Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven"

Transkript

1 Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven er at opstille en 1-D model for grundvandsstrømning i et område ved Vestskoven (København), at bestemme grundvandshydrauliske parametre ved at fitte model til data, og at analysere hvor hurtigt en grundvandsforurening vil forurene en mindre å. 2 Baggrund Et kort over området ved Vestskoven er vist i Figur 1. Området er beliggende umiddelbart syd for Ballerup. I området er der tre deponier, hvor der er deponeret bl.a. flyveaske. Der har fundet en forurening sted i området på grund af lækage fra disse deponier, der ellers var udført med en tæt membran. Figur 1: Kort over Vestskovdeponiområdet. De tre deponier anes som forhøjninger i landskabet. Umiddelbart nord for deponierne ligger et transekt af boringer, hvor grundvandsstanden er målt. Grundvandsstrømmen er fra boring F12 til Risby å. Mat1 04/05 side 1

2 !#" $ %'&)(+*,-%/.0"/12& %/6 & /18:<;)=8& 3 $ %/6!#4/3 B0; B)6 & : $ ; BC4 3 BC= $ %/1D(+* E)* Figur 2: Regional geologi i området. Deponiområdet er vist på figuren. I området er der en række boringer, hvor grundvandsstanden, eller rettere, det hydrauliske trykniveau er målt. Ved hjælp af disse trykniveauer kan man skitsere grundvandets strømningsretning. Figur 1 viser således de boringer der vil blive benyttet i dette projekt. Grundvandsstrømningen er fra boring F12 forbi deponierne og mod Risby å. Figur 2 viser en principskitse af den regionale geologi i området. Øverst består området af ca. 2-4 meter morænesand, efterfulgt af ca. 18 meter moræneler. Kalk træffes under dette lag. Selve området med deponierne er også vist på figur 2. Et snit i gennem det lokale område er vist på Figur 3. Dette snit er lagt tilnærmelsesvis langs en strømlinie fra F12 til Risby å. Figuren viser de boringer hvor grundvandstanden (h, skitseret på figuren) er målt. Figuren viser også, at der er to grundvandsmagasiner. Et øvre sekundært grundvandsmagasin (fin sand/silt), der er i kontakt med den nærliggende å (Risby), samt et nedre primært grundvandsmagasin i kalken, der i området benyttes til drikkevandsforsyning (Københavns Energi). Moræneleret adskiller de to grundvandsmagasiner. Som skitseret på Figur 3 er der en horisontal strømning fra øst for deponierne ned mod Risby å (q på Figur 3). Det skyldes at der er et trykfald ned mod åen (se også teoriafsnittet). Samtidig er der også en nedadrettet trykgradient og strømning (qk ) mellem det øvre og nedre magasin da trykniveauet i kalken overalt kan antages at være H=13.8 m, dvs. under det trykniveau der er i det øvre afsnit, hvor h er ca m langs tværsnittet (trykket er lavere da der tappes vand fra Mat1 04/05 side 2

3 R R k R SPTUN VXW FG b)cd ef FH FJI FJKMLCK FN O FPN N FPN Q ^an I R]\/T<^/T_N H` OK#W ont_n I#W mnt_n g` I#W kjl ^an g T#fh]i jw Y TZO#W Y T#[OJO#W p q r p s r t t u vw p x p u y z p s x s { zy } ~ Figur 3: Transekt med lokal geologi, boringer og trykniveauer i øvre og nedre grundvandsmagasin. det nedre magasin). Forureningen i området er sket ud for boring P9 (Figur 3). Denne vil derfor bevæge sig horisontalt mod åen (og vertikalt mod kalkmagasinet). Opgaven går bl.a. ud på at bestemme hvor hurtigt forureningen transporteres mod åen. 3 Teori 3.1 Darcy s Lov Strømning i porøse medier styres af Darcy s lov: Q = K s A h x hvor Q er vandføringen (m 3 /s), h er trykniveau (m), A er tværsnitsareal (m 2 ) og K s er grundvandsmagasinets hydrauliske ledningsevne (m/s). En K-værdi karakteriserer derfor hvor godt "geologien leder vand". Sand har en høj K-værdi, ler har en lav K-værdi. I det følgende skal vi kun kigge på en een-dimensional model. Her sætter vi arealet A til A=(1 m d), hvor d = h z 0 er den mættede lagtykkelse (m) i sandet, se Figur 4 (z 0 er datum). Med andre ord regnes alt i "per meter bredde". Tværsnitsarealet ændres derfor med afstanden afhængigt af om grundvandsstanden ændres. Herved bliver (1) omskrevet til Q = K s (h z 0 ) h (2) x Vandføringen Q er derfor ikke-lineær med hensyn til h (i (2) forekommer der et ikke-lineært led på formen h h x ). I det følgende benyttes, at Darcyhastigheden er defineret som strømning per total areal dvs.; (1) q = Q A (3) Mat1 04/05 side 3

4 Figur 4: Kontrolvolumen til opstilling af flow balance. Snittet er vist fra den anden side i forhold til Figur Flow balance Der kan også opstilles en flow balance for kontrolvolumenet i Figur 4 (der ophobes ikke væske i kontrolvolumenet): Q (Q + Q x dx) + Ndx q kdx = 0 (4) Her svarer N til nettoinfiltrationen på årsbasis (dvs. nedbør minus aktuel fordampning, altså den del af nedbøren der når ned til grundvandet). Størrelsen N kan her antages konstant svarende til en middel infiltration over et år, og q k er den vandmængde, der tabes ud af det øvre grundvandsmagasin på grund af en gradient ned mod kalken. Denne vandmængde er ikke nødvendigvis konstant. Trykniveauet i kalken (H, se Figur 3) kan anses for konstant, men da det øvre trykniveau (h) varierer vil q k også variere, i henhold til Darcy s lov opskrevet i vertikal retning: q k = K m H h m hvor K m og m, er henholdsvis den hydrauliske ledningsevne og tykkelsen af moræneleret. (5) 3.3 En 1-D model 1. Vis ved at kombinere ovenstående, at trykfaldet h er givet ved den styrende differentialligning; d 2 ( (h z 0 ) 2) dx 2 + 2K m H h K s m + 2N = 0 (6) K s Overvej hvilke andre betingelser h må opfylde. Dette kan fx være, at h har givne værdier i endepunkterne af intervallet, hvor vi søger at bestemme h (kaldet randbetingelser). 2. Forsøg at finde løsning til (6). Prøv også Maple. 3. Man kan simplificere (6) ved at antage, at tværsnitsarealet A i ligning (1) er konstant, dvs. at (1) modificeres til h Q = K s d 0 (7) x Mat1 04/05 side 4

5 hvor d 0 er en konstant, der fx er et omtrentligt gennemsnit af (h z 0 ) langs transektet af boringer. Vis, at den resulterende differentialligning, der modsvarer (6), i dette tilfælde bliver på formen d 2 (h H) dx 2 + K m H h d 0 K s m + N = 0 (8) d 0 K s og undersøg nu om denne ligning kan løses. Benyt Maple til at finde den løsning, der opfylder givne randbetingelser, og skitser (plot) for forskellige valg af parametre løsningerne til (8). Undersøg om ethvert valg af randbetingelser kan opfyldes. 4. Argumenter eventuelt uden brug af Maple for at den fuldstændige løsning har en forholdsvis simpel form, idet (8) kan skrives på formen (med η = (h H)) d 2 η dx 2 α2 η + β = 0 (9) hvor α > 0 og β > 0 (her bør man først overveje fortegnet af konstanterne K m,k s,d 0 ). 5. Eventuelt kan man også forsøge at nå frem til ligningen (8) fra (6) ved brug af en Taylor udvikling. [VINK: Hvis man skriver h på formen h(x) z 0 = d 0 + y(x), hvor d 0 er en konstant, der som ovenfor er en passende middelværdi af (h z 0 ), og y(x) er variationen herfra, kan (6) omskrives til en differentialligning i y. Hvis man i denne resulterende ligning ser bort fra alle led af højere orden end 1 i y fås efter lidt omskrivning (8) 1 ]. 4 Data Data for området i Vestskoven fremgår af Tabel 1 og 2. Netto-infiltrationen til grundvandet er 200 mm/år (der regner ca. 700 mm per år i gennemsnit, men ca. 500 mm afdræner og fordamper). Tykkelsen af moræneleret kan sættes til m=18 m og trykniveauet i kalken er konstant H=13.8 m. En model for h(x) i det øvre grundvandsmagasin er ovenfor opstillet for tværsnittet vist i Figur 3. Tværsnittet er L=500 m langt og randbetingelserne er givet ved fastholdte trykniveauer. I x=0 m er trykniveauet det samme som i F12 og i x=500 m er trykniveauet lig koten til vandspejlet i Risby å. De to ubekendte parametre i differentialligningen er nu K s og K m, som er de hydrauliske ledningsevner for henholdsvis det øvre grundvandsmagasin og for moræneleret, der adskiller dette fra det nedre grundvandsmagasin i kalken. Der er d. 14. maj, 1999 foretaget en række trykniveauer, som er vist i Tabel 2. Tværsnittet i Figur 3 er næsten parallelt med øst-vest og Tabel 2 viser derfor UTM (East) koordinaterne til boringerne. 1 Dette indbefatter også at man fjerner led af formen y dy dx osv. Mat1 04/05 side 5

6 Tabel 1: Data fra Vestskoven Parameter Værdi Enhed Netto-infiltration, N 0.2 m/år Datum, z 0 13 m Tykkelse af moræneler, m 18 m Trykniveau i kalk, H 13.8 m Porøsitet i øvre magasin, θ Længde af tværsnit, L 500 m Fasthold tryk, h m Fasthold tryk (åen), h L m Tabel 2: Observerede trykniveauer, h, se Figur 3 og UTM-east koordinater. Boring UTM-East (m) Trykniveau (m) F F F P F F F F Risby å Estimering af de hydrauliske parametre På basis af forsøgsresultaterne skulle det være muligt, ved sammenligning med modellen, at finde værdierne af de ubekendte hydrauliske ledningsevner K s og K m. I første ombæring under brug af den lineære model (8). 6. Overvej metoder til at bestemme konstanterne K s og K m på basis af målte data, dvs. målte værdier af tryk h til givne afstande x. Hvilken størrelsesorden synes rimelig for disse parametre? (find fx relevante værdier i litteraturen, eller spørg omkring). Overvej desuden hvilken værdier af d 0, der synes rimelig at benytte. Man kan med fordel benytte sig af differentialligningen skrevet på formen (9) og bestemme α og β således at løsningskurven tilpasser sig de målte data. Derefter bestemmer man K s og K m. Når man som her skal kalibrere en given model 2, benytter man for eksempel et mål for fejlen mellem model (funktionen h) og målte data på formen ERR = [ N ] 1/p h(x i ) h meas (x i ) p, (10) i=1 2 Man siger, at man løser det inverse problem: At finde data i en differentialligning på basis af målinger. Mat1 04/05 side 6

7 Her er h meas (x i ) de målte tryk i positionerne x i,i = 1,...,N (N er antallet af målepunkter). Potensen p vælges afhængigt af, hvad man vil opnå. 7. Overvej hvad ERR i (10) udtrykker, og undersøg, hvad det betyder, at p vælges som 1, 2, eller meget stor ( ). 8. Bestem nogle værdier af K s og K m (eller af α og β i (9)), der gør fejlen ERR så lille som muligt for de i Tabel 2 angivne data. Man kan her for eksempel bruge Maple s '? ƒ? A ˆ Š ' og '? ƒ? A ˆ Š ' AŒˆ til at undersøge fejlens afhængighed af de to parametre (da ERR varierer temmeligt vildt kan det her være praktisk at arbejde med log(err)). 5.1 Test med den ikke-lineære model 9. Med værdierne af K s og K m bestemt via den linære model kan man eventuelt undersøge om man med disse data får en god overensstemmelse mellem data og løsningen til den ikkelineære model (8). Til dette formål kan man benytte, at Maple kan løse differentialligninger ved brug af numeriske metoder 3 ; se HELP for Ž + ' A ' / ' ' ˆ Š +ˆ og Ž D Š '. 6 Transport af forurening Darcy s lov (1) angiver strømningen per det totale tværsnitsareal, A. Da arealet udgøres af sandkornene og porerum (arealet mellem sandkorn) defineres porevandshastigheden som; v = q θ (11) hvor θ er porøsiteten. Porøsiteten er defineret som antal kubikmeter porerum per kubikmeter total volumen og er derfor mindre end 1. Porevandshastigheden er derfor større end Darcyhastigheden, q. Den gennemsnitlige opholdstid i et stykke jord af en stofpartikel, der transporteres med grundvandet, findes udfra; v = dx (12) dt hvor x er positionen af en partikel efter en given tid, t. Heraf kan opholdstiden T af partiklen over et intervallet [x 1,x 2 ] udregnes som; Z T 0 dt = Z x2 1 dx (13) x 1 v 3 Bemærk, at det måske ikke virker i første ombæring for de givne randbetingelser. Man skal her ændre forskellige parametre, der benyttes i de numeriske algoritmer, se HELP (eller få vejledning). Overvej, hvori vanskeligheden består. Alternativt kan man bruge Maple til at loese et begyndelsesværdiproblem og selv skyde sig ind på en løsning ved at variere på hældningen ved x = 0 Mat1 04/05 side 7

8 Som et simpelt eksempel, hvor porevandshastigheden er konstant, fås specielt, at opholdstiden t i et interval af længde l er t = l (14) v Dette giver det simple resultat, at opholdstiden er længden divideret med hastigheden. I det tilfælde - som her ved Vestskoven - hvor v ikke er konstant med afstanden x, bliver udregningen lidt sværere. 10. Find porevandshastigheden, v(x), og opholdstiden T i det øvre grundvandsmagasin til åen, hvis partiklen "slippes løs"ved deponi 3, svarende til boring P9. Hvad sker der hvis partiklen begynder sin rejse ved boring F6. VINK: se nedenfor. Man kan give et "sjus"på opholdstiden på følgende måde, idet man tilnærmelsesvis har at porevandshastigheden mellem P9 og åen kan udregnes vha Darcy s lov som 4 : v = K s θ h = 4 = m/s 4.1m/yr (15) x "Minus-tegnet"på hastigheden viser bare at strømningen er modsat x-aksen, mod vest (Risby å). Herved fås at opholdstiden kan sjusses til: T = l/v = = 76yr. (16) Ved korrekt integration vil man nok se at tiden bliver noget andet, da porevandshastigheden stiger dramatisk ned mod åen pga den mindre mættede lagtykkelse, ligesom den er naesten nul paa midten af transektet. For at gøre dette mere præcist bør man finde v(x) ved at differentiere udtrykket for h(x) og evt plotte variationen som funktion af x. Derefter findes T ved integration, jf (13). Overvej desuden om disse resultater er meget følsomme overfor estimatet af K s og K m (hvordan ser kurve-fittet ud hvis man ændrer lidt på disse parametre - og hvad sker der tilsvarende med opholdstiderne). 7 Bestemmelse af de hydrauliske parametre. II 11. Bestem konstanterne K s og K m på basis af de målte data idet man anvender den ikke-lineære model (6). Sammenlign med resultaterne, der kan opnås med den lineære model. 8 Modellen som et system af differentialligninger 12. Benyt de variable h og Q til at opskrive et system af første-ordens differentialligninger, som er en model for systemet, jf ligningerne (1) og (4). Bemærk, at disse to ligninger udtrykker det horizontale flow respektivt det vertikale flow. Undersøg dette lineære system og sammenlign med analysen ovenfor. 4 Her sætter vi, for eksemplet skyld, K s = Mat1 04/05 side 8

Notat. Baggrund. Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer Syd modellen

Notat. Baggrund. Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer Syd modellen Notat Sag BNBO beregninger Projektnr. 04779 Projekt Svendborg Kommune Dato 04-03-07 Emne Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer MAON/DOS Syd modellen Baggrund I forbindelse med beregning af

Læs mere

ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER. Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S

ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER. Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S Problemstilling Vi bruger i højere og højere grad modeller til at beregne

Læs mere

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Søren Erbs Poulsen Geologisk Institut Aarhus Universitet 2011 Indholdsfortegnelse Sammendrag...2 Indledning...2

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Dette notat beskriver beregningsmetode og de antagelser, der ligger til grund for beregningerne af BNBO.

Dette notat beskriver beregningsmetode og de antagelser, der ligger til grund for beregningerne af BNBO. NOTAT Projekt BNBO Silkeborg Kommune Notat om beregning af BNBO Kunde Silkeborg Kommune Notat nr. 1 Dato 10. oktober Til Fra Kopi til Silkeborg Kommune Charlotte Bamberg [Name] 1. Indledning Dette notat

Læs mere

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Anne Lausten Hansen Institut for Geografi og Geologi, Københavns Universitet De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS)

Læs mere

Status for modellering af vand og varmestrømning

Status for modellering af vand og varmestrømning Status for modellering af vand og varmestrømning WP7 Interaktion med omgivende grundvandssystem Per Rasmussen & Anker Lajer Højberg GeoEnergi følgegruppemøde 10/4 2013 www.geoenergi.org Disposition Formål

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej

Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej Figur 1 2/7 Modelområde samt beregnet grundvandspotentiale Modelområdet måler 650 x 700 m Der er tale om en kombination af en stationær og en dynamisk

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Dosering af anæstesistoffer

Dosering af anæstesistoffer Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person

Læs mere

Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC).

Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC). Opstartsrapport ForskEl projekt nr. 10688 Oktober 2011 Nabovarme med varmepumpe i Solrød Kommune - Bilag 1 Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC). Som en del af det

Læs mere

GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE

GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE Sektionsleder Anne Steensen Blicher Orbicon A/S Geofysiker Charlotte Beiter Bomme Geolog Kurt Møller Miljøcenter Roskilde ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Resendalvej - Skitseprojekt. Silkeborg Kommune. Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej.

Indholdsfortegnelse. Resendalvej - Skitseprojekt. Silkeborg Kommune. Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej. Silkeborg Kommune Resendalvej - Skitseprojekt Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 wwwcowidk Indholdsfortegnelse

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag

Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag ATV Jord og Grundvand Vintermøde om jord- og grundvandsforurening 10. - 11. marts 2015 Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag Lars Troldborg

Læs mere

HYDROLOGI Generelt og i Danmark. Torben O. Sonnenborg Hydrologisk Afdeling Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS)

HYDROLOGI Generelt og i Danmark. Torben O. Sonnenborg Hydrologisk Afdeling Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS) HYDROLOGI Generelt og i Danmark Torben O. Sonnenborg Hydrologisk Afdeling Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS) GEUS De nationale geologiske undersøgelser for Danmark og Grønland Forskningsinstitution

Læs mere

SÅRBARHED HVAD ER DET?

SÅRBARHED HVAD ER DET? SÅRBARHED HVAD ER DET? Team- og ekspertisechef, Ph.d., civilingeniør Jacob Birk Jensen NIRAS A/S Naturgeograf Signe Krogh NIRAS A/S ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING VINGSTEDCENTRET

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

VURDERING AF PERKOLATUDSIVNING FRA MELLEM- OPLAG AF TRÆFYRINGSASKE PÅ STEGENAU DEPOTET

VURDERING AF PERKOLATUDSIVNING FRA MELLEM- OPLAG AF TRÆFYRINGSASKE PÅ STEGENAU DEPOTET Notat NIRAS A/S Birkemoseallé 27-29, 1. sal DK-6000 Kolding DONG Energy A/S VURDERING AF PERKOLATUDSIVNING FRA MELLEM- OPLAG AF TRÆFYRINGSASKE PÅ STEGENAU DEPOTET Telefon 7660 2600 Telefax 7630 0130 E-mail

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Anvendelse af GrundRisk til lokal risikovurdering. Gennemgang af værktøjet med fokus på betydning af parameterværdier. Professor Philip J.

Anvendelse af GrundRisk til lokal risikovurdering. Gennemgang af værktøjet med fokus på betydning af parameterværdier. Professor Philip J. Anvendelse af GrundRisk til lokal risikovurdering Gennemgang af værktøjet med fokus på betydning af parameterværdier Professor Philip J. Binning Postdoc Luca Locatelli Videnskabelig assistent Louise Rosenberg

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Vejledning Sådan laver du en faskine

Vejledning Sådan laver du en faskine Natur og Miljø Vejledning Sådan laver du en faskine November 2011 1 Hvorfor er det en god ide at nedsive regnvand? Regnvand, som siver ned gennem jorden, bliver til grundvand, og vi henter vort drikkevand

Læs mere

Undersøgelse af flow- og trykvariation

Undersøgelse af flow- og trykvariation Undersøgelse af flow- og trykvariation Formål Med henblik på at skabe et kalibrerings og valideringsmål for de opstillede modeller er trykniveauerne i de 6 observationspunkter i sandkassen undersøgt ved

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

UDFORDRINGER I BNBO AFGRÆNSNINGEN. Af Flemming Damgaard Christensen,

UDFORDRINGER I BNBO AFGRÆNSNINGEN. Af Flemming Damgaard Christensen, UDFORDRINGER I BNBO AFGRÆNSNINGEN Af Flemming Damgaard Christensen, fldc@hofor.dk AGENDA Baggrund for BNBO istorie for BNBO Fremtiden for BNBO Konceptuelt model for BNBO Forudsætninger & matematik Betydningen

Læs mere

Evaluering af Soltimer

Evaluering af Soltimer DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Støjvold III Risikovurdering ved brug af lettere forurenet jord til anlæg

Støjvold III Risikovurdering ved brug af lettere forurenet jord til anlæg NOTAT Projekt Risikovurdering af lettere forurenet jord - støjvold III i Ballerup Kommune Kunde Ballerup Kommune Notat nr. Miljø-01 Dato 2014-11-25 Til Henrik Linder, Ballerup Kommune Fra Lisbeth Hanefeld

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model

Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model Notat udarbejdet af Hans Jørgen Henriksen, GEUS Endelige rettelser pr. 27. oktober 2002 1. Baggrund Storstrøms Amt og

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

BASE. Besvarelse til individuel skriftlig test

BASE. Besvarelse til individuel skriftlig test BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre

Læs mere

RÅSTOFKORTLÆGNING RAPPORT NR. 4-2011 SAND, GRUS, STEN. Svogerslev, Roskilde Kommune

RÅSTOFKORTLÆGNING RAPPORT NR. 4-2011 SAND, GRUS, STEN. Svogerslev, Roskilde Kommune RÅSTOFKORTLÆGNING RAPPORT NR. 4-2011 SAND, GRUS, STEN Svogerslev, Roskilde Kommune Udgiver: Afdeling: Region Sjælland Alleen 15 4180 Sorø Regional Udvikling Udgivelsesår: 2011 Titel: Råstofkortlægning,

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

NOTAT Dato 2011-03-22

NOTAT Dato 2011-03-22 NOTAT Dato 2011-03-22 Projekt Kunde Notat nr. Dato Til Fra Hydrostratigrafisk model for Beder-Østerby området Aarhus Kommune 1 2011-08-17 Charlotte Agnes Bamberg Theis Raaschou Andersen & Jette Sørensen

Læs mere

Hvordan vil det se ud, hvis vi i højere grad nedsiver?

Hvordan vil det se ud, hvis vi i højere grad nedsiver? Rørcenterdage, Teknologisk Institut, d. 17. og 18. juni 2009 - A1 LAR Lokal afledning af regnvand Hvordan vil det se ud, hvis vi i højere grad nedsiver? Jan Jeppesen (1,2) (1) Alectia A/S, Denmark (2)

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Indholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode

Indholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode Roskilde Amt Geofysisk kortlægning i Skovbo Kommune Landbaserede TEM-målinger COWI A/S Parallelvej 2 00 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Indledning

Læs mere

HVOR SKAL VI HENTE DET RENE VAND OM 10 ÅR - Pesticider som eksempel

HVOR SKAL VI HENTE DET RENE VAND OM 10 ÅR - Pesticider som eksempel HVOR SKAL VI HENTE DET RENE VAND OM 10 ÅR - Pesticider som eksempel Peter R. Jørgensen, PJ-Bluetech, Jesper Bruhn Nielsen og Jan Kürstein, NIRAS, Niels Henrik Spliid, Århus Universitet. ATV Vintermøde

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Modellering af vand og stoftransport i mættet zone i landovervågningsoplandet Odderbæk (LOOP2) Delrapport 1 Beskrivelse af modelopsætning.

Modellering af vand og stoftransport i mættet zone i landovervågningsoplandet Odderbæk (LOOP2) Delrapport 1 Beskrivelse af modelopsætning. Modellering af vand og stoftransport i mættet zone i landovervågningsoplandet Odderbæk (LOOP2) Delrapport 1 Beskrivelse af modelopsætning Bilag Bilag 1 - Geologiske profiler I dette bilag er vist 26 geologiske

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Faskiner. Figur 1. Opbygning af en faskine med plastkassette.

Faskiner. Figur 1. Opbygning af en faskine med plastkassette. Faskiner Hvorfor nedsive tagvand? Det er miljømæssigt fordelagtigt at nedsive tagvand, hvor der er egnede jordbundsforhold. Herved øges grundvandsdannelsen, og belastningen på kloakker reduceres. Tagvand

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

BASISK HYDROLYSE VED HØFDE 42

BASISK HYDROLYSE VED HØFDE 42 BASISK HYDROLYSE VED HØFDE 42 Diplomingeniør Eva Bang Rasmussen Diplomingeniør Majbritt Skovgaard Lauritsen Ingeniørhøjskolen i Århus ATV JORD OG GRUNDVAND VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING VINGSTEDCENTRET

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

- vandløbsvedligeholdelse set i perspektiv af de

- vandløbsvedligeholdelse set i perspektiv af de Danske vandløb - vandløbsvedligeholdelse set i perspektiv af de grundlæggende mekanismer Torben Larsen Institut for Byggeri og Anlæg Aalborg Universitet TL@civil.aau.dk Foredrag for LandboNord, Brønderslev

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Modellering af strømning og varmeoptag

Modellering af strømning og varmeoptag Afsluttende workshop 13-11-2014, GEUS, Århus Modellering af strømning og varmeoptag Anker Lajer Højberg og Per Rasmussen De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland Klima- og Energiministeriet

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Geologisk modellering

Geologisk modellering Geologisk modellering Smålyng Gislum Haderup Viborg Kasted Grindsted Thyregod Skuldelev Gladsaxe Ishøj Frederiksberg Torkildstrup Store Fuglede Nyborg Abild Vesterborg )LJXU 3ODFHULQJHQDIGH*5802RPUnGHUGHUHUXGYDOJWWLOJHRORJLVNPRGHOOHULQJ

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

NOTAT. 1. Følsomhedsanalyse

NOTAT. 1. Følsomhedsanalyse NOTAT Projekt Grundvandsmodel for Hjørring Kommune Kunde Hjørring Kommune og Hjørring Vandselskab Notat nr. 01 Dato 2011-06-21 Til Fra Lene Milwertz, Jens Chr. Ravn Roesen, Denni Lund Jørgensen Bianca

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Trafikudvalget (2. samling) TRU alm. del - Bilag 411 Offentligt. jan.08. jan.05 e2+ e2. distance (m) distance (m) Blindtest 1

Trafikudvalget (2. samling) TRU alm. del - Bilag 411 Offentligt. jan.08. jan.05 e2+ e2. distance (m) distance (m) Blindtest 1 Trafikudvalget (2. samling) TRU alm. del - Bilag 411 Offentligt 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 e2 jan.05 e2+ e2 jan.08 distance (m) distance (m) Blindtest 1

Læs mere

Rigkærshydrologi. EnviNa-Kursus, Randers Naturcenter 27. november 2014 Ole Munch Johansen

Rigkærshydrologi. EnviNa-Kursus, Randers Naturcenter 27. november 2014 Ole Munch Johansen Rigkærshydrologi EnviNa-Kursus, Randers Naturcenter 27. november 2014 Ole Munch Johansen Disposition Grundlæggende hydrologi Trykniveauer Strømning i jord Ådalshydrologi og hydrologi i rigkær Grundvandsudstrømning

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Følsomhedsstudie ved modellering af varmetransport

Følsomhedsstudie ved modellering af varmetransport ATV temadag jordvarme, vintermøde 9. marts 2015, Vingsted Følsomhedsstudie ved modellering af varmetransport Anker Lajer Højberg og Per Rasmussen De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Eksempler på differentialligningsmodeller

Eksempler på differentialligningsmodeller 1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk

Læs mere

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,

Læs mere

Forsyning Helsingør Vand A/S

Forsyning Helsingør Vand A/S Forsyning Helsingør Vand A/S Hellebæk Vandværk R I S I K O V U R D E R I N G I F O R H O L D T I L G A M L E D E P O T P Å S K I B S T R U P December 2015 383265-15_v1_Risikovurdering_Skibstrup notat.docx

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden

Læs mere

UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT

UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT - udfordringer ved Platanvej, Nykøbing Falster Ekspertisechef Charlotte Riis, NIRAS Gro Lilbæk, Anders G Christensen, Peter Tyge, Mikael Jørgensen, NIRAS Martin

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

KLIMATILPASNING PÅ SILKEBORGMOTORVEJEN

KLIMATILPASNING PÅ SILKEBORGMOTORVEJEN KLIMATILPASNING PÅ SILKEBORGMOTORVEJEN KLIMASIKRING AF KOMMENDE MOTORVEJ VED SILKEBORG VIA GRUNDVANDSMODEL OG VEJRRADAR I SAMARBEJDE GEUS DEN 5. DECEMBER 2012 NYBORG AF MICHAEL QUIST VEJDIREKTORAT FUNDER-HÅRUP

Læs mere