Matematisk Formelsamling

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk Formelsamling"

Transkript

1 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eè Agd Pedese Mtemtis Fomelsmlig fo de eis- Ntuvideselige Bsisuddelse

2 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese FOOD Dee mtemtise fomelsmlig e udejdet til. ås igeiøstudeede på idustiigeiøliie på Alog Uivesitet, og de dæe omådee: - Diffeetilegig - Iteglegig - Lieæ lge - Komplese tl - Diffeetilligige - Smt de vigtigste og mest ugte divese fomle f gymsiet og ht Fomelsmlige e udejdet i f studeede i fusttio ove, t de ie fdtes oge ug fomelsmlig til mtemtiudevisige på Alog Uivesitet. Side e fomelsmlige løede med hjælp f studeede og udevisee tilpsset og foedet. Fomelsmlige ideholde på e ovesuelig og letfoståelig måde lt, hvd m ehøve til opgveegig og esme. Jic Schmidt Istitut fo Smfudsudvilig og Pllægig Alog Uivesitet 00

3 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese Fomelsmlig til mtemti på Bsisuddelse POENS- OG EKSPONENIALEGNING...4 POENSEGLE...4 EKSPONENIAL- OG LOGAIMEFUNKIONE...4 Sivemåde...4 Femsivigsfto...4 Ntulig logitmefutio l...4 itlslogitmefutio log...4 POENSFUNKIONE...5 Sivemåde...5 Espoete...5 KOODINASYSEME...6 POLÆKOODINAE...6 Omegig f polæe til etgulæe oodite...6 Omegig f etgulæe til polæe oodite...6 Ael f uvefgæset omåde i polæ oodite...6 umfg f uvefgæset omåde i polæ oodite...6 CYLINDEKOODINAE...6 Omegig f cylidise til etgulæe oodite...6 Omegig f etgulæe til cylidise oodite...6 umitegle f et omåde i cylidise oodite...7 SFÆISKE KOODINAE...7 Smmehæg mellem etgulæe- og sfæise oodite...7 Itegtio i sfæise oodite...7 IGONOMEI...8 VILKÅLIG EKAN...8 Cosiuseltio...8 Siuseltio...8 IGONOMEISKE SAMMENHÆNGE...8 Additiosfomlee...8 igoometise futioe...8 SPECIELLE FUNKIONSVÆDIE...9 DIFFEENIALEGNING...0 EGNEEGLE...0 Diffeetieig f futioe med e viel...0 Diffeetieig f smmestte futioe med flee vile (Kædeegle)...0 Afledte futioe...0 KIISKE PUNKE OG SADDELPUNK...0 GADIEN... Avedelse f gdiet... De etigsfledede... LINEÆ APPOKSIMAION... Apposimtio fo tilvæst f futio f med e viel... Apposimtio fo tilvæst f futio f med to vile og y... ANGENPLAN... getpl ved ug f ædeegle... getpl ved ug f gdiet... INEGALEGNING... EGNEEGLE... Itegeigsfomle... igoometis itegtio... Stmfutioe... MASSEMIDPUNK...

4 Msse f plde og legeme... Mssemidtput...4 LINEÆ ALGEBA...5 VEKOE...5 Vetopodut...5 MAICE...5 De tspoeede mti...5 Idetitetsmtice...5 Mtidditio...5 Mti scl multiplitio...5 Mtipodut...5 Ivesmti...6 DEEMINAN...6 Udegig f detemite...6 egeegle fo detemite...7 æe- og søjleopetioe på detemite...7 LIGNINGSSYSEME...7 Fuldstædig løsig til et ihomoget ligigssystem...7 Løsig f ligigssysteme med Guss-Jod metode...8 Løsig f ligigssysteme med detemitmetode...8 Mtiligig...8 UM...8 Søjleum...8 æeum...8 Nulummet...8 Udeum...8 Dimesio f et udeum...9 g...9 Bsis fo et um...9 Bse fo um tilyttet e mti...9 Udvidelse f e sis fo et um...9 LINEÆ ANSFOMAION...0 Stdd mti epæsettio fo lieæ tsfomtio...0 Smmest futio...0 Ives futio...0 Stdd mti epæsettio ud f edte futiosvædie f sisvetoe...0 VEKOUM... Defiitio... Lieæ ufhægighed... Sp... Udeum... Bsis fo et vetoum... Odet sis... Kooditveto... Bsissift... Lieæe tsfomtioe... KOMPLEKSE AL...4 ELEMENÆE EGNEEGLE...4 Sivemåde...4 egeegle...4 Additio og suttio...4 Multiplitio og divisio...5 Kojugeig...5 POLYNOMIE...5 Adegdsligige...5 Biome ligige...5 Polyomie f højee gd...5 EKSPONENIALFUNKIONE...6 DIFFEENIALLIGNINGE...7 YPE AF DIFFEENIALLIGNINGE...7 Homogee diffeetilligige...7

5 Ihomogee diffeetilligige...7 Lieæe diffeetilligige...7 Lieæe diffeetilligige f te ode med ostte oefficiete...7 LØSNINGE IL DIFFEENIALLIGNINGE GENEEL...7 Esistes og etydighed...7 Fuldstædig løsig til e diffeetilligig...7 Fuldstædig løsig til e ihomoge diffeetilligig...8 Supepositiospicippet...8 etigsliie til gæt f ptiulæ løsig til e ihomoge ligig...8 LØSNINGE IL. ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...8 Homoge. odes diffeetilligig...8 Ihomoge. odes diffeetilligig...8 LØSNINGE IL HOMOGENE. ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...9 Kteligig...9 Løsig til ligig med eelle ødde i teligige...9 Løsig til ligig med omplese ødde i teligige...9 Løsig til ligig med eel doeltod i teligige...9 LØSNINGE IL HOMOGENE N E ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...9 Kteligig...9 Løsig til ligig hvis e od m gge i teligige...0 Løsig til homoge ligig hvis α±βi C e od m gge i teligige...0

6 Potes- og espoetilegig Potesegle s s s s s ( ) s ( ) 0 s s Espoetil- og logitmefutioe Sivemåde Espoetielt vosede elle ftgede futioe f med femsivigsfto elle væstte, sives på fome: f ( ) f ( ) ( ) Femsivigsfto Hves de to pute (, y ) og (, y ) på e et liie i et eeltlogitmis ooditsystem, så e futioe espoetiel, og femsivigsftoe e: y y Ntulig logitmefutio l y e l y l e l l l ( ) l l l l l ( ) itlslogitmefutio log y 0 log y log 0 log log log ( ) 4

7 log log log log log ( ) Potesfutioe Sivemåde Potesfutioe med espoet sives på fome: f ( ) De gælde t: y y Espoete Hves de to pute (, y ) og (, y ) på e e et liie i et doeltlogitmis ooditsystem, så e futioe e potesfutio, og espoete e: log y log y log log 5

8 Kooditsysteme Polæoodite Polæ oodite sives på fome (, θ), hvo e modulus og θ e gumetet. Omegig f polæe til etgulæe oodite cos θ y si θ Omegig f etgulæe til polæe oodite y Ael f uvefgæset omåde i polæ oodite f ( θ) Aelet f θ α til θ β e: β α ( f ( θ) ) A dθ umfg f uvefgæset omåde i polæ oodite α θ β og ide ( θ) yde ( θ) ( cos θ, θ) z f si β α yde ( θ) ( θ) ( z ) ddθ f ( y) V, ide Hvis ( cos θ, si θ) A β da f så give doeltiteglet elet f : α yde ide ( θ) () ( θ) ddθ da Cylideoodite Cylideoodite sives på fome (, θ, z) Omegig f cylidise til etgulæe oodite cos θ y si θ z z Omegig f etgulæe til cylidise oodite y 6

9 t θ y umitegle f et omåde i cylidise oodite Hvis sives i cylideoodite som: θ, z α θ β, θ θ, z, θ z z, θ så e: {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, β ( θ) (, θ) (, y, z) f ( cos θ, si θ, z) f α ( θ) z z (, θ) dz d dθ Sfæise oodite Sfæise oodite sives på fome ( ρ, φ, θ) Smmehæg mellem etgulæe- og sfæise oodite ρ y z ρsi φ cos θ y ρsi φsi θ z ρ cos φ Itegtio i sfæise oodite (, y z) f ( ρ si φ cos θ, ρ si φ si θ, ρ cos φ) f, θ θ φ ρ φ ρ ( φ, θ) f ( φ, θ) U ( ρsi φcos θ, ρsi φsi θ, ρ cos φ) ρ ρ siφ dρ dφ dθ si φ dρ dφ dθ 7

10 igoometi Vilålig tet Cosiuseltio Gælde fo vilålig tet med sidee, og c og tilhøede vile A, B og C. c cosc Siuseltio Gælde fo vilålig tet med sidee, og c og tilhøede vile A, B og C. c si A si B si C igoometise smmehæge Additiosfomlee cos cos si si ( s t) cos( s) cos( t) si( s) si( t) ( s t) cos( s) cos( t) si( s) si( t) ( s t) si( s) cos( t) cos( s) si( t) ( s t) si( s) cos( t) cos( s) si( t) igoometise futioe ( π) cos ( π) si ( ) cos ( ) si ( π ) cos ( π ) si cos si cos si cos si π cos si π si cos si cos si ( cos ) cos ( cos ) cos cos si si si cos cos 4cos cos si si 4si 8

11 Specielle futiosvædie gde 0º 0º 45º 60º 90º ditl 0 π 6 π 4 π π si 0 cos 0 t 0 π ditl gdtl gdtl ditl π - 9

12 Diffeetilegig egeegle Diffeetieig f futioe med e viel ( f ± g)( ' ) f '( ) ± g ( ) ( f g)( ' ) f '( ) g( ) g' ( ) f ( ) f ' f '( ( )( ) ) f g ' ( ) f '( ) g( ) g' ( ) f ( ) ( g( ) ) ( f o g) ' ( ) f ' ( g( ) ) g' ( ) Diffeetieig f smmestte futioe med flee vile (Kædeegle) ( ), e e futio f vile. ( t), g ( t),..., g ( t) ( g( t), g ( t),..., g ( t) ) f,..., g e futioe f viel. f diffeetiees på følgede måde: df f g( t), g( t),..., g( t) g'( t)... f g( t), g( t),..., g( t) g'( dt ( ) ( ) ) t Afledte futioe Futio f() d Afledt futio f ( ) Futio f() d Afledt futio f ( ) l e e d d cos si e si cos e t t cos l si cos t Kitise pute og sddelput De e itis put i ( y) A f, B f ( ) (, ) f ( ) y y, f f, å ete 0 elle å ie egge y f og f y esistee. 0

13 ( ) C f yy, Δ AC B Hvis > 0 og > 0 Hvis > 0 og < 0 Hvis < 0 Δ A så h f lolt mi i (, ) Δ A så h f lolt m i (, ) Δ så h f sddelput i (, ) Gdiet Gdiet f (,, c) f f (, y, z) i P (,, c) : Gdiete pege i de etig, hvo futioe vose hutigst. f (,, c) f (,, c), f (,, c), f (, c) ( ) y z, Avedelse f gdiet Lieæ pposimtio etigsfledede getpl til flde, og tget til uve De etigsfledede De etigsfledede D u f (P) f f i P give med hvile te f ædes i etige u, hvo vetoe u h lægde. f ( P) f ( P) u D u Lieæ pposimtio Apposimtio fo tilvæst f futio f med e viel ilvæst i f ldes Δ f f ( Δ) f ( ) f ( Δ) f ( ) df f ( ) Δ Apposimtio fo tilvæst f futio f med to vile og y ilvæst i f ldes Δ f f ( Δ, y Δy) f (, y) f ( Δ, y Δy) f (, y) df f (, y) Δ f (, y) Δy elle f Δ, y Δy f, y df f, y Δ, Δy ( ) ( ) ( ) ( ) y getpl getpl ved ug f ædeegle E flde i ummet e givet ved f (, y) z getple α til flde i putet (,, f (, ) ) α : f (, ) ( ) f y (, )( y ) ( z f (, ) ) 0 Nomlvetoe til flde i putet (,, f (, ) ) e givet ved: e givet ved:

14 ( f (, ), f (, ), ) y getpl ved ug f gdiet E flde i ummet e givet ved f (, y, z) 0 getple α til flde i putet (, c) α : f (,, c) ( ( ), ( y ), ( z c) ) 0, e givet ved:

15 Iteglegig egeegle Itegeigsfomle f ( ) d F( ) ( ) g( ) d F( ) g( ) F( ) g' ( f ( g ) ) g' ( ) d f ( t) dt, hvo t f ) d ( g( ) igoometis itegtio u e e viel og e e ostt. Hvis iteglet ideholde Så sustitue med Og ug t u θ u t θ u sec θ u si si θ cos θ u t θ sec θ u sec θ t θ Stmfutioe Futio f() Stmfutio f ( ) d Futio f() Stmfutio f ( ) l l cos si e e si cos e t e l cos t t l cos si cos si l cos ( ) 4 si 4 si ( cos ) si d Mssemidtput Msse f plde og legeme Msse f et plomåde med tyelse og desitet ρ (, y) i et givet put (, y) e: m ρ(, y ) da

16 Msse f et legeme med desitet ρ (, y, z) i et givet put ( y, z) m ρ(, y, z ) dv, e: Mssemidtput Mssemidtputet i et plomåde med msse m og desitet ρ (, y) i et givet put (, y) e: ρ(, y) da m y y ρ(, y) da m Mssemidtputet i et legeme med msse m og desitet ρ (, y, z) i et givet put ( y, z) ρ(, y, z) dv m y y ρ(, y, z) dv m z z ρ(, y, z) dv m, e: 4

17 5 Lieæ lge Vetoe Vetopodut ( ) ( ),, og,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) c c v si Mtice E mti sives på fome m m A L M O M L De tspoeede mti A e de tspoeede mti f A. A femomme ved t spejle mtice A i digole mellem og m Idetitetsmtice Idetitetsmtice I e mtice med -tlle på lle ii og ulle på este f ij idetitetsmti I Idetitetsmtice e ltid e mti. Mtidditio A og B e m mtice [ ] ij ij B A Mti scl multiplitio [ ] ij A Mtipodut A e e m mti

18 B e e s mti AB e e m s mti Mtipodutet fås ved t tge slpodutet f æe i i A og søjle j i B, og plcee dette på plds ij i AB. egeegle fo mtipodut AB BA (Dette gælde geeelt, me ie i lle tilfælde) ( AB ) C A( BC) ( A ) B A( B) ( AB) IA A A ( B C) AB AC A B C AC ( ) BC ( A ) A ( A B) A B ( AB ) B A Ivesmti A e e mti Hvis følgede udty e gældede så e A ivetiel: AC CA I C e A s ivese A det( A ) 0 g A ( ) A fides ved elemetæe æeopetioe så [ A I ] ~ [ I A ] AA A A I AB B A ( ) Detemit Detemite sives på fome ( A) det M L O L A e e mti Hvis det( A ) 0 så e A ivetiel Hvis to æe i e mti A e es, så e det(a)0 M Udegig f detemite det ( A ) ' '... ' {,,..., } ( A ) s' s s' s... s ' s s {,,..., } det det i j hvo coftoe ' ( ) det( A ) ij ij udvilig efte æe udvilig efte søjle s 6

19 A ij e mtice, de e femommet ved t fjee æe i og søjle j i A. Hvis de ove elle ude digole mellem og u stå ulle e: det A L ( ) egeegle fo detemite det ( AB) det( A) det( B) ( A ) det( A) det c det A sve til t gge lle led i é æe elle søjle med c ( ) æe- og søjleopetioe på detemite æeopetioe på æe i og j h følgede osevese: æeopetio Koseves det( A) i j c c det( A) i i i c det ( A) i j ilsvede gælde det smme fo søjleopetioe S på søjle i og j. Ligigssysteme A e et ihomoget ligigssystem A 0 e et homoget ligigssystem Et ligigssystem A e: - Kosistet, hvis det h e elle flee løsige. - Iosistet, hvis det ige løsige h, dvs. det ideholde e æe som edefo: c 0 Et ligigssystem A sives på fome: A Fuldstædig løsig til et ihomoget ligigssystem Alle løsige til A e givet ved p h, hvo p e e ptiulæ løsig og h e e løsig til det homogee ligigssystem A 0 7

20 Løsig f ligigssysteme med Guss-Jod metode A Ligigssystemet educees med æeopetioe, idtil de e pivot elle ul-æe i lle mtices æe. Heæst fides i med glæs sustitutio. æeopetioe: i j c i i i i c j Løsig f ligigssysteme med detemitmetode A A e e mti og [,,..., ] det( Bi ) i det( A) hvo B i e de mti de fås ved t esttte søjle i i A med Mtiligig Mtiligige X A B Mtiligige X BA AX B, hvo X e de uedte mti, løses ved: XA B, hvo X e de uedte mti, løses ved: um Søjleum Søjleummet til e m mti A e: sp ( s, s,..., s ) hvo s, s,..., s e søjlee i A æeum æeummet til e m mti A e: sp (,,..., m ) hvo,,..., m e æee i A Nulummet Nulummet N f e mti e defieet ved: N A 0 { } Udeum Hvis e delmægde W f e luet ude åde dditio og multiplitio, så e W et udeum f W luet ude dditio u, v W u v W W luet ude slmultiplitio v W, v W 8

21 Hvis w,,..., et udeum f, w,..., w så e W sp( w w w ) Dimesio f et udeum ( W ) tl ufhægige vetoe iw dim g æeg Dimesioe f æeummet Søjleg Dimesioe f søjleummet De gælde t g Søjleg æeg g Atl pivot'e i de educeede mti gligige: g A ullity A ( ) ( ) m mti og ( A) hvo A e e ullity e tllet f fie vile i løsige til 0 A Bsis fo et um w, w,..., w og W e et udeum f. De gælde så t { w, w,..., w } e e sis fo W, hvis ehve veto i W etydigt sives: sp( w, w,..., w ) dvs. w, w,..., w, hvilet etyde t w, w,..., w e lieæt ufhægige. E sis fo et udeum W fides ved:. Opstil e mti A f søjlevetoee w j. A educees til educeet æefom H. Alle w j, svede til hvo de e pivot i søjle j i H, udgø e sis fo W Hus det e ie søjlevetoee f H me f A Bse fo um tilyttet e mti A e e mti med educeet æefom H Bsis fo æeummet udgøes f de æe 0 i H Bsis fo søjleummet udgøes f de søjle f A, hvo de tilsvede e pivot i H Bsis fo ulummet udgøes f vetoee femommet ved løsig f 0 A Udvidelse f e sis fo et um Et um h sisvetoee,,.., m og sl udvides til. De opstilles mtice: L m e e L e, hvo e, e,.., e e ehedsvetoee i Mtice educees til educeet æefom, og de tilsvede søjle, hvoi de e pivot, i de opidelige mti udgø e sis fo. 9

22 0 Lieæ tsfomtio E futio m : e e lieæ tsfomtio hvis: ( ) ( ) ( ) v u v u Bevig f dditio ( ) ( ) u u Bevig f slmultiplitio fo lle v u og i og lle Hvis e fildig sives på fome: ( ) A e de luet ude dditio og slmultiplitio og e defo e lieæ tsfomtio. Stdd mti epæsettio fo lieæ tsfomtio m : e e lieæ tsfomtio og A e e m mti ( ) A, hvo stdd mti epæsettioe A e: ( ) ( ) ( ) e e e A L Smmest futio m : med stdd mti epæsettio A m : med stdd mti epæsettio B ( )( ) ( ) ( ) ( ) AB o Ives futio h e ives hvis og u hvis A h e ives: ( ) A Stdd mti epæsettio ud f edte futiosvædie f sisvetoe m : Følgede futiosvædie e edte: ( ) ( ) ( ) v v v M hvo,,.., e vetoe i og v v v,,.., e vetoe i m Ehedsvetoee i fides som lieomitio f,,.., og de eyttes t lieæe tsfomtioe e luede ude slmultiplitio og dditio. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t e s s s s s s e e M

23 Slee, s,..., t fides ved: I I t M t L ~ M M L s s Vetoum Defiitio Et vetoum e e mægde V med: Additio: Fo u, v V fides u v V Slmultiplitio: Fo og v V fides v V som opfylde: A ( u v ) w u ( v w) A u v v u A De fides e veto 0 V som opfylde 0 v v A4 Fo hve v V fides v V som opfylde v ( v ) 0 S ( v w) v w S ( s) v v sw S ( sv ) ( s)v S4 v v Fo lle u, v, w V og, s Desude sl de gælde: 0 v ( ) v v Lieæ ufhægighed X e e mægde f vetoe i V. X e lieæt ufhægig hvis,..., 0... fo,,..., X og,,..., 0 Sp X e e mægde f vetoe i V sp ( X ) mægde f vetoe i V de sives som,...,, hvo {,,..., } e e edelig delmægde f X og,,...,,,..., m så e:,..., m m,..., m Hvis X e edelig: X { } sp ( ) { } sp(x) e et udeum f V, de ldes udeummet udspædt f X.

24 Udeum Et udeum W f V e e delmægde W V de opfylde: W Ø v, w W v w W luet ude dditio v W v W fo luet ude slmultiplitio Et udeum f et vetoum e selv et vetoum. Bsis fo et vetoum E mægde B ldes sis fo V hvis sp B og B e lieæt ufhægig ( ) V Atl vetoe e det smme fo lle se fo V, og dette tl ldes dimesioe. V 0 e de tomme mægde sis fo V og V h dimesio 0. Hvis { } Odet sis E odet sis B ( ),,..., fo et vetoum V estå f dim(v) ufhægige vetoe i e estemt æefølge. Mtice M B L ldes sismtice. Kooditveto il ehve veto v i vetoummet V med sismti ooditveto v B M således t v M v... B B M B e de yttet e etydig Kooditvetoe v B til e veto v i vetoummet V med odet sis B fides ved: M v ~ I, hvo I e idetitetsmtice. [ ] [ ] B v B Bsissift De hves et vetoum med to odede se B og B og tilhøede sismtice M B og M B'. Hvis v B e ooditvetoe til e veto v mht. M B fides ooditvetoe v B' fo v mht. M B' ved v ' C, ' v hvo C ' ldes ooditsiftemtice f B til B. B B B B C B,B' fides ved: C B, B' B' B B,B M M elle [ M M ] [ I C ] B ' B ~ B, B '

25 Lieæe tsfomtioe V og W e vetoum. E futio : V W ldes e lieæ tsfomtio hvis: ( u v ) ( u) ( v ) ( u) ( u) Fo lle u, v V og A Alle lieæe tsfomtioe sives på fome ( ) Billedmægde/Billedummet (ge) f e: ( V ) { ( v ) v V} som e et udeum f W. V v v V Søjleummet f A ( ) ( ) { } Kee f e: e( ) [] 0 { ( ) 0} v V v som e et udeum f V. e 0 v V v 0 Nulummet f A { } ( ) [] ( ) e() e løsigsmægde til de homogee lieæe ligig ( ) 0 Hvis de ihomogee ligig ( ) løsig e ( ) p h e ptiulæ løsig p, så e de fuldstædige

26 Komplese tl Mægde f omplese tl sives C i C hvo, og i Elemetæe egeegle Sivemåde e et omplest tl C og sives: ( α βi) i α e eldele f e ( ) α β e imgiædele f Im ( ) β sives på polæ fom: θ : Numeis vædi elle Modulus θ : Agumet/hovedgumet Smmehæg mellem polæ og etgulæ fom e: α β t θ α α cos θ β si θ β egeegle,, c C ( c) ( ) c ( c) c c c c c fo 0 Additio og suttio α β i og α β i ( α α ) ( β β )i ( α α ) ( β β )i 4

27 Multiplitio og divisio θ sφ s θ φ ( α α β β ) ( α β β α )i s s θφ θ φ Kojugeig α iβ e et omples tl i e det ojugeede omplese tl Polyomie Adegdsligige Løsigee til z e givet ved: α α ( ) z ± i sig β hvis β 0 hvo sig ( β) hvis β < 0 ilsvede e løsige på polæ fom, hvo z, θ z θπ Løsigee til z z c 0 e givet ved: ± w z hvo w D 4c z θ Biome ligige Biome ligige e ligige på fome [ ] θ p z π z θ π θ cos p i si p hvo p 0,,,..., z π θ Polyomie f højee gd i C og, i P ( z) z z z

28 ( z) ( z )( z )... ( z ) hvo {,,..., } P e ødde. Hvis z e od i polyomiet, så e z også od Espoetilfutioe, y og z, w C e iy e z w z e e ( cos y isi y) e w 6

29 Diffeetilligige ype f diffeetilligige Homogee diffeetilligige Diffeetilligige siges t væe homogee, å futioe f og des fledede L( ) e 0, dvs. L ( ) 0 Ihomogee diffeetilligige Diffeetilligige siges t væe ihomogee, å futioe f og des fledede L ( ) e e futio q () t, dvs. L q(t ( ) ) Lieæe diffeetilligige d d... dt dt L: V Wetege fildige L( f ) dt E fildig siges så t væe lieæ hvis L ( c c ) cl( ) cl( ) fo lle V, V og lle ostte d 0 Lieæe diffeetilligige f te ode med ostte oefficiete E diffeetilligigs ode e fgjot f højest fledede f. At oefficietee e ostte etyde t,,..., 0 e ostte. d dt d d... 0 q( ) dt t dt Løsige til diffeetilligige geeelt Esistes og etydighed Fo ethvet tlsæt ( t 0, 0, v, v,..., v ) fides de etop ee løsig ϕ() t til d d d diffeetilligige... 0 q( t) fo hvile dt dt dt ϕ t og ϕ t 0 v hvo,,..., ( 0 ) 0 ( ) ( ) Fuldstædig løsig til e diffeetilligig Fo ehve lieæ diffeetilligig ( ) L q gælde, t hvis,,..., e løsige til de homogee ligig, så e c c... c også løsig til L ( ) 0 7

30 Fuldstædig løsig til e ihomoge diffeetilligig Smtlige løsige til de ihomogee ligig L ( ) q fås ved t ddee smtlige løsige til de homogee ligig med e ptiulæ løsig til de ihomogee ligig. Supepositiospicippet Hvis i e løsige til L ( ) qi fo i,...,, d e... løsig til ligige: L ( ) q q... q hvo i e e ostt. etigsliie til gæt f ptiulæ løsig til e ihomoge ligig d d d... 0 q( t) dt dt dt t Hvis q () t e så gæt på de ptiulæe løsig t Ae, hvo A e e uedt ostt som fides ved idsættelse i diffeetilligige. () t Hvis q() t cos( t) elle q() t si( t) () t Acos ( t) B si( t) så gæt på de ptiulæe løsig, hvo A og B e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. ct Hvis q() t e cos( t) elle q() t e ct si( t) ct ct ( t) Ae cos ( t) Be si( t) så gæt på de ptiulæe løsig, hvo A og B e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. Hvis q() t et polyomium f te gd så gæt på de ptiulæe løsig () t t t... t 0, hvo,,...,, 0 e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. Løsige til. odes diffeetilligige Homoge. odes diffeetilligig d p( t) 0 dt De fuldstædige løsig e givet ved: p() t dt t ce () Ihomoge. odes diffeetilligig d p( t) q( t) dt De fuldstædige løsig e givet ved: () () () p t dt p t dt t e () e q t dt c 8

31 Løsige til homogee. odes diffeetilligige d d 0 0 dt dt Dette omftte løsig f homogee. odes diffeetilligige med ostte oefficiete. Kteligig Kteligige til diffeetilligige: d d 0 0 dt dt e givet ved: 0 0 Løsig til ligig med eelle ødde i teligige og e de eelle ødde til teligige. De fuldstædige løsig e så: t t () t c e c e Løsig til ligig med omplese ødde i teligige α ± βi e de eelle ødde til teligige. De fuldstædige løsig e så: αt αt ( t) c e ( βt) c e si( βt) cos Løsig til ligig med eel doeltod i teligige e de eelle doeltod til teligige. De fuldstædige løsig e så: t t c e c te t () Løsige til homogee te odes diffeetilligige d d d dt dt dt De fuldstædige løsig til e homoge diffeetilligig f te ode estå f futioe, dvs. t c f c f... c f () Kteligig Kteligige til diffeetilligige: d d d dt dt dt e givet ved:

32 Løsig til ligig hvis e od m gge i teligige De fås m futioe: t t t m t c e, cte, ct e..., cmt e Løsig til homoge ligig hvis α±βi C e od m gge i teligige De fås m futioe: c e α t cos βt c e α t si βt c M c ( ), ( ), te α t cos( βt), c te α t cos( βt) m 4, m αt m αt t e cos( βt), c t e si( βt) m 0

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee emk Fomelmlg fo og 4 emee Id Clgeøe Alog Uee Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee FORORD Dee memke fomelmlg e opdelg dejde l å geødeede

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul Kydspodut En ntoduton 5 Ksten Juul Bugsnvsnng Du sl se de fuldt optune mme fo t fnde defntone og sætnnge De e st punteet mme om esemple og evse Indhold Rmme Sde Defnton f ydspodut Esempel på ug f defntonen

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Alle eksisterende ejendomme på følgende matrikler skal separatkloakeres Arninge 4c Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4e Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4f Ore By,

Læs mere

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 LOKALPLAN NR. 8 Fanø Kommune Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 2 Lokalplan 8 Fanø Kommune Anmelder: Advokat Chr. V. Thuesen Torvegade 28 6700 Esbjerg J.nr. 260 ct/aj

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K. Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

3. Hold ALT nede, og tryk på F1 (så snart du har gjort det, behøver du ikke længere holde ALT nede).

3. Hold ALT nede, og tryk på F1 (så snart du har gjort det, behøver du ikke længere holde ALT nede). Der er 3 måder at indsætte græske symboler eller andre symboler ind i Notes. Metode 1) For at indtaste græske symboler i Lotus Notes har du følgende muligheder : Hold ALT nede, og tryk på F1 to gange lige

Læs mere

Ny bevaringsliste 14. april 2011

Ny bevaringsliste 14. april 2011 VEJNAVN HUSNR MATRIKELID EJENDOMSNR ABELIG Omr_bev Dronningvej 3 3v 0010164 Dronningvej 3 A Dronningvej 4A 3o 0010172 Dronningvej 4 A og B A Dronningvej 5 3x 0010180 Dronningvej 5 A Dronningvej 6 3p 0010199

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører landinspektøren s meddelelsesblad udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings medlemmer redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører indhold: L a n d in s p e k t ø r lo v e n o g M

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Udskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion

Udskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion STATISTIK Sriftlig evluerig, 3. semester, torsdg de. ur l. 9.-3.. Alle hælpemidler er tilldt. Opgveløsige forses med v og CPR-r. OPGAVE Udsiftig f et tg tges t vre -6 dge. Dee tidsperiode tges t være fstlgt

Læs mere

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag:

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag: 000p bb cg u F C D L z C ay ac bt 0af ae bi Nav: Tøreha resse: Søgae tal bolig: olig størrelse: - m 0ao s 0am bq 0p Nav: øgeha resse: Tøre -J tal bolig: 0 olig størrelse: m bl bx H y G br 000ak 0l bk bv

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED. Stadsskoleinspektør Aage Sørensen

ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED. Stadsskoleinspektør Aage Sørensen ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED Stadsskoleinspektør Aage Sørensen S k a g e n s k o le k o m m is s io n : (d.» / s 1956) P r o v s t W a a g e B e c k, f o r m a n d F r u

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Årsberetning SK A G E N SK O L E. Skoleåret 1951-52. skolein spektør A age Sørensen FRA V ED

Årsberetning SK A G E N SK O L E. Skoleåret 1951-52. skolein spektør A age Sørensen FRA V ED Årsberetning i FRA SK A G E N SK O L E Skoleåret 1951-52 V ED skolein spektør A age Sørensen Årsberetning FRA SK A G E N SK O L E Skoleåret 1951-52 V ED skolein spektør A age Sørensen Skagen skolekom m

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Beregningsgrundlag. Forsikringsselskab Alm. Brand Liv og Pension A/S. Beregningsgrundlag Side 1 af 53

Beregningsgrundlag. Forsikringsselskab Alm. Brand Liv og Pension A/S. Beregningsgrundlag Side 1 af 53 Beegigsgulg Fosikigsselskb Alm. B Liv og Pesio A/S Beegigsgulg Sie f 53 Ihol.0.0. Risikoelemete... 3.0.0. Rete... 6 3.0.0. Nettogulg... 7 4.0.0. Buttogulg... 8 5.0.0. Nettopssive fo etlivsfosikige... 0

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41 BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET Byplanvedtægt nr. 41 Byplanvedtægt nr. 41 - for Nødebo-området I medfør af byplanloven (lovbekendtgørelse nr. 63 af 20. februar 1970) fastsættes følgende bestemmelser for

Læs mere

Kommunal medfinansiering af Sundhedsområdet i 2007-2009. Benchmarking af kommunerne i Region Hovedstaden

Kommunal medfinansiering af Sundhedsområdet i 2007-2009. Benchmarking af kommunerne i Region Hovedstaden Kmml mfiii f Småt i 27- cmi f mm i i t f jt f E m mml mfiii å måt i i t Mj 21 Si 1 f 7 Ilftl...4 Ljli fl...4 Kmml mfiii...7 i 1.1 Smmlii mllm i i Dm: Kmml mfiii i lt...7 i 1.2 Smmlii mllm mm i i t: Kmml

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune)

Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune) Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune) er d. 03.06.2013 blevet delvis aflyst. Det aflyste område er i stedet omfattet af: Lokalplan nr. 274 For et område til sommerhusformål ved Klevevej, Lodbjerg

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

BJB 06012-0018 5. T e l: 050-35 4 0 61 - E-m a il: in fo @ n ie u w la n d.b e - W e b s it e : - Fa x :

BJB 06012-0018 5. T e l: 050-35 4 0 61 - E-m a il: in fo @ n ie u w la n d.b e - W e b s it e : - Fa x : D a t a b a n k m r in g R a p p o r t M A a n g e m a a k t o p 17 /09/2007 o m 17 : 4 3 u u r I d e n t if ic a t ie v a n d e m S e c t o r BJB V o lg n r. 06012-0018 5 V o o r z ie n in g N ie u w

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO:

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO: side 1 ================================================================================ DOKUMENTAKTUELHENT ================================================================================ DOKUMENT: Dato/løbenummer:

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Mennesket og dets engel

Mennesket og dets engel [li mg kl. 8.30] Mskt og ts gl E btgtig, isæ bygg på Ruolf Stis fog 9. og 16. oktob 1918: Hv uvik gl i vot stllgm? Hvols fi jg Kistus? Fogshol: Osk Bogm Hs. Osk Bogm Hs fligsl, mitus, Ahus Uivsitt. Dto

Læs mere

Byplanvedtægt nr. 2. Tillæg 1. For en del af Niverød by. Vedtagelsesdato: 18. juni 1968. Teknik & Miljø. Delvis ophævet af Lokalplan nr.

Byplanvedtægt nr. 2. Tillæg 1. For en del af Niverød by. Vedtagelsesdato: 18. juni 1968. Teknik & Miljø. Delvis ophævet af Lokalplan nr. Byplanvedtægt nr. 2 For en del af Niverød by Tillæg 1 Teknik & Miljø Vedtagelsesdato: 18. juni 1968 Delvis ophævet af Lokalplan nr. 40 KARLEBO KOMMUNE TILLÆG NR. 1 TIL PARTIEL BYPLANVEDTÆGT NR. 2 FOR

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

- - - - - - L ørdag d e n 1 1. a p r i l k l. 9.0 0 i E ge l u n d h a lle n.

- - - - - - L ørdag d e n 1 1. a p r i l k l. 9.0 0 i E ge l u n d h a lle n. Beder-Malling BMI K l u b m es t e rs k abe r for u n gd o m 2 0 1 5 V e l k o m m e n t i l k l u b m es t e rs k abe r i ba d m i n t o n. S æ so n e n 2 0 1 4-2 0 1 5 - - - - - - L ørdag d e n 1 1.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Overgangsbetingelser for D- og E-felt

Overgangsbetingelser for D- og E-felt lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

Studiepartitur - A Tempo

Studiepartitur - A Tempo Himle ortæller om Guds herlighed ørge Grave Nielse 99 Sl 9 v - v -0 q = ca 9 ( gag) (ved DC) hæ - ders værk; c c c c S S A A ( gag) (ved DC) cresc (ved DC) Him - le or-tæl-ler om Guds Ó Kao: cresc (ved

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

for C-niveau i stx udgave 2

for C-niveau i stx udgave 2 fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning... 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee

Læs mere

Dedikeret til Gentofte og Jægersborg Kirkers Børne- og Pigekor. Phillip Faber. Halfdan-suite. For børnekor (2 lige stemmer) med klaverakkompagnement

Dedikeret til Gentofte og Jægersborg Kirkers Børne- og Pigekor. Phillip Faber. Halfdan-suite. For børnekor (2 lige stemmer) med klaverakkompagnement edikeret til entofte Jægersborg Kirkers Børne Pigekor Philli aber Halfdansuite or børnekor (2 lige stemmer) med klaverakkoagnement til tekster af Halfdan Rasmussen Teksten er benyttet med tilladelse af

Læs mere

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER MASKIN- LØSNINGER FRA He finde du voes sotiment f mskine OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER 94 Omsnøingsmskine og stækfilmsomviklee

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

LOKALPLAN NR. 069. for den eksisterende sommerhusbebyggelse ved Mossø - Mossøbrå

LOKALPLAN NR. 069. for den eksisterende sommerhusbebyggelse ved Mossø - Mossøbrå LOKALPLAN NR. 069 for den eksisterende sommerhusbebyggelse ved Mossø - Mossøbrå Skanderborg Kommune 2000 INDHOLDSFORTEGNELSE LOKALPLAN NR. 069 REDEGØRELSE Lokalplanområdet... l Lokalplanens baggrund og

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere