Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1,

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1, 1964-65."

Transkript

1 Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1, ELEMENTÆR VEKTORREGNING. Forelæsninger af W. Fenchel og T. Gutmann Madsen med lån fra Børge Jessen: Lærebog i geometri, I. 1. Geometriske vektorer. 2. Sædvanligt retvinklet koordinatsystem. ~. Skalarprodukt af to vektorer. 4. Fremstillinger af linie og plan. 5. Vektorprodukt af to vektorer. 6. Rumprodukt af tre vektorer. 7. Koordinattransformation. 8. Isometrier.

2 Mat. 1, EV, 1,1 Ved en geometrisk vektor forstås et liniestykke i det sædvanlige rum, forsynet med en bestemt gennemløbsretning (på en figur angivet ved en pil). Betegnes be~;ndelsespunk~t med P og ~-.. ~ endepunktet med Q, vil vi for vektoren benytte betegnelsen PQ. To sådanne liniestykker PQ og RS skal dog opfattes som..e!-jd.gle ~ktor, såfremt de blot har samme størrelse og retning, d>rs. såfremt de ved parallelforskydning kan bringes til dækningo Q En vektor vil vi også betegne med et enkel t, understrege /~ bogstav; således er på figuren brugt betegnelsen y. Længden af en vektor ~betegnes /y/. Ethvert par af p~~kter P og Q i det sædvanlige rum bestemmer ~ således en (geometrisk) vektor v = PQ, - forudsat P og Q er forskellige. Også når P og Q falder sammen, vil vi imidlertid sige, at de bestemmer en vektor, nemlig ~J~~kto~~' som vi vil betegne Q. Denne tilskrives længden O, men ingen retningc De øvrige vektorer kaldes egentlige vektorer. For ethvert punkt P og enhver vektor v findes netop et o ~ punkt Q, saledes at PQ = y. Vi siger, at Q fremkommer ved afsætning af vektoren v ud fra punktet P. For geometriske vektorer indfører vi nu to ~åkaldt regneoperationer. lineære)

3 Mat. 1, EV, 1, 2 Addition af vektorer. ~ :;' t Y ~ For at definere summen u + v af to vektorer ~ og v vælger vi et vilkårligt punkt P og afsætter rørst Eg = ~~ dernæst 2E = ~ Vektoren ~ er da åbenbart uafhængig af det valgte begyndelsespunkt P og betegnes u + v. ~ltt~~kation ar vektorer med tal~ Ved produktet av eller ~a af en vektor~ og et reelt tal a forstås nulvektoren, såfremt a=o eller ~=Q, ellers (altså når både a+o og ~+Q) den egentlige vektor, hvis længde er lal 1~1, og som har samme eller modsat retning som ~' eftersom a>o eller a( O. Vi noterer følgende regneregler, hvis gyldighed det overlades læseren at gøre sig klart. u + v = v +u - ' u + (~ + ~) = (E; + y) +w ' v + o = v, v + (-1)]: = o - - ' a(b~) av = v a ' = (ab)~ ' a(e; + y) = au + av ' (a +b)~ = av + bv ' 1v = v For en vilkårlig vektor v siger man, at (-1)~ er y's~~satte vektor, og benytter også betegnelsen -v. -v er eneste løsning til ligningen v + x = o

4 Mat. 1, EV, 1, 3, Til to vilkårlige vektorer u og y findes netop en vektor!' således at y +! = :!:!' nemlig :!:! + (-v); denne vektor kaldes differensen mellem.:!:! og.~ og betegnes kort u - v. - Stedvektorer. Vi tænker os valgt et fast punkt O i rummet. For ethvert punkt P kaldes nu vektoren v = OP for P's stedvektor (svarende til begyndelsespunktet O). Herved har nu ikke blot ethvert punkt en bestemt stedvektor, men enhver vektor er stedvektor for netop et punkt, - der er tilvejebragt en enentydig korrespondance mellem rummets punkter og dets vektorer. Et par simple eksempler på, hvordan man ved regning.med s tedvektorer kan udlede geo.me tri.ske. sætninger: p 1 Q Midtpunktet M af et liniestykke PQ, hvis endepunkter har stedvektorerne y og!' har stedvektoren OM= OP PD =_v+ i(w-v) = i(v +w). ~ _ 2.- Ligger O ikke på linien PQ, udsiger dette resultat, at diagonalerne i det af OP og OQ udspændte parallelogram halverer hinanden; thi y+! er jo netop stedvektoren for den til O diametralt modsatte vinkelspids. 2. I e.n trekant ABC, hvis vinkelspidser har stedvektorerne ~' b og ~betragtes det punkt T på medianen CM, som bestemmes 1 ved, at MT_= 3MC. Som sted.vektorfor.t-finder vi da

5 Mat. 1, EV 1, 4 Da dette udtryk er symmetrisk i ~' ~ og c, indeholder dette den bekendte sætning, at medianerne i en trekant går gennem samme punkt T; og at dette punkt deler hver af' dem {indvendigt) i forholdet 2. Vektorer,:eå en linie,. vektorer i en plan. l Da en vektor kan afsættes ud f'~a ethvert punkt i rummet, mener vi, når vi siger, at en vektor ~ ligger på en linie eller i en plan, at vektoren kan anbringes på linien eller i planen, altså at den enten er nulvektoren elter en egentlig vektor parallel med linien elle~ planen. Vi bemærker, at summen af to vektorer i en plan ~ en vektor i~' og at produktet af et tal og en vektor i 'IT ligeledes er en vektor i 'IT; atter er de opstillede regneregler bevarer deres gyldighed, når mårt indskrænker sig til at betragte vektorerne i 'IT. En ti.lsvarende bemærkning gælder for vektorerne på en linie.

6 Mat. 1, EV, 2,1 2. Sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Et ~sædvanligt) retvinklet koordinatsystem i en plan er givet ved to på hinanden vinkelrette orienterede linier x 1 og x2, koordinatakserne, gennem et punkt o, begyndelsespunktet. (En længdeenhed tænkes valgt en gang for alle.) Enhedsvektorerne ~ 1 og ~ 2 på akserne kaldes koordinatsystemets grundvektorer. (En cnhedsvek to r er en vektor af' længden 1 ) Idet koordinatsystemet er bestemt ved opgivelse af 0,~ 1 og ~ 2 ~ vil vi forudenxx 1 benytte betegnelsen (0,2 1,~ 2 ) P - l l, ~2 l...-..r~r-_;,._ x1 o ~1 Koordinaterne (x 1, ) til et punkt P i planen er som bekendt de med fortegn regnede længder af liniestykkerne OP 1 og OP 2, hvor P 1 og P 2 er P's (retvinklede) projektioner på akserne x 1 og Man bemærker, at vi for P's stedvektor y = Qæ har Y =OP = OP 1 +0P 2 = x 1 ~ 1 + ~ 2, samt at (x 1, ) er det eneste talpar, således at y= x 1 ~ Idet enhver vektor L-planen _er stedvektor for et punkt, har vi således: Til enhver vektor y i--planen i' inde s et og kun et talpar (x 1, ), således at Y = x1~1+x2~2 Definition: x 1 og kaldes koordinaterne ~j.j. --be-tragtede koordinatsystem. y_oktor-en y i det Bemærk: et punkt og dets stedvektor har samme koordinater. Et (sædvanligt) retvinklet koordinatsystem i rummet er

7 Mat. 1, givet ved tre orienterede linier x 1,X 2 og x 3, koordi.natajmor ne_. som alle går gennem et punkt O, begyndelsesrmnkte~, og S0i1\ to og to er vinkelrette. Enhedsvektorerne.Q1'.Q 2 og ~ 3 på akserne ka~.ldes koordinatsystemets grundvektorer. Idet koordinatsystemet er be~ stemt ved opgivelse af 0,. 1,Q 2 og. 3' vil vi foruden x 1 x 3 b::::- nytte b&tegnelsen (O ' ~ 1,_~ 2, :~ 3 ). Koordinaterne (x 1,,x 3 ) til et punkt P i rurnmet er de med fort egn regnede længder af lini,estykkerne OJ? 1, OP 2 og OE:J, hvor P 1,P 2 og P 3 er P's (retvinklede) projekttoner på akserne x 1, og x 3. Til enhver vektor v i rwnmet findes et og kun et talsæ-t. (x 1,,x 3 ), således at v =_x1~1~x2e2+x3~3" Definition: x 1, og x 3 ka~des ~~~rdinaterne til vektoren v l i det betragtede koordinats~stem. Bemærk: et punkt og /~ets / ' stedvektor hp.r 2amme koordjnate~r De lineære regneoperationer udtrykt i koordinaj;.. l:, Vi tænker os valgt 13t i Lad vektorerne u og ~ l i koordinatsystem (0 1 f. 1,g_ 21 f:. 3 )..:.. have koordinaterne (x. 1,,x 3 ) og rummet. u = x1~1 + x2f2 + x3~3' v = Y1~1 + Y2!2 + Y3~3 \ Ved benyttelse af regnereglerne for vektorer finder vi ' u+ v= (x1+y1 )_.1 '.+ (x2+y2).2 + (x3+y3) ~3' au = ax 1 ~ 1 + ax~. 2 + ax 3.Q 3, (a_j3r et vilkårljgt reelt ~al), dvs. ~+y har. koordinatorne (x 1 +y 1, +y 2,x 3 +y 3 ), a~ har koordinaterne (ax 1,a,ax 3 ). Vj_ har altså: Lineære regninger med y~rer afsp~jl~r sjg_i_g,~ske ~~

8 Mat. 1, EV, 2, 3 Mærk: Q har koordinaterne (0,0,0), -u= (-1)~ har koordinaterne (-x 1,-,-x 3 ), 7u-2v har koordinaterne (7x 1-2y 1,7-2y 2,7x 3-2x 3 ), osv. Har punkter~~ P og Q koordinaterne (x 1,,x 3 ) og (y 1,y2_,y 3 ), da har vektoren PQ koordinaterne thi PQ = QQ--0~, (y1--x1?y2- x2,y3-x3); hvor.99 og Q;I: jo har koordinaterne (y 1,y 2,y 3 ) og (x1,x2,x3). Eksempler: 1. Midtpunktet M af et liniestykke PQ, hvis endepunkter har koordinaterne (x 1,,x 3 ) og (y 1,y 2,y 3 ), har koordinaterne x1+y1, x2+y2 ( ' 2 2 thi ifølge 1, eks. 1 er OlVI = OP, + OQ 2 ' ~3+~) 2 2. Skæringspunktet T mellem medianerne-i_ en trekant ABC, hvis vinkelspidser har koordinaterne (a 1,a 2,a 3 ), (b 1,b 2,b 3 ) og thi ifølge 1, eks. 2 er OA + OB + OC OT - 3

9 ~~at. 1, Skalar12rodukt af to vektor~~ - ~, l Ved det skalære (eller indre) produkt!.y. af to vektorer!. og il forstås tallet O 1 hvis en af vektorerne er nul vektoren:; ellers (altså når begge vektorer er egentlige) produktet af ")'~-.../....,..-./ / deres længder og /osinus af deres viru{el, altså J l j!_ ;y = l!.ll~l cos(~,;x:). Det bemærk,s, at vi for to egentlige vektorer ~ og,r. med l (!_,;y) betegner Jen vinkel i intervallet [O~~] ~som dannea af de to vektorer,'når de afsættes fra samme punkt. l l ' r~ærk: skalarproduktet af to vektorer er et t.l (en skalar) < i - Man ser-, at ~kalarproduktet af to egentlige vektorer or P')Si.~,. l tivt, nul ellef negativt, eftersom vinklen mellem vektorerne: ur spids, ret eller stump.! l Når!. e,r en egentlig vektor, kan dens skalære produk-c ~"" ;;~ / l med en vilkårlig vektor y_ også defineres som produktet af 13.1 l! med længden af ;y's projektion på.f's linie, regnet med fortegn i overens.s,iemmelse med den ved!. fastlagte retning. / \ / il il=o, e;,/lærgden af projektionen o, og er YfQ"'_, jekti9nen fetop IIIcos(.f,~).! Den m~d er længden af :?ro- fortegn regnede længde af projektionen af on vektor il på en qr;lenteret linie l kan således udtrykkes / l / l. ;y / 1/. hvor Ji er enhedsvektoren på l. Projektionen selv er \ i (. X)Q! Ilet skalarprodukt tillader man sig ikke, som ved sædvan:l-.tg j multiptikation, at udelade prikken. Dog skrives i stedet for L 2 ~ ~ ogsa!. ; '" ~- 2 l 2!.-~~ = x = 2f l. -,, \ \ ifølge definitionen er ----F-or det skalære produkt gælder ~ ~- Tlu er- --~-

10 Mat. 1, EV, 3, 2 1!!_ Y.. = y_!!_ ' 2. (!!_ '+!::_") Y.. =!!_' y_ + xil y_ 3. (8.2f) y_ = a(!!_ ~), 4. ~+Q => ~~-~ > o. prøver de forskellige muligheder: 1) ~eller~ er nulvektoren, 2) ~ og y_ er egentlige og henholdsvis a>o, a=o, a<d. 2. er indlysende for ~=Q. For ~+Q kan man benytte, at længden af projektionen af~'+~" på ;y's linie regnet med fortegn netop er summen af længderne af projektionerne af!!.' og~~~ regnet med fortegn. også Eksempel. Som følge af 1. gælder naturligvis sammen med 2.!!_ (y'+~")= ~ ;z,'+ "?;.;,Y..Ii Heraf følger umiddelbart, at man kan "gange parenteser ud' 1 1. og 4. er klare. 3. fremgår af definitionen, når man gennem nøjagtig som for tal. Eksempelvis findes til bestemmelse af længden af en differens af to vektorer~ = g g - Q"R - b a + R"R = Q 2 + h 2-2(g R) = IQI 2 + IRI 2-2(Q ~). Ligger g og R ikke på samme linie, går denne relation ved indsætning af udtrykket for ~ h over i cosinusrelationen i den plane trigonometri. Er specielt ~ og Q vinkelrette på hinanden, altså Q"R = O, fås lg- hl 2 = 1~1 2 + lhl 2, altså Pythagoras' sætning.

11 M a t 1, EV, 3, 3 Skalarproduktet udtrykt i koordinater Lad der i rummet vwre givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem (0;~ 1,~ 2,~ 3 ). For to vilkårlige vektorer ~(x 1,,x 3 ) og x(y 1,y 2,y ), dvs. 3 og finder vi ved brug af regnereglerne 2f Y. = + x2y1~2 ~1 + x2y2~2'~2 + x2y3e2 ~3 + x3y1~3 ~1 + x3y2~3'~2 + x3y3~3.e3 Da nu ~ 1,~ 2 og E,. 3 or tmhoi~_svd{toror>, to og to vinkelrettu, dvs. e. e. ~ -J. -J = [o1 for i=j, for itj, har vi således følgende simple koordinatudtryk for det skalære produkt: Specielt har vi formlen ~1 = X X = x x 3 for længden af en vektor ~(x,x 1 2,x ). Endvidere bemærker vi 3 ~ ~1 = x1' ~ ~2 = x2, ~ ~3 = x3' dvs. vektorens koordinatc;;r er dens skalrare produkter med grundvektorerne. Eksempel. Retningsvinklerne for en orienteret ret linie l er viru{lerne med koordinatakserne a 1 = (x 1,l), a 2 = (,1), a 3 = (x 3,1). cosa 1, cosa 2, cosa 3 kaldes liniens retningscqsinusser. De er åben bart koordinator til enhedsvektoren ~på l. Vi har således cos a 1 + cos a 2 * cos a 3 = 1 Vinklen mellem to orienterede rette linier l og m med retningsvinkler a 1,a 2,a 3 og ~ 1,~ 2,~ 3 bestemmes ved

12 Mat, 1, EV, 3, 4 højre side i ligningen udtrykker n~mlig skalarproduktet af enhedsvektorerne på de to linier. For to vektorer ~(x 1, ) og ~(y 1,y 2 ) i en plan, i hvilken der er givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem (0,~ 1,~), findes, på ganske samme måde som i rummet, ~oz = x1x2 + y1y2 Eksempel. For et vilkårligt tal ep betegner vi med e den: -q> enhedsvektor i planen, der fremgår af.. 1 ved drejningen ep i retning mo1.. ; e({j har koordinaterne (cosqf~sincp). Vi finder herved 2 cos(cp-ø) ; cos(e~,eø) = ~ ~ = coscp cosø +si~ sinø, dvs. formlen for cosinus til en differens.

13 Mat. 1, EV, 4, 1 4. Fremstillinger af linie og plan. Parameterfremstilling for ret linie. Vi tænker os i rummet valgt et begyndelsespunkt O for stedvektorer. Man siger, at OP = OA + tv, ~oo( t(oo, er en parameterfremstilling for linien l. - Vi bemærker, at hvert punkt p på l svarer til netop en parameterværdi t. Er O begyndelsespunkt i et koordinatsystem (0,2_ 1,~ 2,e 3 ), kan vi oversætte fra vektorer til koordinater: x 1 = a 1 + tv 1, = a 2 + tv 2, x 3 = a 3 + tv 1, -oo( t(oo Her er (x 1,,x 3 ), (a 1,a 2,a 3 ) og (v 1,v 2,v 3 ) koordinater til P, A og y:. Omvendt: For vilkårligt givne tal (a 1,a 2,a 3 ) og (v 1,v 2,v 3 ) + (0,0,0) vil (*), i et forela~t koordinatsystem, fremstille en ret linie (nemlig den ved A(a 1,a 2,a 3 ) og y:(v 1,v 2,v 3 ) bestemte). Ofte vil en linie l være givet ved to punkter A(a,a 1 2,a ) 3 og B(b,b 1 2,b ). l kan da også opfattes som bestemt ved A og 3 vektoren y= AB med koordinater (b -a,b a,b -a 2 ), hvorfor 3 3 en parameterfremstilling (*) umiddelbart kan opskrives. Tegn

14 Mat. 1, EV, 4, 2 skitse og find de punkter på l, der ved denne parameterfremstilling svarer til parruneterværdierne 1, 2, 1/2, O, -1. Eksempel. I et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en linie l givet ved en parameterfremstilling (*). Med C' betegnes den retvinklede projektion på l af et pm1kt C(c 1,c 2,c 3 ). Vi vil bestemme koordinaterne (c1,c2,c3) til C'. Vor viden om C' kan udtrykkes~ 1. For et vist tal t' er OC' = OA + t'y, 2. C'C ;y: =O. O pgaven er l øs t, bl o t Vl. h ar b es t em t t l, o ( c l ' l ). l d 1,c 2,c Vl a 3 fremgå ved indsætning af t' i (*). dermed Idet (OC-OC') ;y: =O har vi imidlertid = OA v + t'v v, = OC' v -- dvs. Ligning for plan. Vi tænker os i rummet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med begyndelsespunkt O. Lad en plan 1T være givet" ved e~ punkt A( a, 1 a, 2 a ) i 1T 3 og en egentlig vektor g(n,n 1 2,n ) vinkelret på 1T. Idet vi med 3 P(x 1,,x ) betegner et vilkårligt punkt i rummet, gælder 3 dvs. p i 1T p i 1T ~ g p;p = o '

15 Mat. 1, EV, 4, 3 altså hvor k = n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 Man siger, at (**) n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 =k er en ligning for planen v., Omvendt: For vilkårligt givne tal (n 1,n 2,n )f(o,o,o) og k 3 vil (:o,ni:) være ligning for en plan. Vælger man nemlig et punkt A(a,a 1 2,a ), således at 3 vil (*~:)! n1a1+n2a2+~3a3 = k, ' jo være en ligning for planen gennem A vinkelret på n(n1,n2,n3).. Et punkts afstand fra en plan. i Lad i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem en plan 1T være givet ved en ligning n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 - k = O. Q(n 1,n 2,n 3 ) er altså en vektor vinkelret på v. Tænker vi os valgt et punkt A(a 1,a 2,a 3 ) i v, har vi for et vilkårligt punkt P(x 1,,x 3 ) i rummet n1x1+n2x2+n3x3-~ = n1x1+n2x2+n3x3-n1a1-n2a2-n3a3 = n 1 (x 1 -a 1 )+n 2 ( -a 2 )+n 3 (x 3 -a 3 ) = g AP. Nu er n AP produktet af lnl og den med fortegn regnede længde af AP's projektion p~ fladenormalen orienteret ved Q, dvs. produktet af lnl og afstanden fra 1T til P (regnet med fortegn). Vi har således: Afstanden fra 1T til et vilkårligt punkt P(x 1,,x 3 ) i rummet, regnet med fortegn i overensstermnelse med retningen af ~, ]2e.st-errur1~s ved l k

16 Mat. 1, EV, 4, 4 Særlig bekvem er afstandsbestemmelsen naturligvis i tilfæl-,... l de ai, at ~~ = n 1 +n 2 +n 3 = 1; planens ligning siges da at være normeret. n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 - k = O /

17 Mat. 1, EV, 5, 1 5. Vektorprodukt af to vektorer. Højrestilling og venstrestilling: Tre egentlige vektorer ]d, :y: og li' der ikke ligger i sarnmo plan, vil, taget i nævnte rækkefølge, være enten i højrestilling eller i venstrestilling (ikke begge dele). For geometrien or det af betydning, at der findes to slags sæt af tre vektorer, men ligegyldigt hvilken slags der kaldes højre-, hvilken venstrestillet. Ved anvendelser på det sædvanlige dagligdags rrun vi lever i, bruges tommel-, pege og langfinger på højre hånd som model på tre højrestillede vektorer; ]d, :y: og li siges at være i højrestilling, hvis den korteste drejning fra :d til y_, set fra den ved li bestemte side af planen udspændt af ]d og y_, er modsat urvisernes retning, - herved er de tre vektorer tænkt afsat fra samme punkt Ved kredsforskydning ~f tre vektorer, dor ikke ligger i samme plan, bevares stillingen; ombyttes to af dem, ændres stillingen. Er ]d,y_,~ f.eks. i højrestilling, gælder det samme om Y,,li,]d og li,]d,y_, medens ]d,~,y_, Y,,]d,li og li,y,,]d er i venstrestilling. ) i rummet kaldes et højre Et koordinatsystem (O,Q 1,~ 2,~ 3 system eller et vonstresystem, eftersom Q 1,~ 2,~ 3 er i højreeller venstrestilling. Vektorprodukt. Ved vektorproduktet ~ x Y. af to vektorer ~ og ~ forstås, såfremt vektororne or egentlige og ikke parallelle, den vektor, hvis længde er som er vinkelret på både ]d og Y. og således rettet, at ~,y,g x v

18 Mat. 1, EV, 5, 2 i denne rækkefølge er i højrestilling. u x v..,.. 7.: l,.-' i. -..,_~_r ~~ l l / / ~. '""- / ',. 1_1-!--. Tænkes vektorerne afsat~ samme punkt, kan længden af l! )< også ru1gives som arealet af det parallelogram, der udspændes af ~ og y_. Er :9: eller Y. nulvektoren, eller er l! og y_ egentlige~ men parallelle, forstås ved u x Y. nulvektoren. Formlen y gælder således, blot u og Y. er egentlige. Bemærk~ vektorproduktet af to vektorer er en y~_lf.iq.l.:.. Betegnelsen :!:1 2 er allerede benyttet for det skalære produkt, :!:! l! og kommer derfor ikke i betragtning for vektorproduktet l! x 11; en særbetegnelse herfor er imidlertid også overflødj_g~ thi ifølge definitionen er jo altid }lx~=q. Den kommutative l.ov gælder ikke for vektoriel mul tiplilca-- tion, men erstattes af reglen For tre vilkårlige vektorer l!' Y. og ~ har både (B x y) og l! x (y_ x]!) mening, men de to udtryk betegner i alrnindeligl:c) ~~ forskellige vektorer. F.eks. er (~ 1 x ~ 1 ) x ~ 2 =Q, men hvor ~ 1,... 2 er de to første grundvektorer i et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystcm. Den associative lov gælder såled~s. i~~lf for vektoriel multiplikation.

19 Mat. 1, EV, 5, 3 Derimod gældbr den distributive lov: Samtidig vil vi vise J:! x (,:y: + }:!) = J:! x y_ + ~ x li. u x(a,:y:) = a(j:! x y_), hvor a er et vilkårligt tal. For u = Q er begge ligninger indlysende. Det er derfor nok at føre et bevis for det tilfælde, at J:! Hertil vil vi, idet vi tænker os J:! er en egentlig vektor. fastholdt, give en hensigts- mæssig beskri.velse af vek.torprodukt~t J:! x ~ for vilkårlige /.. / vektore:b ~ -"For simpclheds skyld tænker vi qs alle vektorer afsat fra ) samme punkt O; lad IT være planen genpem O vinkelret på J:! (tegn skitse). For enhver vektor~ er nu. hvor ~' = PIT(~) i betegner projektionen af~ på IT (overvej dette); l J:! X ~ ligger da i IT og fremgår ar ~-' Ved. en drejning af størrel- Se ~(i retningen modsat urviser71-es, set fra J:! 1 S endepunkt), f efterfulgt af en multiplikation Jiled l:!:!l Betegner vi med x"= D(~') således i den vektor i a-, der fremgår ved drejningen alene, har vi og dermed Nu er åbenbart (,:y:+}:!) l = P a--- (v+w) = P a-- (v) + P a-- (w) (y_+}:!)" = D(v'+w' )'= D(v') + D(w') ~ ~----- =y_' +!!' ' = v"+w", Ligeledes :!:! x (y_+:y~) =-1:!:!1 (y_+}:!)" = l:!:!! Y.." + Lullf" =u x y_+:!:! x w (_ (a_y)' = P a-(a:y:). = apit(y) = ay_' (a:y:)" = D(a:y:') = ad(v') =av"

20 M a t 1, EV, 5, 4 og dermed ~x. (a:y:) = l:!::!:l(a:y)" = al:gly" =a(~ x y). Eksempel. Naturligvis gælder også den anden form af den distributive lov såvel som reglen (y +!) x u = y x u +! x u (ay) x :9; = a(y x:!!); thi ombyttes faktorerne i alle vektorprodukterne, skifter disse alle fortegn. Man har derfor f.eks. når man således "ganger parenteser ud", må man være opmærksom på, at man i vektorprodukterne på højre side stadig skal tage faktoren fra den første parentes først; faktorernes orden er jo her ikke ligegyldig. Eksempelvis finder vi (~+~) x (~+Q) = a x~ + Q x ~ + a x b + b x b eller O = b x ~ + a x Q i overensstemmelse med, at b x ~ = -~ x Q Endvidere som udtrykker en elementær sætning om parallelogramarealer. Vektorproduktet udtrykt i koordinater. \ l, \ l l ' ) l!, l t l,(,. '\ \ Lad der i rummet være givet et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystem (0,~ 1,~ 2,~ 3 ). For to vilkårlige vektorer };!(x,x,x ) og y(y,y ,y ), dvs. 3 :!::!: = x1~1 +x2e.2+x3~3 og Y = Y1~1 +y2~2+y3~3 ' finder vi ved brug af regnereglerne u x v = x1 Y1~1 x ~1 + x1y2~ x ~2 + x1y3~1 x ~3 + x2y1~2 x e 1 + x2y2~2 x ~2 + X2Y3SJ.2 x ~3 + x3y1~3 x ~1 + x3y2~3 x ~2 + X3Y3~3 x ~3 6-

21 Mat. 1, EV, 5, 5 Idet nu og har vi således e -1 x Q1 =..2 x &.2 = Q3 x ~3 = Q..1 xq2 =..3',,... e2 x G..,. =..1'..3 x..1 = J -:;..2' X. y-= (x2y3-x3y 2 )..1 + (x3y1-x1y3)q2 + (x1y2-x2y1) 8 3 lx2 x3je lx3 x11. lx1 x k' :=: y y -1 + e y3 y 1 - y1 dvs. koordinaterne til lix v er 2. _, -~ y2.3 Eksempel. For to vektorer ~(x 1,,0) og y(y 1,y 2,o) liggende i x 1 -planen har ~ x v koordinaterne (o, o, x1 x2 y1 y2 Ligger ~ og y ikke på samm e linie, kan arealet af det parallel o- gram, ~ og y udspænder, når de afsættes fra samme punkt, derfor beregnes som den numeriske værdi af determinanten x1 x2 y1 y2 thi dette er jo længden af u x y. ).

22 Mat. 1, EV, 6, 1 tallet Ved rumproduktet 6, Rumprodukt af tre vektorer. [~~]af tre vektorer, B -~ og l ' tstås /.9. (Q; x $)o.9. /! f Vi vil søge den geometri~ke betydning af dette produkt. Først betragtes det tilfælde, hvor,]2 og.9. ikke ligger i < samme plan. Tænfer vi o~ l l de tre vektorer afsat fra s~e punkt, udspænder de et paralletepipedum. Som grundflade heri,kan vi j i tage det af Q os;' E. udsp~ndte parallelogram med arealet' j g x E. l; \ ' højden er da længden af Q' s projektion på gnmdfladenormalen,. \ dvs. på g x ]2's ~inie; volumenet er derfor den numeriske værdi l af (~ x ].) g_. Fottegne~ for (g x].) g, er positivt eller nega-, \ tivt, eftersom Q :J-iggef på samme eller på modsat side af den af og.12 udspændte plan J9m g x E,, dvs. eftersom g,b og g i denne rækkefølge er i højrestilling eller i venstrestilling. Ligger ~,]2 og.9. i samme plan, er(~ x ].) Q= O. Thi ligger l og E. på samme linie, er allerede x E. = O, og ellers ~å Q ligge i den af og E. udspændte plan, dvs. x E.).2. = O. Resultat: Rumprodlli{tet [~~~] er forskelligt fra O, netop hvis g,]. og Q ikke ligger i samme plan. Don numeriske værdi er da volumenet af det af de tre vektorer udspændte parallelepipedum, medens fortegnet angiver stillingen af g, b og g_, - positivt fortegn svarer til højrestilling. Ud fra rumproduktets geometriske (~li~j =::- ["Es:!:],;:: [~~~] -[ Q~l--= -[-S!E~L = -[~~~]. '\

23 Mat. 1, EV, 6, 2 Vi bemærker, a t parentesen i (. ;x}2,). ~ kan: undværes, således at man blot skriver ~x!2. ~ Denne betegnelse kan ikke misforstås, idet ~x(~ ~) er uden mening. - Når man skal skrive [~~~] ud på formen _ ;x}2. ~, sker der ingen skade, om man ombytter de to multiplikationstegn x og, idet. ;x}2. ~ = [~QQ] = [e~] = Qx~ ~ = ~!2,xQ. De te rminan t af 3. orden Udtrykket x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 benyttes som betegnelse for x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x3y2z1-x1y3z2~~2y1z3. Til støtte for hukommelsen bemærkes, at de tre 11 +led;' svarer til indbyrdes parallelle skrålinier i følgende skema x1 x2 x3 x1 x2 y1 y2 y3 y1 y2 z1 z2 z3 z1 z2 ' ligeså de tre "-led;'. Rumproduktet udtrlkt i koordinate! Lad der i rummet være givet et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystem. ~(z 1 For tre vilkårlige vektorer. ;(x 1,,x 3 ), E:(Y 1,y2,y3) og,z 2,z 3 ) finder ( x2 x31 ' y2 y3 vi, idet axb har koordinaterne for rumproduktet (~xb) ~ udtrykket altså ~~~ ~~~z1 + 1;~: ~:b + ~~: ~~~z3 '

24 Mat. 1, EV, 6, 3 Eksempler: x1 x2:.:x:3 [abc] --- = y1 y2 y3.. 'z1 z2 z3 l ----L Volumenet af et tetraeder OABC, hvor A, B og C har koordinaterne (x 1,,x 3 ), (y 1,y 2,y 3 ) og (z 1,z 2,z 3 ), medens O er koordinatsysternets begyndelsespunkt, er den numeriske værdi af 1 b x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 Under brug af, at tetraedrets volu~en er 1/3 højde gange grundflade, ser man nemlig, at det er 1/6 af volumenet af det parallelepipedum, der udspændes af OA, ~-og OC (tegn skitse). Ligning for en Elan. Lad en plan v være givet ved et punkt C(c 1,c 2,c ) og to vektorer ~(a 3 1,a 2,a 3 ) og b(b 1,b 2,b ), der ikke 3 ligger på samme linie. Idet vi m~d P(x 1,,x 3 ) betegner et vilkårligt punkt i rummet, gælder P i 'it <===> (~ x '!?_). CP = O, dvs. a1 a2 b1 b2 x1-c1 x2-c2 = o ' l! Som ligning for planen v har vi således eller, anderledes skrevet, a1 a2 a3 l l b1 b2 b3 = o J l l -~-. x1-c1 x2-c2 x3-c3! i a2 a3 l (x -c ) + a3 a1 ( -c 2 ) + a.1 a2 (x 3 -c 3 ) ~ b b 11 b b b b o. ~l )!

25 Mat.1, Koordina ttransfor ma tt on. Koordinattransformation i rumm~t. wære to koordinat~&tem~f i rwmm~t; wi kalder dem det gamle og det nye system. Vi itænke-r os det nye koordinat system fastlagt i forhold til det gamle derwed, at det nye begyndelsespunkt 6 har de gamle koordi- nater ('r 1,.Jjr 2,.,r 3 ), og de nye grundwektorer ~ 1, ~ 2, ~ 3 har de gamle koordinater (r 11, r 21,..r 31 ), (r j 2,,r 2_ 2,r 32 } og (r 1 y r 23, r 33 ).. Vi kan da udtrykke de gamle koordinater (x 1 "~~~) P wed de nye koordinater (x 1,,x 3 ) til samme punkt: cw = oa + ei'p =: o6' + xi~-1 + x2~2 + x3~3 til et "\?Jilkårligt pun.lf."e wektorligningen er nemlig ensbetydende med de tilsvarende ligninger mellem de ind.- ' gående v,ektorers gamle koordinater (jfr. EV~2,2), A x1 = r1 + r11x1 + r12x2 + r13x3 A... ~ ;:: r2 + r21x1 + r22.x:2 + r23x x3 = r3 + r31x1 + r32x2 + r33x3 A Betegner (x: 1 "~"~) og (x 1,.X 2,.X3) i stedet gamle og nye leoordinater til samme vektor ~ fremgår af ligningen A A A v = x1~1 + ~~2 + x3~3 føjlge nde koordinattransformationsformler: A x.1 = r 1 1 x.., + r 1.2x2 + r1.3x3 ' ' l A A " ~ = r21x1 + r22x2 + r23x3 A... " x3 = r31x1 + r32x2 + r33x3

26 Ma t. 11, EV,7,2 Nye koordinater (x 1,.X2.,.X 3 ) udtrykkes ved gamle (x 1,x~,x 3 ): på ganske tilsvarende måde, idet man jo kan lade de to koordinatsystemer bytte rolle. For punkter er således f' o r vektorer "' x1 = s1 + s11x1 + s1.2.x.2 + s13x3 "' x2 -- s2. + s2-1, x1 + s22x2. -h " x3 = s3 +r "' x1 - s2-3x3 s31xt + s32x2. + s33x3 ' s 1 x_,.~.,, l +r 8 12x2 + s13x3 "' x2 = s21 x1 + s22x2 + s23x3 "' x3 = s3t x1 + s32x2 -h s33x3 o ' her er ( s. 1,s 2, s 3 ) nye koordinater til det gamle begyndelsespunkt O og (s 11,s 21,s 31 }, (.s 12,s 22,,s 32 ) og (s 13,s 23,s 33 ) nye koordinater 'i\11 de gamle grundvektorer ~ 1, ~ 2 og ~ 3. Ov.:ergang f'ra koordinater med hensyn til et koordinatsystem til koordinater med hensyn til et andet kaldes koordinattransformation. Koordinattransformationen fra gamle koordinater (.x 1,,,x 3 ); til nye (x,.x2_,x ) f'or punkter, henllolids.vis. vektorer udtrykkes ved de sidst. 1 3 opskrevne koordinattransf'ormationsf'ormler; skemaet s1.1 s12 s13 s21 s22 s-23 s31 s af' koefficienter til x 1 _~ og x, kaldes koordinattransformations 3 matricen (en matrix er et rektangulært talskema}. Idet såvel det gamle som det nye koordinatsystem er sædvanlig~ retvinklet, vil koordinattransformationsmatricen være ortogonal, dvs.

27 EV,7,3 :for i f j :for i == j Venstre side udtrykker nemlig skalarproduktet e. e. i nye koordina -lt- -J ter. - Også matricen rt1, 1'12. r13 r21. r22 r2:3 r31 r32 r33 svarende til overgangen fra nye til gamle koordinater er naturligvis ortogonal. medens s j i har man... Da r.. er den i te gamle koordinat til e., altså ( j:f:r,:. EV, 3, 3) lj -J r.. = e.. e. = cos. Ce.,e.).l l J -J -l -l -J te er den j nye koo rdina-t- -ti.1 -~i, ~ (,., ). s.. == e.. e.. == c o æ; e.., e. :, J:L -l -J J s.. =L'.., J];_ lj altså i == 1,2,3, j ==- 1,2,3. Koordinat transformationsmat ri c.en _f'.or.over.gangen :fra gamle. til nye sædvanli&e retvinklede koordinater :fremgår således a:f matriaen for den omvendte koordinattransformation på simpel måde, nemlig ved såkaldt transpoi].ering, der kan beskrives som en spejling l!. 11 hoveddiagonalenir: l 81.1 s ) s21 s22_ 8 23 r 11: r 2.1 r31 = r12. n22 r32 s31 s / r13 r 2.3 r33 Dette vil man naturligvis benytte sig a:f, når det nye koordinatsystem er give.t ud :fra det gamle som i indledningen beskrevet., o.g.:formlerne :for overgang :fra gamle ithl nye. koordinater ønslces opski?e-wa-tt... For en plan rr givet v-ed ligningen.

28 Mat.1. :r EV,7,4 i nye: n.1 x:1 + n2x2 -h n3x_3 = k det gamle koordinatsystem opskrives umiddelbart en ligning i det ]adef vi nemlig som ovenfor (lx. 1,,X]} og (x 1,,x 3 ) betegne gamle- og nye koordinater for samme vilkårlige punkt P, gælder jo E tilhører 1T ~ n1x1 + n 2 + n 3 x 3 = k ~ ni (r1 + r11x1, + :v12x n2(r2 + n3(n r2.1x1 + r22x:2 + r13x3) r 2.3x3) "... + ]''31 x.1 + r32x2. + = k. r33x3) For en ret linie l gi ve t ved p.arameterfremstillingen x1 = a1 -tt tv, 1 x2 = a2. + tv 2, -oo < t < CO!J x3 = a3 + tv;3.?.i det gamle koordinatsystem, fås som parameterfremstil_ung i det nye A x1 =-s + 1 s11, (a1 + tv ) 1 + s12(a2 -h- tv }..; s13(a3 + tv 3 ), x2 = s2 + s21 (a1 + tv ) + s 1 22 (a + tv ) s2j(a3 + tv ), -co{it(oo o 3... x3 = a s31 Ca1 tv 1 ) + s32(a2 tv 2 ) + s33(a3 tv 3 Y, KoOJrdinattransformation i planen. Man finder her ganske tilsvarende forholcl som i nummet: Lad (O ;_~ 1 '~ 2 )l og ( 6; ~, 1 ~ ) være to koordinat sys terner i samme 2 plan; vi kalder dem det gamle og det nye system. Nye koordinater (x 1,x,..,) til et vilkårligt punkt P udtrykkes l c_ vgd gamle koordinater (x 1,_ )' til samme punkt ved koordinattransformationsformler

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere