Matematik A studentereksamen

Transkript

1 Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var ca mens den største observation var på. I år 2011 var personbeskatningens median. De to kvartiler aflæser jeg til hhv. og. Den mindste observation i 2011 var og den største var. Des kan aflæses af de to boksplot, at personbeskatningen fra 2007 til 2011 er steget. Alle kvartiler samt højeste og laveste observationer er højere i 2011 end de var i I 2007 betalte kun 50% mere end 24,8 % i personskat mens 75% i 2011 gør det. Der er kommet en større spredning i observationerne, men de midterste 50 % fra første til anden kvartil i 2011 er mindre spredte. Opgave 8 Jeg bestemmer ligningen for linjen ved hjælp af formlen: Det gør jeg ved, at jeg kender et punkt og en normalvektor til linjen. Jeg ved, at A og B ligger på linjen. Altså: Jeg skal bruge et punkt og en normalvektor til linjen. Jeg tager derfor tværvektoren til : Nu har jeg et punkt på linjen A(1,1) og en normalvektor til linjen. Dermed kan linjeligningen opstilles: Jeg har hermed opstillet linjen l s ligning gennem A og B på formen.

2 Xxxx Side 2 af 11 Jeg differentierer y: I toppunktet er. Dermed kan jeg finde x: Dette x indsætter jeg i y: Toppunktet har altså koordinatet af afstandsformlen:. Jeg bestemmer nu afstanden fra toppunkt til linje ved hjælp Altså er afstanden fra toppunktet til linjen l cirka 4,47. c) Jeg ved, at jeg kan finde koordinatsættet til projektionen ved at gå af kendte veje. Det vil sige, at Hvor er et punkt på linjen og er projektionen af toppunktet på l. Jeg beregner projektionen: Hvor er en vektor fra et punkt på linjen til T og er et punkt på linjen. Heraf ses, at har samme koordinater, som stedvektoren har, og derfor er koordinatsættet til projektionen af T på l. Dette er sjovt nok også skæringen mellem parablen og l. Opgave 9

3 Xxxx Side 3 af 11 Jeg bestemmer vinklen ACB ved cosinusrelationen: Altså er vinkel C cirka 51,51 grader. Med den nye vinkel kan jeg nu finde arealet af trekanten ved hjælp af formlen: Hvilket bliver trekantens areal. Her ses en skitse: Jeg kan beregne højden fra B i den retvinklede trekant BCD: Medianen fra b har længden: Jeg har nu højden fra B og medianen fra B i trekant BDE. Dermed kan jeg regne vinkel B i trekant BDE:

4 Xxxx Side 4 af 11 Vinkel B i trekant BDE bliver da: Og nu kan siden bestemmes vha. tangens: Hvilket bliver længden af det søgte linjestykke. Opgave 10 Jeg har plottet datasættet ind i TI-nspire CAS og foretaget potensregression: Det ses af residualplottet, at der ikke er tegn på systematisk afvigelse. Desuden er forklaringsgraden. På baggrund af det, kan vi acceptere regressionen.

5 Xxxx Side 5 af 11 Jeg har fundet funktionsforskriften til: Da det ikke giver mening at tale om negative masser. Jeg har altså bestemt konstanten. og For at bestemme hvor hurtigt blodet renses på et forsøgsdyr, der vejer 70 kg, indsætter jeg 70 på m s plads: Altså renses blodplasmaet for medicin med en hastighed på hos et 70 kg tungt dyr. For at finde massen af et dyr, hvor blodplasmaet renses med hastigheden 5000 ml/h, løser jeg ligningen mht. m på TI-nspire CAS: Altså er massen af et dyr, hvor blodplasmaet renses med hastigheden 5000 ml/h ca. 7,26 kg. c) Når man lægger 20 procent til, svarer det til at multiplicere med 1,2. For en relativ tilvækst i procentvækst gælder der, at Altså vokser y med når x vokser med. Altså ændres hastigheden med ca. 14,4 %, når dyrets masse stiger med 20%. Opgave 11 Jeg bruger krydsproduktet til at bestemme en normalvektor til planen:

6 Xxxx Side 6 af 11 Jeg kender nu et punkt og en normalvektor til planen. Planens ligning kan findes ved: Hvilket er planens ligning. Jeg aflæser s normalvektor til. Nu kan jeg finde vinklen mellem de to planer ved at finde vinklen mellem de to planers normalvektorer: Da begge normalvektorer vender ind i huset, får jeg den spidse vinkel mellem de to flader (se fig. 543 s. 166 i Gyldendals Grundbog A, de begge peger indad på denne figur og man får den spidse vinkel. Havde den ene peget ind og den anden ud som på figur 544, ville man automatisk få den stumpe vinkel). Den søgte vinkel er imidlertid: Hvilket altså er vinklen mellem sidefladen ABCD og endefladen BCEF c) Arealet af paralellogrammet udspændt af a og b er den numeriske værdi af krydsproduktet. I ABCD har vi to trekanterabc og ACD. Arealet må være: Nu har jeg alle vektorer, da jeg også har dem fra før. Arealet:

7 Xxxx Side 7 af 11 Hvilket bliver arealet af ABCD. Opgave 12 Jeg benytter desolve på TI-nspire CAS: Hvilket bliver forskriften for Jeg løser ligningen mht. t på TI-nspire CAS: Altså er der efter ca. 40,32 minutter 60 kg. Salt i karret. Opgave 13 Her ses grafen for f samt linjen med ligningen x=38:

8 Xxxx Side 8 af 11 Jeg bestemmer nu arealet af M: Hvilket bliver arealet af området M. Jeg bestemmer overfladearealet ved hjælp af integralet: Hvilket er lampens overfladeareal. Opgave 14 Beholderen består af en kasse og en halvkugle. Rumfanget af disse er:

9 Xxxx Side 9 af 11 Hermed har jeg bestemt beholderens volumen udtrykt ved r og h. Jeg løser ligningen: Mht. h i TI-nspire CAS: Hermed er h bestemt ved r. Overfladearealet kan beskrives ved: Da det er 4 sider med arealet, to sider med arealet, en halv kugle, og så den ene kvadratiske side minus kuglens tværsnits areal. Dette forkortet: Jeg indsætter nu h: Qed. Jeg har hermed vist, at overfladearealet kan skrives, som netop dette. c) Jeg differentierer

10 Xxxx Side 10 af 11 Jeg sætter denne lig med nul og løser med hensyn til r i TI-nspire CAS Nu ser jeg på monotoniforholdene: 0, Jeg har bestemt hældningskoefficienten i 0,5 og 1 til at være hhv. ca. -33 og ca. 3,9. Altså er aftagende i intervallet ]0;. I er der lokalt minimum. I intervallet er voksende. Altså er den radius, der giver beholderen det mindste overfladeareal ca..

11 Xxxx Side 11 af 11