Derive 5.06 vejledninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Derive 5.06 vejledninger"

Transkript

1 Derive 5.06 vejledninger Indholdsfortegnelse til vejledninger version 6 (Skrivemåden (1-11) henviser til Carstensen og Frandsen: Mat 1, kapitel 11) Generelt (01) Introkursus... 2 (02) Opsætning og almindelige teknikker... 6 (03) Matematiske teknikker... 8 (04) Om tegning af grafer (05) PLOT vinduet g (06) Funktioner familier, gaffelfunktioner og udsnit af grafer...(1-11) (07) Trigonometriske ligninger...(1-12) (08) Find forskriften ud fra to punkter... (1-10/13) (09) At fitte til en vilkårlig funktion (10) Funktionspapirer enkeltlogaritmisk og dobbeltlogaritmisk...(1-15) (11) Regression...(1-16) g (12) Differentialkvotient...(2A-2) (13) Polynomiers division...(2a-5) (14) Asymptoter...(2A-6) (15) Monotoniundersøgelse...(2A-8) (16) Værdimængdebestemmelse...(2A-8) (17) Newton-Raphsons nulpunktsbestemmelse...(2a-10) (18) Integralregning... (2A-12/13) (19) Vektorer 1...(2A-15) (20) Vektorer 2...(2A-16) g (21) Differentialligninger...(3A-1) (22) Huskeliste til metoden separation af de variable...(3a-1) (23) Differentialligninger linjeelementer og Runge-Kutta...(3A-1) (24) Sammenligning af numeriske metoder (25) Parameterkurver...(3A-2) (26) Rumgeometri 1...(3A-3) (27) Rumgeometri 2...(3A-4) (28) Afstandsformler i rummet...(3a-4) (29) Kuglen...(3A-4) (30) Kombinatorik...(3A-7) (31) Stokastisk variabel...(3a-8) (32) Hypergeometrisk fordeling...(3a-9) (33) Binomialfordeling...(3A-10) (34) Normalfordelingen...(3A-11) (35) Normalfordelingspapir...(3A-11) Ver. 5.0: Ændrede kapitler 21, 22, 23, 24 26, 27 Ver. 6.0: Ændrede kapitler 1, 21, 22, 29, 35

2 [PJ] (01) Introkursus.dfw Introkursus til Derive De følgende sider viser nogle indledende eksempler på anvendelser af Derive. De viser nogle af de mange forskellige opgavetyper, der kan løses ved hjælp af Derive. Der introduceres en række teknikker og tastaturgenveje, og det er vigtigt, at du lægger mærke til dem. Derive bliver først rigtigt let at bruge, når man er fortrolig med dem. Når du åbner Derive er der en række ikoner/knapper øverst i billedet. Vi skal bruge flere af dem i disse opgaver. Du kan se hvilke funktioner knapperne har ved i Derive at holde markøren over knappen et lille stykke tid. Opgave 1 Løs ligningen #1: 5 x + 12 = 2 (15-3 x) Metode: 1. Tryk F2 (eller klik med musen i feltet for neden) og indskriv ligningen i indskrivningsfeltet. Du kan angive gangetegn ved bare at lave et mellemrum. Tryk RETUR. 2. Marker linien og tryk på SOLVE EXPRESSION-knappen (Forstørrelsesglas med lighedstegn) 3. Vælg "Algebraically" og "Real" og tryk på SOLVE. Du får nu: #2: SOLVE(5 x + 12 = 2 (15-3 x), x, Real) #3: 18 x = 11 Marker #3 og tryk på knappen med det krøllede lighedstegn (Approximate). Du får: #4: x = Opgave 2 Tegn graferne for funktionerne med følgende ligninger: #5: y = 2 x + 3 #6: 2 x - 3 y - 1 = 0 Metode: 1. Indskriv de to linier #5 og #6 som vist i opgave Marker #5 ved at klikke på den og tryk på PLOT-knappen ("2D-plot window") 3. Tryk på F4 4. Gentag proceduren for ligningen i #6. 5. Tryk på CTRL+B så tegningen sættes ind i dit dokument som vist nedenfor: 2

3 [PJ] (01) Introkursus.dfw 6. Bliv i PLOT vinduet og leg med zoom-knapperne: Opgave 3 Skriv følgende udtryk som potens: #7: Metode: 1. Indskriv udtrykket i #7 på denne måde: 5 5^3 5^0/(5^-3 5^4) 2. Marker udtrykket i #7 og vælg i menulinjen "Simplify" og derefter "Factor" og tryk derefter på knappen "Factor": #8: Det var resultatet. Man kan få det omskrevet til et 'normalt' tal. Marker #8 og tryk på knappen med lighedstegn ("Simplify"). Du får: #9: Opgave 4 For en cylinder gælder at "begrænsningsarealet" (arealet af bund og sider) er givet ved: #10: d A = ¹ d + h 2 ƒ Beregn cylinderens højde h, når arealet er 62.4 cm2 og diameteren d, er 2.15 cm. Metode: 1. Indskriv #10. ¹ skrives som PI eller CTRL+P 2. Marker #10 og vælg "SUB" knappen ("Variable Substitution"). I dialogboksen indtaster du værdierne for A og d. Brug punktum (og ikke komma) som decimaltegn. 3. Tryk på "OK" og du får #11: = ¹ h 2 ƒ 4. Marker #11 og tryk på SOLVE-knappen og tryk igen på SOLVE i dialogboksen. Du får: #12: 2.15 SOLVE 62.4 = ¹ h, h, Real 2 ƒ ƒ 3

4 [PJ] (01) Introkursus.dfw #13: ¹ h = 1720 ¹ 5. Marker #13 og tryk på krøllede lighedstegn ("Approximate"). Du får #14: h = Opgave 5 En ny bil har værdien kr. Efter 1 år er værdien nedskrevet med 15%. Tegn grafen og beregn bilens værdi efter 5 år hvis værdien aftager: a) lineært med tiden b) eksponentielt med tiden c) Lav en tabel som viser den eksponentielle værdinedskrivning over fem år. Metode: 1. Indskriv det lineære udtryk som en funktionen f: #15: f(x) := x Læg mærke til at vi her bruger :=. Der er altså to slags lighedstegn i Derive ( = og := ) Med := fastlægger vi f(x) til at være dette regneudtryk i resten af Derive-dokumentet. I #14 brugte vi formen h=. Skrevet på denne form husker Derive ikke at h har denne værdi. Så hvis du bruger h igen, vil h ikke have værdien Vi indskriver det eksponentielle udtryk som en funktion g: #16: x g(x) := Udregn f(5) ved at skrive "f(5)=" (uden anførselstegn) i indskrivningslinien og trykke RETUR. Udregn g(5) på samme måde. Du får: #17: f(5) = #18: g(5) = Marker højre side i #18 ved at klikke 2 gange på højresiden (Læg mærke til denne teknik - man kan vælge alle dele i en tidligere linje ved at klikke et antal gange på den del man ønsker. Jo flere gange man klikker, des mindre udsnit af udtrykket får man valgt.) Tryk på krøllede lighedstegn, og du får: #19: 4 g(5) = Marker #15 og gå til PLOT vinduet og tryk F4. 5. Tryk på CTRL-R og lav om på akserne [-2, 16]x[-50000,250000] med henholdsvis 9 og 5 inddelinger, så du får følgende koordinatsystem frem: 6. Tryk CTRL+B for at lægge tegningen over på ALGEBRA siden. 4

5 [PJ] (01) Introkursus.dfw 7. Marker #16 og tegn denne graf i det samme koordinatsystem som før. 8. Tryk CTRL+U. Det opdaterer din tegning i ALGEBRA vinduet. 9. Nu skal vi lave tabellen. Marker venstre side i #16 (klik 2 gange på højre side). 10. Vælg "Calculus"..."Table" og fyld dialogruderne ud med: x, 0, 5, 1. Tryk på "Approximate". #20: x TABLE( , x, 0, 5, 1) #21: Her ses tabellen over værdien af bilen i de første 5 år Du har nu prøvet nogle af de helt grundlæggende teknikker i Derive. Prøv at svare på følgende: Hvad bevirker et tryk på F2 i algebravinduet? Hvilken forskel er der i anvendelsen af de to lighedstegn = og :=? Hvilken virkning har : F4, CTRL-B, CTRL-U og CTRL-R i PLOTvinduet? Hvilke funktioner har de fire første knapper vist her under? Hvilken funktion har følgende knapper i PLOT-vinduet? 5

6 [PJ] (02) Opsætning og almindelige teknikker.dfw Opsætning og almindelige teknikker (1) Hjælp! Der er hjælp at hente, hvis man trykker på F1. Man kan i Indeks skrive bestemte ord/kommandoer/funktioner osv., som man gerne vil læse noget om. (2) Hvis skærmen fryser, de to ikoner ovenfor er blevet grå og man ikke kan komme nogen vegne. Slet teksten i indskrivningslinien og tryk ESC. (3) Man kan flytte de matematiske linier (også flere ad gangen) og de renummereres automatisk. Marker linien og tag fat i det blå felt, flyt med museknappen nedtrykket. En sort linie markerer hvortil man flytter linien. Marker flere linjer ved at holde SHIFT nede. Man kan vælge linier, der ikke kommer lige efter hinanden, ved at holde CTRL nede. Derefter kan de flyttes samtidig. (4) Man kan slette et tekstfelt Klik til venstre for tekstfeltet og tryk Delete eller klik inde i feltet, tryk ESC og derefter Delete. (5) Man kan flytte et tekstfelt Klik til venstre for tekstfeltet eller klik inde i feltet, tryk ESC og klik derefter inde i tekstfeltet og hold museknappen nede flyt feltet. (6) Man kan rette i en matematisk linje Dobbeltklik mellem linjenummeret og selve det matematiske udtryk. Nu kan linien rettes. Tryk RETUR til sidst og det nye udtryk overskriver det gamle. Eller man kan markere en linje og trykke RETUR. Derefter kan linjen rettes. Tryk RETUR igen og den gamle linje overskrives. (7) Man kan skrive tekst med anden skrifttype. Vælg: Window>View toolbars>formatting toolbar. Herfra kan man vælge skrifttype på sædvanlig vis. Eller vælg: Options>Display>Font of new text objects, så vil alle følgende tekstfelter være i det nye format. (8) Teksten i de matematiske udtryk kan gøres tydeligere (er allerede instillet på jeres maskiner) Ved udprintning står de matematiske udtryk lidt tyndt i skriften. Skriften kan med fordel gøres BOLD og i størrelse 8. Options>Printing>Expression layout>bold og størrelse 8 (9) Tastaturgenveje Det bliver lettere at bruge Derive, hvis man efterhånden lærer sig tastaturgenvejene. De følgende er f.eks. gode at kende: Hvis algebra-vinduet er aktivt: F2: Gå til linjen, hvor man indskriver et matematisk udtryk. F3: Det valgte matematiske udtryk kopieres til inputlinien for matematiske udtryk. F4: Det valgte matematiske udtryk kopieres til inputlinien med parenteser omkring. F5: Indsætter et tekstfelt efter det felt der i øjeblikket er valgt. CTRL-W: Frembringer en menu, så man kan erstatte bogstaver med tal i det valgte udtryk. CTRL-SHIFT-V: Opdeler vinduet, så man samtidig kan se algebra- og PLOT-vindue. Det aktive vindue sættes til venstre. Træk evt. i rammen til algebravinduet for at gøre det større. Hvis indkrivningslinien er aktiv: CTRL-E: Giver e (grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion) skrives som ê CTRL-Q: Giver kvadratrodstegnet. CTRL-P: Giver tegnet PI Hvis PLOT vinduet er aktivt: F4: Tegn den valgte funktion F12: Lav et tekstfelt på tegningen, så man kan skrive en kommentar. CTRL-E: Lav en kopi af PLOT-siden på algebrasiden (embed) CTRL-U: Opdater (update) figuren på algebrasiden CTRL-R: Ret enheder på x- og y-akse (plot range) 6

7 [PJ] (02) Opsætning og almindelige teknikker.dfw (10) Grafvinduet og algebravindue Man kan ændre størrelserne på algebra- og PLOT-vinduet. Vælg: Window>Tile vertically. Træk i rammekanten for at ændre algebravinduets og grafvinduets størrelse. Fx vil en sådan opsætning gøre det let at muse-klikke fra det ene vindue til det andet. Samtidig er PLOT-vinduet gjort kvadratisk (Set>Aspect ratio>312:312), som giver nogle pænere grafer og især pænere cirkler. (11) Flytte cursoren hurtigt i tekstfelter og i indskrivningsfeltet og markere en hel linie. Man kan hurtigt flytte cursoren helt hen foran på en linie eller helt hen bagved en linie i tekstfelter eller i det matematiske indskrivningsfelt ved at trykke på FN (nederst til venstre på tastaturet) og henholdsvis piletasterne <- og ->. HOME og END virker på samme måde. (12) Markere en hel linie i indskrivningsfeltet. Hvis man både trykker SHIFT og FN ned sammen med <- og ->, markeres hele linien. SHIFT HOME og SHIFT END virker på samme måde. (13) Opskrivning af specielle udtryk Det kan i Derive være svært at bruge samme skrivemåde som i bøgerne. Hvis man fx vil angive værdimængden med den sædvanlige notation, Vm(f)=, fås følgende: Problemet opstår fordi Vm ikke er defineret som funktion og Derive opfatter det derfor som to tal, der skal ganges sammen. Man kan på en enkel måde komme ud over dette problem ved at skrive: "Vm(f)"= [1,2]. Man sætter altså anførselstegn omkring: Med lidt kreativ brug af denne mulighed kan man opbygge komplicerede udtryk, som kan accepteres af Derive. Man kan kombinere matematisk skrivemåde med denne form for tekstskrivning, så man kan fx få skrevet: som er indskrevet på følgende måde: "P(A B)"="P(A B)" / "P(B)" (14) Dfw.ini (Ekspertråd - spørg hellere læreren først, hvis du vil ændre på indstillinger) I filen Dfw.ini gemmes alle indstillinger, man laver i Derive, som fx om programmet starter i grader eller radianer, hvilken farve graferne skal tegnes med o.s.v. Denne vigtige fil ligger i mappen C:Programmer>Dfw5, hvor også selve programfilen for Derive ligger. Derive kommer med en bestemt indstilling, som ikke er helt velegnet til vores opgaveløsning, så når du får din maskine har læreren allerede lagt en Dfw.ini fil i den mappe, så hele klassen starter op med de samme indstillinger. Dfw.ini er gjort skrivebeskyttet, så du starter op med samme indstillinger hver gang. Du starter fx altid i radianer, men kan slå om til grader. Når du åbner et nyt dokument vil du igen være tilbage i radianer. Vi har samme indstillinger i hele klassen, så hvis du mister filen skal du hente en ny på skolens netværk i klassens mappe. Det er praktisk at dit navn altid udskrives som sidehoved på dine dokumenter. Det skal du rette på følgende måde: 1. Find filen Dfw.ini i Stifinder 2. Højreklik på filen og vælg Egenskaber. Afcheck Skrivebeskyttet. 3. Åben Derive - den ligger i samme mappe. 4. Vælg Options>Printing>Header and footer 5. I Header/Left skriver du dit navn efterfulgt af: &f 6. Luk Derive og sæt igen Dfw.ini til Skrivebeskyttet 7

8 [PJ] (03) Matematiske teknikker.dfw Matematiske teknikker (1) Hvordan angives resultater i opgaver? Man kan ikke sætte to streger under resultater, som vi plejer. Vi må derfor finde nye måder at markere resultaterne i forhold til anden tekst. Hvis resultatet kan angives med tekst, skrives resultatet på følgende måde med fed skrift, fx: Svar: Temperaturen er 34.9 ºC kl. 12:30 Hvis resultatet bedre kan angives i en matematisk linie, fx ved brøker, skrives resultatet på følgende måde: Svar: Tangentens ligning er nu givet ved (se #1): (2) Variabelnavne PAS PÅ! Du skal passe meget på ikke at bruge de samme variabelnavne til forskellige ting. Hvis du fx har defineret en funktion som V(x):=... og senere vil bruge variabelnavnet V til at beskrive et volumen fx V = 2x³, så går det galt! Derive kan ikke finde ud af de to forskellige betydninger. Du kan altid se hvilken betydning Derive arbejder med ved fx at skrive V= eller V(x)= i kommandolinjen - og trykke retur. Husk at du kan af-erklære en variabel med ordren V(x):=, se næste tip (3) Tømme en variabel for værdi, så den kan bruges igen. Hvis man har tildelt en variabel en værdi, f.eks. a:=5, så husker Derive tildelingen, selvom linien senere slettes. Man kan nulstille variablen, så den kan bruges igen som tildelt eller utildelt variable, ved at skrive: (4) Brug SUB (substitution) til at indsætte konkrete værdier i stedet for bogstaver i formler og udtryk. Skriv f.eks. udtrykket: Marker udtrykket og tryk på SUB-knappen og erstat f.eks. A med 2 og B med (5) Skifte mellem radianer og grader Gå ind i menuen Declare>Simplification Settings>Angular unit>radianer/degrees (6) Logaritmer Titalslogaritmen til f.eks. 120 skrives som: LOG(120,10) Den naturlige logaritme til f.eks. 120 skrives som: LN(120) eller LOG(120) Pas på! LOG(12) tager den naturlige logaritme af (7) Hvordan tager man den n'te rod af et tal? Der findes både et symbol, en forkortelse for kvadratroden og en genvej( 4 eller SQRT(4) of CTRL+Q). Alle andre rødder udregnes som x^(1/n), idet der gælder at den n'te rod af x er lig med x^(1/n) (se videre i MAT1 side 73..) (8) Numerisk værdi (absolut værdi) Der findes både et symbol og en indbygget funktion for numerisk værdi, så x = ABS(x). De lodrette streger fås ved at trykke Alt Gr + (lige til venstre for slet tilbage tasten) (9) Numerisk løsning af ligninger Hvis Derive ikke kan finde alle de rødder, du søger, kan du lave en numerisk SOLVE. Du skal så blot angive to tal, som roden skal ligge imellem. Syntaksen ser fx sådan ud, hvis du vil finde en rod for funktionen f mellem 1 og 8

9 [PJ] (03) Matematiske teknikker.dfw : Man kan også bruge SOLVE-knappen og vælge Solution method: Numerically Solution domain: Bounds/Upper:3/Lower:1 Man kan derimod ikke finde eksakte løsninger som ligger mellem to angivne tal (10) Brugen af SOLVE til at finde skæringspunkter Man kan finde både x- og y-koordinat til skæringspunkter ved at benytte SOLVE på denne måde: (11) Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx 2/3 får du og ikke Du kan altså ikke stole på det sidste ciffer. Du må derfor selv lave en rigtig fortolkning, hvis du skal angive resultatet med et bestemt antal cifre (12) Opsætning af udregninger Man får ofte den flotteste opstilling i udregninger, hvis man tilføjer et lighedstegn i indskrivningslinien efter selve udtrykket, der skal udregnes, fx: [2, f(2)] = Derive svarer så i algebra-vinduet med et [2, f(2)] = [2, 34] Hvis højresiden ovenfor er i eksakte værdier og man gerne vil have tilnærmede decimalbrøker bruges teknikken at markere højresiden (og kun højresiden) i ligningen og derefter klikke på det krøllede lighedstegn. Man får så fx svaret: [2, f(2)] = [2, ] (13) mth-filer (Ekspertråd) Hvis man har en række gode funktioner (fx inden for vektorregning), som man gerne vil genbruge i andre opgaver, kan dette gøres ved at lave en mth-fil. Lav en almindelig Derive algebra-side med alle dine definitioner og gem denne fil som.mth fil. Der kan kunne skrives matematiske linier og ikke tekstfelter. Hvis du gerne vil have tekst ind i dokumentet skal teksten indskrives i matematiske linier: #1 Denne funktion definerer tværvektoren til a #2 hat(a):=[-a2, a1] Åben nu et nyt Derive dokument og vælg File>Load >Math File>...filnavn.mth. Nu hentes definitionerne ind i det aktuelle dokument og kan bruges i dette. 9

10 [PJ] (04) Graftegning.dfw Om tegning af grafer Tegn grafen i et PLOT vinduet. De følgende indstilliger er allerede lavet i den Derive du får udleveret. Så du kan springe over den følgende kantede parantes og gå til punkt 3/: [Lav nu følgende indstillinger til grafvinduet (PLOT vinduet skal være aktivt). D 1/ Options/Display/Grids.../Lines... og dernæst Color/Vælg fx lys grå. Denne indstilling giver et fint, diskret net som baggrund for grafen. Det letter aflæsninger på grafen. 2/ Set/Aspect ratio...(ctrl-a), Horizontal: 312, Vertical: Giver et kvadratisk vindue, som især kommer til sin ret ved tegning af cirkler, som med denne indstilling kommer til at ligne cirkler.] 3/ CTRL-R, -5.5, 5.5, 11 og igen -5.5, 5.5., Giver inddelingerne på x- og y-aksen. Når først indstillingerne er lavet og for at bevare akseinddelingerne som pæne tal, er det smart nu at bruge de forskellige zoom-knapper, der er over 2D tegningen (gengivet nedenfor) - læg dog mærke til at knappen Set range with box ikke bevarer enhederne på en pæn måde. Så lad være med at bruge den. Tegningen skal nu se sådan her ud. Leg med alle knapperne, så du fornemmer, hvad der sker, når du trykker på de enkelte knapper (hvis du peger lidt på knappen med cursorpilen, kommer der en forklaring på, hvad knappen kan). Læg specielt mærke til knappen: Center on cross. Man peger på det sted på tegningen, man vil have til at ligge i midten. Dernæst klikkes på knappen, og koordinatsytemet flyttes. Den funktion er god, hvis man har brug for at få tegnet et asymmetrisk koordinatsystem. Prøv at at klikke på (3,0) i koordinatsystemet og trykke på Center on cross. Nu skulle du gerne få følgende tegning: 10

11 [PJ] (04) Graftegning.dfw Hvis din tegning efterhånden bliver helt skæv og fortegnet kan du retablere den oprindelige tegning ved at lukke for 2D-vinduet og dobbeltklikke på en af de tidligere udgaver, som du har kopieret over i algebravinduet. Husk derfor altid at lave en CTRL-B (Embed) inden du begynder at lave store ændringer på en tegning af en graf. Tegn nu linierne: Nu ser tegningen ud som vist nedenfor: Læg mærke til at du kan slette alle tre linier igen ved at trykke på Delete (3 gange), som fjerner elementer på tegningen i de omvendt rækkefølge - den sidst tegnede bliver den første der slettes. Du kan således altid tilføje linier til tegninger for at kontrollere om det er den rigtige tangent, rod osv. du har fundet. Du kan altid slette overflødige linier og grafer igen med Delete, eller retablere den gamle tegning ved at lukke for PLOT-vinduet og genåbne den gamle tegning ved at dobbeltklikke på kopien i algebra-vinduet. 11

12 [PJ] (05) PLOT vinduet.dfw PLOT vinduet (1)Tastaturgenveje Det bliver lettere at bruge Derive, hvis man efterhånden lærer sig tastaturgenvejene. De følgende er f.eks. gode at kende hvis PLOT vinduet er aktivt: F4: Tegn den valgte funktion F12: Lav et tekstfelt på tegningen, så man kan skrive en kommentar. CTRL-E: Lav en kopi af PLOT-siden på algebrasiden (embed) CTRL-U: Opdater (update) figuren på algebrasiden CTRL-R: Ret enheder på x- og y-akse (plot range) Ved at højreklikke i PLOT vinduet kommer en dialogboks, hvor man kan stille på mange parametre. (2) Fjerne elementer fra PLOT vinduet Man kan fjerne den sidste tilføjelse i PLOT vinduet (fx graf, linie osv.) ved at trykke på DELETE. Ved gentagne tryk på DELETE kan også tidligere elementer fjernes. (3) Man kan lave en x-akse med -inddelinger Ved trigonometriske opgaver kan det være en fordel af have akseinddelinger med PI. Gør sådan: Med PLOT vinduet aktivt vælg Options>Display>Axes>Horizontal Scale Factor>pi Vælg derefter Set>Plot Region>Horizontal lenght>4pi og 8 intervals. eller Set>Plot range og vælg fx 2pi...2pi, 8 intervaller. (4) Man kan tilføje kommentarer på sine figurer. Når PLOT vinduet er aktivt kan man markere et sted på tegningen med et venstreklik med musen. Tryk derefter på F12 og der åbnes en dialog, hvor man kan skrive sin tekst. Vælg evt. ARIAL som skrift (se teksten i tegningen ovenfor), da default-skriften ikke er køn. (5) Man kan tegne figurer (fx trekanter, liniestykker, vektorer) i PLOT vinduet. Efter at have defineret punkterne i trekanten som fx A:=[2,1] osv. kan man tegne trekanten ABC ved at skrive [A,B,C,A] i ALGEBRA vinduet og med dette udtryk markeret gå over i PLOT vinduet. Her skal gå ind i: Options>Display>Points>Connected Nu kan du trykke på F4 og trekanten tegnes. Eller man kan skrive trekantens koordinater direkte som [[1,2],[3,5],[7,3],[1,2]] og derefter tegne figuren. Liniestykker/vektorer skrives og tegnes ved hjælp af koordinaterne fx [[1,2],[5,4]]. (6) Man kan ændre farverne på graferne (er indstillet til sort) Hvis man gerne vil have alle grafer til at være sorte gøres følgende: Gør PLOT-vinduet aktivt. Vælg Options>Display>Plot color>next color> Vælg f.eks. sort farve Vælg igen Options og aftjek Change Plot Color. Hvis du kun ønsker at graferne er sorte i udskriften -og det kan kun anbefales på det varmeste - gøres følgende: Gør PLOT-vinduet aktivt. Vælg: Options>Printing>Black and White only. 12

13 [PJ] (05) PLOT vinduet.dfw (7) Man kan fjerne det kryds, der vises på graferne (er indstillet til ikke at være synligt) Vælg: Options>Display>Cross>Off Man kan selv med slukket kryds klikke et sted på tegningen og sætte et usynligt kryds til brug sammen med fx zoom-knapperne og til at placere tekst på bestemte steder (F12) på tegningen. (8) Man kan få indtegnet et diskret net på 2D-graferne (er indstillet til at vise lysegråt net) Vælg: Options>Display>Grids >Lines og vælg f.eks. en lys grå farve. 13

14 [PJ] (06) Funktioner - familier, etc (1-11).dfw Funktioner familier, gaffelfunktioner og udsnit af grafer (Mat1, kap.11) (1) Man kan tegne en familie af funktioner med bestemte parameterværdier, sådan: Først står funktionen, så parameteren a og til sidst værdierne som a skal antage. Markér sidste linie og tegn derefter de tre grafer i PLOT-vinduet. (2) Man kan tegne en familie af funktioner med parameterstart, parameterslut og spring Først står funktionen, så parameteren b, så startværdi for b, slutværdi og spring. Resultatet bliver følgende vektor, som kan tegnes som tre grafer. (3) Familier af funktioner kan også angives som: (4) Hvordan tegnes et udsnit af en graf? Skriv: g(x) := IF(0<x<10, x^2) og Derive svarer med at skrive: I plot vinduet kan grafen nu tegnes på normal vis. Den tegnes dog kun mellem 0 og 10. (5) Hvordan tegnes en gaffelfunktion (1)? Skriv: g(x) := IF(x<0, x, x^2) Hvis x<0 tegnes g(x)=x ellers tegnes g(x)=x^2. Den generelle form for IF-udtryk er IF (test, så, ellers, ukendt) hvor ellers og ukendt kan udelades (Læs evt. mere i Derives HELP (F1>Indeks>IF)) Der kan også dannes mere komplicerede funktioner, fx: Hvis x<1 tegnes f(x)=x, mellem 1 og 5 tegnes f(x)=x^2, ellers tegnes f(x)=-2x 14

15 [PJ] (06) Funktioner - familier, etc (1-11).dfw (6) Hvordan tegnes en gaffelfunktion (2)? Man kan også bruge vektorformen: Hvis gaffelfunktionen kun består af to funktioner, skal man, hvis den skrives på denne vektorform, tilføje en tredje tom funktion (her 0), ellers vil Derive opfatte vektoren som en parameterfunktion: [ IF(x>1, x), IF(x<1, 2x), 0] 15

16 [PJ] (07) Trigonometriske ligninger (1-12).dfw Løsning af trigonometriske ligninger (Mat1, kap.12) Vi skal finde alle løsninger mellem 0 og 2 for følgende ligning. Husk evt. først at skifte til radianer! De to løsninger mellem 0 og 2 kan umiddelbart aflæses. Læg mærke til at Derive giver tre løsninger og at der netop er en periode (her T=2 /1=2 ) mellem de "yderste" løsninger - her første og anden x-værdi Det er mere kompliceret med den følgende ligning. Vi skal finde alle løsninger mellem 0 og : Vi vil starte med at få et grafisk indtryk af ligningen. Markér venstre side i #5 og tegn grafen i et PLOT vindue. Markér højre side i #5 og tegn linien i samme grafiske vindue. Vi kan se, at vi skal finde 4 løsninger mellem 0 og. Til denne form for løsning er det bedst at have almindelige tal på x-aksen (og ikke -inddeling). Marker hele linien (#5) og lav en SOLVE, algebraically. 16

17 [PJ] (07) Trigonometriske ligninger (1-12).dfw Få udregnet værdierne som decimalbrøker. Læg mærke til at Derive igen giver tre løsninger, og der er en periode (T=2 /3) mellem de "yderste" løsninger - her de to første x-værdier. Dette kan vi udnytte til at finde alle fire løsninger. Nu kan vi identificere løsningerne på vores tegning. Markér løsningerne enkeltvis (husk at markere "x=" også) og tegn dem enkeltvis, som lodrette linier. Det er måske ikke strengt nødvendigt i dette tilfælde at identificere løsningerne på denne måde, men metoden er god til at identificere eksakte løsninger - hvor man ikke lige kan aflæse talværdien - eller til at identificere løsninger når man har en -inddeling på x-aksen, så gør dig bare fortrolig med den! Nu skulle PLOT billedet gerne ligne tegningen neden for: Man kan se, at der er yderligere to løsninger, som Derive ikke umiddelbart har givet. Den ene ligger mellem 2 og 2.5. Den anden mellem 3 og 3.5. De ligger begge en periode længere fremme i forhold til to af de løsninger, vi har. Disse to løsninger udregnes nu, idet vi bruger kendskabet til svingningstiden: Vi får: De to næste løsninger er derfor: Check evt. grafisk (ved at tegne lodrette linier som ovenfor), at vi har fundet de rigtige løsninger. De lodrette linier kan til slut slettes ved at trykke flere gange på Delete. Svar: De fire løsninger er derfor: 17

18 [PJ] (08) Man kender to punkter(1-13).dfw Find forskriften ud fra to punkter (Mat1, kap.10+13) Disse to punkter er givet: (1) Lineære funktioner De to punkter indsættes: (2) Eksponentielle udviklinger De to punkter indsættes: (3) Funktioner proportionale med potensfunktioner Vi opskriver de to udtryk: Og dividerer de to ligninger med hinanden og bruger SOLVE til at finde a: Denne skrivemåde er ikke helt smuk. Man vil foretrække denne: 18

19 [PJ] (08) Man kender to punkter(1-13).dfw Derefter kan man finde b ved indsættelse i enten #14 eller #15: Neden for er de tre løsninger indtegnet sammen med de to punkter de skal gå igennem: 19

20 [PJ] (09) Udvidet FIT.dfw At 'fitte' til en vilkårlig funktion I forrige afsnit så vi, hvordan man kan finde forskriften ud fra to punkter. Man kan faktisk bruge Derives FITfunktion til en del mere. Man kan fitte til en række vilkårlige funktioner. I matematik bruger vi det ikke meget, men i kan måske bruge det i fysik eller kemi. Vi har i #2 bedt Derive om at udregne funktionsværdier for f. Vi skal se om vi kan 'gendanne' forskriften for f(x) ud fra disse data: Det gik fint!. Syntaksen I #4 er: FIT([variabel, den funktion man skal fitte til med parametrene a og b], de data der skal bruges til fit'ningen) Vi skal se om vi kan 'gendanne' 4. gradspolynomiet ud fra disse data: Det gik også fint! I matematikopgaver kunne man måske få brug for følgende: Vi har et andengradspolynomium, der går gennem punkterne: Man finder altså let forskriften. 20

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide [PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Evaluering Matematik på htx

Evaluering Matematik på htx Evaluering af Matematik på htx Sommeren 2006 1 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Eksamensresultaterne i tal... 4 Matematik B... 4 Matematik A (ordinær prøve)... 5 Matematik A (forsøgsprøve)... 6 Vurdering

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Kapitel 3: Modeller i Derive

Kapitel 3: Modeller i Derive 3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 2014 - jun 2015 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Klavs

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2014-maj 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2011-maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere