Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1,

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1, 1964-65."

Transkript

1 Københavns Universitets Matematiske Institut. Matematik 1, ELEMENTÆR VEKTORREGNING. Forelæsninger af W. Fenchel og T. Gutmann Madsen med lån fra Børge Jessen: Lærebog i geometri, I. 1. Geometriske vektorer. 2. Sædvanligt retvinklet koordinatsystem. ~. Skalarprodukt af to vektorer. 4. Fremstillinger af linie og plan. 5. Vektorprodukt af to vektorer. 6. Rumprodukt af tre vektorer. 7. Koordinattransformation. 8. Isometrier.

2 Mat. 1, EV, 1,1 Ved en geometrisk vektor forstås et liniestykke i det sædvanlige rum, forsynet med en bestemt gennemløbsretning (på en figur angivet ved en pil). Betegnes be~;ndelsespunk~t med P og ~-.. ~ endepunktet med Q, vil vi for vektoren benytte betegnelsen PQ. To sådanne liniestykker PQ og RS skal dog opfattes som..e!-jd.gle ~ktor, såfremt de blot har samme størrelse og retning, d>rs. såfremt de ved parallelforskydning kan bringes til dækningo Q En vektor vil vi også betegne med et enkel t, understrege /~ bogstav; således er på figuren brugt betegnelsen y. Længden af en vektor ~betegnes /y/. Ethvert par af p~~kter P og Q i det sædvanlige rum bestemmer ~ således en (geometrisk) vektor v = PQ, - forudsat P og Q er forskellige. Også når P og Q falder sammen, vil vi imidlertid sige, at de bestemmer en vektor, nemlig ~J~~kto~~' som vi vil betegne Q. Denne tilskrives længden O, men ingen retningc De øvrige vektorer kaldes egentlige vektorer. For ethvert punkt P og enhver vektor v findes netop et o ~ punkt Q, saledes at PQ = y. Vi siger, at Q fremkommer ved afsætning af vektoren v ud fra punktet P. For geometriske vektorer indfører vi nu to ~åkaldt regneoperationer. lineære)

3 Mat. 1, EV, 1, 2 Addition af vektorer. ~ :;' t Y ~ For at definere summen u + v af to vektorer ~ og v vælger vi et vilkårligt punkt P og afsætter rørst Eg = ~~ dernæst 2E = ~ Vektoren ~ er da åbenbart uafhængig af det valgte begyndelsespunkt P og betegnes u + v. ~ltt~~kation ar vektorer med tal~ Ved produktet av eller ~a af en vektor~ og et reelt tal a forstås nulvektoren, såfremt a=o eller ~=Q, ellers (altså når både a+o og ~+Q) den egentlige vektor, hvis længde er lal 1~1, og som har samme eller modsat retning som ~' eftersom a>o eller a( O. Vi noterer følgende regneregler, hvis gyldighed det overlades læseren at gøre sig klart. u + v = v +u - ' u + (~ + ~) = (E; + y) +w ' v + o = v, v + (-1)]: = o - - ' a(b~) av = v a ' = (ab)~ ' a(e; + y) = au + av ' (a +b)~ = av + bv ' 1v = v For en vilkårlig vektor v siger man, at (-1)~ er y's~~satte vektor, og benytter også betegnelsen -v. -v er eneste løsning til ligningen v + x = o

4 Mat. 1, EV, 1, 3, Til to vilkårlige vektorer u og y findes netop en vektor!' således at y +! = :!:!' nemlig :!:! + (-v); denne vektor kaldes differensen mellem.:!:! og.~ og betegnes kort u - v. - Stedvektorer. Vi tænker os valgt et fast punkt O i rummet. For ethvert punkt P kaldes nu vektoren v = OP for P's stedvektor (svarende til begyndelsespunktet O). Herved har nu ikke blot ethvert punkt en bestemt stedvektor, men enhver vektor er stedvektor for netop et punkt, - der er tilvejebragt en enentydig korrespondance mellem rummets punkter og dets vektorer. Et par simple eksempler på, hvordan man ved regning.med s tedvektorer kan udlede geo.me tri.ske. sætninger: p 1 Q Midtpunktet M af et liniestykke PQ, hvis endepunkter har stedvektorerne y og!' har stedvektoren OM= OP PD =_v+ i(w-v) = i(v +w). ~ _ 2.- Ligger O ikke på linien PQ, udsiger dette resultat, at diagonalerne i det af OP og OQ udspændte parallelogram halverer hinanden; thi y+! er jo netop stedvektoren for den til O diametralt modsatte vinkelspids. 2. I e.n trekant ABC, hvis vinkelspidser har stedvektorerne ~' b og ~betragtes det punkt T på medianen CM, som bestemmes 1 ved, at MT_= 3MC. Som sted.vektorfor.t-finder vi da

5 Mat. 1, EV 1, 4 Da dette udtryk er symmetrisk i ~' ~ og c, indeholder dette den bekendte sætning, at medianerne i en trekant går gennem samme punkt T; og at dette punkt deler hver af' dem {indvendigt) i forholdet 2. Vektorer,:eå en linie,. vektorer i en plan. l Da en vektor kan afsættes ud f'~a ethvert punkt i rummet, mener vi, når vi siger, at en vektor ~ ligger på en linie eller i en plan, at vektoren kan anbringes på linien eller i planen, altså at den enten er nulvektoren elter en egentlig vektor parallel med linien elle~ planen. Vi bemærker, at summen af to vektorer i en plan ~ en vektor i~' og at produktet af et tal og en vektor i 'IT ligeledes er en vektor i 'IT; atter er de opstillede regneregler bevarer deres gyldighed, når mårt indskrænker sig til at betragte vektorerne i 'IT. En ti.lsvarende bemærkning gælder for vektorerne på en linie.

6 Mat. 1, EV, 2,1 2. Sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Et ~sædvanligt) retvinklet koordinatsystem i en plan er givet ved to på hinanden vinkelrette orienterede linier x 1 og x2, koordinatakserne, gennem et punkt o, begyndelsespunktet. (En længdeenhed tænkes valgt en gang for alle.) Enhedsvektorerne ~ 1 og ~ 2 på akserne kaldes koordinatsystemets grundvektorer. (En cnhedsvek to r er en vektor af' længden 1 ) Idet koordinatsystemet er bestemt ved opgivelse af 0,~ 1 og ~ 2 ~ vil vi forudenxx 1 benytte betegnelsen (0,2 1,~ 2 ) P - l l, ~2 l...-..r~r-_;,._ x1 o ~1 Koordinaterne (x 1, ) til et punkt P i planen er som bekendt de med fortegn regnede længder af liniestykkerne OP 1 og OP 2, hvor P 1 og P 2 er P's (retvinklede) projektioner på akserne x 1 og Man bemærker, at vi for P's stedvektor y = Qæ har Y =OP = OP 1 +0P 2 = x 1 ~ 1 + ~ 2, samt at (x 1, ) er det eneste talpar, således at y= x 1 ~ Idet enhver vektor L-planen _er stedvektor for et punkt, har vi således: Til enhver vektor y i--planen i' inde s et og kun et talpar (x 1, ), således at Y = x1~1+x2~2 Definition: x 1 og kaldes koordinaterne ~j.j. --be-tragtede koordinatsystem. y_oktor-en y i det Bemærk: et punkt og dets stedvektor har samme koordinater. Et (sædvanligt) retvinklet koordinatsystem i rummet er

7 Mat. 1, givet ved tre orienterede linier x 1,X 2 og x 3, koordi.natajmor ne_. som alle går gennem et punkt O, begyndelsesrmnkte~, og S0i1\ to og to er vinkelrette. Enhedsvektorerne.Q1'.Q 2 og ~ 3 på akserne ka~.ldes koordinatsystemets grundvektorer. Idet koordinatsystemet er be~ stemt ved opgivelse af 0,. 1,Q 2 og. 3' vil vi foruden x 1 x 3 b::::- nytte b&tegnelsen (O ' ~ 1,_~ 2, :~ 3 ). Koordinaterne (x 1,,x 3 ) til et punkt P i rurnmet er de med fort egn regnede længder af lini,estykkerne OJ? 1, OP 2 og OE:J, hvor P 1,P 2 og P 3 er P's (retvinklede) projekttoner på akserne x 1, og x 3. Til enhver vektor v i rwnmet findes et og kun et talsæ-t. (x 1,,x 3 ), således at v =_x1~1~x2e2+x3~3" Definition: x 1, og x 3 ka~des ~~~rdinaterne til vektoren v l i det betragtede koordinats~stem. Bemærk: et punkt og /~ets / ' stedvektor hp.r 2amme koordjnate~r De lineære regneoperationer udtrykt i koordinaj;.. l:, Vi tænker os valgt 13t i Lad vektorerne u og ~ l i koordinatsystem (0 1 f. 1,g_ 21 f:. 3 )..:.. have koordinaterne (x. 1,,x 3 ) og rummet. u = x1~1 + x2f2 + x3~3' v = Y1~1 + Y2!2 + Y3~3 \ Ved benyttelse af regnereglerne for vektorer finder vi ' u+ v= (x1+y1 )_.1 '.+ (x2+y2).2 + (x3+y3) ~3' au = ax 1 ~ 1 + ax~. 2 + ax 3.Q 3, (a_j3r et vilkårljgt reelt ~al), dvs. ~+y har. koordinatorne (x 1 +y 1, +y 2,x 3 +y 3 ), a~ har koordinaterne (ax 1,a,ax 3 ). Vj_ har altså: Lineære regninger med y~rer afsp~jl~r sjg_i_g,~ske ~~

8 Mat. 1, EV, 2, 3 Mærk: Q har koordinaterne (0,0,0), -u= (-1)~ har koordinaterne (-x 1,-,-x 3 ), 7u-2v har koordinaterne (7x 1-2y 1,7-2y 2,7x 3-2x 3 ), osv. Har punkter~~ P og Q koordinaterne (x 1,,x 3 ) og (y 1,y2_,y 3 ), da har vektoren PQ koordinaterne thi PQ = QQ--0~, (y1--x1?y2- x2,y3-x3); hvor.99 og Q;I: jo har koordinaterne (y 1,y 2,y 3 ) og (x1,x2,x3). Eksempler: 1. Midtpunktet M af et liniestykke PQ, hvis endepunkter har koordinaterne (x 1,,x 3 ) og (y 1,y 2,y 3 ), har koordinaterne x1+y1, x2+y2 ( ' 2 2 thi ifølge 1, eks. 1 er OlVI = OP, + OQ 2 ' ~3+~) 2 2. Skæringspunktet T mellem medianerne-i_ en trekant ABC, hvis vinkelspidser har koordinaterne (a 1,a 2,a 3 ), (b 1,b 2,b 3 ) og thi ifølge 1, eks. 2 er OA + OB + OC OT - 3

9 ~~at. 1, Skalar12rodukt af to vektor~~ - ~, l Ved det skalære (eller indre) produkt!.y. af to vektorer!. og il forstås tallet O 1 hvis en af vektorerne er nul vektoren:; ellers (altså når begge vektorer er egentlige) produktet af ")'~-.../....,..-./ / deres længder og /osinus af deres viru{el, altså J l j!_ ;y = l!.ll~l cos(~,;x:). Det bemærk,s, at vi for to egentlige vektorer ~ og,r. med l (!_,;y) betegner Jen vinkel i intervallet [O~~] ~som dannea af de to vektorer,'når de afsættes fra samme punkt. l l ' r~ærk: skalarproduktet af to vektorer er et t.l (en skalar) < i - Man ser-, at ~kalarproduktet af to egentlige vektorer or P')Si.~,. l tivt, nul ellef negativt, eftersom vinklen mellem vektorerne: ur spids, ret eller stump.! l Når!. e,r en egentlig vektor, kan dens skalære produk-c ~"" ;;~ / l med en vilkårlig vektor y_ også defineres som produktet af 13.1 l! med længden af ;y's projektion på.f's linie, regnet med fortegn i overens.s,iemmelse med den ved!. fastlagte retning. / \ / il il=o, e;,/lærgden af projektionen o, og er YfQ"'_, jekti9nen fetop IIIcos(.f,~).! Den m~d er længden af :?ro- fortegn regnede længde af projektionen af on vektor il på en qr;lenteret linie l kan således udtrykkes / l / l. ;y / 1/. hvor Ji er enhedsvektoren på l. Projektionen selv er \ i (. X)Q! Ilet skalarprodukt tillader man sig ikke, som ved sædvan:l-.tg j multiptikation, at udelade prikken. Dog skrives i stedet for L 2 ~ ~ ogsa!. ; '" ~- 2 l 2!.-~~ = x = 2f l. -,, \ \ ifølge definitionen er ----F-or det skalære produkt gælder ~ ~- Tlu er- --~-

10 Mat. 1, EV, 3, 2 1!!_ Y.. = y_!!_ ' 2. (!!_ '+!::_") Y.. =!!_' y_ + xil y_ 3. (8.2f) y_ = a(!!_ ~), 4. ~+Q => ~~-~ > o. prøver de forskellige muligheder: 1) ~eller~ er nulvektoren, 2) ~ og y_ er egentlige og henholdsvis a>o, a=o, a<d. 2. er indlysende for ~=Q. For ~+Q kan man benytte, at længden af projektionen af~'+~" på ;y's linie regnet med fortegn netop er summen af længderne af projektionerne af!!.' og~~~ regnet med fortegn. også Eksempel. Som følge af 1. gælder naturligvis sammen med 2.!!_ (y'+~")= ~ ;z,'+ "?;.;,Y..Ii Heraf følger umiddelbart, at man kan "gange parenteser ud' 1 1. og 4. er klare. 3. fremgår af definitionen, når man gennem nøjagtig som for tal. Eksempelvis findes til bestemmelse af længden af en differens af to vektorer~ = g g - Q"R - b a + R"R = Q 2 + h 2-2(g R) = IQI 2 + IRI 2-2(Q ~). Ligger g og R ikke på samme linie, går denne relation ved indsætning af udtrykket for ~ h over i cosinusrelationen i den plane trigonometri. Er specielt ~ og Q vinkelrette på hinanden, altså Q"R = O, fås lg- hl 2 = 1~1 2 + lhl 2, altså Pythagoras' sætning.

11 M a t 1, EV, 3, 3 Skalarproduktet udtrykt i koordinater Lad der i rummet vwre givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem (0;~ 1,~ 2,~ 3 ). For to vilkårlige vektorer ~(x 1,,x 3 ) og x(y 1,y 2,y ), dvs. 3 og finder vi ved brug af regnereglerne 2f Y. = + x2y1~2 ~1 + x2y2~2'~2 + x2y3e2 ~3 + x3y1~3 ~1 + x3y2~3'~2 + x3y3~3.e3 Da nu ~ 1,~ 2 og E,. 3 or tmhoi~_svd{toror>, to og to vinkelrettu, dvs. e. e. ~ -J. -J = [o1 for i=j, for itj, har vi således følgende simple koordinatudtryk for det skalære produkt: Specielt har vi formlen ~1 = X X = x x 3 for længden af en vektor ~(x,x 1 2,x ). Endvidere bemærker vi 3 ~ ~1 = x1' ~ ~2 = x2, ~ ~3 = x3' dvs. vektorens koordinatc;;r er dens skalrare produkter med grundvektorerne. Eksempel. Retningsvinklerne for en orienteret ret linie l er viru{lerne med koordinatakserne a 1 = (x 1,l), a 2 = (,1), a 3 = (x 3,1). cosa 1, cosa 2, cosa 3 kaldes liniens retningscqsinusser. De er åben bart koordinator til enhedsvektoren ~på l. Vi har således cos a 1 + cos a 2 * cos a 3 = 1 Vinklen mellem to orienterede rette linier l og m med retningsvinkler a 1,a 2,a 3 og ~ 1,~ 2,~ 3 bestemmes ved

12 Mat, 1, EV, 3, 4 højre side i ligningen udtrykker n~mlig skalarproduktet af enhedsvektorerne på de to linier. For to vektorer ~(x 1, ) og ~(y 1,y 2 ) i en plan, i hvilken der er givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem (0,~ 1,~), findes, på ganske samme måde som i rummet, ~oz = x1x2 + y1y2 Eksempel. For et vilkårligt tal ep betegner vi med e den: -q> enhedsvektor i planen, der fremgår af.. 1 ved drejningen ep i retning mo1.. ; e({j har koordinaterne (cosqf~sincp). Vi finder herved 2 cos(cp-ø) ; cos(e~,eø) = ~ ~ = coscp cosø +si~ sinø, dvs. formlen for cosinus til en differens.

13 Mat. 1, EV, 4, 1 4. Fremstillinger af linie og plan. Parameterfremstilling for ret linie. Vi tænker os i rummet valgt et begyndelsespunkt O for stedvektorer. Man siger, at OP = OA + tv, ~oo( t(oo, er en parameterfremstilling for linien l. - Vi bemærker, at hvert punkt p på l svarer til netop en parameterværdi t. Er O begyndelsespunkt i et koordinatsystem (0,2_ 1,~ 2,e 3 ), kan vi oversætte fra vektorer til koordinater: x 1 = a 1 + tv 1, = a 2 + tv 2, x 3 = a 3 + tv 1, -oo( t(oo Her er (x 1,,x 3 ), (a 1,a 2,a 3 ) og (v 1,v 2,v 3 ) koordinater til P, A og y:. Omvendt: For vilkårligt givne tal (a 1,a 2,a 3 ) og (v 1,v 2,v 3 ) + (0,0,0) vil (*), i et forela~t koordinatsystem, fremstille en ret linie (nemlig den ved A(a 1,a 2,a 3 ) og y:(v 1,v 2,v 3 ) bestemte). Ofte vil en linie l være givet ved to punkter A(a,a 1 2,a ) 3 og B(b,b 1 2,b ). l kan da også opfattes som bestemt ved A og 3 vektoren y= AB med koordinater (b -a,b a,b -a 2 ), hvorfor 3 3 en parameterfremstilling (*) umiddelbart kan opskrives. Tegn

14 Mat. 1, EV, 4, 2 skitse og find de punkter på l, der ved denne parameterfremstilling svarer til parruneterværdierne 1, 2, 1/2, O, -1. Eksempel. I et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en linie l givet ved en parameterfremstilling (*). Med C' betegnes den retvinklede projektion på l af et pm1kt C(c 1,c 2,c 3 ). Vi vil bestemme koordinaterne (c1,c2,c3) til C'. Vor viden om C' kan udtrykkes~ 1. For et vist tal t' er OC' = OA + t'y, 2. C'C ;y: =O. O pgaven er l øs t, bl o t Vl. h ar b es t em t t l, o ( c l ' l ). l d 1,c 2,c Vl a 3 fremgå ved indsætning af t' i (*). dermed Idet (OC-OC') ;y: =O har vi imidlertid = OA v + t'v v, = OC' v -- dvs. Ligning for plan. Vi tænker os i rummet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med begyndelsespunkt O. Lad en plan 1T være givet" ved e~ punkt A( a, 1 a, 2 a ) i 1T 3 og en egentlig vektor g(n,n 1 2,n ) vinkelret på 1T. Idet vi med 3 P(x 1,,x ) betegner et vilkårligt punkt i rummet, gælder 3 dvs. p i 1T p i 1T ~ g p;p = o '

15 Mat. 1, EV, 4, 3 altså hvor k = n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 Man siger, at (**) n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 =k er en ligning for planen v., Omvendt: For vilkårligt givne tal (n 1,n 2,n )f(o,o,o) og k 3 vil (:o,ni:) være ligning for en plan. Vælger man nemlig et punkt A(a,a 1 2,a ), således at 3 vil (*~:)! n1a1+n2a2+~3a3 = k, ' jo være en ligning for planen gennem A vinkelret på n(n1,n2,n3).. Et punkts afstand fra en plan. i Lad i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem en plan 1T være givet ved en ligning n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 - k = O. Q(n 1,n 2,n 3 ) er altså en vektor vinkelret på v. Tænker vi os valgt et punkt A(a 1,a 2,a 3 ) i v, har vi for et vilkårligt punkt P(x 1,,x 3 ) i rummet n1x1+n2x2+n3x3-~ = n1x1+n2x2+n3x3-n1a1-n2a2-n3a3 = n 1 (x 1 -a 1 )+n 2 ( -a 2 )+n 3 (x 3 -a 3 ) = g AP. Nu er n AP produktet af lnl og den med fortegn regnede længde af AP's projektion p~ fladenormalen orienteret ved Q, dvs. produktet af lnl og afstanden fra 1T til P (regnet med fortegn). Vi har således: Afstanden fra 1T til et vilkårligt punkt P(x 1,,x 3 ) i rummet, regnet med fortegn i overensstermnelse med retningen af ~, ]2e.st-errur1~s ved l k

16 Mat. 1, EV, 4, 4 Særlig bekvem er afstandsbestemmelsen naturligvis i tilfæl-,... l de ai, at ~~ = n 1 +n 2 +n 3 = 1; planens ligning siges da at være normeret. n 1 x 1 + n 2 + n 3 x 3 - k = O /

17 Mat. 1, EV, 5, 1 5. Vektorprodukt af to vektorer. Højrestilling og venstrestilling: Tre egentlige vektorer ]d, :y: og li' der ikke ligger i sarnmo plan, vil, taget i nævnte rækkefølge, være enten i højrestilling eller i venstrestilling (ikke begge dele). For geometrien or det af betydning, at der findes to slags sæt af tre vektorer, men ligegyldigt hvilken slags der kaldes højre-, hvilken venstrestillet. Ved anvendelser på det sædvanlige dagligdags rrun vi lever i, bruges tommel-, pege og langfinger på højre hånd som model på tre højrestillede vektorer; ]d, :y: og li siges at være i højrestilling, hvis den korteste drejning fra :d til y_, set fra den ved li bestemte side af planen udspændt af ]d og y_, er modsat urvisernes retning, - herved er de tre vektorer tænkt afsat fra samme punkt Ved kredsforskydning ~f tre vektorer, dor ikke ligger i samme plan, bevares stillingen; ombyttes to af dem, ændres stillingen. Er ]d,y_,~ f.eks. i højrestilling, gælder det samme om Y,,li,]d og li,]d,y_, medens ]d,~,y_, Y,,]d,li og li,y,,]d er i venstrestilling. ) i rummet kaldes et højre Et koordinatsystem (O,Q 1,~ 2,~ 3 system eller et vonstresystem, eftersom Q 1,~ 2,~ 3 er i højreeller venstrestilling. Vektorprodukt. Ved vektorproduktet ~ x Y. af to vektorer ~ og ~ forstås, såfremt vektororne or egentlige og ikke parallelle, den vektor, hvis længde er som er vinkelret på både ]d og Y. og således rettet, at ~,y,g x v

18 Mat. 1, EV, 5, 2 i denne rækkefølge er i højrestilling. u x v..,.. 7.: l,.-' i. -..,_~_r ~~ l l / / ~. '""- / ',. 1_1-!--. Tænkes vektorerne afsat~ samme punkt, kan længden af l! )< også ru1gives som arealet af det parallelogram, der udspændes af ~ og y_. Er :9: eller Y. nulvektoren, eller er l! og y_ egentlige~ men parallelle, forstås ved u x Y. nulvektoren. Formlen y gælder således, blot u og Y. er egentlige. Bemærk~ vektorproduktet af to vektorer er en y~_lf.iq.l.:.. Betegnelsen :!:1 2 er allerede benyttet for det skalære produkt, :!:! l! og kommer derfor ikke i betragtning for vektorproduktet l! x 11; en særbetegnelse herfor er imidlertid også overflødj_g~ thi ifølge definitionen er jo altid }lx~=q. Den kommutative l.ov gælder ikke for vektoriel mul tiplilca-- tion, men erstattes af reglen For tre vilkårlige vektorer l!' Y. og ~ har både (B x y) og l! x (y_ x]!) mening, men de to udtryk betegner i alrnindeligl:c) ~~ forskellige vektorer. F.eks. er (~ 1 x ~ 1 ) x ~ 2 =Q, men hvor ~ 1,... 2 er de to første grundvektorer i et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystcm. Den associative lov gælder såled~s. i~~lf for vektoriel multiplikation.

19 Mat. 1, EV, 5, 3 Derimod gældbr den distributive lov: Samtidig vil vi vise J:! x (,:y: + }:!) = J:! x y_ + ~ x li. u x(a,:y:) = a(j:! x y_), hvor a er et vilkårligt tal. For u = Q er begge ligninger indlysende. Det er derfor nok at føre et bevis for det tilfælde, at J:! Hertil vil vi, idet vi tænker os J:! er en egentlig vektor. fastholdt, give en hensigts- mæssig beskri.velse af vek.torprodukt~t J:! x ~ for vilkårlige /.. / vektore:b ~ -"For simpclheds skyld tænker vi qs alle vektorer afsat fra ) samme punkt O; lad IT være planen genpem O vinkelret på J:! (tegn skitse). For enhver vektor~ er nu. hvor ~' = PIT(~) i betegner projektionen af~ på IT (overvej dette); l J:! X ~ ligger da i IT og fremgår ar ~-' Ved. en drejning af størrel- Se ~(i retningen modsat urviser71-es, set fra J:! 1 S endepunkt), f efterfulgt af en multiplikation Jiled l:!:!l Betegner vi med x"= D(~') således i den vektor i a-, der fremgår ved drejningen alene, har vi og dermed Nu er åbenbart (,:y:+}:!) l = P a--- (v+w) = P a-- (v) + P a-- (w) (y_+}:!)" = D(v'+w' )'= D(v') + D(w') ~ ~----- =y_' +!!' ' = v"+w", Ligeledes :!:! x (y_+:y~) =-1:!:!1 (y_+}:!)" = l:!:!! Y.." + Lullf" =u x y_+:!:! x w (_ (a_y)' = P a-(a:y:). = apit(y) = ay_' (a:y:)" = D(a:y:') = ad(v') =av"

20 M a t 1, EV, 5, 4 og dermed ~x. (a:y:) = l:!::!:l(a:y)" = al:gly" =a(~ x y). Eksempel. Naturligvis gælder også den anden form af den distributive lov såvel som reglen (y +!) x u = y x u +! x u (ay) x :9; = a(y x:!!); thi ombyttes faktorerne i alle vektorprodukterne, skifter disse alle fortegn. Man har derfor f.eks. når man således "ganger parenteser ud", må man være opmærksom på, at man i vektorprodukterne på højre side stadig skal tage faktoren fra den første parentes først; faktorernes orden er jo her ikke ligegyldig. Eksempelvis finder vi (~+~) x (~+Q) = a x~ + Q x ~ + a x b + b x b eller O = b x ~ + a x Q i overensstemmelse med, at b x ~ = -~ x Q Endvidere som udtrykker en elementær sætning om parallelogramarealer. Vektorproduktet udtrykt i koordinater. \ l, \ l l ' ) l!, l t l,(,. '\ \ Lad der i rummet være givet et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystem (0,~ 1,~ 2,~ 3 ). For to vilkårlige vektorer };!(x,x,x ) og y(y,y ,y ), dvs. 3 :!::!: = x1~1 +x2e.2+x3~3 og Y = Y1~1 +y2~2+y3~3 ' finder vi ved brug af regnereglerne u x v = x1 Y1~1 x ~1 + x1y2~ x ~2 + x1y3~1 x ~3 + x2y1~2 x e 1 + x2y2~2 x ~2 + X2Y3SJ.2 x ~3 + x3y1~3 x ~1 + x3y2~3 x ~2 + X3Y3~3 x ~3 6-

21 Mat. 1, EV, 5, 5 Idet nu og har vi således e -1 x Q1 =..2 x &.2 = Q3 x ~3 = Q..1 xq2 =..3',,... e2 x G..,. =..1'..3 x..1 = J -:;..2' X. y-= (x2y3-x3y 2 )..1 + (x3y1-x1y3)q2 + (x1y2-x2y1) 8 3 lx2 x3je lx3 x11. lx1 x k' :=: y y -1 + e y3 y 1 - y1 dvs. koordinaterne til lix v er 2. _, -~ y2.3 Eksempel. For to vektorer ~(x 1,,0) og y(y 1,y 2,o) liggende i x 1 -planen har ~ x v koordinaterne (o, o, x1 x2 y1 y2 Ligger ~ og y ikke på samm e linie, kan arealet af det parallel o- gram, ~ og y udspænder, når de afsættes fra samme punkt, derfor beregnes som den numeriske værdi af determinanten x1 x2 y1 y2 thi dette er jo længden af u x y. ).

22 Mat. 1, EV, 6, 1 tallet Ved rumproduktet 6, Rumprodukt af tre vektorer. [~~]af tre vektorer, B -~ og l ' tstås /.9. (Q; x $)o.9. /! f Vi vil søge den geometri~ke betydning af dette produkt. Først betragtes det tilfælde, hvor,]2 og.9. ikke ligger i < samme plan. Tænfer vi o~ l l de tre vektorer afsat fra s~e punkt, udspænder de et paralletepipedum. Som grundflade heri,kan vi j i tage det af Q os;' E. udsp~ndte parallelogram med arealet' j g x E. l; \ ' højden er da længden af Q' s projektion på gnmdfladenormalen,. \ dvs. på g x ]2's ~inie; volumenet er derfor den numeriske værdi l af (~ x ].) g_. Fottegne~ for (g x].) g, er positivt eller nega-, \ tivt, eftersom Q :J-iggef på samme eller på modsat side af den af og.12 udspændte plan J9m g x E,, dvs. eftersom g,b og g i denne rækkefølge er i højrestilling eller i venstrestilling. Ligger ~,]2 og.9. i samme plan, er(~ x ].) Q= O. Thi ligger l og E. på samme linie, er allerede x E. = O, og ellers ~å Q ligge i den af og E. udspændte plan, dvs. x E.).2. = O. Resultat: Rumprodlli{tet [~~~] er forskelligt fra O, netop hvis g,]. og Q ikke ligger i samme plan. Don numeriske værdi er da volumenet af det af de tre vektorer udspændte parallelepipedum, medens fortegnet angiver stillingen af g, b og g_, - positivt fortegn svarer til højrestilling. Ud fra rumproduktets geometriske (~li~j =::- ["Es:!:],;:: [~~~] -[ Q~l--= -[-S!E~L = -[~~~]. '\

23 Mat. 1, EV, 6, 2 Vi bemærker, a t parentesen i (. ;x}2,). ~ kan: undværes, således at man blot skriver ~x!2. ~ Denne betegnelse kan ikke misforstås, idet ~x(~ ~) er uden mening. - Når man skal skrive [~~~] ud på formen _ ;x}2. ~, sker der ingen skade, om man ombytter de to multiplikationstegn x og, idet. ;x}2. ~ = [~QQ] = [e~] = Qx~ ~ = ~!2,xQ. De te rminan t af 3. orden Udtrykket x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 benyttes som betegnelse for x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x3y2z1-x1y3z2~~2y1z3. Til støtte for hukommelsen bemærkes, at de tre 11 +led;' svarer til indbyrdes parallelle skrålinier i følgende skema x1 x2 x3 x1 x2 y1 y2 y3 y1 y2 z1 z2 z3 z1 z2 ' ligeså de tre "-led;'. Rumproduktet udtrlkt i koordinate! Lad der i rummet være givet et sædvanligt retvinklet højrekoordinatsystem. ~(z 1 For tre vilkårlige vektorer. ;(x 1,,x 3 ), E:(Y 1,y2,y3) og,z 2,z 3 ) finder ( x2 x31 ' y2 y3 vi, idet axb har koordinaterne for rumproduktet (~xb) ~ udtrykket altså ~~~ ~~~z1 + 1;~: ~:b + ~~: ~~~z3 '

24 Mat. 1, EV, 6, 3 Eksempler: x1 x2:.:x:3 [abc] --- = y1 y2 y3.. 'z1 z2 z3 l ----L Volumenet af et tetraeder OABC, hvor A, B og C har koordinaterne (x 1,,x 3 ), (y 1,y 2,y 3 ) og (z 1,z 2,z 3 ), medens O er koordinatsysternets begyndelsespunkt, er den numeriske værdi af 1 b x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 Under brug af, at tetraedrets volu~en er 1/3 højde gange grundflade, ser man nemlig, at det er 1/6 af volumenet af det parallelepipedum, der udspændes af OA, ~-og OC (tegn skitse). Ligning for en Elan. Lad en plan v være givet ved et punkt C(c 1,c 2,c ) og to vektorer ~(a 3 1,a 2,a 3 ) og b(b 1,b 2,b ), der ikke 3 ligger på samme linie. Idet vi m~d P(x 1,,x 3 ) betegner et vilkårligt punkt i rummet, gælder P i 'it <===> (~ x '!?_). CP = O, dvs. a1 a2 b1 b2 x1-c1 x2-c2 = o ' l! Som ligning for planen v har vi således eller, anderledes skrevet, a1 a2 a3 l l b1 b2 b3 = o J l l -~-. x1-c1 x2-c2 x3-c3! i a2 a3 l (x -c ) + a3 a1 ( -c 2 ) + a.1 a2 (x 3 -c 3 ) ~ b b 11 b b b b o. ~l )!

25 Mat.1, Koordina ttransfor ma tt on. Koordinattransformation i rumm~t. wære to koordinat~&tem~f i rwmm~t; wi kalder dem det gamle og det nye system. Vi itænke-r os det nye koordinat system fastlagt i forhold til det gamle derwed, at det nye begyndelsespunkt 6 har de gamle koordi- nater ('r 1,.Jjr 2,.,r 3 ), og de nye grundwektorer ~ 1, ~ 2, ~ 3 har de gamle koordinater (r 11, r 21,..r 31 ), (r j 2,,r 2_ 2,r 32 } og (r 1 y r 23, r 33 ).. Vi kan da udtrykke de gamle koordinater (x 1 "~~~) P wed de nye koordinater (x 1,,x 3 ) til samme punkt: cw = oa + ei'p =: o6' + xi~-1 + x2~2 + x3~3 til et "\?Jilkårligt pun.lf."e wektorligningen er nemlig ensbetydende med de tilsvarende ligninger mellem de ind.- ' gående v,ektorers gamle koordinater (jfr. EV~2,2), A x1 = r1 + r11x1 + r12x2 + r13x3 A... ~ ;:: r2 + r21x1 + r22.x:2 + r23x x3 = r3 + r31x1 + r32x2 + r33x3 A Betegner (x: 1 "~"~) og (x 1,.X 2,.X3) i stedet gamle og nye leoordinater til samme vektor ~ fremgår af ligningen A A A v = x1~1 + ~~2 + x3~3 føjlge nde koordinattransformationsformler: A x.1 = r 1 1 x.., + r 1.2x2 + r1.3x3 ' ' l A A " ~ = r21x1 + r22x2 + r23x3 A... " x3 = r31x1 + r32x2 + r33x3

26 Ma t. 11, EV,7,2 Nye koordinater (x 1,.X2.,.X 3 ) udtrykkes ved gamle (x 1,x~,x 3 ): på ganske tilsvarende måde, idet man jo kan lade de to koordinatsystemer bytte rolle. For punkter er således f' o r vektorer "' x1 = s1 + s11x1 + s1.2.x.2 + s13x3 "' x2 -- s2. + s2-1, x1 + s22x2. -h " x3 = s3 +r "' x1 - s2-3x3 s31xt + s32x2. + s33x3 ' s 1 x_,.~.,, l +r 8 12x2 + s13x3 "' x2 = s21 x1 + s22x2 + s23x3 "' x3 = s3t x1 + s32x2 -h s33x3 o ' her er ( s. 1,s 2, s 3 ) nye koordinater til det gamle begyndelsespunkt O og (s 11,s 21,s 31 }, (.s 12,s 22,,s 32 ) og (s 13,s 23,s 33 ) nye koordinater 'i\11 de gamle grundvektorer ~ 1, ~ 2 og ~ 3. Ov.:ergang f'ra koordinater med hensyn til et koordinatsystem til koordinater med hensyn til et andet kaldes koordinattransformation. Koordinattransformationen fra gamle koordinater (.x 1,,,x 3 ); til nye (x,.x2_,x ) f'or punkter, henllolids.vis. vektorer udtrykkes ved de sidst. 1 3 opskrevne koordinattransf'ormationsf'ormler; skemaet s1.1 s12 s13 s21 s22 s-23 s31 s af' koefficienter til x 1 _~ og x, kaldes koordinattransformations 3 matricen (en matrix er et rektangulært talskema}. Idet såvel det gamle som det nye koordinatsystem er sædvanlig~ retvinklet, vil koordinattransformationsmatricen være ortogonal, dvs.

27 EV,7,3 :for i f j :for i == j Venstre side udtrykker nemlig skalarproduktet e. e. i nye koordina -lt- -J ter. - Også matricen rt1, 1'12. r13 r21. r22 r2:3 r31 r32 r33 svarende til overgangen fra nye til gamle koordinater er naturligvis ortogonal. medens s j i har man... Da r.. er den i te gamle koordinat til e., altså ( j:f:r,:. EV, 3, 3) lj -J r.. = e.. e. = cos. Ce.,e.).l l J -J -l -l -J te er den j nye koo rdina-t- -ti.1 -~i, ~ (,., ). s.. == e.. e.. == c o æ; e.., e. :, J:L -l -J J s.. =L'.., J];_ lj altså i == 1,2,3, j ==- 1,2,3. Koordinat transformationsmat ri c.en _f'.or.over.gangen :fra gamle. til nye sædvanli&e retvinklede koordinater :fremgår således a:f matriaen for den omvendte koordinattransformation på simpel måde, nemlig ved såkaldt transpoi].ering, der kan beskrives som en spejling l!. 11 hoveddiagonalenir: l 81.1 s ) s21 s22_ 8 23 r 11: r 2.1 r31 = r12. n22 r32 s31 s / r13 r 2.3 r33 Dette vil man naturligvis benytte sig a:f, når det nye koordinatsystem er give.t ud :fra det gamle som i indledningen beskrevet., o.g.:formlerne :for overgang :fra gamle ithl nye. koordinater ønslces opski?e-wa-tt... For en plan rr givet v-ed ligningen.

28 Mat.1. :r EV,7,4 i nye: n.1 x:1 + n2x2 -h n3x_3 = k det gamle koordinatsystem opskrives umiddelbart en ligning i det ]adef vi nemlig som ovenfor (lx. 1,,X]} og (x 1,,x 3 ) betegne gamle- og nye koordinater for samme vilkårlige punkt P, gælder jo E tilhører 1T ~ n1x1 + n 2 + n 3 x 3 = k ~ ni (r1 + r11x1, + :v12x n2(r2 + n3(n r2.1x1 + r22x:2 + r13x3) r 2.3x3) "... + ]''31 x.1 + r32x2. + = k. r33x3) For en ret linie l gi ve t ved p.arameterfremstillingen x1 = a1 -tt tv, 1 x2 = a2. + tv 2, -oo < t < CO!J x3 = a3 + tv;3.?.i det gamle koordinatsystem, fås som parameterfremstil_ung i det nye A x1 =-s + 1 s11, (a1 + tv ) 1 + s12(a2 -h- tv }..; s13(a3 + tv 3 ), x2 = s2 + s21 (a1 + tv ) + s 1 22 (a + tv ) s2j(a3 + tv ), -co{it(oo o 3... x3 = a s31 Ca1 tv 1 ) + s32(a2 tv 2 ) + s33(a3 tv 3 Y, KoOJrdinattransformation i planen. Man finder her ganske tilsvarende forholcl som i nummet: Lad (O ;_~ 1 '~ 2 )l og ( 6; ~, 1 ~ ) være to koordinat sys terner i samme 2 plan; vi kalder dem det gamle og det nye system. Nye koordinater (x 1,x,..,) til et vilkårligt punkt P udtrykkes l c_ vgd gamle koordinater (x 1,_ )' til samme punkt ved koordinattransformationsformler

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-A-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere