Derive 5.06 vejledninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Derive 5.06 vejledninger"

Transkript

1 Derive 5.06 vejledninger Indholdsfortegnelse til vejledninger version 6 (Skrivemåden (1-11) henviser til Carstensen og Frandsen: Mat 1, kapitel 11) Generelt (01) Introkursus... 2 (02) Opsætning og almindelige teknikker... 6 (03) Matematiske teknikker... 8 (04) Om tegning af grafer (05) PLOT vinduet g (06) Funktioner familier, gaffelfunktioner og udsnit af grafer...(1-11) (07) Trigonometriske ligninger...(1-12) (08) Find forskriften ud fra to punkter... (1-10/13) (09) At fitte til en vilkårlig funktion (10) Funktionspapirer enkeltlogaritmisk og dobbeltlogaritmisk...(1-15) (11) Regression...(1-16) g (12) Differentialkvotient...(2A-2) (13) Polynomiers division...(2a-5) (14) Asymptoter...(2A-6) (15) Monotoniundersøgelse...(2A-8) (16) Værdimængdebestemmelse...(2A-8) (17) Newton-Raphsons nulpunktsbestemmelse...(2a-10) (18) Integralregning... (2A-12/13) (19) Vektorer 1...(2A-15) (20) Vektorer 2...(2A-16) g (21) Differentialligninger...(3A-1) (22) Huskeliste til metoden separation af de variable...(3a-1) (23) Differentialligninger linjeelementer og Runge-Kutta...(3A-1) (24) Sammenligning af numeriske metoder (25) Parameterkurver...(3A-2) (26) Rumgeometri 1...(3A-3) (27) Rumgeometri 2...(3A-4) (28) Afstandsformler i rummet...(3a-4) (29) Kuglen...(3A-4) (30) Kombinatorik...(3A-7) (31) Stokastisk variabel...(3a-8) (32) Hypergeometrisk fordeling...(3a-9) (33) Binomialfordeling...(3A-10) (34) Normalfordelingen...(3A-11) (35) Normalfordelingspapir...(3A-11) Ver. 5.0: Ændrede kapitler 21, 22, 23, 24 26, 27 Ver. 6.0: Ændrede kapitler 1, 21, 22, 29, 35

2 [PJ] (01) Introkursus.dfw Introkursus til Derive De følgende sider viser nogle indledende eksempler på anvendelser af Derive. De viser nogle af de mange forskellige opgavetyper, der kan løses ved hjælp af Derive. Der introduceres en række teknikker og tastaturgenveje, og det er vigtigt, at du lægger mærke til dem. Derive bliver først rigtigt let at bruge, når man er fortrolig med dem. Når du åbner Derive er der en række ikoner/knapper øverst i billedet. Vi skal bruge flere af dem i disse opgaver. Du kan se hvilke funktioner knapperne har ved i Derive at holde markøren over knappen et lille stykke tid. Opgave 1 Løs ligningen #1: 5 x + 12 = 2 (15-3 x) Metode: 1. Tryk F2 (eller klik med musen i feltet for neden) og indskriv ligningen i indskrivningsfeltet. Du kan angive gangetegn ved bare at lave et mellemrum. Tryk RETUR. 2. Marker linien og tryk på SOLVE EXPRESSION-knappen (Forstørrelsesglas med lighedstegn) 3. Vælg "Algebraically" og "Real" og tryk på SOLVE. Du får nu: #2: SOLVE(5 x + 12 = 2 (15-3 x), x, Real) #3: 18 x = 11 Marker #3 og tryk på knappen med det krøllede lighedstegn (Approximate). Du får: #4: x = Opgave 2 Tegn graferne for funktionerne med følgende ligninger: #5: y = 2 x + 3 #6: 2 x - 3 y - 1 = 0 Metode: 1. Indskriv de to linier #5 og #6 som vist i opgave Marker #5 ved at klikke på den og tryk på PLOT-knappen ("2D-plot window") 3. Tryk på F4 4. Gentag proceduren for ligningen i #6. 5. Tryk på CTRL+B så tegningen sættes ind i dit dokument som vist nedenfor: 2

3 [PJ] (01) Introkursus.dfw 6. Bliv i PLOT vinduet og leg med zoom-knapperne: Opgave 3 Skriv følgende udtryk som potens: #7: Metode: 1. Indskriv udtrykket i #7 på denne måde: 5 5^3 5^0/(5^-3 5^4) 2. Marker udtrykket i #7 og vælg i menulinjen "Simplify" og derefter "Factor" og tryk derefter på knappen "Factor": #8: Det var resultatet. Man kan få det omskrevet til et 'normalt' tal. Marker #8 og tryk på knappen med lighedstegn ("Simplify"). Du får: #9: Opgave 4 For en cylinder gælder at "begrænsningsarealet" (arealet af bund og sider) er givet ved: #10: d A = ¹ d + h 2 ƒ Beregn cylinderens højde h, når arealet er 62.4 cm2 og diameteren d, er 2.15 cm. Metode: 1. Indskriv #10. ¹ skrives som PI eller CTRL+P 2. Marker #10 og vælg "SUB" knappen ("Variable Substitution"). I dialogboksen indtaster du værdierne for A og d. Brug punktum (og ikke komma) som decimaltegn. 3. Tryk på "OK" og du får #11: = ¹ h 2 ƒ 4. Marker #11 og tryk på SOLVE-knappen og tryk igen på SOLVE i dialogboksen. Du får: #12: 2.15 SOLVE 62.4 = ¹ h, h, Real 2 ƒ ƒ 3

4 [PJ] (01) Introkursus.dfw #13: ¹ h = 1720 ¹ 5. Marker #13 og tryk på krøllede lighedstegn ("Approximate"). Du får #14: h = Opgave 5 En ny bil har værdien kr. Efter 1 år er værdien nedskrevet med 15%. Tegn grafen og beregn bilens værdi efter 5 år hvis værdien aftager: a) lineært med tiden b) eksponentielt med tiden c) Lav en tabel som viser den eksponentielle værdinedskrivning over fem år. Metode: 1. Indskriv det lineære udtryk som en funktionen f: #15: f(x) := x Læg mærke til at vi her bruger :=. Der er altså to slags lighedstegn i Derive ( = og := ) Med := fastlægger vi f(x) til at være dette regneudtryk i resten af Derive-dokumentet. I #14 brugte vi formen h=. Skrevet på denne form husker Derive ikke at h har denne værdi. Så hvis du bruger h igen, vil h ikke have værdien Vi indskriver det eksponentielle udtryk som en funktion g: #16: x g(x) := Udregn f(5) ved at skrive "f(5)=" (uden anførselstegn) i indskrivningslinien og trykke RETUR. Udregn g(5) på samme måde. Du får: #17: f(5) = #18: g(5) = Marker højre side i #18 ved at klikke 2 gange på højresiden (Læg mærke til denne teknik - man kan vælge alle dele i en tidligere linje ved at klikke et antal gange på den del man ønsker. Jo flere gange man klikker, des mindre udsnit af udtrykket får man valgt.) Tryk på krøllede lighedstegn, og du får: #19: 4 g(5) = Marker #15 og gå til PLOT vinduet og tryk F4. 5. Tryk på CTRL-R og lav om på akserne [-2, 16]x[-50000,250000] med henholdsvis 9 og 5 inddelinger, så du får følgende koordinatsystem frem: 6. Tryk CTRL+B for at lægge tegningen over på ALGEBRA siden. 4

5 [PJ] (01) Introkursus.dfw 7. Marker #16 og tegn denne graf i det samme koordinatsystem som før. 8. Tryk CTRL+U. Det opdaterer din tegning i ALGEBRA vinduet. 9. Nu skal vi lave tabellen. Marker venstre side i #16 (klik 2 gange på højre side). 10. Vælg "Calculus"..."Table" og fyld dialogruderne ud med: x, 0, 5, 1. Tryk på "Approximate". #20: x TABLE( , x, 0, 5, 1) #21: Her ses tabellen over værdien af bilen i de første 5 år Du har nu prøvet nogle af de helt grundlæggende teknikker i Derive. Prøv at svare på følgende: Hvad bevirker et tryk på F2 i algebravinduet? Hvilken forskel er der i anvendelsen af de to lighedstegn = og :=? Hvilken virkning har : F4, CTRL-B, CTRL-U og CTRL-R i PLOTvinduet? Hvilke funktioner har de fire første knapper vist her under? Hvilken funktion har følgende knapper i PLOT-vinduet? 5

6 [PJ] (02) Opsætning og almindelige teknikker.dfw Opsætning og almindelige teknikker (1) Hjælp! Der er hjælp at hente, hvis man trykker på F1. Man kan i Indeks skrive bestemte ord/kommandoer/funktioner osv., som man gerne vil læse noget om. (2) Hvis skærmen fryser, de to ikoner ovenfor er blevet grå og man ikke kan komme nogen vegne. Slet teksten i indskrivningslinien og tryk ESC. (3) Man kan flytte de matematiske linier (også flere ad gangen) og de renummereres automatisk. Marker linien og tag fat i det blå felt, flyt med museknappen nedtrykket. En sort linie markerer hvortil man flytter linien. Marker flere linjer ved at holde SHIFT nede. Man kan vælge linier, der ikke kommer lige efter hinanden, ved at holde CTRL nede. Derefter kan de flyttes samtidig. (4) Man kan slette et tekstfelt Klik til venstre for tekstfeltet og tryk Delete eller klik inde i feltet, tryk ESC og derefter Delete. (5) Man kan flytte et tekstfelt Klik til venstre for tekstfeltet eller klik inde i feltet, tryk ESC og klik derefter inde i tekstfeltet og hold museknappen nede flyt feltet. (6) Man kan rette i en matematisk linje Dobbeltklik mellem linjenummeret og selve det matematiske udtryk. Nu kan linien rettes. Tryk RETUR til sidst og det nye udtryk overskriver det gamle. Eller man kan markere en linje og trykke RETUR. Derefter kan linjen rettes. Tryk RETUR igen og den gamle linje overskrives. (7) Man kan skrive tekst med anden skrifttype. Vælg: Window>View toolbars>formatting toolbar. Herfra kan man vælge skrifttype på sædvanlig vis. Eller vælg: Options>Display>Font of new text objects, så vil alle følgende tekstfelter være i det nye format. (8) Teksten i de matematiske udtryk kan gøres tydeligere (er allerede instillet på jeres maskiner) Ved udprintning står de matematiske udtryk lidt tyndt i skriften. Skriften kan med fordel gøres BOLD og i størrelse 8. Options>Printing>Expression layout>bold og størrelse 8 (9) Tastaturgenveje Det bliver lettere at bruge Derive, hvis man efterhånden lærer sig tastaturgenvejene. De følgende er f.eks. gode at kende: Hvis algebra-vinduet er aktivt: F2: Gå til linjen, hvor man indskriver et matematisk udtryk. F3: Det valgte matematiske udtryk kopieres til inputlinien for matematiske udtryk. F4: Det valgte matematiske udtryk kopieres til inputlinien med parenteser omkring. F5: Indsætter et tekstfelt efter det felt der i øjeblikket er valgt. CTRL-W: Frembringer en menu, så man kan erstatte bogstaver med tal i det valgte udtryk. CTRL-SHIFT-V: Opdeler vinduet, så man samtidig kan se algebra- og PLOT-vindue. Det aktive vindue sættes til venstre. Træk evt. i rammen til algebravinduet for at gøre det større. Hvis indkrivningslinien er aktiv: CTRL-E: Giver e (grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion) skrives som ê CTRL-Q: Giver kvadratrodstegnet. CTRL-P: Giver tegnet PI Hvis PLOT vinduet er aktivt: F4: Tegn den valgte funktion F12: Lav et tekstfelt på tegningen, så man kan skrive en kommentar. CTRL-E: Lav en kopi af PLOT-siden på algebrasiden (embed) CTRL-U: Opdater (update) figuren på algebrasiden CTRL-R: Ret enheder på x- og y-akse (plot range) 6

7 [PJ] (02) Opsætning og almindelige teknikker.dfw (10) Grafvinduet og algebravindue Man kan ændre størrelserne på algebra- og PLOT-vinduet. Vælg: Window>Tile vertically. Træk i rammekanten for at ændre algebravinduets og grafvinduets størrelse. Fx vil en sådan opsætning gøre det let at muse-klikke fra det ene vindue til det andet. Samtidig er PLOT-vinduet gjort kvadratisk (Set>Aspect ratio>312:312), som giver nogle pænere grafer og især pænere cirkler. (11) Flytte cursoren hurtigt i tekstfelter og i indskrivningsfeltet og markere en hel linie. Man kan hurtigt flytte cursoren helt hen foran på en linie eller helt hen bagved en linie i tekstfelter eller i det matematiske indskrivningsfelt ved at trykke på FN (nederst til venstre på tastaturet) og henholdsvis piletasterne <- og ->. HOME og END virker på samme måde. (12) Markere en hel linie i indskrivningsfeltet. Hvis man både trykker SHIFT og FN ned sammen med <- og ->, markeres hele linien. SHIFT HOME og SHIFT END virker på samme måde. (13) Opskrivning af specielle udtryk Det kan i Derive være svært at bruge samme skrivemåde som i bøgerne. Hvis man fx vil angive værdimængden med den sædvanlige notation, Vm(f)=, fås følgende: Problemet opstår fordi Vm ikke er defineret som funktion og Derive opfatter det derfor som to tal, der skal ganges sammen. Man kan på en enkel måde komme ud over dette problem ved at skrive: "Vm(f)"= [1,2]. Man sætter altså anførselstegn omkring: Med lidt kreativ brug af denne mulighed kan man opbygge komplicerede udtryk, som kan accepteres af Derive. Man kan kombinere matematisk skrivemåde med denne form for tekstskrivning, så man kan fx få skrevet: som er indskrevet på følgende måde: "P(A B)"="P(A B)" / "P(B)" (14) Dfw.ini (Ekspertråd - spørg hellere læreren først, hvis du vil ændre på indstillinger) I filen Dfw.ini gemmes alle indstillinger, man laver i Derive, som fx om programmet starter i grader eller radianer, hvilken farve graferne skal tegnes med o.s.v. Denne vigtige fil ligger i mappen C:Programmer>Dfw5, hvor også selve programfilen for Derive ligger. Derive kommer med en bestemt indstilling, som ikke er helt velegnet til vores opgaveløsning, så når du får din maskine har læreren allerede lagt en Dfw.ini fil i den mappe, så hele klassen starter op med de samme indstillinger. Dfw.ini er gjort skrivebeskyttet, så du starter op med samme indstillinger hver gang. Du starter fx altid i radianer, men kan slå om til grader. Når du åbner et nyt dokument vil du igen være tilbage i radianer. Vi har samme indstillinger i hele klassen, så hvis du mister filen skal du hente en ny på skolens netværk i klassens mappe. Det er praktisk at dit navn altid udskrives som sidehoved på dine dokumenter. Det skal du rette på følgende måde: 1. Find filen Dfw.ini i Stifinder 2. Højreklik på filen og vælg Egenskaber. Afcheck Skrivebeskyttet. 3. Åben Derive - den ligger i samme mappe. 4. Vælg Options>Printing>Header and footer 5. I Header/Left skriver du dit navn efterfulgt af: &f 6. Luk Derive og sæt igen Dfw.ini til Skrivebeskyttet 7

8 [PJ] (03) Matematiske teknikker.dfw Matematiske teknikker (1) Hvordan angives resultater i opgaver? Man kan ikke sætte to streger under resultater, som vi plejer. Vi må derfor finde nye måder at markere resultaterne i forhold til anden tekst. Hvis resultatet kan angives med tekst, skrives resultatet på følgende måde med fed skrift, fx: Svar: Temperaturen er 34.9 ºC kl. 12:30 Hvis resultatet bedre kan angives i en matematisk linie, fx ved brøker, skrives resultatet på følgende måde: Svar: Tangentens ligning er nu givet ved (se #1): (2) Variabelnavne PAS PÅ! Du skal passe meget på ikke at bruge de samme variabelnavne til forskellige ting. Hvis du fx har defineret en funktion som V(x):=... og senere vil bruge variabelnavnet V til at beskrive et volumen fx V = 2x³, så går det galt! Derive kan ikke finde ud af de to forskellige betydninger. Du kan altid se hvilken betydning Derive arbejder med ved fx at skrive V= eller V(x)= i kommandolinjen - og trykke retur. Husk at du kan af-erklære en variabel med ordren V(x):=, se næste tip (3) Tømme en variabel for værdi, så den kan bruges igen. Hvis man har tildelt en variabel en værdi, f.eks. a:=5, så husker Derive tildelingen, selvom linien senere slettes. Man kan nulstille variablen, så den kan bruges igen som tildelt eller utildelt variable, ved at skrive: (4) Brug SUB (substitution) til at indsætte konkrete værdier i stedet for bogstaver i formler og udtryk. Skriv f.eks. udtrykket: Marker udtrykket og tryk på SUB-knappen og erstat f.eks. A med 2 og B med (5) Skifte mellem radianer og grader Gå ind i menuen Declare>Simplification Settings>Angular unit>radianer/degrees (6) Logaritmer Titalslogaritmen til f.eks. 120 skrives som: LOG(120,10) Den naturlige logaritme til f.eks. 120 skrives som: LN(120) eller LOG(120) Pas på! LOG(12) tager den naturlige logaritme af (7) Hvordan tager man den n'te rod af et tal? Der findes både et symbol, en forkortelse for kvadratroden og en genvej( 4 eller SQRT(4) of CTRL+Q). Alle andre rødder udregnes som x^(1/n), idet der gælder at den n'te rod af x er lig med x^(1/n) (se videre i MAT1 side 73..) (8) Numerisk værdi (absolut værdi) Der findes både et symbol og en indbygget funktion for numerisk værdi, så x = ABS(x). De lodrette streger fås ved at trykke Alt Gr + (lige til venstre for slet tilbage tasten) (9) Numerisk løsning af ligninger Hvis Derive ikke kan finde alle de rødder, du søger, kan du lave en numerisk SOLVE. Du skal så blot angive to tal, som roden skal ligge imellem. Syntaksen ser fx sådan ud, hvis du vil finde en rod for funktionen f mellem 1 og 8

9 [PJ] (03) Matematiske teknikker.dfw : Man kan også bruge SOLVE-knappen og vælge Solution method: Numerically Solution domain: Bounds/Upper:3/Lower:1 Man kan derimod ikke finde eksakte løsninger som ligger mellem to angivne tal (10) Brugen af SOLVE til at finde skæringspunkter Man kan finde både x- og y-koordinat til skæringspunkter ved at benytte SOLVE på denne måde: (11) Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx 2/3 får du og ikke Du kan altså ikke stole på det sidste ciffer. Du må derfor selv lave en rigtig fortolkning, hvis du skal angive resultatet med et bestemt antal cifre (12) Opsætning af udregninger Man får ofte den flotteste opstilling i udregninger, hvis man tilføjer et lighedstegn i indskrivningslinien efter selve udtrykket, der skal udregnes, fx: [2, f(2)] = Derive svarer så i algebra-vinduet med et [2, f(2)] = [2, 34] Hvis højresiden ovenfor er i eksakte værdier og man gerne vil have tilnærmede decimalbrøker bruges teknikken at markere højresiden (og kun højresiden) i ligningen og derefter klikke på det krøllede lighedstegn. Man får så fx svaret: [2, f(2)] = [2, ] (13) mth-filer (Ekspertråd) Hvis man har en række gode funktioner (fx inden for vektorregning), som man gerne vil genbruge i andre opgaver, kan dette gøres ved at lave en mth-fil. Lav en almindelig Derive algebra-side med alle dine definitioner og gem denne fil som.mth fil. Der kan kunne skrives matematiske linier og ikke tekstfelter. Hvis du gerne vil have tekst ind i dokumentet skal teksten indskrives i matematiske linier: #1 Denne funktion definerer tværvektoren til a #2 hat(a):=[-a2, a1] Åben nu et nyt Derive dokument og vælg File>Load >Math File>...filnavn.mth. Nu hentes definitionerne ind i det aktuelle dokument og kan bruges i dette. 9

10 [PJ] (04) Graftegning.dfw Om tegning af grafer Tegn grafen i et PLOT vinduet. De følgende indstilliger er allerede lavet i den Derive du får udleveret. Så du kan springe over den følgende kantede parantes og gå til punkt 3/: [Lav nu følgende indstillinger til grafvinduet (PLOT vinduet skal være aktivt). D 1/ Options/Display/Grids.../Lines... og dernæst Color/Vælg fx lys grå. Denne indstilling giver et fint, diskret net som baggrund for grafen. Det letter aflæsninger på grafen. 2/ Set/Aspect ratio...(ctrl-a), Horizontal: 312, Vertical: Giver et kvadratisk vindue, som især kommer til sin ret ved tegning af cirkler, som med denne indstilling kommer til at ligne cirkler.] 3/ CTRL-R, -5.5, 5.5, 11 og igen -5.5, 5.5., Giver inddelingerne på x- og y-aksen. Når først indstillingerne er lavet og for at bevare akseinddelingerne som pæne tal, er det smart nu at bruge de forskellige zoom-knapper, der er over 2D tegningen (gengivet nedenfor) - læg dog mærke til at knappen Set range with box ikke bevarer enhederne på en pæn måde. Så lad være med at bruge den. Tegningen skal nu se sådan her ud. Leg med alle knapperne, så du fornemmer, hvad der sker, når du trykker på de enkelte knapper (hvis du peger lidt på knappen med cursorpilen, kommer der en forklaring på, hvad knappen kan). Læg specielt mærke til knappen: Center on cross. Man peger på det sted på tegningen, man vil have til at ligge i midten. Dernæst klikkes på knappen, og koordinatsytemet flyttes. Den funktion er god, hvis man har brug for at få tegnet et asymmetrisk koordinatsystem. Prøv at at klikke på (3,0) i koordinatsystemet og trykke på Center on cross. Nu skulle du gerne få følgende tegning: 10

11 [PJ] (04) Graftegning.dfw Hvis din tegning efterhånden bliver helt skæv og fortegnet kan du retablere den oprindelige tegning ved at lukke for 2D-vinduet og dobbeltklikke på en af de tidligere udgaver, som du har kopieret over i algebravinduet. Husk derfor altid at lave en CTRL-B (Embed) inden du begynder at lave store ændringer på en tegning af en graf. Tegn nu linierne: Nu ser tegningen ud som vist nedenfor: Læg mærke til at du kan slette alle tre linier igen ved at trykke på Delete (3 gange), som fjerner elementer på tegningen i de omvendt rækkefølge - den sidst tegnede bliver den første der slettes. Du kan således altid tilføje linier til tegninger for at kontrollere om det er den rigtige tangent, rod osv. du har fundet. Du kan altid slette overflødige linier og grafer igen med Delete, eller retablere den gamle tegning ved at lukke for PLOT-vinduet og genåbne den gamle tegning ved at dobbeltklikke på kopien i algebra-vinduet. 11

12 [PJ] (05) PLOT vinduet.dfw PLOT vinduet (1)Tastaturgenveje Det bliver lettere at bruge Derive, hvis man efterhånden lærer sig tastaturgenvejene. De følgende er f.eks. gode at kende hvis PLOT vinduet er aktivt: F4: Tegn den valgte funktion F12: Lav et tekstfelt på tegningen, så man kan skrive en kommentar. CTRL-E: Lav en kopi af PLOT-siden på algebrasiden (embed) CTRL-U: Opdater (update) figuren på algebrasiden CTRL-R: Ret enheder på x- og y-akse (plot range) Ved at højreklikke i PLOT vinduet kommer en dialogboks, hvor man kan stille på mange parametre. (2) Fjerne elementer fra PLOT vinduet Man kan fjerne den sidste tilføjelse i PLOT vinduet (fx graf, linie osv.) ved at trykke på DELETE. Ved gentagne tryk på DELETE kan også tidligere elementer fjernes. (3) Man kan lave en x-akse med -inddelinger Ved trigonometriske opgaver kan det være en fordel af have akseinddelinger med PI. Gør sådan: Med PLOT vinduet aktivt vælg Options>Display>Axes>Horizontal Scale Factor>pi Vælg derefter Set>Plot Region>Horizontal lenght>4pi og 8 intervals. eller Set>Plot range og vælg fx 2pi...2pi, 8 intervaller. (4) Man kan tilføje kommentarer på sine figurer. Når PLOT vinduet er aktivt kan man markere et sted på tegningen med et venstreklik med musen. Tryk derefter på F12 og der åbnes en dialog, hvor man kan skrive sin tekst. Vælg evt. ARIAL som skrift (se teksten i tegningen ovenfor), da default-skriften ikke er køn. (5) Man kan tegne figurer (fx trekanter, liniestykker, vektorer) i PLOT vinduet. Efter at have defineret punkterne i trekanten som fx A:=[2,1] osv. kan man tegne trekanten ABC ved at skrive [A,B,C,A] i ALGEBRA vinduet og med dette udtryk markeret gå over i PLOT vinduet. Her skal gå ind i: Options>Display>Points>Connected Nu kan du trykke på F4 og trekanten tegnes. Eller man kan skrive trekantens koordinater direkte som [[1,2],[3,5],[7,3],[1,2]] og derefter tegne figuren. Liniestykker/vektorer skrives og tegnes ved hjælp af koordinaterne fx [[1,2],[5,4]]. (6) Man kan ændre farverne på graferne (er indstillet til sort) Hvis man gerne vil have alle grafer til at være sorte gøres følgende: Gør PLOT-vinduet aktivt. Vælg Options>Display>Plot color>next color> Vælg f.eks. sort farve Vælg igen Options og aftjek Change Plot Color. Hvis du kun ønsker at graferne er sorte i udskriften -og det kan kun anbefales på det varmeste - gøres følgende: Gør PLOT-vinduet aktivt. Vælg: Options>Printing>Black and White only. 12

13 [PJ] (05) PLOT vinduet.dfw (7) Man kan fjerne det kryds, der vises på graferne (er indstillet til ikke at være synligt) Vælg: Options>Display>Cross>Off Man kan selv med slukket kryds klikke et sted på tegningen og sætte et usynligt kryds til brug sammen med fx zoom-knapperne og til at placere tekst på bestemte steder (F12) på tegningen. (8) Man kan få indtegnet et diskret net på 2D-graferne (er indstillet til at vise lysegråt net) Vælg: Options>Display>Grids >Lines og vælg f.eks. en lys grå farve. 13

14 [PJ] (06) Funktioner - familier, etc (1-11).dfw Funktioner familier, gaffelfunktioner og udsnit af grafer (Mat1, kap.11) (1) Man kan tegne en familie af funktioner med bestemte parameterværdier, sådan: Først står funktionen, så parameteren a og til sidst værdierne som a skal antage. Markér sidste linie og tegn derefter de tre grafer i PLOT-vinduet. (2) Man kan tegne en familie af funktioner med parameterstart, parameterslut og spring Først står funktionen, så parameteren b, så startværdi for b, slutværdi og spring. Resultatet bliver følgende vektor, som kan tegnes som tre grafer. (3) Familier af funktioner kan også angives som: (4) Hvordan tegnes et udsnit af en graf? Skriv: g(x) := IF(0<x<10, x^2) og Derive svarer med at skrive: I plot vinduet kan grafen nu tegnes på normal vis. Den tegnes dog kun mellem 0 og 10. (5) Hvordan tegnes en gaffelfunktion (1)? Skriv: g(x) := IF(x<0, x, x^2) Hvis x<0 tegnes g(x)=x ellers tegnes g(x)=x^2. Den generelle form for IF-udtryk er IF (test, så, ellers, ukendt) hvor ellers og ukendt kan udelades (Læs evt. mere i Derives HELP (F1>Indeks>IF)) Der kan også dannes mere komplicerede funktioner, fx: Hvis x<1 tegnes f(x)=x, mellem 1 og 5 tegnes f(x)=x^2, ellers tegnes f(x)=-2x 14

15 [PJ] (06) Funktioner - familier, etc (1-11).dfw (6) Hvordan tegnes en gaffelfunktion (2)? Man kan også bruge vektorformen: Hvis gaffelfunktionen kun består af to funktioner, skal man, hvis den skrives på denne vektorform, tilføje en tredje tom funktion (her 0), ellers vil Derive opfatte vektoren som en parameterfunktion: [ IF(x>1, x), IF(x<1, 2x), 0] 15

16 [PJ] (07) Trigonometriske ligninger (1-12).dfw Løsning af trigonometriske ligninger (Mat1, kap.12) Vi skal finde alle løsninger mellem 0 og 2 for følgende ligning. Husk evt. først at skifte til radianer! De to løsninger mellem 0 og 2 kan umiddelbart aflæses. Læg mærke til at Derive giver tre løsninger og at der netop er en periode (her T=2 /1=2 ) mellem de "yderste" løsninger - her første og anden x-værdi Det er mere kompliceret med den følgende ligning. Vi skal finde alle løsninger mellem 0 og : Vi vil starte med at få et grafisk indtryk af ligningen. Markér venstre side i #5 og tegn grafen i et PLOT vindue. Markér højre side i #5 og tegn linien i samme grafiske vindue. Vi kan se, at vi skal finde 4 løsninger mellem 0 og. Til denne form for løsning er det bedst at have almindelige tal på x-aksen (og ikke -inddeling). Marker hele linien (#5) og lav en SOLVE, algebraically. 16

17 [PJ] (07) Trigonometriske ligninger (1-12).dfw Få udregnet værdierne som decimalbrøker. Læg mærke til at Derive igen giver tre løsninger, og der er en periode (T=2 /3) mellem de "yderste" løsninger - her de to første x-værdier. Dette kan vi udnytte til at finde alle fire løsninger. Nu kan vi identificere løsningerne på vores tegning. Markér løsningerne enkeltvis (husk at markere "x=" også) og tegn dem enkeltvis, som lodrette linier. Det er måske ikke strengt nødvendigt i dette tilfælde at identificere løsningerne på denne måde, men metoden er god til at identificere eksakte løsninger - hvor man ikke lige kan aflæse talværdien - eller til at identificere løsninger når man har en -inddeling på x-aksen, så gør dig bare fortrolig med den! Nu skulle PLOT billedet gerne ligne tegningen neden for: Man kan se, at der er yderligere to løsninger, som Derive ikke umiddelbart har givet. Den ene ligger mellem 2 og 2.5. Den anden mellem 3 og 3.5. De ligger begge en periode længere fremme i forhold til to af de løsninger, vi har. Disse to løsninger udregnes nu, idet vi bruger kendskabet til svingningstiden: Vi får: De to næste løsninger er derfor: Check evt. grafisk (ved at tegne lodrette linier som ovenfor), at vi har fundet de rigtige løsninger. De lodrette linier kan til slut slettes ved at trykke flere gange på Delete. Svar: De fire løsninger er derfor: 17

18 [PJ] (08) Man kender to punkter(1-13).dfw Find forskriften ud fra to punkter (Mat1, kap.10+13) Disse to punkter er givet: (1) Lineære funktioner De to punkter indsættes: (2) Eksponentielle udviklinger De to punkter indsættes: (3) Funktioner proportionale med potensfunktioner Vi opskriver de to udtryk: Og dividerer de to ligninger med hinanden og bruger SOLVE til at finde a: Denne skrivemåde er ikke helt smuk. Man vil foretrække denne: 18

19 [PJ] (08) Man kender to punkter(1-13).dfw Derefter kan man finde b ved indsættelse i enten #14 eller #15: Neden for er de tre løsninger indtegnet sammen med de to punkter de skal gå igennem: 19

20 [PJ] (09) Udvidet FIT.dfw At 'fitte' til en vilkårlig funktion I forrige afsnit så vi, hvordan man kan finde forskriften ud fra to punkter. Man kan faktisk bruge Derives FITfunktion til en del mere. Man kan fitte til en række vilkårlige funktioner. I matematik bruger vi det ikke meget, men i kan måske bruge det i fysik eller kemi. Vi har i #2 bedt Derive om at udregne funktionsværdier for f. Vi skal se om vi kan 'gendanne' forskriften for f(x) ud fra disse data: Det gik fint!. Syntaksen I #4 er: FIT([variabel, den funktion man skal fitte til med parametrene a og b], de data der skal bruges til fit'ningen) Vi skal se om vi kan 'gendanne' 4. gradspolynomiet ud fra disse data: Det gik også fint! I matematikopgaver kunne man måske få brug for følgende: Vi har et andengradspolynomium, der går gennem punkterne: Man finder altså let forskriften. 20

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Kogebog til Maple 18

Kogebog til Maple 18 Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1 side 1 Hvis man vil lave en opsætning af rejsebeskrivelse og billeder, kan man også gøre det i DRAW. Denne vejledning vil vise hvordan man indsætter hjælpelinjer så man laver en pæn opstilling med billede

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Om tastaturgenveje i Noter

Om tastaturgenveje i Noter Om tastaturgenveje i Noter Lad os starte med at præcisere, hvad det er vi har I tankerne: Tastaturgenveje er genveje til at frembringe særlige symboler, særlige skabeloner, særlig layout og særlige handlinger

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Vejledning til udskrivning af etiketter/labels og konvolutter i Blåt Medlem

Vejledning til udskrivning af etiketter/labels og konvolutter i Blåt Medlem Vejledning til udskrivning af etiketter/labels og konvolutter i Blåt Medlem Blåt Medlem giver mulighed for at udskrive etiketter/labels og kuverter til medlemmerne af den enhed man er medlemsansvarlig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING... Indledning KAPITEL ET... Kom videre med Excel Flyt markering efter Enter... 8 Undgå redigering direkte i cellen... 9 Markering ved hjælp af tastaturet... 10 Gå til en

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere