Matematik for hf C-niveau

Transkript

1 Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave

2

3 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

4 Matema10k. Matematik for hf C-niveau 2. udgave 2. udgave, 2. oplag, 2013 Frydenlund og forfatterne,2013 ISBN Redaktion: Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf post@frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på

5 5 Indhold Indhold Introduktion Om denne bog Forudsætninger Hvordan kommer du videre? Bogens struktur Hvordan kommer man til at kunne matematik? Del 1: Ligninger og tal 19 Mål med kapitlet Hvad er en ligning? Nullet en epokegørende opdagelse Regler ved løsning af ligninger.. 20 Hvad må jeg gøre? Afrunding af tal De skjulte tegn Regningsarter Parenteser Regningsarternes hierarki Eksempel på anvendelse af ligning 29 Lighedstegnet Talmængder Matematikken: En bygning uden stillads? Flere eksempler på løsning af ligninger Hvor mange løsninger har en ligning? Hvorfor gælder ligningsreglerne?. 37 Oversigt over indhold i del Hvad skal jeg kunne? Er matematikken nyttig? Algebra Resultater til øvelserne Del 2: Procent og rente 51 Mål med kapitlet Hvorfor regne med procent? Regning med procent Procentdel ud af Procent af Et redskab: fremskrivningsfaktoren 53 At udregne procentændringer ved hjælp af fremskrivningsfaktor Endnu mere om fremskrivningsfaktoren.. 57 Procentændring fra kort til lang periode og omvendt Gennemsnitlig procentvis ændring forskellige procenter Indekstal Renters rente... 68

6 6 Kapitalfremskrivning Beregninger med kapitalfremskrivning Hvad er logaritmer? At udregne n i formlen for kapitalfremskrivning Mere avancerede økonomiske beregninger videre arbejde 75 Mere om F = 1 + r Oversigt over indhold i del Øvelser til procent og rente Resultater til øvelserne Del 3: Geometri 83 Mål med kapitlet Geometri historisk betragtet Vinkler Trekanter Den vilkårlige trekant Den ligesidede trekant Den ligebenede trekant Ensvinklede trekanter Areal af trekanter Den retvinklede trekant Pythagoras sætning om retvinklede trekanter. 89 Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter Når man skal udregne en sidelængde ved hjælp af cos, sin eller tan Når man skal udregne en vinkel. 95 Beregninger i ligebenede trekanter 97 Hvad nu hvis trekanten ikke er retvinklet? Hvornår skal man anvende cosinusrelation? Hvornår skal man anvende sinusrelation? Trekanters areal Fem eksempler med beregninger i vilkårlige trekanter Geometriske beviser Bevis: vinkelsum i trekanter Bevis: Pythagoras sætning Definition af cosinus og sinus Bevis: formlerne med cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter Bevis: sinusrelationen Oversigt over indhold i del Hvad skal jeg kunne? Er universet matematisk? Øvelser til geometri Resultater til øvelserne Del 4: Funktioner 127 Hvad er en variabel? Mål med kapitlet Forskellige variable Funktioner: sammenhænge mellem variable Mål med kapitlet Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable? På vej mod modeller for sammenhænge Ligefrem proportionalitet Omvendt proportionalitet At afgøre om sammenhænge er ligefrem eller omvendt proportionale

7 Indhold 7 Fra regneforskrift til graf Tegning af graf Hvad skal jeg kunne? Øvelser til funktioner Resultater til øvelserne Lineære funktioner Mål med kapitlet Kendetegn ved lineære funktioner 151 Eksempler på grafer for lineære funktioner Mere om hældningskoefficienten 155 Lineære modeller Prognose Fortolkning af konstanterne a og b 158 Hvad er regression i matematik?. 159 Eksempel på lineær model Voksende og aftagende lineære funktioner Ændringer over flere x-enheder Skæring mellem graferne for to lineære funktioner Bevis: formlen for hældningskoefficienten Bevis: regneforskrift for lineære funktioner Bevis: formlen for udregning af a. 165 Oversigt over indholdet i kapitlet. 167 Hvad skal jeg kunne? Matematikkens Mount Everest er. 168 Øvelser til lineære funktioner Resultater til øvelserne Eksponentielle funktioner Mål med kapitlet Kendetegn ved eksponentielle funktioner Mere om fremskrivningsfaktoren (a) Achilleus og skildpadden Mere om hvordan den eksponentielle funktion fungerer Anden måde at skrive forskriften. 180 Hvad er en logaritmisk akse? Idéen til logaritmerne Grafer for eksponentielle funktioner Eksponentielle modeller Er der flere slags uendeligheder?. 186 Udregninger af procentændringer 188 Det uendelige Fordoblingskonstant Halveringskonstant Beregning af fremskrivningsfaktor ud fra fordoblingseller halveringskonstant Eksponentielle ligninger Yderligere beviser til eksponentielle funktioner. 195 Bevis: formlen for udregning af a. 195 Bevis: formlen for fordoblingskonstanten Bevis: formlen for halveringskonstanten Oversigt over indholdet i kapitlet. 200 Hvad skal jeg kunne? Potensregning Potensregning Øvelser til eksponentielle funktioner Resultater til øvelserne Potensfunktioner Mål med kapitlet Kendetegn ved potensfunktioner. 211 Mere om potensvækst Model for potenssammenhængen 213 Eksempel på potensmodel

8 8 Procent-procent udregning af procentændringer Hvordan fungerer en potensfunktion? Voksende og aftagende potensfunktioner Yderligere beviser vedrørende potensfunktioner Bevis: formlen for udregning af a. 219 Bevis: potens-potens-udregning. 220 Bevis: grafer for potensfunktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem Oversigt over indholdet i kapitlet. 224 Øvelser til potensfunktioner Resultater til øvelserne Logaritmefunktionen Del 5: Statistik og stikprøver 233 Mål med kapitlet Hvad er statistik? Statistiske redskaber Konkret eksempel på statistik: befolkningstallet på Læsø. 234 At arbejde med statistik Når man ikke grupperer data i intervaller Boksplot Hvordan bestemmer man kvartilsæt for ikke-grupperet data? At finde kvartilsæt i grupperet datamateriale Stikprøver Oversigt over indhold Hvad skal jeg kunne? Øvelser til statistik og stikprøver. 255 Resultater til øvelserne Del 6: Ubekendte og beviser 261 Ubekendte Matematikkens bogstaver Historien om den ubekendte Historien om begrebet variabel Sammenfattende om ubekendte, variable, parametre m.m Oversigt over indhold Hvad skal jeg kunne? Beviser Logisk tænkning og beviser Det første bevis Hvorfor beviser? Matematikkens begrænsning om logikkens magt og afmagt Fermats sætning: næsten 400 år om et bevis! Et direkte bevis Computerbeviser: firefarveproblemet Induktionsbeviser Indirekte beviser Hvad skal jeg kunne? Opgaver 283 Opgaver i ligninger og tal Vanskeligere opgaver Opgaver i procent og rente Vanskeligere opgaver Opgaver i geometri Vanskeligere opgaver Opgaver i funktioner Vanskeligere opgaver

9 Indhold 9 Opgaver i lineære funktioner Vanskeligere opgaver Opgaver i eksponentielle funktioner Vanskeligere opgaver Opgaver i potensfunktioner Vanskeligere opgaver Opgaver i statistik Vanskeligere opgaver ligninger og tal procent og rente geometri funktioner lineære funktioner eksponentielle funktioner. 341 potensfunktioner statistik Stikordsregister

10 10

11 11 Introduktion Målene med bogen er Målene med bogen er: At føre dig gennem stof fra C-niveau matematik At vise at matematikken kan anvendes At give eksempler på matematikkens fascinerende historie At pirre din nysgerrighed At vise at man kan gennemarbejde matematisk stof med flere forskellige ambitioner At illustrere at matematikken er spændende Om denne bog Denne bog er anden og opdaterede udgave af Matema10k for stx C-niveau. Vi har haft den fornøjelse at første udgave er blevet særdeles udbredt, og bogen har fået ros for at den kan læses og forstås af eleverne. Stoffet i matematik C-niveau er blevet justeret, vi er blevet opfordret til at placere hele statistikstoffet i bogen, og vi har ønsket at få flere træningsopgaver i bogen. Derfor har vi haft behov en gennemgående opdatering af bogen. I bogen gennemgår vi det man kalder kernepensum for C- niveau på stx i matematik. Det betyder at bogen ikke rummer alt hvad du vil støde på i undervisningen i matematik. Den tilhørende hjemmeside indeholder en del af det supplerende stof eller giver idéer til hvad det supplerende stof kan være. Desuden findes bogen som e-bog på Hvert kapitel i bogen er skrevet med samme opbygning, nemlig: Først formuleres målene med kapitlet. Dernæst gennemgås det matematiske stof.

12 12 I hvert kapitel er der gennemregnede eksempler, og der er øvelser med resultater. Sidst i kapitlerne er en oversigt over de gennemgåede emner. Kapitlerne runder af med oversigten Hvad skal jeg kunne?. Undervejs i bogen står en række perspektiverende rammer. Disse rammer søger at sætte det matematiske stof i større perspektiv. De perspektiverende rammer skal opfattes som et tilbud, og det er således ikke nødvendigt at læse dem for at forstå det faglige stof. Bagest i bogen findes en række opgaver af to forskellige sværhedsgrader med resultater. Facitlister til opgaverne er placeret sidst i bogen. Forudsætninger Den vigtigste forudsætning for at lære af denne bog er at du er villig til aktivt og selvstændigt at arbejde med stoffet. Selvom du skulle have haft dårlige oplevelser med matematikken, er bogen skrevet med den forhåbning at du får eller genopdager glæde ved at lære matematik. Vores udgangspunkt er at matematik er spændende og vedkommende. Hvis dine matematiske forudsætninger ligger lidt fjernt for dig, skal du ikke fortvivle. Det er aldrig for sent at lære, og vi forsøger i bogen her at forklare stoffet så det kræver færrest mulige forudsætninger. Desuden finder du på den hjemmeside der hører til bogen, muligheder for at afstive og forbedre dine forudsætninger hvis du har behov for det. Hvordan kommer du videre? Skulle du være så heldig at stoffet falder dig meget nemt, er der flere udfordringer på den tilhørende hjemmeside. Matematikken er fuld af udfordringer og fascinationskraft. Umiddelbart efter denne introduktion finder du afsnittet Hvordan kommer man til at kunne matematik?. Her giver vi input til arbejdet med matematikken.

13 Introduktion 13 Bogens struktur Bogen er inddelt i følgende seks dele: Del 1: Ligninger og tal Del 1 rummer gennemgangen af ligninger og behandlingen af tal. Vi ser på hvordan man løser ligninger, hvordan man arbejder med parenteser og på rækkefølgen af regningsarterne. Del 1 er et fundament for resten af bogen. Derfor kan det være en fordel jævnligt at bladre tilbage til denne del. I slutningen af del 1 findes afsnittet Algebra. Dette afsnit er en introduktion til regning med bogstaver. Ikke alle skal nødvendigvis gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal arbejde med afsnittet. Del 2: Procent og rente I anden del behandler vi procent og rentesregning. Vi tager udgangspunkt i hvad procent er, og hvordan man regner med procent. Vi arbejder os frem til beregninger af gennemsnitlig procent samt renters rente. På nettet går vi en del videre idet større og mere komplicerede renteberegninger med fordel kan foretages i såkaldte regneark. Del 3: Geometri I del 3 gennemgår vi geometri. Vi ser mest på retvinklede trekanter og såkaldte vilkårlige trekanter og de beregninger der knytter sig til dem. Vi omtaler formler med cosinus, sinus og tangens. Del 4: Funktioner Del 4 er en central del i pensum. Den drejer sig om sammenhænge mellem variable. Selve tankegangen er vigtig når man skal beskrive verden ved hjælp af matematikken. Del 4 består af fem kapitler. Vi indleder med at redegøre for hvad variable er, herefter forklarer vi generelt om sammenhænge og funktioner. Dernæst fortsætter vi med forskellige vigtige typer af funktioner: lineære funktioner, eksponentielle funktioner og potensfunktioner. I slutningen af del 4 er afsnittet Logaritmefunktionen. Det er ikke nødvendigt for alle at gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal gennemarbejde afsnittet.

14 14 Del 5: Statistik og stikprøver Del 5 omhandler hvordan man kan bearbejde, håndtere og fortolke datamateriale, og vi fremlægger kort hvordan man grundlæggende behandler råt datamateriale ved hjælp af diverse redskaber bl.a. histogrammer, sumkurve, kvartilsæt og boksplot. Desuden indeholder del 5 en introduktion til stikprøver. Del 6: Ubekendte og beviser Del 6 skiller sig ud i forhold til de andre dele. I første kapitel i del 6 går vi lidt bagom de øvrige kapitler ved at se mere overordnet på hvad ubekendte er. I matematikken bruger vi dem på forskellig måde afhængigt af emne. Dette kapitel kan inddrages i forbindelse med del 1 eller sammen med del 4. Det andet kapitel i del 6 behandler hvad matematiske beviser er. Hvad skal vi med beviser? Er der forskellige typer? Kan alting i matematikken bevises? Dette kapitel kan med fordel inddrages når holdet vælger at fokusere på et bevis. Opgaver, facitliste og stikordsregister I slutningen af bogen finder du opgaverne til bogens dele, en facitliste til opgaverne og et stikordsregister. En appetitvækker Vi kan ikke alle have fabelagtige naturlige evner som matematikere. Vi må være beskedne. Det fortælles eksempelvis at det indiske naturtalent i matematik Ramanujan lå meget syg på hospitalet og fik besøg af sin gode ven, matematikeren Hardy. Hardy kom med taxi. Han sagde som det første uden at hilse: Jeg tror nummeret på min taxi var Det forekom mig at være et kedeligt tal. Hertil svarede Ramanujan: Nej, Hardy! Nej, Hardy! Det er et meget interessant tal. Det er det mindste tal der kan udtrykkes som summen af to kubiktal på to forskellige måder. Hvis man får at vide at f.eks. 8 er et kubiktal da det kan skrives som (altså et tal ganget med sig selv 3 gange), kan de fleste med lidt hjælp forstå hvad Ramanujan påstår og tjekke på lommeregneren: og at = = = = = = 1729 fortsættes...