for matematik på C-niveau i stx og hf

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "for matematik på C-niveau i stx og hf"

Transkript

1 VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2, Karsten Juul

2 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): x-akse = vandret akse y-akse = lodret akse Figur 1 Pil på hver akse: tallene bliver stçrre i pilens retning. Det er altså en fejl at sätte pil i den anden ende. 1.2 Koordinater for punkt Det rçde punkt på Figur 1 har koordinatsättet ( 4, 7) 4 er x-koordinaten fordi 4 er tallet fçr kommaet. 7 er y-koordinaten fordi 7 er tallet efter kommaet. At punktets x-koordinat er 4, betyder: NÅr vi fra punktet går lodret ned (eller op) til x-aksen, så kommer vi til tallet 4 på x-aksen. At punktets y-koordinat er 7, betyder: NÅr vi fra punktet går vandret ind på y-aksen, så kommer vi til tallet 7 på y-aksen. 1.3 VariabelsammenhÄng For en bestemt type rektangler gälder at når de gçres längere, bliver de smallere. Graferne viser sammenhängen mellem areal og längde. Areal og längde er variable, dvs. talstçrrelser der kan Ändres. PÅ figur 2 har jeg valgt at lade areal väre y og längde väre x. PÅ figur 3 har jeg valgt at lade längde väre y og areal väre x. Figur 2 Figur AflÄse punkt på graf Figur 4 viser sammenhängen mellem areal og längde. Figur 4 Opgave: Bestem areal når längden er 8. Dvs.: Bestem y når x er 8. Nspire: Vi afsätter punkt på graf, vi retter punktets x-koordinat til 8, vi ser at punkts y-koordinat bliver 6. Dvs.: Areal er.6. når längde er 8. Figur 5 viser hçjde i cm som funktion af vägt i gram. Opgave: Bestem vägt når hçjden er 4 cm. Dvs.: Bestem x når y er 4. Nspire: Vi afsätter punkt på graf, vi retter punktets y-koordinat til 4, vi ser at punktets x-koordinat bliver 8,65. Dvs.: VÄgten er.8,65 gram. når hçjden er 4 cm. Dette er IKKE en brugsanvisning til Nspire. Jeg forudsätter at du på anden måde har fået at vide hvordan man bruger Nspire. Figur 5 Jeg har skrevet rçde tal på akserne for at huske dig på at det er her tallene står. I dine besvarelser er det nok at koordinatsättet står ved punktet. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

3 1.5 Ligning for samenhäng For en bestemt type figurer gälder: hçjden y kan udregnes ved at dividere 72 med bredden x. Denne regel kan vi skrive sådan: y 72 x Dette er en ligning for sammenhängen. 1.6 Brug af ligning for sammenhäng I ligningen fra 1.5 indsätter vi 5 for x og får: NÅr x er 5, er y lig 14,4. Dvs. når bredden er 5, er hçjden 14, Andre betegnelser end x og y Vi behçver ikke bruge x og y som betegnelser for x-värdi og y-värdi. I eksemplet fra 1.5 kan vi f.eks. kalde x-värdien for b og y-värdien for h. SÅ gälder h 72 b Vi kan også skrive häjde 72 bredde Figur Udregne punkt på graf (a) Som eksempel vil vi bruge forskriften fra afsnit 1.5. Denne linje er en kopi fra Nspire-skÄrmen. SÅdan kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire. så (6, 12) er et punkt på grafen for sammenhängen. (b) Nspire: Vi afsätter punkt i koordinatsystem. Vi fremkalder punktets koordinater. Vi retter punktets koordinater til 6 og 12. (c) PÅ Figur 6 har vi afsat endnu et punkt som ligger på grafen. PÅ Figur 7 har vi afsat flere punkter som ligger på grafen. Derefter taster vi ligningen og får Nspire til at tegne graf ud fra denne. Vi ser at grafen går gennem de punkter vi har udregnet. Tegne graf uden hjälpemidler: Vi afsätter punkterne på papir og tegner blçd kurve gennem dem. 1.9 RÄkkefÇlge af udregninger 1.9 a Udregn gange fçr plus eller minus For en type figur gälder at vi ud fra cirklens diameter x kan udregne rektanglets areal y sådan: 1) TrÄk diameter fra 20. 2) Gang resultat med 4. Skriv ligning der viser sammenhängen mellem y og x. Rigtigt svar: y = (20 x) 4 Det i parentesen skal udregnes fçrst (når vi har indsat et tal for x). Forkert svar: y = 20 x 4 Her står at vi skal gange fçr vi träkker fra. NÅr et tal står mellem gange og minus (eller plus), så er det gange der skal udregnes fçrst (når vi har indsat et tal for x). 1.9 b Udregn potens fçr gange En sammenhäng har fçlgende ligning: y = 0,5 x 3 NÅr x = 2 er y = 0,5 2 3 = 0,5 8 = 4. Vi må IKKE starte med at gange 0,5 med 2. NÅr der står gange foran potens, gälder: Vi skal oplçfte til potens fçr vi ganger. Hvis meningen er at vi skal gange fçrst, så skal vi skrive y = (0,5 x) 3. Figur 7 VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

4 2. Bestemme y eller x i tekstopgave 2.1 Bestem y i tekstopgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x, hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvad er vägten af et dyr hvis alder er 13 uger? Da x = alder og y = vägt kan spçrgsmålet Bestem vägt når alder er 13 oversättes til Bestem y når x er 13 Da y = 0,3 1,2 x gälder: Et dyr hvis alder er 13 uger, har vägten.3,2 gram.. Det er ikke korrekt matematiksprog at skrive eller eller Skriv Denne linje viser hvordan det kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire. VIGTIGT: UndgÅ de fejl der er vist i rammen ovenfor. 2.2 Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem y i tekstopgave Vi taster 0,3 1,2 x og får Nspire til at tegne graf ud fra dette. Vi afsätter et punkt på graf. Vi retter x-koordinat til 13. Vi ser at y-koordinat bliver 3,2098. Vi ser at vores elektroniske afläsning på graf giver samme resultat som vores udregning. 2.3 Kontrol ved tabel: Bestem y i tekstopgave Vi taster 0,3 1,2 x og får Nspire til at lave tabel ud fra dette. Vi ser at når x er 13, er y lig 3,2098. Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning. 2.4 Bestem x i tekstopgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvilken alder har et dyr hvis vägt er 7,5 gram? Da x = alder og y = vägt kan spçrgsmålet Bestem alder når vägt er 7,5 oversättes til Bestem x når y er 7,5 Da y = 0,3 1,2 x gälder: NÅr y = 7,5 er 7,5 = 0,3 1,2 x Nspire lçser ligningen 7,5 = 0,3 1,2 x mht. x og får x = 17,6549 Nspire: Et dyr hvis vägt er 6,7 gram, har alderen 17,7 uger. Det er ikke godt nok hvis du prçver at indsätte tal for x indtil resultatet er 7,5. Du skal regne dig frem til resultatet. Det kan du gçre ved at lçse ligningen med solve. Hvis det er en simpel ligning, kan du lçse den ved at omskrive den ved hjälp af ligningsregler. Med almindeligt matematiksprog skal vi skrive hvad Nspire gçr i solve-linjen, fordi solvelinjen ikke er almindeligt matematiksprog. I 2.1 skal vi ikke skrive noget ekstra fordi der her ikke er forskel på Nspire-sprog og almindeligt matematiksprog. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

5 2.5 Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem x i tekstopgave Vi taster forskriften 3 1,2 x og får Nspire til at tegne grafen ud fra dette. Vi afsätter et punkt på grafen. Vi retter y-koordinaten til 7,5. Vi ser at x-koordinaten bliver 17,6549. Vi ser at vores elektroniske afläsning på graf giver samme resultat som vores udregning. 2.6 Kontrol ved tabel: Bestem x i tekstopgave Vi taster 0,3 1,2 x og får Nspire til at lave tabel ud fra dette. Vi sätter x-trin til 0,1. Vi ser at når x er 17,7, er y tättest på 7,5. Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning. 2.7 Bestemme y eller x i opgave med svär tekst. For nogle pakker med brikker gälder y = 1,1 + 4,5x 0,6 hvor y er den mindste diameter (målt i cm) af en brik i pakken, og x er den gennemsnitlige vägt (målt i g) af brikkerne i pakken. Bestem den gennemsnitlige vägt af brikkerne i en pakke hvor den mindste diameter af en brik er 8cm. Bestem den mindste diameter af en brik i en pakke hvor den gennemsnitlige vägt af brikkerne er 1,4g. Da x = gennemsnitlige vägt og y = mindste diameter får vi: SpÇrgsmÅlet: Bestem gennemsnitlig vägt når mindste diameter er 8 oversätter vi til: Bestem x når y er 8 SpÇrgsmÅlet: Bestem mindste diameter når gennemsnitlig vägt er 1,4 oversätter vi til: Bestem y når x er 1,4 NÅr vi har oversat, bruger vi metoden fra eller metoden fra Hvis beskrivelsen af x eller y er lang, f.eks. gennemsnitlig vägt af brikkerne i pakken, så tror nogle elever at det er en svär opgave og springer den over. Du kan lçse sådan en opgave hvis du bruger tilsträkkelig tid på at gçre dig klart at den lange formulering er det tal der skal indsättes for x eller y. 2.8 Bestemme x når ikke alle punkter på grafen svarer til noget i virkeligheden. Antal fugle beskrives ved modellen y = 16 1,2 x hvor y er antal fugle, og x er antal År efter HvornÅr er der 35 fugle? 16 1,2 x = 35 har lçsningen x = 4,3 Forkert svar: I 2018 (efter 4 År) År er antal ikke helt 35, så det må väre lidt inde i 2019 at antal er 35. Dette er forkert, da antal fugle falder i begyndelsen af Året. Model beskriver: hvordan antallet Ändres fra År til År. Model beskriver IKKE: hvordan antallet Ändres i lçbet af Året. M3: NÅr en model er en graf, er det ofte kun nogle af grafpunkterne der svarer til noget i virkeligheden. For hvert Årstal har man Ét tal der angiver resultatet af en optälling. Det er kun de store prikker på den stiplede graf der svarer til noget i virkeligheden. Vi går ud fra at spçrgsmålet betyder SÅ er det korrekte svar: HvornÅr er der 35 fugle? HvornÅr er der ca. 35 fugle? I 2018 er der ca. 35 fugle. Hvis spçrgsmålet er HvornÅr overstiger antal fugle 35? så er det korrekte svar: I 2019 overstiger antal fugle 35. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

6 3.1 OplÄg 3. HvornÅr er de lige store? y = 7 0,4x når y er grçnt areal, og y = 4 0,1x når y er rçdt areal. 1) NÅr x = 2 er grçnt areal stçrre end rçdt areal. 2) NÅr x = 6 er grçnt areal stadig stçrst. 3) NÅr x = 13 er rçdt areal stçrst. 4) NÅr x = 10 er grçnt areal lig rçdt areal. 3.2 HvornÅr er de lige store? For to planter A og B gälder: A: y = ,98 x B: y = x hvor y er hçjde i cm, og x er antal dçgn efter flytning. HvornÅr er de to planter lige hçje? hçjde af A = hçjde af B ,98 x = x Nspire lçser ligningen ,98 x = x mht. x for 0 x og får x = 39, De to planter er lige hçje.40 dçgn. efter flytning. 3.3 Kontrol ved tabel: HvornÅr er de lige store? Vi taster ligninger for A og B og får Nspire til at lave tabeller ud fra disse. I tabellen ser vi at for x lig 40 er A og B ca. lige store. Dette er lig resultatet af udregningen i 3.2. Her står hvad Nspire gçr i solve-linjen. Det er ikke nok at skrive solve-linjen da denne ikke er almindeligt matematiksprog. 3.4 Kontrol ved elektronisk undersçgelse af figur: HvornÅr er de lige store? For hvert tal på x-aksen er der to y-koordinater (plantehçjder), Én på hver graf. Vi skal finde tallet på x-aksen hvor de to y-koordinater (plantehçjder) er lige store. Det er de i grafernes skäringspunkt. Vi taster ,98 x og x og ud fra disse får vi Nspire til at tegne de to grafer. Vi får Nspire til at finde skäringspunktet mellem de to grafer, og ser at skärinspunktets x-koordinat er 39, Vi ser at vores elektroniske undersçgelse af figur giver samme resultat som vores udregning. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

7 4.1 OplÄg 4. Udregne Ändring af y eller x Figurerne viser grafen for sammenhängen med ligningen 24 y 13. x NÅr vi Ändrer x fra 3 til 4, så Ändres y fra 5 til 7, dvs. y bliver 2 enheder stçrre. NÅr vi Ändrer x fra 6 til 8, så Ändres y fra 9 til 10, dvs, y bliver 1 enhed stçrre 4.2 Udregne Ändring af y Nspire skriver input med blåt og output VÄskehÇjden i en karaffel stiger sådan at y = 9 x 0,6 med grçnt. Hvis du skriver i hånden, + 15 kan du skrive det hele med samme hvor y er hçjden i mm, og x er minutter efter kl farve, f.eks. med almindelig blyant. Hvor meget stçrre bliver hçjden i lçbet af de fçrste 2 minutter efter kl. 8.00? Vi udregner hçjden 0 minutter efter 8.00: Vi udregner hçjden 2 minutter efter 8.00: Vi udregner hvor meget stçrre hçjden er blevet: De fçrste 2 minutter efter 8.00 bliver hçjden.14 mm. stçrre. Vi afläser elektronisk y-koordinaterne til de punkter på grafen som har x-koordinater 0 og 2. Vi får de samme hçjder som vi fik ved udregning. 4.3 Udregne Ändring af x VÄskehÇjden i en karaffel stiger sådan at y = 9 x 0, hvor y er hçjden i mm, og x er minutter efter kl Hvor lang tid tager det at Ändre hçjden fra 25 mm til 35 mm? Vi bestemmer tidspunktet x hvor hçjden y er 25: 25 = 9 x 0, Nspire lçser ligningen 25 = 9 x 0, mht. x og får x = 1, Nspire: Vi bestemmer tidspunktet x hvor hçjden y er 35: 35 = 9 x 0, Nspire lçser ligningen 35 = 9 x 0, mht. x og får x = 3, Nspire: Vi udregner hvor lang tid der er gået: Jeg har skrevet rçde tal på akserne for at huske dig på at det er her tallene står. I dine besvarelser er det nok at koordinatsättene står ved punkterne. Vi taster ligningen for hçjden og får Nspire til at lave en tabel ud fra denne. Vi ser at når x Ändres fra 0 til 2, så Ändres y fra 15 til 28,6414. Det er samme hçjder som vi fik ved udregningen. Det tager.2,6..minutter at Ändre hçjden fra 25 mm til 35 mm. Vi afläser elektronisk x-koordinaterne til de punkter på grafen som har y-koordinater 25 og 35. Vi får de samme tidspunkter som vi fik ved udregning. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

8 Ñvelse 1.1 (a) LÄs afsnit 1.1. PÅ figur skal du skrive x ved x-akse og y ved y-akse. (b) LÄs fçrste halvdel af afsnit 1.2. Et punkt A har koordinatsättet (15, 9). A har x-koordinaten og y-koordinaten. (c) LÄs anden halvdel af afsnit 1.2. Udfyld fçlgende ved at se på figur: B har x-koordinaten og y-koordinaten. D B har koordinatsättet (, ). C har koordinatsättet (, ). D har koordinatsättet (, ). (d) Tegn fçlgende punkter på figuren: E( 5, 3), F( 2, 0), G(0, 3), H(5, 4). Ñvelse 1.2 (a) PÅ figuren skal du skrive x ved x-aksen og y ved y-aksen. F C (b) Udfyld fçlgende ved at se på figur: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ). (c) Tegn fçlgende punkter på figuren: G( 4, 3), H( 2, 3), I(2, 0), J(4, 0). Ñvelse 1.3 E D B A (a) PÅ figuren i Çvelse 1.2 skal du tegne punktet P(6, 2,3). Nu er der tegnet fire punkter som har egenskaben x er 6. Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab. Disse uendelig mange punkter udgçr en linje. Tegn denne linje. (b) Tegn et punkt der har egenskaben y er 1 stärre end x. Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab. Disse punkter udgçr noget du kan tegne. GÇr det. Ñvelse 1.4 (a) LÄs afsnit 1.3. Graf A viser samenhängen mellem antal og grader. Er antal sammenhängens x-värdi eller sammenhängens y-värdi. Svar:. Der gälder at grader er sammenhängens -värdi. Graf B viser en sammenhäng hvor sammenhängens x-värdi er og sammenhängens y-värdi er. Graf C viser en sammenhäng hvor sammenhängens x-värdi er og sammenhängens y-värdi er. C B A B C (b) LÄs afsnit 1.4. PÅ figur med A-graf: Tegn punkt på x-akse hvor x=15. Tegn punkt på graf hvor x=15. I dette punkt er y=. NÅr temperaturen er 15 grader, er antallet. (c) PÅ figur med A-graf: Tegn punkt på y-akse hvor y=25. Tegn punkt på graf hvor y=25. I dette punkt er x=. NÅr antal er 25, er temperaturen grader. (d) Hvor stort er antallet når temperaturen er 35 grader? Svar:. (e) Hvad er temperaturen på et tidspunkt hvor antallet er 5? Svar: grader. (f ) PÅ figur med B-graf: Tegn det punkt på grafen hvor x er 9. for dette punkt er y lig. Hvad fortäller dette om längde og bredde? Svar:. (g) PÅ figur med B-graf: Tegn det punkt på grafen hvor y er 7. For dette punkt er x lig. Hvad fortäller dette om längde og bredde? Svar:. (h) PÅ figur med C-graf: Tegn de punkter på grafen hvor y er 6. For disse punkter er x = eller x =. Hvad fortäller dette om pris og diameter? Svar:. Ñvelse 1.5 (a) PÅ graf C i Çvelse 1.4 kan vi se prisen på en vare af type C når vi kender diameteren. For en vare af type D gälder at for enhver diameter er prisen 1 kr. hçjere end for type C. For en vare af type D med diameter 2 mm er prisen kr. Tegn denne oplysning som et punkt på figuren til hçjre. Tegn grafen der for type D viser sammenhängen mellem pris og diameter. (b) For varer af type E gälder: For hver diameter er prisen halvdelen af prisen for C. Tegn grafen der for type E viser sammenhängen mellem pris og diameter. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

9 Ñvelse 1.6 Se afsnit (a) PÅ figur skal du skrive x ved x-akse og y ved y-akse. (b) P(, ), Q(, ), R(, ). (c) Tegn A(0, 4), B(4,5, 2), C( 2, 1), D( 2, 3,7). (d) Tegn et punkt E hvor x er lig y. Tegn et nyt punkt F til hvor x er lig y. (f) Der er uendelig mange punkter hvor x er lig y. Disse udgçr noget du kan tegne. Tegn dette. P Q R Ñvelse 1.7 Se afsnit (a) For nogle kasser viser b-graf sammenhäng mellem bredde y og längde x. Tegn det punkt på grafen hvor x er 40. For dette punkt er y lig. Hvad fortäller dette om längde og bredde? Svar:. (b) Hvad er bredden når längden er 80? Svar:. (c) For enhver längde er kassens hçjde halvanden gange bredden. For en kasse med längde 10, er hçjden. (d) Tegn en h-graf der viser sammenhäng mellem hçjde y og längde x. b Ñvelse 1.8 (a) LÄs afsnit For figurer af type A får vi arealet ved at gange grundlinje med 2 og lägge 8 til resultatet. NÅr y er areal og x er grundlinje, så vil ligningen for sammenhängen mellem areal og grundlinje väre y =. NÅr x er 4 er y lig. NÅr x er 2,5 er y lig. NÅr x er 0,25 er y lig. (b) For figurer af type B får vi areal ved at lägge 8 til grundlinje og gange resultat med 2. NÅr y er areal og x er grundlinje, så vil ligningen for sammenhängen mellem areal og grundlinje väre y =. NÅr x er 4 er y lig. NÅr x er 1 er y lig. NÅr x er 3 er y lig. Ñvelse 1.9 (a) LÄs afsnit 1.8 (a). En sammenhäng har ligningen: y = (x 3) 2. NÅr x = 1 er y = = så (, ) er et punkt på grafen. Tegn dette punkt på figuren. (b) Bestem flere punkter ved at udfylde fçlgende tabel, og tegn punkterne. x: 1 2 2,5 3 3,5 4 y: (c) LÄs afsnit 1.8 (c). Brug svaret i (b) til at tegne grafen for sammenhängen. Ñvelse 1.10 (a) Hvad skal vi gçre ved värdien af x for at få värdien af y? Skriv svaret som en ligning y = (b) Hvad skal vi gçre ved värdien af x for at få värdien af y? Skriv svaret som en ligning y = (c) Sammenlign med (b) og find ud af hvad vi skal gçre ved värdien af x for at få värdien af y. Skriv svaret som en ligning y = (d) Hvad skal vi gçre ved värdien af x for at få värdien af y? Skriv svaret som en ligning y = x: y: x: y: x: y: x: y: Ñvelse 1.11 (a) En sammenhäng mellem to variable x og y er givet ved: Divider 4 med x. TrÄk resultat fra 5. Det nye resultat er y. NÅr x = 2 er y =. (b) Ligningen for sammenhängen er y =. (c) IndsÄt i denne ligning: NÅr x = 2 er y = = =. (d) Udfyld tabel og tegn graf : x: y: VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

10 Ñvelse 1.12 (a) LÄs afsnit 1.9 a. I nogle spil kan vi udregne antal point når vi kender antal krydser. x = antal krydser. I et spil kan vi udregne antal point sådan: LÄg antal krydser til 10. Gang resultatet med 4. Er det (1) eller (2) der angiver disse udregninger? (1) 10 x 4 (2) ( 10 x) 4 Svar:. (b) I et spil kan vi udregne antallet y af point sådan: Gang 3 med antal krydser. LÄg resultatet til 5. Angiv disse udregninger ved at skrive ligning med x: y =. Hvis x 6 er y =. (c) I et spil kan vi udregne antal point sådan: LÄg 4 til antal krydser. Gang 2 med resultatet. Angiv disse udregninger ved at skrive ligning med x: y =. Hvis x 5 er y =. Ñvelse 1.13 Se afsnit 1.9 a Udregn uden regnehjälpemiddel: (a) = = (d) = = (g) = = (b) = = (e) = = (h) (5 2) 3 = = (c) 3 (5 2) = = (f) 3 (5+2) = = (i) = = Ñvelse 1.14 LÄs afsnit 1.9 b. Udregn uden regnehjälpemiddel: (a) = = (b) (5 3) 2 = = (c) = = Ñvelse 2.1 (a) LÄs afsnit 2.1 og 2.4. For nogle figurer gälder y = 3 x 36, hvor x er omkredsen og y er arealet. Hvis vi bliver spurgt om hvad omkredsen er for en bestemt af figurerne, er det så x eller y vi skal finde? Svar:. Hvis vi får at vide at arealet er 51, er det så x eller y der er 51? Svar:. (b) Bestem arealet for en figur hvor omkredsen er 20. (c) Bestem omkredsen for en figur hvor arealet er 10. Ñvelse 2.2 Se afsnit 2.1 og 2.4 For nogle trälister i en konstruktion er y x 100 x 1 hvor x er längde af vandret liste, og y er längde af den tilsvarende lodrette liste. Enheden er cm. (a) Hvis vi får at vide at en lodret liste er 40 cm, er det så x eller y der er 40? (b) Hvis vi bliver spurgt om längden af en lodret liste, er det så x eller y vi skal finde? (c) Bestem längden af den vandrette liste når den tilsvarende lodrette liste skal väre 20 cm. (d) Bestem längden af den lodrette liste når den tilsvarende vandrette liste skal väre 25 cm. Ñvelse 2.3 (a) LÄs afsnit 2.7. Ved fabrikation af en vare gälder at y = 25 x 0,31, hvor y er väskehçjde i mm, og x er den procentdel af arbejdet der er udfçrt. Udregn den procentdel af arbejdet der er udfçrt på det tidspunkt hvor väskehçjden er 100 mm. Ñvelse 2.4 Se afsnit 2.7 Det er fastsat at y = 4 0,55 x hvor y er den mängde (målt i gram) af et stof som man må indtage pr. uge, og x er det som stoffets densitet (målt i gram pr. kubikcentimeter) overstiger 1,1. Hvor stor en mängde af stoffet må man indtage pr. uge hvis dets densitet er 0,2 over 1,1? Ñvelse 2.5 (a) LÄs afsnit 2.8. I en ligning står at y er lig et regneudtryk med x, hvor y er overskuddet (i mio. kr.) i Årsregnskabet, og x er antal År efter Vi indsätter 40 for y og lçser den fremkomne ligning med hensyn til x og får 6,3. Hvis spçrgsmålet er HvornÅr er overskuddet 40 mio.?, er facit:. Hvis spçrgsmålet er HvornÅr overstiger overskuddet 40 mio.?, er facit:. (b) I en ligning står at y er lig et regneudtryk med x, hvor y er ovnens temperatur (i C), og x er tiden (i timer). Vi indsätter 600 for y og lçser den fremkomne ligning med hensyn til x og får 1,5. Hvis spçrgsmålet er HvornÅr er ovnens temperatur 600 grader, er facit:. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

11 Ñvelse 2.6 Se afsnit 2.8 I en ligning står at y er lig et regneudtryk med x, hvor y er antal der består en bestemt eksamen, og x er antal År efter Vi indsätter 1200 for y og lçser den fremkomne ligning med hensyn til x og får 9,3. Hvis spçrgsmålet er Hvilket År vil antal der består eksamen, overstige 1200?, er facit:. Ñvelse 2.7 Det skärmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til hçjre, og du skal skrive de relevante oplysninger på skärmbilledet. Lav kontrol af (b) og (c) i Çvelse 2.1 ved elektronisk afläsning på graf på den måde som er vist i afsnit 2.2 og 2.5. Ñvelse 2.8 Svarene i (b)-(c) kan du finde ved at du prçver dig frem. (a) I afsnit undersçger vi sammenhängen y =0,3 1,2 x. Hvis x = 1 er y =. Ligger punktet (1, 3) på grafen? Svar:. (b) Hvis vi erstatter 0,3 i ligningen med, vil grafen gå gennem punktet (1, 3). (c) Hvis vi i ligningen y =0,3 1,2 x erstatter 1,2 med, vil grafen gå gennem punktet (1, 3). (d) Vi ser nu på sammenhängen med ligningen y = 0,5 2 x. I grafpunktet med den positive x-koordinat er y-koordinaten 1 stçrre end x-koordinaten. Ñvelse 2.9 Se afsnit 2.7 I en speciel uddannelse er y = 12 0,25 x hvor y er elevens karaktergennemsnit, og x er gennemsnittet af antal fejl i 10 prçver. Bestem gennemsnittet af antal fejl i de 10 prçver for en elev hvis karaktergennemsnit er 3,7. Ñvelse 3.1 (a) Figuren viser grafer for to sammenhänge A og B. Vi forestiller os at vi har ligninger for de to sammenhänge. A Hvis vi indsätter 2 for x, så vil A-ligning give y =, og B-ligning give y =. B (b) Hvis vi indsätter 8 for x, så vil A-ligning give y =, og B-ligning give y =. (c) Hvis vi indsätter 6 for x, så vil A-ligning give y =, og B-ligning give y =. (d) Hvis vi indsätter for x, så vil A-ligning og B-ligning give samme y. (e) De to ligningers hçjresider sätter vi lig hinanden. NÅr vi lçser den fremkomne ligning, får vi x =. Ñvelse 3.2 (a) NÅr vägt måles i gram gälder efter x uger: A's vägt er y = 3 1,2 x og B 's vägt er y = 7 1,1 x. PÅ et tidspunkt x gälder A's vägt er 10 dvs. 3 1,2 x = 10 dvs. x =. (b) PÅ et tidspunkt x gälder B's vägt er 10 dvs. dvs. x =. (c) PÅ et tidspunkt x gälder A's vägt er lig B's vägt dvs. dvs. x =. Ñvelse 3.3 I Çvelse 3.2 så vi på funktioner med forskrifter y = 3 1,2 x og y = 7 1,1 x. PÅ Nspire skal du tegne deres grafer i samme koordinatsystem. PrÇv at erstatte et eller flere af tallene 3, 1,2, 7, 1,1 med andre positive tal, og se om du kan opnå at der ikke er et skäringspunkt. Skriv hvad vi skal gçre ved tallet Ñvelse 3.4 for at få x i skäringspunktet. Brug Nspire. Tegn i samme koordinatsystem grafer for y = x + 1 og y = 2x 4. I skäringspunkt er x =. Ret 4 til 7. I skäringspunkt er x =. NÅr vi erstatter 4 med et andet tal, vil dette tal väre lig x i skäringspunktet. VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

12 Ñvelse 4.1 (a) LÄs afsnit 4.1. Figuren viser grafen for en funktion. NÅr x er 2, er y lig. NÅr x er 6, er y lig. NÅr vi Ändrer x fra 2 til 6, så Ändres y fra til. NÅr vi Ändrer x fra 2 til 6, så vil y blive enheder stçrre. (b) NÅr vi Ändrer x fra 8 til 12, så Ändres y fra til. NÅr vi Ändrer x fra 8 til 12, så vil y blive enheder stçrre. (c) NÅr y Ändres fra 4 til 6, så er x blevet enheder stçrre. Ñvelse 4.2 (a) LÄs afsnit 4.2. Det planlägges at antallet af beboere skal Ändres sådan at y = 95 1,4 x hvor y er antal beboere og x er antal År efter Hvor meget (målt i antal), er antal beboere stçrre i 2020 end i 2017? (b) LÄs afsnit 4.3. Hvor mange År er antallet om at stige fra 500 til 1000? Ñvelse 4.3 Det skärmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til hçjre, og du skal skrive de relevante oplysninger på skärmbilledet. I denne opgave skal du finde facit ved at afläse elektronisk på graf. En sammenhäng har ligningen y = 0,001x 3 +0,015x 2 0,175x+7,125. NÅr x stiger fra 1 til 3, så aftager y fra til. NÅr y stiger fra 2 til 3, så aftager x fra til. Ñvelse 4.4 (a) Om en funktion gälder: NÅr x=0 er y=2. NÅr x stiger fra 0 til 4, så vil y blive 1 enhed stçrre. NÅr x stiger fra 4 til 8, så vil y blive 3 enhed stçrre. NÅr x stiger fra 8 til 12, så vil y blive 5 enhed stçrre. Skitser grafen i koordinatsystemet til hçjre. (b) De fire stçttepunkter skal du også afsätte i et koordinatsystem i Nspire. I samme koordinatsystem skal du få Nspire til at tegne grafen for funktionen med forskriften y = 4 + 0,1 x 2. PrÇv dig frem med at Ändre tallene 4 og 0,1 indtil grafen går gennem punkterne. Skriv forskriften her: y =. Ñvelse 4.5 (a) Lav det viste skärmbillede i Nspire. (b) PrÇv dig frem med at Ändre tallene 3 og 4 i forskriften indtil grafen går gennem punkterne. Skriv forskriften her: y =. 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning Bestemme y eller x i tekstopgave HvornÅr er de lige store? Udregne Ändring af y eller x... 6 Övelser VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf, Ü 2014 Karsten Juul. Nyeste udgave af dette häfte kan downloades fra 3/ HÄftet må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme til sender en som oplyser at det bruges og oplyser hold, niveau, lärer og skole VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

TAL OM - '" EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)(

TAL OM - ' EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)( Al gebra og ligning er 7..0-1 Ligninger '? k 'Z "-0'1 Zo '8 x.:: 3-4)("'~g 3~X"'3,.il ''

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Delprøven uden hlælpemidler

Delprøven uden hlælpemidler Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres. KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne Periode Mål Eleverne skal: Tal og enheder arbejde med tal og enheder, som bruges i hverdagen blive bedre til at omregne mellem enheder

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere