Det danske boligmarked på lang sigt En teoretisk og empirisk analyse af boligmarkedet og dets grundlæggende

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Det danske boligmarked på lang sigt En teoretisk og empirisk analyse af boligmarkedet og dets grundlæggende"

Transkript

1 D E T S A M F U N D S V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T Ø k o n o m i s k I n s t i t u t K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatspeciale Adam Bjørn Meincke Det danske boligmarked på lang sigt En teoretisk og empirisk analyse af boligmarkedet og dets grundlæggende antagelser Abstract Denne analyse har til formål at skildre det danske boligmarked på lang sigt. På baggrund af en ny matematisk analyse og ny dansk empiri konkluderer den teor e- tiske og empiriske analyse at det danske boligmarked bedst beskrives med den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Denne konklusion har de implikationer at udbuddet af grunde er perfekt elastisk på lang sigt og at b o- ligprisen svinger omkring den samme reale pris, i fraværet af udbudsstød. Vejleder: Henrik Christoffersen Antal ECTS: 30 Afleveret den: 14. juni 2012

2 Indholdsfortegnelse 1 Summary Forord Introduktion Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve Den teoretiske ramme Efterspørgselsrelationen Udbudsrelationen Ligevægt Hældning Dynamik Vejen til ny ligevægt Grafisk analyse Delkonklusion Diskussion af den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve Den teoretiske ramme Optimal adfærd Ligevægt Hældning Dynamik Vejen til ligevægt Grafisk analyse Skyggeprisens relation til den reale boligpris Tobin s q Boligprisen

3 5.6 Delkonklusion Diskussion af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel Modellerne teoretisk over for hinanden Empiri Makroøkonometrisk metodologi Analyse Test for om variable er I(1) Test for kointegration DOLS Test for 1-til-1 forhold Delkonklusion Diskussion af den økonometriske analyse Kausalitet Efterspørgselsstøds effekt på de forklarende variable Data og metode Andre modbeviser resultatet Makroøkonomiske implikationer Boligprisernes korrelation internationalt Perfekt elastisk udbud Udbudsbestemt boligpris Konklusion Litteraturliste Bilag A: Udviklingen på det danske boligmarked Dansk boligmarked i tal ADAM vs. DREAM

4 12 Bilag B: Baggrund for det teoretiske afsnit Cramersk regel for differentialligninger Bilag C: Baggrund for det empiriske afsnit Variable i datasættet Boligpriser, lph Grundomkostninger, lpland Byggeomkostninger, lbomk Renten, li Moms, lt Stempelafgifter, lu Kilder Gauss-Markovs CLM antagelser CLM TS.1-TS CLM TS.1 -TS Test for om DOLS er korrekt specificeret Hypotesetest for langsigtet 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable

5 1 Summary Objective: The objective of this thesis is to give a thorough theoretical and empirical understanding of the Danish housing market in the long run. Problem: The decision of buying a house is probably the biggest financial investment any of us will ever make. In addition the aggregated value of the Danish quantity of homes is more than 2000 billion (trillion in US terms) kroner, surpassing the Danish GDP by more than 30%. The importance of the Danish housing market, for the Danish households and for the Danish economy as a whole, is thus undeniable. The insight into the market is however not impressing. Politicians, banks and real estate agents as well as the Danish Economic Councils, the Danish National bank and economic researchers have all had problems predicting the Danish housing prices. In the problems were so severe that the average estimations from the above mentioned experts were about a 100% off target, meaning that the prediction: no changes was just as good an estimation. This lack of insight together with the major importance of the housing market, both for the private households and the whole economy, is the foundation for this thesis. Solution: To understand the housing market a theoretical model will be proposed and tested empirically on Danish data. Unfortunately it is not an easy task to define at correct theoretical model, as the lack of insight into the housing market might suggest. By reviewing the housing market literature however it is possible to roughly divide the theories into two beliefs: those believing that the supply of homes is perfectly elastic in the long run, and those believing that the supply of homes is less than perfect elastic in the long run. These different beliefs of how the economy works are incorporated as fundamental assumptions in different models of the housing market and are consequently leading the models to different results. An example is given below by the two Danish macroeconomic models ADAM and DREAM that assume a perfect elastic supply and a less than perfect elastic supply respectively. 5

6 Figure 1: The impact on housing prices of a permanent increase in the housing tax The figure shows how important the fundamental assumption of a model is and why economic agents have a hard time predicting the housing prices. As no assumption has yet been sufficiently rejected, this paper applies both assumptions in the form of two different models: the consumer driven model with a sloping supply curve and the supplier driven model with a horizontal supply curve. These models are both analysed with the use of an advanced mathematical approach that makes them directly comparable. The comparison shows that while both models initially seem to fit well with Danish empirical evidence, their fundamentally different assumption of the elasticity of the supply lead them to conclude fundamentally different slopes of the long run supply curve. As a result it is possible to test which model that has the best fit with Danish empirics by testing the slope of the long run supply curve. If the supply curve is horizontal the assumption of a perfectly elastic supply seems to be the correct one and thus the supplier driven model with a horizontal supply curve should be applied in analysing the Danish housing market. Conversely if the supply curve is sloping the assumption of a perfectly elastic supply seems to be incorrect and thus the consumer driven model with a sloping supply curve should be applied in analysing the Danish housing market. The macro econometric theory of time series data shows that testing the slope of the long run supply curve is best tested by a cointegration analysis. For this purpose a unique dataset from is collected and tested with a Dynamic OLS (DOLS) approach. The result is that the supply curve is proven to be horizontal and thus that the data support the assumption of a perfectly elastic supply in the long run. 6

7 Implications: The support of the assumption of perfect elastic supply has a number of macroeconomic implications. First and foremost the proof of the perfectly elastic supply curve is simultaneously a rejection of models assuming that the supply is less than perfectly elastic in the long run. This means that models like DREAM should reassess their fundamental assumption of the supply being less than perfectly elastic in the long run and analyse what consequences this assumption has for the results of the model. Secondly the econometric analysis shows that housing prices are significantly determined by the prices of land. As land is determined by the international prices of crops per acre, the result is that national house prices are correlated internationally. Thus this result explains why so many countries have experienced almost identical house price developments in the last couple of decades. Finally the result indicates that the real housing prices are solely determined by the supply in the long run. This means that in the absence of supply shocks the movements in the housing prices are only temporary and will error correct back to the long run equilibrium level in time. Additionally a heavy increase in prices succeeded by decreasing house prices, as witnessed under the subprime crisis, can be explained by the supplier driven model as a positive demand shock. All in all, this thesis finds theoretical and empirical justification for the assumption of perfectly elastic supply and thus the Danish long run housing market should be analysed through a supplier driven housing model with a horizontal supply curve. 7

8 2 Forord Min baggrund for at skrive specialet er min ansættelse i Boligøkonomisk Videncenter, uddannelsen til cand.polit. på Københavns Universitet samt faget Boligøkonomi ved Jens Lunde. Derudover har Jakob Brøchner Madsen hjulpet mig ved at sende en del af datasættet og min vejleder Henrik Christoffersen har hjulpet mig med vejledning. Mit individuelle bidrag har været at sætte 2 teorier over for hinanden, analysere dem med Cramersk metode og teste dem på et uset datasæt. Teorien læner sig op ad pensum fra Advanced Macro economics udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Romer, 2012). Matematikken i teorien læner sig op ad matematik uden for pensum, men bygger oven på metoder fra Matematik 2 udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Sydsæter, 2002) og (Hansen & Olesen, 1999). Økonometrien er uden for pensum, men drager paralleller til Econometrics 3 og Advanced Macro econometrics udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Verbeek, 2008), (Wooldridge, 2009) og (Juselius, 2006). Desværre har jeg ikke selv haft mulighed for at tage Advanced Macro economics og Advanced Macro econometrics, som ville være en fordel for forståelsen af dette speciale. 8

9 3 Introduktion Dette speciale har til formål at give en omfattende teoretisk og empirisk forståelse af det danske boligmarked på lang sigt. Motivationen er først og fremmest boligmarkedets vigtighed for dansk privat- og samfundsøkonomi. I skrivende stund har den danske boligmasse en værdi på ca milliarder kroner 1, hvilket langt overstiger BNP, og danskerne har verdens højeste husholdningsgæld 2, primært grundet finansieringen af boligmassen. En hver ændring på boligmarkedet har altså enorme effekter på både privatøkonomien og samfundsøkonomien. Alligevel er forståelsen af boligmarkedet og dets dynamik utroligt sparsom og danske markedsagenter kan således hverken forklare eller forudsige markedets udvikling. Dette giver sig bl.a. til udtryk i en analyse foretaget af PA Consulting Group 3 som viser at både kommercielle institutioner som fx ejendomsmæglere, banker osv., uafhængige institutioner som fx DØRS og nationalbanken, politiske institutioner og forskere alle sammen har problemer med at forudsige boligpriserne på både kort og lang sigt. Det stod faktisk så galt til i perioden at grupperne i gennemsnit skød næsten 100% forbi den faktiske prisudvikling og at prognosen ingen ændring dermed ville have været en lige så god prognose som den de professionelle kom frem til. Denne manglende forståelse kombineret med markedets enorme betydning er en dårlig kombination og udgør dermed motivationen for at skrive dette speciale. For at skildre det danske boligmarked på lang sigt tages der udgangspunkt i at formulere en passende teoretisk boligmarkedsmodel og derefter teste dens gyldighed på dansk empiri. Modeller er dog ikke regnemaskiner der giver det samme resultat uanset hvilken model der anvendes, men er hver især opbygget på baggrund af forskellige valg af hvordan man mener at økonomien er indrettet. Valget af den teoretiske model tager derfor afsæt i valget af de grundlæggende antagelser om den økonomiske virkelighed. Her har boligmarkedsteorien, siden Ricardo s teori om knaphed på land, primært været opdelt i 2 modstridende overbevisninger: dem der mente at udbuddet var perfekt elastisk på lang sigt, og dem der mente at udbuddet var mindre elastisk på lang sigt, hvilket løst kan oversættes til om udbudskurven er flad eller skrå på lang sigt. Hidtil har det ikke været muligt definitivt at afskrive den ene teori frem for den anden, hvilket har den konsekvens at de modeller der anvendes i dag tager udgangspunkt i vidt forskellige verdenssyn. Et eksempel er de 2 mest anvendte makroøkonomiske modeller i Danmark: ADAM og DREAM, som hver især tager udgangspunkt i henholdsvis antagelsen om perfekt elastisk udbud af grunde på lang sigt og et mindre end perfekt elastisk udbud af 1 (Økonomi_&_Erhvervsministeriet, 2010, s. 55) 2 (Muelbauer, 2007, s. 271) 3 (PA_Consulting_Group, 2009) 9

10 grunde på lang sigt. Disse modellers forskellige grundlæggende ideer om den økonomiske virkelighed medfører at fx en ændring i ejendomsværdiskatten giver vidt forskellige resultater i de 2 modeller 4. Modellernes grundlæggende antagelser har altså enorm effekt på hvordan modellen skildrer markedet og derfor er det nødvendigt at opstille begge teoriretninger i denne opgaves analyse for at blive klogere på hvilke grundlæggende antagelser der er mest plausible og dermed hvilken model der skal anvendes til skildringen af det danske boligmarked. Med dette in mente opstilles 2 af de mest anvendte og plausible boligmarkedsmodeller: den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve; som har hver deres antagelse om udbuddets elasticitet. En ikke tidligere anvendt matematisk analyse af modellerne gør det muligt at lave en direkte sammenligning imellem dem, og konstatere at det primært er hældningen på udbudskurven der adskiller dem. Den empiriske test af hvilken en af modellerne der er en korrekt beskrivelse af det danske boligmarked tager derfor udgangspunkt i en test af om udbudskurven på lang sigt er horisontal. En empirisk kointegrationsanalyse på hidtil uset dansk data tilbage til 1938 viser at udbudskurven på lang sigt er horisontal og resultaterne fra den udbudsdrevne model synes således at være den bedste beskrivelse af det danske boligmarked på lang sigt. Denne konklusion har primært 3 afgørende implikationer. Den første er at en model som fx DREAM som antager at udbuddet af grunde er fast på lang sigt, bør overveje konsekvenserne af denne antagelse og implikationerne af at ændre den. Den anden er at boligpriserne på lang sigt er bestemt af udbuddet og at udsving i boligpriserne, alt andet lige, derfor skal ses som kortvarige stød der nødvendigvis fejlkorrigerer tilbage mod ligevægt på sigt. Den tredje er at husprisernes afhængighed af landbrugspriserne betyder at landes husprisudvikling til dels vil følge hinanden internationalt. Opgaven forløber som følger: i afsnit 4 opstilles den forbrugerdrevene boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve, i afsnit 5 opstilles den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve, mens afsnit 6 sammenligner de 2 modeller. Modellerne testes derefter empirisk i afsnit 7, hvorefter afsnit 8-9 diskuterer og konkluderer. 4 Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve Dette afsnit præsenterer den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve, gennemgået i (Poterba, 1984). Modellen tager udgangspunkt i den optimerende forbruger der efterspørger bolig indtil hans marginale værdi af en ekstra enhed bolig er lig med hans margi- 4 Se afsnit 11.2 for en nøjere gennemgang af ADAM og DREAM 10

11 nale omkostning. Samtidigt tilskrives udbyderen en mere mekanisk rolle hvor udbuddet alene bestemmes af boligprisen og raten for boligens nedslidning. Modellen forudsiger i store træk et boligmarked der på kort sigt er kendetegnet ved en aftagende efterspørgselskurve og en lodret udbudskurve. Udbudskurvens form skyldes at udbuddet af boliger på kort sigt ikke kan ændres fordi det tager tid at købe grund, få byggetilladelser og bygge. På længere sigt antages denne træghed dog at forsvinde og udbudskurven bliver skrå således at udbuddet stiger når efterspørgslen stiger. Notationen følger (Poterba, 1984) med undtagelse af at investeringsfunktionen benævnes som for ikke at skabe forvirring når modellen senere sammenlignes med den udbudsdrevne model hvor har en anden betydning. Derudover ændres user cost parametrene så de passer til danske tilstande samt definitionen af user cost ændres til at indeholde således at definitionen stemmer overens med den mere intuitive definition fra (Lunde, 1998). Målet med dette afsnit er at analysere hvordan en teori med udgangspunkt i antagelsen om et mindre end perfekt elastisk udbud skildrer boligmarkedet, både i ligevægt, efter stød og under tilpasning til ny ligevægt. Analysen forløber som følger: i afsnit 4.1 opstilles den teoretiske ramme for markedet og dets agenter, afsnit udleder agenternes optimale adfærd og afsnit 4.4 udregner markedets langsigtede ligevægt. Herunder udregnes kurvernes hældninger, hvad der sker hvis systemet udsættes for stød og i så fald om markedet kan finde tilbage til en ny ligevægt. Til sidst opsummeres boligmarkedsmodellen grafisk i afsnit 4.5 efterfulgt af konklusion og diskussion i afsnit Konklusionen er at den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve umiddelbart synes at kunne forklare dansk empiri, men teoretisk set lider af nogle mangler. 4.1 Den teoretiske ramme Den samlede efterspørgsel efter boligtjenester udtrykkes som funktion af den reale husleje pr. boligenhed,, i følgende identitet:, hvor, således at højere real husleje medfører lavere boligefterspørgsel. Samtidig defineres det samlede udbud af boligtjenester som en funktion af antallet af boligenheder:. 5 På kort sigt er boligudbuddet fast, hvilket betyder at ligevægten,, kun kan cleares af. Den marginale reale husleje,, kan således udtrykkes som en funktion af boligudbuddet: 5 For at simplificere markedet er udbud og efterspørgsel antaget som homogent, således at forbrugere har ens præferencer og boligerne har ens kvalitet, beliggenhed m.v. jf. (Poterba, 1984, s. 731) 11

12 ( ),. Dette udtrykker den inverse efterspørgselsfunktion, hvor ligevægtslejen er negativt afhængig af mængden af boligenheder. Den kortsigtede ligevægt på boligmarkedet kan således ses grafisk som skæringen mellem en skrå efterspørgselskurve og en vertikal udbudskurve, hvor clearer markedet. Figur 2: Markedet på kort sigt Da er den husleje en boligejer kunne få for at udleje sine boligenheder, følger det at en ejer der lejer sin egen bolig har en nytte af dette forbrug der er større eller lig med. Med andre ord betyder det at, på et marked uden imperfektioner vil ejerens marginale nytte,, ved forbrug af boligtjenesten være lig med,. 4.2 Efterspørgselsrelationen En rationel agent vil efterspørge boligtjenesten indtil prisen overstiger nytten. Således vil forbrugeren efterspørge boligforbrug op til det punkt hvor den marginale nytte af en ekstra enhed bolig er lig med den marginale omkostning ved at erhverve sig denne enhed bolig. Dette er illustreret med følgende ligning: (4-1) Hvor står for user cost og er den marginale omkostning pr. boligenhed 6. Ved opstilling af forbrugerens nyttemaksimeringsproblem under betingelse af de gældende budgetrestriktioner kan forbrugerens omkostning ved at bo i en bolig udregnes 7 til: [ ] (4-2) 6 Igennem opgaven antages risiko og usikkerhed ingen rolle at spille, hvilket udmunder i en mere simpel model jf. (Poterba, 1984, s. 732) 7 Udledes som funktion af forbrugerens intertemporale nyttemaksimeringsproblem under betingelse af budgetrestriktioner og andre begrænsninger. Se (Nielsen & Pedersen, 2007, s. 13) 12

13 Hvor er real boligpris, er alternativafkastet efter skat, hvor er afkastet på en lige så risikabel investering og er skattesatsen på investeringsafkastet, er ejendomsværdiskattesatsen, er grundskylden, hvor er den offentlige grundværdis andel af markedsværdien og er grundskyldspromillen, er afskrivningstakten, er administrations-, drifts- og vedligeholdelsesudgifter og er nominel husprisinflation ved fastholdt boligkvalitet 8. angiver således den egentlige omkostning ved at bo defineret som den reale markedsværdi af boligen ganget med de enkelte omkostningsposter angivet i kr. pr. ejendomsværdi. For at holde udtrykket simpelt er det antaget at boligen er 100% egenfinansieret og notationen t for perioden t er fravalgt 9. Den nominelle husprisinflation,, og den reale husprisinflation,. Hvilket indsat i (4-2) giver:, kan nu omskrives til summen af den generelle inflation, (4-3) [ ] (4-4) ændrer sig som funktion af land og boligtype fx grundet skatter der findes i et land og ikke i andre eller skatter der findes på en boligtype, men ikke på andre 10. Ligning (4-4) for user cost er derfor specificeret til det danske husmarked og optræder således anderledes i udenlandske boligmarkedsmodeller, her iblandt (Poterba, 1984). Som det vises senere vil den specifikke udformning af user cost have en afgørende betydning for udledningen af determinanterne for den langsigtede boligpris og boligmængde og det er derfor vigtigt for analysen at disse er specificeret korrekt for det danske marked. Ligevægtsbetingelsen for efterspørgslen på boligmarkedet kan nu udtrykkes ved at indsætte ligning (4-4) i ligning (4-1): [ ] [ ] [ ] (4-5) Her indsættes [ ] således at: 8 Det er vigtigt at måle boligprisstigninger ved konstant kvalitet så man kan frasortere prisstigninger som følge af øget kvalitet. 9 Hvis boligen ikke er 100% egenfinansieret skal ligning (4-2) omskrives til: [ ], hvor er alternativafkastet efter skat på egenkapitalen og er rentefradragsretten og lånerenten på fremmedkapitalen. Se (Lunde, 1998, s. 7). 10 Se (Lunde, 1998, s. 6) 13

14 (4-6) Hvor. Ligning (4-6) er efterspørgselsrelationen og udtrykker den forventede reale boligprisstigning for boligejeren der efterspørger boligenheder til realprisen. Med ækvivalens mellem husprisinflation og samfundsinflation,, ses det 11 at de reale boligpriser ikke stiger over tid, dvs., samt at. 4.3 Udbudsrelationen I modsætning til efterspørgselssidens udgangspunkt i optimeringen af forbrugerens nyttemaksimeringsproblem så tilskrives udbudssiden en mere mekanisk rolle hvor tilstrømningen af nye boligenheder,, udregnes som summen af nybyggeri,, og nedslidning, : (4-7) Med antagelsen om at mængden af investeringer afhænger af den reale pris, man kan få for outputtet, kan ligning (4-7) omskrives til udbudsligningen: (4-8) Hvor med 1. afledte:. Ligning (4-8) er udbudsrelationen og viser sammenhængen mellem den reale pris,, og udbuddet,. Antagelsen om at betyder at ændringer i medfører ændringer i og modellen bevæger sig således væk fra kort sigts antagelsen om at udbuddet er perfekt uelastisk og udbudskurven er vertikal 12. Udbyderens optimale adfærd dikterer dermed udbyderen at øge udbuddet når prisen stiger og omvendt sænke udbuddet når prisen falder. Med den optimale adfærd for forbrugeren og udbyderen defineret er det muligt at finde markedets ligevægt. 4.4 Ligevægt Definitionen af efterspørgsels- og udbudsrelationen udspænder følgende ligningssystem som udgør de samlede betingelser for optimal adfærd på boligmarkedet: (4-9) (4-10) 11 I ligning (4-6) indsættes samt fra ligning (4-2) i stedet for og udtrykket reduceres. 12 Se Figur 2 14

15 På lang sigt er boligmarkedet i ligevægt, og pris og mængde ligger således fast, dvs.. Indsættes dette i det simultane ligningssystem i (4-9) og (4-10) kan systemet omskrives til det simultane ligevægtssystem: (4-11) Den øverste ligning i ligning (4-11) viser, i overensstemmelse med ligning (4-1), at i ligevægt, er den marginale nytte ved at benytte boligtjenesten lig med den marginale omkostning ved at benytte boligtjenesten, hvilket betyder at forbrugeren ikke vil flytte. Fra den nederste ligning i ligning (4-11) udledes det at mængden af nybyggeri er lig med mængden af nedslidning i ligevægt. Dette betyder at, i ligevægt vil der blive bygget nøjagtigt lige så meget som der nedslides med det resultat at det aggregerede udbud er konstant. Ligning (4-11) viser således hvordan boligmarkedet i ligevægt fungerer som et simultant ligningssystem hvor de endogene variable: og bestemmes af de eksogene variable: og, under antagelse af at funktionerne og er konstante. Ligevægten kan således findes som det der løser det simultane ligningssystem i ligning (4-11). Ligevægten er dog i sig selv ikke ret sigende, da det ud fra ligevægten ikke er muligt at sige om har den samme værdi over tid, hvordan den påvirkes af stød og om økonomien naturligt bevæger sig tilbage mod ligevægten hvis markedet har været udsat for stød. Derfor defineres yderligere 3 forhold som gør det muligt at skildre en komplet boligmarkedsmodel: 1) Kurvernes hældning 2) Kurvernes reaktion på stød 3) Vejen tilbage til ligevægt Kurvernes hældning illustrerer bl.a. hvor elastisk prisen og mængden er på sigt. Som tidligere diskuteret vil en lodret udbudskurve og en vandret udbudskurve have vidt forskellige implikationer for hvad prisen og mængden er på lang sigt. Er hældningen således lodret vil ligevægtsmængden aldrig ændre sig, mens en vandret kurve medfører at ligevægtsprisen er konstant over tid. Ved efterfølgende at analyserer markedets reaktion på stød bliver det muligt at illustrere hvilke variable der påvirker prisen og mængden og hvordan den nye ligevægt vil forholde sig til den gamle. Til sidst vil vejen tilbage til ligevægt illustrere under hvilke betingelser at ligevægten kan forventes at være stabil og dermed gøre det relevant at diskutere det simultane ligevægtssystem. Er ligevægten ustabil betyder det at variablene bevæger sig væk 15

16 fra ligevægt og dermed at en ligevægtssituation ikke kan opretholdes hvis der først er indtruffet et stød Hældning Hældningen på kurverne har ingen effekt på ligevægten når systemet er i ligevægt, men kommer der et stød til økonomien vil hældningen på kurverne få afgørende betydning for boligmarkedets nye ligevægt. Derudover er hældningen vigtig at udlede for at teste om nogen af kurverne er vandrette eller lodrette, hvilket ville implicere en fast pris eller mængde over tid. Af disse årsager udledes hældningen på udbuds- og efterspørgselsfunktionen ved at total differentiere ligningssystemet (4-11), med et teoretisk udgangspunkt i et boligmarked i ligevægt,. Resultatet bliver: (4-12) (4-13) Under antagelse af at der ikke kommer yderligere stød til økonomien kan ændringen i de eksogene variable sættes til 0,, og ligning (4-12) og (4-13) kan således omskrives til: (4-14) Og: (4-15) Disse ligninger beskriver hældningen på henholdsvis efterspørgselskurven og udbudskurven under antagelse af at markedet er i ligevægt og at der ikke er nogen eksogene stød. Hældningen på den langsigtede efterspørgselskurve,, i ligning (4-14) er negativ under antagelse af at den marginale nytte af bolig er faldende for en stigende mængde boliger,. Denne antagelse svarer til at forbrugeren sætter mindre pris på badeværelse nummer 3 end på badeværelse nummer 1. Omvendt er hældningen på den langsigtede udbudskurve,, i ligning (4-15) positiv under antagelse af at, dvs. at boligudbuddet på lang sigt reagerer på ændringer i den 16

17 reale boligpris. En gruppe forfattere 13 argumenterer implicit for at på lang sigt, hvilket medfører et perfekt elastisk udbud hvor udbudskurven er horisontal og prisen alene er bestemt af udbuddet. Mens (Poterba, 1984) og andre forfattere 14 argumenterer for at aftagende skalaafkast og begrænsninger i inputfaktorer som fx land medfører at udbuddet, selv på lang sigt, ikke er perfekt elastisk og at udbudskurven dermed ligger et sted mellem den vandrette og lodrette udbudskurve. Det er dog værd at bemærke at grundet udbyderens mekaniske adfærd vil udbudskurvens hældning aldrig blive flad i den forbrugerdrevne model. Selv hvis udbuddet var perfekt elastisk således at en prisstigning førte til en stigning i udbuddet der var stor nok til at udligne prisstigningen så ville udbudskurven stadig være skrå. Dette skyldes at udbuddets mekaniske udformning i ligning (4-10) medfører at der ikke tages højde for den øgede nedslidning, det øgede udbud ville medføre. Da udbyderen ikke er optimerende vil således kun påvirke investeringsfunktionen uden hensyntagen til nedslidningen. Derfor vil nedslidningen medføre at udbuddet bliver lavere end ved en optimerende udbyder med perfekt udbudselasticitet og udbudskurven vil således nødvendigvis være skrå 15. Dette kan også ses matematisk i ligning (4-15) ved at udbuddet afhænger af prisen. For en 100% flad udbudskurve skulle funktionen for udbuddets hældning være uafhængig af prisen, hvilket ikke er tilfældet i denne model Dynamik Den anden del i bestemmelsen af boligmarkedets ligevægt på lang sigt er at analysere dynamikken på markedet når det udsættes for eksogene stød. Dette vil afhænge af kurvernes elasticitet samt tilpasningsprocesserne i økonomien. Med udgangspunkt i det totaldifferentierede ligningssystem (4-12) og (4-13) kan ligning (4-16) opstilles på matrixformen i (4-17). (4-16) (4-17) Hvor er bevægelsen i fra ligevægten før stød til ligevægten efter stød. Ligeledes er bevægelsen i fra ligevægten før et stød til ligevægten efter et stød. 13 Se (Muth, 1960), (Madsen, 2011) 14 Se (Miles, 1994, s. 24), (Foley & Sidrauski, 1971) 15 Se (Madsen, 2011, s. 8) 17

18 Den Cramerske regel tilbyder en formel til entydigt at bestemme de endogene variable, og, ved hjælp af determinanter 16. En vigtig forudsætning for at ligningssystemet kan kaldes et Cramersk ligningssystem og dermed løses med den Cramerske regel er dog at determinanten er forskellig fra 0, dvs. at koefficientmatricen er regulær. Denne udledes på baggrund af koefficientmatricen,, i ligningssystem (4-17) som 17 : (4-18) Givet tidligere antagelser kan det konkluderes at determinanten er forskellig fra 0 og de 4 ligevægtsrelationer kan udledes 18 : (4-19) (4-20) (4-21) (4-22) Ligningerne (4-19) til (4-22) skildrer dynamikken i de endogene variable, og, ved et stød til de eksogene variable, og, under antagelse af at funktionerne og er konstante. Det bemærkes at ligningerne ikke siger noget om den kortsigtede effekt af stød, men kun konkluderer på om den nye ligevægtspris og mængde er højere eller lavere end i den oprindelige ligevægt. Således ses det fra ligning (4-19) og (4-20) hvordan et positivt efterspørgselsstød, udtrykt ved et permanent fald i, fører til en stigning i både priser og boligmasse på lang sigt. Intuitivt kan dynamikken illustreres ved at et permanent fald i ejendomsværdiskatten øger boligens pris, fordi den bliver billigere at bo i, hvilket fører til en stigning i udbuddet fordi udbyderen 16 Se (Hansen & Olesen, 1999, s. 214) 17 Se eksempel på udregning af determinant i (Hansen & Olesen, 1999, s. 215) 18 Se bilag 12.1 for regnereglen og (Pedersen, 2007) for eksempel 18

19 kan sælge boligen til en højere pris, hvilket derefter fører til et løbende fald i prisen i takt med at udbuddet stiger. Faldet er dog ikke stort nok til at falde helt tilbage til ligevægt, jf. ligning (4-20) og diskussionen om hældningen på udbudskurven i ligning (4-15). Den samlede effekt af faldet i ejendomsværdiskatten er altså en højere mængde og pris på lang sigt. Ligeledes kan dynamikken ved et positivt udbudsstød udledes fra ligningerne (4-21) og (4-22). Her vil et positivt udbudsstød, udtrykt ved et permanent fald i, sænke priserne og øge boligmassen på lang sigt. Stigningen i boligmassen kan forklares ved at et permanent fald i nedslidningen på boligmassen alt andet lige må betyde en øget boligmasse over tid, mens faldet i boligpriserne kan forklares med at en øget boligmasse bliver tilgængelig for den samme mængde efterspørgsel. De dynamiske effekter sammen med hældningen på kurverne bestemmer hvor den nye ligevægt ligger i forhold til den gamle hvis markedet bliver udsat for et stød. Lige så vigtigt er det dog at bestemme om markedet automatisk vil bevæge sig mod denne nye ligevægt eller om stød fører til et ustabilt marked, hvor ligevægten ikke kan genfindes uden monetær eller finanspolitisk indblanding Vejen til ny ligevægt For at finde ud af hvordan markedet reagerer når det er ude af ligevægt tages der udgangspunkt i efterspørgselsrelationen og udbudsrelationen der var udtryk for hhv. forbrugerens og udbyderes optimale adfærd som nødvendigvis også må gælde uden for ligevægt. Relationerne blev defineret som: (4-23) (4-24) I ligevægt blev det derefter konstateret at for kunne systemet omskrives til det simultane ligevægtssystem: (4-25) 19

20 Dette ligevægtssystem siger at hvis og tager ovenstående værdier så vil hverken prisen eller mængden stige over tid. Spørgsmålet er nu hvorledes prisen og mængden vil reagerer hvis og ikke er i ligevægtsniveauerne. Det ses fra ligning (4-23) at for et fast så vil et højt medfører en stigning i priserne, mens et lavt vil medføre et fald i priserne. Årsagen er at et højt betyder at forbrugeren har større omkostninger ved boligen end nytte, hvilket i forbindelse med optimal adfærd kun kan forklares med at forbrugeren forventer reale boligprisstigninger. Ligeledes ses det fra ligning (4-24) at for et fast så vil et højt medføre et fald i udbuddet, mens et lavt H vil medføre en stigning i udbuddet. Intuitionen er at hvis er lavere end ligevægts udbuddet, uden at prisen ændrer sig, så vil udbyderen øge udbuddet indtil det ikke længere kan betale sig. Dette kan opsummeres i følgende tabel som både matematisk og grafisk viser hhv. forbrugerens og udbyderens adfærd i og uden for ligevægt: Tabel 1: Vejen til ligevægt Efterspørgsel: Udbud: { { Venstre kolonne viser forbrugerens adfærd, mens højre kolonne viser udbyderens adfærd. Således viser de 2 vertikale pile i venstre kolonne hvorledes prisen bevæger sig hvis et stød har bragt prisen ud af ligevægt, mens de 2 horisontale pile i højre kolonne viser hvorledes udbuddet bevæger sig hvis et stød har bragt udbuddet ud af ligevægt. 20

21 4.5 Grafisk analyse De matematiske udledninger af hældningen på kurverne, de dynamiske effekter ved stød og vejen tilbage til ligevægt kan nu opstilles i et samlet fasediagram der skildrer den samlede teoretiske forbrugerdrevne boligmarkedsmodel: Figur 3: Fasediagram af boligmarkedet Kurverne og angiver hhv. efterspørgselskurven og udbudskurven i et marked i ligevægt hvor alle eksogene stød er absorberet, mens de 8 små ortogonale pile skildrer de endogene variables bevægelse når de er ude af ligevægt. Summeret definerer disse pile saddelpunktet, som består af en stabil arm, hvor de endogene variable konvergerer mod ligevægten for, og en ustabil arm hvor de endogene variable konvergerer væk fra ligevægten for. Antagelsen for at ligevægtspunktet opfører sig som et lokalt saddelpunkt er at, hvilket er ækvivalent med at egenværdierne er af modsatte fortegn (koefficient matricen A er dermed en indefinit matrice). Da er defineret fra ligning (4-18) er ligevægtspunktet således et lokalt saddelpunkt, hvor den stabile arm er defineret som de 2 eneste løsningskurver der konvergerer mod ligevægten fra hver sin retning når. De vil til sidst tangere den rette linje der går igennem ligevægten med samme retning som koefficientmatrice, s, negative egenværdi. Saddelpunktet indebærer at hvis de endogene variable starter nær det lokale saddelpunkt vil systemet være lokalt asymptotisk stabilt og konvergere mod ligevægten, mens værdier langt 21

22 fra ligevægtspunktet vil være ustabile og konvergerer væk fra den langsigtede ligevægt 19. Her argumenterer (Poterba, 1984, s. 737) for at den stabile arm er den eneste der opfylder transversalitetsbetingelsen, hvilket betyder at boligmarkedet er et stationært system hvor de endogene variable bevæger sig mod den langsigtede ligevægt. Figur 3 kan således omskrives til Figur 4, hvor stød til boligmarkedet automatisk fører markedet mod en ny stabil ligevægt. Figur 4: Fasediagram af stabilt boligmarked Som tidligere antaget er udbuddet af boliger fast på kort sigt, hvilket vil sige at prisen,, reagerer som en springvariabel når der kommer et stød til økonomien. Under antagelse af at agenterne er perfekt forudseende 20 kan et permanent, uventet efterspørgselsstød således skildres som: Figur 5: Fasediagram af efterspørgselsstød 19 Se definitionen af saddelpunkter i (Sydsæter, 2002, s. 57, 64) og boligmarkedsmodeller angivet i saddelpunkter i (Miles, 1994, s. 25), (Pedersen, 2007, s. 119) og (Poterba, 1984, s. 737) 20 Ganske normal antagelse der simplificerer den grafiske analyse. Se (Miles, 1994, s. 25) og (Poterba, 1984, s. 731). Se (Pedersen, 2007, s ) for en analyse af stød under myopiske/adaptive forventninger. 22

23 Figur 5 viser hvorledes et positivt efterspørgselsstød fra til bevæger prisen lodret op fra ligevægten før stødet,, til den stabile arm. Herfra falder prisen i takt med at udbuddet stiger indtil den nye ligevægt nås i. Det ses således hvordan prisen ved et positivt efterspørgselsstød, grundet kortsigtede trægheder i udbuddet, vil overskyde den langsigtede ligevægtspris til at starte med og derefter falde, i takt med at udbuddet øges, indtil markedet er i ligevægt igen. I overensstemmelse med dynamikken i ligning (4-19)-(4-20) vil et positivt efterspørgselsstød altså føre til en ny ligevægt med højere pris og mængde, mens vejen til den nye ligevægt vil gå gennem et prishop efterfulgt af faldende priser og stigende mængde i overensstemmelse med Figur 5. En stor stigning i boligpriserne med et efterfølgende fald, som det sås i finanskrisen, behøver således ikke være udtryk for irrationalitet eller prisbobler, men kan blot være boligmarkedets reaktion på stød og tilpasning til ligevægt. 4.6 Delkonklusion Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel har overordnet set 4 hovedkonklusioner: 1) Teoretisk ramme: Prisen er en springvariabel og udbuddet fast på kort sigt 2) Hældning: Udbudskurven er skrå på lang sigt grundet udbudselasticitet og afskrivninger 3) Dynamik: Skrå efterspørgselskurve og udbudskurve medfører en langsigtet tilpasning i både pris og mængde 4) Vejen til ligevægt: Ligevægten er stabil, hvilket betyder at markedet automatisk bevæger sig tilbage mod ligevægt efter stød Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve skildrer altså et boligmarked hvor fx et positivt efterspørgselsstød vil føre til en øjeblikkelig stigning i prisen, efterfulgt af et stigende boligudbud og faldende pris, indtil markedet når sin nye ligevægt med et højere udbud og prisniveau end før stødet. Modellen forudsiger altså at den danske empiri viser fluktuationer i både de reale priser og boligudbuddet som konsekvens af tidernes udbuds- og efterspørgselsstød. Derudover vil prisens rolle som springvariabel medføre store spring i prisen efterfulgt af modsatrettet pristilpasning efter efterspørgselsstød, mens udbudsstød vil medføre store spring i prisen efterfulgt af yderligere tilpasning i samme retning indtil ligevægten findes. 23

24 Sammenlignes disse forudsigelser med empirien 21 kan det konkluderes at boligudbuddet er steget over tid, mens det ikke ud fra data kan konkluderes om de reale boligpriser er steget eller er konstante over tid. Både udviklingen i boligudbuddet og i den reale pris, hvad enten den er stigende eller konstant, kan dog forklares med den forbrugerdrevne model i det tilfælde at tiderens udbuds- og efterspørgselsstød samlet set har været positive. En samlet stigning i efterspørgslen er jf. afsnittet om dynamik, ensbetydende med at usercosten samlet set over perioden fra 1938 til 2007 er faldet. Dette virker ikke som en uretfærdig antagelse da man umiddelbart godt kunne tro at faktorer som nedslidning og administrations-, drifts- og vedligeholdelsesudgifter kunne være faldet over tid i takt med at nye teknologiske fremskridt har skabt mere robuste boliger. Ligeledes kan et samlet positivt udbudsstød over perioden på samme måde retfærdiggøres med at byggetekniske fremskridt har gjort at nedslidningen/afskrivningsraten af boligen er faldet. Med den rette kombination af udbuds- og efterspørgselsstød stemmer den forbrugerdrevne teori altså umiddelbart godt overens med dansk boligmarkeds empiri. Hvad der er passer mindre godt med den danske empiri er dog definitionen af den reale boligpris som en springvariabel. Dansk empiri viser at boligpriser udviser cyklisk adfærd således at stigninger i prisen ofte efterfølges af stigninger, mens fald ofte efterfølges af fald. Dette står i kontrast til forudsigelsen af den reale boligpris som springvariabel og forudsigelsen om at markedet har været ramt af positive efterspørgselsstød. Der kan være flere årsager til denne uoverensstemmelse mellem teorien og empirien, men uoverensstemmelsen skyldes højst sandsynligt at markedet ikke er perfekt forudseende, herunder perfekt informeret og uden usikkerhed. Hvis denne antagelser i realiteten ikke gælder, betyder det at boligpriserne reagerer med trægheder fordi det tager tid for forbrugeren at indse de nye informationer, stole på de nye informationer, finde bolig, købe/sælge bolig osv. Dette betyder at et positivt efterspørgselsstød ikke vil sende prisen helt op på saddelpunktet til at starte med, men bevæge sig derop med tiden, hvorefter prisen falder med det stigende udbud indtil den nye ligevægt opnås. Denne form for tilpasning synes at stemme godt overens med den cykliske adfærd empirien viser og underbygges derudover af (Case & Shiller, 1989) som ved empiriske undersøgelser i USA har fundet trægheder i boligpriserne. Uoverensstemmelse mellem teorien og empirien betyder således ikke at den teoretiske model er forkert, blot at den er blevet simplificeret for forståelsens skyld og derfor at dens konklusioner skal fortolkes under hensyntagen til modellens begrænsninger. 21 Empirien ses i afsnit 11 24

25 Mens den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve overordnet set synes at kunne forklare den danske boligmarkedsempiri, er der dog nogle teoretiske mangler som kan diskuteres. 4.7 Diskussion af den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel Konklusionen tyder på at den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve i høj grad kan forklare udviklingen på det danske boligmarked. Modellen synes dog at have primært 3 teoretiske mangler, som ikke stemmer overens med teoretisk intuition. Den første mangel er at den forbrugerdrevne model ikke inddrager prisen på land som forklarende variabel 22. Lige som mange andre modeller anvender denne model en Tobin s q tilgang til udbyderens investeringsfunktion, som siger at udbyderen vil investere i nyt boligbyggeri så længe boligprisen er højere end omkostningerne ved at udbyde den nye bolig. Teoretisk set betyder dette at investeringsfunktionen fra ligning (4-8) kan ses som den mængde investering der lukker hullet mellem boligens markedsværdi og boligens omkostninger i form af byggeomkostninger og grundomkostninger. I stil med andre artikler 23 findes grundomkostningerne dog for svære at finde tilfredsstillende data på og der gøres derfor den grundlæggende antagelse at investeringsfunktionen ikke afhænger af grundomkostningerne. Denne antagelse er dog fejlagtig og leder derfor til teoretisk og empirisk forkerte konklusioner. Det andet problem er at modellen ikke tillader tilstedeværelsen af optimerende udbydere 24. Problemet med dette er at det teoretisk set er svært at retfærdiggøre at udbyderen i det danske boligmarked ikke opfører sig optimerende. Det er således svært at forestille sig at udbyderens forventninger til fremtidige prisudviklinger ikke har en effekt på valget af det nutidige udbud. Dette ville betyde at udbuddet i dag var uafhængigt af om udbyderen forventede at kunne få det dobbelte for boligen i morgen, hvilket er svært at forestille sig. Til sidst er det svært foreneligt med det danske boligmarked at udbyderen ikke har nogen tilpasningsomkostninger ved at ændre størrelsen på sit udbud. Således tager den forbrugerdrevne model ikke højde for at en fordobling af en producents udbud er forbundet med en række omkostninger i form af flere ansatte, flere kontorer, mere kapital osv. Til sammen tyder disse intuitive utilstrækkeligheder i teorien på at der er plads til forbedringer, hvilket leder til udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. 22 (Poterba, 1984, s. 734) og (Madsen, 2011, s. 3) 23 Se (Madsen J. B., 2011, s. 2) 24 (Madsen, 2011, s. 2) 25

26 5 Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve Dette afsnit præsenterer den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve, gennemgået i (Madsen J. B., 2011). Teoriens vigtigste bidrag er at inkludere tilpasningsomkostninger, grundomkostninger og optimerende udbydere og på den måde forsøge at tage højde for den kritik den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel blev udsat for. Derudover inkluderes skatter og afgifter på en ny måde, hvilket giver en teoretisk model der adskiller sig fra tidligere modeller. Den udbudsdrevne model tager således udgangspunkt i den optimerende udbyder der udbyder boliger så længe boligpriserne overstiger omkostningerne forbundet med investeringen, tilpasningsomkostninger samt skatter og afgifter. Modellen teoretiserer ligesom den forbrugerdrevne model et boligmarked der på kort sigt kendetegnes ved en aftagende efterspørgselskurve og lodret udbudskurve. På længere sigt adskiller modellen sig dog signifikant fra den forbrugerdrevne model ved at konkludere en flad udbudskurve med den implikation at den reale boligpris på lang sigt alene er givet af udbudsfunktionen. Notationen følger (Madsen J. B., 2011) med undtagelse af definitionen af usercost. Her er ligesom i den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel anvendt usercost definitionen fra (Lunde, 1998) for at skabe sammenlignelighed mellem de 2 modeller samt give en mere intuitiv definition af usercost begrebet. Dette betyder at usercost begrebet der anvendes i dette afsnit vil inkludere den reale skyggepris således at usercost afhænger af størrelsen på det beløb udbyderen har bundet i boligen, samt inkludere den reale boligprisstigning, således at fx en stigning i den reale boligpris kan analyseres som et fald i usercost. Ud over ændringen i definitionen af usercost så er der tilføjet ændringer til den empirisk centrale ligning i (Madsen J. B., 2011, s. 16). Ændringerne består i at tilføje stempelafgifterne, som også indgår i den teoretiske model, men som (Madsen J. B., 2011) ikke har haft mulighed for at inkludere samt at inkludere den korte rente på en ny mere teoretisk og empirisk korrekt facon. Til slut indføres nye antagelser omkring den marginale reale husleje,, og de marginale reale tilpasningsomkostninger, ( ), således at det er muligt at opnå en unik optimalitetsbetingelse. Målet med dette afsnit er at analysere hvordan en teori med udgangspunkt i antagelsen om perfekt elastisk udbud skildrer boligmarkedet, både i ligevægt, efter stød og under tilpasning til ny ligevægt. Analysen forløber som følger: i afsnit 5.1 opstilles den teoretiske ramme for boligmarkedet og dets agenter, afsnit 5.2 udleder agenternes optimale adfærd og afsnit 5.3 konkluderer marke- 26

27 dets langsigtede ligevægt. Herunder analyseres kurvernes hældninger, konsekvensen af stød til markedet og om markedet er et såkaldt stabilt marked, hvor en ny ligevægt kan findes efter et stød. Derefter opsummerer afsnit 5.4 analysen grafisk, afsnit 5.5 gør modellen testbar og sammenlignelig, mens afsnit konkluderer og diskuterer resultaterne. Konklusionen er at den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve umiddelbart synes at stemme godt overens med dansk empiri. 5.1 Den teoretiske ramme Antag et marked med N antal identiske virksomheder der producerer homogene boliger. Antag derudover at renten er eksogent bestemt internationalt. I denne økonomi vil den enkelte virksomheds omsætning afhænge positivt af mængden af boligtjenester,, den sælger og negativt af den samlede mængde boligtjenester tilgængelig på markedet,. Dette giver følgende omsætningsfunktion:, hvor er den marginale reale husleje og er hældningen på den marginale reale husleje. Denne funktion er ækvivalent med den marginale reale huslejefunktion: hvor fra den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel i afsnit 4.1. I modsætning til den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel foretages der dog en yderligere essentiel antagelse om at virksomhederne har en tilpasningsomkostning ved at omstille sig til en ændring i mængden af investeringer 25. Helt lavpraktisk svarer denne antagelse til at en lille virksomhed der bygger 3 boliger om året ikke kan omstille sig til at bygge 1000 boliger om året uden at det koster noget at tilpasse sig, fx flere medarbejdere, større kontorer osv. Den enkelte virksomheds tilpasningsomkostninger antages at afhænge positivt af mængden af boligtjenester den sælger og af tilpasningens størrelse. Således bliver tilpasningsomkostningerne: ( ) hvor, ( ) og ( ). Her tillades der for, i modsætning til (Madsen J. B., 2011, s. 4), at væksten i tilpasningsomkostningerne kan være 0 i det tilfælde at der ikke er nogen tilpasning. Den enkelte virksomheds optimeringsproblem kan nu opstilles i følgende tilbagediskonterede profitmaksimeringsproblem i kontinuert tid: 25 Denne omkostning kaldes her tilpasningsomkostninger, men er ofte refereret som adjustment costs i litteraturen. Der fokuseres her på de traditionelle interne kapital omkostninger fordi de bedst beskriver virkeligheden ifølge (Eberly, Rebelo, & Vincent, 2009), men der gøres her opmærksom på at andre typer af tilpasningsomkostninger også er foreslået, jf. (Romer, 2012, s. 408). 27

28 { [ ( ) ] } (5-1) Under betingelse af: (5-2) Hvor det påkrævede afkast er givet ved og for simpelhedens skyld antages at være konstant. Notationen er at er den nominelle rente, er indkomstskatten, er virksomhedens investeringer i nybyggeri, er stempelafgifter, er moms og er nedslidning af boligmassen. For simplifikationens skyld antages investeringer og tilpasningsomkostninger at måles i reale termer, selvom stempelafgift og moms beregnes ud fra de nominelle værdier. Ovenstående simplificeringer påvirker dog ikke modellens resultater og er udelukkende taget for at få en mere overskuelig model 26. Denne måde at opstille optimeringsproblemet på introducerer muligheden for tilpasningsomkostninger samt muligheden for en optimerende udbyder der maksimerer sin profit over tid. Således tager modellen højde for noget af den kritik den forbrugerdrevne model blev udsat for. Derudover inkluderer modellen moms og stempelafgift som en omkostning der skal tages højde for, hvilket betyder at modellen teoretisk set bliver mere realistisk. 5.2 Optimal adfærd Til maksimering af udbyderens profitfunktion anvendes Maximum Princippet fra kontrolteori, som er en udvidelse af Euler ligningen fra den klassiske variationsregning. Målet er at maksimere integralet af den tilbagediskonterede profit i en uendelig tidshorisont og finde den optimale adfærd for udbyderen. Indførslen af tilpasningsomkostninger medfører dog at den optimerende udbyder må tage højde for fremtiden og dermed kommer hans forventningsdannelse til at spille en fremtrædende rolle. For at undgå tidligere modellers kontraintuitive resultat, hvor perfekt mobilitet medfører at markedet øjeblikkeligt kommer i ligevægt efter et eksternt stød, så arbejder denne model med at markedet kun skridtvis bevæger sig mod ligevægt efter et eksternt stød. Denne antagelse synes at stemme bedre overens med empiriske beviser på træghed i investeringsadfærden 27. Udbyderens optimeringsproblem består nu i at finde den kombination af og der opfylder betingelsen i ligning (5-2) og maksimerer ligning (5-1). Til dette formål anvendes maksi- 26 (Madsen, 2011, s. 4) 27 (Groth, 2011) 28

29 mumprincippet for et tilbagediskonteret kontrolproblem i kontinuert tid med uendelig horisont 28 : Maksimumprincippet: Antag at t I t er et tilladt par for ligning (5-1) og (5-2). I dette tilfælde findes der en kontinuert funktion q t og en konstant q således at følgende betingelser gælder for t t : a) Hvis q t for t t, er q b) I I t maksimerer Η t t I q t for I U ; c) q t rq t Η t t I t q t Princippet opstiller de nødvendige betingelser og må opfylde for at kunne være optimale. Derudover opstilles transversalitetsbetingelsen sædvanligvis også dels for at begrænse mængden af løsningskandidater 29, dels for at give et stabilt markedssystem 30 og dels for at teorien afspejler virkeligheden bedst muligt 31. Til anvendelse af maksimumprincippet defineres Hamilton funktionen,, som er kontrolteoriens parallel til Lagrange funktionen som begge bruges når modeller under bibetingelser skal optimeres. Hamilton funktionen i kontinuert tid med uendelig tidshorisont skrives således 32 : ( ( ) ) (5-3) Funktionen består af 3 typer variable: En kontrol variabel,, som virksomheden frit kan kontrollere; en tilstandsvariabel,, som er bestemt af tidligere investeringsbeslutninger; og en skyggevariabel,, der repræsenterer skyggeværdien 33 af en ændring i tilstandsvariablen. 28 (Sydsæter, 2002, s. 399) 29 Mængden af løsningskandidater bliver uendelig stor hvis ikke man anvender denne betingelse jf. (Sydsæter, 2002, s. 399) 30 Alternativt ville et stød til økonomien være forbundet med en ustabil tilstand hvor økonomien bevæger sig væk fra ligevægt jf. (Poterba, 1984, s. 737) og (Pedersen, 2007) 31 Ofte vil denne betingelse give en mere realistisk model i og med at den kan tilpasses rimelig frit til at stemme overens med virkeligheden jf. (Sydsæter, 2002, s. 399) 32 Vær opmærksom på at funktionen er opstillet i current value som alternativ til at skrive den i present value. Begge opstillinger giver dog samme resultat. 29

30 Hamilton funktionens formål er at udtrykke hvilken effekt en ændring i kontrolvariablen,, vil have på udbyderens intertemporale profitmaksimeringsfunktion. Denne effekt kan opdeles i en direkte effekt og en indirekte effekt, hvor den direkte effekt måler investeringens indflydelse på omsætning og omkostninger (dvs. ændringen i ), mens den indirekte effekt måler investeringens indflydelse på tilstandsvariablen,. Da er skyggeværdien af en ændring i tilstandsvariablen og ændringen er givet i ligning (5-2) som, måles den indirekte effekt således som. Denne funktion opsummerer altså den totale effekt en ændring i investeringer vil have på udbyderens intertemporale profitmaksimeringsfunktion. Hamiltonfunktionen er dermed udgangspunktet for at udregne de efterfølgende betingelser fra maksimumprincippet. Ad maksimumprincippet punkt b) følger det at udbyderen vil øge investeringer indtil hamiltonfunktionen er maksimeret mht. investeringerne, dvs.. ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( )) (5-4) ( ) Hvis man ser bort fra stempelafgifter og moms kan ligning (5-4) fortolkes på 2 måder. Fra den midterste linje ses det at skyggeværdien af en ekstra boligenhed er lig med udbyderens udgifter til den ekstra investering (normaliseret til 1) plus hans marginale tilpasningsomkostninger. Alternativt er den nederste linje udtryk for den klassiske Tobin s q tilgang, hvor medfører en positiv udvikling i boligudbuddet. Begge forklaringer kan fortolkes som at virksomheden øger investeringen i boliger indtil det punkt hvor de marginale indtægter for en ekstra boligenhed er lig med de marginale omkostninger ved at bygge den ekstra enhed bolig. Ad maksimumprincippet punkt c) følger det at en anden nødvendig betingelse for optimerende adfærd er at producenten udbyder boligenheder indtil:. 33 Hvis boligenheder blev målt i kvadratmeter og der fandtes et marked for kvadratmeter så ville udbyderens værdi af at tilbyde en ekstra kvadratmeter, alt andet lige, være lig med skyggevædien,. 30

31 ( ( )) ( ) ( ) (5-5) ( ( )) Betingelsen har paralleller til den marginale reale husleje,, som bruges til udledningen af efterspørgselsrelationen i ligning (4-1) i den forbrugerdrevne model. I den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel argumenteres der fra forbrugerens side for at den marginale reale husleje må være lig med forbrugerens marginale omkostning ved at købe den ekstra enhed bolig. Her argumenteres der ud fra udbyderens synsvinkel at han udbyder boliger indtil det punkt hvor hans marginale omkostninger ved at udbyde boligen er lig med den marginale profit han kan få for at udbyde boligen. 2. linje i ligning (5-5) udtrykker således på venstre side udbyderens marginale reale profit ved at ændre i udbuddet af boliger, mens højre side udtrykker udbyderens marginale usercost forbundet med at udbyde boliger. Her er udbyderens usercost givet ved 1) den rente han forbigår ved at binde penge til boligen,, 2) afskrivning på boligen grundet nedslidning,, og 3) ændringer i den reale pris,, således at usercost af at udleje boligen i stedet for at sælge den bliver 34 : ( ). Denne definition adskiller sig fra definitionen i (Madsen J. B., 2011), men er mere intuitiv korrekt. Til sammen siger de 2 første førsteordensbetingelser i ligning (5-4) og (5-5) at: 1) den marginale reale værdi af en ekstra boligenhed er lig de marginale omkostningerne ved at opføre denne og 2) det marginale reale afkast af en ekstra boligenhed er lig den marginale omkostning. Disse 2 betingelser er tydeligvis nødvendige betingelser for optimerende adfærd, men som nævnt under maksimumprincippet tilføjes oftest en ekstra betingelse for at begrænse mæng- 34 Definitionen er taget fra (Romer, 2012, s ), som står i kontrast til definitionen af usercost i (Madsen, 2011) som i stedet definerer usercost som. 31

32 den af løsningsmuligheder. Derfor opstilles følgende transversalitetsbetingelse i kontinuert tid: lim (5-6) Betingelsen siger at nutidsværdien af en boligenhed på uendelig sigt er 0, hvilket som tidligere nævnt er nødvendigt for at sikre stabilitet, en endelig mængde løsninger og overensstemmelse med virkeligheden. Maksimumprincippet giver de nødvendige betingelser for optimerende adfærd i ligningerne (5-4) - (5-6), men ikke nødvendigvis de tilstrækkelige. For at sikre at betingelserne også er tilstrækkelige anvendes Mangasarians tilstrækkelighed betingelser 35 : Mangasarians tilstrækkeligheds betingelser: Antag at et tilladt par t I t for ligning (5-1) og (5-2) med konveks mængde U, tilfredsstiller betingelserne b) og c) i maksimumprincippet med q. Antag derudover at a) Η t I q t er konkav i I b) lim t e rt q t t t for alle t Hvis dette gælder, er parret t I t optimalt. Til bestemmelse af Hamilton funktionens konkavitet anvendes første- og andenordens afledte af ligning (5-3). Her er det især funktionerne og ( ) der skal analyseres, da de andre led i funktionen er lineære sammenhænge der forsvinder som konstanter ved dobbelt differentiation. I afsnit 5 defineredes som udbyderens marginale omsætningsfunktion der var negativt afhængig af størrelsen på det samlede udbud. Den anden afledte optræder ikke eksplicit i (Madsen J. B., 2011), men er i denne opgave defineret som. Med denne definition kan det derfor konkluderes at første del af Hamilton funktionen,, er konkav 36. For at hele Hamilton funktionen skal være konkav i kræver det dog yderligere at tilpasningsfunktionen også lever op til konkavitet. Denne funktion er defineret som strengt konveks 35 (Sydsæter, 2002, s. 400) 36 Hvis første del af Hamilton funktionen defineres som omsætningen, lad os her kalde den, så kan det ses at må være konkav da, svarende til at. Her er omsætningen funktionen, den marginale husleje den afledte funktion og væksten i den marginale husleje den dobbelt afledte funktion. Når funktionens dobbelt afledte er mindre end 0 er funktionen konkav, (Sydsæter, 2002, s ) 32

33 i afsnit 5, og da denne funktion optræder negativt i Hamilton funktionen betyder det nødvendigvis at Hamilton funktionen samlet set må være strengt konkav 37. Dermed er punkt a) fra Mangasarians tilstrækkeligheds betingelse opfyldt og punkt b) bliver dernæst afgørende for om ligningerne (5-4)-(5-6) er tilstrækkelige betingelser for at sikre at udbyderen udviser optimal adfærd. Dette punkt er ofte overset i litteraturen 38 eller udledt utilstrækkeligt. I denne boligmodel kan det dog udledes at 3 betingelser skal være opfyldt: 1) Transversalitetsbetingelsen i ligning (5-6) holder 2) Udbuddet af boligenheder,, er ikke negativt 3) Tilbagediskonteret skyggepris går mod 0 for gående mod uendelig Da betingelse 1) og 2) stemmer overens med intuitionen og betingelse 3) kan udledes af betingelse 1) 39 kan det antages at betingelserne holder. Dermed er punkt b) i Mangasarians tilstrækkeligheds betingelser også opfyldt og betingelserne i ligningerne (5-4)-(5-6) er tilstrækkelige til at udlede udbyderens optimale adfærd. 5.3 Ligevægt Med udgangspunkt i betingelserne for optimal adfærd kan markedets ligevægt udledes. Ligevægten på lang sigt defineres fra ligning (5-4) og (5-5) ud fra antagelsen om at alle stød til økonomien er inkorporeret i markedet således at priser og mængder har fundet et stabilt niveau, dvs.. Dette giver følgende ligninger for den langsigtede ligevægt: ( ) (5-7) Og: ( ( )) (5-8) 37 (Groth, 2011, s. 517) 38 (Sydsæter, 2002, s. 400). (Madsen, 2011) er et eksempel på et paper hvor der ikke gøres rede for Mangasarians tilstrækkeligheds betingelser. 39 Bevis findes i (Groth, 2011, s. 535) eller (Romer, 2012, s. 412) 33

34 Ligning (5-8) gælder under yderligere antagelse af at og, når, hvilket adskiller sig marginalt fra antagelserne i (Madsen J. B., 2011, s. 4). Antagelserne er dog intuitive da de konkluderer at der ikke er nogen tilpasningsomkostninger når der ingen tilpasning er. Ligning (5-7) er det man normalt forbinder med udbudskurven på et marked. Den siger at, i ligevægt vil værdien af en boligenhed være lig med udbyderens omkostninger for denne boligenhed. Jævnfør midterste linje i ligning (5-4) er denne omkostning lig med prisen for investeringen (normaliseret til 1) ganget med moms og stempelafgifter, hvilket summerer til ligning (5-7). Omvendt er ligning (5-8) det man normalt forbinder med en efterspørgselskurve. Ligningen siger at, i ligevægt vil værdien af en boligenhed være lig med ratioen mellem boligenhedens marginale indtægter og marginale omkostninger. Er det således dyrere at have en bolig, enten fordi indtægterne er faldet eller omkostningerne er steget, vil udbyderen ikke efterspørge lige så mange boliger han kan sælge. Markedets ligevægt kan nu findes i det punkt som løser det simultane ligningssystem angivet i (5-7)-(5-8). For at kunne analysere den samlede boligmarkedsmodel og dens implikationer for boligpriserne på lang sigt er det dog nødvendigt yderligere at definere 3 forhold: 1) Kurvernes hældning 2) Kurvernes reaktion på stød 3) Vejen til ny ligevægt Hældning Det er åbenlyst vigtigt for analysen af et boligmarked om kurverne for udbud og efterspørgsel er lodrette, vandrette eller et sted derimellem. Derfor totaldifferentieres ligevægtsbetingelserne i ligning (5-7) og (5-8) for at udlede hældningen på kurverne. Ved totaldifferentiering af ligning (5-7) fås hældningen på udbudskurven til: (5-9) Hvilket, under antagelse af at der i ligevægt ikke kommer stød til moms eller stempelafgifter, dvs., giver: (5-10) 34

35 Ligningen siger at ændringen i på lang sigt er 0, hvilket betyder at hældningen på udbudskurven er horisontal,. Denne konklusion betyder at prisen på lang sigt er uafhængig af boligudbuddet, hvilket ofte fortolkes som den grundlæggende antagelse om at udbuddet er perfekt elastisk. Fortolkningen er at med et perfekt elastisk udbud hvor hverken grunde, arbejdskraft eller materialer er en knap ressource på lang sigt vil en øget pris altid modsvares af et øget udbud indtil prisen er tilbage til udgangspunktet. Her er især antagelsen om at der på lang sigt ikke er knaphed i grunde ofte blevet udfordret, bl.a. af Ricardo der teoretiserede at mængden af land lå fast og at ressourcen dermed med tiden bliver knap i takt med befolkningen stiger og mere og mere land bliver anvendt. En alternativ teori tager udgangspunkt i at land ikke er todimensionelt, men også kan anvendes i højden, i dybden, udvides på havet osv. i takt med at teknologien udvikles. Derfor er det selv i København centrum muligt på lang sigt at møde efterspørgslen ved at bygge højere bygninger, lave kælderlejligheder, parkeringskældre, en ny bydel osv. Teoretisk set er der således delte meninger om hvorledes den flade udbudskurve kan påvises empirisk. Ligeledes kan hældningen på efterspørgselskurven udledes ved at totaldifferentiere ligning (5-8): (5-11) Under antagelse af at der i ligevægt ikke kommer stød til hverken det krævede afkast eller afskrivningen på boligen bliver og ligning (5-11) reduceres til: (5-12) Da og viser ligningen at hældningen på efterspørgselskurven er negativ. Dette svarer intuitivt til at forbrugeren sætter mindre pris på kvadratmeter nummer 501 end på kvadratmeter nummer 1. Afsnittet teoretiserer altså et boligmarked med en aftagende efterspørgselskurve og en flad udbudskurve, hvilket i det efterfølgende afsnit vil have betydning for effekten af et stød. 35

36 5.3.2 Dynamik Formålet med dette afsnit er at udlede hvilken effekt forskellige eksogene stød vil have på ligevægten. Afsnittet tager derfor udgangspunkt i de to totaldifferentierede ligninger (5-9) og (5-11), som netop måler ændringerne i systemets variable. Fra ligningerne ses det hvordan et stød til de eksogene variable: påvirker de endogene variable:. Målet er således at udlede og ved stød til de eksogene variable. Ifølge Cramer 40 kan ligningssystemet løses i det tilfælde at determinanten er forskellig fra 0. For at undersøge denne forudsætning opstilles ligningerne i et Cramersk ligningssystem, hvor de eksogene variable samles i og for overskuelighedens skyld. Således kan ligning (5-9) og (5-11) opstilles som: (5-13) Hvilket tager følgende matrixform: (5-14) Determinanten udledes nu på baggrund af koefficientmatricen som er defineret som det første led i ligning (5-14): (5-15) Da determinanten er forskellig fra 0 betyder det at koefficientmatricen er regulær og at de ubekendte variable og entydigt, ved anvendelse af den Cramerske regel 41, kan bestemmes som: (5-16) (5-17) 40 (Hansen & Olesen, 1999, s ) 41 Se bilag

37 (5-18) (5-19) De første 2 ligninger skildrer hhv. mængden og prisens reaktion på et efterspørgselsstød, mens de sidste 2 skildrer hhv. mængden og prisens reaktion på et udbudsstød. Her er et negativt efterspørgselsstød givet ved en stigning i. Intuitionen er at en stigning i afskrivninger eller krævede afkast medfører at udbyderens omkostning ved at eje boligenheder stiger og dermed falder hans efterspørgsel efter boligenheder. Omvendt er et negativt udbudsstød givet ved en stigning i. Her er intuitionen at en stigning i moms eller stempelafgifter betyder at prisen for at bygge en boligenhed er steget, hvilket i den langsigtede ligevægt vil betyde et fald i udbuddet 42. Fra ligningerne (5-16) og (5-17) udledes det således at et negativt efterspørgselsstød medfører en ligevægt med et lavere antal boligenheder til samme skyggepris. Samtidig viser ligningerne (5-18) og (5-19) hvordan et negativt udbudsstød fører til en ny ligevægt hvor skyggeprisen er steget mens antallet af boligenheder er faldet Vejen til ligevægt Fra ligningerne (5-10) og (5-12) konkluderedes kurvernes hældning, mens ligningerne (5-16)- (5-19) definerede hvilken effekt et stød vil have på de endogene variable. Det sidste der mangler, er at definere hvordan de endogene variable opfører sig når de er ude af ligevægt. Derfor reformuleres den oprindelige optimalitetsbetingelse for udbuddet fra ligning (5-4) til: ( ) (5-20) Denne ligning er udtryk for udbyderens optimale udbudsadfærd, som er i ligevægt, dvs., når ( ), hvilket blev bevist i ligning (5-7). I det tilfælde at der har været et stød til økonomien så man ikke længere er i ligevægt kan det udledes hvorledes udbuddet bevæger sig ved at se på ved forskellige værdier af. For et givet viser ligning (5-20) sig 42 Faldet i udbuddet vil primært foregå gennem nedslidning af den stående boligmasse, da man sjældent regulerer boligmassen gennem nedrivning. 37

38 at være større end 0 for og mindre end 0 for. Hvilket opsummeres til: { (5-21) Opstillet grafisk giver dette følgende udbudskurve: Figur 6: Udbuddet i og uden for ligevægt Grafen viser at i tilfælde af at der er kommet et stød således at ligger over ligevægt så vil stige. Som forklaret under ligning (5-7) så er dette ganske intuitivt da et højt er forbundet med at værdien af en boligenhed er højere end omkostningerne ved at udbyde den og udbyderen vil derfor øge sin profit ved at øge udbuddet. Ligeledes reformuleres optimalitetsbetingelsen for efterspørgslen fra ligning (5-5) som: ( ( )) (5-22) Denne ligning viser, som defineret i ligning (5-8), at efterspørgselskurven er i ligevægt når. Hvis man definerer ligevægts- som og antager at udbuddet er fast på kort sigt, kan det udledes fra ligning (5-22) at er stigende for og faldende for, hvilket opsummeres i ligning (5-23) som: (5-23) { 38

39 Dette kan opstilles grafisk i følgende efterspørgselskurve: Figur 7: Efterspørgslen i og uden for ligevægt Her viser grafen hvorledes reagerer på en uligevægt når er fast. Punktet A er således udtryk for at der har været et eksogent stød der har hævet over ligevægtsniveauet, hvilket fører til at stiger, jf. ligning (5-23). Ligeledes vil et under ligevægtsniveauet medføre at falder. Intuitionen er at et højt betyder at de marginale indtægter for boligen er højere end de marginale omkostninger for boligen, hvilket hæver efterspørgerens værdi af boligenheder, dvs. stiger. 5.4 Grafisk analyse Den matematiske udledning af kurverne, deres hældning, effekten af stød og vejen tilbage til ligevægt kan nu opstilles grafisk i følgende fasediagram der summerer hele den teoretiske boligmarkedsmodel: 39

40 Figur 8: Fasediagram af boligmarkedet Figuren viser hvordan og bevæger sig over tid for at opfylde udbyderens intertemporale optimalitetsbetingelser fra ligning (5-4)-(5-5). Systemet er forbundet med en stabil arm, som vil føre de endogene variable tilbage mod ligevægt i tilfælde af stød, og en ustabil arm, som vil føre de endogene variable væk fra ligevægt i tilfælde af stød. Denne type ligevægt kaldes et saddelpunkt og er defineret ved at have en negativ determinant 43, hvilket også er tilfældet for denne model, jf. ligning (5-15). Da modellen er udregnet på baggrund af et fast initialt 44, vil det være definitionen af der afgør om systemet er stabilt eller ustabilt på lang sigt. Derfor opstilles Figur 9, hvor udviklingen i og skildres under antagelse af et fast initialt med forskellige initiale værdier af. Figur 9: Fasediagram af udbud og efterspørgsel i og uden for ligevægt 43 (Sydsæter, 2002, s. 57, 64) 44 Jævnfør udledningen af ligning (5-21) og (5-23) 40

41 Figuren viser en række forskellige veje markedet kan tage alt efter hvilken værdi det initiale tager. Alle disse veje opfylder udbyderens intertemporale optimalitetsbetingelser, men det skal vise sig at kun den initiale -værdi i punktet D er mulig en vej under følgende 2 antagelser 45 : 1) Fra Figur 9 ses det at et initialt startende i punkt E, F eller G på sigt medfører negative værdier af og når, hvilket ikke giver intuitiv mening. Disse veje er således ikke mulige. 2) I punkterne A, B og C medfører det initiale at og går mod uendelig for. Disse veje er heller ikke mulige da det er antaget i transversalitetsbetingelsen i ligning (5-6) at lim. Under antagelse af transversalitetsbetingelsen, og er den stabile arm derfor den eneste mulige vej og modellen beskriver således et stationært system hvor og konvergerer mod den langsigtede ligevægt. Dette giver den endelige boligmarkedsmodel, kendt fra (Madsen J. B., 2011, s. 9-10) og præsenteret i Figur 10: Figur 10: Fasediagram af stabilt boligmarked Figuren opsummerer alle betingelser og antagelser og viser hvorledes de endogene variable vil gå mod ligevægt på lang sigt. Udsættes systemet for stød, vil der fremkomme et nyt optimalt som udbyderen vil sigte efter, og springvariablen vil for dette givne tage værdien der er konsistent med den stabile arm. Dette eksemplificeres i følgende 2 figurer: 45 (Romer, 2012, s. 62, 418), (Hayashi, 1982) 41

42 Figur 11: Fasediagram af efterspørgselsstød Figur 12: Fasediagram af udbudsstød Figur 11 er udtryk for et negativt efterspørgselsstød. Dette stød medfører at springvariablen straks falder indtil det ligger på den stabile arm, hvorfra de endogene variable vil bevæge sig mod den nye langsigtede ligevægt. Intuitionen er at et negativt efterspørgselsstød er ensbetydende med at omkostningerne ved at eje en bolig er steget og efterspørgeren sætter derfor mindre værdi på at eje boligen, dvs. faldende. Efterspørgerens lavere værdi betyder at det ikke kan betale sig for udbyderen at lave flere boligenheder og udbuddet falder således i takt med nedslidningen af boligmassen. Samtidig med at udbuddet falder, vil marginal husleje for en boligenhed dog stige, da, hvilket betyder at efterspørgerens værdi af at eje bolig stiger indtil markedet igen er i ligevægt 46. Figur 12 er udtryk for et negativt udbudsstød. Her ses det hvordan straks stiger til den stabile arm, hvilket er det eneste mulige der er i overensstemmelse med den nye udbudskurve og det givne udbud på kort sigt. Herfra vil de endogene variable bevæge sig ad den stabile arm mod den nye langsigts ligevægt. Intuitionen er at et negativt udbudsstød medfører at omkostningen ved at bygge er steget, hvilket straks øger værdien af en bolig. I takt med at udbuddet falder som følge af nedslidning og manglende investeringer vil den marginale husleje,, stige og stiger jf. ligning (5-8), indtil markedet igen er i ligevægt. Lige som i den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel er det stadig huslejen der clearer markedet og på dette punkt er de to teorier således sammenfaldende. 46 Ligningerne (og teksten til disse) der underbygger denne intuition er følgende: (5-7), (5-8), (5-16) og (5-17). 42

43 5.5 Skyggeprisens relation til den reale boligpris Indtil videre er skyggeprisen anvendt som endogen variabel, men for at kunne teste teorien er det nødvendigt at omformulere denne skyggepris til en testbar real boligpris. Dette gøres gennem 2 skridt: Først defineres skyggeprisens sammenhæng med den reale boligpris samt hvilke antagelser der skal være gældende for at denne definition er korrekt specificeret. Dernæst indsættes definitionen af skyggeprisen i den teoretiske model således at modellen bliver en funktion af den reale boligpris i stedet for en funktion af skyggeprisen. Dermed bliver modellen testbar og mere intuitiv Tobin s q Igennem afsnit 5 arbejdes der med skyggeprisen,, som er udbyderens værdi af at udbyde en ekstra enhed bolig. Dette kunne fx forstås som hvad udbyderen kan sælge en ekstra kvadratmeter for i forhold til hvad det koster ham at tilføje den. Denne skyggepris,, er essentiel for udbyderens optimeringsproblem fordi den inkorporerer al fremtidig information relevant for investeringsbeslutningen samt den samlede efterspørgsel efter produktet 47. Dette betyder, at når først er kendt, skal udbyderen ikke bruge mange flere informationer før han kan træffe sin optimale investeringsbeslutning. Den marginale som ifølge teoriens skal anvendes er dog ikke direkte observerbar, da fx prisen på en ekstra kvadratmeter ikke kan bestemmes, fordi den ikke bliver handlet på et marked, men som del af et samlet gode: boligen plus grund plus beliggenhed. Litteraturen har derfor ofte, som alternativ, anvendt det gennemsnitlige, som er defineret som ratioen mellem det samlede godes pris og omkostningerne ved at udbyde det. Dette er dog teoretisk set forkert, med mindre man kan bevise et sammenfald mellem det marginal og det gennemsnitlige. Netop dette sammenfald kan bevises at gælde i det tilfælde at udbyderen kan betegnes som pristager med konstant skalaafkast i både omsætningsfunktionen,, og tilpasningsfunktionen, ( ), hvilket antages i denne model 48. Derfor er det muligt at anvende det gennemsnitlige, formuleret af (Tobin, 1969) som ratioen mellem aktivets markedsværdi og dets erstatningsomkostninger, hvilket i tilfældet med boligen giver følgende sammenhæng: 47 (Hayashi, 1982, s. 218) 48 Bevis for homogenitetsantagelsen i (Hayashi, 1982), mens dens anvendelighed i denne model antages i (Madsen, 2011, s. 5) 43

44 (5-24) Hvor er boligens reale markedspris, er boligens reale byggeomkostninger, er den reale pris for byggegrunden og er en konstant der vægter omkostningerne over for hinanden og tager en værdi mellem 0 og 1. Et er således udtryk for at markedsværdien af en bolig er større end omkostningerne ved at bygge en bolig præcis magen til på samme beliggenhed. Virksomheden vil i dette tilfælde øge sine investeringer i nybyggeri hvilket øger udbuddet og sænker prisen indtil. Definitionen af et Tobin s q der inkluderer grundomkostninger er teoretisk set ikke et nyt tiltag, men mange artikler 49 antager alligevel ofte at der ikke er nogen grundomkostninger for at få en empirisk testbar model med den konsekvens at modellen bliver teoretisk og empirisk unøjagtig. Derfor er inkluderingen af grundomkostninger i denne model et vigtigt tiltag til at give en teoretisk og empirisk mere korrekt model Boligprisen Indsættes udtrykket nu i betingelserne for udbyderens optimale adfærd, hvilket betyder at ligning (5-24) indsættes i ligning (5-4), kan den langsigtede pris udledes som: ( ) ( [ ) ( ) ] (5-25) Hvilket under antagelse af ligevægt på lang sigt,, giver den langsigtede ligevægtspris for en bolig: ( ) (5-26) Denne ligning definerer hvilke determinanter der teoretisk set bestemmer den langsigtede reale boligpris under antagelsen om en flad udbudskurve. Den viser således at de langsigtede boligpriser ikke påvirkes af efterspørgslen, men udelukkende bestemmes af de samlede omkostninger ved at udbyde en bolig. 49 (Madsen J. B., 2011, s. 2) 44

45 5.6 Delkonklusion Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve har overordnet set 5 hovedkonklusioner: 1) Teoretisk ramme: Prisen er en springvariabel, udbuddet fast på kort sigt og udbyderen er profitmaksimerende 2) Hældning: Udbudskurven er flad på lang sigt grundet antagelsen om perfekt elastisk udbud 3) Dynamik: Skrå efterspørgselskurve og flad udbudskurve medfører en langsigtet tilpasning i mængden således at den langsigtede pris er en konstant funktion af udbudsrelationen og ikke afhænger af efterspørgselsstød 4) Vejen til ligevægt: Ligevægten er stabil, hvilket betyder at markedet automatisk bevæger sig tilbage mod ligevægt efter stød 5) Nye tiltag: Inkluderingen af optimerende udbydere, tilpasningsomkostninger, grundomkostninger samt moms og stempelafgifter synes at give en velfungerende model Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve skildrer altså et boligmarked hvor fx et positivt efterspørgselsstød vil føre til en øjeblikkelig stigning i prisen, efterfulgt af et stigende udbud og en faldende pris indtil markedet når den nye ligevægt, som sammenlignet med ligevægten før stødet, har et højere udbud til den samme reale boligpris. Modellen forudsiger altså at den danske empiri kan vise fluktuationer i både de reale priser og boligudbuddet som konsekvens af tidernes udbuds- og efterspørgselsstød. Dog vil den reale boligpris på lang sigt være konstant i det tilfælde at udbudsstød er udeblevet eller har udlignet hinanden over tid. Til sidst vil prisens rolle som springvariabel betyde at efterspørgselsstødene medfører at empirien bør vise store spring i prisen efterfulgt af modsatrettet pristilpasning indtil ligevægten findes. Som diskuteret i delkonklusionen til den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel er der gode grunde til at prisen i praksis ikke opfører sig som springvariabel. Dette resultat betyder dog ikke at teorien bør forkastes, men blot at konklusionerne skal tage højde for at der er en hvis træghed i pristilpasningen grundet imperfekt information, imperfekt forudseenhed og usikkerhed. Dette skaber en cyklisk prisudvikling der stemmer godt overens med dansk empiri 50. Empirien viser desuden et stigende boligudbud samt en stigende eller konstant real boligprisudvikling 51, som skal kunne forklares af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel. 50 Empirien ses i afsnit Empirien ses i afsnit 11 45

46 Da den udbudsdrevne boligmarkedsmodel tager udgangspunkt i skyggeprisen defineret som, vil en real boligprisstigning alt andet lige betyde en stigning i skyggeprisen, mens en konstant real boligpris alt andet lige vil betyde en konstant skyggepris. Dansk empiri viser at der har været et samlet set negativt udbudsstød over tid, forbundet med en stigning i moms og stempelafgifter, hvilket betyder at skyggeprisen er steget over tid. Med mindre de reale bygge- og grundomkostningerne er faldet over tid, hvilket ikke synes plausibelt, så betyder denne stigning i skyggeprisen at også boligpriserne vil være steget realt over tid, hvilket stemmer godt overens med data. Derudover kan det empirisk stigende boligudbud forklares med et samlet set positivt efterspørgselsstød som ligesom i den forbrugerdrevne model er udtryk for et fald i nedslidningen/afskrivningsraten som følge af teknologiske fremskridt der gør boligen mere robust. Den udbudsdrevne model med flad udbudskurve, hvis mest centrale tiltag er introduktionen af den optimerende udbyder, tilpasningsomkostninger, grundomkostninger samt moms og stempelafgifter, synes således umiddelbart at stemme godt overens med dansk empirisk data. 5.7 Diskussion af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel Konklusionen tyder på at også den udbudsdrevne boligmarkedsmodel i første omgang synes at kunne forklare den empiriske udvikling på det danske boligmarked. Der kan dog være tvivl om hvor forbrugeren er repræsenteret i denne boligmarkedsmodel. Svaret er, at det er han gennem efterspørgselsfunktionen. Boligens dualitet betyder at boligmarkedet består af udbud af og efterspørgsel efter hhv. boligen som forbrugsobjekt og boligen som investeringsobjekt. Den forbrugerdrevne model tager udgangspunkt i boligen som forbrugsobjekt, hvor forbrugerne efterspørger noget at bo i og udbyderen tilfredsstiller dette forbrugsbehov. Omvendt tager den udbudsdrevne boligmarkedsmodel udgangspunkt i boligen som investeringsobjekt, hvor en agent efterspørger boligen til udlejning mens en udbyder bygger boligen. De 2 modeller tager således udgangspunkt i hhv. markedet for boligforbrug og markedet for boliginvesteringer. I ligevægt må der dog nødvendigvis være ligevægt imellem de 2 markeder, hvilket betyder at ligevægtsprisen og -mængden i den udbudsdrevne boligmarkedsmodel for investeringsmarkedet nødvendigvis må være lig med ligevægtsprisen og -mængden i den udbudsdrevne model for markedet for boligforbrug. Dette beviser (Madsen J. B., 2011, s ) er sandt, hvilket betyder at den udbudsdrevne models ligevægtsfunktioner for udbud og efterspørgsel er de samme for forbrugerne i markedet for boligforbrug som de er for udbyderne i markedet for 46

47 boliginvesteringer 52. Således er den optimerende forbruger lige så repræsenteret i den udbudsdrevne boligmarkedsmodel som den optimerende udbyder er og modellen skildrer derfor et mere teoretisk korrekt boligmarked. Modellen synes således at være både teoretisk og empirisk fyldestgørende. Det er dog værd at bemærke at modellen for overskuelighedens skyld har foretaget en række simplificeringer, hvor de vigtigste der skal nævnes er manglende usikkerhed, manglende markedsimperfektioner og en forsimplet tilpasningsomkostningsfunktion 53. Disse simplificeringer kan relativt enkelt inkluderes i modellen hvis det findes empirisk relevant, men da de ikke umiddelbart har konsekvenser for modellens konklusioner så overlades dette til fremtidige artikler. 6 Modellerne teoretisk over for hinanden Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel er blevet analyseret og synes begge at stemme udemærket overens med dansk empiri. For at kunne konkludere hvilken af de 2 modeller der beskriver dansk empiri bedst er det derfor nødvendigt at lave en dybere økonometrisk test for sammenhængen mellem den individuelle model og data. Til dette formål er det fordelagtigt at klarlægge præcis hvad der adskiller de 2 modeller således at 2 forskellige hypoteser kan holdes op mod hinanden. Opgavens analyse har indtil videre givet nogle ideer om hvad der adskiller modellerne, men den stringente matematiske analyse af teorierne muliggør følgende en direkte sammenligning af de 2 modeller: Tabel 2: Overblik over teoriernes hovedkonklusioner Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel Ligevægt: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve) Ligevægt: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve) (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) 52 Eneste forskel er at tidspræferencer tager det krævede afkasts plads i efterspørgselsfunktionen når der skiftes fra markedet for investeringer til markedet for boligforbrug. 53 (Romer, 2012, s ) 47

48 Hældning: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve) Hældning: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve) (6-5) (6-6) (6-7) (6-8) Dynamik: Dynamik: (6-9) (6-10) (6-11) (6-12) (6-13) (6-14) (6-15) (6-16) = negativt udbudsstød = negativt udbudsstød = negativt efterspørgselsstød = negativt efterspørgselsstød Fasediagram: Figur 13: Fasediagram af forbrugerdrevne boligmarkedsmodel Fasediagram: Figur 14: Fasediagram af udbudsdrevne boligmarkedsmodel Tabellen sammenligner hovedkonklusionerne fra den forbrugerdrevne og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel, hvor resultaterne fra den forbrugerdrevne model er givet i venstre kolonne, mens resultaterne fra den udbudsdrevne model er givet i højre kolonne. 48

49 Selvom de tager udgangspunkt i vidt forskellige antagelser om hvorvidt det er forbrugernes eller udbydernes optimeringsproblem der driver boligmarkedet så viser tabellen at de alligevel når frem til mange af de samme konklusioner omkring efterspørgslen i boligmarkedet. For eksempel er begge efterspørgselskurver i ligevægt givet ved den reale pris der sætter den marginale reale husleje lig med usercost, således at MR=MC for hhv. forbrugeren og udbyderen. Ligeledes er hældningen på efterspørgselskurverne begge aftagende som funktion af at udviklingen i den marginale reale husleje ( og ) er aftagende. Det ses således fra dynamikken at et udbudsstød vil have nogenlunde samme effekt på prisen og udbuddet i de 2 modeller, som konsekvens af at deres efterspørgselskurver er næsten identiske. Men lige så identisk modellerne skildrer efterspørgselssiden af boligmarkedet, lige så forskelligt skildrer de udbudssiden. Her ses det fra ligning (6-3) og (6-4) at mens den forbrugerdrevne model siger at den langsigtede pris i ligevægt er en funktion af boligudbuddet så vil den udbudsdrevne model postulere at den langsigtede pris i ligevægt ikke afhænger af boligudbuddet. Dette medfører at hældningen på udbudskurven i de 2 modeller er hhv. positiv og 0 samt at de dynamiske effekter af et efterspørgselsstød varierer imellem de 2 modeller. Således vil et negativt efterspørgselsstød sænke både pris og mængde i den forbrugerdrevne model, mens den kun vil sænke mængden i den udbudsdrevne model. Dette skyldes at den udbudsdrevne model antager at udbuddet er perfekt elastisk og et negativt efterspørgselsstød vil således blive perfekt absorberet af et fald i udbuddet. Omvendt antager den forbrugerdrevne model at udbuddet ikke er perfekt elastisk og et negativt efterspørgselsstød vil dermed sænke både prisen og mængden på sigt. Denne antagelsesmæssige forskel på de 2 modeller er en af hovedårsagerne til at deres fasediagrammer viser hhv. en skrå udbudskurve og en flad udbudskurve 54. Gennemgangen af forskellene og lighederne i de 2 modeller tyder på at det primært er udformningen af udbudskurven der adskiller den forbrugerdrevne og udbudsdrevne boligmarkedsmodel. En relevant test af hvilken af teorierne der passer bedst på dansk empiri er derfor en test for om udbudskurven på lang sigt er horisontal. Denne test gennemgås i næste afsnit. 54 Som gennemgået i teorien til den forbrugerdrevne model vil denne dog altid have en skrå udbudskurve, også selvom udbuddet er perfekt elastisk, men alt andet lige jo mindre elastisk udbuddet er, jo mere skrå er udbudskurven. 49

50 7 Empiri En test for om udbudskurven på lang sigt er skrå eller horisontal tager naturligvis udgangspunkt i de 2 modellers ligevægtsbetingelse for udbudskurven. Her skildrer den forbrugerdrevne model udbudskurven som følgende sammenhæng mellem pris og mængde: (7-1) Mens den udbudsdrevne model, med omskrivningen af skyggepris til real pris fra afsnit 5.5.2, viser at udbudskurven resulterer i følgende sammenhæng mellem pris og mængde: ( ) (7-2) Problemet med den forbrugerdrevne model med skrå udbudskurve er at den vil kræve estimation af både udbuddet og efterspørgslen, hvilket betyder et højt antal parametre og dermed en større sandsynlighed for fejl i form af manglende parametre, fejlagtig dataindsamling, outliers osv. 55 Derfor er en bedre fremgangsmåde at estimere den udbudsdrevne model med flad udbudskurve, da denne model kun kræver estimation af parametrene i ligning (7-2). Her er det vigtigt at bemærke at uanset om den ene eller den anden model testes vil resultatet blive det samme: enten forkastes modellen og den anden model testes, eller også accepteres modellen og den anden model forkastes. Grundet eventuelle kortsigtede finansielle omkostninger i forbindelse med korte lån til at dække finansieringen af at bygge en bolig er den korte nominelle rente,, inkluderet i ligningen for boligprisernes langsigtede ligevægtsniveau. Renten forventes teoretisk set at indgå i profitfunktionen på samme måde som moms og stempelafgifter og ligningen der ønskes testet bliver således: ( ) (7-3) Denne inkludering af renten adskiller sig fra (Madsen J. B., 2011, s. 16) som ikke inkluderer renten teoretisk, men kun empirisk, hvilket har nogle alvorlige konsekvenser som vil blive 55 Man kunne godt nøjes med at estimere udbudsfunktionen, men så ville man i tilfælde af efterspørgselsstød ikke kunne sige hvad det var der ændrede prisen. Herunder ville man ikke kunne forudsige prisudviklingen. 50

51 gennemgået nedenstående. Først omformuleres den teoretiske ligning dog til en lineær regressionsmodel ved at tage den naturlige logaritme til ligning (7-3): ( ) (7-4) Denne ligning er omdrejningspunktet for den empiriske analyse af boligudbuddets langsigtede hældning. Til forskel fra den teoretiske sammenhæng angivet i ligning (7-3) er denne ligning transformeret til logaritmer for at give en lineær regressionsmodel. Dette gør den teoretiske model mulig at teste empirisk samt medfører at parameterestimaterne,, kan fortolkes som konstant elasticitets estimatorer 56. Betydningen er at den procentuelle stigning i boligpriserne vil være den samme uanset om fx landpriserne stiger 1% fra indeks 100 til 101 eller om de stiger 1% fra indeks 1 til 1,01. Denne transformation er således i tråd med den teoretiske overbevisning om at der er et konstant elasticitetsforhold mellem boligpriserne og erstatningsomkostningerne, dvs. at uanset hvilket niveau man befinder sig på, så vil en 1% stigning i de forklarende variable føre til en % stigning i boligpriserne. Regressionsmodellen adskiller sig fra mange tidligere regressionsmodeller ved at inkludere både grundomkostninger, stempelafgifter, moms og den korte rente. Derudover adskiller den sig fra regressionsmodellen fra (Madsen J. B., 2011) ved at inkludere stempelafgifterne samt ved at inkludere renten på en ny måde. I (Madsen J. B., 2011, s. 16) er stempelafgifterne ikke inkluderet som følge af mangel på data, mens renten er inkluderet i ikke logaritmisk form. Denne måde at inkludere renten på har dog umiddelbart 2 problemer: For det første vil rentens effekter teoretisk set opføre sig signifikant anderledes end de andre forklarende variable, hvilket ses ved at omforme den empiriske ligning i (Madsen J. B., 2011, s. 16) til en teoretisk ligning. Dette giver en ligning som ligning (7-2), men hvor de forklarende variable bliver ganget med. En stigning i renten tildeles altså teoretisk set en væsentligt stærkere effekt på boligprisen end de andre variable, hvilket ikke giver intuitivt mening. For det andet vil inkluderingen af renten i ikke logaritmisk form medfører at dens effekter skal fortolkes som en semielasticitet 57, hvilket vil sige at rentens regressions estimerede parameter skal ganges med 100 for at finde rentens effekt på boligprisen. Den effekt (Madsen J. B., 2011, s. 17) estimerer, skal altså ganges med 100 for at finde den sande effekt på boligprisen, hvilket giver nogle uforklarlige resultater. Af disse årsager anvendes den empiriske regressionsmodel fra ligning (7-4) som et forsøg på at kvalificere tidligere modellering af boligmarkedet. 56 (Wooldridge, 2009, s , ) 57 (Wooldridge, 2009, s ) 51

52 Til testen for den flade udbudskurve i ligning (7-4) indsamles et tidsseriedatasæt fra , hvis variable kort beskrives i følgende tabel: Tabel 3: Beskrivelse af variable i datasættet Teoretisk Empirisk notation notation Forklaring lph Reale husprisindeks lpland Reale landprisindeks (proxy for grundomkostninger) lbomk Reale byggeomkostningsindeks li Den korte rente divideret med 100 plus 1 ( ) lt Moms (tidligere OMS) divideret med 100 plus 1 lu Stempelafgifter divideret med 100 plus 1 Note: Variablene gennemgås detaljeret i afsnit De vigtigste karakteristika ved datasættet er at moms og stempelafgifter er inkluderet, samt at grundomkostninger er inkluderet på en ny måde igennem en proxy i form af prisen på landbrugsjord. Markedsprisen for byggegrunde og landbrugsjord er forskellig, men fordi det årlige antal solgte grunde er lavt vil det være påvirket af outliers i form af geografi, størrelse osv. Derfor anvendes prisen på landbrugsjord som en proxy for byggegrunde med udgangspunkt i den antagelse at når priserne på landbrugsjord stiger så vil prisen på byggegrunde også stige. Dette kræver at prisen på landbrugsjord og prisen på byggegrunde er korreleret, hvilket bevises at være overholdt i (Madsen J. B., 2011, s. 7), som finder korrelationen til at være Testen af den lineære regressionsmodel kan nu udføres for at teste om den teoretiske model foreslået i ligning (7-3) er en korrekt specificering af den danske udbudsrelation. Her kræver hypotesen om at udbudskurven er flad at de forklarende variable bestemmer boligprisen. Dermed vil hypotesen accepteres hvis en 1% stigning i de forklarende variable medfører en 1% stigning i boligprisen, dvs. at der eksisterer et 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable. Analysen forløber som følger: i afsnit 7.1 gennemgås rammen for hvordan den økonometriske test kan udføres, afsnit 7.2 analyserer derefter data, hvilket afsluttes med en konklusion og diskussion i afsnit Konklusionen er at der findes empirisk belæg for den udbudsdrevne boligmarkedsmodel. 52

53 7.1 Makroøkonometrisk metodologi 58 Sammenlignet med tværsnitsdata har tidsseriedata nogle særlige karakteristika der gør at almindelig OLS estimation ikke længere er BLUE 59. Alt efter hvilken form disse tidsseriekarakteristika tager, vil der overordnet set være 3 fremgangsmåder hvorved OLS alligevel kan bruges til inferens om estimatoren: 1) Man antager at CLM TS.1-TS.5 er overholdt i data 60 2) Man antager at variable er stationære og weakly dependent, samt at CLM TS.1 - TS.5 er opfyldt 61 3) Man antager at variablene er I(1) OLS er stadig BLUE under antagelse af classical linear model assumption (CLM) TS.1-5. CLM TS.3 om streng eksogenitet må dog ofte afvises i tidsseriedata, hvilket betyder at punkt 1) sjældent kan anvendes til inferens om OLS estimatoren. Under de lidt svagere betingelser i punkt 2) kan OLS estimatoren dog stadig vises at være konsistent, asymptotisk normalfordel og asymptotisk efficient 62 hvis antagelsen om stationaritet, weakly dependent variables og CLM TS.1-5 accepteres. Overholdes weak dependence ikke er det højst usandsynligt at der kan udføres inferens om OLS estimatoren fordi LLN og CLT, der bruges til udledning af hhv. konsistens og asymptotisk normalfordeling, afvises og højst sandsynligt også CLM. Et umiddelbart minimum for at kunne bruge OLS til at sige noget om sammenhængen mellem variable i tidsseriedata er derfor at variablene overholder weak dependence, dvs. ingen unit root. En variabel der er weakly dependent siges at være integreret af orden 0, I(0), mens en 58 (Wooldridge, 2009, s. kapitel 2, 10, 11, 12, 18 og appendix C), (Verbeek, 2008, s. kapitel 8 og 9) 59 BLUE betyder best linear unbiased estimator. Best betyder den mest efficiente, dvs. den estimator der minimerer variansen på fejlleddet. Linear betyder at den normale lineære regressionsfremstilling er en korrekt specificering af modellen. Unbiased betyder at estimatorens sandsynlighedsfordeling har den forventede værdi af den sande parameter. Unbiased estimatorer er kosistente, hvis variansen af sandsynlighedsfordelingen går mod 0 når antallet af observationer går mod uendelig. Dette er som oftest tilfældet og BLUE medfører således også konsistens i de fleste tilfælde. Når BLUE ikke kan opnås er konsistens den karakteristik man som minimum skal opnå for at kunne sige noget om estimatoren. Konsistens siger således at når antallet af observationer stiger så vil sandsynlighedsfordelingens forventede estimator gå mod den sande parameter. For mere om dette læs (Wooldridge, 2009, s ) 60 Classical linear model assumptions (CLM) TS.1-6 svarer til Gauss-Markov antagelserne overført til at gælde for tidsseriedata. Se dem i bilag Stationaritet betyder at variablene er identisk sandsynlighedsfordelt over tid, hvilket er nødvendigt for at kunne sige noget om sammenhængen imellem dem når man kun får et datapunkt fra hver sandsynlighedsfordeling fra hver tidsperiode. Se (Wooldridge, 2009, s. 379) og se bilag 13 for CLM TS Konsistens er forklaret i fodnote 59, mens asymptotisk normalfordelt og asymptotisk efficient betyder at estimatorens sandsynlighedsfordeling går mod normalfordeling og efficiens når antallet af observationer stiger. Især antagelsen om asymptotisk normalfordeling er vigtig fordi dem medfører at det bliver muligt at teste estimatoren. 53

54 variabel der er highly dependent siges at være datagenereret af en unit root process og være integreret af orden 1, I(1). I følgende AR(1) model vil fx være I(1) hvis : (7-5) Hvis er ligning (7-5) udtryk for en random walk som er en specifik form for I(1). Hvis punkt 1) eller punkt 2) er opfyldt kan almindelig OLS anvendes til inferens om sammenhænge mellem tidsseriedata, men er de ikke overholdt vil OLS estimatoren give ukorrekte resultater, hvilket har medført mange forkerte konklusioner igennem tiden. Et eksempel er en OLS regression på sammenhængen mellem 2 I(1) variable dvs. hvor antagelsen om weak dependence ikke overholdes og fx antagelse TS.3 og TS.1 fra punkt 1) og 2) ikke opfyldes. Foretages analysen alligevel vil dette medføre et spurious regression problem 63 hvor 2 ikke korrelerede variable viser signifikant korrelation gennem deres korrelation med en 3. variabel. Dette kunne fx være OLS der viste at parfumepriser havde en signifikant effekt på huspriser fordi de begge var korreleret med inflationen. Konklusionen at parfumepriser har en signifikant effekt på huspriserne er teoretisk set svær at forklare, men er ikke desto mindre empirisk bevist, hvilket er et eksempel på hvor galt det kan gå hvis man ikke tester antagelserne før modelleringen gennemføres. Eksemplet omkring spurious regression problem viser at under antagelse af at datasættet indeholder unit roots, dvs. I(1) variable er konsekvensen at tidsseriedataen må analyseres ud fra punkt 3). Dette punkt kan primært opdeles i 3 metoder der kan anvendes til at analysere langsigtede relationer mellem tidsserier med I(1) variable: a) OLS på de differentierede variable 64 b) Den kointegrerede vektor autoregressive model (CVAR) 65 c) Dynamisk OLS (DOLS) 66 Metoderne tager alle udgangspunkt i at modellens datagenererende proces er integreret af orden 1 eller 0. Dog skal mindst 1 variabel være integreret af orden 1. orden. a) OLS på differenserne (Granger and Newbold metoden): 63 (Wooldridge, 2009, s. 636) 64 (Wooldridge, 2009, s. 393) 65 (Juselius, 2006), (Engle & Granger, 1987) 66 (Stock & Watson, 1993) 54

55 Denne metode har til formål at transformere I(1) variable til I(0) variable, hvilket under antagelserne fra punkt 1) og 2) betyder at OLS (som minimum) kan bruges som konsistent estimator. Transformationen sker ved at differentiere I(1) variablen således at I(1) variablen fra ligning (7-5) omskrives til: (7-6) Her er, jævnfør TS.1-5, i.i.d., hvilket medfører at også er i.i.d. og dermed I(0). Denne metode er således god til at fjerne problemer med highly dependent variables, men fravælges alligevel ofte fordi den begrænser typen af spørgsmål der kan besvares. For eksempel kan den ikke besvare om husprisen er bestemt af erstatningsomkostningerne, men kun om ændringen i husprisen er bestemt af ændringen i erstatningsomkostningerne, givet at disse variable er I(1). b) CVAR modellen: Denne model tager udgangspunkt i ikke at transformere I(1) variablene, men at benytte dem direkte i modellen. Men i stedet for at udregne den ene variabels effekt på den anden, som jævnfør tidligere fører til spurious regression, udregner man om afstanden mellem de 2 variable følger en I(0) proces. Hvis dette er tilfældet siger man at de 2 variable er kointegreret, hvilket betyder at de fejlkorregerer således at hvis den ene variabel kommer for langt væk fra den anden vil der være kræfter der trækker dem mod hinanden igen. Et ofte brugt eksempel er en fuld mand der går en tur med sin hund. Hver for sig er de random walks, dvs. I(1) processer, men hundesnoren imellem dem sørger for at der alligevel er en stationær weakly dependent sammenhæng imellem dem. I opgavens teoretiske model er det ækvivalent med at huspriserne og de forklarende variable hver for sig godt kan opføre sig som random walks, men at der på lang sigt er et ligevægtsniveau de begge vil bevæge sig imod, navnlig det langsigtede ligevægtsniveau defineret som saddelpunktet i Figur 10. c) DOLS modellen: Denne model kan for overskuelighedens skyld ses som en blanding mellem OLS på differenserne og CVAR modellen. Ligesom CVAR modellen er målet med DOLS at beregne den lagsigtede kointegration mellem en række variable, men for at opnå dette benytter den udover de oprindelige I(1) variable også første differenserne af disse. Helt specifikt regresseres den forklarede variabel på de forklarende variable samt første differenserne af deres 1-periodes leads 55

56 og lags. Dette opfanger de dynamiske tilpasningsprocesser der teoretisk set er omkring den langsigtede ligevægt 67, og medfører at man kan udlede en konsistent estimator for sammenhængen mellem de forklarende variable og boligprisen på lang sigt. Ofte udledes modellen med heteroskedastic and autocorrelation consistent (HAC) standard afvigelser for foruden konsistens også at opnå asymptotisk normalfordeling og asymptotisk efficiens. Fordele og ulemper ved de 3 modeller opstillet ud fra 4 kriterier kan summeres i følgende skema: Tabel 4: Fordele og ulemper ved OLS, CVAR og DOLS OLS diff. CVAR DOLS Svare på opgavens spørgsmål + + Estimere langsigtet sammenhæng + + Let at benytte + + Foretrukne estimator 68 + I alt Note: + angiver om modellen lever op til kriteriet Empiriafsnittets formål er at teste om der er en langsigtet sammenhæng mellem boligpriserne og de forklarende variable. Her er OLS på differenserne ikke at foretrække fordi den i modsætning til CVAR og DOLS ikke estimerer den langsigtede kointegration imellem I(1) variablene, men i stedet fokuserer på at måle de mere kortsigtede effekter af de forklarende variables effekt på boligpriserne. Til gengæld er OLS på differenserne utroligt let at benytte i modsætning til CVAR som kræver en lang række komplekse beregninger og estimationer. Overordnet set vil OLS på differenserne således typisk kræve ca. 2 tests, DOLS vil kræve ca. 3 tests, mens CVAR vil kræve ca. 6 tests. På baggrund af disse kriterier samt en Monte Carlo simulationsmodel der viser DOLS som den foretrukne model af de 3, vil den empiriske analyse tage udgangspunkt i DOLS metoden. Stadig under antagelse af at modellens variable er I(1). 67 Se afsnit 5.3 og 5.4 omkring ligevægten og tilpasningen dertil 68 Et Monte Carlo simulationsstudie af CVAR, OLS diff. og DOLS viser at DOLS er den foretrukne estimator. Se (Stock & Watson, 1993, s. 811) 56

57 7.2 Analyse For at kunne anvende DOLS metoden til (som minimum) at udlede en konsistent estimator for den langsigtede sammenhæng mellem boligprisen og de forklarende variable skal 3 antagelser være opfyldt: A.1. Modellens variable skal være I(1) A.2. I(1) variablene skal kointegrere A.3. De forklarende variable skal være strengt eksogene Den empiriske analyse af det langsigtede forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable vil derfor tage udgangspunkt i følgende 3 afsnit: 7.2.1: Test for om variable er I(1) 7.2.2: Test for kointegration 7.2.3: DOLS Hvor afsnit viser at variablene er I(1), afsnit konkluderer at de kointegrerer og afsnit estimerer hvilken effekt de enkelte forklarende variable har på boligpriserne Test for om variable er I(1) Tilstedeværelsen af I(1) variable er afgørende for hvilken metode man skal anvende til analysen af modellen 69. DOLS analysen er således kun af interesse hvis variablene fra ligning (7-4) er integreret af første orden. For at forstå denne antagelse nærmere følger definitionen: Definition 1 70 : En stokastisk proces kaldes integreret af d te orden, hvis ( ) Det vil sige at en variabel er I(1) hvis den differentieret er I(0). Som nævnt i ligning (7-5) er kendetegnet ved en I(1) proces at variablen har en unit root. Derfor vil en test for om modellens variable er I(1) udføres ved først at teste om variablen har unit root og derefter for om den differentierede variabel har unit root. Findes der unit root i variablen, men ikke i dens afledte er konklusionen at variablen er I(1). Dette testes efterfølgende grafisk og økonometrisk. 69 Se afsnit (Wagner, 2004, s. 39) 57

58 Grafisk Grafisk kendetegnes en I(1) variabel ved at have en eller anden form for stokastisk trend, mens den differentierede variabel vil skifte omkring en konstant. Årsagen til dette kan udledes fra ligning (7-5) som viser at en variabel med unit root vil være summen af nuværende og tidligere tiders stød, en såkaldt random walk, mens stød til en variabel uden unit root vil dø ud med tiden og bevæge variablen tilbage mod en konstant (mod 0 hvis modellen inkluderer en konstant). Dette ses bedst i det ekstreme tilfælde hvor, hvor variablen kun afhænger af nuværende stød. Givet at en konstant er inkluderet vil denne I(0) variabel være lig med fejlledet som er tilfældige stød med middelværdi 0. Grafisk kan testen for om variablen er I(1) derfor opstilles i en graf for variablen og en graf for den differentierede variabel. Her vil en variabel der ikke skifter omkring en fast værdi med en differentieret variabel der skifter omkring en fast værdi være udtryk for at variablen er I(1). Figur 15: Grafisk præsentation af variable og deres differenser 58

59 I venstre kolonne ses modellens variable, mens højre kolonne viser variablene differentieret. Da variablene i venstre kolonne ikke synes at svinge omkring en konstant, mens det synes at være tilfældet for de differentierede variable i højre kolonne, tyder den grafiske analyse på at variablene alle sammen er I(1) processer. Dette skal dog også testes økonometrisk Augmented Dickey-Fuller test for unit root For at teste om en variabel er I(1) økonometrisk skal man kunne finde unit root i variablen, men ikke i den differentierede variabel. Til dette formål er det gavnligt at omdefinere ligning (7-5) til følgende ligning: (7-7) Her er antallet af lags forhøjet for at tage højde for autokorrelation i variablen, samt første lag af variablen er fratrukket på begge sider således at. Nulhypotesen for unit root bliver således:. Da variablen vil være I(1) under accept af nulhypotesen kan almindelig t-test dog ikke anvendes til hypotesetesten. Dette skyldes at en variabel der er I(1) ikke opfylder CLT, hvilket medfører at t fordelingen ikke er asymptotisk normalfordelt. Dickey og Fuller løste dette problem ved at definere en ny asymptotisk fordeling for t under accept af nulhypotesen, kaldet Dickey-Fuller fordelingen. Denne fordeling giver nye kritiske værdier for t-værdien som kan benyttes til at teste hypotesen for unit roots. Før testen kan udføres er det dog nødvendigt at vurdere antallet af lags der skal inkluderes i ligning (7-7). Grunden til at det er vigtigt at bestemme antallet af lags er at for mange gør estimaterne inefficiente og underestimerer t-værdien. Mens for få lags giver autokorrelation så OLS bliver biased og inkonsistent med overestimerede t-værdien 71. Monte Carlo eksperimenter har vist at for få lags er klart det største problem og derfor testes her for op til 4 lags, selvom kutymen for årsdata er at starte med 2 lags. Der er 3 måder at teste antallet af differentierede lags der skal inkluderes: t-test med 15% signifikansniveau så man ikke dropper for mange. F-test for om man kan droppe et antal variable. Informationskriterierne AIC og BIC 71 (Moody, 2009, s. 176) 59

60 F-testen og t-testen tester for om variablen er signifikant og vurderer derudfra om den skal inkluderes eller ej. En anden tilgang er dog informationskriteriet der vurderer modellens forklaringsgrad over for hvor mange variable den inkluderer. Metoden går således et skridt videre end R (som kan maksimeres ved at inkludere flere lags) og siger at der er et trade-off mellem forklaringsgrad og antallet af inkluderede lags. Her er de mest anvendte informationskriterier Akaike s Information Criteria (AIC) og Schwarz s Bayesian Information Criteria (BIC) givet ved henholdsvis: ( ) (7-8) ( ) (7-9) Hvor N er antallet af observationer, er residualen og K er antallet af forklarende variable. Ved at minimere AIC og BIC opnås den bedst mulige forklaringsgrad ved brug af færrest mulige forklarende variable. Det ses derudover at BIC straffer brugen af forklarende variable hårdere 72, hvilket medfører at denne model vil have en bias imod at foreslå færre forklarende variable. Dermed kan AIC og BIC løst fortolkes som hhv. en øvre og nedre grænse for antallet af lags der skal inkluderes i ligning (7-7). De 4 tests for hvor mange differentierede lags ligning (7-7) skal indeholde gennemgøres nu for variablene efterfulgt af ADF-testen for om den velspecificerede ligning indeholder unit root,. I tvivlstilfælde om laglængde vælges den højeste laglængde jf. tidligere diskussion, men testresultater for omkringliggende laglængder vises også for at teste om resultatet er robust over for ændringer i laglængden. 72 ( l ) 60

61 Tabel 5: Test for lag længde og unit root i I(1) variable Test for lag længde og unit root, lph DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% * * * * Test for lag længde og unit root, lpland DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% * * * * Test for lag længde og unit root, lbomk DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% * * * * Test for lag længde og unit root, li DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% * * * * Test for lag længde og unit root, lt DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% 0 * * *0.309 *

62 Test for lag længde og unit root, lu DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 10% 0 * * * * Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde ADF-testen viser at hypotesen om unit roots i de foreslåede I(1) variable ikke tilnærmelsesvist kan afvises på 10% signifikansniveau. Noget tyder altså på at variablene rent faktisk er I(1). For at udelukke muligheden for I(2) generede processer og opfylde definition 1, skal variablenes førstedifferenser dog også testes. Kan unit root i første differenserne afvises kan det konkluderes at de oprindelige variable må være I(1) genererede processer. Igen findes den velspecificerede model inden ADF testen for unit root foretages. Tabel 6: Test for laglængde og unit root i I(0) variable Test for lag længde og unit root, d.lph DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 0 * * * * Test for lag længde og unit root, d.lpland DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 0 * * * * Test for lag længde og unit root, d.lbomk DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 62

63 0 * * * * Test for lag længde og unit root, d.li DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 0 * * *3.945 * Test for lag længde og unit root, d.lt DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 0 * * *0.342 * Test for lag længde og unit root, d.lu DF kritisk værdi Lags t Prob>F AIC BIC ADF 1% 5% 0 * * * * Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde ADF testen afviser tilstedeværelsen af unit roots på 1% signifikansniveau i alle variablene, hvilket jævnfør definition 1 må betyde at de forklarende variable er I(1) Test for kointegration Når variablene er I(1) er det muligt at teste deres langsigtede sammenhæng ved at teste om de kointegrerer. Hvis teoriafsnittet er korrekt kan man forvente at finde følgende relation for fejlledet: 63

64 ( ) (7-10) Hvis ligning (7-4) er korrekt specificeret således at rent faktisk er en lineær kombination af de forklarende variable, så vil fejlleddet ikke længere være I(1), fordi der er en signifikant sammenhæng mellem den forklarede og de forklarende variable. I dette tilfælde vil et højt medføre en fejlkorregerende proces mod at mindske og man siger at variablene kointegrerer. Sagt med andre ord vil et fejlled uden unit roots betyde at der findes en langsigtet ligevægt som variablene korregerer imod. For at teste denne sammenhæng anvendes Engle-Granger s 2-trins metode hvor man estimerer residualerne fra ligning (7-10) og derefter tester dem for unit roots. Dette giver følgende resultater for den lineære regression, (7-4): Tabel 7: OLS regression af ligning (7-4) Hvorfra residualerne udledes og testes for den korrekte laglængde inden ADF testen for unit root foretages på den velspecificerede model: 64

65 Tabel 8: Test for laglængde og unit root i fejlled Test for lag længde og unit root, fejlled Lags t Prob>F AIC BIC ADF * * * * Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde Igen er nulhypotesen at der er unit roots. Desværre kan de Monte Carlo estimerede kritiske værdier for ADF testen ikke anvendes til at teste denne hypotese. Årsagen er at de er beregnet på baggrund af en standard random walk for tidsserier, hvorimod residualerne der ønskes testet er beregnet på baggrund af OLS. Da OLS giver estimatorer der minimerer residualerne vil residualerne automatisk komme til at ligne I(0) processer og konsekvensen bliver at man afviser nulhypotesen om unit roots for ofte. Beregnede ADF kritiske værdier for residualerne anvendes således, hvor den kritiske værdi på et 1% signifikansniveau med 6 variable (inklusiv ) er Nulhypotesen om unit roots kan således afvises på et 1% signifikansniveau og resultaterne fra Tabel 7 er dermed udtryk for den langsigtede kointegrerende sammenhæng mellem boligpriserne og de forklarende variable. Resultaterne tyder på at boligpriserne i høj grad er bestemt af grund- og byggeomkostningerne, samt i mindre grad af momsen. Derudover har renten og stempelafgiften en svag påvirkning på boligpriserne, men med et uventet fortegn. Til sidst ses det at modellens forklaringsgrad, udtrykt ved Adjusted R-squared, er utroligt tæt på 100%, hvilket tyder på at de forklarende variable i høj grad forklarer boligprisen. Inden resultaterne analyseres yderligere skal man dog være opmærksom på at regressionen fra Tabel 7 ofte lider af autokorrelation da dens statiske form, hvor tidligere perioders forklarede variabel ikke indgår som forklarende variabel, medfører at der ikke er dynamiske effekter der sørger for at fejlledet er ukorreleret over tid. Således kan man forvente at fejlleddet lider af serial correlation. Med henvisning til CLM TS.1 -TS.3 vil OLS estimatoren, være konsistent, men fordi, i dette tilfælde stadig er autokorreleret vil TS.5, omhandlende asymptotisk normalfordelte OLS estimatorer, ikke være opfyldt og inferens med udgangspunkt i standard afvigel- 73 (Verbeek, 2008, s. 330). Denne værdi højere end den Dickey-Fuller genererede kritiske værdier på Anvendelse af DF kritisk værdi til test af fejlled ville således føre til afvisning af nulhypotesen oftere end signifikansniveauet giver udtryk for. Det er derfor vigtigt at anvende de korrekte kritiske værdier. 65

66 serne som fx t-test og F-test vil give biased resultater. Derfor testes fejlleddet for autokorrelation inden resultaterne analyseres videre. Breusch-Godfrey testen for autokorrelation giver følgende resultat: Tabel 9: Test for autokorrelation i fejlled Højre kolonne viser sandsynligheden for ingen autokorrelation i første orden op til 10. orden. Nulhypotesen om ingen autokorrelation afvises klart på 1% signifikansniveau, hvilket betyder at fejlleddet er autokorreleret. Dermed kan resultaterne fra Tabel 7 ikke testes for signifikans og det er således ikke muligt at sige om den langsigtede sammenhæng mellem boligpriserne og de forklarende variable er signifikant. For at kunne sige noget om signifikansen af resultaterne er der generelt 2 metoder der kan anvendes: 1) Cochrane-Orcutt metoden 2) Kointegrations metoden Da Cochrane-Orcutt metoden har en meget mekanisk tilgang til autokorrelation uden tanke for økonomisk rationale fravælger forskere ofte denne metode 74. Til gengæld viser kointegrationsmetoden sig at have nogle store fordele i ikke at sætte restriktioner på andet end. Dvs. at metoden fx ikke a priori stiller krav om ingen autokorrelation i. Som tidligere nævnt er Dynamic OLS (DOLS) en fordelagtig metode at anvende når man skal analysere kointegrerende sammenhænge og derfor anvendes denne til videre inferens. 74 (Moody, 2009, s. 168) 66

67 7.2.3 DOLS For overskuelighedens skyld defineres følgende datavektorer: [ l ( ) l ] (7-11) Når og er I(1) og kointegreret kan de opstilles på følgende form: (7-12) Hvor er en I(0) proces med en gennemsnitlig værdi på 0. Ligning (7-12) svarer altså til den regression der blev udført i Tabel 7 og bevist i Tabel 8. Med forudsætningerne I(1) variable og kointegration opfyldt mangler kun streng eksogenitet af for at DOLS kan anvendes til inferens. Heldigvis er problemet med streng eksogenitet i let at gøre noget ved i en kointegrationsmodel. Da det er bevist at variablen er I(1) betyder streng eksogenitet i dette tilfælde at fejlleddet,, skal være ukorreleret med første differensen af de forklarende variable,, for alle t og s, både fortidige og fremtidige. Dette kan testes med følgende ligning: (7-13) Ligningen er opstillet med s gående mod t under den antagelse at fejlleddet er mere korreleret med variable tættere på samme tidsperiode. Ved at inkludere leads og lags af indtil den fulde korrelation mellem og er redegjort for konstruerer man et nyt fejlled,, som, per konstruktion, er ukorreleret med ligningens forklarende variable 75. Derudover er håbet at det nye fejlled samtidig også er ukorreleret med yderligere leads og lags af. Dette håb underbygges af det faktum at både og er I(0) processer, hvilket betyder at når bliver stor vil korrelationen mellem og gå mod 0. Dette sker typisk efter en enkelt tidsperiode eller 2 når der anvendes årsdata. Ligningen konstruerer altså et nyt fejlled der opfylder antagelsen om streng eksogenitet. Ved at indsætte en korrekt specificeret ligning (7-13) i ligning (7-12) fås følgende ligning: 75 (Wooldridge, 2009, s. 642) 67

68 (7-14) Hvor og de forklarende variable er strengt eksogene. Denne ligning, døbt Dynamic OLS eller leads and lags estimator, er atypisk fordi den indeholder både nuværende værdier, differentialer samt leads og lags af. Dette har dog mindre betydning da det er parameteren der er interessant for at udlede kointegrationen mellem og. Modellens andre parametre har kun til formål at fjerne endogeniteten mellem og, således at kan betegnes som strengt eksogen, hvilket er den nødvendige betingelse for at t fordelingen for er approksimativt normalfordelt og dermed at inferens af kan udledes. På baggrund af at betingelserne: I(1) variable, kointegration og streng eksogenitet af er opfyldt, vil DOLS estimatoren fra ligning (7-14) være konsistent og asymptotisk normalfordelt. Ved derudover at benytte heteroskedasticity and autocorrelation consistent (HAC) standard fejl vil evt. autokorrelation i fejlledet blive håndteret og DOLS estimatoren vil også blive efficient. Er modellen således korrekt specificeret vil DOLS estimatoren producere en konsistent, asymptotisk efficient og asymptotisk normalfordelt estimator for kointegrationen mellem og. Med udgangspunkt i data betyder dette at en signifikant på de forklarende variable betyder at variablen har en signifikant langsigtet effekt på boligprisen. DOLS testen forløber altså i 2 trin: 1) Ligning (7-13) specificeres og indsættes i ligning (7-12) 2) Velspecificeret ligning (7-14) regresseres og inferens udføres Ad 1) er første skridt dermed at finde ud af hvor mange leads og lags der skal inkluderes i modellen for at opnå et nyt fejlled der opfylder kravene om streng eksogenitet. Dette gøres ved at udføre regressionen i ligning (7-13) og finde den velspecificerede form: Tabel 10: Test for laglængde af DOLS ligning Test for lag længde, ligning (7-13) Lags AIC BIC 0L0L * * F1L F2L Note: *viser testens foreslåede laglængde 68

69 Minimering af informationskriterierne AIC og BIC fører til konklusionen at 0 lags og leads skal inkluderes i ligning (7-13). Dette betyder at den rette specifikation af er ved ekskludering af både leads og lags af differenserne og ligning (7-13) omskrives således til: (7-15) Konklusionen er at er ukorreleret med fremtidige og fortidige værdier af og kun korrelerer med samtidige værdier af. En stigning i fx landpriser vil derfor være korreleret med samtidige stød til økonomien, men ikke med fremtidige eller fortidige stød. Samtidig medfører ligningens opbygning af fejlleddet er ukorreleret med For at teste at ovenstående ligning er korrekt specificeret og dermed fører til den korrekte specificering af DOLS regressionen dobbelttjekkes korrektheden af ligning (7-15) ved at teste at: er ukorreleret med fortidige og fremtidige værdier af differentieret er en I(0) proces Testene ses i bilag 13.3 og viser tydeligt at fejlleddet er ukorreleret med fortidige og fremtidige differenser af, mens en ADF test på 1% signifikansniveau afviser at har unit root, hvilket bekræfter at er en I(0) proces. Specifikationstesten viser således at DOLS ligningen for dette datasæt kan opskrives ved at indsætte ligning (7-15) i ligning (7-12): (7-16) Hvor og er givet ved ligning (7-11). Transformationen fra ligning (7-12) til ligning (7-16) betyder at de forklarende variable er strengt eksogene, hvilket sammen med forudsætningen om kointegrerende I(1) variable medfører at DOLS ligningen giver en konsistent og normalfordelt estimator for. Dette sammen med ADF testen af fra Tabel 18 som fastslår at er I(0) medfører at er udtryk for det langsigtede kointegrerende forhold mellem og. Resultatet af regressionen i ligning (7-16) bliver følgende DOLS estimation: 69

70 Tabel 11: DOLS estimation Igen synes konklusionen at være at boligpriserne i høj grad bestemmes af grund- og byggeomkostningerne. Derudover har parameteren på stempelafgiften nu fået det rigtige fortegn. Desværre vil heteroskedasticitet og autokorrelation i fejlleddet påvirke henholdsvis efficiensen og den asymptotiske normalfordeling og derfor bør disse testes inden endelig inferens foretages. Dette gøres med Breusch-Pagan testen for heteroskedasticitet og Breusch-Godfrey testen for autokorrelation: Tabel 12: Test for heteroskedasticitet Tabel 13: Test for autokorrelation Tabel 12 som er Breusch-Pagan testen for heteroskedasticitet afviser nulhypotesen om homoskedasticitet på 1% signifikansniveau. Ligeledes afvises Breusch-Godfrey nulhypotesen for ingen autokorrelation på 1% signifikansniveau, hvilket ses i Tabel 13. Fejlleddet lider således af både heteroskedasticitet og autokorrelation. 70

71 Derfor gentages regression af (7-16), men med heteroskedasticity and autocorrelation consistent (HAC) standard fejl 76. Resultatet for DOLS estimationen med HAC standard fejl er følgende: Tabel 14: DOLS estimation med HAC standard fejl 77 R-squared = Som det ses får estimatorerne nu en højere standardafvigelse, hvilket er resultatet af positivt autokorrelerede fejlled. F-testen finder modellen meget signifikant, mens t-testen finder alle forklarende variable, på nær stempelafgifterne, signifikant på 1% signifikansniveau. Dermed kan det konkluderes at der er en signifikant langsigtet sammenhæng mellem boligpriserne og minimum 4 af de forklarende variable. Da alle variablene er givet i den naturlige logaritme kan estimatorerne fortolkes som et konstant elasticitetsforhold hvor en 1% stigning i forklarende variable fører til % stigning i boligpriserne. Her er boligpriserne, landpriserne og byggeomkostningerne opstillet i indeks med 1995=100, mens den korte rente, momsen og stempelafgifterne er angivet som procentsatsen divideret med 100 plus 1. Det ses fra Tabel 14 at hvis landprisindekset og byggeomkostningsindekset begge stiger med 1% så vil boligprisindekset på lang sigt stige med 0.94%. Dertil kommer langsigts effekterne fra den korte rente og momsen. Her vil en 1% stigning i momsen, hvilket grundet momsens specificering i modellen svarer til ca. 1 pct.point stigning i momsen, medfører en stigning i de langsigtede boligpriser på ca. 0.12%. Omvendt vil en 1 pct.point stigning i den korte rente medføre et fald i de langsigtede boligpriser på ca. 0.02%. Til sidst ses effekten fra en 1 pct.point stigning i stempelafgifterne at være lille og insignifikant. Ved at sammenligne para- 76 Antallet af lags med mulig autokorrelation er valgt på baggrund af den optimale lag længde af beregnet i Tabel 18 i bilag Dog skal det påpeges at resultaterne er robuste over for ændringer i denne betingelse. 77 R-squared ændres ikke med HAC fejl da R udregnes på baggrund af koefficienterne, ikke standard fejlene. 71

72 metrene på landpriser, byggeomkostninger, renten og momsen fra DOLS ligningen med de super konsistente estimater fra Tabel 7 tyder resultaterne på at det i høj grad er de korrekte konsistente estimatorer som DOLS ligningen udleder. Den eneste parameter der adskiller sig er stempelafgifterne der er insignifikante, hvilket kan skyldes at de som procentdel af de samlede omkostninger ikke udgør ret meget og derfor ikke har den store effekt på boligpriserne. Derudover viser renten det forkerte fortegn, hvilket af (Madsen J. B., 2011) fortolkes som konsekvens af at efterspørgselsstød alligevel har en lille effekt på boligpriserne på lang sigt. Da effekten er så tæt på 0 kan det dog med et økonomisk udgangspunkt fortolkes som at renten på lang sigt ingen effekt har på boligpriserne. Den empiriske test viser således at boligpriserne i høj grad synes forklaret af de forklarende variable, hvor det især synes at være udviklingen i land- og byggeomkostningerne der driver boligens pris på lang sigt. Selvom de forklarende variables koefficienter og signifikans tyder på at boligprisen på lang sigt er bestemt af udbuddet, kan det dog ikke udelukkes at efterspørgslen også ville have haft en signifikant langsigtet effekt på boligpriserne hvis den var blevet inkluderet i modellen. Derfor er det nødvendigt at teste om sammenhængen mellem de forklarende variable og boligprisen er en 1-til-1 sammenhæng. Hvis det accepteres at der er et 1-til-1 sammenhæng mellem de forklarende variable og boligprisen kan det konstateres at andre variable, herunder efterspørgselsstød, ikke kan have en signifikant langsigtet effekt på boligpriserne. 1-til-1 forholdet testes derfor nedenstående for at kunne udelukke at efterspørgselsstød kan have en langsigtet effekt på boligpriserne Test for 1-til-1 forhold Både kointegrationsrelationerne og en forklaringsgrad på tæt på 100% tyder på at der er et tæt langsigtet forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable. Den sidste hypotesetest er dog at teste om dette langsigtede forhold er udtryk for et 1-til-1 forhold. Testen for om den samlede langsigtede effekt af de forklarende variable er lig med 1 kan ikke afvises da t=0.51, hvilket er langt under den kritiske værdi på Både testen for 1-til-1 forholdet, en forklaringsgrad på næsten 100% samt koefficienterne og signifikansen af parametrene i kointegrations analysen underbygger altså i høj grad at prisen på lang sigt udelukkende er givet af udbuddet. Dermed accepterer den økonometriske analyse teorien bag den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve og forkaster således den forbrugerdrevne model med skrå udbudskurve. 78 Se udregninger i

73 7.3 Delkonklusion Det empiriske afsnit har overordnet set 3 hovedkonklusioner: DOLS analysen viser at de reale huspriser er bestemt af udbuddet. Forklaringsgraden på næsten 100%, F-testen og 1-til-1 forholdet der ikke kan afvises tyder på at modellen ikke har udeladt afgørende variable. At den reale pris på lang sigt er udelukkende bestemt af erstatningsomkostningerne betyder at udbuddet må være perfekt elastisk. Den empiriske test for teorien om at udbudskurven på lang sigt er flad tager udgangspunktet i en dynamic OLS kointegrationsanalyse. Denne analyse metode viste sig særligt anvendelig på baggrund af dens gode skildring af langsigtede sammenhænge og dens konsistente estimatorer. Som konsekvens af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel blev både moms, stempelafgifter, landpriser og byggeomkostninger inkluderet i den empiriske regressionsligning, mens den korte nominelle rente blev indført på en ny form. Resultatet viser at land- og byggeomkostningerne er meget signifikante og har en elasticitet på hhv og 0.41, hvilket betyder at hvis disse variable stiger 1% så vil boligmarkedets ligevægtspris stige 0.94 %. Derudover har moms en signifikant korrekt elasticitet på 0.12, stempelafgifterne har en insignifikant korrekt elasticitet på 0.05, mens renten empirisk set har en signifikant elasticitet på Rentens negative effekt kan tolkes som at efterspørgselsstød har en minimal effekt på den langsigtede boligpris, men vurderes økonomisk set så tæt på 0 at den kan forklares med tidsseriedataens begrænsede længde. Således teoretiseres det, at med et længere datasæt, ville rentens effekt forsvinde. Kointegrationsanalysen viser således at de forklarende variable har en forventet signifikant effekt på de reale boligpriser. At der ikke er udeladt nogen variable understøttes af en forklaringsgrad på tæt på 100%, F-testen, samt testen af 1-til-1 forholdet som ikke kunne afvises. Empirien viser således at den reale boligpris på lang sigt er bestemt næsten udelukkende af moms, land- og byggeomkostninger, hvilket betyder at udbuddet på lang sigt er perfekt elastisk og udbudskurven er flad. Hvis udbuddet ikke havde været perfekt elastisk ville den langsigtede boligpris i højere grad have været bestemt af efterspørgselsstød og både kointegrationsanalysen, forklaringsgraden og 1-til-1 testen ville have set anderledes ud. Den teoretiske model synes således i høj grad underbygget af empirien, hvilket betyder at den udbudsdrevne boligmarkedsmodel accepteres og den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel forkastes. 73

74 7.4 Diskussion af den økonometriske analyse Det empiriske afsnit konkluderede at der var en god overensstemmelse mellem dansk empiri og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Konklusionen har dog primært 4 faldgruber der kan så tvivl om resultatets gyldighed. For det første viser den økonometriske test blot at der er et 1-til-1 sammenhæng, men ikke om kausaliteten går den ene eller den anden vej. For det andet kan efterspørgselsstød implicit have en langsigtet effekt på boligpriserne hvis de påvirker udbuddet. For det tredje kan data være fejlagtigt indsamlet eller den økonometriske test være forkert udført. Mens den sidste faldgrube er de mange tidligere artikler der har fundet modstridende resultater Kausalitet Hvis det nu i stedet er boligprisen der bestemmer fx land- og byggeomkostningerne vil den teoretiske model være forkert og opgavens konklusioner om det danske boligmarked vil ikke være korrekte. Derfor er det nødvendigt at teste hvilken vej kausaliteten går inden den endelige konklusion foretages. Modellen har 5 forklarende variable: landomkostninger, byggeomkostninger, stempelafgifter, moms og den korte rente. Både moms og stempelafgifter er politisk bestemt under mange andre overvejelser end boligpriserne og bevæger sig diskontinuert i modsætning til boligpriserne. Disse antages derfor at være uafhængige af boligprisen. Ligeledes antages den korte nominelle rente at være uafhængig af boligprisen, da den bestemmes af nationalbanken bl.a. ud fra hensyn til inflationsudviklingen. Tilbage er land- og byggeomkostningerne. Da udbuddet af land teoretisk set er perfekt elastisk burde boligpriserne på lang sigt ikke have betydning for priserne på land. Dette testes i (Hardie, Narayan, & Gardner, 2001) som finder at boligprisernes langsigtede elasticitet på landpriserne er Sammenlignes dette med DOLS analysens resultat om at landprisernes langsigtede elasticitet på boligprisen var 0.53 tyder dette på at det er landomkostningerne der påvirker boligpriserne og ikke omvendt. Ligeledes antages det at udbuddet af arbejdere og materialer på lang sigt er perfekt elastisk, hvilket ofte ses som en mindre streng antagelse end at udbuddet af land er perfekt elastisk. Da udbuddet af land blev bevist perfekt elastisk antages det derfor at også byggeomkostningerne kan ses som perfekt elastiske og dermed at boligprisen ikke påvirker byggeomkostningerne på lang sigt. Teoretisk set underbygges det altså i høj grad at det er de forklarende variable der påvirker boligpriserne og ikke den anden vej rundt. 74

75 7.4.2 Efterspørgselsstøds effekt på de forklarende variable Det empiriske afsnit konkluderer at prisen på lang sigt er uafhængig af efterspørgselsstød, hvilket var resultatet af at de økonometriske tests viste at udbuddet bestemte boligprisen. Men hvis efterspørgselsstød påvirker stempelafgifter, moms, land- eller byggeomkostninger betyder det at efterspørgselsstød har en implicit effekt på boligpriserne og at konklusionen om at prisen er udbudsbestemt er ukorrekt. Er byggeomkostninger fx permanent højere som følge at et permanent fald i nedslidningen så forskydes den vandrette udbudskurve opad og efterspørgselsstødet får således en implicit langsigtet effekt på boligpriserne. Derfor er det nødvendigt at teste om efterspørgselsstød har en effekt på de forklarende variable og dermed en implicit effekt på de langsigtede boligpriser. Ligesom i analysen af kausaliteten antages det at stempelafgifter og moms er politisk bestemt og derfor uafhængige af boligmarkedets efterspørgselsstød. Derudover er landpriserne givet af udbytte pr. hektar, hvilket bestemmes af internationale landbrugspriser, og er derfor ikke påvirket af nationale efterspørgselsstød på boligmarkedet 79. Til sidst er byggeomkostningerne hverken påvirket af udbuds- eller efterspørgselsstød, givet at de følger hypotesen om naturlig arbejdsløshed som betyder at lønomkostninger på lang sigt følger den naturlige arbejdsløshed og ikke boligmarkedets udvikling 80. Teoretisk set kan det derfor afvises at efterspørgselsstød, selv implicit, har en effekt på de langsigtede boligpriser Data og metode Data er samlet fra forskellige kilder tilbage til 1938 og er derudover specificeret det danske husmarked. Derfor kan konklusionerne dels være påvirket af eventuelle fejl i datasættet, eller det danske husmarked være en outlier som ikke er udtryk for den gennerelle sammenhæng på boligmarkedet. Begge disse problemer synes dog afvist, da den samme teoretiske sammenhæng accepteres på boligmarkedet i USA, Norge, Holland og Irland 81. Et andet problem kan dog være at DOLS metoden er anvendt til analysen af alle disse markeder, hvilket betyder at resultaterne ikke nødvendigvis er robuste over for ændringer i den økonometriske modellering. Selvom der er et stabilt teoretisk grundlag for valget af DOLS metoden og ingen grund til at tro at den skulle give de forkerte resultater så kan en fremtidig robusthedstest prøve at teste empirien med en CVAR analyse og sammenligne dens resultater 79 (Madsen, 2011, s. 11) 80 (Madsen, 2011, s. 11) 81 (Madsen, 2011, s. 17) 75

76 med resultaterne fra DOLS. Umiddelbart viste gennemgangen i Makroøkonometrisk metodologi dog at DOLS teoretisk set burde være den bedste metode til estimationen og CVAR analysen blev derfor ikke valgt i denne opgave Andre modbeviser resultatet Det empiriske afsnit konkluderer at boligpriserne på lang sigt udelukkende er bestemt af udbuddet og at udbudskurven dermed er flad på lang sigt. Dette resultat modstrides dog af mange tidligere resultater, der bl.a. beviser at udbudskurven er skrå. For at tage udgangspunkt i et specifikt studie så afviser (Pedersen, 2007) fx at udbudskurven skulle være flad og accepterer den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve. Ligesom mange andre tidligere artikler 82 har modellen dog ikke inkluderet grundomkostningerne i Tobin s q tilgangen, grundet mangel på data, selvom omkostningerne teoretisk set burde indgå. Derudover konkluderer den udbudsdrevne boligmarkedsmodel, som noget nyt, at også moms og stempelafgifter bør indgå, hvilket der heller ikke er taget højde for i tidligere studier. Tidligere modeller har altså ikke haft det rigtige datasæt til at teste om udbudskurven var flad og derfor konkluderes det at tidligere analysers modstridende resultater primært skyldes datamangel. Det empiriske bevis for denne antagelse vil overlades til fremtidige studier. En del understøttelse kan dog findes i at både landpriserne og momsen blev fundet meget signifikante i DOLS analysen, hvilket tyder på at de ikke kan undværes i en analyse af boligmarkedet. Overordnet set synes de største faldgruber i det økonometriske afsnit således redegjort for og det kan derfor konkluderes at de empiriske resultater er korrekte. Denne konklusion har en række implikationer for den danske økonomi, som gennemgås i næste afsnit. 8 Makroøkonomiske implikationer På baggrund af den teoretiske og empiriske analyse kan det konkluderes at den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve er den korrekte skildring af det danske boligmarked. Dette medfører primært 3 afgørende makroøkonomiske implikationer: Forskellige landes husprisudvikling vil til dels følge hinanden over tid, grundet husprisernes afhængighed af internationale landbrugspriser. 82 Se (Poterba, 1984), eller (Madsen, 2011, s. 2) for henvisning til andre artikler. 76

77 Udbuddet er perfekt elastisk på lang sigt, hvilket betyder at modeller som fx DREAM og (Poterba, 1984) bør genoverveje deres grundlæggende antagelser. Boligpriserne svinger omkring den samme reale pris i fraværet af udbudsstød, hvor den reale pris er givet af de reale land- og byggeomkostninger samt moms og stempelafgifter. 8.1 Boligprisernes korrelation internationalt Opgavens empiriafsnit argumenterer for at grundomkostninger er svære at finde data på og anvender derfor priserne på landbrugsjord som proxy. Denne variabel viste sig både at være god som proxy, grundet dens høje korrelation med grundomkostningerne, og den viste sig at være yderst signifikant som forklarende variabel for boligpriserne. Da priserne på landbrugsjord er bestemt af den internationale pris på landbrugsprodukter pr. hektar 83 betyder det derfor at den internationale prisfastsættelse af landbrugsprodukter har en implicit effekt på nationale boligpriser igennem priserne på landbrugsjorden. Dermed vil forskelige landes boligprisudvikling til dels følge hinanden på lang sigt, grundet husprisernes afhængighed af de internationale landbrugspriser. Denne konklusion, som er relativt uklarlagt i tidligere litteratur, kan forklare hvorfor risikoen forbundet med internationalt diversificerede investeringer i boliger generelt blev undervurderet inden subprise krisen i Mens den idiosynkratiske risiko for boligprisfald på de lokale markeder blev indregnet er der noget der tyder på at sandsynligheden for et samlet prisfald på alle boligmarkeder blev undervurderet fordi der ikke blev taget hensyn til at boligpriserne er korreleret på tværs af grænser. Dette underbygges af (Madsen, 2001), som viser at landbrugspriserne var en af de afgørende faktorer bag den internationale udspredelse af The Great Depression. 8.2 Perfekt elastisk udbud Den anden implikation er at udbuddet er perfekt elastisk på lang sigt, hvilket tyder på at regler omkring bygningers højde, hvilke områder der må bebygges og andre byplanlægningslove ikke på længere sigt er bindende, da den flade udbudskurve viser at enhver efterspørgsel på lang sigt bliver mødt af udbuddet. Dette betyder også at Ricardo s antagelse om at land er en knap faktor på lang sigt enten er forkert eller alternativt ikke er blevet bindende endnu og måske aldrig bliver det. Uanset hvad, medfører det at modeller som DREAM og (Poterba, 1984) bør genovervej deres grundlæggende antagelse om et mindre end perfekt elastisk udbud og 83 (Madsen J. B., 2011, s. 20) 77

78 undersøge konsekvenserne af denne antagelse. Nedenfor vises en konsekvensberegning af effekten af en permanent stigning i ejendomsværdiskatten på 0.5 pct.point foretaget i hhv. DREAM og ADAM. Figur 16: Konsekvensberegning i ADAM og DREAM Kilde: (Jacobsen & Fosse, 2012, s. 18) Figuren viser konsekvensen af stød i en model der antager perfekt elastisk udbud på lang sigt (ADAM) og en model der ikke antager perfekt elastisk udbud på lang sigt (DREAM). Som det ses er konsekvensen af forskellige grundlæggende antagelser at modellerne forudsiger vidt forskellige boligprisforløb, især på lang sigt. Med antagelsen om at udbuddet ikke er perfekt elastisk vil resultatet, som også er tilfældet i figuren, ofte være at modellen undervurderer de langsigtede tilpasningsprocesser i både prisen og mængden og dermed når frem til forkerte resultater både i konsekvensberegninger og prognoser. 8.3 Udbudsbestemt boligpris Den sidste implikation er at boligpriserne, i fravær af udbudsstød, svinger omkring det samme reale prisniveau over tid. Dette betyder at konklusioner om at boligpriserne stiger realt over tid ikke er gyldige med mindre man samtidig forudsætter en lind strøm af negative udbudsstød over tid. Dette kan godt vise sig at være sandt i takt med at både moms og stempelafgifter er steget over tid som følge af politiske tiltag. Derudover er land- og byggeomkostninger steget realt over tid, hvilket for landprisernes vedkommende kan skyldes at et stigende krav til 78

79 landbrugsprodukternes kvalitet har medført at de er blevet dyrere at producere. Dette medfører at deres pris er steget, hvilket øger afkastet for en hektar landbrugsjord og dermed øger prisen på landbrugsjord. Ligeledes kan et stigende krav til boligens kvalitet have medført at der anvendes dyrere arbejdskraft og dyrere materialer, hvilket alt andet lige øger de reale boligomkostninger. Alle variable i udbudsrelationen viser altså tegn på et negativt stød, hvilket kan have medført at de reale boligpriser er steget realt over tid. Den generelle konklusion vil dog stadig være at i fraværet af flere udbudsstød så vil de reale boligprisers langsigtede niveau være konstant. Dette betyder at man kan sammenligne boligpriserne med nuværende moms, stempelafgifter, land- og byggeomkostninger for at vurdere om boligpriserne er på, over eller under ligevægtsniveauet. Til dette formål opstilles nedenstående figur som viser sammenhængen mellem den udbudsdrevne boligmarkedsmodel og de reale boligprisstigninger: Figur 17: Model og virkelighed Kilde: Egne beregninger Her er den reale pris udtryk for den årlige ændring i det reale husprisindeks, mens residualen er udtryk for modellens estimat på baggrund af de forklarende variabel minus den sande reale huspris. En høj residual betyder således at den reale boligpris er for lav i forhold til den langsigtede reale ligevægtspris. Figuren tyder på at der er en omvendt korrelation således at høje reale boligprisstigninger typisk findes overvurderet af modellen. Dette skyldes at modellen forudsiger den langsigtede ligevægtspris og ikke prøver at ramme de kortsigtede udsving i priserne. Derfor vil et positivt 79

80 efterspørgselsstød føre til en real prisstigning, men da de langsigtede priser ikke påvirkes af efterspørgselsstød vil denne reale prisstigning ifølge modellen være over det langsigtede ligevægtsniveau. Omvendt vil der i tilfælde af udbudsstød være en positiv korrelation imellem den reale ændring i boligpriserne og modellens residual, da et positivt udbudsstød fører til et fald i boligpriserne efterfulgt af yderligere fald, hvilket betyder at det initiale fald i priserne stadig er for lavt i forhold til ligevægtsniveauet. Figurens udvikling sammen med den relativt lave varians i residualen tyder altså på at modellen stemmer godt overens med den langsigtede virkelighed og figuren kan således anvendes til at vurdere nuværende boligpriser i forhold til det langsigtede ligevægtsniveau. Her ses det fx at seneste opsvings reale boligpriser stort set var i overensstemmelse med at man indtil år 2004 lå under det langsigtede ligevægtsniveau. Stigningen i de reale boligpriser fra synes derimod at være udtryk for at efterspørgselsstød havde bragt de reale priser over ligevægtsprisen, hvilket nødvendigvis måtte efterfølges af de enorme boligprisfald som Danmark oplevede fra Modellen synes altså at være et godt værktøj til en vurdering af om de nuværende boligpriser er på, over eller under det langsigtede ligevægtsniveau, og kan dermed anvendes til at forudsige fremtidige boligprisfald. 80

81 9 Konklusion Denne opgave har givet teoretisk og empirisk belæg for at det danske boligmarked bør analyseres ud fra den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Modellen viser at efterspørgselsstød til boligmarkedet kun vil have en midlertidig effekt på de reale boligpriser, mens boligmassen tilpasser sig. Politiske efterspørgselsstød til boligmarkedet skal derfor analyseres ud fra deres kortsigtede effekt på boligpriserne og deres langsigtede effekt på boligmassen. Ønskes der derimod en permanent ændring i den reale boligpris viser modellen at stød til udbuddet kan anvendes til dette formål, hvor det især er land- og byggeomkostningerne der har en effekt, men også i mindre grad moms og stempelafgifter. Her viser modellen at et positivt efterspørgselsstød fører til en straks-stigning i priserne efterfulgt af et fald i priserne tilbage til det oprindelige niveau i takt med at udbuddet stiger, mens et positivt udbudsstød fører til et straks-fald i priserne efterfulgt af et fald i priserne i takt med at boligudbuddet stiger. Modellen skildrer således det danske boligmarkeds udformning, reaktion på stød og vej tilbage til ligevægt, for at give den fulde forståelse af det danske boligmarked og dermed opfylde denne opgaves formål. Derudover bidrager opgavens konklusioner med 3 makroøkonomiske implikationer som kan anvendes i fremtidens analyser af boligmarkedet. Den første implikation er at forskellige landes boligprisudvikling til dels vil følge hinanden på lang sigt, grundet husprisernes afhængighed af de internationale landbrugspriser. Den anden er at udbuddet er perfekt elastisk på lang sigt, hvilket betyder at modeller som DREAM og (Poterba, 1984) bør genoverveje deres grundlæggende antagelse om et mindre end perfekt elastisk udbud og undersøge konsekvenserne af denne antagelse. Den sidste implikation er at boligpriserne, i fravær af udbudsstød, svinger omkring det samme reale prisniveau over tid. Dette betyder at konklusioner om at boligpriserne stiger realt over tid ikke er gyldige med mindre man samtidig forudsætter en lind strøm af negative udbudsstød over tid. Derudover betyder konklusionen at man kan anvende nuværende moms, stempelafgifter, land- og byggeomkostninger til at vurdere om boligmarkedet er i, over eller under ligevægtsniveauet. 81

82 10 Litteraturliste Lovtidende for Kongeriget Danmark for Aaret 1922 Afdeling A I. (1922). J.H. Schultz A/S. Tinglysningsafgiftsloven. (2006). https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id= Case, & Shiller. (1989). The efficiency of the market for single-family homes. The American Economic Review. Eberly, Rebelo, & Vincent. (2009). Investment and value: A neoclassical benchmark. Unpublished paper, Se Romer(2012) s.663. Engle, & Granger. (1987). Cointegration and error correction: representation, estimation, and testing. Econometrica, s Foley, & Sidrauski. (1971). Monetary and fiscal policy in a growing economy. Groth, C. (2011). Fixed capital investment and Tobins q. Lecture notes in advanced macroeconomics 2. Hansen, F., & Olesen, M. N. (1999). Lineær algebra. Hardie, Narayan, & Gardner. (2001). The Joint Influence of Agricultural and Nonfarm Factors on Real Estate Values: An Application to the Mid-Atlantic Region. American Journal of Agricultural Economics 83 (1). Hayashi, F. (1982). Tobin's marginal q and average q: A neoclassical interpretation. Econometrica. Jacobsen, & Fosse. (2012). Effekt på boligmarkedet af politiske, strukturelle reformer af dansk økonomi. Uddrag af hovedkonklusioner. Juselius, K. (2006). The Cointegrated VAR Model- methodology and applications. Advanced texts in econometrics. Klitgaard, T. (1999). Exchange Rates and Profit Margins: The Case of Japanese Exporters. Economic Policy Review. Laursen, Madsen, & Lunde. (2010). De længste boligprisindeks internationalt. Økonomi & Politik. Lernø, F., Stokholm, J., & Kessler, J. (1988). Stempel Loven med kommentarer. Tillæg. G.E.C Gad. Lunde. (1998). Boligudgifter og user costs. Boligøkonomi og finansiering- pensum bog i boligøkonomi ved Jens Lunde på CBS. Madsen. (2001). Agrucultural Crises and the international transmission of the Great Depression. Journal of Economic History, s Madsen, J. B. (2011). A q model of house prices. 82

83 Miles. (1994). Housing, financial markets and the wider economy. Moody, C. (2009). Basic Econometrics with Stata. Muelbauer. (2007). Housing, credit and consumer expenditure. Federal Reserve Bank of Kansas City. Muth. (1960). The demand for non-farm housing. The demand for durable goods. Nielsen, & Pedersen. (2007). Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbudsog priselasticitet på det københavnske boligmarked- Ved estimering af user-cost, autoregressive efficiensmodeller samt dynamiske elasticitetsmodeller. Speciale på Cand. Merc studiet, Handelshøjskolen på Aarhus Universitet. OECD. (2006). OECD Economic Surveys Denmark. OECD Publishing. Økonomi_&_Erhvervsministeriet. (2010). Boligmarkedet og boligejernes økonomi. Økonomisk Tema. PA_Consulting_Group. (2009). Analyse af prognoser over boligprisernes udvikling. Pedersen, H. R. (2007). Teoretisk og empirisk prisdannelse på boligmarkedet for ejerboliger. Kandidatspeciale ved Økonomisk Institut på Københavns Universitet. Poterba. (1984). Tax subsidies to owner occupied housing: An asset-market approach. The Quarterly Journal of Economics. Romer, D. (2012). Advanced macroeconomics. McGraw-Hill. Stock, J., & Watson, M. (1993). A Simple Estimator of Cointegrating Vectors in Higher Order Integrated Systems. Econometrica, s Sydsæter, K. (2002). Matematisk analyse. Bind 2. Tobin, J. (1969). A general equilibrium approach to monetary theory. Journal of Money, Credit and Banking. Topsøe-Jensen. (1961). Lovtidende for Kongeriget Danmark afdeling A. J.H. Schultz A/S. Topsøe-Jensen. (1964). Dansk Lovregister. G.E.C. Gads Forlag. Verbeek, M. (2008). A guide to Modern Econometrics. Third edition. Wagner. (2004). En kointegrationsanalyse af det danske boligmarked. Speciale ved Økonomisk Institut, Københavns Universitet. Wooldridge. (2009). Introductory Econometrics- A modern approach. Fourth Edition. 83

84 11 Bilag A: Udviklingen på det danske boligmarked 11.1 Dansk boligmarked i tal Teorierne om det danske boligmarked resulterer i en række fourdsigelser om forholdet mellem de reale boligpriser og boligudbuddet. Derfor illustreres det her hvordan de reale boligpriser og udbuddet har udviklet sig over tid i Danmark. På den måde kan teorierne om boligmarkedet holdes op imod hvordan boligmarkedet rent faktisk har udviklet sig. Den første graf illustrerer udviklingen i den reale boligpris defineret som den nominelle boligpris deflateret med forbrugerprisindekset. Figur 18: Huspriser deflateret med forbrugerprisindekset Kilde: Egne beregninger Figuren viser en tydelig stigning i de reale priser over tid. Boligpriserne synes desuden at være cyklisk, hvilket følgende figur illustrerer: Figur 19: Årlig ændrig i det reale boligprisindeks Kilde: Egne beregninger 84

85 Denne tilsyneladende cykliske sammenhæng tyder på at boligpriserne autokorrelerer over tid. De reale prisstigninger kan dog have 2 alternative forklaringer: enten kan boligpriserne være deflateret med det forkerte prisindeks eller også kan stigning være udtryk for at boligmassen er af øget kvalitet. Følgende vises den reale boligprisudvikling hvis kvaliteten holdes konstant og den reale boligprisstigning deflateret med replacement costs estimeret som og normaliseret til at have et gennemsnit på 1. Data vises for både USA og Danmark. Tabel 15: Real boligprisudvikling ved hhv. konstant kvalitet og med replacement costs som deflator Konstant kvalitets, realt boligprisindeks Deflateret med replacement costs Kilde: (Laursen, Madsen, & Lunde, 2010, s. 10) Kilde: Egne beregninger Kilde: (Madsen J. B., 2011, s. 22) Kilde: (Laursen, Madsen, & Lunde, 2010, s. 11) Graferne viser at både hvis man udfærdiger et realt boligprisindeks med konstant kvalitet eller hvis man deflaterer med replacement costs i stedet for forbrugerprisindekset, så vil resulta- 85

86 tet i både USA og Danmark være at man ikke kan forkaste hypotesen om at de reale boligpriser er faste over tid. Denne konklusion står dermed i kontrast til konklusionen fra Figur 18. Det er dermed svært at vurdere om de reale boligpriser er steget over tid eller om de er faste. Lettere er det at konkludere på det aggregerede boligudbud som vises i følgende figur: Figur 20: Udviklingen i den danske boligmasse Kilde: (OECD, 2006, s. 130) Figuren viser at boligudbuddet pr. capita er stigende over tid, hvilket stemmer godt overens med intuitionen. Dansk empiri konkluderer altså at udbuddet er steget over tid, mens det er svært at konkludere om den reale pris er steget eller er konstant. 86

87 11.2 ADAM vs. DREAM Følgende gives resultater fra Centre for Economic and Business Research (CEBR) om hvordan de mest anvendte makroøkonomiske modeller ADAM og DREAM giver vidt forskellige bud på boligprisudviklingen pga. deres antagelse om boligudbuddet 84. Dette er altså et nutidigt eksempel på den store rolle den grundlæggende antagelse om boligudbuddet spiller: Figur 21: Adam vs. DREAM konsekvensberegning Kilde: (Jacobsen & Fosse, 2012, s. 18) Figuren viser boligprisens udvikling efter et stød til ejendomsværdiskatten. En stigning i ejendomsværdiskatten vil i både den forbrugerdrevne og den udbudsdrevne model fungere som et negativt efterspørgselsstød som ifølge dynamikken i de 2 teorier medfører et fald i prisen da udbuddet ligger fast. På længere sigt teoretiserer den forbrugerdrevne model at udbuddet falder og prisen stiger, dog ikke helt op til prisniveauet før stødet. Den nye ligevægt er altså med en lavere pris og et lavere udbud. I modsætning hertil teoretiserer den udbudsdrevne model at på længere sigt så vil udbuddet falde indtil prisen er tilbage på sit oprindelige niveau og efterspørgselsstødet har således kun midlertidig effekt på prisen. Som diskuteret bunder disse forskelle primært i antagelsen om udbuddets elasticitet. I Figur 21 tydeliggøres det at der ikke kun er tale om teoretiske forskelle, men at denne antagelse har store konsekvenser for konsekvensberegninger af dansk økonomi, hvilket har konsekvenser for dansk politik og samfundsøkonomien. 84 (Jacobsen & Fosse, 2012, s ) 87

88 12 Bilag B: Baggrund for det teoretiske afsnit 12.1 Cramersk regel for differentialligninger Antag at et boligmarkedets ligevægt kan opskrives som følgende 2 ligninger: (12-1) (12-2) Hvor og er de endogene variable og og er de eksogene variable. Her afhænger de endogene og af de eksogene og således at: (12-3) (12-4) Først udregnes de differentierede: (12-5) (12-6) (12-7) (12-8) Ved at indsætte værdien for og i og kan ligningerne (12-5) og (12-6) omskrives til følgende: ( ) ( ) (12-9) ( ) ( ) (12-10) 88

89 Siden og begge er eksogent givet må koefficienterne på deres differentierede, og, være 0 og ligning (12-9)-(12-10) kan omskrives til følgende 4 betingelser: (12-11) (12-12) (12-13) (12-14) Dette svarer til et lineært ligningssystem med 4 ligninger. Givet at determinanten er forskellig fra 0 kan Cramers formel anvendes til at løse ligningssystemet. Løsningen til fx er givet ved Cramers formel 85 : (12-15) Ligeledes kan løsningerne til, og udregnes. 85 (Hansen & Olesen, 1999, s. 215), 89

90 13 Bilag C: Baggrund for det empiriske afsnit 13.1 Variable i datasættet Variable er tidsseriedata fra Alle variable er taget i den naturlige logaritme for at omforme den teoretiske model til en testbar empirisk model Boligpriser, lph Boligpriser henviser til markedsprisen der betales for et en-families hus, dvs. prisen for boligen samt tilhørende grund. Data fra er opgjort i et boligprisindeks med år 1995=100. Priserne er deflateret med forbrugerprisindekset for at få den reale boligprisudvikling. Derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere den testbare variabel, lph. Priserne er ikke kvalitetskorrigeret Grundomkostninger, lpland Data for markedsprisen på byggegrunde er som regel misvisende som prisindeks fordi det årlige antal byggegrunde solgt er så lavt at det vil være meget påvirket af outliers i form af geografi, størrelse osv. For at opnå et korrekt prisindeks for grundomkostningerne er det derfor nødvendigt at introducere en proxy variabel i form af priserne på landbrugsjord. Prisen på landbrugsjord bestemmes som funktion af det afkast afgrøderne giver og da afgrøderne prisfastsættes på det internationale marked betyder det at prisen på landbrugsjord bestemmes internationalt. Det er let at se hvorfor priserne på landbrugsjord og byggegrunde er tæt korreleret i udkanten af byen hvor grundene ligger lige op ad hinanden. Hvis byggegrunde var meget dyrere end landbrugsjord og omkostningen til at omforme landbrugsjord til en byggegrund så ville efterspørgslen efter landbrugsjord stige indtil prisen for landbrugsjord og udvikling svarede til prisen på en byggegrund. Inde i centrum er det dog sværere at se hvorfor priserne på landbrugsjord skulle have en effekt på prisen på byggegrunde, da det ikke på samme måde er muligt at substituere over til en landbrugsgrund hvis man synes at prisen på byggegrunden er for høj. Grunden til at priserne på landbrugsjord alligevel er korreleret med byggegrunden i centrum er at hvis prisen på landbrugsjord falder, så falder prisen på byggegrunde i udkanten af byen, hvilket betyder at priserne på byggegrunde lidt længere ind mod centrum falder, hvilket til sidst betyder at også priserne på byggegrunde i centrum falder. På den måde vil priserne på landbrugsjord teoretisk set være korreleret med priserne på byggegrunde og dermed fungere som proxy variabel. Empirisk er den danske korrelation mellem den naturlige logaritme til 90

91 priserne på landbrugsjord og den naturlige logaritme til priserne på byggegrunde beregnet til at være , hvilket betyder at når priserne på landbrugsjord stiger 1% så stiger priserne på byggegrunde 0.67%. Både teoretisk og empirisk synes priserne på landbrugsjord således at være en god proxy for priserne på byggegrunde og prisen på landbrugsjord anvendes derfor som forklarende variabel. Priserne er samlet fra og er indekseret med år 1995=100. De deflateres med forbrugerprisindekset for at få de reale landomkostninger og derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere den testbare variabel, lpland Byggeomkostninger, lbomk Byggeomkostningsindekset, som er et vægtet indeks af løn og materialer, anvendes som forklarende variabel for hvad det koster at bygge et hus. Indekset er samlet fra og er sat med år 1995=100. De deflateres med forbrugerprisindekset for at få den reale byggeomkostningsudvikling og derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere den testbare variabel, lbomk Renten, li Den korte rente taget med nominelt for at tage højde for finansieringsomkostningerne udbyderen har mens han bygger huset. Den nominelle rente anvendes frem for den reale rente fordi den nominelle rente er den reelle udgift udbyderen har til at bygge huset. Renten er opgjort fra og er defineret som l, hvor er kort nominel rente i procent divideret med 100. Variablen kaldes li Moms, lt Moms (tidligere oms) betales som en fast procentdel af prisen på grunde og byggeomkostningerne, såvel løn som materialer. Den er defineret som l, hvor er moms i procent divideret med 100. Data er samlet fra og variablen kaldes lt Stempelafgifter, lu Stempelafgifter er en afgift på det dokument der skal udfærdiges når fast ejendom overdrages til eje og beregnes som en fast procentdel af ejendommens pris. Denne tidsserie er aldrig før blevet anvendt i en empirisk analyse grundet dens begrænsede tilgængelighed og det er derfor 86 (Madsen, 2011, s. 7) 91

92 spændende om denne variabel vil ændre tidligere analysers konklusioner. Data er indsamlet fra og er defineret som l, hvor er stempelafgift i procent divideret med 100. Variablen kaldes lu Kilder Huspriser, landpriser, byggeomkostninger, den korte rente, moms og inflation er fra (Madsen J. B., 2011, s. 24). Stempelafgifter er fra (Lovtidende for Kongeriget Danmark for Aaret 1922 Afdeling A I., 1922, s. 251), (Topsøe-Jensen, Lovtidende for Kongeriget Danmark afdeling A, 1961, s. 799), (Topsøe-Jensen, Dansk Lovregister, 1964, s. 125), (Lernø, Stokholm, & Kessler, 1988, s. 11), (Tinglysningsafgiftsloven, 2006). 92

93 13.2 Gauss-Markovs CLM antagelser CLM antagelserne er ikke gennemgået uddybende, men opstillet som opslagsværk. For den detaljeret gennemgang henvises der til (Wooldridge, 2009) CLM TS.1-TS.6 87 TS.1 Lineære parametre TS.2 TS.3 TS.4 TS.5 TS.6 Ingen perfekt ko-linearitet mellem de forklarende variable Streng eksogenitet: Forventet værdi af fejlled givet forklarende variable i alle periode er 0 Homoskedasticitet i fejlled Ingen autokorrelation i fejlled Normalitet i fejlled Under TS.1-3 er OLS unbiased, under TS.1-5 er OLS BLUE og under TS.1-6 kan fejlled, t- og F-tests anvendes. 87 Fra (Wooldridge, 2009, s ) 93

94 CLM TS.1 -TS.5 88 TS.1 Lineære parametre og weak dependence TS.2 TS.3 TS.4 TS.5 Ingen perfekt ko-linearitet mellem de forklarende variable Svag eksogenitet: Forventet værdi af fejlled i periode t givet forklarende variable i periode t er 0 Homoskedasticitet i fejlled Ingen autokorrelation i fejlled Under TS.1-3 er OLS konsistent og under TS.1-5 kan fejlled, t- og F-tests anvendes. 88 Fra (Wooldridge, 2009, s ) 94

95 13.3 Test for om DOLS er korrekt specificeret Tabel 16: Test for korrekt specifikation Hvor re er fejlleddet. t-testen viser umiddelbart at fejlleddet ikke er korreleret med de forklarende variable. Dette underbygges af en F test, hvor nulhypotesen om at estimatorene på fremtidige og fortidige differenser af de forklarende variable er lig med 0, ret tydeligt ikke kan afvises. 95

96 Tabel 17: F-test for om leads og lags kan undværes Det kan dermed konkluderes at fejlleddet er ukorreleret med fortidige og fremtidige værdier af de forklarende variable. Næste punkt er om er I(0). Ved en AIC test for lag længde efterfulgt af en ADF test for unit root, afvises nulhypotesen om unit root i fejlleddet på 1% signigikansniveau, hvilket betyder at er I(0). Tabel 18: Test for laglængde og unit root i fejlled Test for lag længde og unit root, Lags AIC ADF * Note: *viser testens foreslåede laglængde Da det igen er et fejlled der skal testes virker de DF beregnede kritiske værdier ikke og testen udføres med et 1% signifikansniveau med 6 variable (inklusiv ) på og et 5% signifikansniveau på -4, Det kan således konkluderes på 1% signifikansniveau at fejlledet er drevet af en I(0) proces. 89 (Verbeek, 2008, s. 330) 96

97 13.4 Hypotesetest for langsigtet 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable 90 En t-test for udformes som: (13-1) Ligeledes kan testes ved at udforme: (13-2) Det er fristenden at tro at =, men dette er ikke korrekt. Den korrekte udregning er i stedet: ( ) ( ) ( ). Testen der her ønskes udregnet er: (13-3) Hvilket svarer til nulhypotesen: (13-4) I virkeligheden er det følgende nulhypotese der ønskes testet, (13-5) men det viser sig at udgangspunktet i ligning (13-4) er fordelagtigt. Tælleren fra ligning (13-3) kan let findes ved at se på DOLS resultatet fra Tabel 14, mens er sværere at udregne, da ( ) ( ). 90 Se testen i (Wooldridge, 2009, s. 140, 642) 97

98 Tricket er derfor at definere en ny variabel: Hvis fejlled i en regressionsanalyse er lig med (13-6) Hypotesetesten bliver således: (13-7) For at teste denne omskrives ligning (13-6) til: (13-8) Hvilket indsættes i den korrekt specificerede DOLS ligning: (13-9) Hvor: [ l ( ) l ] (13-10) Dette giver følgende empiriske DOLS ligning: (13-11) Hvor ikke er skrevet ud med de navngivne variable. Dette omskrives til: (13-12) Ved oprettelsen af nye variable: a=lbomk-lpland, b=li-lpland, c=lt-lpland og d=lu-lpland omskrives ligning (13-12) til: (13-13) Ved at køre denne DOLS regression fås følgende resultater: 98

99 Tabel 19: Udregning af samlet standard afvigelse Den vigtige parameter er HAC standardfejlen på lpland, som er ensbetydende med HAC standardfejlen på. Det vil sige at ( ) Dette indsættes så i ligning (13-3) sammen med DOLS resultatet fra Tabel 14, således at t værdien kan beregnes til: (13-14) t-testens kritiske værdi udregnes ud fra antal frihedsgrader som er lig med antal observationer-antal parametre-1= =55. Nulhypotesen om at parametrene er lig med 0 kan altså afvises på to-sidet 1% signifikansniveau der har en kritisk værdi på: t=2.66. Dette betyder at det kan afvises at de forklarende variables effekt på boligpriserne er 0. For at teste om det langsigtede forhold er 1-til-1 kan testen for omformes til testen for ved at trække 1 fra i tælleren i t-testen. Således fås testen for 1-til-1 forholdet som: (13-15) Den tosidede kritiske værdi på 10 % signifikansniveau er

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Tobins q og udbudssiden af boligmodellen

Tobins q og udbudssiden af boligmodellen Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* SOA 29. september 2011 Tobins q og udbudssiden af boligmodellen Resumé: Tobins q og boligmængden bør ifølge teorien samvariere. I sen 90'erne brydes denne

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt Kapitalstruktur i Danmark M. Borberg og J. Motzfeldt KORT OM ANALYSEN Omfattende studie i samarbejde med Økonomisk Ugebrev Indblik i ledelsens motiver for valg af kapitalstruktur Er der en optimal kapitalstruktur

Læs mere

Prisdannelsen på det danske boligmarked

Prisdannelsen på det danske boligmarked Prisdannelsen på det danske boligmarked en teoretisk og empirisk analyse Bacheloropgave Jonas Aller Kjeldsen aller@stud.ku.dk Vejleder: Michael Harboe-Jørgensen ØKONOMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner MÅLBESKRIVELSE Karakteren 12 opnås, når den studerende ud fra fagets niveau på fremragende

Læs mere

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 IP-Telefoni af Mikkel Friis-Olsen Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 1 Indholdsfortegnelse: 1. Indledning side 3 2.1 Efterspørgsel efter telekommunikation

Læs mere

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model:

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model: Kapitel 1: Markedet - et eksempel. Et Markedet for lejeboliger til studerende Model: 1. Alle lejligheder er identiske. 2. Men nogle ligger tæt på universitet (indre ring), andre længere væk (ydre ring).

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 9 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 8 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Velfærdsstatens hovedformål Tilvejebringelse af offentlige

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 9 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 8 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Velfærdsstatens hovedformål Tilvejebringelse af offentlige

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 9 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 30 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Hvorfor har vi ikke enøre mønter mere?

Læs mere

Totally Integrated Automation. Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet.

Totally Integrated Automation. Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet. Totally Integrated Automation Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet. Bæredygtighed sikrer konkurrenceevnen på markedet og udnytter potentialerne optimalt. Totally Integrated

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 1 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 23 og 24 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Genstandsfelt for økonomisk teori I. Individers/beslutningstagers

Læs mere

Bilag. Bilag 1 Boligmodellen i ADAM. phk pc. Boligefterspørgsel: Boligudbud: Boligbeholdning, ultimo: K K. phk NI g IX pi. Nettoinvesteringer:

Bilag. Bilag 1 Boligmodellen i ADAM. phk pc. Boligefterspørgsel: Boligudbud: Boligbeholdning, ultimo: K K. phk NI g IX pi. Nettoinvesteringer: Bilag Bilag 1 Boligmodellen i ADAM Boligefterspørgsel: phk K D f Y, i,, infl,... pc Boligudbud: S K K 1 Boligbeholdning, ultimo: K K 1 NI Nettoinvesteringer: phk NI g IX pi D S Kontantpris: phk h K K,

Læs mere

Akademiet for talentfulde unge

Akademiet for talentfulde unge Akademiet for talentfulde unge Cand. Scient. Stud, detrullende UNIVERSITET HVEM ER JEG?, 26 år Startede på Matematik-Økonomi på Aarhus Universitet i 2010 Vil undervise jer i Hvem skal betale for din uddannelse?

Læs mere

Figur 1. Udviklingen i boligpriserne ifølge AEs prognose, oktober 2008. Danmarks Statistik enfamilieshuse

Figur 1. Udviklingen i boligpriserne ifølge AEs prognose, oktober 2008. Danmarks Statistik enfamilieshuse 6. oktober 2008 Jeppe Druedahl, Martin Madsen og Frederik I. Pedersen (33 55 77 12) Resumé: AERÅDETS PROGNOSE FOR BOLIGMARKEDET, OKTOBER 2008: BOLIGPRISFALD VIL PRESSE VÆKST OG BESKÆFIGELSE Priserne på

Læs mere

Den københavnske boligboble er blæst væk

Den københavnske boligboble er blæst væk . maj 11 Den københavnske boligboble er blæst væk Redaktion Cheføkonom Christian Hilligsøe Heinig chei@rd.dk Efter de store prisfald på det københavnske boligmarked i kølvandet på finanskrisen, så har

Læs mere

Lejlighedsanalyse: Den økonomiske rentabilitet i at eje og leje

Lejlighedsanalyse: Den økonomiske rentabilitet i at eje og leje Lejlighedsanalyse: Den økonomiske rentabilitet i at eje og leje Boligpriserne er faldet, og boligrenterne er historisk lave. Det betyder dog stadig ikke, at køb af en lejlighed er det billigste i alle

Læs mere

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0 Userguide NN Markedsdata for Microsoft Dynamics CRM 2011 v. 1.0 NN Markedsdata www. Introduction Navne & Numre Web Services for Microsoft Dynamics CRM hereafter termed NN-DynCRM enable integration to Microsoft

Læs mere

LEMPELIG PENGEPOLITIK EN MEDVIRKENDE ÅRSAG TIL FINANSKRISEN

LEMPELIG PENGEPOLITIK EN MEDVIRKENDE ÅRSAG TIL FINANSKRISEN LEMPELIG PENGEPOLITIK EN MEDVIRKENDE ÅRSAG TIL FINANSKRISEN Den nuværende finanskrise skal i høj grad tilskrives en meget lempelig pengepolitik i USA og til dels eurolandene, hvor renteniveau har ligget

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 16 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 15 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Vi har indtil videre kun beskrevet

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Side 1 af 7 Stocks are for the long run 22. juni 2012 - Af Jesper Lund, Delfin Invest A/S Jesper Lund beholder sin investeringsgrad på 100 procent - og dét på trods af, at afkastet på Lunds tekniske modelportefølje

Læs mere

Forbrugeren som agent

Forbrugeren som agent Kapitel 2: Budgetbegrænsninger Forbrugeren som agent 1. Paradigme: Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Lyder banalt og noget abstrakt - men... 3....viser sig at give en

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008 Øvelse 5 Tobias arkeprand October 8, 2008 Opgave 3.7 Formålet med denne øvelse er at analysere ændringen i indkomstdannelsesmodellen med investeringer der afhænger af indkomst/produktionen. Den positive

Læs mere

Betydelig risikopræmie synes tillagt lejepriserne på det private udlejningsmarked

Betydelig risikopræmie synes tillagt lejepriserne på det private udlejningsmarked 9. marts 2012 Betydelig risikopræmie synes tillagt lejepriserne på det private udlejningsmarked De usikre tider på både boligmarkedet og arbejdsmarkedet har gennem de seneste år bevirket til, at flere

Læs mere

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 5. Pensum: Mankiw kapitel 5. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 5. Pensum: Mankiw kapitel 5. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm MAKRO 1 2. årsprøve, forår 2007 Forelæsning 5 Pensum: Mankiw kapitel 5 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm DEN ÅBNE ØKONOMI LUKKET vs. ÅBEN ØKONOMI: Handel: Eksport og import af varer

Læs mere

Byg din informationsarkitektur ud fra en velafprøvet forståelsesramme The Open Group Architecture Framework (TOGAF)

Byg din informationsarkitektur ud fra en velafprøvet forståelsesramme The Open Group Architecture Framework (TOGAF) Byg din informationsarkitektur ud fra en velafprøvet forståelsesramme The Open Group Framework (TOGAF) Otto Madsen Director of Enterprise Agenda TOGAF og informationsarkitektur på 30 min 1. Introduktion

Læs mere

MAKRO 2 DEN BASALE SOLOW-MODEL. Y t = BK α t L 1 α. K t+1 K t = sy t δk t, L 0 givet. L t+1 =(1+n) L t, 2. årsprøve. r t = αb L t.

MAKRO 2 DEN BASALE SOLOW-MODEL. Y t = BK α t L 1 α. K t+1 K t = sy t δk t, L 0 givet. L t+1 =(1+n) L t, 2. årsprøve. r t = αb L t. DEN BASALE SOLOW-MODEL Y t = BK α t L 1 α t MAKRO 2 K t+1 K t = sy t δk t, L t+1 =(1+n) L t, K 0 givet L 0 givet 2. årsprøve Forelæsning 4 Kapitel 3 og 4 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f07/makro

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Maksimalpriser binder i stigende grad på andelsboligmarkedet

Maksimalpriser binder i stigende grad på andelsboligmarkedet 19. maj 2014 Maksimalpriser binder i stigende grad på andelsboligmarkedet Vi har set nærmere på udviklingen på andelsboligmarkedet i Region Hovedstaden i første kvartal 2014 med udgangspunkt i vores kendskab

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

Rentefradragsretten på retræte konsekvensen for huspriserne minimale

Rentefradragsretten på retræte konsekvensen for huspriserne minimale 5. december 2011 Rentefradragsretten på retræte konsekvensen for huspriserne minimale Redaktion Christian Hilligsøe Heinig chei@rd.dk Ved månedens udgang bliver rentefradragsretten nok engang reduceret.

Læs mere

MODELLER AF BOLIGMARKEDET HVORFOR VIRKER SYSTEM DYNAMICS? Af Knud Erik Wichmann, Johan Kjeldgaard-Petersen, Martin Mckinnon Edwards

MODELLER AF BOLIGMARKEDET HVORFOR VIRKER SYSTEM DYNAMICS? Af Knud Erik Wichmann, Johan Kjeldgaard-Petersen, Martin Mckinnon Edwards MODELLE AF OLIGMAKEDET HVOFO VIKE SYSTEM DYNAMICS? Af Knud Erik Wichmann, Johan Kjeldgaard-Petersen, Martin Mckinnon Edwards INTODUKTION Mange aktører ejendomsmæglere, økonomer, journalister, professorer

Læs mere

Sammenhængen mellem konjunkturvendinger og ejerboligpriser i Danmark

Sammenhængen mellem konjunkturvendinger og ejerboligpriser i Danmark H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Forår 2010 --------------- Opgaveløser: Jacob Saltoft Kristiansen Vejleder: Mikkel Høegh Opgaveemne 49 Sammenhængen mellem konjunkturvendinger og ejerboligpriser

Læs mere

MAKRO 2 STRUKTUREL LEDIGHED. Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor falder (real-) lønningerne ikke bare?

MAKRO 2 STRUKTUREL LEDIGHED. Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor falder (real-) lønningerne ikke bare? STRUKTUREL LEDIGHED MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 10 Kapitel 13 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor

Læs mere

ÅRSREGNSKAB 2009. Pressemøde. Peter Straarup. Ordførende direktør. Tonny Thierry Andersen. Koncernøkonomidirektør. 4. februar 2010

ÅRSREGNSKAB 2009. Pressemøde. Peter Straarup. Ordførende direktør. Tonny Thierry Andersen. Koncernøkonomidirektør. 4. februar 2010 ÅRSREGNSKAB 2009 Pressemøde 4. februar 2010 Peter Straarup Ordførende direktør Tonny Thierry Andersen Koncernøkonomidirektør Årets resultat 2009: Overskud trods den største realøkonomiske tilbagegang i

Læs mere

DREAM-modellen. Peter Stephensen, DREAM. Møde i Finansdepartementets rådgivende udvalg for model- og metodespørgsmål Oslo, 23. Marts 2015.

DREAM-modellen. Peter Stephensen, DREAM. Møde i Finansdepartementets rådgivende udvalg for model- og metodespørgsmål Oslo, 23. Marts 2015. DREAM-modellen Peter Stephensen, DREAM Møde i Finansdepartementets rådgivende udvalg for model- og metodespørgsmål Oslo, 23. Marts 2015 DREAM: Info Danish Rational Economic Agents Model (DREAM) er en uafhængig

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Har boligkrisen ændret boligpræferencerne 2008-09?

Har boligkrisen ændret boligpræferencerne 2008-09? Har boligkrisen ændret boligpræferencerne 2008-09? Hans Skifter Andersen Hovedkonklusioner... 2 Undersøgelse af ændrede boligpræferencer 2008-2009... 3 Hvem er påvirket af boligkrisen og hvordan... 3 Ændringer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Indledning. Tekniske forudsætninger for beregningerne. 23. januar 2014

Indledning. Tekniske forudsætninger for beregningerne. 23. januar 2014 Vurdering af krav til arbejdsstyrke og arbejdstid, hvis Danmark hhv. skal være lige så rigt som Sverige eller blot være blandt de 10 rigeste lande i OECD 1 i 2030 23. januar 2014 Indledning Nærværende

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning Disposition Udførelse af jordankre: DS/EN 1537:2013 (indført 29/7 2013... ikke længere ny) Scope Bond type and compression type anchors Formål med

Læs mere

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR ZEALAND PHARMA A/S EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR ZEALAND PHARMA A/S INDHOLDSFORTEGNELSE/TABLE OF CONTENTS 1 FORMÅL... 3 1 PURPOSE... 3 2 TILDELING AF WARRANTS...

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1

Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1 Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1 15. november 2011 Indledning I nærværende notat belyses effekten af et marginaleksperiment omhandlende forøgelse af arbejdstiden i den offentlige

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION. Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning

DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION. Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning Overblik Hvad er langvarig stagnation/ secular stagnation? Tæt sammenhæng med

Læs mere

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED Støttet af: ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED NOTAT NR. 147 Den danske puljenotering følger den tyske Nord-West notering med 4 ugers forsinkelse i gennemsnit. Drivkræfterne bag

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med.

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med. Ansøgning Yderligere bemærkninger til ansøgningen Det var fedt at rammerne var så åbne, som jeg så det var der kun to krav til projektet: Det skulle være open source og det skulle have det offentliges

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet N O T A T Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet 26. februar 2010 Konklusioner Finansrådets analyse viser, at forholdene på de finansielle markeder

Læs mere

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,

Læs mere

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen n o t a t Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen 8. december 29 Kort resumé Henover året har der været megen fokus på faldet i bankernes udlån til virksomhederne.

Læs mere

Store forskelle i varmepriserne hvorfor?

Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Der er store prisforskelle på fjernvarme rundt om i landet. Energitilsynet analyserer her, hvordan brændselsvalg, beliggenhed i forhold kunderne, størrelse og ejerskab

Læs mere

Hermed sendes endeligt svar på spørgsmål 357 af 21. februar 2012. Spørgsmålet er stillet efter ønske fra Frank Aaen (EL). (Alm. del).

Hermed sendes endeligt svar på spørgsmål 357 af 21. februar 2012. Spørgsmålet er stillet efter ønske fra Frank Aaen (EL). (Alm. del). Skatteudvalget 2011-12 SAU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 357 Offentligt J.nr. 12-0173104 Dato:4. juli 2013 Til Folketinget - Skatteudvalget Hermed sendes endeligt svar på spørgsmål 357 af 21. februar

Læs mere

Bag om boligmarkedet: Er boligmarkedet billigt eller dyrt?

Bag om boligmarkedet: Er boligmarkedet billigt eller dyrt? 21. marts 2013 Bag om boligmarkedet: Er boligmarkedet billigt eller dyrt? Et af de mest omdiskuterede emner i boligdebatten gennem efterhånden en længere årrække har været om boligmarkedet er billigt,

Læs mere

AERÅDETS PROGNOSE, MARTS 2008: VENDING PÅ BOLIGMARKEDET

AERÅDETS PROGNOSE, MARTS 2008: VENDING PÅ BOLIGMARKEDET 4. april 2008 Af Af Jakob Jakob Mølgård Mølgård og Martin og Martin Madsen Madsen (33 (33 55 77 55 18) 77 18) AERÅDETS PROGNOSE, MARTS 2008: VENDING PÅ BOLIGMARKEDET Vi forventer en gradvis tilpasning

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Indledning Virksomhederne Husholdningerne Den oentlige sektor Lukning Et udbudsstød. DREAM Workshop. April 25, 2012

Indledning Virksomhederne Husholdningerne Den oentlige sektor Lukning Et udbudsstød. DREAM Workshop. April 25, 2012 DREAM Workshop April 25, 2012 DREAM består af 4 modeller Befolkningsfremskrivning Uddannelsesfremskrivning Socio-økonomisk fremskrivning (befolkningsregnskab) Makromodel Dette foredrag handler om makromodellen

Læs mere

Lantbruksforetagets växt Problemer og udfordringer set fra Danmark

Lantbruksforetagets växt Problemer og udfordringer set fra Danmark Lantbruksforetagets växt Problemer og udfordringer set fra Danmark Af Svend Rasmussen Institut for Fødevare- og Ressourceøkonomi, Københavns Universitet (KU) Disposition Danske landbrugsbedrifter Behov

Læs mere

Oversigt. Det dominerende firma. Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (i) Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (ii)

Oversigt. Det dominerende firma. Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (i) Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (ii) Oversigt Det dominerende firma Keld Laursen stitut for dustriøkonomi og virksomhedstrategi, HHK e-mail: kl.ivs@cbs.dk, http://www.cbs.dk/departments/ivs/laursen/ Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten

Læs mere

Energi og Økonomi. Kursusgang 2. Dagens program

Energi og Økonomi. Kursusgang 2. Dagens program Energi og Økonomi Kursusgang Poul Alberg Østergaard 1 Dagens program Introduktion til økonomisk analyse med Renter Renters rente Tidsprioritering Tilbagediskontering intern rente Nutidsværdi Annuitet Tilbagebetalingstid

Læs mere

PERSPECTIVES ON MARKETING OF GREEN ELECTRICITY:

PERSPECTIVES ON MARKETING OF GREEN ELECTRICITY: PERSPECTIVES ON MARKETING OF GREEN ELECTRICITY: MODELING CONSUMER ADOPTION, CHOICE BEHAVIOR AND CONSUMER SWITCHING By Yingkui Yang THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Research Danmark Næppe boble i København men vigtigt med vågent øje

Research Danmark Næppe boble i København men vigtigt med vågent øje Investment Research General Market Conditions 28. april 2015 Research Danmark Næppe boble i København men vigtigt med vågent øje Der er i kølvandet på de ekstremt lave renter kommet øget fokus på risikoen

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Projektledelse i praksis

Projektledelse i praksis Projektledelse i praksis - Hvordan skaber man (grundlaget) for gode beslutninger? Martin Malis Business Consulting, NNIT mtmi@nnit.com 20. maj, 2010 Agenda Project Governance Portfolio Management Project

Læs mere

Sammenligning af SMEC, ADAM og MONA - renteeksperiment

Sammenligning af SMEC, ADAM og MONA - renteeksperiment Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jacob Nørregård Rasmussen 2. september 212 Dan Knudsen Sammenligning af SMEC, ADAM og MONA - renteeksperiment Resumé: Papiret sammenholder effekten af en renteforøgelse

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Danske elevers udfordringer i matematik Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Disposition for de næste 30 min. Matematikspecifikke udfordringer matematikvanskeligheder Hvad ved vi fra PISA set fra et fagdidaktisk

Læs mere

Det danske boligmarked - dengang, nu og fremover. Nykredit Markets Research Seniorøkonom Jens Lieutenant Pedersen

Det danske boligmarked - dengang, nu og fremover. Nykredit Markets Research Seniorøkonom Jens Lieutenant Pedersen Det danske boligmarked - dengang, nu og fremover Nykredit Markets Research Seniorøkonom Jens Lieutenant Pedersen 30. maj 2012 1 Aktuelle tendenser på det danske boligmarked Nye kraftige prisfald ramte

Læs mere

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

NYT FRA NATIONALBANKEN

NYT FRA NATIONALBANKEN 1. KVARTAL 2015 NR. 1 NYT FRA NATIONALBANKEN UDSIGT TIL STØRRE VÆKST I DANMARK Nationalbanken opjusterer skønnet for væksten i dansk økonomi i år og til næste år. Skønnet er nu en vækst i BNP på 2,0 pct.

Læs mere

Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning.

Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning. 1. E-MAGASINER (Herning) Hvem kan deltage: Studerende i Herning Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning. På kurset lærer du at

Læs mere

Risiko for brud i fødekæden på boligmarkedet

Risiko for brud i fødekæden på boligmarkedet NR. 8 NOVEMBER 2011 Risiko for brud i fødekæden på boligmarkedet Mere end 25 pct. af ejerlejlighederne på Sjælland kan kun sælges med tab. Konsekvenserne er alvorlige. Risikoen er, at ejerne stavnsbindes,

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Effekter af eksportfremme for danske virksomheder. Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee

Effekter af eksportfremme for danske virksomheder. Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee Effekter af eksportfremme for danske virksomheder Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee Hvad ved vi om eksportfremme? De fleste lande bruger betydelige ressourcer på

Læs mere

Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen

Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen 1 Svaret: Man spørger en, der har forstand på det, som man gerne vil måle 2 Eksempel: Spiritualitet Peter A., Peter G. &

Læs mere

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d.

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSCAPE SPRAWL Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSKABSSPREDNING Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. I Center for Strategisk Byforskning har vi de sidste 10 år

Læs mere

Rentemarkedet. Markedskommentarer og prognose. Kilde, afdækning Dato 12. august 2014

Rentemarkedet. Markedskommentarer og prognose. Kilde, afdækning Dato 12. august 2014 Rentemarkedet Markedskommentarer og prognose Kilde, afdækning Dato 12. august 2014 Rentemarkedet DKK siden august og fremover 2.5 2 1.5 1 0.5 August 2013 NU Vores forventning til renteniveauet om 1 år

Læs mere

Boligpriser og normaliseringen af renterne frem mod 2020

Boligpriser og normaliseringen af renterne frem mod 2020 Boligpriser og normaliseringen af renterne frem mod 22 Nyt kapitel Det danske boligmarked har været igennem ti turbulente år, hvor uholdbare prisstigninger frem til 27 blev afløst af kraftige prisfald.

Læs mere

Aspector v/morten Kamp Andersen. Hvorfor Talent Management? - argumenter og business case

Aspector v/morten Kamp Andersen. Hvorfor Talent Management? - argumenter og business case Aspector v/morten Kamp Andersen Hvorfor Talent Management? - argumenter og business case PROGRAM 1. Hvorfor er der (igen) fokus på Talent Management? 2. Hvad er Talent Management? 3. Hvad er business casen?

Læs mere