Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007"

Transkript

1 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse

2 Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det samme som i ande læebøge, men tilgangsvinklen e temmeligt foskellig, idet de e bugt meget mee enkle definitione end den taditionelle, hvo en vekto definees som en ækvivalensklasse af pile modulo tanslatione. Notene indeholde kun det tøe stof, dvs. definitione, sætninge og enkelte eksemple. Alle eksemple på paktiske anvendelse af vektoegning, heunde pikpodukt, kydspodukt og skæinge mellem plane og linje, e fotsat at finde andetsteds. Denne sidste halvdel af notene indeholde teoien om punkte og vektoe i det tedimensionelle koodinatsystem, også kendt som ummet. Teksten indeholde to figue de høfligt e lånt fa nogle undevisningsnotate, begået af Maie Dehnfeld, Mads Hansen og Daniel Schäfe fa Mat A-holdet

3 Indhold Indhold 3 1. Tedimensionale punkte 4 2. Tedimensionale vektoe 7 3. Indtegning af vektoe 9 4. Længde af en vekto Sælige vektoe, stedvektoe Regning med vektoe Geometisk tolkning Regning med vektoe Geometisk tolkning Regning med vektoe Rette linje i ummet Plane i ummet

4 1. Tedimensionale punkte Vi benytte notationen: R 3 = {(x, y,z) x,y,z " R} til at betegne det tedimensionale koodinatsystem. - Altså mængden af alle punkte (x,y,z), hvo x, y og z e eelle tal. De te tal kaldes punktets koodinate. Bemæk det lille 3-tal fooven i R 3. Man læse det som R-te, og ikke som R i tedje. Nå vi tænke på det tedimensionale koodinatsystem, state vi med at tænkte på det specielle punkt (0,0,0), også kaldet oigo. Deefte tænke vi på de te akse, x-aksen (de punkte hvo y- koodinaten og z-koodinaten e nul), y-aksen og z-aksen. Vi foestille os disse te akse tegnet vinkelet på hinanden i det tedimensionale um. Det se ud som vist nedenfo, nå man tegne det: (Man foestille sig venligst at x-aksen stitte udad, vinkelet på både y- og z-aksen.) Bemæk at man altid tegne de te akse efte højehåndseglen, altså sådan at man kan lægge tommel-, pege- og langefinge på høje hånd langs med henholdsvis x-, y- og z-aksen. Desuden e det tadition at tegne z-aksen opad. Nu tænke vi på et geneelt punkt (x,y,z) som det punkt i ummet, de ligge x ude af x-aksen, y ude af y-aksen og z oppe af z-aksen. Nå man tegne et punkt i det tedimentionelle koodinatsystem, e det en god ide at tegne nogle hjælpelinje, som e paallelle med enten x-, y- elle z-aksen. Dette e antydet på tegningen nedenfo, hvo punktet (5,-1,8) e aftegnet. (Dehnfeld, Hansen, Schäfe 2005)

5 Punkte i det tedimensionale koodinatsystem kaldes ofte P, Q, R elle ande stoe bogstave. Man skive fo eksempel: P=(3,-1,8). Bemæk at nogle læee af ukendte åsage undlade at skive lighedstegnet. I det tedimensionelle um e de ydeligee te inteessante delmængde, nemlig de punkte, hvo x-koodinaten e nul, også kendt som yz-planen, de punkte, hvo y-koodinaten e nul, også kendt som xz-planen og de punkte, hvo z-koodinaten e nul, også kendt som xy-planen. Ligesom de to akse dele planen ind i fie kvadante, således dele de te koodinatplane ummet ind i otte såkaldte oktante. De e vedtaget en måde at nummeee disse oktante på, men da ingen alligevel kan huske dette, vil vi ikke snakke mee om det. :) Sætning 1 (afstandsfomlen i ummet) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e to punkte i ummet, så e afstanden mellem dem (altså længden af det ette linjestykke mellem dem) givet ved: PQ = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 + (z 2 " z 1 ) 2 Bevis Betagt tegningen (Dehnfeld, Hansen, Schäfe 2005): - 5 -

6 På denne tegning, ha punktene E og F begge z-koodinat nul, og samme x- og y-koodinate som henholdsvis P og Q. Defo e afstanden mellem dem givet ved afstandsfomlen i xy-planen: EF = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 Dette e lig den ene katede, A, i den etvinklede tekant på figuen. Den anden katede, B e lig foskellen i z-koodinate på de to punkte: B = z 2 " z 1 Pythagoas anvendt på den etvinklede tekant give da: PQ = A 2 + B 2 = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 + (z 2 " z 1 ) 2 q.e.d

7 2. Tedimensionale vektoe Nu indføe vi en ny notation: )" x% - + V 3 = y x,y,z ( R + *. +,# z + & / Altså: V 3 (læses: V-3 ) betegne mængden af alle talsæt (nu skevet oven på hinanden i en aflang paentes), hvo alle te indgående tal e eelle. Elementene i V 3 kaldes tedimensionelle vektoe, og de te tal kaldes vektoens koodinate. Vektoe kaldes ofte u, v, w elle ande små bogstave. Mange læee foetække desuden at sætte en pil ove bogstavene fo at # 3 & % ( undestege at det e en vekto. Man skive f.eks. v = "1 % (. $ 5 ' Nu tænke den kvikke elev: E vektoe ikke pæcis det samme som punkte? Og svaet e: Jo Det eneste vi ha gjot e at skive koodinatene oven på hinanden i stedet fo ved siden af hinanden med komma imellem sig. Lad os defo alleede nu slå fast at: V 3 " R 3 -Idet, man til enhve tid kan ovesætte mellem vektoe og punkte: Hvis man ha en vekto, kan man skive dens koodinate ved siden af hinanden med kommae imellem, og vupti, ha man et punkt. Og omvendt. Den stoe foskel komme nu, nemlig i måden som vi tænke på V 3 " 3% på: En tedimensionel vekto, som fo eksempel 1, skal vi nemlig # 5& ikke tænke på som en pik i en plan. En vekto tænke vi deimod på som en etningsangivelse. Således vil vi tænke på ovennævnte vekto - 7 -

8 som 3 langs x-aksen (udad), 1 langs y-aksen (til høje) og 5 langs z- aksen (op). En vekto angive en etning og en afstand, men ikke et statpunkt. Defo at det stadig meget svæt at se en vekto fo sig. Det blive nemmee lige om lidt

9 3. Indtegning af vektoe Man kan indtegne en vekto ud fa et punkt, pæcis lige som i planen (se eventuelt del 1 af disse note). Eksempel " 1,5% Vi ha he indtegnet vektoen 3 ud fa punktet # 1,5& således med at pege på punktet (3,3,3). " 3 2,0, 3 %. Den ende # 2& Øvelse 1 Indtegn vektoen " 0% 0 # 4& ud fa punktet P=(-1,0,0). (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) - 9 -

10 4. Længde af en vekto Definition " a% Lad b væe en vekto. Vi definee længden af # c& v = a 2 + b 2 + c 2 v til at væe: Bemæk at de to lodette stege, som betyde længde af en vekto, ligne nummeisk-tegnet til foveksling. De e dog ingen fae fo foveksling, idet man bae kan holde øje med hvad de stå i midten: Nummeisk-tegn ha et eelt tal i midten, og længde-tegnet ha en vekto. :) Øvelse 2 Beegn længden af følgende vektoe: " 0% n = 0, # 0& " 1% i = 0, # 0& " 0% k = 0 og # 1& # "3& % ( v = 2 % ( $ 3' (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Vi skal lige sike os at begebet længde af en vekto passe med voes geometiske billede af vektoe. Det gø vi med følgende sætning: Sætning 2 Nå man indtegne en vekto man en pil med længde v. " a% v = b # c& ud fa et punkt P=(x,y,z), så få Bevis: Pilen man tegne gå mellem punktet P=(x,y,z) og punktet Q = (x+a,y+b,z+c). Ifølge afstandsfomlen e længden af linjestykket mellem disse to punkte: PQ = ((x + a) " x) 2 + ((y + b) " y) 2 + ((z + c) " z) 2 = a 2 + b 2 + c 2 = v q.e.d

11 5. Sælige vektoe, stedvektoe Vi skal nu se på nogle sælige vektoe, de optæde så ofte at de ha dees egne navne: " 0% Alleføst e de nulvektoen, 0 = 0. # 0& En vekto som ikke e nulvekto kaldes en egentlig vekto. En vekto med længde 1 kaldes en enhedsvekto. " 1% " 0% " 0% De te sælige enhedsvektoe 0, 1 og 0 kaldes føste # 0& # 0& # 1& basisvekto, anden basisvekto og (guess what...) tedie basisvekto. De omtales sædvanligvis unde navnene: i, j og k. Hvis man ha to punkte P og Q i koodinatsystemet, så findes de pæcis én vekto, som pege på Q, hvis man indtegne den fa P. Denne vekto kaldes den fobindende vekto og skives som PQ. Det sidste punkt uddybe vi lige i en sætning: Sætning 3 (fobindende vekto) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e to punkte i koodinatsystemet, så findes de netop en vekto, PQ som opfylde, at nå den indtegnes fa P, så pege den på Q. Denne vekto e givet ved: # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' Bevis: Beviset føes pæcis lige som i det todimensionelle tilfælde. q.e.d

12 Øvelse 3 Givet punktene P=(1,1,0) og Q=(0,-2,2). Beegn vektoen PQ. Indtegn deefte P og Q i et koodinatsystem. Tegn til sidst vektoen PQ ud fa P. (Gæt engang... Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Hvis man kun ha et enkelt punkt, P=(x,y,z), kan man altid lave en fobindende vekto som pege fa oigo, O=(0,0,0), til P. Ifølge ovenstående sætning få denne vekto koodinatene: # x " 0& # x& % ( OP = y " 0 % ( = % ( y % ( $ z " 0' $ z' Denne vekto kaldes P s stedvekto. Vi se altså nu, at den sammenhæng mellem punkte og vektoe, som vi opdagede tidligee: V 3 " R 3, bestå i at et punkt ovesættes til sin stedvekto

13 6. Regning med vektoe 1 Addition og skaleing af tedimensionelle vektoe foegå pæcis lige som med todimensionelle: To vektoe lægges sammen ved at man lægge hve af dees koodinate sammen. En vekto skalees med et eelt tal ved at gange det eelle tal på hve af koodinatene. Øvelse 4 Beegn følgende vekto: # 5 & # 1 & % ( 2 % ( + 7) % ( "1 % (. $ "1' $ 3 ' De nye egneopeatione opføe sig igen helt som vi e vant til: Sætning 4 (egneegle fo basale vektoopeatione) Vektoaddition og skaleing opfylde følgende egneegle: Den kommutative lov: Hvis Den associative lov: Hvis u, v og w e vektoe, så e v + w = w + v v og w e vektoe, så e ( u + v ) + w = u + ( v + w ) De distibutive love: Hvis v og w e vektoe, og og s e skalae, så e " ( v + w ) = " v + " w ( + s) " v = " v + s" v En homogenitetslov: Hvis v e en vekto, og ( " s) " v = " (s" v ) = s" ( " v ) og s e skalae, så e Indskudseglen fo fobindende vektoe: Hvis A, B og C e punkte i koodinatsystemet, så e AB + BC = AC

14 Længde af skaleing: Hvis Tekantsuligheden: Hvis v e en vekto og v og " v = " v w e vektoe, så e v + w " v + w e en skala, så e Lidt snik-snak, som godt kan spinges ove: Lidt odfoklaing. Odene kommutativitet, distibutivitet, associativitet og homogenitet kan vike lidt voldsomme føste gang man se dem. Men de give god mening, nå man få dem foklaet: Kommutativ: Tænk på engelsk: to commute, altså noget med at bevæge sig. Det e jo det de to vektoe gø, nå de bytte plads. Distibutiv: Tænk på at distibuee = at binge ud. Det e jo det man gø med skalaen, nå man sætte den ind på alle leddene i en paentes. Homogen: (Tænk på mælk) Homogen betyde ensfomig elle jævn. I voes tilfælde e det de foskellige podukte, som e så ensfomige at man kan blande dem sammen. Associativ: Ha noget med at associee = at tilknytte at gøe. Man vælge jo hvilke vektoe de skal lægges sammen føst (hvilket man jo godt kan kalde at knytte dem til hinanden), idet man vælge en måde at sætte paentese på. Den associative lov sige at man kan associee som man vil

15 7. Geometisk tolkning 1 Den geometiske tolking af vektoaddition og skaleing e pæcis den samme af vektoe i ummet, som i planen. Summen af to vektoe opfylde, at hvis man tegne de to vektoe i folængelse af hinanden, så pege de tilsammen på det samme punkt som summen af dem. (Man lægge vektoe sammen ved at tegne dem i folængelse af hinanden.) Skaleing fungee igen ved at man stække pilen. Hvis man skalee med en n egativ skala, vendes etningen af vektoen. Vi definee igen: Definition To vektoe, v og w, kaldes paallelle hvis den ene kan skives som en skaleing af den anden. Altså hvis de findes et eelt tal, " R, sådan at enten v = " w elle w = " v. Bemæk at nulvektoen p. definition e paallel med alle ande vektoe. Øvelse 5 Definitionen på paallelle vektoe se ved føste øjekast mee besvælig ud end nødvendigt. Hvofo give det ikke den samme definition, hvis man bae sige at og w e paallelle såfemt de findes et eelt tal " R sådan at v = " w? (Hjælp: Tænk på nulvektoen) (Denne øvelse e lidt undelig. Hvis ikke du fostå den, så gå bae videe uden at lave den.) v

16 8. Regning med vektoe 2 I dette afsnit definee vi et podukt af tedimensionelle vektoe. Altså et podukt, hvo det e to vektoe de ganges sammen. Definition (pikpodukt) Givet to vektoe, vektoe som: " $ v = $ # a 1 b 1 c 1 % ' ' og & " $ w = $ # a 2 b 2 c 2 % ', definee vi pikpoduktet af de to ' & v w = a 1 " a 2 + b 1 " b 2 + c 1 " c 2 Man pikke altså to vektoe med hinanden ved at gange dees føstekoodinate med hinanden, gange dees andenkoodinate med hinanden og lægge de to esultate sammen. Bemæk () at pikpoduktet af to vektoe ikke give en ny vekto, men en skala. Af denne gund kaldes pikpoduktet også nogle gange skalapoduktet, men vi vil undlade det he, da det i nogle øe kan lyde som om det e et podukt af skalae. Obsevationen e dog så vigtig at vi lige amme den ind: Pikpoduktet af to vektoe give en skala. Øvelse 6 Beegn følgende pikpodukte. (Tegn de indgående vektoe føst) a) " 2% "(1% 3 0 # 1& # 1 & b) c) # 3 & #"2& % ( "1 % ( % ( 8 % ( $ 7 ' $ 2 ' i k

17 (Hey - Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Natuligvis skal vi også se på egneegle fo pikpoduktet. Det vise sig heldigvis igen, at det nye podukt opføe sig pæcis som vi e vant til at et podukt opføe sig. Sætning 5 (egneegle fo pikpoduktet) Pikpoduktet opfylde følgende egneegle: Den kommutative lov: Hvis Den distibutive lov: Hvis u, v og En homogenitetslov: Hvis v og w e vektoe, så e v w = w v v og w e vektoe, så e u ( v + w ) = u v + u w w e vektoe, og " ( v w ) = ( " v ) w = v ( " w ) e en skala, så e

18 9. Geometisk tolkning 2 Vi state med at indse at pikpoduktet ha noget med længden af en vekto at gøe. De gælde nemlig helt pæcist følgende: Sætning 6 (pikpodukt og længde) Hvis v e en vekto, så e: v 2 = v v. -Altså: kvadatet på vektoens længde e lig vektoens pikpodukt med sig selv. Bevis Sætningen bevis lige som i det todimensionale tilfælde. Fo at fostå den geometiske betydning af pikpoduktet dybee, indføe vi et pa nye begebe: Definition (vinkel mellem egentlige vektoe) Hvis v og w e to egentlige vektoe, definee vi vinklen mellem dem til at væe vinklen mellem de to pile, som opstå hvis v og w tegnes ud fa samme punkt. Man vælge p. definition altid den vinkel som e mellem 0 og 180. Læg mæke til at man ikke definee vinklen mellem nulvekto og en anden vekto. Definition (otogonale vektoe) To egentlige vektoe v og w kaldes otogonale (elle: vinkelette) hvis " vinklen mellem dem e 90 (elle om man vil.) Nulvektoen siges af 2 paktiske åsage at væe vinkelet på alle vektoe. Bemæk at vi igen (med vilje) ha defineet at nulvektoen både e paallel og vinkelet på alle vektoe. Lige som i det todimensionale tilfælde ha vi en sammenhæng mellem pikpoduktet og vinklen mellem vektoe:

19 Sætning 7 (vinkel mellem egentlige vektoe) Hvis v og w e to egentlige vektoe, og " e vinklen mellem dem, så gælde de at: v " w " cos(#) = v w Da " p. definition e mellem 0 og 180 bestemme denne ligning ": % v w ( " = cos #1 ' & v $ w * ) Bevis Beviset e sjovt nok pæcis det samme som i det todimensionale tilfælde. Da det e en passende lejlighed til at epetee dette halvsvæe bevis, gø vi det lige: Betagt den tekant som dannes (i ummet), hvis samme punkt, og dees endepunkte fobindes: v og w tegnes ud fa Cosinuselationen fo denne tekant sige: v 2 + w 2 = w " v 2 + 2# v # w # cos($) Fa sætning 6 ha vi at: w " v 2 = ( w " v ) ( w " v ). Dette pikpodukt udegne vi ved at buge den distibutive lov to gange: ( w " v ) ( w " v ) = (( w " v ) w ) " (( w " v ) v ) = w w " v w " w v + v v

20 Dvs. at ( w " v ) ( w " v ) = w 2 + v 2 " 2 # v w. (Hvis nogen synes at det minde om en af kvadatsætningene, så gø det ikke noget - Vi ha jo bae et andet podukt på spil.) Benyttes dette i cosinuselationen ovenove, få man: v 2 + w 2 = w 2 + v 2 " 2# ( v w ) + 2 # v # w # cos($) Hvilket hutigt kan omskives til: v " w " cos(#) = v w q.e.d. Øvelse 7 #"1& " 0% % ( Tegn vektoene v = 0 % ( og w = 2 ud fa samme punkt (f.eks. oigo). $ 3 ' # 2& Beegn deefte vinklen mellem dem, og få det til at passe med din umlige intuition. (Hov Skulle du lige til at læse videe uden at egne øvelsen føst?) En nyttig konsekvens af sætning 7 e, at man meget let kan se om to vektoe e vinkelette elle ej: Coolla 8 (vinkelette vektoe) To vektoe v og w e vinkelette hvis og kun hvis v w = 0. Bevis Vektoene v og w e vinkelette pæcis hvis en af dem e nul (p. definition) elle hvis cos(") = 0. Demed følge påstanden af sætning 7. (Odet coolla betyde gave på gæsk, og benyttes om sætninge, de følge af ande sætninge som en diekte, men meget nyttig, konsekvens.)

21 Bemæk at dette coolla e den tekniske gund til at man sige at nulvektoen e vinkelet på alle vektoe. På den måde blive påstanden nemlig også igtig hvis en elle begge vektoene e nulvekto. Øvelse 8 E følgende to vektoe vinkelette? " 1% v = 1 og # 1& #"1& % ( w = "1 % (. $ 1 ' Til sidst i dette afsnit skal vi se på et meget vigtigt begeb i fysik, nemlig pojektion af vektoe på hinanden. Definition (pojektion af vekto på vekto) Hvis v og w e vektoe som tegnes ud fa samme punkt P, så definees pojektionen af v på w som den vekto v w som, nå den tegnes ud fa P, give den vinkelette pojektion af pilen fo v på den linje som pilen fo w ligge på. Situationen se ud som på tegningen:

22 Sætning 9 (pojektion af vekto på vekto) Hvis v og w e vektoe, kan pojektionen af v på w beegnes som: " v w = v w % $ # w 2 ' ( w & Bevis Beviset foegå lige som i det todimensionale tilfælde. Man se bae de to vektoe ovenfa, og dele igen ind i de to tilfælde, hvo v pege w henholdsvis samme vej og modsatte vej som w. Øvelse 9 Beegn pojektionen af oigo. " 2% v = 1 på # 0& " 1 % w = 0. Indtegn alle te vektoe fa # 0&

23 10. Regning med vektoe 3 Dette e føste gang vi skal lave noget, som ikke ligne det todimensionale tilfælde på en pik. I det todimensionale tilfælde defineede vi begebene tvævekto til en vekto og deteminant af to vektoe. Den dålige nyhed e, at ingen af disse to begebe findes fo tedimensionelle vektoe. Lidt snik-snak, som kan spinges ove: Tedimensionel tvævekto? I planen ha man pæcis to oplagte mulighede, hvis man til en given vekto vil lave en vinkelet vekto, hvis man (meget natuligt) bestemme at den vinkelette vekto skal have samme længde som den opindelige. Så det e blot et spøgsmål om at vælge en omløbsetning fo at definee pæcist hvilken at de to mulighede de skal væe den igtige. I ummet ha man mange flee mulighede. F.eks. e enhedsvektoene i, j og " i allesamen gode valg af tvævekto til k. Faktisk e enhve enhedsvekto med z-koodinat nul lige oplagt. Som vi skal se kæves de mee infomation fo at educee antallet af oplagte mulighede, således at man kan vælge en bestemt af dem. Lidt andeledes foholde det sig med deteminanten. De findes en deteminant i ummet. Men det vise sig at den igtige måde at genealisee dette begeb på e, at man tage deteminanten af te vektoe. På samme måde som deteminanten af to todimensionelle vektoe vise som de to vektoe ligge på samme linje elle ej, vise deteminanten af te tedimensionelle vektoe, om de ligge i samme plan elle ej. Det se vi på i en anden af disse kasse senee. Til gengæld ha man i ummet en slags estatning af begge dele, som på samme tid e et slags tvævektobegeb og samtidigt måle om to vektoe e paallelle elle ej. Det deje sig om et helt nyt og spændende podukt af vektoe

24 Definition (kydspodukt) " x 1 % " x 2 % Hvis v = y 1 og w = y 2 e to vektoe i ummet, definee vi # z 1 & # z 2 & kydspoduktet af de to vektoe som: v " w # % = % $ x 1 y 1 z 1 & # ( ( " % % ' $ x 2 y 2 z 2 # y 1 y 2 & % ( & % z 1 z 2 ( # y ( ( = z 1 z 1 z 2 ) y 2 z 1 & % 2 ( % ( % x 1 x ( = z 1 x 2 ) z 2 x 1 2 ' % ( % ( % x 1 x $ x 1 y 2 ) x 2 y 1 ' 2 ( % $ y 1 y ( 2 ' Denne definition læe man aldig, hvis man bae sætte sig ned og stie på bogstavene. I stedet skal man se lidt hen ove bogstavene og mæke hvad de foegå i stedet. Vi tage det skidt fo skidt, uden at nævne bogstavene: Bemæk føst at kydspoduktet af to vektoe e en vekto. Det amme vi lige ind fo en god odens skyld: Kydspoduktet af to vektoe give en ny vekto (Af denne gund kaldes kydspoduktet også nogle gange fo vektopoduktet.) Bemæk deefte at hve af koodinatene i den nye vekto e defineet ved hjælp af en deteminant af to todimensionelle vektoe. (Husk defo på, hvodan deteminanten blev defineet, og se, at dette stemme oveens med hvad de ske i det sidste lighedstegn.) Find til sidst en egel fo hvodan indholdet af de te deteminante findes ud fa de opindelige vektoe. Jeg pleje at huske det som følge: Hvis man vil have en bestemt koodinat i vektopoduktet, finde man de tilsvaende koodinate i de to indgående vektoe. Man tage så de koodinate de stå unde disse i begge vektoe. Med den egel at hvis man yge ned igennem bunden, så state man fofa i toppen. ( Woppawound -eglen). Pøv selv

25 Øvelse 10 Udegn følgende kydspodukte: Beegn også: i " j, j " i og k " k " 1% " 4% 2 ( 5, # 3& # 6& Hvad give v " v (uanset hvad v e)? (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) " 1% " 2% 2 ( 4 og # 3& # 6& #"1& # 2 & % ( 3 % ( ) % ( "3 % (. $ "2' $ "1' Kydspoduktet e et mækeligt podukt. Det opfylde ikke et mange af de egneegle vi e vant til. Kydspoduktet e ikke kommutativt: F. eks. e i " j = k, men j " i = # k. Faktisk e v " w = # w " v fo alle vektoe v og w. Man kalde denne egenskab at kydspoduktet e antikommutativt. Kydspoduktet e ikke associativt: F.eks. e i " ( j " j ) = i " 0 = 0. ( i " j ) " j = k " j = # i, men Lidt snik-snik, som kan spinges ove: Fiefavepoblemet. De e en meget inteessant sammenhæng mellem kydspoduktets manglende associativitet og et stot matematisk esultat, kendt unde navnet fiefavepoblemet. Fiefavepoblemet handle om den beømte påstand, femføt af den engelske katogaf Fancis Guthie i 1850, at man med blot 4 fave kan favelægge ethvet landkot sådan at nabolande aldig få samme fave. (To lande kaldes nabolande, hvis de støde op til hinanden langs en gænselinje, de e længee end bae et punkt.) Det vise sig at fiefavepoblemet e ækvivalent med følgende mækvædige påstand: Hve eneste gang man vælge to foskellige måde at sætte paentese i udtykket x 1 " x 2 "L" x n på, sådan at det kan udegnes på en entydig måde, da findes de en måde at indsætte basisvektoe, i, j elle k på pladsene x i sådan at de to udegninge give det samme esultat, foskelligt fa nul

26 Kydspoduktet opfylde følgende egneegle: Sætning 10 (egneegle fo kydspoduktet) Homegenitet med skaleing: Hvis skala, så e: Den distibutive lov: Hvis u, v og v og w e vektoe, og " ( v # w ) = ( " v ) # w = v # ( # w ) w e vektoe, så e: u " ( v + w ) = u " v + u " w ( v + w ) " u = v " u + w " u " R e en Bemæk at den distibutive lov blive lidt faligee at buge, fodi den kommutative lov ikke gælde. Man skal defo passe meget på med om man gange ind i paentesen fa enten venste elle høje. De to egenskabe bevises ved at navngive koodinatene i alle vektoene, og så udegne de givne udtyk og se at det give samme esultat. Det vil vi ikke gøe he. I stedet vil vi se på en sidste egneegel, som e lidt spøjs: Sætning 11 (egneegle fo kydspoduktet - fotsat) En slags homogenitet med pikpoduktet: Hvis så e: u ( v " w ) = ( u " v ) w u, v og w e vektoe, Denne lov ligne en slags homogenitetslov. Dog e de byttet om på de to gangetegn, idet paentesen e flyttet. Bemæk at denne ombytning e nødvendig (se næste øvelse). Øvelse 11 Hvofo give følgende udtyk slet ikke mening? ( u v ) " w

27 Fo nu ikke at spinge alle bevise ove, tage vi lige: Bevis fo sætning 11 Vi kalde koodinatene i de te vektoe: Venstesiden give så: " $ u = $ # x 1 y 1 z 1 % ' ', & " $ v = $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' og & " $ w = $ # x 3 y 3 z 3 % ' '. & u ( v " w # % ) = % $ x 1 y 1 z 1 & # y 2 z 3 ) y 3 z 2 & ( ( % ( z 2 x 3 ) z 3 x 2 % ( = x 1(y 2 z 3 ) y 3 z 2 ) + y 1 (z 2 x 3 ) z 3 x 2 ) + z 1 (x 2 y 3 ) x 3 y 2 ) = ' $ x 2 y 3 ) x 3 y 2 ' x 1 y 2 z 3 + y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 ) x 1 y 3 z 2 ) y 1 z 3 x 2 ) z 1 x 3 y 2 Højesiden give: ( u " v ) w $ y 1 z 2 # y 2 z 1 ' $ & ) = z 1 x 2 # z 2 x 1 & ) & & % x 1 y 2 # x 2 y 1 ( % x 3 y 3 z 3 ' ) ) = (y z # y z )x + (z x # z x )y + (x y # x y )z = ( y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 + x 1 y 2 z 3 # z 2 x 1 y 3 # x 2 y 1 z 3 # y 2 z 1 x 3 -Og det e jo det samme q.e.d. Den sidste egneegel kan buges til at vise en meget nyttig egenskab ved kydspoduktet. Dette e gunden til at kydspoduktet kan ses som en slags tedimensionel estatning af tvævekto -begebet: Coolla 12 (etning af kydspodukt) Hvis v og v og w. w e vektoe, så e kydspoduktet v " w vinkelet på både Bevis Vi teste fo otogonalitet ved hjælp af coolla 8: (Bemæk at vi vælge at pikke fa den smate side ): -Altså e v " w vinkelet på ( v " w ) w = v ( w " w ) = v 0 = 0. w

28 -Altså e v " w vinkelet på v ( v " w ) = ( v " v ) w = 0 w = 0. w. q.e.d. Øvelse 12 Beegn en vekto som e vinkelet på både " 1% 4 og # 1& #"1& % ( "3 % (. $ 2 ' Coolla 12 sagde noget om den geometiske betydning af kydspoduktets etning. Man kan også spøge hvad kydspoduktets længde betyde. Dette vise sig denne opføe sig omtent lige som deteminanten gjode i planen: Sætning 13 (længde af kydspodukt) Hvis v og w e egentlige vektoe, og " e vinklen mellem dem, så e længden af kydspoduktet v " w givet ved: v " w = v # w # sin($) Vi bevise ikke denne sætning, men jeg henvise de inteesseede til beviset på s. 220 i den gå bog. I stedet vil vi slutte dette afsnit med et nyttigt coolla til sætning 13: Coolla 14 (paallelle vektoe) To vektoe v og e lig nulvekto. w e paallelle hvis og kun hvis kydspoduktet Bevis Da nulvekto e paallel med alle vektoe, e sætningen igtig hvis en af de to vektoe e nulvekto v " w Hvis begge vektoe e egentlige, e de paallelle pæcis hvis sin(") = 0, hvilket ifølge sætning 13 gælde pæcis hvis v " w = 0. Da nulvekto e den eneste vekto med længde nul, e det det samme som at v " w = 0. q.e.d.

29 11. Rette linje i ummet I planen ha vi flee foskellige måde at beskive en et linje på. Det vise sig desvæe at det ikke kan lade sig gøe at beskive en et linje i ummet ved hjælp af en ligning. Lidt snik-snak som godt kan spinges ove: (Hvofo det?) Poblemet e, at vi ha fo mange koodinate til at en enkelt ligning kan begænse antallet af punkte nok. Geneelt vil en ligning om x, y og z kunne løses uanset hvilken vædi x og y måtte have. Demed vil ligningen væe opfyldt fo mindst 1 punkt ove hvet eneste punkt i xy-planen. Det lyde ikke som en linje Hvad det i stedet lyde som skal vi se på i næste afsnit. Det e helle ikke muligt at definee et bugbat hældningsbegeb fo linje i ummet. (Hvad skulle man måle hældning i fohold til? Og hvodan skulle det beskive linjen?) Til gengæld e den igtige måde at beskive linje i ummet paametefomen. Vi gentage lige definitionene fa føste del af notene: Definition (etningsvekto fo linje) En egentlig vekto v siges at væe etningsvekto fo en linje, hvis den, nå den indtegnes fa et punkt på linjen, pege på et andet punkt på linjen. (Altså hvis den indtegnede pil e paallel med linjen.) Og de gælde så: Sætning 14 (konstuktion af en etningsvekto) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e punkte på linjen L, så e den fobindende vekto # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' etningsvekto fo linjen

30 Og defo: Sætning 15 (linje på paametefom) " a% Hvis L e en linje, P = (x 0,y 0,z 0 ) e et punkt på L, og v = b e en # c& etningsvekto fo L, så e alle punkte (x,y,z) på linjen givet ved: " x% " x 0 % " a% y = y 0 + t ( b, t " R # z& # & # c& z 0 Da de ikke e så mange måde at beskive linje i ummet på, e ovesigten ove de vigtige omskivninge også ganske kompakt: Øvelse 13 Giv en paametefemstilling af den linje som indeholde punktene: (1,5,"2) og (2,"1,4) Øvelse 14 Find 3 punkte på linjen med paametefemstillingen: " x% " 1 % " (2 % y = 5 + t ) 12 # z& #(2& #(12&, t " R -Og tegn den

31 (Øvelsene føst :) 13. Plane i ummet Vi slutte af med at anvende vektoegning til at beskive nogle ande, spændende delmængde af ummet, nemlig plane. Definition En delmængde A af ummet, som hveken e et punkt, en linje elle hele ummet kaldes en plan hvis den opfylde følgende kav: Hve gang man ha to punkte i A, så e linjen mellem de to punkte indeholdt i A. Hvo man ved linje tale om at punkte ligge på linjen, tale man ved plane om, at punkte ligge i planen. Lidt snik-snik som godt kan spinges ove: Odkløvei. Det hedde EN plan. Basta Mange iiteende eleve ha gennem tiden hævdet at det bude hedde et plan, fodi man jo i daglig tale buge odet et skåplan, mens en plan e sådan noget som Egon fa Olsen-banden ha. Detil kan jeg bae sige: Nej Odet skåplan e en spoglig misfoståelse, som desvæe ha bedt sig voldsomt i befolkningen, takket væe odblinde jounaliste, som to at navneod lyde klogee hvis de e intetkøn. En plan e både en fom fo stategi, ofte i nedskevet fom, samt et fladt (plant) omåde i ummet. De to od komme nemlig af pæcis det samme: Således betyde planlægning jo at man lægge noget plant, altså nedfælde det på papi, de jo som egel e... plant En plan e, som navnet antyde, et helt fladt, uendeligt stot omåde i ummet. Vi ha alleede set te plane, nemlig koodinatplanene Hvis man ha 3 punkte i ummet, som ikke ligge på samme linje (man sige at de te punkte e uafhængige), så e de pæcis en plan som indeholde dem alle te. Vi vil nu finde en måde at beskive denne plan. Detil skal vi buge et nyt begeb:

32 Definition (etningsvekto fo en plan) En egentlig vekto v siges at væe etningsvekto fo en plan, hvis den, nå den indtegnes fa et punkt i planen, pege på et andet punkt på planen. Det se ud som på tegningen: (Planen e tegnet som et endeligt omåde, da det e svæt at indamme et uendeligt stot omåde. Man skal foestille sig at planen fotsætte uendeligt langt til alle side.) Det e et nemt at finde en etningsvekto, hvis man ha to punkte i planen: Sætning 15 (konstuktion af etningsvektoe) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e punkte i en plan A, så e den fobindende vekto # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' etningsvekto fo planen

33 Øvelse 15 Find 3 foskellige etningsvektoe fo yz-planen. (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Bemæk at hvis man ha 3 punkte i en plan, kan man hutigt lave 2 etningsvektoe. Hvis de te punkte e uafhængige (d.v.s. de ligge ikke på den samme linje), kan man endda søge fo at lave to etningsvektoe som ikke e paallelle. Hvis man ha to sådanne etningsvektoe og et punkt i en plan, så kan man beskive alle de øvige punktene i planen: Sætning 16 (plan på paametefom) " a 1 % " a 2 % Hvis A e en plan, P = (x 0,y 0,z 0 ) e et punkt i A, og v = b 1 og w = b 2 e # c 1 & # c 2 & to ikke-paallelle etningsvektoe fo A, så e alle punkte (x,y,z) i planen givet ved: " x% " y = $ $ # z& # x 0 y 0 z 0 % " ' ' + s( $ $ & # a 1 b 1 c 1 % " ' ' + t ( $ $ & # % ', ' & De ubestemte tal, s og t, kaldes de fie paamete i beskivelsen af planen. De kan, som skevet, antage enhve vædi i de eelle tal, hve fo sig. Fo hve eneste vædi af paametene, kan man udegne et punkt i planen. (Elle ettee: En stedvekto til et punkt på planen.) a 2 b 2 c 2 s,t " R Det e et svæt at tegne, men man bø have noget i etning af følgende tegning i hovedet:

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden Danmaks Tekniske Museum O P T I K & L Det kunstige øje - om mikoskopet og dets veden Y S Til læeen At bille både e fysik og kultuhistoie, e fo mange bøn en velbevaet hemmelighed. Dette til tods fo at alle

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom Uddannelsesodning fo uddannelsen til Gastonom Udstedelsesdato: 9. juni 2011 Udstedt af Det faglige Udvalg fo Gastonomuddannelsen i henhold til bekendtgøelse n. 329 af 28. apil 2009 om uddannelsene i den

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet magasin om det ummelige abejdsmaked N. 14 decembe 2010 4. ågang lige mulighede fo alle altid Hidsig debat om fleksjobefom Sygemeldte følges tæt i Jammebugt Nå stess ødelægge helbedet Indhold Fleksicuity

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

MuligHeden. www.ikast-brande.dk September 2015. Robuste idéer

MuligHeden. www.ikast-brande.dk September 2015. Robuste idéer www.ikast-bande.dk Septembe 2015 Robuste idée Fitid, oplevelse og en håndsækning til kultuen En en mandeguppe ha sat sig på opgaven som scenemeste og lysfolk i Bakkehuset Skulle Ikasts kultuhus, Bakkehuset,

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Kotfattet fo gymnasiet og hf 5 00 Kasten Jl Indhold. HÄjde og aeal.... Pythagoas' såtning... 3. Ensinklede tekante...4 4. Cosins og sins i etinklet tekant...6 5. Tangens i etinklet tekant...9 6. Vinkle...

Læs mere

Honeywell Hometronic

Honeywell Hometronic Honeywell Hometonic Komfot + Spa enegi Gulvvame Lysstying Lys Sikkehed Sikkehed Andet Andet Radiato Insight Building Automation 1 MANAGER Hometonic Manageen HCM200d e familiens oveodnede buge-inteface.

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70 61 Få Anal få (udyk i usind) Belgien 120 Fankig 9 000 Øsig 350 Danmak 120 Iland 5 000 Pougal 3 600 Tyskland 2 000 Ialien 11 000 Finland 70 Gækenland 9 000 Luxemboug 7 Sveige 440 Spanien 24 000 Nedelandene

Læs mere

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien Socialådgiveen Medieinfo 2015 socialådgiveen 11/14 Læs mee om voes mange ande medie på Fa udsat til ansat viksomhedspaktik skaffe job til udsatte unge dgmedia.dk ds advae mod at spae i psykiatien Kommunalt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef Teknik- og Miljøfovaltningens seketaiat Middelfat Kommune Østegade 21 80 Nøe Aaby www.middelfat.dk Stillings- og pesonpofil Tafik- og vejchef Middelfat Kommune Mats 2008 Opdagsgive Adesse Stilling Refeee

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde "Falunparken" LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde Falunparken LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ VORDINGBORG KOMMUNE N PRINS JØRGENS ALLÈ FALUNVEJ KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-25.2 Boligomåde "Falunpaken" Vodingbog mats 2005 20 k. Rettelsesblad til Lokalplan B-25.2 Lokalplan C.17.24.01 Vaehus ved

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder!

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder! DET NYE KICK- START FORÅRETS SALG - mød ove 20.000 købedygtige nodjyde! Eksklusive moms Nodjysk Ivæksætte Netvæk indbyde igen til Se side 4 GRATIS ENTRÉ FOR JERES MESSEGÆSTER Endnu ledige STANDE - SE STANDPLAN

Læs mere

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med!

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med! www.ikast-bande.dk Væ med! Vi vil godt væe med I te månede ha bogee i Nøe Snede taget skald og skidt i eg hånd. Det e histoi om by, de også e ved at tage ejeskab fo at tage sig godt ud. Skald på bys offtlige

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere