Potenser, rødder og logartime

Transkript

1 Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/ Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a), a R + n R hvor a omtales som roden, basen eller grundtallet, og n kaldes for potenseksponenten eller eksponenten. Bemærk at x n er den inverse funktion til n x. Dvs. c = x a a c = x Potensreglerne a) a 0 =, a 0 b) a n = a n c) a n a m = a n+m d) am a n = a m n e) (a n ) m = a n m f)a n b n = (ab) n g) an b n = ( a b ) n h) q a p = a p q, q 0, a > 0 i) q a = a q, q 0, a > 0 Beviset for disse potensregler med logartimereglerne (som fremgår senere af rapporten) er vist i den næste side.

2 Bevis af de fleste Potensregler vha. Den Naturlige Logaritmeregnereglerne a) a 0 = In(a 0 ) = In() 0 In(a) = In() 0 = 0 Q.E.D. b) a n = a n In(a n ) = In( a ) n n In(a) = In() In(a n ) n In(a) = 0 n In(a) n In(a) = n In(a) W 5 c) a n a m = a n+m In(a n a m ) = In(a n+m ) In(a n ) + In(a m ) = (n + m)in(a) n In(a) + m In(a) = n In(a) + m In(a) Q.E.D. d) am a = a m n n In ( ) a m a = In(a m n ) n In(a m ) In(a n ) = (m n) In(a) m In(a) n In(a) = m In(a) n In(a) W 5 e) (a n ) m = a n m In((a n ) m ) = In(a n m ) m In(a n ) = n m In(a) n m In(a) = n m In(a) Q.E.D. f) a n b n = (ab) n In(a n b n ) = In((a b) n ) In(a n ) + In(b n ) = n In(a b) n In(a) + n In(b) = n (In(a) + In(b)) n In(a) + n In(b) = n In(a) + n In(b) W 5 ) n g) an b = ( a n b In ( ) (( a n b = In a ) n ) n b In(a n ) In(b n ) = n In( a b ) n In(a) n In(b) = n (In(a) In(b)) n In(a) n In(b) = n In(a) n In(b) Q.E.D. h) q ( a p = a ) ) p q q a p q = (a p q q a p = a p q q a p = a p W 5 i) q a = a q ( q a) q = ( ) q a q a = a q q a = a Q.E.D. Q.E.D. er en forkortelse af Quod erat demonstrandum, som betyder Hvilket skulle bevises. En anden måde er angivet som W 5, som har betydningen Which Was What Was Wanted eller Which Was What We Wanted.

3 0. Rødder Almen kendte definition n x = t t n = x hvor n 0 og x R + {0} Tager man kvadratroden af et negativt tal bliver t et imaginært tal med grundenheden = i i = Funktionen for x f(x) = x, Dm(f) = [0; [ = R + V m(f) = [0; [ = R + Kvadratroden af et et vilkårligt tal Computer og lommeregners metode: x = x = (e In(x) ) = e In(x) = e In(x) Dvs. In(x) x = e = 0 log(x) En anden metode, som enhver kan bruge: y 0 er ens gæt til x. Dermed sætter den ind i formlen og får; y. Derved gentager man formlen indtil resultatet er tilnærmet det ønskede resultat. ( ) x y n + y n y n+ = n=0 Talyorrækken af x +, kan også bruges: ( ) n (n)! + x = = ( n)(n!) (4 n ) xn = + x 8 x + 6 x3 5 8 x4 +..., 3

4 0.3 Logaritmer Historisk set var udviklingen i løbet af 500 og 600-tallet vokset ekspontielt. Dog i takt med den progressive udviklingen opstod der samtidigt et ben-spændende problem. Udregning af komplicerede summer var i særdeleshed en vanskelig sag, da der dengang ikke fandtes den såkaldte lommeregner. Især ved multiplicering forekom der ofte små men dog signifikante fejl, som i sidste ende kan få betydning for ens resultat. Dette kontroversielle problem kunne ses ved datidens astronomers udregninger og navigation til søs. Især navigationen var en vigtig faktor for udviklingen af logaritmer, da skibsfart og navigationen på havet rent økonomisk og stragegisk (fx. sikkerheden og krige) var blevet påkrævet i England. Sømændene skulle kende skibets position for at vælge den korrekte kurs, og til det formål brugte de blandt andet det kendte instrument Oktant. Instrumentet Oktant kan måle vinklen mellem objekter. Det eksploiterede sømændene, ved at multiplicere forskellige vinkler sammen for at opnå den søgte kurs. For at lette besværet med udregningerne indførte skotten John Napier logaritmen. Bemærk at Titalslogaritmen som vi nu om dage størstedelen af tiden benytter, skyldes en anden person -nemlig englænderen Henry Briggs-. Under et besøg skabte de sammen begrebet logaritmer, hvori de bestemte at log() = 0 og log(0) =. Herefter besluttede Henry Briggs sig at danne en tabel over de forskellige logaritmer. I 64 udgav denne herre bogen Arithmetica Logarithmica (Et udklip af Henry Briggs bog kan ses på side 9), som stort set bestod af tabeller med logaritmerne af til og til med HELE 4 decimalers nøjagtighed, samt forklaringer ovs. Det banebrydende ved logaritmer var, at man kunne oversætte multiplicering til addering og division til subtraktion. Metoden som datidens folk eksploiterede: Beregning af: 34, 975 3, 5 Ved brug af logaritmetabellerne og log(a b) = log(a) + log(b): log(34, 975) =, 5437 og log(3, 5) = 0, 50, , 50 =, 0557 Herefter findes svaret i anti-log tabellen: 3, 68 Anti-logaritmen blev herefter defineret til det man kender nu om dage som ekspontialfunktioner. I dette tilfælde titallogaritmen: exp 0 (, 0557) = 3, 68 log( 34,9775 3,5 Beregning af 34,9775 3,5 Benyt logaritmetabellerne og log( a b ) = log(a) log(b) ) = log(34, 9775) log(3, 5) =, , 50 =, 037 Heraf: 0,037 = 0, 76 4

5 0-talslogaritmen Logaritmefunktionen med basen 0 opfylder log 0 (x) = y 0 y = x hvor x > 0. Heraf fremgår log 0 (0 x ) = 0 log0(x) = x Grafen for de inverse funktioner log 0 (x) og 0 x = exp 0 (x) Heraf for f(x) = log 0 (x) er Dm(f) =]0; [= R + V m(f) =] ; [= R Herudover kan vi fastlægge lim log 0(x) = x 0 lim log 0(x) = x Hvis man ændrede basen på logaritmen vil defintionsmængden, værdimængden og grænseværdierne stadig være ens. Dermed for enhver logaritmer gælder log k (k x ) = k log k(x) = x hvor x > 0 k kaldes for logaritmens grundtal eller basen. Bemærk at logaritmer log k (x) er monotone, dermed har de den inverse funktion ekspontialfunktionen k x. 5

6 Bevis for logaritmereglerne For a > 0, b > 0, x R gælder L: log k (a b) = log k (a) + log k (b) L: log k ( a b ) = log k(a) log k (b) L3: log k (a x ) = x log k (a) L log k (a b) = Benyt og substituere: a = k log k(a) og b = k log k(b) log k (k log k(a) k log k(b) ) = Benyt potensregel: a n a m = a a+m log k (k log k(a)+log k (b) ) = Udnyt log k (k x ) = x log k (a) + log k (b) L Bevis log k (a) = log k (b a b ) log k (a) = log k (b) + log k ( a b log k (a) log k (b) = log a ) k b L Bevis log k a b ) = Benyt: a = klogk(a) og b = k log k(b) ( ) k log log k (a) a k = Benyt potensregel: m k log k (b) a = a m n ( n log ) k k log k (a) log k (b) = Til sidst: log k (k x ) = x. log k (a) log k (b) L3 Bevis Når x Z + log k (a x ) = log k ( a } a {{... a } ) = n antal gange log k (a) + log k (a) log k (a) = x log k (a) } {{ } n antal led L3 Bevis log k (a n ) = Benyt definitionen : a = k log k(a) log k ((k log k(a) ) x ) = Benyt potensreglen: (a n ) m = a a m log k (k x log k(a) ) = Udnyt at: log k (k x ) = x. Da de ophæver hinanden. x log k (a) 6

7 Den naturlige logaritmer er defineret som: f(x) = x n F (x) = f(x)dx = xn+ n+, hvor n Vi vil undersøge denne undtagelse n =, dvs f(x) = x = x. Da f(x) er kontinuert for x > 0 har den stamfunktioner. f(x) = x F (x) = f(x)dx = In(x), Hvor Dm(In) = R + Dermed kan vi definere, når a > 0 In(a) = a x dx Bemærk, hvis a = e In(e) = e x dx = e er grundtallet for In(x). Kaldes også Eulers tal (efter matematikeren Leonhard Euler) kan bestemmes ved: e = n=0 n! = 0! +! +! n! +... Bemærk også at In(x) log e (x) og e x exp e (x) er hinandens inverse funktioner. Derfor vil In(e x ) = x Kontinuitet har en betydning af uafbrydt sammenhæng. Dvs. matematisk at funktionen ikke springer nogen værdier over. Man kan populrt sige at man kan tegne grafen uden at løfte blyanten. Heraf ingen manglende værdier eller huller. 7

8 Taylor polynomium til In(x) Et eksempel på et hurtig konvergerende række for In(x) er rækken In(x) = n=0 n + ( ) n+ x x + Ændring af base og proportionalitet mellem logaritmer Hvis man ønsker at udregne en vilkårlig logaritmer med den naturlige og 0-tallogaritmen kan der sagtens lade sig gre. Derudover nsker vi at bevise at logaritmer er proportionale med hinanden: x = a loga(x) log k (x) = log k (a loga(x) ) log k (x) = log k (a) log a (x) Vi kan se at log k (x) er proportional med log a (x), med proportionalitetsfaktoren log k (a). I formen af y = k x log a (x) = log k(x) log k (a) = log 0(x) log 0 (a) = In(x) In(a) Hermed har vi bevist at logaritmer er proportionale med hinanden. Enkel logaritmisk kordinatsystem I et enkel logaritmisk kordinatsystem er abscisseaksen lineær og ordinataksen logaritmisk. Ekspontielfunktioner som givet ved formen y = b a x hvor y, b, a R +, a, x R Vil fremstå som en lineær funktion (y = ax + b) i et enkeltlogaritmisk kordinatsystem. Da y = b a x log(y) = log(b a x ) log(y) = log(b) + log(a x ) log(y) = log(b) + x log(a) Y = A x + B Det kan ses at abscisseaksen er lineære x, og at ordinataksen y er logaritmisk. En regressions ekspontielshedsvrdi kan ses ved at netop plotte den ind i et enkeltlogaritmisk papir og finde determinantionskoeffiicienten. Jo mere liner regressionen er p et enkeltlogaritmisk kordinatsystem er desto mere korrekt ekspontiel regression er det. 8

9 Dobbelt logaritmisk kordinatsystem I et dobbelt logaritmisk kordinatsystem er både abscisseaksen og ordinatakse logaritmisk. Potensfunktioner som er givet ved formen y = b x a hvor y, b, x R +, a R Vil også fremstå som en ret linje i et dobbelt logaritmisk kordinatsystem. Da y = b x a log(y) = log(b x a ) log(y) = log(b) + log(x a ) log(y) = log(b) + a log(x) Y = a X + B Brug af logaritmer Nu om dage bruger man ikke så ofte logaritme som forhenværende. Dog er den påstand ikke korrekt med hensyn til den tredje logaritme regel, som storbruges til formål med at isolere ekponenter. Man ser også brug af logaritmer til fx. to-punktsformlen til potensfunktioner (bestemmelse af hældningskoefficenten), eller halverings- og fordoblingskonstant. En hel del skalaer er også logartmisk indrettet, som Richterskalen, PH-skalaen eller decibel. Udklip af Henry Briggs omfattende logaritmetabel: 9

10 Opgave 3 ) = 5 + = 7 ) a 4 + a 5 = a 4+5 = a 9 3) p 5 (p 4 ) = p 5 (p 4 ) = p 3 4) 5) ( a 6 a 0 ) 4 = a 6 4 a 0 4 = a (64 40) = a 4 a6 a a 7 = a6+ a 7 = a 7 a 7 = a 0 Opgave 4 ) = = 0 0 ) = 0 (4+9) 7 = 0 6 3) (0 3 ) 4 = 0 (5+9) (3 4) = 0 4) (05 ) = 0 (5 8) 5 = 0 5 5) ( ) = 0 ( ) 35 = 0 0 = ) e e 4 e 6 Opgave 5 ( ) = e+( 4)) e = e ( 6)) = e 4 e ) 3 e 4 ( ) 9 6 e = e (3+9) 6) 4 = (e 6 ) 4 = e 4 6 3) 6 e5 e (e 3 ) = e e6 e (e 3 ) = 4 6e = 64e4 6e e = e 0 = 4) (e)6 (e 6 ) 3 Opgave 7 ) 5 x 9 = x 9 5 ) 3 x = x 3 = x 4 = 4e4 e = 4e 3) 4 t = t 4 4) a = a Opgave 8 ) a a = a a = a + = a = a ) 5 x 8 x = 5 x 8+ = x 0 5 = x 3) 3 ( ) 4 x 36 = (x 36 ) 3 4 = x = x 36 = x 3 4) ( (( x 04 = ) ) ) (x 04 ) = (x 04 ) 0 = x 04 0 = x = x 0

11 Opgave 0 4 = x 7 x,347 = 8 3 = 5x 4, y = b x a 7 4 = x x =,347 4, = x a y b = x x, 9 x 0, 43, 6 x Opgave l: x x ll: x log(x) Opgave log() 0, 30 og log(0) = Ikke defineret ) log() = 0 ) log(x) er defineret for og når: x ]0; [ = R + \ {0} 3) log(x) er negativ når: x ]0; [ 4) log(x) er positiv når: x ]; [ 5) For log(x) vil: y ] ; [ Opgave 3 For a > 0, b > 0, x R gælder L: log(a b) = log(a) + log(b) L: log( a b ) = log(a) log(b) L3: log(a x ) = x log(a)

12 Opgave 4 3 = 4 x 7 5 x = 3 T a = b a x = y log(3) = log(4 x ) 5 x = 3 7 log(t ) a = log() a x = y b log(3) = x log(4) log(5) x = log( 3 7 ) a = log() log(t ) log(a) x = log( y b ) log(3) log(4) 3 log( 7 = x x = ) log(5) x = log( y b ) log(a), 85 x x 0, 739 x = log(y) log(b) log(a) Opgave 5 Se side 6 Opgave 6. Topunktsformlen for Ekspontielfunk. y = b a x og y = b a x y y = b ax b a x y y = ax a x y y = a x x x x y y = ( ) y x x y = a. Topunktsformlen for Potensfunk. y = b (x ) a og y = b (x ) a y y = b (x)a b (x ) ( a x y y = x ) a log ( y y ) = log log( y y ) ( ) x x a log(x ) log(x ) = a log( x x ) = log(y) log(y)

13 References [] Vestergaard, Erik [] Wikipedia Den frie encyklopdi [3] Wikipedia Den frie encyklopdi [4] Gram, Lydik [5] Wikibooks [6] Clausen, Flemming. Schonmacker, Gert. Toln, Jesper Gyldensdals Gymnasiematematik [7] Latex programmer