Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2..."

Transkript

1 Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave Hvordan må bølgefunktionen se ud... 6 Opgave En en-dimensional partikel i en kasse Sammenhængen mellem bølgelængde og hastighed... 8 Opgave Opgave Opgave Opgave Lidt matematik Opgave Opgave Opgave Bølgens amplitude Eksempel Opgave Opgave Opgave Schrödinger-ligningen Opgave Den klassiske løsning Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer Bestemmelse af energi-niveauer Opgave

2 Eksempel Opgave Opgave Eksperimentel øvelse Elektroner mod et gitter Opgave

3 En statistisk beskrivelse I en ikke idealiseret verden, er en statistisk beskrivelse tit den eneste mulighed. Forestil dig, at du skal forudsige, hvor nedslaget af et projektil fra en ny kanon vil være. Du kunne nu regne på krudtmængden, trykket i affyringskammeret, mundingshastigheden på kanonen, vinden og så videre. Selv efter disse beregninger vil det være umuligt præcist at sige, hvor projektilet vil slå ned. Små variationer i krudtmængden og vinden vil gøre, at projektilet nogle gange vil flyve lidt længere, nogle gange lidt til venstre og andre gange til højre. Hvis du alligevel vil beskrive, hvor projektilet rammer, kunne du affyre kanonen mange gange under forskellige vejrforhold, og så se, hvor projektilet landede. På figur 1 er afbildet nedslagsstederne for mange forskellige affyringer af kanonen. Figur 1: Nedslagssteder Figur 2: Sandsynligheden for at afstanden til nedslagsstedet fra centrum er af en bestemt størrelse Der er flest nedslag omkring punktet (0,0) og tætheden af nedslag falder jo længere man bevæger sig væk fra dette punkt. Når man når længere end afstanden 1 væk fra centrum, findes der ikke flere nedslag. Ud fra nedslagsbilledet kan man danne sig et indtryk af, hvor det er mest sandsynligt, at nedslagene finder sted. Ved at inddele nedslagsområdet i en række små kasser, og tælle hvor mange nedslag der findes i hver sin kasse, kan man lave en sandsynlighedsfordeling af hvordan nedslagene finder sted. På figur 2 er vist sandsynligheden for at et nedslag finder sted i en bestemt afstand fra centrum. Vi ser igen at sandsynligheden falder, jo længere vi bevæger os væk fra centrum. I en simpel opfattelse af et brintatom opfattes atomet som et lille solsystem med en lille hård kerne i midten, hvorom der kredser en lille hård elektron-partikel (se figur 3). I en kvantemekanisk beskrivelse af atomet spørger vi, med hvilken sandsynlighed vi i en bestemt afstand fra atomkernen vil finde elektronen, hvis vi målte efter. Kvantemekanik drejer sig om at bestemme sandsynligheden for at finde et bestemt tal hvis vi foretager en måling. 3

4 Vi kunne bestemme denne sandsynlighed ved at måle en masse gange og derefter fremstille en graf, der angiver sandsynligheden for at finde elektronen i en bestemt afstand. En kvantemekanisk beskrivelse af brintatomet kunne derfor angives som på figur 4. Her er der større Figur 3 Figur 4 Figur 5 sandsynlighed for at finde elektronen i de mørkere områder. Grafen der beskriver sandsynligheden for at finde elektronen i en bestemt afstand fra brintatomets kerne kunne se ud som på figur 5. Kvantefysik drejer sig om at bestemme sådanne sandsynlighedsfordelinger. Vi ønsker med andre ord at bestemme den funktion som beskriver sandsynligheden for at måle et eller andet (læs f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 54-63). Bølgefunktionen Det har vist sig, at man bliver nød til at gå en lille omvej for at finde den omtalte sandsynligheds-funktionen. Man bliver ofte nød til først at bestemme en funktion, som kaldes bølgefunktionen. Meget kvantefysik drejer sig om, at finde bølgefunktionen. Denne betegnes traditionelt med det græske bogstav ψ (som udtales Ps)i. Inden vi kan udregne sandsynligheden for, at en partikel findes indenfor et bestemt område, må vi med lave en ny funktion ved at kvadrere denne funktion I kvantemekanik finder man den funktion som beskriver sandsynligheden ved først at finde bølgefunktionen. Ψ Sandsynligheden for at finde en partikel udregnes ved at bestemme arealet under grafen for funktion S(x). Eksempel Lad en bølgefunktion være givet ved 0.3 sin 360 Hvor x angiver en afstand. Vi ønsker at bestemme sandsynligheden for, at partiklen findes indenfor intervallet [1;1.5]. Første opskrives funktionen S(x) Ψ 0.3 sin 360 4

5 Denne funktion er grafisk afbildet nedenfor Sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet fra 1 til 1.5 er arealet mellem x-aksen og grafen for S(x). Med programmet Graph kan man let finde dette areal: man starter programmet Graph, tegner grafen for funktionen S(x), og trykker på ikonet. Nu kan man indtaste et område, og udregne arealet mellem x- aksen og grafen. I vores eksempel bliver arealet =2.25%. Sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet [1;1.5] er altså 2.25%. Opgave 1 a.) En partikel er beskrevet ved en bølgefunktion, som er givet ved 0.4. Hvad er sandsynligheden for at finde partiklen indenfor intervallet fra 0.5 til 1 (Denne opgave kan kun løses numerisk)? b.) En partikel er beskrevet ved en bølgefunktion, hvor ψ(x) er 0 udenfor intervallet [-π/2; π/2] og givet ved =cos ( ) i intervallet [-π/2; π/2]. Tegn den graf som beskriver sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet [-2;2]. Tidsafhængig og tidsuafhængig Når to atomer støder sammen, vil den bølgefunktionen, som beskriver elektronerne ændre sig hele tiden gennem stødet. Man siger at bølgefunktionen ændrer sig i tiden. Når et atom er i ro og der ikke sker nogle ændringer med det, er bølgefunktionen som beskriver elektronerne også i ro. Bølgefunktionen ændrer sig ikke når tiden går, og man siger at bølgefunktionen er tids-uafhængig. Man siger at bølgefunktioner som ikke ændrer sig i tiden (altså en tidsuafhængig bølgefunktion) beskriver en stationær tilstand i atomet. Elektronen i et brint-atom kan kun findes i nogle ganske bestemte stationære tilstande. Hvis man vil finde ud af, hvilke stationære tilstande et brintatom kan være i, må man bestemme de mulige tidsuafhængige bølgefunktioner, som kan eksistere. 5

6 Opgave 2 Skriv en sætning der beskriver hvad der menes med hvert af følgende ord: a.) Bølgefunktion b.) Sandsynlighed c.) Den stationære tilstanden for et atom d.) tidsuafhængighed Hvordan må bølgefunktionen se ud Når man skal bestemme en bølgefunktion for en partikel, må man starte med at se på den situation partiklen befinder sig i. Hvis partiklen frit kan bevæge sig f.eks. mellem punkterne x=-2 og x=2, men ikke kan komme udenfor disse grænser, så må sandsynligheden for at finde partiklen (hvis man målte) være nul udenfor intervallet [-2;2]. Partikel Hvis sandsynligheden for at finde partiklen er nul, må funktionen ψ (x) være nul, for ellers ville S(x)= ψ (x) 2 ikke kunne være nul og der ville findes et areal mellem x-aksen og grafen for S(x). Vi ved altså allerede bare ved at tænke over hvor partiklen kan findes hvordan bølgefunktionen ser ud udenfor intervallet 0 å < 2 >2 Inde i en kasse kan partiklen bevæge sig helt frit. Kvantemekanikken beskriver hvordan man kan bestemme bølgefunktionen inden i kassen. De ligninger der bruges til at beskrive ψ (x) minder meget om de ligninger, der bruges til at beskrive mange andre former for bølger. Bølgefunktionen der beskriver partiklen inde i kassen minder derfor i form om f.eks. snorebølger, lydbølger, lys eller vandbølger. Ud fra vores kendskab til disse andre former for bølger, kan vi altså gætte på, hvordan bølgefunktionen inde i kassen ser ud. Et godt gæt på ψ (x) ville være noget i retning af den bølge som er angivet på figuren nedenfor: Bølgefunktionen En sådan bølge har alle de bølgeegenskaber som vi er vant til fra normale bølger. Vi kan tale om bølgefunktionen amplitude og om bølgens bølgelængde. Det er sådan, at en bølgefunktion skal være en 6

7 glat kurve, den må altså ikke pludselig knække eller springe i værdi. Man skal kunne tegne den uden at løfte blyanten fra papiret. Det vil i eksemplet med partiklen i kassen sige, at når bølgefunktionen skal være nul udenfor kassen, så må den også være nul på kassens sider. Bølgen starter således ved nul og svinger så op og ned (som en stående bølge på en streng) indtil vi når den anden side af kassen, hvor bølgens amplitude igen skal være nul, fordi den skal være nul på den anden side af vægen. Opgave 3 a. Tegn 5 eksempler på hvordan ψ(x) kunne se ud, hvis den skulle beskrive en partikel i en endimensional kasse med længden på 10 cm. b. Hvad er bølgelængden for hver af de 5 bølger? Vi ser af opgaven ovenfor, at med de bindinger som kassen giver (at ψ(x) må være nul på kassens sider), er der kun nogle ganske bestemte bølgelængder, der kan komme på tale. Vi kan f.eks. ikke have en bølgelængde i eksemplet i opgaven ovenfor på 3 cm. En en-dimensional partikel i en kasse. Ovenfor har vi set, at ψ(x) ikke kan have vilkårlige bølgelængder. Nu skal vi være lidt mere præcise. Lad os forestille os en kasse med længden L. Heri findes en partikel med massen m. Vi ønsker nu at bestemme de mulige bølgelængder for bølgefunktionen. Vi ved, at ψ(x) skal være nul i kassens ender. Mellem disse to nulpunkter kan der enten være ingen, et, to, tre, fire osv. steder, hvor funktionen har top eller bug. Lad os kalde antallet af steder, hvor bølgen enten har top eller bug mellem de to ender for n. Hvis bølgen ikke har præcis en top/bug mellem kassens to sider, må kassens længde være en halv bølgelængde, og bølgelængden på derfor være den dobbelte af kassens længe (altså λ=2 L). 0 L Hvis der til gengæld er to steder med top/bug mellem kassens sider, vil bølgelængden være lig med kassens længde. 0 L 7

8 Hvis funktionen har top/bug tre steder mellem kassens sider, må der være halvanden bølgelængde inde i kassen, og bølgelængden må derfor være Hvis funktionen har top/bug fire steder mellem kassens sider, må der være to bølgelængde inde i kassen, og bølgelængden må derfor være λ=l/2. Når man fortsætter på denne måde, ser man, at hver gang der kommer et top/bug mere ind mellem kassens sider, bliver der plads til en halv bølgelængde mere inde i kassen. Antallet af halve bølgelængder mellem kassens sider er lig antallet af top/bug mellem kassens sider. For at finde længden af en halv bølgelængde, må man derfor dividere med antallet af top/bug. Skal man finde en hel bølgelængde skal man derefter gange med to. Man kan nå frem til, at bølgelængden er 0 L 2 Hvor n er antallet af top/bug mellem kassens to væge. Dette svarer til de bølger man ser, når man eksperimenterer med en svingende streng. Den kinetiske energi for en partikel kan udregnes som Her finder man nogle tilsvarende resultater. Man kan med fordel lave dette forsøg for at øge sin forståelse for kvantemekaniske bølgefunktioner (se f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 20-21) Sammenhængen mellem bølgelængde og hastighed Bølgelængden hænger tæt sammen med partiklens hastighed. Hvis man f.eks. kender hastigheden kan man ud fra formlen finde bølgelængden af bølgefunktionen ψ(x) (her er h = 6, Js Plancks konstant - altså bare en naturkonstant med enheden joule gange sekund -, m er partiklens masse og v er partiklens hastighed). Vi kan omskrive denne formel og finde at partiklens hastighed er givet ved 8

9 Når vi kender hastigheden v, kan vi udregne den kinetiske energi af partiklen vha. formlen ½ =½ h h = 2 Hvis bølgefunktionen kun kan findes med nogle gangske bestemte bølgelængder, kan vi se, at der kun er nogle ganske bestemte energier, som en partikel kan have, hvis den er lukket inde i en kasse. Dette er i modstrid med vores klassiske fysik. I den klassiske fysik, kan en partikel have en hvilken som helst hastighed og det afhænger ikke af, om den tilfældigvis befinder sig inde i en kasse. Dette er et eksempel på, at omgivelserne spiller en afgørende rolle for partiklers bevægelse i kvantemekanikken (se f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 50). Opgave 4 Vi tænker nu på en elektron i en meget lille kasse. Denne kasses længde er kun m. (det svarer nogenlunde til diameteren på et atom). a. Hvad er de fem længste bølgelængder som en elektron kan have i en sådan kasse? b. Hvilke energier svarer det til (elektronens masse er 9, kg.)? Det at man ikke kan have alle mulige energier for et system er en egenskab ved mange kvantemekaniske systemer. Man siger at energierne er diskrete. Det betyder bare, at der er spring imellem dem. Når man ønsker på en gang at tale om alle de mulige energier for et kvantemekanisk system, kalder man dem under et for systemets energi-spektrum. Opgave 5 a. Hvad betyder det, at energierne for et kvantemekanisk system er diskrete? b. Hvad er energi-spektret for et kvantemekanisk system? Opgave 6 a. Lav en formel der giver den kinetiske energi der svarer til n top/bug mellem kassens to væge. Man nummerer de mulige energier ved at begynde med den laveste energi og så tæller gennem de mulige energier i stigende rækkefølge. Man taler om, at hver energi er et bestemt energi-niveau, som svarer til energiens nummer. Således bliver den 7. energi i rækken kaldt det 7. energi-niveau. Det nederste energiniveau kaldes derudover for grundtilstanden. Nedenfor ses en udregning af de første 5 energi-niveauer for en elektron (med massen kg.) i en en-dimensional kasse med sidelængden m. 9

10 Læg mærke til, at den laveste energi ikke er nul. I dette tilfælde er den på 37 ev (en 1eV= J). Man siger at energien i grundtilstanden ikke er nul. Det kan tolke sådan, at partiklen faktisk ikke kan ligge stille inde i kassen. Opgave 7 a. Hvad menes med det tredje energi-niveau? b. Hvad menes med grundtilstanden? c. Hvad betyder det at energi-niveauerne er diskrete? d. Hvad betyder en stationær tilstand for et kvantesystem? e. Hvad er grundtilstandens energi? 10

11 Lidt matematik I fysik bruger vi ofte en sinus-funktion til at beskrive en bølge. Nedenfor ses en række forskellige sinusfunktioner Funktionen sin(x) Funktionen 2 sin(x) Funktionen 2 sin(3 x) Opgave 8 Hvad er amplituden og bølgelængden (aflæs på graferne) for de tre bølger ovenfor? Man kan generelt kan vi sige, at hvis bølgelængden er λ, kan bølgens form beskrives med funktionen sin(ω x), hvor ω=360/λ. Opgave 9 Forklar hvorfor en bølge med bølgelængden er λ, kan bølgens form beskrives med funktionen sin(ω x), hvor ω=360/λ 11

12 Vi kan nu beskrive bølgens form. Den bølge, der beskrives af funktionen f(x)=sin(ω x) har amplituden 1. Hvis vi ønsker en bølge med en anden amplitude, ganges blot med amplitudens størrelse. Hvis vi f.eks. ønsker en bølge med amplitude 3, bliver funktionen der beskriver bølgen f(x)=3 sin(ω x). Mere generelt kan en bølge med amplituden A beskrives ved f(x)=a sin(ω x). Nu ved vi både hvordan vi finder ω ud fra bølgelængden, og hvordan amplituden skal beskrives matematisk. Vi når derfor frem til, at en bølge med bølgelængde λ og en amplitude A kan beskrives med funktionen En bølge med bølgelængden λ og amplituden A kan matematisk beskrives som sin Opgave 10 Beskriv en bølge med amplitude 0,003 og bølgelængde 45 matematisk Bølgens amplitude Vi har tidligere set at sandsynligheden for at finde en partikel hænger sammen med funktionen Ψ Hvis ψ(x) kan skrives så kan S(x) skrives Ψ Hvis vi er sikre på, at partiklen findes inde i kassen, så må sandsynligheden for at finde partiklen mellem kassens to sider være 100% (eller 1) den er jo et eller andet sted derinde. Sandsynligheden for at finde partiklen mellem kassens to sider, er arealet mellem x-aksen og grafen for S(x). Vi må altså gøre amplituden præcis så stor, at dette areal bliver 1. For at gøre det, finder vi først arealet mellem x-aksen og grafen for funktionen. Hvis dette areal f.eks. gav 0.1 ved vi, at vi har brug for en S(x)-funktion, der kan give et areal, der er 10 gange større (fordi 0.1 er 1/0.1 = 10 gange mindre end 1). En sådan S(x)-funktion kan vi skrive som hvilket fortæller os, at 10 eller at

13 Mere generelt kan vi argumentere, at hvis arealet under funktionen giver tallet b, så må amplituden for ψ(x) være. Lad os se på et eksempel: Eksempel Vi ser på en partikel i en kasse med kantlængde m. Partiklen har en bølgelængde på m. ψ(x) kan skrives 360 Ψ( )= sin Nu taster vi. ind i Graph og derefter udregner vi arealet mellem x-aksen og grafen i intervallet fra 0 til Vi ser at dette areal er Amplituden A R findes nu ved at sige =. = Hele bølgefunktionen kan altså skrives 360 = sin

14 Opgave 11 Se på eksemplet ovenfor og skriv en lille tekst der beskriver hvordan man finder amplituden for en bølgefunktion der beskriver en en-dimensional partikel i en kasse. Opgave 12 Udregn energien for en partikel i en kasse med kantlængde m. Partiklen har en bølgelængde på m og en masse på kg. Opgave 13 Udregn bølgelængden for en partikel med masse kg og energi J. Find bølgefunktionen for denne partikel, hvis den befinder sig i en kasse, der har en kantlængde på en 5 bølgelængde. Schrödinger-ligningen Vi har i det foregående noget løst argumenteret for, at en partikel i en kasse kan beskrives ved bølgefunktionen Ψ( )= 360 For at vise dette, må vi tage udgangspunkt i de ligninger der beskriver bølgefunktioner. Det drejer sig i første omgang om schrödinger ligningen. Denne ligning er en differentialligning (se f.eks. MAT A3 bogen fra systime). I det en-dimensionale tilfælde er ligningen givet ved Ψ( )= ħ 2 Ψ( ) + ( ) Ψ( ) Her er ħ , m er partiklens masse og V(x) er det potentiale som partiklen befinder sig i. Det første led på højre side ovenfor tolkes normalt som partiklens kinetiske energi, mens det sidste led tolkes som partiklens potentielle energi. Vi skal nu løse den stationære Schrödinger - ligning for en partikel i en boks 1. Det betyder, at vi har en partikel, som bevæger sig i en dimension. Potentialet er 0 i intervallet mellem 0 og a. I alle andre tilfælde er potentialet uendeligt, dvs. Dette kan illustreres i følgende figur: <0 ( )=0 0< < ( )= > 1 Se f.eks. Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, Second Edition, John Wiley & Sons, side 58 14

15 Først ser vi på tilfældet <0: Men da ( )= i dette tilfælde, må ( ) = 0 Det samme må være tilfældet for > Opgave 14 1) Nu skal vi så se på tilfældet 0< < Omskriv Schrödinger-ligningen, og vis at den derved kan skrives på formen: ( )= ( ), hvor = ħ 2) Begrund, at den generelle løsning til ovenstående ligning kan skrives på formen: ( )= cos( )+ sin( ) 3) Bølgefunktionen skal være kontinuert. Specielt skal bølgefunktionen være kontinuert i x =0 Benyt dette til at vise, at =0 4) Hvad bliver nu den generelle løsning i intervallet 0< <? 5) Bølgefunktionen skal være kontinuert. Specielt skal bølgefunktionen være kontinuert i x = Benyt dette til at vise, at =, n = 1, 2, 3, 4, 6) Benyt betingelsen fra ovenstående punkt til at vise følgende: = ħ = ħ, n = 1, 2, 3, 4, Følgende skema er udfyldt for n = 1. Udfyld nu for n = 2, 3, 4, n 1 ħ 1 2 = ħ

16 7) Skitser energiniveaudiagrammet. Grundtilstanden er indtegnet: Bemærk, at energiniveauerne ikke ligger med samme afstand. 8) Skitser grafen for bølgefunktionen og for sandsynlighedsfunktionen. Skemaet er udfyldt for n = 1 og n = 2. Udfyld nu skemaet for n = 3, 4, n ( ) ( ) 1 2 x = 0 x = a x = 0 x = a 3 4 Et relevant forsøg hvor den ovenstående teori benyttes er forsøget med kvantedots 16

17 Den klassiske løsning Vi skal nu se lidt nærmere på den tilsvarende klassiske løsning. I dette tilfælde vil partiklen selvfølgelig også være spærret inde i brønden af potentialet. Til gengæld er der ingen begrænsninger på energiniveauet. Partiklen kan have alle energier. Derfor bliver energispektret kontinuert. Der er lige stor sandsynlighed for at være alle steder for 0< < a. Desuden er ( ) =1 er sandsynlighedsfunktionen for partiklen. Da er konstant indses det let, at p(x) = 1/a hvor p(x) Dermed får vi følgende sandsynlighedsfordeling, hvor sandsynligheden er nul for at finde partiklen uden for brønden og fordelingen er for at finde partiklen i brønden. 17

18 Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer Det er naturligvis ikke kun elektroner i kasser man kan beskrive med bølgefunktioner. I kvantemekanikken kan man udregne energi-niveauer og bølgefunktioner for mange forskellige kvantesystemer. En af de simpleste kvantesystemer beskriver elektronen i et brintatom. Elektronen holdes her ikke fast af nogle faste væge i en kasse, men derimod af den elektrostatisk tiltrækning som findes mellem protonen og elektronen. Nedenfor er vist en figur over de 5 laveste energi-niveauer i brint. Brint-energi-niveauer. Enheden på energi-aksen er i ev (= J). Nulpunktet for energi-aksen er sat til den størst mulige energi elektronen i et brint-atom kan have (har den en større energi, kan den ikke hænge fast i atomet længere). Bestemmelse af energi-niveauer Energien i en foton (en lys-partikel) afhænger af lysets frekvens gennem formlen: h = h Hvor h er Plancks konstant, c er lysets hastighed, λ er lysets bølgelængde og f er lysets frekvens. Opgave 16 Forklar det sidste lig-med-tegn 18

19 Vi har tidligere studeret, at elektronen i et atom ikke kan have alle mulige forskellige energier, men kun de som svarer til atomets energiniveauer. Når en elektron springer fra et energi-niveau til et andet taber eller vinder den energi. Hvis den sidste stationære tilstand har mindre energi end den første, må atomet skilde sig af med den overskydende energi, og den udsender derfor lys. Det kan skematisk afbildes som på figuren nedenfor. Energi niveauer foton Elektronerne kan springe på de måder, som er beskrevet ved pilene på figuren. Den energi der udsendes svarer til forskellen mellem energi-niveauerne. Hvis man derfor måler fotonernes bølgelængder, kan man finde foton-energierne og dermed energi forskellene mellem energi-niveauerne. Det kan være lidt af et puslespil at finde energiniveauerne ud fra foton-energierne, men det er muligt. Eksempel Man måler følgende bølgelængder: m, m, m af lys. Med formlen kan vi finde de tilsvarende bølgelængder til at være Hz, Hz og 1, Hz (vis dette). Nu kan man med =h finde de tilsvarende energier til 3, J, J og 9, J (vis det). Hvis svarer til 3, J, så kan de tre energier afbildes i stregform således Bliver til energiniveauerne Eller Disse kan stykkes sammen, så man får energiniveauerne, som er vist ovenfor. Læg mærke til, at der er to forskellige systemer af energiniveauer, der passe til de målte energier. Opgave 17 Brintatomets laveste 4 energiniveauer er -13,6 ev, -3,4 ev, -1,5 ev og -0,85 ev (se f.eks. afsnittet Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer i noten). Enheden er elektron volt og 1 ev = J. 1. Omregn energierne til Joule. 2. Find alle de forskellige bølgelængder man vil se, når elektronerne springer rundt mellem disse energiniveauer. 19

20 Opgave 18 Man ser lys med følgende bølgelængder m, 10-6 m, m og 6, m. Hvordan kunne energi niveauerne se ud? Eksperimentel øvelse For at bestemme bølgelængderne af spektrallinierne i heliumspektret benyttes et spektrometer. Spektrometeret består af en kollimator, et gitter og en kikkert. En He-spektrallampe anbringes bagved den smalle spalte i kollimatoren. På grund af linsen i den anden ende af kollimatoren samles lyset til et parallelt strålebundt. Dette strålebundt rammer gitteret og bliver afbøjet af gitteret. Der benyttes en drejelig kikkert for at iagttage spektret. I kikkerten er anbragt et trådkors, og kikkerten drejes først mod højre således at den ønskede linje ligger igennem korset. Så drejes til den modsatte side indtil man finder den tilsvarende venstre linje. Ved at trække de to vinkler fra hinanden og dividere med to, finder man afbøjningsvinklen. Hvorfor det? Du skal udmåle 1. ordens spektret til begge sider. Udmål så mange linjer som muligt. Du skal tegne opstillingen af spektrometeret i rapporten, så det tydeligt fremgår, hvor spektrallampen står, hvor der er spalter og hvor der er linser. Lysets strålegang skal fremgå af tegningen. Gitterkonstant d = 0.te ordens vinkel = farve lysstyrke venstre vinkel højre vinkel θ λ / nm (beregnet) λ / nm (tabel) afvigelse i % 1. Find de tilsvarende foton-energier. 2. Giv et bud på energiniveauerne. 20

21 Elektroner mod et gitter Fra bølgemekanikken kender vi gitterligningen. Den beskriver hvad der sker, når en bølge rammer et gitter og de dele af bølgen der kommer gennem hvert deres sprække interfererer på den anden side af gitteret. Ligningen ser således ud =d sin( ) Hvor n er ordenen, λ er bølgelængden, d er gitterkonstanten (afstanden mellem to sprækker) og θ er afbøjningsvinklen 2. orden 1. orden Θ 1 0. orden Denne ligning gælder for alle bølger men ikke for klassiske partikler. I kvantemekanikken beskrives partikler som bølger, og derfor kan vi også for elektroner benytte gitterligningen. Opgave 19 Find første og anden ordens afbøjningsvinkel for en elektron (hvis masse er 9, kg.) med energien j, når elektronen rammer et gitter med 10 6 riller pr. meter. Nedenfor ses et billede af en eksperimentel opstilling, hvor man direkte kan se, at elektronerne afbøjes som bølger, når de rammer et gitter 21

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED)

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED) Solceller og Spektre Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 26. august 2010 Formål Formålet med øvelsen

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys)

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys) Innovationsprojekt Gruppen Emma, Frida, Isabella, Martin & Sabine Ideen Vores ide går ud på at nytænke lyskurven. Lyskurven blev opfundet for over 150 år siden og har ikke skiftet design siden, selvom

Læs mere

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Røntgenstråling : Røntgenstråling

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus

Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus VUC AARHUS Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus Fysik 0-C 2015 Indhold Rapporter og journaler... 3 1 Lydens hastighed i luft... 5 2 Bølgelængde af laserlys... 8 3 Brydning i akryl... 11 4 Hydrogenspektret...

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

fs10 1 Jordvarme 2 Solenergi 3 Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Matematik 10.-klasseprøven Maj 2013

fs10 1 Jordvarme 2 Solenergi 3 Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Matematik 10.-klasseprøven Maj 2013 fs0 0.-klasseprøven Matematik Maj 0 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt Jordvarme Solenergi Elpærer Vindmøller Papirfoldning Jordvarme På familien Petersens grund er et jordstykke, der

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Av min arm! Røntgenstråling til diagnostik

Av min arm! Røntgenstråling til diagnostik Røntgenstråling til diagnostik Av min arm! K-n-æ-k! Den meget ubehagelige lyd gennemtrænger den spredte støj i idrætshallen, da Peters hånd bliver ramt af en hård bold fra modstanderens venstre back. Det

Læs mere

Eksamensspørgsmål til Fysik C eksamen forår 2013, VUC-Vest, GRN

Eksamensspørgsmål til Fysik C eksamen forår 2013, VUC-Vest, GRN Eksamensspørgsmål til Fysik C eksamen forår 2013, VUC-Vest, GRN Der er 24 timers forberedelse, dvs. man trækker et spørgsmål dagen før eksamensdagen og har så mindst 24 timer at forberede sig i. Selve

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juli/August 2014 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Fysik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus

Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus VUC AARHUS Øvelsesvejledninger til laboratoriekursus Fysik C-B 2014 Indhold Rapporter og journaler... 3 1 Rilleafstande... 5 2 Stående bølger på en streng... 9 3 Spektrum for ukendt grundstof... 12 4 Bestemmelse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.?

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.? Inspirationsark 1. I Tivoli kan du lave et forsøg, hvor du får lov til at tage et plastikglas med lidt vand med op i Det gyldne Tårn. Hvad tror du der sker med vandet, når du bliver trukket ned mod jorden?

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere