9. Binomialfordelingen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "9. Binomialfordelingen"

Transkript

1 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der agiver atal elemeter i stikprøve, der besidder de øskede egeskab A. X ~ b(, p), hvor: : Stikprøves størrelse / atal forsøg. p: Sadsylighede for at observere egeskabe A ved et ekelforsøg. Forudsætiger:. Et forsøg udføres gage.. Hver gag forsøget udføres, registreres om e hædelse A idtræffer eller ej. 3. Udfaldee af de ekelte forsøg er uafhægige. 4. Sadsylighede for hædelse A er p i alle forsøg, dvs. kostat Forvetig og varias Forvetig: E( X) p Varias : var( X) σ p ( p) Stadardafvigelse: σ p ( p) Aderse m. fl. s. 5, Overø m.fl. s. 73, Newbold s. 6, Løborg s. 34 Eksempel: I 999 blev e udersøgelse af HA-studeredes beståelsesprocet på. år. Fra studieævets side er ma iteresseret i, at ca. 75% af e årgag består til eksame på. år. Udersøgelse omfattede 55 elever meldte sig til eksame, hvoraf 47 bestod. COMPLET A/S - Side 39 - KOMPENDIUM I STATISTIK

2 Spørgsmål:. Opstil e model til beskrivelse af det foreliggede materiale og diskutér kort modelles forudsætiger. Uder forudsætig af, at studieævets dumpeprocet er gældede, øskes de æste to spørgsmål besvaret.. Hvor mage studerede bør ma forvete vil bestå til eksame, år der er 6 HAstuderede på årgage? 3. Fid stadardafvigelse på atal beståede. Svar:. Ma er iteresseret i hvor mage, der består til eksame. Da ma tæller atallet ud af e stikprøve, og da ma ete består eller dumper eksame, må der her være tale om e biomialfordelig. Lad X betege atal beståede til eksame. Da må der gælde: X ~ b(,p ) Der ka være problemer med forudsætigere 3 (p kostat) og 4 (de studerede er uafhægige). p er ku kostat, hvis de har haft samme uderviser, lærebøger osv., og de er ku uafhægige, hvis de ikke syder til eksame. Hvis stikprøve er tilfældigt udtaget, ka ma atage forudsætigere for opfyldte.. E (X) p 6,75 45 dvs. ma bør forvete, at der er 45 ud af 6, der består, hvis beståelsesprocete sættes til 75%. 3. Var (X) p ( p) 6,75 (,75), 5 og dermed s (X) Var(X),5, Sadsylighedsberegig Sadsylighede for et givet atal observatioer med egeskabe A bestemmes vha. følgede formel: ( ) p ( p) P X Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe BINOMDIST(; ; p; FALSE) Aderse m. fl. s. 3, Overø m.fl. s. 73, Newbold s. 58, Løborg s. 3 COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK

3 9.5. Regeregler for sadsyligheder ( X a) P( X a) P( X a ) ( X < a) P( X a ) ( X a) P( X a ) ( X > a) P( X a) ( a < X < b) P( X b ) P( X a) ( a < X b) P( X b) P( X a) ( a X < b) P( X b ) P( X a ) ( a X b) P( X b) P( X a ) P P P P P P P P (a, b hele tal, hvor a < b ) 9.6. Tabelopslag af biomialfordelige i Erlag S Oveståede formel i afsit 9.4 er som regel ikke ødvedig at avede til at bestemme sadsylighede for e give hædelse, da ma ka slå dee op i Erlag S. Biomialfordelige er tabelført for - på side 8-3. Tabeller fides også i Overø m.fl. s og Newbold s Det skal dog bemærkes, at ma ikke direkte ka bestemme puktsadsyligheder, me ku itervalhædelser som X 5 eller X 3. Tabelopslag af biomialfordelige foretages emmest ved at geemføre følgede tri:. Fid tabelle for det rigtige atal observatioer ().. Tabelle skal aflæses ud fra øverste vestre hjøre eller ederste højre hjøre, jvf. edeståede tabel. 3. Fid p. 4. Fid j (j atal observatioer med egeskabe A ). COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK

4 j / p,5,,5 /6,,5,3 /3,35,4,45,5 j/p 3 4,3585,6,388,7358,397,756,945,6769,449,984,867,6477,9974,9568,898,6,34,387,5665,7687,5,3,8,69,43,76,6,93,355,44,5,7,696,448,375,3,33,76,64,55,,,,,5,,,36,9,444,6,49,8,5,89,,,,3, ,9997,9887,937,,9976,978,,9996,994,,9999,9987,,,9998,898,969,9887,997,9994,84,67,464,933,7858,68,9679,898,773,99,959,8867,9974,986,95,97,4793,665,895,98,454,56,553,466,5,99,6,459,5,764,5956,443,878,7553,7,577, ,,,,,,,,,,,,,,,,9999,,,,,9994,996,989,9999,999,9949,,9998,9987,,,9997,,964,987, ,,,,,,,,,,,,,, Eksempler: Ud fra et samlebåd udvælges produkter, som skal udersøges for defekter. Erfarigsmæssigt ved ma, at % af produktere har defekter. Spørgsmål:. Opstil sadsylighedsfordelig.. Bereg sadsylighede for følgede hædelser: højst defekte, midst 5 defekte og etop 4 defekte. Svar: X ~ b(, p) b(,,) P(X ),6 BINOMDIST(; ;,; TRUE) P(X 5) - P(X 4) -,696,374 - BINOMDIST(4; ;,; TRUE) P(X 4) P(X 4) - P(X 3),696 -,44,8 BINOMDIST(4; ;,; FALSE) COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK

5 9.7. Estimatio Estimatet på adele / sadsylighed: pˆ pˆ ( pˆ) Estimatet på stadardafvigelse til estimatet på adele: s(pˆ) pˆ ( pˆ) Estimatet på variase til estimatet på adele: Vâr (pˆ) Aderse m. fl. s , Overø m.fl. s. 65, Newbold s Eksempel: I 999 blev e udersøgelse af HA-studeredes beståelsesprocet på. år. Fra studieævets side er ma iteresseret i, at ca. 75% af e årgag består til eksame på. år. Udersøgelse omfattede 55 elever meldte sig til eksame, hvoraf 47 bestod. Spørgsmål: Puktestimér modelles parameter og bestem stadardafvigelse herpå. Svar: Puktestimat (eller bare estimat) for p: pˆ Ved idsættelse får ma: 47 pˆ, pˆ ( pˆ),7554 (,7554) s (pˆ),83 55 (Aderse m.fl. s , Overø m.fl. s. 65, Newbold s. 35) 9.8. Kofidesiterval i biomialfordelige Et kofidesiterval for parametere p ka opfattes som et itervalestimat, idet itervallet består af alle parameterværdier, der udviser e rimelig grad af overesstemmelse med data. Ma siger, at itervallet med e sikkerhed på - omslutter de sade parameterværdi. COMPLET A/S - Side 43 - KOMPENDIUM I STATISTIK

6 (-)-kofidesiterval for p: pˆ ± u / s (p) p ± u / eller p ± u / Vâr (p) hvor u / er e Dee kaldes i Newbold for z. p( p) -fraktil i de stadardiserede ormalfordelig. Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV( ). Aderse m.fl. s. 6, Overø m.fl. s. 98, Newbold s. 747, Løborg s. 6 Et kofidesiterval for p med kofideskoefficiet - betyder, at p vil være i dette iterval med - sadsylighed eller i (-) af gagee. Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Spørgsmål: Opstil e model for data, og opstil et 95%-kofidesiterval for adele af tilfredse elever: Svar: X{atal persoer der svarer ja til at made er tilfredsstillede, i e stikprøve på 43 persoer} X ~ b 43,p, obs: 7. ( ) 7 pˆ, Et 95%-kofidesiterval: pˆ ( pˆ ),395(,395) pˆ ± u /,395 ±,96 [,488 ;,54] 43 dvs. med 95% sikkerhed ligger tilfredshedsadele mellem 4,88% og 54,%. COMPLET A/S - Side 44 - KOMPENDIUM I STATISTIK

7 Nødvedig stikprøvestørrelse,, for at få e kofidesiterval med bredde L (L er øvre græse mius edre græse) 4 p ( p) L ( u ) -/ Aderse m.fl. s., Newbold s. 36, Løborg s. 389 Eksempel: Med udgagspukt i førævte stikprøve bladt katiekudere, hvor stor skal stikprøve være, hvis oveævte iterval højst må have lægde,? Svar: Ved idsættelse får ma: u 4 L,96 pˆ ( pˆ) 4,,395 (,395) 367, Da stikprøvestørrelse skal være heltallig, rudes der altid op, dvs. ma får, at stikprøve skal være på midst 368 kuder. De beyttede formel har et idbygget problem. Ma øsker at fide e passede stikprøvestørrelse, før ma går ud og foretager stikprøveudtagelse. For at berege de passede stikprøvestørrelse, skal ma kede estimatet på adele, me det keder ma først efter, ma har foretaget stikprøveudtagelse. Da ma ka vise, at formle atager sit maksimum for pˆ,5, beytter ma i praksis ofte dee værdi. I oveævte tilfælde ville det give e stikprøvestørrelse på 384,6 dvs (-)-kofidesiterval for forskelle mellem to populatiosadele p og p y p p y ± u / s (p p y ) p p y ± u / Newbold s. 3 p p p y p y + y COMPLET A/S - Side 45 - KOMPENDIUM I STATISTIK

8 Eksempel: I forbidelse med udersøgelse i forrige opgave mht. katiekvalite registreredes samtidigt respodeteres kø. Bladt de 43 adspurgte var de 9 kvider og 4 mæd. af kvidere var tilfredse med kvalitete, mes ku 7 mæd sytes kvalitete var god ok. Spørgsmål:. Opstil e model til beskrivelse af det udvidede materiale.. Opstil et 95%-kofidesiterval for forskelle i kvalitetsbedømmelse mellem de to kø. Svar:. Da ma stadig tæller atallet ud af e stikprøve, og da ma ete er tilfreds eller ej, må der her være tale om to biomialfordeliger. Lad X i betege atal persoer som svarede ja til spørgsmålet om de var tilfredse med katies kvalitet, hvor i ka atage værdiere og. Da må der gælde: Xi ~ b( i,pi ) Idekset i idikerer, at der ka være forskel på værdiere, dvs. hverke stikprøvestørrelsere eller tilfredshedsprocetere behøver at være es. Ma må atage, at de to stikprøver er uafhægige af hiade.. Puktestimatet (eller bare estimatet) for p og p : (dvs tilfredshedsprocetere for hhv. kvider og mæd) pˆ pˆ 9 7 4,563,97 (-)-kofidesiterval for forskelle i adelee: Ved idsættelse får ma:,5363 ( 5363),97 (,97) (,563,97) ± u, ,346 ±,96,473,346 ±,887 [,54;,533] dvs. med 95% sikkerhed ligger de sade forskel i tilfredshedsadelee for de to kø mellem ca. -5% og ca. 5%. Bemærk specielt at itervallet ideholder værdie, hvilket betyder, at der ikke er oge sigifikat forskel i tilfredshedsadelee. COMPLET A/S - Side 46 - KOMPENDIUM I STATISTIK

9 9.9. Test i e biomialfordelig Ved test i e biomialfordelig ka ma ete berege sigifikassadsylighede direkte eller berege e teststørrelse, som derefter ete ka beyttes til at berege sigifikassadsylighede eller sammeliges med e kritisk værdi. Test vedr. p s størrelse ved beregig af sigifikassadsylighede : p p tal H ( ) H : p ( ) ( p 5 og p ( p) 5) eksakt p > P( X ) p p < P( X ) p Aderse m.fl. s., Overø m.fl. s. 84, Løborg s. approksimativt,5 p Φ p p +,5 p Φ p ( ) p mi, p mi(, ) ( ) ( ) I oveståede kasse ka det eksakte ku beyttes, hvis de pågældede biomialfordelig ka bereges ete ved at fide de i Erlag S (og det ka ma ku, hvis ) eller beytte Ecel eller lommereger. Ellers må ma øjes med de approksimative teststørrelse, som ku bør avedes, hvis p 5 og (- p) 5. I praksis vil det oftest være de approksimative test, ma aveder. Ved H : p po skal ma berege både og, og deræst tage det midste af de tal, og gage med to. Der gælder følgede: er midst,år > p er midst,år < p COMPLET A/S - Side 47 - KOMPENDIUM I STATISTIK

10 Test vedr. p s størrelse ved beregig af teststørrelse U : p p tal H ( ) pˆ p teststørrelse: U N(, ) p ( p ) H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: Φ u p > p u ( ) p < p u Φ( u ) p u Φ( u ) p Overø m.fl. s. 84, Newbold s. 348 u u u / Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på Hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Spørgsmål: Persoalet i katie påstår, at midst halvdele af de studerede er tilfredse med katie. Ka ma på baggrud af udersøgelse afvise påstade? Svar: H : p,5 ( ikke afvise) ( afvise) H : p <,5 Da e biomalfordelig med 43 ikke fides i Erlag S (se selv efter!), må vi ete berege sigifikassadsylighede i Ecel eller beytte et approksimativt test. Da pˆ 7 5 og ( pˆ ) 43(,395) 6 5, er det OK at beytte de approksimative test: Sigifikassadsylighede: ( X 7) P BINOMDIST(7; 43;,5; TRUE), eller approksimativt +,5 p Φ p 7,5 43,5 + Φ Φ ( p ) 43,5(,5 ) (,), COMPLET A/S - Side 48 - KOMPENDIUM I STATISTIK

11 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,). Da sigifikassadsylighede er større ed, 5 ka H accepteres, dvs. at katiepersoalets påstad ikke ka afvises. Eller ved beregig af teststørrelse: Teststørrelse: Ved idsættelse får ma: u p pˆ p ( p ),3953,5,5 (,5) 43,373 De observerede værdi beyttes ete til at berege sigifikassadsylighede eller til at sammelige med de kritiske værdi. Sigifikassadsylighed: ( u ) Φ da H : p < p ( u ) Φ(,373) Φ(,373), 849 Φ. Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,373) Alterativt ka ma sammelige med de kritiske værdi: Kritisk værdi: u 95 u,,645 da H er ekeltsidet, og,5 Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV(,95). Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, eller da sigifikassadsylighede er større ed iveauet, ka H accepteres, dvs. katiepersoalet ka have ret i deres påstad. COMPLET A/S - Side 49 - KOMPENDIUM I STATISTIK

12 9.. Bestemmelse af de kritiske værdi i biomialfordelige De kritiske værdi i biomialfordelige er de ekstreme observatiosværdier for de stokastiske variable X i, for hvilke H etop forkastes. Kritiske værdier C / og C -/ i e tosidet test (H : p p ) Det største C /, hvor P( X C / p p ) / C / CRITBINOM(; p; /) i Ecel Det midste C /, hvor P( X C / p p ) / C -/ CRITBINOM(; p; - /) + i Ecel Aderse m.fl. s. Kritiske værdi C - i e ekeltsidet test (H : p > p ) Det midste C - hvor P( X C p ) p C - CRITBINOM(; p; - ) + i Ecel Aderse m.fl. s. Kritiske værdi C i e ekeltsidet test (H : p < p ) Det største C hvor P ( X C p p ) C CRITBINOM(; p; ) i Ecel Aderse m.fl. s. 9.. Testes styrke i biomialfordelige Styrkefuktioe Styrkefuktioe η ( p ) for teste agiver sadsylighede for at observere e værdi af teststørrelse i forkastelsesområdet, dvs. sadsylighede for at forkaste H -hypotese. Dee sadsylighed afhæger af hvilke værdi af p, der avedes ved beregige, dvs. styrkefuktioe er e fuktio af p. Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p > p ( ) C p η p P(X C ) Φ p ( ), hvor p C - fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formle: C p + u p ( ) p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK

13 Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p < p ( ) C p η p P(X C ) Φ p ( ), hvor p C fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formle: C p u p ( ) p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p p ( ) C / p C / p η p P(X C / ) + P(X C / ) Φ + Φ ( ) ( ), hvor p p p p C / og C -/ fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formlere: C p u p ( ) ( ) / / p C / p + u / p p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på Hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Det atages u, at de ægte p p, 4, dvs. at i virkelighede er ku 4% af de studerede tilfredse med katie. Spørgsmål: Hvad er testes styrke, givet, 5? Svar: Da alterativet i oveståede test er <, skal de midterste formel beyttes: C CRITBINOM(; p; ) CRITBINOM(43;,5;,5) 5 eller approksimativt C C,5 p u,95 p ( p ) 43,5,645 43,5(,5 ) 6, Styrke bereges til: p η,4 P(X C ) P(X 5) BINOMDIST(5;43;,4;TRUE), ( ) ( ) 33 η eller approksimativt C p 6, 43,4 (p ) (,4) η η Φ Φ Φ p( p) 43,4(.4) (,34), 3669 COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK

14 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,34). Dvs. at sadsylighede for at forkaste de forkerte H -hypotese (de er forkert: hypotese siger, at p, 5, me ifølge opgavetekste er de i virkelighede ku p, 4 ) er 3,3% eller approksimativt 36,69%. COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK

15 9.. Sammeligig af to biomialfordeliger H : p p pˆ pˆ teststørrelse: u pˆ ( pˆ ) + + pˆ pˆ pˆ +, hvor Hvis stikprøvestørrelse er stor, dvs. over 3, ka ma ligeledes avede: u pˆ ( pˆ pˆ pˆ ) pˆ + ( pˆ ) H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: Φ u u p > p u ( ) p < p u Φ( u ) p u Φ( u ) p Aderse m.fl. s. 3, Newbold s. 36 u u / Eksempel: I forbidelse med udersøgelse omkrig katiekvalite registreredes samtidigt respodeteres kø. Bladt de 43 adspurgte var de 9 kvider og 4 mæd. af kvidere var tilfredse med kvalitete, mes ku 7 mæd sytes kvalitete var god ok. Spørgsmål: Udersøg om tilfredshedsadele er forskellig for kvider og mæd. Svar: Det er ige et spørgsmål, ma har lyst til at besvare med ja eller ej, og det vil sige, at ma skal teste: Hypotese: H : p p H : p p tilfredshedsadele er es tilfredshedsadele er forskellig. COMPLET A/S - Side 53 - KOMPENDIUM I STATISTIK

16 Teststørrelse: Ved idsættelse får ma:,563,97,346 u,563 hvor,5,3953 (,3953) ( + ) pˆ, Kritisk værdi: u u, 975,96 da hypotese er dobbeltsidet, og,5 Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV(,975). Dee skal forstås både som,96 og +,96. De observerede værdi må ikke ligge ude for dette iterval, hvis hypotese ikke skal forkastes. Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, ka hypotese ikke forkastes, dvs. tilfredshedsadele for de to kø er ikke sigifikat forskellige. Sigifikassadsylighed: Ma ka fide sigifikassadsylighede vha. de observerede værdi. Da hypotese er dobbeltsidet, får ma: Φ(,563 ) Φ(,563),5938,87 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,563). Koklusio: Da sigifikassadsylighede er større ed sigifikasiveauet,5, ka hypotese ikke forkastes, og ma får (heldigvis) samme koklusio som før. COMPLET A/S - Side 54 - KOMPENDIUM I STATISTIK

17 9.3. Sammeligig af to eller flere biomialfordeliger Disse tests løses som homogeitetstests i e kotigestabel vha. teststørrelse Q (se side 6). H : p p... pi teststørrelse: q i j ij I J i j forv i j i ij j I J ( obsij forv ij ) ij er observatioe i de ij te celle, og J I i ij, j ij, j i I J i j ij, hvor H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: i, j : p i p j P( Q q Q ~ χ ( I J )) χ I J q ( )( ) (( )( )) Aderse m.fl. s. 338, Overø m.fl. s., Newbold s. 47, Løborg s. 38. Eksempel: De før ævte udersøgelse omkrig katiekvalite fadt sted i 994. I de følgede år registreredes på ligede måde tilfredshedsgrade. Udersøgelse strak sig over fire år, og de observerede data ser således ud: Tilfredse Utilfredse SUM Spørgsmål: Fra katies side er ma meget iteresserede i, om tilfredshedsgrade har udvist e stigede tedes. Udersøg om det er rimeligt at atage, at tilfredshedsgrade har foradret sig over åree. Svar: Det er et spørgsmål, ma har lyst til at besvare med ja eller ej, og det vil sige, at ma skal teste: COMPLET A/S - Side 55 - KOMPENDIUM I STATISTIK

18 Hypotese: H : p p p 3 p 4 dvs. tilfredshedsgrade er kostat H : tilfredshedsgrade har foradret sig. Teststørrelse: I virkelighede er det u bare at bruge formle i oveståede kasse til at berege e teststørrelse (kaldet q), me for at holde styr på de mage mellemregiger, laver ma typisk tre hjælpetabeller, kaldet Observeret, Forvetet og q-led. Observeret tabelle: Her idsættes blot de observerede værdier fra opgave, og der summeres vadret og lodret: SUM Tilfredse Utilfredse SUM Forvetet tabelle: Her overføres summere fra de oveståede tabel, og idmade i tabelle bereges som Søjlesum Rækkesum / Totalsum. Eksempelvis i første celle (tilfredse/994): 88 43, SUM Tilfredse, 3,75 7,69 6,54 88 Utilfredse,98 7,5,3 3,46 SUM q-led tabelle Her beytter vi formle: q - led ( obs - forv). forv Eksempelvis i første celle (tilfredse/994): ( 7, ),, SUM Tilfredse,46,7,6,9,4 Utilfredse,4,6,54,8,8 SUM,86,3,6,7,3 COMPLET A/S - Side 56 - KOMPENDIUM I STATISTIK

19 Teststørrelse Teststørrelse q er u blot summe af elemetere i q-led tabelle (deraf avet), dvs. q,3 Kritiske værdi: De kritiske værdi bliver χ (( I )( J ) ) χ (( )( 4 ) ) χ ( 3) 7, 8,5,95. Dee ka også fides i Ecel vha. fuktioe CHIINV(; (I-)(J-)) CHIINV(,5; (-)(4-)) 7,847. Koklusio: Da de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, bliver H ikke forkastet på et, 5 iveau. Dvs., at ma ka atage, at tilfredshedsgrade har været kostat, og at udsvigee skyldtes tilfældigheder. Sigifikassadsylighed: P Q q Q ~ χ I ( (( )( J ) )) P Q q Q ~ χ (( I )( J ) ) ( ) I tabelle på side 38 uder 3 frihedsgrader ka ma aflæse, at de observerede værdi,3 ligger mellem 5%-fraktile (,) og 5%-fraktile (,37). Dette må betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem - 5% 5% og - 5% 75%. Sigifikassadsylighede ka fides i Ecel vha. fuktioe CHIDIST(q; (I-)(J-)) CHIDIST(,3; (-)(4-)),587. COMPLET A/S - Side 57 - KOMPENDIUM I STATISTIK

20 X {atal gage hædelse?? idtræffer ud af mulige}, dvs. X, og X er et helt tal. X~ b (,p ) p er kedt p er ukedt, (tal) opgives Biomialford ssh. regig: (side 4) a la: P(X ) tal Ubekedt: - tal (de typiske) - - Hvis vi skal fide tal > (side 6) ormalfordelig, hvor: µ p σ p ( p ) p ( p ) σ (+ korrektio på,5) Estimatio (side 45) pˆ ( ) s pˆ pˆ ( pˆ ) 95% KI (side 46) pˆ ±,96 ( ) s pˆ biomialford p påstået Test i bio (side 49) H: p tal H: p?? tal sigi. ssh: Test i bio (side 53) H: p p H: p?? p sigi. ssh: Altid via ormalford. Biomialford > Normalfordelig, COMPLET A/S - Side 58 - KOMPENDIUM I STATISTIK

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Adfærdsmodel for persontrafik

Adfærdsmodel for persontrafik Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS Adfærdsmodel for persotrafik Faglig rapport fra DMU, r. 348 Marts 2001 [Tom side] Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

RV Unique mop-guide. til alle overflader

RV Unique mop-guide. til alle overflader til alle overflader RV Uique mopguide - ét sortimet til alle gulvoverflader I dee brochure fider du et bredt sortimet af mopper til regørig af alle former for gulvoverfalder. Vi har sammesat et sortimet

Læs mere

Opbygning og vedligeholdelse a procesanlæg

Opbygning og vedligeholdelse a procesanlæg Opbygig og vedligehold a procesalæg SESAM præsetatio Leif Taagberg Direktør, Taagberg Pro-Cosult Jes Norlig Mathiasse PCS7 Produktmaager, Siemes Siemes A/S 2013 SESAM præsetatio Hi [13]. All rights r gig

Læs mere

Skolesektionen på www.ballerup.dk

Skolesektionen på www.ballerup.dk Skolesektionen på www.ballerup.dk Louise Callisen Dyhr (ldyh) Marie Louise Gottlieb Frederiksen (mgfr) Janus Askø Madsen (jaam) Nanna Petersen (nshy) Antal tegn: 28319 Afleveringsdato: 21. maj 2014 1 Indledning...

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System Itelliget Drivesystems, Worldwide Services DK Alumiiumsgear og -motorer Fås med Sealed Surface Coversio System NORD Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Fordele ved alumiiumsgear Korrosiosbestadigt

Læs mere

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen Professioel IT-forudersøgelse og MUST-metode Jesper Simose simose@ruc.dk www.ruc.dk/~simose Datalogi, hus 42.1 Roskilde Uiversitetsceter Uiversitetsvej 1 4000 Roskilde Telefo: 4674 2000 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere