Fri søjlelængder for rammekonstruktioner.

Transkript

1 Fri søjlelænger for rammekonstruktioner. maj 013, LC I litteratur som eksempelvist Teknisk Ståbi kan man fine e frie søjlelænger for en række stanarstilfæle. For søjler gæler Eulers søjleformel, som kan ulees u fra en ifferentialligning som vist senere i notatet. π EI y = L s π EI y = L s Den fri søjlelænge kan fines på flere forskellige måer: A) Afstanen mellem momentnulpunkter på en eformeree søjle. Dette er en tilnærmelse. B) Ve løsning af en 4. orens ifferentialligning. C) Ve opslag i iagrammer. D) Ve en Finite Element beregning. A A) For en søjle simpelt unerstøttet i begge ener vil søjlelængen blive lig me en fysiske længe. For en søjle inspænt i en enen ene og fri i en anen ene vil en frie søjlelænge blive gange en fysiske længe. I en ramme konstruktion, hvor bjælker og søjler er elastisk inspænte i hinanen, kan er forekomme frie søjlelænger, som er en el større en e gange en fysiske længe for søjlen vist ovenfor. En såan konstruktion siges at have bevægeligt knuepunktsfigur, på engelsk sway structure. Dette begreb ækker over, at knuepunkterne i konstruktionen ikke er fastholte men kan bevæge sig uner påvirkning mosat en unerstøtning. Dette vil typisk gæle for hjørner i rammekonstruktion. Fastsættelse af frie søjlelænger i isse konstruktioner uføres best me et FEM-program.

2 A B). Opstilling og løsning af ifferentialligningen. u = y Ubøjet søjle x N+N M+M V+V py px Oprinelig søjle Usnit af en søjle me vilkårlige unerstøtningsforhol. y M N V Loret projektion: N px ( N N) = 0 Vanret projektion: V py ( V V) = 0 Momentligevægt M M V Ny pxy py M = 0 Vi ser nu bort fra alle le, hvor er ingår et proukt af små størrelser som y. Tilbage er er så: Loret projektion: N px = 0 Vanret projektion: V py = 0 Momentligevægt M V Ny 0 = M V N y = 0 Vi ifferentierer me hensyn til x og infører resultaterne fra vanret og loret projektion: V M x N y = 0 M py ( un ) = 0 u inføres i steet for y M Ve brug af bjælkens ifferentialligning u = og me antagelsen om, at er ikke er nogen EI y 4 4 tværlast på søjlen, py=0, får man: uei 4 y ( un ) = 0 N u u 4 x EI = 0, Vi infører y k = N EI y 4 u uk = 0 Den generelle løsning til en såan 4. orens ifferentialligning er: 4 u = C1cos( kx) Csin( kx) C3x C4 Løsningen insættes i ifferentialligningen som kontrol på, at et er en mulig løsning: 4 ( C1cos( kx) Csin( kx) C3x C4) ( C1cos( kx) Csin( kx) C3x C4) k = 0 4 of 8

3 Til brug for insættelse af ranbetingelser fines 1.- og. afleee af ubøjningsfunktionen. u = C1cos( kx) Csin( kx) C3x C4 u' = kc1sin( kx) kc cos( kx) C3 u'' = C1k cos( kx) Ck sin( kx) u = u' og u = u'' Eksempel 1. Simpelt unerstøttet i begge ener. Længe er L. Der inføres nu ranbetingelser: 1) u = 0 for x = 0 C4 = -C1 ) u = 0 for x = L 0 = C1cos( kl) Csin( kl) 3) u'' = 0 for x = 0 C1 = 0 4) u'' = 0 for x = L C = Ck sin( kl) C3L C1 Denne ligning kan opfyles ve at sætte C = 0, hvilket ikke giver nogen mening. Derfor sættes sin( kl) = 0. Dette kan lae sig gøre, hvis k L= π. N π EI y L = π N =. EI y L π EI y Dette utryk skal være lig me Eulers søjlelformel: = L s I ette eksempel bliver en frie søjlelænge sålees blive lig en fysiske længe. Eksempel. Simpelt unerstøttet i en enen ene og fast inspænt i en anen ene Der inføres nu ranbetingelser: 1) u = 0 for x = 0 C4 = -C1 ) u = 0 for x = L 0 = C1cos( kl) Csin( kl) 3) u' = 0 for x = 0 C3 = - C k 4) u'' = 0 for x = L C1 = Ctan( kl) C3L C1 ) og 3) giver ): 0 = C1cos( kl) Csin( kl) CkL C1 ) og 4) giver 4): k L= tan( kl) Værien for kl fines, og ette utryk skal være lig me Eulers søjleformel: π EI y = L s Denne ligning løses ve grafisk at fine områet for en minste løsning og herefter fine en tilhørene nummeriske løsning. 3 of 8

4 kl 0.6π 0.61π π 6 Ligningen er opfylt når kl ligger mellem 4 og 5 4 kl tan( kl) kl kl 4 Given tan( kl) = kl Fin( kl) kl k = k = kl = L ( kl ) EI y = EI y EI y EI y L π EI y π = L s = L = 0.7L kl L s Denne væri passer me værien fra litteraturen. A C) Diagrammer. 4 of 8

5 A D) Finite Element beregning Den nok beste måe at fine kritiske laster og søjlelænger på er via en FEM-beregning i et FEM-software. Den frie søjlelænge for en konstruktionsel afhænger af, hvilken last er påvirker konstruktionen. I princippet er er erfor ligeså mange frie søjlelænger for en konstruktionsel, som er er lastkombinationer. Af praktiske grune angives erfor en fast fri søjlelænge for hver konstruktionsel, som så anvenes i alle lastkombinationer. Dette stiller naturligvis store krav til fastlæggelsen af isse søjlelænger. Derfor er anvenelse af et FEM-software meget effektivt til ette formål, a man ret hurtigt kan analysere sig gennem flere lastsituationer. Der løses en ligning beståene af en eterminant for en matrix, er sættes lig 0. K I matricen ingår en stivhesmatice K, en lastfaktor λ og en størrlese, er heerlastgeometri matricen L L 36 EI Ќ 6 4L 6 L N 3L = L Ќ σ = L L L 3L 6 L 6 4L 3L 4L 3L L 36 3L 36 3L 3L L 3L 4L λk σ = 0 I Ќ σ ingår en påførte last eller normalkraft i en pågælene konstruktionsel. Den eneste ubekente i ligningen K λk σ = 0 er λ som er en lastfaktor, hvilket vil sige en faktor, en påførte last skal ganges me, før er opstår søjleuknækning. Den kritiske last er erfor en påførte last ganget me lastfaktoren. = Nλ 5 of 8

6 Eksempel 3. En stålramme analyseret u fra iagrammer og u fra et FEM-program 6 of 8

7 Eksempel me ramme L 6m H 3m Bjælke (I b ) er IPE400 og søjler (I y ) er HEB180 Beregning i FEM-Design I y mm 4 E 10000MPa I b mm 4 π EI y = L s π EI y = λ L s 10kNλ L s1 π EI y L s1 4.53m Fra iagrammer I y L I b H 0.33 β 1.48 L s βh L s 4.44m L s Fejl 1 Fejl 0.0 L s1 7 of 8

8 λ 8 of 8