Logistisk vækst: Arbejdsark til matematikhistorisk perspektiv på AT-forløb om globalisering

Transkript

1 Logistisk vækst: Arbejdsark til ateatikhistorisk perspektiv på AT-forløb o globalisering Aase Sejr Gothelf, Aarhus Katedralskole 4. april 206 Uddrag af hæftet Vækst i nationens tjeneste (Danielsen og H. K. Sørensen, 204) blev af Aase Sejr Gothelf anvendt i forbindelse ed et AT-forløb i 3.g for en klasse ed ateatik på A-niveau på Aarhus Katedralskole. AT-forløbets overordnede titel var Globalisering og de deltagende fag var historie og ateatik. I historie blev følgende ener behandlet: Globalisering historisk set definitioner og faser. Industrialisering og befolkningsvækst er der en saenhæng? Thoas Robert Malthus ( ). Befolkningsudvikling: odel og virkelighed (den deografiske transition, befolkningspolitik, udvandring.v.). Globalisering og befolkningsudvikling. Zygundt Bauann (f. 925). I ateatik var hovedenerne: Differentialligninger. Eksponentiel og logistisk vækst. Mateatisk odellering. Forløbet blev afsluttet ed gruppearbejde ud fra følgende opgave: I skal ud fra fagene ateatik og historie undersøge udviklingen i et lands befolkningsvækst og deografi. I undersøgelsen skal bl.a. indgå en præsentation af relevant teori o befolkningsudvikling, og overvejelser o, i hvilket ofang de faktiske forhold i landet steer overens ed befolkningsteorierne. Her præsenteres tre arbejdssedler, so relaterer til aterialet i Vækst i nationens tjeneste. Yderligere arbejdssedler har understøttet det interne ateatik-faglige arbejde i forløbet. Der refereres undervejs både til AT-forløbet Det gode arguent elle ateatik og dansk, so eleverne havde i.g og til lærebogssysteet plus A3 stx (J. S. Sørensen.fl., n.d.). Indhold Opsaling: Logistisk vækst og Verhulst 2 ateatisk odellering 5 Separation af de variable eferen er

2 O S LI : LO IS IS V S O V LS Opsaling. Hvad er logistisk vækst? Forklar ed ord. 2. Saenlign jeres resultater fra sidste spørgsål på arbejdsarket fra sidst: a) Hvordan ser den tegnede kurve ud? b) Hvad er jeres beregnede resultater? c) Saenlign populationsstørrelse og væksthastighed og forklar, hvordan an ville aflæse disse resultater på den tegnede kurve. 3. Find sætningen o den logistiske differentialligning i grundbogen plus A3 stx (J. S. Sørensen.fl., n.d.). a) Grav tilbage til jeres AT-forløb i.g o Det gode arguent og forklar hvad en sætning egentlig er. b) Brug sætningen til at løse øvelse 2 (logistisk differentialligning) i plus A3 stx (ID: c23259). Lige nu tager vi sætningerne for gode varer og bruger de uden at bevise de. Beviserne koer vi tilbage til efter efterårsferien. Vækst i nationens tjeneste: Verhulst I skal nu læse igenne en dansk oversættelse af en historisk ateatisk tekst. I skiftes til at læse teksten op og stopper op ved citaterne nedenfor og undrer jer altså prøver at forklare nogle af de sekvenser, der er i artiklen.. Stop 2 Verhulst (838, 3): Altså, alt andet lige, hvis tusind sjæle er blevet til to tusinde sjæle på feogtyve år, så vil de to tusinde blive til fire tusinde efter den sae tidsperiode. Opgave Sp. : Pierre-François Verhulst ( ) refererer her til den eksponentielle vækst so Malthus beskriver befolkningsvækst ed. Overvej, hvad de 25 år rent ateatisk kan betegnes so, når vi taler o eksponentiel vækst. 2

3 2. Stop 5 Verhulst (ibid., 4): For at vurdere den hastighed, befolkingen vokser ed i et givet land, å an dividere befolkningsvæksten for hvert år ed den befolkning, so ligger til grund for denne vækst. Dette forhold, so er uafhængigt af befolkningens absolutte størrelse, kan ses so et udtryk for denne hastighed. Hvis forholdet er konstant, vokser befolkningen eksponentielt; hvis det er voksende, vokser befolkningen hurtigere end eksponentielt, og indre end eksponentielt hvis det er aftagende. Opgave Sp. 2: Søg på relativ væksthastighed i plus A3 stx. Hvordan hænger det saen ed noget af den tekst ovenfor? Sp. 3: Forklar den sidste sætning: Hvis forholdet er konstant, vokser. 3. stop 0 Verhulst (ibid., 5): Lad p være en befolkning: lad dp være den uendeligt lille befolkningsvækst, der forekoer i det uendeligt lille tidsru dt. Hvis befolkningen vokser eksponentielt, får vi ligningen dp dt = p. Men efterso hastigheden af befolkningsvæksten falder ed størrelsen af befolkningen, er vi nødt til at trække en ukendt funktion af p fra p, således at forlen bliver dp dt = p ϕ(p). Opgave Sp. 4: Forklar kort saenhæng elle teksten og den opskrevne ligning. 4. Stop 0 Verhulst (ibid., 5): Den est siple funktion ϕ, an kan tænke sig, er at antage ϕ(p) = np 2. Opgave Sp. 5: Opskriv differentialligningen, so den så ser ud. Sp. 6: Oskriv differentialligningen, så den ligner én af de differentialligninger, der er i sætningen o den logistiske differentialligning i plus A3 stx. Sp. 7: Brug sætningen til at opskrive en løsning til differentialligningen 3

4 5. stop Vi springer lige videre til Verhulsts løsning på differentialligningen ( ) p = p e t np e t + np. () Opgave Sp. 8: Find i teksten ud af hvad p er? Sp. 9: Hvad er p så til tiden t = 0? Sp. 0: Med den oplysning, oskriv så den løsning, I fandt på differentialligningen, til det udtryk Verhulst angiver i artiklen. (Dette er en rigtig god træning af en asse brøkregneregler). 6. stop Opgave Sp. : Læs artiklen færdig og diskutér, hvordan Verhulst forholder sig til de data, han bruger til at eftervise sin teori. Sp. 2: Find nu original artiklen sat tabeller ed data fra artiklen her: ateatikhistorie.dk/logistisk-vækst. 4

5 IS O LL I I AT-forløbet Det gode arguent arbejdede vi ed ateatik so en aksioatisk-deduktiv videnskab. Vi beskrev den induktive og den deduktive etode og så at ens naturvidenskaberne først og freest er karakteriseret ved den induktive etode, har ateatik siden Euklid hovedsageligt arbejdet efter den deduktive etode so netop koer til udtryk ved den eget stringente opbygning ed aksioer, definitioner, sætninger og beviser (Noter til Det Gode Arguent, Aarhus Katedralskole, 203). Når an ser på ateatikkens etoder, kan an skelne elle skabelsen af ateatisk viden og anvendelsen af ateatisk viden og når an anvender ateatik til at løse probleer fra virkeligheden, så anvender an ateatisk odellering. Denne proces er beskrevet udærket i citatet i figur. Opgave Opgave Diskutér det, I har læst i lektien til i dag saenholdt ed ovenstående klip fra Hvad er ateatik B (figur ) ed fokus på at beskrive figur 2. Opgave 2 Find nu Verhulsts artikel fra 838, hvor han introducerer logistisk vækst. Opgave Analyser kilden for finde fre til de steder, hvor Verhulst forklarer eller koenterer sin odel:. Hvad siger han fx o forbindelsen elle odellen og de faktisk befolkningsstørrelser? 2. Hvilke kriterier får Verhulst til at vælge dæpningsleddet ϕ(p) = n p 2? a) Betragt hans overvejelser ed Adolphe Quetelet ( ). b) Der otales æstetiske og pragatisk kriterier (se lektien til i dag). 3. Fokusér både på opstillingen af odellen og karakteren af den viden, odellen kan give os o virkeligheden. 4. Modelkritik er vigtigt i en odelleringsproces så vurdér Verhulsts odel ed kritiske øjne. 5

6 Figur : Beskrivelse af ateatisk odellering fra Grøn.fl. (202, s. 268). ateatisk beskrivelse Mateatisk odel ateatiske konsekvenser repræsentation abstraktion fortolkning begreber saenhænge Verbal odel forudsigelser afgrænsning forenkling strukturering beslutninger teorikontrol Virkeligheden et syste af genstande, egenskaber og forbindelser Figur 2: En sipel odel for ateatisk odellering (se også Johansen og H. K. Sørensen, 204, kapitel 0). 6

7 Opgave 3 Opgave. Se på den ateatiske odellerings fire faser so de er beskrevet i det udleverede ateriale fra Hvad er ateatik B (Grøn.fl., 202, s ). Hvor passer det ind i den figur (figur 2), I diskuterede tidligere? 2. Læs ekseplet igenne ikke så eget for at forstå detaljerne i ateatikken en ed fokus på den ateatiske odelleringsproces. 3. I er stødt på ateatisk odellering ange steder igenne ateatikundervisningen og opgaveregning i genne de sidste par år. Giv nogle eksepler. 7

8 S IO V I L I Verhulsts artikel o logistisk vækst fra 838 koer han ed denne løsning på den opstillede differentialligning dp dt = p np2 : 0 Verhulst (838, 5): Lad p være en befolkning: lad dp være den uendeligt lille befolkningsvækst, der forekoer i det uendeligt lille tidsru dt. Hvis befolkningen vokser eksponentielt, får vi ligningen dp dt = p. Men efterso hastigheden af befolkningsvæksten falder ed størrelsen af befolkningen, er vi nødt til at trække en ukendt funktion af p fra p, således at forlen bliver dp dt = p ϕ(p). Den est siple funktion ϕ, an kan tænke sig, er at antage ϕ(p) = np 2. Ved integration finder an nedenstående ligning t = [log.p log.( np)] + konstant, og an behøver da kun tre observationer for at bestee de to koefficienter n og og den vilkårlige konstant. Vær opærkso på at Verhulst benytter betegnelsen log for den naturlige logarite, hvor vi i dag benytter betegnelsen ln. For at udlede ovenstående ligning ud fra differentialligningen, kan an benytte sig af en etode, der hedder separation af de variable. Løsning ved separation af de variable Tag udgangspunkt i en differentialligning af foren so også kan skrives so f(y) y = g(x), f(y) dy dx = g(x). Hvis vi nu integrerer ht x på begge sider f(y) dy dx dx = g(x) dx og betragter dy dx so en brøk (ligeso vi gør, når vi laver integration ved substitution), så går dx ud ed dx på venstre side, og vi får f(y) dx = g(x) dx 8

9 Det vil sige, at vi kan integrere venstre side ht. til y og højre side ht. x. Vi har nu separeret de variable, x og y, på være sin side af lighedstegnet. Eksepel Differentialligningen y = x y, so kan skrives til dy dx = x y kan løses ved separation af de variable. Oskriv nelig ligningen til dy y dx = x, og idet vi sætter f(y) = y og g(x) = x får vi nu y dy = x dx altså ln y = 2 x2 + k, hvorfor ln (y) = 2 x2 + k er en løsning til y = x y. Opgave Vis (ved separation af de variabel), at følgende differentialligninger har de angivede løsninger:. dy dx = a y har løsningen ln (y) = a x + k. 2. dy dx = a y2 har løsningen y = a x + k. Vend nu tilbage til Verhulsts artikel og vis vha. separation af de variable, at løsningen til dp dt = p np 2 er t = [log.p log.( np)] + konstant. Forklar udledningen ved at begrunde de skridtvise anipulationer angivet i figur 3. 9

10 dp = dt p np2 2 dp = dt p( np) 3 ( n p + ) dp = dt np 4 p dp + n np dp = dt 5 ( p dp + n np dp) = dt 6 (ln (p) + k + n ( np dp) = t + k 2 (Hint: Hvad får du, hvis du differentierer f(p) = ln( np) ht. p?) 7 (ln (p) + k ln ( np) + k 3 ) = t + k 2 8 t = (ln (p) ln ( np)) + k Figur 3: Skridtvise anipulationer i løsningen af differentialligningen dp dt = p np2. 0

11 Danielsen, Kristian og Henrik Kragh Sørensen (204). Vækst i nationens tjeneste. Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. København: Mateatiklærerforeningen. Grøn, Bjørn.fl. (202). Hvad er ateatik? B Grundbog. København: L&R Uddannelse. Johansen, Mikkel Willu og Henrik Kragh Sørensen (204). Invitation til ateatikkens videnskabsteori. København: Forlaget Safundslitteratur. Sørensen, Jens Studsgaard.fl. plus A3 stx. ibog. Systie. Verhulst, P.-F. (838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroisseent. Correspondance athéatique et physique de l Observatoire de Bruxelles, bd. 0, s. 3 2.