Titel: SYNOPSIS: Lars Houbak-Jensen. Anders Holten. Steffen Christensen. Jens Henning Bitsch. Jess Grotum Nielsen

Transkript

1 ,

2

3 Titel: Regulering af solfangeranlæg Semester: 4. semester Semester tema: Regulering af energiomsættende systemer Projektperiode: til ECTS: 17 Vejleder: Mads Pagh Nielsen Projektgruppe: ET4-402 Lars Houbak-Jensen SYNOPSIS: Denne rapport beskæftiger sig med regulering af solfangeranlæg til opvarmning af brugsvand. Formålet med reguleringen er, at overføre samme effekt Anders Holten fra solfangeren til varmtvandsbeholderen ved et gennemsnitligt lavere masseflow i solfangerkredsen, sammenlignet med et konstant flow. De enkelte dele i et solfangeranlæg beskrives med henblik på at analysere de enkelte Steffen Christensen komponenter. I rapporten udvikles en model for et solfangeranlæg, der kan simulere temperaturudviklingen forskellige steder i systemet ved input af Jens Henning Bitsch solindfald, forbrug og masseflow. På baggrund af modellen udvikles en overføringsfunktion for systemet. Denne overføringsfunktion bliver analyseret og systemet vurderes stabilt. På baggrund af overføringsfunktionen designes en PI-regulator og denne testes på modellen. Konklusionen af denne test er, at Jess Grotum Nielsen det muligt at overføre den samme effekt, med en ubetydelig afvigelse, ved et varierende, gennemsnitligt lavere masseflow sammenlignet med et konstant masseflow. Et overslag på et anlæg til et enfamiliehus viser at dette giver mulighed for en årlig besparelse på omkring 40 kroner. Oplag: Antal sider: Appendiks: Bilag: 7 stk. 111 sider 17 sider 1 stk. CD Ved at underskrive dette dokument bekræfter hvert enkelt gruppemedlem, at alle har deltaget ligeligt i projektarbejdet, og at alle er kollektivt ansvarlige for rapportens indhold.

4

5 Forord,, Denne P4-rapport er udarbejdet af gruppe ET4-402 fra Energiteknik på det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige fakultet ved Aalborg Universitet. Projektperioden, som forløb fra d. 1. februar til d. 26. maj 2010, havde hovedtemaet: Regulering af energiomsættende systemer. Projektdeltagerne vil gerne takke følgende personer for deres indsats med at guide projektet i den rigtige retning og for deres assistance, når det var nødvendigt: Peter Omand Rasmussen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet Henrik Clemmensen Pedersen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet Henrik Sørensen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet Læsevejledning I de tilfælde, hvor en eller flere kilder er blevet anvendt som baggrund for et eller flere afsnit, vil der udelukkende være henvist til de eller denne kilde umiddelbart efter teksten. Ved tabeller er kilder nævnt i teksten under tabellen. Når der er indsat figurer, projektdeltagerne ikke selv har fremstillet, henvises der til kilden i figurteksten umiddelbart under figuren. Nummerering af formler, figur og tabeller Nummereringen af formler foregår ved at det første nummer refererer til kapitel, mens det sidste nummer refererer til formlen. Eksempelvis refererer formel 4.6 til kapitel fire formel nummer seks. Den samme nummereringsmetode benyttes for figurer og tabeller. Formelbeskrivelse Efter formlerne vil der være en beskrivelse af variablerne og konstanterne, samt deres respektive enheder. i

6

7 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning 1 Kapitel 2 Problemformulering Metode Kapitel 3 Beskrivelse af solfangeranlæg Virkemåde af solfangeranlæg Solfanger Solfangervæske Pumpe Varmtvandsbeholder Kapitel 4 Model af solfangeranlæg Forudsætninger og antagelser Solfanger Varmtvandsbeholder med varmeveksler Pumpe Tryktab Løsning af model for solfangeranlæg Kapitel 5 Modellering af temperaturudvikling i varmtvandsbeholder tilsluttet solfanger Scenarier med forskellige faste solindfald Scenarier med forskellige faste forbrug Scenarier med forskellige faste masseflow Scenarie med realistisk solindfald og forbrug Opsummering af modellering af temperaturudvikling Kapitel 6 Eksperimentel verificering af solfangermodel 41 Kapitel 7 Design af regulering til solfangeranlæg Regulering af solfangeranlæg Generel regulering Linearisering af ligninger for solfangeranlæg Laplacetransformation af ligningerne for solfangeranlæg Lineær model for solfangeranlæg iii

8 7.6 Bestemmelse af overføringsfunktion ved kurvefit Analyse af overføringsfunktion for solfangeranlæg Valg af reguleringstype PI-regulator design Kapitel 8 Regulering af masseflow i solfangeranlæg Test af regulator Effekt overført i varmeveksler Finjustering af regulator Kapitel 9 Konklusion 89 Kapitel 10 Perspektivering 91 Litteratur 93 Appendiks A Pumpe- og tryktabsligninger Appendiks B Linearisering Appendiks C Lineariseret model Appendiks D Blokreducering Appendiks E Forsøgsrapport A G I K M iv

9 Indledning 1 Der er et stigende energiforbrug i Danmark [Energinet.dk, 2008]. En del af dette energiforbrug går til opvarmning af brugsvand. Tal fra DONG Energy viser, at der i gennemsnit bruges 750 kwh om året per person til opvarmning af brugsvand ved brug af fjernvarme [DONG Energy]. Alternative teknologier til opvarmning af brugsvand kan eksempelvis være et elektrisk varmeelement, biomasse, gas- eller oliekedel, eller en solfanger - eventuelt en kombination af disse. Ved at benytte en solfanger i kombination med en anden varmekilde, vil en del af varmtvandsforbruget kunne dækkes med energi direkte fra solen. Dette kan medføre et mindre behov for energi fra CO 2 -udledende varmekilder. Samtidig er det heller ikke nødvendigt at transportere varmen igennem fjernvarmenettet, hvilket er forbundet med et varmetab. Forbruget af varmt brugsvand er stort set konstant hen over året, men der er store variationer i løbet af et døgn, viser målinger fra Eltra. På figur 1.1 vises et eksempel på et forbrug over et døgn i et parcelhus. Der er en periode om morgenen, hvor forbruget er højt, da mange går i bad på dette tidspunkt, midt på dagen falder forbruget og om aftenen, når folk kommer hjem fra arbejde, bruges der varmt vand til opvask, madlavning osv. Figur 1.1. Eksempel på forbruget af varmt brugsvand gennem et døgn for et typisk parcelhus. Forbruget er målt af Eltra på et enfamiliehus på Fyn 1

10 For at der altid skal være varmt vand til at dække perioder med peaks i forbruget, er det nødvendigt at have et bufferlager i form af en varmtvandsbeholder. Alternativt findes der i mange husstande en gennemstrømsvarmeveksler, men denne kræver at der konstant er en meget høj mængde energi til rådighed over kort tid, hvilket en solfanger ikke altid vil kunne levere. Ved brug af en varmtvandsbeholder som bufferlager er det nødvendigt at regulere varmetilførslen, sådan at den nødvendige varme tilføres varmtvandsbeholderen. Da det kun er muligt at hente varme fra solfangeren når solen skinner, skal der tages højde for dette i reguleringen af solfangeren. Udover variationer i forbruget henover døgnet, er solindfaldet også afhængigt af årstiderne. Denne variation vil blive beskrevet nærmere i efterfølgende afsnit. Variationer i solindfald Der er stor forskel mellem solindfaldet om sommeren og vinteren i Danmark og for at benytte realistiske data for solindfald i senere beregninger, anvendes gennemsnitlige værdier hentet fra European Commission Joint Research Centre. Disse data er midlet over hvert 15. minut, og i de perioder, hvor solen ikke skinner, vil der ikke være noget effektinput i solfangeren. Hvor stor en effekt solfangeren kan opfange afhænger af tidspunktet på døgnet, om der er overskyet, årstider, samt orientering og vinkel af solfangeren. De data, som benyttes i denne rapport, er hentet fra Aalborgområdet. På figur 1.2 og 1.3 herunder vises to ekstreme tilfælde for solindstrålingen i Aalborg, et døgn fra sommeren, og et døgn fra vinteren. Af disse figurer fremgår det, at der henover året er en betydelig variation i energipotentialet fra solen [European Comission Joint Research Centre, -]. 2

11 Figur 1.2. Solindfald over et gennemsnitsdøgn i juni for Aalborgområdet Af figur 1.2 fremgår en kurve over den potentielt tilgængelige effekt, der i gennemsnit stråler fra solen på en horisontal flade i løbet af et døgn i juni. Figuren viser, at der i perioder vil være en potentiel tilgængelig effekt på næsten 500 W, og der vil være m 2 en tilgængelig effekt fra omkring klokken halv fire om morgenen indtil ca. klokken halv ni om aftenen. Figur 1.3. Solindfald over et gennemsnitsdøgn i december for Aalborgområdet Figur 1.3 illustrerer solindstrålingen over et døgn i december. Her fremgår det, at der kun vil være en tilgængelig effekt fra klokken ni om morgenen til omkring klokken tre om eftermiddagen. Samtidig er den maksimale effekt over døgnet kun ca. 60 W m 2. 3

12 Ved anvendelse af et solfangeranlæg til opvarmning af brugsvand, er det nødvendigt at tage højde for det varierende produktionsmønster. Et solfangeranlæg i Danmark dimensioneres typisk til at kunne dække op til 70 % af det årlige forbrug af varmt brugsvand, af hensyn til overproduktion i peaktilfælde [Sol-eco, 2010]. Solfangeranlæg anvendes derfor hovedsagligt i kombination med anden varmekilde. Reguleringen af solfangeranlægget kan ske på flere måder. Den helt grove er en on/off regulering, hvor der typisk er mulighed for manuelt at vælge mellem tre faste hastigheder på pumpen afhængigt af årstiden. En anden og mindre grov mulighed er en trinvis regulering, der ligesom det første typisk har tre manuelle trin. Yderligere vælger reguleringen så automatisk ét af fem eller ti hastighedstrin for pumpen. Den sidste mulighed er, hvor pumpen reguleres trinløst i hele hastighedsspektret. Udover at regulatoren skal sørge for mest muligt energi fra solfangeren, vil det også være nødvendigt at regulere ud fra de sikkerhedskrav, der er til varmt brugsvand mht. bakteriedannelse. Denne rapport vil give et bud på, hvordan en sådan regulering af et solfangeranlæg kan designes, samt beskrive og opstille en række krav, som denne regulering skal overholde. 4

13 Problemformulering 2 Der er et behov for varmt brugsvand. Dette skal dækkes og der er flere vedvarende energiteknologier, der kan benyttes til dette formål. Et af alternativerne til fossiltbaserede varmekilder kunne være et solfangeranlæg - oftest i kombination med en anden varmekilde, så som eksisterende fyr, fjernvarme eller elpatron. Ved at benytte et solfangeranlæg, kan der være mulighed for en økonomisk besparelse, alt afhængig af eksisterende opvarmningsomkostninger. Forbruget af varmt brugsvand varierer betydeligt hen over døgnet. Da det kun er muligt at hente energi fra solfangeren når solen skinner, kræves der et varmelager samt en reguleringsenhed. Denne regulering skal sørge for, at der til en hver tid er varmt vand, at energien fra solfangeren prioriteres frem for den sekundære varmekilde, samt at sikkerhedskravene mht. sundhedsskadelig bakterievækst i varmtvandsbeholderen overholdes. I denne rapport vælges det at fokusere på reguleringen af et solfangeranlæg til opvarmning af brugsvand i kombination med en sekundær varmekilde. Den sekundære varmekilde antages at tage over, såfremt solfangeren ikke kan levere den fornødne effekt og vil derfor ikke blive behandlet yderligere. Ud fra ovenstående opstilles følgende problemformulering: Hvordan modelleres et solfangeranlæg med henblik på at simulere den transiente temperaturudviklingen i systemet ved input af forbrug, solindfald og masseflow? Hvordan designes en regulator til systemet således, at der ikke er behov for manuel regulering af solfangeranlægget, trods variationer i forbrug af brugsvand og størrelsen af solindfald? Er det muligt at designe en regulator til regulering af masseflowet i solfangerkredsen, således at den overførte effekt fra solen til varmtvandsbeholderen er den samme som ved et konstant masseflow, ved et gennemsnitlig lavere masseflow? 5

14 2.1 Metode For at løse denne problemstilling udvælges i første omgang et solfangeranlæg, som der senere vil blive udviklet en regulering til. Solfangeranlægget er bestående af en solfanger, centrifugalpumpe, varmtvandsbeholder indeholdende varmeveksler og de nødvendige rør her imellem. De enkelte komponenter vil blive beskrevet og der vil blive gjort rede for de nødvendige data for videre at kunne opstille en matematisk model af det fysiske anlæg. Modellen vil omfatte energiligninger for de forskellige processer der finder sted i anlægget, og skal ud fra disse være i stand til at beregne temperaturen i varmtvandsbeholderen. Endvidere skal modellen kunne importere forbrugsdata og ud fra disse simulere temperaturvariationerne, der opstår i systemet. For at verificere denne model, opstilles en forsøgsopstilling med et solfangeranlæg. Modellen indfødes med input, der stemmer overens med de fysiske betingelser ved forsøget. På den måde er det muligt at undersøge om modellen og forsøgsopstillingen har samme respons ved samme påvirkninger. Hermed er det muligt at påvise, at modellen har samme karakteristika som det virkelige system og regulatoren kan hermed testes på modellen i stedet for i virkeligheden. Den matematiske model gør det muligt at foretage en analyse af systemet, så det senere er muligt at designe regulatoren. Den matematiske model lineariseres, så der kan udvikles en overføringsfunktion for temperaturen i anlægget. Efter at denne overføringsfunktion er opstillet, omregnes den til Lapace-domænet og stabilitet af systemets overføringsfunktion undersøges. Herefter designes en regulator for systemet på baggrund af systemets respons. Dette gøres for at sikre, at regulatoren reagerer som ønsket ved forstyrrelser forårsaget af varierende solindfald og forbrug. Til sidst testes reguleringen på modellen, for at verificere at reguleringen er designet korrekt. 6

15 Beskrivelse af solfangeranlæg 3 I dette kapitel gives først en overordnet beskrivelse af virkemåden for et solfangeranlæg, og dernæst beskrives opbygningen og funktionen af de enkelte komponenter i solfangeranlægget. 3.1 Virkemåde af solfangeranlæg På figur 3.1 vises en principskitse af et solfangeranlæg. En væske pumpes rundt i et lukket system bestående af solfanger, en varmtvandsbeholder med varmeveksler, pumpe og rør. I solfangeren overføres energi fra solen til væsken, der pumpes videre til varmeveksleren. I varmeveksleren overføres energi i form af varme fra væsken til brugsvandet i varmtvandsbeholderen. Herved sænkes temperaturen i solfangervæsken inden denne igen føres tilbage i solfangeren for at optage ny energi fra solen. Figur 3.1. Principskitse af et solfangeranlæg [Nachi.org] På pumpen er der placeret en styringsenhed, hvorved flowet af væsken kan reguleres efter ønske. Eksempelvis kan flowet reguleres efter mængden af energi, 7

16 der er til rådighed fra solen. Regulering af et solfangeranlæg beskrives i et senere kapitel. Placeringen af solfangerkredsens varmeveksler gør, at denne er primær opvarmningskilde af tanken. For at sikre varmt vand og undgå bakteriedannelse i tilfælde, hvor solfangeren ikke kan levere den ønskede energi, er der tilsluttet en sekundær varmeenhed til lagertanken. I det tilfælde, hvor der leveres for meget energi, er der på lagertanken monteret en sikkerhedsventil, der sikrer en given maksimal temperatur i tanken. I praksis vil der ofte yderligere blive monteret en skoldningssikring. 3.2 Solfanger Solfangeren har til formål at overføre mest muligt energi fra solens stråler til solfangervæsken. Generelt er den potentielt tilgængelige energi, som kan optages i en solfanger, afhængig af årstiden, den geografiske placering af solfangeren, overfladearealet af solfangeren, samt vinklen solfangeren placeres med i forhold til solen. En solfanger ønskes at have en lav refleksionsevne, hvorved mindst muligt af solens stråler reflekteres. Desuden ønskes et minimalt varmetab til omgivelserne. Figur 3.2 viser varmetab og stråling til og fra solfangeren. G 0 svarer til energien fra solen i form af stråling, der rammer solfangerens overflade. Noget af denne energi reflekteres af det yderste glaspanel og selve absorberen, disse tab vises på figuren som G 1 og G 2. Varmetabene vist som Q 1 og Q 2 forekommer hhv. ned igennem isoleringen, samt op i atmosfæren. Figur 3.2. Viser reflektion og varmetab i en solfanger [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. Der findes forskellige typer solfangere. I denne beskrivelse tages udgangspunkt i en solfanger, som vist på figur 3.3 på næste side. Yderst er et glaspanel, som sørger for 8

17 at holde skidt og andre urenheder væk, samt at beskytte absorberen mod tvungen og naturlig konvektion. De bedste glaspaneler lader op imod 91 % af solens stråler komme igennem. Figur 3.3. Viser en solfanger set fra siden [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. Bag glaspladen er et hulrum bestående af luft. Dette virker isolerende i forhold til absorberen, da luft har en lav varmeledningsevne. Nederst i hulrummet er selve absorberen placeret. Absorberen kan eksempelvis bestå af aluminium eller kobber, da disse metaller har en forholdsvis høj varmeledningsevne. På den side af absorberingsmaterialet, som vender mod solen, er der monteret et materiale, for at absorberen kan optage mest mulig af solens stråling. Eksempler på et sådan materiale kan være sort krom eller sort nikkel. Under absorberen ligger rør eller slanger med solfangervæsken, hvori varmen fra solen ønskes overført til. Nederst i solfangeren ligger et lag isolering for at mindske varmeledningen [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. 3.3 Solfangervæske Væsken, som cirkulerer i det lukkede system mellem solfanger og varmeveksler i et solfangeranlæg, ønskes at have en høj varmekapacitet, for at kunne transportere mest mulig energi per masseenhed. Desuden vil en væske med en høj varmeledningsevne være at foretrække, da varmen herved hurtigt kan ledes videre i en varmeveksler. Ydermere vil en væske med en lav viskositet være at foretrække, for at modstanden i rør eller slanger bliver mindst mulig og pumpen herved skal opveje mindst muligt tryktab, som er forklaret i appendiks A på side C. Væsken, som anvendes i solfangeranlæg, kan variere alt efter ønske, men generelt ønskes det ikke, at der skal opstå faseskifte i den lukkede kreds. En kombination af vand og 40 % propylenglykol anvendes bl.a. i Europa og USA. Dette begrundes 9

18 med, at vand er billigt og ved at tilsætte glykol ændres frysetemperaturen fra 0 C til -23 C. Samtidig øges kogepunktet fra 100 C til 160 C. Vand er stærkt korrosivt og ved tilsætning af glykol vil den korrosive effekt øges yderligere. Dette problem kan dog afhjælpes ved tilsætning af additiver, som nedsætter denne virkning. Ved tilsætning af 40 % glykol i vand sænkes varmeledningsevnen og varmekapaciteten, mens viskositeten øges sammenlignet med vand uden glykol. [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. Selv om en blanding med vand og 40 % glykol har dårligere egenskaber end vand, benyttes denne for at kunne frostsikre anlægget i vinterhalvåret. 3.4 Pumpe Den mest benyttede pumpetype i et solfangeranlæg er en centrifugalpumpe. Centrifugalpumpen er en forholdsvis enkel, billig og robust konstruktion, der anvendes i et stort omfang. Denne type pumpe fungerer ved, at elektrisk energi i en elmotor konverteres til kinetisk energi ved hjælp af en rotor, og i sidste ende til energi i form af øget tryk og flow i væsken. Figur 3.4 på næste side viser en principskitse af en centrifugalpumpe. Pumpens indløb er normalt placeret i midten af rotoren og gennem dette ledes fluiden ind i pumpehuset. Herefter følger fluiden rotorens blade og opnår derved samme centrifugalhastighed som rotoren, før fluiden slynges ud af pumpehuset gennem udløbet. På grund af centrifugalkraften slynges fluiden radialt ud mod indersiden af pumpehuset, når den kommer ind gennem indløbet. Imellem rotoren og pumpehuset er der en lille klarering, hvor fluiden kan ledes tangentielt indtil den når udløbet. Når fluiden accelereres, dannes der et lavere tryk i midten af rotoren, dette fænomen kan forklares ud fra Bernoulli s princip, der beskriver, at trykket falder som et resultat af øget hastighed. Når fluiden rammer pumpehusets vægge, falder hastigheden og trykket øges igen. Trykket øges yderligere, når fluiden skal igennem indsnævringen ved udløbet fra pumpehuset. For at en centrifugalpumpe skal virke, er det nødvendigt at have et tryk på indløbssiden, også kaldet sugesiden. Dette tryk presser fluiden ind i pumpehuset, som så samtidig suger fluiden ind som følge af det lavere tryk omkring centrum af rotoren [Sahdev, -]. 10

19 Figur 3.4. Principskitse af en centrifugalpumpe [Sahdev, -] 3.5 Varmtvandsbeholder Varmtvandsbeholderen er den del af solfangeranlægget, hvor brugsvandet akkumuleres. Derved udnyttes solfangeren på tidspunkter, hvor der ikke er et behov for varmt brugsvand og varmen lagres til senere brug. Beholderens størrelse afhænger af anlæggets type og husstandens behov, men spænder som oftest mellem 150 og 400 liter for 3-4 personer [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. Ydermere er beholderen isoleret således, at varmetabet reduceres, hvilket bevirker, at det varme vand kan gemmes uden, at temperaturen reduceres væsentligt. Varmeveksler Varmeveksleren er ofte en implementeret del af varmtvandsbeholderen. Grundprincippet består i, at en væske cirkulerer i en lukket kreds mellem varmtvandsbeholderen og en varmekilde, som i dette tilfælde er en solfanger. Væsken varmes op i solfangeren og afgiver denne varme til varmtvandsbeholderen i varmeveksleren. Varmeafgivelsen forekommer ofte ved, at rørene fra den lukkede kreds føres ind i varmtvandsbeholderen, hvor rørene og brugsvandet er i termisk kontakt. 11

20 Brugsvandstemperatur Der findes specifikke krav for brugsvandstemperaturen i en varmtvandsbeholder, da der kan forekomme sundhedsskadelig bakterievækst og uønsket kalkudfældning ved bestemte temperaturer. Kalkudfældningen forøges ved temperaturer højere end 55 C. Figur 3.5. Graf over legionellavækstens afhængighed af temperatur [Statens seruminstitut, 1995] Den nedre grænse for brugsvandstemperaturen er 50 C. Dette skyldes, at temperaturer under 50 C danner formeringsgrundlag for legionella-bakterier, som er sundhedsskadelige for mennesker med svækket immunforsvar. Figur 3.5 viser legionellavækstens afhængighed af temperatur. Her fremgår det, at legionellabakterier ikke trives ved temperaturer under 20 C og over 50 C. For at sikre mod bakterievækst og samtidig minimere kalkudfældning, tilstræbes en udløbstemperatur for brugsvandet i varmtvandsbeholderen på 60 C. Da det antages, at den sekundære varmekilde opretholder denne temperatur såfremt solfangeranlægget ikke leverer den fornødne energi, bliver bakteriedannelse og kalkudfældning derfor ikke yderligere behandlet i denne rapport. 12

21 Model af solfangeranlæg 4 I dette kapitel vil den udviklede model af solfangeranlægget blive beskrevet. Opbygningen af modellen, samt grundlag og antagelser, der er foretaget, vil blive forklaret og illustreret. Alle ligninger for de enkelte komponenter i solfangeranlægget er opstillet på baggrund af teorien om energibevarelse. Modellen har til formål at beskrive de fysiske størrelser og dynamikken i et solfangeranlæg med matematiske ligninger. Herved er det muligt at forudsige, hvordan det fysiske system reagerer. Modellen beskriver temperaturændringen i solfangeranlægget over tid som funktion af solindstrålingen, forbrug og masseflow. 4.1 Forudsætninger og antagelser For at kunne modellere solfangeren og varmtvandsbeholderen med varmeveksler, er der foretaget en række antagelser og simplificeringer. Der vil i dette afsnit blive gjort rede for antagelserne og hvilken betydning antagelserne har for resultaterne. Materialekonstanter I rapporten og den opstillede model for solfangeranlægget benyttes materialekonstanter såsom densitet, specifik varmekapacitet og viskositet. Disse materialekonstanter er temperaturafhængige. Det findes dog rimeligt at antage disse som faste, da materialeegenskaber for vand kun varierer lidt i det forventede temperaturinterval i varmtvandsbeholderen på ca. 10 C til 60 C. Temperaturintervallet er valgt ud fra, at det kolde vand forventes at have en temperatur på ca. 10 C ved indløb, mens det varme vand skal op over 50 C for at dræbe legionellabakterierne, som beskrevet i afsnit 3.5 på side 11. Tabel 4.1 viser værdierne for densitet og specifik varmekapacitet for vand ved hhv. 10 C og 60 C. Den største procentvise ændring forekommer ved densiteten, som er 13

22 på 1,6 %. Tabel 4.1 viser ligeledes værdier for materialekonstanter for vand blandet med 40 % propylenglykol ved hhv. 10 C og 100 C. Den nedre grænse på 10 C er valgt på baggrund af, at indløbstemperaturen i tanken vil ligge i dette niveau og der derfor ikke er belæg for at pumpe solfangervæsken rundt, hvis temperaturen er lavere end dette. Samtidig antages det, at temperaturen ikke vil stige til over 100 C, da temperaturen i varmtvandsbeholderen vil være noget lavere og dermed køle væsken i solfangerkredsen. Vand 10 C 60 C Ændring J J Specifik varmekapacitet ,2% kg K kg K Densitet 999,1 kg 983,3 kg 1,6% m 3 m 3 Vand og glykol 10 C 100 C Ændring J J Specifik varmekapacitet ,6% kg K kg K Densitet 1037 kg 968,3 kg 6,6% m 3 m 3 3 kg 3 kg Dynamisk viskositet 6, , ,7% m s m s Tabel 4.1. I tabellen er der vist, hvordan den specifikke varmekapacitet og densitet for vand ændrer sig som funktion af temperaturen i intervallet fra 10 C til 60 C, samt hvor stor denne ændring er i procent. Tabellen viser også,hvordan disse konstanter, inklusiv dynamisk viskositet, ændres for en blanding af vand og 40 % propylenglykol i temperaturintervallet C. Kilde; Vands egenskaber [Cengel, 2006], egenskaber for vand/glykol-blandingen er opslag i Engineering Equation Solver (EES) Værdierne for den specifikke varmekapacitet og densitet antages som en fast middelværdi i det forventede temperaturinterval for både vand i varmtvandsbeholderen og blandingen af vand og glykol i solfangerkredsen. Denne antagelse vurderes ikke at have nogen betydelig indflydelse på resultaterne, da den procentvise afvigelse maksimalt er 6,6 %. Da viskositeten for vand og 40 % glykol varierer betydeligt i temperaturintervallet vil der i stedet for en middelværdi blive opstillet en funktion. Funktionen for viskositetens afhængighed af temperaturen bestemmes med et kurvefit på en graf fremstillet i beregningsprogrammet Engineering Equation Solver (EES). Følgende ligning beskriver tilnærmelsesvis viskositeten i temperaturintervallet 10 C til 195 C, hvor 195 C svarer til den maksimale tilladelige temperatur i solfangeren. µ(t ) = (2, T 4 1, T 3 + 2, T 2 0, 250 T + 8, 573) 10 3 (4.1) 14

23 hvor: µ = Dynamisk viskositet [ ] kg m s T = Gennemsnitstemperaturen i solfangerkredsen [ C] Solfangeren og rørsystemet I solfangersystemet modelleres selve solfangeren dynamisk. Det antages, at væsken, som opholder sig i fangeren, er velopblandet, hvorved temperaturen i hele solfangeren antages at være den samme som temperaturen i udløbet, kaldet T h. Figur 4.1 viser navn og placering af de temperaturer, der anvendes konsekvent igennem rapporten. Ud fra denne figur fremgår det, at T h befinder sig i solfangeren. Figur 4.1. Skitsetegning af solfangeranlægget der viser, hvor de temperaturer, der anvendes i modelleringen, er placeret. Deres navn og placering anvendes konsekvent igennem hele rapporten. Temperaturen T h antages at være den samme i hele solfangeren Det antages, at rørene, som forbinder solfangeren med varmeveksleren i varmtvandsbeholderen, er velisolerede, hvorved varmetabet er lavt og derfor ses der bort fra varmetabet i rørsystemet. 15

24 Temperaturfordeling i varmtvandsbeholder Til modellering af varmtvandsbeholderen antages det, at temperaturen i bunden af beholderen er fast og har samme temperatur som indløbsvandet. I toppen af beholderen ønskes en temperatur på minimum 50 C på grund af faren for legionellavækst. Den virkelige temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen er ikke kendt, da den både er afhængig af forbruget og varmeproduktionen fra solfangeren. I en situation med et middelforbrug og en middelvarmeproduktion fra solfangeren, hvorved vandet i beholderen udskiftes kontinuerligt, vil der være en fordeling af temperaturen mellem top og bund. Denne fordeling antages, for simplicitetens skyld, at være lineært fordelt. Udtrykket for den lineære temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen er givet ved formel 4.2. Ved at indsætte forskellige højder i formel 4.2 er det muligt at bestemme temperaturen i varmtvandsbeholderen i den ønskede højde. Denne skal blandt andet benyttes, når den logaritmiske middeltemperaturforskel skal bestemmes for varmeveksleren. hvor: T (h) = Temperaturen i højden h [K] T (h) = T t T bund H beholder 2 0 h + T bund (4.2) T t = Temperaturen i midten af varmtvandsbeholderen [K] T bund = Temperaturen i bunden af varmtvandsbeholderen [K] H beholder = Indvendig højde af varmtvandsbeholderen [m] h = Den højde i varmtvandsbeholderen hvor temperaturen ønskes bestemt [m] Det antages, at den lineære temperaturfordeling er opretholdt, også i situationer hvor der intet varmtvandsforbrug er. Derved er det antaget, at vandet i varmtvandsbeholderen aldrig går i termisk ligevægt. Denne antagelse er rimelig, når systemet belastes med et forbrug. Antagelsen vil dog ikke være rimelig i en situation, hvor der over en længere periode ikke er et forbrug. Når der ikke er forbrug eller varmeproduktion, vil vandet i varmtvandsbeholderen begynde at varmeveksle indbyrdes og derved til sidst opnå samme temperatur. Det samme er gældende ved intet forbrug og en varmeproduktion, hvor varmtvandsbeholderen også vil gå mod termisk ligevægt, dog ved en højere temperatur. På figur 4.2 på næste side vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af 16

25 varmtvandsbeholder, T t, og temperaturen i solfangeren, T h. Figuren er plottet for et fast solindfald på 250 W m 2 på en solfanger med et areal på 5 m 2 og intet forbrug. Figur 4.2. På figuren vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af beholderen T t (blå linje) og temperaturen i solfangeren T h (rød linje), med et fast solindfald på 250 W og intet forbrug m 2 Som det fremgår af figur 4.2, krydser opvarmningskurven for T t over kurven for T h, hvilket ikke er fysisk muligt, men sker på grund af antagelsen om lineær temperaturfordeling. Figur 4.3 på næste side viser kurverne for T t og T h, med samme betingelser som i figur 4.2, dog med et konstant forbrug på 0,01 kg. Dette forbrug er valgt ud fra s data fra et enfamiliehus, hvor forbruget i perioder ligger på omkring 3000 W midlet over et kvarter. Hvis dette forbrug på 3000 W omregnes til et masseflow, ved en temperatur på 60 C, giver dette et forbrug på ca. 0,01 kg. På figur 4.3 opretholdes s den lineære temperaturfordeling naturligt, på grund af det kontinuerlige forbrug og derved udskiftning af vand i varmtvandsbeholderen. 17

26 Figur 4.3. På figuren vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af beholderen T t (blå linje) og temperaturen i solfangeren T h (rød linje), med et fast solindfald på 250 W og et konstant forbrug på 0,01 kg m 2 s Masse af varmtvandsbeholder Varmtvandsbeholderen har et fysisk volumen, som varierer med type og størrelse. I denne model antages det, at beholderen altid er fyldt med vand og derfor er der ikke nogen ændring i masse med tiden. Denne antagelse medfører derfor, at brugsvandet, der tappes fra beholderen, og det vand der erstatter dette har samme densitet. Varmeveksler Varmeveksleren modelleres som en modstrømsvarmeveksler. Dette vurderes rimeligt, da der forekommer en langsom naturlig konvektion i beholderen, på grund af forskellen i densitet som følge af opvarmning af vandet i beholderen. 18

27 Figur 4.4. Principskitse af modstrømsvarmeveksler. Her vises hhv. den tvungne strømning i røret og den konvektive strømning i tanken På figur 4.4 vises det hvordan væsken i varmtvandsbeholderen bevæger sig i forhold til væsken i varmeveksleren. Af figur 4.4 fremgår det, at de to væsker bevæger sig imod hinanden, hvorved den virker som en modstrømsvarmeveksler. For varmeveksleren antages det også, at den fungerer under stationære forhold. Hvilket betyder, at der ikke er en varmeophobning i varmeveksleren og at al energi i varmeveksleren afsættes i varmtvandsbeholderen. Denne antagelse findes rimelig, da varmeveksleren er placeret inde i varmtvandsbeholderen. UA-værdien beskriver et legemes evne til at lede varme. Denne evne ændrer sig med hastigheden af væsken i varmeveksleren [Cengel et al., 2008]. I denne rapport antages UA-værdien at være konstant. Opsummering af antagelser Antagelserne, som er beskrevet i det ovenforstående afsnit, er listede nedenfor. På baggrund af disse antagelser, vil ligningerne, som beskriver solfangersystemet, matematisk blive forklaret. Materialekonstanterne vælges som konstante middelværdier i det forventede temperaturinterval, dog med undtagelse af dynamisk viskositet Temperaturfordelingen i beholderen er lineær Massen af varmtvandsbeholderen er konstant Varmeveksleren modelleres som en modstrømsvarmeveksler Varmeveksleren antages at fungere under stationære forhold UA-værdien antages konstant 19

28 Efter antagelserne er beskrevet og forklaret, vil der i det næste afsnit blive opstillet en energiligevægt for solfangeren. 4.2 Solfanger For selve solfangeren opstilles der en energiligevægt på baggrund af teorien omkring energibevarelse. Energiligevægten for solfangeren er illustreret på figur 4.5 og kan beskrives matematisk således: Q fanger = Q sf Q ud + Q ind (4.3) hvor: Q fanger = Varmeenergien i væsken i solfangeren [W ] Q sf = Effekt optaget i væsken i solfangeren [W ] Q ud = Effekten der strømmer ud til resten af systemet [W ] Q ind = Den resterende effekt der strømmer tilbage til solfangeren [W ] Figur 4.5. Illustration af de forskellige effekter i solfangeren Udtrykket for Q fanger beskriver energiændringen i væsken, som opholder sig i rørene i solfangeren. Energiindholdet er beskrevet ud fra varmekapacitetsteorien, hvor Q fanger er divideret med t, som beskriver temperaturændringen i solfangeren over tiden. Som beskrevet i afsnit 4.1 på side 13, antages væsken i solfangeren velopblandet og derved har den samme temperatur, T h. Q fanger = m vaeske c p dt h dt (4.4) 20

29 hvor: m vaeske = Massen af væsken i solfangeren [kg] [ c p = Den specifikke varmekapacitet for væsken i solfangersystemet dt h = Temperaturgradient for væsken i solfangersystemet [ ] K dt s J kg K ] Energien fra solen, som optages i væsken, er givet ved Q sf, vist i formel 4.5. Q sf = Q sol A η (4.5) hvor: Q sol = Solindstråling [ W m 2 ] A = Areal af solfangeren [m 2 ] η = Virkningsgraden for solfangeren, hvor varmetabet til omgivelserne er medregnet [ ] Virkningsgraden varierer med solindstrålingen, samt temperaturforskellen mellem solfangervæske og omgivelsestemperaturen i luften, og kan udtrykkes med følgende ligning [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]: hvor: η 0 = Starteffektiviteten [ ] η = η 0 a 1 (T h T amb,fanger ) Q sol a 2 (T h T amb,fanger ) 2 Q sol (4.6) T amb,fanger = Omgivelsestemperaturen i luften ved solfangeren [K] a 1 = Varmetabskoefficient 1 [ ] W m 2 K a 2 = Varmetabskoefficient 2 [ W m 2 K 2 ] Figur 4.6 på næste side viser virkningsgraden som funktion af temperaturforskellen mellem solfangervæske og omgivelsestemperaturen ved forskellige solindfald. 21

30 Figur 4.6. Viser virkningsgraden som funktion af temperaturforskellen mellem solfangeren og omgivelserne ved forskellige solindfald Det fremgår af figur 4.6, at virkningsgraden ved et fast solindfald falder, når temperaturforskellen mellem luft og solfangervæske stiger. Det stemmer godt overens med, at varmetabet stiger ved en høj temperaturdifferens. Desuden er det bemærkelsesværdigt, at virkningsgraden for en fast temperaturdifferens er højere ved et stort solindfald. Udtrykkene for Q ud og Q ind kan samles i et samlet udtryk som er givet nedenfor, og er dannet på baggrund af teorien om varmekapacitet: Q = Q ind Q ud = ṁ c p (T l T h ) (4.7) hvor: ṁ = Masseflow [ ] kg s T l = Temperaturen i væsken som strømmer ind i solfangeren [K] T h = Temperaturen i væsken som strømmer ud af solfangeren [K] Når udtrykkene for hvert af de enkelte led fra formel 4.3 på side 20 indsættes, kommer energiligevægten til at se sådan ud: m vaeske c p dt h dt = Q sol A η + ṁ c p (T l T h ) (4.8) 22

31 I afsnit 4.6 på side 30 beskrives der, hvorledes disse formler bliver benyttet til beregning af temperaturudviklingen i solfangeranlægget. 4.3 Varmtvandsbeholder med varmeveksler I den pågældende varmtvandsbeholder som modelleres, tages der udgangspunkt i, at varmeveksleren er placeret i varmtvandsbeholderen. Der kan opstilles en energibevarelse for kontrolvolumenet i varmtvandsbeholderen, hvor ændringen i kontrolvolumenets energi er lig med forskellen mellem energien, som krydser systemets grænser ind og ud. Q beholder = Q forbrug + Q varmeveksler Q tab (4.9) hvor: Q beholder = Varmeenergi i varmtvandsbeholderen [W ] Q forbrug = Varmeenergiforskellen mellem vandet ind og ud af varmtvandsbeholderen [W ] Q varmeveksler = Varmeenergi som overføres fra varmeveksleren [W ] Q tab = Varmetab til omgivelserne [W ] På figur 4.7 er formel 4.9 illustreret og viser, hvordan varmen bevæger sig ind og ud af varmtvandsbeholderen. Figur 4.7. Figuren viser energiligevægten for varmtvandsbeholderen Udtrykket for Q beholder beskriver energiindholdet i varmtvandsbeholderen og beskrives ved den tidsafledte varmekapacitetsligning: 23

32 Q beholder = m c p,vand dt t dt (4.10) hvor: m = Massen af vandet i beholderen [kg] [ c p,vand = Specifik varmekapacitet af vandet i varmtvandsbeholderen dt t = Temperaturændringen midt i tanken per tidsenhed [ ] K dt s J kg K ] Som det antages i afsnit 4.1 på side 18 er varmtvandsbeholderen altid fyldt med vand, hvorved massen af beholderen ikke ændres over tiden. Dette medfører, at massen af vandet, som kommer ind i beholderen, har samme størrelse, som det der forlader den. Det betyder at Q forbrug er givet ved denne ligning: Q forbrug = ṁ forbrug c p,vand (T bund T top ) (4.11) hvor: ṁ forbrug = Masseflow ud af varmtvandsbeholderen [ ] kg s T bund = Temperaturen i indløbsvandet [K] T top = Temperaturen i udløbsvandet [K] Ud fra beholderen er der et varmetab til omgivelserne, som er givet ud fra Fouriers varmeledningslov [Cengel, 2006], hvor materialekonstanterne og geometrien for beholderen er samlet i den termiske modstand, R beholder : hvor: T t = Temperaturen i midten af tanken [K] Q tab = (T t T amb,beholder ) R beholder (4.12) T amb,beholder = Omgivelsestemperaturen ved varmtvandsbeholderen [K] R beholder = Den termiske modstand for varmtvandsbeholderens vægge [ K W ] Den termiske modstand R beholder er den reciprokke værdi af UA-værdien, som derfor beskriver beholderens egenskaber til at lede varme. Den termiske modstand eller UA-værdien er typisk opgivet i databladet for varmtvandsbeholderen. Hvis dette ikke er tilfældet, kan den udregnes på baggrund af et termisk modstandsnetværk, materialeegenskaber og fysiske størrelser af varmtvandsbeholderen. Ved opstilling af det termiske modstandsnetværk, skal der tages højde for konvektion på den indre 24

33 og ydre side af beholderen, samt varmeledningen igennem beholderens væg [Cengel, 2006]. Varmeoverførelsen i varmeveksleren er givet ved forskellen mellem varmeenergien ved T h og T l, denne forskel i varmeenergi er givet ved teorien omkring varmekapacitet: Q varmeveksler = ṁ c p (T h T l ) (4.13) Hvis udtrykkene fra formel 4.13, 4.12, 4.11 og 4.10 indsættes i formel 4.9 og der isoleres for temperaturændringen i tanken over tid, kaldet dtt, er udtrykket givet dt ved: m beholder c p,vand dt t dt = ṁ c p (T h T l )+ṁ forbrug c p,vand (T bund T top ) (T t T amb,beholder ) R tank (4.14) I udtrykket for dtt indgår flere ubekendte ( dtt, T dt dt h og T l ) end der er ligninger til rådighed. Det er derfor nødvendigt at have en hjælpeligning til at bestemme en af de ubekendte. Denne ekstra ligning fås fra varmeveksleren ved at antage, at den virker under stationære forhold. Dette betyder, at forskellen mellem det høje energiindhold fra solfangeren og det lavere energiindhold, som returneres til solfangeren afsættes i varmtvandsbeholderen. Derved forekommer der ingen varmeophobning i varmeveksleren. Dette kan beskrives med formlen UA T LMT D = ṁ c p (T h T l ) (4.15) hvor: UA = Varmeoverføringsevnen for varmeveksleren [ ] W K T LMT D = Logaritmisk middeltemperaturforskel [K] Den logaritmiske middeltemperaturforskel er defineret ud fra temperaturforskellen mellem de kolde og varme væsker i varmeveksleren. For den aktuelle modstrømsvarmeveksler findes den logaritmiske middeltemperaturforskel på denne måde: T LMT D = (T h T s ) (T l T s ) ( ) (4.16) T ln h T s T l T s hvor: T h = Temperaturen fra solfanger [K] T l = Temperaturen tilbage til solfangeren [K] 25

34 T s = Temperaturen i varmtvandsbeholderen ved midten af varmeveksleren [K] Placeringerne af temperaturerne er vist på figur 4.8. T s findes ud fra formel 4.2 på side 16, hvor højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten af varmeveksleren indtastes. Figur 4.8. Figuren illustrerer, hvor hhv. T h, T l og T s findes i solfangersystemet Ved benyttelse af den logaritmiske middeltemperaturforskel opnås der bedre resultater end ved benyttelse af den almindelige middeltemperaturforskel, som er givet ved: T = 1 2 ((T h T s ) + (T l T s )) (4.17) Det bedre resultat opnås blandt andet fordi den logaritmiske middeltemperaturforskel altid er højere end den almindelige middeltemperaturforskel. Hvis T h - T s afviger mindre end 40 % fra T l - T s, vil den almindelige middeltemperaturforskel kun give en fejl på 1 % [Cengel, 2006]. 4.4 Pumpe Ved modelleringen af pumpen, opstilles en række ligninger der beskriver forholdet mellem det ønskede masseflow og trykforøgelse og det nødvendige omdrejningstal for pumpen. Pumpen modelleres, som kvasistatisk, hvilket vil sige, at der ikke vil være nogen forsinkelse ved ændring i omdrejningstal. Dette er en forenkling, der afviger fra virkeligheden. Afvigelse antages at være uden større betydning, da der i solfangeranlæg benyttes små centrifugalpumper, hvor hastighedsændring vil ske relativt hurtigt, set i forhold til systemets samlede driftstid. Den detaljerede 26

35 udledning af formlen findes i appendiks A på side A. Her forklares den overordnede udledning af formlen for omdrejningstallet på pumpen, som funktion af det ønskede masseflow. På baggrund af formlen for entropiændring, pumpeligningerne i appendiks A på side A og teori omkring isentropisk virkningsgrad opstilles følgende udtryk, der beskriver effekten leveret af pumpen til fluiden, som fremgår af ligning hvor: P pump = P pump = Pumpeeffekt [W ] ṁ = Masseflow [ ] kg s p = Trykændringen [P a] ρ = Densitet [ ] kg m 3 η isentropisk = Isentropisk virkningsgrad [ ] ṁ p ρ η isentropisk (4.18) Pumpeeffekten kan beskrives som produktet mellem omdrejningstallet og omdrejningsmoment, hvilket implementeres i formel 4.18 og isoleres for omdrejningstallet. Formlen for omdrejningstallet, som funktion af masseflowet fremgår af formel ω = ṁ p ρ η isentropisk τ (4.19) hvor: ω = Omdrejningstal for pumpen [ ] rad s τ = Moment for pumpen [N m] 4.5 Tryktab Da der skal benyttes en pumpe i solfangeranlægget, er det nødvendigt at bestemme tryktabet i den lukkede solfangerkreds, da pumpen skal overkomme dette tryktab. Det vil også være pumpen, der skal bruges til at regulere på masseflowet, så der skal tages højde for variationer i tryktab afhængigt af, hvilket masseflow pumpen leverer. Den lukkede kreds består af en solfanger, en varmeveksler i varmtvandsbeholderen og flexrørene imellem komponenterne. Det vil være nødvendigt at beregne tryktabene i alle disse komponenter, som en funktion af masseflowet. Da der i databladene er opgivet kurver over tryktabet som en funktion af masseflow eller volumenflow, er det 27

36 nødvendigt at aflæse nogle punkter fra disse kurver og lave eventuelle nødvendige kg enhedskonverteringer for at få tryktabet i pascal og masseflowet i. Når disse s punkter er aflæst og plottet ved hjælp af eksempelvis Microsoft Excel, kan der laves tendenslinier med repræsenterende ligninger. Resultatet af disse aflæste værdier og tendensliner vil blive præsenteret i dette afsnit. Tryktabet i solfangeren vil være det første, der bliver præsenteret. Værdierne er aflæst i databladet fra producenten Sonnenkraft, hvor tryktabet er opgivet i mbar kg og masseflowet i. Anlægget, der benyttes ved forsøgsopstillingen, er af typen h Compact med en 160 liters varmtvandsbeholder og en SK500N solfanger. Ved at lave de nødvendige omregninger og derefter plotte kurver af dataene bliver tryktabet som præsenteret på figur 4.9. Figur 4.9. Kurver over tryktabet i solfangeren som en funktion af masseflowet. Figuren viser også den funktion der ligger til grund for kurven Ud fra figur 4.9 fremgår det, at et øget masseflow resulterer i et højere tryktab. Det betyder at pumpen samtidig skal opveje det stigende tryktab, hvis der skal leveres et højere masseflow. Endvidere vil det også være nødvendigt at beregne tryktabet i rørene mellem solfangeren, varmeveksleren og pumpen. Figur 4.10 på næste side viser tryktabet i én meter rør som funktion af masseflowet. 28

37 Figur Kurver over tryktabet i rørsystemet som en funktion af masseflowet. Figuren viser også den funktion der ligger til grunde for kurven Det fremgår af figur 4.10, at et højere masseflow resulterer i et højere tryktab. Tryktabet for rørene skal multipliceres med længden af rørene. I databladet, hvor tryktabet er opgivet, angives der ikke om disse beregninger tager højde for de niveauforskelle der vil være mellem solfanger og varmeveksler. Da væsken cirkulerer i et lukket system og dermed ender i samme niveau igen, antages det, at denne elevation ikke vil have nogen betydelig påvirkning af tryktabet. Der vil også være et lignende tryktab i varmeveksleren, der sidder i varmtvandsbeholderen, men da producenten ikke har opgivet nogle data om tryktabet i denne komponent, beregnes denne på samme måde som rørene. Derved beregnes rørtabet for længden af rørene, plus længden af rørene i varmeveksleren. Hvis disse tryktab ikke var opgivet i databladene, havde en anden mulighed været at beregne tryktabet. Dette kunne gøres ved hjælp af ligningen, der er beskrevet i appendiks A på side C. Ved sådan en udregning ville det være vigtigt at tage højde for ændringer i viskositet ved forskellige temperaturer som er nævnt i tabel 4.1 på side 14. Densiteten vil også være afgørende for tryktabet. Efterfølgende ses der bort fra pumpeligninger og tryktab for at simplificere modellen. Der er ikke behov for disse ligninger, da reguleringen ikke vil blive benyttet på det fysiske system, men blot vil blive testet på modellen. Denne simplificering har ikke nogen bemærkelsesværdig betydning for den endelige overføringsfunktion for systemet, da modelleringen af pumpen ikke indeholder nogen form for dynamik. Derfor vil dette efter lineariseringen virke som et konstant konverteringsled mellem ønsket masseflow og omdrejningstal på pumpen. 29

38 4.6 Løsning af model for solfangeranlæg Den udviklede model har til formål at beskrive dynamikken i et solfangeranlæg på baggrund af en række givne konstanter. Simuleringsprogrammet Simulink benyttes til løsning af ligningerne og simuleringer af forskellige scenarier. Konstanterne som skal indtastes i MATLAB er: UA-værdierne for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren Den indvendige højde af varmtvandsbeholderen Højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten af varmeveksleren Massen af indholdet i varmtvandsbeholderen Massen af indholdet i solfangeren Arealet af solfangeren Startvirkningsgraden for solfangeren og Varmetabskoefficienterne a 1 og a 2 Solindfald (fast eller varierende) Forbrugsdata (fast eller varierende) De indtastede værdier bruges i de opstillede ligninger for solfangersystemet, hvor der er tre ubekendte: T h, T l og T t. De tre ubekendte findes på baggrund af ligningerne for solfangeren, varmeveksleren og varmtvandsbeholderen. I ligning 4.14 på side 25 for varmtvandsbeholderen isoleres der for dtt dt : (T t T amb ) R tank dt t dt = ṁ c p (T h T l ) + ṁ forbrug c p,vand (T bund T top) (4.20) m beholder c p,vand Hvad de forskellige temperaturer gælder for, fremgår af figur 4.1 på side 15. Udtrykket for dtt dt beskriver temperaturændringen for T t over tidsintervallet dt. For at få et udtryk for T t, benyttes Integrator-funktionen i Simulink. Integratorfunktionen integrerer udtrykket for dtt over det pågældende tidsinterval dt, som er dt vist i formel 4.21 [Mathworks Inc, 2010a]. y t = t t 0 y(t) dt + y (0) (4.21) Ved at løse ligningen for dtt dt fås temperaturen til det givne tidsstep. For at bestemme T h, benyttes der samme fremgangsmåde og dt h dt isoleres i formel 4.8 på side 22. Dette udtryk integreres i Integrator-funktionen, hvorved T h findes til det givne tidspunkt. 30

39 dt h dt = Q sol A η + ṁ c p (T l T h ) m vaeske c p (4.22) For at bestemme et udtryk for T l, isoleres denne i formel 4.15 på side 25. T l = T s + T h T s e UA ṁ cp (4.23) For at bestemme temperaturen T s, skal udtrykket for den lineære temperaturfordeling benyttes. Formlen for den lineære temperaturfordeling er givet som vist nedenfor: T (h) = T beholder T bund H beholder 2 0 h + T bund (4.24) For at finde T s, skal højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten af varmeveksleren kendes. Formlen for den lineære temperaturfordeling benyttes også til at bestemme temperaturen i toppen af beholderen, T top. Udtrykkene for de tre temperaturer T h, T l og T t, kan nu indsættes i Simulink sammen med ligningerne for solfangerens virkningsgrad og udtrykket for den lineære temperaturfordeling. Denne model er vedlagt rapporten, og heri kan formlerne for solfangersystemet ses samt deres indbyrdes sammenkobling. Løsning af modellen i Simulink Simulink er et simuleringsprogram der kan benyttes til dynamisk simulering af samlede systemer, hvor der kan benyttes forskellige metoder til ligningsløsning samt variabel og fast simuleringstidstep [Mathworks Inc, 2010b]. Til modellering og simulering af solfangeranlægget, er der benyttet et fast simuleringstidsstep på 1 sekund, og en ODE4(Runge-Kutta)-ligningsløser. En ODE4(Runge-Kutta) er en differentialligningsløser, som benytter en fjerdeordens taylorapproksimation, hvilket medfører at det ikke er nødvendigt at benytte meget små tidsstep for at få en høj præcision. Runge-Kutta-metoden udregner den næste løsningsværdi, y n+1 ud fra den nuværende værdi y n og fire konstanter. De fire konstanter udregnes på baggrund af funktionen, den pågældende værdi y n og tidstepsstørrelsen [Kreyszig, 2006]. Selvom ODE4(Runge-Kutta) er en god ligningsløser, vil der altid i numeriske løsninger være en integrationsfejl. Derfor er det undersøgt, hvilken betydning det vil have for resultater hvis simuleringstidssteppet ændres. Ved denne test har det vist sig at resultaterne ved tidsstep på hhv. 1s og 0,1s varierer fra hinanden på det 31

40 trettende decimal. I stedet vil et simuleringstidsstep på 100 s, give en variation i resultaterne på ca. 0,2 C i forhold til et simuleringstidstep på 1 s. Figur 4.11 illustrerer blokdiagrammet over modellen for solfangeranlægget opstillet i Simulink. I modellen er de tre ligninger for solfangeren, varmeveksleren og varmtvandsbeholderen lavet til tre delsystemer med deres respektive input og output. Ydermere udregnes hældningen for den lineære temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen. Denne hældning bruges bl.a. sammen med den faste bundtemperatur til at bestemme temperaturen ved midten af varmeveksleren (T s ) og temperaturen i toppen af varmtvandsbeholderen (T top ). Desuden vises et delsystem som beregner virkningsgraden for solfangeren. Figur Figuren viser et screenshot af modellen for solfangeranlægget i Simulink På figur 4.11 vises de forskellige delsystemer i modellen markeret med forskellige farver. Den blå markering viser delsystemet der repræsenterer ligningen for varmtvandsbeholderen. Beregningerne der sker i dette delsystem er de samme som er beskrevet i ligning I den røde markering bliver ligningen for solfangeren, 4.22, benyttet, og den grønne markering viser delsystemet der benytter formel 4.23 til at regne på varmeveksleren. Da modellen og ligningerne bag modellen nu er beskrevet, vil den blive brugt til at regne på flere opstillede scenarier, for at undersøge hvilke resultater den giver. 32

41 Modellering af temperaturudvikling i varmtvandsbeholder tilsluttet solfanger 5 I dette kapitel dokumenteres, ved hjælp af modellen, hvordan temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen udvikler sig henholdsvis ved et konstant solindfald, et konstant forbrug og et konstant masseflow. Videre vil modellen blive brugt til at simulere temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen over et døgn ved input i form af realistiske solindfald og forbrugsdata. I det følgende afsnit præsenteres tænkte eksempler fra modellen, hvor der benyttes konstante input-værdier. Der varieres kun på et input af gangen, for at se, hvorledes temperaturen ændrer sig i varmtvandsbeholderen. I de følgende scenarier tages der udgangspunkt i et solfangeranlæg, der har specifikationerne, som er præsenteret i tabel 5.1 på den følgende side. 33

42 Data for solfanger Areal af solfangeren 5 m 2 Masse af væske i solfanger 8,5 kg Startvirkningsgrad 0,79 Varmetabskoefficient a 1 3,756 W m 2 K Varmetabskoefficient a 2 0,0073 W m 2 K J c p -værdi for væske i solfangersystem 3862 kg K Tryk P a (1 atm) Starttemperatur Data for varmtvandsbeholder Massen af vandet 15 C 400 kg J c p -værdi for vandet 4182 kg K Varmetabskoefficient (UA-værdi) 3,2 W K Højde (indvendig) 1,46 m Temperatur i bunden/indløb Tryk Starttemperatur i midten af varmtvandsbeholderen Data for varmeveksler UA-værdi Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) Data for omgivelser Omgivelsestemperatur ved solfanger Omgivelsestemperatur ved varmtvandsbeholder Tabel 5.1. Tabel over konstante værdier benyttet i modellen 15 C P a (1 atm) 15/36 C 288 W K 0,56 m 15 C 25 C Temperaturen der præsenteres i de følgende afsnit, er temperaturen midt i varmtvandsbeholderen. Det vil sige at temperaturen i toppen af tanken vil være højere grundet den antagne lineære temperaturfordeling. I de følgende scenarier, hvor forbruget sættes lig nul vil den lineære temperaturfordeling være unøjagtig, da tanken som tidligere forklaret vil nærme sig termisk ligevægt i en sådan situation. 5.1 Scenarier med forskellige faste solindfald Ved at holde masseflowet i solfangerkredsen og materialekonstanterne for anlægget konstante og samtidig sætte forbruget til nul, varieres der på solindfaldet. Hensigten med dette er at se, hvorledes et varierende solindfald påvirker temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen. Hvis beregningerne benyttet i modellen er korrekte, 34

43 bør et stigende solindfald resultere i en højere temperaturudvikling i varmtvandsbeholderen. Figur 5.1 illustrerer resultaterne fra modellen med et konstant solindfald på henholdsvis 200, 400 og 600 W over 24 timer. m 2 Figur 5.1. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskellige konstante solindfald over 24 timer Af figur 5.1 fremgår temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen for det tilfælde, hvor alle inputs holdes konstante, mens solindfaldet varierer. Figur 5.1 illustrerer tydeligt at et højere solindfald resulterer i en højere temperatur i varmtvandsbeholderen. Resultaterne, der er præsenteret i figur 5.1, er på ingen måde realistiske, da der aldrig vil være et konstant solindfald over et helt døgn. En anden konklusion, der kan drages ud fra figur 5.1, er, at efter 24 timer med konstant solindfald er der ingen af kurverne, der har nået stationære forhold, hvilket bekræfter at et system af denne type har meget lange tidskonstanter. 5.2 Scenarier med forskellige faste forbrug Som følge af, at der nu er vist en sammenhæng mellem et øget solindfald og temperaturen i varmtvandsbeholderen, er det interessant undersøge, hvordan et øget forbrug påvirker temperaturudviklingen. Ved et konstant solindfald skal et højere konstant forbrug resultere i en lavere temperatur i varmtvandsbeholderen, da summen af energi regnet med fortegn ind og ud af tanken vil blive lavere. I dette tilfælde sættes solindfaldet til 400 W, mens der henholdsvis benyttes et forbrug på m 2 500, 1000 og 2000 W. Dette forbrug omregnes til et masseflow ud af tanken, da modellen benytter dette input. Da forholdet mellem masseflowet og forbruget i watt 35

44 er afhængig af temperaturen, laves denne omregning ved en temperatur på 60 C. Af figur 5.2 fremgår temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskellige konstante forbrug og et konstant solindfald. Figur 5.2. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskellige konstante forbrug over 24 timer Ud fra figur 5.2 fremgår det at ved et konstant solindfald på 400 W og et forbrug på m W, vil varmtvandsbeholderen opnå en temperatur på ca. 50 C efter 24 timer. Ved et forbrug på 2000 W vil temperaturen blive ca. 32 C. Derved viser figur 5.2 at et højere forbrug giver en lavere temperatur, hvilket er som forventet. 5.3 Scenarier med forskellige faste masseflow Det sidste scenarie der vil blive stillet op, inden modellen benyttes til at regne på et varierende forbrug og solindfald over et døgn, er, hvor forbruget sættes til nul og solindfaldet sættes til 400 W, samtidig med at der varieres på masseflowet i m 2 solfangerkredsen. Et større masseflow vil resultere i en højere afsat effekt, dog til en hvis grænse, da et for højt masseflow vil resultere i at varmen fra fluiden ikke vil nå at blive afsat i varmtvandsbeholderen. Hvordan et øget masseflow påvirker temperaturudviklingen, vises på figur 5.3 på næste side. 36

45 Figur 5.3. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskellige konstante masseflow over 24 timer Figur 5.3 viser kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved det scenarie, hvor forbruget er sat til nul, solindfaldet er konstant 400 W og masseflowet m 2 er henholdsvis 0,02, 0,04, 0,08 og 0,15 kg. Figur 5.3 viser, at et øget masseflow giver s en højere temperatur i varmtvandsbeholderen, dog har forøgelsen af masseflowet mindre og mindre betydning for temperaturstigningen i tanken. Når masseflowet stiger fra 0,02 til 0,04 kg stiger sluttemperaturen i varmtvandsbeholderen med ca. s 3 C over 24 timer, mens temperaturen i varmtvandsbeholderen kun stiger med ca. 0,5 C efter 24 timer, når flowet øges fra 0,08 til 0,15 kg. s 5.4 Scenarie med realistisk solindfald og forbrug Da modellen nu er blevet testet i tre forskellige scenarier og har vist korrekte tendenser ved at reagere som forventet ved forskellige inputs, opstilles et realistisk scenarie. I dette scenarie benyttes midlede målte data for solindfald, samt et målt forbrug af brugsvand for et enfamiliehus. De samme data og specifikationer for solfangeranlægget, som er nævnt i tabel 5.1 på side 34 anvendes igen til modelleringen. Modelleringen vil vise, hvordan temperaturen udvikler sig i varmtvandsbeholderen i et virkeligt scenarie uden brug af en regulator. Forbrugsdataene samt soldata der bliver benyttet i dette scenarie er illustreret på figur 5.4 på næste side. 37

46 Figur 5.4. Søjlediagram over forbrug og solindfald over et døgn i juni måned Soldata er valgt for en gennemsnits dag i juni for Aalborgområdet. Figur 5.4 viser at varmtvandsforbruget ikke altid er sammenfaldende med solindfaldet. Da der ikke er nogen regulator, der styrer masseflowet, bliver denne fastsat til 0,04 kg s. Starttemperaturen i midten af tanken er sat til 36 C, da det ellers vil tage noget tid inden temperaturen i toppen af tanken kommer op på 60 C. Modellen kører i et døgn med de tidligere nævnte forbrugsdata. Resultatet af denne simulering, for et døgn i juni, fremgår af figur 5.5. Figur 5.5. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved et realistisk scenarie med soldata for juni måned og forbrugsdata Figur 5.5 viser, hvordan temperaturen falder i varmtvandsbeholderen sidst på dagen. 38

47 Dette skyldes, at forbruget er større end solindfaldet i dette tidsrum. Desuden bemærkes det at temperaturen efter et døgn er steget fra 36 C til ca. 52 C, hvilket kan antyde at en solfanger på 5 m 2 til dette specifikke forbrugsmønster er overdimensioneret. Det skyldes at den mængde energi, der fraføres tanken ved forbrug, er mindre end den mængde energi, der tilføres fra solfangeren. Dette kan i nogle tilfælde medføre at temperaturen i tanken bliver så høj, at der ikke kan fraføres nok effekt fra solfangeren, så temperaturen stiger til et niveau, der er skadeligt for solfangeren. 5.5 Opsummering af modellering af temperaturudvikling Modellen er nu blevet benyttet til at udregne temperaturudviklingen i tanken ved forskellige scenarier, både for konstante og varierende inputs. Scenarierne med konstante inputs blev opstillet for at kontrollere om modellen viser de rigtige tendenser, som f.eks. en hurtigere temperaturudvikling ved et højere solindfald. Da modellens resultater fra disse scenarier stemte godt overens med hypoteserne blev der opstillet et realistisk scenarie med et målt varmtvandsforbrug og solindfald hen over et døgn i Aalborgområdet. Da der ikke er nogen regulering af systemet på dette tidspunkt viser resultaterne fra dette realistiske scenarie, hvordan temperaturudviklingen ser ud ved et konstant masseflow. I det efterfølgende kapitel vil der blive opstillet et forsøg med henblik på at verificere modellen. 39

48

49 Eksperimentel verificering af solfangermodel 6 I dette kapitel vil der blive opstillet et fysisk forsøg med et solfangeranlæg, der kan benyttes til at verificere modellen. Af tabel 6.1 fremgår alle relevante mål og specifikationer, med henblik på at kunne sammenligne solfangermodellen og forsøget, på det benyttede solfangeranlæg. Solfangeranlægget er af typen Compact 160 l fra Sonnenkraft. Data for solfanger Areal af solfangeren 2,204 m 2 Volumen i solfanger 1,6 l Startvirkningsgrad 0,795 Varmetabskoefficient a 1 3,63 W m 2 K Varmetabskoefficient a 2 0,0071 W m 2 K c p -værdi for væske i solfangersystem 3862 J kg K Data for varmtvandsbeholder Volumen Varmetabskoefficient (UA-værdi) Højde Data for varmeveksler UA-værdi Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 151 l 2,6 W K 0,832 m 169 W K 0,17 m Tabel 6.1. Relevante mål og specifikationer på solfangeranlægget benyttet ved forsøget Dataene fra tabel 6.1 indtastes i modellen for at benytte de samme forudsætninger, som er gældende under forsøget. Nogle af dataene i tabellen er opgivet i databladet for det fysiske anlæg, mens højden på varmtvandsbeholderen og varmeveksleren er målt på det fysiske anlæg, for at få korrekte værdier. Solfangeranlægget er installeret på en vogn, for at opnå en transportabel forsøgsopstilling. Solfangeranlægget bliver koblet sammen og stillet op efter den medfølgende manual og der bliver monteret termofølere i de nødvendige punkter, 41

50 som fremgår af figur 6.1. Da der ikke laves forsøg med regulering, benyttes et af de eksisterende, faste driftstrin på pumpen under forsøget. Dette flow vil blive målt ved hjælp af en flowmåler for at kunne give dette som input til modellen. Samtidig vil der også blive simuleret et forbrug ved at koble varmtvandsbeholderen til en ekstern kølekreds. Ved hjælp af et vandur vil det være muligt at kontrollere mængden af vand, der strømmer ud af varmtvandsbeholderen og derved vil det samme forbrug kunne gives som et input til modellen. Det, at der benyttes et vandur til at måle strømningen i den eksterne kreds, begrænser simuleringen af forbruget til kun at kunne være konstant, hvilket ikke vil være et realistisk forbrug. Dog bør dette konstante forbrug være tilstrækkeligt til at verificere modellen. Figur 6.1. Principskitse af forsøgsanlægget, hvorpå målepunkterne er markeret Temperaturerne som er vist i figur 6.1 er nødvendige, for at kunne sammenligne temperaturudviklingen. Temperaturen i solfangeren, T h, bliver målt da der ikke har været tilgængeligt udstyr til at registrere solindfaldet og derfor vil denne temperatur fungere som input i modellen. Dette vil medføre at, den del af modellen der beregner temperaturen i solfangeren ikke vil blive verificeret, men udover dette vil forsøget kunne bekræfte den resterende del af modellen. Af figur 6.1 fremgår det, at også temperaturen i varmtvandsbeholderen, T t, og temperaturen på udløbet af varmeveksleren, T l, bliver målt under forsøget. Hensigten med dette er, at sammenligne disse to temperaturer med tilsvarende fra modellen og derved verificere modellen. Udover at sammenligne temperaturudviklingen i T t og T l vil temperaturen også blive målt ved indløb og udløb fra varmtvandsbeholderen, T bund og T top. T top bliver målt for at kende mængden af energi der forsvinder 42

51 ud af tanken ved et forbrug, mens T bund bliver brugt til at lave den lineære temperaturfordeling i tanken. Yderligere et punkt i varmtvandsbeholderen, i et andet højdeniveau end T t, vil også blive registreret. Hensigten med dette ekstra punkt er at kunne sammenligne temperaturen med den fra den lineære temperaturfordeling i modellen. Da solfangeranlægget blev leveret for sent, har det ikke været muligt at gennemføre forsøget inden rapportens afleveringsfrist og det vil derved ikke være muligt at verificere modellen. Da modellen allerede har vist de rigtige tendenser ved flere opstillede scenarier, vælges det at benytte den videre uden den endelige verificering og der kan udvikles en regulator til denne. 43

52

53 Design af regulering til solfangeranlæg 7 I dette kapitel vil det forklares, hvorledes reguleringen af solfangeranlægget skal fungere, og hvilke parametre der skal reguleres efter. Den nødvendige reguleringsteori vil blive forklaret, og modellen vil blive lineariseret med henblik på videre at kunne udvikle en overføringsfunktion for solfangersystemet, som regulatoren designes efter. 7.1 Regulering af solfangeranlæg For at afsætte samme effekt som ved et konstant masseflow ved et gennemsnitligt lavere masseflow, er det nødvendigt at regulere flowet efter det varierende solindfald og varmeforbrug. Reguleringen på pumpen foretages ud fra temperaturforskellen i solfangeren og i varmtvandsbeholderen. Temperaturforskellen vælges til minimum at være 5 C før pumpen starter op. Denne temperaturforskel er valgt ud fra nogle reguleringsnormer for solfangeranlæg, der anslår at temperaturforskellen mellem solfanger og tank som minimum skal være mellem 5 C og 8 C før pumpen starter [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. En årsag til dette kriterium kan være, at der ved lavere temperaturforskelle benyttes for meget energi på at drive pumpen, set i forhold til den energi der flyttes fra solfangeren til varmtvandsbeholderen. Figur 7.1 på næste side viser effektoverførslen i varmeveksleren ved forskellige masseflows over et døgn. Ud fra figuren fremgår det, at et øget masseflow resulterer i en højere afsat effekt. Ved beregningerne, der ligger til grund for figur 7.1, er konstanterne som nævnt i tabel 5.1 benyttet. Forbruget er sat til nul og solindfaldet er sat til en fast værdi på 400 W. De masseflows der benyttes i udregningerne bag m 2 figur 7.1 på den følgende side er valgt ud fra det forventede flowinterval der leveres fra en pumpe i et solfangeranlæg. 45

54 Figur 7.1. Kurve over den overførte effekt ved forskellige masseflows over et døgn Disse kurver ved forskellige masseflows bliver påvirket af antagelsen om en konstant UA-værdi, da et højere masseflow vil resultere i en højere UA-værdi og dermed vil der kunne overføres mere effekt. Når masseflowet når til en vis grænse giver en forøgelse i masseflow ikke nogen betydelig større afsat effekt og ved at kigge på figur 7.2 fremgår det, hvornår denne grænse nås i dette tilfælde. Figur 7.2. Kurve over den overførte effekt i varmeveksleren som en funktion af masseflowet. Kurverne vises efter ca. 1 time, hvor den overførte effekt peaker Det fremgår af figur 7.2, at når masseflowet overstiger 0,1 kg s har et øget masseflow ikke så stor betydning for mængden af overført effekt fra solfangeren 46

55 til varmtvandsbeholderen. Der er stadig en begrænset stigning i overført effekt, men sammenlignet med den stigning der er ved lavere masseflows, er den lav. Før reguleringen af solfangeren kan udvikles, forklares den nødvendige reguleringsteori. Denne teori vil blive beskrevet i det efterfølgende afsnit, hvor der også vil blive opstillet et blokdiagram for solfangeranlægget. 7.2 Generel regulering Et reguleringssystem består basalt set af tre hovedelementer, som er; en regulator, et system og måleudstyr. Systemet kan enten være et fysisk system eller en model, der fungerer som overføringsfunktion for et fysisk system. Princippet bag regulering er at benytte en regulator til at styre et system efter et ønsket sætpunkt. Forskellen mellem styring og regulering er, at reguleringen styrer ud fra feedback fra selve systemet. Figur 7.3. Blokdiagram over et reguleringssystem [Heilmann, 2007] Af figur 7.3 fremgår et blokdiagram over en generel regulering af et tilbagekoblet system. SP er sætpunktet og PV er procesvariablen, som henholdsvis er den ønskede og den aktuelle temperatur. G c er en overføringsfunktion for regulatoren, altså selve reguleringen og G p er en overføringsfunktion for systemet. H er det måleudstyr der benyttes til at registrere procesvariablen, som bliver tilbageført i løkken til et summationspunkt. Regulatoren vil i alle typer systemer starte med at beregne fejlen i summationspunktet, som er forskellen mellem SP og PV. Regulatoren vil dernæst prøve at minimere denne fejl, således at procesvariablen tilnærmer sig det definerede sætpunkt for hver gang løkken gennemløbes [Heilmann, 2007]. Systemet som denne rapport bearbejder, er et solfangeranlæg, hvor formålet er at korrigere systemet efter en defineret temperaturdifferens mellem temperaturen i 47

56 solfangeren og varmtvandsbeholderen, for på den måde at overføre mest muligt effekt fra solen til varmtvandsbeholderen. I solfangeranlæggets tilfælde vil et blokdiagram se ud som vist på figur 7.4. Figur 7.4. Blokdiagram over solfangeranlægget På figur 7.4 tilsvarer G c igen selve reguleringen som føder pumpen med den nødvendige spænding, eventuelt frekvens, der skal til for at give det ønskede masseflow. G x repræsenterer pumpen i anlægget og denne giver det aktuelle masseflow i anlægget. Resten af anlægget, solfangeren, varmtvandsbeholderen og varmeveksleren, vises på blokdiagrammet 7.4 som G p. Sætpunktet for reguleringen af solfangeranlægget vil være den målte temperatur i midten af varmeveksleren, T s, plus de 5 C som tidligere nævnt. Procesvariablen vil være den aktuelle temperatur i solfangeren, T h. Da der som tidligere nævnt vælges at se bort fra pumpen i modelleringen vil denne blok udgå fra blokdiagrammet, hvilket resulterer i følgende blokdiagram for solfangeranlægget: Figur 7.5. Blokdiagram over reguleringen uden pumpe Af figur 7.5 fremgår blokdiagrammet, hvor der ses bort fra pumpen. Dette medfører at den overføringsfunktion der skal udvikles, skal beskrive en sammenhæng mellem masseflow og temperatur. Herved ses der bort fra, hvilket spændingsinput pumpen skal have, for at give systemet et masseflow. I stedet for føder regulatoren anlægget direkte med et masseflow. Ved design af regulatoren til systemet udvikles først en overføringsfunktion, så det er muligt at analysere systemets frekvensrespons. Denne overføringsfunktion, 48

57 G p på figur 7.5 på modstående side, udledes af den matematiske model som en sammenhæng mellem masseflowet i solfangerkredsen og temperaturen i solfangeren. 7.3 Linearisering af ligninger for solfangeranlæg I dette afsnit bestemmes en overføringsfunktion, ved at linearisere ligningerne for solfangersystemet og bestemme et udtryk for temperaturen i solfangeren som funktion af masseflowet. Derfor vil lineariseringsteorien blive gennemgået inden den benyttes på ligningerne for solfangersystemet. Efter at ligningerne er lineariserede, vil de blive laplacetransformeret inden de opstilles som en sammenhæng mellem masseflowet, som input, og temperaturen i solfanger, som output. Denne sammenhæng kan derefter reduceres til en overføringsfunktion for solfangersystemet. Den dynamiske model lineariseres og der udvikles en såkaldt LTI-model, som er en lineær tidsvariant model. Fysiske systemer opfører sig som regel ulineært, men den lineære modelteori tager udgangspunkt i, at en funktion kan approksimeres til en lineær funktion i et givet arbejdspunkt. LTI-modellen gør det dermed muligt at benytte lineær stabilitetsanalyse og at udvikle en regulering, der virker i et defineret arbejdspunkt. Til at beregne approksimationen i et defineret arbejdspunkt benyttes en førsteordens taylorudvikling, som fremgår af ligning 7.1. f(x) f (x 0 ) + df(x 0) dx (x x 0 ) (7.1) x=x0 Da der i den lineære model kun er behov for beregning af ændringer i systemet, flyttes leddet f (x 0 ), så formlen ændres som det fremgår af ligning 7.2. f(x) f(x 0 ) df(x 0) dx (x x 0 ) = f(x) df(x 0) x (7.2) x=x0 dx x=x0 Ulineære modeller kan bestå af multivariable ligninger, hvilket medfører at førsteordens taylorpolynomiet må udvides med flere variable. Et eksempel på den udvidede taylorapproksimation med to variable fremgår af ligning 7.3. f(x, y) δf(x, y) δx x + x=x0 δf(x, y) δy y (7.3) y=y0 Denne formel kan omskrives, så den tager form som vist på figur 7.4 på den følgende side. 49

58 f(x, y) K 1 x + K 2 y (7.4) hvor: K 1 = δf(x,y) δx K 2 = δf(x,y) δy x=x0 y=y0 Med udgangspunkt i formel 7.4 lineariseres de tre ligninger, der blev opstillet for modellen. I disse formler er venstresiden i sig selv lineær og derfor lineariseres kun højresiden af formlerne. Formlen for solfangeren er som tidligere nævnt givet ved: m vaeske c p dt h dt = Q sol A η + ṁ c p (T l T h ) (7.5) Da venstresiden af formeludtrykket er lineært, forudsat c p er konstant, lineariseres denne ikke. Venstresiden erstattes i stedet af et funktionsudtryk som er afhængig af Q sol, ṁ, T l og T h. For simplicitetens skyld antages virkningsgraden, i denne sammenhæng, konstant. f(q sol, ṁ, T l, T h ) = m vaeske c p dt h dt (7.6) Højresiden af formel 7.5 lineariseres efter førsteordens taylorudvikling som tidligere beskrevet. Herved opnås udtrykket: f(q sol, ṁ, T l, T h ) = δf Qsol(0) Q sol + δf Th(0) T h + δf Tl(0) T l + δf ṁ(0) ṁ δq sol δt h δt l δṁ (7.7) Formel 7.7 beregnes: f(q sol, ṁ, T l, T h ) = A η Q sol +ṁ (0) c p ( T l T h )+ ṁ c p (T l(0) T h(0) ) (7.8) Arbejdspunktet vælges indenfor det aktuelle interval, med en fejlmargin på et par procent fra minimum og maksimum. Værdierne for dette arbejdspunkt indsættes i ovenstående udtryk, hvorved solfangeren skal være lineariseret omkring det valgte arbejdspunkt. 50

59 Ligningerne for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren bliver lineariseret efter samme fremgangsmåde som for solfangeren, hvorved lineariseringen for varmtvandsbeholderen er givet ved formel 7.9 og varmeveksleren er givet ved formel f(t h, T l, ṁ, ṁ forbrug, T t, T top ) = ṁ (0) c p ( T h T l ) + ṁ c p (T h(0) T l(0) ) + ṁ forbrug c p,vand (T bund(0) T top(0) ) 1 R tank T t ṁ forbrug(0) c p,vand T top (7.9) f(t h, T l, ṁ) = ṁ (0) c p ( T h T l ) + ṁ c p (T h(0) T l(0) ) (7.10) Udregningerne af lineariseringen af varmtvandsbeholderen og varmeveksleren kan findes i appendiks B på side H. Når de tre formler er lineariseret skal de overføres til laplaceplanet, så de kan opstilles som et blokdiagram, med masseflow, ṁ, som input og temperaturen i solfangeren, T h, som output. 7.4 Laplacetransformation af ligningerne for solfangeranlæg De lineariserede ligninger for solfangersystemet, overføres til laplaceplanet for at kunne opstille en overføringsfunktion mellem ṁ og T h. Ligningerne laplacetransformeres efter de givne regler for laplacetransformation. Blandt andet benyttes reglen for laplacetransformation af en differentialfunktion, som vist nedenfor i formel 7.11 [Kreyszig, 2006]: L(f ) = s L(f) f(0) (7.11) Ved brug af formel 7.11 bliver de lineariserede ligninger laplacetransformeret og der ses bort fra begyndelsesværdier. Ud fra dette opnås følgende udtryk for solfangeren: m vaeske c p s T h(s) = A η Q sol(s) +ṁ (0) c p ( T l(s) T h(s) )+ ṁ (s) c p (T l(0) T h(0) ) (7.12) En laplacetransformering af de lineariserede ligninger for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren giver henholdsvis disse to udtryk: 51

60 Varmtvandsbeholder m beholder c p,beholder s T t(s) = ṁ (0) c p ( T h(s) T l(s) ) + ṁ (s) c p (T h(0) T l(0) ) + ṁ forbrug(s) c p,vand (T bund(0) T top(0) ) 1 R tank T t(s) ṁ forbrug(0) c p,vand T top(s) (7.13) Varmeveksler UA (T h T s ) + (T l T s ) 2 = ṁ (0) c p ( T h(s) T l(s) ) + ṁ (s) c p (T h(0) T l(0) ) (7.14) 7.5 Lineær model for solfangeranlæg Når ligningerne er laplacetransformeret indføres de i Simulink, hvor de kobles indbyrdes. Den lineariserede model er opbygget ved at konstanterne indtastes i en m-fil, hvor de faste konstanter er vist i tabel 7.1. Data for solfanger Areal af solfanger 5 m 2 Masse af væske i solfanger 8,5 kg Virkningsgrad 0,79 c p -værdi for væske i solfangersystem 3862 J kg K Data for varmtvandsbeholder Massen af vandet 400 kg J c p -værdi for vandet 4182 kg K Varmetabskoefficient (UA-værdi) 3,2 W K Højde (indvendig) 1,46 m Temperatur i bunden/indløb Data for varmeveksler UA-værdi Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 15 C 288 W K 0,56 m Tabel 7.1. Tabellen viser de faste værdier som benyttes i den lineariserede model Udover de faste værdier benyttes også arbejdspunktsværdier som uddrages af den ulineære model. Værdierne som skal bestemmes for arbejdspunktet er listet nedenfor: Solindfaldet (Q sol ) Forbruget (ṁ forbrug ) 52

61 Masseflowet (ṁ) Temperaturen i solfangeren (T h ) Temperaturen i tilbageløbet til solfangeren (T l ) Temperaturen i toppen af varmtvandsbeholderen (T top ) Når de faste værdier og værdierne for arbejdspunktet kendes kan den lineære model benyttes. Opbygningen af modellen er vist på figur 7.6, hvor det fremgår, hvordan ligningerne er koblet indbyrdes og hvilke tilbagekoblinger der er. Opbygningen af den lineære model er forklaret i appendiks C på side I. Figur 7.6. På figuren vises den lineære model i Simulink For at teste om den lineariserede model er korrekt skal, værdierne i et valgt arbejdspunkt passe med de værdier som fås fra den ulineære model i samme arbejdspunkt. Da den lineære model beregner forskelle i værdierne skal startværdien fra den ulineære model adderes til den lineære model, inden de kan sammenlignes. På begge sider af arbejdspunktet vil den lineære model variere fra den ulineære model og desto længere væk fra arbejdspunktet en værdi vælges for den lineære model, desto større vil afvigelsen være i forhold til den lineære model. Derfor skal arbejdspunktet vælges så der ikke forekommer for store afvigelser i intervallet som den lineære model benyttes i. Den lineære model for solfangeranlægget er udviklet på baggrund af den forklarede lineariseringsteori, som er beskrevet i afsnit 7.3 på side 49. Den lineære model og den ulineære model, skal have de samme værdier i et valgt arbejdspunkt. Dette er dog ikke tilfældet i denne situation, hvor det ikke har været muligt at få den lineære og ulineære model til at passe i arbejdspunktet. Ved en afprøvning af flere forskellige arbejdspunkter, har det vist sig, at desto tættere på tiden 0 arbejdspunktet vælges, desto mindre bliver forskellen mellem den ulineære model og den lineære model. Fejlen kan derfor være en lille integrationsfejl som bliver større når der integreres over lange tidsperioder. 53

62 Da det ikke er muligt at bestemme om den lineære model er en valid repræsentation af den ulineære model omkring et arbejdspunkt, der kan derfor ikke arbejdes videre med den lineære model. Hvis den lineære model havde givet korrekte værdier omkring et arbejdspunkt, skulle den herefter have været reduceret, for herved at kunne bestemme en simpel overføringsfunktion for solfangeranlægget. Reduceringen kan enten foregå ved blokreduktion, hvor blokdiagrammet reduceres efter en række regler, hvormed der til sidst opnås en enkelt blok, hvor alle leddene indgår. I appendiks D på side K, er vist et udsnit af blokreduceringsreglerne. En anden mulighed for at reducere en kompleks lineær model, er ved at undersøge, hvilke dele af modellen som bidrager til dynamikken i systemet. Hvis det er muligt at undlade dele af modellen uden at det ændrer nævneværdigt ved outputtet, kan det være muligt at opnå en model som er mindre kompleks og derved nemmere at foretage blokreducere. 7.6 Bestemmelse af overføringsfunktion ved kurvefit Det ønskes at bestemme en overføringsfunktion for T h ṁ ved brug af modellen. Denne overføringsfunktion skal ideelt set bestemmes for ethvert masseflow og ethvert solindfald. Da dette ikke er muligt tages der udgangspunkt i udvalgte solindfald og masseflows. På grafen for T h nedenfor vælges der et konstant masseflow på 0,1 kg s i den lukkede kreds og der benyttes solindfald på hhv. 200 W m 2, 300 W m 2, 400 W m 2 og 500 W. Forbruget er målte data fra et enfamiliehus og omfatter udelukkende forbrug af m 2 varmt brugsvand. Ud fra disse målte data er der beregnet et gennemsnitlig masseflow af varmt brugsvand på 0, kg. Desuden er der taget udgangspunkt i data vist s i tabel 7.2 på modstående side. 54

63 Data for solfanger Areal af solfangeren 5 m 2 Masse af væske i solfanger 8,5 kg Startvirkningsgrad 0,79 Varmetabskoefficient a 1 3,756 W m 2 K Varmetabskoefficient a 2 0,0073 W m 2 K J c p -værdi for væske i solfangersystem 3862 kg K Tryk P a (1 atm) Starttemperatur Data for varmtvandsbeholder Massen af vand 15 C 400 kg J c p -værdi for vandet 4182 kg K Varmetab 3,2 W K Højde (indvendig) 1,46 m Temperatur i bunden/indløb Tryk Starttemperatur ved midten af varmtvandsbeholderen Forbrug Data for varmeveksler UA-værdi Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) Data for omgivelser Omgivelsestemperatur ved solfanger Omgivelsestemperatur ved varmtvandsbeholder 8 C P a (1 atm) 32 C 0, kg s 288 W K 0,56 m 15 C 25 C Tabel 7.2. Tabel over de konstante værdier der benyttes i modellen Figur 7.7 på næste side viser at et højere solindfald giver udslag i en højere T h. Figur 7.7 illustrerer også at de forskellige kurver for T h har samme udvikling som et førsteordens system. Det antages derfor at kurven for T h kan kurvefittes til et førsteordens system. 55

64 Figur 7.7. Kurverne viser udviklingen af T h ved forskellige solindfald i en periode over syv døgn. Det fremgår at T h tilnærmelsesvis ligner et førsteordens system I første del af kurverne på figur 7.7 stiger temperaturen fra 15 C til C i løbet af kort tid. Denne hurtige opvarmning skyldes at væsken i solfangerkredsen hurtig varmes op, da denne kreds har en hurtigere dynamik end varmtvandsbeholderen. Opvarmningskurven er vist på figur 7.8, hvor det fremgår at opvarmningen foregår i løbet af ca sekunder. Da denne opvarmning foregår meget hurtigere end den overordnede opvarmning, har den ikke stor betydning for det endelige resultat. Derfor virker det som en rimelig antagelse at se bort fra den hurtige opvarmning. Figur 7.8. Fremhævning af det transiente forløb af opvarmningskurven. Kurverne her viser igen udviklingen af T h ved forskellige solindfald som i figur 7.7, dog er intervallet ændret til sekunder, altså lidt over 40 minutter 56

65 Denne antagelse betyder at startpunktet for kurvefittet rykkes op, så der ses bort fra den hurtige opvarmning. Derved kan der opnås et bedre kurvefit på den langsomme dynamik for varmtvandsbeholderen, som er den afgørende dynamik for systemets respons. For at bestemme en overføringsfunktion vælges et fast solindfald på 400 W, m 2 hvor masseflowet varieres fra 0,02-0,2 kg, hvilket svarer til 1,2-12 l. Figur 7.9 s min viser temperaturudviklingen over syv døgn for T h ved et solindfald på 400 W og de m 2 forskellige masseflow. Figur 7.9. Kurverne viser udviklingen af T h ved fast solindfald på 400 W m 2 masseflows og forskellige Af figur 7.9, fremgår det at kurverne for T h ved de forskellige masseflow ligger forholdsvis tæt sammen. Det antages derfor at være en rimelig tilnærmelse at lave et kurvefit, som ligger mellem kurverne for det mindste og største masseflow. Formlen for et førsteordenssystem i tidsdomænet er givet ved formel hvor: G p (t) = Overføringsfunktionen i tidsdomænet [.] K = Konstant [.] t = Tiden [s] τ = Tidskonstant [s] G p (t) = K (1 e t τ ) (7.15) Ved at ændre på K og τ i formel 7.15, er kurvefittet, som er vist i figur 7.10 på næste side, opnået. Det fremgår at kurvefittet ligger mellem temperaturkurverne for det største og mindste masseflow. 57

66 Figur Figuren viser kurvefit af T h over syv døgn ved et fast solindfald på 400 W m 2 Værdierne for K og τ er fundet til henholdsvis 35,7 og 83500, disse værdier indsættes i formel 7.15 på forrige side og derved bliver til formel G p (t) = 35, 7 (1 e t ) (7.16) I laplaceplanet er overføringsfunktionen givet ved formel G p (s) = 35, s + 1 (7.17) Efter samme fremgangsmåde som ovenfor, fremstilles en overføringsfunktion for et solindfald på 200 W m 2, hvilket resulterer i følgende temperaturudvikling: 58

67 Figur Figuren viser kurvefit af T h over syv døgn ved et fast solindfald på 200 W m 2 Ud fra figur 7.11, fremgår det at kurveforløbet har samme karakteristik som ved et solindfald på 400 W, dog ender kurven på en lavere temperatur, hvilket skyldes det m 2 lavere solindfald. Værdierne for K og τ er i dette tilfælde kurvefittet til henholdsvis 13,9 og Derfor er formeludtrykket for tidsdomænent givet ved formel G p (t) = 13, 9 ( ) 1 e t (7.18) I laplaceplanet er overføringsfunktionen givet ved formel G p (s) = 13, s + 1 (7.19) Ud fra formel 7.17 og 7.19, fremgår det at tidskonstanten ikke ændres særlig meget. Derfor vælges overføringsfunktionen fra formel 7.17 på modstående side, til det videre arbejde med bestemmelse af systemstabilitet og til bestemmelse af regulatorens størrelse. 7.7 Analyse af overføringsfunktion for solfangeranlæg Når der er bestemt en overføringsfunktion for solfangersystemet, skal denne overføringsfunktion undersøges for stabilitet og hvilket stationær respons den har. I dette afsnit skal lukketsløjfeoverføringsfunktionen for solfangersystemet 59

68 benyttes derfor udregnes denne via blokreduceringsreglerne i appendiks D på side K, hvor det antages at tilbagekoblingen har en størrelse på 1, derved er lukketsløjfeoverføringsfunktionen givet i formel G cl (s) = G p (s) 1 + G p (s) H(s) = 2, s + 35, s 2 + 3, s + 36, 7 (7.20) Videre i dette afsnit vil formel 7.20, blive betegnet lukketsløjfeoverføringsfunktionen. Endvidere skal åbensløjfeoverføringsfunktionen benyttes i dette afsnit, så denne er vist i formel 7.21, hvor det antages at tilbagekoblingen har størrelse 1: G ol (s) = G p (s) H(s) = 35, s + 1 (7.21) Videre i dette afsnit vil formel 7.21, blive betegnet åbensløjfeoverføringsfunktionen. Systemstabilitet Begrebet stabilitet betyder, for reguleringsteori, at et system vil reagere på en nogenlunde forudsigelig måde, givet ud fra det input som bliver tilført systemet. I et ustabilt system er der ikke nogen tydelig sammenhæng mellem, hvordan systemet reagerer på et input [Phillips og Harbor, 2000]. Et eksempel på et ustabilt system, kunne være en bil som kører på et islag, i sådan en situation er der ikke altid sammenhæng imellem, hvilken position føreren holder rattet i og hvilken position hjulene i virkeligheden har. Et system kan også være marginalt stabilt, hvilket betyder at systemet ligger på grænsen mellem at være stabilt og ustabilt, hvorved systemet både kan reagere som et stabilt og ustabilt system. Grænsen mellem et ustabilt og stabilt system udgøres af den imaginære akse i det komplekse plan. 60

69 Figur Figuren viser i del A, rødderne for et stabilt system som ligger i det venstre halvplan af det komplekse plan. Del B viser et ustabilt system, på grund af systemet har en rod i det højre halvplan af det komplekse plan. For at et system skal være stabilt kræves det at alle polerne fra systemets lukketsløjfeoverføringsfunktion ligger til venstre for imaginæraksen, som er illustreret i figur 7.12A. Hvis bare en af systemets poler ligger til højre for den imaginære akse er systemet ustabilt, som illustreret på figur 7.12B. Hvis alle polerne ligger i det venstre halvplan med minimum en pol på den imaginære akse kan systemet anses som marginalt stabilt. Til at bestemme om rødderne ligger i det venstre eller højre halvplan benyttes først Routh-Hurwitz stabilitetskriterium og derefter bestemmes rødderne i den karakteristiske ligning. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Routh-Hurwitzs stabilitetskriterium bruges til at bestemme om systemets poler ligger i den venstre halvdel af det komplekse plan. For at bruge denne metode skal den karakteristiske ligning for lukketsløjfeoverføringsfunktionen benyttes [Pedersen, 2010a]. Den karakteristiske ligning fra lukkesløjfeoverføringsfunktionen er givet i formel s 2 + 3, s + 36, 7 (7.22) Ud fra den karakteristiske ligning, på følgende polynomieform, opstilles der opstilles en Rouths tabel: Q(s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 (7.23) 61

70 hvor: a n...a 0 = koefficienter Rouths tabel opstilles ud fra den metode der vises i tabel 7.3 på baggrund af koefficienterne fra polynomiet. s n a n a n 2 a n 4... s n 1 a n 1 a n 3 a n 5... s n 2 b 1 b 2 b 3... s n 3 c 1 c 2 c s 2 k 1 k 2 s 1 l 1 s 0 m 1 Tabel 7.3. Tabellen viser den generelle Rouths tabel [Phillips og Harbor, 2000] B og C rækkerne bliver udregnet af de to ovenfor stående rækker, for eksempel udregnes b 1, ved at gange en 2 2 matrix med brøken 1 a n 1, hvor a n 1 er tallet fra den anden række, første søjle af de to rækker som er over b 1. Matricen som skal ganges på brøken er givet ved den første søjle, og søljen som står en til højre over koefficienten. Nedenfor er der vist eksempler på, hvordan b 1, b 2, c 1 og c 2 bestemmes [Phillips og Harbor, 2000]. b 1 = - 1 a n 1 a n a n 2 a n 1 a n 3, b 2 = - 1 a n 1 a n a n 4 a n 1 a n 5,... c 1 = - 1 b 1 a n 1 a n 3 b 1 b 2, c 2 = - 1 b 1 a n 1 a n 5 b 1 b 3,... Tabel 7.4. Tabellen viser, hvordan koefficienterne til Rouths tabel skal udregnes [Phillips og Harbor, 2000] Med metoden til at udregne alle koefficienterne i Rouths tabel kan antallet af poler i højre halvplan bestemmes og derved kan systemets stabilitet bestemmes ud fra denne sætning: Antallet af fortegnsskift i første søjle af Rouths tabel er lig antallet af poler i højre halvplan [Pedersen, 2010a]. 62

71 Derfor undersøges den karakteristiske ligning fra den bestemte lukketsløjfeoverføringsfunktion, hvor følgende koefficienter identificeres: a 2 = 6, , a 1 = 3, og a 0 = 36,7. Ved at udregne og indsætte tallene kommer Rouths tabel for solfangeranlægget til at være givet som vist i tabel 7.5. s 2 6, ,7 s 1 3, s 0 36,7 0 Tabel 7.5. Rouths tabel for den karateriskeligning Ud fra tabel 7.5 fremgår det at der ingen fortegnsskift er i første søjle og derved ligger alle rødder i det venstre halvplan og systemet er stabilt. Beregning af rødder for den karakteristiske ligning En anden metode til vurdering af et systemets stabilitet, er at undersøge den specifikke placering af systemets rødder. Systemets rødder findes ved at løse den karakteristiske ligning, som findes i lukketsløjfeoverføringsfunktionens nævner. Denne metode adskiller sig fra Routh Hurwitz på den måde, at den ikke blot undersøger, hvilket halvplan rødderne ligger i, men også, hvor de ligger. Da den karaktistiske ligning er et andenordens polynomium vil der være to rødder. Disse to rødder fremgår af formel s 1 = 0, s 2 = 0, (7.24) Det fremgår af formel 7.24 at røddernes imaginærdel er lig nul og deres realdel er negativ, hvilket medfører at rødderne ligger i det venstre halvplan. Derved antages det at systemet er stabilt. Det er umiddelbart ikke nødvendigt at beregne eller plotte rødderne, for at vurdere om systemet er stabilt. Det kan udledes, at hvis nogen af koefficienterne i den karakteristiske ligning er lig med nul, vil der være rødder i det højre halvplan og systemet vil være ustabilt. Der gælder også at, hvis en af koefficienterne er negativ, vil der være minimum en rod i det højre halvplan [Pedersen, 2010a]. I tilfældet med denne simple overføringsfunktion, er det hurtigst at benytte metoden, hvor rødderne udregnes, for at kontrollere om rødderne er placeret i det venstre 63

72 halvplan. I tilfældet med en karakteristisk ligning af n te grad, vil det være lettere at benytte Routh-Hurwitz, hvis der ikke er nok computerkraft til rådighed. Nyquists stabilitetskriterium Ved vurdering af systemets stabilitet i frekvensdomænet benyttes et nyquistdiagram, hvilket også kaldes et polar plot. Et nyquistdiagram er et diagram i det komplekse plan, hvor systemets forstærkning og fasedrej plottes som funktion af frekvensen. Amplitudeforholdet afspejles i kurvens afstand fra origo og fasedrejet afspejles i vinklen fra x-aksen. Når nyquistdiagrammet skal optegnes benyttes åbensløjfeoverføringsfunktionen, som det er vist i figur 7.13: Figur Figuren viser nyquistdiagrammet for solfangersystemet Nyquists forenklede stabilitetskriterium beskriver at systemet er stabilt når punktet (-1,0) er til venstre for kurven [Heilmann, 2007]. Da det ud fra figur 7.13 fremgår at kurven ligger til højre for punktet (-1,0) er systemet stabilt. Stationær fejl Den stationære fejl giver udtryk for, hvor godt det stationære respons er og beregnes som forskellen mellem sætpunktet og procesvariablen. E ss (s) = P V SP (7.25) 64

73 hvor: E ss = Den stationære fejl P V = Procesvariabel SP = Sætpunkt For at undersøge den stationære fejl anvendes systemets åbensløjfeoverføringsfunktion. Nu vurderes systemets type og orden. Systemets type udtrykkes i, hvor mange frie integratorer, der er i nævneren og systemets orden afgøres af systemets inputfunktion. Inputfunktionen er i dette tilfælde et step-input, hvilket medfører at systemet er af nulteorden. Ud fra denne information kan den stationære fejl udregnes med formel 7.26 [Jannerup og Sørensen, 2004]. e r,ss = lim s 0 c s k (1 + K 0 s N ) (7.26) hvor: e r,ss = Den stationære fejl for referenceinput c = c kan antage værdierne h 0, v eller a k = Orden af inputfunktionen K 0 = Systemets statiske sløjfeforstærkning N = Systemets type Ved at indsætte konstanter for forskellige ordener og typer af systemer kan følgende tabel udledes: N=0 N=1 N=2 h Step k=0, c=h0 0 1+K v Rampe k=1, c=v K 0 0 a Parabel k=2, c=a K 0 Tabel 7.6. Det fremgår af tabel 7.6 at overføringsfunktionen for solfangeranlægget får en stationærfejl på h 0 1+K 0. For overføringsfunktionen som er vist i formel 7.17 på side 58, bestemmes der en stationærfejl på 2,72 % af step-inputtets størrelse. Denne fejl kan fjernes ved at øge systemets orden, hvilket gøres ved at tilføje en regulator med en integrator. Dette kunne eksempelvis være en PI-regulator. 65

74 7.8 Valg af reguleringstype Den oftest benyttede reguleringstype er PID-regulatoren, hvor PID står for proportionalintegral-differential, som beskriver de tre led i regulatoren. Regulatorens matematiske udtryk fremgår af formel 7.27, hvor de tre led henholdsvis er proportionalleddet, integralleddet og differentialleddet. u = K P e (t) + t e (t) dt 0 d + T d e (t) (7.27) T I dt Det matematiske udtryk indeholder tre konstanter, hvor K P er forstærkningen, T I er integraltiden og T D er differentialtiden. Hvis det matematiske udtryk laplacetransformeres kan PID-regulatorens overføringsfunktion isoleres, hvilket fremgår af formel G c (s) = K P + 1 T I s + T Ds (7.28) Den laplacetransformerede overføringsfunktion kan plottes i et bodediagram. Her er det muligt at vurdere, hvilken effekt regulatoren vil have, når den ganges på en overføringsfunktion for et system. Overføringsfunktionen for en PID-regulator med tilfældige værdier fremgår af figur Figur Bodediagram af en PID-regulering 66

75 De forskellige elementer i PID-regulatoren tjener forskellige formål. Proportionalleddet har til formål at forstærke udgangssignalet og derved mindske den stationære fejl. Ydermere kan den benyttes til at opnå et hurtigere transient respons. Proportionalleddet medfører ingen direkte faseændring af systemet, men kan ændre fasemargin. Integralleddet fjerner fejlen,e, som er forskellen mellem procesvariablen og sætpunktet. Integralet fungerer på den måde, at det giver et udgangssignal, såfremt fejlen er forskellig fra nul. Når fejlen er nul er stationære forhold opnået og integralleddet giver intet output. Integralleddet kan benyttes til at forbedre det stationære respons, altså reducere den stationære fejl. Integralleddet adderer et -90 graders fasedrej til systemet, som det fremgår af figur 7.14 på modstående side, hvilket kan gøre systemet ustabilt. Derfor må der tages højde for dette ved design af regulatoren. Differentialleddet har til formål at dæmpe reguleringssløjfen, så der er mulighed for at designe en hurtigere regulering. Når PID-regulatoren opstilles i et blokdiagram, er det en parallelforbindelse mellem de tre led fra overføringsfunktionen. Blokdiagrammet fremgår af figur Figur Blokdiagram over en PID-regulering [Heilmann, 2007] Der vælges at benytte PI-delen af regulatoren, da propertionalleddet kan benyttes til at øge det transiente respons og intergralleddet vil fjerne den stationære fejl. Dog fravælges differentalleddet, da en PI-regulator er nemmere at indpasse i et fysisk system, uden at systemet bliver ustabilt, sammenlignet med PID-regulatoren. Dette begrundes med at differentialleddets funktion er at differentiere inputtet til regulatoren. Hvis en forstyrrelse eller støj påvirker signalet, så signalets gradient veksler, resulterer det i at reguleringen bliver ustabil. En metode til at fjerne støj fra et system kunne være at benytte et lavpasfilter til at filtrere de høje uønskede frekvenser fra. Dog er der ikke behov differentialleddet i forhold til regulering af solfangeren, da det ikke er nødvendigt med en hurtig regulering. I følgende afsnit designes størrelsen af konstanterne i regulatoren, således at der opnås en stabil regulering og den stationære fejl bliver fjernet [Heilmann, 2007]. 67

76 7.9 PI-regulator design Der tages udgangspunkt i en PI-regulator, som i laplaceplanet er givet ved formel 7.29 [Pedersen, 2010a]. G c (s) = K P s + K I s (7.29) hvor: K I = 1 T I For at designe en PI-regulator, skal K P og K I bestemmes. Til dette benyttes nogle designregler til at komme med et første bud på, hvilke størrelser K P og K I skal have. Når disse så er fundet, skal der foretages en finjustering af størrelserne. Når K P og K I skal bestemmes benyttes reglerne som er vist i formel 7.30 og formel 7.31 [Pedersen, 2010a]. K P = 1 K C G p (j ω 1 ) H(j ω 1 ) (7.30) hvor: K C = DC-forstærkningen G p (j ω 1 ) = Overføringsfunktion evalueret i punkt j ω 1 H(j ω 1 ) = Overføringsfunktionen for måleudstyret evalueret i punkt j ω 1 Værdien for K C sættes typisk til 1 [Pedersen, 2010a], mens overføringsfunktionen for måleudstyret i dette tilfælde vælges til at være 1, da måleudstyret antages at være hurtigere end solfangersystemet. K I = 0, 1 ω 1 K P (7.31) Inden K P og K I kan beregnes, skal ω 1 bestemmes. ω 1 vælges i et førsteordenssystem til at ligge en dekade tidligere end systemets knækfrekvens [Pedersen, 2010b]. Systemets knækfrekvens kan bestemmes ved hjælp af bodeplottet, hvor asymptoternes skæringspunkt i forstærkningsdiagrammet er knækfrekvensen som fremgår af figur 7.16 på modstående side. 68

77 Figur Figuren viser hvor systemets knækfrekvens bestemmes og ω 1 vælges en dekade før knækfrekvensen Systemet knækfrekvens kan også bestemmes ud fra tidskonstanten, hvor knækfrekvensen er den reciprokke værdi af tidskonstanten [Pedersen, 2010b]. I det næste afsnit bestemmes K P og K I for overføringsfunktionen som er beskrevet i afsnit 7.6 på side 54. Bestemmelse af K I og K P ud fra designregler Værdierne for K P og K I udregnes for overføringsfunktionen som er vist i formel 7.17 på side 58 og igen vist i formel G p = 35, s + 1 (7.32) På figur 7.17 på den følgende side, er bodeplottet for overføringsfunktionen vist, hvor det fremgår at den har en uendelig forstærkning og en fasemargin på 91,6. 69

78 Figur Figuren viser bodeplottet for solfangeranlægget Først bestemmes knækfrekvensen for G p til 1, Da ω 1 skal ligge en dekade før systemets knækfrekvens, bestemmes ω 1 til 1, Værdien for ω 1 indsættes i formel 7.30 og formel 7.31 på side 68, hvor K C og H sættes til en, hvorved størrelserne for K P og K I bestemmes til henholdsvis 0,0282 og Derved er regulatoren givet ved denne overføringsfunktion: G c (s) = 0, 0282 s s (7.33) Efter der er blevet påsat en regulator på solfangersystemet, er den samlede overføringsfunktion givet ved formel G c (s) G p (s) = 1, 005 s + 1, s 2 + s (7.34) Når systemet og regulatorens overføringsfunktion ganges sammen, fås bodeplottet som er vist på figur 7.18 på næste side. 70

79 Figur Figuren viser bodeplottet for den samlede overføringsfunktion for regulatoren og solfangersystemet Af figur 7.18 fremgår det at fasen starter i -90, som skyldes at PI-regulatoren lægger -90 til systemets fase. Ydermere skyldes peaket og ændringen af forstærkning at PI-regulatoren lægger en pol og et nulpunkt til systemet. Samtidig fremgår det også at regulatoren har ændret fasemargin fra 91,6 til 168, hvilket betyder at systemet er blevet mere stabilt. Denne antagelse om at regulatoren ikke har gjort systemet ustabilt, vil blive undersøgt i det næste afsnit. Stabilitet af solfangersystemet og regulator Da der skal laves en Routh-Hurwitztabel og et nyquistdiagram for at teste systemets stabilitet er det nødvendigt at finde systemets lukketsløjfeoverføringsfunktion og åbensløjfeoverføringsfunktion. Disse er givet ved henholdsvis formel 7.35 og formel 7.36, hvor det i begge tilfælde antages at tilbagekoblingen H er 1. G cl = G c (s) G p (s) H(s) = 8, s 3 + 1, 015 s 2 + 1, s 6, s 4 + 2, s 3 + 2, 015 s 2 + 1, s (7.35) G ol = G c (s) G p (s) H(s) = 71 1, 005 s + 1, s 2 + s (7.36)

80 Ud fra den samlede lukketsløjfeoverføringsfunktion for solfangersystemet og regulatoren kontrolleres der for stabilitet efter samme fremgangsmåde, som i afsnit 7.7 på side 60. Der opnås følgende resultater for Routh-Hurwitzs i tabel 7.7, hvor den karakteristiske ligning er givet til 6, s 4 + 2, s 3 + 2, 015 s 2 + 1, s: s 4 6, , 015 s 3 2, , s 2 2, 01 0 s 1 120, s Tabel 7.7. Rouths tabel for den samlede lukketsløjfeoverføringsfunktion for regulatoren og solfangersystemet Da der ingen fortegnsskift er i Routh-Hurwitzs tabel, siger reglen at alle rødder for den karakteristiske ligning ligger i det venstre halvplan af det komplekseplan. Men Routh-Hurwitzs tabel siger dog ikke noget om placeringen af rødderne, til dette kan man udregne rødderne fra den karakteristiske ligning. Ved at sætte denne ligning lig nul, som gjort i formel 7.37, kan rødderne findes. 6, s 4 + 2, s 3 + 2, 015 s 2 + 1, s = 0 (7.37) Rødderne fra den karakteristiske ligning er som følger: s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 0, (7.38) s 4 = 0 Som det fremgår af rødderne, er tre af rødderne placeret i det venstre halvplan, mens den fjerde rod er placeret i origo. Roden i orige fremkommer når en PI-regulator er tilføjes systemet, hvilket er tilladt for PI-regulatorer og derved ikke gør systemet marginalt stabilt. Derved har Routh-Hurwitzs tabel og beregning af rødderne vist at systemet er stabilt. Når Nyquists stabilitetskriterium skal kontrolleres skal åbensløjfeoverføringsfunktionen, givet ved formel 7.34 på side 70 benyttes. Ud fra denne overføringsfunktion opnås nyquistdiagrammet som er vist i figur 7.19 på næste side. 72

81 Figur Figuren viser nyquistdiagrammet for regulatoren og solfangersystemet Af figur 7.19, fremgår det at kurven ligger til højre for punktet (-1,0) og derved er systemet stabilt efter Nyquists stabilitetskriterium. Efter det er vist at den samlede overføringsfunktion for regulatoren og solfangersystemet er stabil, vil der i næste kapitel blive forklaret, hvordan reguleringen implementeres på modellen, samt hvilken betydning det har at ændre på størrelserne af K P og K I. 73

82

83 Regulering af masseflow i solfangeranlæg 8 I dette kapitel vises en række grafer, hvor modellen reguleres af den regulator, der blev designet i afsnit 7.9 på side 68. Kapitlet har til formål at undersøge om den udviklede regulator er i stand til at regulere modellen af solfangeranlægget som ønsket. De grafer der bliver vist er bl.a. temperaturudviklingen i solfangeren og varmtvandsbeholderen, og forskellen herimellem, ved henholdsvis et fast og et variabelt solindfald. Ydermere plottes masseflowet, der bestemmes af regulatoren, for at undersøge om dette output virker realistisk i forhold til det fysiske system. Til sidst finjusteres regulatorens konstanter ved at simulere modellens temperaturudvikling over tid, styret af regulatoren med forskellige konstanter. 8.1 Test af regulator Til følgende eksempler anvendes data fra tabel 7.2 på side 55. Der tages udgangspunkt i reguleringssløjfen på figur 8.1, hvor sætpunktet er T s +5 C. Figur 8.1. Blokdiagram over reguleringssløjfen uden pumpe G c og G p vist på figur 8.1 er i dette afsnit, inden finjustering, givet ved: 35, 7 G p (s) = s + 1 0, 0282 s G c (s) = s (8.1) 75

84 Til den første simulering benyttes et konstant solindfald på 400 W, mens forbruget m 2 er sat til et gennemsnitligt masseflow på 0, kg. Masseflowet er afledt af de s gennemsnitlige forbrugsdata for en dag, for et enfamiliehus. Figur 8.2. Grafen illustrerer, hvordan T h og T s udvikler sig over syv døgn med et fast solindfald på 400 W når en PI-regulator styrer solfangeranlægget. Desuden m 2 vises masseflowets udvikling over samme periode. Størrelsen af masseflowet er vist på sekundæraksen Af figur 8.2 fremgår det, at regulatoren styrer masseflowet for at opnå en temperaturforskel mellem T h og T s på 5 C. I starten af simuleringsperioden stiger temperaturen i solfangeren, T h, hurtigt som følge af et højt konstant solindfald på 400 W. For at give T m 2 s en tilsvarende hurtig stigning, skruer regulatoren op for masseflowet, så der kan afsættes mere effekt i varmtvandsbeholderen. Derefter fremgår det at når temperaturstigningen i solfangeren aftager falder masseflowet, da der ikke kræves lige så stor en effektafsættelse for at opretholde temperaturforskellen på 5 C. Starttemperaturen i solfangeren er sat til 15 C, men på figur 8.2, ser det ud til at denne starter ved omkring 35 C. Dette skyldes at den første temperaturstigning sker så hurtig, at det ikke kan ses på en graf over syv døgn. Derfor er der på figur 8.3 på næste side, vist de første 2500 sekunder af den samme kurve. 76

85 Figur 8.3. Grafen viser de første 2500 sekunder, svarende til ca. 40 minutter, af figur 8.2 på forrige side Af figur 8.3 fremgår det tydeligt, at T h starter ved 15 C og i løbet af nogle få hundrede sekunder stiger til C. Temperaturen i varmtvandsbeholderen, ved varmeveksleren, starter på omkring 27 C, hvilket medfører at T h -T s i starten vil være negativ. Dette betyder også, at der i denne periode ikke skal være noget masseflow i anlægget, hvilket grafen også afspejler. Når temperaturen i solfangeren, T h, bliver 5 C højere end T s, starter regulatoren med at føde systemet med et masseflow der hurtigt stiger, for at sikre en temperaturforskel på 5 C. På figur 8.4 på næste side vises udviklingen af temperaturforskellen mellem solfangeren og varmtvandsbeholderen over den samme periode på syv døgn. 77

86 Figur 8.4. Grafen illustrerer, hvordan temperaturforskellen T h T s udvikler sig over syv døgn, når en PI-regulator styrer solfangeranlægget Som tidligere nævnt vil T h T s være negativ til at starte med. Dette illustreres på kurven for temperaturforskellen på figur 8.4. Når temperaturen i solfangeren begynder at stige, vil denne temperaturforskel blive positiv og for en periode, stige til omkring 7 C. Derefter falder temperaturforskellen igen, når regulatoren har startet pumpen og tilfører et masseflow. Som det næste scenarie, benyttes et varierende solindfald fra en dag i juni. Der henvises til figur 5.4 på side 38 for at se dette solindfald, mens forbruget igen er sat til et gennemsnitligt masseflow på 0, kg s. 78

87 Figur 8.5. Grafen illustrerer, hvordan T h og T s udvikler sig over et døgn med et varierende solindfald når en PI-regulator styrer solfangeranlægget. Samtidig vises masseflowets variation over et døgn. Størrelsen af masseflowet er vist på sekundæraksen Figur 8.5 illustrerer, hvordan T s falder i den første periode, da masseflowet er nul, hvorved varmtvandsbeholderen ikke får tilført energi fra solfangeren, men i stedet mister energi ved varmetab. Ligeledes fremgår det, hvordan T h er konstant i samme periode, da den er sat til omgivelsestemperaturen, som igen er antaget værende 15 C konstant. Det ses, hvordan T h stiger lige så snart solindfaldet stiger. På det tidspunkt, hvor T h er 5 C større end T s begynder masseflowet at stige, hvorfor T s også begynder at stige, da der overføres energi fra solfanger til varmtvandsbeholder. Regulatoren sørger for at holde forskellen mellem T h og T s på de ønskede 5 C. Masseflowet øges mens, solindfaldet stiger og efter 12 timer, hvor solindfaldet er aftagende, begynder masseflowet at falde. De små hakker på kurven for masseflow skyldes, at solindstrålingen er midlet i 15 minutters intervaller. Ved hvert hak forekommer der også et lille fald ved masseflows højere end ca. 0,04 kg. Dette fald s er forårsaget af, at solfangeren varmeveksler med varmtvandsbeholderen, hvorved temperaturforskellen bliver en smule mindre, da T s stiger. Ved masseflows under 0,04 kg synes masseflowet i hvert hak ikke at falde. Det skyldes at T s s i de perioder ikke stiger ret kraftigt. 79

88 Figur 8.6. Grafen illustrerer, hvordan temperaturforskellen, T h T s, udvikler sig over et døgn når en PI-regulator styrer solfangeranlægget Figur 8.6 viser, hvordan temperaturforskellen, T h T s, udvikler sig over et døgn i et solfangeranlæg styret af en PI-regulator. Det fremgår, at temperaturforskellen svinger op til ca. 7 C i stedet for de ønskede 5 C. Dette oversving kan justeres ved at finjustere PI-regulatoren. Denne finjustering vil blive beskrevet i afsnit 8.3 på side Effekt overført i varmeveksler Den effekt der overføres i varmeveksleren er afhængig af masseflowet, hvilket er forklaret i afsnit 7.1 på side 45. Det er derfor interessant, at undersøge den effekt der er overført fra solfangeren, via varmeveksleren, til tanken, henholdsvis når masseflowet styres af regulatoren og når masseflowet antager en fast værdi. Figur 8.7 på næste side viser et plot over et reguleret og et fast, højt masseflow over et døgn med et variabelt solindfald. På figur 8.7 på modstående side fremgår det, at det konstante masseflow kører hele døgnet. I virkeligheden vil der dog være en simpel on/off-regulering, der sørger for at pumpen først starter når der er en temperaturforskel mellem solfanger og varmtvandsbeholder, der er højere end et angivet kriterium. Dog vil der stadig være et højere masseflow, over perioden mellem femte og syttende time, med et konstant masseflow end ved et reguleret flow. 80

89 Figur 8.7. Grafen illustrerer et reguleret og et fast, højt masseflow hen over et døgn med varierende solindfald På figur 8.8 er vist kurver over den effekt, der flyttes af varmeveksleren for de to forskellige masseflow. Det fremgår af figur 8.8, at der ikke er en væsentlig forskel mellem den overførte effekt. Den tydeligste forskel forekommer omkring fem timer og nitten timer. Her fremgår det, at det faste, høje masseflow leverer en højere effekt end ved det PI-regulerede masseflow. Den højeste forskel forekommer omkring fem timer, hvor effekten fra det faste masseflow er 200 watt højere end det regulerede. Figur 8.8. Grafen illustrerer effektafgivelsen i varmeveksleren ved et reguleret og et fast, højt masseflow hen over et døgn med varierende solindfald Af figur 8.8 fremgår det, at over perioden på et døgn vil et høj konstant masseflow 81

90 og et reguleret masseflow nogenlunde overføre den samme effekt. Samtidig vises der på figur 8.7 på forrige side, at der ved et konstant masseflow, samlet set, vil være et højere masseflow og derved antages det, at det vil være nødvendig at tilføre pumpen en større mængde energi, for at opretholde det større masseflow. Derved kan det konkluderes at ved at benytte en trinløs regulator til at styre pumpen, vil det være muligt at køre ved et lavere gennemsnitlig masseflow, sammenlignet med, hvis der benyttes et konstant masseflow. At det er muligt at drive pumpen ved en lavere hastighed, vil kunne give anledning til at der kan spares effekt på pumpen og muligvis reducere slid. Her er der nogle faktorer, der skal tages højde for, som pumpens inertimoment og den isentropiske virkningsgrad, som funktion af den effekt pumpen skal yde. Disse aspekter vil der dog ikke arbejdes videre med i rapporten. Økonomisk besparelse ved reguleret masseflow Da det er muligt at reducere det gennemsnitlige masseflow i systemet ved at benytte en PI-regulator, men stadig overføre næsten den samme effekt fra solen til varmtvandsbeholderen, vil det være interessant at undersøge, hvilken økonomisk betydning dette vil have for driften af anlægget. For at kunne foretage en simpel økonomisk sammenligning i mellem effektforbruget for et konstant masseflow og variabelt masseflow foretages disse antagelser: Densiteten antages til 1002 kg, som er en middelværdi af værdierne fra tabel 4.1 s på side 14 Længden af rørene som forbinder solfangeren og varmtvandsbeholderen antages at være 15 meter inkl. varmeveksler Den isentropiske virkningsgrad for pumpen antages til 55 % Det antages at pumpen er i drift 13 timer i døgnet Elpris antages til kr. 1,66 per kwh inkl. skatter og afgifter [Energinord, 2010] Det gennemsnitlige, regulerede masseflow antages til 0,068 kg s data fra figur 8.7 på forrige side Det konstante, uregulerede masseflow antages til 0,117 kg s på baggrund af på baggrund af data fra figur 8.7 Det gennemsnitlige tryktab ved det regulerede masseflow antages til P a på baggrund af regressionsanalysen i kapitel 4.5 på side 27 Tryktabet ved konstant masseflow antages til P a på baggrund af regressionsanalysen i kapitel 4.5 Effektforbruget for en pumpe er givet ud fra formel 4.18 på side 27 og vist igen i formel 8.2 på næste side: 82

91 W pumpe = P ṁ ρ η (8.2) hvor: W pumpe = Effekten som skal tilføres til pumpen [W ] P = Tryktabet i rørsystemet [P a] ṁ = Masseflowet i rørsystemet [ ] kg s η = Den isentropiske virkningsgrad [ ] Værdier indsættes i formel 8.2 og resultaterne fremgår af formel 8.3 W pumpe,u = 7, 31 W pumpe,r = 2, 23 (8.3) hvor: W pumpe,u = Pumpens effekt for det uregulerede system [W ] W pumpe,r = Pumpens gennemsnitlige effekt for det regulerede system [W ] På baggrund af dette kan der konkluderes at den mængde energi, der kan spares, med udgangspunkt i en driftstid på 13 timer i døgnet 365 dage om året, er 24,1 kw h per år. Hvis der antages en elpris på 1,66 kr. kw h resultere i en årlig besparelse på 40 kr. inklusiv skat og afgifter, vil det En driftstid på 13 timer om dagen er dog højt sat. Driftsperioden er fremkommet af en gennemsnitlig dag i juni for Aalborgområdet. Derfor vil besparelsen givetvis være mindre end den ovenfor beregnede. Til gengæld vil et længere rørsystem give større tryktabsforskel og derved en større besparelse ved at anvende en reguleret pumpe, frem for en ureguleret pumpe. Det vides til gengæld ikke, hvilket konstant masseflow en solfangerpumpe typisk opererer med. Dette kan både være lavere og højere end det valgte og derved er besparelsen afhængig af, hvilket konstant masseflow der benyttes til beregningerne. For en enkelt familie har en besparelse på 40 kr. ikke den store betydning, men for samfundet kan det få betydning, hvis der findes tilpas mange anlæg med dette optimeringspotentiale. Der vil dog ikke blive analyseret yderligere på om det er økonomisk rentabelt, at designe nye solfangeranlæg med en implementeret regulering af masseflowet, med udgangspunkt i en økonomisk, årlig tilbagebetaling på 40 kr. 83

92 8.3 Finjustering af regulator Det ønskes at undersøge, hvordan forskellige K P - og K I -værdier påvirker systemet. Generelt vil effekten af proportionalleddet K P være et hurtigere transient respons, hvorved temperaturen hurtigere vil svinge ind til stationær tilstand. Integralleddet K I sløver generelt det transiente respons, mens det stationære respons forbedres. I dette tilfælde øges systemets orden fra type 0 til type 1, hvorved den stationære fejl fjernes, jævnfør tabel 7.6 på side 65. Figur 8.9 viser, hvordan temperaturforskellen, T h T s, udvikler sig over syv døgn, ved tre valgte proportionalled på hhv. 0,0282, 0,2820 og 2,8200. Temperaturforskellen starter i negativ, da starttemperaturen i solfangeren er 15 C, mens starttemperaturen i varmtvandsbeholderen er 32 C. Denne negative temperaturforskel ændrer sig hurtigt, da solfangerens dynamik er hurtigere end varmtvandsbeholderens, hvorfor der i dette tilfælde er zoomet på grafen for at illustrere, hvad et øget proportionalled tilføjer responset. Det observeres at der ved den designede regulator er en stationær fejl, som skyldes de konstante forstyrrelser, i form af solindfald, forbrug og varmetab fra varmtvandsbeholderen. Figur 8.9. Grafen illustrerer, hvordan T h T s udvikler sig over syv døgn. Der er vist en kurve for hvert af de følgende proportionalled: 0,0282, 0,2820 og 2,8200 Det fremgår af figur 8.6 på side 80, at når solindfaldet bliver nul, hvorved forstyrrelsen forsvinder, fjernes den stationære fejl og temperaturforskellen mellem T h og T s går imod 5 C. Af figur 8.9fremgår det, at når P-leddet øges med hhv. en faktor 10 og en faktor 100 opnås et hurtigere transient respons for T h T s. Endvidere fremgår det, at når proportionalleddet øges, minimeres den stationære fejl også. Dette skyldes at et forøget proportionalled undertrykker forstyrrelserne i 84

93 systemet. Forøgelse af proportionalleddet med en faktor 100, har ikke medført at systemet med regulator er blevet ustabilt. Figur Grafen illustrerer, hvordan masseflowet udvikler sig over syv døgn. Der er vist en kurve for hvert af følgende proportionalled: 0,0282, 0,2820 og 2,8200 Figur 8.10 viser, hvordan masseflowet styres af PI-regulatoren, ved tre forskellige proportionalled hhv. 0,0282, 0,2820 og 2,8200. Masseflowet vist for P-led på 2,82 har et opsving på ca. 0,23 kg. I databladet for et Compact 160L solfangeranlæg fra s Sonnenkraft, er der opgivet en pumpekarakteristik fra 0-14 l, hvorved det antages min at masseflowet leveret af pumpen vil ligge i dette interval. Derfor kan det konkluderes at det højeste masseflow på ca. 0,23 kg l, eller 13,8, er et realistisk flow. Dog skal s min det undersøges om pumpens dynamik gør den i stand til at følge regulatoren. 85

94 Figur Grafen illustrerer, hvordan T h T s udvikler sig over syv døgn. Der er vist en kurve for hvert af følgende integralled: 3, , 3, , 3, , 3, og 3, Figur 8.11 viser, hvordan temperaturforskellen mellem T h T s udvikler sig over syv døgn. Kurverne er vist for det designede integralled på 3, , samt integralleddet multipliceret med hhv. 100, 1.000, og Selvom integralleddet øges med en faktor , bliver systemet med regulator ikke ustabilt. Proportionalleddet er i denne sammenhæng holdt fast på 0,0282. Ved at forøge integralleddet med hhv. en faktor 100 og en faktor 1000 går temperaturdifferencen hurtigere mod de ønskede 5 C. Desuden illustrerer figuren, at temperaturdifferencen mellem T h T s ved det designede integralled, multipliceret med en faktor og en faktor , får et oversving. Dette oversving kan være problematisk, da det medfører at T s kommer tættere på T h, hvor den eneste mulighed for at T s kan falde er igennem varmetab fra varmtvandsbeholderen. Trods integralleddet multipliceres med en faktor , giver regulatoren maksimalt et masseflowsignal på 0,115 kg, svarende til cirka 7 l min. Dette masseflow er realistisk, set i forhold til, hvad en almindelig pumpe til et solfangeranlæg kan levere. s Opsummering af finjustering I det foregående afsnit er der varieret på størrelserne af K P og K I. Disse ændringer er blevet testet på modellen, for at undersøge, hvilken betydning det har for temperaturforskellen mellem T h og T s, samt for masseflowet. Ved at forøge proportionalleddet K P, kan denne undertrykke de konstante forstyrrelser og derved reducere den stationære fejl. Ydermere er der mulighed for at justere på 86

95 integralleddet K I. Ved at øge dette led, er det muligt at forbedre det transiente respons, men hvis leddet øges for meget, kan det resultere i et uønsket oversving i systemet. Den fysiske betydning af at øge integralleddet, afspejles i et forøget masseflow. Når masseflowet øges, stiger den effekt varmeveksleren afsætter og derfor går systemet hurtigere i stationær tilstand. Ud fra erfaring med finjustering på modellen, skulle der, hvis det havde været muligt, være foretaget en finjustering af regulatoren sammen med det fysiske system. Denne finjustering er nødvendig, da designreglerne som regulatoren er fremstillet efter kun er vejledende. Derfor skal regulatoren til det fysiske system justeres efter responset på det fysiske anlæg, hvorved der i regulatorbestemmelsen tages højde for eventuelle fejl fra modelantagelser og andre uforudsigelige hændelser. 87

96

97 Konklusion 9 Med henblik på at simulere temperaturudviklingen i et solfangeranlæg, er der udviklet en beregningsmodel i Simulink. Temperaturudviklingen bestemmes i modellen, på baggrund af energibevarelse, ved input af et valgt solindfald og forbrug, som kan være fast eller varierende, samt et fast masseflow. Senere blev modellen benyttet til at teste den udviklede regulering. Der blev opstillet et forsøgsanlæg, der skulle benyttes til at verificere modellen, men på grund af sen levering blev der ikke tid til at gennemføre forsøget. Da modellen tidligere havde vist rigtige tendenser, blev den benyttet videre. Ved at tilføre en regulator til modellen, varierer denne masseflowet for at opnå et ønsket sætpunkt. Dette sætpunkt blev valgt til at temperaturen i solfangeren, T h, skulle gå mod temperaturen i varmtvandsbeholderen, T s, plus 5 C. For at kunne tilføre en regulator til systemet blev modellen lineariseret. I et valgt arbejdspunkt gav den lineære model imidlertid ikke de samme resultater som den ulineære model, hvorfor der ikke arbejdes videre på denne. I stedet blev en overføringsfunktion for modellen bestemt ved hjælp af kurvefit, baseret på et fast solindfald og et fast masseflow. Videre blev overføringsfunktionen for solfangeranlægget testet for stabilitet. Der blev valgt at udvikle en PI-regulator til anlægget, da propertionalleddet kunne benyttes til at øge det transiente respons og intergralleddet ville fjerne den stationære fejl. Efter den endelige regulator var udviklet og implementeret i modellen, blev der opstillet flere scenarier for at undersøge temperaturudviklingen ved et masseflow styret af regulatoren. Disse resultater blev sammenlignet med tidligere resultater ved konstant masseflow, med henblik på at vurdere, om det var muligt at overføre den samme effekt ved et lavere gennemsnitligt masseflow. Set hen over et døgn er det, ved at benytte en trinløs regulator, muligt at overføre en næsten tilsvarende effekt, sammenlignet med et konstant, højt masseflow. Dette illustreres på figur 8.8 på side 81. Derved kan det konkluderes, at ved at benytte en trinløs regulator er det muligt at reducere det gennemsnitlige masseflow til anlægget og samtidig overføre en tilsvarende effekt i varmeveksleren. Denne reduktion i masseflow, gav 89

98 anledning til et reduceret effektforbrug af pumpen. Ved beregning, på baggrund af en række antagelser, blev der estimeret en årlig strømbesparelse svarende til 40 kr. Der blev ikke vurderet yderligere på om det ville være økonomisk rentabelt, at designe nye solfangeranlæg med en regulering af masseflowet, set i forhold til den årlige tilbagebetaling på 40 kr. 90

99 Perspektivering 10 I dette kapitel vil nogle af mulighederne for fremtidigt arbejde med udvikling af model og regulator, til et solfangeranlæg, blive beskrevet. Der er i forbindelse med modelleringen af solfangeranlægget gjort en række simplificeringer. Heriblandt er antagelsen om lineær temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen, ligeligt fordelt temperaturfordeling i solfangeren og intet varmetab i selve solfangeren og rørsystemet. Hvis der i stedet tages højde for disse ting, vil modellen give mere nøjagtige resultater. Dernæst kunne modellen med fordel udbygges til også at omfatte pumpen i systemet. Modellen vil derved modtage et spændings- eller frekvensinput og omsætte dette til et masseflow, i stedet for at modtage masseflowet direkte som input. Yderligere kunne der på pumpen foretages effektberegninger, hvormed det vil være muligt at sammenligne strømforbruget ved hhv. trinløs og on/off regulering, og dermed lave en mere præcis økonomisk vurdering. Disse beregninger kan ledes videre over i en uddybende økonomisk vurdering af hvorvidt det ville være en fordel at anvende en trinløs regulering. I en sådan vurdering kan der yderligere indgå overvejelser mht. ædinger i pumpens virkningsgrad i forhold til hvor i driftsområdet denne kører, samt slidtage. Videre kan modellen også udbygges til at medbringe tryktabsberegninger. Derved vil modellen kunne benyttes som et værktøj til at bestemme den rette pumpe til et givet anlæg, ud fra bl.a. min/max masseflow samt systemets tryktab. Ligesom ved modellen, er der i forbindelse med regulatordesignet foretaget flere simplificeringer. Det antages bl.a. at en sekundær varmekilde tager over og opretholder en temperatur i toppen af tanken på 60 C, dersom solfangeranlægget ikke dækker behovet. Den reguleringsegenskab er ikke med i denne rapport, men skal selvfølgelig indarbejdes i regulatoren inden den kan bruges på et faktisk solfangeranlæg til brugsvand. Yderligere bestemmes systemets overføringsfunktion ud fra et kurvefit til et førsteordenssystem, hvor solindfald, forbrug og masseflow holdes konstant. Hvis overføringsfunktionen i stedet bestemmes ved linearisering, opnås et mere generelt udtryk. Endvidere kan der i designet af regulatoren tages højde for eksempelvis solindfaldet hen over året. 91

100 Rent praktisk kunne der arbejdes videre med forsøget. Hvis pumpen implementeres i den matematiske model, ville det være muligt også at udføre reguleringen af anlægget i praksis. Data fra et forsøg kan sammenlignes med modellen inklusiv pumpe, den teoretiske regulator, samt eventuelle effektberegninger. Det skal her bemærkes at den regulator der fungerer bedst i teorien, ikke altid er den der fungerer bedst i praksis. 92

101 Litteratur Cengel, Yanus A. Cengel. Heat and mass transfer - A practical approach. ISBN: McGraw Hill, Cengel, Turner, og Cimbala, Yanus A. Cengel, Robert H. Turner, og John M. Cimbala. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. ISBN: McGraw Hill, Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie. Planning and Installing Solar Thermal Systems, DONG Energy. DONG Energy. Typisk vandforbrug. URL: typiskvandforbrug.aspx. Downloadet: Energinet.dk, Energinet.dk. Miljørapport 2008, Energinord, Energinord. Historiske aconto-priser. URL: http: // Downloadet: European Comission Joint Research Centre, -. European Comission Joint Research Centre. Photovoltaic Geographical Information System - Interactive Maps. URL: -. Downloadet: Heilmann, Thomas Heilmann. Systemanalyse og simulering. ISBN: HEILMANNs Forlag, Jannerup og Sørensen, Ole Jannerup og Paul Haase Sørensen. Reguleringsteknik. ISBN: Polyteknisk, Kreyszig, Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. ISBN: Wiley, Mathworks Inc, 2010a. Mathworks Inc. Help - Matlab. Hjælpe fil i Matlab, Mathworks Inc, 2010b. Mathworks Inc. Simulink - Simulation and Model-based Design. URL: Downloadet:

102 Nachi.org. Nachi.org. Solfangeranlæg. URL: Downloadet: Pedersen, 2010a. Henrik C. Pedersen. Anvendt reguleringsteknik. Forelæsning i anvendt reguleringsteknik, Pedersen, 2010b. Henrik C. Pedersen. Spørgsmål ang. regulering. Mail korrespondance, Pedersen og Andersen, Henrik C. Pedersen og Torben O. Andersen. Blokdiagrammer og blokdiagramsreduktioner. Hjælpelitteratur til forelæsning i anvendt reguleringsteknik, Phillips og Harbor, Charles L. Phillips og Royce D. Harbor. Feedback Control Systems. ISBN: Prentice Hall, Sahdev, -. Mukesh Sahdev. Centrifugal Pumps: Basics Concepts of Operation, Maintenance, and Troubleshooting, Part I. URL: -. Downloadet: Sol-eco, Sol-eco. Størrelse af solfangeranlæg. URL: Downloadet: Statens seruminstitut, Statens seruminstitut. Råd og anvisninger om Legionella,

103 Pumpe- og tryktabsligninger A I det følgende kapitel vil der blive udledt en række ligninger, der beskriver sammenhængen mellem et ønsket masseflow i den lukkede solfangerkreds og et omdrejningstal på pumpen. Videre vil der også blive opstillet en formel for tryktab. Til at begynde med tages der udgangspunkt i formlen for ændring af entropi, som fremgår af formel A.1. s = h T ν p T (A.1) hvor: s = Ændring i entropi [ ] J K h = Ændring i entalpi [ J ] kg T = Temperatur [K] [ ν = Specifik volumen ] m 3 kg p = Ændring i tryk [P a] Ændringen i entropi antages at være lig nul ved videre beregninger. Dette er ikke fysisk korrekt, men er nødvendigt for at gennemføre beregningerne. Dette giver mulighed for at opstille følgende udtryk: h = ν p (A.2) I formel A.3 ganges masseflowet på begge sider af lighedstegnet. h ṁ = ṁ ν p (A.3) hvor: ṁ = Masseflow [ ] kg s A

104 Formel A.4 viser at entalpiændringen ganget med masseflowet giver pumpeeffekten. P pump = h ṁ (A.4) hvor: P pump = Pumpeeffekt [W ] Af formel A.5 fremgår det at det specifikke volumen er lig den reciprokke af densiteten. ν = 1 ρ (A.5) hvor: ρ = Densitet [ kg m 3 ] Ud fra ligning A.4 og A.5 kan følgende udtryk opstilles: P pump = ṁ p ρ (A.6) Da entropiændringen i formel A.1 på side A blev antaget lig nul, er det nødvendigt at gange en isentropisk virkningsgrad på pumpeeffekten, eller gange med den reciprokke på den anden side af lighedstegnet, hvilket er gjort i formel A.7. Den isentropiske virkningsgrad er opgivet i pumpens datablad. P pump = ṁ p ρ η isentropisk (A.7) hvor: η isentropisk = Isentropisk virkningsgrad for pumpen [ ] Pumpeeffekten kan også udtrykkes således: P pump = ω τ (A.8) hvor: ω = Omdrejningstal for pumpe [ ] rad s τ = Moment for pumpe [N m] B

105 Ved at kombinere formel A.7 og A.8 på side B og isolere omdrejningstallet opnås følgende udtryk: ω = ṁ p ρ η isentropisk τ (A.9) Tryktab i rør I dette afsnit vil der blive gjort rede for de tab der finder sted i rørene i form af tryktab, hvilket forårsages af friktion mellem fluiden og røret. Viskositet Viskositet er en fluids indre træghed eller friktion. Når to fluider, eller en fluid og et fast stof, er i fysisk kontakt med modsatrettet bevægelse opstår friktion, ligesom tilfældet er, hvis to faste stoffer er i fysisk kontakt og bevæger sig modsatrettet. Viskositet er en materialeegenskab og er afhængig af temperatur og tryk. Væsker med en stigende temperatur har en faldende viskositet, mens gasser med stigende temperatur vil opleve en stigende viskositet [Cengel et al., 2008]. Hvis en fluid strømmer i et stillestående rør, vil det yderste grænselag af fluiden, som er i kontakt med røret, være stillestående. Dette fænomen kaldes no-slip condition. Hastighedsprofilen for fluiden vil derfor gå fra 0 m/s til den maksimale hastighed, der vil være i den midterste del af rørets tværsnit. Figur A.1 på side D illustrerer noslip condition, med en hastighedsprofil for de forskellige fluidlag, hvor det fremgår at hastigheden stiger med afstanden til pladen indtil den maksimale hastighed nås [Cengel et al., 2008]. C

106 Figur A.1. Viser hastighedsprofilen for en fluid. Det fremgår at hastigheden er nul ved overfladen af pladen [Cengel et al., 2008] Tryktab Tryktabet i et lukket system afhænger af om flowet er laminart eller turbulent og kan kontrolleres ved at udregne Reynoldstallet. Da tryktabet ikke bliver beregnet, men aflæst fra databladet vil udregning af Reynoldstallet ikke blive beskrevet yderligere. Formlen for tryktabet, for både laminar og turbulent flow, bliver opstillet for at forklare den tryktabsudvikling der er som en funktion af et øget masseflow. Denne formel er som følger: L P = f ρ V 2 D h 2 avg (A.10) hvor: P = Tryktab [P a] ρ = Fluidens densitet [ kg m 3 ] f = Darcy s friktionfaktor [ ] L = Længden af røret [m] D h = Hydraulisk diameter [m] V avg = Gennemsnitshastighed af fluiden [ m s ] Darcy s friktionsfaktor beregnes forskelligt for henholdsvis laminart og turbulent flow, men da dette ikke er nødvendigt i denne rapport, vil det ikke blive beskrevet. Ud fra formel A.10 kan det tydeligt konkluderes, at et højere masseflow vil resultere i et øget tryktab. Dette gælder dermed både for rørene, solfangeren og varmeveksleren. Udover det nævnte rørtab, beskrevet her over, forekommer også andre mindre rørtab, eksempelvis tab i knæk og bøjninger, udvidelser og indsnævringer, samlemuffer og D

107 ventiler. Disse elementer vil forårsage en øget turbulens i flowet. Årsagen til at disse tab kaldes mindre tab, er at disse i mange tilfælde vil kunne negligeres, specielt i lange rør, da tryktabet som konsekvens af viskositet vil være betydeligt større end de mindre tab. E

108

109 Linearisering B I dette kapitel udledes de lineariserede formler for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren. De endelige ligninger blev præsenteret i afsnit 7.3 på side 49 i rapporten. Linearisering af ligning for varmtvandsbeholder Formlen for varmtvandsbeholderen er som tidligere nævnt givet ved: m beholder c p,vand dt t dt = ṁ c p (T h T l )+ṁ forbrug c p,vand (T bund T top ) (T t T amb ) R tank (B.1) Venstresiden af udtrykket er lineært, forudsat at c p højresiden lineariseres. er konstant, hvorfor kun f(t h, T l, ṁ, ṁ forbrug, T t, T top ) = m beholder c p,vand dt t dt (B.2) Til linearisering af formel B.1 benyttes førsteordens taylorudvikling, hvorved følgende udtryk opnås: f(t h, T l, ṁ, ṁ forbrug, T t, T top ) = δf T h + δf T l + δf ṁ δt h Th (0) δt l Tl(0) δṁ ṁ(0) δf + ṁ forbrug + δf T t + δṁ forbrug ṁforbrug(0) δt t Tt(0) δf T top δt top Ttop(0) (B.3) Formel B.3 udregnes, hvilket giver følgende udtryk: G

110 f(t h, T l, ṁ, ṁ forbrug, T t, T top ) = ṁ (0) c p ( T h T l ) + ṁ c p (T h(0) T l(0) ) + ṁ forbrug c p,vand (T bund(0) T top(0) ) 1 R tank T t ṁ forbrug(0) c p,vand T top (B.4) Linearisering af ligning for varmeveksler Formlen for varmeveksleren er givet ved: UA (T h T s ) + (T l T s ) 2 = ṁ c p (T h T l ) (B.5) Venstresiden er lineær, hvorfor højresiden lineariseres: f(t h, T l, ṁ, ) = UA (T h T s ) + (T l T s ) 2 (B.6) Højresiden af formel B.6 lineariseres efter førsteordens taylorudvikling som tidligere beskrevet. Herved opnås udtrykket: f(t h, T l, ṁ, ) = δf T h + δf T l + δf ṁ δt h Th(0) δt l Tl(0) δṁ ṁ(0) (B.7) Herved opnås følgende udtryk for den lineariserede varmeveksler: f(t h, T l, ṁ) = ṁ (0) c p ( T h T l ) + ṁ c p (T h(0) T l(0) ) (B.8) H

111 Lineariseret model C Den lineære model er opstillet på baggrund af de lineariserede ligninger fra afsnit 7.3 på side 49. For at have en simpel modelopbygning er de tre ligninger omskrevet til at de forskellige konstanter er samlet til en konstant foran hver variabel. Dette kan ses for henholdsvis solfangeren, varmtvandsbeholderen og varmeveksleren: C 5 s T h(s) = C 1 Q sol(s) + C 2 T h(s) + C 3 T l(s) + C 4 ṁ (s) (C.1) hvor: C 1 = A η C 2 = -ṁ (0) c p C 3 = ṁ (0) c p C 4 = c p T l(0) - c p T h(0) C 5 = m vaeske c p K 7 s T t(s) = K 1 T h(s) +K 2 T l(s) +K 3 ṁ (s) +K 4 ṁ forbrug(s) +K 5 T t,(s) +K 6 T top(s) (C.2) hvor: K 1 = ṁ (0) c p K 2 = -ṁ (0) c p K 3 = c p T h(0) - c p T l(0) K 4 = c p,tank T 12 - c p,tank T top(0) K 5 = -UA tank K 6 = ṁ forbrug(0) c p,tank K 7 = m tank c p,tank M 4 ((T h T s ) + (T l T s )) = M 1 T h(s) + M 2 T l(s) + M 3 ṁ (s) (C.3) I

112 hvor: M 1 = ṁ (0) c p M 2 = -ṁ (0) c p M 3 = c p T h(0) - c p T l(0) M 4 = UA varmeveksler 2 På figur C.1 er den lineariserede model vist i Simulink. Ud fra figur C.1 fremgår det, hvordan de tre ligninger er koblet indbyrdes. Ved ligningen for varmtvandsbeholderen og solfangeren er der indsat en overføringsfunktionsblok, hvor dynamikken for de to systemer er placeret. På figur C.1 er stregene for T h, T l og T t navngivet. Figur C.1. Figuren illusterer den lineære model i Simulink J

113 Blokreducering D Der er en række regler der skal overholdes ved reducering af blokdiagrammer. Disse regler fremgår af tabellen herunder. K

114 Figur D.1. Tabellen viser regneregler for reducering af blokdiagrammer [Pedersen og Andersen, 2010] L

115 Forsøgsrapport E Formål Formålet med forsøget er at verificere den matematiske model, ved at anvende de samme materialekonstanter og forudsætninger i model og forsøg. Udstyr Til forsøget er der indkøbt et samlet solfangeranlæg hos Sonnenkraft, model Compact 160L. Sættet indeholder følgende dele: Solfanger SK500N Varmtvandsbeholder med varmeveksler ELB160R1E Pumpe, PSKR15 inkl. styring SKSC2 Ekspansionsbeholder AG18S Brugsvandsblandeventil TBM20 Frostvæske 5 l (Propylenglykol) - Skal blandes med vand i forholdet 40/60 Yderligere anvendt udstyr til forsøget fremgår herunder. 7 stk. termofølere, Type K (til montering i væske) Flowmåler på solfangerkreds (krav min: 0-14 l/min) Alupex rørsystem og fittings Vandur på forbrugskredsen Computer med LabVIEW Forlængerledning Vogn til solfangeranlæg 2200x1700mm M

116 Forsøgsopstilling og opbygning Solfangeranlægget kobles sammen som beskrevet i instruktionsmanualen og tryksættes inden det tages i brug. Anlægget opstilles på en vogn, så det nemt kan flyttes rundt. Figur E.1. Principskitse af forsøgsanlægget, hvorpå målepunkterne er markeret På anlægget monteres der desuden en flowmåler på solfangerkredsen og syv termofølere, som vist på figur E.1. Temperatursensorerne i rørene monteres på en sådan måde, at disse er i kontakt med væsken. Tt placeres midt i tanken og Ts placeres højdemæssigt midt for varmeveksleren. På figur E.2 er vist et billede, hvor anlægget er placeret på vognen, dog uden slanger, fittings og måleudstyr. Figur E.2. Figuren viser den fysiske opstilling, uden slanger, fittings og måleudstyr N

117 Hypoteser Det antages at resultaterne fra forsøget over temperaturudviklingen i tanken har samme tendenser som temperaturudviklingen der kan simuleres i modellen, hvis der benyttes samme materialekonstanter og input for masseflows. Der udføres forsøg med tre forskellige masseflow, som forventes at have indflydelse på størrelsen af temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen. Fremgangsmåde Forsøget udføres på en dag, hvor der ikke er overskyet for at opnå så stort et solindfald som muligt og dermed den største temperaturstigning. Vognen, med anlægget på, stilles på et åbent område udendørs for at undgå skygge i løbet af dagen. Anlægget placeres mod syd for at opnå det største solindfald. Da der ikke vil være nogen løbende regulering af anlægget benyttes de tre hastighedsindstillinger på pumpen. Der køres et forsøg med hver af de tre hastigheder og forsøget forløber over en hel dag, fra solopgang til solnedgang. For at simulere et forbrug lukkes der løbende varmt vand ud af varmtvandsbeholderen, ved at koble solfangeranlægget til en kølekreds. Dette forbrug måles ved hjælp af et vandur, så det samme forbrug senere kan indtastes i beregningsmodellen. Da der bruges et vandur til at måle forbruget, kan der kun benyttes konstant forbrug. Mens forsøget forløber opsamles målinger fra termofølerne, som er placeret som illustreret på figur E.1 på side N, ved hjælp af en dataopsamlingsboks og en computer med LabVIEW installeret. Udover disse målinger registreres også flowet gennem flowmålerne ved hjælp af LabVIEW. Inden forsøget sættes i gang er LabVIEW indstillet til at opsamle data med det ønskede interval, indtil forsøget er afsluttet. Da forsøget køres indtil der ikke er mere indstråling fra solen afsluttes anlægget og LabVIEWs dataopsamling manuelt. De registrerede målingerne gemmes i et regneark så de senere kan benyttes til sammenligning med resultaterne fra modellen og dermed ligge til grunde for verificeringen af beregningsmodellen. Dataopsamling Dataopsamlingen vil foregå med en dataopsamlingsboks tilkoblet en computer med LabVIEW installeret. I LabVIEW designes et program, så det er muligt at registrere inputs fra måleudstyret og gemme det på computeren. Det udstyr der skal O

118 tilkobles dataopsamlingsboksen, er en flowmåler og syv termofølere. Et forsimplet blokdiagram for dataopsamlingen fremgår af figur E.3. Figur E.3. Blokdiagram over dataopsamlingsprogrammet i LabVIEW Det forsimplede blokdiagram viser kun to temperaturmålinger og en flowmåling. Blokdiagrammet er opbygget som et whileloop, hvor dataopsamlingen er opbygget som tasks. Den øverste serie af blokke er designet til måling af temperaturer og eksporterer disse data til et regneark, så disse data kan benyttes som input til modellen senere. De nederste blokke har det formål at måle spændingen på flowmålerne. Denne spænding er ækvivalent til et givet masseflow. Denne databehandling foretages i et regnearkprogram udenfor LabVIEW, da der endnu ikke vides eksakt, hvilken flowmåler, der bliver benyttet. Måleusikkerhed Det benyttede måleudstyr har en tolerance, udstyret kan måle indenfor. Derfor er det væsentligt, at undersøge præcisionen af dette udstyr, for at vurdere om det har en væsentlig betydning for udfaldet af forsøget. Termofølere af typen K kan afvige med 1.5 C i temperaturspændet C og giver et output på 8mV ved 200 C Dataopsamlingsboks National Instruments USB-6215 har en præcision på 89 µv Der vil være en måleusikkerhed ved flowmåleren, dog er typen ikke kendt P