GEOMETRISKE EKSPERIMENTER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GEOMETRISKE EKSPERIMENTER"

Transkript

1 GEOMETRISKE EKSPERIMENTER AF J. HJELMSLEV K0BENHAVN JUL. GJELLERUPS FORLAG 1913

2

3 Uenne Bog handler om geometrisk Konstruktion, i videste Forstand. Den handler ikke om Approximationer, men om eksakte Konstruktioner. Den handler samtidig om den praktiske Udforelse, idet den soger at forme Konstruktionen med den simplest mulige Realisering for Oje. Og gennem en naturlig Forening af disse Formaal strauber den at baue Vej for et lidt videre Sijn end det, som paa dette Omraade tmr hersket siden Piatons Dage.

4

5 L Konstruktion og Eksperiment. VED geometrisk Konstruktion forstaar man saedvanligvis»konstruktion ved Passer og Lineal«. Herved er det for det forste forudsat, at man ved Tegningens Udforelse ikke bruger andre Apparater end Passer og Lineal; men dette er ikke det eneste Forbehold, der tages. Hvis man f. Eks. vil bestemme en ret Linie parallel med en given og i en given Afstand fra samme og i dette Ojemed tegner 2 Cirkler med Centrer paa den givne Linie og med den givne Afstand til Radius, for derpaa ved Hjaelp af Linealen umiddelbart at drage en ydre Faellestangent til Cirklerne, da er Opgaven ganske vist derved lost uden Brug af andre Apparater end Passer og Lineal, men enhver, der har laert lidt Geometri, vil straks vaere paa det rene med, at vi her er gaaet uden for de»lovlige«graenser for disse Apparaters Anvendelse. Hvilke Operationer er da lovlige? Svaret lyder saaledes: For det forste er det tilladt ved Hjaelp af Linealen at tegne en ret Linie gennem 2 bekendte Punkter og for det andet ved Passeren at tegne en Cirkel med givet Centrum og Radius, fiertil kommer endnu en Operation, nemlig den, ved Hjaelp af 0jet at opsoge Skaeringspunkter (mellem tegnede rette Linier og Cirkler). Den naevnte Gruppe af Operationer omfatter alt, hvad man kan drage ind under det klassiske Begreb: Konstruktion ved Passer og Lineal. Alle andre Handlinger, som foretages for at naa til Realiseringen af en eller anden Figur med

6 6 foreskrevne Egenskaber, betegner vi som Eksperimenter; hertil horer altsaa f. Eks. den ovennaevnte Bestemmelse af en ret Linie parallel med en given i en given Afstand. Skont den klassiske Konstruktion i Virkeligheden bor opfattes som et specielt Tilftelde af det almindehge geometriske Eksperiment, og dette paa den anden Side ikke er noget som helst andet end Konstruktion i videre Forstand, vil vi dog i det folgende af Hensyn til almindelig Sprogbrug skelne imellem»ssedvanlig Konstruktioncc og»eksperiment«. Eksperimentet faar man Brug for i to Tilfaelde: 1) Naar den forehggende Opgave vel lader sig lose ved s^dvanlig Konstruktion, men loses lettere og nojagtigere ved hei eller delvis Anvendelse af Eksperiment, og 2) naar Opgaven ikke lader sig lose ved saedvanlig Konstruktion. Eksempler kender enhver praktisk Tegner. Man behover jo blot at henvise til Anvendelsen af Hovedlineal, Tegnetrekant og andre praktiske Hjaelpemidler; men selv om vi begraenser os til saadanne Operationer, som udfores alene ved Hjaelp af Passer og Lineal, kan vi naevne mange naerliggende Eksempler: Opg. L Linie l. At maale Af standen fra et Punkt A til en ret Denne Operation udfores direkte ved Haandpasseren (M aalepasseren)*), idet man ved Prove bestemmer en saadan Passeraabning, at den ene Passerspids kan anbringes i.4, samtidig med, at den anden kan fores ind i Linien /, men aldiig kan komme over paa den Side af /, der er modsat A. Operationen udfores altsaa uden at man tegner nogen Hjaelpelinie. *) Herved forstaas en Passer med to Spidser; den tjener v esentlig til Maaling og Flytning af Liniestykker. Naar der i de folgende Eksempler er Tale om at udfere en eller anden Operation med Passeren, er det som Regel Haandpasseren, vi mener.

7 et Punkt Maaling. Opg. 2. At maale den storste eller mindste Afstand fra til en Cirkel. Udfores paa ganske lignende Maade som den foregaaende Opgaven udvides let til den mere almindelige, at maale Afstanden fra et Punkt til en Kurve, der tegnet. foreligger I Forbindelse hermed skal naevnes, at man straks kan maale Diameteren i en Cirkel, der foreligger tegnet, uden at man behover at drage nogen Diameter; man saetter blot den ene Passerspids i et Punkt af Periferien og maaler den storste Afstand fra dette Punkt over til Periferien. Flytter man derefter Passeren med den fundne Passeraabning, saaledes at den ene Spids anbringes i Centrum, medens den anden saettes til Papiret i et Punkt P, og man derpaa direkte maaler den storste Afstand fra P over til Periferien, har man et Stykke i Passeren, der er 3 Gange Cirklens Radius, og det vil vaere let at gaa videre paa samme Maade. Har man et Stykke a i Passeren, og der foreligger tegnet en Cirkel med Radius r, da kan man ved at anbringe den ene Passerspids i Centrum og saette den anden til Papiret i et eller andet Punkt P og derpaa maale den storste eller mindste Afstand fra P til Periferien skaffe sig en Afstand, der er henholdsvis a -\- r eller a r (numerisk besternt). Den Slags Maalinger kan vaere nyttige ved Kontrolprover eller ved sammensatte Eksperimenter. Opg. 3. At dele et Liniestykke i to eller ftere lige störe Dele. Man vaeiger en Passeraabning, der skonnes nogenlunde at ville svare til Storrelsen af det sogte Stykke, og prover, om den passer; viser den sig at vaere valgt for stör eller for lille, retter man paa den, indtil den faar den rigtige Storrelse. Det simpleste Tilfaelde er Halvering; her vil Forsoget hurtigt lykkes, og det er sikkert, at det Resultat, man finder

8 8 ad denne Vej, er bedre end det Resultat, som man vil komme til ved en hvilken som helst anden Metode, idet det udforte Eksperiment i sig selv indeholder en umiddelbar Kontrol af Resultatet. Deling i 3 Dele vil ogsaa hurtigt lykkes, og Deling i 4 Dele oploses naturhgvis i 2 Halveringer, ligesom man i det hele ved sammensatte Tal oploser dem i Primfaktorer. Ved storre Antal kan Forsoget lettes ved Brug af Maalestok eller ved en passende Anvendelse af kvadreret Papir (smlg. den elementtergeometriske Konstruktion ved Hjaelp af parallele Linier). Opg. 4. Paa en ret Linie eller Cirkel at finde et Punkt, der har en given Afstand fra en anden ret Linie eller Cirkel. Man tager den givne Afstand i Passeren og prover sig frem, under Anvendelse af den samme lagttagelse som i Opg. 1 og 2, indtil man finder det sogte Punkt. Den samme Metode anvendes umiddelbart til Losning af den mere almindelige Opgave, paa en vilkaarlig tegnet Kurve at finde et Punkt, der har en given storste eller mindste Afstand fra en anden Kurve, der ogsaa foreligger tegnet. Opg. 5. Paa en given ret Linie eller Cirkel (eller i Almindelighed en vilkaarlig tegnet Kurve) at finde et Punkt, der har lige störe Af stände fra to givne Punkter. Opgaven loses ved, at man paa Skon vaeiger et Punkt paa den givne Kurve og prover, om det ligger lige langt fra de to givne Punkter; i modsat Fald flytter man Punktet i Overensstemmelse med Udfaldet af Forsoget, indtil man finder et Punkt, der passer. Det er klart, at den samme Metode kan anvendes, naar man paa en given Kurve skal finde et Punkt, hvis Afstande 1) fra 2 givne Linier, eller 2) fra et givet Punkt og en given Linie, eller 3) fra et givet Punkt og en given Kurve, eller 4) fra to givne Kurver, er indbyrdes lige störe.

9 Og denne Metode rummer en stör Maengde Anvendelser. Vi naevner forelobig folgende: Opg. 6. Tegn en Cirkel, der gaar gennem 2 givne Punkter A og B og rorer en given Cirkel (eller ret Linie). Man oprejser forst den vinkelrette 777 paa Midten af AB. Paa 777 opsoges derefter ved direkte Forsog et Punkt 0, hvis Afstand fra A er lige saa stör som dets storste eller mindste Afstand fra den givne Cirkel (eller den givne rette Linie). De herved fundne Punkter 0 er Centrerne for de sogte Cirkler. Paa ganske lignende ^laade loses den Opgave at tegne en Cirkel, der rorer 2 givne rette Linier samt en given Cirkel. 2. Skaering mellem Cirkel og Keglesnit. Opg. 7. At finde Skceringspunkterne mellem en Cirkel c og en Parabel, givet ved Brauidpunkt F og Ledelinie l. Ved Hjaelp af Passeren opsoger man umiddelbart paa c de Punkter, hvis Afstande fra F og / er lige störe. Har man valgt et Punkt M paa c, og det viser sig, at det ligger naermere ved F end ved /, da betyder dette, at M ligger inden for Parablen (d. v. s. paa den Side af Kurven, hvor Braendpunktet er beliggende); viser det sig derimod, at M ligger naermest ved Ledelinien, betyder det, at M ligger uden for Parablen. Ved lagttagelse af disse Regler vil det vaere let at fuldfore Forsoget, og det Resultat, man finder ad denne Vej, er det l)edst mulige, idet Metoden kontrollerer sig selv; en hvilken som helst anden Fremgangsmaade maatte bag efter kontrolleres ved sehe det naevnte Eksperiment. Det er indlysende, at det samme Forsog vil kunne bruges, naar man skal finde Skaeringspunkterne mellem en Parabel og en vilkaarlig tegnet Kurve; ogsaa i det specielle Tilfaelde, hvor Kurven er en ret Linie, vil det naevnte Forsog vaere at foretraekke, idet det baade er hurtigere og nojagtigere end saedvanlig Konstruktion.

10 Fig Opg. 8. At finde Skceringspunkterne mellem en Cirkel c og en Ellipse, der er givet ved Brcrndpunkterne F og F, og den Store Akses Lamgde 2a. (Fig. 1.) over til F,. Det gcielder om paa Cirklen c at finde et Punkt M, hvis Afstande fra F og F, har Summen 2a. Taenkes FM forlaenget ud over AI til et Punkt S, saaledes at MS = F^M, da vil FS vaere = 2a; tegnes altsaa en Cirkel / med Centrum F og Radius 2a, da vil det sogte Punkt M ligge saaledes, at dets korteste Afstand MS til Cirklen er lig dets Afstand Omvendt vil denne Betingelse vaere tilstraekkelig. Den naevnte Cirkel, der kaldes Ledecirklen om F, vil omslutte F, (FF, < 2a). Opgaven loses derfor ved, at man gennem direkte Prove med Passeren opsoger et Punkt paa c, hvis Afstand fra F, er lig dets korteste Afstand fra Ledecirklen. Ved Udforelsen af dette Forsog maa man laegge Maerke til, at dersom det Punkt M, man forst prover med, viser sig at ligge naermere ved F, end ved Ledecirklen, da betyder dette, at Punktet falder inden for Ellipsen; ligger derimod M naermere ved Ledecirklen end ved F^, falder det uden Ellipsen. Den samme Metode anvendes almindelig til at finde Skaeringspunkter mellem Ellipsen og en vilkaarlig tegnet Kurve, f. Eks. ogsaa naar denne Kurve er en ret Linie. Opg. 9. At finde Skwringspunkterne mellem en Cirkel c og en Hyperbel givet ved Brcendpunkter F og F, og Hovedaksens Lamgde 2a. (Fig. 2.) Man gaar frem som i den foregaaende Opgave: Man tegner en Cirkel /' (Ledecirkel) med Centrum F og Radius 2a for

11 11 Og benytter, at den nodvendige og tilstraekkelige Betingelse for, at et Punkt M ligger paa Hyperblen, er den, at dets Afstand fra F, er lig den storste eller mindste Afstand MS fra M til Ledecirklen (eftersom M horer til den Hyperbelgren, der omslutter F, eller til den, der omslutter FJ. Man opsoger da blot paa c de Punkter, der opfylder den naevnte Betingelse. Viser det sig ved det forste Forsog, at det Punkt M, man faar Fig. 2. fat paa, ligger saaledes, at en Cirkel med Centrum M og gaaende gennem F, vil komme til at skaere Ledecirklen, da betyder dette, at M ligger uden for Hyperblen (d. v. s. i den sammenhaengende Del af Planen, der begraenses af begge Hyperbelgrene); dersom derimod Cirklen med Centrum M og gaaende gennem F, intet Punkt har faelles med Ledecirklen, da \il M ligge inden for Hyperblen (d. e. inden for en af Hyperbelgrenene). Den angivne Metode anvendes uforandret til at finde Skaeringspunkter mellem Hj^perblen og en vilkaarlig tegnet Kurve, ogsaa i det Tilfaelde, da denne Kurve er en ret Linie. Opgave 7 9 giver os ganske overordentlige simple Midier til Bestemmelse af Skaeringspunkter mellem en tegnet Kurve og et vilkaarligt forelagt Keglesnit. Det er ikke nodvendigt at tegne Keglesnittet; et simpelt Forsog med Haandpasseren vil vaere tilstraekkeligt. Og ved Indforelse af disse Hjaelpemidler vil, som vi skal se i det folgende, vort Konstruktionsomraade vaere vaesentlig udvidet ud over det elementaere.

12 12 3. Vinklens Tredeling. Det er en velkendt Sag, at man ved saedvanlig Konstruktion nok kan halvere en Vinkel, men at man derimod ikke kan tredele den. af den Grund vaere i nogen Forlegenhed. Men Praktikeren vil naturligvis ikke Hau vil bruge det samme Eksperiment, ved Hjaelp af hvilket han bestemmer l^redjedelen af et Liniestykke, til med samme Lethed at skaffe sig 4>edjedelen af en Cirkelbue, og selv om der eksisterede en Konstruktion ved Passer og Lineal, vilde han dog aldrig bruge den; det naevnte Eksperiment giver nemlig den bedst mulige Nojagtighed. For den praktiske Udforelse har det altsaa ingen som helst Interesse, om der eksisterer en Losning af Vinklens Tredeling ved saedvanlig Konstruktion eller ikke. Derimod har det naturligvis videnskabelig Interesse at faa Klarhed over dette Sporgsmaal, og af Hensyn hertil samt af Hensyn til den störe Rolle, Problemet har spillet i Matematikkens Historie, skal vi da i det folgende give et Bevis for den Saetning, at der ikke eksisterer nogen saedvanlig Konstruktion til Deling af en vilkaarlig forelagt Vinkel i 3 lige störe Dele. For at kunne fore dette Bevis maa vi imidlertid forst orientere os lidt naermere med Hensyn til den saedvanlige Konstruktions Indhold og Omfang. Vi har naevnt de Operationer, hvoraf en saedvanlig Konstruktion maa Vciere sammensat, men vi maa fore Undersogelsen lidt videre. Lad OS taenke os en eller anden Konstruktionsopgave; den kan altid formuleres saaledes: Der er givet visse Punkter -^^' ^^' ^'. (i endeligt Antal); man skal konstruere visse andre Punkter, der staar i en opgiven geometrisk Afha^ngighed til de givne. Vi tegner ved Passer og Lineal et retvinklet Koordinatsystem (X. Y) og projicerer vore Punkter A, B, C, paa X-Aksen i.a,, B C..., paa Y-Aksen i A B,, C...

13 13 I Stedet for det forelagte Punktsystem kan vi derefter saette A,, A^, JB^, B^, C,, C..,..., da vi ved Konstruktion med Passer og Lineal kan udlede de to Systemer af hinanden. Resultatet heraf bliver da, at man ved at tage de givne Punkters Koordinater faar en Sämling af bekendte Storrelser som Udtryk for alt, hvad der er givet. De Punkter, der soges, kan ligeledes taenkes bestemt ved Koordinater, og man faar derved en Sämling af ubekendte Storrelser som Udtryk for det, der skal findes. De opgivne geometriske Afhaengigheder kan nu efter den analytiske Geometri udtrykkes ved Ligninger mellem de bekendte og de ubekendte Storrelser, hvorefter Opgaven er omskrevet til at finde de ubekendte Storrelser af disse Ligninger. Dersom nu Opgaven har en Losning ved saedvanlig Konstruktion, kan man ved at folge de forskellige Operationer i Konstruktionen komme fra de bekendte Storrelser til de ubekendte. Lad os se paa den analytiske Formulering af disse Operationer: 1) En ret Linie gennem 2 Punkter (i\,yj og (i\,,yj fremstilles ved en Ligning af forste Grad: ^^ iyi y'^) y (^x -^J+^^\ y. -i^. ^i = o, hvis Konstanter er rationale Udtryk i de 2 Punkters Koordinater. 2) En Cirkel med Centrum (777, 77) og Radius r fremstilles ved Ligningen x^-\-i]^ 27770: 2/77/ -\-m^-^n^ r^ = 0. Er Radien givet som Afstand mellem 2 Punkter (p,, q,) og (P2» Q^X har man r' = {p, p,y + (q, q,y- Cirklens Ligning indeholder altsaa kun Konstanter, der udtrykkes rationalt ved de givne. 3) 2 rette Liniers Skaeringspunkt fremstilles ved Koordinater, der udtrykkes ved rationale Funktioner af Ligningernes Konstanter.

14 14 4) Skseringspunkter mellem ret Linie og Cirkel eller mellem to Cirkler fremstilles derimod ved Koordinater, som ved deres Beregning kraever Udforelse af en Kvadratrodsuddragning. Ved Sammensaetning af de naevnte Operationer kan man altsaa ud fra de givne Storrelser aldrig naa til andre Udtryk end saadanne, som man fores til gennem et endeligt Antal rationale Operationer og reelle Kvadratrodsuddragninger, udforte efter hinanden. Omvendt kan saadanne Udtryk jo altid konstrueres ved Passer og Lineal. Altsaa: For at en Opgave skal kunne loses ved saedvanlig Konstruktion, er det nodvendigt og tilstraekkeligt, at de sogte Punkters Koordinater i et vilkaarligt valgt retvinklet Koordinatsystem kan udtrykkes ved saadanne Funktioner af de givne Punkters Koordinater, som kan dannes ved Sammensaetning af en endelig Raekke rationale Operationer og Kvadratrodsuddragninger. Efter dette Resultat gaar vi nu over til vor specielle Opgave at vise, at der gives Vinkler, som ikke lader sig tredele ved saedvanlig Konstruktion. Vi vaeiger et simpelt Eksempel, idet vi tager en Vinkel paa 60 og vil bevise, at Tredjedelen, en Vinkel paa 20, ikke kan konstrueres. Dette vil jo vaere tilstraekkeligt, idet enhver eventuell eksisterende almindehg Konstruktion af Vinklens Tredeling maatte kunne anvendes paa det specielle Tilfaelde. I Formten cos 3«= 4 COS^ a 3 COSa saetter vi cc = 20 og faar da: i =4 cos^ 20 3 cos20, saa at vi til Bestemmelse af har Ligningen: x = 2cos 20 0;=^ 3a: 1:^0.

15 15 For nu at godtgore, at Vinklen 20 ikke kan konstrueres ved Passer og Lineal, skal vi kun paavise, at den fundne tredje Grads Ligning ikke har nogen Rod, der kan dannes ved, at man udgaaende fra Tallet 1 anvender en endelig Raekke af rationale Operationer (de 4 Regningsarter) og Kvadratrodsuddragninger efter hinanden. De Storrelser, man overhovedet kan komme til ved disse Operationer, undersoger vi nu naermere, idet vi efterhaanden beskaeftiger os med folgende Omraader af de frembragte Tal: 1) Omraadet R, omfattende alle rationale Tal. 2) Omraadet R, (enkelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tallene i R og disses Kvadratrodder at anvende rationale Operationer; sehe Tallene i R regnes dog ikke med til R,. 3) Omraadet R.^ (dobbelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tallene i R og R, samt disses Kvadratrodder at anvende rationale Operationer; dog optages de Tal, som i Forvejen findes i R og R,, ikke i R^. Paa denne Maade fortsaettes nu, og vi klassificerer derved efterhaanden alle de irrationale Storrelser, som overhovedet vil kunne konstrueres ved Passer og Lineal ud fra den valgte Laengde 1, saaledes at man er vis paa, at enhver af de Storrelser, der kan konstrueres, maa forekomme i en bestemt af Klasserne R, R,, R^,... Vi vil nu vise, at ingen af disse Klasser kan indeholde nogen Storrelse, som tilfredsstiller Ligningen x^ 3x 1 = 0, Vi prover med den forste Klasse R. Findes der noget rationalt Tal, som er Rod i Ligningen? For det forste ser man straks, at x ikke kan vaere noget hell Tal, da dette i saa Fald vilde gaa op i de to forste Led.r^ og 3x og derfor ogsaa i det sidste Led (^1), hvilket maatte medfore, at.r = + l; men ingen af disse Vaerdier til-

16 fredsstiller Ligningen. 16 For det andet kan x = en uforkorteliö Brok - heller ikke tilfredsstille Ligningen, da dette ved ö g Indsaettelse vilde give saa at q maatte gaa op i pl P^ 3pq--q' = 0, q Intet Tal i Klassen R kan altsaa vaere Rod i Ligningen. Derefter prover vi med Klassen R,. En vilkaarlig Storrelse i denne Klasse maa vaere rationalt udtrykt ved et endeligt Antal Kvadratrodder Yu, Yv, Yp.... Disse kan forudsaettes uafhaengige af hinanden paa den Maade, at ingen af dem kan udtrykkes rationalt ved de ovrige; ellers künde man nemlig reducere Anfallet af indgaaende Kvadratrodder. Lad nu Antallet af Kvadratrodder vaere r. Den betragtede Storrelse ordnes efter en af de indgaaende Kvadratrodder, f. Eks. Yu og faar da Formen A+BY^ C+DYÜ' der ved Multiplikation med C DYU i Taeller og Naevner reduceres til et Udtryk af Formen 777^77^17. Her kan Yn ikke udtrykkes rationalt ved 777 og n (men 777 og 77 kan naturhgvis indeholde andre Rodstorrelser). Kan nu 777-]-771^77 vaere Rod i Ligningen? Ved Indsaettelse faar man (777 -f nyüy 3( ^77 ) 1= 0, der ordnes med Hensyn til Yu. saa at man faar M+NYÜ=O, hvor M og N er rationale hele Udtryk i 777, 77 og 77. Da nu ) u ikke kan udtrykkes rationalt ved 777 og 77, maa man altsaa have A^ = 0, altsaa ogsaa M=0, altsaa M NYU = 0,

17 17 hvilket imidlertid aabenbart betyder, at yl7 er Rod i den forelagte 3dje Grads Ligning. Altsaa: Skal K" vaere Rod i Ligningen, maa 777 ny^ ogsaa vaere det. Da nu Koefficienten til x' er Nul, maa Summen af Ligningens 3 Rodder vaere Nul, og naar de to af Rodderne er ^77(77^0), vil den sidste Rod i Ligningen ygere = 2777; men denne Storrelse indeholder ikke Yu, altsaa 1 Kvadratrod faerre end m-^nyu. Altsaa: Dersom 3dje Grads Ligningen har en Rod i Klassen R, med r af hinanden uafhaengige Kvadratrodder, maa den ogsaa have en Rod med r 1 eller faerre af hinanden uafhaengige Kvadratrodder. Men deraf slutter man straks, at den maatte have en Rod, som slet ingea Kvadratrodder indeholder, altsaa en rational Rod, men dette viste vi ovenfor var umuligt. ikke nogen Rod i R,. Ligningen har altsaa heller Vi kan derefter gaa videre paa samme Maade og vise, at den ikke har nogen Rod i R^. som for: Beviset formes ganske Man taenker sig den betragtede Storrelse i R^ bragt paa Formen Yn, hvor Yu tilhorer R, men ikke kan udtrykkes rationalt ved 777 og 77 og 77 (i modsat Fald künde Udtrykket nemlig reduceres saaledes, at Yn forsvandt). Dersom m-\-nyii er Rod i Ligningen, maa ogsaa ^77 vaere det, altsaa ogsaa Storrelsen 2777, som ikke indeholder Yu o. s. v. Folgen vilde blive, at Ligningen maatte tilfredsstilles af en Storrelse i R,, hvilket er umuligt. Det er klart, at Raesonnementet kan fortsaettes paa lignende Maade gennem de folgende Klasser Rc^^R^^, og vi indser da, at ingen af Klasserne kan indeholde noget Tal, som tilfredsstiller Ligningen. Altsaa kan man ikke ved Passer og Lineal konstruere en Vinkel paa 20", og Umuligheden af en saedvanlig Konstruktion til Vinklens Tredeling er dermed godtgjort.

18 18 Man kan naturligvis anvende ganske de samme Betragtninger, som vi her har benyttet, til Behandling af en vilkaarlig 3dje Grads Ligning med rationale Koefficienter og uden rationale Rodder. En saadan Ligning kan altsaa aldrig loses ved Kvadratrod (d. v. s. den har ikke nogen Rod, der henhorer til nogen af de ovennaevnte Klasser). En irrational Kubikrod af et rationalt Tal kan altsaa aldrig udtrykkes ved Kvadratrod. Hermed er bl. a. bevist, at en anden beromt Konstruktionsopgave, Problemet om Terningens Fordobling, heller ikke kan loses ved saedvanlig Konstruktion, idet Opgavens Losning beror paa at finde \/2. Almindelige Undersogelser over algebraiske Ligninger, der lader sig oplose ved Kvadratrod, og som altsaa grafisk kan behandles ved saedvanlig Konstruktion, er gennemfort af Julius Petersen; herom henvises til hans Doktordisputats: Om Ligninger, der kunne loses ved Kvadratrod, Kjobenhavn 1871, samt til hans Laerebog: De algebraiske Ligningers Theori, Kjobenhavn Kubikrodsuddragning. Vi har set, at man ikke ved saedvanlig Konstruktion kan bestemme en vilkaarlig Kubikrod. Blandt de forskellige Former, som Opgaven angaaende den almindelige Kubikrodsuddragning har faaet, skal vi forst naevne den vigtigste, Bestemmelsen af to sammenhaengende Mellemproportionaler X og y mellem to givne Storrelser a og b, d. v. s. Bestemmelsen af x og y ved Ligningerne a X y X y b' De Ire Broker har Produktet -, og hver af dem maa altsaa vaere = 1/^, altsaa b X = x'a^b, y = \ ab^.

19 19 Disse to Kubikrodder konstrueres altsaa samtidig ved Losning af ovenstaaende Ligninger, eller hvad der er det samme, ved at söge Skaeringspunktet mellem de 2 Parabler, der i et retvinklet Koordinatsystem fremstilles ved Ligningerne x^ = ay, 7/^ = bx. Taenker man sig disse Parabler tegnet, har man derved en Losning af Opgaven; denne Losning var allerede kendt af Menaichmos (ca. 300 f. Chr.). Hvad den praktiske Udforelse angaar, maa det imidlertid straks bemaerkes, at selve det Eksperiment at tegne Parablerne paa fri Haand og derpaa tage Skaeringspunktet, ikke er nogen synderlig let eller nojagtig Operation. Opgavens Losning bliver derimod vaesentlig bedre, naar man benytter Descartes' Omskrivning: De to Ligninger x^ = ay, y^ = bx, ombyttes med folgende: y^ = bx, x^-\-y^ ^^ bx-\- ay, af hvilke den sidste fremstiller en Cirkel med Centrum (^, ^j og gaaende gennem Begyndelsespunktet, medens den forste fremstiller en af de oprindelige Parabler med Braendpunkt ( j,0 ) og Ledelinie x =. Det gaelder nu blot at finde Skaeringspunktet mellem Cirklen og Parablen, og dette kan udfores ved det under Opg. 7 omtalte Forsog, altsaa uden at tegne nogen anden Kurve end Cirklen. 5. Almindelige Opgaver af 3. og 4. Grad. En Opgave, hvis Losning kan henfores til Oplosningen af en Ligning af n'te Grad, betegner vi som en Opgave af n'te Grad. Vinklens Tredeling og den almindelige Kubikrodsuddragning er Opgaver af 3dje Grad. Og enhver Opgave af 3dje Grad kan fores tilbage til disse 2 specielle Opgaver. Dette fremgaar af den Maade, hvorpaa man oploser den almindelige Ligning af 3. Grad: x^ -\r ax^ -\-bx-\-c=^0.

20 20 a Indsaettes x=^y ^, vil Ligningen faa Formen: Herefter saettes y=^u-\-v, Saettes derpaa hvorved man faar: "' + y' + (3"y + p)(«+ i^) + 9 = 0. faar man 77^ --\-v^ = q, hvorefter man finder 77^ og v^ som Rodder i den kvadratiske Ligning: altsaa p z p qz -^ =^ U,.3.. ^ 7;^ i^~2 + 4 ^27 Bestemmelsen af 77 og v kraever altsaa foruden Kvadratrodsuddragning ogsaa Kubikrodsuddragning, og den Storrelse, hvoraf Kubikroden skal uddrages, vil enten vaere reel eller imaginaer; men i alle Tilfaelde uddrages Kubikroden af et komplext Tal ved, at man uddrager Roden af Modulus og tredeler Argumentet. Og hermed er det bevist, at den almindelige Opgave af 3dje Grad kun kraever de 2 naevnte specielle Operationer foruden Konstruktion med Passer og Lineal. Opgaver af 4de Grad kraever ikke med Nodvendighed nye Eksperimenter, idet enhver Ligning af 4de Grad efter forst at vaere bragt paa Formen x^ -{- ax^ -\-bx^c=^0, kan fores tilbage til Losning af en Opgave af 3dje Grad. Ligningen kan nemlig for det forste omskrives til Cr- + yf = (27/ a)x^ bx c + y\ hvor y er vilkaarlig; og dernaest kan man bestemme y saaledes, at hojre Side bhver et fuldstaendigt Kvadrat. Til Bestemmelse af y haves da: 4(2y-a)(r-c) = t^ altsaa en Ligning af 3dje Grad. Oploser man denne, vil x derefter kunne findes ved Oplosning af kvadratiske Ligninger.

21 21 En elegant geometrisk Behandling af Ligninger af 3. og 4. Grad er givet af Descartes, som loser Ligningen ved den faste Parabel z^ '= pz^ -\- qz -\- r og Cirklen For r = 0 har man herved specielt en Oplosning af Ligningen af 3. Grad: z^=pz + q. Enhver Opgave af 3dje og 4de Grad kan altsaa loses ved udelukkende Anvendelse af Opg. 7 i Forbindelse med Konstruktion ved Passer og Lineal. Disse analytiske Overvejeiser vil nu imidlertid naeppe i mange Tilfaelde vaere til direkte Nytte ved den praktiske Behandling af konkrete Opgaver, men de giver en eksakt Besvarelse af et rent teoretisk Sporgsmaal og viser, hvor overmaade simple Operationer der skal til, for at man skal kunne beherske hele det Omraade, som Opgaverne af 3. og 4. Grad omfatter. Og dette Omraade er saerdeles vigtigt; selv tilsyneladende meget simple Opgaver forer derind. en Vinkel a, som tilfredsstiller 6. Specielle Opgaver af 3. og 4. Grad. Opg. 10. Find ved Konstruktion Ligningen: Man saetter og har da a, b cos a -\ -. sin a = c. c cos a = x, csina = y, a -+-=-!, x' + y' = c' X ' 7/ ' ^ til Bestemmelse af x og y; disse Storrelser kan altsaa findes som Koordinater til et Skaeringspunkt mellem en ligesidet

22 22 Hyperbel og en Cirkel. Hyperblen gaar gennem Begyndelsespunktet, og dens Asymptoter er x=a, y = b\ Toppunkter og Brsendpunkter findes da let, og Opg. 9 kan anvendes. Opg. 11. At konstruere en ligebenet Trekani, hvis Ben liar en given Storrelse a og gaar gennem livert sit af to givne Punkter P og Q, medens Grundlinien skal falde paa en given Linie /. P's og O's Afstande fra / betegnes med p og q, og PQ's Projektion paa / med r. Vinklen «ved Grundlinien bestemmes da ved Ligningen Sin ci cos a hvorved Opgaven er fort tilbage til den foregaaende. x=^a cosa, y^=asin a, er henholdsvis den halve Grundlinie og den hele Hojde i den sogte Trekant. Opg. 12. Bestem «af Saettes Ligningen cos^ a -\- sin^ a = a. cos a -\- sin «= 2 cos ß, faar man til Bestemmelse af ß cos Sß = a, hvorved ß kan findes, og derefter «. Opg. 13. Find Skaeringspunkterne mellem 2 I 2 2 x^-\-y^ = a^ Asteroiden og en Linie vinkelret paa en af Kurvens Symmetriakser. Opgaven loses for en Linie ±.T- eller 7/-Aksen ved Hjaelp af Kubikrodskonstruktion, og for en Linie ± en af de Symmetriakser, som halverer Koordinataksernes Vinkler, fores Opgaven tilbage til den foregaaende.. Hjaelpesaetning I. Naar 2 Linier gennem faste Punkter A og B drejer sig lige hurtigt til modsat Side, vil deres Skaeringspunkt i Almindelighed gennemlobe en ligesidet Hyperbel.

23 23 Beviset herfor faar man leitest ved at tage et retvinklet Koordinatsystem med Begyndelsespunkt i Midtpunktet 0 af AB og med Akser i saadanne Retninger, som hver for sig danner lige störe Vinkler med samtidige Stillinger af Linierne. Idet nu A har Koordinaterne (a, b) og B altsaa Koordinaterne ( a, b), vil samtidige Stillinger af de to Linier fremstilles ved Ligninger af Formen: y b = cc(x a), y + b = a{x+a). Skaeringspunktet (x, y) vil altsaa stadig tilfredsstille Ligningen xy =^ ab, der fremstiller en ligesidet Hyperbel med Koordinatakserne til Asymptoter. Hyperblens Akser, Toppunkter og Braendpunkter findes let. De Liniebundter, som gennemlobes af de 2 roterende Linier, er symmetriske (d. e. kongruente med modsatte Omlob). Saetningen er derfor specielt indbefattet i den almindelige Saetning om et Keglesnits Frembringelse ved projektive Liniebundter*). Naar i en Trekant ABC Vinkelspidserne A og ß ligger fast, og Differensen mellem Vinklerne A og B har en given Storrelse, vil Vinkelspidsen C efter Hjaelpesaetning I ligge paa en ligesidet Hyperbel. Dette kan finde Anvendelse ved Trekantskonstruktioner, hvor man kender Siden AB og Differensen mellem Vinklerne A og B. Som Eksempel naevnes folgende simple Opgave: Opg. 14. Konstruer en Trekant ABC af Siden c, Differensen mellem Vinklerne A og B samt Siden a.**) Idet A og ß laegges fast, findes C som Skaeringspunkt mellem en Cirkel og en ligesidet Hyperbel. *) Se Forf.'s Deskriptivgeometri S. 67. **) Opg. 408 i Julius Petersen: Methoder og Theorier, Se endvidere Opg. 410 smst.

Hjelmslev, Johannes Trolle Geometriske eksperimentel

Hjelmslev, Johannes Trolle Geometriske eksperimentel Hjelmslev, Johannes Trolle Geometriske eksperimentel / GEOMETRISKE EKSPERIMENTER AF J. HJELMSLEV KØBENHAVN JUL. GJELLERUPS FORLAG 1913 GEOMETRISKE EKSPERIMENTER AF J. HJELMSLEV KØBENHAVN JUL. GJELLERUPS

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

VA 'iß ^^V. "^'^^fis?^^ BrT^^'^StfS ^^ÄI!Z5 1 A^ 552 1V5 BS5

VA 'iß ^^V. ^'^^fis?^^ BrT^^'^StfS ^^ÄI!Z5 1 A^ 552 1V5 BS5 VA 'iß ^^V "^'^^fis?^^ 4 BrT^^'^StfS ^^if. ^^^^ ^^ÄI!Z5 ^M 1 A^ 552 1V5 BS5 F^ L.^REBOG ANALYTISK PLANGEOMETRI AF DR. NIELS NIELSEN DOCENT I REN MATEMATIK VED KJOnENHAVNS UNIVERSITET MEDLEM AF INDERVISNl

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

GEOMETRISKE AFBILDNINGSMETODER

GEOMETRISKE AFBILDNINGSMETODER FR. FABRICIUS-BJERRE GEOMETRISKE AFBILDNINGSMETODER JUL. GJELLERUPS K 0 B E N H AVN 1943 FORLAG GEOMETRISKE AFBILDNINGSMETODER FR. FABRICIUS-BJERRE GEOMETRISKE AFBILDNINGSMETODER JIJ.. (..IKLLEHIPS FOHLAO

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Staalbuen teknisk set

Staalbuen teknisk set Fra BUEskydning 1948, nr 10, 11 og 12 Staalbuen teknisk set Af TOMAS BOLLE, Sandviken Fra vor Kollega hinsides Kattegat har vi haft den Glæde at modtage følgende meget interessante Artikel om det evige

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Usædvanlige opgaver Lærervejledning

Usædvanlige opgaver Lærervejledning Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

"^^^^: W. ^^M .'.-'/I^H. ;jviv;n^.\>*^ \/y'^'^':i.':'^--:0:-- '157 ;N 5 1 ,V^;V. -^x-njmh}^ /. ;. V ^ -^M^iraiR

^^^^: W. ^^M .'.-'/I^H. ;jviv;n^.\>*^ \/y'^'^':i.':'^--:0:-- '157 ;N 5 1 ,V^;V. -^x-njmh}^ /. ;. V ^ -^M^iraiR -^M^iraiR "^^^^: W. ^^M.'.-'/I^H '157 ;N 5 1 \/y'^'^':i.':'^--:0:-- ;jviv;n^.\>*^,v^;v -^x-njmh}^ /. ;. V ^ /.^JA2 ^ftr^

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Aarhus byråds journalsager (J. Nr. 243-1923)

Aarhus byråds journalsager (J. Nr. 243-1923) Aarhus byråds journalsager (J. Nr. 243-1923) Originalt emne Belysningsvæsen Belysningsvæsen i Almindelighed Gasværket, Anlæg og Drift Indholdsfortegnelse 1) Byrådsmødet den 14. juni 1923 2) Byrådsmødet

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2010 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

^%^' y-:l ' 'P-':^.:% '^:>:\.:';- ^ ^^,,^ r-s ftj^íi. / fev^^ ^ :MC: A./''. " i,'^... >» í. r^'..

^%^' y-:l ' 'P-':^.:% '^:>:\.:';- ^ ^^,,^ r-s ftj^íi. / fev^^ ^ :MC: A./''.  i,'^... >» í. r^'.. " i,'^... >» í r^'.. ^%^' y-:l ' 'P-':^.:% ' ^. ', "^i'^-- '^:>:\.:';- ^'^'í^s^-'i^- ^ ^^,,^ r-s ftj^íi. / ^ :MC: fev^^ tí^»^v' A./''. LiCREBOG I DIFFERENTIAL- OG INTEGRALREGNING AF P. C. V. HANSEN.

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Tab.23. Fig.63 og Fig.64

Tab.23. Fig.63 og Fig.64 Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814.. Fig.63 og Fig.64 76 Naar der gives en ret

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere