Formler til den specielle relativitetsteori

Transkript

1 Formler til den specielle relativitetsteori Jeppe Willads Petersen 25. oktober 2009 Jeg har i dette dokument forsøgt at samle de fleste af de formler, vi har brugt i forbindelse med den specielle relativitetsteori, da jeg i høj grad savnede en samlet oversigt over disse. Formlerne her har ikke samme nummer, som i det hæfte Mogens Dam har skrevet, da jeg så også skulle indsætte alle de andre formler, som er brugt til udledelsen af de vigtige formler. Jeg har dog i høj grad forsøgt at få dem til at ligge i samme rækkefølge som i hæftet. Til sidst har jeg valgt at indføre et afsnit med nogle anbefalinger til hvilke dele af hæftet, man i særdeleshed bør holde øje med. Det kan godt være at man ikke kan løse alle opgaver ved blot at sætte værdierne ind i formlerne, men det hjælper en et godt stykke af vejen, at kunne finde den rigtige formel at tage udgangspunkt i. 1

2 Indhold 1 Fra Newton til Einstein Newtons love Galilei transformationsligningerne Einsteins postulater Lorentz-transformationer Samtidighed længde Lysets hastighed Lorentz-transformationsligningerne Differenser og differentialer af Lorentz Kvadrerede former Hastighedsgrænser Rumtidsdiagrammer Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen Relativistisk kinematik Længdeforkortning Tidsforlængelse Transformation af hastigheder Retning af bevægelse Relativistisk optik Doppler-effekten Kort om klassisk Doppler-effekt Relativistisk Doppler-effekt Ikke parallel Doppler-effekt Lysets aberration Rumtiden og fire-vektorer dimensionale rumtidsdiagrammer vektorer Regning med 4-vektorer vektor geometri Egentiden hastigheden accelerationen Relativistisk mekanik Impulsbevarelse Energibevarelse Sammenhæng mellem impuls og energi Masseløse partikler Tyngdepunktssystemet og den invariante masse Elektronvolt Anbefalinger 15 2

3 1 Fra Newton til Einstein Til dette afsnit har jeg valgt ikke at inddrage de eksperimenter, der bliver nævnt i hæftet, da de ikke giver os nogen ligninger, som ikke er beskrevet mere fyldestgørende senere. 1.1 Newtons love Som udgangspunkt for Galilei-transformationerne har man al den fysik, vi gennemgik i første halvdel af blok 1. Den slags fysik transformerer sig på yderst simpel vis fra et koordinatsystem til et andet og tager udganspunkt i Newtons love og definitionerne af tid, længde, hastighed, acceleration osv. Newtons 1. lov Et legeme, som ikke påvirkes af nogen kraft bevæger sig med konstant hastighed. hvor r er legemets stedvektor og u er hastigheden. Newtons 2. lov F = 0 u = d r = konstant (1.1) dt Et legemes acceleration, a = d u dt, er proportionel med kraften, der virker på legemet med faktoren m. d u F = m (1.2) dt hvor a er acceleration og u er hastigheden. Newtons 3. lov Hvis et legeme påvirker et andet legeme med en kraft, vil det andet legeme påvirke det første legeme med en lige så stor, men modsatrettet, kraft. FAB = FBA (1.3) 1.2 Galilei transformationsligningerne Ligningerne for klassisk transformation bør kun bruges, hvis legemerne har en meget lav hastighed relativt til lysets. x = x vt y = y z = z (Position) t = t (1.4) u x = u x v (Hastighed) u y = u y u z = u z (1.5) 3

4 a x = a x (Acceleration) a y = a y a z = a z (1.6) Sætning 1.1 Det er ikke muligt på grundlag af mekaniske fænomener at skelne mellem inertialsystemer eller at udpege et særligt udmærket inertialsystem. Dette kaldes Det Newtonske Relativitetsprincip, og siger dybest set blot, at man ikke kan afgøre hvilket inertialsystem, man står i ud fra mekaniske fænomener. 1.3 Einsteins postulater I 1905 kom Einstein med grundlaget for den specielle relativitetsteori. Med dette grundlag fulgte to postulater, der danner rammen for den nye teori. Sætning 1.2 Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter. Første postulat er egentlig blot en udbygning af Det Newtonske Relativitetsprincip, idet det nu ikke blot er mekaniske fænomener men alle fænomener, der vil have samme resultat i ethvert inertialsystem. Sætning 1.3 I det tomme rum udbreder lyset sig retlliniet med hastigheden c i enhver retning i ethvert inertialsystem. Dette postulat er vel et af de bedste eksempler på lille årsag, stor virkning. Det umuliggør Galilei-transformationerne og leder dermed til relativitetsteorien. 2 Lorentz-transformationer Med indførelsen af Einsteins to postulater mister Galilei-transformationerne deres gyldighed. Dog passer de stadig i særdeles høj grad ved lave hastigheder. En ny udgave af transformationsligningerne skal altså være konforme med Galilei-transformationerne, men også tage højde for de nye postulater. 2.1 Samtidighed En anden konsekvens af Einsteins nye postulater er nedbrydelsen af vores definition af samtidighed. Denne er ikke umiddelbar synlig ud fra postulaterne, men bliver klar senere. For at bevare noget der minder om vores opfattelse af samtidighed indføres følgende: Sætning 2.1 To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal udsendt fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder sted der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt. 2.2 længde Længdeforkortning er endnu en konsekvens af relativitetsteorien. For at vi kan sige noget om længdeforkortningen må vi dog først have defineret hvilelængden, dvs. den længde der bliver forkortet. 4

5 Sætning 2.2 Ved længden af en stang, der bevæger sig i sin længderetning parallelt med en målestok, forstår vi afstanden mellem to mærker afsat på målestokken ud for stangens endepunkter til samme tidspunkt. Implicit i denne sætning ligger det også at længden ikke forkortes ved bevægelse vinkelret på længden. Formlen for længdeforkortning er: 2.3 Lysets hastighed L = L 0 γ = L 0 1 v2 c 2 (2.1) I gamle dage var meteren defineret som af afstanden fra ækvator til Nordpolen. Da man senere fandt ud af, at dette ikke var tilstrækkeligt nøjagtigt, omdefinerede man meteren til at være lige så lang som en meterstok, der lå på et institut lidt udenfor Paris. Da dette imidlertid heller ikke var nøjagtigt nok, har man nu defineret meteren på følgende vis: Sætning meter er den længde lyset tilbagelægger i vakuum i s. Dermed er meteren defineret ud fra lyshastigheden, som omvendt er defineret som værende givet ved c m s (2.2) 2.4 Lorentz-transformationsligningerne Ved at betragte begivenheders position i det tredimensionelle rum og tiden ved forskellige hastigheder kan man nå frem til nogle ligninger, der beskriver positionen og tiden i et andet inertialsystem, der bevæger sig med en anden hastighed. Disse ligninger er: t =γ(t vx c 2 ) x =γ(x vt) y =y (Bevægede positioner) z =z (2.3) Hvor t =γ(t + vx c 2 ) x =γ(x + vt ) y =y (Stationære positioner) z =z (2.4) 1 γ = γ(v) = (2.5) 1 v2 c 2 Hvis man ser på ligningerne, kan man se, at ved lave hastigheder har Lorentz-transformationen ingen nævneværdig effekt, da lysets hastighed er så stor. 5

6 2.4.1 Differenser og differentialer af Lorentz Hvis man rykker lidt rundt på ligningerne for den firedimensionale position, når man frem til at følgende ligninger også er gældende: t =γ( t v x ) (Forskydning mellem positioner) c2 x =γ( x v t) y = y z = z (2.6) dt =γ(dt vdx c 2 ) dx =γ(dx vdt) dy =dy 2.5 Kvadrerede former ((Kort) forskydning mellem positioner) dz =dz (2.7) Hvis man ikke er givet hastigheden, er der en måde, man kan komme udenom at skulle beregne denne ved blot at se på følgende identitet: c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (2.8) Denne identitet gælder også for differentialer. Når vi kun ser på bevægelser i en retning får vi selvfølgelig også at c 2 t 2 r 2 = c 2 t 2 r 2 (2.9) Til brug i afsnit 6 definerer vi intervallet mellem to begivenheder som s 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (2.10) For alle disse værdier husker vi på, at notationen egentlig er forkert, idet der burde have stået ( a) 2 i stedet for a 2, da det er kvadratet på differensen og ikke differensen af kvadraterne. 2.6 Hastighedsgrænser Fartgrænsen i universet er c. Hvis noget bevæger sig hurtigere end c, begynder ting at have en effekt før de sker og det bryder vi os ikke om. Hold dig derfor indenfor fartgrænsen eller vi kom efter dig. Iøvrigt er du nødt til at blive ved med at bevæge dig med overlyshastigheder, hvis først du er gået i gang og hvis ikke du er gået i gang, så er det bare ærgeligt, for så kan du nemlig ikke komme over lyshastigheden. Ting som skæringspunkter kan dog bryde fartgrænsen, men deres overlyshastigheder kan vi ikke bruge til at overføre information med. 6

7 2.7 Rumtidsdiagrammer Som regel hjælper det en hel del at tegne tegninger, af det man laver, men da det kan være svært nok at tegne tre dimensioner på et papir, tænker man umiddelbart, at det da må være fuldstændig umuligt at lave fire dimensioner (det er det naturligvis også), men hvis man snyder lidt og laver tre om til en, ved blot at tage afstanden fra et punkt (og sige at alle punkter ligger langs denne retning), kan man lave fire dimensioner om til to og lave nogle særdeles brugbare diagrammer med retningsafstanden ud af førsteaksen og tiden ganget med lyshastigheden ud af andenaksen. Hvis man i dette koordinatsystem slår to streger gennem et vilkårligt punkt, der har hældningen 1 og -1, så vil alle punkterne på linjerne over selve punktet repræsentere de steder hvor et lyssignal vil kunne nå frem til, hvis det blev udsendt fra dette punkt i rumtiden (disse streger kaldes lyskegler). Området mellem de to linjer over punktet vil kunne nås med underlyshastigheder og vil dermed kunne påvirkes af begivenheden i punktet. Omvendt gælder det, at linjerne under punktet viser de steder, et lyssignal i punktet kunne komme fra og området mellem de to linjer viser de steder, der kunne påvirke begivenheden, hvis de bevægede sig med underlyshastigheder. Den resterende del af diagrammet kan ikke påvirke eller blive påvirket af en begivenhed i punktet (et punkt, der ikke ligger inden for et andet punkts lyskegle, kaldes isoleret). Man bør iøvrigt holde for øje, at to isolerede punkter sagtens kan påvirke de samme begivenheder, såfremt de ligger inden for hvert af de isolerede punkters lyskegler. 2.8 Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen Afsnittet er ikke pensum, men super spændende og vil ødelægge din tankegang i et par timer(/dage), hvis du sætter dig ned og kigger det ordentligt igennem (men det er det værd). 3 Relativistisk kinematik 3.1 Længdeforkortning Som jeg var inde på i afsnit 2.2, sker der ved al bevægelse en forkortelse af alle legemer i bevægelsesretningen. Jeg vil ikke uddybe det nærmere end at gentage ligningen. 3.2 Tidsforlængelse L = L 0 γ = L 0 1 v2 c 2 (3.1) Set fra to inertialsystemer med hver deres hastighed vil tidsintervallet mellem to begivenheder have forskellig varighed. I modsætning til længden bliver intervallet dog forlænget, men med samme faktor. Dermed får vi udtrykket T = γt 0 = T 0 1 v2 c 2 (3.2) 7

8 3.3 Transformation af hastigheder Vi ser nu på to inertialsystemer S og S, hvor S bevæger sig med en hastighed v i forhold til S. Hvis der i S er et legeme, der bevæger sig med en hastighed u, må dette ligeledes have en hastighed u i S. Forholdet mellem disse hastigheder er givet ved følgende ligninger: u x = u x v 1 u x v c 2 u y u y = γ(1 u x v u z = ) c 2 u z γ(1 u z v c 2 ) u x = u x + v 1 + u x v c 2 u y u y = γ(1 + u x v u z = ) c 2 u z γ(1 + u z v c 2 ) (transformation til bevægede hastigheder) (3.3) (transformation fra bevægede hastigheder) Her er u x, u y og u z hastigheden i x, y og z retningen og hastigheden v har samme retning som x-aksen. 3.4 Retning af bevægelse Hvis vi bibeholder de to inertialsystemer fra sidste underafsnit, men begrænser legemets bevægelse til kun at foregå i (x, y)-planen, så kan vi lave nogle beregninger på hvilken vinkel, bevægelsen laver med x-aksen i de to inertialsystemer. Vi ser først at cot θ = u y og cot θ = u y u x u (3.5) x Som følge heraf kan vi udlede følgende formel, der giver os sammenhængen mellem vinklerne i to inertialsystemer, der bevæger sig med en hastighed v i forhold til hinanden. cot θ = γ cot θ(1 (3.4) v u cos θ ) (3.6) Da min lommeregner ikke har en cotangens funktion, har jeg skrevet denne formel om til en tangens funktion. tan θ u sin θ = (3.7) γ(u cos(θ) v) 4 Relativistisk optik Til dette afsnit er der specielt en ligning, man bør have langt inde under huden, da den kan være yderst brugbar. c = λν (4.1) 8

9 4.1 Doppler-effekten Doppler-effekt beskriver det fænomen, at bølger fra en bølgekilde, der befinder sig i et bevæget inertialsystem, vil ændre karakter for alle andre inertialsystemer. I løbet af dette underafsnit vil følgende forkortelser være gældende: c bølgens udbredelseshastighed i mediet w oscillatorens hastighed i forhold til mediet v iagttagerens hastighed i forhold til mediet u den relative hastighed mellem medie og oscillator (u = v = w) ν 0 oscillatorens frekvens ν den iagttagne frekvens α vinklen mellem x-aksen og oscillatorens bevægelsesretning Her regnes v og w positive, når kilderne bevæger sig væk fra hinanden Kort om klassisk Doppler-effekt Doppler-effekt er som sådan ikke noget, der kommer som resultat af relativitetsteorien, den bliver blot korrigeret en smule. Den eneste formel vi behøver at kende for klassisk Dopplereffekt, er: Relativistisk Doppler-effekt ν kl ν 0 = 1 v c 1 + w c (4.2) For relativistiske hastigheder hedder formlen: ν rel ν 0 = 1 u c 1 + u c (4.3) Denne kan let omskrives så den beskriver bølgelængder i stedet. Således gælder det også at λ 0 λ rel = 1 v c 1 + w c (4.4) Ikke parallel Doppler-effekt Hvis oscillatorens bevægelse ikke sker parallelt med iagttageren, må der naturligvis gælde nogle andre regler for Doppler-skiftet. Denne korigering giver følgende formel: 4.2 Lysets aberration λ 0 λ rel = ν rel ν 0 = 1 u2 c u c cos α = 1 γ(1 + u c cos α) (4.5) Lysets aberration svarer til det faktum, at man får vand i øjnene, når man cykler og ikke når man står stille. Når man står stille lader regnen til at have en så lille vinkel med lodret, at dråberne ikke kan komme ind til øjnene. Hvis man bevæger sig, lader vinklen til at blive større med 9

10 det til tider irriterende resultat, at man får regn i øjnene, og derfor må køre langsommere for at kunne se ordentligt. Her er regnens hastighed så blot lig lysets, hvilket umiddelbart gør vinklen neglicibel, indtil man bevæger sig med relativistiske hastigheder. Alt dette kan reduceres til blot at være et specialtilfælde af underafsnit 3.4, som giver formlen cot θ = γ cot θ (1 + v ), (4.6) c cos θ hvilket svarer til (3.6) hvor u er sat til lysets hastighed. 5 Rumtiden og fire-vektorer I Mogens Dams hæfte bliver der til dette kapitel gennemgået regnereglerne for 3-vektorer, disse har jeg ikke tænkt mig at opsummere her dimensionale rumtidsdiagrammer I underafsnit 2.7 har jeg beskrevet de fleste egenskaber ved rumtidsdiagrammer. Ved at sætte en ekstra dimension på, får vi blot 3-dimensionelle strukturer der er en dimension tættere på at vise virkeligheden, men en dimension sværere at tegne. Ved at gå til tre dimensioner bliver det åbenlyst, at vi må tage højde for afstanden i de tre rumlige dimensioner fremfor blot x-retningen, hvis vi skal gøre os forhåbninger om at finde ud af hvorvidt to begivenheder er isolerede eller ej. I de 3-dimensionale diagrammer bliver lysets mulige verdenslinjer fra en begivenhed afbildet som en dobbeltkegle, hvoraf vi får det allerede brugte udtryk lyskegler. Figurene 5.2 og 5.3 kan varmt anbefales til at visualisere disse principper, specielt ved sammenligning med figur

11 5.2 4-vektorer Regning med 4-vektorer For 4-vektorer gælder følgende regneregler: A 0 B 0 A 0 + B 0 A 1 A 2 + B 1 B 2 = A 1 + B 1 A 2 + B 2 (5.1) A 3 B 3 A 3 + B 3 A 0 βa 0 β A 1 A 2 = βa 1 βa 2 (5.2) A 3 βa 3 A 0 1 δ A 1 A 2 = A 3 A = A 0 δ A 1 δ A 2 δ A 3 δ A 0 A 1 A 2 A 3 (5.3) (5.4) A 2 =A 2 0 A2 1 A2 2 A2 3 (5.5) A = A 2 0 (5.6) A B =A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 (5.7) Regnereglerne minder meget om dem for 3-vektorer, men der er et par ret så væsentlige forskelle vektor geometri I dette underafsnit vil jeg forsøge at relatere 4-vektorerne til rumtidsdiagrammerne. Kvadratet på en 4-vektor kan være enten negativ, positiv eller 0. Hvis kvadratet er 0 peger vektoren langs lyskeglen for en begivenhed i begyndelsespunktet for vektoren, denne slags vektorer kaldes lysagtige. Hvis kvadratet er positivt peger vektoren ind i lyskeglen og kaldes tidsagtig. Endelig er der muligheden hvor kvadratet er negativt. Her peger vektoren ud af lyskeglen (hvor ellers?) og den kaldes for rumagtig. Årsagen til navngivningen er ganske simpel. Lysagtige vektorer følger lysets bevægelse, mens tidsagtige vektorer beskriver en bevægelse, der inden for fysikkens rammer kan ske over tid og de rumagtige ikke er mulige bevægelser, men kan vise rumlige placeringer for andre begivenheder. Tidsagtige og lysagtige vektorer kaldes sammen for kausale vektorer, idet bevægelse langs dem kan være årsag til andre begivenheder. Vi ved at 3-vektorer kan roteres, så de går fra at have formen (a,b,c) til (d,0,0). 4-vektorer kan roteres, så de går fra (a,b,c,d) til (e,f,0,0). Ved en sådan rotering vil fortegnet for førstekomponenten (den tidslige) altid have samme fortegn. Derfor kan vi opdele 4-vektorer i fremtidige og fortidige baseret på fortegnet af deres første komponent (+ betyder fremtidige, - fortidige). 11

12 5.3 Egentiden Egentiden for en 4-vektor er defineret således: dτ 2 ds2 c 2 = dt2 {1 dx2 + dy 2 + dz 2 c 2 dt 2 } (5.8) Egentiden for en partikel, der bevæger sig, bliver således lig med egentiden for den 4-vektor, der beskriver dens bane. Egentiden er altså et udtryk for den forlængede tid i et inertialsystem, der bevæger sig efter 4-vektoren. Denne kan desuden omskrives til Hvor u er den hastighed, hvormed partiklen bevæger sig hastigheden dt dτ = 1 = γ(u) (5.9) 1 u2 c 2 En partikels position kan skrives som en 4-stedvektor. Derfor virker det jo naturligt, at dens hastighed også må kunne skrives som en 4-vektor, det kender vi jo fra 3-vektorerne. Dette ville vi jo dog typisk gøre ved at differentiere med hensyn til tiden, men det kan vi jo ikke, når nu tiden er en af de fire komponenter. Derfor benytter vi i stedet egentiden, som netop er blevet defineret og får dermed: U dx dτ = c dτ dt dx dτ dy dτ dz dτ (5.10) Ved at benytte kædereglen kan vi nå frem til et noget kortere udtryk, der giver os 4-hastigheden således: γc U = γ(u)(c, u) = γu x γu y (5.11) γu z Resultaterne herfra kan benyttes til at eftervise ligningerne i underafsnit accelerationen Vi har godt nok ikke gennemgået dette afsnit, men det behøver jo ikke at forhindre mig i at skrive lidt om det. 4-acceleration er defineret på nøjagtig samme vis som man bør forvente, nemlig På vektorform bliver dette A d2 X dτ 2 = du dτ c dγ dt dγ A = γ dt u x + γa x dγ dt u y + γa y dγ dt u z + γa z 12 (5.12) (5.13)

13 I en partikels hvilesystem vil det iøvrigt gælde at U 2 = c 2 (5.14) 6 Relativistisk mekanik Hastighed spiller i den klassiske mekanik en stor rolle, det er således hastigheden og størrelsen af denne, der afgør impulsen og energien for et legeme i allerhøjeste grad. Når nu vi har set så store problemer med at lægge egenskaber sammen og alle andre regneoperationer for legemer, der bevæger sig med store hastigheder, så må vi logisk nok antage, at der også vil være nogle rettelser til egenskaber som impuls og energi. 6.1 Impulsbevarelse Klassisk har vi defineret impulsen som produktet af massen og hastigheden. Derfor vælger vi nu, hvor vi kender til relativitetsteorien at definere impulsen til at være produktet af den invariante masse og 4-hastigheden, altså P = mu (6.1) Denne definition og (5.14) giver os værdien for impulsen kvadreret i hvilesystemet P 2 = m 2 c 2 (6.2) Udfra alt det vi nu har kan 4-impulsen endeligt defineres som c P γ(u)m u x u y (6.3) u z Med denne notation tager vi impulsbevarelsen som aksiom (en matematisk eller filosofisk sætning som hører til grundlaget i et system, og som ikke kan bevises inden for dette system (hvis du vil vide mere om aksiomer, så skrev jeg SRP om matematikkens aksiomer og kan sikkert hjælpe)). Formelt kan dette opskrives som 6.2 Energibevarelse P i = P j (6.4) i=1,n start j=1,n slut Som resultat af impulsbevarelsen opstår også energibevarelsen. Det første resultat er Einsteins berømte ligning for hvileenergien E 0 mc 2 (6.5) Den totale energi for en partikel bliver imidlertid E = γmc 2 (6.6) 13

14 Hvilket må betyde at den kinetiske (eller i hvert fald forskellen på den totale energi og hvileenergien) bliver K = (γ 1)mc 2 (6.7) Som følge af (6.6) får vi også at impulsen kan beskrives som værende Desuden følger også 6.3 Sammenhæng mellem impuls og energi E c P = p x p y (6.8) p z p = E c2 u (6.9) Til sammenligning mellem impuls- og energibevarelse er der en vigtig formel. Denne er 6.4 Masseløse partikler E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 (6.10) Af sidste underafsnit ses det, at vi også kan udregne energien for masseløse partikler, såsom fotoner. Her bliver (6.10) til p = E c (6.11) 4-impulsen for den masseløse partikel bliver derved P = E ( 1 c n) (6.12) Hvor n er enhedvektor for bevægelsen. Til dette underafsnit hører også sammenhængen mellem en partikels energi og frekvens, der er givet ved E = hν (6.13) Hvor h er Plancks konstant. 6.5 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse For ethvert system af partikler (på nær et bestående af masseløse partikler, der alle bevæger sig parallelt) kan man opstille et inertialsystem, hvor den samlede impuls er 0, dette kaldes et tyngdepunktssystem. For et sådant system er følgende gældende: E = E i, i p = p i, i For dette indertialsystem vil det være givet at P CM = P = 1 ( ) Mc 0 P i = 1 ( Ei c p i ) ( Ec p ) = Hvor M er den totale masse for systemet. Denne masse er bevaret for ethvert inertialsystem. (6.14) (6.15) 14

15 6.5.1 Elektronvolt Da energien, massen og impulsen for mange partikler er uhåndgribeligt lille vælger man ofte at benytte enheden ev (elektronvolt) i stedet for Joule, ev i stedet for kg og ev c 2 c i stedet for kg m s. Omskrivningsfaktoren er givet ved 1 ev = J (6.16) 7 Anbefalinger Som lovet vil jeg slutte af med at komme med et par anbefalinger til hvilke dele af hæftet, man bør holde særligt øje med. Hvis man er den mindste smule i tvivl, om hvad forskellen på invariant, bevaret og konstant er, så bør man læse appendiks A i hæftet. Uden at have set et eneste af de tidligere prøvesæt, føler jeg mig sikker på, at en af opgaverne i prøven vil give resultatet 0, hvis man benytter lommeregneren, fordi man skal bruge taylorudvikling. Derfor læs afsnittet om taylorudvikling i Kalkulus en ekstra gang og tjek op på Appendiks B. Når du begynder på en opgave, så prøv at lave en tegning af systemet, der beskrives i opgaven. Som regel tydeliggører det, hvor problemet ligger og hvis du har problemer med at tegne/beskrive en bestemt del af opgaven, er det nok heri, at problemet ligger. Til slut vil jeg anbefale, ligesom Ian og Mogens efterhånden har gjort en del gange, at man læser hele opgavesættet igennem, før man går i gang med at regne opgaverne. Ikke blot fordi man så kan udvælge den letteste, men også fordi man så har de andre opgaver liggende i underbevidstheden og så småt tænker, på hvordan man skal løse dem, når man når til dem. Nåh ja og så husk en lommeregner, du får brug for den (men nok kun plus, minus, gange, dividere, cos, sin, tan og evt. cot (hvis du ikke bruger mine omskrivninger). En solve-funktion kan også bruges, men så ser man ikke al den smukke matematik (det sparer dog af og til en for fejl). Albert Einstein: Try not to become a man of succes, but rather try to become a man of value. 15