Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik for lærerstuderende Omega 4.-10. klassetrin"

Transkript

1 Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin 71190_omega_4k.indd :13:42

2 71190_omega_4k.indd :13:42

3 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin Forlaget Samfundslitteratur 71190_omega_4k.indd :13:42

4 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin 1. udgave , Forlaget Samfundslitteratur Omslag: Imperiet Tegninger: John Kehlet Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2008 ISBN Figur 1 4 er gengivet fra Folkeskolens Afgangsprøve i matematisk problemløsning, dec med tilladelse fra Styrelsen for evaluering og kvalitetsudvikling i grundskolen. Figur 2 2 stammer fra de Bild: P.-F. Verhulst. Figur 3 2 er gengivet fra Marianne Holmer og Svend Hessing: Faktor Arbejdsbog 9, Malling Beck 1995, med forfatternes og forlagets tilladelse. Figur 3 11 er gengivet fra Tomas Højgaard Jensen, Lene Hvilsom Larsen, Bo Boisen Pedersen og Helle Sonne: Matematrix 9: Grundbog, Alinea 2002, med forfatternes og forlagets tilladelse. Figur 9 7 stammer fra Lancelot Hogben: Videnskab for Hvermand, Figur 6 7 er fotograferet af John Kehlet Schou. Figur 11 7 stammer fra Den Fantastiske Bogstaver i 3D, der ser ud som om de står op, men faktisk ligger ned, -raport af Stine, Vergo, Sidsel, Anja og Signe 3.z. Figur 14 7 er en fotokollage udført af John Kehlet Schou. Figur 17 1 Regina Stinson Figur 17 4 stammer fra og er gengivet med fotografens tilladelse. Forlaget Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser _omega_4k.indd :13:43

5 Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering 22 Matematisk modellering 23 Modelanvendelse 36 Formål med modellering i skolen 40 Opsamling på kapitel Vækstmodeller 45 Lineær vækst 46 Genkendelse af lineær vækst i skolen 47 Eksponentiel vækst 50 Logistisk vækst 56 Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede miljøer 58 Den kontinuerte model for logistisk vækst 62 Tilpasning af logistisk vækst til datamateriale 64 Opsamling på kapitel Rentesregning 71 Termin og rentetilskrivning 74 Simpel rentesregning 75 Nominel og effektiv rente 80 Annuiteter opsparing 81 Annuiteter gæld 86 Indhold _omega_4k.indd :13:43

6 Formel for gældsannuitet 88 Opsamling på kapitel At tilpasse kurver til punkter 97 Lineær regression mindste kvadraters metode 98 Bedste rette linje på øjemål og med computerprogrammer 101 Hvor godt passer modellen? 104 Ikke-lineære modeller 106 Symbolkompetence via lineær regression med formler 109 Opsamling på kapitel Usikkerhedsberegning 115 Teorien for tilnærmet regning 116 Fejl på summer og differenser 118 Fejl på produkter og brøker 120 Tilnærmet regning i skolen 123 Opsamling på kapitel Modellering som generel strategi til matematikundervisning 127 Emergerende modeller hos RME 129 Relationen mellem matematik og omverden 131 Model-frembringende aktiviteter hos Lesh og hans kolleger 133 Modellering og problemløsning 137 Mål med matematisk modellering i undervisningen 139 Opsamling på kapitel DEL II GEOMETRI Introduktion Geometriundervisning i grundskolens sidste trin 149 Geometri som kulturel aktivitet 150 At arbejde med form: repræsentationer og begrebsdannelse 154 Fischbein og figurale geometriske begreber 156 Van Hieles niveauer 158 Geometriundervisning i skolen Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

7 Logo og Myresnak 163 Dynamiske geometriprogrammer 164 Geometriske ræsonnementer 167 Opsamling på kapitel Klassisk geometri 173 Klassisk trekantsgeometri, hvorfor? 173 Afstandsbestemmelsens geometri 174 Bevis for Thales sætning 176 Sætningen om ensvinklede trekanter 178 Thales sætning skabt af og anvendt i praksis 180 Andre beviser baseret på Thales sætning 185 Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 186 Trekantens klassiske linjer 187 Pythagoras sætning 189 Vinkler ved cirklen 197 Opsamling på kapitel Trigonometri 205 Trigonometriens definitioner 206 Beregninger i den retvinklede trekant 208 Formler 210 Beregninger i en vilkårlig trekant (3 sider) 213 Sinusrelationerne 214 Cosinusrelationerne 218 Trigonometri i skolen? 220 Landmåling og geometri i naturen 223 Opsamling på kapitel Analytisk geometri 229 Afstande i planen 231 Midtpunkt af et linjestykke 232 Den rette linje 233 Vinkelrette linjer 236 Geometriske steder 238 Parablen som geometrisk sted 241 Skæring mellem geometriske figurer 249 Løsning af den generelle andengradsligning 252 Indhold _omega_4k.indd :13:43

8 Geometrisk repræsentation af ligningsløsning 253 Opsamling på kapitel Parameterfremstillinger 259 Parameterfremstilling for en ret linje 259 Perspektivtegning 261 Kasteparabler 266 Opsamling på kapitel Modellering i geometriens univers 271 Færdigudviklede modeller for geometriske målinger 271 Descartes drøm 273 Det firedimensionale rum 274 Trigonometriske funktioner som modelleringsredskab 276 Simulering af bølger 277 Modellering ved hjælp af et dynamisk geometriprogram 279 Optimal placering af en fælles brønd 279 Opsamling på kapitel DEL III STOKASTIK Introduktion Kombinatorik 293 Udvælgelse 303 Ordnet udvælgelse uden tilbagelægning 304 Uordnet udvælgelse uden tilbagelægning 307 Ordnet udvælgelse med tilbagelægning 313 Uordnet udvælgelse med tilbagelægning 314 Opsamling på kapitel S andsynligheds fordelinger og indledende induktiv statistik 319 Hypergeometrisk fordeling 324 Binomialfordeling 333 Statistiske test anvendt sandsynlighedsregning 338 Acceptmængde, kritisk mængde og fejl af 1. og 2. art Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

9 Normalfordeling 346 Kontinuert stokastisk variabel 347 Normalfordelingen 352 Hvor godt passer data? 358 Opsamling på kapitel At ræsonnere om data 369 Med fokus på datasæt 371 Elevers forståelse af gennemsnit 372 Mokros og Russels undersøgelse 372 Konold og Pollatseks forslag 378 Cobb og hans kollegers arbejde 380 Boxplots som analyseværktøj 383 Sammenhænge mellem variable 386 Cobb og hans kolleger om samvariation 390 Opsamling på kapitel DEL IV TAL, TALTEORI OG KODER Introduktion 397 Udviklingen af talteori i skolens læreplaner Anvendt talteori 403 Klassiske skoleanvendelser af primfaktoropløsning 404 Bestemmelse af antal divisorer i et tal 404 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 405 Primiske tal 407 Euklids udvidede algoritme 408 Eulers phi-funktion, φ 410 Moduloregning 411 Opsamling på kapitel Koder og kryptering 417 De dansende mænd 419 Cæsars kode 420 Vigéneres kode 421 Enigma 425 Indhold _omega_4k.indd :13:43

10 Moderne systemer 426 Kryptering ved hjælp af offentlig og privat nøgle 426 Hvor sikker er RSA? 431 Opsamling på kapitel Komplekse tal 435 Om at kunne løse ligninger en historie om talmængderne 436 De komplekse tal et legeme? 442 Komplekse tal på flere måder 444 Opsamling på kapitel Referencer 451 Stikordsregister Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

11 Forord Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er næsten tildelt den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens årgange. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grundskolens mellem- og sluttrin. Kravene til eleverne og lærerne på dette trin er ikke noget statisk, så uddannelsen må sikre, at nye lærere er bredt funderet, så de med støtte fra den efteruddannelse de kan få gennem årene er i stand til at tilrettelægge god matematikundervisning under varierende vilkår gennem hele deres professionelle liv. De aktuelle bestemmelser for faget i skolen i form af Fælles Mål II er en vigtig faglig pegepind, men fortæller os langt fra alt, hvad der skal være matematiklærerens faglige fundament. Kravene i den gældende danske læreruddannelse er naturligvis meget mere vidtgående både hvad angår fagdidaktik og det rent matematikfaglige fx områder som testteori og digitale koder. Det er disse omfattende krav, ω-bogen tilgodeser. Fælles Mål II er i øvrigt i god overensstemmelse med den kompetenceorienterede tilgang, som vi allerede lagde vægt på i fællesbogen ϒ, hvor vi i starten af hvert kapitel skrev, hvilke kompetencer der i særlig grad var i spil i kapitlet. Vi havde specielle kapitler eller afsnit om problemløsningskompetence, ræsonnementskompetence, tankegangskompetence, repræsentationskompetence samt symbol- og formalismekompetence ligesom vi i didaktikbogen δ havde et helt kapitel om kommunikation. Selv om alle kompetencer er i spil i alle vores faglige bøger, har vi planlagt, at modelleringskompetencen skulle have en særligt fremtrædende plads i denne bog, ω-bogen. Meget i den nyere udvikling i faget går på, at matematik i anvendelse skal have en stærkere plads i skolen. Som et grundlag herfor er der i læreruddannelsen brug for at udvikle en modelleringskompetence, hvor matematikken står i et dialogisk forhold til anvendelsen. Forord _omega_4k.indd :13:43

12 Brugeren af dette lærebogssystem, Matematik for lærerstuderende, vil være bekendt med, at det fælles grundlag for de efterfølgende specialiseringer blev skabt med fællesbogen ϒ og gennem et indledende arbejde med fagdidaktikken i δ. I overensstemmelse med den aktuelle danske læreruddannelse er dette lærebogssystem tænkt, så uddannelsen til aldersspecialisering kl. integrerer stof svarende til bøgerne ϒ, δ og ω. Selv om nærværende bog ω således er den eneste af de tre, der udelukkende henvender sig til de studerende i denne aldersspecialisering, må de to øvrige bøger løbende tænkes ind. Dette gælder ikke mindst fagdidaktikken i δ, der er tænkt læst over begge de to år, den samlede uddannelse til matematiklærer for kl. tager. Men en vigtig del af fagdidaktikken er medtaget i selve ω-bogen, nemlig den såkaldte stofdidaktik. Det vil sige, at vi i hver del i bogen har didaktiske overvejelser om, hvorfor det valgte stof er af betydning, og hvordan elever lærer det. Selve den store sammentænkning af alle elementerne til forberedelse og gennemførelse af en virkelig undervisningssituation ligger uden for lærebogsformatet, skønt den selvfølgelig er slutmålet. Vi prøver dog med passende oplæg i form af opgaver, undersøgelser og overvej og diskuter at simulere situationer i den daglige undervisning, der kan støtte det større sammentænkningsprojekt, der jo især vil stå sin prøve i praktikken og siden i en professionel karriere. Strukturen af denne bog Denne bog ω har altså en særlig vægtning af stof, der vedrører sluttrinnet og en særlig vægtning af modelleringskompetencen, men er i øvrigt struktureret, så den afspejler intentionerne i den aktuelle bekendtgørelse for matematik i læreruddannelsen. Den falder derfor i fire dele: modeller og modellering, geometri, stokastik, talteori og koder. I begyndelsen af hver del findes en indledning, der udtrykker intension og sammenhæng i kapitlerne i denne del. Vores modelleringsdel kan opfattes som en kombination af algebra og matematik i anvendelse, men har dog selve modelleringsaktiviteten som endemål. Vender vi os til sidst mod kapitelniveauet, så er der i begyndelsen af hvert kapitel en punktopdelt oversigt over hensigten med kapitlet. Og vi slutter hvert kapitel med en opsamling, der består af et eller flere forslag, der skal 12 Forord 71190_omega_4k.indd :13:43

13 få den studerende til at se tilbage og danne sig et overblik over, hvad der er arbejdet med og lært i kapitlet. For den studerende, der har brug for at læse meget på egen hånd, findes der besvarelsesforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside. Vi har stræbt efter at holde denne bog nede på en overskuelig størrelse. Vi skrev først en bog, der var for stor, derfor måtte vi udelade nogle videregående matematiske emner og i øvrigt gennemgå manus med en tættekam mhp. at formindske bogen. I denne proces fandt vi opgaver eller andet materiale, som vi gerne stadig vil give læseren adgang til. Det er kort markeret fx som Opgave 12 (netopgave) efterfulgt af en kort beskrivende tekst. Den fulde opgave eller tekst findes på bogens hjemmeside hos Forlaget Samfundslitteratur, (søg på Omega ) på linket netopgaver. De ligger samme sted som forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. København, juni 2008 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Forord _omega_4k.indd :13:43

14 71190_omega_4k.indd :13:43

15 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:43

16 71190_omega_4k.indd :13:43

17 Introduktion Matematik kan karakteriseres på mange måder. Faget kan fx ses som en deduktivt opbygget struktur, som en måde at lede efter mønstre og systemer i fx tal og former på, som en værktøjskasse med metoder til at løse praktiske problemer med, eller som en del af det at være demokratisk dannet. Men uanset hvilke perspektiver der lægges på matematik, er der næppe nogen, der vil se bort fra, at faget kan bruges til at bearbejde forskellige omverdensproblemer med. Matematikfaget har altså relationer til en verden uden for sig selv. Det er de relationer mellem faget selv og omverden, der er i fokus, når man taler om matematiske modeller. Matematiske modeller har altså en tæt forbindelse til matematikkens anvendelser i ikke-matematiske sammenhænge. Der er flere grunde til, at vi har valgt at fokusere på matematiske modeller i denne første del af en lærebog til undervisere på grundskolens sidste trin. For det første har ikke-matematiske anvendelser af matematik altid været en væsentlig del af diskussionen om fagets berettigelse som skolefag, og diskussionerne om målene med modeller i undervisningen er ikke blevet mindre i de sidste år (jf. δ-bogen, kapitel 12 og13). Internationalt er der således stor opmærksomhed på, hvilken rolle modeller kan spille for matematikundervisningen, og i Danmark har diskussionerne bl.a. givet sig udslag i, at en af de otte matematiske kompetencer i KOM-rapporten (Niss & Jensen (red.) 2002) er en kompetence i at behandle matematiske modeller. Der er altså en vigtig fagdidaktisk diskussion om matematiske modeller i tilknytning til matematikundervisningens begrundelsesproblem. For det andet kan de begrundelser, der i en given undervisningssituation ses som de vigtigste for at undervise i og om modeller, få indflydelse på, hvordan man mere konkret griber arbejdet an. Selv om man ikke kan udlede en undervisningspraksis alene af en begrundelsesdiskussion, er der en kobling mellem begrundelserne og praksis. Som lærer må man kunne forholde sig til denne kobling og overveje, hvordan en konkret undervisning i modeller kan tilrettelægges, så den er i rimelig overensstemmelse med de begrundelser, der er en del af dens udgangspunkt, og løbende reflektere over, om praksis udvikler sig tilsvarende. Introduktion _omega_4k.indd :13:43

18 Og for det tredje er det af indlysende vigtighed, at man som lærer kender til en række af de modeller, der kan bringes i anvendelse, og fagligt behersker en del af dem, når nu de er blevet en central del af undervisningen. Ved siden af at man generelt skal kende til diskussionerne om modellernes rolle i matematikundervisningen, skal man altså som underviser selv kunne arbejde kvalificeret med modeller af forskellig slags. Også af den grund må matematiske modeller få en betydelig plads i en matematiklæreruddannelse. På den baggrund har vi valgt i denne del af bogen at introducere en række af de matematiske modeller, der i særlig grad kan kvalificere læseren til undervisning i klasse. I kapitel 2 skal vi således se på matematiske beskrivelser af vækst, dvs. af kvantitative forandringer over tid. Det kan være forandringer i befolkningers størrelse, i økonomisk formåen, i stråling fra radioaktive materialer eller i andre fænomener. I forbindelse med vækst forsøger man at beskrive, forudsige eller evt. foreskrive, hvad der karakteriserer en sådan forandring. Det er der udviklet omfattende matematiske modeller til, og det er nogle af dem, der er omdrejningspunktet i kapitel 2. I kapitel 3 ser vi på noget, der til dels også har med vækst at gøre, men vækst af en ganske særlig slags: renter. Det er et område, som traditionelt spiller en stor rolle i grundskolens sidste klassetrin. Vi skal her udvide diskussionen med en behandling af, hvordan man matematisk kan beskrive opsparings- og afbetalingssituationer. I kapitel 4 skal vi behandle sammenhænge mellem variable. Man kan fx have fundet nogle sammenhørende værdier mellem årstal og lærerlønninger, mellem 9. klasseelevers højde og vægt, eller mellem hastighed og bremselængde, når man kører på cykel. Man er så ofte interesseret i at udtale sig om en generel sammenhæng og ikke bare om de relativt få værdier, man har målt eller fundet på anden måde. Værdierne kan så afsættes i et koordinatsystem, og man kan overveje, om der er kurver, der passer godt med dem. Det er sådanne overvejelser, vi skal gøre os i kapitel 4: Kan vi tilpasse kurver til punkter? I kapitel 5 lægger vi en anden synsvinkel på de punkter, der er udgangspunktet for kurvetilpasningen i kapitel 4. Punkterne er resultat af målinger af forskellig slags, og målinger er ofte behæftet med usikkerhed og målefejl. I dette kapitel skal vi arbejde med, hvad der sker med sådanne fejl, hvis man skal regne videre på resultatet af en måling, fx fordi det indgår i en 18 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:43

19 formel af en slags. Hvor stor er fx usikkerheden på beregningen af arealet af en cirkel, hvis der er en usikkerhed på målingen af radius på 5 %? Det generelle problem, vi skal behandle, er altså, hvilken usikkerhedsmargin der må lægges ind i beregninger, når de baserer sig på målinger. I kapitel 2, 3, 4 og 5 ser vi altså på eksempler på det at arbejde med matematiske modeller, og vi lægger hovedvægt på de tekniske sider af sagen: Hvilke metoder kan man bruge, og hvilke usikkerheder er der involveret, når man vil behandle et omverdensproblem matematisk? Kapitel 1 og 6 pakker på forskellig vis disse tekniske spørgsmål ind i nogle mere generelle synsvinkler på matematiske modeller og deres rolle i undervisningen. I kapitel 1 skal vi diskutere, hvad en matematisk model overhovedet er: Hvad mener vi, når vi taler om matematiske modeller og om matematisk modellering? Som nævnt drejer en matematisk model sig om relationen mellem noget matematik og en omverdenssituation, og at modellere er at udvikle den matematik, der skal bruges, dvs. at bygge modellen. Der kan imidlertid siges meget mere om forståelserne af de to ord, modeller og modellering, og i praksis bruges de forskelligt i forskellige sammenhænge. Disse forskelle i sprogbrug afspejler ofte forskelle i opfattelsen af målene med matematikundervisning, og de får praktisk-pædagogiske konsekvenser: Hvis man lægger hovedvægt på én type forståelser af en model, vil undervisningen typisk tage én form, mens den med andre forståelser ofte vil se anderledes ud. Der er således en forbindelse mellem undervisningens formål, forståelsen af, hvad en matematisk model er, og hvordan undervisningen gribes an. Det er disse forbindelser, kapitel 1 drejer sig om. I det sidste kapitel i vores behandling af modeller, kapitel 6, skal vi relatere diskussionen af modeller og modellering til en mere generel tilgang til matematikundervisning. Man kan med udgangspunkt i en af de forståelser af model og modellering som vi diskuterer i kapitel 1 argumentere for, at elevernes aktivitet i matematiktimerne generelt skal kunne karakteriseres som en modelleringsaktivitet. Man knytter da ofte modellering til matematisk problemløsning. Det at løse matematiske problemer bliver da set som at bygge stadigt mere avancerede matematiske modeller af den situation, der behandles. Det bliver hermed sat til diskussion, om arbejdet med matematiske modeller skal være en aktivitet, der skal supplere den øvrige undervisning i relativt isolerede perioder, eller om modellering skal ses som en generel tilgang til matematikundervisning. Introduktion _omega_4k.indd :13:43

20 71190_omega_4k.indd :13:43

21 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? Vi sagde i indledningen til dette afsnit, at begreberne om en matematisk model og om matematisk modellering bruges på forskellig vis i forskellige sammenhænge. Desuden gjorde vi opmærksom på, at der kan tænkes og har været anvendt ganske forskellige begrundelser for at give matematisk modellering en plads i skolen. Endelig kan der tænkes forskellige tilgange til, hvordan der skal arbejdes med matematisk modellering. I dette kapitel skal vi arbejde med idéerne om en matematisk model og om matematisk modellering. Vi sætter således scenen til arbejdet med modeller ved at se på spørgsmålet: hvad mener vi, når vi siger modeller og modellering? Vi skal se på, hvordan begreberne er blevet brugt og lave en model af matematisk modellering, en modellerings-model. Desuden skal vi gøre rede for nogle begrundelser for at arbejde med modeller i undervisningen og for nogle af de måder, det kan gøres på. Når vi genoptager diskussion i kapitel 6, er den primære hensigt at koble modellering til problemløsning og i den sammenhæng knytte modelleringsdiskussionen til nogle mere generelle syn på matematikfaget i skolen. I dette kapitel foregår den indledende begrebsafklaring med en modelleringsopgave for grundskolens sene klassetrin som gennemgående eksempel. Efter læsning af dette kapitel er det hensigten, at læseren kan: Skelne mellem forskellige måder at benytte termen en matematisk model på. Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:43

22 Gøre rede for indholdet i og relationerne mellem forskellige trin i en matematisk modelleringsproces. Forholde sig til forskellige begrundelser for at arbejde med matematiske modeller og anvendelser af matematik i undervisningen. Skelne mellem grundlæggende måder at arbejde med modeller på i skolen. Matematiske modeller og matematisk modellering Man har at gøre med matematiske modeller i alle de tilfælde, hvor matematik bringes i anvendelse for at analysere eller beskrive en situation eller et problem fra omverdenen. Det har man også, når faget bruges til at forudsige eller foreskrive, hvordan en given situation kan udvikle sig, eller et bestemt problem kan håndteres. Fx har man med matematiske modeller at gøre, når man bruger matematik til at: lave et overslag over, hvor mange elever der går på skolen, vurdere, om der er benzin nok i tanken til, at man kan komme hjem, undersøge, om der er sammenhæng mellem lærerstuderendes køn og deres valg af første linjefag, forudsige udviklingen i bestanden af kaniner på en ø, bestemme, hvor meget der skal udbetales i erstatning fra forsikringsselskabet for en stjålet cykel, analysere en mulig sammenhæng mellem skattetryk og økonomisk vækst, forudsige klimakonsekvenserne af en stadigt voksende biltrafik. I ethvert arbejde med en matematisk model arbejder man således både med et omverdensfænomen (elever på skolen, lærerstuderendes fagvalg, kaniner osv.) og med en matematisk beskrivelse af det (en række udregninger, en statistisk sammenhæng, en funktionsforskrift osv.). Matematisk modellering drejer sig da om forholdet mellem to til dels adskilte verdener, én der har omverdenskarakter, og én der (i højere grad) er matematisk. 22 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:44

23 Matematikverden Omverdenssituation Figur 1. Matematik og omverden. Matematisk modellering Der kan stilles forskellige krav til de omverdenssituationer, der anvendes som udgangspunkt for at arbejde med matematisk modellering i grundskolens ældste klasser. Situationerne skal gerne eksemplificere, at matematik kan benyttes i forbindelse med reelle omverdensproblemer af en vis vigtighed. Desuden skal det om muligt dreje sig om situationer, som eleverne selv kan se betydningen af at forholde sig til, enten for at kunne tage beslutninger om dem eller bare for blive klogere på dem. Sådanne omverdenssituationer vil vi kalde autentiske. Det er imidlertid ikke altid en enkel sag at benytte autentiske situationer som udgangspunkt for modellering, ja måske er det nærmest principielt umuligt. Det komplicerede består i, at autentiske anvendelser af matematik ofte bliver meget komplicerede, både matematisk og kontekstuelt. Dels er den matematik, der skal anvendes, ofte meget mere kompleks end det, der er fagligt muligt i grundskolen; dels kræver anvendelsen af matematik i forbindelse med fx økonomiske, naturvidenskabelige eller andre tilsvarende sammenhænge forståelser af disse områder, som eleverne ikke har mulighed for at udvikle. Desuden kan man sige, at det i en vis forstand er umuligt at arbejde med autentiske modeller. Det skyldes, at i samme øjeblik et autentisk eksempel bliver til et undervisningseksempel, der er taget ud af sin oprindelige sammenhæng, mister det sin autenticitet. Disse forbehold ændrer dog ikke ved, at der i undervisningen kan tages i hvert fald et semi-autentisk udgangspunkt. Det betyder, at eleverne kan se sig selv i situationer, som det kunne være vigtigt for nogen at blive klogere på og forholde sig til ved at anvende matematik. Vi skal benytte et sådant Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:44

24 semi-autentisk eksempel for at uddybe, hvad der menes med en matematisk model og med matematisk modellering. Eksempel 1 Et modelleringseksempel: Kan vi lave en gensidig cykelforsikring? I løbet af foråret og sommeren har der på skolen været en del cykeltyverier. Da eleverne møder efter sommerferien, er deres reaktion en blanding af aggression og irritation. Aggressionen er rettet mod de ukendte gerningsmænd, mens irritationen gælder politiet pga. de manglende opklaringer og forsikringsselskaberne pga. små erstatninger ( Det kan da godt være, at den cykel var 1½ år gammel, men den havde ikke en skramme! ). Fordi det har en aktuel interesse, inspireret af, at nogen har hørt om en motorcykelklub, der har lavet en gensidig forsikringsordning, og fordi der er gode muligheder for at anvende matematik, beslutter de i 9. c at undersøge, om en indbyrdes forsikringsordning kan organiseres blandt eleverne i overbygningen. Der kommer prompte en reaktion fra nogle elever: det bliver da aldrig til noget! Alligevel er der enighed om, at det kunne være en meget sjov ting at undersøge. Overvej/diskuter 1 Forestil jer, at I er lærere i 9. c. Gennemtænk, hvordan den nævnte undersøgelse kan foregå. Læg særlig vægt på, hvilke spørgsmål der konkret skal findes svar på, og hvilken matematik eleverne kan forventes at skulle udvikle eller bringe i anvendelse for at finde dem. Situationen ovenfor kan give anledning til en lang række overvejelser om fx: hvor stor risikoen egentlig er for at få en cykel stjålet, hvad de stjålne cykler kostede, da de var nye, hvad cykelhandleren tager for brugte cykler, hvordan antallet af stjålne cykler udvikler sig år for år, hvor stor en økonomisk sikkerhedsmargin man skal regne med, dvs. hvor meget skal hver betale det første år, hvis ikke det nye selskab skal gå fallit med det samme, og sikkert mange flere. 24 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:44

25 Disse spørgsmål kan man forsøge at svare faktuelt på. Det kan ske ved at indsamle data over antallet og prisen på de stjålne cykler; ved at se på forsikringsoplysningens hjemmeside; og ved at eksperimentere med kuglemodeller på computeren. Men derudover skal eleverne tage stilling til det centrale spørgsmål om erstatningens størrelse. Opgaven er, at de skal skrive en instruktion på dansk og på matematisk (dvs. i form af forskrift) til den sekretær i forsikringsselskabet, der skal beregne og udbetale erstatningen. I forlængelse af instruktionen på matematisk skal eleverne konstruere et regneark, som sekretæren skal arbejde med. Opgave 1 Løs opgaven med at finde erstatningsbeløbet, som den er beskrevet ovenfor, på måder, som I tror, en 9. klasse ville gøre det. Find selv mere avancerede løsninger, hvor I inddrager flere relevante variable i løsningen. Lav i hvert tilfælde et regneark, som sekretæren kan bruge til at finde erstatningsbeløbet ved hjælp af. I elevernes arbejde med at finde en rimelig erstatning får spørgsmålet om cyklernes pris og alder snart en plads ( - man skal da ikke have en formue for en gammel havelåge! ). Desuden diskuterer eleverne for eksempel, om der skal være en selvrisiko; om der skal være en maksimumsgrænse for, hvor meget man kan få udbetalt uanset cyklens nypris; om man skal have flere penge, hvis cyklen er velholdt; og om nogle cykelmærker holder prisen bedre end andre. Johan, Freja, Kristin og Gustav arbejder også med spørgsmålet om erstatningsbeløbets størrelse. Deres indledende overvejelser går på, hvad der skal tages i betragtning. Også hos dem bliver alder hurtigt et emne: Gustav: Det ville jo være ærgerligt, hvis man lige havde fået en ny cykel og så fik den stjålet, og man fik lige så meget som en, der har haft den i 10 år! [ ] Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:44

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45 Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering

Læs mere

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34 Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie

Læs mere

Klasseundervisning. Makkerpar. Individuelt arbejde. få forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal

Klasseundervisning. Makkerpar. Individuelt arbejde. få forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Fagområde/ emne Tal og regning Regneregler Periode Mål Eleverne skal: Klasse: 8.a Lærer: LBJ få indblik i ligheder og forskelle mellem naturlige tal, hele tal, rationale

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Bedømmelsesplan for Matematik C

Bedømmelsesplan for Matematik C Bedømmelsesplan for Matematik C Matematik C Hovedområder: Fagretningen: Uddannelser i fagretningen indeholder: Varighed: Læringselementer: Læringsmiljø: Kontor handel og forretningsservice Detail, Handel,

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

2 Udfoldning af kompetencebegrebet

2 Udfoldning af kompetencebegrebet Elevplan 2 Udfoldning af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet anvendes i dag i mange forskellige sammenhænge og med forskellig betydning. I denne publikation som i bekendtgørelse og vejledning til matematik

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Ræsonnement og tankegang. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Ræsonnement og tankegang. Modellering MULTI 6 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning og skrivning Eleven kan anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Jun 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Fagplan for matematik

Fagplan for matematik Fagplan for matematik Formål Undervisningen i matematik skal give eleverne lyst til, forståelse for og teoretisk baggrund for at analysere, vurdere, kontrollere og argumentere, når de i deres dagligdag

Læs mere

Årsplan 2012/2013. 9. årgang: Matematik. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2012/2013. 9. årgang: Matematik. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2012/2013 9. årgang: Matematik FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik C Klaus

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 5 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning Opmærksomhedspunkt Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

CL, individuelle opgaver, par arbejde lege opgaver. Arbejde parvis og individuelt med skriftlige opgaver og opgaver på PC.

CL, individuelle opgaver, par arbejde lege opgaver. Arbejde parvis og individuelt med skriftlige opgaver og opgaver på PC. Årsplan matematik 2016/17 Periode/ Timetal Emne Mål Arbejdsformer, Organisering og samarbejde Materialer Evaluering August Repetition, procentregning, regneregler og ligninger 2 ligninger med 2 ubekendte*

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Matematika rsplan for 8. kl

Matematika rsplan for 8. kl Matematika rsplan for 8. kl 2015-2016 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget

Læs mere

Årsplan for matematik i 8.kl. på Herborg Friskole

Årsplan for matematik i 8.kl. på Herborg Friskole Uge Emne 32 Opstartsuge 33 - Brøker 36 37-40 Kompetenceområder/mål Koordinatsystemet 41 Emneuge 42 Efterårsferie 43-50 Geometri og rumfang Geometri og måling Eleven kan forklare geometriske sammenhænge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 Skoleår 2014/2015 (niveau C) og 2015/2016

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016/Januar 2017 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør-afdelingen Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution VUC SYD, afd. Haderslev Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf 2-årig Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Skive-Viborg HF&VUC Hf enkeltfag Matematik C

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere