En adaptiv model til animering af væsker. Jens Egeblad, Michael Gram Haagensen og Marinus Rørbech

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En adaptiv model til animering af væsker. Jens Egeblad, Michael Gram Haagensen og Marinus Rørbech"

Transkript

1 En adaptiv model til animerin af væsker Jens Eeblad, Michael Gram Haaensen o Marinus Rørbech Den 4.juni 2002

2 INDHOLD 2 Indhold Forord 8 2 Indlednin 9 2. Rapportens indhold Krav til læseren Den vedlate CD-ROM Notation 2 3. Vektorer o matricer Gradientoperatoren Andre benyttede notationer Diskret differentiation Vætet diskret differentiation Navier-Stokes differentiallininer 7 5 Tidliere arbejde 9 5. Foster o Metaxas metode Diskretiserin Løsnin af Navier-Stokes Visualiserin Stams metode Foster o Fedkiws metode Overflade-sporin vha. levelset Dynamiske barrierer Bereninstider Enriht, Marschner o Fedkiws metode Motivation Afræsnin af rapporten

3 INDHOLD 3 7 Gitterstruktur Krav til itterstrukturer Forskellie Gitterstrukturer Hastiheder i centrum eller på kanter Strukturerede o ikke-strukturerede itre Ensartet kartesisk struktur Uensartet kartesisk struktur Trekantstruktur Andre strukturer Val af itterstruktur Datastrukturer Naboraf Indhold i hver celle Hastihedsinterpolation Skyeceller Emuleret skyecelleinterpolation Andre former for interpolation Væskemodel 46 9 Opdaterin af hastihedsfeltet Hastihedsrekonstruktion Eksterne kræfter Gnidnin Strømnin Method of characteristics Upwind-differencin Massebevarelse Helmholtz-Hode-dekomposition Lininer for trykket i den adaptive model Løsnin af lininssystemet med konjueret radient

4 INDHOLD Opdaterin af det diverensfrie hastihedsfelt Væskerænser Overfladeceller Barrierer Luftceller CFL-betinelse Ekstra datastrukturer CFD-metoder Multirid A Quadtree-Based Adaptively Refined Cartesian Grid Alorithm for Solution of the Euler Equations Opdaterin af væskemodel Markørpartikler Problemer ved markørpartikler Levelset Levelset i den adaptive struktur Initialiserin Opdaterin af levelset Opdaterin af celletyper fra levelset Problemer med levelsetmetoden Præcision Levelset eller partikler Tilpasnin af træstruktur 77. Objekter Repræsentation Barrierehierarki Neddelin af octree med hensyn til objekter Polyonklipnin Initiel tilpasnin Definition af objekters indre

5 INDHOLD Bestemmelse af celletyper Vedlieholdelse af cellestrukturerne Delin Samlin Udvidelse af celleitteret Samlins- o delinskriterier CFD-metoder Andre strateier Dynamiske barrierer Overordnet Tomrum efter passae Aførelse af barrieretype Bevæelseshastihed Tilpasnin til træstrukturen Dynamiske barrierer o levelset Kilder Visualiserin Visualiserin af barrierer Visualiserin af væske Visualiserin med partikler Visualiserin med levelset o marchin cubes Visualiserin ud fra levelset et Visualiserin ud fra celletyper Implementation Implementationsdetaljer Visualiserin Tidskontrol Inddata o Bruervejlednin Uddata

6 INDHOLD 6 4 Resultater Afprøvniner Animationer PoolDrop Separated Splash Glass ThinninOut Boatin WaterCup PoolRotor Generel vurderin Konklusion Fremtidit arbejde Numerisk stabilitet Forbedret visualiserin af overfladen Volumentab En trekantsmodel Todimensionelt adaptivt højdefelt Forbedret interpolation Flere animationsmuliheder Litteratur 40 A Positive definite matricer 43 B Binary-space-partionin træer 45 B. Konstruktion af BSP-træet B.2 Punktbestemmelse C Kort om marchin-cubes 48 C. Adaptiv marchin cubes

7 INDHOLD 7 D Bruervejlednin 50 D. Afviklin af prorammet D.2 Scenebeskrivelsesformat D.2. Nøleord D.2.2 Generelt D.2.3 Notation D.2.4 Scene D.2.5 Solver D.2.6 Material D.2.7 Mesh D.2.8 TimeCop D.2.9 MeshInstance D.2.0 Compound D.2. CompoundInstance D.2.2 Obstacle D.2.3 Liquid D.2.4 Camera D.2.5 Liht D.2.6 SourceEffect

8 FORORD 8 Forord Denne rapport omhandler emnet animation af væske. Vi vil i det følende beskrive de metoder der tidliere har været anvendt til at løse problemet, o med udanspunkt i artiklerne af Joseph Stam, Dimitri Metaxas, Nick Foster o Ronald Fedkiw ([0, 28, 9]) vil vi beskrive en model der kan anvendes til simulerin af væske i forbindelse med animation. Modellen udmærker si ved at være adaptiv, o er, så vidt vi ved, den første adaptive model til animation af væske. Modellen har vist si at funere odt i praksis o er væsentlit hurtiere end de tilsvarende ikke-adaptive modeller vi har fundet i litteraturen. Der står do endnu nole uløste problemer tilbae. Generelt er et af hovedproblemerne numerisk ustabilitet. Vi er do overbeviste om at disse problemer kan løses.

9 2 INDLEDNING 9 (a) (b) Fiur 2.: (a) Mælk hældes op i et las. (b) En computerenereret trold taer et bad i mudder der hældes ud af en spand. Billederne stammer fra spillefilmen Shrek (copyriht DreamWorks SKG). 2 Indlednin Gennem de sidste 0-5 år er computerrafik o computeranimation blevet mere o mere anvendt som en del af spillefilmsproduktion endda i så høj rad at der de seneste år er fremstillet indtil flere film udelukkende ved bru af computere. I takt med at computere er blevet kraftiere, er rafik o animation i computerspil lieledes blevet mere avanceret o kravet om realisme er steet. Indenfor animation er realisme ikke blot et spørsmål om kvaliteten af de enkelte billeder, men oså et spørsmål om realistisk bevæelse. I denne forbindelse er man i højere rad beyndt at anvende fysikkens love til at opnå naturlie bevæelser. Kendte eksempler på dette er animerin af stof o elastiske fiurer, fx ummi o elé, men i de seneste år har udviklin af computerkraft såvel som udarbejdelsen af nye modeller jort det mulit oså at animere ild, rø o væske realistisk. Realistisk animation af væsker er en af de sværeste discipliner indenfor computeranimation. På spørsmålet om hvilken scene fra den computeranimerede spillefilm Shrek der var sværest at lave, har Jeffrey Katzenber svaret It s the pourin of milk into a lass. [4] Et klip fra den scene han refererer til, kan ses på fiur 2. (a). Jeffrey Katzenber leder hos DreamWorks SKG o producer på Shrek

10 2. Rapportens indhold 0 Forskerparret Nick Foster o Ronald Fedkiw har imidlertid opnået ode resultater med deres model [9] der lier til rund for DreamWorks SKG s prisbelønnede væskeanimationssystem som bl.a. er blevet brut til animation af væske i Shrek, se fiur 2.. Denne metode lider do af at berenin af et enkelt billede i en animation taer meet lan tid, hvilket fx ør metoden fuldstændi ubrueli i sandtids-simuleriner selv et odt stykke ud i fremtiden. En hurtiere model vil derfor være kærkommen. 2. Rapportens indhold I denne rapport vil vi beskrive en metode til simulation o animation af væske. Vi vil tae udanspunkt i tidliere udviklede modeller (bl.a. Foster o Fedkiws) o beskrive en hurti model der udnytter at mænden af bereniner kan reduceres i de områder af den simulerede væske hvor der ikke er behov for høj detaljerad. Eksisterende modeller I afsnit 5 vil vi først beskrive de modeller vi har fundet i litteraturen. Dette håber vi vil ive et overblik over de områder o metoder der findes indenfor væskeanimerin. Vores een model I afsnit 6 vil vi ud fra de tidliere anvendte modeller diskutere hvad vi ønsker at opnå med vores een væskemodel. I afsnit 7 til 2 vil vi herefter præcisere vores model o uddybe nole af de problemstilliner der er forbundet med modellen o måden hvorpå vi løser dem. Resultater Vi har implementeret vores model i et animationssystem, som vi har kaldt for. I afsnit 4 beskriver vi en række testanimationer enereret med som illustrerer nole af modellens styrker o svaheder. 2.2 Krav til læseren Da der i arbejdet med simulation o animerin af vand indår matematik i et omfan vi umulit kan dække i denne rapport, vil vi antae at læseren har en vis matematisk forståelse, svarende til første års universitetsniveau. I afsnit 3 vil vi kort ennemå de notationer o de diskrete differentiationsmetoder vi vil benytte i resten af rapporten. Dette sammen med ovennævnte kendskab til matematik skulle være nok til at kunne sætte si ind i de problemstilliner der ennemås senere i rapporten. Vi vil således ikke forudsætte kendskab til de fysiske love som lier til rund for projektet. Den nødvendie kendskab til disse vil blive ennemået i afsnit 4. Yderliere emner der kan være en hjælp for læseren, har vi valt at beskrive i appendikser. Der vil blive refereret til disse emner hvor de har relevans.

11 2.3 Den vedlate CD-ROM 2.3 Den vedlate CD-ROM Da det er svært at videreive indholdet af de animationer der er resultatet af denne rapport på papir, har vi følt det nødvendit at supplere rapporten med en CD-ROM som vi har vedlat. CD-ROM en indeholder bl.a. følende: Animationssystemet incl. kildetekst o proramdokumentation i HTML-format. Denne rapport i Adobes PDF-format. I denne udave af rapporten kan fiurerne ses i farver. Testscenerne o de tilhørende animationer, som beskrevet i afsnit 4. Vi opfordrer læseren til at se de animationer der er vedlat på CD-ROM en, men med kompleksiteten af modellen i bahovedet.

12 G G Q ` Q ` ` ] 3 NOTATION 2 3 Notation For at lette læsnin af denne rapport vil vi i dette afsnit indføre nole forskellie notationsstandarder som vi vil forsøe at overholde i så vid udstræknin som mulit. 3. Vektorer o matricer Vektorer vil vi betene med små bostaver skrevet med fed skrift, fx. Lieledes vil vi oså skrive vektorfunktioner med fed, fx. Hvis intet andet er anivet, er vektorer tredimensionelle o vektorfunktioner af typen. Vektorer o vektorfunktioner skrives oså komponentvis på følende måde "!$#%&'#% )(+*# "!$#%&'#% )(-,. (3.) /0 2! 3#%4& 3#%4( 5%+*/# 6,7 #869) ;: (3.2) Matricer vil vi betene med store bostaver skrevet med fed skrift, fx <. Elementer i matricer betener vi med små bostaver, liesom indices oså betenes med små bostaver. For en -matrix < te søjle for HMI PO P P <N vil B$CED således betene elementet i den F te række o IJ=. Der ælder altså B R%STR B2R%S U VVV B R%S W B UXSTR B UXS U VVV B UXS W B'Y STR B Y S U VVVZB'Y S W [\ \ \ (3.3) 3.2 Gradientoperatoren I Navier-Stokes differentiallininer indår radientoperatoren ^. Der ælder hvilker fx medfører ^fv/5 ^ _a` ` b 2! `2b #c` ` d 4& ` d #c` `4e * # (3.4) h(i `2e # 6,. ;: (3.5) I litteraturen o derfor oså i denne rapport bliver radientoperatoren brut kreativt på tre følende måder. For en vektorfunktion / lader vi ælde ^jv ^k%/ PO P lnmponqrtsiu l! m l m onvnrtsiu l! m lnmponwxrys)u l! m lnmponqnrtsiu l & m l m onvnrtsiu l & m lnmzonwrtsiu l & m lnmponqrtsiu l ( m l m onvnrtsiu l ( m lnmponwxrtsiu l ( m [\ \ ] # 6,7 (3.6)

13 ˆ Š Œ Ž PO Q Ž Ž Ž # # 3.3 Andre benyttede notationer 3 o for to vektorfunktioner /5 o { ælder l2qnrtsiu l 2q rysiu 4! l! 2& l l v rtsiu l v & rysiu /}Vn^~z{ 5K 2! l! 2& l l 2wxrtsiu l2wxrys)u & 4! l! 2& l & Endeli vil vi benytte notationen ^V^ ^ U. h( h( h( l2qrtsiu l l v ( rtsiu l l2wxrtsiu ( l ( [\ ] # 6,7 : (3.7) 3.3 Andre benyttede notationer Da mane af de benyttede formler er basserede på fysiske relationer, vil vi desuden benytte følende notationer for de indvolverede fysiske parametre ƒ Punkt i rummet, ƒ _t! # & # ( *. 4 Trykfelt til tiden. Hastihedsfelt til tiden. 8 ƒ Hastihed til tiden i punktet ƒ. Væskens densitet. Væskens viskositet. Det atmosfærisk tryk. Tyndeaccelerationen. ^.V Diverens. ƒ Eksterne kræfter i punktet ƒ. Dertil kommer en række operatorer som vil være nyttie i forbindelse med udlednin af vores datastrukturer k En enkelt celle. En mænde af celler. Cellebredde ved uniform celleinddelin. A k A Dimensionerne af en celle!# &i# (n *. A Ved uniform celleinddelin specielt f Midtpunktet af en celle,. Neddelinsniveau for en celle,. Størrelse af en celle,. k A *. 3.4 Diskret differentiation Vi vil i mane sammenhæne benytte diskret førsteordensdifferentiation o nedenstående er en kort enneman af diskret differentiation (se evt. [3]).

14 œ œ U œ œ # œ # H œ œ œ œ H H U H œ œ R œ œ œ œ # œ œ œ # œ œ œ œ œ U œ R œ œ œ # r u œ œ œ 3.4 Diskret differentiation 4 Ved at udnytte taylorrække-fremstillinen af en funktion 9 N kan s afledte skrives på følende tre forskellie måder œ U h b4 š )œ } b4 6 } bh % ž Ÿ R 3# (3.8) h b4 š b4 š œ hvor,, Ÿ R, bh b4 œ } b4 6 } bh % h zÿ U o (3.9) œ H } b4 } b4 % h zÿ 3# (3.0) œ;, Ÿ U, o b4 b4 Ÿ, œ;. b4 bh Endvidere ælder følende formel for s andenafledte b4 š œ U } b4 œ hvor, o ŸA, y œ; approksimationer for b o b Vætet diskret differentiation } bh } b4 % œ U H ry 8u Ÿ 3# (3.). Ses der bort fra højereordensafledede i de fire formler fås Vi vil i det følende skulle differentiere funktioner hvor funktionsværdien kun er eksplicit anivet i bestemte punkter. Disse punkter lier ikke nødvendivis i samme afstand fra differentiationspunktet, o derfor kan formlerne (3.8) o (3.) ikke brues direkte. I stedet kan man brue en alternativ udave hvor der taes højde for afstandene. Formlerne (3.8) o (3.) er baseret på taylor-udledninen for i } b o } bh (se evt. [3] kapitel 4). Betrater vi i stedet taylor-udledninen for i } b RX o } b Un får vi: œ U } b R30 } b 5 RVn h b h Ÿ"R3zª)«(3.2) œ U } b4 U 0 } bh U Vn U b4 Ÿ U 3# (3.3) œ hvor U # R,, Ÿ R, bh R # o b4 Ÿ U,L. Da kan b4 bh b4 bestemmes ved at trække (3.2) fra (3.3), hvorved der fås R V h b4 } b4 U } b4 R 5 œ U R h Ÿ R œ U U h Ÿ U : (3.4) Ses der bort fra ledene hvor den andenafledte indår, fås approksimationen b4 K } b4 U 6 } b4 R % : (3.5)

15 R œ b # d # e # œ R œ œ œ ` R U œ œ œ H œ R # # œ H œ R œ œ œ r u œ œ H œ R R œ H œ R H œ U H œ R r u H œ U H œ R H œ U # R œ H œ U œ U # # H œ U œ # œ œ r u r u H œ U # œ œ 3.4 Diskret differentiation 5 En taylor-udlednin af højere orden iver b U U # R Ÿ R ± R m } RX } b4 hvor,n,, b4 ±"² o. Dette iver } b } b4 R # bh œ U RV b b œ U U V U bh b4 o Ÿ U, b4 bh ž R ž U Ÿ"RXzª)«(3.6) Ÿ U 3# (3.7). Adderes (3.6) o (3.7) forsvinder førsteordensleddet ikke. Derfor vætes de to lininer med henholdsvis H œ U ³ b4 š } b4 œ U ž R R 5 œ U Ÿ R ž U ³ } b4 Ses ien bort fra tredieordensleddet får man approksimationen h b4 K U7µ } bh R L } b4 Ÿ U (3.8) ³ } bh } bh U U p : (3.9) Approksimationerne kan oså anvendes til funktioner af flere variable ved at rene komponentvis. Fx bliver for 4!# R # ` b U! b U,7. d e š U µ 4!$ bh! b V! b U # di d e R # d e e p # (3.20) I mane af de sammenhæne hvor vi anvender diskret differentiation kunne man væle at brue ovenstående formler. Vi har imidlertid valt en lidt anden fremansmåde. I stedet for at brue de udvidede approksimationsformler har valt at rekonstruere funktionsværdien, så afstanden til bee punkter bliver ens. For en stykvis lineær funktion får vi altid den ritie funktionsværdi når vi rekonstruerer. Differentierer man i intervalendepunkter for stykvis linære funktioner, iver rekonstrution intuitivt et bedre resultat. Benyttes approksimation af (3.8) bruer man punkter lie lant fra differentiationspunktet. I praksis svarer dette til at man taer ennemsnittet af taenterne i funktionspunktet. Bruer man i stedet (3.5), vætes den ene tanent mere end den anden, hvilket svarer til at formel (3.8) er blevet brut i et punkt ved siden af det eentlie differentiationspunkt. Dette er illustretet på fiur 3..

16 œ 3.4 Diskret differentiation 6 y h h x Fiur 3.: En diskret funktion hvor funktionsværdierne kun er anivet i cirklerne. Der er to oplate måder at differentiere en diskret funktion i et punkt hvor afstanden til nabopunkterne er forskelli. Enten bruer man udvidede approksimationsformler, eller oså konstruerer man værdien ud fra naboerne, så de to punkter har samme afstand. Fiuren viser en stykvis linær funktion. To approksimationer til den afledte af funktionen i det hvide punkt er afbilledet. Den ene hældninen af en stiplede linje er berenet ved at brue den udvidede approksimationsformel. Den anden hældninen af den prikkede linje ved at rekonstruere funktionens værdi i det kasseformede punkt. Teoretisk set kan enerel rekonstruktion oså underbyes ved at kie på fejlen i de to funktioner. For formlerne (3.8) o (3.) er fejlen i størrelsesorden ķ œ U, mens den for formlerne (3.5) o (3.9) kun er i størrelsesorden ~. Denne fejlbetratnin ælder do ikke for de stykvis linære funktioner vi betrater her. Uanset hvilken metode man benytter, er resultatet ikke helt korrekt i de tilfælde hvor man differentierer en stykvis linær funktion i intervalendepunkter. Det skyldes at funktionen anske enkelt ikke er differentiabel i de punkter. I stedet er det at foretrække at differentiere diskret i midten af intervallerne hvor tanenten er helt veldefineret. Differentiation af stykvis linære funktioner i intervalendpunkterne approksimerer i det todimensionale tilfælde tanenterne for højre o venstre interval. Denne overvejelse er viti i forbindelse med de former for diskret differentiation vi udfører i de følende afsnit o for forståelsen af den numeriske ustabilitet vi vil beskrive i afsnit 9. Formlerne (3.8) o (3.) hører ind under berebet midtpunktsdifferentiation (en. central differencin), mens formlerne (3.9) o (3.0) tilhører henholdsvis venstre- o højredifferentiation. I resten af rapporten vil midtpunktsdifferentiation henvise til approksimationerne for (3.8) o (3.).

17 ` ` ` ` ` ` 4 NAVIER-STOKES DIFFERENTIALLIGNINGER 7 4 Navier-Stokes differentiallininer Bevæelser i en ikke-turbulent væske kan beskrives ved Navier-Stokes differentiallininer der beskriver ændrinen af et hastihedsfelt som en sum af bidra fra de forskellie kræfter der påvirker væsken. Navier-Stokes differentiallininer beskriver viskøse, ikke-komprimerbare væsker, hvilket dækker over de mest almindelie væsker, fx. vand. Som føle heraf beskrives en væskes eenskaber ud fra lininerne udelukkende ved væskens viskositet o densitet. Lininerne er udledt ud fra den antaelse at man kan dele væsker ind i små kasseformede celler, små nok til at man kan antae at al væske i en celle opfører si ens. Lininerne består af flere dele der hver beskriver de bidra der bestemmer væskens bevæelse. I dette afsnit vil vi ennemå de forskellie led i lininerne for at ive en forståelse af det fysiske rundla for denne opave. Tyndekraft Først o fremmest kan en væske være påvirket af en tyndekraft (en. ravity). Denne bidraer til væskens acceleration med tyndeaccelerationen, dvs. hvor er tyndeaccelerationen. º¹ # (4.) Strømnin Ved strømnin (en. convection) forstås den kraft som vandmolekylerne påvirker hinanden med. Dvs. hvis ét molekyle har en iven hastihed, så skubber dette molekyle til de omkrinliende molekyler o iver dem hermed en hastihed. Bidraet fra strømnin er ivet ved hvor ^» j7v^~³# er radientoperatoren o f¼!;#%2&i#%h( * er en hastihedsvetor. Gnidnin Gnidnin (en. dra) opstår når en del af en væske passerer et objekt eller en anden del af væsken med forskelli hastihed. Væsken vil blive bremset, o der vil opstå strømhvirvler. Bidraet for nidnin er ivet ved hvor er væskens viscositet. ½ ^jv ^k53# (4.2)

18 ` ` ` ` ` ` Ã! ˆ à & ˆ à ( ˆ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` H ` ` U U U ` ` ` U U U ` ` ` ` : # 4 NAVIER-STOKES DIFFERENTIALLIGNINGER 8 Tryk Ændrin i tryk (en. pressure) opstår når væsken bevæer si fra en celle til en anden. Bidraet herfra er ivet ved 4¾ hvor ˆ er væskens massefylde o er trykket. Samlet ser lininerne således ud ¹» Á7V^³7 eller hvis man vil undå radientoperatoren 2! 2& h( 2!º` 2! `2b 4! ` 4& ` b! ` 4( `2b 4&4` 4! ` d 4& ` 4& `2d & ` 4( ` d 4( ` 2! `4e h( ` 4& `4e ( ` h( `4e H ˆ ^À # (4.3) ½ ˆ ^À 2¾ U ` 4! `2b U ` 4& ` b U ` 4( `2b ^V'^k53# (4.4) U 2! `2d U 2& ` d U 4( ` d U 2! U _` `4e U `2b 2& U ` ª)«`4e U `2d 4( U 5 `4e `2e For at sikre at voluminet af væsken er konstant, dvs. at væsken ikke kan komprimeres, tilføjes diverensbetinelsen ^fv ļ# (4.5) der sier at netto-strømninen i en celle er 0, dvs. der flyder lie så meet ud af cellen som der flyder ind. For at løse et lininsystem som Navier-Stokes lininer kan benyttes en række forskellie numeriske metoder der alle kræver at lininerne diskretiseres. I næste afsnit vil vi beskrive nole af de metoder der tidliere er blevet anvendt til løsnin af lininerne med henblik på computeranimation.

19 5 TIDLIGERE ARBEJDE 9 5 Tidliere arbejde Der er i litteraturen foreslået mane forskellie metoder til at simulere væske ved hjælp af computere. Da vi senere vil benytte metoderne beskrevet af Foster, Metaxas, Stam o Fedkiw [0,, 9, 28] som udanspunkt for vores een metode, vil vi ennemå deres metoder i detaljer, mens de andre modeller kun vil blive kort beskrevet. En af de tidliste metoder til visualiserin af vandoverflader benytter texture-mappin o bump-mappin for at få plane overflader til at se bølede ud [2, 32]. Denne simple metode har den klare ulempe at selvom texture-mappin o bump-mappin kan få overfladen til at virke bølet fra nole vinkler, vil overfladen stadi virke flad fra andre vinkler. En anden ulempe ved metoden er naturlivis at der ikke er tale om simulation af vandet. Metoden er do med ode resultater blevet benyttet til at visualisere havoverflader set fra luften. En fordel ved metoden er at den er meet hurti så hurti at den kan benyttes i computerspil (fx Sierras Half Life) til at visualisere vand i real-time. Animation af vandet fremkommer her ved at overfladebilledet ændres over tid, så overfladen forekommer at bevæe si. I 98 forsøte Nelson Max i [6] at animere havoverflader ved at brue overlejrede sinusoider til at forskyde højden af overfladen. På denne måde opnår man at overfladen ikke bare er flad men rent faktisk bøler. Med de rette amplituder, bølelænder o faser kan man opnå ode resultater, stadi primært indenfor visualiserin af større vandoverflader som åbent hav, søer eller floder. Da bølerne fremkommer ved bru af sinusfunktioner, kan de ikke krumme over. Bølerne kommer derfor nemt til at virke for bløde. I 986 beskrev Darwyn Peachey en videreudviklin af en sådan metode hvor bøler simuleres ved hjælp af et la af bølefunktioner [20]. I Peachey s metode læes berænsniner på bølers hældnin, o hvis en bøle bliver for stejl benyttes et partikelsystem til at få bølen til at rulle. Den tilladte hældnin på en bøle udledes til at være afhæni af vandets dybde. Med denne udlednin bliver brændin lans en strand automatisk håndteret, sådan at bøler ruller parallelt med stranden. I modellen antaes bøler at være cirkulære bevæelser, så der er stadi inen form for væsketransport i Peacheys model. I løbet af den første halvdel af 990 erne blev computere så hurtie at man beyndte at betrate deciderede simulationsteknikker fra forskninsfeltet computational fluid dynamics (CFD). CFD brues normalt i sammenhæne hvor man er interesseret i en præcis berenin af væskebevæelse. Kass o Millers udviklede i 990 en metode [4] hvor der læes væt på væsketransport samt det at væskens omivelser kan ændres fx kan væske i en stor bøle skylle over en kant o ende i en pyt på den anden side af kanten. Kass o Miller benytter en forsimplet udave af Navier-Stokes lininer de såkaldte shallow water equations. Disse diskretiseres o benyttes i et højdefelt. Da differentiallininerne beskriver en

20 5. Foster o Metaxas metode 20 simpel form for væsketransport, kan modellen beskrive bøler mere korrekt; fx bliver en bøle reflekteret når den rammer en kant. I 995 udviklede Chen o Lobo en metode hvor de benyttede en mindre forsimplet udave af Navier-Stokes lininer til at simulere væske som et todimensionelt højdefelt [2]. De benytter trykket i højdefeltscellerne til at bestemme højden af væsken, men bereninsmodellen opfatter væsken som helt flad. Chen o Lobos metode blev af Hodins o O Brien udvidet med et partikelsystem til at simulere sprøjt der fremkommer når objekter kastes ned i vand [9]. Denne udvidelse er bl.a. blevet benyttet af Hodins o Wooten til at simulere vandoverfladen ved tårnsprinssimulationer [33]. 5. Foster o Metaxas metode I 996 udviklede Foster o Metaxas en metode til løsnin af Navier-Stokes lininer til bru i væskesimulerin der både håndterer væsketransport o objekter der kan flyde med strømmen [0]. 5.. Diskretiserin I modsætnin til tidliere metoder simuleres væsken i et tredimensionelt itter, så objekter der enten er helt eller delvist dækkede af væske, oså tillades. For hver celle i dette itter repræsenteres hastiheder i henholdsvis b -, - d o -retnin på fladerne af e cellen (se fiur 5.) samt trykket i centrum af cellen. Cellerne inddeles i fire forskellie klasser, nemli luft-, overflade-, væske- o barriereceller. Hvorvidt celler er er luft-, væske eller overfladeceller aføres ved hjælp af markørpartikler som er vætløse partikler der flyttes rundt i væsken for at kunne aføre hvor væsken befinder si. En celle der ikke indeholder partikler, er en luftcelle. En celle der indeholder mindst én partikel o har mindst en nabocelle der er luftcelle, er en overfladecelle. O endeli hvis cellen indeholder mindst én partikel o ikke er en overfladecelle, er den en væskecelle. Barriereceller defineres eksplicit ud fra en scene anivelse o ændres ikke under simulationen Løsnin af Navier-Stokes Hastihedsfeltet o trykfeltet opdateres ved at opdatere de enkelte celler hver for si, idet der taes højde for celletyperne. Luftceller Her er der inen væske, så hastihederne sættes til Å o trykket til det atmosfæriske tryk.

21 5. Foster o Metaxas metode 2 w i,j,k /2 u i /2,j,k dz vi,j /2,k dx dy k j i Fiur 5.: Repræsentation af hastiheder for en celle i Foster o Metaxas model. Væske w ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ w 0 ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ u 0 ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ Barriere Fiur 5.2: Hastiheder på siderne af barrierer.

22 ` ` ` É 5. Foster o Metaxas metode 22 Barriereceller Her er man ikke er intereseret i at væsken kan træne ind, derfor sættes hastiheden normalt på barrieren til Å (svarende til Å på fiur 5.2). Lieledes sættes trykket til trykket i nabocellen, så der inen trykforskel er mellem barrieren o dens omivelser. Den tanentielle hastihed sættes i forhold til nabocellens hastihed, alt efter om man ønsker nidninsmodstand mellem væsken o barrieren eller ej. Ønskes nidnin (Foster o Metaxas: non-slip) sættes den tanentielle hastihed til den modsatrettede af nabocellens tanentielle hastihed (svarende til É ÇÊÉMR på fiur 5.2). Ønskes derimod inen nidnin (Foster o Metaxas: free-slip) sættes den tanentielle hastihed li den tanetielle hastihed i nabocellen (svarende til É ÁÉ R på fiur 5.2). Overfladeceller Her vil nole af siderne støde op mod luftceller o nole vil støde op mod væskeceller eller andre overfladeceller. Hastihederne på de sider der støder op mod luftceller ændres, svarende til at væsken udbreder si i den påældende retnin. Da væsken er massebevarende o ikke-komprimerbar ælder diverensbetinelsen af Navier-Stokes lininer (se afsnit 4) `2b `2d `4e ÁÅ$# (5.) svarende til at strømninen ind i en celle er lie så stor som strømninen ud af cellen, således at mænden af væske i cellen er uændret. For at dette skal være overholdt i overfladeceller fordeles overskydende hastihed (renet med forten) på de sider der støder op mod luftceller (da væsken kan flytte si uhindret i disse retniner). Trykket sættes til det atmosfæriske tryk. Væskeceller Når disse tre celletyper er opdaterede, opdateres hastihederne for væskecellerne. På kanten af en væskecelle berenes den nye hastihed ved at løse Navier- Stokes lininer eksplicit ved bru af finite difference. Da væskecellerne efter denne opdaterin ikke opfylder (5.), berenes afvielsen o denne benyttes til at justere trykket. Herefter justeres hastihederne ud fra trykforskellene i det nylit opdaterede trykfelt. Denne opdaterin af hastihedsfeltet fortsættes indtil afvielsen fra (5.) er mindre end en iven rænseværdi for alle celler. Metoden kaldes Successive Over-Relaxation (SOR) da man ved entane justeriner pejler si ind på den endelie løsnin. Når iterationerne er ennemført har hastihederne på nole af siderne af overfladecellerne ændret si, derfor entaes opdaterinen af disse, som beskrevet ovenfor Visualiserin Der ives i [0] ikke noen enerel metode til at visualisere væsken. I stedet iver Foster o Metaxas nole eksempler hvor de benytter ad-hoc-metoder tilpasset de en-

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever Resultat af spøreskema til Friskolens Filskov Friskole & Børnehave Skoleyden 4, 700 Grindsted F o r m å l e t m e d d e n n e u n d e r s ø e l s e e r a t f å v i d e n o m, h v a d I s o m e l e v e

Læs mere

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde Fedtstoffer Kemi B - Dansk A Navne:, Devran Kucukyildiz o Vejleder: Anja Bochart o Biritte Madsen Skole: HTX Roskilde Klasse: 2.4 Dato: 06/05 2009 Indholdsfortenelse 1. Indlednin... 3 1.2 Definition af

Læs mere

Fremstilling af pokal

Fremstilling af pokal Aske Lund Dauaard.T Fremstillin af pokal En maskinfabrik skal i forbindelse med en reklameopave fremstille nole pokaler, der er 0 cm høje, o som skal fremstilles af aluminium med en massefylde på 700 k/

Læs mere

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ Graisk Desin OPGAVEN Je skulle lave en plakat som projektplan over Randerup branddam. Dammen skulle nemli laves om til et hyelit adekær. Der var tenet en skitse over runden, med noter til hvad der skulle

Læs mere

Energimærkning. Tekniske Bestemmelser for forsatsvinduer. Juni 2001. Indholdsfortegnelse

Energimærkning. Tekniske Bestemmelser for forsatsvinduer. Juni 2001. Indholdsfortegnelse Enerimærknin Tekniske Bestemmelser for forsatsvinduer Juni 2001 Indholdsfortenelse Enerimærknin af forsatsvinduer Side 2 Indlednin 2 1. Definitioner 3 2. Krav til virksomheden 5 3. Krav til kvalitetsstyrin

Læs mere

Lærerprofession.dk et site om lærerpraksis og professionsudvikling 2014

Lærerprofession.dk et site om lærerpraksis og professionsudvikling 2014 Lærerprofession.dk et site om lærerpraksis o professionsudviklin 2014 Lærerprofession.dk et site om lærerpraksis o professionsudviklin 2014 Bila 2 Undervisninsforløb for pierne fra 2. åran Ueda Indhold

Læs mere

RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER

RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER Kompendium : FORENKLEDE METODER TIL BESTEMMELSE AF ENERGIMÆRKNINGSDATA BYG DTU U-00 009 Version 4 01-01-009 ISSN 1396-4046 Indholdsfortenelse FORORD TIL KOMPENDIUM...

Læs mere

Psykosocialt arbejdsmiljø

Psykosocialt arbejdsmiljø ARBEJDSMILJØ I DANMARK 2005 HERMANN BURR Psykosocialt arbejdsmiljø Hvem har indflydelse på sit arbejde, hvem får stillet hvilke krav, o hvordan er de sociale relationer? Både positiv o neativ udviklin

Læs mere

Planen for i dag. Logiske og fysiske adresser. Systemarkitektur. Binding af programkode til lager. Hardware understøttelse af lageradministration

Planen for i dag. Logiske og fysiske adresser. Systemarkitektur. Binding af programkode til lager. Hardware understøttelse af lageradministration Planen for i da Bindin af proramkode til laer Laerallokerin Sidebaseret laeradministration Sementer Sementer kombineret med sider Bindin af proramkode til laer De relative adresser i proramkoden kan bindes

Læs mere

REACH - for brugere af kemikalier

REACH - for brugere af kemikalier REACH - for bruere af kemikalier Industriens Branchearbejdsmiljøråd Postboks 7777 1790 København V Web : www.i-bar.dk Medarbejdersekretariet: Vester Søade 12 1790 København V Telefon : 33 63 80 00 Telefax

Læs mere

DBU Aldersrelateret træning - for 9-14 årige

DBU Aldersrelateret træning - for 9-14 årige DBU Aldersrelateret trænin - for 9-14 årie Børns naturlie instinkter starter altid med mulihederne. Børn ør uden at vide det tin, de slet ikke har lært endnu. Børn fokuserer helt naturlit altid på at se

Læs mere

Udledning af formel for pyramidestubbens rumfang

Udledning af formel for pyramidestubbens rumfang Udlednin af formel for pyramidestubbens rumfan Rumfan af pyramidestub: V = 1/3 * h * ( + + ( * ) = den lille rundflade (dvs. pyramidestubbens top) = den store rundflade (dvs. pyramidestubbens bund) h =

Læs mere

SMART Ink. Windows operativsystemer. Brugervejledning

SMART Ink. Windows operativsystemer. Brugervejledning SMART Ink Windows operativsystemer Bruervejlednin Meddelelse om varemærker SMART Ink, SMART Notebook, SMART Meetin Pro, Bridit, smarttech, SMART-looet o alle SMART-sloaner er varemærker eller reistrerede

Læs mere

SMART Notebook 3Dværktøjer. Brugervejledning

SMART Notebook 3Dværktøjer. Brugervejledning SMART Notebook 3Dværktøjer Bruervejlednin Produktreistrerin Hvis du reistrerer dit SMART-produkt, iver vi di besked, når der er nye funktioner o softwareopraderiner. Foreta reistrerin online på smarttech.com/reistration.

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Fysiske krav, løft og arbejdsstillinger

Fysiske krav, løft og arbejdsstillinger ARBEJDSMILJØ I DANMARK 2005 HERMANN BURR OG KAREN SØGAARD Fysiske krav, løft o arbejdsstilliner i arbejdsmiljøet Hvem har tunt arbejde, ensidie entane bevæelser o akavede arbejdsstilliner? Få ændriner

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af TFP og sammenhæng til uddannelse

Baggrundsnotat: Estimation af TFP og sammenhæng til uddannelse Kopi: d. 26.11.2010 SAR Dok. nr. Barundsnotat: Estimation af TFP o sammenhæn til uddannelse I dette barundsnotat beskrives analyserne af den potentielle effekt af et øet uddannelsesniveau blandt beskæftiede

Læs mere

Freez-It(R) Anti-Stat. : Freez-It(R) Anti-Stat. : Cooling agents - (not for metal processing) - Cooling agents

Freez-It(R) Anti-Stat. : Freez-It(R) Anti-Stat. : Cooling agents - (not for metal processing) - Cooling agents Er i overensstemmelse med forordnin (EF) nr. 1907/2006 (REACH), Bila II Europa 1. SIKKERHEDSDATABLAD IDENTIFIKATION AF STOFFET/BLANDINGEN OG AF SELSKABET/VIRKSOMHEDEN Identifikation af stof eller blandin

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Er i overensstemmelse med forordning (EF) nr. 1907/2006 (REACH), Bilag II - Danmark. FreeZ-It(R) AntiStat

Er i overensstemmelse med forordning (EF) nr. 1907/2006 (REACH), Bilag II - Danmark. FreeZ-It(R) AntiStat Er i overensstemmelse med forordnin (EF) nr. 1907/2006 (REACH), Bila II Danmark 1. SIKKERHEDSDATABLAD IDENTIFIKATION AF STOFFET/DET KEMISKE PRODUKT OG AF SELSKABET/VIRKSOMHEDEN Identifikation af stof eller

Læs mere

SMART Ink. Mac OS X-operativsystemsoftware. Brugervejledning

SMART Ink. Mac OS X-operativsystemsoftware. Brugervejledning SMART Ink Mac OS X-operativsystemsoftware Bruervejlednin Produktreistrerin Hvis du reistrerer dit SMART-produkt, iver vi di besked, når der er nye funktioner o softwareopraderiner. Foreta reistrerin online

Læs mere

Daginstitutionen Pilehaven

Daginstitutionen Pilehaven Freda den 28. januar 2011. Dainstitutionen Pilehaven Evaluerin af specifik indsats 2010 i et tema i.h.t. lov om læreplan kompetenc Spro Krop o bevæels e. Målruppe: ½ 2 år: 3 6 år: o erfariner lærinsproces

Læs mere

Størstedelen af unge uden uddannelse har en svag hjemmebaggrund

Størstedelen af unge uden uddannelse har en svag hjemmebaggrund Une uden uddannelse har flere ansiter Størstedelen af une uden uddannelse har en sva hjemmebarund Ny kortlænin af de une uden uddannelse viser, at størstedelen af de une uden uddannelse er vokset op med

Læs mere

Det er historisk ganske nyt, at instanser uden for familien med øget styrke og øget ihærdighed søger at påvirke den retning, denne familielæring

Det er historisk ganske nyt, at instanser uden for familien med øget styrke og øget ihærdighed søger at påvirke den retning, denne familielæring Lærin i familien for barnets bedste eller snæver investerinsloik? Niels Kryer, lektor ved Institut for Uddannelse o Pædaoik (DPU), Aarhus Universitet. Tilknyttet forskninsprorammet Barndom, Undom o Institution

Læs mere

Er jeg klam, hvis jeg er til slam?

Er jeg klam, hvis jeg er til slam? ft her Er je klam, hvis je er til slam? older Jesper Lassen KU Lektor i fødevaresocioloi Sektion for Forbru, Bioetik & Reulerin Institut for Fødevare o Ressourceøkonomi Københavns Universitet jlas@ifro.ku.dk

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

7 SKARPE TIL TRØJBORG. Fakta og udsagn om de muligheder. over for netop nu. Lav flere fejl

7 SKARPE TIL TRØJBORG. Fakta og udsagn om de muligheder. over for netop nu. Lav flere fejl Fakta o udsan om de muliheder o trusler, kommunerne står over for netop nu o om at løse dem 2011 7 SKARPE TIL TRØJBORG Mater kommunerne at væle fra - eller forstår de kun at bye til? Læs svaret på dette

Læs mere

Høreområdet: hørevejledning/rådgivning

Høreområdet: hørevejledning/rådgivning Høreområdet: hørevejlednin/rådivnin Målruppe Borere der, efter endt høreapparatsbehandlin, oplever problemer med bru af høreapparatet. Borere der har bru for rådivnin i forbindelse med deres hørenedsættelse

Læs mere

Øvelse 4.1 1/3 KemiForlaget

Øvelse 4.1 1/3 KemiForlaget 5 6 4 7 3 9 1 11 5 6 4 7 3 9 1 10 KST G ERNÆRING Benthe Schou ØVELSE 4.1 Øvelse : Saltindhold i brød Formål: At bestemme saltindholdet i rubrød, ved at brue en fældninstitrerin med sølvnitrat (AN 3 ) o

Læs mere

Arbejdstid. Hvem har skæve arbejdstider, og hvordan er balancen mellem privatliv og arbejdsliv? Arbejdsmiljø i Danmark 2005

Arbejdstid. Hvem har skæve arbejdstider, og hvordan er balancen mellem privatliv og arbejdsliv? Arbejdsmiljø i Danmark 2005 Arbejdsmiljø i Danmark 2005 HERMANN BURR OG KAREN ALBERTSEN Arbejdstid Hvem har skæve arbejdstider, o hvordan er balancen mellem privatliv o arbejdsliv? Stabil balance mellem arbejdsliv o privatliv Denne

Læs mere

SMART Table -software og SMART Table Værktøj. Brugervejledning

SMART Table -software og SMART Table Værktøj. Brugervejledning SMART Table -software o SMART Table Værktøj Bruervejlednin Produktreistrerin Hvis du reistrerer dit SMART-produkt, iver vi di besked, når der er nye funktioner o softwareopraderiner. Reistrer produktet

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel.

Bilag 1: Beregningseksempel. Bila 1: Bereninseksemel. Claus F. Jensen, 5/4-01 Bilae har il ormål a vise bereninsroceduren or e elemen a en lasacade. De anvende elemen er rundlæende idenisk med de i ren 13947 anivne. Der renes i dee

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Bridgit 4.6. Brugervejledning

Bridgit 4.6. Brugervejledning Bridit 4.6 Bruervejlednin Meddelelse om varemærker Bridit, SMART Board, SMART Meetin Pro, SMART Notebook, SMART Podium, SMART Hub, smarttech, SMART-looet o alle SMART-sloaner er varemærker eller reistrerede

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Masterplan for implementering af folkeskolereformen

Masterplan for implementering af folkeskolereformen 1 Masterplan for implementerin af folkeskolereformen 08-12-2014 Masterplan for implementerin af folkeskolereformen Indhold Masterplan for implementerin af folkeskolereformen 1 1 Barund 1 2 Vi vil skabe

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Grundlag for anbefalinger for sund mad i vuggestuer og børnehaver

Grundlag for anbefalinger for sund mad i vuggestuer og børnehaver Grundla for anbefaliner for sund mad i vuestuer o børnehaver Grundla for anbefaliner for sund mad i vuestuer o børnehaver Udarbejdet af: Lene Møller Christensen Ulla Holmboe Gondolf Helle Kønerskov Ellen

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14.

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14. Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Vækst og effektivisering Venstre, Dansk folkeparti og Liberal Alliance viste med konstitueringsaftalen, at der var udstukket en ny retning.

Vækst og effektivisering Venstre, Dansk folkeparti og Liberal Alliance viste med konstitueringsaftalen, at der var udstukket en ny retning. Nye tider, nye veje Vækst o effektiviserin Venstre, Dansk folkeparti o Liberal Alliance viste med konstituerinsaftalen, at der var udstukket en ny retnin. Med en ambitiøs 100-daes plan o markante krav

Læs mere

Hvordan måler man præcist?

Hvordan måler man præcist? Hvordan åler an præcist? Mål din højde. Hvor høj er du? = Hvor høje er Oscar o Aalie? = 00 = 00 0 = 0 TALBY 0 0 0 0 00 0 0 TI VOL I DU SKAL VÆRE SÅ HØJ FOR AT PRØVE SLANGEN TALBY 0 0 0 0 00 0 0 TI VOL

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

SMART Notebook Math Tools 11

SMART Notebook Math Tools 11 SMART Ntebk Math Tls 11 Windws -perativsystemer Bruervejlednin Meddelelse m varemærker SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, SMART-let alle SMART-slaner er varemærker eller reistrerede varemærker tilhørende

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Oversigt over QLn-serien (her vises QLn320)

Oversigt over QLn-serien (her vises QLn320) Indl edn in n af ba in o opla tteri dnin Oversit over QLn-serien (her vises QLn320) Tak, fordi du har valt Zebra QLn -seriens bærbare printer. Denne robuste printer vil bidrae til at øe produktiviteten

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Tag i sommerhus med Waoo!

Tag i sommerhus med Waoo! Ta i smmerhus med Wa! - internet, TV telefni Lynhurtit internet - når du har fri Wa! Fritid 50/50 Mbit/s Fiberbredbånd 199,- pr. md. Hastihedsaranti veralt! J, den er d nk. Uanset belienheden af dit smmerhus,

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for glasfacader

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for glasfacader Claus F. Jensen, 4/4-01 Metode til berenin a varmetransmissionskoeicient (U-værdi) or lasacader Nærværende notat beskriver en metode til berenin a varmetransmissionskoeicienten or lasacader. Princiet i

Læs mere

Fra en kastebevægelse til et maratonløb Jeg kaster mig ud i luften 180 gange i minuttet og tænker over hvad der foregår.

Fra en kastebevægelse til et maratonløb Jeg kaster mig ud i luften 180 gange i minuttet og tænker over hvad der foregår. Fra en katebeæele til et aratnløb Je kater i ud i luften ane i inuttet tænker er had der freår. Print pdf Katebeæelen. Det krå kat ( V ) af en partikel kan pfatte aenat af en andret beæele ( V ). Bendelehatiheden

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER

A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER TABLE OF CONTENTS Højtemeratur lejer 2RSR 150 Information......2 61800.2RSR.HT2 150 serie.... 3 6000.2RSR.HT2 150 serie. 4 6200.2RSR.HT2 150 serie. 5 6300.2RSR.HT2

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels ANALOG vs DIGITAL Ordet digitalt bliver brugt ofte indenfor skitsering. Definitionen af digitalt er en elektronisk teknologi der genererer, gemmer, og processerer data ved at benytte to tilstande: positiv

Læs mere

EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Ungdomsskole

EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Ungdomsskole EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Undomsskole EUD 10 er en ny erhvervsrettet 10. klasses linie, som alle kommuner tilbyder fra auust 2015. I Næstved tilbydes den på undomsskolen, Skellet 29. Den

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

The Kalman filter - and other methods

The Kalman filter - and other methods Outline The Kalman filter - and other methods Anders Rinaard Kristensen Filterin techniques applied to monitorin of daily ain in slauhter pis: Introduction Basic monitorin Shewart control charts MA and

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Boliger og butikker, Blumersgade

Boliger og butikker, Blumersgade Bolier o butikker, Blumersade Lokalplan 4-2010, Horsens by TEKNIK OG MILJØ Udsnit af Kort- o Matrikelstyrelsens kort er enivet med Kort- o Matrikelstyrelsens tilladelse. 1992/KD.086.615 Kort- o Matrikelstyrelsen

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik Dette dokument indeholder yderligere informationer, tips og råd angående: Tabelfunktionen SmartArtfunktionen Billedfunktionen Samt en ekstra

Læs mere

3. Kontor. Repræsentationsudgifter afgrænses af to overordnede kriterier:

3. Kontor. Repræsentationsudgifter afgrænses af to overordnede kriterier: Økonomiforvaltninen 3. Kontor Dato: 19. april 2004 1. Definition af repræsentationsudifter Repræsentationsudifter i Københavns Kommune: Udifter til repræsentation er udifter til repræsentative opaver for

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Vejledning og deklaration

Vejledning og deklaration Vejlednin o 00 Vejlednin: Kære aftensmadskunde Vi er i an med at lave en overordnet vejlednin over tilberednin/opvarmnin af jeres aftensmad, samt nole af kokkens fif. Denne liste er ment som et opslasværk,

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition. Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

HANDLEPLAN FOR KLIMATILPASNING

HANDLEPLAN FOR KLIMATILPASNING HANDLEPLAN FOR KLIMATILPASNING Marts 2012 Udivet af Vordinbor Kommune 2012 Udarbejdet af: Cowi A/S o Projektruppen for klimatilpasnin Fotos: Colourbox o Teknik o Miljø Vordinbor Kommune Valdemarsade 43

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

HØJ TEMPERATURS LEJER

HØJ TEMPERATURS LEJER HØJ TEMPERATURS LEJER Århus Herlev Vejle 86 150 111 44 52 13 52 75 820 288 INDHOLDFORTEGNELSE Hjemmeside side 3 Høj temperatur leje 2RSR 280 information side 4 2RSR.HT2 250-280 (Micro Serie) side 5 2RSR.HT2

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Densitet (= massefylde, massetæthed, engelsk: mass density )

Densitet (= massefylde, massetæthed, engelsk: mass density ) Densitet ( assefylde, assetæthed, enelsk: ass density ) Eksepel: 100 kbikcentieter rent ld vejer 1928 ra. Det er 19,28 ra pr kbikcentieter. Generelt definerer vi densiteten for et stof ved ρ, hvor er stoffets

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere