Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet URL: olav.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav."

Transkript

1 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet URL: olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg til 3. g opgave i matematik. Noten er udformet således, at man kan gå mere eller mindre i dybden med emnet. Som minimum skal man arbejde med afsnittene 2, 3, 6 og 7. Vælges denne barberede version kan man ikke regne alle opgaverne i afsnit 7. Øvrige afsnit kan tilvælges efter ønske. Resultaterne i afsnit 5 kan eventuelt tages for gode varer uden bevis. 2 Problemstillingen I en bank er der fem bankdirektører. Man ønsker den elektroniske lås på et pengeskab indrettet således, at hvis vilkårlige tre bankdirektører indtaster deres koder samtidig, da kan de åbne skabet. Er der blot en eller to tilstede, da skal skabet være umuligt at åbne. Et nøglesystem, som kan klare en sådan opgave vil vi kalde et secret sharing scheme. Mere generelt vil vi betragte situationen, hvor der er n direktører og hvor k skal være tilstede, for at låsen kan åbnes. Her kan k antage alle værdier fra 1 op til n. Det er muligt at betragte endnu mere sofistikerede situationer, hvor nogle direktører har flere nøgler, mens andre blot har en enkelt. Dette vil dog ikke blive behandlet i denne note. 3 Alle skal være tilstede I situationen, hvor alle bankdirektører skal være tilstede på samme tid, kunne vi forestille os følgende secret sharing scheme. Bankdirektørerne b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 får tildelt koderne s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, som alle er hele tal mellem 0000 og Den hemmelige nøgle, som kan åbne låsen er nu s = s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5. Dette secret sharing scheme løser delvist opgaven, men ikke helt. Antag nemlig, at kun personerne b 1, b 2, b 3, b 4 er tilstede. De kan selvfølgelig ikke vide, hvad s 5 er, og dermed ved de heller ikke hvad s er. Men de ved, at s er mindst lig s 1 +s 2 +s 3 +s 4 og højst lig s 1 +s 2 +s 3 +s og med denne viden kan de begynde at gætte på, hvad s er. Dette er en uheldig egenskab og vi vil derfor forlange af vores secret sharing scheme, at hvis færre end fem direktører er tilstede, da skal de absolut ingen information have om den hemmelige nøgle s. Som vi skal se i det følgende giver matematikken os en smart løsning på problemet. Det værktøj vi vil benytte, kaldes modulær regning. Vi starter med et eksempel. 1

2 Bankdirektørerne b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 tildeles nu i stedet koderne s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, som alle er hele tal mellem 0000 og Den hemmelige nøgle s findes nu som de sidste fire cifre i tallet s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5. Altså, hvis s 1 = 2856, s 2 = 7700, s 3 = 0056, s 4 = 9918 og s 5 = 9879 da fås s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 = og dermed er den hemmelige nøgle lig s = Dette system har den ønskede egenskab, at ingen gruppe bestående af færre end fem direktører har nogen form for viden om, hvad den hemmelige kode er. Vi indfører nu modulær regning generelt. Lad a og m være positive heltal. Skriv a = qm + r, hvor q er et ikke negativt heltal og r er heltal i intervallet [0,...m 1]. Altså hvis a = 9 og m = 4 så fås q = 2 og r = 1 fordi 9 = Tilsvarende hvis a = og m = så fås q = 3 og r = 409. Vi vil skrive r = a rem m. Så 9 rem 4 = 1 og rem = 409. Med ord siger vi, at 9 rest modulo 4 er 1 og, at rest modulo er 409. Med den modulære regning i hånden kan vi forklare lidt mere formelt, hvorfor de fire bankdirektører i ovenstående eksempel ingen viden har om den hemmelige nøgle s. Summen af koderne s 1, s 2, s 3, s 4 er Men rem = rem = rem = rem = rem = rem = rem = 529 udgør tallene 0,...,9999. Så uden viden om s 5 kan s ligeså godt være det ene som det andet. I forbindelse med modulære udregninger kan man have glæde af følgende regneregel: (a+b) rem m = ((a rem m)+(b rem m)) rem m. Altså for eksempel rem = rem = 531. Vi afslutter dette afsnit med et eksempel, hvor vi i stedet for at regne modulo regner modulo 13. Lad der være 3 bankdirektører b 1, b 2 og b 3. De får nøglerne s 1 = 5, s 2 = 4 og s 3 = 5. Den hemmelig nøgle er nu rem 13 = 1. Kun hvis alle tre direktører er tilstede kan nøglen genereres... 4 Legemet Z 5 I det mest generelle set-up i denne note får vi brug for at regne i såkaldte legemer Z p, hvor p er et primtal. I dette afsnit ser vi nærmere på situationen, hvor der 2

3 regnes modulo 5. Konstruktionen generaliseres umiddelbart til tilfældet, hvor p er et primtal forskelligt fra 5. Betragt Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Vi har = 7, men 7 er jo ikke et element i Z 5, så hvordan skal vi definere + på Z 5? Svaret er enkelt. Vi siger = 2 fordi 7 rem 5 = 2. Vi får følgende additionstabel Vi har = 0, = 0, = 0, = 0 og = 0. Vi skriver derfor 0 = 0, 1 = 4, 2 = 3, 3 = 2 og 4 = 1. På samme måde er 3 2 = 6 jo heller ikke et element i Z 5, så vi definerer 3 2 = 1 fordi 6 rem 5 = 1. Vi får følgende multiplikationstabel Vi har 1 1 = 1, 2 3 = 1, 3 2 = 1 og 4 4 = 1. Vi skriver 1 1 = 1, 2 1 = 3, 3 1 = 2 og 4 1 = 4. 5 Legemer Strukturen Z 5 fra afsnit 4 har mange ligheder med de velkendte strukturer Q og R. Her er Q de rationale tal (brøkerne) og R er de reelle tal. Såvel Z 5, Q og R er eksempler på såkaldte legemer. Definition 1 En mængde L med tilhørende regneoperationer + og (kaldet plus og gange) er et legeme, hvis følgende er opfyldt: (1) for alle x, y gælder x + y = y + x (2) for alle x, y, z gælder (x + y) + z = x + (y + z) (3) for alle x gælder x + 0 = x (4) for alle x findes der element x så x + ( x) = 0 (5) for alle x, y gælder x y = y x (6) for alle x, y, z gælder x (y z) = (x y) z (7) for alle x gælder x 1 = x (8) for alle x 0 findes der element x 1 så x x 1 = 1 (9) for alle x, y, z gælder x (y + z) = x y + x z 3

4 Opgave 1 Eftervis, at Z 5 er et legeme. Definition 2 Givet et primtal p lad Z p = {0, 1,...,p 1}. Definer + og som i afsnit 4. Altså, lad a + b = (a + b) rem p og lad a b = ab rem p. Sætning 1 Z p er et legeme. Bevis: Man skal eftervise at (1), (2),..., (9) i Definition 1 holder. Vi efterviser blot (4) og (8), som er de sværeste. Først eftervises (4). Hvis a = 0, så opfylder a = 0 betingelsen, fordi rem p = 0. Lad nu a {1, 2,...,p 1}. Men så opfylder elementet p a, at a + (p a) = p rem p = 0 og derfor er a = p a. Dernæst eftervises (8). Lad a {1, 2,...,p 1}. Vi skal vise, at der findes et tal b {1, 2,...,p 1}, så a b = 1. Betragt tallene a 1, a 2,..., a (p 1). Da p ikke går op i nogle af ovenstående tal, da er disse alle forskellige fra 0 (i Z p ). Vi viser nu, at tallene er parvist forskellige, og derfor må et af dem være lig 1. Antag, at to er ens, altså at as rem p = at rem p for s t, s, t {1, 2,...,p 1}. Men så p (as at) og dermed p (a(s t)). Det følger, at p (s t). Men dette er umuligt, da s t er et heltal i { (p 2), (p 3),..., 1, 1, 2,...p 2}. Opgave 2 Færdiggør beviset for Sætning 1. Fra beviset for forrige sætning får vi følgende vigtige resultat. Sætning 2 Lad a Z p \{0}, så er a 1, a 2,..., a (p 1) parvist forskellige. Alle er forskellige fra 0. 6 Lagrange-interpolation I næste afsnit vil vi præsentere Shamirs secret sharing scheme i tilfældet, hvor der er givet tre bankdirektører, men hvor to alene har lov at åbne pengeskabet. Vi får brug for Lagrange-interpolation, der er en metode til at finde et polynomium f(x) af grad højst 1 som tilfredstiller, at f(a) = c og at f(b) = d. 1 Sætning 3 Polynomiet f(x) = x b a b c + x a b a d (1) 1 I sin mere generelle form finder Lagrange-interpolation et polynomium af grad højst k 1, som tilfredstiller f(u 1 ) = v 1,..., f(u k ) = v k. Dette kan benyttes til at opstille et secret sharing scheme, hvor vilkårlige k bankdirektører ud af en gruppe på n bankdirektører kan genskabe den hemmelige nøgle. 4

5 opfylder f(a) = c samt f(b) = d. Det er det eneste polynomium af grad højst 1, som gør dette. Bevis: Første del vises ved indsættelse. For at bevise anden del antager vi, at der er to forskellige løsninger f og g. Men så fås (f g)(a) = 0 og (f g)(b) = 0, hvilket er umuligt, da et ikke-nul polynomium af grad højst 1 højst kan have et nulpunkt. Vi starter med et eksempel, hvor der regnes med reelle tal. Vi søger polynomiet f(x) af grad højst 1, så f(3) = 2 og f(4) = 6. Ifølge sætningen ovenfor er der præcis en løsning til dette problem, og denne løsning er af formen f(x) = x x = 2x x 18 = x Herefter fortsætter vi med et eksempel over Z 5. For at kunne forstå dette eksempel, er det en forudsætning at afsnittet 4 er arbejdet igennem. Man kan eventuelt springe følgende eksempel over. Vi søger polynomiet A + Bx, hvor A Z 5 og B Z 5 og hvor f(3) = 2 og f(4) = 1 (udregninger foretaget i Z 5 ). Ifølge sætningen ovenfor er der præcis en løsning til dette problem, og denne løsning er af formen f(x) = x x = x x = x x = (x + 1) (x + 2) 1 1 = (x + 1)4 2 + (x + 2)1 = (x + 1)3 + (x + 2) = 3x x + 2 = 4x + 5 = 4x 7 Shamirs secret sharing scheme I dette afsnit behandles Shamirs secret sharing scheme i det tilfælde, hvor der er tre bankdirektører, men to alene har lov at åbne pengeskabet. Metoden gør 5

6 brug af Lagrange-interpolationen fra forrige afsnit. I praksis vil man arbejde med legemer Z p, hvor p er et stort primtal. Her gennemgår vi metoden, som den tager sig ud over de reelle tal. Læsereren kan selv prøve at generalisere til tilfældet, hvor der regnes over Z 5 eller mere generelt, hvor der regnes over Z p. Metoden kan generaliseres til at håndtere situationen med n bankdirektører, hvor k skal være tilstede, for at pengeskabet kan åbnes. Lad den hemmelige nøgle være lig med f 0 = 10. Vi vælger f 1 tilfældigt til at være f 1 = 4. Herudfra konstrueres polynomiet f 0 +f 1 x = 10+4x (som holdes hemmeligt overfor bankdirektørerne). Direktør b 1 får at vide, at f(3) = 2. Direktør b 2 får at vide, at f(4) = 6. Direktør b 3 får at vide, at f(2) = 2. Ud fra dette kan b 1 og b 2 ifølge forrige afsnit rekonstruere f 0 +f 1 x = 10+4x og dermed har de fundet ud af, at den hemmelige nøgle er lig 10. Tilsvarende kunne b 1 og b 3 henholdsvis b 2 og b 3 benytte metoden fra forrige afsnit og bestemme f 0 til at være 10. Opgave 3 Udfør Lagrange interpolationen for b 1 og b 3. Udfør derefter Lagrange interpolationen for b 2 og b 3. Du skal meget gerne nå frem til f 0 = 10 hver gang. Opgave 4 Regn over Z 5. Hemmelig nøgle er f 0 = 0. Vi vælger tilfældigt f 1 = 4 og fortæller b 1, at f(3) = 2, fortæller b 2, at f(4) = 1 og fortæller b 3, at f(2) = 3. Udfør Lagrange interpolationen for b 1 og b 3. Udfør dernæst Lagrange interpolationen for b 2 og b 3 Opgave 5 Betragt interpolation over Z 5. Udregn konstantleddet i (1) og argumenter herudfra for, at en bankdirektør alene ingen information har om, hvad f 0 er. Opgave 6 Argumenter for, at det er essentielt, at direktørerne b 1, b 2 og b 3 interpolerer i forskellige punkter. Argumenter for, at det er essentielt, at ingen af disse punkter er 0. Opgave 7 Genereliser metoden fra dette afsnit til at gælde i Z p, hvor p er et primtal. Besvar opgave 5 i dette mere generelle set-up (du får brug for resultaterne fra afsnit 5). 8 Shamirs secret sharing scheme i den generelle version Den generelle version af Lagrangeinterpolation er som følger. Lad f(x) være et polynomium af grad højst k 1, som opfylder f(u 1 ) = v 1 f(u 2 ) = v 2 f(u k ) = v k. (2) 6

7 Her er det antaget, at u 1, u 2,..., u k er parvist forskellige. Man kan finde f(x) ud fra følgende formel f(x) = (x u 2 )(x u 3 ) (x u k ) (u 1 u 2 )(u 1 u 3 ) (u 1 u k ) v 1 + (x u 1)(x u 3 ) (x u k ) (u 2 u 1 )(u 2 u 3 ) (u 2 u k ) v (x u 1)(x u 2 ) (x u k 1 ) (u k u 1 )(u k u 2 ) (u k u k 1 ) v k 1 Opgave 8 Eftervis at ovenstående polynomium opfylder f(u 1 ) = v 1, f(u 2 ) = v 2,..., f(u k ) = v k. Opgave 9 Lad p være et primtal og lad k være et heltal, 1 < k < p. Genereliser secret sharing schemet fra afsnit 7 på en sådan måde, at vilkårlige k bankdirektører kan generere hemmeligheden, men ingen mængde af k 1 har nogen viden om hemmeligheden. Opgave 10 Gentag opgave 7 i dette generelle set-up. 7

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Instruktion Formålet med Lederadfærdsanalyse II Egen er at give dig oplysninger om, hvordan du opfatter din ledelsesstil. I det følgende vil du blive

Læs mere

Kryptografi Anvendt Matematik

Kryptografi Anvendt Matematik Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Loven De 8 opgaver med løsninger

Loven De 8 opgaver med løsninger Loven De 8 opgaver med løsninger Opgave 1 Her er hele fordelingen: E KB5 K982 T9843 KDBT9 D4 DBT65 6 76532 632 43 KB7 ET987 E7 ED52 1 Pas 4? Eksemplet skal vise hvor generende det er når modstanderne melder

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Python 3 Matematik Programmerings kursus:

Python 3 Matematik Programmerings kursus: Python 3 Matematik Programmerings kursus: Kompendiet indeholder: Hello World (første program) Variable (String & Integer) Løkker (while-loop) Regneoperationer If-else statement Funktioner Opgaver o Læg

Læs mere

Det gode personalemøde og arbejdspladskulturen

Det gode personalemøde og arbejdspladskulturen TEMA Stress Tekst indsættes Det gode personalemøde og arbejdspladskulturen Værktøj nr. 6 i serien Vi finder os ikke i stress! Værktøj nr. 6 i serien Vi finder os ikke i stress! Personlige strategier mod

Læs mere

UDBUDS- GUIDEN VEJLEDNING TIL OFFENTLIGE INDKØBERE VED INDKØB AF KOMMUNIKATIONSYDELSER. udbud2.indd 1 16-12-2008 15:16:10

UDBUDS- GUIDEN VEJLEDNING TIL OFFENTLIGE INDKØBERE VED INDKØB AF KOMMUNIKATIONSYDELSER. udbud2.indd 1 16-12-2008 15:16:10 UDBUDS- GUIDEN VEJLEDNING TIL OFFENTLIGE INDKØBERE VED INDKØB AF KOMMUNIKATIONSYDELSER udbud2.indd 1 16-12-2008 15:16:10 INDLEDNING OG BAGGRUND FOR VEJLEDNINGEN Som offentlig indkøber er det en svær og

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Go On! 7. til 9. klasse

Go On! 7. til 9. klasse Go On! 7. til 9. klasse Fra skoleåret 2013 / 2014 Introduktion til linjer Alle er genier. Men hvis du dømmer en fisk på dens evne til at klatre i træer, vil den leve hele sit liv i den tro, at den er dum.

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere)

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere) Brugervejledning til Landsforeningen Danske Folkedanseres Medlemssystem (For dansere) 1 Indhold Første gang systemet skal have at vide, hvem du er.... 3 Log Ud - VIGTIGT!... 4 Log ind når du har oprettet

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Jyderup Bridgeklub. Stenbergs 2 UT

Jyderup Bridgeklub. Stenbergs 2 UT Stenbergs 2 UT Lektion 1: Lad os definere 1Ma-4Ma som en skæv hånd. Meldingen er tænkt som spærrende, men ofte er der spil for udgangen. Her er et par eksempler. Makker åbner med 1 og du har D76432 E5

Læs mere

Spørgeskema på HVAL.DK

Spørgeskema på HVAL.DK Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Kontrakt. Leverancesystemet. Mellem. Region Syddanmark CVR 29190909. Damhaven 12. 7100 Vejle. (herefter benævnt kunden) [Leverandør] [CVR] [adresse]

Kontrakt. Leverancesystemet. Mellem. Region Syddanmark CVR 29190909. Damhaven 12. 7100 Vejle. (herefter benævnt kunden) [Leverandør] [CVR] [adresse] Kontrakt Leverancesystemet Mellem Region Syddanmark CVR 29190909 Damhaven 12 7100 Vejle (herefter benævnt kunden) og [Leverandør] [CVR] [adresse] [postnummer, by] (herefter benævnt leverandøren) [1] Indholdsfortegnelse

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning

Læs mere

INKLUDERET EVALUERING. Hvordan kan vi undervise og evaluere på samme tid? Inkluderet evaluering

INKLUDERET EVALUERING. Hvordan kan vi undervise og evaluere på samme tid? Inkluderet evaluering INKLUDERET EVALUERING Hvordan kan vi undervise og evaluere på samme tid? Inkluderet evaluering 1 Undervisningsprocessen Statements For den der ikke ved hvilken havn han styrer imod, er ingen vind gunstig

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Login til den digitale ansøgningsportal

Login til den digitale ansøgningsportal Login til den digitale ansøgningsportal Vejledning om login til den digitale ansøgningsportal for kandidatansøgninger Login til den digitale ansøgningsportal sker via WAYF (Where Are You From), som er

Læs mere

Solaris Værdigrundlag

Solaris Værdigrundlag Solaris Værdigrundlag Solaris En forening der giver inspiration og motivation til at fastholde og fremme spejderarbejdet. Solaris er en forening under Det Danske Spejderkorps. Dermed defineres Solaris

Læs mere

Vejledning om dybe links i Digital Post. Februar 2016

Vejledning om dybe links i Digital Post. Februar 2016 Vejledning om dybe links i Digital Post Februar 2016 Hvem skal anvende vejledningen? Vejledningen er relevant for dig, hvis du vil indsætte et link til myndighedens postkasse i Digital Post som kontaktoplysning

Læs mere

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet 1 Opgave Firantet E F Lad være et vilårligt punt på liniestyet mellem og, og tegn halvcirler til samme side over diametrene, og. Lad være det punt på halvcirlen, der har vinelret på, og lad EF være fællestangenten

Læs mere

Konfirmationsprædiken: Store bededag

Konfirmationsprædiken: Store bededag Konfirmationsprædiken: Store bededag Kære konfirmander, familier og venner I midten af september mødtes vi; konfirmanderne og jeg til den første undervisningstime her i Jægersborg Kirke, og nu er der gået

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

December og julegaver - nyheder i Finale!

December og julegaver - nyheder i Finale! Danmark BPS, IT Solutions December og julegaver - nyheder i Finale! Nyhedsmail nr. 26 Fredag den 6. december 2013 Emner: Type ved oprettelse af sag via CPR Sidste Vilje Sagsoversigten Kirker uden høj-id

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Forfatter: Tine Kanne Sørensen, Ulrik Sølgaard-Nielsen Styrelsen

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

(inkl. optagelseskrav til diplomingeniørstudierne på Aarhus Universitet)

(inkl. optagelseskrav til diplomingeniørstudierne på Aarhus Universitet) juni 2016/mrl Lokal studieordning for adgangskursus og suppleringskursus, Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet (inkl. optagelseskrav til diplomingeniørstudierne på Aarhus Universitet) Gældende fra august

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Løntilskud et springbræt til arbejdsmarkedet

Løntilskud et springbræt til arbejdsmarkedet A-KASSE DECEMBER 2014 Løntilskud et springbræt til arbejdsmarkedet Ansat med løntilskud på en offentlig arbejdsplads Indhold Forord 3 Hvorfor løntilskudsjob? 4 Hvad er formålet? 4 Et godt udgangspunkt

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Bilag 4: Transskription af interview med Ida

Bilag 4: Transskription af interview med Ida Bilag 4: Transskription af interview med Ida Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet i grove træk handler om, anonymitet, og at Ida til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål hun

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Vejledning til skriftlig prøve i biologi

Vejledning til skriftlig prøve i biologi Vejledning til skriftlig prøve i biologi Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Januar 2016 1 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Mål og krav... 4 Indhold... 5 Hjælpemidler... 5 Opgavetyper... 6 Vurdering

Læs mere

Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi

Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Januar 2016 1 Indhold Indledning... 3 Mål og krav... 4 Indhold... 5 Hjælpemidler... 5 Opgavetyper... 6 Eksempler på opgaver...

Læs mere

Forsvar mod svage 2-åbninger (fortsat)

Forsvar mod svage 2-åbninger (fortsat) Forsvar mod svage -åbninger (fortsat) På mange måder minder de defensive meldinger efter åbning eller i farve om hinanden. Principperne for indmeldinger og oplysningsdoblinger følger samme retningslinjer

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Adobe volumenlicenser

Adobe volumenlicenser Adobe volumenlicenser VIP kundeadministratorkonsol Brugerhåndbog for VIP-plan (Value Incentive Plan) Version 2.5 20. november 203 Indhold Hvad er VIP kundeadministratorkonsollen?... 4 Sådan kommer du godt

Læs mere

Speciale på Kandidatuddannelsen i Socialt Arbejde AAU CPH Sarah 20127119 & Matilde 20111134, September 2014 Bilagsdokumenter

Speciale på Kandidatuddannelsen i Socialt Arbejde AAU CPH Sarah 20127119 & Matilde 20111134, September 2014 Bilagsdokumenter Bilag 1: Beskrivelse af Dansk Flygtningehjælps Ungenetværk DFUNK Følgende redegørelse er baseret på skriftlig information fra DFUNK s sekretariat omkring deres ung-til-ung grupper, informationer fra organisationens

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Dette er en hjælp til dig der gerne vil bringe mapop ind i din læringsmålstyrede undervisning. Vi tager udgangspunkt i Læringsmålstyret

Læs mere

Annemette Søgaard Hansen/www.dinwebvejleder.dk

Annemette Søgaard Hansen/www.dinwebvejleder.dk Google Docs Præsentationer Indholdsfortegnelse Værktøjer... Side 3 Menuer... Side 8 Opgave... Side 13 Få adgang til filerne fra din computer... Side 21 Vejledende løsning... Side 22 GoogleDocs Præsentationer

Læs mere