GEOMETRISKE EKSPERIMENTER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GEOMETRISKE EKSPERIMENTER"

Transkript

1 GEOMETRISKE EKSPERIMENTER AF J. HJELMSLEV K0BENHAVN JUL. GJELLERUPS FORLAG 1913

2

3 Uenne Bog handler om geometrisk Konstruktion, i videste Forstand. Den handler ikke om Approximationer, men om eksakte Konstruktioner. Den handler samtidig om den praktiske Udforelse, idet den soger at forme Konstruktionen med den simplest mulige Realisering for Oje. Og gennem en naturlig Forening af disse Formaal strauber den at baue Vej for et lidt videre Sijn end det, som paa dette Omraade tmr hersket siden Piatons Dage.

4

5 L Konstruktion og Eksperiment. VED geometrisk Konstruktion forstaar man saedvanligvis»konstruktion ved Passer og Lineal«. Herved er det for det forste forudsat, at man ved Tegningens Udforelse ikke bruger andre Apparater end Passer og Lineal; men dette er ikke det eneste Forbehold, der tages. Hvis man f. Eks. vil bestemme en ret Linie parallel med en given og i en given Afstand fra samme og i dette Ojemed tegner 2 Cirkler med Centrer paa den givne Linie og med den givne Afstand til Radius, for derpaa ved Hjaelp af Linealen umiddelbart at drage en ydre Faellestangent til Cirklerne, da er Opgaven ganske vist derved lost uden Brug af andre Apparater end Passer og Lineal, men enhver, der har laert lidt Geometri, vil straks vaere paa det rene med, at vi her er gaaet uden for de»lovlige«graenser for disse Apparaters Anvendelse. Hvilke Operationer er da lovlige? Svaret lyder saaledes: For det forste er det tilladt ved Hjaelp af Linealen at tegne en ret Linie gennem 2 bekendte Punkter og for det andet ved Passeren at tegne en Cirkel med givet Centrum og Radius, fiertil kommer endnu en Operation, nemlig den, ved Hjaelp af 0jet at opsoge Skaeringspunkter (mellem tegnede rette Linier og Cirkler). Den naevnte Gruppe af Operationer omfatter alt, hvad man kan drage ind under det klassiske Begreb: Konstruktion ved Passer og Lineal. Alle andre Handlinger, som foretages for at naa til Realiseringen af en eller anden Figur med

6 6 foreskrevne Egenskaber, betegner vi som Eksperimenter; hertil horer altsaa f. Eks. den ovennaevnte Bestemmelse af en ret Linie parallel med en given i en given Afstand. Skont den klassiske Konstruktion i Virkeligheden bor opfattes som et specielt Tilftelde af det almindehge geometriske Eksperiment, og dette paa den anden Side ikke er noget som helst andet end Konstruktion i videre Forstand, vil vi dog i det folgende af Hensyn til almindelig Sprogbrug skelne imellem»ssedvanlig Konstruktioncc og»eksperiment«. Eksperimentet faar man Brug for i to Tilfaelde: 1) Naar den forehggende Opgave vel lader sig lose ved s^dvanlig Konstruktion, men loses lettere og nojagtigere ved hei eller delvis Anvendelse af Eksperiment, og 2) naar Opgaven ikke lader sig lose ved saedvanlig Konstruktion. Eksempler kender enhver praktisk Tegner. Man behover jo blot at henvise til Anvendelsen af Hovedlineal, Tegnetrekant og andre praktiske Hjaelpemidler; men selv om vi begraenser os til saadanne Operationer, som udfores alene ved Hjaelp af Passer og Lineal, kan vi naevne mange naerliggende Eksempler: Opg. L Linie l. At maale Af standen fra et Punkt A til en ret Denne Operation udfores direkte ved Haandpasseren (M aalepasseren)*), idet man ved Prove bestemmer en saadan Passeraabning, at den ene Passerspids kan anbringes i.4, samtidig med, at den anden kan fores ind i Linien /, men aldiig kan komme over paa den Side af /, der er modsat A. Operationen udfores altsaa uden at man tegner nogen Hjaelpelinie. *) Herved forstaas en Passer med to Spidser; den tjener v esentlig til Maaling og Flytning af Liniestykker. Naar der i de folgende Eksempler er Tale om at udfere en eller anden Operation med Passeren, er det som Regel Haandpasseren, vi mener.

7 et Punkt Maaling. Opg. 2. At maale den storste eller mindste Afstand fra til en Cirkel. Udfores paa ganske lignende Maade som den foregaaende Opgaven udvides let til den mere almindelige, at maale Afstanden fra et Punkt til en Kurve, der tegnet. foreligger I Forbindelse hermed skal naevnes, at man straks kan maale Diameteren i en Cirkel, der foreligger tegnet, uden at man behover at drage nogen Diameter; man saetter blot den ene Passerspids i et Punkt af Periferien og maaler den storste Afstand fra dette Punkt over til Periferien. Flytter man derefter Passeren med den fundne Passeraabning, saaledes at den ene Spids anbringes i Centrum, medens den anden saettes til Papiret i et Punkt P, og man derpaa direkte maaler den storste Afstand fra P over til Periferien, har man et Stykke i Passeren, der er 3 Gange Cirklens Radius, og det vil vaere let at gaa videre paa samme Maade. Har man et Stykke a i Passeren, og der foreligger tegnet en Cirkel med Radius r, da kan man ved at anbringe den ene Passerspids i Centrum og saette den anden til Papiret i et eller andet Punkt P og derpaa maale den storste eller mindste Afstand fra P til Periferien skaffe sig en Afstand, der er henholdsvis a -\- r eller a r (numerisk besternt). Den Slags Maalinger kan vaere nyttige ved Kontrolprover eller ved sammensatte Eksperimenter. Opg. 3. At dele et Liniestykke i to eller ftere lige störe Dele. Man vaeiger en Passeraabning, der skonnes nogenlunde at ville svare til Storrelsen af det sogte Stykke, og prover, om den passer; viser den sig at vaere valgt for stör eller for lille, retter man paa den, indtil den faar den rigtige Storrelse. Det simpleste Tilfaelde er Halvering; her vil Forsoget hurtigt lykkes, og det er sikkert, at det Resultat, man finder

8 8 ad denne Vej, er bedre end det Resultat, som man vil komme til ved en hvilken som helst anden Metode, idet det udforte Eksperiment i sig selv indeholder en umiddelbar Kontrol af Resultatet. Deling i 3 Dele vil ogsaa hurtigt lykkes, og Deling i 4 Dele oploses naturhgvis i 2 Halveringer, ligesom man i det hele ved sammensatte Tal oploser dem i Primfaktorer. Ved storre Antal kan Forsoget lettes ved Brug af Maalestok eller ved en passende Anvendelse af kvadreret Papir (smlg. den elementtergeometriske Konstruktion ved Hjaelp af parallele Linier). Opg. 4. Paa en ret Linie eller Cirkel at finde et Punkt, der har en given Afstand fra en anden ret Linie eller Cirkel. Man tager den givne Afstand i Passeren og prover sig frem, under Anvendelse af den samme lagttagelse som i Opg. 1 og 2, indtil man finder det sogte Punkt. Den samme Metode anvendes umiddelbart til Losning af den mere almindelige Opgave, paa en vilkaarlig tegnet Kurve at finde et Punkt, der har en given storste eller mindste Afstand fra en anden Kurve, der ogsaa foreligger tegnet. Opg. 5. Paa en given ret Linie eller Cirkel (eller i Almindelighed en vilkaarlig tegnet Kurve) at finde et Punkt, der har lige störe Af stände fra to givne Punkter. Opgaven loses ved, at man paa Skon vaeiger et Punkt paa den givne Kurve og prover, om det ligger lige langt fra de to givne Punkter; i modsat Fald flytter man Punktet i Overensstemmelse med Udfaldet af Forsoget, indtil man finder et Punkt, der passer. Det er klart, at den samme Metode kan anvendes, naar man paa en given Kurve skal finde et Punkt, hvis Afstande 1) fra 2 givne Linier, eller 2) fra et givet Punkt og en given Linie, eller 3) fra et givet Punkt og en given Kurve, eller 4) fra to givne Kurver, er indbyrdes lige störe.

9 Og denne Metode rummer en stör Maengde Anvendelser. Vi naevner forelobig folgende: Opg. 6. Tegn en Cirkel, der gaar gennem 2 givne Punkter A og B og rorer en given Cirkel (eller ret Linie). Man oprejser forst den vinkelrette 777 paa Midten af AB. Paa 777 opsoges derefter ved direkte Forsog et Punkt 0, hvis Afstand fra A er lige saa stör som dets storste eller mindste Afstand fra den givne Cirkel (eller den givne rette Linie). De herved fundne Punkter 0 er Centrerne for de sogte Cirkler. Paa ganske lignende ^laade loses den Opgave at tegne en Cirkel, der rorer 2 givne rette Linier samt en given Cirkel. 2. Skaering mellem Cirkel og Keglesnit. Opg. 7. At finde Skceringspunkterne mellem en Cirkel c og en Parabel, givet ved Brauidpunkt F og Ledelinie l. Ved Hjaelp af Passeren opsoger man umiddelbart paa c de Punkter, hvis Afstande fra F og / er lige störe. Har man valgt et Punkt M paa c, og det viser sig, at det ligger naermere ved F end ved /, da betyder dette, at M ligger inden for Parablen (d. v. s. paa den Side af Kurven, hvor Braendpunktet er beliggende); viser det sig derimod, at M ligger naermest ved Ledelinien, betyder det, at M ligger uden for Parablen. Ved lagttagelse af disse Regler vil det vaere let at fuldfore Forsoget, og det Resultat, man finder ad denne Vej, er det l)edst mulige, idet Metoden kontrollerer sig selv; en hvilken som helst anden Fremgangsmaade maatte bag efter kontrolleres ved sehe det naevnte Eksperiment. Det er indlysende, at det samme Forsog vil kunne bruges, naar man skal finde Skaeringspunkterne mellem en Parabel og en vilkaarlig tegnet Kurve; ogsaa i det specielle Tilfaelde, hvor Kurven er en ret Linie, vil det naevnte Forsog vaere at foretraekke, idet det baade er hurtigere og nojagtigere end saedvanlig Konstruktion.

10 Fig Opg. 8. At finde Skceringspunkterne mellem en Cirkel c og en Ellipse, der er givet ved Brcrndpunkterne F og F, og den Store Akses Lamgde 2a. (Fig. 1.) over til F,. Det gcielder om paa Cirklen c at finde et Punkt M, hvis Afstande fra F og F, har Summen 2a. Taenkes FM forlaenget ud over AI til et Punkt S, saaledes at MS = F^M, da vil FS vaere = 2a; tegnes altsaa en Cirkel / med Centrum F og Radius 2a, da vil det sogte Punkt M ligge saaledes, at dets korteste Afstand MS til Cirklen er lig dets Afstand Omvendt vil denne Betingelse vaere tilstraekkelig. Den naevnte Cirkel, der kaldes Ledecirklen om F, vil omslutte F, (FF, < 2a). Opgaven loses derfor ved, at man gennem direkte Prove med Passeren opsoger et Punkt paa c, hvis Afstand fra F, er lig dets korteste Afstand fra Ledecirklen. Ved Udforelsen af dette Forsog maa man laegge Maerke til, at dersom det Punkt M, man forst prover med, viser sig at ligge naermere ved F, end ved Ledecirklen, da betyder dette, at Punktet falder inden for Ellipsen; ligger derimod M naermere ved Ledecirklen end ved F^, falder det uden Ellipsen. Den samme Metode anvendes almindelig til at finde Skaeringspunkter mellem Ellipsen og en vilkaarlig tegnet Kurve, f. Eks. ogsaa naar denne Kurve er en ret Linie. Opg. 9. At finde Skwringspunkterne mellem en Cirkel c og en Hyperbel givet ved Brcendpunkter F og F, og Hovedaksens Lamgde 2a. (Fig. 2.) Man gaar frem som i den foregaaende Opgave: Man tegner en Cirkel /' (Ledecirkel) med Centrum F og Radius 2a for

11 11 Og benytter, at den nodvendige og tilstraekkelige Betingelse for, at et Punkt M ligger paa Hyperblen, er den, at dets Afstand fra F, er lig den storste eller mindste Afstand MS fra M til Ledecirklen (eftersom M horer til den Hyperbelgren, der omslutter F, eller til den, der omslutter FJ. Man opsoger da blot paa c de Punkter, der opfylder den naevnte Betingelse. Viser det sig ved det forste Forsog, at det Punkt M, man faar Fig. 2. fat paa, ligger saaledes, at en Cirkel med Centrum M og gaaende gennem F, vil komme til at skaere Ledecirklen, da betyder dette, at M ligger uden for Hyperblen (d. v. s. i den sammenhaengende Del af Planen, der begraenses af begge Hyperbelgrene); dersom derimod Cirklen med Centrum M og gaaende gennem F, intet Punkt har faelles med Ledecirklen, da \il M ligge inden for Hyperblen (d. e. inden for en af Hyperbelgrenene). Den angivne Metode anvendes uforandret til at finde Skaeringspunkter mellem Hj^perblen og en vilkaarlig tegnet Kurve, ogsaa i det Tilfaelde, da denne Kurve er en ret Linie. Opgave 7 9 giver os ganske overordentlige simple Midier til Bestemmelse af Skaeringspunkter mellem en tegnet Kurve og et vilkaarligt forelagt Keglesnit. Det er ikke nodvendigt at tegne Keglesnittet; et simpelt Forsog med Haandpasseren vil vaere tilstraekkeligt. Og ved Indforelse af disse Hjaelpemidler vil, som vi skal se i det folgende, vort Konstruktionsomraade vaere vaesentlig udvidet ud over det elementaere.

12 12 3. Vinklens Tredeling. Det er en velkendt Sag, at man ved saedvanlig Konstruktion nok kan halvere en Vinkel, men at man derimod ikke kan tredele den. af den Grund vaere i nogen Forlegenhed. Men Praktikeren vil naturligvis ikke Hau vil bruge det samme Eksperiment, ved Hjaelp af hvilket han bestemmer l^redjedelen af et Liniestykke, til med samme Lethed at skaffe sig 4>edjedelen af en Cirkelbue, og selv om der eksisterede en Konstruktion ved Passer og Lineal, vilde han dog aldrig bruge den; det naevnte Eksperiment giver nemlig den bedst mulige Nojagtighed. For den praktiske Udforelse har det altsaa ingen som helst Interesse, om der eksisterer en Losning af Vinklens Tredeling ved saedvanlig Konstruktion eller ikke. Derimod har det naturligvis videnskabelig Interesse at faa Klarhed over dette Sporgsmaal, og af Hensyn hertil samt af Hensyn til den störe Rolle, Problemet har spillet i Matematikkens Historie, skal vi da i det folgende give et Bevis for den Saetning, at der ikke eksisterer nogen saedvanlig Konstruktion til Deling af en vilkaarlig forelagt Vinkel i 3 lige störe Dele. For at kunne fore dette Bevis maa vi imidlertid forst orientere os lidt naermere med Hensyn til den saedvanlige Konstruktions Indhold og Omfang. Vi har naevnt de Operationer, hvoraf en saedvanlig Konstruktion maa Vciere sammensat, men vi maa fore Undersogelsen lidt videre. Lad OS taenke os en eller anden Konstruktionsopgave; den kan altid formuleres saaledes: Der er givet visse Punkter -^^' ^^' ^'. (i endeligt Antal); man skal konstruere visse andre Punkter, der staar i en opgiven geometrisk Afha^ngighed til de givne. Vi tegner ved Passer og Lineal et retvinklet Koordinatsystem (X. Y) og projicerer vore Punkter A, B, C, paa X-Aksen i.a,, B C..., paa Y-Aksen i A B,, C...

13 13 I Stedet for det forelagte Punktsystem kan vi derefter saette A,, A^, JB^, B^, C,, C..,..., da vi ved Konstruktion med Passer og Lineal kan udlede de to Systemer af hinanden. Resultatet heraf bliver da, at man ved at tage de givne Punkters Koordinater faar en Sämling af bekendte Storrelser som Udtryk for alt, hvad der er givet. De Punkter, der soges, kan ligeledes taenkes bestemt ved Koordinater, og man faar derved en Sämling af ubekendte Storrelser som Udtryk for det, der skal findes. De opgivne geometriske Afhaengigheder kan nu efter den analytiske Geometri udtrykkes ved Ligninger mellem de bekendte og de ubekendte Storrelser, hvorefter Opgaven er omskrevet til at finde de ubekendte Storrelser af disse Ligninger. Dersom nu Opgaven har en Losning ved saedvanlig Konstruktion, kan man ved at folge de forskellige Operationer i Konstruktionen komme fra de bekendte Storrelser til de ubekendte. Lad os se paa den analytiske Formulering af disse Operationer: 1) En ret Linie gennem 2 Punkter (i\,yj og (i\,,yj fremstilles ved en Ligning af forste Grad: ^^ iyi y'^) y (^x -^J+^^\ y. -i^. ^i = o, hvis Konstanter er rationale Udtryk i de 2 Punkters Koordinater. 2) En Cirkel med Centrum (777, 77) og Radius r fremstilles ved Ligningen x^-\-i]^ 27770: 2/77/ -\-m^-^n^ r^ = 0. Er Radien givet som Afstand mellem 2 Punkter (p,, q,) og (P2» Q^X har man r' = {p, p,y + (q, q,y- Cirklens Ligning indeholder altsaa kun Konstanter, der udtrykkes rationalt ved de givne. 3) 2 rette Liniers Skaeringspunkt fremstilles ved Koordinater, der udtrykkes ved rationale Funktioner af Ligningernes Konstanter.

14 14 4) Skseringspunkter mellem ret Linie og Cirkel eller mellem to Cirkler fremstilles derimod ved Koordinater, som ved deres Beregning kraever Udforelse af en Kvadratrodsuddragning. Ved Sammensaetning af de naevnte Operationer kan man altsaa ud fra de givne Storrelser aldrig naa til andre Udtryk end saadanne, som man fores til gennem et endeligt Antal rationale Operationer og reelle Kvadratrodsuddragninger, udforte efter hinanden. Omvendt kan saadanne Udtryk jo altid konstrueres ved Passer og Lineal. Altsaa: For at en Opgave skal kunne loses ved saedvanlig Konstruktion, er det nodvendigt og tilstraekkeligt, at de sogte Punkters Koordinater i et vilkaarligt valgt retvinklet Koordinatsystem kan udtrykkes ved saadanne Funktioner af de givne Punkters Koordinater, som kan dannes ved Sammensaetning af en endelig Raekke rationale Operationer og Kvadratrodsuddragninger. Efter dette Resultat gaar vi nu over til vor specielle Opgave at vise, at der gives Vinkler, som ikke lader sig tredele ved saedvanlig Konstruktion. Vi vaeiger et simpelt Eksempel, idet vi tager en Vinkel paa 60 og vil bevise, at Tredjedelen, en Vinkel paa 20, ikke kan konstrueres. Dette vil jo vaere tilstraekkeligt, idet enhver eventuell eksisterende almindehg Konstruktion af Vinklens Tredeling maatte kunne anvendes paa det specielle Tilfaelde. I Formten cos 3«= 4 COS^ a 3 COSa saetter vi cc = 20 og faar da: i =4 cos^ 20 3 cos20, saa at vi til Bestemmelse af har Ligningen: x = 2cos 20 0;=^ 3a: 1:^0.

15 15 For nu at godtgore, at Vinklen 20 ikke kan konstrueres ved Passer og Lineal, skal vi kun paavise, at den fundne tredje Grads Ligning ikke har nogen Rod, der kan dannes ved, at man udgaaende fra Tallet 1 anvender en endelig Raekke af rationale Operationer (de 4 Regningsarter) og Kvadratrodsuddragninger efter hinanden. De Storrelser, man overhovedet kan komme til ved disse Operationer, undersoger vi nu naermere, idet vi efterhaanden beskaeftiger os med folgende Omraader af de frembragte Tal: 1) Omraadet R, omfattende alle rationale Tal. 2) Omraadet R, (enkelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tallene i R og disses Kvadratrodder at anvende rationale Operationer; sehe Tallene i R regnes dog ikke med til R,. 3) Omraadet R.^ (dobbelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tallene i R og R, samt disses Kvadratrodder at anvende rationale Operationer; dog optages de Tal, som i Forvejen findes i R og R,, ikke i R^. Paa denne Maade fortsaettes nu, og vi klassificerer derved efterhaanden alle de irrationale Storrelser, som overhovedet vil kunne konstrueres ved Passer og Lineal ud fra den valgte Laengde 1, saaledes at man er vis paa, at enhver af de Storrelser, der kan konstrueres, maa forekomme i en bestemt af Klasserne R, R,, R^,... Vi vil nu vise, at ingen af disse Klasser kan indeholde nogen Storrelse, som tilfredsstiller Ligningen x^ 3x 1 = 0, Vi prover med den forste Klasse R. Findes der noget rationalt Tal, som er Rod i Ligningen? For det forste ser man straks, at x ikke kan vaere noget hell Tal, da dette i saa Fald vilde gaa op i de to forste Led.r^ og 3x og derfor ogsaa i det sidste Led (^1), hvilket maatte medfore, at.r = + l; men ingen af disse Vaerdier til-

16 fredsstiller Ligningen. 16 For det andet kan x = en uforkorteliö Brok - heller ikke tilfredsstille Ligningen, da dette ved ö g Indsaettelse vilde give saa at q maatte gaa op i pl P^ 3pq--q' = 0, q Intet Tal i Klassen R kan altsaa vaere Rod i Ligningen. Derefter prover vi med Klassen R,. En vilkaarlig Storrelse i denne Klasse maa vaere rationalt udtrykt ved et endeligt Antal Kvadratrodder Yu, Yv, Yp.... Disse kan forudsaettes uafhaengige af hinanden paa den Maade, at ingen af dem kan udtrykkes rationalt ved de ovrige; ellers künde man nemlig reducere Anfallet af indgaaende Kvadratrodder. Lad nu Antallet af Kvadratrodder vaere r. Den betragtede Storrelse ordnes efter en af de indgaaende Kvadratrodder, f. Eks. Yu og faar da Formen A+BY^ C+DYÜ' der ved Multiplikation med C DYU i Taeller og Naevner reduceres til et Udtryk af Formen 777^77^17. Her kan Yn ikke udtrykkes rationalt ved 777 og n (men 777 og 77 kan naturhgvis indeholde andre Rodstorrelser). Kan nu 777-]-771^77 vaere Rod i Ligningen? Ved Indsaettelse faar man (777 -f nyüy 3( ^77 ) 1= 0, der ordnes med Hensyn til Yu. saa at man faar M+NYÜ=O, hvor M og N er rationale hele Udtryk i 777, 77 og 77. Da nu ) u ikke kan udtrykkes rationalt ved 777 og 77, maa man altsaa have A^ = 0, altsaa ogsaa M=0, altsaa M NYU = 0,

17 17 hvilket imidlertid aabenbart betyder, at yl7 er Rod i den forelagte 3dje Grads Ligning. Altsaa: Skal K" vaere Rod i Ligningen, maa 777 ny^ ogsaa vaere det. Da nu Koefficienten til x' er Nul, maa Summen af Ligningens 3 Rodder vaere Nul, og naar de to af Rodderne er ^77(77^0), vil den sidste Rod i Ligningen ygere = 2777; men denne Storrelse indeholder ikke Yu, altsaa 1 Kvadratrod faerre end m-^nyu. Altsaa: Dersom 3dje Grads Ligningen har en Rod i Klassen R, med r af hinanden uafhaengige Kvadratrodder, maa den ogsaa have en Rod med r 1 eller faerre af hinanden uafhaengige Kvadratrodder. Men deraf slutter man straks, at den maatte have en Rod, som slet ingea Kvadratrodder indeholder, altsaa en rational Rod, men dette viste vi ovenfor var umuligt. ikke nogen Rod i R,. Ligningen har altsaa heller Vi kan derefter gaa videre paa samme Maade og vise, at den ikke har nogen Rod i R^. som for: Beviset formes ganske Man taenker sig den betragtede Storrelse i R^ bragt paa Formen Yn, hvor Yu tilhorer R, men ikke kan udtrykkes rationalt ved 777 og 77 og 77 (i modsat Fald künde Udtrykket nemlig reduceres saaledes, at Yn forsvandt). Dersom m-\-nyii er Rod i Ligningen, maa ogsaa ^77 vaere det, altsaa ogsaa Storrelsen 2777, som ikke indeholder Yu o. s. v. Folgen vilde blive, at Ligningen maatte tilfredsstilles af en Storrelse i R,, hvilket er umuligt. Det er klart, at Raesonnementet kan fortsaettes paa lignende Maade gennem de folgende Klasser Rc^^R^^, og vi indser da, at ingen af Klasserne kan indeholde noget Tal, som tilfredsstiller Ligningen. Altsaa kan man ikke ved Passer og Lineal konstruere en Vinkel paa 20", og Umuligheden af en saedvanlig Konstruktion til Vinklens Tredeling er dermed godtgjort.

18 18 Man kan naturligvis anvende ganske de samme Betragtninger, som vi her har benyttet, til Behandling af en vilkaarlig 3dje Grads Ligning med rationale Koefficienter og uden rationale Rodder. En saadan Ligning kan altsaa aldrig loses ved Kvadratrod (d. v. s. den har ikke nogen Rod, der henhorer til nogen af de ovennaevnte Klasser). En irrational Kubikrod af et rationalt Tal kan altsaa aldrig udtrykkes ved Kvadratrod. Hermed er bl. a. bevist, at en anden beromt Konstruktionsopgave, Problemet om Terningens Fordobling, heller ikke kan loses ved saedvanlig Konstruktion, idet Opgavens Losning beror paa at finde \/2. Almindelige Undersogelser over algebraiske Ligninger, der lader sig oplose ved Kvadratrod, og som altsaa grafisk kan behandles ved saedvanlig Konstruktion, er gennemfort af Julius Petersen; herom henvises til hans Doktordisputats: Om Ligninger, der kunne loses ved Kvadratrod, Kjobenhavn 1871, samt til hans Laerebog: De algebraiske Ligningers Theori, Kjobenhavn Kubikrodsuddragning. Vi har set, at man ikke ved saedvanlig Konstruktion kan bestemme en vilkaarlig Kubikrod. Blandt de forskellige Former, som Opgaven angaaende den almindelige Kubikrodsuddragning har faaet, skal vi forst naevne den vigtigste, Bestemmelsen af to sammenhaengende Mellemproportionaler X og y mellem to givne Storrelser a og b, d. v. s. Bestemmelsen af x og y ved Ligningerne a X y X y b' De Ire Broker har Produktet -, og hver af dem maa altsaa vaere = 1/^, altsaa b X = x'a^b, y = \ ab^.

19 19 Disse to Kubikrodder konstrueres altsaa samtidig ved Losning af ovenstaaende Ligninger, eller hvad der er det samme, ved at söge Skaeringspunktet mellem de 2 Parabler, der i et retvinklet Koordinatsystem fremstilles ved Ligningerne x^ = ay, 7/^ = bx. Taenker man sig disse Parabler tegnet, har man derved en Losning af Opgaven; denne Losning var allerede kendt af Menaichmos (ca. 300 f. Chr.). Hvad den praktiske Udforelse angaar, maa det imidlertid straks bemaerkes, at selve det Eksperiment at tegne Parablerne paa fri Haand og derpaa tage Skaeringspunktet, ikke er nogen synderlig let eller nojagtig Operation. Opgavens Losning bliver derimod vaesentlig bedre, naar man benytter Descartes' Omskrivning: De to Ligninger x^ = ay, y^ = bx, ombyttes med folgende: y^ = bx, x^-\-y^ ^^ bx-\- ay, af hvilke den sidste fremstiller en Cirkel med Centrum (^, ^j og gaaende gennem Begyndelsespunktet, medens den forste fremstiller en af de oprindelige Parabler med Braendpunkt ( j,0 ) og Ledelinie x =. Det gaelder nu blot at finde Skaeringspunktet mellem Cirklen og Parablen, og dette kan udfores ved det under Opg. 7 omtalte Forsog, altsaa uden at tegne nogen anden Kurve end Cirklen. 5. Almindelige Opgaver af 3. og 4. Grad. En Opgave, hvis Losning kan henfores til Oplosningen af en Ligning af n'te Grad, betegner vi som en Opgave af n'te Grad. Vinklens Tredeling og den almindelige Kubikrodsuddragning er Opgaver af 3dje Grad. Og enhver Opgave af 3dje Grad kan fores tilbage til disse 2 specielle Opgaver. Dette fremgaar af den Maade, hvorpaa man oploser den almindelige Ligning af 3. Grad: x^ -\r ax^ -\-bx-\-c=^0.

20 20 a Indsaettes x=^y ^, vil Ligningen faa Formen: Herefter saettes y=^u-\-v, Saettes derpaa hvorved man faar: "' + y' + (3"y + p)(«+ i^) + 9 = 0. faar man 77^ --\-v^ = q, hvorefter man finder 77^ og v^ som Rodder i den kvadratiske Ligning: altsaa p z p qz -^ =^ U,.3.. ^ 7;^ i^~2 + 4 ^27 Bestemmelsen af 77 og v kraever altsaa foruden Kvadratrodsuddragning ogsaa Kubikrodsuddragning, og den Storrelse, hvoraf Kubikroden skal uddrages, vil enten vaere reel eller imaginaer; men i alle Tilfaelde uddrages Kubikroden af et komplext Tal ved, at man uddrager Roden af Modulus og tredeler Argumentet. Og hermed er det bevist, at den almindelige Opgave af 3dje Grad kun kraever de 2 naevnte specielle Operationer foruden Konstruktion med Passer og Lineal. Opgaver af 4de Grad kraever ikke med Nodvendighed nye Eksperimenter, idet enhver Ligning af 4de Grad efter forst at vaere bragt paa Formen x^ -{- ax^ -\-bx^c=^0, kan fores tilbage til Losning af en Opgave af 3dje Grad. Ligningen kan nemlig for det forste omskrives til Cr- + yf = (27/ a)x^ bx c + y\ hvor y er vilkaarlig; og dernaest kan man bestemme y saaledes, at hojre Side bhver et fuldstaendigt Kvadrat. Til Bestemmelse af y haves da: 4(2y-a)(r-c) = t^ altsaa en Ligning af 3dje Grad. Oploser man denne, vil x derefter kunne findes ved Oplosning af kvadratiske Ligninger.

21 21 En elegant geometrisk Behandling af Ligninger af 3. og 4. Grad er givet af Descartes, som loser Ligningen ved den faste Parabel z^ '= pz^ -\- qz -\- r og Cirklen For r = 0 har man herved specielt en Oplosning af Ligningen af 3. Grad: z^=pz + q. Enhver Opgave af 3dje og 4de Grad kan altsaa loses ved udelukkende Anvendelse af Opg. 7 i Forbindelse med Konstruktion ved Passer og Lineal. Disse analytiske Overvejeiser vil nu imidlertid naeppe i mange Tilfaelde vaere til direkte Nytte ved den praktiske Behandling af konkrete Opgaver, men de giver en eksakt Besvarelse af et rent teoretisk Sporgsmaal og viser, hvor overmaade simple Operationer der skal til, for at man skal kunne beherske hele det Omraade, som Opgaverne af 3. og 4. Grad omfatter. Og dette Omraade er saerdeles vigtigt; selv tilsyneladende meget simple Opgaver forer derind. en Vinkel a, som tilfredsstiller 6. Specielle Opgaver af 3. og 4. Grad. Opg. 10. Find ved Konstruktion Ligningen: Man saetter og har da a, b cos a -\ -. sin a = c. c cos a = x, csina = y, a -+-=-!, x' + y' = c' X ' 7/ ' ^ til Bestemmelse af x og y; disse Storrelser kan altsaa findes som Koordinater til et Skaeringspunkt mellem en ligesidet

22 22 Hyperbel og en Cirkel. Hyperblen gaar gennem Begyndelsespunktet, og dens Asymptoter er x=a, y = b\ Toppunkter og Brsendpunkter findes da let, og Opg. 9 kan anvendes. Opg. 11. At konstruere en ligebenet Trekani, hvis Ben liar en given Storrelse a og gaar gennem livert sit af to givne Punkter P og Q, medens Grundlinien skal falde paa en given Linie /. P's og O's Afstande fra / betegnes med p og q, og PQ's Projektion paa / med r. Vinklen «ved Grundlinien bestemmes da ved Ligningen Sin ci cos a hvorved Opgaven er fort tilbage til den foregaaende. x=^a cosa, y^=asin a, er henholdsvis den halve Grundlinie og den hele Hojde i den sogte Trekant. Opg. 12. Bestem «af Saettes Ligningen cos^ a -\- sin^ a = a. cos a -\- sin «= 2 cos ß, faar man til Bestemmelse af ß cos Sß = a, hvorved ß kan findes, og derefter «. Opg. 13. Find Skaeringspunkterne mellem 2 I 2 2 x^-\-y^ = a^ Asteroiden og en Linie vinkelret paa en af Kurvens Symmetriakser. Opgaven loses for en Linie ±.T- eller 7/-Aksen ved Hjaelp af Kubikrodskonstruktion, og for en Linie ± en af de Symmetriakser, som halverer Koordinataksernes Vinkler, fores Opgaven tilbage til den foregaaende.. Hjaelpesaetning I. Naar 2 Linier gennem faste Punkter A og B drejer sig lige hurtigt til modsat Side, vil deres Skaeringspunkt i Almindelighed gennemlobe en ligesidet Hyperbel.

23 23 Beviset herfor faar man leitest ved at tage et retvinklet Koordinatsystem med Begyndelsespunkt i Midtpunktet 0 af AB og med Akser i saadanne Retninger, som hver for sig danner lige störe Vinkler med samtidige Stillinger af Linierne. Idet nu A har Koordinaterne (a, b) og B altsaa Koordinaterne ( a, b), vil samtidige Stillinger af de to Linier fremstilles ved Ligninger af Formen: y b = cc(x a), y + b = a{x+a). Skaeringspunktet (x, y) vil altsaa stadig tilfredsstille Ligningen xy =^ ab, der fremstiller en ligesidet Hyperbel med Koordinatakserne til Asymptoter. Hyperblens Akser, Toppunkter og Braendpunkter findes let. De Liniebundter, som gennemlobes af de 2 roterende Linier, er symmetriske (d. e. kongruente med modsatte Omlob). Saetningen er derfor specielt indbefattet i den almindelige Saetning om et Keglesnits Frembringelse ved projektive Liniebundter*). Naar i en Trekant ABC Vinkelspidserne A og ß ligger fast, og Differensen mellem Vinklerne A og B har en given Storrelse, vil Vinkelspidsen C efter Hjaelpesaetning I ligge paa en ligesidet Hyperbel. Dette kan finde Anvendelse ved Trekantskonstruktioner, hvor man kender Siden AB og Differensen mellem Vinklerne A og B. Som Eksempel naevnes folgende simple Opgave: Opg. 14. Konstruer en Trekant ABC af Siden c, Differensen mellem Vinklerne A og B samt Siden a.**) Idet A og ß laegges fast, findes C som Skaeringspunkt mellem en Cirkel og en ligesidet Hyperbel. *) Se Forf.'s Deskriptivgeometri S. 67. **) Opg. 408 i Julius Petersen: Methoder og Theorier, Se endvidere Opg. 410 smst.

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV om grænseoverskridende kreditoverførsler /* KOM/94/436ENDEL - COD 94/0242 */

Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV om grænseoverskridende kreditoverførsler /* KOM/94/436ENDEL - COD 94/0242 */ Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV om grænseoverskridende kreditoverførsler /* KOM/94/436ENDEL - COD 94/0242 */ EF-Tidende nr. C 360 af 17/12/1994 s. 0013 Forslag til Europa-Parlamentet

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

RAADETS DIREKTIV af 8. november 1990 om aendring, navnlig med hensyn til ansvarsforsikring for motorkoeretoejer, af direktiv 73/239/EOEF og direktiv

RAADETS DIREKTIV af 8. november 1990 om aendring, navnlig med hensyn til ansvarsforsikring for motorkoeretoejer, af direktiv 73/239/EOEF og direktiv RAADETS DIREKTIV af 8. november 1990 om aendring, navnlig med hensyn til ansvarsforsikring for motorkoeretoejer, af direktiv 73/239/EOEF og direktiv 88/357/EOEF, som begge angaar samordning af love og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Rådets direktiv 93/104/EF af 23. november 1993 om visse aspekter i forbindelse med tilrettelæggelse af arbejdstiden

Rådets direktiv 93/104/EF af 23. november 1993 om visse aspekter i forbindelse med tilrettelæggelse af arbejdstiden Rådets direktiv 93/104/EF af 23. november 1993 om visse aspekter i forbindelse med tilrettelæggelse af arbejdstiden EF-Tidende nr. L 307 af 13/12/1993 s. 0018-0024 RAADET FOR DEN EUROPAEISKE UNION HAR

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

EF-Tidende nr. L 368 af 31/12/1994 s. 0038-0047 den finske specialudgave: kapitel 1 bind 4 s. 0080 den svenske specialudgave: kapitel 1 bind 4 s.

EF-Tidende nr. L 368 af 31/12/1994 s. 0038-0047 den finske specialudgave: kapitel 1 bind 4 s. 0080 den svenske specialudgave: kapitel 1 bind 4 s. Rådets direktiv 94/80/EF af 19. december 1994 om fastsættelse af de nærmere regler for valgret og valgbarhed ved kommunale valg for unionsborgere, der har bopæl i en medlemsstat, hvor de ikke er statsborgere

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Stauder, by G.N. Brandt

Stauder, by G.N. Brandt Stauder, by G.N. Brandt 1 Stauder, by G.N. Brandt The Project Gutenberg EBook of Stauder, by G.N. Brandt This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever.

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER l niveau: I hvilket du bearbejder givne ligninger og funktioner. 1 Kørselsstrækningen y km pr. liter benzin for en lastbil er givet ved y = x 750x, hvor x er hastigheden

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere