Matematik til Skolen for Livet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik til Skolen for Livet"

Transkript

1 MATEMATIKKENS UENDELIGE UNIVERS Hvor kommer vi fra? Hvad er vi? Hvor går vi hen? Michael Gregaard 1999 Matematik til Skolen for Livet pp1

2 OVERSIGT Regning med fletninger Fascinerende knuder P 1 P2 Pn Ikke-euklidisk geometri Den hyperbolske plan Polygoner og polyedre Geometrisk tilgang til tallene Rumbegrebet i kunsten ' P 1 ' P 2 ' P n Diracs strengproblem pp2

3 Regning med fletninger pp3

4 FLETNINGER P 1 P2 Pn Emil Artin ( ) ' P 1 ' P 2 ' P n P1 P2 Pn En geometrisk fletning Projektion af fletning ' P 1 ' P 2 ' P n pp4

5 ELEMENTÆRE FLETNINGER i i+1 σ 1 σ 2 σ i Den trivielle fletning ε Vil fungere som det neutrale element for produktstrukturen i fletningsgruppen. pp5

6 PRODUKT AF FLETNINGER β1 β 2 β 1 β 2 β β 1 2 pp6

7 INVERS FLETNING β β 1 β β 1 ε Neutralt element β β 1 Triviel fletning pp7

8 ARTINS FLETNINGSGRUPPE Fletningsgruppen B(n) har en præsentation med,, frembringere: σ 1 σ n 1 frembringende relationer: (1) (2) = σ i σ j σ j σ i σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i = σ i+ 1 (1) For i j 2 i i+1 j j+1 i i+1 j j+1 1 i, j n 1 σ i σ j σ j σ i (2) For 1 i n 2 i i+1 i+2 i i+1 i+2 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 pp8

9 Fascinerende knuder pp9

10 KNUDER I KUNSTEN Skulpturen Immortality af den australsk-britiske kunstner John Robinson fremviser et Möbius bånd udformet som en kløverbladsknude. Immortality, 1982 pp10

11 BORROMEO LÆNKE Palazzo Vecchio, Firenze, Italien Detalje fra en vægdekoration. pp11

12 Ikke-euklidisk geometri pp12

13 EUKLIDISK GEOMETRI Thales (ca f.kr.) Geometri som en videnskab, der omfatter en samling af abstrakte udsagn om ideelle figurer, som kræver verifikation ved rene rationale overvejelser, blev grundlagt af grækerne; ifølge traditionen af Thales. Phytagoras (ca. 500 f.kr.) Grundlagde en berømt skole i Crotona i det sydlige Italien. Eudoxos (ca f. Kr.) Kendt for en teori for proportioner og for exhaustionsmetoden, som gjorde en stringent behandling af areal- og rumfangsbestemmelser mulig. Euklid (ca. 300 f.kr.) Den klassiske græske geometri er især overleveret gennem de berømte Euklids Elementer, som består af 13 bøger hvori den geometriske viden, som grækerne besad på Euklids tid, opsummeres og systematiseres på en sådan måde, at fremstillingen har præget al senere fremstilling af matematik. Indholdet kendes nu som euklidisk geometri. pp13

14 EUKLIDS POSTULATER Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linie fra et hvilken som helst punkt til et hvilkensomhelst punkt. 2. At man kan forlænge en begrænset ret linie i ret linie ud i et. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilkensomhelst centrum og en hvilkensomhelst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At, når en ret linie skærer to rette linier, og de invendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. pp14

15 VINKELSUMMEN I EN TREKANT Euklids femte postulat: At, når en ret linie skærer to rette linier, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. Som en konsekvens af sine definitioner og det femte postulat viser Euklid i Elementerne, at der gælder følgende sætning: Vinkelsummen i en trekant: Summen af vinklerne i en trekant er summen af to rette vinkler. Det mest berømte angreb på problemet omkring Euklids femte postulat skyldes den italienske matematiker Gerolamo Saccheri ( ), som forsøgte at bevise sætningen om vinkelsummen i en trekant ved alene at benytte de fire første af Euklids postulater. pp15

16 PARALLELAKSIOMET Den mest berømte ækvivalente formulering af Euklids femte postulat skyldes Playfair 1795 og kendes som Playfairs aksiom, eller Parallelaksiomet: Til en given linie i planen og et punkt uden for denne, findes der netop én linie gennem punktet, der ikke skærer den givne linie. Immanuel Kant ( ) opfatter i sit hovedværk Kritik der reinen Vernunft fra 1781 rummet som en a priori given anskuelsesform. Derved udelukker han reelt andre rumbegreber end det euklidiske. Omkring 1830 offentliggjorde Johann Bolyai og Nikolai Ivanovitch Lobachevsky, at de kunne konstruere geometrier, som opfyldte alle egenskaberne i den euklidiske geometri pånær Euklids femte postulat, der derved fik status af et aksiom karakteristisk for euklidisk geometri. Karl Friedrich Gauss ( ) havde fundet tilsvarende geometrier i pp16

17 Den hyperbolske plan pp17

18 DEN HYPERBOLSKE PLAN Henri Poincaré ( ) har i 1887 beskrevet en særlig kendt model for en ikke-euklidisk plan: den hyperbolske plan. Poincarés cirkelskive model af den hyperbolske plan Punkterne i modellen er punkterne i det indre af cirkelskiven. De hyperbolske linier er de cirkelbuer, der skærer randcirklen i cirkelskiven under rette vinkler, eller diametre i cirkelskiven. pp18

19 MATEMATIK I KUNST Kunst i den hyperbolske plan Den hollandske kunstner M.C. Escher ( ) har i fire cirkulære træsnit benyttet den hyperbolske plan. Circle Limit III, 1959 pp19

20 HYPERBOLSKE ISOMETRIER Ved en isometri af et geometrisk objekt udstyret med et afstandsbegreb og et vinkelbegreb forstås en bijektiv afbildning af objektet på sig selv, der bevarer afstande og er vinkeltro. I figuren er L en hyperbolsk linie hørende til cirklen C, der skærer randcirklen for den hyperbolske plan Φ under ret vinkel. Ved inversion i C afbildes på sig selv. Φ Hyperbolsk spejling Afbildning af den hyperbolske plan på sig selv defineret ved inversion i en hyperbolsk linie. Hvis den hyperbolske linie er en diameter i den hyperbolske plan definerer den sædvanlige spejling den hyperbolske spejling. Den hyperbolske plan kan udstyres med et afstandsbegreb så alle hyperbolske spejlinger er isometrier. Ved passende sammensætning af hyperbolske spejlinger kan man definere hyperbolske rotationer (med vilkårligt centrum) og parallelforskydninger (med vilkårlig akse). pp20

21 REGULÆRE HYPERBOLSKE FLISER Vinkelsummen i en regulær hyperbolsk n-kant opfylder: 0 < vinkelsum < (n-2) 180. For ethvert helt tal n 5 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant med vinkelsummen 360. For n =3,4 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant, hvor vinkelsummen går op i 360. pp21

22 HYPERBOLSKE FLISEBELÆGNINGER Flisebelægning med 3-kanter Flisebelægning med 7-kanter Flisebelægning med 8-kanter Den hyperbolske plan kan flisebelægges med kongruente regulære hyperbolske n-kanter for ethvert n 3. pp22

23 Polygoner og polyedre pp23

24 . POLYGONER OG POLYEDRE En polygon er en lukket plan kurve sammensat af linjestykker, kanter, der mødes i kurvens hjørner. Hvis polygonen er randen af en plan figur, kaldes denne også en polygon. Polygonen er konveks, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner helt forløber i polygonen. En polygon med n kanter har også n hjørner og kaldes en n-kant. En regulær polygon er en n-kant med n lige lange kanter og alle vinklerne i hjørnerne lige store. Et polyeder er (overfladen på) et rumligt legeme begrænset af et antal polygonale sideflader, som indeholder polyederets hjørner og kanter. Polyederet er konvekst, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner forløber helt i polyederet. Et regulært polyeder er et konvekst polyeder, hvor alle sideflader er kongruente regulære polygoner, og alle toplansvinkler mellem sideflader er lige store. Dodekaeder pp24

25 REGULÆRE POLYEDRE Tedraeder tetra=4 ild Heksaeder heksa=6 jord Oktaeder okta=8 luft Dodekaeder dodeka=12 verdensaltet Ikosaeder ikosa=20 vand De platoniske legemer pp25

26 EULERS POLYEDERSÆTNING h = 9 k = 19 f = 12 h = 12 k = 18 f = 8 h = # hjørner k = # kanter f = # polygonale flader h k + f = 2 pp26

27 Bevis for Eulers Polyedersætning Følgende bevis er publiceret i 1811 af Cauchy ( ). Det indre af en sideflade i polyederet fjernes. Derved reduceres den alternerende sum h k+f med 1. Resten af polyederet kan skridtvis reduceres til et punkt uden at ændre den alternerende sum og bidrager således med 1. Deraf følger, at h-k+f = 2. h-k+f (h-k+f)-1 Det indre af en trekant fjernes (h-k+f)-1 Resten af polyederet krænges ud i en plan 1 pp27

28 DE FEM REGULÆRE POLYEDRE Et regulært polyeder er bygget op af ensformede regulære n-kanter for n 3, og der mødes m 3 i hvert hjørne. Antag, at der er f polygonale sideflader på polyederet. Så giver Eulers Polyedersætning h = # hjørner = f n m k = # kanter = f n 2 f = # flader = f 2 = h k + f = f ( n n + 1) m 2 Specielt følger: n ( 1 1 ) < 1 2 m Da m 3, er ( ) 2 m 6. Derfor viser uligheden fra polyedersætningen, at n 5. Idet n 3 følger også, at kun m = 3, 4, 5 er mulige. For m = 3, er n = 3, 4, 5 de tilhørende muligheder; for m = 4, 5, kun n = 3. De fem mulige sammenhørende par af værdier for n og m kan alle realiseres. Resultatet er anført i skemaet. n m f Polyeder Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Heksaeder Dodekaeder pp28

29 Geometrisk tilgang til tallene pp29

30 GEOMETRISK TILGANG TIL DE REELLE TAL Det reelle talsystem er en yderst abstrakt struktur, for hvilken forståelsen kan lettes ved at knytte tallene til punkterne på en orienteret linie en talakse. 0 Konstruktionen af en talakse begynder med valg af en orienteret akse - en linie med en foretrukket gennemløbsretning. Valget er vilkårligt, men en gang valgt, fastholdes aksen. I konstruktionens næste trin vælges en fast underdeling af den orienterede akse i lige store intervaller og et origo (nulpunkt) 0 markeres. pp30

31 DE RATIONALE TAL Afsæt de hele tal langs delepunkterne på aksen ved først at afsætte 0 og dernæst afsætte de positive hele tal i den positive retning, og de negative hele tal i den negative retning, af aksen. De naturlige tal (positive hele tal) blev brugt på intuitivt grundlag i de ældste kulturer. De negative hele tal bliver ofte tilskrevet Brahmagupta omkring 628. Det var også omkring dette tidspunkt at Hinduerne begyndte at bruge tallet nul som et sædvanligt tal. Ved på passende vis at underdele hvert af intervallerne mellem de hele tal kan vi afsætte alle brøker, som repræsenterer de rationale tal. pp31

32 DE IRRATIONALE TAL Kvadratet på diagonalen i et enhedskvadrat har arealet 2. Derfor repræsenterer længden af diagonalen kvadratroden af 2. Tallet 2 er et irrationalt tal - er ikke repræsenteret ved en brøk Punkterne på aksen repræsenterer de reelle tal. De punkter, som ikke svarer til rationale tal, repræsenterer de irrationale tal. Ved at identificere punkterne på aksen med tallene får vi en reel talakse. pp32

33 DE REELLE TAL Mængden af reelle tal adskiller sig fra mængden af rationale tal ved at have følgende grundlæggende egenskab: Intervalruseprincippet Enhver indsnævrende følge af lukkede og begrænsede intervaller [ a, b1 ] [ a2, b2 ]... [ a n, b 1 n [ a n, bn ]..., hvor længden af intervallet går mod 0 for voksende n, har netop ét reelt tal c som fælles punkt. c a1 a b 2 a b n bn 2 1 ] pp33

34 INDLEVELSE I DE REELLE TAL Mængden af rationale tal er tællelig. Bevis: Ved at følge spiralen fås en rækkefølge af de rationale tal: 1, 0, -1, -2, 2, ½, -1/2, ( 1,2) ( 1,1) ( 1,0) (0,2) (1,2) (2,2) (0,1) (1,1) (2,1) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) Mængden af reelle tal er ikke tællelig. ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) Bevis: I enhver tællelig mængde af reelle tal kan alle tallene udelukkes et efter et i en passende konstrueret intervalruse. r1 r2 rn c a1 a b 2 a b n bn 2 1 pp34

35 Tællelighed af de rationale tal De rationale tal kan tælles. ( 1,2) (0,2) (1,2) (2,2) ( 1,1) (0,1) (1,1) (2,1) ( 1,0) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 0,0) ( 1,0) ( 1,1) ( 0,1) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 2,0) (2,1) Metoden giver denne rækkefølge af de rationale tal: 1,0,-1,-2,2,, , pp35

36 Tællelighed af de reelle tal De reelle tal kan ikke tælles. Indirekte bevis: Antag, at r, r 2,... Ved gentagen tredeling af intervallet i lige lange delintervaller konstrueres nu en intervalruse r n, r,... a, b 1 1] [ a 2, b ]... [ a n, b n]... a, b n ] [ 2 er samtlige reelle tal stillet op i en rækkefølge. 1 n [ a1 b1 ] r 1 Vælg et interval på den reelle talakse, som ikke indeholder tallet. [ n så tallet ikke ligger i intervallet og de efterfølgende intervaller. Denne intervalruse bestemmer er reelt tal, som per konstruktion er forskellig fra tallene. Der er således opnået en modstrid. r, r 2,..., r 1 n Dermed er det bevist, at de reelle tal ikke kan tælles. r1 r2 rn c... a1 a b 2 a b n bn 2 1 c pp36

37 Rumbegrebet i kunsten pp37

38 RUMBEGREBET I KUNSTEN Fra de tidligste tider har kunstnerne været med til at præge den fysiske rumopfattelse. I de ældste kulturer var billedkunsten ikke blot faktuel men også synsmæssigt plan, dvs uden dybde. I skulpturer har kunstnere tidligt forholdt sig til rummets tre dimensioner, men først med indførelsen af perspektivet i 1400-tallet blev rumlige forhold visuelt korrekt repræsenteret i planens to dimensioner. Symmetri har til alle tider været et vigtigt aspekt i kunsten. Formaliseringen af begrebet symmetri i matematikken er af afgørende betydning for forståelsen af rumbegrebet i sin videste betydning. pp38

39 SPEJLINGSSYMMETRI Bilateral symmetri P P C C B A A B pp39

40 SUMERISK KUNST Heraldisk design på sumerisk sølvvase; lavet til kong Entemena, som regerede i byen Lagash omkring 2700 f.kr. pp40

41 GRÆSK KUNST Bilateral symmetri realiseret ved omklapning omkring spejlingsaksen. Ajax og Achilleus ved brætspillet. Græsk vasemaleri fra ca. 530 f.kr. pp41

42 ROTATIONSSYMMETRI Cirklen er den fulde symmetriske figur ved rotation omkring et fast punkt i planen. En regulær n-kant kan bringes til at dække sig selv ved at dreje den et helt multiplum af 360/n grader ( 2π / n radianer) omkring O. 3 O 2 1 Regulær 3-kant O Regulær 6-kant O Et punkt med denne egenskab i relation til en figur kaldes en n-fold symmetri pol (en n-pol) for figuren. I tilfældet n = 2 er den regulære n-kant et liniestykke. Centrum er her en 2-pol svarende til en rotation på 180 grader. 2 O 2-pol 1 pp42

43 DREJNINGSGRUPPEN Når vilkårlige to drejninger af den regulære n-kant efterfølger hinanden, bliver den effektive virkning på n-kanten en drejning af samme type. Når drejninger på k 360/n og (n - k) 360/n grader efterfølger hinanden, neutraliseres den effektive virkning på n-kanten, og det samlede resultat svarer til den identiske afbildning af n-kanten på sig selv O De n drejninger af den regulære n-kant, svarende til vinklerne { 0, 360, 2 360,, ( n 1) 360 n n n (målt i grader), har matematisk struktur som en såkaldt gruppe; betegnet Cn. Drejningsgruppen for den regulære n-kant kaldes den cykliske gruppe af orden n. } Gruppen Gruppen C2 C1 indeholder identiteten og en 180-graders rotation. indeholder alene den identiske afbildning. pp43

44 SPEJLINGSYMMETRIER i den regulære n-kant Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. l 6 l5 3 l 4 2 l 3 l2 4 O 1 l1 5 6 Når to af disse spejlinger efterfølger hinanden svarer det til virkningen af en rotation på den dobbelte vinkel af vinklen mellem spejlingsakserne. pp44

45 DIEDERGRUPPEN Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. Sammen med de n drejninger udgør de en ny gruppe, kaldet diedergruppen af orden 2n. Denne gruppe betegnes. Dn Gruppen D2 indeholder identiteten, en 180-graders rotation, og de to spejlinger, der afbilder et liniestykke på sig selv. Gruppen D1 indeholder en enkelt spejlingssymmetri og den identiske afbildning. 2 O 1 Diedergruppen udgør den fulde gruppe af symmetrier for den regulære n-kant. De n drejninger omtales som egentlige symmetrier, og de n spejlinger som uegentlige symmetrier, for den regulære n-kant. De cykliske grupper og diedergrupperne er samtlige endelige grupper af isometrier i planen som fastholder et punkt. l 6 4 l5 3 5 O l l 3 1 l2 l1 Leonardo da Vinci ( ) pp45

46 ORNAMENTIK Der er netop 17 typer af tapetmønstre med forskellig symmetrigruppe i mønstret. Alhambra pp46

47 Den matematiske idé bag perspektivet ligger i begrebet centralprojektion. Alberti ( ) Formulerede lovene for perspektiv i Leonardo da Vinci ( ) Videreudviklede perspektivlæren PERSPEKTIV Albrecht Dürer ( ) Teoretiske arbejder om geometri og perspektiv. Træsnit af Albrecht Dürer Kunstner som tegner en lut pp47

48 Diracs strengproblem pp48

49 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Forsiden af en bærepose pp49

50 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Bagsiden af en bærepose pp50

51 MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Animation of figurer pp51

52 RUMMETS GEOMETRI Poster designet af Nadja Kutz for WMY pp52

53 Tak for opmærksomheden ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING SEMIREGULÆRE POLYEDRE pp53

54 ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER Regning modulo et primtal Nogle yderst interessante endelige tallegemer L p opstår ved i de hele tal at regne modulo et primtal p. Ved regning modulo p anses to tal der afviger fra hinanden med et helt multiplum af p som det samme element i L p. Betragt eksempelvis primtallet 7. Ved regning modulo 7 skal to hele tal hvis differens er divisibel med 7 regnes for ens. Vi får derfor kun brug for talsymbolerne {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ved regning modulo 7, idet tallene 7, 8, 9 i dette tallegeme er ækvivalent med hhv. 0, 1, 2. Når vi i det underliggende tallegeme for regning modulo 7 betegner addition og multiplikation med hhv. + 7 og 7 får vi bl.a. følgende sjove regnestykker = = = 1 ( ) 7 5 = 3. De fuldstændige additions- og multiplikationstabeller for regning modulo 7 ser således ud: Tilsvarende kan vi for ethvert primtal p = 2, 3, 5, 7, 11, 13,, danne et tallegeme L p for regning med hele tal modulo p. Cirkelligningen over endelige tallegemer Hvis vi i andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 i stedet for reelle tal indsætter variable x og y fra tallegemet L p og regner modulo p, så svinder den lukkede cirkelkurve vi kender fra den sædvanlige euklidiske plan ind til en endelig punktmængde C p i planen. Punkterne C p i cirklen modulo p svarer netop til løsningerne (x, y) til andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 når vi regner modulo p. C 2 indeholder kun to punkter: (1,0) og (0,1). C 3 indeholder netop fire punkter: (1,0), (0,1), (2,0) og (0,2). [(1,0), (2,0), (0,1),(0,2)] C 5 indeholder også netop fire punkter: (1,0), (0,1), (4,0) og (0,4). [(1,0), (4,0), (0,1), (0,4)] C 7 indeholder netop otte punkter: (1,0), (0,1), (2,2), (2,5), (5,2), (5,5), (6,0) og (0,6). [(1,0), (6,0), (0,1), (0,6), (2,2), (5,5), (2,5), (5,2)] I de kantede parenteser er punkterne opstillet parvist så de i hele tal svarer til (x,y) og (-x,-y), og derfor kan anses som antipodiske punkter modulo p på C p.

55 HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING AF VAGN LUNDSGAARD HANSEN Artikel til bladet MATEMATIK, Nr. 1, 2013, 41. årgang. Matematikken har sit udspring i konkrete fænomener vedrørende strukturer og mønstre man kan iagttage i omverdenen og i interaktionen mellem mennesker i bred forstand, og den søger at udvikle abstrakte idéer til at forstå sådanne sammenhænge. Under udviklingen af nye matematiske strukturer og metoder spiller beviser en afgørende rolle som sikring af konsistens i den abstrakte matematiske idéverden. Gode beviser har dog langt mere at byde på end dette, for de giver ofte en dybere indsigt i underliggende logisk tvingende sammenhænge og dermed en værdifuld øget forståelse af konkrete fænomener. Gode beviser kan endvidere - hos den der giver sig tid vække glæde over de matematiske strukturers skønhed i deres indre logik. Selv at kunne frembringe et bevis nærmer sig den ypperste form for kreativitet i menneskelige aktiviteter. Denne artikel er ment som en hyldest til de gode beviser og forklaringer som har en vigtig plads i matematikundervisningen. Min hyldest udtrykkes i en række små fortællinger og afsluttes med nogle generelle betragtninger om æstetik og beviser i matematikken. Når brikkerne falder på plads Man kommer ikke uden om Pythagoras' sætning når talen falder på beviser. Det formodentligt bedst kendte bevis for denne sætning kan man lege sig til. For hør nu her. Helle har i julegave fået et sæt brikker med otte ens eksemplarer af en retvinklet trekant T med kateterne a, b og hypotenusen c, samt tre kvadrater K(a), K(b) og K(c) med kantlængder a, b og c. Altså i alt elleve brikker. På æsken med brikkerne står der at man kan lave to ens kvadrater med kantlængden a + b. Helle fumler rundt med brikkerne og endelig lykkes det for hende. Sådan: b a a b T b b c K(b) b a c b c K(c) a a K(a) c T a a b a b Helle opdager nu, at når hun i hver figur fjerner de fire eksemplarer af trekanten T ser hun at som hun kan omskrive til ligningen 1

56 Helle har dermed selv opdaget Pythagoras' sætning. Og nu glemmer hun den aldrig. Christine har kigget med og er blevet stærkt begejstret. Hun foreslår Helle at de sammen går ned i sløjdlokalet og selv frembringer nogle nye sæt af puslespillene i forskellige farver som de kan dele ud til deres kammerater. For så kan de lære det! Det er naturligvis ikke helt nok at gå ned i sløjdlokalet og save sig frem til Pythagoras sætning. Man må gøre rede for at alle vinkler imellem brikkerne passer, men det er heller ikke svært. Der er dog grund til at være forsigtig med puslespils beviser for geometriske resultater. Mange kender sikkert eksempler på mystiske 'forsvindingsnumre' i puslespil med brikker af retvinklede trekanter og rektangler hvor kantlængderne er fire på hinanden følgende Fibonacci tal. Betragt fx følgende puslespil med seks brikker, hvoraf to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 3 og 8, to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 5 og 13, og to brikker er rektangler med kantlængder 5 og 8. Som vist i nedenstående figur kan dette puslespil matematisk korrekt lægges op i et kvadrat med kantlængde 13. Det samlede areal af brikkerne er dermed 169. Hvis man nu fumler lidt med brikkerne (prøv det selv) kan man uden at man umiddelbart ser fejlene tilsyneladende også først lægge brikkerne op i to retvinklede trekanter med kateterne 8 og 21, og dernæst lægge disse trekanter sammen langs hypotenuserne til et rektangel med kantlængder 8 og 21, som jo har arealet 168. Tilsyneladende er der altså forsvundet 1 arealenhed. Hvad gik galt? Er der mon overlap i brikkerne? Ja det er der! Og lader man Fibonacci tallene 5, 8, 13, 21 pladsvist erstatte 3, 5, 8, 13 som kantlængder i brikkerne, så bliver der små gab i det 'falske' rektangel Om at se tingene fra den samme vinkel Som dreng lavede jeg på en af væggene i mit værelse to tegninger som gjorde mig i godt humør. Den ene tegning var en smuk rød tulipan i vandfarve og den anden var en detaljeret konstruktion med passer og lineal af synsvinkelbuen. Matematik og natur har åbenbart altid fanget min interesse. 2

57 Især konstruktionen af synsvinkelbuen fascinerede mig dybt. Tænk sig at det kan lade sig gøre at placere stolene i en skoleklasse så alle eleverne ser tavlen i sin fulde udstrækning under den samme vinkel. I den matematiske formulering af problemstillingen hedder det: Hvad er det geometriske sted for de punkter i en plan, hvorfra man ser et fast linjestykke under den samme vinkel? Svaret er en cirkelbue. Den konstrueres ved at udnytte at en korde-tangent vinkel til en cirkel er halvdelen af den bue den spænder over, præcis som det er tilfældet for en periferivinkel. Hold op hvor dette giver anledning til at tale om rigtig mange interessante geometriske begreber. Her er konstruktionen af cirkelbuen hvorfra et givet linjestykke ses under vinklen v. r v C v I løbet af denne konstruktion indså jeg pludselig hvordan jeg med to søm og en fast vinkel med lange ben bøjet i et stykke metal kan lave synsvinkelbuen på en træplade. Hopla! Når matematikken lukker sagen I en by langt borte siges der at være et postdistrikt med tre afgrænsede bebyggelser A, B og C, der ligger omkring en central plads T. De fire områder A, B, C, T er vist i nedenstående figur sammen med det vejnet på syv veje, der forbinder områderne. Langs alle de syv veje ligger der enkelte huse. B T C A På pladsen T ligger der et postkontor hvorfra posten skal bringes ud til alle huse i postdistriktet. 3

58 Postmesteren har fået den tanke at han kan effektivisere postomdelingen hvis han kan finde en rute langs hvilken et postbud kan komme rundt til alle huse i postdistriktet ved at køre langs hver af vejene netop én gang på en rundtur med start og slut ved posthuset. Han plager hver dag postbudene med omlægninger af postomdelingen for at se om det ikke vil lykkes. Men uden held. Så en dag kommer der et nyt postbud til posthuset som hurtigt bliver kendt som Nørden fordi han taler sort. Postmesteren spørger også Nørden: "Findes der en rute rundt i postdistriktet med start og slut ved posthuset hvor man passerer hver af de syv veje én og kun én gang?" En dag kommer Nørden glædestrålende på arbejde og siger til postmesteren: "Det er umuligt. Der findes ikke en sådan rute!" Postmesteren siger til Nørden at det er løgn og at han skal fortsætte med at forsøge indtil han har fundet en sådan rute. "Men jeg kan bevise at det er umuligt", siger Nørden, og går ivrigt i gang. "Du spørger ikke om hvad et postbud laver inde i de enkelte områder; det er kun passagen af vejene der tæller. Derfor skærer jeg nu al unødvendig information væk og repræsenterer de fire områder alene ved deres bogstaver A, B, C, T. Når jeg kører langs en vej repræsenterer jeg tilsvarende vejen ved 'ordet' bestående af de to bogstaver for de to områder vejen forbinder og med bogstaverne i den rækkefølge som svarer til retningen for gennemkørslen af vejen. Eksempelvis repræsenterer BC en vej der forbinder B og C i retning fra B til C. Hvis jeg passerer tre veje på en køretur repræsenterer jeg tilsvarende køreturen ved et 'ord' med tre bogstaver. Eksempelvis repræsenterer ordet TAC en køretur fra T til A og så til C. En køretur der passerer fire veje repræsenteres ved et 'ord' med fire bogstaver, og tilsvarende for ture med passage af flere veje. Eksempelvis repræsenterer TACBT en køretur der starter i T, fører ind i A, derefter ind i C, så ind i B, og endelig tilbage til T. Og nu kommer så min første pointe. Hvis man kan finde en køretur rundt i postdistriktet som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender samme sted må den beskrives ved et 'ord' med netop 8 bogstaver. Det kan du sagtens forstå, kære postmester. Og nu kommer så min anden pointe. Da området T er forbundet med de andre områder ved 5 veje, må bogstavet T optræde mindst 3 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Da hvert af områderne A, B, C er forbundet med de andre områder med 3 veje, må ethvert af bogstaverne A, B, C tilsvarende mindst optræde 2 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Hvis du kan følge mine argumenter, kære postmester, må du medgive mig at et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene må indeholde mindst 9 bogstaver. Og så kan der altså ikke findes en køretur rundt i dit postdistrikt som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender ved posthuset, for en sådan køretur skulle jo være beskrevet ved et 'ord' med netop 8 bogstaver." "Det skal jeg lige tygge på. Det er jo en kende abstrakt", sagde den forbløffede postmester. Og det havde han ganske ret i. For Nørdens bevis var jo en herlig beskrivelse af abstraktionsprocessens styrke. Postmesteren havde især svært ved at forstå optællingerne af antallet af gange man mindst skal befinde sig i et område ved passage af vejene på den forlangte måde. Men da Nørden lavede hosstående figur af en cirkel med otte cirkelbuer, der adskiller fire sorte og fire grå punkter, kunne han godt se, at man altid rammer tre sorte punkter på et forløb gennem fem cirkelbuer og to sorte punkter på et forløb gennem tre cirkelbuer. Og så var den der! 4

59 Postmesteren blev dermed til sidst overbevist om at Nørden havde ret og opgav herefter sit logisk set umulige projekt og lod postbudene være i fred. Og hvad med Nørden? Det blev senere kendt at hans tip - tip - tip - tip - oldefar var den berømte matematiker Leonhard Euler ( ), som i 1735 havde fundet svaret på et spørgsmål om passage af syv broer i den gamle preussiske by Königsberg (nu russiske Kaliningrad) ved som den første at udvikle en sådan bevisteknik. Tallenes poesi Tallene har altid fascineret mange mennesker udover dem, der professionelt beskæftiger sig med matematik. Over årene har jeg modtaget ganske mange henvendelser og spørgsmål om tal. Et af de mere spøjse kom to dage før den såkaldte dag. Denne dag indtræffer den syvende dag i ottende måned engang i hvert århundrede, denne gang den 7. august 2009, og dagen markeres i det sekund, hvor uret viser 12:34:56, så klokkeslæt og dato giver tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 i nummerorden. En journalist fra Jyllands Posten ringede til mig og spurgte mig om matematikeres syn på dagen. Jeg skuffede ham nok lidt ved at fortælle, at det ikke var noget matematikere som sådan gik op i, men at det da var en meget sjov observation. Fem er et primtal. Det går de mindre tal ikke op i. Jo, måske et enkelt, men ettallet tæller ikke her. Sammen med tre udgør fem parret af primtalstvillinger 3, 5, og tager vi syv med har vi primtalstrillingerne 3, 5, 7. Primtallene findes, så store man kan ønske sig. Mon der også er sæt af primtalstvillinger, så store man ønsker sig? Det er der ingen, der ved. Og det er ganske vist! Fem er et pragtfuldt tal. Der var 1 par kaniner i buret, så var der 2 par, så 3, hov 5, hopla 8, hallo 13, hjælp! skreg Fibonacci. Han så systemet: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Og så var 5 et Fibonacci tal. Vupti! I blomster er der ofte femfold rotationssymmetri i kronbladene. Pentagon i Washington er femkantet. Der er fem regulære polyedre i rummet. Det mest fantastiske er dodekaederet, som har tolv femkantede sideflader. For Platon repræsenterede dette polyeder selve verdensaltet. Femdages ugen er god, men da jeg gik i skole, havde vi også fem timer om lørdagen. Så nu er der ikke tid til Platon! Vagn Lundsgaard Hansen Sentura # 19, magasin for litteratur og levende billeder, 2005 Det lille stykke poesi ovenfor stammer fra tidsskriftet Sentura, som er et magasin for litteratur og levende billeder. Sentura udgav i 2005 som #19 en 'evighedskalender', hvor man bad 12 forfattere og 12 billedkunstnere om hver henholdsvis at skrive et stykke poesi om et tal mellem 1 og 12 og at producere et billedværk til illustration af tallet. I invitationen til mig hed det: Du har fået tallet 5. Altså hvis du vil bidrage til Senturas evighedskalender. Det ville jeg gerne. Min tekst er gengivet på side 44 i bogen Matematiske Horisonter, udgivet af DTU Informatik 5

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1 Her i nærheden 1 af Christian Marinus Taisbak. En lille dialog om store emner, τὸ ἄπειρον og τὸ ἄτοπον, det endeløse og det hjemløse. En dialog i platonisk ånd i anledning af en tresårsdag. Nu var runde

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Årsplan 1. klasse Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Bageriet Loppearabere marked ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger

Læs mere