Generering af true ortofoto

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Generering af true ortofoto"

Transkript

1 fopojekt Geneeng f tue otofoto -en foundesøgelse Udbejdet f Moten Ødegd Nelsen Infomtk & Mtemtsk Modelleng Dnmks Teknske Unvestet

2 fopojekt Geneeng f tue otofoto -en foundesøgelse Moten Ødegd Nelsen Kgs. Lyngby 4

3 Food Nævæende ppot e blevet tl fobndelse med et fopojekt ved IMM, Dnmks Teknske Unvestet, febu 4. I pojektet gennemgås metode, teo og pplktone de skl dnne gundlg fo et eksmenspojekt om geneeng f tue otofoto. Rppoten e nddelt nummeeede kptle, og kldehenvsnnge e ngvet med fkntet pentes. Bgest e de vedlgt en detljeet beskvelse f klde og lttetu. Gennem ppoten e fgue og tbelle nummeeet med to tl. Det føste efeee tl kptlet, mens det ndet e fotløbende det pågældende kptel. E de fobndelse med fgue og tbelle kke ngvet klde, h undetegnede selv udbejdet dsse. I fobndelse med pojektet vl jeg gene tkke følgende: BlomInfo A/S fo t stlle dt tl ådghed fo bug pojektet. Lsse Kjemtup, BlomInfo A/S fo hjælp med tolknng f ImgeStton fle. Jens Mchel Cstensen, IMM, fo hjælp med blledmtchng. Keld Dueholm, IMM, fo vejlednng gennem hele pojekt peoden. Infomtk og Mtemtsk Modelleng Dnmks Teknske Unvestet Lyngby d. 9. febu 4 Moten Ødegd Nelsen

4 Tue otofoto en foundesøgelse 4 Indholdsfotegnelse FORORD INDHOLDSFORTEGNELSE 4 INDLEDNING 6. Hvd e otofoto? 6. Tue otofoto 6. Anvendelse f tue otofoto.4 Pojektets fomål TRUE ORTOFOTO APPLIKATIONER 8. ImgeStton OthoPo 8. TeSold TePhoto 8. Scnkot 8.4 Inpho OthoMste 8. Snbon METRO 9.6 SOCET SET 9. TORPEDO 9.8 Smmendg DATAGRUNDLAG. Flyfotos. D bymodellen 4 EN METODE TIL TRUE ORTOFOTO GENERERING 4 4. Desgnktee 4 4. Metode 4 4. Sælge elemente metoden

5 Tue otofoto en foundesøgelse TEORETISK GENNEMGANG AF METODE 6. Inde og yde oenteng 6.. Yde oenteng 6.. Inde oenteng 6. Loklseng f skjulte omåde. Algotme fo skæng med flde 8.4 Segmenteng f skjulte omåde. Vlg f bedste nbobllede.6 Fveudjævnng f dt f nbobllede.6. Fetheng.6. Fveblnceng.6. Skyggekompenston 6 KONKLUSION ORDLISTE 4 LITTERATUR BILAG A ORIENTERING I IMAGESTATION 6

6 Tue otofoto en foundesøgelse 6 Indlednng Otofotos ses dg bug lle vegne. På nettet kn mn fnde lndsdækkende otofoto f Dnmk, kommunene vse dees loklplne oven på otofotoet, og de e ofte benyttet fobndelse med D vsulsenge f lndskbe og bye. Fodelene ved fotos e kle. Det e nemmee t foholde sg tl et omåde og dets omgvelse ud f et bllede, fem fo et lmndelgt dgtlt kot de bestå f flde, lnje og tekst som et lmndelgt stegkot bestå f.. Hvd e otofoto? Nå et foto tges, lves de et øjeblksbllede f et omåde set f ét punkt veden. Objekte de e lngt væk, vke mnde end objekte de e tæt på. Ved flyfotos som optges ved et kg lodet ned, vl ydeknten f blledet vse objekte de e længee væk end objekte mdt blledet. Objekte på en bkketop, elle toppen f en bygnng, vl lgeledes væe tættee på kmeet end omknglggende objekte (jf. fgu.). Dsse foskelle fstnd vl slå gennem blledet som foskelle skl, og det umulggø vsnng f vektodt som fx loklplne, vejnvne osv. ovenpå blledet. fosøge deved t fjene den pespektvske fbldnng, og stedet vse fotoet set otogonlt, pæcs som et lmndelgt stegkot fbldes. Nomlt benyttes bygnngene kke som en del f dtgundlget tl otofoto geneeng, men kun en dgtl teæn model (DTM). Defo vl bygnngenes skl, sæ fo høje bygnnge, kke væe koekte, og helle kke væe flyttet hen på den ette plds. Lgeledes vl mn lngs knten f blledet væe stnd tl t se fcdene f bygnngene, d kun bygnnge punktet lge unde kmeet (hovedpunktet) e set pæcst oppef. Dette komme tl t se ud som om bygnnge læne væk f hovedpunktet, og ovelejes otofoto et med et vektokot de vse bygnnge, vl dsse kun psse ved foden f bygnngen (ved teæn) hvo de e tget højde fo denne fovnsknng f blledet. Se fgu.. A B Fgu. Et lmndelgt otofoto kogee kke fo bygnngene, og vektokot psse defo sjældent smmen med fotoet (A). Bllede B vse et tue otofoto hvo vektokotet flde koekt smmen med tgknten. Klde: Scnkot A/S Fgu. - Afstnden mellem objekte blledet og kmeet vee med objektenes kote og fstnd f hovedpunktet. Smtdgt e f.eks. bygnnges fcde synlge ydeknten f blledet. Med et kendskb tl ovefldens fom og kmeets poston, e det dog mulgt t kogee fo denne sklfoskel. Dette gøes ved en opetnngspoces, hvo de enkelte punkte blledet flyttes på plds, så sklen blledet e ens ove hele blledet. Pocessen. Tue otofoto Et otofoto e en tlnæmelse tl et otogonlt fbldet bllede. Poblemet med de hældende bygnnge blledet, kn ettes op på pæcs smme måde, som ved pocessen fo geneeng f lmndelge otofotos. Ved t hve kendskb tl bygnngenes fom, kn mn også kogee fo dette, ved t ykke tgene nd på plds gen. Dette gve dog nogle helt nye pobleme. Bygnngenes hældnng vl dække fo objekte elle teæn på bgsden, og ved tlbgeflytnng f tgene, vl de defo komme tl t mngle dt hvo tget e

7 Tue otofoto en foundesøgelse Sde flyttet f. På gund f den metode som lmndelge otofoto-geneeende podukte benytte (se fsnt.), vl tget væe fbldet både på den koekte plds, og som et spøgelsesbllede dé hvo det lgge teænet (jf. fgu.a). Fo t kompensee fo dette, må mn fosøge t beegne hvo dsse skjulte omåde befnde sg, og så esttte dette med dt f et ndet bllede, de e optget f en nden poston (jf. fgu.b,c). Dette kæve t de e tget en ække bllede f det smme omåde, med et stot ovelp mellem dem. He h de kun væet behndlet koekton på bss f teæn og bygnnge. Det e klt t lle objekte de ække op ove teæn vl blve fovnsket f den pespektvske fbldnng. Et % sndt otofoto vlle defo kæve kendskb tl tæe, bygnnge, ble, menneske, lygtepæle osv., og gø det ægte tue otofoto uelstsk t poducee, medmnde helt nde metode benyttes, såsom pushboom sknnee [4]. Nå de dg tles om tue otofoto, menes de nomlt kun koekton fo bygnngsvæke, heunde typsk også boe. Og helle kke he blve esultt bede end dtgundlgets kvltet og detljegdom. A B C Fgu. - Koekton fo hældende bygnnge. A vse tget ykket på plds, og eftelde et spøgelsesbllede f tget nede på teæn. B h mkeet de skjulte omåde blledet. I C e det skjulte omåde estttet med dt f et nbobllede. Klde: Z/I Imgng og BlomInfo A/S. Anvendelse f tue otofoto Som vst på Fgu. gve tue otofoto en lngt bede kvltet ved kombnton f vektodt med flyfotos. Blledet blve smtdgt mee målekoekt end det elles vlle hve væet tlfældet. I kæmpe stobye med enome højhuse e poblemet endnu mee tydelgt, hvo bygnngene blledet kn blokee fo flee gde og nde lvee bygnnge. En nden nvendelse fo tue otofoto e fobndelse med vsulseng f D bymodelle. Kotlægnng f nde bye D e vundet kftgt fem de sdste p å, hvo poduktonsmetodene e blevet bede og bllgee. Fo byplnlæggene e det et stækt væktøj tl beslutnngsstøtte. F.eks. tl t beegne f.eks. skyggenes vndng, undesøge om et nyt byggepojekt psse nd den ekssteende by, elle om det tge udsgten f de omknglggende bygnnge. I fobndelse med denne vsulseng e det oplgt t lægge flyfoto henove bygnngenes tge og teæn, og deved gøe vsulsengen mee elstsk. Men fo t dette kn lde sg gøe, kæve det et fuldstændg målekoekt bllede, hvo tgene e plceet koekt blledet. E de kke dette, skee mn t få dele f fcdene fbldet på tget, og dele f tget fbldet på teæn. Nå mn nu llgevel h en D bymodel, e det oplgt t benytte denne som dtgundlg fo geneeng f tue otofotos. Det ene podukt blve defo et slgs bllgt bpodukt fo det ndet..4 Pojektets fomål Dette pojekt e en undesøgelse f hvoledes tue otofotos geneees. Det e et udgngspunkt fo et vdeegående eksmenspojekt, hvs fomål selv e t poducee tue otofotos på bss f D bymodelle. Defo e dette pojekts fomål t gennemgå følgende dele: De eksstee lleede softwe de love t kunne lve tue otofoto. Hvodn fungee dsse, og hvd e dees begænsnnge? I pojektet skl sktsees en mulg metode tl t geneee tue otofotos. De tges udgngspunkt de dee og begænsnnge som nde pogmme ndeholde, et fosøg på t fobede pocessen. Alle de delpocesso en sådn metode måtte ndeholde, skl lgeledes undesøges og beskves.

8 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 8 Tue otofoto pplktone De fndes lleede en ække podukte de bebude t de e stnd tl t lve tue otofotos ud f D dt. De fungee typsk som plugns tl ekssteende softwe, såsom otofoto elle CAD softwe, og psnveuet e temmelg højt. Specelt softwe som køe ovenpå ekssteende (og dyt) softwe, kæve en støe nvesteng. De h hve dees metode t bejde på, men også en ække begænsnnge, som he vl gennemgås.. ImgeStton OthoPo Z/I Imgng e på opfodng f BlomInfo A/S begyndt vdeeudvklng f OthoPo, de e stnd tl t lve tue otofoto (den nuvæende veson h kke tue otofoto funktonltet). OthoPo fungee som en plugn tl Geomed, og tue oto funktonlteten e ltså en udbygnng f dees ekssteende otofoto pplkton. Defo vke pogmmet smtdgt som en lppeløsnng på de pobleme som lmndelg otofoto podukton h. Tue otofoto pocessen køes efte en lmndelg otofoto poces. Dvs. loklseng f skjulte omåde og ndhentnng f dt f nbobllede lves som en eftefølgende poces, og e ltså kke en ntegeet poces f begyndelsen. Dtgundlget e bseet på en TIN geneeet ud f punkte og budlnje, og e defo kke stnd tl t håndtee en fyssk koekt D model med lodette flde og tgudhæng. BlomInfo h testet softwen med dt de e geometsk fovnsket, således t lodette budlnje hælde en nelse, og tgudhæng kke e en del f dt, således t TIN genetonen kn udføes. Jf. fgu.. Tl tods fo hvd mn kn læse beskvelsen f poduktet på dees hjemmesde, e det stdg tle om bet-softwe med en del pobleme ved ndhentnng f dt f slve-bllede som fveudjævnng og ovegng mellem bllede.. TeSold TePhoto Det fnske Tesold, de speclsee sg væktøje tl Mcostton, h en ække plugns tl håndteng f blndt ndet DTM og flyfotos. TePhoto e et podukt de e stnd tl t håndtee tue otofoto fobndelse med den lmndelge otofoto poces. Dtgundlget e ud ove dees eget DTM fomt (TIN), mulgheden fo t ndlæse polygone de beskve tgknten, og dsse pojektees ned tl DTM. Dvs. de egnes med flde tge, og demed ettes de kke op fo selve tgkonstuktonen. Jeg kontktede TeSold fo t høe hvodn tgkonstuktone med flee nveue, og bygnnge med foskellge højde de gænse helt op tl hnnden (og demed h flee kote smme punkt) håndtees, men dette kunne de pudsgt nok kke selv sve på. Unde lle omstændghede kn de kke håndtees fuldstændge D modelle. Ifølge mnulen fguee tue otofoto delen pogmmet kun som et opton mn blot slå tl og f, og kke med ydelgee elevnte ndstllnge f semlnes, fetheng osv.. Scnkot Det dnske Scnkot A/S h et egenudvklet podukt tl geneeng f tue otofotos, som stl med Tesold benytte tgknt polygone tl t geneee tue otofoto. Defo h det også de smme begænsnnge som TeSold h. På dees hjemmesde kn mn se et eksempel som meget godt llustee poblemet med mnglende opetnng f tgkonstuktonen, hvo tgets kp kke følge bygnngens mdte (se også fgu.). Infomton om poduktet e dog begænset, men Scnkot h selv udtlt t dees podukt h fo mnge pobleme tl t de vl vdeesælge det..4 Inpho OthoMste Inpho OthoMste e et otofoto podukt de e stnd tl t tge højde fo D objekte, og flytte dt på plds. Skjulte omåde blve heefte mkeet, men kn kke utomtsk tlføje dt f nbobllede. I stedet skl de geneees otofotos ud f smtlge flybllede, og deefte eftebehndles OthoVst, de e et podukt tl t lve mosk f otofotos. Dtgundlget OthoMste e punkte og budlnje tl geneeng f teænmodellen, og bygnnge epæsentees ved polygone de ndsnæves toppen, således t de kke opstå to kote smme punkt (jf. fgu.). Denne metode gø det mulgt t nvende bygnngspolygone som budlnje DTM en. Helle kke

9 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 9 OthoMste undestøtte defo koekt beskevne D objekte. væe på joden, hvo vnklen mellem kme og flde vl væe stot set ens fo smtlge kmee. De e defo kun elevnt på sælgt skå tge de e dækket f nde bygnnge. Fgu. - Indsnævng f polygone OthoMste, så de kke opstå flee kote smme punkt.. Snbon METRO METRO 4 e endnu et otofoto podukt, med ndbygget mulghed fo tue otofoto opetnng, og blev opndelg lvet tl bug de meknske bye, hvo enome højhuse gve stoe foskydnnge blledet. Dtgundlget e he en detljeet TIN, de beskve bygnngenes fom. Blleddt e utomtsk vlgt ud f en ække ktee. Som udgngspunkt benyttes et mstebllede, og deefte vælges nbobllede ud f te pmete (fgu.): - Afstnd tl hovedpunkt - Reltv oenteng f flde fohold tl blledpln - Afstnden tl nde skjulte omåde. De geneees føst otofotos ud f smtlge bllede, hvoefte dsse eftepocessees og sættes smmen, ud f ovenstående ktee. Smmenklpnng f dt gøes ved utomtsk geneeng f semlnes, hvo de fosøges t følge lne et bllede de ngve hvo ens blledene e. Foskellen de to bllede fndes smpelthen ved t tække de to bllede f hnnden. Dette vke umddelbt som det mest gennembejdede podukt, og blve også efeeet tl en ække tkle. De e en ække gode dée tl udvælgelse f dt tl udfyldnng f skjulte omåde og tl smmenklpnng hef. METRO bsee sg tlsyneldende på en gtg god og smpel metode tl udvælgelse f nputbllede, hvs dée mn kn læe del f. Det e dog mn vudeng f kteet de tge udgngspunkt den eltve oenteng f flden e en smule omsonst, d de fleste skjulte omåde vl 4 METRO: Method fo the Elmnton of Ten nd Relef Dsplcement n Othophotogphy - Fgu. - Mosk-mønste f METRO, hvo gåtonen ngve hvlket bllede de hentes dt f. [].6 SOCET SET SOCET SET e en ække podukte tl Mcostton Geogphcs, som blndt ndet gve mulghed fo t lve otofotos. I stl med mnge f de nde podukte, e det mulgt t benytte flde polygone tl t beskve tgknten, og deved tække bygnnge på plds. Det vke dog kke som det e et fokusomåde poduktene, og følge dees egen poduktbeskvelse, e de føst om femmest blot tle om en otofoto geneeng fo ét bllede med mkeng f skjulte omåde. Det h kke væet mulgt t gennemskue hvodn blleddt eftefølgende kombnees tl et tue otofoto.. TORPEDO TORPEDO tge et ldt ndet udgngspunkt. Det blve udvklet på Venn Unvesty of Technology, Østg. Den behndle DTM og DBM helt sept. Føst blve det ognle bllede mkeet med sote pxels lle stede hvo de e skjulte omåde. Deefte køes dette bllede gennem en lmndelg otofoto pocedue, med DTM en som dtgundlg. Eftefølgende lves et otofoto som kun tge udgngspunkt tgene f DBM en, og dette lægges tl sdst ovenpå otofotoet geneeet på bggund f DTM en. Se også fgu.. TORPEDO: Thee dmensonl Object Ressouce Pckge fo Enhncng Dgtl Othophotos.

10 Tue otofoto en foundesøgelse Sde Det kæve mdletd t mn h fuldstændg sty på hvlke flde de e bygnng, og hvlke de kke e; -dvs. en fuldstændg opdelng mellem DTM og DBM. Hetl komme stdg t smmenlægge smtlge otofotos lle skyggeomådene. TORPEDO tge dog kke hensyn tl foskel ntenstet og fve de smmenlgte bllede, og nbefle t dette ndtl vdee kn gøes mnuelt elle en nden ufhængg poces []. Pocessen hvomed de poducee et otofoto med mkeng f skjulte omåde vke det hele tget temmelg omstændelg..8 Smmendg Fo de fleste poduktes vedkommende, e tue otofoto pocessen bseet på dt de hdøe f koten på tgkntene, og tge kke udgngspunkt en fyssk koekt DBM. Smtdgt bejde lle podukte ud f den flosof t smtlge bllede skl pocessees, fø udfyldnng f skjulte omåde kn påbegynde. Det vlle væe nteessnt kun t pocessee dt f nbobllede som h væet skjult det pmæe bllede. Nogle metode tl optml smmenlægnng f blleddt, gø dog dette nødvendgt, som f.eks. METRO semlne geneeng og dens lgotme tl udvælgelse f bedst egnede bllede. En f gundende tl den ldt omstændelge femgngsmåde, skyldes nok t de fleste pogmme føhen v ene otofoto pogmme, og e senee blevet udvdet med tue otofoto funktonltet. Defo e detektengen f skjulte omåde kke ndbygget f stt, og tue otofoto funktonltet e næmest en fom fo lppeløsnng på et ekssteende podukt. En undtgelse hef e dog TORPEDO og METRO, som e desgnet tl fomålet. Sdstnævnte h dog som nævnt, sne gunde tl t pocessee smtlge bllede. Fgu. - Pocesdgm fo geneeng f otofoto med TORPEDO.

11 Tue otofoto en foundesøgelse Sde Dtgundlg Dtgundlget fo de tue otofotos som dette og det eftefølgende eksmenspojekt bygge på, e en næsten fuldstændg D bymodel f Københvn, og flyfotos lvet specelt tl fosøg med tue otofoto podukton. Dette fsnt fosøge t beskve dsse dt, dees poduktonsmetode, pæcson, opndelse osv.. Flyfotos Tl fosøg med tue otofoto podukton, blev de oktobe fotogfeet ldt ove km f Københvn. De blev tget lt flyfotos, med 6 % ovelp både tl sden og femd. Som noget sælgt e dsse tget med nomlvnkel, fo t mndske effekten f foskudte bygnnge lngs knten f blledet, og fo t opnå bede dæknng bggådene; - et poblem som e meget mee udtlt med vdvnkelkmee de e det mest lmndelge nvendte. Ved bug f nomlvnkel kmee skl mn ofte tge flee bllede pg. den mnde dæknng, men ved t fodoble flyvehøjden (d bændvdden e fodoblet), opnås smme dæknng ét bllede. Blledets målfohold bbeholdes således. Hvet bllede dække c., km, men det stoe ovelp betyde t en sto del f omådet e dækket f op tl seks bllede smtdgt og lt sdeovelppet dækket f mndst fe. Jf. fgu.. Blledenes nde og yde oenteng e beskevet nogle tekstfle de blndt ndet gve oplysnnge om kmeets poston og dejnng, pmete tl tnsfomton mellem bllede og vedenskoodnte, og om kmeets fotegnnge. Dsse e beskevet et popetæt fomt tl ImgeStton, og en beskvelse f selve fomtet h kke væet tlgængelg. Defo h det væet nødvendgt t pøve sg fem, fo t ske sg t mn læse de gtge pmete f flene. En eksempel hepå kn ses blg A, og behndlng f dt hef vl også blve behndlet fsnt.. Flyvedto. oktobe Kmekonstnt (c),9mm Flyvehøjde (H) c.. m. Målfohold (c/h) :. Ovelp (sde/længde) 6 % / 6 % Sknnngsopløsnng µm Støelse f sknnet bllede c.. x.pxels c. mb Tbel. - Dt fo flyfotos.. D bymodellen Geneeng f tue otofotos kæve en et pæcs beskvelse f omådets oveflde, nkl. bygnngsdetlje osv. Et ægte tue otofoto vl kæve fuldstændg og bsolut vden om teæn, bygnnge, ble, vegetton osv., som fndes blledet. Defo e det ægte tue otofoto uelstsk, og esulttet blve kke bede end beskvelsen f oveflden, benævnt DSM (Dgtl Sufce Model). BlomInfo A/S h leveet dt tl pojektet og stmme f dees D By modelle. Dt e lvet på bggund f lmndelg fotogmmetsk opmålng. Tgkonstuktonene e konstueet som en tådmodel f lnje de beskve kontuene tgene, og medtge lle små detlje på bygnnge de e støe end m. Fgu. - Ovesgt ove flyfotos. Kmeposton e ngvet med pkke, og omådene de dække e ngvet med stplede lnje. Bygnngene e dog beskevet uden tgudhæng, hvo tgudhænget stedet følge foden f bygnngene. Dvs. t mn plnen h snppet tl bunden, og plceet tgknten hvo den lodette lnje f dette punkt skæe tget. Dette fode et poblem tue otofoto geneengen, hvo mn skee t tgudhænget kke blve tukket på plds, og defo blve lggende på teænet. Deudove e tgvndue kun tget med, såfemt de flugte med fcden. Dvs. tgvndue mdt på tget

12 Tue otofoto en foundesøgelse Sde kke e medtget. Defo vlle dsse helle kke umddelbt kunne blve kogeet fo et tue otofoto. Tæe e beskevet ved en ckel de e plceet tæets top, og cklens dus ngve tæets vndette udstæknng. Dette e en meget gov beskvelse, de defo næppe kn benyttes tl t kogee fo tæenes foskydnng blledet. Fgu. vse et udsnt f tådmodellen, og gve et ndtyk f detljengsgden. På bss f tådmodellen poducees fldemodellen vh. f BlomInfos eget-udvklede softwe. Resulttet e dt de beskve både teæn og bygnnge, med vden om hvlke flde de e henholdsvs teæn, bygnngsbund, vægge og tge. Fldene bestå f en lng ække teknte, stl med en TIN. En del teknte e dog smlet tl feknte, femknte osv., men kn lle opdeles sæt f teknte. Tekntene kn lle fldemodelle opfttes som et pmtv fo lle nde objekte. Runde oveflde kn også ppoksmees med et ntl tekntsflde, som det ses på tget f kuplen på fgu.. Fgu. og fgu.4 llustee begge fldedt, med henholdsvs gennemsgtge og fvelgte flde. Fldedtene e beskevet DSFL fomt. Hve lnje beskve enten et punkt flden, elle foud fo punktdt, en beskvelse f det eftefølgende dt. F.eks. beskve %KG4 %U49 t ndtl næste KG4 kode, e det eftefølgende dt tgflde. Koden %FKR fotælle t de eftefølgende lnje e koodnte tl et fldeobjekt. Et eksempel ses tbel.. Fgu. - Udsnt f Københvns D bymodel, vst som tådmodel. Mmokken, Bedgde Tådmodellen ndeholde dog ngen fom fo topolog de beskve smmenhængene mellem de enkelte lnje/tåde. De e kun tle om dumme lnje uden topolog elle smmenhæng, og det e kke mulgt t vælge et vlkålgt punkt f en tgflde og få oplysnnge om f.eks. hældnng, kote osv. Tl dette kæves en egentlg epæsentton f modellen som flde. Fodelen ved DSFL fomtet e t det e meget nemt t geneee elle fotolke, og det lette deved den pogmmengsmæssge del f bejdet med t nd- og udlæse tl dette fomt. Fgu. - D flde modellen beskve fuldstændg bygnngenes og teænets fom. Fgu.4 - Rendeng f bygnngene, eksklusv teæn fo oveskuelghedens skyld.

13 Tue otofoto en foundesøgelse Sde %KG4 %U49 %B D model, Bygnng Tgflde %FKR %FKR %KG4 %U49 %B D model,bygnng Fcdeflde %FKR Tbel. - Eksempel på fldedt beskevet DSFL.

14 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 4 4 En metode tl tue otofoto geneeng Med udgngspunkt de gennemgåede pplktone, dees svghede og styke, vl jeg he fosøge t sktsee en metode tl t geneee tue otofoto. 4. Desgnktee Den mest nvendte metode benyttet f nde otofoto pplktone, ndeb D bymodelle hvo bygnngene kun e beskevet som polygone lngs tgkntene, som eftefølgende dpees ned tl teæn. En nden metode e t benytte TIN modelle tl t beskve teænet. TIN modelle epæsentees som egel kun ½D, hvlket betyde t TIN modellen kke kn hve to kote smme punkt, som det f.eks. e tlfældet med lodette flde, elle udhæng. Denne begænsnng lgge nu mest pogmmet de genee TIN modellen ud f punkte og budlnje. Begge metode h begænsnnge kompleksteten f objekte de kn beskves. Unde selve pocessengen e foskellen dog mnml, d det udelukkende deje sg om beegnnge f typen skæng med flde. Hvs nputdt stedet udelukkende bestå f teknte epæsenteet som en ægte D TIN, kn lle objekte beskves så detljeet som ønsket, nklusve tgudhæng osv. Pocessen e stdg oenteet på detekteng f skæng med flde. Det e stdg mulgt t nvende et vlkålgt ½D TIN pogm tl t geneee en DSM model f.eks. ud f lsesknnngsdt, elle dpee polygone ned tl en teænmodel. Det fleste TIN pogmme e stnd tl t udskve tekstfle med tekntene beskevet som: x, y, z, x, y, z, x, y, z Et desgnkteum e defo t bejde ud f fædge D modelle beskevet f teknte. Dette gve en fleksbel mulghed fo t nvende vlkålge dtklde tl tue otofoto geneeng. Alle de beskevne tue otofoto pplktone, pocessee lle flyfotos føst, hvoefte de skjulte omåde behndles. Rent beegnngsmæssgt e dette en meget omstændelg poces. Det bude væe mulgt kun t pocessee ét bllede, plus de skjulte omåde som hentes f nbobllede. Ønskes en mee ntellgent smmenlægnng f blleddt stl med METRO, kn det dog væe nødvendgt føst t behndle smtlge bllede. Omvendt, skl et støe omåde poducees og lves tl en sto mosk, e de dog kke meget tl hnde fo føst t pocessee smtlge bllede, d dette llgevel skl gøes fø elle sden. Defo bø begge metodes fodele og ulempe dog fosøges fo t vudee hvd de gve den bedste løsnng. 4. Metode Pocessen beskevet he, e en tænkt femgngsmåde, som tge udgngspunkt lmndelg otofoto geneeng, v en output-tl-nput 6 tnsfomton.. Vælg pxel (,j) de skl tldeles en fve outputblledet, og omegn denne tl vedenskoodntene (X,Y). Fnd den øveste flde ove (X,Y), og højden Z, hvo den lodette lnje gennem X,Y skæe flden.. Fnd skæende flde mellem lnjen (X,Y,Z) og kmeet. Hvs lnjen mellem X,Y,Z og kmeet kke skæe en flde: -Tldel pxel (,j) den tlsvende pxelfve f nputbllede. Elles: Punktet lgge skjult bg nde flde. Mké som skjult pxel. 4. Vælg næste pxel og gå tl (). Nå hele blledet e blevet pocesseet, e de to mulghede fo eftebehndlng. Som nævnt kn mn enten fotsætte med t pocessee de øvgt flyfotos efte ovenstående poces, elle mn kn nøjes med t behndle de skjulte omåde, efte følgende poces. A. Guppé skygge-omåde smmenhængende klynge. B. Udvd klyngene med n pxels (ovelp omåde) C. Pocessé guppene efte hvlket kme hvs hovedpunkt e næmest plnen (dvs. mest lodet vnkel). Pocessen e nlog med Output-tl-nput tnsfomtonen vælge en pxel de skl tldeles outputblledet, og søge heefte tlbge tl nput blledet hvo den fnde den ønskede pxelvæd. Modst nput-tl-output tnsfomton.

15 Tue otofoto en foundesøgelse Sde E de stdg skyggeomåde, køes C med næstnæmeste kme, osv. Ved den fulde pocesseng, køes en lgnede metode som beskevet A-C, hvo skjulte pxels behndles guppe. (): Inde og yde oenteng fobndelse med omegnng f vedenskoodnte tl nput pxels. Ved tldelng f pxelfve f nput tl output, skl de også tges hensyn tl smplngmetode. (A): Bllednlyse tl guppeng og tællng f klynge. 4. Sælge elemente metoden (B): Klyngene kn udvdes vh. f bnæ mopholog, f.eks. dlton elle flteng. (): Omegnnge mellem pxeloutput koodnte og vedenskoodnte. Dette e en lmndelge pln tnsfomton. () og (): Algotme tl beegnng f skæng med flde. En uddybnng f dsse enkelt-pocesso vl blve beskevet næste kptel. Fgu 4. - Pncpsktse fo tue otofoto poces

16 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 6 Teoetsk gennemgng f metode Metoden tl geneeng f tue otofoto, beskevet foge kptel, ndeb en del elemente de sg selv kæve en uddybelse. Delelementene e: - Inde og yde oenteng - Algotme fo skæng med flde - Loklseng f skjulte omåde - Segmenteng f skjulte omåde - Vlg f bedste nbobllede - Fveudjævnng f dt f nbobllede. Inde og yde oenteng Den nde og yde oenteng f et bllede e vgtg fo t kunne omegne mellem vedenskoodnte og blledkoodnte. Dvs. den geometske og geogfske smmenhæng mellem blledet og de objekte det fblde. Dette opdeles nomlt to dele, henholdsvs den yde og nde oenteng. De bllede som dette pojekt tge udgngspunkt, e blevet oenteet ImgeStton, og med dette pogm følge de to tekstfle de beskve oentengen ud f en ække pmete. På bggund f pmetene ngvet dsse fle, fosøges de he t beskve de nødvendge omegnnge... Yde oenteng Den yde oenteng beskve kmeets plceng fohold tl vedenskoodntene. Dvs. dens poston beskevet ved X,Y,Z og dens te dejnnge om dsse kse Ω, Φ, κ. Omegnngen mellem vedenskoodnte (X,Y,Z) og blledkoodnte (x c,y c ), ske ved hjælp f stålelgnngene. Stålelgnngene benytte sg f en ottons mtce, hvs delelemente e: Stålelgnngene kn heefte opskves som: ( X X ) ( Y Y ) x c c ( X X ) ( Y Y ) ( X X ) ( Y Y ) y c c ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ( Z Z ( Z Z ( Z Z De seks pmete e beskevet nogle tekstfle tl ImgeStton (jf. blg A), hvo det h væet nødvendgt t evese-engnee dsse væde, d det kke e et velbeskevet flfomt. Tllene kn fndes lnjen EO_pmetes (EO fo Exteo Oentton ), og e ngvet følgende ækkefølge: X Y Z Ω Φ κ. Dejnngene e ngvet gon... Inde oenteng Den nde oenteng beskve kmeets lnse fohold tl blledplnet, og blledplnet fohold tl pxelkoodntsystemet. En lnse e kke fuldstændg fejlf og tlføe blledet en fovængnng ved lysets bydnng gennem lnsen. I fotogmmetske kmee e denne fovængnng typsk meget llle, og beskves ved et polynomum som funkton f fstnden f centum. Dvs. de e tle om en dl fovængnng. Typsk beskves denne fovængnng, d, ved: d [4] I ImgeStton-flene (blg A) e fovængnngen dekte beskevet ved målte væde som funkton f fstnden tl blledets centum. Et eksempel på en typsk fovængnngskuve e ngvet på fgu..,, ) ) ) ) [4] cos( Φ)cos( Κ) cos( Φ)sn( Κ) sn( Φ) cos( Ω)sn( Κ) sn( Ω)sn( Φ)cos( Κ) cos( Ω)cos( Κ) sn( Ω)sn( Φ)cos( Κ) sn( Ω)cos( Φ) sn( Ω)sn( Κ) cos( Ω)sn( Φ)sn( Κ) sn( Ω)cos( Κ) cos( Ω)sn( Φ)sn( Κ) cos( Ω)cos( Φ) [4],,, -, -, -, -, -, -, Fgu. - Rdl fovængnng som funkon f dus. Den stplede lnje vse den tlpssede model, og den fuldt optukne den målte fovængnng. Kuven sve tl den Blg A beskevne fovængnng.

17 Tue otofoto en foundesøgelse Sde Dsse målte væde tlpsses den beskevne fovængnng vh. mndste kvdtes metode []. Dette gøes ved føst t opstlle følgende fundmentllgnng: n d.., ˆ Alle obsevtone tldeles smme vægt, og v ndsætte fundmentllgnngene, hvo v ngve fvgelsen mellem modellen og de målte væde som: v d d ˆ n d v,..,, V ønske t mnmee den smlede sum f kvdede fejlbdg,, dvs. mnmeng f: v ( n n d v ) Dffeentees denne med hensyn tl henholdsvs,, og og sættes lg fo t fnde mnmum, fås fe lgnnge med fe ubekendte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n d v d v d v d v svende tl d d d d Ud f dsse lgnnge, kn pmetene,, og bestemmes. Udtykket kn også opstlles på mtxfom, bestående f to konstnt-mtce og én vekto: [ ] T d d d d Den stplede lnje på fgu. ngve en model tlpsset målngene efte denne metode. D det vse sg t e fuldt koeleet med kmekonstnten, og kompenstonen hefo e defo nkludeet bestemmelsen f kmekonstnten. sættes defo lg nul. Koektonen fo dl fovængnng kn stedet skves ved: c c y y x x ) ( ) ( hvo [4] 6 4 Foholdet mellem blledkoodntsystemet, som fx måles mllmete, og pxelkoodntsystemet, de måles pxels, e ngvet ved en ffn tnsfomton, som tge højde fo tnslton, skl, otton og skævhed (skew). Dette kn beskves som to vektoe de ngve blledkoodntsystemet pxels. Vektoenes længde sve tl sklen den gvne etnng, dees etnng tl otton, og dees ndbydes fvgelse f otogonl beskve skævheden. Vektoene udspnge f det smme punkt X h,y h, de ngve tnsltonen. I ImgeStton e dsse vektoe ngvet lnjen IO_pmetes (IO fo Inteo Oentton ), og e opstllet følgende ækkefølge: X h,y h,v X,V Y,V X,V Y hvo X h og Y h ngve tnsltonen, V X,V Y ngve føste-ksens vekto og V X,V Y ngve nden-ksen. Omegnng f blledkoodnte tl pxel-koodnte e lgefem, og opnås ved følgende multplkton: h h y y x x p p y x y x V V V V y x. Loklseng f skjulte omåde Den mest lmndelgt nvendte metode tl bestemmelse fo om en flde e bg en nden, stmme f D gfkkotene en compute. He benyttes en såkldt Z- buffe tl t bestemme om en gven flde e fon elle X V Y (X h,y h ) V

18 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 8 bgved en nden. Metoden behndle hve flde én efte én, og fldene stesees smtdgt. Dvs. de sknnes henove flden pxel fo pxel, og smtdgt tjekkes fo om fven fo en pxel lleede e tldelt f en flde de e tættee på kmepunktet. Dvs. t hve pxel h en tlsvende væd gemt (kldet Z-buffe), de fotælle om fstnden f kme tl objektet hvof fven hdøe. Hvs den enkelte flde vse sg t væe tættee på, tldeles pxelen en ny fve. Denne metode buges typsk tl otofoto pocessen. Poblemet ved denne metode, e t den kke holde sty på hvlke flde de oveskves f en ny fve, og demed kke om de e tle om skjulte omåde. I otofoto smmenhænge ses dette typsk som gengvelse f tget to gnge. Dvs. dé hvo det opndelgt v blledet (spøgelsesbllede), og dé hvo det e blevet flyttet hen (koekt poston). Jf. fgu.. Fgu. - Spøgelsesbllede, hvo tgene også e gengvet de skjulte omåde. Klde: BlomInfo A/S Fo t få sty på hvlke pxels de e skjulte omåde, behøves de defo en ldt nden femgngsmåde. Det e nødvendgt t hve sty på om de e flde de skygge fo en et lnje mellem kmeet og det punkt de ønskes tldelt. Tl dette foeslås følgende femgngsmåde: Fo en gven output pxel,j svende tl X,Y vedenskoodnte, fndes de tlsvende flde hvo den lodette lnje gennem X,Y skæe. He udvælges den øveste flde, som den flde de må væe fbldet et tue otofoto, og koten Z hvo skængen med flden beegnes. Spøgsmålet e så om dette punkt på flden e synlgt nputblledet. Ved t lve en tlsvende lnje mellem kmeet og punktet gennem X,Y,Z, fndes de flde de skæe denne lnje. E den flde de e næmest kmeet, den selv smme flde, e de således ngen nde flde de skjule X,Y,Z, og den tlsvende fve nputblledet kn hemed tldeles pxel,j. E de demod blokeende objekte, mkees,j som et skjult omåde. Jf. fgu.. Fgu. - Pncp ved loklseng f skjulte omåde otofotoet.. Algotme fo skæng med flde Pocessen beskevet ovefo, benytte sg f to type skænge: Skæng med en lodet lnje, og skæng med en lnje beskevet ved to punkte. De fndes mnge metode tl t beegne skæng med flde, men d de e tle om et stot ntl flde de skl smmenlgnes med, bø lgotmen væe meget smpel. Den smpleste f de to, e skæng med en lodet lnje, d det hele he kn nskues som et todmensonlt poblem, hvo det e skæng mellem en fld teknt og et punkt. Abejdes de med en ndekseet dtbse, hvo dsse teknte gemmes, e det meget hutgt t lve en fgænset søgnng hvo tekntens hjøne X,Y bø lgge ndenfo et gvent ntevl. Demed skl de kun beegnes skæng med et mnmum f flde, som e en tungee poces. Dette ndebæe dog også t mn skee t fobgå stoe teknte, hvs udstæknng e ove dette ntevl. Defo bø det kke væe mnde end den støste teknts udstæknng. En kontol fo om en punkt lgge nden fo en teknt, kn smpelt gøes ved t vnkelsummen mellem punktet og tekntens hjøne e π. Demod e den tedmensonelle skæng mellem lnje og flde svæee t beegne. Det e kke mulgt t lve en god fgænsnng på smple pmete som X og Y, så

19 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 9 defo skl smtlge flde gennemsøges, og skængsbeegnngen e tlsvende mee komplceet. Defo vlle det væe oplgt t fosøge t ænde poblemstllngen således t smme metode kn benyttes he. Tl dette h jeg fået den dé t tnsfomee fldene, således t de fspejle et koodntsystem set f kmeet. Ved t omegne smtlge koodnte fldenes hjøne tl blledkoodnte som beskevet den nde og yde oenteng, få mn et sæt dt en otogonl fbldnng de fotegnng og foskydnng lgne det ognle bllede, hvo bygnnge læne ud tl sdene, væk f blledets hovedpunkt (jf. fgu.). Z- koodnten beskves som fstnden mellem kmeet og det tnsfomeede punkt. Denne poces kn en dtbse hutgt udføes, og skl kun gøes én gng p. kme. En test med en Mcosoft MSDE dtbse på en stndd PC, kunne tnsfomtonen udføes på c. sekunde fo c. 6. flde. Ved t udføe en skæng med en lodet lnje gennem pxel-koodnten det tlsvende nput-bllede, fndes skæng med et ntl flde. E den flde med den mndste Z-væd (dvs. næmest kmeet), den selv smme, som den øveste flde fundet ved skængen vedenskoodntene, e det således en synlg flde. Fgu.4 - Ognl fldedt f bygnng, set otognlt. f oven. Pkken e på næste fgu skjult f bygnngen. Fgu. - Tnsfomeet fldedt f smme bygnng. Set otogonlt f oven. Dette sve tl den måde hvopå kmeet se objektene på. Hvs de dette bllede fosøges t udvælge et punkt på teæn (fx pkken blledet) de lgge skjult f en bygnng, kn dette kke gøes uden t mme en bygnngsflde.

20 Tue otofoto en foundesøgelse Sde Fgu.6 - Ubehndlet flyfoto f smme bygnng som de to foge fgue også vse..4 Segmenteng f skjulte omåde Ved mkengen f de skjulte omåde, vl de væe en lng ække f pxels som lægge tæt smmen, lngs bgsdene f bygnngene. Af hensyn tl fvetlpsnng, vl det væe fodelgtgt t hve klynge f skjulte pxels hve sæ blve udfyldt med dt f det smme ltentve bllede. En metode tl dette e t nvende bllednlyse tl t fnde klynge f pxels. Connected Component Anlyss e en sådn metode. He vudees det om pxels e smmenhængende ud f enten 4- elle 8- konnektvtet. Foskellen lgge om det kun e nbopxels tl sdene og ove/unde de defnee smmenhæng, elle om pxels dgonl fstnd f en pågældende pxel gve smmenhæng. Ved t plcee et x pxel flte ove en gven pxel, og deefte smmenlgne om dette flte øe nde pxels, kn mn vudee om de e konnektvtet. De to flte kn llustees således [4]: 4-konnektvtet 8-konnektvtet Fgu. vse et eksempel hvo foskellen på de to type e tydelg. He vl de to flte hve fnde henholdsvs syv og to objekte. 8-konnektvtet e godt tl t fnde lnje, men d de tue otofoto smmenhænge oftest vl væe tle om mee tætte klumpe f dt, vl 4-konnektvtet sndsynlgvs væe tlstækkelg. Optællng og guppeng f objekte gøes med en smpel lgotme de løbe blledet gennem og tjekke fo smmenhæng. Denne lgotme e udfølgt beskevet [4] Connected Component Lbellng, og vl kke blve gennemgået he. Fgu. - He e de syv smmenhængende objekte ved 4- konnektvtet, og kun to ved 8-konnektvtet. [4]. Vlg f bedste nbobllede Ved udfyldnngen f de skjulte omåde, e de en fodel t nvende det bedste bllede hetl. Som udgngspunkt må mn tge stllng tl om mn ønske t køe otofoto-pocessen fo smtlge bllede føst, elle om mn vl nøjes med t pocessee de skjulte omåde. Begge metode h dees fodele og ulempe. Pocessees hvet enkelt skjulte omåde én efte én, hvo de hentes dt f nde nput-bllede, e det på fohånd kke mulgt t kende tl om et gvent kme kn se hele guppen. Defo må mn føste omgng vælge det kme med støst sndsynlghed fo t det gve fuld dæknng f omådet (hvs de ovehovedet e ét). Gve det kun delvs dæknng, må mn gen oveveje om det skjulte omåde skl pocessees gen med et nyt kme, elle om kun de mnglende pxels skl behndles. Hvd de gve det bedste esultt, med hensyn tl både beegnngstd og kvltet må væe genstnd fo fosøg. Udvælgelsen f nput-bllede kn deles op følgende:

21 Tue otofoto en foundesøgelse Sde - Afstnd tl hovedpunkt. Afstnden tl hovedpunktet godtgøes med, t jo lvee fstnd, des støe chnce fo t kmeet kn se ned mellem bygnngene. - Skyggeomåde bø befnde sg mellem det føste kme og det nye kme, d dette bllede d må væe tget f modstte sde f det skyggende objekt. Hvs smtlge bllede demod føst beegnes, gve det nogle bede mulghede fo t udvælge pxels f de bedste egnede bllede, og lve bede ovegng mellem dsse. He henvses dekte tl Snbon METRO beskevet fsnt. hvo kteene e: - Afstnd tl hovedpunkt - Reltv oenteng f flde fohold tl blledpln (mndske udtvæng f pxels) - Afstnden tl nde skjulte omåde (ske t fæe skjulte omåde udfyldes f flee nputbllede)..6. Fetheng Ved t lve en flydende ovegng mellem to bllede, hvo blndngsfoholdet mellem de to bllede øges gdueet, kldet fetheng. Det e en metode tl t smmensætte to bllede med en blød ovegng. Tl denne poces skl de nvendes et blndngsbllede de ngve blndngsfoholdet mellem de to bllede. Fgu.8 vse et sådnt bllede, elle flte om mn vl, hvo gåtonevæden ngve blndngsfoholdet mellem de to bllede. Ognle bllede. Sote pxels sve tl skjulte omåde. Det e en meget tungee poces t behndle lle bllede, men gve smtdgt dtgundlget tl bug fo otofoto podukton f stoe omåde, hvo dette llgevel skl gøes. Smtdgt kn mn tl dels undgå en del f guppengen f pxels, d metoden stedet kn beegne et moskmønste, som vst på fgu., som endd kn buges tl smmenklpnng f et vlkålgt ntl bllede, og kke kun ud f ét mstebllede. Føste metode egne sg ltså bedst tl pocesseng f enkelte bllede (msteblledet), hvo de supplees med dt f nbobllede, hvomod den fuldstændge og tunge metode egne sg tl støe skl..6 Fveudjævnng f dt f nbobllede Nå flee bllede skl sættes smmen, skl det gene gøes på en måde, således t ovegngen e så usynlg som mulg. Fve og ntenstet de to bllede e ofte et foskellg, hvlket vl kunne ses som en tydelg lnje lngs ovegngen. Dette poblem kn løses vh. en kombnton f to metode:. Lv en blød ovegng f bllede A tl bllede B.. Tlps fvemætnng og ntenstet de to bllede, så de h smme egenskb. Flteet bllede Fgu.8 - Flteng f objekte, de esultee et gåtonebllede de ngve blndngsfoholdet mellem to bllede. Et sådnt flte kn nemt konstuees ud f et bnæt (sot/hvdt) bllede, ved hjælp t bnæ mofolog, hvo et mtx-flte køes henove blledet. Fgu.8 e blevet pocesseet med flteet ngvet nedenfo te gnge. Flteet fungee ved t det plcees mdt ove en gven pxel, og denne pxel tldeles deefte den gennemsntlge væd f de omknglggende og den mdteste pxel, gnget med vædene flteet. Med

22 Tue otofoto en foundesøgelse Sde det ovenstående flte, betyde det blot et gennemsnt f de n pxels gåtonevæde. Flteet fvge dog en smule f et lmndelgt flte, ved t det kke påvke de fovejen sote pxels. Dette vlle hve betydet t dsse også opnå gåtonevæde, men v ønske kke et flte de delvst medtge dt f de skjulte omåde og tvnge det defo tl t bbeholde de helt sote pxels. Jo flee gnge flteet køes, jo støe udstæknng vl ovegngen hve..6. Fveblnceng De to bllede de sættes smmen, skl som nævnt tlpsses fvemætnng og ntenstet. Et bllede beskves typsk ved ntenstet henholdsvs ød, gøn og blå fve (RGB skl), men kn stedet beskves ved henholdsvs ntenstet, fve og fvemætnng. Dette kldes også IHS fveummet, fo Intensty, Hue og Stuton. Tlpsnng mellem to bllede kn smplest gøes ved en lneæ skleng f ntenstet, med fkto, og fvemætnng med fkto b. D selve fven kke ønskes ændet, e denne udeldt f følgende fomel: R G B out out out b b b b b b b R b G b B Pmetene bestemmes ved t fnde et gennemsnt fo de to bllede selve ovelps-omådet, og fnde foholdet mellem dsse. Dvs. de smples det omåde hvo fetheng-flteet lve en blød ovegng. Deved skes det t det e de smme omåde blledene de smmenlgnes og mtches. Dvs. - bestemmes ved foholdet mellem de to blledes gennemsntlge ntenstet. - b bestemmes ved foholdet mellem de to blledes gennemsntlge fvemætnng. n n n Dsse pmete bestemmes ltså ud f IHS fveummet, og d blledet e ngvet på RGB sklen, skl de defo omegnes f RGB tl IHS. Intensteten I fndes ved: I v v R G B Dvs. ntensteten fo en gven pxel, blot e et gennemsnt fo RGB-vædene: (RGB)/. Fvemætnngen S e gvet ved længden f de to vektoe IHS fveummet: v v.6. Skyggekompenston [4] S [4] Med kendskb tl en komplet D bymodel og kendskb tl optgetdspunktet fo flyfotoet, e det også mulgt t beegne hvo solens skygge fldt på et gvent tdspunkt. Defo må det ved hjælp f de beskevne metode om koekton fo fve og ntenstet, lgeledes væe mulgt t lysne de omåde som solen h skygget fo, og deved nedtone effekten f skygge. [4] Loklseng f skygge e nlog med den kmebseede metode, dog med den foskel t stålene f solen e pllelle. Ved t lve en buffezone omkng de fundne skyggeomåde, kn den smme poces ovenfo beskevet benyttes tl t mtche ntensteten, og deved fohåbentlg fobede fotoets oveodnede kvltet. En enkelt tkel beskve denne metode, men eksemplene de e vst de, e dog kke ovebevsende flotte []. Det e dog en nteessnt metode, som bude kunne gve et melgt esultt.

23 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 6 Konkluson I denne ppot e de blevet beskevet en ække softwe pkke de e stnd tl t lve tue otofoto. Et geneelt poblem med dsse, e t de kke håndtee vlkålgt komplekse D modelle, og typsk kun ½D dt. Dette tl tods fo t det kke nses fo nogen sælg udvdelse f metodene fo t nkludee denne mulghed. Heefte e de blevet sktseet en metode tl t femstlle tue otofoto de blndt ndet gve mulghed fo t benytte komplekse D modelle. Alle D modelle kn beskves som en kompleks opbygget tedmensonl TIN, og en sådn kn uden pobleme nkludees nlysen f skjulte omåde, og geneengen f selve otofoto et. De blev sktseet to femgngsmåde, hvo den ene tge udgngspunkt behndlng f ét bllede, og udfylde skjulte omåde med dt de hentes dekte f nbobllede. Den nden femgngsmåde lve otofotos f smtlge bllede, og smmensætte deefte blledene tl én sto mosk, hvo udvælgelse f blleddt tl moskken gøes ud f en ække ktee. Begge metode h hve dees fodel, hvo enkeltbllede metoden e god tl tue otofoto podukton f mnde omåde. Mult-bllede metoden e god tl støe skl hvo stoe moskke skl lves. Smtdgt e den umddelbt nemmee t gå tl. En del f teoen bg de metode de kæves fo t lve et pogm de e stnd tl t geneee tue otofotos e blevet gennemgået, og ndebæe: - Inde- og yde oenteng f bllede. - Algotme fo loklseng f skjulte omåde. - Guppeng f skjulte omåde klynge f smmenhængende pxels. - Vlg f bedste egnede ltentve bllede tl udfyldnng f skjulte omåde. - Smmensætnng f bllede, så foskellen mellem de to e bllede e så usynlg som mulg. Tl sdst blev nævnt mulgheden fo, på bss f D modellen, t kompensee fo effekten f solskygge blledet. På bggund f dsse foundesøgelse, vudee jeg det melg oveskuelgt, løbet f et eksmenspojekt, t komme lngt med udvklng f en pplkton de kn geneee tue otofotos med en funktonltet som nuvæende podukte endnu kke byde på. Lyngby d. 9. febu 4 Moten Ødegd Nelsen

24 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 4 Odlste DBM DSFL DSM DTM DXF Gd MSDE TIN Dgtl Bygnngs Model. Beskve bygnnge opbygget f flde, modsætnng tl DTM de beskve teæn. Dnsk Selskb fo Fotogmmet og Lndmålng. Udvekslngsfomt fo geogfske dt. Dgtl Flde (sufce) model. En DSM kn opfttes som en kombnton f DBM og DTM. Dgtl Teæn Model. Beskve teænet som en ække flde, typsk dnnet på gundlg f punkte og budlnje. CAD flfomt udvklet f AutoCAD som stot set lle CAD og D pogmme undestøtte. Et gd benyttes tl t beskve en oveflde, hvo dt e plceet med ens ndbydes fstnd vetcl og hosontl etnng. Dette benyttes typsk tl beskvelse f teænmodelle (DTM), men h pobleme med t beskve pludselge ændnge teænet. Se også TIN. Mcosoft Dtbse Engne e en gts vnceet dtbse, bseet på Mcosoft SQL Seve, og som mn ft kn nkludee sne pogmme. Tngulted Iegul Netwok. På bggund f punktdt de beskve koten gvne punkte, og lnje de beskve skpe ændnge teænet (beklne), kn mn tngulee en oveflde de fx beskve lndskbets fom. De e dog de fæeste TIN lgotme de fx kn håndtee lodette flde (dvs. flee kote smme punkt). Dette kldes typsk ½D dt, hvo et punkt plnen kun kn hve én kote. Se også gd.

25 Tue otofoto en foundesøgelse Sde Lttetu [] Schckle, W., 998: Opetonl Pocedue fo Automtc Tue Othophoto Geneton. Intentonl Achves of Photogmmety nd Remote Sensng, (4): p.-. [] Thope, A., 998: Dgtl Othophotogphy n New Yok Cty. URISA 998 Annul Confeence Poceedngs, -. [] Amh, F., J. Jns og C. Res, 998: The Geneton of Tue Othophotos Usng D Buldng Model n Conjuncton Wth Conventonl DTM. IAPRS, Vol., p.6-. [4] Cstensen, J.M. et l., : Imge Anlyss, Vson nd Compute Gphcs,. udgve, IMM, Dnmks Teknske Unvestet. [] Fedeksen, P., Mæsk-Mølle, E, 984: Elementudjævnng. Den pvte ngenøfond ved Dnmks Teknske Højskole. [6] Jcob, O., 99: Dgtl Kotlægnng,. udgve, Insttut fo Plnlægnng, Dnmks Teknske Unvestet. [] Mkhl, E.M. et l.,: Intoducton to Moden Photogmmety, Wley nd Sons Inc. [8] InPho GmbH (): OthoMste Refeence Mnul, v..4.. [9] TeSold Ltd. (): TePhoto Use s Gude, v. 4.. [] Amh, F., Ecke, R., 99: Accute Mppng of Buldngs n Dgtl Othophotos. Poceedngs of th Intentonl Confeence of Ctogphy, Bcelon, [] Zhou, G., W. Schckle, et l., : Techncl Poblems of Deployng Stndd Inttve of Ntonl Cty Tue Othophoto Mppng. Snbon. [] Ru, J. Y., Chen, N. Y., og Chen, L. C., : Hdden Compenston nd Shdow Enhncement fo Tue Othophoto Geneton. Poceedngs of the st Asn Confeence on Remote Sensng, Vol.. p. -8. [] Tglv, J., : Comng n: Bette Othophotos, GeoInfomtcs, Septempe. [4] Wynn, I., : ISTAR s Stte-of-the-At Otho Imges, GeoInfomtcs, Novembe. [] Hskell, L., O Donnell, R.,: Stnd Stght Up: A Tue Otho Pespectve on Downtown Denve, AcUse, oktobe-decembe [6] Ru, J.Y., N.Y. Chen, nd L.C. Chen, : Tue Othophoto Geneton of Bult-Up Aes Usng Mult-Vew Imges. Photogmmetc engneeng nd Remote Sensng, 68(6): 8-88

26 Tue otofoto en foundesøgelse Sde 6 Blg A Oenteng ImgeStton Eksempel på ImgeStton Photo fl (flnvn: photo ) begn photo_pmetes 4 stp_d cme_nme: cme_oentton: mge_d: I:\O\Koebenhvn -_Nomlvnkel\-9-_4.jpg vew_geomety: nd type_of_io: AFFINE IO_pmetes: IO_num_tes: IO_num_DOF: IO_post_std_dev: 6.69 fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: fducl_msmt: EO_pmetes: footpnt: DRIVE_type: collnety mge_sze: 4 senso_d: - end photo_pmetes Eksempel på ImgeStton kme fl (flnvn: cme ) begn cme_pmetes focl_length:.9 ppc:.4. ppbs:..4 flm_fomt: fducl: fducl: fducl: fducl: fducl: fducl: fducl: -. fducl: lens_dstoton_flg: on nput_mode: lne dstoton_spcng: dstoton_delts: dstotons: o_equed: yes cme_type: fme med_type: flm focl_length_clbton_flg: off clbted_focl_length_stddev:. ppc_clbton_flg: off clbted_ppc_stddevs:.. self_clbton_enbled_pms: ntenn_offsets: end cme_pmetes

27

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul Kydspodut En ntoduton 5 Ksten Juul Bugsnvsnng Du sl se de fuldt optune mme fo t fnde defntone og sætnnge De e st punteet mme om esemple og evse Indhold Rmme Sde Defnton f ydspodut Esempel på ug f defntonen

Læs mere

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Atomare egentilstande

Atomare egentilstande Kvantemekank 4 Sde af 7 Atomae egentlstande Unde antagelsen om, at en atomkene e hvle fohold tl atomets massemdtpunkt, e Hamltonopeatoen fo et helumatom gvet ved ˆ e e e H = + + +, = + +, (4.) me me 0

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Introduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels

Introduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels Hvd e mtemtik? 2 Pojekte: Kpitel 5. Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktione Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktionene, og ln( ) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER MASKIN- LØSNINGER FRA He finde du voes sotiment f mskine OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER 94 Omsnøingsmskine og stækfilmsomviklee

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning Livstidssundhedsomkostninge fo ygee og ldig-ygee Ålige omkostninge ved pssiv ygning Konsulentppot udbejdet til Hjetefoeningen f pojektlede Susnne Reindhl Rsmussen, egotepeut, MPH DSI Institut fo Sundhedsvæsen,

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Overgangsbetingelser for D- og E-felt

Overgangsbetingelser for D- og E-felt lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Tage Rasmussen, Kresten Bundgaard, Maranne Dderksen, Bjarne Vogt, Vggo Kofod Fraværende: Ingen Dagsorden for mødet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K. Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Ny Langeland Kommunes redegørelse 2007 til brug for rammeaftalen på de sociale og socialpsykiatriske tilbud i Region Syddanmark

Ny Langeland Kommunes redegørelse 2007 til brug for rammeaftalen på de sociale og socialpsykiatriske tilbud i Region Syddanmark Ny Langeland Kommunes redegørelse 2007 Ny Langeland Kommunes redegørelse 2007 tl brug for rammeaftalen på de socale og socalpsykatrske tlbud Denne skabelon omfatter kommunens forventnnger tl forbrug af

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02 Wo Kng Papes Management Wokng Papes 2013-02 Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den fnanselle sekto en eplk Ken L. Bechmann, Andes Gosen and Johannes Raaballe Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2012. Og den gennemsntlge startløn er fortsat på den pæne sde af 31.500

Læs mere

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh Mary Rays Mary Rays Mary Ray Andrea McHugh Træn lydghed, aglty og trcks med klkkertrænng Ateler An Hachette Lvre UK Company Frst publshed n Great Brtan n 2009 by Hamlyn, a dvson of Octopus Publshng Group

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab Danmarks Sask Naonalregnskab 9. november 00 ædnng og sæsonkorrekon af de kvaralsvse naonalregnskab Med den revderede opgørelse af de kvaralsvse naonalregnskab 3. kvaral 007 6. januar 008 blev meoden l

Læs mere

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47 B4 - egnsab og Fnanseng -. del Efteå 005 Esben Kolnd Laustu (mal@ezben.d Afdelng fo Vsomhedsledelse Uge 47 Fnancal Maets and Cooate Stategy af Ma Gnblatt og Shedan Ttman (G&T e en sædeles god læebog, som

Læs mere

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser Najoqqutarsat / Klder: Henrk Rndom Rusmdlernes Bolog, udgvet af Sundhedsstyrelsen 2000. www.netstof.dk www.stofnfo.sst.dk www.sundhedsstyrelsen.dk www.sundhed.dk www.peqqk.gl Denne brochure gver dg oplysnnger

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

SAMMENHÆNG I LISBJERG PROCES - VIA EN STI LISBJERG

SAMMENHÆNG I LISBJERG PROCES - VIA EN STI LISBJERG MMENÆNG I LIBJEG CE - VI EN TI LIBJEG mkbene poce me bogee f Lbjeg, mebejee f kommne og eene f kekkolen UDGNGUNT GUEBEJDE MIN CE ET BÆEDYGTIGT LIBJEG TILBUD G FÆLLEMÆE Mngle lb l e vokne Enzym, noge e

Læs mere

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed

Læs mere

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej Trafkgruppen Agenda 1. Vurderng af forsøg Luknng af Sandmosevej 2. Vurderng af foreslået forsøg Luknng af Sandmosevej og Brunbakkevej 3. Forslag tl forbedret fremkommelghed for hele Aarhus Syd 4. Kortsgtet

Læs mere

Lofter monteret direkte på underlag

Lofter monteret direkte på underlag Lofter / Direkte montge på underlg Lofter monteret direkte på underlg Underlg for gipsbeklædning Underlget for gipsplderne kn være bjælkelg, trælægter, forsklling, stålprofiler S25/85, S45/85 eller Gyproc

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet VIRKELIG g VIRTUEL WWW g SOCIALE MEDIER I takt med at vi bge mee og mee tid på nettet smelte det sammen med nævæ og fysisk kontakt. Vi få hologamme d kan øe. De sociale medie blive alt afgøende fo fastholde

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Fra patient til patient: Tidlig prostatakræft hvad nu? Aktiv overvågning, operation, bestråling?

Fra patient til patient: Tidlig prostatakræft hvad nu? Aktiv overvågning, operation, bestråling? Fra patent tl patent: Tdlg prostatakræft hvad nu? Aktv overvågnng, operaton, bestrålng? Dette er en nformatonsbrochure du skal selv træffe valget Hvordan vælger du den rgtge behandlng? Du skal samle oplysnnger

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Skemaet integreres i brugerfladen i monitoreringen i Rambøll Results og udfyldes af projektlederen.

Skemaet integreres i brugerfladen i monitoreringen i Rambøll Results og udfyldes af projektlederen. FIDELITET AF HOUSING FIRST Her er en pdf-verson målng fdeltet og bostøttemetoderne CTI, ICM og ACT under programmet Udbredelse Frst på hjemløserådet. Med fdeltet menes, ndsatsen mplementeres og udføres

Læs mere

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014 Roskilde Kommune Teknik og Milø Rådhusbuen 000 Roskilde Jyllinge, den. uli 0 Kommenteing fa de 0 gundefoeninge nod fo v i Jyllinge Nodmak til Gontmiappoten Skitsepoekt fo lokale løsninge til siking af

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM BEMÆRK: Højttalerne (medfølger kke) kan være forskellge fra dem, der er vst denne betjenngsvejlednng. model RNV70 HI-FI-KOMPONENTSYSTEM Vedlgeholdelse og teknske data Læs betjenngsvejlednngen, før du tager

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dks ekske Uestet Sde f 6 sde Skftlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ysk Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": eselse edøes so e helhed. lle s skl egudes ed de det e get. lle elleegge

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

-:å' sef ssnsk* iq',. Å,lfssionsfarbund TRO TIL. W#fuMM. :i 1+'' f? {I åg \,/ ##e #å -*t *,å#*ååå

-:å' sef ssnsk* iq',. Å,lfssionsfarbund TRO TIL. W#fuMM. :i 1+'' f? {I åg \,/ ##e #å -*t *,å#*ååå -:å' sef ssnsk* iq',. Å,lfssionsfbund TRO TIL W#fuMM :i 1+'' f? {I åg \,/ ##e #å -*t *,å#*ååå Hvodn skl hæftes buges? Kommente Dette hæfte e et bejdshæfte. Det e udbejdet f en bejdsguppe i Det Dnske Missionsfobund

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,

Læs mere