Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den bedste dåse, en optimeringsopgave"

Transkript

1 bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det kan fx dreje sig om spørgsmål som Hvor meget arbejde kan man tage for at tjene mest muligt under hensyn til at det kan gå ud over SU og andre ydelser? Hvordan skal man opbygge et cykelstel så det bliver stærkest muligt, men samtidig vejer så lidt som muligt? Hvor tyk en plade skal man bruge til en hylde hvis den skal kunne bære alt hvad der skal stå på den, men ikke være for tung, dyr og klodset? Hvad er det bedste tidspunkt at rense varmevekslerne i et olieraffinaderi, når anlægget skal bevares, samtidig med at der bliver så få driftsstop som muligt? Hvor høj skal prisen være hvis man vil tjene mest muligt og samtidig tage hensyn til at der bliver solgt færre varer hvis prisen stiger? Hvilke dimensioner skal en konservesdåse have for at metalforbruget bliver mindst muligt når rumfanget er givet? Sagt generelt består optimering i at finde den kombination af variable der giver den største eller mindste værdi af en bestemt variabel der afhænger af dem. I dette arbejdskort arbejder vi med følgende opgave Hvilket forhold skal der være mellem radius og højde i en cylindrisk dåse der rummer 500 ml, for at overfladen er mindst mulig? Gælder det samme forhold for en dåse af vilkårlig størrelse? Man kan løse en sådan optimeringsopgave på flere forskellige måder som alle er afprøvet i arbejdskortet Kugle, kegle og cylinder. I dette arbejdskort gives der mindre hjælp, og det er tanken at man selv prøver kræfter med de forskellige fremgangsmåder og værktøjer. I studieproduktet skal der gøres rede for en af løsningsmetoderne med et it-redskab. Sidst i arbejdskortet er vist en dynamisk konstruktion. Den indgår ikke i studieproduktet og kan springes over. Den er først og fremmest tænkt som en mulighed for at lære Geogebras muligheder i koordinatgeometri bedre at kende et tilbud til studerende der gerne vil have yderligere udfordringer

2 bksp-20-15e Side 2 af 7 Praktisk konstruktion Vi begynder med at lave dåsen i karton. Det er naturligvis ikke nødvendigt for at løse opgaven, men det er en meget egnet måde at aktivere forforståelsen og afprøve nogle arbejdsformer der kan benyttes på mellemtrinnet. Lav en cylindrisk dåse af karton med en bund, også af karton Hvordan sikres det at den rummer netop 500 ml? Beregn overfladen af dåsen (medregnet det låg som vi ikke har lavet) Bestem radius i en cylinder med en anden højde, og beregn overfladen af den nye dåse Regneark Med et regneark er det muligt at gennemføre systematiske eksperimenter hvor fx radius varieres, og programmet beregner den tilsvarende højde og overflade Opstil et sådant regneark og eksperimenter værdierne for at finde den mindst mulige overflade. Bestem det tilsvarende forhold mellem højde og radius. Gør det nogen forskel om man vælger at lade h eller r være uafhængig variabel? Indret eventuelt regnearket så man kun behøver at indtaste største og mindste værdi af den uafhængige variabel, mens regnearket så beregner et antal værdier mellem yderpunkterne Gennemfør eksperimenterne med en anden værdi af V, og bestem også her forholdet mellem r og h Formuler resultatet af undersøgelsen Grafisk aflæsning i Geogebra Når Geogebra bruges til at tegne funktioner, skal der som regel indtastes i inputfeltet nederst i Geogebravinduet. Hvis der ikke er noget inputfelt, så skal der markeres ud for inputfelt i menuen Vis (se figur 1): Figur 1 Når det er gjort, kan man indtaste forskellige ting, fx en funktionsforskrift, koordinaterne til et punkt eller værdien af en konstant.

3 bksp-20-15e Side 3 af 7 I det følgende beskrives hvordan der kan tegnes en graf der giver mulighed for at aflæse den mindste overflade. I beskrivelsen viser denne skrift hvordan der indtastes i Geogebra. For at undersøge problemstillingen grafisk, er det nødvendigt at udtrykke overfladen som funktion af én variabel. I beregningen af en cylinders overflade indgår imidlertid to variable, h og r, og man må derfor beslutte hvilken af dem der skal være variabel i ligningen. Der er en sammenhæng mellem h og r i formlen for en cylinders rumfang, og den kan vi benytte os af fordi rumfanget er konstant. Start med at sætte rumfanget til 0,5 ved at skrive V = 0.5 i inputfeltet Start med at bruge radius som uafhængig variabel. Det er lettere hvis man først udtrykker højden som en funktion af radius, og derefter indsætter denne funktion i formlen for overfladen. Brug derfor følgende fremgangsmåde: Udtryk højden som funktion af radius ved at skrive h(x) = i inputfeltet (Bemærk at den uafhængige variabel skal hedde x når der tegnes grafer i Geogebra) Udtryk derefter overfladen som funktion af radius ved at skrive O(x) = i inputfeltet Aflæs x-værdien hvor grafen har minimum Aflæsningen kan gøres mere nøjagtig ved at konstruere en tangent som vist på figur 2. Figur 2 Vælg redskabet Nyt punkt og klik på den del af grafen hvor x > 0. Vælg redskabet Tangenter og klik først på punktet, derefter på grafen. Eksperimenter med at flytte punktet, og læg mærke til hvordan tangenthældningen ændrer sig. Flyt punktet indtil tangenten er vandret (se på ligningen i algebra-vinduet), og aflæs x-koordinaten til punktet. Programmet kan bestemme minimum for O i intervallet fra 0 til V. Det gøres ved at skrive Min[O, 0, V] i inputfeltet

4 bksp-20-15e Side 4 af 7 Geogebra kan beregne forholdet mellem højde og radius. Hvis punktet hedder A, får man x-værdien ved at skrive x(a), og forholdet kan derfor beregnes som x(a) h(x(a) ) Skriv forhold = x(a)/h(x(a)) i inputfeltet. Læg mærke til parenteserne, og overvej hvorfor de er der. Bestem forholdet i det punkt hvor O er mindst. Bestem det tilsvarende forhold for andre værdier af V. Gentag nu hele konstruktionen, men brug i stedet højden som uafhængig variabel. Hvilken fremgangsmåde fungerer bedst? Funktionsanalyse i Geogebra Du kan se en demonstration af begreberne i dette afsnit ved at klikke her. I minimumspunktet er tangentens hældning 0. Vi kan altså finde minimum hvis vi kan beregne tangentens hældning. Det sker ved en kompliceret teknik der kaldes differentialregning, som man typisk bliver fortrolig med i første del af et universitetsstudium, og som sjældent har spillet nogen rolle i læreruddannelsen. Den gode nyhed er at Geogebra klarer jobbet for os. Når vi har en funktion f(x), er f (x) den funktion der viser tangenthældningen. Tilsvarende har overfladefunktionen den afledte O (x). Få tegnet grafen for den afledte funktion (tangenthældningen for O) ved at skrive O (x) Læg mærke til at Geogebra selv beregner en funktionsforskrift. Grafen for O viser at der kun er et sted hvor tangenten har hældningen 0. Vi ønsker at finde hvilken xværdi der er tale om, for her er overfladen mindst mulig. Det kunne gøres ved at løse ligningen O (x) = 0, men det er ikke så let; det kan man se af forskriften for O. Geogebra klarer heldigvis opgaven let: Konstruer skæringen mellem O og x-aksen. Det er dette punkts xværdi vi skal bruge. Hvis skæringspunktet hedder B, kan man fx kalde x-værdien mindste og skrive mindste = x(b) Ud fra denne radius kan man beregne hvilket forhold mellem højde og radius som giver den mindste overflade.

5 bksp-20-15e Side 5 af 7 Løsning med symbolsk beregning i et CAS-program CAS står for Computer Algebra System. Det er en programtype der kan lave matematiske beregninger med symboler fx reducere udtryk og løse ligninger. I arbejdskortet Kugle, kegle og cylinder er nævnt forskellige CAS-værktøjer der kan bruges. Dette afsnit sider beskriver hvordan man kan beregne det forhold mellem højde og radius som giver den mindste overflade. Fremgangsmåden svarer fuldstændig til funktionsanalysen i Geogebra, men i stedet for at bruge grafer løses den her ved symbolske omskrivninger. Ved denne løsning skal man bruge r som variabel og udtrykke den ved h i stedet for omvendt. Ellers ender man med kvadratrødder i nævneren, og så opgiver de fleste CAS-programmer at løse ligningen. Fremgangsmåden bliver derfor som følger, og meningen er at så mange af beregningerne som muligt skal udføres af CAS-værktøjet: Opstil et udtryk for overfladen O med h og r som variable Udtryk h ved r og indsæt det i udtrykket for O Differentier udtrykket med hensyn til r (det svarer til at finde ligningen for tangentens hældning) Sæt resultatet lig med 0 (det svarer til at finde det sted hvor tangenten er vandret) Løs ligningen, og find dermed den radius der giver mindst overflade Beregn den tilsvarende højde Bestem derefter det forhold mellem højde og radius som giver mindst overflade Læg mærke til at forholdet ikke afhænger af rumfanget V. Faconen på dåsen der har mindst overflade er derfor den samme, uanset hvor stor dåsen er. I forholdet mellem højde og radius indgår nogle grimme tredjerødder, men alligevel bliver forholdet meget enkelt til sidst. Brug rod- og potensreglerne til at tjekke programmets udregning

6 bksp-20-15e Side 6 af 7 En dynamisk konstruktion Figur 3 viser en dynamisk konstruktion som er udført i Geogebra. Når brugeren flytter i det røde punkt R, ændres radius, og bund og låg bliver større. Samtidig bliver højden mindre, så det samlede rumfang ikke ændres. Programmet kan beregne overfladen og forholdet mellem højde og radius. Tallene kan vises med en dynamisk tekst hvor værdierne ændres når brugeren flytter punktet R. Den der har lyst til at lære Geogebras muligheder bedre at kende, kan lave konstruktionen ved hjælp af vejledningen herunder. Figur 1 Tip til konstruktionen Det kan betale sig at oprette numeriske objekter (dvs. tal). Rumfanget kan fx defineres ved at skrive V = 0.5. Konstruer en halvlinje fra (0, 0) gennem (1, -1), og et punkt R på denne halvlinje. Det er praktisk at have radius og højde som numeriske værdier. Når cirklens centrum R ligger som beskrevet, er radius lig med x-koordinaten. Skriv r = x(r) for at oprette et numerisk objekt der hedder r og har samme værdi som radius i cirklen. Når vi kender r og V, kan højden h beregnes ud fra formlen V = hπr 2. (I Geogebra kan man skrive tallet π i en formel ved at skrive det med bogstaver pi). Isoler h og brug inputfeltet igen. Når programmet har beregnet højden og omkredsen i cylinderen, kan vi konstruere hjørnerne i rektanglet ud fra deres koordinater. Den letteste måde at gøre dette er at skrive koordinaterne i inputfeltet. Man kan skrive (0,0) og (0,h)eller, hvis punktet skal have et bestemt navn, fx A, A = (0,0).

7 bksp-20-15e Side 7 af 7 Man kan også bruge beregningsformler som koordinater. I konstruktionen på figur 3 har et af punkterne i cylinderens rør koordinaterne (0, 2πr), og det kan indtastes som(0, 2 pi r). Konstruer rektanglet som er udfoldningen af røret, og konstruer de to cirkler som er bund og låg. Cirklen i bundet konstrueres lettest som cirkel med centrum i R og radius r. Låget kan konstrueres ved at spejle bundet, men også på mange andre måder. De dynamiske tekster er lette at lave i Geogebra 4. Man vælger værktøjet Indsæt tekst (figur 4) Figur 4 Derefter indtaster man den tekst der skal stå på skærmen, og på listen over objekter vælger man de objekter hvis værdi skal vises i teksten. Figur 5 viser situationen lige før størrelsen af overfladen O indsættes i teksten. Figur 5 Når konstruktionen er færdig, kan man eksperimentere med den for at finde frem til den mindste overflade.

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0).

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0). Planlægningsmodel UVD Forløb med løsning af en 2. gradsligning 9 klasse i 5-6 lektioner Fælles mål /kompetencemål: Tal og algebra Eleverne kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Procesorienteret. skrivning

Procesorienteret. skrivning Procesorienteret Dansk 84 skrivning Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af hvad man mener I Norge har Stiftelsen

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

BILAG A SPØRGESKEMA. I denne At-vejledning præsenteres et kort spørgeskema med i alt 44 spørgsmål fordelt på otte skalaer.

BILAG A SPØRGESKEMA. I denne At-vejledning præsenteres et kort spørgeskema med i alt 44 spørgsmål fordelt på otte skalaer. 16 BILAG A SPØRGESKEMA I denne At-vejledning præsenteres et kort spørgeskema med i alt 44 spørgsmål fordelt på otte skalaer. Skalaernes spørgsmål indgår i et større spørgeskema, der omfatter i alt 26 skalaer

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

4 Funktioner. Faglige mål. Lineære funktioner. Stykkevis lineære funktioner. Ligefrem proportionale funktioner. Andengradsfunktioner

4 Funktioner. Faglige mål. Lineære funktioner. Stykkevis lineære funktioner. Ligefrem proportionale funktioner. Andengradsfunktioner 4 Funktioner Faglige mål Kapitlet Funktioner tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Lineære funktioner: kunne definere hvad der kendetegner en funktion, beregne hældningskoefficienten for en linje

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Spørgeskema på HVAL.DK

Spørgeskema på HVAL.DK Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Årsplan matematik 7 kl 2015/16

Årsplan matematik 7 kl 2015/16 Årsplan matematik 7 kl 2015/16 I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale, og har matematikfessor som suplerende materiale, samt kopisider. I systemet er der,ud over grundbogen, også kopiark

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere)

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere) Brugervejledning til Landsforeningen Danske Folkedanseres Medlemssystem (For dansere) 1 Indhold Første gang systemet skal have at vide, hvem du er.... 3 Log Ud - VIGTIGT!... 4 Log ind når du har oprettet

Læs mere

Perspektiver med it. CAS, dynamisk geometri, simulering og netadgang Andre kompetencer eller mere i spil. Oplæg Hjørring den 1/11-2010, Olav Lyndrup

Perspektiver med it. CAS, dynamisk geometri, simulering og netadgang Andre kompetencer eller mere i spil. Oplæg Hjørring den 1/11-2010, Olav Lyndrup Perspektiver med it CAS, dynamisk geometri, simulering og netadgang Andre kompetencer eller mere i spil Oplæg Hjørring den 1/11-2010, Olav Lyndrup Angrebsvinkler Læreplaner 2005 og 2010 Den daglige undervisning

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer) Matematik D Almen voksenuddannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU151-MAT/D Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 Økonomi Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Evaluering Matematik på htx

Evaluering Matematik på htx Evaluering af Matematik på htx Sommeren 2007 1 Indholdsfortegnelse Forord...3 Generelle bemærkninger...4 Matematik A (ordinær prøve)...5 Matematik A (IT-forsøgsprøve)...6 Vurdering af opgavesættene...7

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE

FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kompetenceområde: 1. Geometri og målinger: 2. Matematiske kompetencer: 3. Tal og algebra: Kompetencemål: 1. Eleven kan forklare

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2010 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Bordkort nr. 1 & 7. Sværhedsgrad 1 Ingen kendskab. Bordkort nr. 2 & 3. Sværhedsgrad 2 Lidt kenskab. Bordkort nr. 4 & 6

Bordkort nr. 1 & 7. Sværhedsgrad 1 Ingen kendskab. Bordkort nr. 2 & 3. Sværhedsgrad 2 Lidt kenskab. Bordkort nr. 4 & 6 SVÆRHEDSGRAD Der er i denne e-bog 8 bordopsætninger, som indeholder 4 sværhedsgrader. Sværhedsgrad 1 er den letteste, og 4 den sværeste. Dog skal det siges, at alle, som er let øvede inden for kort og

Læs mere

Projekt 4.13 Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi

Projekt 4.13 Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Projekt. Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi Firmaet Sprits for Kids ønsker at relancere deres vodkadrink Vodkaklovnen

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk Netværksguide sådan bruger du dit netværk Danmarks måske stærkeste netværk Step 1 Formålet med guiden Hvor kan netværk hjælpe? Netværk er blevet et centralt middel, når det gælder om at udvikle sig fagligt

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Rumlige figurer. SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle

Rumlige figurer. SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle Rumlige figurer SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle Udleveret: 10.09.12 Afleveres: 08.10.12 0. Indholdsfortegnelse 0. INDHOLDSFORTEGNELSE...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2016 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Kubilay

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

1. Læsestærke børn i Vores Skole

1. Læsestærke børn i Vores Skole 1. Læsestærke børn i Vores Skole Vores forældre kan lære at styrke børnenes læsefærdigheder Forældre kan bruges endnu mere til at fremme børnenes læsefærdigheder. Vi kan give dem gode råd og brugbare redskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Sorteringsmaskinen. Hej med dig!

Sorteringsmaskinen. Hej med dig! Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!

Læs mere

01 Introduktion. Yderligere informationer kontakt bim@protecvinduer.com

01 Introduktion. Yderligere informationer kontakt bim@protecvinduer.com 01 Introduktion Dette dokument indeholder informationer om Pro Tec vinduer BIM objekter. Der er vejledninger til at bruge disse objekter, opsætning af objekterne samt links til Pro Tec s hjemmeside der

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo

Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo Indhold: A. Oprettelse af profil på Endomondo B. Oprettelse af selve ruten C. Redigering af oprettet rute D. Oprettelse af interessepunkter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable

Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Projekt 7.. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Indhold 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se C-bogen projekt ).... Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen projekt

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

6. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

6. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK 2015-16 Lærer: Morten Bojesen Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde undervisningsdifferentieret samt elevdifferentieret. I det daglige arbejde vil vi drøfte matematiske begreber i plenum,

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere