Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer:"

Transkript

1 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Anvendelseseksempler Anvendelseseksempel A Udklækningsid for flueæg (Daa i dee eksempel sammer fra Pracical saisics for environmenal and biological scieniss af John Townsend (Wiley, )) I e forsøg har man undersøg hvordan udklækningsiden U (mål i imer) for flueæg afhænger af luffugigheden L (mål i %) L U Målingerne er afsa på Figur A U L ANVENDELSESEKSEMPLER 73 Ud fra abellen udregner vi de summer: L + + L , L + + L , L U + + L U , U + + U Indsæes disse i formlen (A), fås ligningerne { 5 a + 73 b, 73 a + b 999 Ved a række 73 (forholde mellem 73 og ) gange den anden ligning fra den førse fås og dermed 5 a + 73 b 73(73 a + b) , 97 a 373 dvs a 7 Indsæelse af a 7 i ligningen 73 a + b 999 giver så Ved lineær regression fås alså udrykke 93 + b 999 og dermed b 93 U 7 L + 93 for den bedse ree linie Bemærk a den grafisk beseme hældningskoefficien på fra (A3) afviger med ca % i forhold il hældningskoefficienen på 7 funde ved lineær regression, mens de o værdier af b afviger med ca % Figur A: Udklækningsiden som funkion af luffugigheden [Maemaisk modellering] Af figuren ses de, a U med god ilnærmelse er en lineær funkion af L Vi opsiller derfor modellen U al + b, Anvendelseseksempel A Planeprodukivie og nirogen (Dee eksempel sammer fra Elemens of ecology (5 udg) af Smih & Smih (Benjamin Cummings, 3)) hvor a og b er konsaner På Figur A har vi endvidere indegne den ree linie, der ser ud il a semme beds med målingerne Da denne ree linie går igennem punkerne (, 9) og (, 7), sluer vi, a liniens hældning er (7 9)/( ), så liniens ligning er U L + 9 (A3) Ved a benye lineær regression (Sæning A) kan vi finde e mere præcis udryk for den bedse ree linie Vores målinger er (L i, U i ) for i,,,, så sæningen giver i vores ilfælde ligningerne { ( L + + L ) a + (L + + L ) b L U + + L U (L + + L ) a + b U + + U (A) Figur A7: Planeprodukivie som funkion af nirogenindhold

2 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 75 Som de ses af Figur A7, er der med god ilnærmelse en lineær sammenhæng mellem den mængde nirogen (beegne med x), der er ilgængelig i jorden og planeprodukivieen (beegne med y) Mere konkre gælder der (med god ilnærmelse) y 75 x Denne formel kan bla bruges il a regne frem og ilbage mellem x og y Kender man feks nirogenmængden x, så fås planeprodukivieen y (afrunde il en decimal) Hvis man omvend ønsker a besemme den mængde x af nirogen, der giver en planeprodukivie på y 5, så fås ligningen Denne ligning løses: 5 75 x 5 75 x 5 75 x x (afrunde il én decimal) Bemærk a små x-værdier giver negaive y-værdier (mere præcis er y < når x < 75 ), hvilke ikke giver mening i virkeligheden Modellen holder alså ikke for disse små x-værdier Ud fra målepunkerne ser de dog også ud il, a man sjælden søder på jord med så lav nirogenindhold Anvendelseseksempel A3 ph-værdi ph-værdien af en vandig opløsning er give ved ph log[h + ], N Figur A: Analle af andemadsblade N som funkion af iden [Maemaisk modellering] De kunne se ud som om, mængden af andemad vokser eksponeniel med iden, så vi opsiller modellen N be r, hvor b og r er konsaner Man kan dog ikke umiddelbar afgøre ud fra Figur A, om denne model holder [Maemaisk problembehandling] Analyse: Vi så i Anvendelseseksempel A, a man kan undersøge en lineær sammenhæng vha en graf eller vha lineær regression Derfor ønsker vi a omforme udrykke N be r (de vi ved) il noge lineær (de vi vil vide) Løsning: Vi vil benye, a logarimen fjerner eksponenialfunkionen, så vi ager logarimen på begge sider af N be r og får ln N ln b + r, dvs ln N er en lineær funkion af (Se også Bemærkning A) Vi afbilder derfor ln N som funkion af (se Figur A9) ln N hvor [H + ] er koncenraionen af H + -ioner Salsyre har ph og dermed [H + ], nariumhydroxid har ph og dermed [H + ], og vand har ph7 og dermed [H + ] 7 Bemærk a der skal en -dobling af [H + ] il a sænke ph-værdien med Anvendelseseksempel A Andemad I e forsøg med andemad har man daglig opal analle af blade Målingerne er angive i abellen ( er anal dage fra saren af forsøge og N analle af blade) og afsa på Figur A N Figur A9: ln N som funkion af

3 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 77 Konklusion: Af figuren ses de, a ln N med mege god ilnærmelse er en lineær funkion af Vi har endvidere indegne den ree linie, der ser ud il a semme beds med målingerne Denne ree linie har i dee ilfælde ligningen ln N Som i Anvendelseseksempel A kan vi finde e mere præcis udryk for denne linie ved a anvende lineær regression For a kunne gøre dee, udfylder vi førs en abel med samhørende værdier af og ln N ln N Ved a anvende lineær regression (Sæning A) på de daapunker fås (, ), (, ),, (3, 9) ln N + 39, så ln b og dermed b e Endvidere er r 39, så vi sluer a N e 39 Vi bemærker il sids, a N også kan skrives på formen N ( e 39) 7, hvoraf de ses, a væksraen for andemaden er q 7 7, dvs knap % pr dag De ses a befolkningsalle ilnærmes god af funkionen N(), dvs a befolkningen vokser eksponeniel med en væksrae på 3 3 3% i perioden 79- Derimod afager væksen efer Hvis vi ønsker a angive N() på formen N() be r( 79), bemærker vi, a så r ln a ln 3 3, N() 39 e 3( 79) (b) Tilsvarende har vi på Figur A5 afsa befolkningsalle i Danmark (i millioner indbyggere) fra 79 il sammen med grafen for eksponenialfunkionen hvor er årsalle 7 5 N() 7 79, Anvendelseseksempel A5 Befolkningsvæks (a) På Figur A5 har vi afsa befolkningsalle i USA (i millioner indbyggere) fra 79 il 9 sammen med grafen for eksponenialfunkionen hvor er årsalle N() , N Figur A5: Eksponeniel væks af befolkningsalle i Danmark I dee ilfælde konkluderer vi, a der i perioden med god ilnærmelse var eksponeniel væks i befolkningsalle med en væksrae på % Igen ses de, a væksen senere afager (c) Som nævn i (a) afager væksen i USA s befolkningsal efer På Figur A5 har vi afsa befolkningsalle i USA fra 79 il sammen med grafen for den logisiske funkion 9 Figur A5: Eksponeniel væks af befolkningsalle i USA hvor er årsalle N() e 3( 79),

4 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 79 5 Hvis vi med k 5 ønsker a besemme hvor lang id, der går, før der er 3% ilbage af de organiske maeriale, så fører de il ligningen 3 e som løses: 3 e 5 ln 3 5 Der går alså ca dage, hvilke semmer god med Figur A53 ln Figur A5: Logisisk væks af befolkningsalle i USA De ses a befolkningsalle ilnærmes god af funkionen N(), dvs a befolkningen vokser logisisk (med bærekapacie 7 millioner) i perioden 79 9, hvorefer væksen siger igen (de såkalde baby-boom efer verdenskrig) Anvendelseseksempel A Nedbrydning af organisk maeriale Ved nedbrydning af organisk maeriale (feks i skovbunden) er mængden af ikke-nedbrud sof ofe en eksponeniel afagende funkion af iden Sag på en anden måde: den procendel af den oprindelige mængde, der er ilbage il iden (mål i dage) kan angives på formen Procen e k, hvor konsanen k afhænger af hvilken slags organisk maeriale, der er ale om, og af de vilkår, nedbrydningen foregår under Jo sørre k-værdi, jo hurigere foregår nedbrydningen På Figur A53 ses de ilsvarende grafer for k hhv k 5 Anvendelseseksempel A7 Aminosyre I byg og majs har man mål indholde S af aminosyren serin (angive i gram serin pr gram nirogen) som funkion af hydrolyseiden (mål i imer) De viser sig, a sammenhængen mellem S og kan beskrives ved log S α, hvor α 5 for byg og α 7 for majs Vi har derfor S α α ( { ) 9 99 for byg 3 99 for majs De ses, a serinindholde il iden er en afagende eksponenialfunkion af med en negaiv væksrae på % Bemærk endvidere, a serinindholde il er forskellig i byg og majs Derimod afager serinindholde med den samme relaive hasighed for begge kornsorer, ide man i begge ilfælde skal gange serinindholde il med fakoren 99 for a få serinindholde il iden Da kan S også angives på formen S 99 e ln 99 e, { 9 e for byg 3 e for majs Procen k k5 Anvendelseseksempel A Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vi vil forvene, a jo sørre e paedyr er, jo højere er des sofskife (Se også Opgave A3 om blodmængde og kropsvæg hos paedyr) I skemae er angive kropsvægen K (mål i kg) og sofskife S (som måles som de anal lier il, der forbrændes i imen) for forskellige paedyr 3 Figur A53: Nedbrydning af organisk maeriale Dyr Vampyrflagermubjørn Næse- Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvæg, K Sofskife, S 7 5

5 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER (a) Vi vil førs undersøge, om sofskife er proporional med kropsvægen, dvs om der hører en fas mængde sofskife pr kg kropsvæg 7 ANVENDELSESEKSEMPLER Dyr Vampyrflagermubjørn Næse- Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvæg, K Sofskife, S 7 5 S K S K Figur A5: Sofskife som funkion af kropsvægen Målingerne er afsa på Figur A5 De kan være svær a danne sig e overblik vha figuren, men umiddelbar ser de ikke ud il, a sofskife er proporional med kropsvægen En anden måde a undersøge dee på er a udregne forholde mellem sofskife og kropsvæg for hver dyr Hvis der er proporionalie, dvs hvis der med god ilnærmelse gælder S S ak for en konsan a, så skulle forholde mellem sofskife og kropsvæg, dvs K, være nogenlunde konsan a S Forholde varierer alså mellem 33 og 3 Dee kan lyde som en sor variaion, K 75 men dels passer de mege bedre end i (a), og dels er de fakisk imponerende, a forholde er ilnærmelsesvis konsan for så forskellige dyr Konsanen b i udrykke S bk 75 besemmer vi som gennemsnie af allene i nederse række i de forrige skema: Dermed har vi b S 3 K 75, 3 og grafen for denne funkion er angive på Figur A55 sammen med målepunkerne 7 5 S Dyr Vampyrflagermubjørn Næse- Ørkenræv Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvæg, K Sofskife, S 7 5 S K De ses, a forholde S K ikke er konsan, men derimod generel afager, når kropsvægen vokser Med andre ord så vokser sofskife langsommere end kropsvægen (En mege løs biofysisk forklaring på dee: Kropsoverfladen vokser langsommere end kropsvægen, så hvis sofskife var proporional med kropsvægen, ville sore dyr ikke kunne slippe af med varmen og små dyr ikke kunne holde varmen: en ko ville være kogende på overfladen eller en mus være nød il a have en cm yk pels for a holde sig varm ) (b) Vi ønsker nu a vise, a der med rimelig ilnærmelse gælder S bk 75, hvor b er en konsan (I (d) vil vi vise, hvordan vi kom frem il eksponenen 75) Vi udregner for hver dyr sørrelsen S K 75 : K Figur A55: Sofskife som funkion af kropsvægen Figuren underbygger, a der med god ilnærmelse gælder S 3 K 75 (Se endvidere wwwakuelnaaudk/pdf_3/an7-pdf for en mulig biologisk forklaring på sammenhængen S bk 75 ) (c) Ud fra ligningen S 3 K 75 kan man lave forskellige udregninger: De følger af Sæning A, a hvis e dyr er dobbel så ung som e ande, så er des sofskife 75 7 gange sørre E menneske på K 7 kg forvenes a have e sofskife på S Vides de, a e dyrs sofskife er S 3, så forvenes des kropsvæg K a opfylde 3 3 K 75 K K 9/75 9 kg

6 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 3 (d) Vi vil nu se, hvordan man er komme frem il eksponenen 75 Vi går ud fra den generelle model S bk a (som alså anages a gælde, uanse hvilke dyr vi berager) og ønsker a besemme paramerene a og b Hvis vi ager logarimen på begge sider af S bk a, finder vi ln S ln b + a ln K (Se også Bemærkning A) Modellen udrykker alså, a der er en lineær sammenhæng mellem ln S og ln K For a få en idé om værdierne af a og b indegner vi punkerne (ln K, ln S) for hver af de seks udvalge dyr i samme koordinasysem (Se Figur A5) Anvendelseseksempel A Analle af dyrearer på en ø Undersøgelser viser, a analle S af dyrearer på en ø inden for en ø-gruppe ofe afhænger af øens areal A på formen S ca z, hvor c og z er konsaner Værdien af z varierer fra ø-gruppe il ø-gruppe, og vil som regel ligge mellem og Hvis feks z, så vil en fordobling af øens areal bevirke, a analle af arer vokser med en fakor 5, dvs en forøgelse på 5% 3 ln S Anvendelseseksempel A Træhøjde Dee eksempel omhandler sammenhængen mellem e ræs diameer d (i bryshøjde) mål i cm og des højde h mål i m Man har foreage følgende målinger ln K d h [Maemaisk modellering] Vi vil berage o forskellige modeller for sammenhængen mellem d og h -3 - (a) I fysik vises de ved syrkeberegninger, a e ræs maksimale højde er proporional med d /3, dvs h bd /3, hvor b er en konsan Så simpel er sammenhængen ikke nødvendigvis, men man kunne overveje en model, hvor højden er en poensfunkion af diameeren, dvs Figur A5: ln S som funkion af ln K Vha lineær regression (Sæning A) finder man, a den ree linie, som passer beds med disse punker, er give ved ln S ln K Vi har alså a 75 (som posulere i (b)) sam ln b 9 og dermed b e 9 39 (hvor vi i (b) fand b 3) Der gælder alså med god ilnærmelse S 39 K 75 h bd a, hvor a og b er konsaner Ved a age logarimen på begge sider fås ln h ln b + a ln d, så ln h er en lineær funkion af ln d (Se også Bemærkning A) Ved a anvende lineær regression (Sæning A) på punkerne (ln d, ln h) fås paramerene ln b og a il a være ln b 3 og dermed b 37 sam a 55, så vi sluer a h 37 d 55 (se Figur A57) Anvendelseseksempel A9 Gennemsnilig planevæg På e areal dyrkes N anal planer pr m Lad w være den gennemsnilige væg af den enkele plane For nogle (men ikke alle) yper planer kan konkurrencen mellem planerne beskrives ved Yodas lov (selvudyndingsreglen), som siger a w cn 3/, hvor c er en konsan De ses, a w er en poensfunkion af N med eksponen 3 Ofe vil man være ineressere i den samlede biomasse pr m Denne sørrelse beegnes B og er lig analle af planer pr m gange den gennemsnilige planevæg, dvs B Nw cn / (b) I praksis benyer man ofe Henriksens semilogarimiske dh-model (opkald efer idligere professor i skovdyrkning ved KVL, HA Henriksen; se ev hans arikel Højde-diameer diagram med logarimisk diameer Dansk Skovforenings Tidsskrif Vol XXXV(95), s 93-) I denne model anages en sammenhæng mellem d og h af formen h B + A ln d, hvor A og B er konsaner Ved a anvende lineær regression (Sæning A) på punkerne (ln d, h) fås B og A 3 og dermed (se Figur A57) h + 3 ln d

7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 5 (c) På Figur A57 og A5 (zoome ind) har vi indegne målingerne sam graferne for funkionerne h 37 d 55 og h + 3 ln d Anvendelseseksempel A Temperaursvingninger i jorden Lufemperaurens variaion i løbe af åre er vis på Figur A59 (Kilde: Danmarks Meeorologiske Insiu) h37*d^55 h +3*ln(d) 3 h 3 5 d Figur A57: To modeller for ræhøjde som funkion af diameer Figur A59: Lufemperaurens variaion i København 3 h37*d^55 h +3*ln(d) De ses, a døgnes middelemperaur i C med rimelig ilnærmelse er give ved T () + sin ( π ), hvor iden måles i måneder, og 5 april svarer il I en vis jordbund kan man vise, a emperauren i meers dybde kan ilnærmes med udrykke T () + 5 sin ( π ) + 5 sin ( π ( )) Graferne for T () og T () ses af Figur A h 5 T Overfladen d Figur A5: Forsørrelse af del fra Figur A57 5 meers dybde De ses a begge modeller passer god med målingerne Da graferne ligger mege æ på hinanden (speciel for d mellem og 5), vil vi anse de o modeller for nogenlunde lige gode Figur A: Temperauren i forskellige jorddybder Vi bemærker o fænomener: Dels er emperaurudsvingene mindre i meers dybde end ved overfladen, og dels er kurven for emperauren i meers dybde forskud måned i forhold il kurven for emperauren i overfladen, hvilke skyldes, a de ager id før kulde og varme rænger ned i meers dybde (Temperaursvingninger i jord vil blive age op igen i Anvendelseseksempel D5)

8 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 7 Anvendelseseksempel A3 Priselasicie (a) I økonomi berager man ofe modeller for sammenhængen mellem prisen p og eferspørgslen q på en vare, dvs man beskriver q som funkion af p Hvilken slags funkion, man benyer, afhænger af den konkree siuaion, men fælles for dem alle er, a q er afagende som funkion af p, ide eferspørgslen falder når prisen siger E par mulige modeller er hvor A og b er posiive konsaner q 3 5 p eller q Ap b (b) En lille signing p i prisen fører il e lille negaiv ændring q i eferspørgslen Priselasicieen ε kan løs defineres som den relaive ændring i eferspørgslen dividere med den relaive ændring i prisen, dvs ε q/q p/p q p p q (Minusse i definiionen er med for a opnå a ε : hvis p er posiiv, så er q negaiv) Når p er lille vil q p dq dp, så man anvender som regel følgende mere maemaiske definiion af priselasicieen: ε dq dp p q Bemærk a ε >, ide q er afagende som funkion af p Hvis vi vil undersrege, a q er en funkion af p, så skrives q q(p), og formlen for priselasicieen bliver da ε q (p) p q(p) For de ovennævne modeller q 3 5 p og q Ap b vil priselasicieerne blive udregne i Opgave A (c) Hvis vi kan producere hele eferspørgslen, så er omsæningen O lig eferspørgslen gange prisen, dvs O pq Når vi berager q q(p) som funkion af p, så bliver O ligeledes en funkion af p : Endvidere har vi O (p) q(p) + p q (p) q(p) O(p) p q(p) ( ) + q p (p) q(p) ( ε) q(p) Når ε <, er omsæningen derfor en voksende funkion af prisen (løs sag reagerer eferspørgslen ikke for voldsom på prisændringer), mens den er afagende når ε > Anvendelseseksempel A Marginalomkosning En virksomhed producerer x enheder af en vis vare Omkosningen P (x) (mål i enheder af usind kroner) forbunde med denne produkion er P (x) 3 + x + x Produkion af enheder koser derfor P () 37 Ønsker man a producere en enkel enhed mere, dvs i al enheder, så er omkosningen P () 33 Forskellen P () P () 7 mellem P () og P () kaldes den marginale produkionsomkosning (eller blo marginalomkosningen) ved produkion af enheder Den angiver alså, hvor mege de koser a producere én eksra enhed Tilsvarende har vi P () 599 og P () 597, så den marginale produkionsomkosning ved produkion af enheder er P () P () Vi ser alså, a marginalomkosningen er lavere ved en produkion på enheder end ved en produkion på enheder Mere generel gælder der som regel, a marginalomkosningen afager med sigende produkion Mere præcis kan man i sede for definere den marginale produkionsomkosning ved en produkion af x enheder som den afledede P (x) Hvis P (x) ikke varierer for krafig, gælder der med god ilnærmelse P (x) P (x + ) P (x), så de o definiioner er æ på a være ens For P (x) 3 + x + x har vi P (x) + x, så marginalomkosningerne ved produkion af hhv og enheder er hhv P () 7 og P () (I dee ilfælde giver de o definiioner alså samme resula med minds o decimalers nøjagighed) Vi bemærker endvidere, a P (x) er en afagende funkion af x (dvs a P (x) <, så P (x) er konkav), hvilke bekræfer, a marginalomkosningen afager med sigende produkion Endelig ses de, a P (x) + x når x, så med en sor produkion er marginalomkosningen ca Anvendelseseksempel A5 Graddage og ukrudsbekæmpelse Ageridslen er en ukrudsplane, der er svær a bekæmpe I e forskningsarbejde ved Dansk JordbrugsForskning har man undersøg, hvornår man skal sprøje med herbicider for a få den bedse bekæmpelse med de minds mulige forbrug af sprøjemidler Man er komme frem il a sprøjningen skal ske 35 graddage efer såbedsilberedningsidspunke, som er de idspunk, hvor jorden bliver gjor klar il såning Løs sag er en graddag C i en dag, så hvis emperauren er C i dage, giver de graddage (De skal nævnes, a minus-emperaurer æller som C; man regner alså ikke med negaive graddage) En mere præcis definiion af graddage, som ager hensyn il de løbende emperaurvariaioner er Graddage T () d

9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 9 Dee giver analle af graddage i perioden fra dag il dag, når T () er emperauren il idspunke Fra Anvendelseseksempel A har vi T () + sin ( π ), hvor iden måles i måneder, og 5 april svarer il Vi ønsker a måle iden i dage i sede for måneder, hvilke giver T () + sin ( π 35 ), ide der er måneder hhv 35 dage på e år Vi sæer førs såbedsilberedningsidspunke il a være (dvs 5 april) og ønsker så a besemme således a Graddage T () d 35 Vi ved alså a analle af graddage er 35 og vi vil vide hvad er Grafisk (se Figur A) svarer dee il a besemme, så a areale under kurven fra il er lig med 35 Vi kunne sille os selv de samme spørgsmål som ovenfor, men med andre såbedsilberedningsidspunker Vælger vi feks april svarende il, så skal besemmes således a Graddage T () d 35 Ved a gå frem som ovenfor fås, hvilke svarer il maj Bemærk a periodens længde ( ) er længere end ovenfor, hvilke giver god mening, ide ageridslerne udvikler sig langsommere i begyndelsen af april pga de lavere emperaurer Anvendelseseksempel A Insulinindhold i blode Hos en forsøgsperson måles indholde I af insulin i blode (mål i pmol/l) i løbe af dagen Målingerne er angive i skemae, hvor er iden mål i minuer Morgenmaden indages il iden og frokosen il T() I På Figur A er målingerne afsa og forbunde med ree linier Herved fås en ilnærmelse I() il insulinindholde il ehver idspunk (mellem 5 og ) T I + 3 Figur A: Besemmelse af _ gennemsni Ved indsæelse af udrykke for T () fås Graddage ( + sin ( π 35 )) d [ 35 π cos ( π 35 )] Figur A: Blodes insulinindhold som funkion af iden [ π cos ( π 35 )] π π cos ( π 35 ) + π For a besemme skal vi alså løse ligningen ) + cos ( π 35 ) ( π ) π cos ( π 35 π 35 De er ikke mulig a finde en eksak løsning il denne ligning, men ved numeriske meoder fås hvilke svarer il 9 maj 3, For a kunne sammenligne målinger fra forskellige forsøgspersoner benyer man ofe inegrale under kurven som mål for de gennemsnilige insulinindhold Da kurven besår af ree linier, er de relaiv le a udregne dee inegral Feks er areale under kurven fra 5 il 3 give ved længden af inervalle gange gennemsnie af værdierne i endepunkerne, dvs I() d Forsæes på denne måde fås I() d 775 5

10 9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Da inervalle fra 5 il har længde 95, svarer dee il e gennemsni på I sni Anvendelseseksempel A7 Termodynamik I ermodynamik opræder arbejde w V V P dv, der udføres, når en gas udvider sig fra volumen V il V, hvor P er rykke I nogle ilfælde er P uafhængig af V, hvilke giver w V V V P dv P dv P (V V ), V mens P i andre ilfælde er syre af gasloven P nrt/v, hvilke giver w V V V P dv nrt dv nrt [ln V ]V V V V nrt (ln V ln V ) nrt ln V V Anvendelseseksempel A Hookes lov For a holde en fjeder med fjederkonsan k udrukke længden l kræves krafen F kl Ønsker man a udrække fjederen fra l il l L, skal man derfor udføre arbejde L L w F dl kl dl [ kl ] L kl Anvendelseseksempel A9 Koncenraionsforøgelse i biokemisk proces Ved en biokemisk proces dannes e sof med en hasighed på v() ( + 35 )e 5 mol pr lier pr sekund il iden På Figur A3 har vi skisere grafen for v() Grafen viser, a processen sarer med en posiiv begyndelseshasighed il saridspunke, a hasigheden derefer vokser il en vis maksimal værdi, hvorefer den afager Fakisk gælder der ifølge Sæning A73, a v() for ANVENDELSESEKSEMPLER 9 v Figur A3: Hasighed i biokemisk reakion Koncenraionsforøgelsen af soffe il idspunke b kan udregnes som inegrale b v() d Vi ønsker a beregne den oale koncenraionsforøgelse, dvs den koncenraionsforøgelse der er opnåe efer så lang id, a processen kan berages som værende soppe Denne forøgelse kan forolkes som areale under grafen for v() over hele den posiive akse, dvs som de uegenlige inegral b b v() d lim b Vi udregner vha delvis inegraion: v() d lim b ( + 35 )e 5 d b b b ( + 35 )e 5 d e 5 d + 35 e 5 d [ e 5 ] b 5 35 [ e 5 ] b b e 5 d 5 ( ) e 5 b be 5 b 35 ( ) (5) e 5 b 35 ( 5 be 5 b ) (5) e 5 b + 35 (5) + 5 Dermed finder vi b v() d lim ( + 35 )e 5 d b ( lim 35 ( b 5 be 5 b ) (5) e 5 b + 35 (5) + ) 5 35 (5) Den oale koncenraionsforøgelse er således 9 mol pr lier

11 9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 93 Anvendelseseksempel A Gødningsmængde og høsudbye Udbye af en afgrøde (pr arealenhed) afhænger af mange fakorer: jordbundens besanddele, klima- og vejrforhold, vandilførsel og så- og høsidspunker Udbye er ikke minds afhængig af mængden af næringssoffer i jorden og de drejer sig speciel om nira, phosphor og kalium For a øge mængderne af disse soffer og derigennem øge udbye ilføres jorden gødning Vi vil i dee eksempel se på sammenhængen mellem gødningsmængden og udbye og vil se bor fra de øvrige fakorer Udbye U af en vis afgrøde vil vi derfor opfae som en funkion af mængden af en besem ype gødning Vi lader derfor U() beegne udbye mål i ons pr ha ved ilførsel af ons gødning pr ha (a) Udbye af vårbyg Lad os førs se på e konkre ilfælde, hvor udbye af vårbyg mål i ons pr ha ved ilførsel af ons NPK-gødning pr ha anages a være af formen U() + for + Der er alså ale om en hyperbolsk model (se Afsni A5) Grafen for udbyefunkionen U() er egne på Figur A 3 5 U5 5 Figur A: En udbyefunkion U() for vårbyg Denne funkion har nogle karakerisiske egenskaber Værdien U() angiver udbye, hvis der ikke anvendes noge gødning Funkionen er voksende: ved a bruge reglen for differeniaion af brøk finder man, a som jo er posiiv Der gælder endvidere, a U () ( + ) lim U() lim / Vi konkluderer af dee, a udbye med sigende gødningsmængde nærmer sig 3 ons pr ha, som alså er en øvre grænse for udbye Forskellen mellem grænseværdien og de ugødede udbye kaldes nogle gange for de asympoiske merudbye De asympoiske merudbye er alså i dee ilfælde ( 3 ) Differenialkvoienen U (), som vi fand ovenfor, kaldes de marginale merudbye De er e udryk for, hvor mege udbye vil sige ved ilsæning af en lille smule eksra gødning ved e give gødningsniveau Feks vil en forøgelse af på give en signing i udbye på U( + ) U() U () Bemærk, a der er ale om e merudbye, ide U () > Vi finder endvidere, a U () ( + ) 3 <, hvilke jo beyder, a U () er afagende Dee er igen karakerisisk for udbyefunkioner og udrykker, a ilvæksen i udbye afager med sigende gødningsmængde De virker også rimelig, ide en forøgelse med feks kg gødning vil have sørre effek, hvis vi i forvejen næsen ikke bruger noge (få kg) gødning end hvis vi i forvejen bruger mege (flere ons) gødning En anden måde a formulere dee på er, a da U () <, så er U() konkav, dvs grafen for U() krummer nedad (b) Maksimering af forjenese Vi ænker os, a den høsede vårbyg kan sælges il en pris på kr pr ons Herved bliver den samlede indæg I også en funkion af den anvende gødningsmængde: ( ) I() U() + + På den anden side er ine jo grais, og gødningen koser 5 kr pr ons Dermed er udgifen G() il indkøb af ons gødning lig med G() 5 Forjenesen F () ved anvendelse af ons gødning bliver derfor ( ) F () I() G() E nærværende spørgsmål melder sig: Hvor mege gødning skal man anvende for, a forjenesen bliver så sor som mulig? De ilsvarende maemaiske problem går ud på a maksimere funkionen F () Dee problem løser vi ved a lave en funkionsundersøgelse af F (), med speciel fokus på a finde maksimumspunker Vi finder hvoraf de følger, a F () F ( + ) () ( + ) 5 ( + ) 5, ( + ) 5 ( + ) 3 (Der er også den negaive løsning 5 il ligningen F (), men denne forkaser vi, da jo måler mængden af gødning) Da F () (ligesom U ()) er afagende, må der gælde F () > for < 3 og F () < for > 3 Alernaiv følger dee af, a feks F () 5 > og F () < Sildebensdiagramme for F () bliver derfor: F () F ()

12 9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 95 Vi konkluderer, a F () har maksimum for 3, og derfor vil anvendelse af 3 ons gødning pr ha være mes fordelagig Udbye vil da være U(3) 5 ons pr ha og forjenesen vil være F (3) kr pr ha Grafen for F () er skisere på Figur A5 F (d) Forskellige yper udbyefunkioner I (a)-(c) har vi anage, a udbyefunkionen U() var en hyperbolsk funkion, dvs af formen U() a + b + c, hvor a, b og c er posiive paramere Som nævn i Afsni A5 er der også andre maemaiske modeller, der beskriver begrænse væks, som feks a U() b + c for b (Liebig-Wagners model), a + b for b, U() a( e /b ) + c (Mischerlich s model) hvor a, b og c i begge ilfælde er posiive paramere Valge af passende paramere varierer med den konkree siuaion, feks ypen af afgrøde eller så- og høsidspunke I eksemple med vårbyg har vi valg en udbyefunkion af hyperbolsk ype og med paramerene a, b og c Figur A5: Forjenesen F () I dee eksempel har de ikke være relevan a komme ind på nulpunker for F () eller opførslen af F () for De er dog ikke svær a vise, a F () for 33 og a F () for Forjenesen bliver alså negaiv, hvis man gøder mere end 33 ons pr ha (c) Vi vil nu undersøge, hvordan prisen på gødning påvirker den opimale gødningsmængde Beegnes denne pris med p (kr pr ons), så fås som i (b) forjenesen ( ) F () + + p Dermed er så F () ( + ) ( + ) p ( + ) p, F () ( + ) p ( + ) p p De samme argumener som i (a) viser derfor, a den opimale gødningsmængde op er op p Bemærk a den opimale gødningsmængde som forvene falder, når prisen på gødning siger I nedensående abel er op angive for forskellige værdier af p p op Ved besemmelse af de opimale gødningsniveau og den maksimale forjenese indgår yderligere o oplysninger, nemlig prisen q pr ons udbye og prisen p pr ons gødning I (a) var p 5 og q, mens vi lod prisen p variere i (b) Hvis vi ikke kender disse priser vil de indgå i forjenesefunkionen som (ukende) paramere, dvs F () qu() p Den opimale gødningsmængde op kan så besemmes ved a finde e maksimumspunk for F () Da F () qu () p ser vi, a der må gælde U ( op ) p q Lad os feks anage, a udbye af en afgrøde har formen U() ( e ) +, og alså følger Mischerlich s model med paramere a, b 5 og c Anvendes en gødning som koser kr pr ons og sælges afgrøden il en pris på kr pr ons, så har vi p og q og dermed kan vi besemme de opimale gødningsniveau op ved a løse ligningen U () Da U () e e giver dee e e Resulae bliver alså op 7 5 ln 5 7

13 9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 97 Anvendelseseksempel A Reakionshasighed Ved ilsæelse af enzymer il e subsra (væksmaeriale) dannes e reakionsproduk Man kan vise, a reakionsproduke dannes med hasigheden [S] v v max, [S] + K M hvor v max er den maksimale hasighed, [S] er koncenraionen af subsrae og K M er den såkalde Michaëlis-Menen konsan (som afhænger af nogle reakionskonsaner) Der er alså ale om en Michaëlis-Menen model (se Afsni A3) Grafen for v som funkion af [S], når v max og K M er hhv og 5, er skisere på Figur A v K_M K_M 5 Anvendelseseksempel A Vægforhold mellem kerne og srå Ved grønhøs med henblik på kunsørring, ensilering eller udnyelse som foder har de ineresse a kende en kornafgrødes sammensæning, herunder forholde mellem kerne og srå il e give idspunk I mange kornafgrøder, som feks vårbyg, vokser dee vægforhold mellem kerne og srå fra e idlig idspunk og frem il modning På Saens Forsøgssaion i Ødum blev der i 97 erne foreage undersøgelser for bla a besemme, hvordan denne væks kunne beskrives Tabellen nedenfor viser nogle målinger for vårbyg fra 973 I abellen angiver iden i dage fra spiring, K oalvægen af kerne pr ha, mål i kg og S oalvægen af srå pr ha, mål i kg K S K S Af abellen fremgår de direke, a forholde K S mellem kerne og srå vokser, men de er ikke klar, hvorledes væksen kan beskrives Derfor indegner vi punkerne (, K S ) i e koordinasysem; se Figur A7 [S] Figur A: Hasigheden hvormed reakionsproduke dannes Vi ser, a graferne har omren samme karakerisika: der er i begge ilfælde ale om voksende funkioner, som har værdien v når [S], og som med lid god vilje ser ud il a have grænseværdien v max Parameeren K M spiller imidlerid en rolle, ide vi kan se, a jo sørre K M bliver, deso langsommere dannes reakionsproduke Vi ønsker a besemme, hvor sor [S] skal være for a sikre en reakionshasighed på % af den maksimale hasighed, dvs sådan a v v max Dee giver Her forkores med v max og vi finder endvidere: [S] v max v max [S] + K M [S] [S] + K M [S] ([S] + K M ) [S] K M [S] 5 K M Grafisk kan dee illusreres ved a grafen hørende il konsanen K M når % niveaue (dvs v ) for [S] 5 5, mens grafen hørende il K M 5 førs når dee niveau for [S] Vi konkluderer, a en sørre værdi af K M medfører, a en sørre koncenraion af enzymer er nødvendig for a opnå en reakionshasighed på % af den maksimale hasighed K/S 3 Figur A7: Vægforholde mellem kerne og srå som funkion af iden Målingerne synes a beskrive logisisk væks Vi har også indegne grafen for den logisiske funkion 3 y() + 7 e 5 på Figur A7 De ses, a denne funkion (med y K S ) re god beskriver udviklingen af kerne/srå forholde, så de ser ud som om, vægforholde mellem kerne og srå med iden nærmer sig 3 5

14 9 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER ANVENDELSESEKSEMPLER 99 Der er saisiske meoder il a besemme paramerene K, r, c i den generelle logisiske funkion y() K + ce r, sådan a den beds mulig beskriver daa, men disse meoder vil vi ikke komme ind på Anvendelseseksempel A3 Osmoisk ryk (a) De såkalde osmoiske ryk Π af en opløsning kan udrykkes ved formlen Π RT C ln( x ) x, hvor R er gaskonsanen, T emperauren, C koncenraionen af opløsningen (i mol/l) og x opløsningens molbrøk, som ypisk er lille (b) For a få e behageligere udryk a arbejde med berager vi funkionen f(x) ln( x) I Eksempel A(d) udregnede vi den lineære approksimaion f (x) af f(x) med udviklingspunk a il a være f (x) x Da x er lille, kan vi anvende dee i udrykke for de osmoiske ryk og får Π RT C f(x ) x RT C f (x ) x RT C x x RT C (c) I visse ilfælde har man brug for en bedre ilnærmelse end den ovensående Til dee formål benyer vi Taylorpolynomie f (x) af orden med udviklingspunk a for f(x) Ifølge Eksempel A(d) har vi f (x) x + x som giver Π RT C f(x ) x RT C f (x ) x RT C x + x x RT C( + x ) Man kan vise, a dee også kan skrives på formen Π RT C( + BC), hvor B er den såkalde osmoiske virial koefficien Anvendelseseksempel A Træfældning Når man har fælde e ræ og skåre de i sykker af passende længde, ønsker man a vurdere de enkele sykkers volumen V Dee gøres normal ved brug af Smalians formel V s h A + A, hvor h er sykkes højde og A, A er arealerne af de o endesykker (Normal beregnes disse arealer ved a ilnærme endesykkerne med cirkler, men vi vil ikke komme nærmere ind på dee) Man kan vise, a man (især mid på sammen) får e bedre resula ved brug af formlen V h A + A + A A 3 I de følgende vil vi berage V som de korreke volumen og V s som en ilnærmelse il V For a vurdere hvor god denne ilnærmelse er, udregner vi værdierne i nogle aleksempler h(m) A (m ) A (m ) V s (m 3 ) V (m 3 ) V s /V De ser ud il, a Smalians formel giver gode ilnærmelser når A og A er nogenlunde lige sore, dvs når A /A Vi vil nu efervise dee ved a benye lineær approksimaion Førs udrykker vi V vha forholde A /A Dee kan gøres ved a sæe A uden for brøksregen: V h A + A + ( A A ha + A ) A +, 3 3 A A hvor vi har benye a A A For a lee udregningerne sæer vi x A /A og A A A A A A f(x) + x + x, så a V ha ( ) 3 f A (A5) A Vi ønsker a undersøge f(x) når x (dvs når A /A ) Vi har f() 3 Endvidere er f (x) + x, så f () 3 Den linære approksimaion f (x) il f(x) med udviklingspunk a er derfor f (x) (x ) 3 ( + x) Ved indsæelse af f(x) f (x) i udrykke (A5) for V fås V ha ( ) 3 f A ha A 3 3 ( + A ) h A + A V s A Dee viser, a Smalians formel kan opfaes som en ordens ilnærmelse il volumene [Sværere opgave: Vis a V V s uanse sørrelserne af A og A ]

15 ANVENDELSESEKSEMPLER 73 Anvendelseseksempler Anvendelseseksempel B Kaninpopulaion Vi berager en populaion af kaniner Vi siger a en kanin er ung i dens førse leveår og derefer, a den er gammel Man har observere, a unge hunkaniner i sni har 7% chance for a overleve il åre efer, mens chancen for a en gammel hunkanin overlever il åre efer er % Unge hunkaniner får i gennemsni hununger om åre, mens gamle hunkaniner i gennemsni får 5 hununger om åre (a) [Maemaisk modellering] For a undersøge hvordan kaninpopulaionen udvikler sig med iden, vil vi foreage en maemaisk modellering af siuaionen Førs giver vi anallene af hunkaniner maemaiske navne, og lader derfor x og y beegne analle af hhv unge og gamle hunkaniner i år Hvis vi kender anallene af hunkaniner i år, så kan anallene af hunkaniner i år + beregnes på følgende måde: Førs beregnes analle af unge hunkaniner i år + De x unge hunkaniner i år føder ilsammen x hunkaniner, og disse bliver il unge hunkaniner i år + Tilsvarende føder de y gamle hunkaniner i år ilsammen 5 y hunkaniner, og disse bliver ligeledes il unge hunkaniner i år + De samlede anal unge hunkaniner i år + er derfor x + 5 y, dvs x + x + 5 y (B) Dernæs beregnes analle af gamle hunkaniner i år + Af de x unge hunkaniner i år overlever 7 x hunkaniner, og disse bliver il gamle hunkaniner i år + Tilsvarende overlever y af de y gamle hunkaniner i år og disse vil forsa være gamle hunkaniner i år + De samlede anal gamle hunkaniner i år + er derfor 7 x + y, dvs y + 7 x + y (B9) Disse sammenhænge mellem kaninpopulaionerne i år og + kan angives skemaisk i e såkald komparmendiagram (se Figur B): Ung Gammel År År + x y x y 5 y 7 x x + y + Ung Gammel Figur B: Komparmendiagram il beskrivelse af udviklingen i populaionerne 7 KAPITEL B MATRICER (b) Ligningerne (B) og (B9) kan sammen angives på formen ( ) ( ) x+ x + 5 y, (B) y + 7 x + y og hvis vi indfører vekor- og marixnoaion ( ) x v og M y følger de af (B) a v + Mv ( ) 5 7 (B) (c) Hvis vi anager, a der i år er unge og ingen gamle hunkaniner, dvs v ( ), så kan vi succesiv benye (B) il a beregne populaionerne i de følgende år: ( ) ( ) ( ) 5 v, 7 7 ( ) ( ) ( ) 5 55 v, 7 7 ) ( ) ) 55 v 3 ( 5 7 ( 7 Da der er ale om anal kaniner, er de mes rimelig a runde af il hele al og angive v 3 som ( ) Hvis vi i sede for anager, a der i år er gamle og ingen unge hunkaniner, dvs v ( ), så fås ( ) ( ) ( ) 5 5 v, 7 ( ) ( ) ( ) v, 7 ) ( ) ) 3 v 3 ( 5 7 ( 95 3 Igen afrundes v 3 og vi får v 3 ( 9 3) (d) [Maemaisk problembehandling] De oplyses a der i år 3 var unge og 5 gamle hunkaniner Vi ønsker a besemme anallene af unge og gamle hunkaniner åre før, dvs i år Vi ved alså a x 3 og y 3 5, og vil vide hvad x og y er Vi vil angive o forskellige måder a gøre dee på (i) Ved lige sore koefficieners meode: Ved indsæelse i (B) og (B9) fås ligningerne { x + 5 y 5 7 x + y Ved a gange førse ligning med og anden ligning med 5 fås lige sore koefficiener (med modsa foregn) på y i de ligninger: { x + y 75 5 x y osv osv

16 ANVENDELSESEKSEMPLER 75 7 KAPITEL B MATRICER Ved a lægge disse ligninger sammen fås 5 x dvs x Til sids indsæes x i ligningen x + 5 y, hvilke giver + 5 y dvs y I år var der alså unge og gamle hunkaniner (ii) Ved marixinverering: Vi bemærker førs a så M har den inverse marix de M 7 5 5, M 5 ( ) 5 7 ( ) Af formlen v 3 Mv fås ved a gange med den inverse marix M på begge sider, a v M v 3, dvs ( ) ( ) v 5 ( ) En fordel ved denne meode er, a de nu er le a beregne v for andre værdier af v 3 Hvis feks v 3 ( 55 5), så fås ( ) ( ) 55 v 5 ( ) 5 3 (e) I begge ilfælde i (c) ovenfor ser de ud som om, der eferhånden bliver 3 gange så mange unge som gamle kaniner, sam a analle af såvel unge som gamle kaniner omren vokser med en fakor 5 hver år Vi berager derfor den siuaion, hvor der i sarpopulaionen er præcis 3 gange så mange unge som gamle kaniner, dvs x 3y Så er v ( 3y ) y og dermed ( ) ( ) ( ) 5 3y 75 y v 5 v 7, y 5 y så efer e år er analle af såvel unge som gamle kaniner 5 gange så sor, og der er sadig 3 gange så mange unge som gamle kaniner Ligningen ovenfor kan skrives som Mv 5 v, hvor alså v ( 3y y ) Dee beyder iflg Definiion B, a v er en egenvekor (når y ) for M med ilhørende egenværdi 5 (f) Vi afsluer dee eksempel med a advare om, a den opsillede model i en vis forsand er mege simplificere For eksempel har vi olke oplysningen om, a unge hunkaniner i gennemsni får hununger om åre, som a de x unge hunkaniner i år ilsammen føder præcis x hunkaniner Dee svarer lid il a sige, a hvis man slår pla og krone gange, så vil man få pla præcis 3 gange Man vil i gennemsni få pla 3 gange, men der er jo også en vis sandsynlighed for a få pla feks eller gange Tages dee i beragning kommer der alså sandsynlighedsregning ind i billede I vores kanin-eksempel er der ilsvarende for en ung hunkanin i e give år en vis sandsynlighed for a hun får hununger, en vis sandsynlighed for a hun får hununge, en vis sandsynlighed for a hun får hununger, en vis sandsynlighed for a hun får 3 hununger osv De enese vi benyer i vores opsilling af probleme i (a) er, a hun i gennemsni får hununger Vi har valg udelukkende a regne på gennemsniene, så vi benyer kun de gennemsnilige anal unger og de gennemsnilige overlevelseschancer De er fakisk mulig a opsille en model (en såkald sokasisk model), der ager hensyn il de ilfældige variaioner i såvel analle af unger som overlevelseschancerne (Vi vil dog ikke komme ind på sådanne modeller i disse noer) (I Anvendelseseksempel B7 og Anvendelseseksempel B vil vi se nogle generalisaioner af modellen i dee anvendelseseksempel) Anvendelseseksempel B Produkionsplan (a) En fodersoffabrik fremsiller o kraffoderyper, F og F, ud fra o råvarer, R og R Til fremsilling af ons F benyes kg R og kg R (sam kg fyldsof, som vi her vil se bor fra) Til ons F benyes 5 kg R, kg R (og 5 kg fyldsof) Vi ønsker a opsille en model for beregning af fabrikkens råvareforbrug [Maemaisk modellering] Vi beegner den daglige produkion af F og F med hhv x og y, begge opgive i ons, og lader x og y beegne de daglige forbrug af hhv R og R, ligeledes i ons Af oplysningerne følger de, a { x x + 5 y y (B) x + y Eksempelvis vil en daglig produkion af 3 ons F og ons F (dvs x 3 og y ) give e daglig råvareforbrug på x og y 3 + 3, dvs 9 ons R og 3 ons R Udrykke (B) for råvareforbruge kan også skrives v Mv, hvor v ( x) y er produkionsvekoren, v ( x ) y er råvareforbrugsvekoren, og hvor M ( ) 5 Med marix- og vekornoaion kan råvareforbruge hørende il en produkion på v ( 3) besemmes ved ( ) ( ) ( ) v 5 3 9, 3 som vi også kom frem il ovenfor

17 ANVENDELSESEKSEMPLER 77 (b) Råvarerne indeholder o sporsoffer S og S, som man ønsker a holde konrol med De har vis sig, a ons af R indeholder 3 enheder S og 5 enheder S, mens ons af R indeholder enheder S og 7 enheder S [Maemaisk modellering] I e pari råvarer på x ons R og y ons R beegner vi de samlede indhold af sporsofferne S og S med hhv x og y, begge opgive i anal enheder Af oplysningerne finder vi da sammenhængen { x 3x + y y 5x + 7y (B3) Dee kan også skrives på formen v Nv, hvor v ( x y ) er råvarevekoren, v ( x y ) er sporsofvekoren, og hvor N ( ) Eksempelvis giver v ( x y ) ( 9 3) e indhold af sporsoffer på ( ) ( ) v ( ) 95 3 (c) I (a) undersøge vi sammenhængen mellem den daglige produkion og de ilsvarende råvareforbrug, og i (b) undersøge vi sammenhængen mellem råvareforbruge og de ilsvarende indhold af sporsoffer Vi vil nu kombinere disse o sammenhænge, og derved finde sammenhængen mellem den daglige produkion og de ilsvarende indhold af sporsoffer Ved indsæelse af (B) i (B3) får vi { x 3x + y 3( x + 5 y) + ( x + y) x + 5 y, y 5x + 7y (B) 5( x + 5 y) + 7( x + y) 5 x + 35 y De er fakisk leere a besemme denne sammenhæng mellem produkionen og de ilsvarende indhold af sporsofferne vha maricerne M og N Ved indsæelse af v Mv i v Nv fås v N(Mv) (NM)v, hvor maricen NM besemmes ved marixmuliplikaion som i Definiion B: Heraf ses de, a NM ( hvilke semmer med udregningen i (B) ) ( 5 ) ( ) 5, KAPITEL B MATRICER Vi har idligere se, a en daglig produkion på v ( ) 3 fører il e råvareforbrug på v ( 9 3), sam a indholde af sporsoffer i denne mængde råvarer er v ( 95 3) Vha udrykke v (NM)v kan man springe mellemregningen af råvareforbruge v over og direke besemme ( ) ( ) v ( ) 95 3 (Dee resula kan selvfølgelig også fås ved indsæelse af x 3 og y i (B)) (d) Fodersoffabrikken kan forbedre kvalieen af de o yper kraffoder ved også a benye en redje råvare R 3 Til fremsilling af ons F vil der nu blive brug kg R, 3 kg R og 3 kg R 3 (sam sadigvæk kg fyldsof), mens der il ons F vil blive brug kg R, kg R og 3 kg R 3 (sam 5 kg fyldsof) [Maemaisk modellering] For a opsille en model for fabrikkens nye råvareforbrug beegner vi som hidil den daglige produkion af F og F med hhv x og y (begge opgive i ons), men lader nu x, y og z beegne de daglige forbrug af hhv R, R og R 3 (ligeledes i ons) Vi får da følgende ligninger x x + y y 3 x + y z 3 x + 3 y Disse ligningerne kan som i (a) angives på marixform, men her er der brug for en marix med 3 rækker og søjler (en 3 marix) Vi får da x x + y ( ) y 3 x + y 3 x (B5) z y 3 x + 3 y 3 3 Vi ændrer nu beegnelserne brug i (a), (b) og (c) og lader ( ) x x v, v y og M 3 y z 3 3 Dermed kan (B5) skrives på formen v Mv Eksempelvis giver en produkion på v ( 3 ) e råvareforbrug på v ( ) (e) Den nye råvare R 3 indeholder enheder af sporsoffe S pr ons, men ine af sporsoffe S Ide x, y og z angiver mængderne af råvarerne R, R og R 3 (i ons), kan de samlede indhold x og y af sporsofferne S og S beregnes af formlerne { x 3x + y y 5x + 7y + z

18 ANVENDELSESEKSEMPLER 79 KAPITEL B MATRICER Ved brug af en 3 marix kan dee som i (b) skrives på formen ( ) ( ) x 3 y x y 5 7 z Dee kan også skrives på marixformen v Nv, hvor vi har sa ( ) ( ) x v 3 y og N 5 7 (B) (maricen N er alså en anden end i (b) og (c)) Eksempelvis vil indholde af sporsoffer v ( ) x y i e råvareforbrug på x 7 være v v ( y z 7 ) 7 7 ( ) 55 9 (f) Endelig kan vi i lighed med (c) benye (B5) og (B) il a besemme de samlede indhold x og y af sporsofferne i e pari fodersoffer på x ons F og y ons F : ( ) ( ) x 3 y x y 5 7 z ( ) ( ) 3 3 x 5 7 y 3 3 ( ) ( ) x (B7) 35 y Bemærk a dee involverede produke NM af 3 maricen N med 3 maricen M Ved udregningen af dee produk kan man feks benye skemae dvs N M NM Med marixnoaion kan udregningen (B7) skrives v Nv N(Mv) NMv Anvendelseseksempel B3 Svampesygdom i planage I en sor granplanage rammes ræerne il ider af svampesygdom Træerne kan grof inddeles i o grupper: raske og syge Man har konsaere, a e rask ræ med % sandsynlighed vil være bleve syg åre efer Ligeledes vil e syg ræ med 7% sandsynlighed være bleve rask åre efer Vi anager endvidere, a ingen ræer dør af sygdommen eller af andre årsager, og a der heller ikke planes nye ræer Der er i al ræer i planagen Ud fra disse oplysninger kan vi opsille følgende model: vi sæer r hhv s il analle af raske ræer hhv analle af syge ræer i år De raske ræer åre efer, r +, udgøres af 9% af de raske ræer i år, dvs 9 r, sam af 7% af de syge ræer i år, dvs 7 s Dermed finder vi r + 9 r + 7 s, og ilsvarende s + r + s På marixform har vi derfor ( ) ( ) ( ) r+ 9 7 r s + s Af denne marixmodel fremgår ikke, a der hele iden er ræer i planagen, og de er vi således nød il a formulere særskil: r + s for alle Vi bemærker endvidere, a maricen ( ) 9 7 M er en overgangsmarix ifølge Definiion B Vi vil undersøge fordelingen mellem raske og syge ræer, og se om denne fordeling sabiliserer sig over en lang periode Vi foreager førs nogle eksperimener Lad os ænke os, a der il a begynde med er 3 raske og 3 syge ræer; hvordan udvikler fordelingen mellem raske og syge ræer sig så? Vi finder, med hjælp fra compuer, a ( ) r s ( ) r s ( 9 7 ( 9 7 ) ( ) 3 3 ) ( ) 3 3 ( ) 397, ( ) (Her har vi bla udelad udregningen af ( r ) ( s, r ) ( s og r3 ) s 3, og bruger i sede for poensopløfning af maricen for a udregne ( r ) s ) På samme måde går de, hvis alle ræerne il a begynde med er syge: ( ) ( ) ( ) ( ) r , s 5 ( ) ( ) ( ) ( ) r 9 7 s De ser alså ud il, a fordelingen med raske ræer og syge ræer er en ligevæg mellem raske og syge ræer i planagen Ifølge Sæning B er ( ) ( ) r v 7 s k

19 ANVENDELSESEKSEMPLER KAPITEL B MATRICER en ligevæg for maricen M for e vilkårlig al k Talle k besemmes ud fra oplysningen om, a der er ræer i planagen, ide der også skal gælde r + s 7 k + k 7 k, dvs k / Videre finder vi r 7 k og s k Vi har alså vis, a der neop er én ligevæg mellem raske og syge ræer i planagen med ræer, nemlig ( ) ( r s ) Anvendelseseksempel B Fårebesand En fåreavler opdeler hver år sin besand i o klasser, klasse I: klasse II: får med høj uldprodukion, får med normal uldprodukion De har vis sig, a der hver år sker dels en oprykning af % af klasse II fårene il klasse I, dels en nedrykning af 5% af klasse I fårene il klasse II Endvidere udages der årlig 5% af klasse I fårene og 35% af klasse II fårene il slagning Endelig illægges der hver år 9 ungfår, som alle sarer i klasse II (a) [Maemaisk modellering] Vi ønsker en kor, præcis beskrivelse af bevægelserne i de o klasser fra år il år Til dee formål lader vi x og y beegne anallene af får i hhv klasse I og klasse II i år (,, 3, ), og angiver skemaisk oplysningerne ovenfor i e komparmendiagram (som i Anvendelseseksempel B): Klasse I Klasse II x 5 x 35 y År År + Slagning y 7 x 5 y y 5 x x + y + 9 Nye ungfår Klasse I Klasse II Figur B: Komparmendiagram il beskrivelse af udviklingen i klasserne Nogle enkele af allene fremgår ikke direke af oplysningerne, men er fremkomme ved mellemregninger: Af klasse I fårene nedrykkes 5% il klasse II og 5% udages il slagning, så der er ( 5 5)% 7% af klasse I fårene, der bliver ved med a være klasse I får Af klasse II fårene oprykkes % il klasse I og 35% udages il slagning, så der er ( 35)% 5% af klasse II fårene, der bliver ved med a være klasse II får Af diagramme ses de, a vi kan udrykke x + og y + ved x og y på følgende vis: { x+ 7 x + y y + 5 x + 5 y + 9 (b) Ligningerne ovenfor kan skrives på formen ( ) ( x+ 7 y dvs hvor ( x v y ), M ) ( x y v + Mv + q, ( 7 ) 5 5 ) ( ) +, 9 ( ) og q 9 Dee viser, a sammenhængen mellem v ( x ) y og v+ ( x + ) y + kan opfaes som en affin afbildning: v + f(v ), hvor f(v) Mv + q Anag, a der feks i 99 var 5 får i klasse I og får i klasse II, dvs a v 99 ( 5 ) Vi finder da: ( ) ( ) ( ) ( ) v 993 Mv 99 + q alså 3 får i klasse I og 5 får i klasse II (c) I nogle sammenhænge kan de være af ineresse a kunne foreage en ilbageskrivning af besanden, dvs udrykke fårenes fordeling på de o klasser e give år ved fordelingen de følgende år Af udrykke v + Mv + q får vi Mv v + q Ide de M har M en invers marix og ved a gange med denne på begge sider af lighedsegne fås v M (v + q) Vides de feks, a v 995 ( 5), så fås v 99 M (v 995 q) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 5, dvs i 99 besod besanden af 5 klasse I og 97 klasse II får

20 ANVENDELSESEKSEMPLER 3 KAPITEL B MATRICER (d) Vi vil nu besemme ligevægen for vores model ( x+ y + ) ( ) ( x y ) ( ) klii Da M E ( ) 3, har vi de(m E) 3 ( 55) 5 35, så M E har en invers marix Sæning B7 giver derfor, a modellen har neop én ligevæg v give ved v (M E) q 35 ( ) ( ) ( ) 95 ( ) Figur B: Fårebesandens udvikling over mange år kl I Forolkningen af denne ligevæg er, a hvis der e år er 333 får af klasse I og får af klasse II, så vil der åre efer ligeledes være 333 får af klasse I og får af klasse II I dee ilfælde vil besanden alså ikke ændre sig fra år il år (f) Egenværdierne for maricen M kan besemmes som løsningerne il andengradsligningen 7 λ 5 5 λ λ 5 λ + 5 (e) Ved ieraion (dvs genagen brug) af udrykke v + besandens udvikling fra år il år Vi finder, Mv + q kan man fremskrive Vi får heraf, a egenværdierne er 3 og 79 (afrunde) Da begge disse er numerisk mindre end, kan vi slue af Sæning B, a der gælder v v ( 333 ) for, dvs der er konvergens mod ligevægen, og de endda uanse hvilken sarfordeling vi valge v 99 Mv q og ved a forsæe på denne måde får man: ( ) ( ) år anal kl I anal kl II ( ) + 9 ( ) 7, 77 Der sker alså en ilnærmelse mod modellens ligevæg Dee kan også illusreres grafisk som på Figur B Anvendelseseksempel B5 Naionaløkonomisk model I følgende naionaløkonomiske model berages sammenhængen mellem naionalproduke Y, forbruge C og inveseringerne I i år (a) Der gøres følgende økonomiske anagelser: Naionalproduke er summen af forbruge og inveseringerne, dvs Y C + I (B) Forbruge i år + besår dels af % af naionalproduke i år og dels af en konsan del på, dvs C + Y + (B9) Inveseringerne i år + er halvdelen af forbrugssigningen fra år il år +, dvs I + (C + C ) (B) (b) I modellen ovenfor opræder de 3 variable Y, C og I, men ved a indsæe (B) i (B9) kan vi slippe af med Y og derved få en (maemaisk) simplere model med kun de variable C og I : C + C + I + (B)

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Newton, Einstein og Universets ekspansion

Newton, Einstein og Universets ekspansion Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi.

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Tilstandsligningen for ideale gasser

Tilstandsligningen for ideale gasser ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Trivsel og fravær i folkeskolen

Trivsel og fravær i folkeskolen Trivsel og fravær i folkeskolen Sammenfatning De årlige trivselsmålinger i folkeskolen måler elevernes trivsel på fire forskellige områder: faglig trivsel, social trivsel, støtte og inspiration og ro og

Læs mere

Partikelbevægelser i magnetfelter

Partikelbevægelser i magnetfelter Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

LUP læsevejledning til regionsrapporter

LUP læsevejledning til regionsrapporter Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder n IDEKLIMA Overføring af ulrafi e og gasser mellem o Overføring af gasser, og røglug mellem er ofe e problem for beboere i ældre eageejendomme. Derfor har Saens Byggeforskningsinsiu undersøg en ny æningsmeode,

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Tilbud til Ældre Kvalitetsstandarder 2010

Tilbud til Ældre Kvalitetsstandarder 2010 Tilbud til Ældre Kvalitetsstandarder 2010 MÅL OG VÆRDIER Det er Byrådet i Allerød Kommune, som fastsætter serviceniveauet på ældreområdet. Byrådet har dermed det overordnede ansvar for kommunens tilbud.

Læs mere

Landbrugets Byggeblade

Landbrugets Byggeblade Landbruges Byggeblade Love og vedæger Bygninger Teknik Miljø Arkivnr. 95.03-03 Beregning af ilsrækkelig opbevaringskapacie Udgive Mars 1993 Beregning af dyreenheder (DE) jf. bilag il bekendgørelsen om

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut

Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut N O T A T Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut Direkte adgang til fysioterapi uden en henvisning fra patientens praktiserende læge kræver en ændring i både overenskomsten med Danske Fysioterapeuter

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Klare tal om effektiviteten i vandsektoren Partner Martin H. Thelle 22. januar 2014

Klare tal om effektiviteten i vandsektoren Partner Martin H. Thelle 22. januar 2014 Klare tal om effektiviteten i vandsektoren Partner Martin H. Thelle 22. januar 2014 Den 30. september 2013 offentliggjorde Foreningen af Vandværker i Danmark (FVD) rapporten Forbrugerejede vandværker og

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Kontanthjælpsloftet fælder enlige forældres økonomi

Kontanthjælpsloftet fælder enlige forældres økonomi Kontanthjælpsloftet fælder enlige forældres økonomi Kontanthjælpsloftet vil sende knap 12. personer under fattigdomsgrænsen, viser et nyt svar fra Beskæftigelsesministeriet. Heraf er knap 7. børn. Hvordan

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Skoleudvalget i Fredensborg Kommune har besluttet at ca. 10-12% lønmidlerne skal fordeles på baggrund af sociale indikatorer

Skoleudvalget i Fredensborg Kommune har besluttet at ca. 10-12% lønmidlerne skal fordeles på baggrund af sociale indikatorer Notat om fordeling af midlerne mellem Fredensborgs skoler med udgangspunkt i elevernes sociale baggrund Venturelli Consulting Oktober 2006 1 Indholdsfortegnelse 1. Resume...3 2. Baggrund...3 3. Den grundlæggende

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

LØNSTATISTIK FOR STUDERENDE

LØNSTATISTIK FOR STUDERENDE LØNSTATISTIK FOR STUDERENDE Velkommen til KS første lønstatistik for studerende Lønstatistikken giver dig svar på, hvad de gennemsnitlige timelønninger er, opgjort på baggrund af en række faktorer: er

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

Spørgsmål og svar om håndtering af udenlandsk udbytteskat marts 2016

Spørgsmål og svar om håndtering af udenlandsk udbytteskat marts 2016 Indhold AFTALENS FORMÅL... 2 Hvilken service omfatter aftalen?... 2 Hvad betyder skattereduktion, kildereduktion og tilbagesøgning?... 2 AFTALENS INDHOLD OG OPBYGNING... 3 Hvilke depoter er omfattet af

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh121-mat/b-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Socialudvalget L 107 - Svar på Spørgsmål 6 Offentligt

Socialudvalget L 107 - Svar på Spørgsmål 6 Offentligt Socialudvalget L 107 - Svar på Spørgsmål 6 Offentligt Folketingets Socialudvalg Departementet Holmens Kanal 22 1060 København K Dato: 28. februar 2006 Tlf. 3392 9300 Fax. 3393 2518 E-mail sm@sm.dk KWA/

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere