Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012"

Transkript

1 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 Banach-Tarski paradox gone wrong!

2 Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens Siegstad, Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Kristian Peter Poulsen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar, Martin Patrick Speirs, Søren Knudby, Søren Wengel Mogensen

3 Indhold 3 Indhold Sommeren er kommet Præmieopgave Fagrådet er blevet oprettet igen! Algebraens Fundamentalsætning Matematik og Økonomi Sådan smager dit nærmiljø Blokkens kasser Blokkens Spil Millionbeløb til eksperimentel matematik Geometri på vers Matematisk Lyrik Tag et alternativt valgfag Alternativ sudoku Banach-Tarski Paradokset Banach Tarski Paradokset - Uden appelsiner Filosofien og matematikken bag Google Kladepapir årgang, nr. 4

4 4 Sommeren er kommet Kristian Knudsen Olesen Blok 4 er ved at være gået. Sommeren er kommet. De studerende stopper snart med at dividere for i år, og de ansatte får et lille pusterum fra de studerende, som lidt for ofte dividerer med nul. Denne kommende divisionspause betyder også, at Famøs årgang 21 nu er kommet til en afslutning, men som man siger: enhver afslutning er begyndelsen på noget nyt, og efter sommerferien vender Famøs-redaktionen selvfølgelig tilbage med årgang 22. Redaktionen vil gerne sige tak, både til de studerende og de ansatte, for den store entusiasme og opbakning der har været omkring opstarten af Famøs. Mange har bidraget til bladet, både i form af indhold og i form af hjælp til diverse praktisk opgaver. Skønt Famøs er et gammelt blad, er det i øjeblikket karakteriseret ved at have en meget ny redaktion. Dette har betydet en helt masse arbjede fra redaktionens side, men har også givet en mulighed for at give bladet et nyt præg. Det har været et lærerigt år, og vi satser på at kunne gøre det endnu bedre i fremtiden. I den forbindelse vil vi gerne minde om, at vi altid er glade for konstruktiv kritik, så tøv ikke med at sende en til Vi er altid interesserede i at høre fra vores læsere, og man er velkommen til at skrive lige meget hvad man har på hjertet. Trykningen af Famøs bliver betalt af Institut for Matematiske Fag, og det er vi selvfølgelig taknemmelige for. Tilbage er der kun at sige: god fornøjelse med dette Famøs nummer 4 årgang 21. Famøs juni 2012

5 Er du mon den heldige vinder? 5 Præmieopgave Nu med endnu mere hjernegymnastik! Bo Maling Christensen og Jing le Bells I sidste nummer af Famøs gik præmieopgaven ud på at bestemme tværsummen af tværsummen af tværsummen af det enorme tal Det rigtige svar var 4. Vi har trukket lod blandt de rigtige besvarelser, og vinderen af det unikke sommerkit blev Dan Nielsen ( 11)! Tillykke, du vil modtage din præmie snarest. Der gik imidlertid ikke mange brøkdele af en dag efter udgivelsen af bladet, førend Sune Reeh ( 05) havde indleveret en korrekt, TeX et besvarelse, og vi vil derfor gerne bringe hans besvarelse. Den kan ses herunder. Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1 Lad T (n) betegne tværsummen af det naturlige tal n N. Vi skal altså bestemme T (T (T ( ))). Lad herefter n := 5926 være fast. For det første har vi n < 10 4 der giver den oplagt elendige vurdering n n < (10 4 ) 5926 < = Så n n har højst cifre, hvorfra vi konkluderer T (n n ) = Dermed er T (T (n n )) = 47. Hvis 40 T (T (n n )) 47, er T (T (T (n n ))) = 11; alternativt er T (T (n n )) 39 og T (T (T (n n ))) = 12. Samlet haves altså T (T (T (n n ))) årgang, nr. 4

6 6 Præmieopgave Uafhængigt af ovenstående vurderinger vides at T (n) n (mod 9) for alle n Z. 1 n = 5926 T (5926) = 22 T (22) = 4 (mod 9). Gentagen potensopløftning af 4 modulo 9 viser sig at give 4 0 1, 4 1 4, 4 2 = 16 7, Da gentages potenserne cyklisk med 1 (mod 9) hvis k 0 (mod 3), 4 k 4 (mod 9) hvis k 1 (mod 3), 7 (mod 9) hvis k 2 (mod 3). Da vi ved at n 4 (mod 9), er n 1 (mod 3), og derfor fås T (T (T (n n ))) n n 4 n 4 (mod 9). Det eneste naturlige tal der opfylder T (T (T (n n ))) 12 og T (T (T (n n ))) 4 (mod 9), er T (T (T (n n ))) = 4. Tak til Sune for den fine besvarelse! 1 I det følgende antages fortrolighed med DIS-pensum. Famøs juni 2012

7 Bo Maling Christensen og Jing le Bells 7 Blokkens præmieopgave På et dansk tastatur trykker en abe hver bogstavstast præcis én gang, i tilfældig rækkefølge. Hvad er sandsynligheden for, at ordet Famøs dukker op? Der trækkes lod om en studiestarts-goodiebag blandt de korrekte svar! Fristen for at deltage i dysten om denne er den 24. september. Blokkens opgave Det oplyses om et rektangel partitioneret i flere små rektangler, at hvert af de små rektangler har mindst én side af heltallig længde. Har det store rektangel en side af heltallig længde? Hvorfor? 2 2 Bemærk at besvarelse af denne opgave ikke udløser nogen præmie. Til gengæld får de læsere, der indsender en fyldestgørende besvarelse, deres navne offentliggjort i næste Famøs-blad i den rækkefølge vi modtager jeres svar! Den første af vores kære læsere, der korrekt besvarer fire på hinanden efterfølgende opgaver, kan vælge at få printet sit ansigt på forsiden af Famøs. 21. årgang, nr. 4

8 8 Fagråd Fagrådet er blevet oprettet igen! Anna Munk Ebbesen Ja, den er god nok. Fagrådet er så småt ved at komme op og køre igen. Det er et fælles organ for alle studierne på IMF. Som udgangspunkt er det et talerør fra de studerende til ledelsen og omvendt. Som det er lige nu, har vi oprettet en bestyrelse og alle andre interesserede bliver menige medlemmer. Som medlem har du stemmeret i diverse diskussioner. Hvis du vil være medlem, skal du skrive en mail til så kommer du på maillisten - så husk og skriv, hvilken mail, du vil have på listen! Dagsordener vil blive sendt ud til alle studerende og man er altid velkommen til at dukke op til et fagrådsmøde - om man er medlem eller ej. Hvis du har forslag til punkter til dagsordenen eller andet, du blot vil fortælle fagrådet, så kan du skrive os en mail på Referater fra møderne vil kunne findes på hjemmesiden www. math.ku.dk/fagraad. Vi håber på at se en del af jer i fremtiden (især flere Mat-Øk ere og Aktuarer ville være dejligt). På vegne af bestyrelsen Anna Munk Ebbesen Matematik 09 Famøs juni 2012

9 Side 9 Sætning 9 Algebraens Fundamentalsætning Jens Siegstad Det kanoniske bevis for algebraens fundamentalsætning benytter sig som bekendt af Liouvilles sætning. Vi skal i denne artikel give et alternativt bevis, hvor vi i stedet benytter os af Open Mapping Theorem (se [1] Theorem 7.6), samt et resultat om vækst af komplekse polynomier kendt som The Growth Lemma. Theorem 1 (Algebraens Fundamentalsætning) Ethvert polynomium p(z) = a n z n + + a 0, z C med a 0,, a n C og a n 0 for n 1 har et nulpunkt i C. For at vise sætningen får vi behov for et lemma, der udtaler sig om, hvorledes et komplekst polynomium af grad n vokser. Sætningen siger, at for tilstrækkelig store værdier af z er det den ledende term, a n z n, der dominerer. Lemma 2 (The Growth Lemma) Lad p betegne polynomiet p(z) = a n z n + + a 0, z C med a n,, a 0 C og a n 0. Da gælder for ethvert z C med egenskaben { } n 1 2 z ρ := max 1, a k. a n at k=1 1 2 a n z n p(z) 3 2 a n z n 21. årgang, nr. 4

10 10 Algebraens Fundamentalsætning Bevis. Lad q(z) = p(z) a n z n. Da får vi ved brug af trekantsuligheden for z ρ at q(z) = n 1 k=0 n 1 k=0 ( n 1 k=0 a k z k a k z k a k ) z n 1 ( 1 2 a n z ) z n 1 = a n 2 z n. Ved at benytte følgende version af trekantsuligheden z w z w med z = p(z) og w = a n z n finder vi at a n z n q(z) p(z) a n z n + q(z) og ved anvendelse af første ulighed finder vi at som ønsket. 1 2 a n z n p(z) 3 2 a n z n Vi kan nu give det ønskede bevis for algebraens fundamentalsætning. Famøs juni 2012

11 Jens Siegstad 11 Bevis. Lad w C være et kontaktpunkt for p(c). Da kan vi finde en følge (z n ) af komplekse tal således at p(z n ) w for n. Lemma 2 giver, at følgen (z n ) er begrænset. Da (z n ) er begrænset, har den en konvergent delfølge (z nk ) med z nk z for k. Kontinuiteten af p giver nu at p(z) = w. Dermed har vi at w p(c) og dermed er p(c) lukket. Ved brug af Open Mapping Theorem finder vi at p(c) også er åben. Da p(c) er en ikke-tom åben og lukket delmængde af den sammenhængende mængde C har vi at p(c) = C, og specielt har vi at p har et nulpunkt. Litteratur [1] Christian Berg. Complex Analysis. Universitetsbogladen, [2] Eberhard Freitag, Rolf Busam. Complex Analysis.Second Edition. Springer årgang, nr. 4

12 12 Artikel Matematik og Økonomi Et lille institut, to artikler, en dokumentarfilm og en finanskrise. Karen K2 Hjort Brusch I starten af april i år besøgte jeg mine forældre i Bagsværd. De har abonnement på Information og jeg faldt over en artikel bragt den 4. april 2012 skrevet af Center for Vild Analyse. Overskriften var Forskeren som Magtens Forlængede Arm. Artiklen beskriver hvordan forskere i dag beskæftiger sig med et meget begrænset fagområde i forhold til tidligere. Der bliver forsket indenfor domæner, som forskningsrådene finder det væsentligt at forske indenfor. Burde videnskabsmanden ikke selv overveje hvad nytte man har af denne forskning? Og måske endnu vigtigere, hvad der ikke bliver forsket i, når linjerne på forhånd er trukket op? Og hvordan spiller dette sammen med den nuværende politiske og økonomiske magt? Jeg sad tilbage med en mærkelig, trist følelse. Hvorfor læser jeg matematik, hvis jeg ikke kan bruge den til noget godt? En månedstid senere så jeg en dokumentarfilm. Inside Job instrueret af Charles Ferguson fra Jeg vil her prøve at give et simplificeret referat. Filmen beskriver hvordan lovgivningen og bankkulturen har ændret sig i USA op til finanskrisen. Ikke bare i løbet af de sidste 20 år, men endnu længere tilbage. Der var engang, hvor det at optage et lån betød at gå ned i den lokale bank. Den måtte så vurdere om man var egnet, hvad betingelserne skulle være og hvad der skulle stilles som sikkerhed. Hvis låneren ikke kunne betale mistede banken penge. Idag når der optages lån bliver de samlet i Collateralized Debt Obligations, CDO er. Disse CDO er bliver solgt til investorer og det er disse investorer der får penge udbetalt når man betaler tilbage på sit lån. Den lokale lånudgiver mister ikke længere penge når låneren ikke kan Famøs juni 2012

13 Karen K2 Hjort Brusch 13 betale tilbage. Det blev derfor nemmere at låne penge og huspriserne steg. Mange af disse lån var dårlige lån, med høj rente, som folk ikke kunne betale tilbage. Men så fandt man på Credit Default Swaps, CDS er. En CDS er en slags forsikring af et lån. Når låntager ikke kan betale tilbage udbetaler forsikringsselskabet et kompensationsbeløb. Til forskel fra almindelige forsikringer kan alle købe CDS er. Lidt ligesom hvis alle kunne forsikre min cykel. Når den så blev stjålet skulle alle der havde købt denne CDS have et beløb fra forsikringsselskabet. Komplekse financielle produkter såsom CDO er og CDS er bliver med et kaldt derivater. Handlen med disse derivater blev ikke underlagt regulerende lovgivning af den amerikanske stat. I løbet af de sidste tredive år er den amerikanske finanssektor blevet dereguleret kraftigt. Da handlen med værdipapirer begyndte var en investeringsbank typisk en sammenslutning af rige mænd. De investerede deres penge i håb om at deres værdi blev større, men uden for stor risiko, da de selv hæftede for eventuelle tab. Dette står i kontrast til i dag hvor investeringsbanker har til opgave at få andres værdier, såsom pensioner og opsparinger, til at vokse uden at de personligt hæfter for eventuelle tab. Herudover er loftet for gearing blev hævet. Gearing er et udtryk for hvor stor værdi kreditinstituttet skal være indehaver af og hvor meget det må låne sig frem til. Fra at være cirka én til én steg det til at være cirka ti gange så højt. Herudover er det blevet lovligt for økonomiske institutioner at fusionere på tværs af grænser til større virksomheder end vi før har set. I 2008 kom så de store konsekvenser af disse tiltag. Investeringsbankerne Bear Stearns og Lehman Brothers stod over for konkurs og lige så gjorde forsikringsselskabet AIG. Det var tre 21. årgang, nr. 4

14 14 Matematik og Økonomi velrenommerede, finansielle institutioner med en tilsyneladende fin økonomi. Men virksomheder går da konkurs hele tiden? Hvorfor er dette et specialtilfælde der påbegyndte det vi nu kalder finanskrisen? Det er der to grunde til. Den første er at den amerikanske stat efter krakket i 1929 og den efterfølgende depression i 1930 erne har garanteret, at de, der har værdier i banker, får fuld kompensation i tilfælde af konkurs. Den anden er at man med krisen i 2008 dannede præcedens for, at komme kæmpebanker til undsætning med statslån når det går gjaldt. Dette fænomen bliver kaldt too big too fail. Der er simpelthen intet incitament for de finansielle institutioner til at sætte lønninger ned og spare op til det øjeblik hvor det går galt. Og det er ikke slut endnu. På næste besøg hos mine forældre faldt jeg over en leder i Information fra den 15. maj Den beskriver hvordan det gigantiske pengeinstitut JP Morgan Chase torsdag den 10. maj 2012 måtte indrømme at de havde mistet 2,3 mia. dollar i en afdeling af bankens London kontorer. Ironisk nok var det en afdeling der beskæftiger sig med at sikre mod tab på konjunkturfølsomme investeringer. Alt dette lyder som en økonomisk gyser uden ende, men hvad har det med os på IMF at gøre? En time og tre og tyve minutter inde i Inside Job bliver Andrew Sheng, asiatisk finansregulator og global kommentator, spurgt: Hvorfor? Han forklarer at efter den kolde krigs afslutning har tidligere matematikere gået sammen med investeringsbanker og skabt masseødelæggelsesvåben. Der fik jeg en klump i halsen. Masseødelæggelsesvåben lige frem. Hvis matematikere er i stand til at skabe masseødelæggelsesvåben burde vi så ikke også være i stand til at skabe kuren? Som minimum være med til at debatere om lovgivningen omkring derivater? Måske få lov til at udvikle spændende matematik der Famøs juni 2012

15 Karen K2 Hjort Brusch 15 kunne bruges til formålet? Burde det være pensum for næste hold der skal have videnskabsteori? Eller er vi fanget i et net af forskningsråd der putter forskningsdomæner ned over hovedet på os? Litteratur [1] Dokumentarfilmen Inside Job fra Instrueret af Charles Ferguson. [2] Forskeren som Magtens Forlængede Arm af Center for Vild Analyse. Information d. 4. april [3] Wall Street ude af gevind - igen af Burch. Leder Information 15. maj årgang, nr. 4

16 16 Gastronomisk inspiration Sådan smager dit nærmiljø Vi afprøver diverse caféer og madsteder i nærheden af HCØ, så du tør tage chancen og prøve noget nyt Rie Jensen og Katrine Gravesen Foråret er over os og kærligheden blomstrer. Hvis du som så mange andre smiler hele tiden, fordi du har mødt den eneste ene på Caféen?, så giver vi dig her en guide til den perfekte date og dagen derpå. Kærlighedens finurlige spil starter med en god middag - og en dejlig aften skal man jo huske at fortælle om til vennerne. Så spring sommeren i møde med lidt godt til ganen. Oysters & Grill, Hvad er den perfekte date? Det skal helst være lidt fint, men det vigtigste er naturligvis, at I hygger jer og fodrer kærligheden med alt hvad den kan spise. Rolig atmosfære og afslappet stemning kan findes på Oysters & Grill som ligger i Sjællandsgade 1B. Restauranten skjuler sig godt og de fire borde med blomstrede voksduge vidner måske ikke om fine forhold for dig og din udkårne, men man skal jo som bekendt ikke skue hunden på hårene. Voksdugene fortsætter inde i selve restauranten og generelt er stedet ikke overpyntet, men behageligt - perfekt til at løsne op på nerverne, hvis der er tale om en første date. Betjeningen er god og vi blev budt cava (40 kr. glasset) da vi ankom. Maden er simpel og menukortet meget overskueligt. Som navnet på stedet indikerer så gør dette sted sig i østers og andre skaldyr samt bøffer. Man kan derfor til forret vælge forskellige slags skaldyr og her køber man pr. 100 gr. Der er heriblandt både blåmuslinger, knivmuslinger og jomfruhummer og priserne svinger fra 13 kr. til 53 kr. for de 100 gr. som eksempelvis svarer til otte blåmuslinger eller to jomfruhummere. Hvis ikke man kan vælge blandt de mange dyr, så tilbydes der også en blandet tallerken til 125 kr. Vi fik blå-, Famøs juni 2012

17 Rie Jensen og Katrine Gravesen 17 hjerte- og kammuslinger samt krabbe og jomfruhummer, som alt sammen var virkelig lækkert. Man skal dog være glad for skaldyr og også være indstillet på at datesmilet og charmen måske forsvinder en smule i hvidløgsmarinaden som uundgåeligt giver fedtede fingre og havner i næsten hele hovedet. Til hovedret kan man vælge mellem tre forskellige slags bøf (og en enkelt fisk) og vi fik nakkekotelet og tournedos (priser mellem ). Begge dele anbefalelsesværdige og tilbehøret bestod af bittesmå pommes frites og salat med (for meget) balsamicodressing. Begge dele serveres på deletallerkner og dette er kun med til at pynte endnu mere på den intime stemning. Det er også muligt at få dessert, men vi kunne ikke spise mere og takkede derfor nej til dette. Er man glad for østers og/eller skaldyr, kunne man sagtens springe bøfferne over og nyde havets fristelser som hovedret og dermed få plads til desserten (ca. 40 kr.). The Laudromat Café, Efter en dejlig date skal vennerne naturligvis opdateres på den blomstrende kærlighed. Et godt sted at gøre dette er The Laudromat Café, som har adresse i Elmegade 15 (der findes også en på Østerbro). Caféen tilbyder brunch og morgenmad til rimelige priser og stemningen er hyggelig og velegnet til en slapper-dag i solen. Vi fik blåbærsmoothie (48 kr.), appelsinjuice (30 kr.) og lækre pandekager (5 stk) med sirup ad libitum (55 kr.). Alt sammen noget, som også ville kunne bruges, hvis daten har efterladt sig nogle tømmermænd og samtidig kan du få ordnet vasketøjet i caféens vaskeri. Stedet er velbesøgt og betjeningen sød og venlig. Der er desværre ingen studierabat at hente, men priserne må siges at være normale cafépriser og caféen vinder klart på charme og god mad. Så tag vennerne under armen og nyd en dag med sol og en sludder om kærlighed. 21. årgang, nr. 4

18 18 Smart Blokkens kasser En formel, 50% kender Kristian Peter Poulsen 50% af os kender formlen, der siger, at summen af de n første kvadrattal kan skrives som n3 3 + n2 2 + n 6. Det har jeg fundet et bevis for, som jeg ikke har set andre steder, men som måske er blevet lavet før. Sætning 1 n i 2 = 1 3 n n n, i=1 n N Famøs juni 2012

19 Kristian Peter Poulsen 19 Man skal vide, at rumfanget af en pyramide er en trediedel højde gange grundfladen, og at summen af de n første naturlige tal kan skrives n(n+1) 2 = 1 2 n n,3 men så kører bussen også! Bevis n i 2 = Rumfang(den store pyramide) i=1 Rumfang(de n + 1 små pyramider i hjørnet) Rumfang(prismerne som der er 2i af på i te niveau) = 1 3 (n + 1)3 (n + 1) 1 n i 1 2 i=1 = 1 ( ) n 3 + 3n 2 + 3n n 1 n 3 i i=1 = 1 3 n3 + n 2 + n n n2 1 2 n = 1 3 n n n LR. I øvrigt har jeg selv tegnet figuren i Paint. 3 Se Famøs marts 2012 s. 16, Blokkens blokke. 21. årgang, nr. 4

20 20 Domineering Blokkens Spil Bo Maling Christensen Den danske sommer er endelig over os, og det er derfor snart på tide at lægge eksamenerne bag sig for i år og nyde det gode vejr med venner og måske et godt spil. Lad mig introducere Domineering. I Domineering spiller man på et bræt med m n felter. De to spillere skiftes nu til at lægge en brik. Første spillers brik er vertikal og fylder 1 2 felter, imens spiller 2 s brik er horisontal (og derfor fylder 2 1 felter). Den første spiller der ikke kan lægge en brik taber spillet. Noget af det interessante ved Domineering er at hvis nogle brikker på et tidspunkt i spillet deler de resterende felter op i to disjunkte grupper, så kan man fra da af anskue spillet som summen af de to spil der spilles på de to disjunkte spilleplader. Dette er en fantastisk egenskab når man ser på spillet med spilteoretiske øjne. Figur 1 Et spil på en 5 3-plade. Det er spiller 2 s tur, men han kan ikke lægge en brik og taber derfor spillet. Famøs juni 2012

21 Bo Maling Christensen 21 Figur 2 Brikkerne fra Tetris! Skulle man blive træt af at spille Domineering, så kan man altid prøve nogle variationer. Et par bud er at spille på ikkerektangulære spilleplader, eller tillade begge spillere at lægge både den horisontale og den vertikale brik 4. Disse små ændringer vil lave store ændringer på spillets struktur. Skulle man ønske at gå helt amok kan man prøve at spille med brikkerne kendt fra Tetris og spille med at vinderen er den der først får brugt hver af sine briktyper eller tvinger hans modstander til ikke at kunne lægge. God Sommer! 4 Denne variation af spillet går som oftest under navnet Cram. 21. årgang, nr. 4

22 22 Millionbeløb til eksperimentel matematik Søren Knudby Søren Eilers har modtaget en bevilling fra Villum Fonden på ca. 5,7 mio. kr. (mere præcist kr.) til et treårigt projekt i eksperimentel matematik. Og som læser af Famøs skal du da høre lidt om, hvad så mange penge skal bruges på. Projektet, som pengene er søgt til, har titlen Eksperimentel matematik. Og hvad er så eksperimentel matematik, tænker du måske? Man står jo ikke i et laboratorium og eksperimenterer med, om f.eks. det store tal, som ens forelæser skrev på tavlen, er et primtal eller ej. Men... i stedet kan man sætte sig ved en computer og undersøge mange matematiske problemer. Og dét er hovedformålet med projektet: at bruge computere til at udføre en række eksperimenter, som i sidste ende kan føre til en større indsigt i matematiske problemstillinger. Projektet kommer til at have tre retninger, som kører nogenlunde parallelt og uafhængigt af hinanden. De tre retninger er operatoralgebra, talteori og algebraisk topologi. Og til at lede projektet inden for hver af de retninger er Søren Eilers, Ian Kiming og Jesper Michael Møller. Derudover vil der blive ansat en post doc (yngre forsker) inden for hver af de tre områder. Sidst men ikke mindst ansættes en post doc i datalogi til projektet, fordi databehandling på computere bliver den essentielle del i projektet og også det, som er fællestrækket for de tre retninger. De mange penge skal hovedsageligt gå til løn til de fire post docs. Derudover skal en lille del af pengene bruges til rejser og apparatur. Som en del af projektet skal der samarbejdes med E-Science. De har nemlig allerede en stor samling computere stående (4000 computere rundt omkring i landet), og dem får vi lov at bruge. De Famøs juni 2012

23 Søren Knudby 23 mange computere var oprindelig købt til at udføre dataanalyse og simulation i højenergifysik, men nu får IMF altså også glæde af dem. Udover E-Science involverer projektet også forskere på vores nabouniversiteter Syddansk Universitet og Lunds Universitet. Søren Eilers interesse for eksperimentel matematik er ikke ny. For et par år siden udførte han i samarbejde med Mikkel Abrahamsen eksperimenter som beskrev en række kombinatoriske problemer med LEGO-klodser. Og allerede i sin studietid havde Eilers interesse for datalogiske aspekter af matematik og har således bifag i datalogi. I tilknytning til det nuværende projekt afholdes også et kursus i eksperimentel matematik. Det bliver formentlig i blok 3. Så måske du selv får lov at eksperimentere mere med matematikken om noget tid? 21. årgang, nr. 4

24 24 Matematisk Lyrik Geometri på vers En aflevering af Rasmus Sylvester Bryder Kristian Knudsen Olesen Jeg har haft det gode held at være Geometri 1 instruktor et par år i træk. 5 I den forbindelse har jeg haft mange gode oplevelser, da Geom1 i længere tid har været et sjovt sammensat kursus. Med sjovt mener jeg her, at det har skulle kunne tages af både 1. års studerende såvel som 3. års studerende (og selvfølgelig alt hvad der derimellem ligger). Af denne grund har der været en lille skævvridning i sværhedsgraden af de obligatoriske afleveringer relativt til de forskellige studerende. Selv om dette ikke har være noget problem på kurset har det dog gjort det til et specielt instruktorat, for de ældre studerende har naturligt haft mere overskud, og derfor også kunne lave mere ballade. Min historie begynder den 17. maj 2010 hvor jeg modtog en Geometri 1 aflevering fra Rasmus Sylvester Bryder. 6 Der var tale om den 4. obligatoriske aflevering, og det første spørgsmål lød som følger: Lad for (x, y) U = R 2 funktionen σ være givet ved σ(u, v) = (u, u + v, (u + v) 2 ). Verificer at σ er en injektiv, regulær, parametriseret flade og at koefficienterne af den første fundamentalform er E = 2 + 4(u + v) 2, F = G = 1 + 4(u + v) 2. Det der var specielt ved det første spørgsmål var, at den gale matematiker Rasmus Sylvester Bryder, som på det tidspunkt var 5 Mere specifikt i blok og blok En matematiker notorisk kendt for at rime. Famøs juni 2012

25 Kristian Knudsen Olesen 25 nær slutningen af sit 3. år, havde lavet en besvarelse der var skrevet på vers. Nu sidder du nok og tænker På vers! Det kan man da ikke, men det kunne man åbenbart. Selv var jeg meget overrasket, da jeg før dette havde været en nonbeliever med hensyn til matematisk lyrik, men det har siddenhen været et af mine bedste minder omkring Geom1-instruktoraterne. Da jeg ikke føler at jeg kan udskyde det længere vil jeg nu bringe den omtalte besvarelse. Til læserens hjælp er der efterfølgende lavet et par mindre udregninger som man kan kigge med i mens man læser. Der skal angives, som det skrevet står, at vi ved σ nu en flade får. Vi higer her at den er en-til-en, med regularitet - o, sikken en! Samt skal findes tre koefficienter, til første grundform; men med dem vi venter. Vi dog afslører formen E skal ha: tag kvadrat af u plus v og da gang med 4, læg 2 til; hvor fin! F og G er ens: E minus 1. Først må konstateres uden råben, at U er hele planen - dermed åben. Og σ er genkendeligt, nu se så! en flade givet ved en parameter. Komponentfunktioner glatte ses som afbildninger af u og v; nu vis, at σ glat som flade faktisk er. Vi finder da Jacobi lige her. 21. årgang, nr. 4

26 26 Geometri på vers I første søjle fås 1, 1 og se! En dejlig doblet sum af u og v. Anden søjle næsten samme, jo: et nul, et ettal, u + v à to. Lad (u, v) nu i U og søjler kryds: vor førstekoordinat er intet lys - dobbelt u + v træk fra det selv. Et nul det giver; det ved vi alle vel. Vor andenkoordinat er let at se, fås et minus, doblet u + v. En enhed nu på tredjepladsen stå, og hov! Nu ses, at aldrig vi kan få, at 0 på alle pladser her kan være, så fladen er nu fundet regulær. Vi viser nu, at den er injektiv; forløbet her er let - o skønne liv! For antag nu, at billederne er ens for tupler to i U, og nu det ses: kald tupler u og v, (u 0, v 0 ); en gave her nu fås og snart i mål! Billederne på første plads nu gi r at u må være klart u 0, og vi r, at anden plads nu siger os om v, u 0 plus v 0, u væk, giver det. Altså giver det, v er v 0. Og en-til-en er vist: og spis no et kål. Til slut vi finder E og F og G. Vi lader nu i U et u og v. Nu E kvadrat på længden nemlig er Famøs juni 2012

27 Kristian Knudsen Olesen 27 af første søjle fundet lige før. Den må da være 1 plus 1 og så kvadrat på doblet u og v, hvorfor vi får, at E er nu lig 2 samt mere: kvadrat af u plus v, og doblet 4. F som prikprodukt vi nu skal finde, begge søjler prikkes, vi til minde ser, at F er sum af 1 og 0 og kvadratet ovenfor - o, hvilket guld! G til sidst vi søger, se nu da, kvadrat på længde anden søjler tag. Et 0 og 1 og det kvadrat fra før; det kommer nu så ofte jeg er skør. Altså ses nu F og G er samme, og begge E, blot minus 1, de ramme. Nu så kan ses, at ønskede er vist, jeg ikke rimer mere, se blot det næst. Enhver der påskønner matematik må nødvendigvis blive en smule rørt over sådan en smøre. I besvarelsen udregnes Jacobimatricen og krydsproduktet af de partielt afledte, begge disse er angivet her: Dσ(u, v) = 1 1, σ u σ v(u, v) = 2u 2v 2u + 2v 2u + 2v 1 Det var så enden på historien. Jeg vil gerne sige et stort Tak til Rasmus Sylvester Bryder for at lade mig bringe hans aflevering her i Famøs, og til den nysgerrige læser kan jeg fortælle at Rasmus bestod med bravur. Mon ikke Matematisk Lyrik ender med at blive en gren på størrelse med Matematisk Fysik? 21. årgang, nr. 4

28 28 Apéritif Tag et alternativt valgfag Museumsformidler på IND Maria Bekker-Nielsen Dunbar Jeg læser Mat-Øk, så jeg har ikke OT 7 ; jeg har (kun) fire valgfag (a 7.5 ECTS points). Jeg har valgt at tage et fag udenfor IMF dog stadig inden for NatFak bl.a. for at styrke en divergent tankegang, som kan være et fantastisk redskab når man løser problemer, men også for at have det sjovt. Faget er Museumsformidler, som udbydes i blok 4. På INDs 8 hjemmeside om kurset står der: Kurset retter sig især mod studerende som ønsker at arbejde som formidlere på museer, sciencecentre eller zoologiske haver. (Og studerende som gerne vil styrke deres højre hjernehalvdel) Jeg har altid haft en idé om, at alle sciencecentre var ens. Derfor har det virket mere naturligt for mig at opsøge kunst- og litteraturmuseer, når jeg er på rundrejse (det betyder dog ikke, at jeg har undgået sciencecentre, jeg har bl.a. været på "alle sciencecentres moder"; Exploratorium). Men idéen om ensformighed er helt forkert! Det naturvidenskabelige museum skabes ud fra modeller, som alle har deres styrker og svagheder. Desuden kan udstillinger variere ret meget fra sted til sted, tænk f.eks. på to akvarier. Hvad er det så, der er så sjovt ved faget? For det første er faget et samarbejde mellem IND og Experimentarium, så man får lov til at opleve hvor godt lydisoleret dets mødelokaler er, samt 7 Obligatorisk tilvalg; det lyder ret farligt men skulle eftersigende være både harmløst og lærerigt 8 Institut for Naturfagenes Didaktik Famøs juni 2012

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Filosofien og matematikken bag Google

Filosofien og matematikken bag Google 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge

Læs mere

F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k.

F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k. F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e M e d fo k u s på Pag e R a n k. J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e

Læs mere

God sommer fra Famøs-redaktionen!

God sommer fra Famøs-redaktionen! FAMØS God sommer fra Famøs-redaktionen! I sommerferien har redaktionen planlagt at: hyrde køer, sætte tibetanske bedeflag op, nyde en kold øl, danse til den tidlige morgen, tage til Copenhagen Jazz Festival,

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Syv veje til kærligheden

Syv veje til kærligheden Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse

Læs mere

Hvilke ord 'trigger' dine kunder?

Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Af Rikke Moos, Webskribenten Du kender talemåden: vælg dine ord med omhu. Et fornuftigt råd, der er værd at følge, hvis du vil undgå at blive misforstået af andre. Men

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Viètes formel Jens Siegstad

Viètes formel Jens Siegstad 6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Ekstern evaluering af Makroøkonomi 2 Langt sigt Forelæsninger, efterår 2003 Underviser: Hans Jørgen Whitta-Jacobsen

Ekstern evaluering af Makroøkonomi 2 Langt sigt Forelæsninger, efterår 2003 Underviser: Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Ekstern evaluering af Makroøkonomi 2 Langt sigt Forelæsninger, efterår 2003 Underviser: Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Er dine generelle forudsætninger for at følge faget tilstrækkelige? Meget gode 0 0,0%

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Bilag 4 Transskription af interview med Anna

Bilag 4 Transskription af interview med Anna Bilag 4 Transskription af interview med Anna M: Først og fremmest kunne vi godt tænke os at få styr på nogle faktuelle ting såsom din alder bl.a.? A: Jamen, jeg er 25. M: Og din kæreste, hvor gammel er

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Det Fælles Bedste. Sådan holder du din egen samtalemiddag

Det Fælles Bedste. Sådan holder du din egen samtalemiddag Det Fælles Bedste Sådan holder du din egen samtalemiddag Kære vært, tak fordi du vil tage del i Det Fælles Bedste ved at være vært for en samtalemiddag om et af de emner, der ligger dig på sinde. En samtalemiddag

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Som sagt så gjort, vi kørte længere frem og lige inden broen på venstre side ser vi en gammel tolænget gård (den vender jeg tilbage til senere )

Som sagt så gjort, vi kørte længere frem og lige inden broen på venstre side ser vi en gammel tolænget gård (den vender jeg tilbage til senere ) Vi havde lejet et sommerhus på Gammelby Møllevej 57, men vi skulle først hente nøglerne i en Dagli' Brugsen i Børkop. Det kunne vi desværre først gøre fra kl.16.00. Herefter kunne vi endelig sætte GPSen

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Prøve i Dansk 2. Skriftlig del. Læseforståelse 2. November-december 2014. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5

Prøve i Dansk 2. Skriftlig del. Læseforståelse 2. November-december 2014. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Prøve i Dansk 2 November-december 2014 Skriftlig del Læseforståelse 2 Tekst- og opgavehæfte Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Hjælpemidler: ingen Tid: 65 minutter Udfyldes af prøvedeltageren Navn

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere