Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
|
|
- Dorte Jette Danielsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam): Når Euklid skriver om matematik, er det for at vi skal forstå og blive klogere. Når Platon skriver om matematik, er det for at vi skal fornemme og blive begejstrede. Det vigtigste og første er det studium, der drejer sig om tallene selv, ikke i konkret form, men om hele det uliges og liges tilblivelse og den kvalitet, som de udstyrer virkeligheden med. Matematik skal de kunne, de unge, og først og fremmest skal de beherske læren om tal dog skal de ikke blot sidde og tælle genstande, men lære om tallenes abstrakte natur. Det begynder med at forstå vigtigheden af forskellen lige/ulige, den kraftige forskel som pythagoræerne har udviklet en teori om. 1 At summen af to lige tal såvel som summen af to ulige tal er et lige tal, mens et lige plus et ulige tal er ulige. Ved multiplikation er det lidt anderledes: både lige gange lige og lige gange ulige giver et lige tal som produkt, mens ulige gange ulige altid giver et ulige produkt. Disse egenskaber ved begrebet lige/ulige er meget vigtige og så må man huske at ethvert tal er enten lige eller ulige og ikke kan skifte paritet. 2 Når man har lært dette, følger herefter, hvad man med et meget latterligt navn kalder geometri, men som fremtræder som en virksomhed som gør tal der ikke er af samme art, ensartede ved inddragelse af flader. At dette er et under, der ikke er menneskeligt, men guddommeligt, vil blive klart for den, der kan forstå det. Det lige og det ulige medvirker til at vise tallenes mærkværdige ufuldkommenhed eller mangfoldighed. I den disciplin der kaldes jordmåling eller geometri, giver lige/uligefænomenet anledning til tal i flere lag eller dimensioner (αὖξαι). Det er temmelig pudsigt at man går så højt op i at tale om geo-metri, når dens vigtigste resultat aldeles 1. Euklids Elementer IX Disse egenskaber er grundlaget for digital matematik (Boolesk algebra) og dermed for computeren. Symboliseret ved 1 og 0, fysisk: elektromagnetisk ladning eller ej. AIGIS 14,1 1
2 ikke er opmåling, men på samme tid er en indskrænkning og udvidelse af tallenes muligheder. Det første lag kunne vi kalde længdetal, fordi de kan bruges til at angive længden af rette linjestykker. Det forunderlige er at de hurtigt kommer til kort for (som vi ser det ved at betragte kvadratet) den enhed der måler siden i kvadratet og angiver længden som et tal, kan ikke også måle længden af diagonalen som et tal. Sætning: Siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable; de kan ikke måles med een og samme enhed. Bevis (ad absurdum, fører til en modstrid: at et og samme tal er både lige og ulige): Antag at en enhed måler siden ialt s gange og diagonalen ialt d gange, hvor s og d er hele tal som ikke begge er lige; for hvis de er, kan vi vælge en dobbelt så stor enhed. Ifølge den pythagoræiske læresætning (Elementerne I.47) er d ² = s² + s², d ² = 2s². (*1) Her ses at 2 går op i d²; d er altså et lige tal (fordi kvadratet på et ulige tal er ulige). Altså må s være ulige ifølge antagelsen. Da d er lige, kan d skrives som 2e, og (*1) som 4e² = 2s², som vi kan forkorte til 2e² = s². (*2) Her ser vi at 2 går op i s, som altså må være et lige tal, i strid med hvad vi netop indså. Altså er antagelsen falsk: Der findes ikke nogen enhed der måler både siden og diagonalen. Q E D. f figuren ses at kvadratet på diagonalen er dobbelt så stor som det oprindelige kvadrat, nemlig 4 halve kvadrater. Her får vi brug for det næste lag tal, som vi vil kalde fladetal eller potenser (δυνάµεις). AIGIS 14,1 2
3 Det forholder sig nemlig sådan at hvis vi kender længden af kvadratsiden, så kender vi indholdet, arealet, af to kvadrater, nemlig både det foreliggende og det kvadrat der har diagonalen som side. Det er nemlig dobbelt så stort som det første kvadrat. Vi kan desuden indse at hvis vi derimod vælger at fordoble den første kvadratside, får vi ikke et dobbelt så stort kvadrat, men et der er fire gange så stort. (2s) = 4 s, algebraisk: (2s)² = 4s² Diagonalens længde er altså et eller andet sted mellem 1 og 2 af den enhed vi nævnte ovenfor. Vi vil sige at den er side (πλευρά) i fladetal 2, hvormed vi mener at hvis det første kvadrat er 1 fladeenhed, er diagonalens kvadrat 2 fladeenheder. Nogle matematikere taler om at diagonalen magter (δύναται) to enhedskvadrater. Diagonalen og siden er u-sammålelige, (ἀσύμμετροι, inkommensurable). AIGIS 14,1 3
4 Moderne: Diagonalens længde er kvadratrod 2, (= 1, ), et irrationalt tal, der kan skrives som en uendelig decimalbrøk. Begreber som var ukendte for oldtidens matematikere. Til ethvert kvadrat med areal N (et helt tal) svarer en sidelængde. I en vis forstand er antallet af tal altså forøget med denne begrebsudvidelse, hele arealtal, idet arealet kan udtrykkes med et helt tal, men sidelængden ikke kan. Til længdetallene 1 og 2 svarer fladetallene 1 og 4. Der er to fladetal, 2 og 3, som ikke har noget tilsvarende længdetal. er et rationalt tal (kan skrives som en brøk kvadrattal. Dette kan også udtrykkes således: (Se beviset i Q.E.D. side 44.), hvor p og q er hele tal) hvis, og kun hvis, N er et er enten et helt tal eller irrationalt. Elementernes bog X, som muligvis er et arbejde af Theaitetos, udvikler konsekvenserne af eksistensen af inkommensurable linjestykker og fladetal. (Se Taisbak, Coloured Quadrangles.) De to slags tal er af forskellig art (ἀνόμοιοι), fordi et kvadrat kan måles af et fladetal (fx 3), mens dets side ikke kan måles af et tal. Vi kan jo sige at vi har fordoblet mængden af tal ved hjælp af geometrien; andre vil mene at vi har fundet ud af at linjestykker er en mere omfattende art end tal. 3 Og efter dette skal han lære om de tal der er opløftet til tredje potens og gjort ensartede ved tredimensionalitet. Det vil sige at han gør de uensartede tal ensartede med en anden videnskab, som de erfarne kalder stereometri. Etagerne slutter dog ikke her, vi kan komme til et tredje lag ved at betragte et rum, specielt en terning: her vil vi opdage at hvis vi blot fordobler kantlængden på en terning, får vi kanten på en terning der er 8 gange så stor som den foreliggende. For at få en terning der er præcis dobbelt så stor (vi mener: rummer dobbelt så meget) som den foreliggende, skal vi finde en længde der udtrykkes med et rumtal. 3. Både her og i det følgende er det bedre at opfatte Platons fordobling som udvidelse". Men terminologien er uklar. AIGIS 14,1 4
5 Kanten af en terning hvis rumfang er 2 enheder, er den tredje rod eller kubikroden af 2, igen et irrationalt tal (en smule mindre end 1.26, altså ). En terning med kanten 2 er 8 gange så stor som enhedskvadratet. AIGIS 14,1 5
6 Men dette er noget guddommeligt og forunderligt for dem, der ser nærmere og overvejer, hvorledes hele naturen på denne måde former arter og slægter efter ethvert forhold (idet potensopløftning og det modsatte hele tiden drejer sig om det dobbelte). Det første talfordoblingsforhold sker i den naturlige talrække, én til to, mens potensopløftningsforholdet er en slags fordobling. Og forholdet der leder til tredimensionale og faste genstande, er igen en slags fordobling, idet man går fra én til otte. Der er altså hele tiden tale om en udvidelse, en slags fordobling : 1) Til ethvert helt tal svarer et lige tal, nemlig det dobbelte af tallet. Forunderligt nok er der ligeså mange lige tal som der er hele tal i talrækken. Så mærkelig er uendelighed. 2) Ethvert helt tal kan optræde som fladetal på et kvadrat. Men der er mange flere hele fladetal end der er hele tal på kvadraternes sidelængder. Kun kvadrattal har rationale sidelængder. 3) Og ethvert helt tal kan optræde som rumtal (rumfang af en terning), mens den tilsvarende kantlængde ikke er et helt tal, men en irrational kubikrod. Kun de såkaldte kubiktal har rationale kantlængder. Kvadrat- og kubiktallene er i sig selv en fordobling", idet der til ethvert helt tal svarer netop eet kvadrattal, 1, 4, 9, 16, og eet kubiktal: 1, 8, 27, 64, Men for rigtigt at forstå og arbejde med disse tal får vi brug for den meget avancerede teori der handler om forhold (λόγος) mellem tal og mellem linjestykker. Tal og linjestykker og flader og rumlige figurer kasser og kugler og kegler og pyramider osv taler med hinanden, forholder sig til hinanden, har et logos, et mellemværende. Det er en særlig teori inden for læren om tal og geometriske figurer. 4 Mellem to tal eller to linjestykker er der altid et forhold; det bemærkelsesværdige er at der mellem to andre tal eller to andre linjestykker kan være det samme forhold som om de to nye bruger samme ord på samme sprog som de to første. Og det forhold der når til mellemleddet af det dobbelte, et tal der er lige meget større end det mindste tal og mindre end det højeste, og til et andet tal, som overgår yderleddene selv og overgås med samme del af disse i midten af 6 til 12 forholdet findes både 2:3 og 3:4 forholdet dette forhold, der går i begge retninger i midten mellem selve disse yderled, har som gave fra Musernes lykkelige kor tildelt menneskene en brug af samklang og proportion med sigte på glæde ved rytme og harmoni. 4. Elementernes bog V (om størrelser, μεγέθη) og VII-IX (om tal ἀριθμοί, talpar og talsæt) AIGIS 14,1 6
7 Fx er forholdet 6:8 det samme som forholdet 9:12. Vi taler da om at 6 og 12 er yderled (ἄκρα) og 8 og 9 er mellemled (μέσα) i en proportion (ἀναλογία) 6:8 :: 9:12. Mellemleddene kan bytte plads (ἐναλλάξ); så får vi to nye par som også er samme, men et andet forhold 6:9 er samme forhold som 8: Man kan tænke på forhold som talpar der bor på forskellige etager i en tabel. 3:7 (nederst) har samme forhold som 15:35 (i femte række). Nogle tal kan kun optræde i nederste række, de såkaldte πρῶτοι ἀριθμοί, numeri primi, primtal (3, 5, 7). Hvis man lægger tabellen ned, bytter mellemleddene plads, 3:15 :: 7:35 ( :: 1:5), (ἐναλλὰξ λόγος). Jo, der er en omfattende lære om forhold mellem tal og mellem linjestykker. For tal er det vigtigt at finde det mindste par i et givet forhold det forhold kan udrette store ting. Undertiden optræder der ikke to (som ovenfor), men kun et enkelt tal (eller linjestykke) imellem to tal (eller linjestykker), som så fungerer som mellemled (μέσος) i samtalen, en mellemproportional. Der findes forskellige typer af mellemproportionaler: Den arit- AIGIS 14,1 7
8 hmetiske, hvor mellemleddet er halvdelen af summen ( gennemsnittet ) af yderleddene (fx 3, 7, 11). Den vigtige geometriske, 5 hvor mellemleddets kvadrat er lig med yderleddenes produkt (fx 4:6 :: 6:9). Og den morsomme harmoniske, hvor differenserne mellem mellemleddet og yderleddene forholder sig som yderleddene, (a b) : (b c) :: a : c. Den spiller med i musikteorien og i læren om stambrøker,. Tre tal, A < B < C, er i harmonisk proportion hvis (B A) : (C B) :: A : C, mellemleddets afstande fra yderleddene har samme forhold som yderleddene. Heraf udledes udtrykkene AB + BC = 2AC, og, det sidste en operation med stambrøker (med tæller 1), en opgave som synes at have optaget ægyptiske matematikere meget, nemlig: at skrive det dobbelte af en stambrøk (2/B) som en sum af to (eller flere) forskellige stambrøker." Primiske (uforkortelige) harmoniske talsæt kan produceres af denne formel: Vælg to indbyrdes primiske tal a og c. Hvis de begge er ulige, kald deres sum 2p. Sæt q = l. Hvis de har forskellig paritet, kald deres sum p. Sæt q = 2. Så er A = ap, B = acq, C = cp. Eksempler: (2, 3, 6), (3, 4, 6), (3, 5, 15), (4, 7, 28), (5, 8, 20), (30, 35, 42). Mellem to rumlige figurer er der altid to geometriske mellemproportionaler, mens det ikke er tilfældet for tilfældige tal. Kort fortalt gælder det at kun kvadrattal (eller samme multipla af kvadrattal) har en mellemproportional; og kun kubiktal (8, 27, 64 osv) eller samme multipla af to kubiktal har to mellemproportionaler. Derimod er det altid muligt at konstruere en mellemproportional til to linjestykker (nemlig et linjestykke), og til to kvadrater (nemlig et rektangel) men pas på: det ikke muligt at konstruere de to mellemproportionaler til to terninger. 6 Vi ved at mellemproportionalerne er der, men vi kan ikke få dem at se. Nogle mener at det altid vil være umuligt at fordoble en terning ved konstruktion. 5. Den geometriske er den eneste der spiller en rolle i Euklids forholdslære (Elementer VII-IX). 6. Nemlig med de euklidiske (virtuelle) redskaber passer og lineal. Med brug af keglesnit kan to mellemproportionaler konstrueres men da forskydes problemet til hvordan konstruerer man et keglesnit? AIGIS 14,1 8
9 Ikke mindst forhold mellem linjestykker er en betydelig teori, fordi den gør det muligt at undgå at bruge tal og dermed slippe for at skelne mellem sidens tal og diagonalens tal. Matematikerne mener dog at linjestykker kun kan tale med linjestykker og flader kun med flader de taler hver sin dialekt, så at sige, ligesom vi grækere. 7 Matematikland er slet ikke nemt at trafikere i. Det kræver en særlig undervisning og indsigt men allerede det her sagte må være tilstrækkeligt til at unge mennesker fornemmer den guddommelige indretning. Se så at komme i gang. Litteratur: Q.E.D., Platon & Euklid tegner og fortæller. Gyldendal 2006, 3. oplag C. M. Taisbak, Coloured Quadrangles. A Guide to the Tenth Book of Euclid s Elements. Museum Tusculanum Den græske forholdslære tåler kun forhold mellem størrelser af samme art hvilket var en væsentlig hindring i at udvikle adskillige fysiske begreber, for eksempel et anvendeligt hastighedsbegreb. AIGIS 14,1 9
Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereOm primtal og forhold i opgangene
Om primtal og forhold i opgangene af Christian Marinus Taisbak Tilegnet en 70 år gammel mager karl, som spiser ene sin målte mad (J.V. Jensen, Holberg) For 45 år siden skrev jeg i forordet til min disputats,
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereREELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer
LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDescartes broen mellem geometri og algebra
Descartes broen mellem geometri og algebra Kristian Danielsen og Emilie Gertz, eksterne lektorer, Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet Introduktion De fleste, selv elever der begynder i 1.g,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereFacitliste til MAT X Grundbog
Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereMælkeby, matematik, 2.-3. klasse
Mælkeby, matematik, 2.-3. klasse RAMMESÆTNING Mælkeby er et projekt som er baseret på, at elever, i matematik i indskolingen, skal kunne forstå, bearbejde og herved flytte et fysisk projekt ind i et digitalt,
Læs mere2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11
Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereJorden placeres i centrum
Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale
Læs mereInternational matematikkonkurrence
Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereÅrsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013
Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Undervisere: Marianne Kvist (MKV) & Asger Poulsen (APO) Omfang: mandag kl. 10 00 11 20, onsdag kl. 10 00 11 20 4 lektioner pr. uge Matematikken i 6.c
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereUsædvanlige opgaver Lærervejledning
Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereMatematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen
avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereHvad er matematik? Indskolingskursus
Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor
Læs mereFaglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.
Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereNatur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik
Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik Dette er en beskrivelse af et samspil mellem fagene Natur/Teknologi og matematik i to 6. klasser på Tingkærskolen
Læs mereAppendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala
Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag
Læs mere3. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK
2015-16 Lærer: Morten Bojesen Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde undervisningsdifferentieret samt elevdifferentieret. Vi arbejder med bogsystemet Matematrix 3A, 3B samt kopiark. Der
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereÅrsplan for matematik 2.b (HSØ)
Årsplan for matematik 2.b (HSØ) Bøger, supplerende materiale og andet relevant I undervisningen bruger vi Kolorit. Der suppleres med kopiark fra den tilhørende kopimappe + andre kopiark, som passer til
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs merematematikhistorie og dynamisk geometri
Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mere16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it
16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it Tanker bag opgaverne Det er min erfaring, at elever umiddelbart vælger at bruge det implicitte funktionsbegreb,
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige
Læs mereOpgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm
Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm KOM-rapporten Prøvevejledning Fælles Mål http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf http://qa.uvm.dk/uddannelser-og-dagtilbud/folkeskolen/afsluttendeproever/om-afsluttende-proever/proevevejledninger
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereMATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER
MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse,
Læs mereÅrsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009
Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mere2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner
Geometri og bilhjul Miroslava Sovičová, Štefan Havrlent, Ľubomír Rybanský Constantine the Philosopher University Nitra, Slovakia 1 Introduktion En matematiklærer der vil præsentere eleverne for noget nyt
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereÅrsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)
Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereÅrsplan for matematik i 2. klasse 2013-14
Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Klasse: 2. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5(mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs merePlatons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? *
Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? * Af Vassilis Karasmanis Afsnit 31b4 32c4 fortæller os at verden, fordi den kan ses og berøres, må bestå af ild og jord, og der
Læs mereLille Georgs julekalender 06. 1. december
1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at
Læs mereRen versus ligesvævende stemning
Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440
Læs mereMatematik Færdigheds- og vidensmål Skolens slut- og delmål samt undervisningsplaner for matematik. Klasse Delmål Slutmål
Klasse Delmål Slutmål 1. klasse Rytmer som grundlag for talbehandling Kvaliteten i de enkelte tal fra 1 12 Tælle i rytmer, tallene fra 1-20 Indføring af de fire regningsarter Indføring af symboler for
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mere