AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK
|
|
- Maria Klausen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK A. SEMESTER NANOTEKNOLOGI EFTERÅR 7
2 Indholdsfortegnelse Matematik A, Lek. 7 Opgave regning A.7 - A.8 7 Opgave A. 7 Opgave A.3 7 Opgave A.5 7 Opgave A.7 7 Opgave A.9 7 Opgave A.5 7 Opgave A. 7 Opgave A.6 7 Opgave A.9 7 Opgave A.33 7 Opgave A.37 7 Opgave A.43 8 Opgave A.47 8 Matematik A, Lek. 9 Opgave regning 6.8 True / false 9 Opgave Opgave Opgave Opgave regning Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning Taylor s polynomium n te grad Taylor poly. Restled Matematik A, Lek. 3 Opgave regning.4 Opgave.4. Opgave.4.3 Opgave.4.4 Opgave.4.3 Forelæsning 3 Funktioner af flere variable,.,. 3 Kontur-kurver 4 Partiel afledte / Grænse værdier 4
3 Matematik A, Lek. 4 5 True / False. 5 Opgaverne. 5 Opgave.. 5 Opgave..3 5 Opgave..5 5 Opgave..7 5 Opgave..8 5 Opgave.. 5 Opgave..5 5 Opgave..9 5 Opgave..4 5 Forelæsning 6 Partiel afledte 6 Tangentplanen 7 Sætning for tangentplanen: 7 Funktioner af tre variable 8 Matematik A, Lek. 5 9 Forelæsning 9 Optimeringsproblemer (.5 9 Hvordan finder vi ekstrema? 9 Proceduren for at finde globale ekstrema Matematik A, Lek. 6 Opgave regning.5 Opgave.5 true / false Opgave.5.3 Opgave.5.5 Opgave.5.9 Opgave.5.3 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 4 Lineær approksiomation og tilvækst (.6 4 Matematik A, Lek. 7 7 Opgave regning.6 7 Opgave.6 true / false 7 Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 9 Kædereglen.7 (3.7 i EP6 9 Kædereglen for funktioner af to variable 9 Kædereglen for funktioner af tre variable 9 Partielle afledede 9 Den generelle Kæderegel for funktioner af n/m variable 3 Implicit definerede funktioner 3 3
4 Matematik A, Lek. 8 3 Opgave regning.7 3 Opgave.7 true / false 3 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 35 Retningsafledede.8 35 Mere om gradient vektoren 36 Matematik A, Lek Opgave regning.8 38 Opgave.8 true / false 38 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 4 Plan integralet Planintegralet 4 Generelt begrænset område R 4 Hvordan udregner vi "" f ( x;yda? 4 R Matematik A, Lek. 44 Opgave regning Opgave 3. true / false 44 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 46 Mere om planintegralet Matematik A, Lek. 49 Opgave regning Opgave 3.3 true / false 49 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 5 4
5 Polære koordinater 9. 5 Kurver i polære koordinater 5 Matematik A, Lek. 54 Opgave regning Opgave 9. true / false 54 Opgave 9..a 54 Opgave 9..b 54 Opgave 9..c 54 Opgave 9..f 55 Opgave 9..a 55 Opgave 9..e 55 Opgave 9..f 55 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 57 Planintegraler med polære koordinater Matematik A, Lek. 3 6 Opgave regning Opgave 3.4 true / false 6 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 63 Anvendelse af dobbeltintegraler (planintegralet Inertimoment omkring z-aksen 64 Kinetisk energi 64 Matematik A, Lek Opgave regning Opgave 3.5 true / false 66 Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 69 Rumintegraler / trippelintegraler Anvendelser 69 Masse 69 Massemidtpunkt ( x ;y;z 69 Inertimoment 7 z-simpelt område 7 Matematik A, Lek. 5 7 Opgave regning Opgave 3.6 true / false 7 Opgave Opgave
6 Opgave Opgave Opgave Forelæsning 73 Integration i cylindre og sfæriske koordinater Cylinderkoordinater 73 Sfæriske-koordinater 74 Matematik A, Lek Opgave regning Opgave.8 true / false 76 Opgave 3.7 true / false 76 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 79 Kurver i rummet.5 79 Differentiation af vektorfunktioner 79 Regneregler for differentiation 8 Fart, hastigheds- og accelerationsvektorer 8 Integration af vektorfunktioner 8 Matematik A, Lek. 7 8 Opgave regning.5 8 Opgave.8 true / false 8 Opgave.5. 8 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Forelæsning 85 Buelængde og krumning.6 85 Buelængde 85 Krumning af plane kurver 86 Krumningscirkelen 87 Matematik A, Lek Forelæsning 88 Opsamling af EP 88 Sec. 6.8, App. C 88 Sec Sec Sec Sec Sec..8, Opgave regning 9 EPquizz-hw 9 6
7 6. september 7 Matematik A, Lek. Opgave regning A.7 - A.8 Opgave A. 4 o = 4" 8 = " rad =,698 9 Opgave A.3 35 o = 35" 8 = 7 " rad = 5,498 4 Opgave A.5 "5 o = "5# 8 = "5 # rad = ",68 6 Opgave A.7 " 5 rad = " 5 *8 " = 7o Opgave A.9 5" 5" rad = 4 4 * 8 " = 675o Opgave A.5 sin( x = Ved at studerer enhedscirkelen kan man lede at denne formel er sand i π og i, derved kan udledes følgende formel: " n *# Opgave A. cos( x = " Ved at studerer enhedscirkelen kan man lede at denne formel er sand i π og i, derved kan udledes følgende formel: "# + n * Opgave A.6 cos ( x + sin x " cos ( x cos x c = + ( sin x cos ( x = cos ( x + tan x = sec ( x Opgave A.9 # sin 5" & 6 ' ( = sin # " " & 6 ' ( = sin # " & 6 ( =,5 ' Opgave A.33 # sin " & 3 ' ( = sin # " " & 3 ' ( = sin # " & 3 ( = 3 ' Opgave A.37 cos ' " & # ( * = sin ( = cos " ( ' * cos # & a + = *cos # + = sin # sin ' " & #*sin(# ( * sin # 7
8 b c sin ' " & # ( * = cos = sin " ( ' * cos # & + =*cos # + = cos # + cos ' " & + *sin (# = cos ( cot ' " & # ( * = tan cos " # ( ' * & = sin ' " & # ( * + cos " ( ' * cos # & = sin " ( ' * cos # & + = sin cos + = tan # sin ' " & + cos ' " & ( * sin # ( * sin # ( * sin # Opgave A.43 [ ;" ] 3sin ( x # cos x = ( = 3sin ( x # # sin x 4sin ( x #= sin( x = 3 4 x = " 3 x = " + " 3 = " 3 Opgave A.47 ;" [ ] 8sin ( xcos x # = ( = 8sin ( x sin x # 8sin ( x 9sin x = # sin ( x = sin x # x = = 8
9 . september 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 6.8 True / false Opgave 6.8. Fals det korrekte svar står på side A- 5 Opgave 6.8. Fals det korrekte svar står på side 49 Opgave True står på side 489 Så er det nok Opgave regning 6.8 Opgave 6.8. a arcsin b arcsin " c arcsin =,5 = ",5 d arcsin " 3 Opgave 6.8. a arccos b arccos " c arccos =,79 = ",5 =,5 =,9 =,79 =,6 d arccos " 3 Opgave a arctan b arctan c arctan " = = " 4 = "# 4 = " 3 d arctan 3 Opgave f ( x = arcsin x dy dx = " x Opgave f ( x = arctan e x *x 99 = x 99 dy dx = e x + *ex Opgave f x ( = ln arctan x dy dx = arctan( x * x + Opgave f ( x = arctan x dy dx = " arctan x ( * Opgave ( f ( x = arcsin x dy dx = arcsin x ( * Opgave " + x dx x + " x " x [ arctan( x ] = arctan ( # arctan arctan x [ ] = 4 9
10 Opgave # " x dx [ arcsin( x ] = arcsin( " arcsin Opgave x " 49 dx + x [ arctan x 5 5 ] " [ arcsin( x ] = 6 Opgave " 9 + x dx arctan x 3 [ 3 ( 3 ] = ( arctan * 3 3 ( 3 # arctan * 3 3 arctan x 3 [ 3 ( 3 ] = Opgave # dx 6 " x arcsin x [ ( 4 ] = ( ( arcsin( * 4 " arcsin * 4 arcsin x [ ( 4 ] = 3 ( Opgave # x 4 " x dx [ arcsin x 5 5 ] Opgave Hvis: D x arccos x er: arcsin x hvis: " x " bevis: D x arccos x = "D x arcsin( x + arccos( x = " = "D x arcsin( x
11 Forelæsning Taylor s polynomium f(x y = f ( a + f ' ( a ( x " a a x n te grad Taylor poly. P n k n f ( x ( k a = " x # a k k= + f '' a = f ( a + f ' a x # a k=* * 3*... k # * k ( x # a +... f n a n ( x # a n Restled f ( x = P n ( x + R n ( x f er n+ gange diff. omkring a n f ( k a f ( x = k= k k + f ( n + ( z ( x # a n + Taylors formel (m/restled " x # a hvor z ligger mellem x og a ( n + [ z := z ( x ]
12 3. september 7 Matematik A, Lek. 3 Opgave regning.4 Opgave.4. f ( x = e "x ; n = 5 f ' ( x = "e "x e "x =" x + x " 6 x x 4 " x 5 e "x =" x + x " x x 4 4 " x 5 5 # + x 6 6 e"z & ' ( Opgave.4.3 f ( x = cos( x; n = 4 cos x =" x + 4 x 4 cos( x =" x + x 4 4 Opgave.4.4 f ( x = " x ; n = 4 f ' ( x = ( x " " x = # + x + x + x 3 + x 4 + x 5 Opgave.4.3 f ( x = sin( x; a = " ; n = 3 6 # " x 5 5 sin ( z & ' ( 5 z5 & ' ( sin( x = + 3 x # " ( 6 # x # " 4 ( # 3 x # " 6 { sin( z x # " 4 ( 6 4 }
13 Forelæsning Funktioner af flere variable,.,. Eks.: Byg en 5 m 3 container med mindst muligt penge brug z x y Pris: p = xz + 4xy + 6xz Hvordan vælges x, y, z så prisen bliver mindst muligt? Volumenet: V = xyz = 5m 3 " z = 5 xy Pris : p = y + 4xy + 3 x Dif: En funktion f af to variable x, y med def. mængde D i xy-planen er en regel der til ethvert (x,y D knytter et tal f(x,y. D f f(x,y En funktion f af tre variable x, y, z med def. Mængde D i rummet er en regel der til ethvert tripel (x,y,z D knytter et tal f(x,y,z Bemærkning: hvis def. mængden ikke er givet, så vælger man den størst mulige def. mængde. Eks._: = 5 " x " y, DM : 5 " x " y # 5 # x + y f x, y Eks._3: y f ( x, y = x " y, DM : x " y # x # y Find de punkter hvor f = ± f =" y x # y =" y = x # y " x = y Grafen G for en funktion z = f ( x, y med def. mængden D er mængden af punkter: 3
14 G = {( x;y; f ( x, y ( x, y"d} Kontur-kurver Givet er en højde z=k, så betragter vi skæringen mellem G og planen z=k. Det giver: K k = ( x;y;k f ( x,y = k, ( x;y"d { } K k kaldes kontur kurver for G i højden k. Niveau kurverne fremkommer ved at flytte kontur kurverne til xy-planan. Fladen hører til z = f ( x;y Se ark. fra hans hjemmeside i maple... det cool. Partiel afledte / Grænse værdier lim f x x "a = L lim = L f x,y ( x,y" ( a,b Dif: grænseværdien af f(x,y når (x,y går mod (a,b siges at være L, når: givet ε> så findes δ>: + ( y " b < # f ( x;y " L < < x " a eks: f ( x;y = xy x + y lim f x;y ( x;y" ( ;? hvad gør man så? Dif: f(x;y er kontinueret i (a;b hvis: lim = f ( a;b f x;y ( x;y" ( ; x=-y x=y x = y : f ( x;y = x x = x = "y : f ( x;"x = "x x = " dvs. lim f x;y ( x;y" ( ; eksistere ikke 4
15 7. september 7 Matematik A, Lek. 4 True / False. true true Opgaverne. Opgave.. f ( x;y = 4 " 3x " y DM = R Opgave.. f ( x;y = x fladt plan i rummet, der er 45 grader på xy-planen. Opgave..5 f ( x;y = x + y Opgave..3 f ( x;y = x + y { } DM = R / ; Opgave..5 3 f ( x;y = y " x DM = R Opgave..9 f ( x;y = " x + y Opgave..7 { } f ( x;y = arcsin x + y DM = " # x + y Opgave..8 f = arctan " y ( x;y # x ' & DM = { x ( x,y *R} Opgave..4 f ( x;y;z = x + y " z 5
16 Forelæsning Partiel afledte Differentiere funktioner af flere variable, man diff. for at finde min og max for en funktion. For funktioner én variable: u = f x du Nu ser vi på det tilsvarende for z = f ( x;y. tilfælde: ændring i z langs x-akse. "z = f x + h;y # f ( x;y. tilfælde: ændring i z langs y-akse. "z = f x;y + h # f ( x;y dx x x+h "u f ' ( x = lim "x# "x Dif: De partielle afledede af f(x;y er defineret som: f ( x + h;y # f ( x;y f x ( x;y = lim h " h f ( x;y + h # f ( x;y f y ( x;y = lim h " h forudsat grænseværdierne eksisterer. Notation: z = f x;y f x = "f "x = "z "x f y = "f "y = "z "y f x ( a;b = "f "x a;b blødt d for at vise at det er en partiel funktion. fortolkning af de partielle afledede givet: z = f ( x;y og punktet (a;b definerer vi: x-kurven hørende til f: g(x=f(x;b y-kurven hørende til f: g(x=f(a;y 6
17 Eks: f x;y = x + xy " y 3 = x + y " = x + y = + 4xy " 3y = 4 xy " 3y f x;y f x;y Tangentplanen Antage af f har kontinuerte partielle afledede i et punkt omkring (a;b. Så defineres tangent planen til z = f ( x;y i punktet ( a;b; f ( a;b som planen, der indeholder tangentplanerne til x-kurven og y-kurven. Sætning for tangentplanen: Tangentplanen til givet ved: z " f a;b i punktet x ;y ;z f x ( x ;y x " x z = f ( x;y i punktet = f x ( a;b ( x " a + f y ( a;b ( y " b ( a;b; f ( a;b er kan sætningen skrives: + f y ( x ;y ( y " y " ("( z " z = lad c = f ( x;y. Så kan et vilkårligt plan gennem (a;b;c skrives: A x " a + B( y " b " C( z " c = ; C # + q( y " b z " c = p x " a p = "A C q = "B C x-kurven til planen: z " c = p( x " a, #z = p #x y-kurven til planen: z " c = q( y " a, #z = q #y vi sætter nu: n x " x =, hvor p = f ( x ( a;b, q = f ( y ( a;b så går det op Eks._: z = 5 " x " y, punkt P ;; f x;y f x f y n = f x ( x ;y ; f y ( x ;y ;" = 5 " x " y ( x;y = "4x # f x ( ; = "4 ( x;y = "y # f y ( ; = " " ( y " TP : z " = "4 x " 7
18 Funktioner af tre variable For f ( x; y;z defineres: f x + h;y;z f x ( x;y;z = lim h " h f x;y + h;z f y ( x;y;z = lim h " h f x;y;z + h f z ( x;y;z = lim h " h # f ( x;y;z # f ( x;y;z # f ( x;y;z z = f ( x;y : ( f x x = f xx = " f "x ( f x y = f xy = " f "y dx ( f y = f x yx = " f "x dy ( f y y = f yy = " f "y Sætning f xy ( a;b = f yx ( a;b hvis fxy og fyx er kontinuerte i en omegn af punktet (a;b eks.: f x;y a f x f y = x + 4xy " y 3 ( x;y = x + 4y ( x;y = 4x " 3y ( x;y = ( f x y = 4 f xy f yx ( x;y = f y x = 4 bevis for sætning b = e "3x cos( y ( x;y = "3e "3x cos( y ( x;y = e "3x * "sin( y ( x;y = ( f x y = "3e "3x * "sin( y = 3e "3x sin( y f x;y f x f y f xy f yx ( x;y = f x y = +3e "3x sin( y = 3e "3x sin( y 8
19 . september 7 Matematik A, Lek. 5 Forelæsning Optimeringsproblemer (.5 Mål for forelæsningen: vi ønsker at finde ekstreme for funktionen f(x;y, som de dif., på et område R. Vi antager at R består af punkterne på og indenfor en simpel lukket kurve i planen. R kurve f siges at have et globalt max i (a;ber, hvis f a;b f siges at have et globalt min i (c;der hvis f c;d " f x;y " f x;y, for alle (x;yer, for alle (x;yer Sætning: Antag at f er kontinuert på R, med R som ovenfor. Så har f både et globalt max/min på R. Funktionen f har et lokalt max /min i (a;b, hvis der findes en cirkelskive D, med centrum i (a;b, indeholdt i R så f på D har et globalt max/min. R kurve Hvordan finder vi ekstrema? Anag at fx og fy eksistere i punktet (a;b, hvor f har et lokalt ekstrema. Vi ser på to funktioner: G x = f ( x;b = f ( a;y H x G(x H(x a x b x 9
20 Vi ser: G' x = = H' x dvs.: a;b f x f y = ( a;b = tangent planen er vandret Sætning: Lad f være kontinuert på et område R, der er dif. som punkerne på og indenfor en simpel lukket kurve C. Hvis f har et globalt ekstremum i punkt (a;ber så er vi i et af følgende tilfælde: (a;b er indenfor C og f x ( a;b = f y ( a;b = (a;b er indenfor C, men mindst en af de partielt afledte eksistere ikke 3 (a;b ligger på C. Proceduren for at finde globale ekstrema Find de kritiske punkter for f indenfor C. Dvs. de punkter hvor f x ( a;b = f y a;b Find ekstrema på C. 3 Sammenlign funktionsværdier fra første og anden. = eller hvor en af de partielle afledede ikke eksisterer Eks.: Find ekstrema for: = x + y på f x;y R = {( x;y x + y "} = f ( ; " f ( x;y, ( x;y#r globalt min = f ( a;b " f ( x;y, ( x;y#r a + b = Eks._: Find ekstrema for f x;y Vi finder kritiske punkter: = 5 " x " y på R = {( x;y x + y " 7}
21 f x ( x;y = "x = # x = f(; = 5 f y ( x;y = "y = # y = på randen x + y " 7 har vi f(x;y = - globalt max i (; med f(; = 5 og globalt min på x + y " 7 med f(x;y = - Eks._3: Find ekstrema for = x + y " x på f x;y R = {( x;y" # x #," # y #} Vi finder kritiske punkter: x;y f x f y = x " = # x = ( x;y = y = # y = = " = " 4 4 f ; på randen: x = ": f ";y x =: f ;y =+ y += + y, "# y # =+ y "= y, "# y # = x +" x =, "# y # =+ y "= + y, "# y # y = ": f x;" y =: f x;
22 9. oktober 7 Matematik A, Lek. 6 Opgave regning.5 Opgave.5 true / false False True 3 False 4 True 5 False 6 True 7 True 8 True 9 True True Opgave.5.3 z = xy + 5 ; z = f x;y f x = x = f y = y = f z = z = 5 ( ;;5 Opgave.5.5 z = x + y " 6x + y + 5 ; z = f x;y f x = x " 6 = ; x = 3 f y = y + = ; y = " f z = 3 + (" " 6* 3+ * (" + 5 = "5 ( 3;";"5 Opgave.5.9 z = 3x +x + 4y 3 " 6y + 5 z = f x;y f x = 6x + = ; x = " f y =y "y = ; y =or y = f z = 3* (" + * (" + 4 * 3 " 6* + 5 = "9 (";;"9 f z = 3* (" + * (" + 4 * 3 " 6* + 5 = "7 (";;"7 Opgave.5.3 z = x " x + y " y + 3 z = f x;y f x = x " = ; x = f y = y " = ; y = f z = " *+ " *+ 3 = ( ;;
23 Opgave.5.3 f x;y = x + y ; R" ( ±;± x # = f (#;y = y # = = G ( y x = f ( ;y = y += = H ( y y # = f ( x;# = x # = = G ( x y = f ( x; = x + = = H ( x G' y = H' ( y = # G' ( x = H' ( x = # = + * = 3 = + *# = = # + * = # = # + *# = #3 f ; f ; f ;# f ;# f #; f #; f #;# f #;# Opgave.5.4 = x + y " x ; R# ; f x;y Opgave.5.47 = x + y " x ; R# ; f x;y (;( ;; ( ; (;( ;; ( ; Opgave.5.5 = x + y " x ; R# ; f x;y (;( ;; ( ; Opgave.5.7 f x;y = xy R er en cirkulær disk x +y 3
24 Forelæsning Lineær approksiomation og tilvækst (.6 Den rette måde at approksimere på er at bruge tangent planen. For en pæn funktion f(x;y gælder: # f ( x;y + f x x;y # f ( x;y + f y x;y f x + "x;y f x;y + "y "x "y Via deres dif. kan man se at man kun kan bevæge sig langs x eller y aksen. Gælder følgende: f ( x + "x;y + "y # f ( x;y + f x ( x;y"x + f y ( x;y"y? For generelle funktioner gælder dette ikke Eks.: Lad f ( x;y = Det ses let at: f x ; = f y ( ; = Vi definerer differentialet for f(x;y som df = f x ( x;y"x + f y ( x;y"y Eks._: Udregn df for f ( x;y = x + 3xy " y Vi har f ' x ( x;y = x + 3xy, f ' y x;y Dvs.: df = ( x + 3xy"x + ( 3x # 4 y"y = 3x " 4y Bemærk: df skal kun opfattes som naotation der forklare og hvordan vi skal lave en lineær approksimation af f: Vi opfatter: df " #f f ( x + "x;y + "y # f ( x;y + f x ( x;y"x + f y ( x;y"y Notation: Ofte skrives:, x= ell. y=, ellers df = f x ( x;y"x + f y ( x;y"y som ses som: dz = "z "z dx + dy, hvor z = f(x;y "x "y Lineær i x og y 4
25 Eks._3: w = f x;y;z skrives: dw = "w "w "w dx + dy + "x "y "z dz Notation: Gradient vektoren: Lad f x Hvis h = h ;h ;h 3 ;...;h n = f ( x ;x ;...;x n så har vi: a " f x f x + h + #f h + #f h #f h n dx dx dx n vi indfører vektoren: "f ( x = #f ; #f ; #f ;...; #f ' & #x #x #x 3 #x n ( kaldes gradienten til f. a kan nu skrives: b f x + h " f x + #f ( x * h Hvornår giver df via (b en god approksimation til f? Sætning: Gradient vektoren: Antag at f x omegn af punktet a. Så gælder: f a + h = f a har kontinuerte partielle afledede i en (åben + "f ( a * h + # h * h hvor "( h er en vektor funktion "( h = " ( h ;" ( h ;" 3 ( h ;...;" n h ( med " i ( h # når det følger at: f a + h lim h " # f a h " # f ( a * h h = 5
26 Dif.: Funktionen f x findes en vektor c således f ( a + h # f ( a # c * h lim = h " h siges at være differentiabel i a hvis der Bemærkning: f med kontinuerte partielle afledede kaldes kontinuert differentiabel. Let at se: c = "f a Eks_4: Lad f x;y = x + 3xy " y Drug df til aproksimation f(3.;4,9 udfra f(3,5 df = ( x + 3ydx + ( 3x " 4ydy df 3;5 = ( * 3+ 3*5dx + ( 3* 3" 4 *5dy = dx "dy vi vælger nu dx =, ; dy = -, dvs. = 5,3 f ( 3,;4,9 # f ( 3;5 + df = f ( 3;5 + 5,3 = 9,3 df = *, "* " 6
27 . oktober 7 Matematik A, Lek. 7 Opgave regning.6 Opgave.6 true / false True True 3 True 4 True 5 True Opgave.6.4 w = xye x +y dw = y( x +e x +y dx + x( y +e x +y dy 6 True 7 True 8 True 9 True True Opgave.6.7 w = ln x + y + z dw = x dx x + y + z + Opgave.6.7 y dy x + y + z + f ( x;y = x + y ; P( 3;4 ; Q(,97;4,4 ( x + y x + y x dx + y dy " df = x + y dx = Q x # P x =,97 # 3 = #,3 dy = Q y # P y = 4,4 # 4 =,4 z dz x dx + y dy + z dz = x + y + z x + y + z f ( Q f ( P + df 3* #,3 f (,97;4, * (,4 = Opgave.6.43 a Husk dif. mængden er et område og ikke en kurve Hvis (x;y (; langs linjen x = y så: lim f ( x;y = lim x;x ( x;y" ( ; x " = lim= x " Men hvis (x;y (; langs linjen y = så: lim f ( x;y = lim x; ( x;y" ( ; x " = lim = x " 5 = 5,4 7
28 b " f ( x;y f = f x + h;y h = f ( + h; " f ( ; f x ; = f ( + k; " f ( ; h = lim h # h = f y ; = lim k k = Funktionen findes ikke i punktet, men de partielt aflede kan stadig godt eksistere Ud fra dette kan det ses at både f x og f y findes i punktet (; k # Pink pile indikerer retning for grænseværdierne 8
29 Forelæsning Kædereglen.7 (3.7 i EP6 For funktioner af én variabel: Hvis w = f ( x, x = g( t, så gælder dw dt = dw dx * dx dt den ydre ganget på den indre diff. Kædereglen for funktioner af to variable Sætning: Antag at w = f x;y diff. funktion. Så gælder: dw dt = dw dx * "x "t + dw dy * "y "t Bevis: "w # w w "x + x y "y Eks.: w = e xy, x = t 3, y = t 4 dw Lad dx = yexy, dw dy = xexy, dw = 3t, dw = 4t 3 dt dt er kontinuert diff. og dw dt = yexy * 3t + xe xy 4t 3 = t 4 e t 7 * 3t + t 3 e t 7 * 4t 3 = 7t 6 e t 7 Kædereglen for funktioner af tre variable Sætning: Antag at w = f x;y;z z = k( t er diff. funktion. Så gælder: dw dt = dw dx * "x "t + dw dy * "y "t + dw dz * "z "t Partielle afledede Sætning: Antag at w = f x;y;z y = h( u;v, z = k u;v "w "u = "w "x * "x "u + "w "y * "y "u + "w "z * "z "u "w "v = "w "x * "x "v + "w "y * "y "v + "w "z * "z "v er kontinuert diff. og x = g( t, x = g( t, er kontinuert diff. og er diff. funktion. Så gælder: x = g( u;v, y = h( t er y = h( t, 9
30 Den generelle Kæderegel for funktioner af n/m variable Sætning: Antag at w er en funktion af x, x, x 3,..., x m of hvert x i afhænger af t, t, t 3,..., t n. Så gælder: "w = "w * "x + "w * "x + "w * "x "w * "x m "t i "x "t i "x "t i "x 3 "t i "x m "t i i betyder et hvilket som helst tal, hvorimod n/m betyder den maximale værdi for lige netop den specifikke udregning. Implicit definerede funktioner Givet en ligning F x; y;z F x;y; f x;y =, kan vi så løse for z og få en funktion ( = z = f ( x;y med Sætning (Implicit funktions sætningen: Antag F = x,x,x 3,...,x n,z ved punktet F a ;b funktion F x ;g x er kontinuert differentiabel tal ( a ;b = ( a,a,a 3,...,a n,b og "F #, "z ( a ;b =. Så eksisterer der en kontinuert differentiabel z = g( x,x,x 3,...,x n med g( a = b og x nær ved a. = for =, der opfylder Vi ser nu på F = x,x,x 3,...,x n,z betingelserne i sætningen. Vi har: x = x F = ( x,x,x 3,...,x n,z = x = x x 3 = x 3... x n = x n "z Hvad er? "x i Vi har: = "F = "F * "x + "F * "x + "F * "x "F * "x n + "F "x i "x "x i "x "x i "x 3 "x i "x n "x i "z * "z "x i z = f x,x,x 3,...,x n 3
31 Bemærkning at "x j "x i =, i " j, i = j dvs. = "F *+ "F "x i "z * "z # "z "F "xi = "x i "x i "F "z "z "x = # F x F z Eks._: Lad F x;y = x 3 + y 3 " 3xy = F definerer y som funktion af x undtagen hvor Vi har: = "F "x * dx dx + "F "y * dy dx = 3x # 3y Eks._3: Lad F x;y Find *+ ( 3y # 3x dy = y 4 + 4y " 3x 3 sin( y " x "= dy dx i punktet dy dx = " F x F y = dy dx " ( ; (" ; " " 9x sin y 4y " 3x 3 cos y " = 4 " 3 (" 3 cos = Eks._4: Antag at kurven "F "y = 3y # 3x = n dz dt = "z "x * dx dt + "z "y * dy dt # ' "z &"x ;"z "y ; ( * dx dt ; dy T dt ; dz ( ' * = & dt u v = u v cos " dx = # 3x # 3y 3y # 3x x = x( t, y = y( t, z = z( t ligger på fladen z = f ( x;y. Så har vi: n "T hvis vektorerne prikket med hinanden er de vinkel ret på hinanden. 3
32 . oktober 7 Matematik A, Lek. 8 Opgave regning.7 Opgave.7 true / false True True 3 False 4 True 5 False Opgave.7.5 ; x = s " t, y = s + t, z = st w = ln x + y + z find "w "s og "w "t "w "s = "w "x * "x "s + "w "y * "y "s + "w "z * "z "s "w "s = x x + y + z + y x + y + z + tz st * x + y + z 6 False 7 True 8 True 9 True 3 True = * st * x + * st * y + tz st * x + y + z = * st * s # t + * st * ( s + t + 4t * st ( s # t + ( s + t + 4st st * + ( s + t + 4t + ( s + t + 4st = = s # t s # t s # t + s + t + 4t s + t # st + s + t + st + 4st = 4s + 4t s + t + 4st = ( s + t s + t + 4st = ( s + t ( s + t ( s + t = s + t "w "t = "w "x * "x "t + "w "y * "y "t + "w "z * "z "t "w "t = x x + y + z + y x + y + z + sz st * x + y + z = # * st * x + * st * y + sz st * x + y + z = # * st * s # t + * st * ( s + t + 4s* st ( s # t + ( s + t + 4st st * + ( s + t + 4s + ( s + t + 4st = = # s # t s # t #s + t + s + t + 4s s + t # st + s + t + st + 4st = 4s + 4t s + t + 4st = ( s + t s + t + 4st = ( s + t ( s + t ( s + t = s + t 3
33 Opgave.7.7 w = find u + v + z ; u = 3e t sin s "w "s og "w "t a "w "s = "w "x * "x "s + "w "y * "y "s + "w "z * "z "s "w "s = u3et cos( s u + v + z #, v = 3e t cos( s, z = 4e t v3e t sin( s u + v + z + = 3e t 3e t (( 3e t sin( s cos( s # ( 3e t cos( s sin( s ( 3e t sin( s + 3e t cos( s = + ( 4e t b "w "t = "w "x * "x "t + "w "y * "y "t + "w "z * "z "t "w "t = u3et sin s u + v + z + v3e t cos( s u + v + z + ( ucos( s # v sin( s = u + v + z t z4e 3e t * ( 3e t sin( s + 3e t cos( s u + v + z z = + ( 4e t = = e t( u3sin( s + v3cos( s + 4z = u + v + z e t (( 3e t sin( s 3sin( s + ( 3e t cos( s 3cos( s + 4( 4e t ( 3e t sin( s + 3e t cos( s = + ( 4e t ( + 9e t cos ( s +6e t = e ( s + 9e t cos ( s +6e t e t 9e t sin s 9e t sin t ( 9e t ( sin ( s + cos ( s +6e t = e ( + cos ( s +6e t 9e t sin s ( 9e t *+6e t = 9e t *+6e t t e t ( 9e t *+6e t 9e t *+6e t = 5e 9e t *+6e t 9e t *+6e t t 9e t *+6e t 5e t = 5e t = 5e t Opgave.7.3 p = f x;y ; x = x( u;v;w ; y = y( u;v;w "p "u = "f "x * "x "u + "f "y * "y "u, "p "v = "f "x * "x "v + "f "y * "y "v, og "p "w = "f "x * "x "w + "f "y * "y "w, 33
34 Opgave.7. xe xy + ye xy + ze xy = 3 " xe xy + ye xy + ze xy # 3 = = F "z find "x og "z "y når z = f ( x;y (tip se side 955 i EP7 a "z "x = # F x = # exy + xye xy + yze zx + yze xy F z xye zx + e xy b "z "y = # F y = # x e xy + e zx + xze xy F z xye zx + e xy Opgave.7.3 x a + y b + z c = " x a + y b + z c # = "z find "x og "z "y når a "z "x = # F x = # c x F z a z b "z "y = # F y = # c y F z b z z = f ( x;y (tip se side 955 i EP7 34
35 Forelæsning Retningsafledede.8 For en funktion z = f ( x;y har vi de partielt afledede: f ( x + h;y # f ( x;y f x = lim h " h f f ( x;y + h # f ( x;y y = lim h " h De giver information om tilvæksten i z når vi går langs hhv. x- og y-aksen. Vi ønsker information om tilvækst i z når vi går langs en vilkårlig enhedsvektor u. At være en enhedsvektor betyder: u == u + u + u u n Hvordan regnes Du f ( x? Da f er differentiabel gælder: f ( x + h # f ( x # f x lim h " h Definition: Lad f ( x være en differentiabel funktion, og lad u være en enhedsvektor. Så defineres den retningsafledede af f i retning u som: f ( x + hx # f ( x Du f ( x = lim h " h h = Specielt for h = hu gælder: f ( x + h # f x = lim h " h Dvs.: Du f x Eks.: Lad f x;y Udregn = "f ( x u # f ( x ( hu = x y 3, u = ; Du f ( ; # f ( x f x + hu = lim& h "' h # f x u ( * Vi har "f x;y = xy 3 ;3x y "f ( ; = ( ;3 Dvs. Du f ; = ( ;3 ; = + 3 = 5 35
36 Bemærkning: Du f x = "f ( x u Du f ( x = "f ( x u cos (# Du f ( x = "f ( x cos (# Du f ( x er størst når u har samme retning som Eks._: Lad f x;y Vi har: "f x;y ( ;#4cos( 3x # 4y "f ( x, dvs. når u = "f x "f x = sin( 3x " 4y, P ( # ; # 3 4 i hvilken retning vokser f hurtigst i P? = 3cos 3x # 4y = ( 3;#4 "f 3 ; 4 Vælg ( 3;"4 u = = 3;"4 5 Mere om gradient vektoren Vi betragter a F( x; y;z = "F Hvis # så kan vi skrive z = f ( x;y "z "F Hvis # så kan vi skrive x = g( y;z "x "F Hvis # så kan vi skrive y = h( x;z "y Hvis bare en af gradient vektorerne er forskellig fra kan man se at F er en flade. Dvs. a ligner en flade i alle punkter, hvor "F( P # Sætning: Antag at F( x; y;z er differentiabel og lad P ( x ;y ;z være et punkt hvor F( x ;y ;z = og "F( P #. Hvis r t fladen hørende til F med r ( t = ( x ;y ;z og r '( t ", så gælder: "F P Bevis: r '( t = = d dt F r ( t = "F( r ( t r ' t er en differentiabel kurve, som ligger på Tangent vektor til kurven Normal vektor til tangentplanen gennem P 36
37 Bemærk: Hvis F( x; y;z = f ( x;y " z = så har vi "F = ' #f &#x ;#f #y ; ( * = kan vi skrive tangentplanen gennem (a;b;c som ( x " a + F y ( a;b;c ( y " b + F z ( a;b;c ( c " z For fladen givet ved F x; y;z a;b;c F x Eks._3: Lad F x; y;z Find tangentplanen i P (;-3:- Vi har "F = 4 x;8y;z = x + 4y + z " 45 = = ( 8;#4;# "F P tangentplanen: 8 x " " 4( y + 3 " ( z + = 37
38 8. oktober 7 Matematik A, Lek. 9 Opgave regning.8 Opgave.8 true / false 3 True 3 True 33 True 34 False 35 True Opgave.8.3 ( f ( x;y = e "x "y ved punktet P(; ( "f ( x;y = #xe #x #y #y ;#ye ( #x & ' ( = # * *e # # & "f ; "f ( ; = ( ; Opgave.8.5 f x; y;z "f x; y;z # ;# **e ( # ' ( = y " z ved punktet P(7;3; = ( ;y;#z = ;* 3; (# * "f 7;3; "f 7;3; ( = ;6; #4 36 True 37 False 38 False 39 True 4 True Opgave.8. = x + xy + 3y ved punktet P(; og v(; f x;y u = v v = ; = ( x + y;x + 6y = ( * + *; * + 6* = ( 6; "f x;y "f ; D u f P u = "f ( P D u f ( P = ( 6; ; D u f ( P = 8 =,34 = 6* + * 38
39 Opgave.8.5 f ( x;y = sin( xcos y u = v v = ( 4 ; "3 5 5 " ved punktet P og v(4;-3 ; #" 3 3 "f x;y "f cos( y;# sin( xsin y = ( cos x ( ( ; # 3 3 = cos ( 3 cos( # 3 ;# sin ( 3 sin( # 3 D u f P D u f P D u f P ( = ( #; u = "f ( P = ( #; ( 4 ; #3 5 5 = # = #3 Opgave.8. f x;y "f x;y 4 * * #3 5 = x + 3xy + 4y ved punktet P(; = ( 4x + 3y;3x + 8y = ( 4 *+ 3*;3*+ 8* = ( 7; = v "f ; retningen for v er derfor (7; længden bliver derfor: v = 7 + = 7 =3,4 Opgave.8.3 = ln x + y f x;y = "f x;y = "f 3;4 ved punktet P(3;4 # x x + y ; y & x + y ( ' # * ; * 4 & # ( = ' 5 ; 8 & ( = v 5' retningen er derfor længden bliver derfor: 6 ( ; ( = 6 v = =,4 6 5 Opgave.8.9 ( = e 5"x "y # f ( x;y ( = e 5"x "y " ved punktet P(3;4 ( "f ( x;y = #xe 5#x #y ( 5#x ;#ye #y & ' ( ( "f ( 3;4 = # * 3* e 5#3 #4 ( 5#3 ;# * 4 * e #4 & ' = (#6;#8 ( en normal vektor er f(x;y =, og ud fra dette kan man lave planets ligning "6 x " 3 " 8( y " 4 = 39
40 Opgave.8.3 = x 4 + xy + y #9 ved punktet P(;-3 = 4 x 3 + y;x + y 9 = x 4 + xy + y " f x;y "f x;y "f ;#3 ( ; + *(#3 = 9;#4 = 4 * 3 + #3 en normal vektor er f(x;y =, og ud fra dette kan man lave planets ligning 9 x " " 4( y + 3 = 4
41 Forelæsning Plan integralet Målet er følgende: for en kontinuert funktion f(x;y, for den ønsker vi at give mening til plan integralet, der skrives sådan: "" R f ( x;yda Hvor R er et begrænset område i xy-planen. For en positiv funktion f(x på [a;b], kan vi fortolke a " b f ( xdx y = f(x I I I 3 I 4 I 5 * a x * i b Inddel [a;b] i n lige store delintervaller: I, I, I 3,...,I N Vælg tilfældigt x i I i Så defineres: a " f ( xdx = lim b N N # i= f x * i b & a N Riemann sum for f Planintegralet betragt først R=[a;b]x[c;d] vi inddeler nu R i N lige store del-retangler R, R, R 3,..., R N Vælg nu et tilfældigt punkt (x * i;y * i R i Dan nu Riemann summen N S N = " f x * i;y * i #A i, ΔA i = areal af R i i= d R Vi definerer nu f ( x;yda = lim R N "# S N c a b man kan vise: for f kontinuert er overstående veldefineret 4
42 Generelt begrænset område R Vælg rektangel R, som indeholder R. Vi inddeler nu R i N del-rekangler R, R, R 3,..., R N, vælg et tilfældigt punkt (x * i;y * i R i for R som er helt. Vi danner Riemann summen N S N = " f x * i;y * i #A i, hvor vi kun medtager R i som et helt i= indeholdt i R. Så defineres : f ( x;yda = lim R S N N "# Hvordan udregner vi "" f ( x;yda? Sætning: Antag af f(x;y er kontinuert på R=[a;b]x[c;d] så har vi: b # d & "" f ( x;y da = " " f ( x;ydy( dx R ' a d # b & "" f ( x;y da = " " f ( x;ydx( dy R ' c c a R højre side kaldes itererede integraler. Bemærk: d " f ( x;ydy er en funktion af x (partiel integration mht. y c b " f ( x;ydx er en funktion af y (partiel integration mht. x a Eks.: Udregn "" 4x 3 + 6xy da, R=[;3]x[-;] 3 ' "" ( 4 x 3 + 6xy da = " & " ( 4x 3 + 6xy dy dx R # ( 3 "" da = " 4x 3 y + xy 3 dx ( 4 x 3 + 6xy R ( 4 x 3 + 6xy R R [ ] y=# 3 3 "" da = " ( 4x 3 *+ x * 3 # (#8x 3 #6xdx = " ( x 3 +8xdx ( 4 x 3 + 6xy R 3 [ ] x= "" da = 3x 4 + 9x = 3 4
43 Eks._: Vi har også: # 3 & "" ( 4x 3 + 6xy da = " " ( 4x 3 + 6xy dx( dy = V R ' 3 " [ ] y= V = x 4 + 3x y dy 3 V = " ( 8+ 7y ( + 3y dy = " ( y dy [ ] x= V = 8y + 8y 3 = 3 Eks._3: "" ( x yda hvor R=[;]x[;3] R 3 # & "" ( x yda = " " ( x ydx( dy = V R ' 3 [ ] x= V = x 3 " 3 y dy 3 " 3 V = ( y 8 dy V = 3 8 y 3 [ ] = 43
44 9. oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 3. Opgave 3. true / false 4 True 4 True 43 True 44 False 45 True 46 True 47 False 48 False 49 True 5 True Opgave 3.. # 4 & 3 V = " " ( 3x + 4ydx( dy = [ ' x 4 " + 4xy] dy = 4 +6y x= " dy = 4y + 8y ( + = 8 V = [ ] Opgave ' V = # & # ( x " 7ydy dx = [ xy " 7 ( y 3 # ] y= dx = # (( 6x " 3,5 " ( x " 3,5 dx " " " [ ] " V = # ( 4 x " 8 dx = x " 8x = 8 " 56 " " ( + 8 = "78 Opgave # 3 & 3 3 V = " " ( xy + 7x + ydx( dy = [ xy + 7 ' x + x 3 " y] x= dy = " ( 3y + 3,5 + 4,5y dy 3 V = " ( 7,5y + 3,5 dy = 5 y 4 + 3,5y [ ] 3 = 35 ( + =8, ,5 Opgave 3..9 " " " " ' V = & # ( sin( xcos( y dx dy " # = # [*cos( xcos( y ] x= dy = # ( cos( y dy ( " V = [ sin( y ] = ( * = Opgave 3.. V = # & " " ( xe y dy( dx = e y * " [ x] ' y= dx = " ( ex x dx = ( e x -, / +.,86 V =,
45 Opgave 3..5 " " ' " " V = # & # ( xy + sin( x dx dy = ( x " # [ y * cos( x ] x= dy = # ( + " y dy = y " 4 y V = [ ] " 45
46 Forelæsning Mere om planintegralet Vi siger R er vertikalt simpelt, hvis (a R = {( x;y a " x " b, y ( x " y " y ( x } med y og y kontinuerte funktioner. y (x R y (x a b R siges at være horisontalt simple hvis (b med x og x kontinuerte funktioner. R = {( x;yc " x " d, x ( y " x " x ( y } d x (y x (y R c Sætning: Hvis R er givet ved (a og f(x;y er kontinuert på R, så gælder: "" R b # y ( x & f ( x;yda = " " f ( x;ydy ( dx a y ( x ' Hvis R er givet ved (b og f(x;y er kontinuert på R, så gælder: "" R b # x ( y & f ( x;yda = " " f ( x;ydx ( dy a x ( y ' 46
47 Eks.: Lad R være afgrænset af kurverne y = x og y = x 3. Udregn "" xy da R Skitser funktionerne for at finde R Vi ser at R = {( x;y " x ", x 3 " y " x} 3 Vi har: # x & "" xy da = " xy dy R ( dx = xy 3 x " " [ 3 ] dy = xx 3 y= x 3 " xx dx x 3 ' x 5 " 3 3 x dx = 3 = x 7 [ 7 33 ] x = 33 = 5 77 Eks._: Udregn "" yda, hvor R er defineret af kurverne x =" y og x = y " R Skitser funktionerne for at finde R Vi ser at R = {( x;y" # y #, y "# x #" y } horisontal simpel 3 Vi har: #y ' "" yda = " y dx R & dy #y " = " [ xy] x= y dy # y # ( # # = " ( # y y # ( y #y dy # = " y # y 3 dy = y # y 4 # [ ] # = Eks._3: # & Udregn " " ye x 3 dx ( dy, y ' Problem e x3 har ingen simpel stamfunktion Problem løses ved at regne i horisontalt og ikke vertikalt # x & " ye x 3 " dy( dx = [ ' y e ] x 3 x " dx = x e x 3 y= " dx [ ] = = 3 ex 3 3 e 47
48 For en positiv og kontinuert funktion f(x;y ser vi på: T = x;y;z {( x;y " R, # z # f ( x;z } Det er naturligt at definerer volumen af T som Vol T Arealet af R kan udregnes (defineres som: areal R "" = da R T = {( x;y;z ( x;y " R, z bund ( x;y # z # z top ( x;y } Vol( T = z bund z top da Eks._4: Find volumen af: T = x;y;z R {( x;y " R, y # z # 6} hvor R er begrænset af kurverne y = x og y = " x Vol( T = ( 6 " yda Vol T Vol T Vol T ## R # & "x # = 6 " y " # x ' dy dx ( = [ 6y " y] y= x " "x dx ( " ( " x " 6x + x 4 dx = 6 " x "" = f x;y # = # ( 8 " 8x dx " Vol( T = 8x " 3 x 3 [ 8 ] = 8 " 3 " ( 8 = 3 3 " R da 48
49 . oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning Opgave 3.3 true / false 5 True 5 True 53 False 54 False 55 True Opgave 3..3 # & g = " " ( x + ydx( dy y ' " [ ] x= y g = x + xy dy g = ( +x y " ( ( + yx dy = " ( + y 3 y dy g = y + y y 3 56 True 57 False 58 True 59 False 6 False = [ ] = + 3 ( ( + ( 3 Opgave 3..7 x ' g = # & # ( x " ydy dx x ( * g = yx " y - #, / +. x y= x dx g = xx " x ' ( x '' & & " & x x " # & ( & dy = # (",5x ( x " 3 x + 3 dy (( g = " x x ",6 x + [ ( ] = " * ",6 + ( " " * ",6 + ( ( =,5 = 49
50 Opgave # y g = " " y +6 3 " dx y [ ] x= g = x y +6 3 & ( dy ' dy ( ( y +6 dy g = " y y +6 = " y y +6 * g = y , / ## = & # ' 3 +6 dy 3 && (( = ' 6 3 ' Opgave 3..9 Find volumen af: T = x;y;z {( x;y " R, # x # } hvor R er begrænset af kurverne y = sin x Vol( T = ( xda Vol T Vol T Vol T Vol T "" R " # sin( x " = x " = [ xy] y= & dy( dx ' sin( x dx ( * ( x dx = x sin( x og " = " ( x sin( x dx = sin( x * x cos( x x = = [ ] = ( sin * cos * ( sin * cos Opgave 3..3 ( " ( " sin( y g = ' dy' dx # x # y & & Funktionen er afgrænset af funktionerne y = " og y = x, desuden vælger jeg at lave planintegralet omvendt. g = g = ( ( " # y ( " sin( y ' dx' dy # y & & y * x sin y -, / +. g = cos( y y x= "" y sin( y dy = # y & ' " sin ( y ( '' dy = ( ( sin( y dy # # y && = [ ] = ( cos ( cos 5
51 Opgave " " g = ( ( ' dx # # + x 4 & ' dy y & jeg vælger at lave planintegralet omvendt. g = g = ( ( " # x ( " ' dy' dx # + x 4 & & x y, * + x y= g = arctan x, +. * + -. dx = ( "" x " ' / ' ## x 4 +& # x 4 ' dx = +& & "" arctan " arctan = ' / # & # '' = 8 # && ( " x ' dx # x 4 +& Opgave y = x, y = x + 3 ud fra dette kan man se at de skære i x=- og x=3 x = x + 3 g = g = 3 " # x +3 " y= x & dy ( dx ' 3 [ y] x " dx y= x = " (( x ( x + 3 dx = " (x + x + 3dx [ ] g = 3 x 3 + x + 3x ( ( * ( + 3* 3 = * * 3 g = 3 3 Opgave ddd 5
52 Forelæsning Polære koordinater 9. Retvinklede koordinater y y P(x;y x x Polære koordinater r Θ P(r;Θ Eks.: ; 3 ret = ; " 3 pol Bemærk: Et givet punkt har mere end en repræsentation i polære koordinater: ( r;", (#r;" + samme punkter r;", ( r;" + 3 For at konverterer fra polære til retvinklede koordinater kan vi bruge: x = rcos " y = rsin " π / 3 P(r;Θ For at konverterer fra retvinklede til polære koordinater kan vi bruge: r = x + y tan (" = y, x # x x > : " = arctan( y x x < : " = # + arctan y x Kurver i polære koordinater Grafen for r = f (" er alle par ( r;", som opfylder ligningen. 5
53 Eks.: a r = acos " hvor a > Ved at plotte denne funktion ser man at dette er en cirkel. r = acos (" # r = acos " # x + y = ax # x + y ax = ( x a + y = a Cirkel med centrum i (a; ret, med radius a. b r = asin (" hvor a > præcis samme udregning Cirkel med centrum i (;a ret, med radius a. c find skæringen mellem r = acos " man se at man har valgt a til at være. og r = asin (", ud fra disse formler kan asin " # tan " = acos (" = " = 4 r = sin ( 4 = Man får en skæring der hedder ( ; π / 4 pol Men der er også en skæring i origo kan man ser ud fra graferne. Denne kan man dog ikke regne sig frem til algebraisk 53
54 5. oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 9. Opgave 9. true / false 6 True 6 True 63 True 64 True 65 False Opgave 9..a 66 True 67 True 68 True 69 False 7 True ( ; " 4 pol x =* cos " 4 =,77 =,77 y =* sin " 4 (, 77;, 77 ret Opgave 9..b ("; # 3 pol x = (" * cos( # 3 = y = (" * sin( # 3 = " 3 ( ;" 3 ret Opgave 9..c ( : "# 3 pol x =* cos ( "# 3 =,5 y =* sin ( "# 3 = ",87 (,5;",87 ret 54
55 Opgave 9..f ("; "7# 6 pol *cos( 7# 6 = 3 *sin( 7# 6 = x = " y = " ( 3; ret Opgave 9..a r = (" + (" = (";" ret Opgave 9..e ( ;" ret Opgave 9..f ("3; 3 ret r = " (" + (" = " # = arctan ( " = 4 # = + arctan " " = 5 ( ; 4 og " ; 5 pol 4 4 pol r = ( + (" = r = " # = arctan + (" = " ( " = " 4 ( " = 3 4 # = + arctan ( ; " 4 pol og ("; 3 4 pol r = ("3 + ( 3 = 3 r = " ("3 + 3 # = arctan "3 3 = " 3 = " 3 = 3 # = + arctan "3 3 ( 3; " 3 og " 3; pol ( 3 pol 55
56 Opgave 9..3 x = 4 4 r (" = cos (" x + y = r x = rcos " y = rsin " Opgave 9..6 x + y = 5 r = 5 r = 5 Opgave 9..7 xy = y = x rsin (" = rcos (" r = r = cos " sin " cos " sin " Opgave 9.. r = 3 cirkel med centrum i origo og radius 3 x + y = 3 Opgave 9..3 r = "5cos # = rcos # "5 = x 56
57 Forelæsning Planintegraler med polære koordinater Polært rektangel: R = ( r;" pol r # r # r, " # " # " { } r r R Areal R Areal R Areal R " " # = "r # "r = r + r = r * r * " ( r # r ( # Vi betragter nu en kontinuert funktion f(x;y defineret på: R = r;" { r # r # r, " # " # " } Vi inddeler nu [ r ;r ] [ ] " ;" i N lige store del-intervaller Vi får N del-intervaller R, R, R 3,..., R N. Vi vælger midtpunktet (r * i ;Θ * i pol i R i. Vi danner den tilhørende Riemann-sum da = r dr d" N S N = f r * * i cos (" i ;r * * # i sin (" i da i i= N S N = f r * * i cos (" i ;r * * # i sin (" i r * i * dr * d" i= dr = r " r N d# = # " # N 57
58 Dvs. N "" f ( x;y da = lim f r * * R i cos i N # ;r * * & i sin ( i r * i * dr * d i= = f rcos " g r;" ( ;rsin("r " r ' = # & # f ( rcos (";rsin("r dr r d" " ( formelt: sæt x = rcos (", y = rsin (", da = r dr d" Eks.: Find volumen af en kugle K med radius a. z top = a " x " y x + y + z = a K: z bund = " a " x " y D = [ ] {( x;y x + y " a } Hvis man konverterer top og bund funktion til polære koordinater ser man: z top = a " r K: D = {( r;" pol # r # a, # " # } z bund = " a " r Polært rektangel (selvom det er en cirkel ## D da Vol( K = z top " z bund Vol K Vol K Vol K + # a ' # r * dr d* ( = & a " r a # = 4+ a " r, -. r * dr 3 = 4+ " 3 a " r Vol( K = 4+a3 3 Archimedes formel / a u = a " r du = "r * dr # r * dr = du R siges at være polær simpel, hvis R kan skrives: R = r;" { pol # ", r (" r r ("} Vi har: + r (# ' "" f ( x;yda = " " f ( rcos (#;rsin(# r dr R & d# * r (# ( 58
59 Eks._: Find arealet af R = r;" { pol # r # + cos ("} = da Areal R Areal R Areal R Areal R Areal R "" R * " & +cos (# " = r dr = = ' d# ( * +cos (# " [ ] r d# r= * = 4 + cos " ( (# cos (# +d# = " 3+ 4 cos # [ 7 # + 4 sin (# + 4 sin ( # ] * = 7 * * ( + + cos ( # d# Eks._3: Find volumen af området udspændt af fladerne z = r og z = x + y og z = 8 " x " y i retvinklede koordinater. z = 8 " z (er det samme som Betragt: r = 8 " r # r = 4 # r = ± Vi ser også: D = Vi har derfor: z top " z bund {( r;" pol # r # } ## D da = ( 8 " r " ( r ## da D + ' + Volumen = # & # ( 8 " r r dr d* = # & # 8r " r 3 ( Volumen = + # 8r " r 3 dr Volumen = + 4r " r4 Volumen = 6+ [ ] Plot det her i maple : plot3d([rcosθ,rsinθ,8-r ],r=..,θ=..π dr ' d* ( 59
60 9. oktober 7 Matematik A, Lek. 3 Opgave regning 3.4 Opgave 3.4 true / false 7 True 7 False 73 False 74 True 75 False Opgave 3.4. D = {( r;" pol # r #, # " # } D Areal = r dr d" & Areal = ( r dr+ d" = [ ] ' * r d" = d" Areal = d" = " [ ] = 76 True 77 True 78 True 79 True 8 True Opgave r =+ cos " D = {( r;" pol # r #+ cos (", # " # } D Areal = r dr d" & +cos (" Areal = ( r dr+ d" +cos (" = [ ] r d" = cos " ' *, Areal = sin (. "cos " - + 4sin (" + 3" 4 / = 3 ( ( + d" 6
61 Opgave r = cos " D = {( r;" pol # r # cos( ", # " # } D Areal = 4 ( r dr d" & cos( " Areal = 4 ( r dr+ d" cos( " = [ ] r d" = 4 cos " ' *, sin( " cos " Areal = " / = ( ( d" Opgave z = x + y = r r = D = {( r;" pol # r #, # " # } D Vol = r r dr d" = r r dr d" = r dr d" D D & Vol = ( r dr+ d" = [ 3 ] ' * r3 d" 8 = ( 3d" Vol = 8 " [ 3 ] = 6 3 Opgave 3.4. z = + x + 3y = + r *cos " r = sin (" + 3r *sin(" D = {( r;" pol # r # sin (", # " # } D ( + 3r *sin("r dr d" Vol = + r *cos " ( + 3sin (" & sin (", & Vol = ( ( + r *cos(" + 3r *sin("r dr+ d" = 5r r3 cos ". ( ' * -. ' 3 Vol = & ( ( ( ' & ' ( sin (" ( sin ", & (. 69sin " ' Vol =. -. cos (" cos " ( sin (" 3 cos " ( sin (" + + * + + d" + * ( + 75 sin (" 4 3 cos " 69" / + * sin (" d" + / * = 3 8 6
62 Opgave x + y = + r D = Vol = {( r;" pol # r #, # " # } ++ D ( ' * r dr d" & + r ( ( Vol = + ' + ' * r dr* d" = & & + r Vol = ln( ", /. =,544 -, ln r + / +. d" = -. + ln ( ' * d" & Opgave ( x + y 3 = ( r 3 D = {( r;" pol # r # 4, # " # } Vol = ++ ' r D & 3 ( * r dr d" 6
63 Forelæsning Anvendelse af dobbeltintegraler (planintegralet 3.5 Tynd plade i x-, y-planet: y R Massetætheden er givet ved f(x;y, i enheden g / m. Pladens masse bestemmes så ved: y N m " f x * * ( i ;y i A i " f x * * ( i ;y i A i i# Vi definerer derfor pladens masse: m = f ( x;yda "" R Massemidtpunktet x ;y x = m "" xf ( x;yda og y = m R R defineres som: (kaldes også centroiden yf ( x;yda Bemærk: gennemsnit af hhv. x og y mht. massen over R. Bemærk ved symmetri: Symmetri omkring linien L: R symmetrisk omkring L "( P = "( Q Så gælder: ( x ;y " L x x "" R Eks.: a L " = Vi har: ( x ;y " L ( x ;y " L L 63
64 b m = "a Symmetri: y = m x = # a ( "" y da = ( rsin ( r dr R #a " ' " * d & # [ ] 3 r3 y = +cos #a [ ] a = #a * * a 3 = 4 a 3 3# "a; y R " = x ( a; Inertimoment omkring z-aksen Polært integrationsmoment def. I = ## R r " da I def =. ( x + y " x;y ## R da først i polært og dernæst retvinklet koordinatsystem. I = I x + I y I x = I y = ## R ## R y " da x " da Kinetisk energi Masse: Kinetisk energi: Bemærk: Dvs.: total E kin " da = dm E kin = dmv v = r" E kin = d r" v " r # da = I " = R Inertimomentet afhænger kun af geometrien Eks._: Find inertimomentet I for skiven: I = ## R r " da + a ' + a ' I = " # & # ( r r dr d* = " # & # r 3 dr d* ( ( I = +" a " + a [ 4 ] 4 r4 = { x + y " a} med konstant tæthed ". w da bemærk: m = " # a 64
65 Eks._3: Cirkel funktion med centrum i origo "( x;y = k x + y = kr find m = ( x ;y Vi ser at a ' ## " da = # + & # kr dr d* = k R ( + 3 r3 ( x ;y ligger på linjen a k+a [ ] 3 = y = x " x = y x = y = 6 & a ## y" da = # ( # kr 3 sin ( dr+ d m R k a 3 ' * x = y = 6 a # [ a 3 4 r4 sin (] d = 6 a * a4 # ( sin ( d 3 4 x = y = 6 a * a4 3 4,cos [ ] = 3a 6 a R b Eks._4: x = ±y 4 ' Find I x for pladen afgrænset af ( &" # y # * + y 4 ' I x = "" y da = " " y dx R & dy = xy y [ ] 4 " x=#y dy 4 " ( y 6 dy ##y 4 ( # # I x = " ( y 6 dy = y 7 7 = 4 7 # [ ] # 65
66 . november 7 Matematik A, Lek. 4 Opgave regning 3.5 Opgave 3.5 true / false 8 True 8 False 83 False 84 True 85 True Opgave " # x =, x = 3, y =, y = 4 86 False 87 False 88 True 89 False 9 True m = m = x = m ## R " da 3 4 ( # ' # dy* dx = # [ y] dx = # ( 6dx = 6y & x = 4 y = m y = 4 "" R x da 3 [ ] = ' 3 3 " & " x dy dx = 4 4 " [ xy] y=# dx = 4 " ( 6xdx = 4 ( 3x # "" R # y da # 4 3 ' 4 4 " & " y dx dy = 3 4 " [ xy] x=# dy = 4 " ( 4 ydy = 4 ( y # # # # # 3 [ ] # = 4 4 [ ] # = 4 *4 = * 4 = ( x ;y = ( ; Opgave " # x =, x : = 4 x 4, y =, y = 4 x m = m = ## R " da 4x 4 ( 4 ' # dy * dx 4x # = # [ y] dx = & 4 4 x ( # ' * dx = x x = 4 &, 4 / 66
67 x = m x = 4 "" R x da 4#x 4 ' 4 " & " x dy dx = 4#x 4 " [ xy] y= dx = 4 ( 4 #x x # 4 ' *#x " x # 6 - & dx = 4, / ( = 4 * 6 3 = 4 3 y = m "" R y da y = 4 4#x 4 ' " & " y dy dx = 4 ( 4 [ y 4#x ] y= " dx = 4 4 ( x # 4 ' * & 8 dx x # 4 " =, 4 ( +, /. / = 4 * 8 3 = 3 ( x ;y = ( 4 ; 3 3 Opgave " # x : = x 4, x : = x 4, y =, y = x 4 m = " da ## R ( + m = # ' # dy* dx = # [ y] x dx = x 4 & x 4 4 # ( dx = x x. -,- 3 / x = m "" R x da ' x = 3 3 " & " x dy dx = 3 # ( y = m "" R x #4 y da ' y = 3 3 " & " y dy dx = 3 3 # ( x #4 3 xy # *#x 3x 4 # 4x y = 3, / 3 +,. ( x ;y = ( ; "8 5 3 = 3 3 * # x " [ ] y= x dx = 3 #4 3 " (#x( x # 4 # 4 dx = 3, 3, # 4 + [ y ] y= x #4 # " dx = 3 3 / # = 3 3 * #56 5 = #8 5 # x # 4 ' " & & dx = # ( - / /. # = 3 3 * = 67
68 Opgave 3.5. " x;y = xy x =, x : =# x, y =, y =# x m = m = ## R " ( x;yda x ( # ' # xy dy* dx = & y x x # [ ] y= dx = dx # = 68
69 Forelæsning Rumintegraler / trippelintegraler 3.6 Betragter en kontinuer funktion f(x;y;z defineret på T = {( x;y;z a " x " b, c " y " d, e " z " f } Vi indeler nu [a;b] [c;d] i N delintegraler [e;f] Det giver N 3 små kasser. Vi vælger punktet x * i ;y * * i ;z i i kasse nr. i. Vi danner nu Riemann-summen: N 3 S N = f x * i ;y * * " i ;z i #V i i= Vi definerer nu rumintegraler: """ f ( x; y;zdv = lim T N # S N Rumintegralet kan udregnes som itererede integraler. Eks.: Udregn """ f ( x; y;zdv, hvor T f ( x; y;z = xy + yz, T = ["; ] # [ ;3] # [ ;] # 3 # & & # 3 """ f dv = " " " ( xy + yzdz( dy( dx = xyz + & " " [ T ' ' z y] dy z= ( dx = ' # 3 " ( xy + y & " dy( dx = [ ' y x + y 3 5 " 4 ] y= dx = " ( x dx = 5 x x 4 [ ] = 5 Anvendelser T er et legeme med massetætheden "( x;y;z Masse m = ### "( x;y;z dv T Massemidtpunkt x = m ### T x" dv ( x ;y;z y = m ### T y" dv z = m ### z" dv T 69
70 Inertimoment """ # dv I x = y + z T """ # dv I y = x + z T """ # dv I z = x + y T z-simpelt område T er z-simpelt hvis T = x;y;z {( x;y " R, z bund ( x;y # z # z top ( x;y } Vi har vores rumintegrale der kan skrives som et planintegrale # z top ( x;y & """ f ( x; y;zdv = "" f ( x;y;zdz T " ( da R z bund ( x;y ' funktion af x og y R vertikalt simpelt T z-simpelt R = {( x;y a " x " b, y ( x " y " y ( x } b # y ( x # z ( x & & """ f ( x; y;zdv = " " " f ( x;y;z dz T ( dy ( dx a y ( x z ( x ' ' Eks._: T pyramide, T er afgrænset af: T har massetætheden "( x;y;z = z z = z = 6 " 3x " y R = {( x;y # x #, # y # 6"3x } Udregn T s masse 63x 63xy ( ( m = ### " dv = # # ' # z dz* dy T ' & & * dx 7
71 5. november 7 Matematik A, Lek. 5 Opgave regning 3.6 Opgave 3.6 true / false 9 True 9 True 93 True 94 True 95 False 96 False 97 False 98 False 99 True False 7, 3 & 3 Opgave 3.6. T = ( x;y;z " x ", " y " 3, " z " ### T { } f ( x; y;zdv 3 ' ' 3 ' # & # & # x + y + z dx dy dz = # & # y + z + dy dz = # 6z +5 dz =8 ( ( ( Opgave T = ( x;y;z" # x # 3, # y #, " # z # 6 T { } f ( x; y;zdv 6 3 ( ( 6 ( 6 ' ' xyz dx* dy* dz = ' 4yz dy* dz = 8z dz =8 " & & " " & " Opgave T = ( x;y;z" # x #, # y #, # z #" x T { } f ( x; y;zdv "x ( ( ' xyz dz* dy ' * dx = "& & y x x " ( ' dy* ' * dx = x( x " dx = " 6 " " & 7
72 Opgave T = ( x;y;z" # x #, # y # 3, " x # z # x T { } f ( x; y;zdv 3 "x ( ( ' x + y dz * dy ' * dx = "& & x Opgave T = ( x;y;z" # x #, x # y # 4, " x # z # x { } x : x = 4 " y " # x # y : x = 4 " y x # y # 4 7
73 Forelæsning Integration i cylindre og sfæriske koordinater 3.7 Cylinderkoordinater Retvinklede koordinater Cylinder-koordinater p( x;y;z z p( r;";z " r y x x = rcos " y = rsin " z = z r = x + y = y x, x # tan " Integration: """ f ( x; y;zdv T vi har: dv = da dz = r dz dr d" dvs. """ f ( x; y;zdv = """ f ( rcos (#;rsin(#;zr dz dr d# T u u = T beskrevet i cylinder-koordinater Specielt: T = ( x;y;z" # " # ", r " { # r # r (", z ( r;" # z #z ( r;" } " r (" z ( r;" ( ( f ( x; y;zdv = f ( rcos (";rsin(";zr dz T ' * dr ' * d" " & r ("& z ( r;" 73
74 Eks.: Find volumen af T, som er begrænset af og z = b x + y Hvis man skifter til cylinder-koordinater får man: z = br Fladerne skærer i en cirkel med radius a = h b I xy-planen ser man: R a z = h V = * # a # h """ dv = " " " r dz T br * # a & V = " " ( hr + br 3 dr( d ' = *a h V = * ha + 4 ba4 & & ( dr ( ' d ' Sfæriske-koordinater r = "sin # z = "cos # " = r + z = x + y + z x = rcos (" = #sin( cos(" " r y = rsin (" = #sin( sin(" x z = #cos( integration: dv = " sin (#d" d# d f ( x; y;zdv = f ("sin(#cos( ;"sin(#sin( ;"cos( T u u = T opskrevet i sfæriske-koordinater " sin # ρ-simpelt T T = (";#;, # # #, " #; f ( x; y;zdv """ T { " " (#;} " & & # ( ; = " " ( " f (#sin( cos(;#sin( sin(;#cos(# sin ( d# + d ( + d ' ' # ( ; * * " z y d" d# d 74
75 Eks._: Kugle K med radius a Vol K """ = " ' " ' = dv Vol( K = a 3 k + & + a " # sin & + + ( sin 3 " ' " d * d, = a 3 3 & d# ( ( * d * d, + + [-cos( ] = a3 75
76 8. november 7 Matematik A, Lek. 6 Opgave regning 3.6 Opgave.8 true / false True True 3 True 4 True 5 True Opgave 3.7 true / false False True 3 True 4 False 5 True Opgave.8.7 (";#; = ( ;; x = * sincos y = * sinsin z = * cos = ( x;y;z = ( ;; = = 6 True 7 False 8 True 9 True True 6 False 7 True 8 False 9 False True Opgave.8.9 (";#; = ( 3; ; x = 3* sin( cos y = 3* sin( sin z = 3* cos( = 3 ( x;y;z = (&3;;3 = &3 = 76
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereReeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereMatematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX
Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mere1 Plan og rumintegraler
1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi
MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereKursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition
Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereOpg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen
Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014
Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mere