, at gx ( ) gennemløber alle x negative tal. Billedmængden bliver altså de negative reelle tal eller i mængdelærens sprog: { y y 0} c. Billedmængden for h når x 0 : Vi har h( x) x Tænker vi på det som en ret linje med negativ hældning, der skærer y-aksen i punktet (0, ) får vi, at det, der ligger i. kvadrant og over den rette linje, udgør billedmængden. Mere præcist bliver 597 billedmængden { y y }. 335 Dette kan også skrives detaljeret med brug af de regler der gælder for manipulation med uligheder og som vi så på i forrige kapitel: x 0 x 0 x 0 x h( x) Øvelse 9 Lineær funktion. x angiver antal km. pris(x) = 30x + 0. Øvelse 1 Det viser sig, at der i værste tilfælde skal tre punkter til at afgøre, om der er tale om en ligefrem k proportionalitet: f ( x) x, en omvendt proportionalitet: f ( x), x 0 eller den lineære x funktion: f ( x) ax b. Hvis man ved, hvilken af de tre typer der er tale om, er det nok med to punkter. Så ud fra to punkter kan man få fastlagt helt konkret, hvilken funktion der kan være tale om inden for hver kategori. Er man usikker på, hvilken type der er tale om, indsætter man det tredje punkt i hver af de mulige, og det vil kun stemme i en af dem, hvorefter man har bestemt typen og kan fastlægge den konkrete funktion.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13 Fagårsplan 2010/2011 Matematik 6.A. B side 1 af 8 Brian Sørensen (BS) Kongeskær SkoleNord 32 33 Cirklen 34 35 eleverne tager manglende prøver eleverne og læreren sætter mål for årets arbejde i matematik

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere