Lav et gameshow til tv2-zulu!

Transkript

1 Lav et gameshow til tv2-zulu! Et problemorienteret projektarbejde gennemført i 1. og 2.g (matematik A og B)

2 Indhold Præsentation af klasserne og rammerne for forløbet...3 Projektets overordnede udviklingssigte...3 Intentionerne for elevernes udbytte af projektet...4 Design af forløb...4 Organisering af forløbet...5 Beskrivelse af forløbet...5 Konkretisering modul (kun gennemført i 2.b) modul (kun gennemført i 2.b)...8 Vi spiller plat eller krone modul (kun gennemført i 2.b)...9 Vi spiller seks er...9 Lessons learned...10 Lessons learned (1.a)...10 Lessons learned (1.b)...13 Lessons Learned (2.b)...16 Elevernes udbytte...17 Kompetencemål...17 Faglige mål...18 Problemorienteret projektarbejde at sætte en scene...18 Hvad fik jeg som lærer ud af forløbet?...18 Matematik-forløb efter reformen...19

3 Præsentation af klasserne og rammerne for forløbet Forløbet er gennemført i to 1.g klasser og en 2.g klasse. De to 1.g klasser har henholdsvis matematik på A og B niveau (som en del af studieretningen) og begge studieretninger er naturvidenskabelige. Lad os for overskuelighedens skyld kalde dem hhv. 1.a og 1.b. 2.g klassen er en før-reform matematisk klasse med obligatorisk matematik på B-niveau. Hovedparten af klassen har ikke valgt matematik på højt niveau, og det matematisk niveau er svingende med en tendens til en stor gruppe fagligt svage elever. Jeg kalder dem her for 2.b. I alle tre klasser gennemføres forløbet i foråret Igennem hele forløbet bruger jeg tidsangivelse i moduler, et modul er 95 minutters undervisningstid. 1.a er en klasse med en meget stor gruppe meget fagligt stærke elever. De er en livlig klasse, der altid værdsætter mine alternative aktiviteter og der er altid gang i den. Heldigvis handler hovedparten af aktiviteten om matematik. Yderligere er der en betydelig andel elever med kompetitive træk. Naturligvis er der også en gruppe svage elever, men der er tale om meget få. 1.b er også en klasse med et godt fagligt niveau, selvom de ikke kan siges at have samme faglige niveau som 1.a. Der er en god stemning i klassen, eleverne arbejder godt og villigt og de er generelt opmærksomme på hinanden. Der er en gruppe fagligt svage elever i klassen, og gruppen af fagligt stærke elever er tydeligt mindre end i 1.a. Hverken 1.a eller 1.b har haft nogen form for sandsynlighedsregning i gymnasiet, men en betydelig andel (i 1.b over halvdelen) af eleverne har taget 10.klasse og her stiftet bekendtskab med sandsynlighedsregning i en eller anden form. 2.b er, som beskrevet ovenfor, en klasse med en stor andel af fagligt svage elever. Jeg har først fornylig overtaget dem (en uge før forløbet startede), da deres lærer gik på barsel. Dog har jeg sidste år (mens de var 1.g ere) undervist dem i et par forløb (hvor jeg var i pædagogikum, og havde dem som vejledersklasse, så eleverne og jeg kender godt hinanden). Deres lærer og jeg er generelt enige om, at der er en del problemer med disciplin og koncentration, og yderligere har de en stor modvilje mod særlige forløb (de er på standardforsøg, og har derfor haft en række af disse) vores analyse er kort fortalt at eleverne bliver usikre, når de står overfor de særlige forløb. Da klasserne ikke er identiske har jeg naturligvis ikke gennemført identiske forløb. De enkelte forløbs indhold for hver enkelt klasse er beskrevet længere nede men grundmodellen er ens: En introduktion til sandsynlighedsregning (et par moduler) En introduktion til spil (og det at vi ofte bliver snydt) (et par moduler) En introduktion til problemet: lav et gameshow til tv2-zulu og efterfølgende slippes eleverne løs på problemet (et par moduler til at arbejde med gameshowet). Projektets overordnede udviklingssigte I første omgang synes jeg dette spørgsmål var svært: hvad er det jeg som matematiklærer ønsker at opnå med projektet i forhold til udvikling af min undervisningspraksis. Fordi jeg i forvejen laver en række særlige forløb, og selv oplever at det er noget af det som jeg er god til. På nogle måder burde jeg måske nok i stedet arbejde på at blive bedre til gennemgang af skriftlige opgaver, eller nogle af de andre (i mine øjne) mere rutineprægede aktiviteter. På den anden side er det jo ikke sådan at man ikke kan blive bedre til noget man allerede synes man er god til I forhold til hvad jeg plejer at gøre, vil jeg forsøge at arbejde mere med løse ender. Normalt opmuntrer jeg aktivt eleverne til at løse opgaver på flere forskellige måder, og jeg ser også jævnligt

4 elever vælge metoder jeg ikke selv havde tænkt på. Men jeg plejer altid at regne opgaverne igennem først. Derfor vil jeg denne gang som det nye vælge ikke at regne opgaverne igennem, sådan at jeg kan være mere åben overfor elevernes tilgang. I hele ideen: at de selv skal designe et spil, ligger jo også implicit at jeg ikke KAN regne opgaverne igennem på forhånd, for jeg ved jo ikke hvilken slags spil de konstruerer. Intentionerne for elevernes udbytte af projektet (Dette stykke er klippet fra den generelle introduktion til eleverne) Overordnet målsætning (kompetencemål): - at komme fra et konkret problem (skrabe-lotto) til en matematisk model - at kunne anvende sandsynlighedsregning på praktiske problemer - at kunne anvende en legende og innovativ tilgang til matematik Faglige mål, i skal kunne: Sandsynlighedsregning -beregne sandsynligheden for en enkelt hændelse. -beregne sandsynligheden for koblede hændelse (hvad er sandsynligheden for først et eller andet og så et eller andet andet) -beregne sandsynligheden for den modsatte hændelse -beregne gevinstchance og gennemsnitlig gevinst. Modellering -opstille en matematisk model på baggrund af et virkeligt spil -vurdere begrænsninger ved modellen -vurdere effekten af ændringer i spillet -vurdere fordele og ulemper ved konstruktioner af spil Modelleringskompetence indgår altså som en vigtig komponent i projektet, mens jeg ikke vælger at fokusere særlig meget på projektarbejdskompetencen (man må udvælge med omhu, eleverne kan alligevel ikke lære det hele på en gang!). Dette giver sig blandt andet udslag i at jeg forærer dem det problem de skal arbejde med (hvorved jeg bl.a. springer indkredsningen over) - mere om det lige om lidt. Derudover har jeg valgt at lægge vægt på det virkelighedsnære i sandsynlighedsregning (som jeg må erkende jeg selv først for alvor forstod, da jeg mødte det som et absolut abstrakt fag på universitetet), fordi vi møder sandsynlighedsregning i mange situationer i hverdagen, og de allerfleste af os regner intuitivt forkert. Derfor synes jeg forbindelsen mellem matematik og hverdag er relevant og vigtig lige netop her. Design af forløb Forløbet er bygget op omkring en overordnet introduktion til sandsynlighedsregning efterfulgt af det egentlige problemorienterede projekt. Projektets problemformulering kan kort skitseres som følger:

5 Lav et gameshow (et gevinstchance-spil) til TV2-Zulu, der lever op til de krav, som TV2-Zulu beskriver i det vedhæftede brev (se: Brev fra TV2-zulu ). I brevet er bl.a. beskrevet hvad den gennemsnitlige gevinst skal være og hvor stor gevinstchancen skal være. Der lægges op til at spillet skal være et skrabespil, men i praksis har eleverne ret frie hænder (dog skal det altså være et gevinstchance spil, det må ikke basere sig på f.eks. viden, for så ligger beregningerne generelt udenfor de sandsynlighedsberegninger vi beskæftiger os med). I mit valg af problem har jeg lagt vægt på at vælge et problem som jeg mente var tæt på eleverne (f.eks. er TV2-Zulu en tv-kanal med mange unge seere), som de selv kunne forme og modellere, som kunne blive sjovt (et i mine øjne ofte overset aspekt i undervisningen) og hvor det eleverne lærte i sandsynlighedsregning bliver relevant og nyttigt. At problemet skulle ligge indenfor spilteori valgte jeg fordi det netop skulle tale til eleverne og være tæt på deres hverdag. Problemformuleringen blev altså valgt 100% af læreren (mig), og eleverne havde ingen direkte indflydelse på den. Deres muligheder lå mere indenfor påvirkning af hvad spillet skulle indeholde og selve modelleringen. Organisering af forløbet Alle eleverne havde på forhånd lavet en lang række gruppearbejder i matematik, så jeg valgte at lade eleverne selv danne grupper. Konkret foregik det sådan, at jeg lagde op til at de skulle lave grupper til den næste time (sådan at eleverne havde mulighed for at gå og tale sammen), og at jeg sagde at hvis situationen blev sådan at der var nogen der ikke kom i nogen gruppe så ville jeg lave alle grupper. Herved lagde jeg op til kollektiv ansvarlighed (alle skal være med), med en tilsvarende kollektiv belønning (hvis alle kommer med, må i selv vælge hvem i vil arbejde sammen med). I den overordnede introduktion til sandsynlighedsregning (som kom til at fylde et par moduler) arbejdede eleverne med opgaver som jeg satte op på en skærm. Jeg valgte ikke at gennemgå stof, men kort som introduktion første gang at tale om sandsynlighedsregning generelt og derefter lade eleverne regne opgaver. Imens cirkulerede jeg mellem grupperne, og hjalp dem der havde behov for det. Som oplæg til projektet blev brevet fra TV2-Zulu udleveret. I øvrigt anvendte jeg ikke nogen materialer, men lod eleverne selv foretage en opsamling. I 1.a og 1.b lod jeg eleverne aflevere produktet af de første par modulers arbejde som en skriftlig gruppearbejde (som gerne måtte afleveres i noteform), sådan at jeg fik et indtryk af om alle faktisk havde fået fat i alle de væsentlige pointer. Derudover var det skriftlige produkt naturligvis spillet, som skulle sendes elektronisk til TV2-Zulu og afleveres elektronisk via Fronter. Jeg gav en samlet bedømmelse af rapporterne, herunder en karakter, og derudover udfærdigede jeg en række diplomer (se Diplom ), sådan at grupperne kunne få diplom for: Bedste slogan, flest (rigtige) udregninger, flotteste forside, mest originale ide, bedste salgstale, osv. Mens den officielle bedømmelse af rapporterne var klar for eleverne, lod jeg diplomerne være en overraskelse, og jeg valgte også diplom-kategorier udfra de endelige produkter (de lå altså ikke fast på forhånd, og var forskellige for de forskellige klasser). Beskrivelse af forløbet De konkrete forløb i de tre klasser har ikke været helt ens, for det første fordi klasserne ikke er ens og for det andet fordi jeg også blev klogere undervejs. Her følger en generel beskrivelse af, hvordan jeg konkret havde sammensat forløbene. Dog var det nødvendige med en lidt anden plan for 2.b, så der er to forskellige forløbs planer nedenfor. Efterfølgende uddyber jeg mine tanker om, hvordan

6 det fungerede i de forskellige klasser og forskelle i hvordan jeg og eleverne greb opgaverne an ( lessons learned ). Opgaver mærket med * er de opgaver som eleverne og jeg kalder stjerne-opgaver, opgaver som jeg ikke forestiller mig at alle elever kan eller skal løse. Denne opdeling er velkendt for eleverne fra den tidligere undervisning. Den grundlæggende model har været den samme hver gang: et par moduler med introduktion til sandsynlighedsregning, hvor eleverne primært regner opgaver, efterfulgt af 3-4 moduler hvor eleverne arbejder med det egentlige problem: gameshowet til TV2-Zulu. Konkretisering 1.modul: Intro (kan evt. udvides til to moduler) Introduktion til projektet (varighed, produktkrav, faglig målsætning, afleveringsfrist, bedømmelse). Introduktion til sandsynlighedsregning (hvad har i haft?). Opvarmningsopgaver: Hvad er sandsynligheden for at slå en 3 er hvis man slår en gang med en 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for at slå to 3 ere, hvis man slår to gange med en 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for ikke at slå nogen 3 er, hvis man slår to gange med en 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for at slå en 3 er mindst en gang, hvis man slår to gange med en 6-sidet terning? I en pose ligger 10 blå kugler og 5 røde. Hvad er sandsynligheden for at trække hhv. en rød og en blå bold? Hvad er sandsynligheden for at trække først en rød bold (som ikke bliver lagt tilbage i posen), og så en blå bold? Hvad er sandsynligheden for at trække to røde bolde i træk (hvis man ikke lægger bolde tilbage i posen)? Hvis vi trækker to bolde, hvad er så sandsynligheden for at trække mindst en der ikke er rød? Hvad er sandsynligheden for at trække fem røde bolde i træk (hvis man ikke lægger bolde tilbage i posen)? *I en pose med N kugler, heraf m røde og l blå, beskriv sandsynligheden for at trække hhv. en rød og en blå og for at trække en række kugler (uden tilbagelægning). **Beskriv matematisk hvad forskellen er på at trække kugler med og uden tilbagelægning. (Her er så rigtige svar, men jeg vil lade metoden stå åben, i forventning til at de fleste genkender noget fra folkeskolen, og at jeg kan støtte resten til at ræsonnere sig frem til en metode.) Tilbage til terninger: Hvad er sandsynligheden for den fuldstændigt sandsynlige hændelse? Dvs. f.eks. hvad er sandsynligheden for at man slår en 1,2,3,4,5 eller 6 er med en 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for den fuldstændigt usandsynlige hændelse? Dvs. f.eks. hvad er sandsynligheden for at slå en 7 er med en (almindelig) 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for at slå en 5 er med en 6-sidet terning? Hvad er sandsynligheden for ikke at slå en 5 er? Dette (f.eks. ikke en 5 er ) kaldes den komplementære hændelse. Opsummer nu matematisk de tre resultater fra det sidste afsnit ( Tilbage til terninger ). *Formuler resultaterne generelt, inklusiv en rimelig notation. 2.modul Opsamling fra sidst. Hvad lærte vi? Og så skal vi spille spil.

7 Intro til spil generelt, og enkelte simple spil. Beregn sandsynligheden, så spiller vi! Introduktion til quizmaster spillet (ged eller limo). Regn på hvad der bedst kan betale sig. Opsamling på quizmaster spillet. Hvad kan bedst betale sig? Lad forskellige elever argumentere. Vi spiller spillet! (mange gange ). Overvejelse: Hvad er det der går galt? Erkendelse: sandsynlighedsregning er ikke enkelt her er stor risiko for at blive snydt! Og det er svært at vide hvilken slags tænkning man skal anvende Diskussion om tænkning. 3.modul: Lotto Hvad er sandsynligheden for at vinde i lotto? (36 tal, ingen gengangere, 7 rigtige giver hovedgevinsten). ADVARSEL: I lotto er rækkefølgen tallene trækkes i ligegyldig (5, 7, 19, 23, 31, 33, 35) er altså ligeså rigtig som (7, 19, 5, 35, 33, 31, 21). Sammenlign til hvor mange gange man skal få krone i plat og krone for at have en lignende sandsynlighed. I lotto var der en uge følgende gevinster: kr. til 7 rigtige, 6 rigtige: kr, 5 rigtige: 133 kr. (vi ser bort fra tillægstal). Samme uge blev der spillet for kr, og en række koster 10 kr. En spiller fik 7 rigtige, 59 spillere fik 6 rigtige og 398 spillere fik 5 rigtige. Hvad var den gennemsnitlige gevinst pr. række? Hvad var den gennemsnitlige gevinst pr. række, når man inkluderer prisen for en række? Hvor stort et overskud giver spillet? (Heraf skal der dog betales en betragtelig afgift, en afgift som bliver fordelt blandt bl.a. ungdomsorganisationer, det er de såkaldte: tipsmidler ). Hvorfor spiller folk lotto? Diskussion om tænkning, drømmen om den store gevinst, og hvad man kan vinde/tabe. *Antag at der blev spillet for kr. Fastlæg hovedgevinsten og de mindre gevinster, sådan at 400 spillere får en gevinst og den gennemsnitlige gevinst for alle spillere bliver den samme som ovenfor. Hvis tid intro til skrabespillet. Herefter afleverer eleverne i grupper svarene på spørgsmålene (som de har arbejdet med i timerne). 4.modul Introduktion til skrabespillet (Mandagschancen). Pladen består af 4x4 felter. Deltagerne kender fordelingen af felter som er som følger: 1 felt med hovedgevinsten ( kr.) 1 felt med kr. 1 felt med kr. 2 felter med kr. 4 felter med kr. 4 felter med kr. 3 felter med fallit Reglerne er som følger: Deltageren kan altid selv vælge om han/hun vil skrabe et nyt felt. Man går hjem med den gevinst der står på det sidste felt man har skrabet. HVIS MAN SKRABER ET FELT MED FALLIT BLIVER MAN SENDT HJEM UDEN PENGE (man må ikke skrabe mere!). Hvornår kan det betale sig at skrabe for anden gang? Hvornår kan det betale sig at skrabe for tredje gang?

8 *Hvornår kan det betale sig at skrabe for fjerde, femte og sjette gang? Hvad er gevistchancen (altså: hvad er sandsynligheden for at gå derfra med penge overhovedet?) Hvad er den gennemsnitlige gevinst (hvad går deltagerne i gennemsnit hjem med?) Hvad er sandsynligheden for at opnå hovedgevinsten? (husk man godt kan opnå hovedgevinsten ved at skrabe flere gange) Overvej også: Hvad er det der gør det sjovt at se på? Problemet introduceres: (Brev fra tv2-zulu). Eleverne arbejder med opgaven. 6., 7. og 8. modul (inklusiv tilbagelevering af skr.opgave) eleverne arbejder med problemet og færdiggør produktet. I 2.b fulgte jeg planen til og med modul 3, men så så planen lidt anderledes ud (p.g.a. det nødvendige fokus på beviser mundtlig eksamen ). 4. modul (kun gennemført i 2.b) Kapitel 11 i Carstensen og Frandsen. Kombinatorik. Beviser. Diskussion hvorfor kan vi ikke bare bruge bogen? 5.modul (kun gennemført i 2.b) Beviset igen, denne gang af en anden elev. I lotto var der en uge følgende gevinster: kr. til 7 rigtige, 6 rigtige: kr, 5 rigtige: 133 kr. (vi ser bort fra tillægstal). Samme uge blev der spillet for kr, og en række koster 10 kr. En spiller fik 7 rigtige, 59 spillere fik 6 rigtige og 398 spillere fik 5 rigtige. Hvad var den gennemsnitlige gevinst pr. række? Hvad var den gennemsnitlige gevinst pr. række, når man inkluderer, hvad en række koster? Hvor stort et overskud giver spillet? (Heraf skal der dog betales en betragtelig afgift, en afgift som bliver fordelt blandt bl.a. ungdomsorganisationer, det er de såkaldte: tipsmidler ). Hvorfor spiller folk lotto? Konstruer et lotto-spil: Antag at der blev spillet for kr. Fastlæg hovedgevinsten og de mindre gevinster, sådan at 400 spillere får en gevinst og den gennemsnitlige gevinst for alle spillere bliver den samme som ovenfor. 6.modul (kun gennemført i 2.b) Vi spiller plat eller krone Antag at vi kaster mønten 5 gange. Hvad er sandsynligheden for at få plat 5 (alle) gange? Hvad er sandsynligheden for at få plat 4 gange? (altså 1 krone og fire plat i tilfældig rækkefølge) (tip: skriv de mulige udfald op) På samme måde: Hvad er sandsynligheden for plat 3, 2, 1 eller 0 gange? (Tip: tænk på K(n,r))

9 Antag at vi kaster mønten 3 gange. Udregn tilsvarende sandsynligheden for at få plat 0,1,2 eller 3 gange. Antag at vi kaster mønten 8 gange. Udregn tilsvarende sandsynligheden for at få plat 0,1,2,3,,8 gange. Kan i se et system? Antag at vi kaster mønten n gange. Hvad er sandsynligheden for at få plat 0 gange? 1 gang? 2 gange? Osv. op til n gange? Opskriv en generel formel: Hvad er sandsynligheden for at få plat r gange? (r<n) 7.modul (kun gennemført i 2.b) Vi spiller seks er Vi spiller seks er - et spil, hvor du vinder når du slår en 6 er og du taber når du ikke får en 6 er (man slår med en almindelig terning). Hvis du spiller 3 gange, hvad er sandsynligheden for at vinde 1 gang? For at vinde 2 gange? For at vinde 3 gange? Udregn det samme hvis du spiller 5 gange. Og hvis du spiller 8 gange. Kan i se et system? Antag at vi spiller n gange. Hvad er så sandsynligheden for at vinde 1 gang? 2 gange? Osv. Hvad er sandsynligheden for at vinde r gange? (r<n). *Kan i opskrive en generel formel? Og nu til den virkelige udfordring: Vi spiller et spil hvor sandsynligheden for at vinde er p (og sandsynligheden for at tabe er p-1)(hvorfor det?). Antag at vi spiller n gange, hvad er så sandsynligheden for at vinde r gange? Formuler resultatet generelt. De samme resultater fra Carstensen og Frandsen gennemgås. 8., 9. og 10. modul Eleverne får brevet fra TV2-Zulu udleveret, og de konstruerer deres eget spil.

10 Lessons learned Lessons learned (1.a) Der var en betydelig modstand blandt eleverne da vi startede med sandsynlighedsregning mange sagde enten at det var ulogisk, underligt eller dumt. Jeg valgte at tage diskussionen, og det fungerede (efter min vurdering) godt. Jeg lagde ud med at indrømme at jeg selv afskyede sandsynlighedsregning i gymnasiet, og at jeg basalt aldrig helt forstod hvad det handlede om. Derfor sagde jeg, at jeg havde gjort mig særligt umage for at planlægge et forløb, der (forhåbentlig) ville sikre at de fleste af dem fik en anden oplevelse. Jeg sagde at min egen kvababbelse nok mest handlede om, at jeg ikke altid fik de resultater som min intuition sagde mig at jeg burde få (og det er sgu underligt!), og at jeg ofte havde svært ved at begrunde formlerne. Derfor skulle vi arbejde med selv at finde formler der virker. Derefter introducerede jeg til gameshowet og tv2-zulu. Eleverne var tændte på ideen og vi gik i gang. 1.modul gik efter planen. Eleverne kunne med stor lethed regne opgaverne (jeg hjalp dem der var tøvende lidt på vej), men generelt fik både stærke og svage elever regnet alle opgaver. Og Mikkel (en middel-elev, der højlydt havde givet udtryk for sin modvilje mod sandsynlighedsregning) kom op efter timen og sagde: Egentlig Så handler det bare om procenter det hele. Nogle grupper arbejdede med tælletræer, mange talte om træer i hovedet og alle grupper talte i en eller anden form om de gunstige og de mulige (selvfølgelig med forskellige ord). Min oplevelse var at alle grupper gik derfra med oplevelsen: det der sandsynlighedsregning kan vi godt klare. Jeg gjorde mig meget umage med ikke at presse mine regnemetoder nedover hovederne på eleverne, og i stedet følge deres tanker og ideer. En typisk dialog kunne være: Elev1: Hvordan skal vi løse denne her opgave? Lærer: Ja Hvordan mon? Tavshed Lærer: Hvad går opgaven ud på? Elev 2: Jo, altså vi skal finde ud af hvad sandsynligheden er for at slå en sekser to gange i træk Lærer: Ja? Elev1: Og så ved vi ikke helt Sandsynligheden for at slå en sekser er jo en sjettedel. Lærer: Ja! Elev1: Men når man så skal have to skal de så lægges sammen eller ganges? Lærer: Tja Hvad får i? Elev2: Ja, hvis man ganger får man 1/36 og hvis man lægger sammen selvfølgelig 2/6. Lærer: Ja! Elev2: Men Tavshed Lærer: Er det lettere eller sværere at slå to seksere? Elev1: End en sekser? Lærer: Ja! Elev2: Det er sværere! Lærer: Nemlig! Skal sandsynligheden så være større eller mindre? Elev2: Den skal være mindre Lærer: Ja Elev2: Men så skal de vel ganges For ellers får man noget større Lærer: Ja

11 Det skal her indvendes at jeg ofte påtager mig rollen som Spørgejørgen, og mine elever i høj grad er vant til at jeg ikke forærer dem svarene. Derfor fik jeg ingen negative reaktioner på min ret passive strategi eleverne ved godt at sådan er det! For mig at se er det tydeligt, at hvis man blot holder sig i baggrunden, støtter elevernes tankegang og lader dem selv ræssonere, så kan de faktisk godt regne med sandsynligheder på enkle problemstillinger også uden at have faktiske matematiske forudsætninger, dvs. uden at der er blevet gennemgået noget stof der dækker de problemstillinger eleverne skal løse. Alle elever evnede ræssonementer af den ovennævnte type, og det var tydeligt at en del elever fandt opgaverne nemme (måske endda for nemme?) men det var egentlig også den pointe jeg ville frem til. Sandsynlighedsregning er ikke så indviklet endda, og vi har alle sammen tilstrækkelige forudsætninger for at løse opgaverne. 2.modul gik også godt, i hvert fald første halvdel. Opgaven var nu sværere, og flere grupper havde brug for min hjælp, men alle kom igennem og kunne også løse opgaven med varierende antal kugler. Men så overvurderede jeg eleverne, og udledte, på baggrund af deres eksempler, den generelle formel på tavlen. Og for første gang i den tid jeg har haft den klasse må jeg sige at jeg tabte dem. Det var simpelthen for svært for alt for mange af dem. De mange forskellige bogstaver og den uvante notation smed dem af. Øv. Og yderligere sluttede modulet inden de nåede at regne opgaver med deres nye formler (så de nåede ikke at indse at de faktisk kunne bruge dem). Alt for mange elever gik fra modulet med oplevelsen af, at de ikke forstod hvad det hele handlede om. 3. modul havde jeg en stor opsamlingsopgave. Jeg undskyldte overfor eleverne, og påtog mig skylden for at 2.modul ikke havde fungeret optimalt. Eleverne regnede opgaver, og alle grupper kunne regne opgaver med formlen. Derefter introducerede jeg til ged eller limo spillet og alle regnede på sandsynlighederne. Eleverne blev meget optaget af de forskellige muligheder og diskussionen kunne vi nemt have brugt resten af modulet på. Jeg valgte dog at afkorte diskussionen og lade eleverne spille. Det var faktisk svært at få flere af eleverne til at spille, fordi de var så optagede af diskussionen! Vi fik spillet spillet (i grupper) i alt 256 gange. Sandsynlighederne samlede sig ikke overbevisende netop på 1/3 og ½, men det var dog tydeligt at sandsynlighederne for de to ikke var det samme. Tiden udløb igen, og mange elever ville gerne have diskuteret mere, og var tydeligvis ikke tilfredse med at der ikke var et matematisk bevis (og det er jo dejligt!). Næste gang vil jeg afsætte mere tid til diskussionen bagefter så vi f.eks. kan nå De store tals lov. 4.modul skulle vi så tilbage til at regne konkrete problemer. Det fungerede fint, selvom vinterferien lå imellem, men mange elever havde svært ved at slippe de formler de havde lært. Det tog simpelthen en del tid før de begyndte at bruge hovedet igen. Denne pointe er vigtig, og det vil jeg tage med til næste gang. En typisk dialog kunne være: Elev1: Altså, sandsynligheden for at vinde i lotto det må være det der K(n,r) men hvad er n og r her? Lærer: Tja Elev2: Det må jo så være de 37 tal der er n og r der er 6, for man skal have 6 rigtige (Eleverne regner, læreren ser på) Elev1: Sandsynligheden er 48! Lærer: Så hvad ved vi nu? Elev1: Sandsynligheden for at vinde i Lotto! Lærer: Og den er? Elev1: 48!

12 Lærer (henvendt til Elev2): Kan det være rigtigt? Elev2: (tøvende) Jaa Lærer: Hvad vil det sige at sandsynligheden er 48? Tavshed Her vælger læreren at gribe ind og tale med eleverne om det vi lærte i de foregående moduler, bl.a. at sandsynligheder er tal mellem 0 og 1. Således styrket og nu enige om visse faglige forudsætninger ser gruppen igen på problemet. Lærer: Så hvad gør vi så? Elev1: Så kan vi ikke bruge K(n,r) Elev2: (til læreren) Hvad gør vi så? Læreren: Tja, så må vi jo prøve at tænke Elev1: Men, hvordan? Da eleverne fortsat er meget passive, vælger læreren at prøve at skubbe dem i den rigtige retning. Lærer: Vi talte på et tidspunkt om vinder og taber kugler, kan i huske det? Eleverne husker det. Lærer: Jo, når den første kugle skal trækkes, hvor mange vinder-kugler er der så nede i posen? Elev1: Syv! For vi skal have syv rigtige! Lærer: Ja Elev2: Og så er der i alt 36 kugler Så bliver det: 7/36 Lærer: Ja For den første Hvad så med den næste? Herefter ræssonerer eleverne sig selv frem til en løsning på problemet. Det interessante (i mine øjne) i denne dialog er netop, at eleverne sådan set ikke skal løse et problem, som er særligt meget sværere end det de er vant til at løse. Men fordi de nu har fået nogle formler hænger de, mentalt set, fast i deres formler og forsømmer at bruge den logik og rationalitet de netop havde fået opøvet omkring denne slags problemer. En mulig fortolkning er, at eleverne er vant til den form for undervisning ( Vi bliver præsenteret for en formel, ser måske et eksempel og bagefter bruger vi formlen til at regne opgaver med ), eller at de når de bliver i tvivl falder tilbage til det trygge ( Måske er der en formel vi kan bruge? ), frem for den (måske) mere krævende proces selv at tænke sig frem til resultatet. Yderligere har eleverne vel også igennem matematikundervisningen set, at der er en del problemer, som det faktisk ikke kan lade sig gøre at løse ved at tænke sig frem, derimod skal man bruge de redskaber som matematiklæreren/matematikbogen forærer en. 5.modul skulle vi afprøve skrabespillet. Eleverne genkendte det (det hedder Mandagschancen!), og gik straks i gang med at regne, og efter noget tid gik det op for dem, at det ikke var så nemt Bla. var der problemet: Hvad vil det sige at kunne betale sig? Jeg opfordrede dem kraftigt til selv at lave deres egne definitioner og huske at skrive dem ned (!). Alle arbejdede med krum hals nogle på enklere problemer end andre (afhængig af bla. deres vurdering af hvad der kan betale sig). Derefter lagde jeg brevet fra tv2-zulu frem, og de var ret meget oppe at køre. Faktisk var de så begejstrede at jeg syntes det i slutningen af modulet var nødvendigt at sige, at det var snyd. Det tog de pænt Mange af dem hævdede nu, at de havde set at det måtte være snyd, men jeg vil tillade mig at tvivle Jeg afslørede det her for at undgå en negativ reaktion på, at have narret dem. Det er naturligvis en afvejning, og flere elever sagde efter forløbet at jeg havde afsløret det for tidligt. Jeg har, for at holde min sti ren, hver gang svaret ærligt på direkte spørgsmål, men selvfølgelig ellers arbejdet på at bevare illusionen (bl.a. med den falske -adresse, hvor de skal aflevere deres opgaver).

13 6.modul så gik de i gang med deres egne spil. Den første halvdel af modulet gik med at få skriftlige opgaver tilbage, så jeg besluttede at vi også ville bruge det 8.modul på at de kunne færdiggøre deres projekter. Grupperne havde masser af vilde ideer og jeg forsøgte at give plads for fantasi samtidig med at jeg holdt fast i en matematisk model. Grupperne regnede også undervejs, men især arbejdede de på ikke at gøre det matematiske helt umuligt ( ). Blandt ideerne der verserede var: Ohøj pirat, Vind en date, faret vild i pyramiden osv. Jeg glædede mig til modul 7 og 8! 7. og 8.modul gik med at eleverne arbejde med projektet. De var meget optagne af arbejdet, og der var en energi og et drive over modulerne som var meget værd. Især var det sjovt at se hvor optagede de var af at se hinandens ideer. Det var bestemt en række opløftende matematik-moduler, selvom en del af tiden selvfølgelig også gik til f.eks. design, ideudvikling osv. Det var simpelthen så sjovt! Næste gang vil jeg: Undlade at udlede formlen på tavlen (for svært) Afsætte mere tid til diskussion efter quizmaster-spillet Undlade at skrive formlerne op for eleverne, det leder dem til at bruge formlerne i stedet for at bruge hovedet! Lessons learned (1.b) Som det kan ses er dette forløb afkortet i forhold til forløbet med 1.a. Dette skyldes for det første at der konkret var færre moduler til rådighed, både fordi jeg gerne ville havde det afsluttet inden vinterferien og fordi forløbet skulle passes ind i et almen-studieforberedelses-forløb med overskriften: Tænkning. Jeg valgte derfor at lade opgaverne med kugler i en pose falde ud, pga. de dårlige erfaringer jeg havde med de almene formler i det første forløb (i 1.a) og fordi det matematiske indhold og de ønskede kompetencer godt kunne dækkes uden opgaverne med kuglerne. Yderligere gav dette lidt mere tid til diskussion (hvilket jo også stod på Lessons learned fra 1.a) og dette gav også tid til den nødvendige opsamling på sammenhængen til forløbet om Tænkning. 1.modul Introduktionen var stort set magen til den som jeg lavede i 1.a. Eneste virkelige forskel var nok, at der var betydeligt flere elever der, da de skulle regne opgaver, efterspurgte formler. Den ene mulige forklaring på det kan være, at andelen af elever der har taget 10.klasse (og derved har stiftet bekendtskab med sandsynlighedsregning) er større, så de faktisk kender et par relevante formler. En anden mulig forklaring er, at eleverne er fagligt svagere, og at de derved måske hurtigere bliver usikre og derfor leder efter det trygge formlerne? Jeg gjorde en del ud af at gøre eleverne opmærksomme på, at de skulle forsøge at tænke selv, og jeg afviste spørgsmål af typen: Hvordan er det nu den formel lyder?. En typisk dialog kunne være: Elev: Okay, jeg kan huske det her fra sidste år Lærer: Godt! Elev: Ja, og der var noget med at der var med og uden tilbagelægning, og så var der to typer mere Lærer: Ja, når man f.eks. trækker kugler op af en pose, så kan man tale om med eller uden tilbagelægning

14 Elev: Ja Lærer: Men nu er det jo terninger Elev: Ja Hvad er det nu de to andre typer hedder? Lærer: Det er egentlig ikke så vigtigt lige nu Elev: Nej? Lærer: Nej Elev ser forundret ud, og siger ingenting. Lærer: De andre har jo ikke haft det du taler om, og de kan godt regne opgaverne Læreren peger på de andre elever, der sidder i grupper og snakker og skriver. Elev: Okay Eleven begynder tøvende at regne opgaver, og læreren går videre til den næste gruppe. I den ovenstående dialog forsøger eleven at huske de redskaber som var til rådighed sidste år de fire formler. Dette er jo umiddelbart positivt og nyttigt, og noget man ofte forsøger at skabe i undervisningen ( Kan i huske den gang i folkeskolen da i tegnede rette linier? Nu skal vi gøre det igen! ), men netop i dette tilfælde er det ikke nyttigt fordi opgaverne sagtens kan regnes uden, og fordi jeg gerne ville forsøge at gennemføre forløbet uden formler. Der var også et par af de fagligt stærke elever der udtrykte utryghed ved denne fremgangsmåde: Elev: Det her er altså noget rod jeg kan ikke finde ud af det! Lærer: Okay Elev: Jamen, hvornår skal jeg gange og hvornår skal jeg lægge sammen!?! Lærer: Ja, det kommer jo an på hvad du vil regne ud Elev (anklagende): Jeg forstår det altså ikke! Lærer: Ok, så lad os se på opgaven. Elev: Hvad er sandsynligheden for ikke at slå nogen 3 er, hvis man slår to gange med en sekssidet terning? Lærer: Ja Elev: Hvad skal jeg så? Lærer: Tja Hvad er sandsynligheden for ikke at slå nogen 3 er, hvis man slår en gang med en sekssidet terning? Elev: Ja, den er jo 5/6! Lærer: Ja Elev: Men hvad så når det er to gange! Skal man så lægge sammen eller gange? Lærer: Tja Hvad får du? Elev: Kan du ikke bare fortælle mig, om jeg skal gange eller lægge sammen! Lærer: Nej, for det tror jeg ikke du lærer noget af Eleven ser opgivende ud, men regner: Ja, man får jo 25/36 eller 10/6 Lærer: Ja Elev: Men hvad er det så? Læreren henvender sig til de to andre elever i gruppen, som hidtil har været passive: Hvad siger i? Er sandsynligheden 10/6 eller 25/36? Elev2: Altså jeg tror den er 25/36 Lærer: Okay, hvorfor det? Elev2: Fordi jeg tror de skal ganges Lærer: Ja, hvorfor? Elev2: Det ved jeg ikke Fordi Nej Lærer: Hvis man nu lægger dem sammen, hvilken sandsynlighed får man så? Elev: 10/6!

15 Lærer: Ja, hvad vil det sige at sandsynligheden er 10/6? Elev3 (regner på sin lommeregner): Det vil sige at sandsynligheden er større end 100%! Lærer: Ja Elev: Men det kan den jo ikke være, så man skal altså gange! Lærer: Ja, i det her tilfælde Elev: Ihh Eleverne går i gang med den næste opgave, og læreren fortsætter til de næste grupper. Her er, i mine øjne, et eksempel på en fagligt stærk elev, der måske er lidt vel vant til at tænke opgave-løsning som kassetænkning. Metoden kan også kaldes for pølsefabrikken: Jeg smider materiale ind her, finder den rette maskine (dvs. formel eller mere overordnet metode) og ud kommer resultatet. Jeg forstår udmærket elevens frustration, men samtidig mener jeg faktisk at det er vigtigt i sådanne situationer at holde fast i, at man kan finde resultatet ved at tænke sig om. Og selvfølgelig har eleven ret i, at det ville være meget nemmere, hvis jeg blot sagde til dem hvordan de skulle regne opgaverne (for det er jo korrekt at jeg kender svaret, og at der i det her tilfælde er et rigtigt: at gange og et forkert: at lægge sammen), spørgsmålet er så om de ville lære lige så meget. 2.modul Jeg introducerede til ged eller limo spillet og vi spillede det mange gange. Efterfølgende samlede vi op på det, og sammenlignede resultater og teorier. Sandsynlighederne samlede sig, igen, ikke overbevisende på 1/3 og ½, men der var heller ikke denne gang tvivl om, at sandsynlighederne for de to forskellige strategier ikke var de samme, og at det bedst kunne betale sig at skifte. Eleverne var meget fascinerede af problemet og det (for mange) overraskende resultat. Afslutningsvis talte vi om tænkning. Jeg forklarede at jeg mener at årsagen til at de fleste af os i første omgang gætter på den forkerte løsning er, at vi anvender intuitiv tænkning i stedet for logisk/rationel tænkning. Vi talte lidt om muligheden for at blive snydt i hverdagen, og vi talte om hvor vigtigt det er, at vi vælger den mest hensigtsmæssige tænkemåde i forskellige situationer. 3.modul Vi regner på opgaver med lotto, og eleverne var hørligt overraskede over den lave sandsynlighed for at vinde i lotto, hvis man spiller en enkelt række (1/8mio.). De udregnede den gennemsnitlige gevinst pr. række, og flere spurgte mig, om de medbragte tal var virkelige. Jeg forsikrede, at der faktisk er tale om virkelighedstro tal, selvom jeg har valgt at forsimple spillet, sådan at tillægstal ikke indgår (hvilket det gør i almindeligt lotto). Afslutningsvis diskuterede vi, hvorfor folk spiller lotto. Er det straffen for folk der ikke hørte efter i matematik? Er det fordi man køber drømmen om den store gevinst? Eller er det fordi at det er den eneste måde man faktisk KAN vinde på? Det var en god og relevant snak, og eleverne kom med flere gode bemærkninger og indvendinger. 4., 5. og 6.modul De sidste tre moduler foregik i høj grad ligesom i 1.a. Eleverne stiftede bekendtskab med mandagschancen, og skulle derefter konstruere deres egne spil. Eleverne vovede sig nok ikke ud i helt så vilde eksempler på spil, og især gik de hurtigere fra ide-fase til konkretisering. Yderligere var de meget opmærksomme på, at det spil de lavede ikke måtte blive for matematisk krævende, hvorfor en del grupper arbejdede med forholdsvis enkle modeller (f.eks. hvor man kun kan skrabe en gang). Overfor de grupper lagde jeg vægt på, at de så kunne bruge mere tid på at forklare det matematiske mere grundlæggende eller måske vedlægge flere eksempler på mulige spil. Generelt fungerede de tre moduler godt, og eleverne arbejdede med stor entusiasme.

16 Næste gang vil jeg: Overveje, at selvom sandsynlighedsregning måske ikke indgår i et forløb om tænkning, kan der være en god pointe i at afsætte tid til at tale om forskellige måder at tænke på. I forhold til lotto kan relevante begreber til udgangspunkt for diskussion måske være: risikovillighed, hvad kan man vinde, drømmen om den store gevinst. Huske mig selv på, at fagligt stærke elever godt kan opleve ubehag i forbindelse med min: Tænk dig om -tilgang, det kan man måske tage brodden af ved at problematisere det på forhånd. Lessons Learned (2.b) Det vil føre for vidt endnu engang at skrive op, hvordan de enkelte moduler gik. Så jeg vil i stedet springe til hvad jeg overordnet mener jeg kunne lære af forløbet. Det var en betydelig modstand blandt eleverne overfor projektet. Ikke ideen med spillet til tv2-zulu, men min generelle tilgang ( Tænk jer om, så kan i se hvad det skal blive ) tiltalte ikke alle elever. Flere elever brokkede sig direkte med kommentarer som: Kan vi ikke bare bruge bogen? o.lign. Præcis den modstand blev dog en del mindre, da de i 3.modul så skulle igennem det samme pensum i bogen, som de lige selv havde tilegnet sig. Som en elev (der havde læst hjemme) sagde: Jeg troede, at jeg havde forstået det her, men DET HER (peger sigende på bogen) forstår jeg slet ikke! Jeg medgav at bogens forklaring ikke er helt enkel. En mulig lære af det er måske, at gøre eleverne opmærksom på, at det ikke altid er nemmere når man følger bogen (selvom det ofte er tryggere ). Derudover havde jeg det problem at en gruppe af de fagligt stærke elever (mere præcist de tre fagligt stærke drenge) i meget ringe grad var villige til at gå ind i problemerne, hvis de ikke umiddelbart kunne regne dem. Deres strategi var i høj grad at forsøge at overskue problemerne, og når de så kom frem til, at der f.eks. var mange forskellige løsninger, så arbejdede de ikke videre. Jeg tror måske at de begyndte at se problemerne med den tilgang i afslutningen, hvor de ikke fandt de ønskede formler. Og da jeg viste formlerne til dem spurgte de vantro, om jeg virkelig troede at de kunne have fundet dem selv. Det sagde jeg at jeg var helt sikker på hvis de havde arbejdet videre med deres ide, og det gjorde faktisk indtryk. Måske skal jeg en anden gang, hvor jeg står i den situation tidligere vise dem, hvad jeg tror de kan Endelig vil jeg sige, at hvis jeg en anden gang skal overtage en klasse kort før eksamen vil jeg ikke prioritere at starte med et sådant forløb, hvis det kan undgås (det kunne det i dette tilfælde faktisk ikke). Det skal dog tilføjes at selve fasen med at konstruere et skrabespil selv var en succes. Især fordi de spil mine andre klasser havde konstrueret på dette tidspunkt lå på skolens hjemmeside og var en god inspirations og ansporingskilde.

17 Elevernes udbytte Det eleverne skulle få ud af forløbet var: Overordnet målsætning (kompetencemål): - at komme fra et konkret problem (skrabe-lotto) til en matematisk model - at kunne anvende sandsynlighedsregning på praktiske problemer - at kunne anvende en legende og innovativ tilgang til matematik Den første kompetence er altså den der handler om den direkte modellering, mens den anden kompetence i højere grad handler om at bruge matematik (sandsynlighedsregning) i matematisk modellering. Om en legende og innovativ tilgang til matematik er en kompetence kan vel diskuteres, fordi det handler om hele elevernes tilgang til det at løse matematiske problemer. I dette tilfælde mener jeg det er rimeligt at beskrive det som en kompetence, fordi det netop handler om hvilke redskaber eleverne forestiller sig at de skal bruge (altså her hvilke type redskaber). Faglige mål, i skal kunne: Sandsynlighedsregning -beregne sandsynligheden for en enkelt hændelse. -beregne sandsynligheden for koblede hændelse (hvad er sandsynligheden for først et eller andet og så et eller andet andet) -beregne sandsynligheden for den modsatte hændelse -beregne gevinstchance og gennemsnitlig gevinst. Modellering -opstille en matematisk model på baggrund af et virkeligt spil -vurdere begrænsninger ved modellen -vurdere effekten af ændringer i spillet -vurdere fordele og ulemper ved konstruktioner af spil Kompetencemål De to første kompetencemål er helt klart blevet opfyldt, de har både lært at komme fra et konkret problem til en matematisk model (og denne proces har alle elever aktivt været igennem) og at kunne anvende sandsynlighedsregning på praktisk problemer (f.eks. lotto). En elev (i 1.b) sagde faktisk efter forløbet: Hvorfor spiller sandsynlighedsregning ikke en større rolle i matematik? Det her er da det mest anvendelige vi overhovedet har haft! Det tredje kompetencemål tror jeg faktisk ikke jeg kan sige at alle elever har fået opfyldt. Mange elever brugte en legende og innovativ tilgang til opgaven med at konstruere et skrabespil. Men der var også en række elever der tydeligt ikke kom så langt. I mine øjne handlede det især om, at de ikke følte sig trygge nok til at kaste sig ud i det. De var fokuserede på at skabe problemstillinger, som de var sikre på at de kunne løse, og derfor kom det innovative og legende ikke i forgrunden. Dette aspekt kan måske styrkes hvis der også undervejs i forløbet stilles opgaver der fordrer en sådan tilgang. På den anden side skal de også have et vist fagligt fundament at være innovative og legende på, så det er også muligt at konklusionen må være at i dette forløb er det ikke en kompetence der kan opnås af alle.

18 Faglige mål I forhold til de faglige mål i sandsynlighedsregning vil jeg generelt sige at de er blevet opnået af alle elever. Efter forløbet har både 1.a og 1.b afleveret skriftlige opgaver, der i høj grad lignede de opgaver vi regnede i starten af forløbet. Og elevernes besvarelser er af samme kvalitet som de normalt er (så de faglige mål må siges at være opfyldt i samme grad som ved andre forløb). I den forbindelse har jeg også lagt vægt på de opgaver der var undervejs, min indsamling af dem og tilbagemelding til eleverne og vi har i samme forbindelse talt om hvordan man skriver gode notater i matematik (og hvordan disse opbevares). Mht. modellering har det også været uomgængeligt nødvendigt for alle elever i konstruktionen af spillet at opstille en model, ændre i den, vurdere effekter, osv. De har helt sikkert været igennem alle de fire pinde jeg har nævnt under overskriften modellering. Problemorienteret projektarbejde at sætte en scene Jeg er ikke et sekund i tvivl om, at det er svært for eleverne at arbejde med problemorienteret projektarbejde i matematik på gymnasialt niveau. Og som jeg hidtil har set det, har det svære været at de spørgsmål som eleverne selv kan stille, kan de typisk ikke besvare med den matematik de har tilgængeligt, eller også ligger de matematisk underliggende emner meget langt fra pensum. I dette forløb synes jeg dog det er lykkedes (hurra!), fordi eleverne fra starten af fik udstukket en meget snæver ramme for deres problem. Rammen sikrer at de matematiske problemer de møder både er fagligt relevante og til at løse. At eleverne påtager sig den faglige udfordring (selvom rammen er snæver) kræver naturligvis motivation, og at eleverne føler at de kan påvirke og styre processen indenfor rammen. I dette tilfælde lykkedes det, måske, fordi jeg fik sat scenen overbevisende, og fordi problemstillingen var tilstrækkelig tæt på dem til at de oplevede den som vedrørende. Denne tilgang vil jeg helt sikkert bruge igen en anden gang. Siden har jeg i øvrigt også diskuteret med kolleger om andre virksomhedssamarbejder (f.eks. i science-klasser) kunne bygges op omkring lignende problemstillinger koblet sammen med en konkret kontakt til en virksomhed. Det er måske værd at nævne at jeg faktisk også forsøgte at kontakte tv2-zulu, men jeg fik ingen respons. Hvad fik jeg som lærer ud af forløbet? Personligt synes jeg, at jeg har fået utroligt meget ud af forløbet. Det har været nyttigt for mig at gennemarbejde sandsynlighedsregning for første gang, og jeg er slet ikke i tvivl om, at jeg vil tage dette forløb (eller et lignende) op af skuffen næste gang jeg skal gennemgå dette med en klasse. Jeg fik også en række værdifulde erfaringer med at vejlede grupper, og her skal helt konkret nævnes at mere erfaring i min situation altid er et gode. Yderligere synes jeg nu jeg har lidt flere forklaringsmodeller at bruge, hvis elever ikke forstår den første forklaring jeg kommer med. Endelig vil jeg nævne at jeg undervejs har haft det sjovt, har glædet mig med eleverne når de kom fra frugtbar forvirring til afklaring Yderligere fik jeg lejlighed til at opleve, at jeg i min vejledning af grupper skal passe på med at lade mig lede af mine forventninger til hvem der kan og hvem der ikke kan og hvem der råber højest. Jeg oplevede flere gange at jeg havde overset grupper, der havde regnet en lang række opgaver forkert, helt enkelt fordi de ikke kaldte på mig, og samtidig ikke var nogle af dem jeg selv opsøgte, fordi de normalt er fagligt stærke. Yderligere oplevede jeg et par normalt fagligt svage grupper, som var

19 meget opsøgende, og som faktisk ikke var dem med størst hjælp-behov, fordi de i dette tilfælde faktisk kunne mere end mange andre grupper. Dette var for mig en øjenåbner (at lærerens forventning er en vigtig faktor er ikke en nyhed, men mon ikke de fleste af os føler os hævede over det?), og har blandt andet ledt til, at jeg i situationer hvor mange efterspørger min hjælp er begyndt at systematisere hvordan jeg går rundt i klassen, sådan at alle får min opmærksomhed og det ikke handler om, hvem der efterspørger den mest. Matematik-forløb efter reformen I mine øjne passer disse to forløb som fod i hose med den nye reform, og det er da også netop gennemført i to reform-klasser. Den nye fokus på en eksperimenterende tilgang til matematik kan f.eks. imødekommes med forlød som dette. Yderligere er der jo krav om forløb der inddrager sandsynlighedsregning, hvilket dette forløb også gør. I praksis har jeg i den ene klasse ladet det indgå i et forløb i almen studieforberedelse (sammen med biologi, psykologi og historie) med den overordnede overskrift: Tænkning. Tilsvarende kender jeg til andre klasser der har gennemført forløb i almen studieforberedelse om ludomani, og der ville dette forløb også passe fint ind. Endelig har jeg også hørt om flere forløb i almen studieforberedelse der arbejder med fokus på hvad er sandt/ikke sandt. Og mens et tema som hvad er sandt måske i matematik mest oplagt handler om bevisførelse og matematisk logik, så kunne et tema som hvad er ikke sandt måske netop behandles med et forløb i stil med dette. Sandsynlighedsregning er jo uden tvivl et af de matematiske emner hvor mange af os bliver snydt, når vi glemmer at regne efter.