Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2..."

Transkript

1 Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave Hvordan må bølgefunktionen se ud... 6 Opgave En en-dimensional partikel i en kasse Sammenhængen mellem bølgelængde og hastighed... 8 Opgave Opgave Opgave Opgave Lidt matematik Opgave Opgave Opgave Bølgens amplitude Eksempel Opgave Opgave Opgave Schrödinger-ligningen Opgave Den klassiske løsning Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer Bestemmelse af energi-niveauer Opgave

2 Eksempel Opgave Opgave Eksperimentel øvelse Elektroner mod et gitter Opgave

3 En statistisk beskrivelse I en ikke idealiseret verden, er en statistisk beskrivelse tit den eneste mulighed. Forestil dig, at du skal forudsige, hvor nedslaget af et projektil fra en ny kanon vil være. Du kunne nu regne på krudtmængden, trykket i affyringskammeret, mundingshastigheden på kanonen, vinden og så videre. Selv efter disse beregninger vil det være umuligt præcist at sige, hvor projektilet vil slå ned. Små variationer i krudtmængden og vinden vil gøre, at projektilet nogle gange vil flyve lidt længere, nogle gange lidt til venstre og andre gange til højre. Hvis du alligevel vil beskrive, hvor projektilet rammer, kunne du affyre kanonen mange gange under forskellige vejrforhold, og så se, hvor projektilet landede. På figur 1 er afbildet nedslagsstederne for mange forskellige affyringer af kanonen. Figur 1: Nedslagssteder Figur 2: Sandsynligheden for at afstanden til nedslagsstedet fra centrum er af en bestemt størrelse Der er flest nedslag omkring punktet (0,0) og tætheden af nedslag falder jo længere man bevæger sig væk fra dette punkt. Når man når længere end afstanden 1 væk fra centrum, findes der ikke flere nedslag. Ud fra nedslagsbilledet kan man danne sig et indtryk af, hvor det er mest sandsynligt, at nedslagene finder sted. Ved at inddele nedslagsområdet i en række små kasser, og tælle hvor mange nedslag der findes i hver sin kasse, kan man lave en sandsynlighedsfordeling af hvordan nedslagene finder sted. På figur 2 er vist sandsynligheden for at et nedslag finder sted i en bestemt afstand fra centrum. Vi ser igen at sandsynligheden falder, jo længere vi bevæger os væk fra centrum. I en simpel opfattelse af et brintatom opfattes atomet som et lille solsystem med en lille hård kerne i midten, hvorom der kredser en lille hård elektron-partikel (se figur 3). I en kvantemekanisk beskrivelse af atomet spørger vi, med hvilken sandsynlighed vi i en bestemt afstand fra atomkernen vil finde elektronen, hvis vi målte efter. Kvantemekanik drejer sig om at bestemme sandsynligheden for at finde et bestemt tal hvis vi foretager en måling. 3

4 Vi kunne bestemme denne sandsynlighed ved at måle en masse gange og derefter fremstille en graf, der angiver sandsynligheden for at finde elektronen i en bestemt afstand. En kvantemekanisk beskrivelse af brintatomet kunne derfor angives som på figur 4. Her er der større Figur 3 Figur 4 Figur 5 sandsynlighed for at finde elektronen i de mørkere områder. Grafen der beskriver sandsynligheden for at finde elektronen i en bestemt afstand fra brintatomets kerne kunne se ud som på figur 5. Kvantefysik drejer sig om at bestemme sådanne sandsynlighedsfordelinger. Vi ønsker med andre ord at bestemme den funktion som beskriver sandsynligheden for at måle et eller andet (læs f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 54-63). Bølgefunktionen Det har vist sig, at man bliver nød til at gå en lille omvej for at finde den omtalte sandsynligheds-funktionen. Man bliver ofte nød til først at bestemme en funktion, som kaldes bølgefunktionen. Meget kvantefysik drejer sig om, at finde bølgefunktionen. Denne betegnes traditionelt med det græske bogstav ψ (som udtales Ps)i. Inden vi kan udregne sandsynligheden for, at en partikel findes indenfor et bestemt område, må vi med lave en ny funktion ved at kvadrere denne funktion I kvantemekanik finder man den funktion som beskriver sandsynligheden ved først at finde bølgefunktionen. Ψ Sandsynligheden for at finde en partikel udregnes ved at bestemme arealet under grafen for funktion S(x). Eksempel Lad en bølgefunktion være givet ved 0.3 sin 360 Hvor x angiver en afstand. Vi ønsker at bestemme sandsynligheden for, at partiklen findes indenfor intervallet [1;1.5]. Første opskrives funktionen S(x) Ψ 0.3 sin 360 4

5 Denne funktion er grafisk afbildet nedenfor Sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet fra 1 til 1.5 er arealet mellem x-aksen og grafen for S(x). Med programmet Graph kan man let finde dette areal: man starter programmet Graph, tegner grafen for funktionen S(x), og trykker på ikonet. Nu kan man indtaste et område, og udregne arealet mellem x- aksen og grafen. I vores eksempel bliver arealet =2.25%. Sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet [1;1.5] er altså 2.25%. Opgave 1 a.) En partikel er beskrevet ved en bølgefunktion, som er givet ved 0.4. Hvad er sandsynligheden for at finde partiklen indenfor intervallet fra 0.5 til 1 (Denne opgave kan kun løses numerisk)? b.) En partikel er beskrevet ved en bølgefunktion, hvor ψ(x) er 0 udenfor intervallet [-π/2; π/2] og givet ved =cos ( ) i intervallet [-π/2; π/2]. Tegn den graf som beskriver sandsynligheden for at finde partiklen i intervallet [-2;2]. Tidsafhængig og tidsuafhængig Når to atomer støder sammen, vil den bølgefunktionen, som beskriver elektronerne ændre sig hele tiden gennem stødet. Man siger at bølgefunktionen ændrer sig i tiden. Når et atom er i ro og der ikke sker nogle ændringer med det, er bølgefunktionen som beskriver elektronerne også i ro. Bølgefunktionen ændrer sig ikke når tiden går, og man siger at bølgefunktionen er tids-uafhængig. Man siger at bølgefunktioner som ikke ændrer sig i tiden (altså en tidsuafhængig bølgefunktion) beskriver en stationær tilstand i atomet. Elektronen i et brint-atom kan kun findes i nogle ganske bestemte stationære tilstande. Hvis man vil finde ud af, hvilke stationære tilstande et brintatom kan være i, må man bestemme de mulige tidsuafhængige bølgefunktioner, som kan eksistere. 5

6 Opgave 2 Skriv en sætning der beskriver hvad der menes med hvert af følgende ord: a.) Bølgefunktion b.) Sandsynlighed c.) Den stationære tilstanden for et atom d.) tidsuafhængighed Hvordan må bølgefunktionen se ud Når man skal bestemme en bølgefunktion for en partikel, må man starte med at se på den situation partiklen befinder sig i. Hvis partiklen frit kan bevæge sig f.eks. mellem punkterne x=-2 og x=2, men ikke kan komme udenfor disse grænser, så må sandsynligheden for at finde partiklen (hvis man målte) være nul udenfor intervallet [-2;2]. Partikel Hvis sandsynligheden for at finde partiklen er nul, må funktionen ψ (x) være nul, for ellers ville S(x)= ψ (x) 2 ikke kunne være nul og der ville findes et areal mellem x-aksen og grafen for S(x). Vi ved altså allerede bare ved at tænke over hvor partiklen kan findes hvordan bølgefunktionen ser ud udenfor intervallet 0 å < 2 >2 Inde i en kasse kan partiklen bevæge sig helt frit. Kvantemekanikken beskriver hvordan man kan bestemme bølgefunktionen inden i kassen. De ligninger der bruges til at beskrive ψ (x) minder meget om de ligninger, der bruges til at beskrive mange andre former for bølger. Bølgefunktionen der beskriver partiklen inde i kassen minder derfor i form om f.eks. snorebølger, lydbølger, lys eller vandbølger. Ud fra vores kendskab til disse andre former for bølger, kan vi altså gætte på, hvordan bølgefunktionen inde i kassen ser ud. Et godt gæt på ψ (x) ville være noget i retning af den bølge som er angivet på figuren nedenfor: Bølgefunktionen En sådan bølge har alle de bølgeegenskaber som vi er vant til fra normale bølger. Vi kan tale om bølgefunktionen amplitude og om bølgens bølgelængde. Det er sådan, at en bølgefunktion skal være en 6

7 glat kurve, den må altså ikke pludselig knække eller springe i værdi. Man skal kunne tegne den uden at løfte blyanten fra papiret. Det vil i eksemplet med partiklen i kassen sige, at når bølgefunktionen skal være nul udenfor kassen, så må den også være nul på kassens sider. Bølgen starter således ved nul og svinger så op og ned (som en stående bølge på en streng) indtil vi når den anden side af kassen, hvor bølgens amplitude igen skal være nul, fordi den skal være nul på den anden side af vægen. Opgave 3 a. Tegn 5 eksempler på hvordan ψ(x) kunne se ud, hvis den skulle beskrive en partikel i en endimensional kasse med længden på 10 cm. b. Hvad er bølgelængden for hver af de 5 bølger? Vi ser af opgaven ovenfor, at med de bindinger som kassen giver (at ψ(x) må være nul på kassens sider), er der kun nogle ganske bestemte bølgelængder, der kan komme på tale. Vi kan f.eks. ikke have en bølgelængde i eksemplet i opgaven ovenfor på 3 cm. En en-dimensional partikel i en kasse. Ovenfor har vi set, at ψ(x) ikke kan have vilkårlige bølgelængder. Nu skal vi være lidt mere præcise. Lad os forestille os en kasse med længden L. Heri findes en partikel med massen m. Vi ønsker nu at bestemme de mulige bølgelængder for bølgefunktionen. Vi ved, at ψ(x) skal være nul i kassens ender. Mellem disse to nulpunkter kan der enten være ingen, et, to, tre, fire osv. steder, hvor funktionen har top eller bug. Lad os kalde antallet af steder, hvor bølgen enten har top eller bug mellem de to ender for n. Hvis bølgen ikke har præcis en top/bug mellem kassens to sider, må kassens længde være en halv bølgelængde, og bølgelængden på derfor være den dobbelte af kassens længe (altså λ=2 L). 0 L Hvis der til gengæld er to steder med top/bug mellem kassens sider, vil bølgelængden være lig med kassens længde. 0 L 7

8 Hvis funktionen har top/bug tre steder mellem kassens sider, må der være halvanden bølgelængde inde i kassen, og bølgelængden må derfor være Hvis funktionen har top/bug fire steder mellem kassens sider, må der være to bølgelængde inde i kassen, og bølgelængden må derfor være λ=l/2. Når man fortsætter på denne måde, ser man, at hver gang der kommer et top/bug mere ind mellem kassens sider, bliver der plads til en halv bølgelængde mere inde i kassen. Antallet af halve bølgelængder mellem kassens sider er lig antallet af top/bug mellem kassens sider. For at finde længden af en halv bølgelængde, må man derfor dividere med antallet af top/bug. Skal man finde en hel bølgelængde skal man derefter gange med to. Man kan nå frem til, at bølgelængden er 0 L 2 Hvor n er antallet af top/bug mellem kassens to væge. Dette svarer til de bølger man ser, når man eksperimenterer med en svingende streng. Den kinetiske energi for en partikel kan udregnes som Her finder man nogle tilsvarende resultater. Man kan med fordel lave dette forsøg for at øge sin forståelse for kvantemekaniske bølgefunktioner (se f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 20-21) Sammenhængen mellem bølgelængde og hastighed Bølgelængden hænger tæt sammen med partiklens hastighed. Hvis man f.eks. kender hastigheden kan man ud fra formlen finde bølgelængden af bølgefunktionen ψ(x) (her er h = 6, Js Plancks konstant - altså bare en naturkonstant med enheden joule gange sekund -, m er partiklens masse og v er partiklens hastighed). Vi kan omskrive denne formel og finde at partiklens hastighed er givet ved 8

9 Når vi kender hastigheden v, kan vi udregne den kinetiske energi af partiklen vha. formlen ½ =½ h h = 2 Hvis bølgefunktionen kun kan findes med nogle gangske bestemte bølgelængder, kan vi se, at der kun er nogle ganske bestemte energier, som en partikel kan have, hvis den er lukket inde i en kasse. Dette er i modstrid med vores klassiske fysik. I den klassiske fysik, kan en partikel have en hvilken som helst hastighed og det afhænger ikke af, om den tilfældigvis befinder sig inde i en kasse. Dette er et eksempel på, at omgivelserne spiller en afgørende rolle for partiklers bevægelse i kvantemekanikken (se f.eks. Kvantemekanik Atomernes vilde verden side 50). Opgave 4 Vi tænker nu på en elektron i en meget lille kasse. Denne kasses længde er kun m. (det svarer nogenlunde til diameteren på et atom). a. Hvad er de fem længste bølgelængder som en elektron kan have i en sådan kasse? b. Hvilke energier svarer det til (elektronens masse er 9, kg.)? Det at man ikke kan have alle mulige energier for et system er en egenskab ved mange kvantemekaniske systemer. Man siger at energierne er diskrete. Det betyder bare, at der er spring imellem dem. Når man ønsker på en gang at tale om alle de mulige energier for et kvantemekanisk system, kalder man dem under et for systemets energi-spektrum. Opgave 5 a. Hvad betyder det, at energierne for et kvantemekanisk system er diskrete? b. Hvad er energi-spektret for et kvantemekanisk system? Opgave 6 a. Lav en formel der giver den kinetiske energi der svarer til n top/bug mellem kassens to væge. Man nummerer de mulige energier ved at begynde med den laveste energi og så tæller gennem de mulige energier i stigende rækkefølge. Man taler om, at hver energi er et bestemt energi-niveau, som svarer til energiens nummer. Således bliver den 7. energi i rækken kaldt det 7. energi-niveau. Det nederste energiniveau kaldes derudover for grundtilstanden. Nedenfor ses en udregning af de første 5 energi-niveauer for en elektron (med massen kg.) i en en-dimensional kasse med sidelængden m. 9

10 Læg mærke til, at den laveste energi ikke er nul. I dette tilfælde er den på 37 ev (en 1eV= J). Man siger at energien i grundtilstanden ikke er nul. Det kan tolke sådan, at partiklen faktisk ikke kan ligge stille inde i kassen. Opgave 7 a. Hvad menes med det tredje energi-niveau? b. Hvad menes med grundtilstanden? c. Hvad betyder det at energi-niveauerne er diskrete? d. Hvad betyder en stationær tilstand for et kvantesystem? e. Hvad er grundtilstandens energi? 10

11 Lidt matematik I fysik bruger vi ofte en sinus-funktion til at beskrive en bølge. Nedenfor ses en række forskellige sinusfunktioner Funktionen sin(x) Funktionen 2 sin(x) Funktionen 2 sin(3 x) Opgave 8 Hvad er amplituden og bølgelængden (aflæs på graferne) for de tre bølger ovenfor? Man kan generelt kan vi sige, at hvis bølgelængden er λ, kan bølgens form beskrives med funktionen sin(ω x), hvor ω=360/λ. Opgave 9 Forklar hvorfor en bølge med bølgelængden er λ, kan bølgens form beskrives med funktionen sin(ω x), hvor ω=360/λ 11

12 Vi kan nu beskrive bølgens form. Den bølge, der beskrives af funktionen f(x)=sin(ω x) har amplituden 1. Hvis vi ønsker en bølge med en anden amplitude, ganges blot med amplitudens størrelse. Hvis vi f.eks. ønsker en bølge med amplitude 3, bliver funktionen der beskriver bølgen f(x)=3 sin(ω x). Mere generelt kan en bølge med amplituden A beskrives ved f(x)=a sin(ω x). Nu ved vi både hvordan vi finder ω ud fra bølgelængden, og hvordan amplituden skal beskrives matematisk. Vi når derfor frem til, at en bølge med bølgelængde λ og en amplitude A kan beskrives med funktionen En bølge med bølgelængden λ og amplituden A kan matematisk beskrives som sin Opgave 10 Beskriv en bølge med amplitude 0,003 og bølgelængde 45 matematisk Bølgens amplitude Vi har tidligere set at sandsynligheden for at finde en partikel hænger sammen med funktionen Ψ Hvis ψ(x) kan skrives så kan S(x) skrives Ψ Hvis vi er sikre på, at partiklen findes inde i kassen, så må sandsynligheden for at finde partiklen mellem kassens to sider være 100% (eller 1) den er jo et eller andet sted derinde. Sandsynligheden for at finde partiklen mellem kassens to sider, er arealet mellem x-aksen og grafen for S(x). Vi må altså gøre amplituden præcis så stor, at dette areal bliver 1. For at gøre det, finder vi først arealet mellem x-aksen og grafen for funktionen. Hvis dette areal f.eks. gav 0.1 ved vi, at vi har brug for en S(x)-funktion, der kan give et areal, der er 10 gange større (fordi 0.1 er 1/0.1 = 10 gange mindre end 1). En sådan S(x)-funktion kan vi skrive som hvilket fortæller os, at 10 eller at

13 Mere generelt kan vi argumentere, at hvis arealet under funktionen giver tallet b, så må amplituden for ψ(x) være. Lad os se på et eksempel: Eksempel Vi ser på en partikel i en kasse med kantlængde m. Partiklen har en bølgelængde på m. ψ(x) kan skrives 360 Ψ( )= sin Nu taster vi. ind i Graph og derefter udregner vi arealet mellem x-aksen og grafen i intervallet fra 0 til Vi ser at dette areal er Amplituden A R findes nu ved at sige =. = Hele bølgefunktionen kan altså skrives 360 = sin

14 Opgave 11 Se på eksemplet ovenfor og skriv en lille tekst der beskriver hvordan man finder amplituden for en bølgefunktion der beskriver en en-dimensional partikel i en kasse. Opgave 12 Udregn energien for en partikel i en kasse med kantlængde m. Partiklen har en bølgelængde på m og en masse på kg. Opgave 13 Udregn bølgelængden for en partikel med masse kg og energi J. Find bølgefunktionen for denne partikel, hvis den befinder sig i en kasse, der har en kantlængde på en 5 bølgelængde. Schrödinger-ligningen Vi har i det foregående noget løst argumenteret for, at en partikel i en kasse kan beskrives ved bølgefunktionen Ψ( )= 360 For at vise dette, må vi tage udgangspunkt i de ligninger der beskriver bølgefunktioner. Det drejer sig i første omgang om schrödinger ligningen. Denne ligning er en differentialligning (se f.eks. MAT A3 bogen fra systime). I det en-dimensionale tilfælde er ligningen givet ved Ψ( )= ħ 2 Ψ( ) + ( ) Ψ( ) Her er ħ , m er partiklens masse og V(x) er det potentiale som partiklen befinder sig i. Det første led på højre side ovenfor tolkes normalt som partiklens kinetiske energi, mens det sidste led tolkes som partiklens potentielle energi. Vi skal nu løse den stationære Schrödinger - ligning for en partikel i en boks 1. Det betyder, at vi har en partikel, som bevæger sig i en dimension. Potentialet er 0 i intervallet mellem 0 og a. I alle andre tilfælde er potentialet uendeligt, dvs. Dette kan illustreres i følgende figur: <0 ( )=0 0< < ( )= > 1 Se f.eks. Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, Second Edition, John Wiley & Sons, side 58 14

15 Først ser vi på tilfældet <0: Men da ( )= i dette tilfælde, må ( ) = 0 Det samme må være tilfældet for > Opgave 14 1) Nu skal vi så se på tilfældet 0< < Omskriv Schrödinger-ligningen, og vis at den derved kan skrives på formen: ( )= ( ), hvor = ħ 2) Begrund, at den generelle løsning til ovenstående ligning kan skrives på formen: ( )= cos( )+ sin( ) 3) Bølgefunktionen skal være kontinuert. Specielt skal bølgefunktionen være kontinuert i x =0 Benyt dette til at vise, at =0 4) Hvad bliver nu den generelle løsning i intervallet 0< <? 5) Bølgefunktionen skal være kontinuert. Specielt skal bølgefunktionen være kontinuert i x = Benyt dette til at vise, at =, n = 1, 2, 3, 4, 6) Benyt betingelsen fra ovenstående punkt til at vise følgende: = ħ = ħ, n = 1, 2, 3, 4, Følgende skema er udfyldt for n = 1. Udfyld nu for n = 2, 3, 4, n 1 ħ 1 2 = ħ

16 7) Skitser energiniveaudiagrammet. Grundtilstanden er indtegnet: Bemærk, at energiniveauerne ikke ligger med samme afstand. 8) Skitser grafen for bølgefunktionen og for sandsynlighedsfunktionen. Skemaet er udfyldt for n = 1 og n = 2. Udfyld nu skemaet for n = 3, 4, n ( ) ( ) 1 2 x = 0 x = a x = 0 x = a 3 4 Et relevant forsøg hvor den ovenstående teori benyttes er forsøget med kvantedots 16

17 Den klassiske løsning Vi skal nu se lidt nærmere på den tilsvarende klassiske løsning. I dette tilfælde vil partiklen selvfølgelig også være spærret inde i brønden af potentialet. Til gengæld er der ingen begrænsninger på energiniveauet. Partiklen kan have alle energier. Derfor bliver energispektret kontinuert. Der er lige stor sandsynlighed for at være alle steder for 0< < a. Desuden er ( ) =1 er sandsynlighedsfunktionen for partiklen. Da er konstant indses det let, at p(x) = 1/a hvor p(x) Dermed får vi følgende sandsynlighedsfordeling, hvor sandsynligheden er nul for at finde partiklen uden for brønden og fordelingen er for at finde partiklen i brønden. 17

18 Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer Det er naturligvis ikke kun elektroner i kasser man kan beskrive med bølgefunktioner. I kvantemekanikken kan man udregne energi-niveauer og bølgefunktioner for mange forskellige kvantesystemer. En af de simpleste kvantesystemer beskriver elektronen i et brintatom. Elektronen holdes her ikke fast af nogle faste væge i en kasse, men derimod af den elektrostatisk tiltrækning som findes mellem protonen og elektronen. Nedenfor er vist en figur over de 5 laveste energi-niveauer i brint. Brint-energi-niveauer. Enheden på energi-aksen er i ev (= J). Nulpunktet for energi-aksen er sat til den størst mulige energi elektronen i et brint-atom kan have (har den en større energi, kan den ikke hænge fast i atomet længere). Bestemmelse af energi-niveauer Energien i en foton (en lys-partikel) afhænger af lysets frekvens gennem formlen: h = h Hvor h er Plancks konstant, c er lysets hastighed, λ er lysets bølgelængde og f er lysets frekvens. Opgave 16 Forklar det sidste lig-med-tegn 18

19 Vi har tidligere studeret, at elektronen i et atom ikke kan have alle mulige forskellige energier, men kun de som svarer til atomets energiniveauer. Når en elektron springer fra et energi-niveau til et andet taber eller vinder den energi. Hvis den sidste stationære tilstand har mindre energi end den første, må atomet skilde sig af med den overskydende energi, og den udsender derfor lys. Det kan skematisk afbildes som på figuren nedenfor. Energi niveauer foton Elektronerne kan springe på de måder, som er beskrevet ved pilene på figuren. Den energi der udsendes svarer til forskellen mellem energi-niveauerne. Hvis man derfor måler fotonernes bølgelængder, kan man finde foton-energierne og dermed energi forskellene mellem energi-niveauerne. Det kan være lidt af et puslespil at finde energiniveauerne ud fra foton-energierne, men det er muligt. Eksempel Man måler følgende bølgelængder: m, m, m af lys. Med formlen kan vi finde de tilsvarende bølgelængder til at være Hz, Hz og 1, Hz (vis dette). Nu kan man med =h finde de tilsvarende energier til 3, J, J og 9, J (vis det). Hvis svarer til 3, J, så kan de tre energier afbildes i stregform således Bliver til energiniveauerne Eller Disse kan stykkes sammen, så man får energiniveauerne, som er vist ovenfor. Læg mærke til, at der er to forskellige systemer af energiniveauer, der passe til de målte energier. Opgave 17 Brintatomets laveste 4 energiniveauer er -13,6 ev, -3,4 ev, -1,5 ev og -0,85 ev (se f.eks. afsnittet Brintbølgefunktionerne og brint-energi-nivauer i noten). Enheden er elektron volt og 1 ev = J. 1. Omregn energierne til Joule. 2. Find alle de forskellige bølgelængder man vil se, når elektronerne springer rundt mellem disse energiniveauer. 19

20 Opgave 18 Man ser lys med følgende bølgelængder m, 10-6 m, m og 6, m. Hvordan kunne energi niveauerne se ud? Eksperimentel øvelse For at bestemme bølgelængderne af spektrallinierne i heliumspektret benyttes et spektrometer. Spektrometeret består af en kollimator, et gitter og en kikkert. En He-spektrallampe anbringes bagved den smalle spalte i kollimatoren. På grund af linsen i den anden ende af kollimatoren samles lyset til et parallelt strålebundt. Dette strålebundt rammer gitteret og bliver afbøjet af gitteret. Der benyttes en drejelig kikkert for at iagttage spektret. I kikkerten er anbragt et trådkors, og kikkerten drejes først mod højre således at den ønskede linje ligger igennem korset. Så drejes til den modsatte side indtil man finder den tilsvarende venstre linje. Ved at trække de to vinkler fra hinanden og dividere med to, finder man afbøjningsvinklen. Hvorfor det? Du skal udmåle 1. ordens spektret til begge sider. Udmål så mange linjer som muligt. Du skal tegne opstillingen af spektrometeret i rapporten, så det tydeligt fremgår, hvor spektrallampen står, hvor der er spalter og hvor der er linser. Lysets strålegang skal fremgå af tegningen. Gitterkonstant d = 0.te ordens vinkel = farve lysstyrke venstre vinkel højre vinkel θ λ / nm (beregnet) λ / nm (tabel) afvigelse i % 1. Find de tilsvarende foton-energier. 2. Giv et bud på energiniveauerne. 20

21 Elektroner mod et gitter Fra bølgemekanikken kender vi gitterligningen. Den beskriver hvad der sker, når en bølge rammer et gitter og de dele af bølgen der kommer gennem hvert deres sprække interfererer på den anden side af gitteret. Ligningen ser således ud =d sin( ) Hvor n er ordenen, λ er bølgelængden, d er gitterkonstanten (afstanden mellem to sprækker) og θ er afbøjningsvinklen 2. orden 1. orden Θ 1 0. orden Denne ligning gælder for alle bølger men ikke for klassiske partikler. I kvantemekanikken beskrives partikler som bølger, og derfor kan vi også for elektroner benytte gitterligningen. Opgave 19 Find første og anden ordens afbøjningsvinkel for en elektron (hvis masse er 9, kg.) med energien j, når elektronen rammer et gitter med 10 6 riller pr. meter. Nedenfor ses et billede af en eksperimentel opstilling, hvor man direkte kan se, at elektronerne afbøjes som bølger, når de rammer et gitter 21

Optisk gitter og emissionsspektret

Optisk gitter og emissionsspektret Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge

Læs mere

Rektangulær potentialbarriere

Rektangulær potentialbarriere Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Laboratorieøvelse Kvantefysik

Laboratorieøvelse Kvantefysik Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Røntgenspektrum fra anode

Røntgenspektrum fra anode Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Dobbeltspalte-eksperimentet. Lad os først se lidt nærmere på elektroner, som skydes imod en skærm med en smal spalte:

Dobbeltspalte-eksperimentet. Lad os først se lidt nærmere på elektroner, som skydes imod en skærm med en smal spalte: Dobbeltspalte-eksperimentet Nogle af kvantemekanikkens særheder kan illustreres med det såkaldte dobbeltspalte-eksperiment, som er omtalt side 73 i Atomernes vilde verden. Rent historisk fandt man elektronen

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Undersøgelse af lyskilder

Undersøgelse af lyskilder Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at

Læs mere

Spektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3

Spektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3 Spektralanalyse Jan Scholtyßek 09..2008 Indhold Indledning 2 Formål 3 Forsøgsopbygning 2 4 Teori 2 5 Resultater 3 6 Databehandling 3 7 Konklusion 5 7. Fejlkilder.................................... 5 Indledning

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Måling af spor-afstand på cd med en lineal

Måling af spor-afstand på cd med en lineal Måling af spor-afstand på cd med en lineal Søren Hindsholm 003x Formål og Teori En cd er opbygget af tre lag. Basis er et tykkere lag af et gennemsigtigt materiale, oven på det er der et tyndt lag der

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Dopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard

Dopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD Kuglestød er en af atletikkens kastediscipliner, hvor man skal forsøge at støde en metalkugle længst muligt. Historisk set kan kuglestød føres tilbage til antikkens

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 Naturens byggesten

Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 Naturens byggesten Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 I dag: Hvad er det for byggesten, som alt stof i naturen er opbygget af? [Elektrondiffraktion] Atomet O. 400 fvt. (Demokrit): Hvis stof sønderdeles i mindre

Læs mere

Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Kvantemekanikken

Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Kvantemekanikken Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Indførelsen af kvantiseringsbegrebet for lysenergi (lysets energi bæres af udelelige fotoner med E = hν). I dag: Yderligere anvendelse af kvantiseringsbegrebet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg

Læs mere

Vejledning til Betastrålers afbøjning

Vejledning til Betastrålers afbøjning Vejledning til Betastrålers afbøjning 11.01.11 Aa 5141.05 Figur 1 Drej kildeholderen til 90 og tæl eller lyt igen. Den kollimerede stråle af betapartikler rammer ikke længere GM-røret, og tællehastigheden

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken. I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant 1 Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant 1.1 Indledning I slutningen af 1800-tallet opdagede man, at metaller kan udsende elektroner, når de bliver belyst. Hvert metal kræver en bølgelængde

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere