Hvad er matematik? C, i-bog ISBN L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf:

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru."

Transkript

1 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable størrelser. Vi vil i første omgang præsentere den i forbindelse med de naturlige tal, hvor den ikke giver anledning til problemer! a) Tænk på to meget store naturlige tal x 1 og x 2. Hvordan vil du finde det største fælles mål, dvs. det største naturlige tal, der går op i dem begge. Det vil fx være nyttigt at kende dette tal, hvis vi ønsker at forkorte en brøk, hvor de to tal du tænker på er tæller og nævner i brøken. Lad os nu se på et fiktivt eksempel, hvor arbejder i et regneark og lader regnearket frembringe de to meget store tal mellem 1 og en milliard ved hjælp af en passende tilfældighedsrutine: Regnearket foreslår altså 370 millioner 913 tusinde og 028 som det første tal og 117 millioner 576 tusinde og 372 som det andet tal. Vi kunne nu sagtens få regnearket til at beregne det største fælles mål, men i stedet vil vi anvende Euklids algoritme, der siger at du skal trække det mindste tal fra det største og det skal du fortsætte med! Euklids algoritme: Givet et par bestående af to tilfældige sammenlignelige størrelser. Træk den mindste størrelse fra den største størrelse. Se bort fra den største og begynd forfra med det nye par. Vi skal altså lave det givne par om til et nyt par bestående af dels det mindste element dels forskellen på det største og det mindste element. Men det kan vi jo klare med nogle cellekommandoer: b) I cellen a3 skriver du = min(a1:a2) (dvs. udregn det mindste af tallene i cellerne a1 og a2) I cellen a4 skriver du =max(a1:a2)-min(a1:a2) (dvs. udregn forskellen mellem det største og det mindste af tallene i cellerne a1 og a2.) Svært nu cellerne a3:a4 så du hele det nye par markeret. Derefter trækker du parret nedad fx til celle 200. Det afgørende er blot at du standser ved et lige nummer, så du får hele det sidste par med. Hvordan ser det ud i dit regneark. I mit regneark fandt jeg fx 1

2 Til sidst giver det mindste tal i algoritmen 0 og derefter gentager den bare sig selv. I dette tilfælde frembringer algoritmen altså parret {0,12}. Det viser sig da at 12 netop er det største fælles mål. Det kan vi sikre os er rigtigt ved at faktorisere de to tal: Vi ser da at begge tallene har faktorerne fælles og ikke andre! Men = 12 og derfor er 12 det største fælles mål. Det er ikke sikkert, du er lige så heldig. Det er faktisk svært at finde to tilfældige store tal, som har et fælles mål større end 1! Hvis du trækker faktoriseringen ned i regnearket kan du se noget andet interessant: 2

3 Alle parrene har 12 som det største fælles mål! Sommetider kan der godt være flere faktorer 2 eller faktorer 3 for det ene tal i parret, men selve parret har hele tiden netop 12 som det største fælles mål. Det ser altså ud som om det største fælles mål nedarves via algoritmen fra par til par! Det er en nøgleegenskab ved Euklids algoritme! Hvordan kan vi forstå denne nøgleegenskab? c) Antag at du har givet to tal a og b og at du ved at et tredje tal c går op i dem begge, dvs. c er et fælles mål. Antag fx at c går 17 gange op i a og 12 gange op i b. Hvad gælder da om differensen a b? Går k op i differencen og i givet fald hvor mange gange? Hvad gælder da om summen a + b? Går c op i summen og i givet fald hvor mange gange? Hver gang vi smider det største af tallene ud i et par bliver det erstattet af differencen. Hvis vi omvendt går baglæns i Euklids algoritme, vil et af tallene blive erstattet med summen de to tal. d) Prøv fx i hånden at gennemføre Euklids algoritme for de to tal a = 60 og b = 75. Kontroller at alle de fundne egenskaber vi har snakket om er gyldige for din udregning. Hvad bliver det største fælles mål. Det kunne du sikkert også have fundet selv hurtigere ved at gætte dig frem, men det afgørende er selvfølgelig at du nu har en systematisk og sikker metode til at finde det største fælles mål. 3

4 e) Prøv nu at forklare med dine egne ord: 1) Hvorfor alle parrene i Euklids algoritme har de samme fælles mål. 2) Hvorfor vi til syvende og sidst må finde et par, der indeholder 0, og hvor det andet tal, derfor nødvendigvis må være det største fælles mål. Bemærkning: Hvis to tal a pog b har 1 som det største fælles mål, dvs. de har ingen fælles primfaktorer, siges de at være indbyrdes primiske. Det er en bemærkelsesværdig kendsgerning at vi har en simpel algoritme for at afgøre om to givne hele tal er indbyrdes primiske, men vi kender ingen algoritme, der på tilsvarende hurtigt og simpelt kan afgøre om et givet helt tal er et primtal. Man kan indvende at Euklids algoritme ikke er så hurtig, men der findes simple kunstgreb, der sætter hastigheden op. Så Euklids algoritme er en rigtig succes-historie Opdagelsen af de inkommensurable størrelser VI har set at ethvert par af naturlige tal a og b har et største fælles mål, dvs. et tal c, der går op i dem begge, dvs. som kan måle dem begge. Vi skifter nu til geometrien og kigger på linjestykker. To linjestykker a og b kan også have et fælles mål c i form af et linjestykke, der går et helt antal gange op i både a og b. VI kan tænke på linjestykket c som en fælles målestok for linjestykkerne a og b: På figuren fx går linjestykket c netop 17 gange op i linjestykket a og 12 gange op i linjestykket b. Hvis vi bruger linjestykket c som måle-enhed får linjestykket a altså længden 17 og linjestykket b får længden 12. Så langt så godt: Vi kan måle længder af linjestykker, hvis vi vælger en måleenhed og ser hvor mange gange den går op. Vælger vi måleenheden behændigt kan vi endda bruge hele tal som måltal. Ifølge overleveringen tilskrives pythagoræerne udsagnet Alt er tal. Det er ikke helt klart, hvad der menes med udsagnet, men en mulig tolkning er at alt kan måles med hele tal og dermed beskrives ved hjælp af hele tal. Det forudsætter at vi kan finde en passende målestok at måle størrelser med. Her er der to muligheder: 4

5 1) Det kan være at der findes en universel målestok, der kan bruges til alle linjestykker. Hvis der fandtes en mindste størrelse, et atom for linjestykker, tænk fx på et lille punkt med en vis størrelse, som alle andre linjestykker kunne opbygges af. Så ville vi kunne bruge denne atomare enhed som målestok. Ideen er fristende, men løber hurtigt ind i det problem at vi kan blive ved med at halvere linjestykker og dermed frembringe vilkårligt små linjestykker i strid med at der skulle findes et mindste linjestykke. Så en sådan universel målestok er ikke en farbar antagelse. 2) Men det kunne også være at der findes målestokke af alle mulige størrelser, så når vi har givet to vilkårlige linjestykker a og b kan vi finde en passende målestok c, der passer for netop disse to linjestykker, men ikke nødvendigvis kan bruges for andre par af linjestykker. Det er den sidste opfattelse, man i almindelighed tilskriver pythagoræerne. De har næppe gjort den sig bevidst, men gået ud fra at sådan er verden indrettet. Hvorom alting er, kan vi finde den fælles målestok ved at anvende Euklids algoritme: Vi kan nemlig trække linjestykker fra hinanden eller lægge to linjestykker sammen (i forlængelse af hinanden). Der er bare en vigtig forskel mellem tal og linjestykker. Når vi arbejder med hele tal er der en mindste enhed, nemlig tallet 1. Det sikrer at Euklids algoritme nødvendigvi s går i stå. Når vi arbejder med linjestykker er der imidlertid ikke nogen nedre grænse for hvor små de kan være. Vi kan derfor ikke være sikre på at Euklids algoritme anvendt på linjestykker også rent faktisk går i stå: I princippet kan den fortsætte i det uendelige og blot frembringe stedse mindre par. I så fald findes der ikke nogen fælles målestok for de to linjestykker: Man siger der er inkommensurable (dvs. uden fælles mål). Som forberedelse til at forstå hvordan pythagoræerne i princippet kan have opdaget sådanne inkommensurable størrelser vil vi bede dig kigge på følgende video ved at klikke her. f) Genskab konstruktionen i detaljer og forklar hvad det er den viser. Hvad er Leo Rogers argument for at siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable, dvs. ikke kan have en fælles målestok? Her følger en transskription fra slutningen af videoen: 5

6 Again with the pink square its diagonal is the square root of two if you use the side of the pink square as a unit. Now you can see that this process can go on and on and on and I think this is a very nice visual representation for the fact that you cannot coincide the length, no matter how small the units are, between the side of the square and its diagonal; and this is where we get non-rational numbers from. g) Hvad har konstruktionen at gøre med Euklids algoritme? 1.3 Siden og diagonalen i et kvadrat Vi vil nu prøve at forstå et af de klassiske argumenter for hvorfor siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable. Vi følger da konstruktionen fra videoen i spor detalje, men knytter den eksplicit til Euklids algoritme. Du bedes følge med i dit dynamiske geometriprogram! h) Udgangspunktet er et kvadrat med en side s 0 og en diagonal d 0, hvor diagonalen d 0 oplagt er længere end siden s 0 : Hvordan vil du trække siden s 0 fra diagonalen d 0? 6

7 i) Resten bruger vi nu som siden s 1 i et nyt kvadrat, dvs. s 1 = d 0 s 0 : Den nye diagonal d 1 er da fremkommet ved at vi har trukket stykket QB fra siden s 0. Overvej nu hvor langt linjestykket QB er i forhold til de andre størrelser på figuren. Kig fx grundigt på firkanten CPQB og find ud af hvilke egenskaber denne firkant har. Gør rede for hvordan konstruktionen af den nye diagonal d 1 hænger sammen med Euklids algoritme. 7

8 j) Vi arbejder os nu ned mod hjørnet A idet vi gentager konstruktionen igen og igen: Hvorfor viser denne konstruktion nu, at siden og diagonalen nødvendigvis er inkommensurable (dvs. ikke kan have noget fælles mål)? Hvori består modstriden med antagelsen om et fælles mål? 1.4 Side-diagonal tallene Uden et fælles mål kunne man tro det ikke var muligt at knytte hele tal til siden og diagonalen i et kvadrat, men faktisk opstår der af sig selv en berømt talfølge, de såkaldte side-diagonaltal, i forbindelse med den ovenstående konstruktion. k) For at forstå disse tal åbner vi et regneark og gennemfører nu Euklids algoritme på samme måde som i den geometriske konstruktion. I hvert par sætter vi siden først og dernæst diagonalen: I cellerne a1 og a2 indskriver vi derfor s 0 og d 0 (uden at give dem talværdier!): 8

9 Derefter kan du trække cellerne a3 og a4 ned gennem regnearket og derved udføre Euklids algoritme. Du finder da en lang stribe af kombinationer af den oprindelige side s0 og den oprindelige diagonal d0 der gengiver de nye sider og diagonaler. l) Kontroller fx de følgende formler for s 3 og d 3 ved opmåling i din geometriske konstruktion: s 3 = 5 d 0 7 s 0, d 3 = 10 s 0 7 d 0 Det er koefficienterne til disse størrelser, der kaldes side-diagonaltallene. Nedskriv de første ti koefficienter til siderne og se om du kan gætte systemet i tallene: m) Da siderne (og tilsvarende diagonalerne) bliver stedse mindre vil de hurtigt nærme sig 0. Du kan kontrollere det i dit regneark ved at sætte siden s 0 til 1 og diagonalen d 0 til 2 (både symbolsk og som decimaltal). Hvis vi fx kigger på den tolvte side fås: s 12 = s d 0, s og s 12 = Hvad fortæller det om kvadratroden af 2? Hvilken brøk kan man bruge som approksimation til kvadratroden af 2. Hvor god er brøken? Kig fx på brøkens kvadrat! Side-diagonaltallene blev siden hen til stor inspiration for matematikerne. I bog A vender vi tilbage til dem og prøver at kigge nærmere på deres betydning i talteori. 2. Inkommensurabilitet - et begreb hos middelalderteologerne I et værk om Naturerkendelse og teologi konfronterede Olaf Pedersen, der var professor i fysik og videnskabshistorie, naturvidenskabelig og teologisk tilværelsestydning. Værket giver en historisk oversigt, som rækker fra den græske oldtid til det 19. århundrede, og han påviser heri, hvorledes middelalderens store tænkere i flere henseender foregreb det naturvidenskabelige gennembrud. Ikke mindst matematikken gav et videnskabeligt grundlag for en dybere filosofisk indsigt i naturens og universets sammenhænge. Du kan her finde et uddrag af værket, hvor vi møder en række af middelalderens største tænkere og specielt via Oresme får et indblik i deres forestillinger og måder at ræsonnere på. For Oresme er det naturligt at inddrage overvejelser om inkommensurable størrelser, når man skulle prøve at begribe verden. Hent skriftet. Hvad er de grundlæggende temaer, og hvordan indgår begrebet inkommensurable størrelser i Oresmes argumentation? Betyder begrebet det samme som det gør i dag for os? 9

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Sæsonen er ved at komme i omdrejninger. Her er det John Eriksen fra Nexø med 95 cm og en kontrolleret vægt på 11,8 kg fanget på østkysten af

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl.

Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl. Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl. Målsætning: Lærermål: At observere på og udvikle brugen af geogebra i forbindelse med eksperimenterende undersøgelser af vinkelsummer i matematik

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Hvorfor skal børn lære at programmere? App Academy. Alle fortjener at kunne programmere

Hvorfor skal børn lære at programmere? App Academy. Alle fortjener at kunne programmere Hvorfor skal børn lære at programmere? App Academy Alle fortjener at kunne programmere App Academy Jernbanegade 27 6000 Kolding +45 51 922 722 info@appacademy.dk www.appacademy.dk Programmering på skemaet

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner

2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner Geometri og bilhjul Miroslava Sovičová, Štefan Havrlent, Ľubomír Rybanský Constantine the Philosopher University Nitra, Slovakia 1 Introduktion En matematiklærer der vil præsentere eleverne for noget nyt

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Side til side-vejledning. 1 Tal. Faglige mål. Division. Potenser. Talfølger

Side til side-vejledning. 1 Tal. Faglige mål. Division. Potenser. Talfølger Side til side-vejledning 1 Tal Faglige mål Kapitlet Tal tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Division: kunne regne division med decimaltal og negative tal samt kende til anvendelsen af division i

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013 Side 1 af 7 Teknologisk singularitet 24. oktober 2013 Side 2 af 7 Begreberne teknologisk singularitet og accelereret udvikling dukker ofte op i transhumanistiske sammenhænge, idet de beskriver en udvikling,

Læs mere

Det gyldne snit, forløb i 1. g

Det gyldne snit, forløb i 1. g Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45 Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning

Læs mere

Årsplan i matematik for 1. klasse

Årsplan i matematik for 1. klasse Årsplan i matematik for 1. klasse Der arbejdes med bogsystemet Multi 1A og 1B Periode Emne/ Målet for forløbet er, at eleverne: Handleplan Evaluering fokuspunkt Uge 33-36 Tal bliver fortrolige med matematikbogens

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

METTE WINCKELMANN. We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET

METTE WINCKELMANN. We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET METTE WINCKELMANN We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET INTRODUKTION TIL LÆRERGUIDEN I perioden 3. december 2011 29. januar 2012 kan du og din klasse opleve We Have A Body en soloudstilling

Læs mere

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk

www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 8.klasse I timerne vil vi bruge bogen matematiktak 8.klasse, programmer

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Hvad skal man bruge for at kunne spille? Godt, du og din modspiller har hver især brug for et sæt kort med 60 kort, en mønt til at slå plat og krone

Hvad skal man bruge for at kunne spille? Godt, du og din modspiller har hver især brug for et sæt kort med 60 kort, en mønt til at slå plat og krone Hvad skal man bruge for at kunne spille? Godt, du og din modspiller har hver især brug for et sæt kort med 60 kort, en mønt til at slå plat og krone med og nogle brikker til at holde regnskab med din Pokémons

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008

Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Før besøget Jeg begyndte mine forberedelser til turen med at deltage i fire fem-timers moduler i engelsk, en del

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Søren Christiansen 22.12.09

Søren Christiansen 22.12.09 1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Netværk & elektronik

Netværk & elektronik Netværk & elektronik Oversigt Ethernet og IP teori Montering af Siteplayer modul Siteplayer teori Siteplayer forbindelse HTML Router (port forwarding!) Projekter Lkaa Mercantec 2009 1 Ethernet På Mars

Læs mere

Matematikken i antikken

Matematikken i antikken Matematikken i antikken Pythagoras (ca. 570 to ca. 490 f.kr.) da de i tallene syntes at se mange ligheder til ting, som eksisterer og kommer til at eksistere, mere end i ild og jord og vand; da de igen

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520 Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere