Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012"

Transkript

1 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 Banach-Tarski paradox gone wrong!

2 Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens Siegstad, Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Kristian Peter Poulsen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar, Martin Patrick Speirs, Søren Knudby, Søren Wengel Mogensen

3 Indhold 3 Indhold Sommeren er kommet Præmieopgave Fagrådet er blevet oprettet igen! Algebraens Fundamentalsætning Matematik og Økonomi Sådan smager dit nærmiljø Blokkens kasser Blokkens Spil Millionbeløb til eksperimentel matematik Geometri på vers Matematisk Lyrik Tag et alternativt valgfag Alternativ sudoku Banach-Tarski Paradokset Banach Tarski Paradokset - Uden appelsiner Filosofien og matematikken bag Google Kladepapir årgang, nr. 4

4 4 Sommeren er kommet Kristian Knudsen Olesen Blok 4 er ved at være gået. Sommeren er kommet. De studerende stopper snart med at dividere for i år, og de ansatte får et lille pusterum fra de studerende, som lidt for ofte dividerer med nul. Denne kommende divisionspause betyder også, at Famøs årgang 21 nu er kommet til en afslutning, men som man siger: enhver afslutning er begyndelsen på noget nyt, og efter sommerferien vender Famøs-redaktionen selvfølgelig tilbage med årgang 22. Redaktionen vil gerne sige tak, både til de studerende og de ansatte, for den store entusiasme og opbakning der har været omkring opstarten af Famøs. Mange har bidraget til bladet, både i form af indhold og i form af hjælp til diverse praktisk opgaver. Skønt Famøs er et gammelt blad, er det i øjeblikket karakteriseret ved at have en meget ny redaktion. Dette har betydet en helt masse arbjede fra redaktionens side, men har også givet en mulighed for at give bladet et nyt præg. Det har været et lærerigt år, og vi satser på at kunne gøre det endnu bedre i fremtiden. I den forbindelse vil vi gerne minde om, at vi altid er glade for konstruktiv kritik, så tøv ikke med at sende en til Vi er altid interesserede i at høre fra vores læsere, og man er velkommen til at skrive lige meget hvad man har på hjertet. Trykningen af Famøs bliver betalt af Institut for Matematiske Fag, og det er vi selvfølgelig taknemmelige for. Tilbage er der kun at sige: god fornøjelse med dette Famøs nummer 4 årgang 21. Famøs juni 2012

5 Er du mon den heldige vinder? 5 Præmieopgave Nu med endnu mere hjernegymnastik! Bo Maling Christensen og Jing le Bells I sidste nummer af Famøs gik præmieopgaven ud på at bestemme tværsummen af tværsummen af tværsummen af det enorme tal Det rigtige svar var 4. Vi har trukket lod blandt de rigtige besvarelser, og vinderen af det unikke sommerkit blev Dan Nielsen ( 11)! Tillykke, du vil modtage din præmie snarest. Der gik imidlertid ikke mange brøkdele af en dag efter udgivelsen af bladet, førend Sune Reeh ( 05) havde indleveret en korrekt, TeX et besvarelse, og vi vil derfor gerne bringe hans besvarelse. Den kan ses herunder. Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1 Lad T (n) betegne tværsummen af det naturlige tal n N. Vi skal altså bestemme T (T (T ( ))). Lad herefter n := 5926 være fast. For det første har vi n < 10 4 der giver den oplagt elendige vurdering n n < (10 4 ) 5926 < = Så n n har højst cifre, hvorfra vi konkluderer T (n n ) = Dermed er T (T (n n )) = 47. Hvis 40 T (T (n n )) 47, er T (T (T (n n ))) = 11; alternativt er T (T (n n )) 39 og T (T (T (n n ))) = 12. Samlet haves altså T (T (T (n n ))) årgang, nr. 4

6 6 Præmieopgave Uafhængigt af ovenstående vurderinger vides at T (n) n (mod 9) for alle n Z. 1 n = 5926 T (5926) = 22 T (22) = 4 (mod 9). Gentagen potensopløftning af 4 modulo 9 viser sig at give 4 0 1, 4 1 4, 4 2 = 16 7, Da gentages potenserne cyklisk med 1 (mod 9) hvis k 0 (mod 3), 4 k 4 (mod 9) hvis k 1 (mod 3), 7 (mod 9) hvis k 2 (mod 3). Da vi ved at n 4 (mod 9), er n 1 (mod 3), og derfor fås T (T (T (n n ))) n n 4 n 4 (mod 9). Det eneste naturlige tal der opfylder T (T (T (n n ))) 12 og T (T (T (n n ))) 4 (mod 9), er T (T (T (n n ))) = 4. Tak til Sune for den fine besvarelse! 1 I det følgende antages fortrolighed med DIS-pensum. Famøs juni 2012

7 Bo Maling Christensen og Jing le Bells 7 Blokkens præmieopgave På et dansk tastatur trykker en abe hver bogstavstast præcis én gang, i tilfældig rækkefølge. Hvad er sandsynligheden for, at ordet Famøs dukker op? Der trækkes lod om en studiestarts-goodiebag blandt de korrekte svar! Fristen for at deltage i dysten om denne er den 24. september. Blokkens opgave Det oplyses om et rektangel partitioneret i flere små rektangler, at hvert af de små rektangler har mindst én side af heltallig længde. Har det store rektangel en side af heltallig længde? Hvorfor? 2 2 Bemærk at besvarelse af denne opgave ikke udløser nogen præmie. Til gengæld får de læsere, der indsender en fyldestgørende besvarelse, deres navne offentliggjort i næste Famøs-blad i den rækkefølge vi modtager jeres svar! Den første af vores kære læsere, der korrekt besvarer fire på hinanden efterfølgende opgaver, kan vælge at få printet sit ansigt på forsiden af Famøs. 21. årgang, nr. 4

8 8 Fagråd Fagrådet er blevet oprettet igen! Anna Munk Ebbesen Ja, den er god nok. Fagrådet er så småt ved at komme op og køre igen. Det er et fælles organ for alle studierne på IMF. Som udgangspunkt er det et talerør fra de studerende til ledelsen og omvendt. Som det er lige nu, har vi oprettet en bestyrelse og alle andre interesserede bliver menige medlemmer. Som medlem har du stemmeret i diverse diskussioner. Hvis du vil være medlem, skal du skrive en mail til så kommer du på maillisten - så husk og skriv, hvilken mail, du vil have på listen! Dagsordener vil blive sendt ud til alle studerende og man er altid velkommen til at dukke op til et fagrådsmøde - om man er medlem eller ej. Hvis du har forslag til punkter til dagsordenen eller andet, du blot vil fortælle fagrådet, så kan du skrive os en mail på Referater fra møderne vil kunne findes på hjemmesiden www. math.ku.dk/fagraad. Vi håber på at se en del af jer i fremtiden (især flere Mat-Øk ere og Aktuarer ville være dejligt). På vegne af bestyrelsen Anna Munk Ebbesen Matematik 09 Famøs juni 2012

9 Side 9 Sætning 9 Algebraens Fundamentalsætning Jens Siegstad Det kanoniske bevis for algebraens fundamentalsætning benytter sig som bekendt af Liouvilles sætning. Vi skal i denne artikel give et alternativt bevis, hvor vi i stedet benytter os af Open Mapping Theorem (se [1] Theorem 7.6), samt et resultat om vækst af komplekse polynomier kendt som The Growth Lemma. Theorem 1 (Algebraens Fundamentalsætning) Ethvert polynomium p(z) = a n z n + + a 0, z C med a 0,, a n C og a n 0 for n 1 har et nulpunkt i C. For at vise sætningen får vi behov for et lemma, der udtaler sig om, hvorledes et komplekst polynomium af grad n vokser. Sætningen siger, at for tilstrækkelig store værdier af z er det den ledende term, a n z n, der dominerer. Lemma 2 (The Growth Lemma) Lad p betegne polynomiet p(z) = a n z n + + a 0, z C med a n,, a 0 C og a n 0. Da gælder for ethvert z C med egenskaben { } n 1 2 z ρ := max 1, a k. a n at k=1 1 2 a n z n p(z) 3 2 a n z n 21. årgang, nr. 4

10 10 Algebraens Fundamentalsætning Bevis. Lad q(z) = p(z) a n z n. Da får vi ved brug af trekantsuligheden for z ρ at q(z) = n 1 k=0 n 1 k=0 ( n 1 k=0 a k z k a k z k a k ) z n 1 ( 1 2 a n z ) z n 1 = a n 2 z n. Ved at benytte følgende version af trekantsuligheden z w z w med z = p(z) og w = a n z n finder vi at a n z n q(z) p(z) a n z n + q(z) og ved anvendelse af første ulighed finder vi at som ønsket. 1 2 a n z n p(z) 3 2 a n z n Vi kan nu give det ønskede bevis for algebraens fundamentalsætning. Famøs juni 2012

11 Jens Siegstad 11 Bevis. Lad w C være et kontaktpunkt for p(c). Da kan vi finde en følge (z n ) af komplekse tal således at p(z n ) w for n. Lemma 2 giver, at følgen (z n ) er begrænset. Da (z n ) er begrænset, har den en konvergent delfølge (z nk ) med z nk z for k. Kontinuiteten af p giver nu at p(z) = w. Dermed har vi at w p(c) og dermed er p(c) lukket. Ved brug af Open Mapping Theorem finder vi at p(c) også er åben. Da p(c) er en ikke-tom åben og lukket delmængde af den sammenhængende mængde C har vi at p(c) = C, og specielt har vi at p har et nulpunkt. Litteratur [1] Christian Berg. Complex Analysis. Universitetsbogladen, [2] Eberhard Freitag, Rolf Busam. Complex Analysis.Second Edition. Springer årgang, nr. 4

12 12 Artikel Matematik og Økonomi Et lille institut, to artikler, en dokumentarfilm og en finanskrise. Karen K2 Hjort Brusch I starten af april i år besøgte jeg mine forældre i Bagsværd. De har abonnement på Information og jeg faldt over en artikel bragt den 4. april 2012 skrevet af Center for Vild Analyse. Overskriften var Forskeren som Magtens Forlængede Arm. Artiklen beskriver hvordan forskere i dag beskæftiger sig med et meget begrænset fagområde i forhold til tidligere. Der bliver forsket indenfor domæner, som forskningsrådene finder det væsentligt at forske indenfor. Burde videnskabsmanden ikke selv overveje hvad nytte man har af denne forskning? Og måske endnu vigtigere, hvad der ikke bliver forsket i, når linjerne på forhånd er trukket op? Og hvordan spiller dette sammen med den nuværende politiske og økonomiske magt? Jeg sad tilbage med en mærkelig, trist følelse. Hvorfor læser jeg matematik, hvis jeg ikke kan bruge den til noget godt? En månedstid senere så jeg en dokumentarfilm. Inside Job instrueret af Charles Ferguson fra Jeg vil her prøve at give et simplificeret referat. Filmen beskriver hvordan lovgivningen og bankkulturen har ændret sig i USA op til finanskrisen. Ikke bare i løbet af de sidste 20 år, men endnu længere tilbage. Der var engang, hvor det at optage et lån betød at gå ned i den lokale bank. Den måtte så vurdere om man var egnet, hvad betingelserne skulle være og hvad der skulle stilles som sikkerhed. Hvis låneren ikke kunne betale mistede banken penge. Idag når der optages lån bliver de samlet i Collateralized Debt Obligations, CDO er. Disse CDO er bliver solgt til investorer og det er disse investorer der får penge udbetalt når man betaler tilbage på sit lån. Den lokale lånudgiver mister ikke længere penge når låneren ikke kan Famøs juni 2012

13 Karen K2 Hjort Brusch 13 betale tilbage. Det blev derfor nemmere at låne penge og huspriserne steg. Mange af disse lån var dårlige lån, med høj rente, som folk ikke kunne betale tilbage. Men så fandt man på Credit Default Swaps, CDS er. En CDS er en slags forsikring af et lån. Når låntager ikke kan betale tilbage udbetaler forsikringsselskabet et kompensationsbeløb. Til forskel fra almindelige forsikringer kan alle købe CDS er. Lidt ligesom hvis alle kunne forsikre min cykel. Når den så blev stjålet skulle alle der havde købt denne CDS have et beløb fra forsikringsselskabet. Komplekse financielle produkter såsom CDO er og CDS er bliver med et kaldt derivater. Handlen med disse derivater blev ikke underlagt regulerende lovgivning af den amerikanske stat. I løbet af de sidste tredive år er den amerikanske finanssektor blevet dereguleret kraftigt. Da handlen med værdipapirer begyndte var en investeringsbank typisk en sammenslutning af rige mænd. De investerede deres penge i håb om at deres værdi blev større, men uden for stor risiko, da de selv hæftede for eventuelle tab. Dette står i kontrast til i dag hvor investeringsbanker har til opgave at få andres værdier, såsom pensioner og opsparinger, til at vokse uden at de personligt hæfter for eventuelle tab. Herudover er loftet for gearing blev hævet. Gearing er et udtryk for hvor stor værdi kreditinstituttet skal være indehaver af og hvor meget det må låne sig frem til. Fra at være cirka én til én steg det til at være cirka ti gange så højt. Herudover er det blevet lovligt for økonomiske institutioner at fusionere på tværs af grænser til større virksomheder end vi før har set. I 2008 kom så de store konsekvenser af disse tiltag. Investeringsbankerne Bear Stearns og Lehman Brothers stod over for konkurs og lige så gjorde forsikringsselskabet AIG. Det var tre 21. årgang, nr. 4

14 14 Matematik og Økonomi velrenommerede, finansielle institutioner med en tilsyneladende fin økonomi. Men virksomheder går da konkurs hele tiden? Hvorfor er dette et specialtilfælde der påbegyndte det vi nu kalder finanskrisen? Det er der to grunde til. Den første er at den amerikanske stat efter krakket i 1929 og den efterfølgende depression i 1930 erne har garanteret, at de, der har værdier i banker, får fuld kompensation i tilfælde af konkurs. Den anden er at man med krisen i 2008 dannede præcedens for, at komme kæmpebanker til undsætning med statslån når det går gjaldt. Dette fænomen bliver kaldt too big too fail. Der er simpelthen intet incitament for de finansielle institutioner til at sætte lønninger ned og spare op til det øjeblik hvor det går galt. Og det er ikke slut endnu. På næste besøg hos mine forældre faldt jeg over en leder i Information fra den 15. maj Den beskriver hvordan det gigantiske pengeinstitut JP Morgan Chase torsdag den 10. maj 2012 måtte indrømme at de havde mistet 2,3 mia. dollar i en afdeling af bankens London kontorer. Ironisk nok var det en afdeling der beskæftiger sig med at sikre mod tab på konjunkturfølsomme investeringer. Alt dette lyder som en økonomisk gyser uden ende, men hvad har det med os på IMF at gøre? En time og tre og tyve minutter inde i Inside Job bliver Andrew Sheng, asiatisk finansregulator og global kommentator, spurgt: Hvorfor? Han forklarer at efter den kolde krigs afslutning har tidligere matematikere gået sammen med investeringsbanker og skabt masseødelæggelsesvåben. Der fik jeg en klump i halsen. Masseødelæggelsesvåben lige frem. Hvis matematikere er i stand til at skabe masseødelæggelsesvåben burde vi så ikke også være i stand til at skabe kuren? Som minimum være med til at debatere om lovgivningen omkring derivater? Måske få lov til at udvikle spændende matematik der Famøs juni 2012

15 Karen K2 Hjort Brusch 15 kunne bruges til formålet? Burde det være pensum for næste hold der skal have videnskabsteori? Eller er vi fanget i et net af forskningsråd der putter forskningsdomæner ned over hovedet på os? Litteratur [1] Dokumentarfilmen Inside Job fra Instrueret af Charles Ferguson. [2] Forskeren som Magtens Forlængede Arm af Center for Vild Analyse. Information d. 4. april [3] Wall Street ude af gevind - igen af Burch. Leder Information 15. maj årgang, nr. 4

16 16 Gastronomisk inspiration Sådan smager dit nærmiljø Vi afprøver diverse caféer og madsteder i nærheden af HCØ, så du tør tage chancen og prøve noget nyt Rie Jensen og Katrine Gravesen Foråret er over os og kærligheden blomstrer. Hvis du som så mange andre smiler hele tiden, fordi du har mødt den eneste ene på Caféen?, så giver vi dig her en guide til den perfekte date og dagen derpå. Kærlighedens finurlige spil starter med en god middag - og en dejlig aften skal man jo huske at fortælle om til vennerne. Så spring sommeren i møde med lidt godt til ganen. Oysters & Grill, Hvad er den perfekte date? Det skal helst være lidt fint, men det vigtigste er naturligvis, at I hygger jer og fodrer kærligheden med alt hvad den kan spise. Rolig atmosfære og afslappet stemning kan findes på Oysters & Grill som ligger i Sjællandsgade 1B. Restauranten skjuler sig godt og de fire borde med blomstrede voksduge vidner måske ikke om fine forhold for dig og din udkårne, men man skal jo som bekendt ikke skue hunden på hårene. Voksdugene fortsætter inde i selve restauranten og generelt er stedet ikke overpyntet, men behageligt - perfekt til at løsne op på nerverne, hvis der er tale om en første date. Betjeningen er god og vi blev budt cava (40 kr. glasset) da vi ankom. Maden er simpel og menukortet meget overskueligt. Som navnet på stedet indikerer så gør dette sted sig i østers og andre skaldyr samt bøffer. Man kan derfor til forret vælge forskellige slags skaldyr og her køber man pr. 100 gr. Der er heriblandt både blåmuslinger, knivmuslinger og jomfruhummer og priserne svinger fra 13 kr. til 53 kr. for de 100 gr. som eksempelvis svarer til otte blåmuslinger eller to jomfruhummere. Hvis ikke man kan vælge blandt de mange dyr, så tilbydes der også en blandet tallerken til 125 kr. Vi fik blå-, Famøs juni 2012

17 Rie Jensen og Katrine Gravesen 17 hjerte- og kammuslinger samt krabbe og jomfruhummer, som alt sammen var virkelig lækkert. Man skal dog være glad for skaldyr og også være indstillet på at datesmilet og charmen måske forsvinder en smule i hvidløgsmarinaden som uundgåeligt giver fedtede fingre og havner i næsten hele hovedet. Til hovedret kan man vælge mellem tre forskellige slags bøf (og en enkelt fisk) og vi fik nakkekotelet og tournedos (priser mellem ). Begge dele anbefalelsesværdige og tilbehøret bestod af bittesmå pommes frites og salat med (for meget) balsamicodressing. Begge dele serveres på deletallerkner og dette er kun med til at pynte endnu mere på den intime stemning. Det er også muligt at få dessert, men vi kunne ikke spise mere og takkede derfor nej til dette. Er man glad for østers og/eller skaldyr, kunne man sagtens springe bøfferne over og nyde havets fristelser som hovedret og dermed få plads til desserten (ca. 40 kr.). The Laudromat Café, Efter en dejlig date skal vennerne naturligvis opdateres på den blomstrende kærlighed. Et godt sted at gøre dette er The Laudromat Café, som har adresse i Elmegade 15 (der findes også en på Østerbro). Caféen tilbyder brunch og morgenmad til rimelige priser og stemningen er hyggelig og velegnet til en slapper-dag i solen. Vi fik blåbærsmoothie (48 kr.), appelsinjuice (30 kr.) og lækre pandekager (5 stk) med sirup ad libitum (55 kr.). Alt sammen noget, som også ville kunne bruges, hvis daten har efterladt sig nogle tømmermænd og samtidig kan du få ordnet vasketøjet i caféens vaskeri. Stedet er velbesøgt og betjeningen sød og venlig. Der er desværre ingen studierabat at hente, men priserne må siges at være normale cafépriser og caféen vinder klart på charme og god mad. Så tag vennerne under armen og nyd en dag med sol og en sludder om kærlighed. 21. årgang, nr. 4

18 18 Smart Blokkens kasser En formel, 50% kender Kristian Peter Poulsen 50% af os kender formlen, der siger, at summen af de n første kvadrattal kan skrives som n3 3 + n2 2 + n 6. Det har jeg fundet et bevis for, som jeg ikke har set andre steder, men som måske er blevet lavet før. Sætning 1 n i 2 = 1 3 n n n, i=1 n N Famøs juni 2012

19 Kristian Peter Poulsen 19 Man skal vide, at rumfanget af en pyramide er en trediedel højde gange grundfladen, og at summen af de n første naturlige tal kan skrives n(n+1) 2 = 1 2 n n,3 men så kører bussen også! Bevis n i 2 = Rumfang(den store pyramide) i=1 Rumfang(de n + 1 små pyramider i hjørnet) Rumfang(prismerne som der er 2i af på i te niveau) = 1 3 (n + 1)3 (n + 1) 1 n i 1 2 i=1 = 1 ( ) n 3 + 3n 2 + 3n n 1 n 3 i i=1 = 1 3 n3 + n 2 + n n n2 1 2 n = 1 3 n n n LR. I øvrigt har jeg selv tegnet figuren i Paint. 3 Se Famøs marts 2012 s. 16, Blokkens blokke. 21. årgang, nr. 4

20 20 Domineering Blokkens Spil Bo Maling Christensen Den danske sommer er endelig over os, og det er derfor snart på tide at lægge eksamenerne bag sig for i år og nyde det gode vejr med venner og måske et godt spil. Lad mig introducere Domineering. I Domineering spiller man på et bræt med m n felter. De to spillere skiftes nu til at lægge en brik. Første spillers brik er vertikal og fylder 1 2 felter, imens spiller 2 s brik er horisontal (og derfor fylder 2 1 felter). Den første spiller der ikke kan lægge en brik taber spillet. Noget af det interessante ved Domineering er at hvis nogle brikker på et tidspunkt i spillet deler de resterende felter op i to disjunkte grupper, så kan man fra da af anskue spillet som summen af de to spil der spilles på de to disjunkte spilleplader. Dette er en fantastisk egenskab når man ser på spillet med spilteoretiske øjne. Figur 1 Et spil på en 5 3-plade. Det er spiller 2 s tur, men han kan ikke lægge en brik og taber derfor spillet. Famøs juni 2012

21 Bo Maling Christensen 21 Figur 2 Brikkerne fra Tetris! Skulle man blive træt af at spille Domineering, så kan man altid prøve nogle variationer. Et par bud er at spille på ikkerektangulære spilleplader, eller tillade begge spillere at lægge både den horisontale og den vertikale brik 4. Disse små ændringer vil lave store ændringer på spillets struktur. Skulle man ønske at gå helt amok kan man prøve at spille med brikkerne kendt fra Tetris og spille med at vinderen er den der først får brugt hver af sine briktyper eller tvinger hans modstander til ikke at kunne lægge. God Sommer! 4 Denne variation af spillet går som oftest under navnet Cram. 21. årgang, nr. 4

22 22 Millionbeløb til eksperimentel matematik Søren Knudby Søren Eilers har modtaget en bevilling fra Villum Fonden på ca. 5,7 mio. kr. (mere præcist kr.) til et treårigt projekt i eksperimentel matematik. Og som læser af Famøs skal du da høre lidt om, hvad så mange penge skal bruges på. Projektet, som pengene er søgt til, har titlen Eksperimentel matematik. Og hvad er så eksperimentel matematik, tænker du måske? Man står jo ikke i et laboratorium og eksperimenterer med, om f.eks. det store tal, som ens forelæser skrev på tavlen, er et primtal eller ej. Men... i stedet kan man sætte sig ved en computer og undersøge mange matematiske problemer. Og dét er hovedformålet med projektet: at bruge computere til at udføre en række eksperimenter, som i sidste ende kan føre til en større indsigt i matematiske problemstillinger. Projektet kommer til at have tre retninger, som kører nogenlunde parallelt og uafhængigt af hinanden. De tre retninger er operatoralgebra, talteori og algebraisk topologi. Og til at lede projektet inden for hver af de retninger er Søren Eilers, Ian Kiming og Jesper Michael Møller. Derudover vil der blive ansat en post doc (yngre forsker) inden for hver af de tre områder. Sidst men ikke mindst ansættes en post doc i datalogi til projektet, fordi databehandling på computere bliver den essentielle del i projektet og også det, som er fællestrækket for de tre retninger. De mange penge skal hovedsageligt gå til løn til de fire post docs. Derudover skal en lille del af pengene bruges til rejser og apparatur. Som en del af projektet skal der samarbejdes med E-Science. De har nemlig allerede en stor samling computere stående (4000 computere rundt omkring i landet), og dem får vi lov at bruge. De Famøs juni 2012

23 Søren Knudby 23 mange computere var oprindelig købt til at udføre dataanalyse og simulation i højenergifysik, men nu får IMF altså også glæde af dem. Udover E-Science involverer projektet også forskere på vores nabouniversiteter Syddansk Universitet og Lunds Universitet. Søren Eilers interesse for eksperimentel matematik er ikke ny. For et par år siden udførte han i samarbejde med Mikkel Abrahamsen eksperimenter som beskrev en række kombinatoriske problemer med LEGO-klodser. Og allerede i sin studietid havde Eilers interesse for datalogiske aspekter af matematik og har således bifag i datalogi. I tilknytning til det nuværende projekt afholdes også et kursus i eksperimentel matematik. Det bliver formentlig i blok 3. Så måske du selv får lov at eksperimentere mere med matematikken om noget tid? 21. årgang, nr. 4

24 24 Matematisk Lyrik Geometri på vers En aflevering af Rasmus Sylvester Bryder Kristian Knudsen Olesen Jeg har haft det gode held at være Geometri 1 instruktor et par år i træk. 5 I den forbindelse har jeg haft mange gode oplevelser, da Geom1 i længere tid har været et sjovt sammensat kursus. Med sjovt mener jeg her, at det har skulle kunne tages af både 1. års studerende såvel som 3. års studerende (og selvfølgelig alt hvad der derimellem ligger). Af denne grund har der været en lille skævvridning i sværhedsgraden af de obligatoriske afleveringer relativt til de forskellige studerende. Selv om dette ikke har være noget problem på kurset har det dog gjort det til et specielt instruktorat, for de ældre studerende har naturligt haft mere overskud, og derfor også kunne lave mere ballade. Min historie begynder den 17. maj 2010 hvor jeg modtog en Geometri 1 aflevering fra Rasmus Sylvester Bryder. 6 Der var tale om den 4. obligatoriske aflevering, og det første spørgsmål lød som følger: Lad for (x, y) U = R 2 funktionen σ være givet ved σ(u, v) = (u, u + v, (u + v) 2 ). Verificer at σ er en injektiv, regulær, parametriseret flade og at koefficienterne af den første fundamentalform er E = 2 + 4(u + v) 2, F = G = 1 + 4(u + v) 2. Det der var specielt ved det første spørgsmål var, at den gale matematiker Rasmus Sylvester Bryder, som på det tidspunkt var 5 Mere specifikt i blok og blok En matematiker notorisk kendt for at rime. Famøs juni 2012

25 Kristian Knudsen Olesen 25 nær slutningen af sit 3. år, havde lavet en besvarelse der var skrevet på vers. Nu sidder du nok og tænker På vers! Det kan man da ikke, men det kunne man åbenbart. Selv var jeg meget overrasket, da jeg før dette havde været en nonbeliever med hensyn til matematisk lyrik, men det har siddenhen været et af mine bedste minder omkring Geom1-instruktoraterne. Da jeg ikke føler at jeg kan udskyde det længere vil jeg nu bringe den omtalte besvarelse. Til læserens hjælp er der efterfølgende lavet et par mindre udregninger som man kan kigge med i mens man læser. Der skal angives, som det skrevet står, at vi ved σ nu en flade får. Vi higer her at den er en-til-en, med regularitet - o, sikken en! Samt skal findes tre koefficienter, til første grundform; men med dem vi venter. Vi dog afslører formen E skal ha: tag kvadrat af u plus v og da gang med 4, læg 2 til; hvor fin! F og G er ens: E minus 1. Først må konstateres uden råben, at U er hele planen - dermed åben. Og σ er genkendeligt, nu se så! en flade givet ved en parameter. Komponentfunktioner glatte ses som afbildninger af u og v; nu vis, at σ glat som flade faktisk er. Vi finder da Jacobi lige her. 21. årgang, nr. 4

26 26 Geometri på vers I første søjle fås 1, 1 og se! En dejlig doblet sum af u og v. Anden søjle næsten samme, jo: et nul, et ettal, u + v à to. Lad (u, v) nu i U og søjler kryds: vor førstekoordinat er intet lys - dobbelt u + v træk fra det selv. Et nul det giver; det ved vi alle vel. Vor andenkoordinat er let at se, fås et minus, doblet u + v. En enhed nu på tredjepladsen stå, og hov! Nu ses, at aldrig vi kan få, at 0 på alle pladser her kan være, så fladen er nu fundet regulær. Vi viser nu, at den er injektiv; forløbet her er let - o skønne liv! For antag nu, at billederne er ens for tupler to i U, og nu det ses: kald tupler u og v, (u 0, v 0 ); en gave her nu fås og snart i mål! Billederne på første plads nu gi r at u må være klart u 0, og vi r, at anden plads nu siger os om v, u 0 plus v 0, u væk, giver det. Altså giver det, v er v 0. Og en-til-en er vist: og spis no et kål. Til slut vi finder E og F og G. Vi lader nu i U et u og v. Nu E kvadrat på længden nemlig er Famøs juni 2012

27 Kristian Knudsen Olesen 27 af første søjle fundet lige før. Den må da være 1 plus 1 og så kvadrat på doblet u og v, hvorfor vi får, at E er nu lig 2 samt mere: kvadrat af u plus v, og doblet 4. F som prikprodukt vi nu skal finde, begge søjler prikkes, vi til minde ser, at F er sum af 1 og 0 og kvadratet ovenfor - o, hvilket guld! G til sidst vi søger, se nu da, kvadrat på længde anden søjler tag. Et 0 og 1 og det kvadrat fra før; det kommer nu så ofte jeg er skør. Altså ses nu F og G er samme, og begge E, blot minus 1, de ramme. Nu så kan ses, at ønskede er vist, jeg ikke rimer mere, se blot det næst. Enhver der påskønner matematik må nødvendigvis blive en smule rørt over sådan en smøre. I besvarelsen udregnes Jacobimatricen og krydsproduktet af de partielt afledte, begge disse er angivet her: Dσ(u, v) = 1 1, σ u σ v(u, v) = 2u 2v 2u + 2v 2u + 2v 1 Det var så enden på historien. Jeg vil gerne sige et stort Tak til Rasmus Sylvester Bryder for at lade mig bringe hans aflevering her i Famøs, og til den nysgerrige læser kan jeg fortælle at Rasmus bestod med bravur. Mon ikke Matematisk Lyrik ender med at blive en gren på størrelse med Matematisk Fysik? 21. årgang, nr. 4

28 28 Apéritif Tag et alternativt valgfag Museumsformidler på IND Maria Bekker-Nielsen Dunbar Jeg læser Mat-Øk, så jeg har ikke OT 7 ; jeg har (kun) fire valgfag (a 7.5 ECTS points). Jeg har valgt at tage et fag udenfor IMF dog stadig inden for NatFak bl.a. for at styrke en divergent tankegang, som kan være et fantastisk redskab når man løser problemer, men også for at have det sjovt. Faget er Museumsformidler, som udbydes i blok 4. På INDs 8 hjemmeside om kurset står der: Kurset retter sig især mod studerende som ønsker at arbejde som formidlere på museer, sciencecentre eller zoologiske haver. (Og studerende som gerne vil styrke deres højre hjernehalvdel) Jeg har altid haft en idé om, at alle sciencecentre var ens. Derfor har det virket mere naturligt for mig at opsøge kunst- og litteraturmuseer, når jeg er på rundrejse (det betyder dog ikke, at jeg har undgået sciencecentre, jeg har bl.a. været på "alle sciencecentres moder"; Exploratorium). Men idéen om ensformighed er helt forkert! Det naturvidenskabelige museum skabes ud fra modeller, som alle har deres styrker og svagheder. Desuden kan udstillinger variere ret meget fra sted til sted, tænk f.eks. på to akvarier. Hvad er det så, der er så sjovt ved faget? For det første er faget et samarbejde mellem IND og Experimentarium, så man får lov til at opleve hvor godt lydisoleret dets mødelokaler er, samt 7 Obligatorisk tilvalg; det lyder ret farligt men skulle eftersigende være både harmløst og lærerigt 8 Institut for Naturfagenes Didaktik Famøs juni 2012

Filosofien og matematikken bag Google

Filosofien og matematikken bag Google 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge

Læs mere

God sommer fra Famøs-redaktionen!

God sommer fra Famøs-redaktionen! FAMØS God sommer fra Famøs-redaktionen! I sommerferien har redaktionen planlagt at: hyrde køer, sætte tibetanske bedeflag op, nyde en kold øl, danse til den tidlige morgen, tage til Copenhagen Jazz Festival,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Hvilke ord 'trigger' dine kunder?

Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Af Rikke Moos, Webskribenten Du kender talemåden: vælg dine ord med omhu. Et fornuftigt råd, der er værd at følge, hvis du vil undgå at blive misforstået af andre. Men

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Syv veje til kærligheden

Syv veje til kærligheden Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Eva Krarup Steensens tale til studenterne ved translokationen 27.juni 2015

Eva Krarup Steensens tale til studenterne ved translokationen 27.juni 2015 Kære studenter For godt en måneds tid siden holdt vi jeres sidste skoledag. I holdt middag for jeres lærere med taler, quiz og billeder fra jeres tre år på GG. Jeg var rundt i alle klasser og det var skønt

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara

Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara Afsluttende projekt(kom/it): E-learning Hjemmeside om ballonprojekt Af: Kevin, Martin og Sara Roskilde Teknisk Gymnasium Dato 02/04/13 08/05/13 Side 1 af 9 Indhold Problem... 3 Overvejelser... 3 Produkt...

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Som sagt så gjort, vi kørte længere frem og lige inden broen på venstre side ser vi en gammel tolænget gård (den vender jeg tilbage til senere )

Som sagt så gjort, vi kørte længere frem og lige inden broen på venstre side ser vi en gammel tolænget gård (den vender jeg tilbage til senere ) Vi havde lejet et sommerhus på Gammelby Møllevej 57, men vi skulle først hente nøglerne i en Dagli' Brugsen i Børkop. Det kunne vi desværre først gøre fra kl.16.00. Herefter kunne vi endelig sætte GPSen

Læs mere

Vejledning til Google Analytics rapporter

Vejledning til Google Analytics rapporter Vejledning til Google Analytics rapporter Internet statistik kan godt være svært at forstå specielt hvis man ikke er vant til at arbejde med sådanne ting. For at gøre det nemmere for vores kunder at forstå

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto INDHOLDSFORTEGNELSE Googles historie... Forord KAPITEL ET... 9 Introduktion til Google AdWords Hvad er en søgemaskine?... 10 Hvad er Google AdWords?...11 Eksempel på en AdWords-annonce... 12 Googles partnernetværk...

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase

Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase Nogle af de absolut skarpeste bloggere tjener over 100.000 i måneden, men det er typisk på den internationale scene, men her i Danmark har vi

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Prøve i Dansk 2. Skriftlig del. Læseforståelse 2. November-december 2014. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5

Prøve i Dansk 2. Skriftlig del. Læseforståelse 2. November-december 2014. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Prøve i Dansk 2 November-december 2014 Skriftlig del Læseforståelse 2 Tekst- og opgavehæfte Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Hjælpemidler: ingen Tid: 65 minutter Udfyldes af prøvedeltageren Navn

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Side 1 af 12 YouSee A/S, Presse DATO 17/4-2013 INITIALER BWJ/IKJE Version: FINAL Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Forord Denne analyse er den fjerde i en række, som YouSee

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Derfor skal du investere

Derfor skal du investere Derfor skal du investere Investering er ofte lig med store kursudsving og mange bekymringer. Er det ikke bedre blot at spare op og undgå risiko? Nej, for hvis du ikke investerer, mister du penge hver dag,

Læs mere

Et billede kan være belæg for mange påstande

Et billede kan være belæg for mange påstande Et billede kan være belæg for mange påstande De fleste visuelle produkter indeholder både billeder og tekster. De to udtryksformer er ofte sat sammen på mere eller mindre forståelig vis. Men der er ræson

Læs mere

Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter

Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter Hvad er Google Analytics? Hvem kan bruge det? Hvad kan Google Analytics bruges til? Google Analytics viser dig hvor dine kunder har fundet frem til

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Gæt et tal Søren Eilers

Gæt et tal Søren Eilers 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

På besøg hos studenterambassadøren Jingyu She

På besøg hos studenterambassadøren Jingyu She Portræt 25 På besøg hos studenterambassadøren Jingyu She Som studerende kan du kontakte studenterambassadøren, hvis du er kommet i klemme i administrative sager om fx snyd eller dispensation. Tina er uddannet

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Guide. sider. Få gode investeringsråd. Februar 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Få dine penge til at yngle.

Guide. sider. Få gode investeringsråd. Februar 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Få dine penge til at yngle. Foto: Scanpix Guide Februar 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Få dine penge til at yngle 12 sider Få gode investeringsråd Penge og privatøkonomi INDHOLD: Sådan fordobler du din formue...4-5

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Bilag 6: Fokusgruppeinterview om Primark

Bilag 6: Fokusgruppeinterview om Primark Bilag 6: Fokusgruppeinterview om Primark Introduktion: Hej og velkommen til mit fokusgruppeinterview. Fokusgruppeinterviewet handler om, hvilket kendskab respondenterne, altså jer har til tøjkæden Primark.

Læs mere