En adaptiv model til animering af væsker. Jens Egeblad, Michael Gram Haagensen og Marinus Rørbech

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En adaptiv model til animering af væsker. Jens Egeblad, Michael Gram Haagensen og Marinus Rørbech"

Transkript

1 En adaptiv model til animerin af væsker Jens Eeblad, Michael Gram Haaensen o Marinus Rørbech Den 4.juni 2002

2 INDHOLD 2 Indhold Forord 8 2 Indlednin 9 2. Rapportens indhold Krav til læseren Den vedlate CD-ROM Notation 2 3. Vektorer o matricer Gradientoperatoren Andre benyttede notationer Diskret differentiation Vætet diskret differentiation Navier-Stokes differentiallininer 7 5 Tidliere arbejde 9 5. Foster o Metaxas metode Diskretiserin Løsnin af Navier-Stokes Visualiserin Stams metode Foster o Fedkiws metode Overflade-sporin vha. levelset Dynamiske barrierer Bereninstider Enriht, Marschner o Fedkiws metode Motivation Afræsnin af rapporten

3 INDHOLD 3 7 Gitterstruktur Krav til itterstrukturer Forskellie Gitterstrukturer Hastiheder i centrum eller på kanter Strukturerede o ikke-strukturerede itre Ensartet kartesisk struktur Uensartet kartesisk struktur Trekantstruktur Andre strukturer Val af itterstruktur Datastrukturer Naboraf Indhold i hver celle Hastihedsinterpolation Skyeceller Emuleret skyecelleinterpolation Andre former for interpolation Væskemodel 46 9 Opdaterin af hastihedsfeltet Hastihedsrekonstruktion Eksterne kræfter Gnidnin Strømnin Method of characteristics Upwind-differencin Massebevarelse Helmholtz-Hode-dekomposition Lininer for trykket i den adaptive model Løsnin af lininssystemet med konjueret radient

4 INDHOLD Opdaterin af det diverensfrie hastihedsfelt Væskerænser Overfladeceller Barrierer Luftceller CFL-betinelse Ekstra datastrukturer CFD-metoder Multirid A Quadtree-Based Adaptively Refined Cartesian Grid Alorithm for Solution of the Euler Equations Opdaterin af væskemodel Markørpartikler Problemer ved markørpartikler Levelset Levelset i den adaptive struktur Initialiserin Opdaterin af levelset Opdaterin af celletyper fra levelset Problemer med levelsetmetoden Præcision Levelset eller partikler Tilpasnin af træstruktur 77. Objekter Repræsentation Barrierehierarki Neddelin af octree med hensyn til objekter Polyonklipnin Initiel tilpasnin Definition af objekters indre

5 INDHOLD Bestemmelse af celletyper Vedlieholdelse af cellestrukturerne Delin Samlin Udvidelse af celleitteret Samlins- o delinskriterier CFD-metoder Andre strateier Dynamiske barrierer Overordnet Tomrum efter passae Aførelse af barrieretype Bevæelseshastihed Tilpasnin til træstrukturen Dynamiske barrierer o levelset Kilder Visualiserin Visualiserin af barrierer Visualiserin af væske Visualiserin med partikler Visualiserin med levelset o marchin cubes Visualiserin ud fra levelset et Visualiserin ud fra celletyper Implementation Implementationsdetaljer Visualiserin Tidskontrol Inddata o Bruervejlednin Uddata

6 INDHOLD 6 4 Resultater Afprøvniner Animationer PoolDrop Separated Splash Glass ThinninOut Boatin WaterCup PoolRotor Generel vurderin Konklusion Fremtidit arbejde Numerisk stabilitet Forbedret visualiserin af overfladen Volumentab En trekantsmodel Todimensionelt adaptivt højdefelt Forbedret interpolation Flere animationsmuliheder Litteratur 40 A Positive definite matricer 43 B Binary-space-partionin træer 45 B. Konstruktion af BSP-træet B.2 Punktbestemmelse C Kort om marchin-cubes 48 C. Adaptiv marchin cubes

7 INDHOLD 7 D Bruervejlednin 50 D. Afviklin af prorammet D.2 Scenebeskrivelsesformat D.2. Nøleord D.2.2 Generelt D.2.3 Notation D.2.4 Scene D.2.5 Solver D.2.6 Material D.2.7 Mesh D.2.8 TimeCop D.2.9 MeshInstance D.2.0 Compound D.2. CompoundInstance D.2.2 Obstacle D.2.3 Liquid D.2.4 Camera D.2.5 Liht D.2.6 SourceEffect

8 FORORD 8 Forord Denne rapport omhandler emnet animation af væske. Vi vil i det følende beskrive de metoder der tidliere har været anvendt til at løse problemet, o med udanspunkt i artiklerne af Joseph Stam, Dimitri Metaxas, Nick Foster o Ronald Fedkiw ([0, 28, 9]) vil vi beskrive en model der kan anvendes til simulerin af væske i forbindelse med animation. Modellen udmærker si ved at være adaptiv, o er, så vidt vi ved, den første adaptive model til animation af væske. Modellen har vist si at funere odt i praksis o er væsentlit hurtiere end de tilsvarende ikke-adaptive modeller vi har fundet i litteraturen. Der står do endnu nole uløste problemer tilbae. Generelt er et af hovedproblemerne numerisk ustabilitet. Vi er do overbeviste om at disse problemer kan løses.

9 2 INDLEDNING 9 (a) (b) Fiur 2.: (a) Mælk hældes op i et las. (b) En computerenereret trold taer et bad i mudder der hældes ud af en spand. Billederne stammer fra spillefilmen Shrek (copyriht DreamWorks SKG). 2 Indlednin Gennem de sidste 0-5 år er computerrafik o computeranimation blevet mere o mere anvendt som en del af spillefilmsproduktion endda i så høj rad at der de seneste år er fremstillet indtil flere film udelukkende ved bru af computere. I takt med at computere er blevet kraftiere, er rafik o animation i computerspil lieledes blevet mere avanceret o kravet om realisme er steet. Indenfor animation er realisme ikke blot et spørsmål om kvaliteten af de enkelte billeder, men oså et spørsmål om realistisk bevæelse. I denne forbindelse er man i højere rad beyndt at anvende fysikkens love til at opnå naturlie bevæelser. Kendte eksempler på dette er animerin af stof o elastiske fiurer, fx ummi o elé, men i de seneste år har udviklin af computerkraft såvel som udarbejdelsen af nye modeller jort det mulit oså at animere ild, rø o væske realistisk. Realistisk animation af væsker er en af de sværeste discipliner indenfor computeranimation. På spørsmålet om hvilken scene fra den computeranimerede spillefilm Shrek der var sværest at lave, har Jeffrey Katzenber svaret It s the pourin of milk into a lass. [4] Et klip fra den scene han refererer til, kan ses på fiur 2. (a). Jeffrey Katzenber leder hos DreamWorks SKG o producer på Shrek

10 2. Rapportens indhold 0 Forskerparret Nick Foster o Ronald Fedkiw har imidlertid opnået ode resultater med deres model [9] der lier til rund for DreamWorks SKG s prisbelønnede væskeanimationssystem som bl.a. er blevet brut til animation af væske i Shrek, se fiur 2.. Denne metode lider do af at berenin af et enkelt billede i en animation taer meet lan tid, hvilket fx ør metoden fuldstændi ubrueli i sandtids-simuleriner selv et odt stykke ud i fremtiden. En hurtiere model vil derfor være kærkommen. 2. Rapportens indhold I denne rapport vil vi beskrive en metode til simulation o animation af væske. Vi vil tae udanspunkt i tidliere udviklede modeller (bl.a. Foster o Fedkiws) o beskrive en hurti model der udnytter at mænden af bereniner kan reduceres i de områder af den simulerede væske hvor der ikke er behov for høj detaljerad. Eksisterende modeller I afsnit 5 vil vi først beskrive de modeller vi har fundet i litteraturen. Dette håber vi vil ive et overblik over de områder o metoder der findes indenfor væskeanimerin. Vores een model I afsnit 6 vil vi ud fra de tidliere anvendte modeller diskutere hvad vi ønsker at opnå med vores een væskemodel. I afsnit 7 til 2 vil vi herefter præcisere vores model o uddybe nole af de problemstilliner der er forbundet med modellen o måden hvorpå vi løser dem. Resultater Vi har implementeret vores model i et animationssystem, som vi har kaldt for. I afsnit 4 beskriver vi en række testanimationer enereret med som illustrerer nole af modellens styrker o svaheder. 2.2 Krav til læseren Da der i arbejdet med simulation o animerin af vand indår matematik i et omfan vi umulit kan dække i denne rapport, vil vi antae at læseren har en vis matematisk forståelse, svarende til første års universitetsniveau. I afsnit 3 vil vi kort ennemå de notationer o de diskrete differentiationsmetoder vi vil benytte i resten af rapporten. Dette sammen med ovennævnte kendskab til matematik skulle være nok til at kunne sætte si ind i de problemstilliner der ennemås senere i rapporten. Vi vil således ikke forudsætte kendskab til de fysiske love som lier til rund for projektet. Den nødvendie kendskab til disse vil blive ennemået i afsnit 4. Yderliere emner der kan være en hjælp for læseren, har vi valt at beskrive i appendikser. Der vil blive refereret til disse emner hvor de har relevans.

11 2.3 Den vedlate CD-ROM 2.3 Den vedlate CD-ROM Da det er svært at videreive indholdet af de animationer der er resultatet af denne rapport på papir, har vi følt det nødvendit at supplere rapporten med en CD-ROM som vi har vedlat. CD-ROM en indeholder bl.a. følende: Animationssystemet incl. kildetekst o proramdokumentation i HTML-format. Denne rapport i Adobes PDF-format. I denne udave af rapporten kan fiurerne ses i farver. Testscenerne o de tilhørende animationer, som beskrevet i afsnit 4. Vi opfordrer læseren til at se de animationer der er vedlat på CD-ROM en, men med kompleksiteten af modellen i bahovedet.

12 G G Q ` Q ` ` ] 3 NOTATION 2 3 Notation For at lette læsnin af denne rapport vil vi i dette afsnit indføre nole forskellie notationsstandarder som vi vil forsøe at overholde i så vid udstræknin som mulit. 3. Vektorer o matricer Vektorer vil vi betene med små bostaver skrevet med fed skrift, fx. Lieledes vil vi oså skrive vektorfunktioner med fed, fx. Hvis intet andet er anivet, er vektorer tredimensionelle o vektorfunktioner af typen. Vektorer o vektorfunktioner skrives oså komponentvis på følende måde "!$#%&'#% )(+*# "!$#%&'#% )(-,. (3.) /0 2! 3#%4& 3#%4( 5%+*/# 6,7 #869) ;: (3.2) Matricer vil vi betene med store bostaver skrevet med fed skrift, fx <. Elementer i matricer betener vi med små bostaver, liesom indices oså betenes med små bostaver. For en -matrix < te søjle for HMI PO P P <N vil B$CED således betene elementet i den F te række o IJ=. Der ælder altså B R%STR B2R%S U VVV B R%S W B UXSTR B UXS U VVV B UXS W B'Y STR B Y S U VVVZB'Y S W [\ \ \ (3.3) 3.2 Gradientoperatoren I Navier-Stokes differentiallininer indår radientoperatoren ^. Der ælder hvilker fx medfører ^fv/5 ^ _a` ` b 2! `2b #c` ` d 4& ` d #c` `4e * # (3.4) h(i `2e # 6,. ;: (3.5) I litteraturen o derfor oså i denne rapport bliver radientoperatoren brut kreativt på tre følende måder. For en vektorfunktion / lader vi ælde ^jv ^k%/ PO P lnmponqrtsiu l! m l m onvnrtsiu l! m lnmponwxrys)u l! m lnmponqnrtsiu l & m l m onvnrtsiu l & m lnmzonwrtsiu l & m lnmponqrtsiu l ( m l m onvnrtsiu l ( m lnmponwxrtsiu l ( m [\ \ ] # 6,7 (3.6)

13 ˆ Š Œ Ž PO Q Ž Ž Ž # # 3.3 Andre benyttede notationer 3 o for to vektorfunktioner /5 o { ælder l2qnrtsiu l 2q rysiu 4! l! 2& l l v rtsiu l v & rysiu /}Vn^~z{ 5K 2! l! 2& l l 2wxrtsiu l2wxrys)u & 4! l! 2& l & Endeli vil vi benytte notationen ^V^ ^ U. h( h( h( l2qrtsiu l l v ( rtsiu l l2wxrtsiu ( l ( [\ ] # 6,7 : (3.7) 3.3 Andre benyttede notationer Da mane af de benyttede formler er basserede på fysiske relationer, vil vi desuden benytte følende notationer for de indvolverede fysiske parametre ƒ Punkt i rummet, ƒ _t! # & # ( *. 4 Trykfelt til tiden. Hastihedsfelt til tiden. 8 ƒ Hastihed til tiden i punktet ƒ. Væskens densitet. Væskens viskositet. Det atmosfærisk tryk. Tyndeaccelerationen. ^.V Diverens. ƒ Eksterne kræfter i punktet ƒ. Dertil kommer en række operatorer som vil være nyttie i forbindelse med udlednin af vores datastrukturer k En enkelt celle. En mænde af celler. Cellebredde ved uniform celleinddelin. A k A Dimensionerne af en celle!# &i# (n *. A Ved uniform celleinddelin specielt f Midtpunktet af en celle,. Neddelinsniveau for en celle,. Størrelse af en celle,. k A *. 3.4 Diskret differentiation Vi vil i mane sammenhæne benytte diskret førsteordensdifferentiation o nedenstående er en kort enneman af diskret differentiation (se evt. [3]).

14 œ œ U œ œ # œ # H œ œ œ œ H H U H œ œ R œ œ œ œ # œ œ œ # œ œ œ œ œ U œ R œ œ œ # r u œ œ œ 3.4 Diskret differentiation 4 Ved at udnytte taylorrække-fremstillinen af en funktion 9 N kan s afledte skrives på følende tre forskellie måder œ U h b4 š )œ } b4 6 } bh % ž Ÿ R 3# (3.8) h b4 š b4 š œ hvor,, Ÿ R, bh b4 œ } b4 6 } bh % h zÿ U o (3.9) œ H } b4 } b4 % h zÿ 3# (3.0) œ;, Ÿ U, o b4 b4 Ÿ, œ;. b4 bh Endvidere ælder følende formel for s andenafledte b4 š œ U } b4 œ hvor, o ŸA, y œ; approksimationer for b o b Vætet diskret differentiation } bh } b4 % œ U H ry 8u Ÿ 3# (3.). Ses der bort fra højereordensafledede i de fire formler fås Vi vil i det følende skulle differentiere funktioner hvor funktionsværdien kun er eksplicit anivet i bestemte punkter. Disse punkter lier ikke nødvendivis i samme afstand fra differentiationspunktet, o derfor kan formlerne (3.8) o (3.) ikke brues direkte. I stedet kan man brue en alternativ udave hvor der taes højde for afstandene. Formlerne (3.8) o (3.) er baseret på taylor-udledninen for i } b o } bh (se evt. [3] kapitel 4). Betrater vi i stedet taylor-udledninen for i } b RX o } b Un får vi: œ U } b R30 } b 5 RVn h b h Ÿ"R3zª)«(3.2) œ U } b4 U 0 } bh U Vn U b4 Ÿ U 3# (3.3) œ hvor U # R,, Ÿ R, bh R # o b4 Ÿ U,L. Da kan b4 bh b4 bestemmes ved at trække (3.2) fra (3.3), hvorved der fås R V h b4 } b4 U } b4 R 5 œ U R h Ÿ R œ U U h Ÿ U : (3.4) Ses der bort fra ledene hvor den andenafledte indår, fås approksimationen b4 K } b4 U 6 } b4 R % : (3.5)

15 R œ b # d # e # œ R œ œ œ ` R U œ œ œ H œ R # # œ H œ R œ œ œ r u œ œ H œ R R œ H œ R H œ U H œ R r u H œ U H œ R H œ U # R œ H œ U œ U # # H œ U œ # œ œ r u r u H œ U # œ œ 3.4 Diskret differentiation 5 En taylor-udlednin af højere orden iver b U U # R Ÿ R ± R m } RX } b4 hvor,n,, b4 ±"² o. Dette iver } b } b4 R # bh œ U RV b b œ U U V U bh b4 o Ÿ U, b4 bh ž R ž U Ÿ"RXzª)«(3.6) Ÿ U 3# (3.7). Adderes (3.6) o (3.7) forsvinder førsteordensleddet ikke. Derfor vætes de to lininer med henholdsvis H œ U ³ b4 š } b4 œ U ž R R 5 œ U Ÿ R ž U ³ } b4 Ses ien bort fra tredieordensleddet får man approksimationen h b4 K U7µ } bh R L } b4 Ÿ U (3.8) ³ } bh } bh U U p : (3.9) Approksimationerne kan oså anvendes til funktioner af flere variable ved at rene komponentvis. Fx bliver for 4!# R # ` b U! b U,7. d e š U µ 4!$ bh! b V! b U # di d e R # d e e p # (3.20) I mane af de sammenhæne hvor vi anvender diskret differentiation kunne man væle at brue ovenstående formler. Vi har imidlertid valt en lidt anden fremansmåde. I stedet for at brue de udvidede approksimationsformler har valt at rekonstruere funktionsværdien, så afstanden til bee punkter bliver ens. For en stykvis lineær funktion får vi altid den ritie funktionsværdi når vi rekonstruerer. Differentierer man i intervalendepunkter for stykvis linære funktioner, iver rekonstrution intuitivt et bedre resultat. Benyttes approksimation af (3.8) bruer man punkter lie lant fra differentiationspunktet. I praksis svarer dette til at man taer ennemsnittet af taenterne i funktionspunktet. Bruer man i stedet (3.5), vætes den ene tanent mere end den anden, hvilket svarer til at formel (3.8) er blevet brut i et punkt ved siden af det eentlie differentiationspunkt. Dette er illustretet på fiur 3..

16 œ 3.4 Diskret differentiation 6 y h h x Fiur 3.: En diskret funktion hvor funktionsværdierne kun er anivet i cirklerne. Der er to oplate måder at differentiere en diskret funktion i et punkt hvor afstanden til nabopunkterne er forskelli. Enten bruer man udvidede approksimationsformler, eller oså konstruerer man værdien ud fra naboerne, så de to punkter har samme afstand. Fiuren viser en stykvis linær funktion. To approksimationer til den afledte af funktionen i det hvide punkt er afbilledet. Den ene hældninen af en stiplede linje er berenet ved at brue den udvidede approksimationsformel. Den anden hældninen af den prikkede linje ved at rekonstruere funktionens værdi i det kasseformede punkt. Teoretisk set kan enerel rekonstruktion oså underbyes ved at kie på fejlen i de to funktioner. For formlerne (3.8) o (3.) er fejlen i størrelsesorden ķ œ U, mens den for formlerne (3.5) o (3.9) kun er i størrelsesorden ~. Denne fejlbetratnin ælder do ikke for de stykvis linære funktioner vi betrater her. Uanset hvilken metode man benytter, er resultatet ikke helt korrekt i de tilfælde hvor man differentierer en stykvis linær funktion i intervalendepunkter. Det skyldes at funktionen anske enkelt ikke er differentiabel i de punkter. I stedet er det at foretrække at differentiere diskret i midten af intervallerne hvor tanenten er helt veldefineret. Differentiation af stykvis linære funktioner i intervalendpunkterne approksimerer i det todimensionale tilfælde tanenterne for højre o venstre interval. Denne overvejelse er viti i forbindelse med de former for diskret differentiation vi udfører i de følende afsnit o for forståelsen af den numeriske ustabilitet vi vil beskrive i afsnit 9. Formlerne (3.8) o (3.) hører ind under berebet midtpunktsdifferentiation (en. central differencin), mens formlerne (3.9) o (3.0) tilhører henholdsvis venstre- o højredifferentiation. I resten af rapporten vil midtpunktsdifferentiation henvise til approksimationerne for (3.8) o (3.).

17 ` ` ` ` ` ` 4 NAVIER-STOKES DIFFERENTIALLIGNINGER 7 4 Navier-Stokes differentiallininer Bevæelser i en ikke-turbulent væske kan beskrives ved Navier-Stokes differentiallininer der beskriver ændrinen af et hastihedsfelt som en sum af bidra fra de forskellie kræfter der påvirker væsken. Navier-Stokes differentiallininer beskriver viskøse, ikke-komprimerbare væsker, hvilket dækker over de mest almindelie væsker, fx. vand. Som føle heraf beskrives en væskes eenskaber ud fra lininerne udelukkende ved væskens viskositet o densitet. Lininerne er udledt ud fra den antaelse at man kan dele væsker ind i små kasseformede celler, små nok til at man kan antae at al væske i en celle opfører si ens. Lininerne består af flere dele der hver beskriver de bidra der bestemmer væskens bevæelse. I dette afsnit vil vi ennemå de forskellie led i lininerne for at ive en forståelse af det fysiske rundla for denne opave. Tyndekraft Først o fremmest kan en væske være påvirket af en tyndekraft (en. ravity). Denne bidraer til væskens acceleration med tyndeaccelerationen, dvs. hvor er tyndeaccelerationen. º¹ # (4.) Strømnin Ved strømnin (en. convection) forstås den kraft som vandmolekylerne påvirker hinanden med. Dvs. hvis ét molekyle har en iven hastihed, så skubber dette molekyle til de omkrinliende molekyler o iver dem hermed en hastihed. Bidraet fra strømnin er ivet ved hvor ^» j7v^~³# er radientoperatoren o f¼!;#%2&i#%h( * er en hastihedsvetor. Gnidnin Gnidnin (en. dra) opstår når en del af en væske passerer et objekt eller en anden del af væsken med forskelli hastihed. Væsken vil blive bremset, o der vil opstå strømhvirvler. Bidraet for nidnin er ivet ved hvor er væskens viscositet. ½ ^jv ^k53# (4.2)

18 ` ` ` ` ` ` Ã! ˆ à & ˆ à ( ˆ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` H ` ` U U U ` ` ` U U U ` ` ` ` : # 4 NAVIER-STOKES DIFFERENTIALLIGNINGER 8 Tryk Ændrin i tryk (en. pressure) opstår når væsken bevæer si fra en celle til en anden. Bidraet herfra er ivet ved 4¾ hvor ˆ er væskens massefylde o er trykket. Samlet ser lininerne således ud ¹» Á7V^³7 eller hvis man vil undå radientoperatoren 2! 2& h( 2!º` 2! `2b 4! ` 4& ` b! ` 4( `2b 4&4` 4! ` d 4& ` 4& `2d & ` 4( ` d 4( ` 2! `4e h( ` 4& `4e ( ` h( `4e H ˆ ^À # (4.3) ½ ˆ ^À 2¾ U ` 4! `2b U ` 4& ` b U ` 4( `2b ^V'^k53# (4.4) U 2! `2d U 2& ` d U 4( ` d U 2! U _` `4e U `2b 2& U ` ª)«`4e U `2d 4( U 5 `4e `2e For at sikre at voluminet af væsken er konstant, dvs. at væsken ikke kan komprimeres, tilføjes diverensbetinelsen ^fv ļ# (4.5) der sier at netto-strømninen i en celle er 0, dvs. der flyder lie så meet ud af cellen som der flyder ind. For at løse et lininsystem som Navier-Stokes lininer kan benyttes en række forskellie numeriske metoder der alle kræver at lininerne diskretiseres. I næste afsnit vil vi beskrive nole af de metoder der tidliere er blevet anvendt til løsnin af lininerne med henblik på computeranimation.

19 5 TIDLIGERE ARBEJDE 9 5 Tidliere arbejde Der er i litteraturen foreslået mane forskellie metoder til at simulere væske ved hjælp af computere. Da vi senere vil benytte metoderne beskrevet af Foster, Metaxas, Stam o Fedkiw [0,, 9, 28] som udanspunkt for vores een metode, vil vi ennemå deres metoder i detaljer, mens de andre modeller kun vil blive kort beskrevet. En af de tidliste metoder til visualiserin af vandoverflader benytter texture-mappin o bump-mappin for at få plane overflader til at se bølede ud [2, 32]. Denne simple metode har den klare ulempe at selvom texture-mappin o bump-mappin kan få overfladen til at virke bølet fra nole vinkler, vil overfladen stadi virke flad fra andre vinkler. En anden ulempe ved metoden er naturlivis at der ikke er tale om simulation af vandet. Metoden er do med ode resultater blevet benyttet til at visualisere havoverflader set fra luften. En fordel ved metoden er at den er meet hurti så hurti at den kan benyttes i computerspil (fx Sierras Half Life) til at visualisere vand i real-time. Animation af vandet fremkommer her ved at overfladebilledet ændres over tid, så overfladen forekommer at bevæe si. I 98 forsøte Nelson Max i [6] at animere havoverflader ved at brue overlejrede sinusoider til at forskyde højden af overfladen. På denne måde opnår man at overfladen ikke bare er flad men rent faktisk bøler. Med de rette amplituder, bølelænder o faser kan man opnå ode resultater, stadi primært indenfor visualiserin af større vandoverflader som åbent hav, søer eller floder. Da bølerne fremkommer ved bru af sinusfunktioner, kan de ikke krumme over. Bølerne kommer derfor nemt til at virke for bløde. I 986 beskrev Darwyn Peachey en videreudviklin af en sådan metode hvor bøler simuleres ved hjælp af et la af bølefunktioner [20]. I Peachey s metode læes berænsniner på bølers hældnin, o hvis en bøle bliver for stejl benyttes et partikelsystem til at få bølen til at rulle. Den tilladte hældnin på en bøle udledes til at være afhæni af vandets dybde. Med denne udlednin bliver brændin lans en strand automatisk håndteret, sådan at bøler ruller parallelt med stranden. I modellen antaes bøler at være cirkulære bevæelser, så der er stadi inen form for væsketransport i Peacheys model. I løbet af den første halvdel af 990 erne blev computere så hurtie at man beyndte at betrate deciderede simulationsteknikker fra forskninsfeltet computational fluid dynamics (CFD). CFD brues normalt i sammenhæne hvor man er interesseret i en præcis berenin af væskebevæelse. Kass o Millers udviklede i 990 en metode [4] hvor der læes væt på væsketransport samt det at væskens omivelser kan ændres fx kan væske i en stor bøle skylle over en kant o ende i en pyt på den anden side af kanten. Kass o Miller benytter en forsimplet udave af Navier-Stokes lininer de såkaldte shallow water equations. Disse diskretiseres o benyttes i et højdefelt. Da differentiallininerne beskriver en

20 5. Foster o Metaxas metode 20 simpel form for væsketransport, kan modellen beskrive bøler mere korrekt; fx bliver en bøle reflekteret når den rammer en kant. I 995 udviklede Chen o Lobo en metode hvor de benyttede en mindre forsimplet udave af Navier-Stokes lininer til at simulere væske som et todimensionelt højdefelt [2]. De benytter trykket i højdefeltscellerne til at bestemme højden af væsken, men bereninsmodellen opfatter væsken som helt flad. Chen o Lobos metode blev af Hodins o O Brien udvidet med et partikelsystem til at simulere sprøjt der fremkommer når objekter kastes ned i vand [9]. Denne udvidelse er bl.a. blevet benyttet af Hodins o Wooten til at simulere vandoverfladen ved tårnsprinssimulationer [33]. 5. Foster o Metaxas metode I 996 udviklede Foster o Metaxas en metode til løsnin af Navier-Stokes lininer til bru i væskesimulerin der både håndterer væsketransport o objekter der kan flyde med strømmen [0]. 5.. Diskretiserin I modsætnin til tidliere metoder simuleres væsken i et tredimensionelt itter, så objekter der enten er helt eller delvist dækkede af væske, oså tillades. For hver celle i dette itter repræsenteres hastiheder i henholdsvis b -, - d o -retnin på fladerne af e cellen (se fiur 5.) samt trykket i centrum af cellen. Cellerne inddeles i fire forskellie klasser, nemli luft-, overflade-, væske- o barriereceller. Hvorvidt celler er er luft-, væske eller overfladeceller aføres ved hjælp af markørpartikler som er vætløse partikler der flyttes rundt i væsken for at kunne aføre hvor væsken befinder si. En celle der ikke indeholder partikler, er en luftcelle. En celle der indeholder mindst én partikel o har mindst en nabocelle der er luftcelle, er en overfladecelle. O endeli hvis cellen indeholder mindst én partikel o ikke er en overfladecelle, er den en væskecelle. Barriereceller defineres eksplicit ud fra en scene anivelse o ændres ikke under simulationen Løsnin af Navier-Stokes Hastihedsfeltet o trykfeltet opdateres ved at opdatere de enkelte celler hver for si, idet der taes højde for celletyperne. Luftceller Her er der inen væske, så hastihederne sættes til Å o trykket til det atmosfæriske tryk.

21 5. Foster o Metaxas metode 2 w i,j,k /2 u i /2,j,k dz vi,j /2,k dx dy k j i Fiur 5.: Repræsentation af hastiheder for en celle i Foster o Metaxas model. Væske w ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ w 0 ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ u 0 ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÆÇÆÇÆÇÆÇÆ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ ÈÇÈÇÈÇÈÇÈ Barriere Fiur 5.2: Hastiheder på siderne af barrierer.

22 ` ` ` É 5. Foster o Metaxas metode 22 Barriereceller Her er man ikke er intereseret i at væsken kan træne ind, derfor sættes hastiheden normalt på barrieren til Å (svarende til Å på fiur 5.2). Lieledes sættes trykket til trykket i nabocellen, så der inen trykforskel er mellem barrieren o dens omivelser. Den tanentielle hastihed sættes i forhold til nabocellens hastihed, alt efter om man ønsker nidninsmodstand mellem væsken o barrieren eller ej. Ønskes nidnin (Foster o Metaxas: non-slip) sættes den tanentielle hastihed til den modsatrettede af nabocellens tanentielle hastihed (svarende til É ÇÊÉMR på fiur 5.2). Ønskes derimod inen nidnin (Foster o Metaxas: free-slip) sættes den tanentielle hastihed li den tanetielle hastihed i nabocellen (svarende til É ÁÉ R på fiur 5.2). Overfladeceller Her vil nole af siderne støde op mod luftceller o nole vil støde op mod væskeceller eller andre overfladeceller. Hastihederne på de sider der støder op mod luftceller ændres, svarende til at væsken udbreder si i den påældende retnin. Da væsken er massebevarende o ikke-komprimerbar ælder diverensbetinelsen af Navier-Stokes lininer (se afsnit 4) `2b `2d `4e ÁÅ$# (5.) svarende til at strømninen ind i en celle er lie så stor som strømninen ud af cellen, således at mænden af væske i cellen er uændret. For at dette skal være overholdt i overfladeceller fordeles overskydende hastihed (renet med forten) på de sider der støder op mod luftceller (da væsken kan flytte si uhindret i disse retniner). Trykket sættes til det atmosfæriske tryk. Væskeceller Når disse tre celletyper er opdaterede, opdateres hastihederne for væskecellerne. På kanten af en væskecelle berenes den nye hastihed ved at løse Navier- Stokes lininer eksplicit ved bru af finite difference. Da væskecellerne efter denne opdaterin ikke opfylder (5.), berenes afvielsen o denne benyttes til at justere trykket. Herefter justeres hastihederne ud fra trykforskellene i det nylit opdaterede trykfelt. Denne opdaterin af hastihedsfeltet fortsættes indtil afvielsen fra (5.) er mindre end en iven rænseværdi for alle celler. Metoden kaldes Successive Over-Relaxation (SOR) da man ved entane justeriner pejler si ind på den endelie løsnin. Når iterationerne er ennemført har hastihederne på nole af siderne af overfladecellerne ændret si, derfor entaes opdaterinen af disse, som beskrevet ovenfor Visualiserin Der ives i [0] ikke noen enerel metode til at visualisere væsken. I stedet iver Foster o Metaxas nole eksempler hvor de benytter ad-hoc-metoder tilpasset de en-

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever Resultat af spøreskema til Friskolens Filskov Friskole & Børnehave Skoleyden 4, 700 Grindsted F o r m å l e t m e d d e n n e u n d e r s ø e l s e e r a t f å v i d e n o m, h v a d I s o m e l e v e

Læs mere

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde Fedtstoffer Kemi B - Dansk A Navne:, Devran Kucukyildiz o Vejleder: Anja Bochart o Biritte Madsen Skole: HTX Roskilde Klasse: 2.4 Dato: 06/05 2009 Indholdsfortenelse 1. Indlednin... 3 1.2 Definition af

Læs mere

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ Graisk Desin OPGAVEN Je skulle lave en plakat som projektplan over Randerup branddam. Dammen skulle nemli laves om til et hyelit adekær. Der var tenet en skitse over runden, med noter til hvad der skulle

Læs mere

RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER

RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER RUDER OG VINDUERS ENERGIMÆSSIGE EGENSKABER Kompendium : FORENKLEDE METODER TIL BESTEMMELSE AF ENERGIMÆRKNINGSDATA BYG DTU U-00 009 Version 4 01-01-009 ISSN 1396-4046 Indholdsfortenelse FORORD TIL KOMPENDIUM...

Læs mere

Psykosocialt arbejdsmiljø

Psykosocialt arbejdsmiljø ARBEJDSMILJØ I DANMARK 2005 HERMANN BURR Psykosocialt arbejdsmiljø Hvem har indflydelse på sit arbejde, hvem får stillet hvilke krav, o hvordan er de sociale relationer? Både positiv o neativ udviklin

Læs mere

DBU Aldersrelateret træning - for 9-14 årige

DBU Aldersrelateret træning - for 9-14 årige DBU Aldersrelateret trænin - for 9-14 årie Børns naturlie instinkter starter altid med mulihederne. Børn ør uden at vide det tin, de slet ikke har lært endnu. Børn fokuserer helt naturlit altid på at se

Læs mere

Planen for i dag. Logiske og fysiske adresser. Systemarkitektur. Binding af programkode til lager. Hardware understøttelse af lageradministration

Planen for i dag. Logiske og fysiske adresser. Systemarkitektur. Binding af programkode til lager. Hardware understøttelse af lageradministration Planen for i da Bindin af proramkode til laer Laerallokerin Sidebaseret laeradministration Sementer Sementer kombineret med sider Bindin af proramkode til laer De relative adresser i proramkoden kan bindes

Læs mere

7 SKARPE TIL TRØJBORG. Fakta og udsagn om de muligheder. over for netop nu. Lav flere fejl

7 SKARPE TIL TRØJBORG. Fakta og udsagn om de muligheder. over for netop nu. Lav flere fejl Fakta o udsan om de muliheder o trusler, kommunerne står over for netop nu o om at løse dem 2011 7 SKARPE TIL TRØJBORG Mater kommunerne at væle fra - eller forstår de kun at bye til? Læs svaret på dette

Læs mere

Det er historisk ganske nyt, at instanser uden for familien med øget styrke og øget ihærdighed søger at påvirke den retning, denne familielæring

Det er historisk ganske nyt, at instanser uden for familien med øget styrke og øget ihærdighed søger at påvirke den retning, denne familielæring Lærin i familien for barnets bedste eller snæver investerinsloik? Niels Kryer, lektor ved Institut for Uddannelse o Pædaoik (DPU), Aarhus Universitet. Tilknyttet forskninsprorammet Barndom, Undom o Institution

Læs mere

Grundlag for anbefalinger for sund mad i vuggestuer og børnehaver

Grundlag for anbefalinger for sund mad i vuggestuer og børnehaver Grundla for anbefaliner for sund mad i vuestuer o børnehaver Grundla for anbefaliner for sund mad i vuestuer o børnehaver Udarbejdet af: Lene Møller Christensen Ulla Holmboe Gondolf Helle Kønerskov Ellen

Læs mere

Størstedelen af unge uden uddannelse har en svag hjemmebaggrund

Størstedelen af unge uden uddannelse har en svag hjemmebaggrund Une uden uddannelse har flere ansiter Størstedelen af une uden uddannelse har en sva hjemmebarund Ny kortlænin af de une uden uddannelse viser, at størstedelen af de une uden uddannelse er vokset op med

Læs mere

Arbejdstid. Hvem har skæve arbejdstider, og hvordan er balancen mellem privatliv og arbejdsliv? Arbejdsmiljø i Danmark 2005

Arbejdstid. Hvem har skæve arbejdstider, og hvordan er balancen mellem privatliv og arbejdsliv? Arbejdsmiljø i Danmark 2005 Arbejdsmiljø i Danmark 2005 HERMANN BURR OG KAREN ALBERTSEN Arbejdstid Hvem har skæve arbejdstider, o hvordan er balancen mellem privatliv o arbejdsliv? Stabil balance mellem arbejdsliv o privatliv Denne

Læs mere

Vækst og effektivisering Venstre, Dansk folkeparti og Liberal Alliance viste med konstitueringsaftalen, at der var udstukket en ny retning.

Vækst og effektivisering Venstre, Dansk folkeparti og Liberal Alliance viste med konstitueringsaftalen, at der var udstukket en ny retning. Nye tider, nye veje Vækst o effektiviserin Venstre, Dansk folkeparti o Liberal Alliance viste med konstituerinsaftalen, at der var udstukket en ny retnin. Med en ambitiøs 100-daes plan o markante krav

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel.

Bilag 1: Beregningseksempel. Bila 1: Bereninseksemel. Claus F. Jensen, 5/4-01 Bilae har il ormål a vise bereninsroceduren or e elemen a en lasacade. De anvende elemen er rundlæende idenisk med de i ren 13947 anivne. Der renes i dee

Læs mere

SMART Notebook Math Tools 11

SMART Notebook Math Tools 11 SMART Ntebk Math Tls 11 Windws -perativsystemer Bruervejlednin Meddelelse m varemærker SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, SMART-let alle SMART-slaner er varemærker eller reistrerede varemærker tilhørende

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER

A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER A/S DANSK KUGLELEJE CENTER HØJ TEMPERATURS LEJER TABLE OF CONTENTS Højtemeratur lejer 2RSR 150 Information......2 61800.2RSR.HT2 150 serie.... 3 6000.2RSR.HT2 150 serie. 4 6200.2RSR.HT2 150 serie. 5 6300.2RSR.HT2

Læs mere

EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Ungdomsskole

EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Ungdomsskole EUD10: Nyt 10. klasse tilbud på Næstved Undomsskole EUD 10 er en ny erhvervsrettet 10. klasses linie, som alle kommuner tilbyder fra auust 2015. I Næstved tilbydes den på undomsskolen, Skellet 29. Den

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

MAGASINPOST POST PÅ DIN MÅDE

MAGASINPOST POST PÅ DIN MÅDE MAGASINPOST POST PÅ DIN MÅDE INDHOLD 2 Forord 3 Generelle betinelser 5 Maasinpost Standard (MPA o MPB) 9 Sorteret Maasinpost (SMP) 17 Sementerin 18 Indstik 19 Maasiner o blade til Færøerne, Grønland o

Læs mere

EgebjergBLADET. Vind flotte præmier i vores hyggelige bankospil den 2. nov. Egebjergklubben inviterer igen til spaghetti og kødsovs

EgebjergBLADET. Vind flotte præmier i vores hyggelige bankospil den 2. nov. Egebjergklubben inviterer igen til spaghetti og kødsovs EebjerBLADET Nr. 9, oktober 2014, 46. åran Vind flotte præmier i vores hyelie bankospil den 2. nov. Eebjerklubben inviterer ien til spahetti o kødsovs Lokalruppen: Nyt navn o nyt tilsnit i hjælpen til

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

HØJ TEMPERATURS LEJER

HØJ TEMPERATURS LEJER HØJ TEMPERATURS LEJER Århus Herlev Vejle 86 150 111 44 52 13 52 75 820 288 INDHOLDFORTEGNELSE Hjemmeside side 3 Høj temperatur leje 2RSR 280 information side 4 2RSR.HT2 250-280 (Micro Serie) side 5 2RSR.HT2

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Vil du have en CSR-strategi, der gør en forskel?

Vil du have en CSR-strategi, der gør en forskel? Vil du have en CSR-stratei, der ør en forskel? Væl Fairtrade Fairtrade Mærket er den største o mest kendte internationale etiske mærkninsordnin HVAD BETYDER FAIRTRADE MÆRKET? F airtrade Mærket er en international

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Allemandsretten en enestående mulighed

Allemandsretten en enestående mulighed 1 Allemandsretten en enestående mulied Ikke forstyrre ikke ødelæe Allemandsretten er en fantastisk mulied for os alle, fordi vi kan bevæe os frit i naturen. Du bruer allemandsretten, når du år tur i skoven,

Læs mere

Familiesikring Pension er betryggende, hvis du dør eller bliver invalid

Familiesikring Pension er betryggende, hvis du dør eller bliver invalid Familiesikrin f af ma mi li ilei se iski rk irni n Familiesikrin Pension er betryende, hvis du dør eller bliver invalid Hvorfor tene Familiesikrin Pension? For ikke at få økonomiske problemer i en i forvejen

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Den lille Levnedsmiddeltabel

Den lille Levnedsmiddeltabel Den lille Levnedsmiddeltabel Den lille levnedsmiddeltabel 4. reviderede udave Erlin Saxholt Sisse Fat Jeppe Matthiessen Tue Christensen Fødevareinstituttet Danmarks Tekniske Universitet Den lille levnedsmiddeltabel

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Klar til nye eventyr

Klar til nye eventyr www.mitsubishi.dk Klar til nye eventyr Den nye Outlander er landet. Den løfter SUV konceptet til et nyt niveau. Du vil opleve høj driftssikkerhed, adrætte køreeenskaber o et avanceret, men letbetjent 4WD

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel)

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Indhold Introduktion...1 Eksport og tilpasning af tabeldata MUD...1 Direkte til Excel...1 Via Rapport i Word-format til Excel...1

Læs mere

Frit efter Henning P, Ishøj

Frit efter Henning P, Ishøj Frit efter Henning P, Ishøj INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 Start af Inventor.... 3 Opsætning:... 4 Oprette en tegning i Inventor:... 5 Gemme funktionen... 9 Åbne og starte på samme tegning:...

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999 )LDVLHO$DO\VH 3. september 1999 1\XONXSRUHHVUXNXUPRGHO 8LEDNVRIILFLHOOHXONXSRUHHVUXNXUVNLIHVXGIUDGHXY UHGH1HOVR 6LHJHOPRGHOLOHPHUHNRPSOLFHUHPRGHO 'H\HPRGHOJLYHUEHGUHILLJDISULVHUSnVDVREOLJDLRHURJHOLPLHUHUEODG

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Arbejde med 3D track motion

Arbejde med 3D track motion Arbejde med 3D track motion Gary Rebholz I sidste måneds Tech Tip artikel gennemgik jeg det grundlæggende i track motion. Selv om vi ikke gennemgår alle værktøjer i Track Motion dialog box vil du alligevel

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere