Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik. 14./16. november - Næsten Kandidat-kursus november - Oslo-hegnet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik. 14./16. november - Næsten Kandidat-kursus. 18.-20. november - Oslo-hegnet"

Transkript

1 Kalender FAMØS?. oktober - Virksomhedsbesøg fra PFA For mat-øk og aktuar 4./6. november - Næsten Kandidat-kursus For folk der snart er færdige november - Oslo-hegnet For ren matematik?. november - Pokeraften For mat-øk og aktuar?.-?. november - Hyttetur For mat-øk og aktuar 25. november - Julesøster For ren matematik 25. november - Bingo For mat-øk og aktuar Frist for indsendelse af indlæg til Famøs:. december 3. december - Matematik Revyen 2 For alle?. december - Juleklip For mat-øk og aktuar?. december - Julefrokost For mat-øk og aktuar?. december - Julefrokost For ren matematik Midten af december - Næste Famøs udkommer!, oktober 2 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik, oktober 2 Famøs spirer igen og som man kunne forvente så har det slået rationale rødder.

2 Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens Siegstad, Jingyu She, Kasper Fabæch Brandt, Kristain Knudsen Olesen, Kristian Peter Poulsen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar, Martin Patrick Speirs, Søren Knudby, Søren Wengel Mogensen Kolofon 59 Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Tegnere: Martin Patrick Speirs (forside) Maria Bekker-Nielsen Dunbar (tegneserie) Deadline for næste nummer:. december 2 Indlæg modtages gerne og bedes sendt til gerne i L A TEX og gerne baseret på skabelonen som kan hentes på hjemmesiden. Famøs er et internt fagblad. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. Fagbladet Famøs c/o Instistut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2 København Ø Oplag: 5 stk. ISSN:

3 58 Blokkens opgave Konstruer tallet Jingyu She Brug tallene 5, 5, 5, og regneoperationerne +,,, til at lave et regnestykke med svaret 24. Parenteser og ombytning af rækkefølge er tilladt. Svaret bedes indsendt til inden. december. Blandt de korrekte svar udtrækkes én heldig kartoffel, som offentliggøres i næste udgave af Famøs. Dette er en særudgave af et kinesisk kortspil, der går ud på at lave tallet 24 ved hjælp af fire tilfældige kort fra bunken. Den langsomste ud af tre omgange drikker et bæger med ethanollignende substans. Præmie Ja! Du læste rigtigt. Famøs redaktion har faktisk tænkt sig at udlove en præmie for denne simple opgave. Præmien kommer til at bestå af en ægte delmængde af de ting, man kan købe for penge, og den kommer til at have en værdi, der (regnet i kroner) befinder sig i intervallet (e 2π, π 5 ). Grunden til denne udspecifisering af værdien er, at nogen på redaktionen overvejede at udlove præmier, der havde en ren imaginær værdi. Dette bliver dog ikke tilfældet. Indhold 3 Indhold Wow! FAMØS er tilbage Hvad, hvor og hvordan er Famøs Blokkens spil Et sjovt spil for noget af familien En sætning om primtal som en sum af to kvadrater... 9 Side 9-sætning Det kompakte politiske vektorrum Matematik & filosofi Et interview med Mikkel W. Johansen Pythagoras ifølge Albert Ti matematikere i Basta LaTeX på et øjeblik Der er ingen grund til at vente! Ulriks dagbog Hilbertmatricen Konstruer tallet Med potientielt fede præmier Kalender

4 4 Wow! FAMØS er tilbage Kristian Knudsen Olesen Langt om længe er Famøs tilbage. Mange kan nok stadig huske Famøs, fra før det stoppede i 27, men for dem som aldrig har stiftet bekendskab med bladet, er Famøs et fælles fagblad for Aktuar, Matematik, Matematik-Økonomi og Statistik. Bladet bliver kørt af studerende, og dets formål er hovedsageligt at underholde og at give en mulighed for at dele ting, man har på hjertet. Hvordan startede FAMØS Famøs blev stiftet i 987 af tre studerende på de matematiske fag, Ernst Hansen, David Lando og Marc Andersen. Nogle år før havde der været et andet fagblad på matematik kaldet Plus/Minus, som hørte under matematisk fagråd. Plus/Minus stoppede, fordi der ikke var kræfter nok i fagrådet til at holde sådan et blad kørende. De 3 studerende startede Famøs, da de mente der var brug for et fagblad på matematik til at samle de studerende, specielt også på tværs af de matematiske fag. Til at starte med var det de tre stiftere, der skrev alt indholdet selv, men senere kom andre studerende med i redaktionen, bl.a. Søren Eilers i 988. I dag kommer bladet både i en trykt og en elektronisk version, men da bladet startede fantes det kun i en papirversion, der blev trykt på et studentertrykkeri i den gamle brandstation på den anden side af Jagtvej. I 99 blev alle tre stiftere færdiguddannede og bladet blev overladt til resten af redaktionen. Siden da har Famøs haft mange forskellige redaktioner, indtil det stoppede i 27. Som titlen antyder (se forsiden). Christian Berg 57 [6] C. Berg, Fibonacci numbers and orthogonal polynomials. To appear in Arab Journal of Mathematical Sciences. (ArXiv:math.NT/69283v2) [7] C. Berg, Ortogonale polynomier og Hilbertmatricen. Normat 54 (26), [8] T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New York-London-Paris, 978. [9] Man-Duen Choi, Tricks or Treats with the Hilbert Matrix, Amer. Math. Monthly 9 (983), [] A. R. Collar, On the Reciprocation of Certain Matrices, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 59 (939), [] G. Gasper and M. Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, Cambridge 99, second edition 24. [2] D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math. 8 (894), ( in Gesammelte Abhandlungen II, Berlin 933.) [3] M. E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, Cambridge 25. [4] G. Szegő, Orthogonal Polynomials, fourth edition. American Mathematical Society, Providence, 975. Christian Berg, Institut for Matematiske Fag, Universitetsparken 5, DK 2 København Ø, Danmark.

5 56 Hilbertmatricen Udtrykket (x, y) Hx, y er et indre produkt på vektorrummet S og altså gælder Cauchy-Schwarz s ulighed Hx, y 2 Hx, x Hy, y, men kombineres det med (28) fås Hx, y π x y, x, y S. Ved denne ulighed ser man let, at H på entydig måde kan udvides til en begrænset operator i l 2 med H π. Af det foregående er det klart, at H er en positiv selvadjungeret operator. Man kan vise, at normen er lig med π og at dens spektrum er intervallet [, π], men da operatoren ikke har nogen egenværdier er det et såkaldt rent kontinuert spektrum. Disse resultater er ikke lette at vise. Henvisninger og detaljer kan findes i [9]. Litteratur [] N. I. Akhiezer, The classical moment problem. Oliver and Boyd, Edinburgh, 965. [2] S. Altmann, E.L. Ortiz, Editors, Mathematics and social utopias in France. Olinde Rodrigues and His Times. History of Mathematics 28, American Mathematical Society 25. [3] J. E. Andersen and C. Berg, Quantum Hilbert matrices and orthogonal polynomials. J. Comput. Appl. Math. 233 (29), (ArXiv:math.CA/73546) [4] R. Askey, Ramanujan s extension of the gamma and beta functions, Amer. Math. Monthly 87 (98), [5] G.E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special functions. Cambridge University Press, Cambridge 999. Kristian Knudsen Olesen 5 Hvem kan skrive indlæg til FAMØS? Så hvem er det, der kan få deres indlæg trykt i Famøs. Svaret er simpelt. Alle kan skrive et indlæg til Famøs om man er førsteårsstuderende, kandidatstuderende, forelæser eller slet ikke har sin gang på Institut for Matematiske Fag mere så kan man sende forslag ind til Famøs. Hvis du har noget på hjertet, hvis du har en beretning om et socialt arrangement, hvis du har et sjovt indslag, en tegning, noget nice matematik, eller noget helt sjette som du gerne vil dele med andre, så skriv et indslag i Famøs. Faktisk vil redaktionen kraftigt opfordre til, at folk sender forslag ind, da et blad uden indhold er det tomme blad. Hvordan skriver jeg et indlæg til FAMØS? Da bladet bliver sat op med pdfl A TEX er det en stor hjælp hvis man har skrevet sit indlæg i L A TEX og at det kan compile til pdf. Dette er selvfølgelig ikke noget krav, og redaktionen modtager også gerne indlæg skrevet i andre formater, fx ved brug af MS Word, Notepad, OpenOffice osv. Som hovedregel skal det bare være på elektronisk form. Hvis man skriver et indlæg i L A TEX har Famøs sin helt egen klasse-fil, som vi opfordrer til at man bruger. Dette lyder meget teknisk, men det eneste det betyder er, at man kan benytte skabelonen til at skrive sit indlæg. Ud over at det gør det nemmere for redaktionen på Famøs at inkludere indlægget i det færdige blad har det også den fordel, at det er muligt for forfatteren at se hvordan det endelige dokument kommer til at se ud. På den måde kan

6 6 Wow! FAMØS er tilbage man kæle lidt for detaljerne, ved fx. at fikse upassende lineskift og sådanne. For at bruge skabelonen beskrevet ovenfor, skal man have klasse-filen simplefamos.cls liggende i samme mappe som skabelonen. Denne fil kan hentes fra Hvis man finder denne sidste del om klasse-filer meget forvirende, så vil vi gerne lægge vægt på, at man ikke behøver at skrive sine indlæg i L A TEX. Spørgsmål og problemer Hvis du har problemer med at få skabelonen til at virke, spørgsmål vedrørende opsætningen af dit dokument i L A TEX eller hvis du har generelle spørgsmål til Famøs, så skal du være velkommen til at kontakte Famøs på Tilbage er der kun at sige god fornøjelse med at skrive indlæg til fagbladet Famøs. Christian Berg 55 og integrerer den hele holomorfe funktion f(z) = p(z) 2, z C over halvcirklen [, ] {e it t [, π]} og får = p(t) 2 π dt + p(e it ) 2 ie it dt, hvoraf p(t) 2 dt < π p(t) 2 dt = i p(e it ) 2 e dt it π p(e it ) 2 dt. Ved at kombinere denne ulighed med (25) og (26) følger højresiden i (24). Nærværende smarte bevis skyldes Toeplitz. Bemærkning 8 Hilberts ulighed udvides let til komplekse tal: For (a, a,..., an) C n+ \ {}, n gælder n n ajak < j + k + < π ak 2. (27) j,k= k= (Sæt aj = αj + iβj og brug den reelle ulighed to gange.) Definerer vi nu en operator H på S = span{ej, j =,,...} ved linearitet og ved fastsættelsen Hek = j + k + e j, j= som har mening i l 2 da j= (j + k + ) 2 <, ser H : S l 2 en tæt defineret operator, som opfylder < Hx, x < π x 2, x S \ {}. (28)

7 54 Hilbertmatricen Sætning 7 (Hilberts ulighed) For (a, a,..., an) R n+ \{}, n gælder < n j,k= ajak j + k + < π n k= a 2 k. (24) Bevis. Til (a, a,..., an) R n+ \ {} betragtes polynomiet p(z) = n k= akz k, som ikke er nulpolynomiet. Altså får vi < = p(x) 2 dx = ( n j= n j,k= ajx j )( n k= akx k ) dx = n j,k= ajak x j+k dx ajak j + k +, (25) hvilket giver den venstre del af uligheden (24). Idet p(e it ) = p(e it ) finder vi også π π 2π p(e it ) 2 dt = n j,k= π π ajak p(e it ) 2 dt = 2π 2π π π π π ( e i(j k)t dt = n j= n k= aje ijt )( n k= ake ikt ) dt = a 2 k. (26) Bemærk, at ligningen overfor er et specialtilfælde af Parseval s ligning for Fourierrækker. Vi anvender nu Cauchys integralsætning Tidsfordriv 7 Blokkens spil -følger Bo Maling Malling & Martin Patrick Speirs I blokkens spil præsenterer vi i hvert nummer af FAMØS et nyt matematisk spil, som vi synes er interessant. Spillene vil som standard være meget simple, så det er nemt lige at sætte sig ned og tage et par runder mod en ven. Men vi vil også forsøge at stille jer nogle opgaver indenfor spillets natur, som gør det interessant mere matematisk set. Som læser er du meget velkommen til at foreslå spil af denne type. Vi vil gerne starte ud med et spil vi vælger at kalde -følger. Det spilles af to spillere, der på skift sætter et eller et -tal. For et valgt n fortsætter spillet indtil den sidste sekvens af længde n allerede er forekommet tidligere i spillets gang. Example For n = 3 kan følgende spil fx forekomme. A B A B A B A B A B Da sekvensen af længde tre er forekommet før, så har spillet B tabt. Tag nu nogle spil mod din sidemand for forskellige værdier af n. Opgaver: Hvad er den længste sekvens af tal der kan forekomme for forskellige værdier af n? Er der en vindende strategi for nogen spiller når n = 3. I så fald for hvem, hvad er den og kan du bevise det matematisk. Kan du finde vindende strategier for andre værdier af n? Forslag til udvidelser: Prøv at spille spillet hvor man også må sætte tallet 2. Prøv at spille spillet, hvor der er 3 spillere.

8 Christian Berg 53 Hilbertmatricen H som operator på Hilbertrummet l 2 Betragt Hilbertrummet l 2, som består af alle kvadratisk summable komplekse talfølger, i.e., med skalarproduktet l 2 = {x = (xn)n xn 2 < }, (2) n= x, y = n= xnyn. (22) Vektorerne e = (,,,...), e = (,,,,...),... udgør en ortonormal basis for Hilbertrummet l 2. Til en begrænset operator A på l 2 knyttes den uendelige matrix A = (aj,k), j, k givet ved aj,k = Aek, ej, (23) altså k te søjle er koordinaterne til billedvektoren Aek med hensyn til den ortonormale basis. Der gælder altså Aek = aj,kej, Aek 2 = aj,k 2, j= j= hvor den første række konvergerer i l 2 og den anden rækkesum følger af Parseval s formel. Specielt har vi, at A s søjler tilhører Hilbertrummet. Man ser let at matricen hørende til den adjungerede operator A er matricen A, hvis (j, k) te element er ak,j. Specielt følger, at operatoren A er hermitesk hvis og kun hvis aj,k = ak,j for alle j, k. Spørgsmålet er nu om Hilbertmatricen H er matrix for en begrænset operator. At svaret er ja følger af

9 52 Hilbertmatricen Bevis. Vi skal blot vise, at matricen An har heltallige indgange. Af (6) og (7) fremgår, at Kn(x, y) = n k= (2k + )pk(x)pk(y) har heltallige koefficienter til x j y k, men det er netop indgangene i matricen An. Bemærkning 6 I Collars arbejde [] kan man finde en eksplicit formel for elementerne i An, som klart viser, at de er hele tal: a (n) j,k = ( )j+k (j + k + ) ( n + + j n k )( n + + k n j )( j + k j ) 2. (9) Hvis vi indsætter formlen (7) i udtrykket ovenfor for Kn(x, y) finder vi følgende udtryk: a (n) j,k = ( )j+k n l=max (j,k) (2l + ) ( l j )( l k )( l + j l )( l + k l ). (2) Den identitet, der fremgår ved at sammenholde (9) og (2), kan vises ved induktion i n. Kaldes den numeriske værdi af højresiden i (9) for Rn og leddet i summen (2) for Ck, så består induktionsskridtet i formlen Rn+ Rn = Cn+, hvis bevis overlades til læseren. Side 9-sætning 9 En sætning om primtal som en sum af to kvadrater Frederik Møllerstrøm Lauridsen Der kan være mange forskellige måder at bevise en sætning på og visse heldige sætninger er da også netop blevet bevist på et utal af forskellige måder. En af disse sætninger er sætningen om muligheden for at skrive et primtal som summen af to kvadrater. Denne sætning har være kendt siden Fermat, som muligvis også har haft et bevis for den. Senere har eksempelvis Euler fundet et bevis og Hardy & Wright giver hele fem forskellige beviser for sætningen. Måske mest berømt er Zagiers bevis [3] der kun fylder en linie. Nedenfor følger et elegant og bemærkelsværdigt bevis for en tilstrækkelig betingelse for at et primtal p kan skrives som summen af to kvadrater 2. Beviset tager udgangspunkt i Heath- Browns bevis fra 984 som fremstillet i [] og [2]. Sætning Lad p være et primtal som opfylder at p (mod 4). Da findes x, y N sådan at p = x 2 + y 2. Bevis. Lad p være et primtal som opfylder at p (mod 4) d.v.s p = 4k + for et k N, og betragt følgende tre endelige ikke-tomme mængder: S = {(x, y, z) Z 3 : 4xy + z 2 = p, x >, y > }, T = {(x, y, z) S : z > }, U = {(x, y, z) S : x y + z > } samt de tre lineære afbildninger, fa : S S, fb : T T og fc : U U givet ved matricerne A =, B =, C = 2 2 Det er let at vise at betingelsen ligeledes er nødvendig når p 2..

10 En sætning om primtal som en sum af to kvadrater Det overlades som en let øvelse til læseren at tjekke at disse afbildninger er veldefinerede. Det bemærkes først at A 2 = B 2 = C 2 = E, hvor E som sædvanlig betegner enhedsmatricen, og at afbildningerne dermed alle er involutioner 3. Videre ses det let at fa(t ) = {(x, y, z) S : z < } og fa(u) = {(x, y, z) S : x y + z < } samt at disse opfylder at S = T fa(t ) da punkter af formen (x, y, ) ikke kan være elementer i S, eftersom fire ikke går op i p, og at S = U fa(u) eftersom x y + z = giver at p = 4xy + z 2 = 4xy + (y x) 2 = (x + y) 2 hvilket ikke er muligt da p er et primtal. Da videre fa : S S er en involution, og således specielt en bijektion, må vi have at T = fa(t ) og U = fa(u). Vi kan således slutte at 2 T = S = 2 U, da T fa(t ) = U fa(u) =, og dermed er T = U. Vi bemærker nu at punktet (k,, ) er et fikspunkt for funktionen fc : U U samt at dette er det eneste sådanne fikspunkt eftersom (x, y, z) = fc((x, y, z)) = (x y + z, y, 2y z) y = z men da er p = 4xy + y 2 = (4x + y)y og eftersom p er et primtal kan vi slutte at y = z = og dermed at x = k. Eftersom fc : U U er en involution på U med netop et fikspunkt, følger det nu at kardinaliteten af U er ulige, og dermed 3 En involution er en funktion som er sin egen invers. Christian Berg 5 Da pn har den ledende koefficient ( ) n( 2n ) n følger, at de ortonormale polynomier er givet ved (6). Bemærk, at pn() = for alle n. Da momentfølgen er sn = /(n + ) ser vi, at Hankelmatricen Hn er en matrix af stambrøker Hn = 2. n n n+2.., n n+ altså Hilbertmatricen fra indledningen. Den er positivt definit og der gælder Dn = [(!)(2!) (n!)]4 (!)(2!) (2n + )!. (8) For at se (8) bemærker vi, at den ledende koefficient til Pn er Dn /Dn = ( ) 2n 2n + n ifølge (8), altså Dn Dn ( ) 2 2n (2n + )!(2n)! = (2n + ) = n (n!) 4, og heraf fremgår formel (8), som skyldes Hilbert, se [2]. Det fremgår også, at /Dn er et helt tal. Der gælder imidlertid meget mere som påvist i []: Sætning 5 Den inverse matrix til Hilbertmatricen har heltallige indgange.

11 5 Hilbertmatricen er ortogonale med hensyn til målet µ = ],[ (x) dx, og de tilhørende ortonormale polynomier er givet ved Pn(x) = ( ) n 2n + pn(x). (6) Polynomierne pn har heltallige koefficienter og er givet ved formlen ( )( ) n n n + k pn(x) = ( ) k x k. (7) k n k= Bevis. Formel (5) kaldes Rodrigues formel efter den franske matematiker og bankier O. Rodrigues, om hvem der for nylig er udkommet en biografi [2]. Ved Leibniz formel for den n te afledede af et produkt af to funktioner følger straks, at polynomiet pn givet ved (5) er af n te grad og givet eksplicit ved (7). For en funktion f : [, ] R som er n gange kontinuert differentiabel på intervallet [, ], finder man ved gentagen partiel integration f(x)pn(x) dx = ( )n n! [x( x)] n f (n) (x) dx. Anvendes dette på f(x) = x k, k n får vi x k pn(x) dx =, k < n; x n pn(x) dx = ( ) n [x( x)] n dx, men det sidste integral er let at regne ud til [x( x)] n dx = (n!)2 = (2n + )! = 2n (2n + ) ( n ). Frederik Møllerstrøm Lauridsen at kardinaliteten af T ligeledes er ulige. Heraf følger at enhver involution på T må have mindst et fikspunkt (og altid et ulige antal), specielt må fb : T T have et fikspunkt. Altså et punkt (t, t, t2) T som opfylder at (t, t, t2) = fb((t, t, t2)) = (t, t, t2) d.v.s at t = t, og da nu (t, t, t2) T kan vi slutte at p = 4tt + t2 2 = (2t) 2 + t2 2, hvilket var hvad vi ønskede at vise. Litteratur [] M. Aigner og C.M. Ziegler: Proofs from the book. 2. udg Springer 2 [2] C. Elsholtz: Kombinatorische Beweise des Zweiquadratesatzes und Verallgemeinerungen i Mathematische Semesterberichte 5, Heft, p.77-93, 23. [3] D. Zagier: A One-Sentence Proof That Every Prime p (mod 4) Is a Sum of Two Squares i The American Mathematical Monthly Vol. 97, No. 2 (Feb., 99), p. 44.

12 2 Politisk indslag Det kompakte politiske vektorrum Kristian Peter Poulsen Det kompakte politiske vektorrum Vi har alle hørt om højre-venstre-skalaen i forbindelse med at placere partierne i forhold til hinanden. Her har man Enhedslisten længst ude til venstre og enten Liberal Alliance eller Konservative længst til højre, da skalaen jo oprindelig er baseret på partiernes holdninger til omfordelingspolitk. Der er sikkert også flere, som i forbindelse med valget eller andre steder har set en lidt mere kompliceret beskrivelse. Her bruger man nemlig to skalaer, så man får et to-dimensionalt koordinatsystem at indsætte partierne i. Den lodrette akse betegner partiernes holdninger til såkaldt værdipolitik (miljø, udlændinge, økologi mm.). Statsministeren Darth Vader Figur Et godt eksempel Det er så her, hvor jeg i 27 ikke vidste hvad jeg skulle skrive om i 3.g-opgaven; men kom på at jeg kunne lave en bedre og mere præcis beskrivelse af det politiske landskab. Man bruger et n-dimensionalt vektorrum, hvor der til hver akse er et politikområde. Det kræves indtil videre, at områderne er lige vigtige. Partierne skal så have en værdi på akserne, som er begrænset (f.eks. [, ]). Vi får herved, at partierne kan opskrives som vektorer i det kompakte politiske vektorrum Un med n politikområder. Det er nu muligt at tale om hvorvidt Christian Berg 49 Sætning 3 Der gælder AnHn = HnAn = En, idet En er enhedsmatricen af orden n +. Bevis. For l n giver den reproducerende egenskab () at x l Kn(x, y) dµ(x) = y l. På den anden side har vi x l Kn(x, y) dµ(x) = = n n j= k= n n k= j= a (n) j,k sl+ja (n) j,k x l+j y k dµ(x) y k, og derfor er n sl+ja (n) j,k = δ l,k. j= Legendrepolynomier Sætning 4 Polynomierne pn(x) = n! Dn [x( x)] n, n (5)

13 48 Hilbertmatricen Sætning (Treleds-rekursionen) Lad følgerne (an), (bn) være defineret ved (3). Så gælder xpn(x) = bnpn+(x) + anpn(x) + bn Pn (x), n, xp(x) = bp(x) + ap(x). Videre gælder bn = D n Dn+ Dn >, n. Ved at definere P = behøver man ikke huske specialtilfældet n = i treleds-rekursionen. Ved at udnytte denne 2 gange finder man ved lidt regning (x y)pk(x)pk(y) = bk(pk+(x)pk(y) Pk(x)Pk+(y)) bk (Pk(x)Pk (y) Pk (x)pk(y). Summeres dette udtryk for k =,,..., n og udnyttes, at højresiden teleskoperer fås: Sætning 2 (Christoffel-Darboux s summationsformel) (x y)kn(x, y) = bn (Pn+(x)Pn(y) Pn(x)Pn+(y)). Vi skal nu give et andet udtryk for Kn(x, y), som er afgørende for de talteoretiske aspekter af dette arbejde. Det er uden videre klart, at vi kan skrive Kn(x, y) = n j= n k= a (n) j,k xj y k, (4) hvor tallene a (n) j,k er entydigt bestemt og a(n) j,k = a(n) k,j tal i en (n + ) (n + )-matrix An = (a (n) j,k den inverse til Hankel matricen Hn:. Samles disse ), så er denne matrix Kristian Peter Poulsen 3 et parti er et midterparti eller ej, da vi kan beregne afstanden fra centrum til partiet. Givet p = (x,..., xn) Un, afstanden p fra p til centrum er p = x x2 n. Vi har, at et parti p Un maksimalt kan have afstanden n til centrum givet, at aksernes interval er [, ]. Det giver nu også mening at tale om hvor langt to partier er fra hinanden. Givet p = (x,..., xn), p2 = (y,..., yn) Un har vi, at afstanden d(p, p2) mellem de to partier er d(p, p2) = (x y) (xn yn) 2. Den maksimale afstand mellem to partier er altså 2n under forudsætning, at akserne har længde to. Vi kan også tale om standpunktet for en koalition mellem partier. Givet to partier p, p2 Un har vi, at koalitionen mellem de to partier er givet ved K2 = 2 (p + p2). En sjov ting er, at trekantsuligheden giver os, at 2 p + p2 2 ( p + p2 ), hvilket også giver god mening i forhold til virkeligheden, da en koalition mellem partier altid har tendens til at være mere midterorienteret (pga. kompromisser) end partierne er hver for sig. Problemet med formlen for koalitionen er, at den forudsætter, at partierne har lige meget indflydelse på politikken, hvilket jo

14 4 Det kompakte politiske vektorrum sjældent er tilfældet. Her kan man bruge partiernes mandattal som vægt for deres magt. Givet k partier p,..., pk Un hvor det i te parti har mandattal mi og s er summen af de k partiers mandattal. Vi får da koalitionens standpunkt som k Kk = i= mi s p i. Jeg nævnte tidligere det med, at politikområderne skulle være lige vigtige. Det er jo meget subjektivt, hvad det enkelte menneske mener er vigtigt, når vi taler politik. Det vil altså være nærliggende at have en vægt på hver akse, som gør, at de enkelte områder bliver vægtet alt efter hvem, der sidder og vil beregne afstande. Hvis man f.eks. har vægtene a,..., an, hvor n i= ai =, vil et parti p = (x,..., xn) Un komme til at hedde p = (ax,..., anxn). Når nu vi har opbygget denne smarte model skal vi huske, at det hele hviler på de værdier, som partierne skal have. Det er nødvendigt at overveje, hvad der skal til for at ende i den mest markante værdi på et område. F.eks. ville ingen af de danske partier ende i yderpunktet (højreorienteret) på det omfordelingspolitiske område. Ydermere er det bemærkelseværdigt, at vi forsøger at beskrive løse ord og udtalelser vha. stringent matematik, der ikke er til diskussion. Dog kan man opstille kriterier for hvor meget forskellige holdninger indenfor hvert politikområde vægter i forhold til den værdi man skal nå frem til. Der er bare lige det, at det er en ufattelig omfattende opgave, så det gider jeg ikke gøre. Christian Berg 47 Heraf fås specielt, at der for et polynomium p af grad n gælder p(x) = p(y)kn(x, y) dµ(y). () Man kalder derfor Kn(x, y) den reproducerende kerne. Der vides iøvrigt næsten intet om punktvis konvergens af ovenstående ortogonaludvikling i det generelle tilfælde. Som optakt til Christoffel-Darboux s formel for kernen Kn(x, y) skal vi først redegøre for et andet nøgleresultat om ortogonale polynomier. Ortogonaludviklingen for xpn(x) er den endelige sum xpn(x) = n+ k= c(n, k)pk(x), (2) hvor c(n, k) = xpn(x)pk(x) dµ(x), k =,,..., n +. Polynomiet Pn er ortogonalt på alle polynomier af grad n og specielt på xpk(x) for k n 2. Dette viser, at der er højst 3 led i summen (2). Sættes for n =,,... an = xp n(x) 2 dµ(x), bn = xpn(x)pn+(x) dµ(x), (3) har vi klart c(n, n) = an, c(n, n + ) = bn men også (for n ) c(n, n ) = xpn(x)pn (x) dµ(x) = bn. Udnyttes, at den ledende koefficient i Pn(x) er givet ved (8), så ser man let af (3), at bn er givet ved udtrykket i følgende hovedresultat:

15 46 Hilbertmatricen som er for k < n fordi to rækker er ens, og for k = n er udtrykket lig med Dn = D n Dn Dn/Dn. Heraf fås altså, at Pn er ortogonal på alle monomier x k med k n og dermed på alle polynomier af grad n. Udnyttes dette kan vi skrive P 2 n(x) dµ(x) = Dn /Dn Pn(x)x n dµ(x) =, og vi har vist, at også (ii) gælder. Christoffel-Darboux s summationsformel I teorien for Fourierrækker spiller Dirichlets kerne en vigtig rolle, idet den tillader beregning af rækkens afsnit. I teorien for ortogonale polynomier spiller kernen Kn(x, y) = n k= Pk(x)Pk(y) (9) en analog rolle. Ortogonaludviklingen for en funktion f med hensyn til (Pn) er den uendelige række k= ckpk(x), hvor ck = f(x)pk(x) dµ(x). Man ser let, at rækkens afsnit Sn(x) = n k= ckpk(x) er bestemt ved formlen Sn(x) = f(y)kn(x, y) dµ(y). () Interview 5 Matematik & filosofi et interview med Mikkel W. Johansen Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen Matematikken og filosofien har historisk set været tæt sammenknyttet og genstand for megen frugtbar udveksling. Der findes endda en gren indenfor filosofien kaldet matematikkens filosofi. Her studerer man spørgsmål som hvad er tal?, hvad er et bevis? og hvad udgør matematikkens natur? For at høre nærmere om disse og ligende spørgsmål opsøgte vi cand.mag og Ph.D Mikkel Willum Johansen, som de fleste studerende ved IMF vil kende som underviser i kurset VtMat. Vi spurgte ind til hans faglige baggrund, og om hvordan man kommer til at arbejde inden for matematikkens filosofi. Min baggrund er, at jeg læste hovedfag i filosofi og bifag i matematik, og på matematik, tog jeg nogle af de fag der havde lidt mere filosofisk relevans, der var faktisk et overbygningskursus i matematikkens filosofi. Jeg tog også nogle af historiefagene der er man måske lidt mere reflekterende over, hvad det er man gør end man er i de rene matematikfag. Min indfaldsvinkel på matematikfilosofi var, at jeg befandt mig meget på Center for Naturfilosofi [Center for Naturfilosofi og vidensstudie, ved Niels Bohr instituttet, red.], hvor man prøver at opsamle studerende og ansatte, på det naturvidenskablige fakultet, som har filosofiske interesser. På et tidspunkt manglede man så nogen til at lave videnskabsteori, og det var ret oplagt at jeg kom ind over, og så lavede jeg det kursus [Videnskabsteori for matematiske fag, (blok 3), red.]. Jeg blev så interesseret i det, at jeg søgte en Ph.d.

16 6 Matematik & filosofi Mikkel gik videre og forklarede hvad sit forskningsprojekt gik ud på, Min indfaldsvinkel var, nu da jeg havde denne her baggrund indenfor kunstig intelligens, hvor man havde fundet ud af, at det klassiske logik drevne paradigme havde spillet fallit, at spørge: hvad ville de her nye erkendelser om hvordan mennesket tænker, betyde for den måde man så på matematikken? Mikkels forskning naturalisme Jeg tog udgangspunkt i naturalismen, hvor man beskriver et fænomen i det her tilfælde matematikken ved kun at tage udgangspunkt i videnskabelige teorier om mennesket og virkeligheden omkring os. Mikkel forklarer, at naturalismen selvom den umiddelbart virker ukontroversiel, langt fra er det. F.eks. udelukker den en del klassisk matematik-filosofi, som f.eks. Platonismen. Mit bidrag er at jeg har gjort op med en reduktionisme som typisk ligger i de naturalistiske beskrivelser af matematikken. Man ville altid forsøge at benytte én forklaringmodel til at reducere matematik til én type entiteter. Mikkel forklarer, at der særligt var tre sådanne forklaringsmodeller indenfor naturalismen. Den evolutionsbiologiske model, hvor alt matematik kan forklares som et resultat af Darwinistisk evolution. Den kognitionsteoretiske model, hvor man forklarer matematikken ud fra de måder mennesket tænker på. Den tredje model, den socialkonstruktivistiske, vil forklare matematikken ud fra sociale forhold, f.eks. menneskelig interaktion, politiske magtforhold, osv. Christian Berg 45 idet p, q er som i (5) og (b, b,..., bn) t er en søjlevektor. Her har vi for simpelheds skyld antaget, at begge polynomier har grad n, hvilket altid er muligt ved at tilføje nulled. Man ser, at matricen Hn er positivt definit, og dermed er Dn := det Hn > for hvert n. 7 Det er iøvrigt en simpel øvelse i determinantteori at vise, at Pn kan udtrykkes på følgende måde (idet vi sætter D = ) s s sn s s2 sn+ Pn(x) = det D.... (7) n Dn sn sn s2n x x n Ved at udvikle determinanten efter sidste række ser man nemlig, at formlen (7) definerer et polynomium Pn af n te grad og den ledende koefficient er Dn /Dn, (8) så (i) er opfyldt. For at se (ii) udnyttes også udvikling af determinanten efter sidste række, så for k n er s s sn s s2 sn+ Pn(x)x k dµ(x) = det D..., n Dn sn sn s2n sk sk+ sk+n 7 En berømt Sætning af Hamburger fra 92 karakteriserer momentfølgerne ved disse egenskaber: Lad (sn) være en reel talfølge med egenskaberne Dn := det Hn > for alle n og antag s =. Så er (sn) momentfølge for et passende µ M.

17 44 Hilbertmatricen Laguerre, Legendre, Chebyshev og Jacobi polynomierne, er sædvanligvis givet som pn = knpn med en passende følge kn. Vedrørende den generelle teori for ortogonale polynomier henvises til de klassiske værker af Szegő [4] og Akhiezer [], til Chihara s bog [8] og til den ret nye monografi af Ismail [3]. De vigtigste ortogonale polynomier optræder i det såkaldte Askey skema eller dets q-version. Det er de polynomier der kan fremstilles som hypergeometriske funktioner eller q-hypergeometriske funktioner op til niveauet 4F3 henholdsvis 4ϕ3. Det er værd at bemærke, at skalarproduktet (4) kun afhænger af momenterne, for hvis p(x) = n j= ajx j, q(x) = m k= bkx k (5) så finder vi p, q = n j= m sj+kajbk, (6) k= som fremhæver betydningen af matricerne s s sn s s2 sn+ Hn =, n =,,...,.. sn sn+ s2n. kaldet Hankelmatricerne. Læg mærke til at det j, k te element i (n + ) (n + ) matricen Hn er sj+k, idet der er tradition for at nummerere rækker og søjler fra til n. Matricen Hn er symmetrisk og den tilhørende kvadratiske form hænger sammen med skalar produktet p, q = (a, a,..., an)hn(b, b,..., bn) t, Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen 7 Vi spurgte ham hvad matematikernes reaktion er på, at deres emnefelt gøres til genstand for sociologien, biologien, og kognitionsteorien. Man møder både modstand, men også genkendelse. Der er nogle der ikke bryder sig om at man siger, at matematik blot er et udtryk for ens natur. At det ikke er evige sandheder, men er påvirket af vores kultur og vores biologi. Det er der mange matematikere, der tager anstød af, at matematikken ikke består af universelle sandheder. Der hvor jeg for alvor møder modstand, det er blandt dem som ikke er forskningsmatematikere, f.eks. gymnasielærere de bliver meget vrede. Jeg har skrevet nogle populærvidenskabelige artikler f.eks. om at man ikke logisk fuldstændigt kan redegøre for matematikkens grundlag hvor jeg har fået vrede s fra gymnasielærere, der mener, at der godt kan være noget om snakken, men at det ikke er noget man skal fortælle offentligt. De vil godt bevare det billede af, at matematikken er noget helt særligt. De mener, at det blot komplicerer sagerne og, at det er meget lettere at undervise, hvis man bare kan komme med de der endegyldige sandheder. Men de forskningsmatematikere som jeg har snakket med, de er klar over, at der er problemer og er interesserede i at finde ud at hvad matematik egentlig er. Mange matematikere er meget reflekterede og åbne, og er helt med på at matematik ikke blot er evige sandheder. De er interesserede i at få en mere brugbar matematik-filosofi. Efter at have hørt lidt om matematikerenes reaktioner på matematik-filosofien, var vi også interesseret i at høre lidt om hans tanker vedrørende matematikkens og filosofiens sammenspil. Her forklarede Mikkel: Der var en meget tæt sammenknytning mellem matematik og

18 8 Matematik & filosofi filosofi langt op i historien, også i de første årtier af 9-tallet. Der var mange store filosoffer, der også var matematikere, og omvendt... man kan ikke sige hvad de var, om det var det ene eller det andet. Leibniz, Descartes, Hilbert, Gödel, Wittgenstein... I 6-7-hundrede tallet skelnede man ikke mellem om man var filosof eller matematiker. Det stoppede i 93 erne. Der blev matematikfilosofien i hvert fald den som matematikere beskæftigede sig med til matematisk logik som egentlig bare blev en underdisciplin af matematik. Der var selfølgelig nogle, som brød ud og filosoferede mere frit over hvad matematik var, udover den matematisk-logiske eller formalistiske ramme. F.eks. Ruben Hersh og Paolo Mancosu. De matematikfilosoffer vi har herhjemme er sådan nogle som Jessica Carter, og Henrik Kragh [begge matematikere, red.]. Mikkel forklarer, at der nu er flere folk med forskellige baggrunde, som bedriver matematik-filosofi, f.eks. kognitionsteoretikere, biologer, og filosoffer, som slet ikke har en faglig baggrund indenfor matematik, men som betragter matematik, som objekt de ser på matematik udefra. Videnskabsteori fagets relevans Kurset Videnskabsteori for de matematiske fag som Mikkel underviser i er et specielt kursus, idet indholdet ikke som sådan er matematik, men bevæger sig på et metaniveau, hvor matematikken selv, er genstand for videnskabelige undersøgelser. Vi spurgte Mikkel hvad kursets formål er. Det er en opfordring til at tænke selv. Det er en begyndelse, som skulle være nok til at folk selv kan komme videre, hvis de interesserer sig for videnskabsteori. Christian Berg 43 som antages at eksistere. Det er nu muligt at indføre et skalarprodukt på vektorrummet P af polynomier med komplekse koefficienter ved p, q = p(x)q(x) dµ(x), p, q P. (4) Med til kravet for et skalarprodukt hører, at p = p, p = kun er muligt, når p er nulpolynomiet. Af p(x) 2 dµ(x) = skal altså følge, at p er nulpolynomiet. Da et egentligt polynomium kun har endeligt mange rødder, må vi kræve, at sandsynlighedsmålet µ ikke er koncentreret i endeligt mange punkter. Mængden af sandsynlighedsmål på R med vilkårlige momenter og som ikke er koncentreret i endeligt mange punkter betegnes M. Lad der nu være givet µ M. Gennemføres Gram-Schmidt ortonormalisering af monomierne, x, x 2,... opnås en følge (Pn)n kaldet de ortonormale polynomier knyttet til µ, og som er entydigt bestemt ved kravene (i) Pn er et polynomium af grad n med positiv ledende koefficient, (ii) {, for n = m Pn(x)Pm(x) dµ(x) = δn,m =, for n m. Da µ har masse må P(x) =. Man ser let, at Pn får reelle koefficienter, så konjugering over Pm(x) er overflødig i ligningen ovenfor. Hvis (kn)n er en følge af reelle tal så k =, kn for n, så vil polynomierne pn = knpn i stedet for (ii) opfylde pn(x)pm(x) dµ(x) = k nδn,m. 2 De ortonormale polynomier Pn er især nyttige ved teoretiske overvejelser, men de klassiske ortogonale polynomier, dvs Hermite,

19 42 Hilbertmatricen teorier om kvantedeformation. Værket [] har haft stor betydning og kan opfattes som en statusrapport over vores viden på området. Det blev observeret, at adskillige af Ramanujans opdagelser kunne forstås i et nyt lys ved teorien for ortogonale polynomier. Her skal henvises til R. Askeys vidunderlige artikel [4], hvor han bl. a. påpeger, at flere af Ramanujans besynderlige formler kan fortolkes som løsninger til indeterminerede momentproblemer, som er momentproblemer, hvor der er forskellige sandsynlighedsmål med de samme momenter. Nyere talteoretiske resultater har kunnet bevises på elegant måde ved inddragelse af polynomial approksimation via ortogonale polynomier. F.eks. kan Apéry s sensationelle resultat om irrationaliteten af værdien af Riemann s zeta-funktion for x = 3 ζ(3) = n= n 3 bevises ved udnyttelse af Legendrepolynomierne for intervallet ], [, se [5, Afsnit 7.7]. Det er de samme ortogonale polynomier vi skal udnytte i dette arbejde for at indse, at den inverse matrix til Hilbertmatricen har heltallige indgange. Efter en kort introduktion til ortogonale polynomier i Sektion 2,3 studeres Legendrepolynomierne i Sektion 4 og endelig vises i Sektion 5, at den uendelige Hilbertmatrix H kan opfattes som en begrænset operator på Hilbertrummet l 2. Ortogonale Polynomier Vi antager, at der er givet et sandsynlighedsmål µ på den reelle tallinje R, og vi betragter målets momenter sn = sn(µ) = x n dµ(x), n =,,..., (3) Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen 9 Vi spurgte om man kan risikere, at det tværfaglige kommer til at tage lidt af fagligheden ud af matematik uddannelsen. Eller omvendt, om man kan få et fagligt udbytte ud af Videnskabsteori-kurset. Nu fylder matematik ret meget i det kursus, og jeg tror da, at folk får en større bevidsthed om hvad det er de laver, og det kan måske også i sidste ende gøre dem til bedre matematikere. Når man er færdig og skal være matematiker eller benytte matematik i forskellige sammenhænge, så håber jeg, at man kan få glæde af at have en større indsigt i hvad det er man egentlig gør. Jeg kan ikke huske citatet præcist, men Aristoteles siger noget i stil med: En person med erfaring kan godt vide hvad der sker, men ikke hvorfor. Han kan nok handle, men det sker på samme automatiske måde som fx. ild brænder. Mesteren derimod forstår også hvorfor tingene sker, og hvorfor han må handle som han gør, og det er det, der gør ham til mester. Men, tilføjer Mikkel, Det tværfaglige, og metaniveauet må heller ikke stå i vejen for den egentlige faglighed. Jeg er meget ydmyg over at jeg overhovedet får lov at tage et /8-årsværk af folks tid. Jeg synes ikke man kan forlange mere. Hvad så med dem, der ikke skal være deciderede matematikere? Dem der bliver gymnasielærere vil have en del glæde ud af at have metaniveauet med. Det vil gøre det lettere for undervisningen, hvis man selv har en lidt dybere forståelse af hvorfor man gør det man gør. Endeligt er der dem, som kommer ud i erhverv. De kan have mere glæde af nogle af de andre dele af kurset, etik delene, og delene om forholdet mellem universiteterne og erhvervslivet. Jeg tror, at der vil være noget at komme efter for de fleste, i hvertfald på lidt længere sigt.

20 2 Matematik & filosofi Hvad er Matematik? Vi ville høre om Mikkel, som en, der kommer udefra, kunne give en definition på hvad matematik er. Det var et godt spørgsmål. Ja, det er faktisk utroligt svært at sige. Altså en klassisk definition tror jeg ville være at matematik er det der beskæftiger sig med antal og størrelser. Det vil så at sige være de to rødder matematik begynder med og så er der bygget ovenpå med lag på lag af abstraktion, nye inspirationskilder og behov fra videnskaberne omkring. Der har været et behov ikke bare for at beskrive antal og størrelser, men også - for at tage et af de helt store eksempler for at beskrive bevægelser og dynamik og på den måde får man så klistret analysen på og så videre. Det er en sjov definition du kommer med. Den handler om hvad der udgør objekterne, men siger ikke noget om metoden beviset som mange måske vil mene er kendetegnende for matematik. Det kan I have ret i, men det er måske også fordi jeg har et udgangspunk, der siger, at man ikke må glemme rødderne, og det er måske den fejl man begår i den der meget hårdnæsede formalisme; hvor man så at sige sparker den stige, man selv er kravlet opad væk under sig. Beviset er for mig et argument for, at en bestemt sætning er rigtig. En klassisk definition på et bevis er, at det er en logisk gyldig slutning fra sikre præmisser som dermed gør en sætning sand ubetvivlelig sand. Det vil jeg ikke sige. Jeg vil sige, at det er et argument, der gør at vi overbeviser os om, at en sætning holder i et eller andet omfang. Men så kommer spørgsmålet så: Jamen, hvad er så et argument? og det er derfor jeg hellere vil sige et argument, for det kan være så mange ting. Nu har vi et bestemt syn på hvad et argument er; hvor det skal have en formel struktur, men det kunne være alle mulige andre Christian Berg 4 man ønsker at udregne den inverse matrix på computer og repræsenterer stambrøkerne ved decimalbrøker opdager man, at der kan ske betydelige afrundingsfejl. Den kendsgerning, at j + k + = x j+k dx, som kan udtrykkes, at Hilbertmatricen er Hankelmatricen (sj+k) hørende til momenterne sn = /(n + ) for Lebesguemålet på enhedsintervallet, jfr. detaljerne nedenfor, fik mig til at spekulere på om ikke egenskaber ved de tilhørende ortogonale polynomier, nemlig Legendre polynomierne, skulle kunne forklare, at de reciprokke Hilbertmatricer er heltallige, og det viste sig at være tilfældet. Det er diskuteret i detaljer i [7]. Overraskende nok gælder noget tilsvarende hvis Hilbertmatricen erstattes af Filbertmatricen Fn = (/Fj+k+), j, k n, hvor F =, F =, Fn+ = Fn + Fn, n er følgen af Fibonacci tal, se [6] eller det mere generelle resultat i [3]. I de sidste 25 år har der været stor matematisk aktivitet i området ortogonale polynomier og specielle funktioner. Der kan fremhæves mange grunde til det og lad mig nævne nogle få: Med de fantastiske beregningsmuligheder som computerne har givet, har der været behov for at raffinere de eksisterende teoretiske metoder. De klassiske ortogonale polynomier har altid spillet en vigtig rolle ved numeriske beregninger (Gauss kvadratur). Computerne har gjort det meget nemmere end tidligere at teste hypoteser om specielle funktioner. Teorien for q-serier eller q-specielle funktioner, der går tilbage til Heine (848), har fået en renæssance bl.a. på grund af fysiske

Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen

Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen Interview 15 Matematik & filosofi et interview med Mikkel W. Johansen Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen Matematikken og filosofien har historisk set været tæt sammenknyttet og genstand

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 1, oktober 2011

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 1, oktober 2011 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 1, oktober 2011 Famøs spirer igen og som man kunne forvente så har det slået rationale rødder. Redaktion Bo Maling Malling Christensen,

Læs mere

LaTeX på et øjeblik Kristian Knudsen Olesen

LaTeX på et øjeblik Kristian Knudsen Olesen Guide 31 LaTeX på et øjeblik Kristian Knudsen Olesen Intentionen med denne guide er, meget hurtigt at gøre læseren i stand til at sætte dokumenter op i L A TEX. Som nogle måske ved, så er det muligt at

Læs mere

Ortogonale polynomier og Hilbert matricen

Ortogonale polynomier og Hilbert matricen Normat 54:3, 97 (26) 97 Ortogonale polynomier og Hilbert matricen Christian Berg Institut for Matematiske Fag Universitetsparken 5 DK 2 København Ø Danmark berg@mathkudk 2 Mathematics Subject Classification:

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Viètes formel Jens Siegstad

Viètes formel Jens Siegstad 6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Matematikkens filosofi filosofisk matematik

Matematikkens filosofi filosofisk matematik K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere