og Fermats lille sætning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "og Fermats lille sætning"

Transkript

1 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er til et eller adet, vi har aftalt, dvs. år vi udmåler tid med et ur. Når tide udmåles i timer, reger vi modulo 2 (eller 12), og år tide udmåles i miutter reger vi modulo 0. Vi siger ikke, at klokke er 80 miutter over 10, me at de er 20 mimutter over 11. Når klokke asserer midat, tæller vi ikke videre å tallije med 2, 2 osv., me forfra om atte er klokke 1, 2 osv. Siger vi, at vi går i seg KL 2, reger vi modulo 2, mes de som siger, at de går i seg KL 11, reger modulo 12. Reger ma modulo 12, idetificerer ma altså 2 og 11. Går ma i seg KL 2 og sætter uret, så ma ka sove i 8 timer, så står ma ikke o kl = 1, me kl. 7. Tallet 7 får vi matematisk, ved at trække 2 fra 1. I raksis tæller de fleste ok o til 2 (det var é time) og reste af de 8 timer, altså tallet 7 agiver så klokkeslettet, hvor vi står o. Også her idetificerer vi altså 1 og 7. Me vi ka aturligvis ikke skrive: 1 = 7. Derfor har ma i matematik idført e særlig betegelse for dee måde at idetificerer tal å, emlig ved at skrive: 1(mod2) = 7 (mod2) mod 2 læses modulo 2, og agiver, at vi trækker 2 fra tallet lige så mage gage vi ka, idtil vi har et tal mellem 0 og 2. Således gælder altså: 8 (mod2) = 0 (mod2) og 2(mod 2) = (mod 2) Det sidste udtryk ka vi tolke således: Hvis klokke u fx er 9, så er de om 2 timer 9 + = 1. ka ofattes som reste vi får ved divisio af 2 med 2. Divisioe går jo ikke o, me giver 10 og altså til rest. Vi kue også rege tilbage i tide: 20 (mod2) = (mod2) Dette ka vi tolke således. Hvis klokke u fx er 9, så var de for 20 timer side 9 + = 1. Tilsvarede gælder der: 80 (mod 0) = 20 (mod 0) og 80 (mod ) = 1(mod ) Prøv at give e fortolkig af disse to udtryk. Reger vi modulo 2, så idetificerer vi altså alle tallee: {...,, 20,,28,2,... } Tilføj selv yderligere to egative og to ositive tal. E såda mægde af tal kalder vi for e restklasse modulo 2. Vi siger også, at tallee i e såda restklasse er kogruete modulo 2, og aveder symbolet til at udtrykke dette. Vi skriver fx: 2 (mod2). Øvelse 1. a) Oskriv restklase hørede til tallet 0, og restklasse hørede til tallet 10. b) Hvor mage forskellige restklasser modulo 2 fides der? I almidelighed ka ma ved restklasser modulo, hvor er et aturligt tal, forestille sig, at ma vikler e tallije rudt om e cirkel, der har omkredse. Hver gag vi går ositioer frem å de omviklede tallije rammer vi altså det samme ukt å cirkle. Restklassere reræseteres af tallee {0, 1, 2,, -1}, der kaldes for de riciale rester ved divisio med. På illustratioe ser ma fx, at tallee og 9 er i samme restklasse og altså er kogruete modulo L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

2 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Bemærkig. Vi reger ku med hele tal. Me riciet med restklasser ka udstrækkes til alle reelle tal. Et vigtigt eksemel er ehedscirkle, hvor vi reger modulo 2π, år vi løser trigoometriske ligiger. Eksemel 7 12 (mod ) (mod ) 1(mod ) 17 (mod ) Vi skriver ikke altid (mod ) efter tallet, hvis dette tal er de riciale rest. I stedet tillader vi os for emheds skyld at skrive eksemelvis 12 (mod ) = 2. Her står, at de riciale rest ved divisio af 12 med er 2. Øvelse 2 Bestem følgede: a) 21 (mod ) b) 8 (mod17) c) 009 (mod10) d) 20 (mod ) e)121212(mod 9) Regig med restklasser Vi vil u gå over til e mere systematisk idførig i regig med restklasser, der er et cetralt elemet i modere talteori og dermed i krytologi. Defiitioer: Begreber hørede til divisiosligige Mægde af hele tal (ositive, egative og ul) beteges. At et tal a er et helt tal agives således: a, der læses a tilhører mægde af hele tal,. Når vi har to vilkårlige hele tal, ab,, ka vi dividere a o i b ved de metode, vi lærte i folkeskole. Det giver et helt talt q som resultat og dertil e rest r. Resultatet skrives således: b= q a+ r, hvor q, og 0 r< a (*) Vi vil altid skrive resultatet således at reste r ligger i dette iterval. Dee rest kaldes de riciale rest. Oskrivige af (*) kaldes divisiosligige. Hvis a går o i b, dvs. hvis reste er 0, siger vi at a er divisor i b, og vi skriver: a b Hvis a ikke går o i b skriver vi: a b Tallee 1 og b går altid o i b, og de reges sjældet med, år vi taler om divisorer. Hvis vi vil uderstrege dette taler vi om ægte divisorer. Eksemel: Oskrivig af divisiosligiger 1) a =, b = 2: 2 = + 2 2) a =, b = 1: 1 = + 1 ) a =, b = -1: 1 = + 2 Bemærk, at kravet om 0 r< a giver e lidt ade divisiosligig for egative tal. Eksemel: Divisorer I et tal a) b) Du ka fide samtlige divisorer i et tal ved hjæl af dit værktøjsrogram. Det ka eksemelvis se således ud: factor(0) = 2 og factor(21) = 2 Oskriviger af tye: 0= 2 og 21 = 2 kaldes for e faktoriserig i rimfaktorer. På grud af rimtallees atur ka vi ikke faktorisere videre. Omvedt ka vi ud af faktoriserige se, hvilke tal der er divisorer. Eksemelvis ka vi se, at tallee: 2,,, ( = 2 ),10 ( = 2 ) og 1 ( = ) er divisorer i L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

3 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Øvelse Faktoriser tallee 210 og og oskriv samtlige ægte divisorer. Sætig 1 For vilkårlige tal ab, er divisiosligige étydig. Bevis Atag at vi har to oskriviger af divisiosligige: b= q1 a+ r1 b= q2 a+ r2 og lad os sige r 2 r 1 Træk fra og få: ( q1 q2) a= r2 r1 Da 0 r1 < a, 0 r2 < a og r 2 r 1, vil_ 0 r2 r1 < a Derfor må der gælde: ( q1 q2) = 0, dvs. at q1 = q2 Idsæt u dette i de to første ligiger: b= q1 a+ r1 b= q1 a+ r2 hvoraf vi let ser, at også r 1 = r 2 Hermed er sætige vist. Udersøgelse af, om to tal er kogruete modulo et tal ka udføres å e lidt ade måde, ed ved at oskrive divisiosligige, emlig ved at udersøge, om forskelle å de to tal er delelig med. Dette er idholdet i æste sætig. Ma ka ofte se dee egeskab avedt som defiitio å kogrues. Sætig 2 1) Hvis a(mod ) = b(mod ), så gælder: ( a b) a b, så gælder: a(mod ) = b(mod ) 2) Hvis ( ) Bevis for ukt 1 Oskriv divisiosligigere for a og b: a= q1 + r b= q2 + r Vi trækker fra og får: a b= ( q1 q2) a b Me her står jo, at går o i tallet ( ) : ( a b) Bevis for ukt 2 Atag ( a b). Dvs. der fides et tal k, så: a b= k (*) Oskriv divisiosligige for b: b= h + r (**) Læg u de to ligiger (*) og (**) samme: a= ( k+ h) + r (***) Me her står jo i (***) og, at tallee a og b har samme rest ved divisio med. Hermed er sætig 2 bevist L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

4 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig I øvelse 1 så vi, at der er 2 restklasser modulo 2, hvilket svarer til at sige, at der ka forekomme 2 forskellige (riciale) rester, år vi dividerer tal, med 2. Restklassere reræseteres af de riciale rester, så mægde af alle restklasser modulo 2 er: 2 = { 0,1,2,,,...,22,2} Tilsvarede har vi_ = { 0,1,2} = { 0,1,2,,} = { 0,1,2,,,} og geerelt: Defiitioer: Mægde Lad være et ositivt helt tal. Mægde af riciale rester ved divisio med beteges: = { 0,1,2,..., 1} Et tal i ofattes som reræsetat for si tilsvarede restklasse. Hvis ab, defierer vi additio af restklasser således: a+ b= a+ b mod Sætig Regig med restklasser a+ b mod = a mod + b mod mod 1) ( ) ( ) 2) ( a b) ( mod ) = ( a( mod ) b( mod ) ) ( mod ) ) ( a b) ( mod ) = ( a( mod ) b( mod ) ) ( mod ) Bevis Alle beviser bygger blot å defiitioe og avedelse af divisiosligigere: a= q1 + r1, hvoraf secielt: a( mod ) = r1 b= q2 + r2, hvoraf secielt: b( mod ) = r2 Når vi reger modulo ka vi smide alle led, der ideholder faktore væk. Pukt 1) a+ b= q1 + r1+ q2 + r2 = ( q1+ q2) + ( r1+ r2) Heraf får vi: a+ b mod = r + r mod Udyt defiitioe å modulo ( 1 2) ( ) a+ b mod = a mod + b mod mod Idsæt udtrykkee for r 1 og r 2 Pukt 2) Overlades til læsere som e øvelse. Pukt ) a b= q + r q + r = q q + q r + q r + r r = ( q1 q2 + q1 r2+ q2 r1) + r1 r2 Heraf får vi: a b mod = r r mod Udyt defiitioe å modulo ( 1 2) ( ) a b mod = a mod b mod mod Idsæt udtrykkee for r 1 og r 2 Hermed er formlere bevist L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

5 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Bemærkig. Når vi er ødt til at udføre e ekstra omgag modulo å højre side skyldes det, at summe eller roduktet af de riciale rester ofte vil falde udefor. Eksemel: Moduloregig med og ude lommereger Ka ma si lille tabel, er det forholdsvis let at geemføre simle modulo-udregiger som: 7 (mod 7) = (mod 7) Ma foretager divisioe i hovedet og år frem til, at de sidste divisio er 7 o i 27. Det giver med som rest. Ma ka også rege lidt mere avaceret ved at iddrage de egative tal og udytte moduloregereglere samt vores kedskab til de lille tabel (7 går o i 00 og 7 går o i 9): 7 (mod 7) = ( 7 00 ) (mod 7) = (mod 7) = ( + 9 ) (mod 7) = (mod 7) Med e lommereger ude modulofaciliteter kue ma udrege: = Det største hele tal i 7-tabelle, der er midre ed 7 er derfor 9. Lommeregere ka så give reste: = Øvelse a) Bestem ( 1! + 2! +! +! ! ) ( mod12) 0 b) Bestem 2 ( mod 7 ) Øvelse Vis ved at give et modeksemel, at vi ikke ka slutte: a 2 b 2 (mod ) a b (mod ) Eksemel: Regler for, hvorår et helt tal går o i et adet helt tal Før lommeregeres tid lærte ma e række regler, der skulle hjæle til hurtige udregiger. Det var fx regler om, hvorår et tal går o i et adet tal. Det er let at idse, at - 2 går o, hvis det går o i sidste ciffer (lige tal) - går o, hvis det går o i tallet bestemt af de sidste to cifre - går o, hvis tallet eder å 0 eller - 10 går o, hvis tallet eder å 10. Det er også let accetere, at et tal som går o, hvis tallets rimfaktorer, heh. 2 og begge går o. Der er ige let avedelig regel for hvorår 7 går o. Me der er simle regler for hvorår, 9 og 11 går o. Det ka ma idse ved modulo-regig: Det tal vi vil dividere o i skrives ud i titalsystemet således: 2 N= a a a a0 hvor N er tallet N= aa 1... aaa Eksemelvis ka vi skrive 7 = Når vi udersøger om et tal k går o, så reducerer vi modulo k. Går o i tallet N? Vi aveder de tre regeregler: 2 N mod = a a 10 + a 10 + a mod ( ) ( 2 1 0) ( ) 2 (( a 10 ) ( mod )... ( a 10 ) ( mod ) ( a 10) ( mod ) a ( mod ) ) ( mod ) a ( ) ( ( )) a2( ) ( ( )) a1 a0 ( ) = ( mod 10 mod... mod 10 mod mod 10 mod mod ) ( mod ) = Og u kommer det smarte med tallet tre: 10 ( mod ) = 1. Dvs oveståede bliver lige med: 2012 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

6 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig 2 ( a ( mod ) a2( mod ) 1 + a1( mod ) 1+ a0 ( mod ) ) ( mod ) = ( a ( mod ) a2( mod ) + a1( mod ) + a0 ( mod ) ) ( mod ) = ( a... + a + a + a ) ( mod ) Koklusio: Tallet går o i et tal, hvis tallet går o i tværsumme af taklets cifre. går ikke o i 97, fordi ikke går o i = 2 går o i tallet , fordi går o i tværsumme, der er Øvelse : Hvorår går 9 og 11 o i et tal? Aved samme metode som ovefor til at vise: a) 9 går o i et tal, hvis 9 går o i tallets tværsum b) 11 går o i et tal, hvis 11 går o i de altererede tværsum: (Hit: Udyt, at 10 (mod11) = 1(mod11) ) Betragter vi = { } 1 ( 1) a+ ( 1) a a1+ a0 0,1,2,,, og lader vi tallee a og b være og, så er: a+ b= + = 7 1 (mod ) a b= = 12 0 (mod ) Dvs., at idefor = { 0,1,2,,,} gælder der: + = 1 = 0 Allerede her ka vi se, at regig ide for disse mægder er e del aderledes ed idefor almidelige tal, hvor ulregle altid gælder: Er et rodukt 0, er e af faktorere 0. Eksemel: Tabeller i Vi ka få et godt overblik over regereglere i disse mægder ved at ostille tabeller af samme tye, som vi lærte at kede i folkeskole, da vi i de første klasser lærte at addere og multilicere. For multilikatio udelader vi ormalt tallet 0. For ser det således ud: : : Øvelse 7: Tabeller og ligiger med additio i a) Ostil tilsvarede tabeller i heholdsvis. b) For additiostabellere lægger vi mærke til, at hver koloe og hver række ideholder alle tallee i ågældede ræcis é gag. Secielt ideholder de 0. Det betyder at ethvert tal har et omvedt (iverst) tal, der ved additio ohæver det, så vi får 0. I er det omvedte tal til tallet 1, og det omvedte til 2 er 2 selv. Hvad er i det omvedte til? Hvad er i det omvedte til? c) De egeskab vi har set i b) betyder, at vi ka løse ligiger (med additio) i. Løs følgede ligiger: - i : 2+ x = L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

7 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig - i : + x = - i : + x = 0 d) De egeskab vi har set, at har, år vi fokuserer å additio, er de samme egeskab som mægde af alle hele tal har. Hvad kalder vi her de omvedte (iverse) tal til de aturlige tal? Hvad er løsigere til ligigere idefor? Øvelse 8: Ligiger med multilikatio i a) For multilikatiostabellere lægger vi mærke til et adet system: - i ideholder hver koloe og hver række alle tallee i ågældede (frareget 0) ræcis é gag. Secielt ideholder de 1. Det betyder at ethvert tal har et recirokt (iverst) tal, der ved multilikatio ohæver det, så vi får 1. I er det recirokke tal til 2 lig med tallet. Hvad er det recirokke tal til? - har ikke dee egeskab. Vi ser fx, at i ideholder koloe og række ud for tallet 2 ikke alle tal i, secielt ikke tallet 1. Hvilke tal har ikke et recirokt elemet, og hvilke har? c) Udersøgelsere i b) fortæller os, at vi ka løse ligiger (med multilikatio) i, me ku i secielle situatioer i. Udersøg om følgede ligiger har e løsig, og bestem i givet fald løsige: - i : 2 x = 1 - i : 2 x = 1 - i : x = : x = 2 - i d) De egeskab, vi har set, at har, år vi fokuserer å multilikatio, har mægde af alle hele tal ikke. Ma ka betragte udvidelse af talmægdere fra de hele tal til de ratioale tal (alle brøkere) som svaret å et øske om at kue løse de slags ligiger. Hvad er løsigere til ligigere idefor? Et kig id i de modere algebra Når vi som ovefor udersøger, om ma ka løse ligiger idefor e mægde som udstyret med regigsarte additio, eller udstyret med regigsarte multilikatio, så bevæger vi os id i de del af matematikke, vi kalder for modere algebra. I modere algebra studerer ma mægder, der er udstyret med e komositio. Eksemler ka være: - Mægde af hele tal udstyret med komositioe +. Dette skriver vi kort således: (,+). - Mægde af ositive ratioale tal + - Mægde af restklasser udstyret med komositioe. Dette skriver vi kort således: (, ). udstyret med komositioe. Dette skriver vi kort således: (, ) - Mægde af vektorer i 2D, udstyret med vektoradditio +. Dette ka vi skrive kort således: ( V, + 2 ). - Mægde af vektorer i D, udstyret med vektorrodukt. Dette ka vi skrive kort således: ( V ). - Mægde af lieære fuktioer udstyret med komositioe (sammesætig af fuktioer). Dette,. kue vi kort skrive således: ( ) - Mægde af ositive hele tal + udstyret med komositioe y skrive således: ( +, x )., + y x (otesoløftig). Dette kue vi kort E komositio i e mægde M er e regigsart, der kombierer to elemeter i mægde, så vi får et yt elemet i mægde: Hvis xy, M, så vil også x y M Derfor er fx lus (+), me ikke gage ( ) e komositio i mægde af egative hele tal L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

8 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Og derfor er skalarroduktet ikke e komositio i mægde af vektorer. Skalarroduktet kombierer to vektorer så resultatet bliver et tal og ikke e vektor. Årsage til, at modere algebra er e succeshistorie, er bl.a. at ma her har fudet redskaber til at studere fælles træk ved vidt forskellige strukturer, hvilket ka give dybere idsigt i hvorfor bestemte matematiske sammehæge er gældede. De grudlæggede kostruktio i modere algebra er begrebet e grue: Defiitioer: Gruer Lad M være e mægde udstyret med e komositio. Vi kalder ( M, ) for e grue, hvis der gælder følgede: 1) ofylder de associative lov: ( a b) c= a ( b c) for alle elemeter a, b og c i M. 2) Der fides et eutralt elemet, e i M: a e= e a= a for alle elemeter a i M. ) Ethvert elemet a i M har et iverst elemet a : a a = a a= e Eksemel: (,+ ) er e grue 1) De associative lov siger, at ma ka hæve og sætte lus-areteser: a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c= a+ b+ c 2) Tallet 0 er eutralt elemet, da a+ 0= 0+ a= a, for ethvert tal a. ) Det hele tal a har et iverst elemet, emlig a : a+ ( a) = ( a) + a= 0 Øvelse 9 a) Vis, at ( +, ) er e grue. b) Vis, at (, + ) er e grue for ethvert tal. c) Vis, at { } er e grue, hvor { } ( 0, ) 0 agiver, at vi ser bort fra tallet 0. d) Hvad ka du sige om de øvrige mægder med komositio i eksemlet ovefor? Øvelse 10: I e grue ka ma løse simle ligiger Vis, at hvis ( M, ) er e grue, så ka ma idefor dee mægde løse ligiger af tye: 1) a x= b b) x a= b Øvelse 11: Der er ku ét eutralt elemet Atag at både e og f er eutrale elemeter. Udyt defiitioe herå til at vise e= f. Det har altså god meig at tale om det eutrale elemet. Øvelse 12: Iverse elemeter er etydigt bestemt. Atag, at a har to iverse elemeter: a og a. Vis ved a rege å udtrykket a a a, at a = a. Det har altså god meig at tale om det iverse elemet til a. Øvelse 1: Kommutative gruer Hvis der om e komositio gælder: a b= b a, for alle ab, M siger vi, at er kommutativ. Hvis M er e grue, kaldes de e kommutativ grue. Hvilke af komositioere i eksemlet i starte af afsittet er kommutative? ( 0, ) Restklassegruere { } 2012 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

9 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Vi ka ikke løse ligiger af tye: a x b,+. Søger vi at løse ligige vil vi dividere a over å h (dvs. gage med det iverse elemet til a). Me så er vi ude i de ratioale tals verde. Det er derfor heller ikke så overraskede, at vi heller ikke ka løse sådae ligiger geerelt idefor. Det så vi ovefor. Derimod er det overraskede, at vi ka løse multilikative ligiger både ide for. I øvelse c) så vi, at { 0 }, er e grue, hvor { } agiver, at vi ser bort fra tallet 0. ( ) = idefor ( ) 0 Vi ville have fået et tilsvarede resultat, hvis vi havde ostillet tabeller over 7 8. Ma ka løse simle multilikative ligiger idefor ( 7 { 0 }, ), me ikke idefor ( 8 { 0 }, ). De ser ud til at der gælder følgede geerelle resultat: Sætig: Restklassegruere ( ) 1) Hvis er et rimtal, så er { 0 }, 2) Hvis ikke er et rimtal, så er ( { 0 }, ) e grue ikke e grue Bevis for 1) Vi får brug for e sætig om rimtal, som vi her gegiver ude bevis: Atag er et rimtal. Så gælder, at hvis a bså vil gå o i ete a eller b. Beviset fides i rojekt 0. om Euklids algoritme. Atag u er et rimtal. Mægde { 0} består af: { 1,2,,..., 1} De associative lov gælder klart, idet de edarves fra (, ). Restklasse 1 er ifølge defiitioe å multilikatio af restklasser et eutralt elemet i { 0}. Det eeste vaskelige ukt er at vise, at et vilkårligt elemet a har et iverst elemet. Vi lader os lede af det mere simle argumet, vi i øvelse geemførte for at ethvert elemet i { 0} har et iverst elemet: Vi ostillede multilikatiostabelle, og her fadt vi, at hver koloe og hver række ideholdt alle tallee i { 0} ræcis é gag. Secielt ideholder de det eutrale elemet 1. Det betyder at ethvert tal har et recirokt (iverst) tal, der ved multilikatio ohæver det, så vi får 1. 0 ideholder følgede: a-række i multilikatiostabelle for { } a 1, a 2, a,..., a ( 1) { } (*) Hvis er et rimtal er alle disse forskellige. For atag, at to af dem var es, dvs. de reræseterede samme restklasse: a r(mod ) = a s(mod ) Hvis r og s er forskellige er ét af dem størst, lad os sige det er r. Ifølge sætig 2 gælder så: ( a r a s) a ( r s) Me ifølge sætige vi citerede i starte af beviset gælder så: Ete: a eller: ( r s) Da a< ka det første ikke være tilfældet. Derfor må det adet gælde, dvs.: ( r s) Vi atog, at r og s er forskellige, og at r > s. Så er 0 < r s< Me så ka jo ikke gå o i ( r s), hvilket giver e modstrid. Altså er r = s og atagelse om at der fides to restklasser i (*) der er es er forkert: De er alle forskellige L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

10 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig 0 ræcis é gag. Secielt ideholder de det eutrale elemet 1. Koklusio: Et af tallee i (*) er kogruet med 1. Lad os sige det er a b. Så er b det det recirokke (iverse) elemet til a. Når de alle er forskellige, betyder det, at a-række ideholder alle tallee i { } Bemærkig 1. Da multilikatio er kommutativ er det lige meget, om vi ser å a-række eller a-koloe. Bemærkig 2. Beviset ovefor er et eksistesbevis, dvs. vi viser, at der må fides et recirokt elemet, me vi agiver ikke e metode til at fide det. Det gør vi i rojektet 0. om Euklids algoritme. Øvelse 1: Bevis for 2). Atag ikke er et rimtal, dvs. er et sammesat tal: = r s 0, har et iverst elemet. Vis ved at give et modeksemel, at ikke alle elemeter i ( { } ) Vi får i øvrigt forholdsvis let et si-off af oveståede i form af e berømt sætig fra matematikhistorie. Sætige er okaldt efter Pierre Fermat, der første gag formulerede de i et brev fra 10. Fermat beviste aldrig sie mage åstade, i dette tilfælde fordi beviset var alt for lagt, så det blev først bevist i 17 af Euler. Sætige fik sit av, Fermats lille sætig i e artikel fra 191. Sætige er bl.a. iteressat, fordi e geeraliserig heraf, som Euler geemførte, og som idgår i rojekt 0., er helt cetral i argumetatioe for, at kryterigssystemet RSA virker. Fermats lille sætig 1 1) Hvis er et rimtal, og a er et tal, som ikke går o i, så gælder der: a 1 ( mod ) 2) Hvis er et rimtal, og a er vilkårligt tal, så gælder der: a a( mod ) Bevis for ukt 1) Atag er et rimtal, og at a er et tal, som ikke går o i. I beviset for sætige ovefor om restklassegruere så vi å situatioe a<. Me ser vi beviset igeem, ser vi, at det cetrale var, om gik o i a eller ej. Så vi behøver ikke begræsige a<. I beviset idgik, at de to mægder: { 1,2,,..., 1} og { a 1, a 2, a,..., a ( 1) } reræseterer de samme restklasser. Ifølge regereglere for modulo-regig og sætig 2 gælder derfor: = a 1 a 2 a... a 1 (mod ) ( ) = a (mod ) a ( ) ( ) a 1 Nu har vi ige situatioe beskrevet i sætige først i beviset ovefor: rimtallet går o i et rodukt, derfor går det o i midst é af faktorere: a 1 ( ( )) eller ( ) Det første er umuligt, da er et rimtal. Derfor gælder det adet. Me ifølge sætig 2, så betyder det, at: a 1 ( mod ) = 1 ( mod ) 1 eller: a 1 ( mod ) Dette var første versio af sætige. Bevis for ukt 2) Lad a være et vilkårligt tal. Der er u to muligheder: 1) a er et tal, som ikke går o i 2) at a er et tal, som går o i 2012 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

11 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig I første tilfælde har vi situatioe fra før, så: 1 a 1 ( mod ) Samtidig er: a a( mod ) så regereglere for modulo-regig giver: 1 aa a 1 mod ( ) ( mod ) a a I adet tilfælde har vi, at går o i a. Dermed går også o i ethvert tal, som ideholder a som e faktor, 1 a a 1. Me dette tal er lig med a a, så: eksemelvis i ( ) ( a a), ( mod ) ( mod ) ( mod ) a = a Aved sætig 2 a a Samme udtryk skrevet med kogrues symbolet. Hermed er sætige bevist. Øvelse Hvis = og a =, så siger Fermats lille sætig, at a = = = 2 er kogruet med 1 modulo. Kotroller at det er tilfældet. Kotroller yderligere Fermats lille sætig med følgede eksemler: a) = og a = b) = 7 og a = 2 c) = 11 og a = 2 d) = 1 og a = 10 Eksemel: Persektiverig til kryterig I de modere krytologi, der kaldes RSA-systemet, avedes meget store rimtal i kryterige af e besked. Udgagsuktet er to rimtal og q med fx 100 cifre hver. De to tal er hemmelige. Så udreges deres rodukt = q, samt yderligere tallet ϕ ( ) = ( 1) ( q 1). Herefter smides oulært sagt de to rimtal, og q væk. Derved bliver systemet ubrydeligt. Ved hjæl af tallet ϕ( ) bestemmes så de to øgler, de ee til kryterig, de ade til dekryterig. De to øgler bestemmes ved hjæl af Euklids algoritme, som behadles i rojekt 0.. Alle beregiger foretages modulo, så dette tal er offetlig kedt, me det er ikke oget roblem, for der fides ige ekle måder til at faktorisere store tal i rimfaktorer. Så ma ka ikke bestemme rimtallee ud fra kedskab til tallet. Ma ka derfor heller ikke bestemme tallet ϕ ( ), ude kedskab til de to oridelige rimtal. Det betyder, at selv om ma keder øgle til kryterig, ka ma ikke bestemme øgle til dekryterig. Der er aturligvis mage tekiske roblemer i et sådat system. Der er uedeligt mage rimtal, og faktisk ikke så få edda af dem. Me der fides ige formler, der ka geerere rimtal, så hvorda får vi fat i et rimtal å 100 cifre? Eller sagt å e ade måde hvis vi har et godt bud å et stort rimtal, hvorda afgør vi så med sikkerhed, at det faktisk er et rimtal? Et stort område idefor modere krytografi drejer sig eto om rimtalstest. Der fides ikke et rimtalstest, der med 100% sikkerhed giver svaret, det er eto et test. Me der fides meget avacerede og meget stærke sådae test. Det første rimtalstest ma udsætter et tal for er faktisk Fermats lille sætig! Sætige siger, at hvis et 1 tal er et rimtal så gælder det, at for ethvert midre tal a har a reste 1 ved divisio med. De siger q 1 ikke det omvedte, at hvis det om et tal q gælder, at for ethvert midre tal a har a reste 1 ved divisio med q, så er tallet q et rimtal. Me hvis et tal q ofylder dette, så er der meget god sadsylighed for, at det er et rimtal, hvorfor det giver meig at gå videre med stærkere og mere krævede test L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

12 Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Der fides tal q, der ofylder betigelsere i Fermats lille sætig, og som ikek er rimtal. Disse kaldes Carmichael tal. Det midste Carmichael tal er tallet 1. Det er altså det første sammesatte tal, som består Fermats test. 1 er et sammesat tal: 1 = L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf:

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere