Matematik & Statistik

Transkript

1 Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6

2 FORORD KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER ELEMENTÆRE REGNEREGLER Parentesregning Brøkregneregler Generelle regler or brøkregning Reduktion LIGNINGER Simple regneregler or ligningsløsningen Ligninger med én ubekendt ULIGHEDER Regneregler i orbindelse med uligheder Løsning a uligheder SUMMERING/SIGMA Regneregler i orbindelse med sigmategnet KAPITEL : PROCENTREGNING FORSKELLIGE MÅDER AT ANVENDE PROCENTREGNING PÅ Rentesregning INDEKSTAL PROCENT CONTRA PROCENTPOINT KAPITEL 3: FUNKTIONER DEN LINEÆRE FUNKTION Estimering a hældningskoeiienten a Beregning a konstanten b Skæring mellem to linier: løsning a to ligninger med to ubekendte Substitutionsmetoden Eksempler ra den økonomiske verden ANDENGRADSPOLYNOMIER Toppunkt Nulpunkter Eksempler POTENSFUNKTIONER Potensregneregler EKSPONENTIALFUNKTIONER LOGARITMEFUNKTIONER Den naturlige eller den med grundtallet 1? talslogaritmen log Den naturlige logaritme ln Eksempel på estimering a den uahængige variabel OMVENDTE FUNKTIONER KAPITEL 4: SANDSYNLIGHEDSREGNING DET STOKASTISKE EKSPERIMENT UDFALD, SANDSYNLIGHEDSFELT OG HÆNDELSER

3 .1 Sandsynlighedselt BETINGET SANDSYNLIGHED Uahængige hændelser BAYES FORMEL BINOMIALFORDELINGEN KAPITEL 5: DIFFERENTIALREGNING DIFFERENTIALKVOTIENT Oversigt over dierentiable unktioner: Eksempel på bestemmelse a regneorskriten or dierentiering REGNEREGLER FOR DIFFERENTIALKVOTIENTER Sammenatning TANGENT OG BESTEMMELSE AF EKSTREMA Bestemmelse a ekstrema og monotoniorholdet KILDER

4 Forord Formålet med dette undervisningshæte er at genopriske de matematikkundskaber den enkelte studerende har. Kapitel 1-3 omhandler emner man lærer på matematik -niveau i gymnasiet/hhx, mens resten a kapitlerne omhandler emner, der gennemgås på matematik b-niveau i gymnasiet/hhx. Emnerne er udvalgt ud ra deres relevans i orhold til samundsvidenskabelige uddannelser i øvrigt, og krydret med eksempler ra samundsvidenskab, netop or at vise hvordan matematikken kan anvendes til at løse sådanne problemstillinger. Foratteren ønsker desuden at takke undervisere ra både institut or økonomi og statskundskab ved Aarhus Universitet or konstruktiv kritik og gennemlæsning, herunder takkes Christian Harslø or kommentarer og bidrag til dette hæte. Undervisningshætet indgår ikke som pensum i noget ag, men skal ses som et supplement til især undervisningen. Den kan desuden anvendes som opslagsværk/ormelsamling i løbet a studiet, hvis man skulle støde ind i matematiske problemstillinger. Washington d. 6/8 6 Simon Kaiser - 4 -

5 Kapitel 1: Simple regneregler og ligninger Vi skal i dette kapitel se på elementære regneregler, ligninger samt summering. Disse redskaber er særdeles relevante or at kunne orstå matematiske udtryk og udledningen a disse. I det ølgende vil der blive gennemgået de dele a disiplinerne, som er relevante or den samundsvidenskabelige metode. 1. Elementære regneregler Formålet med hele dette kapitel er at genopriske ligningsløsningssystemet. Men or at kunne løse ligninger skal man kunne de mest basale regneregler. Vi skal her se på tre orskellige typer: ørst parentes- og brøkregneregler, som gælder helt generelt, og til sidst speiikke regneregler or ligninger. 1.1 Parentesregning Parentesregnereglerne anvendes, når man skal reduere udtryk og å dem til at remstå på den mest hensigtsmæssige måde i orhold til en given situation. Der er en lang række parentesregneregler. De mest grundlæggende og vigtige er: ab+ab+a ab-ab-a a+b+da+ad+b+bda+d+b+d a+b²a+ba+ba²+b²+ab a-b²a-ba-ba²+b²-ab a+ba-b a²-b² Vi skal senere se eksempler hvor disse regneregler anvendes. 1. Brøkregneregler 1..1 Generelle regler or brøkregning For at oretage korrekt brøkregning, skal de ølgende simple regler anvendes. Vi skal se på, hvordan man lægger sammen, trækker ra, ganger, dividerer, orlænger og orkorter. To brøker kan kun lægges sammen, hvis de har ælles nævner. Er der ælles nævner, lægges brøken sammen ved, at man summerer tællerne. Dvs.: a b a b + + Bemærk at når nævneren er den samme kan vi ligeledes sætte på ælles brøkstreg

6 Samme regel gælder når man skal trække brøker ra hinanden. Vi år således: a b a b Når man ganger to brøker, ganges tæller med tæller og nævner med nævner. Dvs.: a b d ab d ganger man et helt tal med en brøk, ganges det på i tælleren, dvs.: b a Når man dividerer to brøker med hinanden, ganger man på kryds, dvs. man ganger tælleren ra den ene brøk med nævneren ra den anden, og omvendt. Dvs.: a b d a d b ab ad b divideres en brøk med et helt tal ganges den på i nævneren, dvs.: a : b En brøk kan orlænges eller orkortes, hvis man ganger eller dividerer med det samme led i både tæller og nævner. Eksempelvis: a b a + b d a + b da + db d d 1.. Reduktion Reduktion a brøker oretages ved at anvende de beskrevne regneregler, og kan være et meget nyttigt redskab. Betragt ølgende: ab e + a + ad e - 6 -

7 Vi ønsker at danne et sammenhængende udtryk på baggrund a disse tre brøker. For det ørste ønsker vi at sætte de tre brøker på ælles brøkstreg. For at kunne gøre dette, skal de have ælles nævner. Vi orlænger brøkerne så alle har nævneren y, or dereter at sætte dem på ælles brøkstreg. Den ørste brøk orlænges ved at gange y på i tæller og nævner, den anden ved at gange på i tæller og nævner, mens den sidste eterlades urørt. ab ea ad ab + ea ad e e e e Dereter redueres tælleren vha. parentesregnereglerne idet alle led har a tilælles. Dermed er det ønskede opnået.. Ligninger ab + ea + ad a b + e + d e e Ligninger er matematiske udtryk, der indeholder én eller lere ubekendte størrelser. Følgende tre udtryk er alle eksempler på ligninger X + 4 3X 14 X + 3Y 15 4X 3X 17 At løse en ligning vil sige at inde talværdien or den eller de ubekendte størrelser, der sikrer, at de to sider a lighedstegnet er ens..1 Simple regneregler or ligningsløsningen Følgende em regler gælder, når man løser ligninger. Det er altid tilladt: 1. at lægge det samme led til på begge sider a lighedstegnet. at trække det samme led ra på begge sider a lighedstegnet 3. at gange med det samme led på begge sider a lighedstegnet dog ikke nul! 4. at dividere med det samme led på begge sider a lighedstegnet dog ikke nul! 5. at reduere udtrykket, eksempelvis ved at hæve parenteser, sætte parenteser j. asnit.1, sætte på ælles brøkstreg, orlænge og orkorte brøker j. asnit.. Ligninger med én ubekendt Den mest simple ligning man kender, er en ligning der kun har én ubekendt. En sådan ligning er umiddelbart løselig. Metoden er, at isolere den ubekendte størrelse i udtrykket, ved hjælp a de ovenor beskrevne regneregler. Vi vil nu vise eksempler på, hvordan de orskellige regneregler ra asnit og 3.1 kan bruges til at løse en ligning - 7 -

8 Betragt ølgende udtryk: 6X+6X+5 Det ørste vi gør, er at gange totallet ind i parentesen. Dette giver os: 6X+6X+1 Dereter trækkes X ra på begge sider a lighedstegnet. Dette giver os: 4X+61 Vi vil nu trække 6 ra på begge sider a lighedstegnet. Dette giver os: 4X4 Vi dividerer nu med 4 på begge sider a lighedstegnet or at isolere X. Dermed har vi løsningen: X1 Alt dette kan opskrives alene som et matematisk udtryk. Man anvender dobbeltpile når man har omskrevet en ligning med én eller lere a de i asnit 3.1 nævnte regneregler, : 4X4 X1 Ønsker man at kontrollere sit resultat gøres dette ved, at man indsætter den undne værdi or i den oprindelige ligning Vi ser, at lighedstegnet nu er opyldt Eksempel: Løsning a ligning hvor parentes- og brøkregneregler også anvendes. I ølgende ligning ønsker vi at bestemme, idet vi anvender de regneregler, vi har set på tidligere. Prøv at ølge hver enkelt linie nøje og ind ud a hvilke regler der anvendes. Prøv evt. at starte med linie ét og lav resten a udregningerne selv. Se da om i kan nå samme resultat

9 Uligheder I stedet or at sætte to udtryk lig hinanden kan man løse udtrykket således, at den ene side altid er større end den anden. I et sådan tilælde er der tale om uligheder. Følgende udtryk anvendes: a > b betyder a er større end b. Dermed er b naturligvis mindre end a. spidsen peger altid på det mindste a b betyder a er større end, eller lig med b. Dermed er b mindre end eller lig med a. Tegnene > og er ulighedstegn og kan selvølgelig vendes om <;. 3.1 Regneregler i orbindelse med uligheder Man må oretage ølgende omskrivninger a en ulighed: 1. lægge samme tal til på begge sider a ulighedstegnet. trække samme tal ra på begge sider a ulighedstegnet 3. angående multiplikation: a. man må gange med samme positive tal på begge sider a ulighedstegnet b. man må gange med samme negative tal på begge sider a ulighedstegnet hvis man samtidig vender ulighedstegnet om 4. Angående division: a. man må dividere med samme positive tal på begge sider a ulighedstegnet b. man må dividere med samme negative tal på begge sider a ulighedstegnet hvis man samtidig vender ulighedstegnet om 5. man må anvende reglerne om brøkregning og parentesregning på hver side a ulighedstegnet - 9 -

10 3. Løsning a uligheder Vi skal nu anvende regnereglerne på et konkret eksempel. Først trækker vi ra på begge sider Så trækker vi 8 ra på begge sider -5+8<-9-7+8<-9-7<-17 Så dividerer vi med -7 på begge sider a ulighedstegnet, idet vi husker at vende ulighedstegnet. 17 > 7 Eksempel: Løsning a ulighed hvor parentes- og brøkregneregler også anvendes < < < < < < 48 9 < 6 6 > 9 4. Summering/Sigma Aslutningsvis skal vi se begrebet summering, hvor man indenor statistik og økonomi benytter sig a det græske bogstav sigma som orkortelsen or en sammenlægning a lere identiteter. n i i n - 1 -

11 Sigma eller sumtegnet er en orkortet måde at skrive den højre side a lighedstegnet på. Dvs. i stedet or at skrive en lang række tal, orkortes dette ved brug a sigmategnet. Bogstavet i er et udtryk or observationsnummeret, og n er antallet a observationer i summeringen. 4.1 Regneregler i orbindelse med sigmategnet Sigmategnet bliver ote benyttet i orbindelse med ligningsløsning, hvori der ønskes at skabe en identitet og sammenhæng som er mere overskuelig. Herved gælder ølgende regneregler or sigmategnet: Når sigma, uden nogle X-værdi, multiplieres med en konstant k vil resultatet være: n i k k n k Dvs. at variablen ikke varierer og hermed er ik, hvoror værdien k multiplieres med antallet a observationer n. Når konstanten k multiplieres med sigma a variablen bliver resultatet ølgende: n n k k 1 i i i 1 i Hvilket svarer til at konstanten ganges ind i en parentes: k n k1 + k + k3... k 1 n Følgende regneregel er en kombination a de to orrige: n n b + a nb + a 1 i i i 1 i Ved brug a sigma i orbindelse med ligningsløsninger gælder endvidere de allerede gennemgåede regneregler. Sigmategnet opattes blot som en konstant der multiplieres ind i parenteserne. n n n + i zi + 1 i i i 1 i 1 z i

12 Kapitel : Proentregning Proentregning anvendes mange steder i tekniske side a samundsvidenskaben. Man ønsker eksempelvis ote at beskrive en proentuel ændring i orbrug eller BNP, eller man ønsker måske at undersøge, hvor stor en proentdel a ens omkostninger der er aste, dvs. uahængige a produktionsstørrelsen. I dette kapitel beskrives de vigtigste regler omkring proentregning, krydret med eksempler ra økonomien. 1. Forskellige måder at anvende proentregning på Vi skal i dette asnit se på en række klassiske problemstillinger. Den ørste der er vigtigt at kunne knytter sig til situationen, hvor man ønsker tage et givet antal proent ud a et tal. Antag eksempelvis at vi ønsker at inde 14 % a 79. Proent betyder per hundrede, deror inddeler vi de 79 i hundrede dele, og inder derved værdien a én hundrededel. Dereter kan vi gange med 14 or at inde de 14 hundrededele eller 14 % Dvs. at 14 % a 79 beregnes på ølgende måde Dette svarer til at gange de 79 med, ,6 Den anden problemstilling vi skal se på, opstår, når man eksempelvis skal beregne, hvor stor en proentdel en given udgitspost udgør a de samlede udgiter. Antag en virksomhed, der har lønudgiter or 1.. om året, og totale udgiter or 3.. om året. Hvor stor en proentdel udgør lønudgiterne a de samlede udgiter? Metoden er, at sætte lønudgiterne i tælleren på en brøk og de totale udgiter i nævnere a samme brøk. Dereter ganges med 1 %. Pointen er, at man på den måde inder ud a, hvilken andel a udgiterne der går til løn. Denne ganges med 1 % 1.. 1% 43,48% 3.. Den næste problemstilling vi skal se på omhandler proentvis vækst. Dette kan tage sig ud på lere måder. Lad os illustrere problemet med et par eksempler. Eksempel 1.:BNP I 1995 var Danmarks BNP på kr. aste priser Året eter, i 1996 var BNP kr. aste priser Hvor meget var BNP vokset på det år, målt i proent? - 1 -

13 Det ørste, man gør, er at inde orskellen på de to størrelser. Dette tal divideres med det ørste tal, her altså tallet ra 1995 og dereter ganger man med 1, or at inde proenttallet %,5 % En anden måde at nå samme resultater ved at bruge ormlen S B F, som siger at slutværdien S er lig begyndelsesværdien B gange remskrivningsaktoren F. Fremskrivningsaktoren er givet ved ormlen F1+p, hvor p er den proentvise stigning målt i deimaltal. Her i dette eksempel er B og S givet, nemlig BNP or hhv og Det er F, vi mangler. Formlen anvendes: tallene indsættes idet slutværdien er tallene ra 1996 S B F S B F F F 1,5 j. ormlen F1+p kan vi så inde r, der er den proentvise stigning ved at trække 1 ra, hvilket netop giver,5,5 % Eksempel. Virksomhedsøkonom. En virksomhed har en omsætning på 7.8. i et givet år. Det oplyses, at omsætningen året eter er steget med 6 %. Hvad er omsætningen da? Først inder man 6 % a de 7.8. Dette lægges til omsætningen året ør, og man år, Dette svarer til at gange de 7.8. med remskrivningsaktoren F1+p, hvor p er proentsatsen mål i deimaltal. Dvs: 1 +, ,

14 1.1 Rentesregning Ovenstående eksempel kan anvendes helt analogt inden or et andet vigtigt område, nemlig rentesregningen. Lad os antage at man i ovenstående eksempel havde hat et bankindestående på 7.8., som blev tilskrevet 6 % i rente. Da ville man også å Havde man året eter igen ået 6 % i rente ville man å regnestykket: 1, Således kunne man blive ved med at tilskrive renter år eter år. Dette rejser spørgsmålet, om man kan lave en generel ormel der bringer os ra startsituationen de 7.8. til slutsituationen. Dette er muligt, hvis ølgende tilgang anvendes Antag en startværdi nutidsværdien som vi kalder K. I dette tilælde er det vi tilskriver 6 %,6 hvert år i rente. Vi kalder renten r. Fremskrivningsaktoren F er dermed givet ved F1+r. Eter ét år har man således K 1+ r K 1 + r + r 1+ r K 1 har man Formlen startværdien ganget med remskrivningsaktoren, og eter to år K 1+ r er således gældende or to år. Hvis man ikke opskriver ormlen som værende gældende or to år, men i stedet or at gælde or n år, år man den generelle ormel: n r n K K 1+ hvor K n er slutværdien. Dermed har vi stitet bekendtskab med renteormlen, som kan anvendes inden or en ubegrænset periode, så længe renten er ast 1.. Indekstal I dette asnit skal vi se på indekstal. Indekstal bruges ote i økonomiske statistikker til at sammenligne over tid. Eksempelvis kan oentlig gæld opgøres i indekstal. Vi skal her se på, hvordan man regner sig rem til indekstal, hvis man kender de aktiske tal. Det ørste man skal gøre er at vælge sig et basisår. Basisåret tildeles værdien 1. De øvrige indekstal beregnes på baggrund a oplysningerne ra basisåret. Herunder er et eksempel konstrueret vedrørende gæld. Basisåret er valgt til 1998, og tildelt værdien 1. De øvrige indekstal er beregnet ved at sætte gælden or 1998 i nævneren a en brøk og gælden or det år, man ønsker at beregne indekstal or er sat i tælleren. Brøken ganges med 1. Således kan man beregne indekstallet or aktuelt basisår 1 1 Det i sig selv er en betydelig begrænsning or ormlen

15 , De øvrige kan ses i tabellen herunder År Gæld Indekstal 1 1,6344 1, ,398 17, , ,347 Indekstallet beskriver således, hvor mange proent man ligger ra basisåret. Eksempelvis er gælden i 4 17,347 % større end gælden i 1998, hvilket svarer til dierensen på indekstallene de to år. 3. Proent ontra proentpoint Når man læser samundsvidenskabelig litteratur, ser man undertiden at en given økonomisk størrelse er steget eller aldet med %. Dette kunne eksempelvis være arbejdsløsheden. Andre gange ser man at en given økonomisk størrelse er ændret med et givet antal proentpoint. Der er stor orskel på disse to begreber. Lad ølgende eksempel illustrere det. Antag en situation hvor arbejdsløsheden er 4 %. Året eter kan man læse på Danmarks Statistiks hjemmeside at arbejdsløsheden er 8 %. En ændring ra 4 % til 8 % svarer til en stigning på ire proentpoint. Dette regnes simpelthen ud ved at trække de 4 ra de 8. Stigningen i proent derimod skal indes ved at anvende vores ormel ra eksempel 1: Dvs. 8% 4% 1% 1% 4% Der er altså tale om en 1 % stigning hvilket er det samme som en ordobling, men en stigning på 4 proentpoint. Dette illustrerer orhåbentligt vigtigheden a at sondre mellem proent og proentpoint

16 Kapitel 3: Funktioner Funktioner spiller en stor rolle inden or samundsvidenskaben. De indes i mange orskellige typer a mere eller mindre komplieret grad, men ælles or dem alle er ølgende deinition: En unktion knytter til ethvert i en talmængde præis ét tal. Når betegner en unktion, betegner det tal, der ved unktionen knyttes til, og kaldes unktionens værdi i. X kaldes den uahængige variabel og den ahængige variabel Bøtther og Grell 1995 Ote skriver vi blot den ahængige variabel som y, dvs. y. En mere intuitiv orklaring kunne være den ølgende: I venstre side har vi vores grundmænge dvs. den mængde vi kan tage vore uahængige værdier ra. Dette kunne være alle reelle tal. Funktionens speiikation bestemmer således hvordan disse værdier a omdannes til y værdier. X 1 Y 1 X Y X 3 Y 3 Læg mærke til, at hvis man til en -værdi, kan knytte lere y-værdier, er der ikke tale om en unktion. Vi skal nu se på orskellige unktionstyper, startende med den lineære unktion. 1. Den lineære unktion Den lineære unktion beskriver en lineær sammenhæng mellem variablene og y. Den lineære unktions graiske udtryk er en ret line. Den lineære unktion kan beskrives ud ra ormlen Y a + b Hvor er den uahængige variabel og y er den ahængige. Konstanten a er liniens hældningskoeiient. Denne beskriver, hvor meget y ændrer sig, når ændrer sig én enhed. Hvis a er positiv er unktionens linie voksende, hvis a er negativ er unktionens linie aldende, hvis a er, er Yb, dvs. y er konstant or enhver værdi a, og der er tale om en vandret linie. Konstanten b beskriver værdien or y når, eller graens skæringspunkt med y aksen. På iguren herunder ses orskellige lineære unktioner. Det gælder or dem alle, at b> hvilket indikerer at kurven skærer y-aksen på dennes positive del. Til gengæld har de alle orskellige værdier a a

17 Y Ya+b a >, b> a 1 b Ya+b a, b> a 1 Ya+b a <, b> X Den lineære unktion er entral både inden or økonomien, hvor mange unktioner estimeres lineært, men også inden or statistikken hvor man anvender lineær regression, som beskriver sammenhængen mellem to variabler. 1.1 Estimering a hældningskoeiienten a I dette asnit skal vi se på, hvordan man estimerer liniens ligning ud ra oplysninger om nogle koordinater. Antag at en virksomhed kan beskrive sine omkostninger som en unktion a antal produerede enheder, og at sammenhængen er lineær. Med andre ord: udtrykker antal produerede enheder og y repræsenterer omkostningerne. Du bliver givet ølgende oplysninger: når virksomheden produerer 1 enheder har den omkostninger på kr., og når virksomheden produerer enheder har den omkostninger på 3 kr. Vi vil på baggrund a disse oplysninger udregne hældningskoeiienten a. Ovenstående oplyser os om to værdier: Ligeledes oplyses vi om to y-værdier: X 1 1 X Y 1 Y

18 Forskellen på 1 og kaldes ændringen i og er givet ved - 1 X På samme måde kan vi beregne ændringen i y y y -y Det vi nu ved er, at når der er tale om en lineær sammenhæng mellem og y, så gælder det, at or hver gang ændres med 1 ændres y med 1. Idet a beskriver væksten i y hver gang ændres én enhed kan a beskrives: Y a X Y X Y1 X 1 I dette tilælde er det: 1 1,1 Graisk ser det ud på ølgende måde: De to punkter A og B viser de to kombinationer a og y som beskrevet i teksten. Gennem disse to punkter tegnes en linie, og denne linies hældning beregnes 1. Beregning a konstanten b Idet vi nu kender konstanten a, og samtidig kender kombinationer a og y der ligger på linien, kan vi nu også beregne konstanten b Idet y a + b gælder det også at y 1 a 1 +b og y a +b

19 Vi kan deror anvende blot én a ormlerne y 1 a 1 +b og dermed inde b. Ved at indsætte de kendte talværdier ås: y1 a1 + b,1 1 + b 1 + b 1 b Vi kan dermed opstille den endelige ligning or relationen mellem produktion og omkostninger i det tænkte eksempel y, Skæring mellem to linier: løsning a to ligninger med to ubekendte Mange steder i økonomien er det interessant at inde skæringspunkter mellem linier. Det skal vi se på i det ølgende. Metoden vi anvender her, svarer til den man anvender, hvis man skal løse to ligninger med to ubekendte. Bemærk: to linier vil altid skære hinanden med mindre linierne har samme værdi or a, dvs. samme hældningskoeiient. To linier med samme hældningskoeiient kaldes parallelle linier Substitutionsmetoden Metoden vi skal anvende her er den såkaldte substitutionsmetode. Herunder ses orskriterne or to rette linier Y5+ 1 Y-4 Tidligere har vi set hvordan det er muligt at løse en ligning med én ubekendt. Pointen bag substitutionsmetoden er at udtrykke den ene ubekendte med den anden, og dermed opnå en situation hvor der kun er én ubekendt. Anvendes ligningerne herover kan vi se, at der er orskellige udtryk or y. Hvis vi i ligning 1 indsætter den værdi or y, som er givet a ligning og dermed substituerer y væk med et udtryk hvor i indgår, har vi kun én ubekendt og kan dermed inde -værdien or skæringspunktet mellem de to linier. dvs.:

20 Idet vi har undet -værdien kan vi inde y ved at indsætte tallet or i en a de to oprindelige ligninger. Her vælges ligning 1, men kan også bruges: Dermed har vi skæringspunktet mellem linierne: y 5 + y 8 ;y -; Eksempler ra den økonomiske verden Eksempel: produktionsvalg or en produent der opererer på et marked med uuldkommen konkurrene Så længe omkostningerne ved at øge produktionen er mindre end den ekstra indtjening, der genereres ved produktionsorøgelsen, er det proitabelt at øge produktionen. Faktisk bør man, hvis man ønsker at proitmaksimere, øge produktionen indtil de ekstra udgiter, der er orbundet med produktionsorøgelsen præis svarer til det ekstra omsætning, der genereres ved produktionsorøgelsen. Mere ormelt siger man, at man skal produere til de marginale omkostninger MC er lig den marginale omsætning MR. Vi antager nu, at MC og MR kurverne kan udtrykkes som rette linier. I et marked, der er kendetegnet ved uuldkommen konkurrene, vil MR kurven være aldende, mens MC kurven antages at være stigende. Hvis MR er givet ved ormlen MR1-Q, hvor Q står or kvantitet eller mængde, enheder pr. uge, og er den uahængige variabel og MC er givet ved ormlen MC1+15Q, hvad vil da være den optimale mængde at produere? Man produerer som nævnt den optimale mængde hvor MRMC. Både MR og MC har vi udtrykt ved Q. Ved at sætte de to udtryk lig hinanden kan vi inde det Q, der opylder kravet om MRMC Dvs. - -

21 1 Q 1 + 1Q 9 3Q 3 Q Således proitmaksimerer virksomheden, hvis den produerer 3 enheder pr uge a den pågældende vare. Eksempel: IS-ligningssystemet - makroøkonomi Hidtil har vi set på nogle helt simple ligningseksempler. Vi skal nu se på nogle mere komplierede ligningseksempler. I makroøkonomien spiller IS-ligningssystemet en væsentlig rolle. IS-ligningssystemet anvendes når man ønsker at analysere ligevægten på varemarkedet i et givet land på kort sigt. Vores orståelse or denne ligevægt stiger med anvendelsen a substitutionsmetoden. For et lukket samund, dvs. et samund, der ikke handler med udlandet, kan den samlede eterspørgsel i samundet karakteriseres ud ra ligningen AD C + I + G Hvor AD er den aggregerede eterspørgsel, C er privatorbruget, I er investeringer og G er oentligt orbrug. G er eksogent givet dvs. givet udera og deror markeret med en streg. Denne ligning siger i sig selv ikke så meget, men med substitutionsmetoden kan man danne et mere inormativt udtryk Det orholder sig nemlig sådan, at to a de tre størrelser, nemlig C og I kan udtrykkes ved hver deres ligning. C C + Y I I bi Indholdet a de to ligninger er i denne sammenhæng mindre vigtigt. Det interessante er, at vi nu, udover at have et udtryk or den aggregerede eterspørgsel, også har en orbrugsunktion og en investeringsunktion. Disse kan indsættes i AD ligningen. Dvs: udgangspunkt : AD C + I + G udvidelse : AD C + Y + I bi + G AD C + I + G + Y bi - 1 -

22 Ved anvendelse a substitutionsmetoden kan vi altså kombinere de tre ligninger til et ælles udtryk vedrørende den aggregerede eterspørgsel. Her er pointen blot, at man med substitutionsmetoden kan kombinere inormation ra lere ligninger og dermed å ét udtryk der siger en hel del mere.. Andengradspolynomier Andengradspolynomiet er en unktion på ormlen Ya +b+ Her er a, b og alle konstanter mens og y stadig er hhv. uahængig og ahængig variabel Eksempler på andengradspolynomier kunne være Y Y Y -4-3 Det graiske udtryk or andengradspolynomiet er den såkaldte parabel, som ses herunder i to orskellige tilælde. Det ørste hvor a< og det næste hvor a>, hvor parablen vender, inder vi toppunktet. Det er i disse tilælde ved og d. Y Y X X a< a> Omkring andengradspolynominer er det væsentligt at kunne bestemme nulpunkter -værdier or hvilke det gælder at y og toppunktet. Vi skal her ikke bruge tid på at bevise de matematiske ormler, man bruger, men blot anvende dem. d.1 Toppunkt En parabels toppunktskoordinater er givet ved ølgende udtryk b d TP,, hvor d b 4a a 4a hvilket repræsenterer værdierne or hhv. og y koordinaterne. - -

23 Konstanterne a, b og er dem vi kender ra andengradspolynomiets orskrit, mens d kaldes diskriminanten. Kender man orskriten or et andengradspolynomium, kan man altså bestemme dets toppunkt.. Nulpunkter En parabel har op til to nulpunkter altså skæringspunkter med -aksen. I disse punkter gælder det at værdien a y er. Den ormel vi skal se på her er altså en ormel, der giver os -værdien. Formlen er givet ved: b ± d, hvor d b 4a a konstanterne a, b og er igen dem vi kender ra andengradspolynomiets ormel. Vi vil nu se på nogle eksempler, hvor de orskellige ormler anvendes..3 Eksempler Eksempel 1 For en unktion er det oplyst at Y +b+ Samt at toppunktskoordinaterne er 1; Vi ønsker nu at bestemme b og. ud ra vores viden om toppunktskoordinater kan vi opskrive ølgende: b a 1 og d 4 a Derudover ved vi at a b 1 b 4 dermed kan vi bestemme - 3 -

24 a a b a d b og er nu bestemt, og vi kan opskrive den endelige ligning: Y 4+4 Eksempel : Find nulpunkter Et andengradspolynomium har ølgende orskrit: Y Vi ønsker at inde de værdier a der medører at y. Man siger at vi ønsker at inde polynomiets rødder. Vi anvender ormlen ra asnit ± ± Når man har undet rødderne, kan man altid kontrollere, om de er rigtige ved at indsætte dem i den oprindelige ligning på s plads og tjekke, at man år løsningen y

25 3. Potensunktioner Vi har tidligere set på lineære unktioner, og konstateret, at hver gang ændrede sig med én enhed, ændrede y sig med en ast størrelse svarende til hældningskoeiienten a. For potensunktioner gælder noget andet, nemlig at hver gang ændres én proent, ændres y en givet proentdel. Den simple potensunktion er givet ved ormlen yb a, hvor b er en konstant, er den uahængige variabel, og a er eksponenten. Graisk kan potensunktionen tage tre orskellige udtryk. Disse ses herunder. Det agørende or graens udseende er størrelsen på a: Potensunktioner anvendes inden or mange områder a den økonomiske videnskab og inden or avanerede statistiske modeller. 3.1 Potensregneregler Skal man regne med udtryk, hvori potensudtryk indgår, gælder ølgende regneregler Potensregneregler Potensregneregler a b a+ b og a a a y y og a b ab y a a a b ab y a a a. 3. a 1 a - 5 -

26 4. Eksponentialunktioner En jerde unktionstype vi skal se på er eksponentialunktioner. En eksponentialunktion er kendetegnet ved at y vokser med et givet antal proent, når vokser én enhed. Eksponentielle unktioner bruges inden or lere orskellige videnskabelige disipliner inden or samundsvidenskaben. Et klassisk eksempel er beolkningsvækst. Eksemplet er godt, netop ordi vi teoretisk vil orvente en eksponentiel vækst, men også ordi empirien bekræter det. Grunden til at man vil orvente en eksponentiel rem or en lineær vækst, er at man må antage, at den aktiske vækst ahænger a, hvor mange mennesker der er i samundet i orvejen. Jo lere mennesker der kommer til, jo lere mennesker vil der være til at skabe vækst i beolkningen, jo større vil væksten blive målt i aktiske termer. Den aktiske vækst vil således ikke være konstant som orudsagt a den lineære unktion, men stige som orudsagt a den eksponentielle unktion. Følgende eksempel kan illustrere dette: Tabellen herunder viser beolkningsvæksten i Indien i perioden Vores uahængige variabel er tiden målt i år, mens den ahængige variabel er beolkningstallet dvs. de to øverste rækker År Mio. personer 47,1 48,5 493, 54, 515,4 57, 538,8 55,8 vækst, aktiske tal - 1,4 * 1,7 11, 11, 11,6 11,8 1, vækst, proent -, *,,3,,5,4,3 Kilde: Bødther og Grell 1995, statistisk tiårs oversigt 1974 * angiver væksten ra På samme måde er de øvrige elter udregnet Ser vi på væksten i aktiske tal, er det tydeligt at denne bliver større og større i takt med at beolkningstallet stiger. Derimod er den proentvise ændring som i øvrigt er udregnet på samme måde som eksempel 1 kapitel temmelig konstant, omkring, %. Dette er et int eksempel på en eksponentialunktion. Idet vi har konstateret en konstant proentvis vækst i perioden, kan vi opskrive beolkningsvæksten i Indien på ormel idet renteormlen ra kap. K n n K 1+ r anvendes. n 1, n K 47,1 Hvis vi anvender de mere gængse variabelbetegnelser så som og y rem or k og n år vi: 1, Y 47,1 Dermed har vi et eksempel på en eksponentialunktion på ormlen Y b a som er det klassiske eksempel på en eksponentialunktion. Bemærk således også at renteunktionen er en eksponentialunktion