Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: kurser/nanostatistik/

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/"

Transkript

1 Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16

2 Højder Pige- og drengehøjder blandt deltagere i kurset Plot Er der forskel på højden af piger og drenge? Hvad mener vi med dette spørgsmål? Bagvedliggende population? Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 2/16

3 Hvad skal vi med statistik? Eksempel: Aar grov vold Nyhed i TV: kraftig stigning i grov vold. Er dette rigtigt? Kan tallene forklares ved tilfældige udsving? population sandsynligheder Har måden at opgøre tallene på ændret sig? Eksempel: Solsvingninger/jordtemperatur Svært: usikkerhed i tallene - hvad betyder en tilfældig sammenhæng Finde fysisk forklaring på sammenhæng Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 3/16

4 Statistik Al statistisk argumentering er baseret på sandsynligheder Typisk / Ikke-typisk Timerne i dag: Sandsynligheder Oversigt over kurset? Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 4/16

5 Sandsynligheder Hvad er en sandsynlighed? ss (a) ss for plat eller krone i møntkast: 1 2 (b) ss for en 6-er i terningekast: (c) ss for 2 6-er i kast med to terninger: 36 = (d) ss for 4 esser i 13 ud af 52 kort: = (Placere es 1, dernæst es 2 osv) (e) ss for en ulykke under flystart:? (f) ss for et biluheld på Grenåvej i myldretid:? (g) ss for solskinsvejr i morgen:? (h) ss for at vinde landskampen mod Sverige i 2004:? Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 5/16

6 SS: fysisk definition Definition ("fysisk"): ss for en hændelse er den frekvens hvormed hændelsen optræder i uafhængige gentagelser (a)-(d): passer fint (e): antal ulykker / antal starter (g): finde dage med vejr der ligner i dag, tælle op hvor mange der havde sol dagen efter (h): duer ikke: hver ny kamp er en ny situation Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 6/16

7 SS: fysisk definition 0 ss 1 optræder altid: ss=1 optræder aldrig: ss=0 A: en hændelse (Ex: få en 6-er i terningekast) { 1 hvis A optræder i j te gentagelse 1(A j ) = 0 hvis A ikke optræder Så er frekvensen i n gentagelser n j=1 1(A j) ss = grænseværdien når n = P(A) FIGUR n Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 7/16

8 SS: P(A B) A og B er disjunkte hændelser: hvis A optræder så er B udelukket, og omvendt Ex: A: få en 6-er i terningekast; B: få en 5-er A B: A optræder eller B optræder 1(A B) = 1(A) + 1(B) når de er disjunkte n j=1 1((A B) j) n j=1 1(A j) n j=1 1(B j) n = n + n Derfor må der gælde P(A B) = P(A) + P(B), A og B er disjunkte Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 8/16

9 Sandsynlighedsmodel Definition ("matematisk"): 1) Udfaldsrum (ofte betegnet med Ω): indeholder alle mulige resultater af et eksperiment Ex1: Kaste en mønt Ω = {pl,kr} Ex2: Kaste en terning Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ex3: Kaste en mønt to gange Ω = {(pl,pl), (pl,kr), (kr,pl), (kr,kr)} Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 9/16

10 SS-model: hændelser 2) En samling af hændelser (hændelsesalgebra A = "de spørgsmål vi kan stille" hændelse: delmængde af udfaldsrum Ex1: hændelse krone {kr} Ex2: hændelsen et lige antal øjne {2, 4, 6} Ex3: hændelsen mindst een krone {(pl, kr), (kr, pl), (kr, kr)} Krav til A: Hvis A A og B A så er A B A og A B A A B: enten A eller B (eller dem begge) A B: både A og B Ω A (den sikre hændelse) A ( = den tomme mængde) Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 10/16

11 SS-model: hændelser Ex4: Kaste en terning to gange Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),...,(6, 6)} (36 elementer) A = 6-er i kast 1 A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = 6-er i kast 2 B = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} A B = 6-er i begge kast A B = {(6, 6)} A B = mindst een 6-er A B har 11 elementer Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 11/16

12 SS-model: ss-mål 3) Et sandsynlighedsmål P For enhver hændelse A A angiver P(A) ss: 0 P(A) 1 P(Ω) = 1 P( ) = 0 P(A B) = P(A) + P(B), hvis A og B er disjunkte (husk den "fysiske" ss) Ex1: P({kr}) = 1 2 Ex2: P(lige antal øjne) = P({2})+P({4})+P({6}) = = 1 2 Ex3: P(mindst een krone) = P({(pl,kr)}) + P({(kr,pl)}) + P({(kr,kr)}) = = 3 4 Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 12/16

13 Additionssætningen A og B er to mængder, ikke nødvendigvis disjunkte C = A B A 0 = A \ C B 0 = B \ C Så er A B = A 0 B 0 C A 0,B 0,C er disjunkte Dermed P(A B) = P(A 0 B 0 C) = P((A 0 B 0 ) C) = P(A 0 B 0 ) + P(C) = P(A 0 ) + P(B 0 ) + P(C) = P(A 0 ) + P(C) + P(B 0 ) + P(C) P(C) = P(A) + P(B) P(C) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ex4: P(mindst een 6-er i to kast) = P(6-er i første) + P(6-er i anden) P(6-er i begge) Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 13/16

14 Population Situation: Indsamling af data fra en population Ω = populationen P svarer til at et individ vælges tilfældigt Ex1: Møntkast. Population: pl og kr Ex2: Population = danske mænd over 20 år - ønsker at undersøge deres højde Ω = {ω 1,ω 2,...,ω k }, population har k individer P({ω i }) = k 1 tilfældig udvælgelse: alle individer er lige sandsynlige Hvis A er en delmængde af Ω får vi P(A) = A k hvor A er antallet af individer i A. P(A) = andelsfunktionen. Hvis vi tilfældigt udvælger m individer fra en population kaldes dette en stikprøve Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 14/16

15 Ex: Radioaktivt henfald Experiment: registrerer antal klik i geigertæller i et givet tidsrum stammende fra et radioaktivt materiale Ω = {0, 1, 2,...} alle ikke-negative heltal P(i)? Der er ikke et symmetri eller "lige store ss" argument Grænseargument: meget stort antal atomer, kun få af disse henfalder i et givet tidsrum P(i) = poissonsandsynlighed At argumentet er korrekt eftervises ved mange gentagelser af forsøget, jvf "fysiske" definition af ss Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 15/16

16 Opsummering Udfaldsrum Ω: alle muligheder for resultat af experiment Sandsynlighedsmål P : frekvens i uafhængige gentagelser Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 16/16

Statistik og Databehandling N: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/kurser/ statdatabehandling/f06/

Statistik og Databehandling N: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/kurser/ statdatabehandling/f06/ Statistik og Databehandling N: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/kurser/ statdatabehandling/f06/ Jens Ledet Jensen Statistik og Databehandling N: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/statdatabehandling/f06/

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Modul 3: Sandsynlighedsregning

Modul 3: Sandsynlighedsregning Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Sandsynlighedsregning 3.1 Sandsynligheder................................... 1 3.2 Tilfældig udtrækning fra en mængde........................

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

3 Usikkerhed og sandsynligheder

3 Usikkerhed og sandsynligheder 3 Usikkerhed og sandsynligheder De fleste samfundsvidenskabelige problemstillinger involverer usikkerhed. For at kunne analysere disse er det nødvendigt med en dybere forståelse af begrebet usikkerhed

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk

Læs mere

Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Eksempel 1.1: kvalitetskontrol

Eksempel 1.1: kvalitetskontrol Idag 1. Introduktion til statistik: Eksempel 1.1 og 1.2 fra WMMY samt andre eksempler. 2. Sandsynlighedsregning: udfaldsrum, hændelser, regning med sandsynligheder. 1/17 Eksempel 1.1: kvalitetskontrol

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

T-1.24; Spil læg 3 til.

T-1.24; Spil læg 3 til. T-1.24; Spil læg 3 til. Faglige mål: Addition. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik. Lektionsmål: * Kan adderer med 2 og 3. * Stiller spørgsmål, der er relevante

Læs mere

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I de enkelte undervisningsforløb indgår der mål fra både de matematiske kompetencer og fra de 3 stofområder: Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Nanostatistik: Middelværdi og varians

Nanostatistik: Middelværdi og varians Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 9. Udgave Michael Sørensen 11. juli 2008 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Gallup om kommunal. i 5 kommuner 2013. Gallup om kommunal. TNS Dato: 12. marts 2013 Projekt: 59180

Gallup om kommunal. i 5 kommuner 2013. Gallup om kommunal. TNS Dato: 12. marts 2013 Projekt: 59180 i 5 kommuner 2013 TNS Dato: 12. marts 2013 Projekt: 59180 valg Feltperiode: Den 7. 12. marts 2013 Målgruppe: Repræsentativt udvalgte vælgere i hhv. København, Frederiksberg, Aarhus, Aalborg og Odense over

Læs mere

Simulering af chancer. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Simulering af chancer 2-11

Simulering af chancer. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Simulering af chancer 2-11 VisiRegn ideer 6 Simulering af chancer Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Simulering af chancer 2-11 Elevaktiviteter til Simulering af chancer

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Statistik. Dagens program. Hovedbudskabet. Statistisk inferens. Mediemålinger & statistik. Repræsentativitet. og validitet

Statistik. Dagens program. Hovedbudskabet. Statistisk inferens. Mediemålinger & statistik. Repræsentativitet. og validitet Statistik Mediemålinger & statistik Statistikkens forudsætninger og finurligheder 1 Dagens program Hovedbudskabet Statistik metoden og faldgruberne: Repræsentativitet Reliabilitet Validitet Statistisk

Læs mere

Fordeling af midler til specialundervisning

Fordeling af midler til specialundervisning NOTAT Fordeling af midler til specialundervisning Model for Norddjurs Kommune Søren Teglgaard Jakobsen December 2012 Købmagergade 22. 1150 København K. tlf. 444 555 00. kora@kora.dk. www.kora.dk Indholdsfortegnelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Årsplan 2015/2016. Uge 33-43. Tal - Eleven har viden om regningsarternes hierarki. Mundtlig evaluering Skriftlige prøver Kan kan næsten cirkel

Årsplan 2015/2016. Uge 33-43. Tal - Eleven har viden om regningsarternes hierarki. Mundtlig evaluering Skriftlige prøver Kan kan næsten cirkel Kompetencemål: - Eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik - Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser - Eleven kan forklare geometriske

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

TIPS OG TRICKS TIL FIONA ONLINE

TIPS OG TRICKS TIL FIONA ONLINE DANMARKS NATIONALBANK TIPS OG TRICKS TIL FIONA ONLINE 1 Indberetning af finansielle mellemværender til Nationalbanken 2 Oversigt over tips og tricks til FIONA Online Forsiden: Her offentliggøres nyheder

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Elevtal for grundskolen 2009/2010

Elevtal for grundskolen 2009/2010 Elevtal for grundskolen 29/21 Af Alexander Uldall Kølving Elevtallet har været faldende i perioden 26/7 til 29/1. For skoleåret 29/1 var der sammenlagt 715.833 elever i den danske grundskole, og sammenlagt

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere