Matematik til Skolen for Livet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik til Skolen for Livet"

Transkript

1 MATEMATIKKENS UENDELIGE UNIVERS Hvor kommer vi fra? Hvad er vi? Hvor går vi hen? Michael Gregaard 1999 Matematik til Skolen for Livet pp1

2 OVERSIGT Regning med fletninger Fascinerende knuder P 1 P2 Pn Ikke-euklidisk geometri Den hyperbolske plan Polygoner og polyedre Geometrisk tilgang til tallene Rumbegrebet i kunsten ' P 1 ' P 2 ' P n Diracs strengproblem pp2

3 Regning med fletninger pp3

4 FLETNINGER P 1 P2 Pn Emil Artin ( ) ' P 1 ' P 2 ' P n P1 P2 Pn En geometrisk fletning Projektion af fletning ' P 1 ' P 2 ' P n pp4

5 ELEMENTÆRE FLETNINGER i i+1 σ 1 σ 2 σ i Den trivielle fletning ε Vil fungere som det neutrale element for produktstrukturen i fletningsgruppen. pp5

6 PRODUKT AF FLETNINGER β1 β 2 β 1 β 2 β β 1 2 pp6

7 INVERS FLETNING β β 1 β β 1 ε Neutralt element β β 1 Triviel fletning pp7

8 ARTINS FLETNINGSGRUPPE Fletningsgruppen B(n) har en præsentation med,, frembringere: σ 1 σ n 1 frembringende relationer: (1) (2) = σ i σ j σ j σ i σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i = σ i+ 1 (1) For i j 2 i i+1 j j+1 i i+1 j j+1 1 i, j n 1 σ i σ j σ j σ i (2) For 1 i n 2 i i+1 i+2 i i+1 i+2 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 pp8

9 Fascinerende knuder pp9

10 KNUDER I KUNSTEN Skulpturen Immortality af den australsk-britiske kunstner John Robinson fremviser et Möbius bånd udformet som en kløverbladsknude. Immortality, 1982 pp10

11 BORROMEO LÆNKE Palazzo Vecchio, Firenze, Italien Detalje fra en vægdekoration. pp11

12 Ikke-euklidisk geometri pp12

13 EUKLIDISK GEOMETRI Thales (ca f.kr.) Geometri som en videnskab, der omfatter en samling af abstrakte udsagn om ideelle figurer, som kræver verifikation ved rene rationale overvejelser, blev grundlagt af grækerne; ifølge traditionen af Thales. Phytagoras (ca. 500 f.kr.) Grundlagde en berømt skole i Crotona i det sydlige Italien. Eudoxos (ca f. Kr.) Kendt for en teori for proportioner og for exhaustionsmetoden, som gjorde en stringent behandling af areal- og rumfangsbestemmelser mulig. Euklid (ca. 300 f.kr.) Den klassiske græske geometri er især overleveret gennem de berømte Euklids Elementer, som består af 13 bøger hvori den geometriske viden, som grækerne besad på Euklids tid, opsummeres og systematiseres på en sådan måde, at fremstillingen har præget al senere fremstilling af matematik. Indholdet kendes nu som euklidisk geometri. pp13

14 EUKLIDS POSTULATER Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linie fra et hvilken som helst punkt til et hvilkensomhelst punkt. 2. At man kan forlænge en begrænset ret linie i ret linie ud i et. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilkensomhelst centrum og en hvilkensomhelst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At, når en ret linie skærer to rette linier, og de invendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. pp14

15 VINKELSUMMEN I EN TREKANT Euklids femte postulat: At, når en ret linie skærer to rette linier, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. Som en konsekvens af sine definitioner og det femte postulat viser Euklid i Elementerne, at der gælder følgende sætning: Vinkelsummen i en trekant: Summen af vinklerne i en trekant er summen af to rette vinkler. Det mest berømte angreb på problemet omkring Euklids femte postulat skyldes den italienske matematiker Gerolamo Saccheri ( ), som forsøgte at bevise sætningen om vinkelsummen i en trekant ved alene at benytte de fire første af Euklids postulater. pp15

16 PARALLELAKSIOMET Den mest berømte ækvivalente formulering af Euklids femte postulat skyldes Playfair 1795 og kendes som Playfairs aksiom, eller Parallelaksiomet: Til en given linie i planen og et punkt uden for denne, findes der netop én linie gennem punktet, der ikke skærer den givne linie. Immanuel Kant ( ) opfatter i sit hovedværk Kritik der reinen Vernunft fra 1781 rummet som en a priori given anskuelsesform. Derved udelukker han reelt andre rumbegreber end det euklidiske. Omkring 1830 offentliggjorde Johann Bolyai og Nikolai Ivanovitch Lobachevsky, at de kunne konstruere geometrier, som opfyldte alle egenskaberne i den euklidiske geometri pånær Euklids femte postulat, der derved fik status af et aksiom karakteristisk for euklidisk geometri. Karl Friedrich Gauss ( ) havde fundet tilsvarende geometrier i pp16

17 Den hyperbolske plan pp17

18 DEN HYPERBOLSKE PLAN Henri Poincaré ( ) har i 1887 beskrevet en særlig kendt model for en ikke-euklidisk plan: den hyperbolske plan. Poincarés cirkelskive model af den hyperbolske plan Punkterne i modellen er punkterne i det indre af cirkelskiven. De hyperbolske linier er de cirkelbuer, der skærer randcirklen i cirkelskiven under rette vinkler, eller diametre i cirkelskiven. pp18

19 MATEMATIK I KUNST Kunst i den hyperbolske plan Den hollandske kunstner M.C. Escher ( ) har i fire cirkulære træsnit benyttet den hyperbolske plan. Circle Limit III, 1959 pp19

20 HYPERBOLSKE ISOMETRIER Ved en isometri af et geometrisk objekt udstyret med et afstandsbegreb og et vinkelbegreb forstås en bijektiv afbildning af objektet på sig selv, der bevarer afstande og er vinkeltro. I figuren er L en hyperbolsk linie hørende til cirklen C, der skærer randcirklen for den hyperbolske plan Φ under ret vinkel. Ved inversion i C afbildes på sig selv. Φ Hyperbolsk spejling Afbildning af den hyperbolske plan på sig selv defineret ved inversion i en hyperbolsk linie. Hvis den hyperbolske linie er en diameter i den hyperbolske plan definerer den sædvanlige spejling den hyperbolske spejling. Den hyperbolske plan kan udstyres med et afstandsbegreb så alle hyperbolske spejlinger er isometrier. Ved passende sammensætning af hyperbolske spejlinger kan man definere hyperbolske rotationer (med vilkårligt centrum) og parallelforskydninger (med vilkårlig akse). pp20

21 REGULÆRE HYPERBOLSKE FLISER Vinkelsummen i en regulær hyperbolsk n-kant opfylder: 0 < vinkelsum < (n-2) 180. For ethvert helt tal n 5 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant med vinkelsummen 360. For n =3,4 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant, hvor vinkelsummen går op i 360. pp21

22 HYPERBOLSKE FLISEBELÆGNINGER Flisebelægning med 3-kanter Flisebelægning med 7-kanter Flisebelægning med 8-kanter Den hyperbolske plan kan flisebelægges med kongruente regulære hyperbolske n-kanter for ethvert n 3. pp22

23 Polygoner og polyedre pp23

24 . POLYGONER OG POLYEDRE En polygon er en lukket plan kurve sammensat af linjestykker, kanter, der mødes i kurvens hjørner. Hvis polygonen er randen af en plan figur, kaldes denne også en polygon. Polygonen er konveks, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner helt forløber i polygonen. En polygon med n kanter har også n hjørner og kaldes en n-kant. En regulær polygon er en n-kant med n lige lange kanter og alle vinklerne i hjørnerne lige store. Et polyeder er (overfladen på) et rumligt legeme begrænset af et antal polygonale sideflader, som indeholder polyederets hjørner og kanter. Polyederet er konvekst, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner forløber helt i polyederet. Et regulært polyeder er et konvekst polyeder, hvor alle sideflader er kongruente regulære polygoner, og alle toplansvinkler mellem sideflader er lige store. Dodekaeder pp24

25 REGULÆRE POLYEDRE Tedraeder tetra=4 ild Heksaeder heksa=6 jord Oktaeder okta=8 luft Dodekaeder dodeka=12 verdensaltet Ikosaeder ikosa=20 vand De platoniske legemer pp25

26 EULERS POLYEDERSÆTNING h = 9 k = 19 f = 12 h = 12 k = 18 f = 8 h = # hjørner k = # kanter f = # polygonale flader h k + f = 2 pp26

27 Bevis for Eulers Polyedersætning Følgende bevis er publiceret i 1811 af Cauchy ( ). Det indre af en sideflade i polyederet fjernes. Derved reduceres den alternerende sum h k+f med 1. Resten af polyederet kan skridtvis reduceres til et punkt uden at ændre den alternerende sum og bidrager således med 1. Deraf følger, at h-k+f = 2. h-k+f (h-k+f)-1 Det indre af en trekant fjernes (h-k+f)-1 Resten af polyederet krænges ud i en plan 1 pp27

28 DE FEM REGULÆRE POLYEDRE Et regulært polyeder er bygget op af ensformede regulære n-kanter for n 3, og der mødes m 3 i hvert hjørne. Antag, at der er f polygonale sideflader på polyederet. Så giver Eulers Polyedersætning h = # hjørner = f n m k = # kanter = f n 2 f = # flader = f 2 = h k + f = f ( n n + 1) m 2 Specielt følger: n ( 1 1 ) < 1 2 m Da m 3, er ( ) 2 m 6. Derfor viser uligheden fra polyedersætningen, at n 5. Idet n 3 følger også, at kun m = 3, 4, 5 er mulige. For m = 3, er n = 3, 4, 5 de tilhørende muligheder; for m = 4, 5, kun n = 3. De fem mulige sammenhørende par af værdier for n og m kan alle realiseres. Resultatet er anført i skemaet. n m f Polyeder Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Heksaeder Dodekaeder pp28

29 Geometrisk tilgang til tallene pp29

30 GEOMETRISK TILGANG TIL DE REELLE TAL Det reelle talsystem er en yderst abstrakt struktur, for hvilken forståelsen kan lettes ved at knytte tallene til punkterne på en orienteret linie en talakse. 0 Konstruktionen af en talakse begynder med valg af en orienteret akse - en linie med en foretrukket gennemløbsretning. Valget er vilkårligt, men en gang valgt, fastholdes aksen. I konstruktionens næste trin vælges en fast underdeling af den orienterede akse i lige store intervaller og et origo (nulpunkt) 0 markeres. pp30

31 DE RATIONALE TAL Afsæt de hele tal langs delepunkterne på aksen ved først at afsætte 0 og dernæst afsætte de positive hele tal i den positive retning, og de negative hele tal i den negative retning, af aksen. De naturlige tal (positive hele tal) blev brugt på intuitivt grundlag i de ældste kulturer. De negative hele tal bliver ofte tilskrevet Brahmagupta omkring 628. Det var også omkring dette tidspunkt at Hinduerne begyndte at bruge tallet nul som et sædvanligt tal. Ved på passende vis at underdele hvert af intervallerne mellem de hele tal kan vi afsætte alle brøker, som repræsenterer de rationale tal. pp31

32 DE IRRATIONALE TAL Kvadratet på diagonalen i et enhedskvadrat har arealet 2. Derfor repræsenterer længden af diagonalen kvadratroden af 2. Tallet 2 er et irrationalt tal - er ikke repræsenteret ved en brøk Punkterne på aksen repræsenterer de reelle tal. De punkter, som ikke svarer til rationale tal, repræsenterer de irrationale tal. Ved at identificere punkterne på aksen med tallene får vi en reel talakse. pp32

33 DE REELLE TAL Mængden af reelle tal adskiller sig fra mængden af rationale tal ved at have følgende grundlæggende egenskab: Intervalruseprincippet Enhver indsnævrende følge af lukkede og begrænsede intervaller [ a, b1 ] [ a2, b2 ]... [ a n, b 1 n [ a n, bn ]..., hvor længden af intervallet går mod 0 for voksende n, har netop ét reelt tal c som fælles punkt. c a1 a b 2 a b n bn 2 1 ] pp33

34 INDLEVELSE I DE REELLE TAL Mængden af rationale tal er tællelig. Bevis: Ved at følge spiralen fås en rækkefølge af de rationale tal: 1, 0, -1, -2, 2, ½, -1/2, ( 1,2) ( 1,1) ( 1,0) (0,2) (1,2) (2,2) (0,1) (1,1) (2,1) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) Mængden af reelle tal er ikke tællelig. ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) Bevis: I enhver tællelig mængde af reelle tal kan alle tallene udelukkes et efter et i en passende konstrueret intervalruse. r1 r2 rn c a1 a b 2 a b n bn 2 1 pp34

35 Tællelighed af de rationale tal De rationale tal kan tælles. ( 1,2) (0,2) (1,2) (2,2) ( 1,1) (0,1) (1,1) (2,1) ( 1,0) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 0,0) ( 1,0) ( 1,1) ( 0,1) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 2,0) (2,1) Metoden giver denne rækkefølge af de rationale tal: 1,0,-1,-2,2,, , pp35

36 Tællelighed af de reelle tal De reelle tal kan ikke tælles. Indirekte bevis: Antag, at r, r 2,... Ved gentagen tredeling af intervallet i lige lange delintervaller konstrueres nu en intervalruse r n, r,... a, b 1 1] [ a 2, b ]... [ a n, b n]... a, b n ] [ 2 er samtlige reelle tal stillet op i en rækkefølge. 1 n [ a1 b1 ] r 1 Vælg et interval på den reelle talakse, som ikke indeholder tallet. [ n så tallet ikke ligger i intervallet og de efterfølgende intervaller. Denne intervalruse bestemmer er reelt tal, som per konstruktion er forskellig fra tallene. Der er således opnået en modstrid. r, r 2,..., r 1 n Dermed er det bevist, at de reelle tal ikke kan tælles. r1 r2 rn c... a1 a b 2 a b n bn 2 1 c pp36

37 Rumbegrebet i kunsten pp37

38 RUMBEGREBET I KUNSTEN Fra de tidligste tider har kunstnerne været med til at præge den fysiske rumopfattelse. I de ældste kulturer var billedkunsten ikke blot faktuel men også synsmæssigt plan, dvs uden dybde. I skulpturer har kunstnere tidligt forholdt sig til rummets tre dimensioner, men først med indførelsen af perspektivet i 1400-tallet blev rumlige forhold visuelt korrekt repræsenteret i planens to dimensioner. Symmetri har til alle tider været et vigtigt aspekt i kunsten. Formaliseringen af begrebet symmetri i matematikken er af afgørende betydning for forståelsen af rumbegrebet i sin videste betydning. pp38

39 SPEJLINGSSYMMETRI Bilateral symmetri P P C C B A A B pp39

40 SUMERISK KUNST Heraldisk design på sumerisk sølvvase; lavet til kong Entemena, som regerede i byen Lagash omkring 2700 f.kr. pp40

41 GRÆSK KUNST Bilateral symmetri realiseret ved omklapning omkring spejlingsaksen. Ajax og Achilleus ved brætspillet. Græsk vasemaleri fra ca. 530 f.kr. pp41

42 ROTATIONSSYMMETRI Cirklen er den fulde symmetriske figur ved rotation omkring et fast punkt i planen. En regulær n-kant kan bringes til at dække sig selv ved at dreje den et helt multiplum af 360/n grader ( 2π / n radianer) omkring O. 3 O 2 1 Regulær 3-kant O Regulær 6-kant O Et punkt med denne egenskab i relation til en figur kaldes en n-fold symmetri pol (en n-pol) for figuren. I tilfældet n = 2 er den regulære n-kant et liniestykke. Centrum er her en 2-pol svarende til en rotation på 180 grader. 2 O 2-pol 1 pp42

43 DREJNINGSGRUPPEN Når vilkårlige to drejninger af den regulære n-kant efterfølger hinanden, bliver den effektive virkning på n-kanten en drejning af samme type. Når drejninger på k 360/n og (n - k) 360/n grader efterfølger hinanden, neutraliseres den effektive virkning på n-kanten, og det samlede resultat svarer til den identiske afbildning af n-kanten på sig selv O De n drejninger af den regulære n-kant, svarende til vinklerne { 0, 360, 2 360,, ( n 1) 360 n n n (målt i grader), har matematisk struktur som en såkaldt gruppe; betegnet Cn. Drejningsgruppen for den regulære n-kant kaldes den cykliske gruppe af orden n. } Gruppen Gruppen C2 C1 indeholder identiteten og en 180-graders rotation. indeholder alene den identiske afbildning. pp43

44 SPEJLINGSYMMETRIER i den regulære n-kant Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. l 6 l5 3 l 4 2 l 3 l2 4 O 1 l1 5 6 Når to af disse spejlinger efterfølger hinanden svarer det til virkningen af en rotation på den dobbelte vinkel af vinklen mellem spejlingsakserne. pp44

45 DIEDERGRUPPEN Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. Sammen med de n drejninger udgør de en ny gruppe, kaldet diedergruppen af orden 2n. Denne gruppe betegnes. Dn Gruppen D2 indeholder identiteten, en 180-graders rotation, og de to spejlinger, der afbilder et liniestykke på sig selv. Gruppen D1 indeholder en enkelt spejlingssymmetri og den identiske afbildning. 2 O 1 Diedergruppen udgør den fulde gruppe af symmetrier for den regulære n-kant. De n drejninger omtales som egentlige symmetrier, og de n spejlinger som uegentlige symmetrier, for den regulære n-kant. De cykliske grupper og diedergrupperne er samtlige endelige grupper af isometrier i planen som fastholder et punkt. l 6 4 l5 3 5 O l l 3 1 l2 l1 Leonardo da Vinci ( ) pp45

46 ORNAMENTIK Der er netop 17 typer af tapetmønstre med forskellig symmetrigruppe i mønstret. Alhambra pp46

47 Den matematiske idé bag perspektivet ligger i begrebet centralprojektion. Alberti ( ) Formulerede lovene for perspektiv i Leonardo da Vinci ( ) Videreudviklede perspektivlæren PERSPEKTIV Albrecht Dürer ( ) Teoretiske arbejder om geometri og perspektiv. Træsnit af Albrecht Dürer Kunstner som tegner en lut pp47

48 Diracs strengproblem pp48

49 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Forsiden af en bærepose pp49

50 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Bagsiden af en bærepose pp50

51 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Animation of figurer pp51

52 RUMMETS GEOMETRI Poster designet af Nadja Kutz for WMY pp52

53 Tak for opmærksomheden ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING SEMIREGULÆRE POLYEDRE pp53

54 ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER Regning modulo et primtal Nogle yderst interessante endelige tallegemer L p opstår ved i de hele tal at regne modulo et primtal p. Ved regning modulo p anses to tal der afviger fra hinanden med et helt multiplum af p som det samme element i L p. Betragt eksempelvis primtallet 7. Ved regning modulo 7 skal to hele tal hvis differens er divisibel med 7 regnes for ens. Vi får derfor kun brug for talsymbolerne {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ved regning modulo 7, idet tallene 7, 8, 9 i dette tallegeme er ækvivalent med hhv. 0, 1, 2. Når vi i det underliggende tallegeme for regning modulo 7 betegner addition og multiplikation med hhv. + 7 og 7 får vi bl.a. følgende sjove regnestykker = = = 1 ( ) 7 5 = 3. De fuldstændige additions- og multiplikationstabeller for regning modulo 7 ser således ud: Tilsvarende kan vi for ethvert primtal p = 2, 3, 5, 7, 11, 13,, danne et tallegeme L p for regning med hele tal modulo p. Cirkelligningen over endelige tallegemer Hvis vi i andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 i stedet for reelle tal indsætter variable x og y fra tallegemet L p og regner modulo p, så svinder den lukkede cirkelkurve vi kender fra den sædvanlige euklidiske plan ind til en endelig punktmængde C p i planen. Punkterne C p i cirklen modulo p svarer netop til løsningerne (x, y) til andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 når vi regner modulo p. C 2 indeholder kun to punkter: (1,0) og (0,1). C 3 indeholder netop fire punkter: (1,0), (0,1), (2,0) og (0,2). [(1,0), (2,0), (0,1),(0,2)] C 5 indeholder også netop fire punkter: (1,0), (0,1), (4,0) og (0,4). [(1,0), (4,0), (0,1), (0,4)] C 7 indeholder netop otte punkter: (1,0), (0,1), (2,2), (2,5), (5,2), (5,5), (6,0) og (0,6). [(1,0), (6,0), (0,1), (0,6), (2,2), (5,5), (2,5), (5,2)] I de kantede parenteser er punkterne opstillet parvist så de i hele tal svarer til (x,y) og (-x,-y), og derfor kan anses som antipodiske punkter modulo p på C p.

55 HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING AF VAGN LUNDSGAARD HANSEN Artikel til bladet MATEMATIK, Nr. 1, 2013, 41. årgang. Matematikken har sit udspring i konkrete fænomener vedrørende strukturer og mønstre man kan iagttage i omverdenen og i interaktionen mellem mennesker i bred forstand, og den søger at udvikle abstrakte idéer til at forstå sådanne sammenhænge. Under udviklingen af nye matematiske strukturer og metoder spiller beviser en afgørende rolle som sikring af konsistens i den abstrakte matematiske idéverden. Gode beviser har dog langt mere at byde på end dette, for de giver ofte en dybere indsigt i underliggende logisk tvingende sammenhænge og dermed en værdifuld øget forståelse af konkrete fænomener. Gode beviser kan endvidere - hos den der giver sig tid vække glæde over de matematiske strukturers skønhed i deres indre logik. Selv at kunne frembringe et bevis nærmer sig den ypperste form for kreativitet i menneskelige aktiviteter. Denne artikel er ment som en hyldest til de gode beviser og forklaringer som har en vigtig plads i matematikundervisningen. Min hyldest udtrykkes i en række små fortællinger og afsluttes med nogle generelle betragtninger om æstetik og beviser i matematikken. Når brikkerne falder på plads Man kommer ikke uden om Pythagoras' sætning når talen falder på beviser. Det formodentligt bedst kendte bevis for denne sætning kan man lege sig til. For hør nu her. Helle har i julegave fået et sæt brikker med otte ens eksemplarer af en retvinklet trekant T med kateterne a, b og hypotenusen c, samt tre kvadrater K(a), K(b) og K(c) med kantlængder a, b og c. Altså i alt elleve brikker. På æsken med brikkerne står der at man kan lave to ens kvadrater med kantlængden a + b. Helle fumler rundt med brikkerne og endelig lykkes det for hende. Sådan: b a a b T b b c K(b) b a c b c K(c) a a K(a) c T a a b a b Helle opdager nu, at når hun i hver figur fjerner de fire eksemplarer af trekanten T ser hun at som hun kan omskrive til ligningen 1

56 Helle har dermed selv opdaget Pythagoras' sætning. Og nu glemmer hun den aldrig. Christine har kigget med og er blevet stærkt begejstret. Hun foreslår Helle at de sammen går ned i sløjdlokalet og selv frembringer nogle nye sæt af puslespillene i forskellige farver som de kan dele ud til deres kammerater. For så kan de lære det! Det er naturligvis ikke helt nok at gå ned i sløjdlokalet og save sig frem til Pythagoras sætning. Man må gøre rede for at alle vinkler imellem brikkerne passer, men det er heller ikke svært. Der er dog grund til at være forsigtig med puslespils beviser for geometriske resultater. Mange kender sikkert eksempler på mystiske 'forsvindingsnumre' i puslespil med brikker af retvinklede trekanter og rektangler hvor kantlængderne er fire på hinanden følgende Fibonacci tal. Betragt fx følgende puslespil med seks brikker, hvoraf to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 3 og 8, to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 5 og 13, og to brikker er rektangler med kantlængder 5 og 8. Som vist i nedenstående figur kan dette puslespil matematisk korrekt lægges op i et kvadrat med kantlængde 13. Det samlede areal af brikkerne er dermed 169. Hvis man nu fumler lidt med brikkerne (prøv det selv) kan man uden at man umiddelbart ser fejlene tilsyneladende også først lægge brikkerne op i to retvinklede trekanter med kateterne 8 og 21, og dernæst lægge disse trekanter sammen langs hypotenuserne til et rektangel med kantlængder 8 og 21, som jo har arealet 168. Tilsyneladende er der altså forsvundet 1 arealenhed. Hvad gik galt? Er der mon overlap i brikkerne? Ja det er der! Og lader man Fibonacci tallene 5, 8, 13, 21 pladsvist erstatte 3, 5, 8, 13 som kantlængder i brikkerne, så bliver der små gab i det 'falske' rektangel Om at se tingene fra den samme vinkel Som dreng lavede jeg på en af væggene i mit værelse to tegninger som gjorde mig i godt humør. Den ene tegning var en smuk rød tulipan i vandfarve og den anden var en detaljeret konstruktion med passer og lineal af synsvinkelbuen. Matematik og natur har åbenbart altid fanget min interesse. 2

57 Især konstruktionen af synsvinkelbuen fascinerede mig dybt. Tænk sig at det kan lade sig gøre at placere stolene i en skoleklasse så alle eleverne ser tavlen i sin fulde udstrækning under den samme vinkel. I den matematiske formulering af problemstillingen hedder det: Hvad er det geometriske sted for de punkter i en plan, hvorfra man ser et fast linjestykke under den samme vinkel? Svaret er en cirkelbue. Den konstrueres ved at udnytte at en korde-tangent vinkel til en cirkel er halvdelen af den bue den spænder over, præcis som det er tilfældet for en periferivinkel. Hold op hvor dette giver anledning til at tale om rigtig mange interessante geometriske begreber. Her er konstruktionen af cirkelbuen hvorfra et givet linjestykke ses under vinklen v. r v C v I løbet af denne konstruktion indså jeg pludselig hvordan jeg med to søm og en fast vinkel med lange ben bøjet i et stykke metal kan lave synsvinkelbuen på en træplade. Hopla! Når matematikken lukker sagen I en by langt borte siges der at være et postdistrikt med tre afgrænsede bebyggelser A, B og C, der ligger omkring en central plads T. De fire områder A, B, C, T er vist i nedenstående figur sammen med det vejnet på syv veje, der forbinder områderne. Langs alle de syv veje ligger der enkelte huse. B T C A På pladsen T ligger der et postkontor hvorfra posten skal bringes ud til alle huse i postdistriktet. 3

58 Postmesteren har fået den tanke at han kan effektivisere postomdelingen hvis han kan finde en rute langs hvilken et postbud kan komme rundt til alle huse i postdistriktet ved at køre langs hver af vejene netop én gang på en rundtur med start og slut ved posthuset. Han plager hver dag postbudene med omlægninger af postomdelingen for at se om det ikke vil lykkes. Men uden held. Så en dag kommer der et nyt postbud til posthuset som hurtigt bliver kendt som Nørden fordi han taler sort. Postmesteren spørger også Nørden: "Findes der en rute rundt i postdistriktet med start og slut ved posthuset hvor man passerer hver af de syv veje én og kun én gang?" En dag kommer Nørden glædestrålende på arbejde og siger til postmesteren: "Det er umuligt. Der findes ikke en sådan rute!" Postmesteren siger til Nørden at det er løgn og at han skal fortsætte med at forsøge indtil han har fundet en sådan rute. "Men jeg kan bevise at det er umuligt", siger Nørden, og går ivrigt i gang. "Du spørger ikke om hvad et postbud laver inde i de enkelte områder; det er kun passagen af vejene der tæller. Derfor skærer jeg nu al unødvendig information væk og repræsenterer de fire områder alene ved deres bogstaver A, B, C, T. Når jeg kører langs en vej repræsenterer jeg tilsvarende vejen ved 'ordet' bestående af de to bogstaver for de to områder vejen forbinder og med bogstaverne i den rækkefølge som svarer til retningen for gennemkørslen af vejen. Eksempelvis repræsenterer BC en vej der forbinder B og C i retning fra B til C. Hvis jeg passerer tre veje på en køretur repræsenterer jeg tilsvarende køreturen ved et 'ord' med tre bogstaver. Eksempelvis repræsenterer ordet TAC en køretur fra T til A og så til C. En køretur der passerer fire veje repræsenteres ved et 'ord' med fire bogstaver, og tilsvarende for ture med passage af flere veje. Eksempelvis repræsenterer TACBT en køretur der starter i T, fører ind i A, derefter ind i C, så ind i B, og endelig tilbage til T. Og nu kommer så min første pointe. Hvis man kan finde en køretur rundt i postdistriktet som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender samme sted må den beskrives ved et 'ord' med netop 8 bogstaver. Det kan du sagtens forstå, kære postmester. Og nu kommer så min anden pointe. Da området T er forbundet med de andre områder ved 5 veje, må bogstavet T optræde mindst 3 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Da hvert af områderne A, B, C er forbundet med de andre områder med 3 veje, må ethvert af bogstaverne A, B, C tilsvarende mindst optræde 2 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Hvis du kan følge mine argumenter, kære postmester, må du medgive mig at et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene må indeholde mindst 9 bogstaver. Og så kan der altså ikke findes en køretur rundt i dit postdistrikt som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender ved posthuset, for en sådan køretur skulle jo være beskrevet ved et 'ord' med netop 8 bogstaver." "Det skal jeg lige tygge på. Det er jo en kende abstrakt", sagde den forbløffede postmester. Og det havde han ganske ret i. For Nørdens bevis var jo en herlig beskrivelse af abstraktionsprocessens styrke. Postmesteren havde især svært ved at forstå optællingerne af antallet af gange man mindst skal befinde sig i et område ved passage af vejene på den forlangte måde. Men da Nørden lavede hosstående figur af en cirkel med otte cirkelbuer, der adskiller fire sorte og fire grå punkter, kunne han godt se, at man altid rammer tre sorte punkter på et forløb gennem fem cirkelbuer og to sorte punkter på et forløb gennem tre cirkelbuer. Og så var den der! 4

59 Postmesteren blev dermed til sidst overbevist om at Nørden havde ret og opgav herefter sit logisk set umulige projekt og lod postbudene være i fred. Og hvad med Nørden? Det blev senere kendt at hans tip - tip - tip - tip - oldefar var den berømte matematiker Leonhard Euler ( ), som i 1735 havde fundet svaret på et spørgsmål om passage af syv broer i den gamle preussiske by Königsberg (nu russiske Kaliningrad) ved som den første at udvikle en sådan bevisteknik. Tallenes poesi Tallene har altid fascineret mange mennesker udover dem, der professionelt beskæftiger sig med matematik. Over årene har jeg modtaget ganske mange henvendelser og spørgsmål om tal. Et af de mere spøjse kom to dage før den såkaldte dag. Denne dag indtræffer den syvende dag i ottende måned engang i hvert århundrede, denne gang den 7. august 2009, og dagen markeres i det sekund, hvor uret viser 12:34:56, så klokkeslæt og dato giver tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 i nummerorden. En journalist fra Jyllands Posten ringede til mig og spurgte mig om matematikeres syn på dagen. Jeg skuffede ham nok lidt ved at fortælle, at det ikke var noget matematikere som sådan gik op i, men at det da var en meget sjov observation. Fem er et primtal. Det går de mindre tal ikke op i. Jo, måske et enkelt, men ettallet tæller ikke her. Sammen med tre udgør fem parret af primtalstvillinger 3, 5, og tager vi syv med har vi primtalstrillingerne 3, 5, 7. Primtallene findes, så store man kan ønske sig. Mon der også er sæt af primtalstvillinger, så store man ønsker sig? Det er der ingen, der ved. Og det er ganske vist! Fem er et pragtfuldt tal. Der var 1 par kaniner i buret, så var der 2 par, så 3, hov 5, hopla 8, hallo 13, hjælp! skreg Fibonacci. Han så systemet: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Og så var 5 et Fibonacci tal. Vupti! I blomster er der ofte femfold rotationssymmetri i kronbladene. Pentagon i Washington er femkantet. Der er fem regulære polyedre i rummet. Det mest fantastiske er dodekaederet, som har tolv femkantede sideflader. For Platon repræsenterede dette polyeder selve verdensaltet. Femdages ugen er god, men da jeg gik i skole, havde vi også fem timer om lørdagen. Så nu er der ikke tid til Platon! Vagn Lundsgaard Hansen Sentura # 19, magasin for litteratur og levende billeder, 2005 Det lille stykke poesi ovenfor stammer fra tidsskriftet Sentura, som er et magasin for litteratur og levende billeder. Sentura udgav i 2005 som #19 en 'evighedskalender', hvor man bad 12 forfattere og 12 billedkunstnere om hver henholdsvis at skrive et stykke poesi om et tal mellem 1 og 12 og at producere et billedværk til illustration af tallet. I invitationen til mig hed det: Du har fået tallet 5. Altså hvis du vil bidrage til Senturas evighedskalender. Det ville jeg gerne. Min tekst er gengivet på side 44 i bogen Matematiske Horisonter, udgivet af DTU Informatik 5

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Symmetri i natur, kunst og matematik

Symmetri i natur, kunst og matematik Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2013 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Tal og algebra Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Symmetri i natur, kunst og matematik

Symmetri i natur, kunst og matematik Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2012 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Symmetri i natur, kunst og matematik

Symmetri i natur, kunst og matematik Institut for matematiske fag Aalborg Universitet Nørresundby Gymnasium, 5.12.07 Indholdsoversigt 1. Indledning og lysbilleder 2. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 3. Flytninger og symmetrigrupper

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Usædvanlige opgaver Lærervejledning

Usædvanlige opgaver Lærervejledning Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere