9. Binomialfordelingen
|
|
- Jens Nissen
- 2 år siden
- Visninger:
Transkript
1 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der agiver atal elemeter i stikprøve, der besidder de øskede egeskab A. X ~ b(, p), hvor: : Stikprøves størrelse / atal forsøg. p: Sadsylighede for at observere egeskabe A ved et ekelforsøg. Forudsætiger:. Et forsøg udføres gage.. Hver gag forsøget udføres, registreres om e hædelse A idtræffer eller ej. 3. Udfaldee af de ekelte forsøg er uafhægige. 4. Sadsylighede for hædelse A er p i alle forsøg, dvs. kostat Forvetig og varias Forvetig: E( X) p Varias : var( X) σ p ( p) Stadardafvigelse: σ p ( p) Aderse m. fl. s. 5, Overø m.fl. s. 73, Newbold s. 6, Løborg s. 34 Eksempel: I 999 blev e udersøgelse af HA-studeredes beståelsesprocet på. år. Fra studieævets side er ma iteresseret i, at ca. 75% af e årgag består til eksame på. år. Udersøgelse omfattede 55 elever meldte sig til eksame, hvoraf 47 bestod. COMPLET A/S - Side 39 - KOMPENDIUM I STATISTIK
2 Spørgsmål:. Opstil e model til beskrivelse af det foreliggede materiale og diskutér kort modelles forudsætiger. Uder forudsætig af, at studieævets dumpeprocet er gældede, øskes de æste to spørgsmål besvaret.. Hvor mage studerede bør ma forvete vil bestå til eksame, år der er 6 HAstuderede på årgage? 3. Fid stadardafvigelse på atal beståede. Svar:. Ma er iteresseret i hvor mage, der består til eksame. Da ma tæller atallet ud af e stikprøve, og da ma ete består eller dumper eksame, må der her være tale om e biomialfordelig. Lad X betege atal beståede til eksame. Da må der gælde: X ~ b(,p ) Der ka være problemer med forudsætigere 3 (p kostat) og 4 (de studerede er uafhægige). p er ku kostat, hvis de har haft samme uderviser, lærebøger osv., og de er ku uafhægige, hvis de ikke syder til eksame. Hvis stikprøve er tilfældigt udtaget, ka ma atage forudsætigere for opfyldte.. E (X) p 6,75 45 dvs. ma bør forvete, at der er 45 ud af 6, der består, hvis beståelsesprocete sættes til 75%. 3. Var (X) p ( p) 6,75 (,75), 5 og dermed s (X) Var(X),5, Sadsylighedsberegig Sadsylighede for et givet atal observatioer med egeskabe A bestemmes vha. følgede formel: ( ) p ( p) P X Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe BINOMDIST(; ; p; FALSE) Aderse m. fl. s. 3, Overø m.fl. s. 73, Newbold s. 58, Løborg s. 3 COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK
3 9.5. Regeregler for sadsyligheder ( X a) P( X a) P( X a ) ( X < a) P( X a ) ( X a) P( X a ) ( X > a) P( X a) ( a < X < b) P( X b ) P( X a) ( a < X b) P( X b) P( X a) ( a X < b) P( X b ) P( X a ) ( a X b) P( X b) P( X a ) P P P P P P P P (a, b hele tal, hvor a < b ) 9.6. Tabelopslag af biomialfordelige i Erlag S Oveståede formel i afsit 9.4 er som regel ikke ødvedig at avede til at bestemme sadsylighede for e give hædelse, da ma ka slå dee op i Erlag S. Biomialfordelige er tabelført for - på side 8-3. Tabeller fides også i Overø m.fl. s og Newbold s Det skal dog bemærkes, at ma ikke direkte ka bestemme puktsadsyligheder, me ku itervalhædelser som X 5 eller X 3. Tabelopslag af biomialfordelige foretages emmest ved at geemføre følgede tri:. Fid tabelle for det rigtige atal observatioer ().. Tabelle skal aflæses ud fra øverste vestre hjøre eller ederste højre hjøre, jvf. edeståede tabel. 3. Fid p. 4. Fid j (j atal observatioer med egeskabe A ). COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK
4 j / p,5,,5 /6,,5,3 /3,35,4,45,5 j/p 3 4,3585,6,388,7358,397,756,945,6769,449,984,867,6477,9974,9568,898,6,34,387,5665,7687,5,3,8,69,43,76,6,93,355,44,5,7,696,448,375,3,33,76,64,55,,,,,5,,,36,9,444,6,49,8,5,89,,,,3, ,9997,9887,937,,9976,978,,9996,994,,9999,9987,,,9998,898,969,9887,997,9994,84,67,464,933,7858,68,9679,898,773,99,959,8867,9974,986,95,97,4793,665,895,98,454,56,553,466,5,99,6,459,5,764,5956,443,878,7553,7,577, ,,,,,,,,,,,,,,,,9999,,,,,9994,996,989,9999,999,9949,,9998,9987,,,9997,,964,987, ,,,,,,,,,,,,,, Eksempler: Ud fra et samlebåd udvælges produkter, som skal udersøges for defekter. Erfarigsmæssigt ved ma, at % af produktere har defekter. Spørgsmål:. Opstil sadsylighedsfordelig.. Bereg sadsylighede for følgede hædelser: højst defekte, midst 5 defekte og etop 4 defekte. Svar: X ~ b(, p) b(,,) P(X ),6 BINOMDIST(; ;,; TRUE) P(X 5) - P(X 4) -,696,374 - BINOMDIST(4; ;,; TRUE) P(X 4) P(X 4) - P(X 3),696 -,44,8 BINOMDIST(4; ;,; FALSE) COMPLET A/S - Side 4 - KOMPENDIUM I STATISTIK
5 9.7. Estimatio Estimatet på adele / sadsylighed: pˆ pˆ ( pˆ) Estimatet på stadardafvigelse til estimatet på adele: s(pˆ) pˆ ( pˆ) Estimatet på variase til estimatet på adele: Vâr (pˆ) Aderse m. fl. s , Overø m.fl. s. 65, Newbold s Eksempel: I 999 blev e udersøgelse af HA-studeredes beståelsesprocet på. år. Fra studieævets side er ma iteresseret i, at ca. 75% af e årgag består til eksame på. år. Udersøgelse omfattede 55 elever meldte sig til eksame, hvoraf 47 bestod. Spørgsmål: Puktestimér modelles parameter og bestem stadardafvigelse herpå. Svar: Puktestimat (eller bare estimat) for p: pˆ Ved idsættelse får ma: 47 pˆ, pˆ ( pˆ),7554 (,7554) s (pˆ),83 55 (Aderse m.fl. s , Overø m.fl. s. 65, Newbold s. 35) 9.8. Kofidesiterval i biomialfordelige Et kofidesiterval for parametere p ka opfattes som et itervalestimat, idet itervallet består af alle parameterværdier, der udviser e rimelig grad af overesstemmelse med data. Ma siger, at itervallet med e sikkerhed på - omslutter de sade parameterværdi. COMPLET A/S - Side 43 - KOMPENDIUM I STATISTIK
6 (-)-kofidesiterval for p: pˆ ± u / s (p) p ± u / eller p ± u / Vâr (p) hvor u / er e Dee kaldes i Newbold for z. p( p) -fraktil i de stadardiserede ormalfordelig. Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV( ). Aderse m.fl. s. 6, Overø m.fl. s. 98, Newbold s. 747, Løborg s. 6 Et kofidesiterval for p med kofideskoefficiet - betyder, at p vil være i dette iterval med - sadsylighed eller i (-) af gagee. Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Spørgsmål: Opstil e model for data, og opstil et 95%-kofidesiterval for adele af tilfredse elever: Svar: X{atal persoer der svarer ja til at made er tilfredsstillede, i e stikprøve på 43 persoer} X ~ b 43,p, obs: 7. ( ) 7 pˆ, Et 95%-kofidesiterval: pˆ ( pˆ ),395(,395) pˆ ± u /,395 ±,96 [,488 ;,54] 43 dvs. med 95% sikkerhed ligger tilfredshedsadele mellem 4,88% og 54,%. COMPLET A/S - Side 44 - KOMPENDIUM I STATISTIK
7 Nødvedig stikprøvestørrelse,, for at få e kofidesiterval med bredde L (L er øvre græse mius edre græse) 4 p ( p) L ( u ) -/ Aderse m.fl. s., Newbold s. 36, Løborg s. 389 Eksempel: Med udgagspukt i førævte stikprøve bladt katiekudere, hvor stor skal stikprøve være, hvis oveævte iterval højst må have lægde,? Svar: Ved idsættelse får ma: u 4 L,96 pˆ ( pˆ) 4,,395 (,395) 367, Da stikprøvestørrelse skal være heltallig, rudes der altid op, dvs. ma får, at stikprøve skal være på midst 368 kuder. De beyttede formel har et idbygget problem. Ma øsker at fide e passede stikprøvestørrelse, før ma går ud og foretager stikprøveudtagelse. For at berege de passede stikprøvestørrelse, skal ma kede estimatet på adele, me det keder ma først efter, ma har foretaget stikprøveudtagelse. Da ma ka vise, at formle atager sit maksimum for pˆ,5, beytter ma i praksis ofte dee værdi. I oveævte tilfælde ville det give e stikprøvestørrelse på 384,6 dvs (-)-kofidesiterval for forskelle mellem to populatiosadele p og p y p p y ± u / s (p p y ) p p y ± u / Newbold s. 3 p p p y p y + y COMPLET A/S - Side 45 - KOMPENDIUM I STATISTIK
8 Eksempel: I forbidelse med udersøgelse i forrige opgave mht. katiekvalite registreredes samtidigt respodeteres kø. Bladt de 43 adspurgte var de 9 kvider og 4 mæd. af kvidere var tilfredse med kvalitete, mes ku 7 mæd sytes kvalitete var god ok. Spørgsmål:. Opstil e model til beskrivelse af det udvidede materiale.. Opstil et 95%-kofidesiterval for forskelle i kvalitetsbedømmelse mellem de to kø. Svar:. Da ma stadig tæller atallet ud af e stikprøve, og da ma ete er tilfreds eller ej, må der her være tale om to biomialfordeliger. Lad X i betege atal persoer som svarede ja til spørgsmålet om de var tilfredse med katies kvalitet, hvor i ka atage værdiere og. Da må der gælde: Xi ~ b( i,pi ) Idekset i idikerer, at der ka være forskel på værdiere, dvs. hverke stikprøvestørrelsere eller tilfredshedsprocetere behøver at være es. Ma må atage, at de to stikprøver er uafhægige af hiade.. Puktestimatet (eller bare estimatet) for p og p : (dvs tilfredshedsprocetere for hhv. kvider og mæd) pˆ pˆ 9 7 4,563,97 (-)-kofidesiterval for forskelle i adelee: Ved idsættelse får ma:,5363 ( 5363),97 (,97) (,563,97) ± u, ,346 ±,96,473,346 ±,887 [,54;,533] dvs. med 95% sikkerhed ligger de sade forskel i tilfredshedsadelee for de to kø mellem ca. -5% og ca. 5%. Bemærk specielt at itervallet ideholder værdie, hvilket betyder, at der ikke er oge sigifikat forskel i tilfredshedsadelee. COMPLET A/S - Side 46 - KOMPENDIUM I STATISTIK
9 9.9. Test i e biomialfordelig Ved test i e biomialfordelig ka ma ete berege sigifikassadsylighede direkte eller berege e teststørrelse, som derefter ete ka beyttes til at berege sigifikassadsylighede eller sammeliges med e kritisk værdi. Test vedr. p s størrelse ved beregig af sigifikassadsylighede : p p tal H ( ) H : p ( ) ( p 5 og p ( p) 5) eksakt p > P( X ) p p < P( X ) p Aderse m.fl. s., Overø m.fl. s. 84, Løborg s. approksimativt,5 p Φ p p +,5 p Φ p ( ) p mi, p mi(, ) ( ) ( ) I oveståede kasse ka det eksakte ku beyttes, hvis de pågældede biomialfordelig ka bereges ete ved at fide de i Erlag S (og det ka ma ku, hvis ) eller beytte Ecel eller lommereger. Ellers må ma øjes med de approksimative teststørrelse, som ku bør avedes, hvis p 5 og (- p) 5. I praksis vil det oftest være de approksimative test, ma aveder. Ved H : p po skal ma berege både og, og deræst tage det midste af de tal, og gage med to. Der gælder følgede: er midst,år > p er midst,år < p COMPLET A/S - Side 47 - KOMPENDIUM I STATISTIK
10 Test vedr. p s størrelse ved beregig af teststørrelse U : p p tal H ( ) pˆ p teststørrelse: U N(, ) p ( p ) H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: Φ u p > p u ( ) p < p u Φ( u ) p u Φ( u ) p Overø m.fl. s. 84, Newbold s. 348 u u u / Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på Hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Spørgsmål: Persoalet i katie påstår, at midst halvdele af de studerede er tilfredse med katie. Ka ma på baggrud af udersøgelse afvise påstade? Svar: H : p,5 ( ikke afvise) ( afvise) H : p <,5 Da e biomalfordelig med 43 ikke fides i Erlag S (se selv efter!), må vi ete berege sigifikassadsylighede i Ecel eller beytte et approksimativt test. Da pˆ 7 5 og ( pˆ ) 43(,395) 6 5, er det OK at beytte de approksimative test: Sigifikassadsylighede: ( X 7) P BINOMDIST(7; 43;,5; TRUE), eller approksimativt +,5 p Φ p 7,5 43,5 + Φ Φ ( p ) 43,5(,5 ) (,), COMPLET A/S - Side 48 - KOMPENDIUM I STATISTIK
11 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,). Da sigifikassadsylighede er større ed, 5 ka H accepteres, dvs. at katiepersoalets påstad ikke ka afvises. Eller ved beregig af teststørrelse: Teststørrelse: Ved idsættelse får ma: u p pˆ p ( p ),3953,5,5 (,5) 43,373 De observerede værdi beyttes ete til at berege sigifikassadsylighede eller til at sammelige med de kritiske værdi. Sigifikassadsylighed: ( u ) Φ da H : p < p ( u ) Φ(,373) Φ(,373), 849 Φ. Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,373) Alterativt ka ma sammelige med de kritiske værdi: Kritisk værdi: u 95 u,,645 da H er ekeltsidet, og,5 Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV(,95). Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, eller da sigifikassadsylighede er større ed iveauet, ka H accepteres, dvs. katiepersoalet ka have ret i deres påstad. COMPLET A/S - Side 49 - KOMPENDIUM I STATISTIK
12 9.. Bestemmelse af de kritiske værdi i biomialfordelige De kritiske værdi i biomialfordelige er de ekstreme observatiosværdier for de stokastiske variable X i, for hvilke H etop forkastes. Kritiske værdier C / og C -/ i e tosidet test (H : p p ) Det største C /, hvor P( X C / p p ) / C / CRITBINOM(; p; /) i Ecel Det midste C /, hvor P( X C / p p ) / C -/ CRITBINOM(; p; - /) + i Ecel Aderse m.fl. s. Kritiske værdi C - i e ekeltsidet test (H : p > p ) Det midste C - hvor P( X C p ) p C - CRITBINOM(; p; - ) + i Ecel Aderse m.fl. s. Kritiske værdi C i e ekeltsidet test (H : p < p ) Det største C hvor P ( X C p p ) C CRITBINOM(; p; ) i Ecel Aderse m.fl. s. 9.. Testes styrke i biomialfordelige Styrkefuktioe Styrkefuktioe η ( p ) for teste agiver sadsylighede for at observere e værdi af teststørrelse i forkastelsesområdet, dvs. sadsylighede for at forkaste H -hypotese. Dee sadsylighed afhæger af hvilke værdi af p, der avedes ved beregige, dvs. styrkefuktioe er e fuktio af p. Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p > p ( ) C p η p P(X C ) Φ p ( ), hvor p C - fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formle: C p + u p ( ) p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK
13 Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p < p ( ) C p η p P(X C ) Φ p ( ), hvor p C fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formle: C p u p ( ) p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 Styrkefuktioe for e test af H : p p mod alterativet H : p p ( ) C / p C / p η p P(X C / ) + P(X C / ) Φ + Φ ( ) ( ), hvor p p p p C / og C -/ fides i oveståede kasser eller approksimativt vha. formlere: C p u p ( ) ( ) / / p C / p + u / p p Aderse m.fl. s. -4, Overø m.fl. s. 79 Eksempel: I e rudspørge bladt 43 studerede på Hadelshøjskole i Købehav har ma spurgt respodetere, om de er tilfredse med made i katie. 7 svarede ja, mes reste svarede ej. Det atages u, at de ægte p p, 4, dvs. at i virkelighede er ku 4% af de studerede tilfredse med katie. Spørgsmål: Hvad er testes styrke, givet, 5? Svar: Da alterativet i oveståede test er <, skal de midterste formel beyttes: C CRITBINOM(; p; ) CRITBINOM(43;,5;,5) 5 eller approksimativt C C,5 p u,95 p ( p ) 43,5,645 43,5(,5 ) 6, Styrke bereges til: p η,4 P(X C ) P(X 5) BINOMDIST(5;43;,4;TRUE), ( ) ( ) 33 η eller approksimativt C p 6, 43,4 (p ) (,4) η η Φ Φ Φ p( p) 43,4(.4) (,34), 3669 COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK
14 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,34). Dvs. at sadsylighede for at forkaste de forkerte H -hypotese (de er forkert: hypotese siger, at p, 5, me ifølge opgavetekste er de i virkelighede ku p, 4 ) er 3,3% eller approksimativt 36,69%. COMPLET A/S - Side 5 - KOMPENDIUM I STATISTIK
15 9.. Sammeligig af to biomialfordeliger H : p p pˆ pˆ teststørrelse: u pˆ ( pˆ ) + + pˆ pˆ pˆ +, hvor Hvis stikprøvestørrelse er stor, dvs. over 3, ka ma ligeledes avede: u pˆ ( pˆ pˆ pˆ ) pˆ + ( pˆ ) H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: Φ u u p > p u ( ) p < p u Φ( u ) p u Φ( u ) p Aderse m.fl. s. 3, Newbold s. 36 u u / Eksempel: I forbidelse med udersøgelse omkrig katiekvalite registreredes samtidigt respodeteres kø. Bladt de 43 adspurgte var de 9 kvider og 4 mæd. af kvidere var tilfredse med kvalitete, mes ku 7 mæd sytes kvalitete var god ok. Spørgsmål: Udersøg om tilfredshedsadele er forskellig for kvider og mæd. Svar: Det er ige et spørgsmål, ma har lyst til at besvare med ja eller ej, og det vil sige, at ma skal teste: Hypotese: H : p p H : p p tilfredshedsadele er es tilfredshedsadele er forskellig. COMPLET A/S - Side 53 - KOMPENDIUM I STATISTIK
16 Teststørrelse: Ved idsættelse får ma:,563,97,346 u,563 hvor,5,3953 (,3953) ( + ) pˆ, Kritisk værdi: u u, 975,96 da hypotese er dobbeltsidet, og,5 Fraktile ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSINV(,975). Dee skal forstås både som,96 og +,96. De observerede værdi må ikke ligge ude for dette iterval, hvis hypotese ikke skal forkastes. Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, ka hypotese ikke forkastes, dvs. tilfredshedsadele for de to kø er ikke sigifikat forskellige. Sigifikassadsylighed: Ma ka fide sigifikassadsylighede vha. de observerede værdi. Da hypotese er dobbeltsidet, får ma: Φ(,563 ) Φ(,563),5938,87 Formle ka bereges i Ecel vha. fuktioe NORMSDIST(-,563). Koklusio: Da sigifikassadsylighede er større ed sigifikasiveauet,5, ka hypotese ikke forkastes, og ma får (heldigvis) samme koklusio som før. COMPLET A/S - Side 54 - KOMPENDIUM I STATISTIK
17 9.3. Sammeligig af to eller flere biomialfordeliger Disse tests løses som homogeitetstests i e kotigestabel vha. teststørrelse Q (se side 6). H : p p... pi teststørrelse: q i j ij I J i j forv i j i ij j I J ( obsij forv ij ) ij er observatioe i de ij te celle, og J I i ij, j ij, j i I J i j ij, hvor H : teststørrelse: sigifikassadsylighed : kritisk værdi: i, j : p i p j P( Q q Q ~ χ ( I J )) χ I J q ( )( ) (( )( )) Aderse m.fl. s. 338, Overø m.fl. s., Newbold s. 47, Løborg s. 38. Eksempel: De før ævte udersøgelse omkrig katiekvalite fadt sted i 994. I de følgede år registreredes på ligede måde tilfredshedsgrade. Udersøgelse strak sig over fire år, og de observerede data ser således ud: Tilfredse Utilfredse SUM Spørgsmål: Fra katies side er ma meget iteresserede i, om tilfredshedsgrade har udvist e stigede tedes. Udersøg om det er rimeligt at atage, at tilfredshedsgrade har foradret sig over åree. Svar: Det er et spørgsmål, ma har lyst til at besvare med ja eller ej, og det vil sige, at ma skal teste: COMPLET A/S - Side 55 - KOMPENDIUM I STATISTIK
18 Hypotese: H : p p p 3 p 4 dvs. tilfredshedsgrade er kostat H : tilfredshedsgrade har foradret sig. Teststørrelse: I virkelighede er det u bare at bruge formle i oveståede kasse til at berege e teststørrelse (kaldet q), me for at holde styr på de mage mellemregiger, laver ma typisk tre hjælpetabeller, kaldet Observeret, Forvetet og q-led. Observeret tabelle: Her idsættes blot de observerede værdier fra opgave, og der summeres vadret og lodret: SUM Tilfredse Utilfredse SUM Forvetet tabelle: Her overføres summere fra de oveståede tabel, og idmade i tabelle bereges som Søjlesum Rækkesum / Totalsum. Eksempelvis i første celle (tilfredse/994): 88 43, SUM Tilfredse, 3,75 7,69 6,54 88 Utilfredse,98 7,5,3 3,46 SUM q-led tabelle Her beytter vi formle: q - led ( obs - forv). forv Eksempelvis i første celle (tilfredse/994): ( 7, ),, SUM Tilfredse,46,7,6,9,4 Utilfredse,4,6,54,8,8 SUM,86,3,6,7,3 COMPLET A/S - Side 56 - KOMPENDIUM I STATISTIK
19 Teststørrelse Teststørrelse q er u blot summe af elemetere i q-led tabelle (deraf avet), dvs. q,3 Kritiske værdi: De kritiske værdi bliver χ (( I )( J ) ) χ (( )( 4 ) ) χ ( 3) 7, 8,5,95. Dee ka også fides i Ecel vha. fuktioe CHIINV(; (I-)(J-)) CHIINV(,5; (-)(4-)) 7,847. Koklusio: Da de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi, bliver H ikke forkastet på et, 5 iveau. Dvs., at ma ka atage, at tilfredshedsgrade har været kostat, og at udsvigee skyldtes tilfældigheder. Sigifikassadsylighed: P Q q Q ~ χ I ( (( )( J ) )) P Q q Q ~ χ (( I )( J ) ) ( ) I tabelle på side 38 uder 3 frihedsgrader ka ma aflæse, at de observerede værdi,3 ligger mellem 5%-fraktile (,) og 5%-fraktile (,37). Dette må betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem - 5% 5% og - 5% 75%. Sigifikassadsylighede ka fides i Ecel vha. fuktioe CHIDIST(q; (I-)(J-)) CHIDIST(,3; (-)(4-)),587. COMPLET A/S - Side 57 - KOMPENDIUM I STATISTIK
20 X {atal gage hædelse?? idtræffer ud af mulige}, dvs. X, og X er et helt tal. X~ b (,p ) p er kedt p er ukedt, (tal) opgives Biomialford ssh. regig: (side 4) a la: P(X ) tal Ubekedt: - tal (de typiske) - - Hvis vi skal fide tal > (side 6) ormalfordelig, hvor: µ p σ p ( p ) p ( p ) σ (+ korrektio på,5) Estimatio (side 45) pˆ ( ) s pˆ pˆ ( pˆ ) 95% KI (side 46) pˆ ±,96 ( ) s pˆ biomialford p påstået Test i bio (side 49) H: p tal H: p?? tal sigi. ssh: Test i bio (side 53) H: p p H: p?? p sigi. ssh: Altid via ormalford. Biomialford > Normalfordelig, COMPLET A/S - Side 58 - KOMPENDIUM I STATISTIK
hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Løsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Generelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
antal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Sammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Konfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Motivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Diskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Elementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Vejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Undersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Lys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Claus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Matematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016
Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse
Renteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
STATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Den flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Estimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Sandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
STATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Projekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Sprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Supplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Asymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
StudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
og Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Sandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på
Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
GENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Analyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Opsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
BEVISER TIL KAPITEL 7
BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte
Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Kvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Bjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som
Introduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Statistik Lektion 8. Test for ens varians
Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae
Matematisk trafikmodellering
- Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige
Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS
HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk
RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
STATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de
Morten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige