Løsningsforslag til Geometri klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse"

Transkript

1 Løsningsforslag til Geometri klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel Eksperimentel geometri Øvelse 3) Der er uendeligt mange løsninger. Den viste er fundet ved at afsætte et linjestykke AB på 0 cm, tegne en cirkel med centrum i B og radius 7 cm, tegne en cirkel med centrum i A og radius 5 cm. Dernæst bestemmes to punkter C og D på de to cirkelperiferier, hvor afstanden er 0 cm, idet man vælger D på den lille cirkel og bruger D som centrum for en cirkel med radius 0 cm, som skærer den store cirkel i C. C D A B

2 Øvelse 5) Linjestykket AB lig 00 mm afsættes, og vinkel A lig 60 afsættes. Vinklens venstre ben forlænges til skæring med en cirkel, der har centrum i B og radius 94 mm, hvorved skæringspunkterne C og D fremkommer. Altså er der to løsninger. Undersøgelse 3 ) Gårdejerne søger et punkt P med samme afstand til alle gårdene A, B og C. Da punktet P skal have lige stor afstand til A og B, må det ligge på midtnormalen for AB og tilsvarende for de øvrige siders midtnormaler. P er derfor skæringspunktet mellem midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC. Der er altså kun ét punkt med den søgte egenskab, når man ser strengt geometrisk på det. Spørgsmålet er imidlertid, om denne løsning er den smarteste. Det kunne være billigere at minimere den samlede rørlængde hen til brønden, altså AP + BP + CP, og dette ville give en anden placering, som man kan eksperimentere sig frem til ved at tegne og måle (eller ved at bruge målefunktionen i et geometrisk tegneprogram) og så flytte P rundt, indtil man får den mindste værdi for AP + BP + CP. Det viser sig, at positionen udmærker sig ved, at vinklerne mellem de fra P udløbende rør er lige store og altså 0. ) Grænserne for den enkeltes arbejdsmark udgøres af midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC.

3 3 Øvelse 3 Vi afsætter først vinkel A med sine to ben, AB på 6 og AD på ½. Med hhv. D og B som centrum tegnes to cirkler med radier hhv. 6½ og 5. Hvor de skærer hinanden findes punktet C: Øvelse 4

4 4 Øvelse 5 ) Linjen c tegnes. Punktet C afsættes i en afstand på 0 cm fra c. Højden h c afsættes. Med centrum i C og radius cm tegnes en cirkel. Skæringspunkterne med c betegnes A og A. Tilsvarende tegnes en cirkel med centrum i C og radius 4 cm. Skæringspunkterne med c betegnes B og B. Der er således fire løsninger: ABC, AB ' C, A' B ' C og A' BC, de er dog to og to kongruente. C h B A c A' B' 5) Inspireret af at h a er lig 0 cm tegnes to parallelle linjer med afstand 0 cm, den nederste kaldes a. På den øverste vælges et punkt som A. Med A som centrum og radius cm tegnes en cirkel, denne skærer a i to punkter, M og M, det giver to løsninger, her viser vi kun den ene. Skæringspunktet M udgør midtpunkt på BC. Om B og C ved vi kun, at de skal ligge på a. Men vi ved, at den omskrevne cirkel har midtnormalernes skæringspunkt som centrum, derfor tegnes midtnormalen n til BC. For at finde centrum for den omskrevne cirkel tegnes en cirkel med centrum i A og radius 8 cm. Cirklen skærer n i to punkter D og E, et af disse udgør centrum. E kan ikke bruges, da en cirkel med radius 8 cm og centrum i E ikke kan nå a, hvor B og C skal ligge, altså er D centrum.

5 5 Med centrum i D og radius 8 cm tegnes en cirkel, hvor denne skærer a, har vi B og C. Havde vi benyttet M havde vi fået en hermed kongruent trekant. E A R n D m M ' B a M C

6 6 Kapitel Lokalisering, afstand og bevægelse Øvelse 4 ) ) c a b = + = + = = a c b = + = + = = ) og 4) AB = 0. Tegn situationen og find en passende retvinklet trekant med kateter 6 og 8. Øvelse 5 AC = AB = 3 (-7) = 0. Højden h i den ligesidede trekant findes ved hjælp af Pythagoras sætning: h + 5 = 0 h= 5 3 = 8, Så C får de på figuren angivne koordinater.

7 7 Øvelse 6 D = (4,7). Sidelængden = (0 4) + (3 0) = 5. Diagonallængden = (4 3) + (0 7) = 50 = 5. Øvelse 7 Formlen bliver ( x x ) + ( y y ) Øvelse 0 For at finde koordinatudtrykket for vektoren AB skal vi ifølge teorien øverst på side 677 parallelforskyde AB, så startpunktet for AB falder i (0,0). Dette kan man gøre ved at trække x fra førstekoordinaten og y fra andenkoordinaten i de to punkter Ax (, y) og Bx (, y ). Herved får det nye endepunkt B ' koordinaterne ( x x, y y). Det betyder, at AB har koordinaterne ( x x, y y ). Øvelse 3 ) Tur A og tur C bringer os hjem igen. ) Hvis man adderer alle x-koordinaterne og får 0 som resultat samt alle y-koordinaterne og ligeledes får 0 som resultatet, så fører turen tilbage til udgangspunktet. Det er, fordi vektorer adderes ved at addere x-koordinaterne for sig og y-koordinaterne for sig. Fx (3,6) + ( 7,4) = (3 + ( 7),6 + 4) = ( 4,0)

8 8 Øvelse 4 Efter 0 minutter er han nået 3 ud af vektoren (3,4), dvs. nået ud til begyndelsespunktet plus 3 af vektoren (3,4): 4 3, 4 =, , altså til ( ) 4 5, +, = 4, 3 3 Efter en halv time er han kommet til begyndelsespunktet plus det halve af vektoren (3,4): 3 3, 4, = 5, +, =,0., altså til ( ) 3 7 Efter to timer er han kommet dobbelt så langt, altså begyndelsespunktet plus gange vektoren 3, 4 6,8 5, + 6,8 =,6 (3,4): ( ) = ( ), altså til ( ) ( ) ( ) Generelt kan vi se, at til tiden t er han nået til begyndelsespunktet plus vektoren (3t, 4t), således at svar nr. er det korrekte. Øvelse 5 En behagelighed ved denne tur er at Ali kommer hjem igen, idet P(0) = ( 5 + 0, 0) = (4 9,0 ) = P(3). Skal man afgøre, om han på noget tidspunkt går hurtigere end 5 km i timen, skal man se på koefficienterne til t på de to koordinater. I intervallet [,[ ser vi, at der står hhv. t og 5t, hvilket betyder, at han på en time bevæger sig km (tilbage) i x-aksens retning og 5 km opad i y-aksens retning, hvilket klart sammenlagt giver mere end 5 km dog ikke 6, idet han jo bevæger sig direkte og ruten beregnes ved Pythagoras sætning til 5 + = 6 > 5km/t

9 9 Kapitel 3 Undersøgelser af rumlige figurer Her er ingen forslag til besvarelser, da øvelserne i den grad er en opfordring til selv at undersøge.

10 0 Kapitel 4 Bevisførelse i geometri Øvelse En mulig udlægning er, at den direkte vej, linjestykket, mellem to punkter aldrig er længere end summen af de to afstande man får ved at gå via et tredje punkt. Øvelse ) Vi antager, at l er parallel med m, og m er parallel med n. Vi skal vise, at l er parallel med n. Det gør vi med et indirekte bevis. Vi antager, at l skærer n i et punkt P. Gennem punktet P har vi nu ifølge det forudsatte to linjer, der er parallelle med m, men ifølge aksiom 3 kan der igennem punktet P kun trækkes en linje parallel med m. Altså er l lig med n. Vi har hermed vist, at enten er l parallel med n eller også er l lig med n, og så er de også parallelle (definition 3). ) Det er ikke noget bevis inden for den Euklidiske ramme, fordi det ikke bygger på definitioner, aksiomer og sætninger, vi allerede har vist, men derimod bygger på noget, vi af anden vej ved om parallelle linjer. Øvelse 3 Formlen kan findes ved at dele n-kanten op i ( n ) trekanter. Man får vinkelsummen ( n ) 80 Øvelse 4 ) C og nabovinklen z udgør tilsammen to rette Vi ved også, at A+ B+ Cogså er to rette. Vi har altså i kort notation: z + C = A + B + C. Ifølge den 3. almene lov må vi gerne trække det samme fra på hver side, og vi ender med z = A + B, hvilket skulle bevises. ) Det er ikke nok oplysninger til at bestemme alle tre vinkler. 3) Oplysningerne giver tre ligninger: B + C = 00; A + C = 50 og A + B = 90. Løses disse ligninger fås A = 70, B = 0 og C = 80. Men det kan ikke lade sig gøre. Den samlede vinkelsum bliver kun 70. Trekanten eksisterer altså ikke.

11 Øvelse 6 Trekant ADE er ligebenet, så vinklerne kan bestemmes ud fra v. Trekant ADC er også ligebenet, så vinklerne kan også udtrykkes ved v. I alt bliver 5v = 80, v = 36, og det tre vinkler i trekanten er 7, 36 og 7. Øvelse 7 Den omvendte sætning må hedde: Hvis en trekant altså AC = CB. ABC har A = B, så er trekanten ligebenet, Bevis (tegn selv): Vi tegner vinkelhalveringslinjen CM i trekanten, de to trekanter CAM og CMB er kongruente, fordi de har to vinkler og dermed også den tredje vinkel parvis lige store, og de har CM fælles. Altså er AC = CB, hvilket skulle vises. Alternativ: Hvis man ikke er helt fortrolig med at bruge kongruenssætninger, kan man klare sig med et spejlingsargument, hvor man spejler trekanten i midtnormalen til AB. Men her har man i første omfang det problem, at man ikke kan vide, om midtnormalen går gennem C. Det kan man dog ret hurtigt argumentere for. Øvelse 0 Der ligger en dobbeltpåstand i sætningen, som ofte overses: ) Hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB, og ) Hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. For at kunne komme i gang med beviserne for disse to påstande, må vi lige repetere, at midtnormalen for AB pr definition er den vinkelrette på midtpunktet for linjestykket AB. For at understrege at beviser bygger på ræsonnementer, præsenterer vi beviset uden tegninger, men opfordrer læseren til selv at få støtte fra tegninger, hvis det bliver nødvendigt for at følge tankegangen.

12 Bevis for ) Vi viser at hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB. Vi tegner først stykket AB, midtpunktet M og lader linjen m være vinkelret på AB i punktet M, og dermed er m altså midtnormal til AB. Vi lader P være et punkt på m og tegner PA og PB, så der opstår to trekanter PMA og PMB. Disse to trekanter er kongruente ifølge K3, idet MA = MB, PM = PM, og den mellemliggende vinkel ved M i begge trekanter er ret. Derfor er også PA = PB. Bevis for ) Vi vil altså vise, at hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. Lad os tegne AB og punktet P samt linjestykkerne PA og PB. I udgangspunktet ved vi blot, at PA = PB, men ved anvendelse af sætning 3 ved vi også, at vinklerne ved grundlinjen i denne ligebenede trekant er lige store. Vi nedfælder nu den vinkelrette fra P på linjestykket AB lad os sige den ender i punktet N. Så er trekant PNA kongruent med trekant PNB. For hver af trekanterne har en ret vinkel, og vi har netop set, at de har vinklerne ved grundlinjen lige store. Det lægger op til, at vi kan bruge K, hvis vi bare kan finde en side, som er lige stor i de to trekanter. Men her vil PM være et indlysende valg, da denne side er fælles for de to trekanter. Så de er kongruente, og dermed gælder også, at NA = NB, så N er midtpunkt, hvilket sammenholdt med de rette vinkler betyder, at linjen gennem N og P er midtnormal. P ligger altså på midtnormalen. Øvelse Vi fortsætter øvelsen i at lave beviser uden tegninger. Men vi forestiller os trekant ABC tegnet og ligeledes to af midtnormalerne n og m for hhv. AB og BC. Lad P være skæringspunktet for n og m. Da P ligger på n, gælder ifølge sætning 4, at PA = PB. Men P ligger også på m, hvilket på samme måde betyder, at PB = PC. Kombineres de to ligheder fås PA = PC, hvilket betyder, at P ligger på midtnormalen til AC. P er altså det fælles skæringspunkt for alle tre midtnormaler. Ved at kombinere lighederne ses, at PA = PB = PC. Kaldes denne størrelse for r, ses at en cirkel med centrum i P og radius r vil gå lige akkurat gennem alle trekantens hjørner. Øvelse I udgangspunktet har vi et parallelogram, altså en firkant ABCD med modstående sider parallelle, og vi vil bevise, at de modstående sider også er lige store. Fordi trekanter er det eneste, vi faktisk ved noget om i den teori, vi har opbygget, tegnes diagonalen AC, der giver os to trekanter ABC og ADC at ræsonnere ud fra. Da vi har en del parallelle linjer giver aksiom 4 (om at ensliggende vinkler ved sådanne er lige store) os nogle lige store vinkler: BCA CAD og CAB ACD. Da endvidere siden AC er fælles for de to trekanter, kan vi ved hjælp af K konkludere, at de to trekanter er kongruente. Det betyder specielt, at de øvrige sider også er parvis lige store. AB = CD og BC = AD, hvilket skulle vises.

13 3 Kapitel 5 Elementer af geometriens didaktik Ingen løsningsforslag

14 4 Kapitel 6 Klassisk geometri Øvelse Træets højde over øjenhøjde kan bestemmes ud fra brøkerne: BC E Top =. Den eneste af disse afstande, der ikke umiddelbart kan måles er ETop, hvorfor det AB AE er muligt at bestemme træets højde. Øvelse Disse to firkanter har vinkler, der er parvis lige store, men den ene er bestemt ikke blot en forstørrelse af den anden.

15 5 Øvelse 3 areal af CAM = areal af BAN areal af ABC = areal af ABC Heraf følger, at forholdet mellem størrelserne på venstre side er lig med forholdet på højre side: areal af ABC areal af CAM areal af = areal af ABC. BAN Benyttes arealformlen, fås heraf h AB h AC =, h AM h AN ABC, og h er højden på siden AC i trekant ABC. hvor h er højden på siden AB i trekant Ved forkortning får vi AB AC =, og ved at vende brøken fås set ønskede resultat. AM AN Øvelse 4 Antagelsen vil give, at vinkelsummen i trekanten er over 80, da vinklerne ved B og B' i den tænkte trekant, tilsammen allerede er 80. Øvelse 5 Læg i stedet trekanten så B og B' bliver sammenfaldende. Ved at argumentere som før, har man gælder a' b' c' = =. a b c a' b' =. I fremstillingen i bogen, får man a b c' b' =, og derfor c b

16 6 Øvelse 6 højde 3 = så højden bestemmes til 8 m, hvilket er lig længden af den skygge, som den anden 48 8 gruppe måler. Øvelse 7 A' B ' AB = B ' C ' BC = 9, 4 BC BC = ,6 = 30, Bjergets højde er derfor 30, = 39,93. Øvelse 8 5 h 5 = eller 7 d d h 5 = h 5 = eller 3 d d h 5 = 3 5 Heraf fås d d = 7 3 3d = 7d 4d = d = h bestemmes nu ved d h 5 = h 5 = 3 5 h = =.55 3

17 7 Øvelse 9 Da det omtalte linjestykke deler siderne på midten, er forholdene i opdelingen : på begge sider. Den omvendte sætning til Thales sætning giver derfor, at linjen er parallel med trekantens tredje side. Øvelse 0 De to trekanter AOC og EOD er ensvinklede. DO EO DE Specielt gælder = = CO AO AC DE Da D og E ligger på midtpunkterne af siderne giver Thales sætning specielt at AC =. DO EO Sammenholdt med udregningen ovenfor, har vi = =, altså deler O de to medianer i CO AO forholdet :. Betragt nu et andet par af medianer Som ovenfor kan vi argumentere for HP BP EP = =. AP Specielt ser vi, at både O og P er punkter, der deler AE i forholdet :. Punkterne O og P må derfor være ens, og der gælder, at de tre medianer skærer hinanden i ét punkt.

18 8 Øvelse Ved konstruktionen i bogen, bliver højderne omdannet til midtnormaler i en større trekant. Da vi allerede ved at midtnormalerne i en trekant skærer hinanden i ét punkt, må højderne derfor også have denne egenskab.

19 9 Kapitel 7 Måling og Areal Øvelse 6 ) Vi har et kvadrat med areal 57 m. Fra sætning 5 (der siger, at forstørres alle sidelængder i en polygon med en faktor f, så bliver arealet f gang så stort) har vi, at hvis omkredsen fordobles, så bliver arealet gang så stort, altså 4 57 m = 08 m. ) Hvis sportspladsen er blevet forstørret med samme faktor på længde og bredde, kan vi tillade os at anvende sætning 5. Da arealet er blevet firdoblet og da 4 =, må der være tale om en lineær forstørrelse med en faktor. Omkredsen er således blevet 800 meter. Men her er virkelig tale om et skøn, fordi vi ikke ved noget om, hvordan sportspladsen er blevet større. Hvis man nysgerrigt følger dette spor, så skifter opgaven karakter af en øvelse til en undersøgelse. Undersøgelsen vil vise, at hvis sportspladsen af en eller anden mærkelig grund fra starten var meget lang og smal, så ville omkredsens vækst afhænge meget af om den nye sportsplads blev lavet ved at lægge fire af de gamle i forlængelse af hinanden eller ved siden af hinanden langs de lange sider. Teoretisk set kan man herved, på den ene side få at omkredsen kun vokser ganske lidt, og på den anden at den vokser med en faktor tæt på fire ligesom arealet. 3) Hvis sidelængderne i rektanglet vælges til hhv. 99,9 m og 0, m bliver arealet = (99,9 0,) m = 9,99 m, altså kan arealet blive mindre end 0 m. Det største areal, som et rektangel med en omkreds på 00 m kan få, er, når rektanglet har form som et kvadrat med sidelængden 50 m, hvor arealet = (50 50) m = 500 m, altså kan arealet ikke bliver større end 5000 m. 4) Dette er et spørgsmål, der har optaget matematikerne siden den græske oldtid, og problemet har navn efter et gammelt sagn: Didos problem, men kaldes også det isoperimetriske problem. Det drejer sig om, hvor meget areal man kan omslutte med en lukket snor med given længde. Det er nemt nok at se, at arealet kan blive meget lille, hvis man trækker snoren ud til en dobbelt linje. Så det udfordrende problem i denne forbindelse er, at få arealet så stort som muligt. Vi har ovenfor nævnt, at hvis formen skal være rektangulær, så har kvadratet den optimale form. Men hvad nu hvis det skal være en trekant, en femkant, eller hvis der slet ikke er krav til formen. En ledetråd i problemets udvikling har været, at det ser ud til, at arealet bliver større jo mere symmetri, der er i figuren. Vi vil ikke ødelægge den fornøjelse, der er i at prøve kræfter med noget, det har taget menneskeheden omkring 000 år at få rede på, men vil give et kort svar på spørgsmålet i opgaven:

20 0 Svar: Ja, der er den sammenhæng, at en figur med omkreds L har et areal A, der tilfredsstiller uligheden: 0 A. Men arealet kan antage alle værdier derimellem. L 4π Øvelse 8 Hvis man tegner en skitse af situationen bliver det klart, at du, som løber i et spor, kommer til at løbe ad en længere bane end din makker i sporet lige ved siden af dig, altså et spor længere inde. På langsiderne løber I lige langt, men du kommer alt i alt til at løbe i en cirkel med, meter større radius, hvilket giver en tur, der er πr = π, = 7,54 meter, hvorfor din startstreg bør være 7,54 meter længere fremme end hos din makker i sidesporet.

21 Kapitel 8 Rumfang Øvelse 6 r = R x arealet af tværsnitscirklen i højden x er derfor π r = π ( R x ). I cylinderen er der et tværsnitsareal mellem keglen og cylinderen på π R π x =π ( R x ). Den halve kugles rumfang og rumfanget af cylinderen fratrukket keglen er derfor ens. Cylinder kegle = π R R R π R = π R Kuglens rumfang er derfor π R = π R Opsamling på kapitel 8 a) Lastbilen har et lovligt rumfang på,375 kubikmeter, mens rumfanget af siloen er 5 π 3 = 44,5 kubikmeter. Måler vi, hvor mange gange lastbilens rumfang går op i siloens rumfang, finder vi, at der er behov for 34,7 ture med lastbilen, hvor man så må runde op eller ned, alt efter hvor lovlig og sikkerhedsbevidst man er. b) Det samlede rumfang der transporteres bort med de 55 vogne, er 55 ( (0,7 +,4) 3) = 73,5kubikmeter eller 40,8% af siloens rumfang, hvorfor denne også må falde ca. 40,8 % i kornhøjde, altså 6 meter og centimeter. c) Oplysningen om kegler er utilstrækkelig, men det er diameteren af grundfladen, der er meter. Hvis vi kalder den ukendte højde for h, fås rumfanget af kornkeglen til 3 h π 6 = 37, 7h. Hvis det skal være lig med den fulde silos rumfang på 44,5, finder vi h =,5 meter.

22 Kapitel 9 Analytisk geometri Øvelse Skiftet fra notationen + til( x ) ( ) x y y x x y y negative tal bliver til noget positivt når de kvadreres. + er tilladt fordi både positive og Øvelse Vi vil beregne den ene afstand ved hjælp af afstandsformlen x + x3 ( x+ x) y + y3 ( y+ y) EF = + = x3 x y3 y + = ( x3 x) + ( y3 y) 4 4 ( x3 x) + ( y3 y) 4 Dvs. EF = ( x3 x) + ( y3 y) = 4 ( x3 x) + ( y3 y) = AC altså halvdelen af den tilsvarende side i trekanten

23 3 Øvelse 3 Linjen gennem 3 7 (,) og (3,4): y = 4 x+ 4 (, 3) og (4,): y = 4 5 x+ 5 ( 5, 5) og (, 5): y = 5 5 (, 3) og (, 9): y = 3 x 3 (,7) og (,): x = Øvelse 5 Da det netop er linjernes hældningskoefficienter, der er afgørende for linjernes retning, vil egenskaberne parallelitet og samme stigningstal være ækvivalente for to linjer. Et detaljeret argument for, at to linjer med samme hældningskoefficient er parallelle kan tage udgangspunkt i nedenstående tegning af situationen. Når hældningskoefficienterne er ens, kan vi kalde dem for a, hvorved vi ser, at de to trekanter, der illustrerer betydningen af a, bliver kongruente, da to sider og deres mellemliggende rette vinkel er parvis lige store. 6 4 u v a u v a -6 Hermed bliver de to vinkler markeret som v også lige store og dermed de to vinkler markeret som u. Oversat til klassisk geometri har vi to linjer, der skærer en tredje (y-aksen) så de ensliggende vinkler er lige store. De to linjer er da parallelle, for hvis de skar hinanden ville der fremkomme en trekant med vinkelsum større end 80 grader.

24 4 Øvelse 7 Hvis en linje er parallel med y-aksen giver det ikke mening at tale om dens hældning. Reglen bryder derfor sammen i tilfældet, hvor linjerne er parallelle med akserne. Øvelse 8 ) Linjen skal have hældning eftersom =. 3 Ligningen er derfor y = x+. ) Linjen hedder x = 3. Øvelse 9 Linjestykket AC har hældning 4, så midtnormalen på siden AC har hældning 4, da 4 4 =. Højden på AC skal gå gennem B (7,7). 35 Ligningen for højden til AC er derfor y = x Linjestykket BC har hældning, så midtnormalen på siden AC har hældning, da =. Højden på BC skal gå gennem A (,). Ligningen for højden til BC er derfor y = x. Linjestykket AB har hældning, så midtnormalen på siden AB har hældning-, da ( ) =.

25 5 Højden på AB skal gå gennem C (3,9). Ligningen for højden til AB er derfor y = x+. Vi beregner skæringen mellem to af højderne, og overlader de to andre udregninger til læseren. 35 Skæring mellem y = x+ og y = x : x 35 x = 4 x 3 3 = x y = = 3 + = 4 4 For at finde længden af højden på AB må vi først finde højdens fodpunkt D Det findes som skæring mellem linjen AB (som har ligningen y = x) og højden y = x+. Skæringspunktet er i (6,6). Højdens længde bestemmes nu som afstanden mellem D og C og er (6 3) + (6 9) = 8 = 3 Den tilsvarende grundlinje i trekanten er AB som har længde Arealet af trekanten er dermed 3 6 = 3 6 = 8. (7 ) + (7 ) = 7 = 6.

26 6 Kapitel 0 Trigonometri og geometri i det fri Øvelse ) cos(0º ) = ; sin(0º ) = 0; cos(90º ) = 0; sin(90º ) = cos(80º ) = ; sin(70º ) = ; sin(70º ) = 0 3) De numeriske værdier af cos( v ) og sin( v ) er kateter i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er, og der gælder derfor altid ( v ) ( v ) cos( ) + sin( ) =. Denne omhyggelige skrivemåde sløser man ofte med, idet man både skriver cos( v) + sin( v) = og cos() v + sin() v =, når der ikke er tvivl om, hvad man mener. Bemærk, at formlen ( v ) ( v ) cos( ) + sin( ) = kun tillader os at beregne fx den numeriske værdi af sin( v ) når cos( v ) er kendt. Eventuelle fortegn bliver vi nødt til at tage stilling til ved hjælp af vinklens placering i enhedscirklen.

27 7 4) En spejling af vinklen i y-aksen ændrer ikke ved sinus, derfor gælder sin( v) = sin(80 v). Spejlingen af vinklen i y-aksen får cosinus til at skifte fortegn, derfor gælder cos( v) = cos(80 v). En spejling af vinklen i x-aksen ændrer ikke ved cosinus, derfor gælder cos( v) = cos( v). En spejling af vinklen i x-aksen får sinus til at skifte fortegn,, derfor gælder sin( v) = sin( v). 5) Af figuren ses det, at sin(30) =, nemlig lig med den halve side í den ligesidede trekant. cos(30) + sin(30) = beregner vi så Af ( ) ( ) ( cos(30) ) = ( sin(30) ) 3 ( cos(30) ) = ( ) = cos(30) = = sin(30) tan(30) = = = cos(30)

28 8 Af figuren ses at sin(45) = cos(45). Ved hjælp af Pythagoras' sætning kan vi så beregne ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos(45) + sin(45) = cos(45) + cos(45) = cos(45) = cos(45) = = sin(45) sin(45) tan(45) = = = cos(45) 60º er en spejlvending af situationen med 30º. cos(60) = 3 og sin(60) = 3 =. sin(60) tan(60) = = = cos(60) º følger direkte af definitionen. tan(90) er udefineret. 0º = 80º 60º, så ved betragtningerne fra punkt 4 har vi cos(0) = og sin(0) tan(0) = = = 3 cos(0) 3 3 sin(0) =. 35º = 80º - 45º, så ved betragtningerne fra punkt 4 har vi cos(35) = og sin(35) =. sin(45) tan(45) = = =. cos(45)

29 9 Øvelse ) a sin(30) = a = 0sin(30) = 5 0 b cos(30) = b = 0 cos(30) = 8, ) 5 5 tan(30) = b = = 99,9 b tan(30) 5 5 sin(30) = c = = 30 c sin(30) Øvelse 3 h tan(50) = h = 0 tan(50) = 3,8 0 Træets højde er lig øjenhøjden + 3,8 m.

30 30 Øvelse 4 30º ,6 0,6º 67, ,9º 3, 77, ,4 30 7,76 78º 00 55,07 6,8 48º , ?? 78º 36,59 7,5 76 Øvelse 6 Den ukendte vinkel er 00º og den ukendte side er 45,96. Øvelse 8 Vi viser kun de første resultater. Alle ukendte linjestykker er beregnet vha. sinusrelationerne. Fx er CE beregnet ved CE CD = sin(87) sin(3) CD.978 CE = sin(87) = sin(87) = 4.64 sin(3) sin(3) og DE er beregnet ved DE CD = sin(6) sin(3) CD.978 DE = sin(6) = sin(6) = sin(3) sin(3) Øvelse 9 De ukendte størrelser,4º, 07,6º og en sidelængde på,05.

31 3 Øvelse 0 CD 00 = tan(50) CD = 9,8 00 cos(50) AD 55,57 AD = = ED = tan(35) ED = 09, 0 55,7 AE findes ved Pythagoras' sætning. DB og EB findes ved hjælp af sinusrelationen. CB bestemmes nu ved hjælp af cosinusrelationen: CB = CD + DB CD DB cos(5) CB CB = 9,8 + 97,58 9,8 97,58 cos(5) = 80.54, 4 CB = 83,3

32 3 Kapitel Kuglefladens geometri Øvelse 3 I er Mao.

33 33 Undersøgelse ) Da den foreslåede trekant er ligesidet med tre rette vinkler, kan der aldrig komme til at gælde noget i stil med, eftersom det ville betyde at =. ) I alt

34 34 Undersøgelse (retvinklet sfærisk formel ) cos( ) tan( b) tan(hosliggende katete) A = = tan( c) tan(hypotenusen) (retvinklet sfærisk formel ) cos( c) = cos( a) cos( b) cos(hypotenusen) = cos(katete ) cos(katete ) (retvinklet sfærisk formel 3) No A B a radianer b radianer c radianer 45 grader π 4 cos( B) = tan( a) tan( c) cos(45 ) = tan( π ) tan( c) tan( π ) 4 cos(45 ) tan( c) = = c = 0,9553

35 35 cos( c) = cos( a) cos( b) cos( c) cos(0,9553) cos( b) = = = 0,865 cos( a) cos( ) π 4 b = 0, 655 tan( b) tan( c) tan(0,655) tan(0,9553) cos( A ) = = = 0,5 A = 60 No A B a radianer b radianer c radianer 30 grader π 6 sin( A) = sin( a) sin( c) sin(30 ) = sin( π ) 6 sin( c) π sin( π ) 6 sin(30 ) sin( c) = = c = cos( ) = cos( a) cos( b) π cos( b) = 0 b = π sin( b) sin( c) sin( B) = = B = 90 No A B a radianer b radianer c radianer 3 90 grader 90 grader sin( a) sin( a) sin( a) sin( A) sin(90 ) a c. Tilsvarende får man, da sin( c) sin( c) sin( c), at også b = c.

36 36 /4 af en storcirkel er, så alle tre sider er. No A B a radianer b radianer c radianer 4 π 4 π 4 cos( c) = cos( ) cos( ) cos( c) = 0,5 c =, 047 π π 4 4 sin( a) sin( c) sin( π ) 4 sin(,047) sin( A ) = = = 0,865 A = 54,74 Samme udregning gælder for B, så B = 54,74. No A B a radianer b radianer c radianer 5 60 grader 45 grader Udledning af formel: Formel Formel sin( a) sin( c) tan( b) tan( c) sin( A) = cos( A) sin( c) cos( c) sin( b) cos( b) sin( a) tan( c) sin( a) sin( a) cos( b) sin( a) cos( b) tan( A) = = = = = tan( a) / sin( b) sin( c) tan( b) sin( c) cos( c) sin( b) cos( a)cos( b) sin( b) og tilsvarende symmetrisk tan( B) = tan( b) / sin( a) Heraf fås tan( A) tan( B) = tan( b) / sin( a) tan( a) / sin( b) = = cosb cos a cos c eller cos( c) = tan( A) tan( B)

37 37 Vi kan nu få hul på opgaven, idet: cos( c) = = = 0,5774 tan( A) tan( B) tan(60 ) tan(45 ) c = 0, 655 sin( a) sin( A) sin( c) sin(60 ) sin(0, 655) sin( a) a 0, 98 sin( b) sin( B) sin( c) sin(45 ) sin(0, 655) sin( b) b 0, 405 No A B a radianer b radianer c radianer 6 0 grader sin( a) sin( c) sin( A) = sin( a) = sin( A) sin( c) = 0,30 a = 0,36 cos() = cos(0,36) cos( b) cos( b) = 0, 4374 b =, 035 sin( b) sin(, 035) sin( B) 0,9890 sin( c) sin() B 8,48

38 38 Kapitel Grafteori og topologi Øvelse Et godt svar bør handle om antallet af knuder med ulige valens. Øvelse En mulighed er Øvelse 3 Summen af valenser er et lige tal, fordi enhver kant begynder og slutter ved et punkt. Derfor er summen af valenser lig med antallet af kanter. Øvelse 4 Hvis der er et ulige antal kanter med ulige valens, vil summen af alle valenser blive et ulige tal. Det stemmer ikke med konklusionen fra øvelse 3. Derfor er der et lige antal knuder med ulige valens. Øvelse 5 Hvis A og B er de eneste knudepunkter, der har ulige valens, kan vi tilføje en kant til grafen, som forbinder A med B. Derved får alle knudepunkter lige valens, og vi kan lave en rundtur i grafen, der starter og slutter i A, og som går ad alle kanter. Ved at skifte rundt på den rækkefølge vi går ad kanterne, kan vi sikre os, at den sidste kant i rundturen er den ekstra kant mellem A og B. Turen rundt i grafen uden denne kant vil derfor være en tur rundt ad alle kanter fra A til B.

39 39 Øvelse 6 K 4 kan tegnes som plan graf som K 5 kan ikke tegnes som plan graf, og derfor (hvorfor) kan K 6 heller ikke. Hvert knudepunkt i K n er forbundet til n knudepunkter. Derfor er den samlede valens lig nn n(n ) og antallet af kanter er derfor. ( ) Øvelse 8 Ved at til tilføje en ny kant, der starter i et eksisterende punkt og ender i et nyt punkt, øges både P og K med én. Men da de indgår med modsat fortegn i formlen for Eulertallet, vil ændringerne ophæve hinanden. Tilføjes en kant der forbinder to punkter kommer den nødvendigvis til at dele et område (en flade) op i to, så i denne situation forøges F og P begge med, hvilket udlignes i Euler-tallet, der forbliver på.

40 40 Øvelse 0 0 (6,0) (,3) (0,0) 0 Figuren viser to forskellige taxa-veje fra (,3) til (6,0). Alle linjestykker mellem disse to punkter er lange. Der er 330 forskellige. For at finde dette antal kan man have brug for noget kombinatorik, der bl.a. findes på lærebogssystemets hjemmeside.

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr. 2-2005 Folkeskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkaldte Firfarveproblem. For mere end 00 år siden fandt man ved sådanne undersøgelser frem til, at fire farver er nok

Læs mere

Facitliste til MAT X Grundbog

Facitliste til MAT X Grundbog Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere