RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83"

Transkript

1 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne (menu-punkterne) fortæller, hvad der skal indlæses.. Vektor,.... Vektorer Udskrives: Krydsprodukt, areal af parallelogram, prikprodukt, længde af hver af de to vektorer, Vinkel mellem vektorerne, projektion af den første vektor på den anden.. Vektor+Plan Indlæses: Vektor a, normalvektor n(a,b,c) for planen Udskrives: a s projektion på planen. 3. n-vektor + Punkt Indlæses:Normalvektor n(a,b,c) for plan, punkt (x 0, y 0, z 0 ) i planen. Udlæses: ligning på formen ax + by + cz + d 0 for planen gennem (x 0, y 0, z 0 ) vinkelret på n. 4. r-vektorer + Punkt Indlæses: punkt (x 0, y 0, z 0 ) i planen, og to retningsvektorer for den Udlæses: ligning på formen ax + by + cz + d 0 for planen gennem (x 0, y 0, z 0 ) med de to angivne retningsvektorer. Specialtilfælde: de to retningsvektorer parallelle.. Punkter alene. punkter Udskrives: (retnings)vektor AB, afstand, midtpunkt.. 3 punkter Udskrives: Vinkler, sider, normalvektor, areal af trekant, ligning for plan gennem punkterne. Specialtilfælde: de tre punkter på linje.. Linjer, planer, punkter. Linje + Linje Udskrives: afstand, punkter på fælles normal (ved vindskæve linjer). Specialtilfælde: sammenfaldende linjer, parallelle linjer, skærende linjer (skæringspunkt samt vinkel udlæses). Linje + Plan Udskrives: skæringspunkt, vinkel mellem plan og linje. Specialtilfælde: Linje parallel med plan 3. Linje + Punkt Udskrives: afstand, projektion af punktet på linjen, ligning for planen gennem linjen og punktet. Specialtilfælde: punktet beliggende på linjen. 4. Plan + Plan Udskrives: parameterfremstilling for skæringslinje, vinkel mellem planer. Specialtilfælde: parallelle planer. 5. Plan + Punkt Udskrives: afstand, projektion af punktet på planen 6. Plan (+akser) Indlæses: ligningen for en plan. Udskrives: planens skæringspunkt med x-aksen, med y-aksen og med z-aksen (hvis de findes)

2 4. Kugle,.... Ligning Indlæses: koefficienterne a, b, c, d i ligningen x + y + z + ax + by + cz + d 0 Udskrives: Centrum og radius (hvis muligt). C + R + Linje Indlæses: Centrum og radius for kugle, parameterfremstilling for linje. Udskrives: Eventuelle skæringspunkter. 3. C + R + Plan Indlæses: Centrum og radius for kugle, ligning for plan Udskrives: radius og centrum for eventuel skærings-cirkel MENUER OG INPUT Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) i opgaven. Først vælges mellem hovedpunkterne. Vektor,.... Punkter alene 3. Linjer, planer, punkter 4. Kugle,... Dernæst vælges mere præcist, hvad der er kendt. Man indtaster de kendte størrelser, og får udlæst en række oplysninger, der kan beregnes ud fra det indtastede. Ved opgaveløsning må man udvælge blandt de udskrevne beregningsresultater. OUTPUT En kort ledsagende tekst udskrives før hvert tal-resultat. Beregningsmetoden angives heri ofte ved henvisning til en formel i formelsamlingen for det 3-årige forrløb til højniveau i matematik: (80) betyder formel 80 i denne formelsamling. Ellers kan beregningsmetoderne findes i denne eksempelsamling, som er ordnet efter programmets menuer. Hvis der under beregning af en afstand udskrives DIST 5 betyder det, at kvadratet på afstanden er 5, dvs. at afstanden er 5 Ofte udskrives på denne måde (med X ) kvadratet på resultatet i stedet for det ønskede resultat, eller inden det ønskede resultat, idet længder og arealer ofte er kvadratroden af hele eller rationale tal, når man som input angiver hele eller rationale tal. Lommeregnerens tegnsæt tillader jo ikke matematisk korrekt udskrivning. N kan f.eks. betyde n AB kan betyde AB eller AB (se om resultatet er et tal eller har tre koordinater) N.PP kan betyde n P P o.s.v. Der henvises til beskrivelsen af de enkelte programafsnit for en nærmere forklaring. I tilfælde af længere beregninger, der kræver mellemregninger, indledes ofte med en overskrift, på en ellers tom skærm, inden mellemresultater og slutresultat udskrives, f.eks. VINKEL: Under menupunktet Vektorer udskrives nogle mellemresultater ved beregning af vinkel og projektion. Under de øvrige menupunkter udskrives ikke netop disse mellemresultater. BETJENING AF TASTATURET UNDER UDSKRIFT Man kommer videre med (mellem)resultaterne med Enter-knappen. Når der udskrives vektorer som resultat, ser de f. eks sådan ud: {87/43, 54/43, -786/43}

3 Sådanne resultater er udskrevet med ordren Pause, hvilket betyder, at hvis man ikke kan se hele resultatet på skærm-linjen, kan man med højre-piletasten synliggøre det, der ligger længere ude. Det skal gøres inden man med Enter-tasten fremkalder de næste resultater. Hvis man ønsker at afbryde en programkørsel, kan det gøres med On efterfulgt af Quit. Trykker man Enter efter tilendebragt programkørsel, gentager Texas den sidst udførte ordre, d.v.s. D3GEO s hovedmenu fremkommer igen. LINJER Der anvendes parameterfremstilling dvs. der ind-eller udlæses et fast punkt (x 0, y 0, z 0 ) og en retningsvektor (r, r, r 3 ). Ved indlæsning spørges i begge tilfælde efter X? Y? Og Z? Koordinatakserne: x-aksen består af punkter (x,0,0) og er karakteriseret ved y0 og z0. I programmet kan følgende parameterfremstillinger bruges for de tre akser: x-akse: (x,y,z) (0,0,0) + t(,0,0) y-akse: (x,y,z) (0,0,0) + t(0,,0) z-akse: (x,y,z) (0,0,0) + t(0,0,) PLANER Der anvendes ikke parameterfremstillinger for planer i programmet, kun ligninger på formen ax + by + cz + d 0. Kendes en parameterfremstilling med et fast punkt og to retningsvektorer for planen, kan ligningen findes ved hjælp af programpunkt.4: VEKTOR,... r-vektor + punkt. Koordinatplanerne: xy-planen betår af punkter (x,y,0) og er karakteriseret ved z0, hvilket mere klodset kan skrives 0x + 0y + z I programmet kan koordinatplanernes ligninger ax+by+cz+d0 indtastes med nedenstående koefficienter: a b c d XY-plan XZ-plan YZ-plan DETALJERNE I D3GEO Programmets virkemåde beskrives gennem eksempler på løsning af opgaver.. VEKTOR,... Opgave.. Vektorer Der er givet vektorerne a(3,,) og b(3,4,5). Beregn a b, arealet af parallelogrammet udspændt af a og b, vinklen mellem a og b, og a s projektion på b OPLYSNINGERNE INDTASTES: UDSKRIFT: FORTOLKNING: a b ( 3,,) (3,4,5) (6,,6) Parallelogrammets areal: a b 6 4,6969 3

4 Til bestemmelse af vinklen, v, mellem a og b bestemmes a b a 4, b 50 a b cos( v ) 0,835 hvoraf v 33, 74 a b 4 50 a b ab b (3,4,5) ( 5, 5, 5 ) ( a s projektion på b) b 50 Opgave.. Vektor + Plan Beregn projektionen af a(3,,) på planen 4x+y+3z-80. En normalvektor for planen er n(4,,3). Denne bruges i formlen a n α a n, og man får n a 0 8 vektoren (,, ) Opgave.3. n-vektor + Punkt Find en ligning for planen vinkelret på vektoren (4,,3) gennem punktet (6,7,8) Idet normalvektoren n (a,b,c)(4,,3) og punktet (x,y,z) (6,7,8) opfylder planens ligning ax+by+cz+d0, isoleres og beregnes d- (ax+by+cz) - 6. Dvs. planen ligning er 4x+y+3z 6 0 Opgave.4 r-vektorer + punkt Bestem en ligning for planen med parameterfremstillingen (x,y,z)(6,9,4)+s(3,,)+ t(3,4,5) Idet punktet (x,y,z) (6,9,4) og normalvektoren n (3,,) x (3,4,5) (a,b,c) (6,-,6) opfylder planens ligning ax+by+cz+d0, isoleres og beregnes d - (ax+by+cz) 48. Planens ligning er derfor 6x -y + 6z (Den kan i øvrigt forkortes med 6 til x-y+z+80) Specialtilfælde: Hvis de to retningsvektorer er parallelle, udspænder de ingen plan. Programmet udskriver PAA LINJE. Prøv f. eks. (x,y,z) (,,) + s (,0,0) + t (3,0,0). PUNKTER ALENE Opgave. Punkter Punkterne A(6,7,8) og B(6,9,4) er givet.. Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem A og B, beregn afstanden mellem de to punkter og find deres midtpunkt Som retningsvektor kan bruges AB ( 6,9,4) (6,7,8) (0,, 4), og som fast punkt A: (x,y,z) (6,7,8) + t (0,,-4) Afstand: AB 0 4, 47 Midtpunkt (6,8,6) (beregnet som ½[(6,7,8)+(6,9,4)] 4

5 Opgave. 3 Punkter Punkterne A(6,7,8), B(6,9,4) og C(7,5,9) danner en trekant.. Beregn vinkler og sider i trekanten samt trekantens areal, og bestem en ligning for den plan, de tre punkter ligger i. Bestem desuden punktet, D, så firkanten ABCD er et parallelogram. A B D C AB AC Vinklen A cos 36,9º, B 4,96º, AB AC C8,3º (brug evt. punkter og vektorer for mellemregninger) Sidelængderne beregnes med afstandsformlen til AB 0, BC 4, CA 6 Idet AB AC n ( 6, 4, ) kan trekantens areal beregnes som det halve af denne vektors længde, og vi får arealet til 4. - Idet punktet A(x,y,z) (6,7,8) og normalvektoren n (a,b,c) (- 6,-4,-) opfylder planens ligning ax+by+cz+d0, isoleres og beregnes D-(ax+by+cz) 80. Planens ligning er derfor -6x -4y - z Hvis ABCD er et parallelogram, er AD BC (se. figur). Vi får heraf, ( d, d, d 3 ) (6,7,8) (7,5,9) (6,9,4) dvs. D d, d, d ) (7,3,3) ( 3 Specialtilfælde: Hvis de tre punkter ligger på linje, er der uendelig mange forskellige planer, der indeholder de tre punkter. Programmet udskriver PAA LINJE. Prøv f. eks. (,0,0), (3,0,0) og (5,0,0). 3. LINJER, PLANER, PUNKTER Opgave 3. a Linje + Linje (sammenfaldende) Bestem den indbyrdes beliggenhed og afstanden mellem de to linjer L og L med nedenstående parameterfremstillinger L : (x,y,z)(,,0) + t (,,0) L : (x,y,z)(5,5,0) + t (3,3,0) Betegnelser: Linjen L : P (,,0), r (,,0); Linjen L : P (5,5,0), r (3,3,0) r og r er parallelle, idet deres krydsprodukt er beregnet til (0,0,0) (Det ses også direkte at r 3 r ) Desuden er P P (3,3,0) parallel med r (kan igen ses af krydsproduktet P P r (0,0,0) eller ses direkte) Derfor ligger P på L og dermed er L og L sammenfaldende Afstanden er derfor 0. 5

6 Opgave 3. b Linje + Linje (parallelle) Bestem den indbyrdes beliggenhed og afstanden mellem de to linjer L og L med nedenstående parameterfremstillinger L : (x,y,z)(,,4) + t (3,,) L : (x,y,z)(6,7,8) + t (6,4,) r og r er parallelle, idet deres krydsprodukt er beregnet til (0,0,0) (Det ses også direkte at r r ) P P (5,5,4) er ikke parallel med r idet P P r ( 3,7, 5) (0,0,0) P ligger derfor ikke på L Afstanden kan beregnes ved at finde afstanden fra P til L (I opgave 3.3 nedenfor er den beregnet til 4 83 ) Opgave 3. c Linje + Linje (vindskæve) Beregn afstanden mellem de to linjer med parameterfremstillingerne (x,y,z) (,,4) + t (3,,) og (x,y,z)(,3,4) + t (3,4,5) Betegnelser: Linjen L : P (,,4), r (3,,); Linjen L : P (,3,4), r (3,4,5) n r r (3,,) (3,4,5) (6, -. 6) Da denne vektor ikke er (0,0,0) er linjerne ikke parallelle. Idet P P (,3,4) (,,4) (0,,0 ) fås n P n P 6, og Vi får nu - formel (8) - n P P dist ( l, l ) 0,86 n 6 3 Da afstanden er større end 0 skærer linjerne ikke hinanden. De er vindskæve. (Om punkter Q og Q, se evt. side ) Opgave 3. d Linje + Linje (skærende) Beskriv den indbyrdes beliggenhed og afstanden mellem de to linjer L og L med nedenstående parameterfremstillinger L : (x,y,z)(,,0) + t (,,0) L : (x,y,z)(5,0,0) + t (,,0) Efter mellemregninger svarende til opgave 3..c ovenfor, findes at linjerne ikke er parallelle, og at deres afstand er 0. Det betyder at linjerne skærer hinanden Skæringspunktet S mellem L og L beregnes på en lidt speciel måde: Planen gennem P med retningsvektorerne r og n kaldes β. β indeholder linjen L og dermed også punktet S. Da S ligger i både L og i β, søger vi S, hvor L skærer β. (Se evt. figur/model på sidste side i disse noter). Som normalvektor for β kan bruges n r (,-,0) og da P (5,0,0) ligger i β, får vi som ligning (x-5) (y-0) +0(z-0)0 d.v.s. x-y Metoden til at finde skæringspunkt mellem linje og plan (her L og β) er forklaret nedenfor i opgave 3. (med andre tal). I nærværende opgave findes efter nogle mellemregninger skæringspunktet (-5,5,0) som så også må være punktet S, hvor 6

7 L skærer L Endelig beregnes vinklerne mellem de to skærende linjer L og L : Der er to vinkler, en spids og en stump. Den ene af dem findes som vinklen mellem de to retningsvektorer: v cos r r ( r r ) 8,43 Den anden er 80º-v 80º-8,43º 6,57º Opgave 3. Linje + Plan Find skæringspunktet mellem linjen, L, med parameterfremstillingen (x,y,z) (,,4) + t (3,,) og planen med ligningen 4x+y+3z+8 0. Beregn desuden den spidse vinkel mellem linje og plan. Linjens parameterfremstilling, x+3t, y+t, z4+t, indsættes i planens ligning, 4x+y+3z+8 0, og vi bestemmer t: 4(+3t) + (+t)+3(4+t) t -8 t 8 9 Da der er én løsning er der ét skæringspunkt, og det findes ved at indsætte t-8/9 i linjens parameterfremstilling. Skæringspunktet bliver ( ) 9, 9, 9 Vinklen mellem linjens retningsvektor, r(3,,) og planens normalvektor n (4,,3) bestemmes først: r n v cos ( ) 9,4 r n Den spidse vinkel mellem linje og plan er 90º v 90º 9.4º 70,5º Specialtilfælde: Hvis n r 0, ligger linjen i planen, eller også er linjen parallel med planen. I begge tilfælde udskriver programmet PARALLELLE. BRUG Plan + Punkt. Med menupunktet Plan+Punkt (se opgave 3.5 nedenfor) kan man beregne afstanden fra linjens faste punkt til planen. Det er den samme som afstanden fra linjen til planen. Hvis afstanden er 0 ligger linjen i planen. Prøv f. eks. planen z0 dels sammen med x-aksen (x,y,z) (0,0,0)+t(,0,0) dels sammen med linjen (x,y,z) (0,0,5) + t (,0,0) Opgave 3.3 Linje + Punkt Der er givet en linje, L : (x,y,z) (,,4) + t (3,,) og punktet P(6,7,8). Beregn afstanden fra P til L og find P s projektion på linjen L. Bestem desuden en ligning for den plan der indeholder L og P. Til linjen hører P o (,,4) og r(3,,). Vi finder P P (5,5,4) 0 r P P n (3, 7,5), 0 r P P 0 83 og og r hvoraf 4 dist( P, L) r P P r ,43 7

8 Punktet P s projektion på linjen L kaldes Q, og dette punkt skal bestemmes. Idet P 0 Q er projektionen af P 0 Q på r fås - formel (7) - P0 P r P0 Q r r Q (,, ) (,, ), som lagt P ' s koordinatsæt giver Ovenfor fandt vi r P0 P n (3, 7,5), som må være normalvektor, (a,b,c), til planen gennem L og punktet P(x,y,z)(6,7,8). Af ax+by+cz+d 0 isoleres og beregnes d-(ax+by+cz) -9, så ligningen kan skrives 3x 7y + 5z Specialtilfælde: Hvis punktet P ligger på linjen L, beregnes afstanden til 0, projektionen bliver punktet P selv, en plan gennem L og P er ikke veldefineret (der findes uendelig mange), og programmet udskriver PAA LINJE. Prøv f.eks. med x-aksen: (x,y,z) (0,0,0) + t(,0,0) og punktet P (5,0,0) Opgave 3.4 Plan + Plan Bestem en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem planerne 4x + y +3z og 4x +3y + z Beregn desuden vinklen mellem de to planer. Da normalvektorernes krydsprodukt (4,,3) x ( 4,3,) ( -5, 4, 4 ) ikke er (0,0,0) er normalvektorerne ikke parallelle, og dermed er planerne heller ikke parallelle. De skærer derfor hinanden i en linje. Skæringslinjens retningsvektor, r, må være vinkelret på såvel den ene plans normalvektor, som den andens. Krydsproduktet r (4,,3) x ( 4,3,) ( -5, 4, 4 ) kan således bruges som retningsvektor. Som fast punkt søger vi ét der foruden de to ligninger opfylder x0. Ved løsning af to ligninger med to ubekendte findes y-/5, z -/5, altså (0, -/5, -/5) Parameterfremstilling: (x,y,z) (0, -/5, -/5) + t ( -5, 4, 4 ) - Vinklen, v, mellem de to normalvektorer, n og n er v cos n n ( n n ) 5,09 Dette er samtidig den ene (her den spidse) vinkel mellem planerne. (Den stumpe er 80º v 64,9º ) Bemærkning: Hvis den beregnede retningsvektor r n n har 0 som første-koordinat, nytter det normalt ikke at sætte x0, når et fast punkt skal bestemmes. I stedet bruges y0 eller z0. Find f. eks. skæringslinjen mellem planerne x-y+z+0 og x+y-z+30. Specialtilfælde: Hvis det beregnede krydsprodukt n n bliver (0,0,0), er normalvektorerne parallelle, og dermed er også planerne parallelle, eventuelt sammenfaldende. Programmet udskriver PARALLELLE. BRUG Plan+Punkt Ved at vælge et punkt i den ene plan, og beregne dets afstand til den anden plan (se opgave 3.5 nedenfor), får man planernes indbyrdes afstand, og ud fra den kan man konstatere, om planerne er sammenfaldende eller parallelle. Prøv f.eks. med planerne x + y +z + 0 og 3x + 3y + 3z Hvis man ikke let ved hovedregning kan udvælge et punkt i den ene plan, så se opg. 3.6 nedenfor, hvor en plans skæring med akserne beregnes. 8 0

9 Opgave 3.5 Plan + Punkt Givet planen med ligningen 4x + y +3z og punktet P(6,7,8). Beregn afstanden fra P til planen, og bestem P s projektion på planen. Afstanden fra punkt til planudregnes ved at indsætte (a,b,c,d)(4,,3,8) og (x, y, z ) (6,7,8) i formlen (78): ax + by + cz + d 4900 dist ( P, plan).999 a + b + c 9 For at projicere P på planen, betragter vi den linje, L, der går gennem P(6,7,8), og hvis retningsvektor er planens normalvektor n(4,,3). L s parameterfremstilling er altså (x,y,z)(6,7,8) + t (4,,3) Projektionen er L s skæringspunkt med planen. For at finde dette indsættes linjens parameterfremstilling i planens ligning: 4 (6+4t) + (7+t) + 3 (8+3t) Ligningen reduceres til 9 t - 70 som har løsningen t 70. Denne løsning indsættes i linjens parameterfremstilling, 9 og vi får Skæringspunket ( ) 9, 9,, som altså er projektionen af P på 9 den opgivne plan. Specialtilfælde: Hvis punktet P ligger i planen, bliver afstanden beregnet til 0, og projektionen bliver punktet P selv. Prøv. f.eks. med planen z0 og punktet P(5,6,0) Bemærkning om fortegn: En afstand er altid positiv. Men i programmet udskives afstanden sammen med et fortegn, idet teksten er ±DIST og det udskrevne tal er beregnet uden numerisktegnet i formlens tæller. Det betyder at punkter på den ene side af planen får udskrevet en positiv værdi, mens punkter på den anden side får udskrevet en negativ værdi. Sådan er det lavet fordi man somme tider har brug for at vide om to punkter ligger på samme side eller på modsat side af en plan. Opgave 3.6 Plan (+akser) Givet planen med ligningen 4x + y +3z Beregn planens skæringspunkter med de tre koordinatakser. x-aksen består af punkter af formen (x,0,0) Planens skæring med x-aksen findes ved at sætte y0 og z0 i planens ligning: a x + b 0 + c 0 + d 0, dvs. a x+d0, som giver x-d/a, altså skæringspunktet (-d/a, 0, 0) (-8/4, 0, 0 ) (-,0,0) med de aktuelle tal. Tilsvarende findes skæringspunktet med y-aksen: (0,-d/b, 0) (0,-4,0), og med z-aksen: (0,0, -d/c) (0,0, -8/3) Specialtilfælde: Hvis a, b eller c er lig nul, er den tilsvarende akse enten parallel med planen (hvis d 0), eller indeholdt i planen (hvis d0). Programmet udregner kun de regulære skæringspunkter, og er ikke til meget hjælp, hvis både d og en af de andre koefficienter er 0. Prøv f.eks. x+y+30 henholdsvis x+y0. 9

10 4. KUGLER,... Opgave 4. Ligning En kugle har ligningen x + y + z + 4x + y + 3z Beregn kuglens radius og koordinatsættet for dens centrum Ligningen x + y + z + a x + b y + c z + d 0 kan omskrives til a b c ( x + ) + ( y + ) + ( z + ) 4 ( a + b + c ) d Hvis højre-siden er negativ, opfylder ingen punkter ligningen. Ellers er der tale om en kugle med centrum b c C (,, og radius R ( a + b + c ) d 4 Med de aktuelle tal fås: C (-, -, -3/) og a ) 69 R Specialtilfælde: Hvis den beregnede R0 er der blot et punkt, nemlig C, der tilfredsstiller ligningen. Hvis udtrykket ¼(a + b + c ) d giver et negativt resultat, opfylder ingen punkter ligningen, og programmet udskriver TOM. Prøv f.eks. x + y + z + x + y + z henholdsvis x + y + z + x + y + z Opgave 4. C + R + Linje 7 En kugle har centrum (6,7,8) og radius Beregn hvor linjen med parameterfremstillingen (x,y,z) (,,4) + t (3,,) skærer denne kugle Linjens parameterfremstilling, x+3t, y+t, z4+t indsættes i kuglens ligning, der reduceres. (x - 6) + (y - 7) + (z - 8) - 7/ 0 (( + 3 t) - 6) + (( + t) - 7) + ((4 + t) - 8) - 7/ 0 (3 t - 5) + ( t - 5) + (t - 4) - 7/ 0 (9 t - 30 t + 5) + (4 t - 0 t + 5) + (t - 8 t + 6) - 7/ 0 4 t - 58 t + 5/ 0 Denne andengradsligning har løsningerne t3/4 og t5/, og når disse indsættes i linjens parameterfremstilling fås de to skæringspunkter: , 3,, og,7 ( ) ( ) Specialtilfælde : Hvis kuglens radius er mindre end afstanden fra centrum til linjen, skærer linjen ikke kuglen. Det viser sig ved at den udskrevne diskrimininant DB -4AC får negativ værdi. Prøv f. eks. at ændre radius til i eksemplet ovenfor. Specialtilfælde :Hvis kuglens radius er lig med afstanden fra centrum til linjen, tangerer linjen kuglen. Det viser sig ved at den udskrevne diskrimininant DB -4AC bliver 0, andengradsligningen har kun én løsning og kugle og linje har kun ét punkt fælles, røringspunktet. (Programmet udskriver 83 to ens punkter). Prøv at ændre kuglens radius til R 4 i eksemplet ovenfor (dette tal er beregnet i opgave 3.4). 0

11 Opgave 4.3 C + R + Plan Der er givet kuglen med centrum P(6,7,8) og radius R5, samt planen med ligningen 4x+y+3z+8 0 Beregn radius og centrum for skærings-cirklen Afstanden fra centrum, P, til planen findes (se opgave 3.5) 4900 DIST 9 Ved hjælp af Pythagoras findes radius R c i skæringscirklen R R c c R 65 9 DIST 7, Kuglen (snit gennem centrum, vinkelret på planen) 65 9 R P DIST R Q c Skærings-cirkel... Skæringscirklens centrum, Q, er projektionen af kuglens centrum, P, på planen. Efter mellemregninger (se opgave 3.5) fås Q 06 63,, ( ) Specialtilfælde : Hvis kuglens radius er mindre end afstanden fra centrum til planen, skærer planen ikke kuglen. Prøv f. eks. at ændre radius til 0 i ovenstående eksempel. Specialtilfælde : Hvis kuglens radius er lig med afstanden fra centrum til planen, tangerer planen kuglen. Det viser sig ved, at programmet udregner skæringscirklens radius til 0. Det som programmet udskriver som cirkelcentrum er i dette tilfælde røringspunktet, hvor planen tangerer kuglen Prøv at ændre kuglens radius til R 9 i ovenstående eksempel. Planen

12 Vedr. Opgave 3, d (skærende linjer) Ved at folde langs den stiplede linje får man en rumlig model, der illustrerer, at skæringspunktet, S, mellem linjerne L og L er det samme som skæringspunktet mellem L og planen β (Plan β går gennem P med retningsvektorer r og n r x r. Efter foldning er β højre halvdel af papiret.) Fold her n Plan β n L r S P P r L Vedr. Opgave 3.. c (vindskæve linjer) Når L og L er vindskæve, kan man finde to punkter Q og Q på hver sin linje, så Q Q er vinkelret på både L og L. Afstanden mellem Q og Q er den korteste afstand mellem L og L. Q bestemmes i programmet som skæringspunktet mellem L og planen β (Plan β går gennem P med retningsvektorer r og n r x r. Efter foldning er β højre halvdel af papiret.) Programmet beregner derefter Q idet vektoren Q Q er projektionen af vektor P P på n Den stiplede linje gennem Q og Q siges at være den fælles normal for de to vindskæve linjer L og L. n Plan β L r P Q n Fold her Q P r L

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant. Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014 Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Manual til skinnelayoutprogram

Manual til skinnelayoutprogram Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Matematikkens mysterier. 3. Analytisk geometri

Matematikkens mysterier. 3. Analytisk geometri Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 3. Analytisk geometri y 4 9,6 0 5 7 x En bro Hvad er mon højden af støttepælene? 3. Analytisk geometri Indhold 3. Koordinatsystemet

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx131-MAT/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere