Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program"

Carl Berg
7 år siden
Visninger:

1 Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit : - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel: Ligefordeling 1

2 Approksimation af binomial-sandsynligheder X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Resultat: DeMoivre X Bin(n, p) hvor np (1 p) > 5. Da gælder følgende approksimation: Ã! k +0.5 np P (X k) Φ p np (1 p) hvor funktionen Φ ( ) er fordelingsfunktionen for en normalfordeling. Eksempel (bin_approks.xls[normalfordeling]) 2

Da gælder følgende approksimation: Ã! k +0.

3 Poissonfordeling Hvis X Bin(n, p) og n er "stor"og p er "lille", da gælder ³ n P (X = x) = p x x (1 p) n x (np)x exp ( np) x! Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x m) = mx exp ( m) for x =0, 1, 2,... x! X er Poissonfordelt med parameter m og dette skrives som X Poiss(m) E (X) =m Var (X) = m Eksempel (bin_approks.xls[poissonfordeling]) 3

Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x m) = mx exp ( m) for x

4 Figur 1: Sandsynlighedsfunktionen for X Bin(1000, 0.01) dvs. det forventede antal succes er 10 4

5 Figur 2: Sandsynlighedsfunktionen for X Bin(2000, 0.005) dvs. det forventede antal succes er 10 5

6 Poissonproces Eksempel 4.6a: Ankomst af kunder til en butik Tidsenhed: timer λ : Det forventede antal ankomster pr. time (intensiteten) Y t : Antalankomsteriintervalaflængdet (målt i timer) Y 1 : Antalankomsterpr.time Y 5 : Antal ankomster på 5 timer Y 0.25 : Antal anksomter hvert kvarter Y t følger en Poisson-process, dvs. Y t Poisson(λt) Det forventede antal anksomter i et tidsinterval af længde t er λt 6

time (intensiteten) Y t : Antalankomsteriintervalaflængdet (målt i timer) Y 1 : Antalankomsterpr.

7 Egenskaber ved en Poissonproces: Antallet af ankomster pr time afhænger ikke af selve tidspunktet Antallet af ankomster i et tidsrum er uafhængigt af antallet af ankomster i alle andre tidsrum Ankomsterne i et givet tidsrum er cirka proportionalt med tidsrummet Sandsynligheden for flere ankomster på næsten samme tid er lille 7

ankomster i alle andre tidsrum Ankomsterne i et givet tidsrum er cirka

8 Eksempel 4.6a: Ankomst af kunder Ankomst af kunder til en butik følger en Poissonproces med 5 kunder pr time: Antallet af ankomster per time: X Poiss(5) Sandsynlighedsfordelingen og kumulerede sandsynligheder: x P (X = x) P (X x) Forventede antal kunder pr time: E (X) =5 Spredningen: p Var (X) =

ankomster per time: X Poiss(5) Sandsynlighedsfordelingen og kumulerede sandsynligheder: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P (X =

9 Figur 3: Sandsynlighedsfunktion i Poissonfordeling med parameter 5 9

10 Resultat: Addition X 1 er Poissonfordelt med parameter m 1 og X 2 er Poissonfordelt med parameter m 2, og X 1 og X 2 er uafhængige. Da er X 1 + X 2 Poissonfordelt med parameter (m 1 + m 2 ). Eksempel 4.6c i bogen: Ankomst af type 1 kunder pr. time: X 1 Poiss(3) Ankomst af type 2 kunder pr. time: X 2 Poiss(5) Ankomst af type 1 og 2 kunder: X 1 + X 2 Poiss(8) 10

Da er X 1 + X 2 Poissonfordelt med parameter (m 1 + m 2 ). Eksempel 4.

11 Kontinuerte stokastiske variabler X kontinuert stokastisk variabel, der kan antage alle reelle talværdier Eksempler: Indkomster for individer Omsætning i virksomheder Udgift til forbrugsvarer i husholdninger 11

talværdier Eksempler: Indkomster for individer

12 Fordelingsfunktionen Interesseret i hændelserne: (X x) for x R (a <X b) for a, b R og a<b Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Definition: Fordelingsfunktionen for den stokastiske variabel X er defineret som F (x) =P (X x) for x R Engelsk: cumulative distribution function, forkortes til cdf Sandsynligheden for intervallet ]a, b] er givet ved: P (a <X b) =P (X b) P (X a) =F (b) F (a) 12

variabel X er defineret som F (x) =P (X x) for x R Engelsk: cumulative distribution function,

13 Ligefordeling (rektangulær fordeling) Engelsk: Uniform distribution Eksempel 5a i bogen: Venter på en bus Der kommer en bus hvert 10. minut. Jeg ankommer til stoppestedet uden at vide, hvornår bussen kommer. Hvor sandsynligt er det, at jeg skal vente mere end 5 minutter? Stokastisk variabel X, der angiver tidspunktet for bussens ankomst 13

Jeg ankommer til stoppestedet uden at vide, hvornår bussen kommer.

14 Diskrete tilfælde: Vi kan kun måle med halve minutters nøjagtighed, dvs. X kan antage 20 forskellige værdier. Vi måler X i minutter. Alle værdier af X er lige sandsynlige, dvs. P (X = x) =1/20 = 0.05 for alle x = 1, 1, 2 11, 2,...,

15 Kontinuerte tilfælde: Vi kan måle med uendelig stor nøjagtighed, dvs. X kan antage alle reelle værdier. X =1.5: Bussenkommerefter1min.og30sek. X =2.9: Bussenkommerefter2min.og54sek. P (X x) =0for x<0 P (X x) =1for x>10 Sandsynligheden for, at bussen kommer indenfor 30 sekunder, er den samme på alle tidspunkter: P (x <X x +0.5) = 1/20 = x +0.5 x 10 15

16 Sandsynligheden for, at bussen kommer indenfor et minut, er 2 gange sandsynligheden for, at den kommer indenfor 1/2 minut: P (x <X x +1)=2P (x <X<x+0.5) = 1/10 = x +1 x 10 Sandsynligheden for at bussen kommer i intervallet mellem 1.42 og 3.61: P (1.42 <X 3.61) = 10 Sandsynligheden for, at bussen kommer i intervallet ]a, b], er givet ved P (a <X b) = b a 10 Fordelingsfunktionen for X er givet ved F (x) =P (X x) = 0 for x<0 x/10 for 0 x 10 1 for x>10 16

17 Figur 4: Fordelingsfunktionen for en ligefordeling på intervallet [0,10] (blå) samt for en diskret fordeling, hvor alle værdier 0.5, 1, 1.5,...,10 er lige sandsynlige (sort). 17

18 Fordelingsfunktion for en ligefordeling X er ligefordelt på intervallet [a, b]. DetteskrivesX U (a, b). Fordelingsfunktionen for X : F (x) = 0 for x<a x/ (b a) for a x b 1 for x>b Der gælder: P (x 1 <X x 2 )=F (x 2 ) F (x 1 )= x 2 x 1 b a 18

Fordelingsfunktionen for X : F (x) = 0 for x<a x/ (b a) for

19 Egenskaber ved fordelingsfunktionen: (i) F (x) 0 for x,f (x) 1 for x (ii) F (a) F (b) for a<b (iii) Fordelingsfunktionen er kontinuert fra højre 19

20 Tæthedsfunktionen Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 X kontinuert stokastisk variabel med fordelingsfunktion F (x) Hvad er sandsynligheden for, at X ligger i et lille interval omkring værdien x : P (x <X x + x) =F (x + x) F (x) = F (x) Forholdet mellem sandsynlighedsmasse og intervallængde når intervallængden går mod nul: F (x) F 0 (x) =f (x) for x 0 x f (x) kaldes tætheden for x Engelsk: Probablity density function, forkortes til pdf 20

x) F (x) = F (x) Forholdet mellem sandsynlighedsmasse og intervallængde når intervallængden går mod nul: F (x)

21 Diskrete tilfælde: Sandsynlighedsfunktionen f (x) angiver sandsynligheden for at X er lig med x Kontinuerte tilfælde: Sandsynligheden for at X ligger i et interval omkring x er xf (x) Tætheden f (x) angiver koncentrationen af sandsynlighed omkring værdien x 21

22 Eksempel: Ligefordeling: X er ligefordelt på intervallet [a, b] Fordelingsfunktionen for X : F (x) = 0 for x<a x/ (b a) for a x b 1 for x>b Tætheden for X : f (x) = 0 for x<a 1/ (b a) for a x b 0 for x>b 22

23 Der gælder: Dermed også: F (x) = Z x F 0 (u) du = Z x f (u) du P (a <X<b)=F (b) F (a) = Z b f (x) dx Z a f (x) dx = Z b a f (x) dx Egenskaber ved en tæthedsfunktion f: f (x) 0 for alle x R f (x) =1 Tæthedsfunktionen definerer en fordelingsfunktion: F (x) = R x f (u) du 23

24 Figur 5: Sammenhæng mellem tæthedsfunktionen f(x) og fordelingsfunktionens værdi for x =1 24

25 Figur 6: Fordelingsfunktionen F (x) Figur 7: 25

26 Figur 8: Tæthedsfunktionen f(x) for en stokastisk variabel X og illustration af P ( 1.5 <X 1) 26

27 Figur 9: Fordelingsfunktionen F (x) for en stokastisk variabel X og illustration af P ( 1.5 <X 1) 27

28 Opsummering Approksimation af binomialfordeling med normalfordeling Poisson fordeling: - Antal gange en sjælden hændelse indtræffer i et stort antal gentagelser Poissonproces: - Eksempel: Kundeankomst Kontinuerte fordelinger: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Sandsynligheder af intervaller Ligefordeling: - Kontinuert version af "alle udfald lige sandsynlige" 28

29 Næste gang Onsdag gennemgåes: Afsnit Kontinuerte fordelinger Husk: - Der er stedprøve torsdag den 22. marts - Tilmelding til eksamen i uge

Relaterede dokumenter

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte