Modulpakke 3: Uendelige Rækker

Transkript

1 Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer over har et index (fx n), og neden under Σ tegnet står index for det led man begynder med, og oven over Σ står index for det led man slutter med. n=5 a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 n= eller k=3 b k = b 0 + b + b 2 + b 3 k=0 Bemærk: Man kan vælge symbolet for index frit; for det ses ikke i summen når den skrives ud. Ofte undlader man også at anføre index øverst, og skriver blot slutværdien. En sådan sum med indicerede led kaldes en række. I dette afsnit skal vi behandle begrebet en uendelig række (nogen gange kaldet en uendelig sum), altså udtryk af form n= a n n= Det er et nyttigt matematisk begreb fordi det lægger grunden til at bygge funktioner op af simple dele, hvoraf der nogen gange skal bruges uendelig mange. Men behandlingen af uendelig kræver omhu. Vi begynder derfor med et simplere begreb, nemlig en talkfølge.

2 2 CHAPTER 5. MODULPAKKE 3: UENDELIGE RÆKKER 5.. Talfølger En talfølge S={S,S 2,S 3, } er en samling af tal med index, således at der er et første tal S, et andet tal S 2, osv. Eksempel 5.. S =, S 2 = 2, S 3 = 3, eller: S=,2,3,4,5, er et eksempel på en talfølge; vi kan sammenfatte talfølgen ved at sige et S n = n for alle naturlige tal n. Et andet eksempel er: S =, S 2 =, S 3 =, eller: S=,,,,, Her kan vi sammenfatte hvad der foregår ved at sige et S n =( ) n for alle naturlige tal n. S =, S 2 = 2, S 3 = 3, eller: S=, 2, 3, 4, 5, Denne talfølge kan sammenfattes i formlen S n = n for alle naturlige tal n. I eksemplet ovenfor har den sidste talfølge en egenskab som de to første talfølger ikke har: jo længere vi kommer ud i talfølgens elementer, jo nærmere kommer disse ved en bestemt værdi. Vi siger da at talfølgen er konvergent. Det mere præcise krav til at være en konvergent talfølge er: En talfølge er konvergent hvis der findes et enkelt tal S som følgens elementer kommer nærmere og nærmere og aldrig fjerner sig fra, dvs uanset hvor lille afstand fra S man angiver, vil alle følgens elementer fra et vist trin af være nærmere end denne afstand. Eksempel 5.2. I talfølgen S n = n er tallet S = 0 det punkt som talfølgens elementer kommer nærmere og nærmere og aldrig fjerner sig fra. Lad os antage et vi angiver en lille afstand,

3 5.. INDLEDNING. 3 Figure 5.: En talfølge er konvergent hvis der findes et enkelt tal S som følgens elementer kommer nærmere og nærmere og aldrig fjerner sig fra. Uanset hvor lille afstand man klemmer sammen omkring S, skal alle følgens elementer fra et vist trin af være inden for denne afstand af S. Kun da er S et grænsepunkt. ε til 0. Hvis vi tager talfølgens startende fra tallet N hvor /N < ε, dvs N > /ε, så vil alle følgens elementer ligge endnu nærmere 0 end ε. Hvis en talfølge er konvergent kaldes punktet S for følgens grænseværdi, og betegnes lim n S n, vi skriver S n S. Eksempel 5.3. Maple kan i enkelte tilfælde finde følgers grænseværdi, med kommandoen lim : > lim(/n, n=infinity); 0 > lim(n*sin(/n), n=infinity); Det er klart at enten har talfølgen en grænseværdi, eller også har den ikke. Hvis talfølgen har en grænseværdi siger vi at talfølgen er en konvergent talfølge. Hvis talfølgen ikke har en grænseværdi siger vi at talfølgen er en divergent talfølge. Nu kan vi give mening til begrebet konvergens eller divergens for en uendelig række.

4 4 CHAPTER 5. MODULPAKKE 3: UENDELIGE RÆKKER 5..2 Rækker En uendelig række, nogen gange kaldet en uendelig sum, er et udtryk af form a n n= altså en sum der består af uendelig mange led. En uendelig række skal forestille at være resultat af en proces hvor man lægger uendelig mange tal tal sammen. Til en given uendelig række danner vi den tilhørense talfølge S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3, S n = a + + a n = j=n a j j= Den herved dannede følge S n kaldes afsnitfølgen hørende til den uendelige række. Nu definerer vi for den uendelige række egenskaben konvergent eller divergent, alt efter om afsnitsfølgen har denne egenskab. Findes der overhovedet konvergente talrækker? Vi lægger jo uendelig mange tal sammen? Hvis disse tal alle er positive er det svært at se hvordan man kan nå til et endeligt resultat. Men det kan godt lade sig gøre. Eksempel 5.4. Betragt talrækken n= 2 n = Se på intervallet [0,]. Hvis vi starter fra 0 og går halvvejs frem mod, når vi til 2. Hvis vi derfra går halvvejen af resten, (dvs går frem med 4 ) kommer vi til punktet 3 4. Herefter går vi halvdelen af den resterende distance til, og når til punktet 7 8. I hvert skridt halvverer vi afstanden til, uden at komme helt frem. Først når vi lader processen løbe uendelig længe, kommer vi i grænsen frem til. Mere præcist kan vi for at undersøge konvergens, danne afsnitsfølgen der hører til den uen-

5 5.2. GEOMETRISKE RÆKKER 5 delige række. Her gælder at S n = n = 2 n. Når vi lader n ser vi, idet det andet led i udtrykket ovenfor forsvinder: 2 n 0, at afsnitsfølgen S n. Derfor er rækken konvergent, og vi kan skrive n= 2 n =. I eksemplet ovenfor har vi dannet rækkens elementer tager et tal mindre end (nemlig tallet /2), og dannet leddene ved at sætte dette valgte tal i større og større potens n: n= 2 n = n ( ) n n= 2 n = n= 2 En række dannet på denne måde kaldes en geometrisk række. 5.2 Geometriske Rækker En geometrisk række er baseret på et grundtal q, således at rækkens udseende er q n n=n 0 Læg mærke til at rækken ikke nødvendigvis begynder med at grundtallet q er i potens. Vi kan afgøre hvornår geometriske rækker er konvergente og hvornår de er divergente. Det gør vi ved at studere deres afsnitsfølge. En sum ud til et vist tal n af en geometrisk række (vi bruger her for overskuelighedens skyld med start n 0 =, men tilsvarende regninger holder for vilkårlig værdi af n 0 ): har følgende egenskab: S n = n q j = q+q 2 + q 2 + q 3 + +q n j= q S n = S n q+q n+

6 6 CHAPTER 5. MODULPAKKE 3: UENDELIGE RÆKKER fordi vi ved at gange med q mister det første led, og til gengæld skaber et nyt. Hvis vi løser denne ligning for S n får vi: S n = q qn+ q = q q qn+ q (5.) Nu kan vi se hvad der sker når n. Hvis q er et tal som er større end, vil det sidste led i afsnitsfølgen (5.) få større og større værdi, og afsnitssummen er divergent. Tilfældene q= og q= kan vi klare for sig: Hvis q= er der tale om rækken +++, som klart er divergent. For q= har vi rækken som også er divergent, idet dens afsnitsfølge er S n =,0,,0,,0, og ikke har en grænseværdi. Hvis q <, dvs hvis <q<, vil det sidste led i (5.) gå mod nul når n, og afsnitsfølgen er da konvergent mod værdien ( q). Sætning 5.. En uendelig geometrisk række er et udtryk af form n=n 0 q n. Hvis q <, er den geometriske række konvergent, og da mod værdien q n 0 q Første led divideret med minus kvotienten. Hvis q er den geometriske række divergent. Bemærk at hvis vi ganger hvert led i en uendelig række med et fast tal a vil det ikke ændre rækkens konvergensegenskab (dvs hvorvidt rækken er konvergent eller divergent). Dvs, den helt generelle form for en uendelig geometrisk række er et udtryk af form n=n 0 a q n = a q n n=n 0 Hvis q < er denne række konvergent mod aqn 0 q. Hvis q er rækken divergent.

7 5.3. REGLER FOR UENDELIGE RÆKKER 7 Eksempel 5.5. Er rækken konvergent eller divergent? Svar: Der er tale om en geometrisk række: = n= 9 (0.) n = 9 n= (0.) n Grundtallet er q=0.. Da 0. <, er rækken konvergent, mod værdien = = = Bemærk, at vi her har vist at de to udtryk: og angiver det samme tal. 5.3 Regler for uendelige rækker I dette afsnit angiver vi nogle få regler der gælder for uendelige rækker. Man skelner ofte mellem tilfældet hvor en række har lutter positive led, og tilfældet hvor der er negative tal i rækken. Vi har allerede benyttet Regel : Hvis K er en konstant, gælder: n Ka n = Ka n n Bemærk: Hvis rækken n a n er divergent, er både venstre og højre side af ligningen divergent. Hvis rækken n a n er konvergent mod et tal A, er rækken n Ka n konvergent mod tallet K A. Med andre ord: en konstant faktor på hvert led kan ikke ændre hvorvidt rækken er konvergent eller divergent! Regel 2: Hvis to rækker, Bemærk: Regel 3: Hvis to rækker, Dette kaldes ofte sammenligningskriteriet.

8 8 CHAPTER 5. MODULPAKKE 3: UENDELIGE RÆKKER 5.4 Eksempler på uendelige rækker Det er ofte forbavsende svært at bestemme hvorvidt en uendelig række er konvergent eller divergent. Og selv om en uendelig række er fastslået som konverget, kan det være vanskeligt at afgøre mod hvilket tal rækken er konvergent. Vi begynder med et vigtigt eksempel på en divergent række. Eksempel 5.6. Den uendelige række n= n = er divergent, dvs summen vokser mod uendelig. Vi ofrer en af disse noters sjældne beviser på at bevise denne vigtige kendsgerning. Bevis: Rækken n n i eksemplet kaldes den harmoniske række (fordi man for flere tusinde år siden fandt at hvis strenge i musikinstrumenter havde længder som leddende i denne række, lød de smukt og harmonisk sammen). Vi har allerede set at det er nødvendigt for konvergent at størrelsen af de enkelte led går mod nul. Den harmoniske række (se ovenfor) er et eksempel på at det ikke er nok at størrelsen af de enkelte led går mod nu. Størrelsen af de enkelte led skal ogsåtilstrækkeligt hurtigt mod 0.

9 5.4. EKSEMPLER PÅ UENDELIGE RÆKKER 9 Sætning 5.2 (Integralkriteriet).. Antag at funktionen f(x) er positiv for < x <. Hvis det uegentlige integral f(x)dx er endeligt, så er den uendelige række konvergent f(n) n= Eksempel 5.7. n= n 2 = er en konvergent række. Det uegentlige integral x= N dx= lim dx= lim x2 N x= x2 ( /N)= N er nemlig endeligt. Den uendelige række konvergerer i øvrigt mod tallet π2 6 er oplagt ud fra ovenstående). (hvad der ikke Eksempel 5.8. Maple kan i begrænset omfang finde værdier for uendelige rækker. > evalf(sum(/n 2,n=..infinity)); > evalf(pi 2 /6); Maple kan igen i begrænset omfang afgøre om rækker er divergente: > sum(/n 2,n=..infinity);

10 0 CHAPTER 5. MODULPAKKE 3: UENDELIGE RÆKKER 5.5 Opgaver

11 Chapter 6 Modulpakke 3: Fourierrækker At kunne skrive et periodisk signal, altså en periodisk funktion, som en sum af fundamentale svingninger er en afgørende del af en ingeniørs matematiske værktøjskasse. I dette kapitel introducerer vi de vigtigste teknikker i denne metode, der først blev beskrevet af den franske matematiker og fysiker J.J Fourier (748-83?). Vi begynder med at beskrive den klasse af funktioner for hvilke metoden har den simpleste formulering. 6. Periodiske funktioner og stykkevis kontinuerte funktioner En ofte forekommende klasse af funktioner er de såkaldt periodiske funktioner, dvs funktioner der gentager deres værdier når der man forøger deres argument med en vis størrelse, T. Definition 6.. En funktion f : I R siges at være periodisk med periode T, eller T- periodisk, hvis der findes et positivt tal T så det for alle x I gælder at f(x+t)= f(x). Eksempel 6.. Funktionerne cos(x) og sin(x) er begge eksempler på periodiske funktioner. Deres periode er 2π, dvs der gælder cos(x+2π) = cos(x) og sin(x+2π) = sin(x). Vi siger at de er 2π-periodiske funktioner. Vi vil i dette modul primært diskutere 2π-periodiske

12 2 CHAPTER 6. MODULPAKKE 3: FOURIERRÆKKER funktioner, fordi det giver lidt simplere formler. Men periodiske funktioner kan have andre værdier af perioden T end netop 2π. I afsnit XXX vil vi gentage de vigtigste sætninger formuleret for en periodisk funktion med en generelt angivet periode T. Bemærk, at hvis en funktion f er periodisk med periode T, så er funktionen også periodisk med periode 2T, eller 3T, osv. Vi vedtager derfor at når vi angiver perioden for en funktion, angiver vi det mindste tal T for hvilket funktionen er T-periodisk. Figure 6.: (a) en periodisk funktion. Bemærk at perioden ikke er placeret noget bestemt sted. Man kan betragte et periode interval fx fra 0 til T, men man kan lige såvel betragte et periodeinterval fx fra -T/2 til T/2. (b) Funktionen f(x)=x 2 er ikke periodisk med nogen periode. (c) En konstant funktion er periodisk med en vilkårlig periode. Vi vil også tale om en klasse af funktioner der opfører sig pænt forstået på den måde at hverken funktionsværdier eller værdierne af de afledede af funktionen, antager vilkårlig store værdier. Funktionsværdierne må godt springe, dvs funktionen må godt have et antal diskontinuitetspunkter, men når funktionen springer, skal værdierne af de afledede være endelige. Definition 6.2. En funktion siges at være stykkevis differentiabel hvis Med disse to begreber på plads kan vi nu formulere den vigtigste sætning i dette afsnit

13 6.2. HOVEDSÆTNINGEN 3 Figure 6.2: (a) en stykkevis kontinuert funktion. (c) En konstant funktion er også stykkevis kontinuert. 6.2 Hovedsætningen For en 2π-periodisk, stykkevis kontinuert, funktion f :R R kan vi bestemme tal a n, b n og c n på følgende måde: Definition 6.3. a n = π b n = π c n = 2π 2π 2π 2π f(x) cos(nx)dx n=0,,2,3, (6.) f(x) sin(nx)dx n=,2,3, (6.2) f(x) e inx dx n=0,±,±2,±3, (6.3) I alle tilfælde skal integralet tages over en helt periode af den 2π-periodiske funktion. I definitionen skal integralerne tages hen over et interval af længde 2π, altså hen over en hel periode af den periodiske funktion. Bemærk at a n og b n vil være reelle tal (for hvert n), mens c n (i almindelighed) vil være komplekse tal. Koefficienterne a n og b n kaldes for de reelle Fourierkoefficienter, mend koefficienterne c n kaldes de komplekse Fourierkoefficienter.

14 4 CHAPTER 6. MODULPAKKE 3: FOURIERRÆKKER Eksempel 6.2. Lad en 2π-periodisk funktion s(x) være givet ved { for π < x<0 s(x)= + for 0<x<+π Denne meget benyttede funktion kaldes ofte stepfunktionen. Den beskriver fx et regelmæssigt skift mellem to værdier. Ved at lægge til funktionen kan man danne en til-fra ( on-off ) funktion. -π π - For denne funktion s(x) gælder: a n = s(x) cos(nx)dx = 0 π 2π b n = s(x) sin(nx)dx = 4 π 2π nπ c n = s(x) e inx dx = 2i 2π nπ 2π for alle n for n ulige, 0 ellers for n ulige, 0 ellers Bemærk: Man behøver ikke nødvendigvis Hvis man kender koefficienterne a n, b n kan man på en simpel måde omregne til c n koefficienterne, og omvendt, idet der gælder

15 6.2. HOVEDSÆTNINGEN 5 Sætning 6.. Hvis koefficienterne a n og b n er kendt (for n 0 ), så er c 0 = 2 a 0 c n = 2 (a n ib n ), n>0 c n = 2 (a n+ ib n ), n<0 omvendt gælder: Sætning 6.2. Hvis koefficienterne c n er kendt for alle (positive og negative) værdier af n, så er 2 a 0 = c 0 a n = b n = I forrige afsnit så vi på uendelige rækker. Her skrev vi (når rækken var konvergent) et tal som en uendelig sum af andre tal. I dette afsnit skal vi skrive en funktion, f(x) som en uendelig sum af funktioner: f(x)= f n (x) n= Det vil sige, at vi for hvert fast x har en uendelig række, som er konvergent mod tallet f(x).

16 6 CHAPTER 6. MODULPAKKE 3: FOURIERRÆKKER Lige svingninger Uige svingninger -π +π n = 0 cos(x) sin(x) -π +π n = -π +π cos(2x) -π +π n = 2 sin(2x) -π +π cos(3x) sin(3x) -π +π n = 3 -π +π I en Fourierrække skriver vi en given 2π-periodiske funktion f(x) som en uendelig sum af fundamentale svingninger, altså cos og sin funktioner med højere og højere heltallig frekvens, dvs flere og flere hele hele svingningsforløb i en periode 2π. Den laveste svingningstilstand (n = 0) er funktionen cos(0 x), dvs den konstante funktion. Dernæst følger (n = ) funktionerne cos( x) og sin( x), dernæst funktionerne cos(2 x) og sin(2 x), osv. Definitionen af Fourierrækken hørende til en given funktion f(x) er: Definition 6.4. Lad f være en stykkevis differentialbel, 2π-periodisk funktion. De uendelige funktionsrækker, hhv n= 2 a 0+ n= a n cos(nx)+b n sin(nx) (reel form), og + c n e inx n= (kompleks form) kaldes Fourierrækker, på hhv reel og kompleks form, hørende til funktionen f.

17 6.2. HOVEDSÆTNINGEN 7 Bemærk: () Der er kun notationsmæssig forskel på den reelle og den komplekse form for Fourierrækken. For en given funktion f vil den reelle Fourierrække og den komplekse Fourierrække indeholde de samme led, blot sammenstillet på en anden måde. (2) En Fourierrække vil altid konvergere for enhver værdi af x, efterhånden som antllet af led man medtager bliver større og større. En stykkevis differentiabel funktion kan godt have diskontinuitspunkter, dvs punkter hvor funktiosværdien springer mellem to værdier: f( ) som er grænseværdien fra venstre side af springpunktet, og f(+) som er grænseværdien fra højre side af springpunktet. Altså: f( )= lim f(y), f(+)= lim f(y) y x y x + Nu kan vi anføre hovedsætningen om Fourierrækkers konvergens: Sætning 6.3 (Hovedsætning om Fourierrækker). Lad f være en stykkevis differentiabel funktion. Fourierrækken for f konvergerer i ethvert punkt, på følgende måde: (i) I punkter hvor f er kontinuert, konvergerer Fourierrækken mod funktionsværdien for f i punktet. (ii) I punkter hvor f er diskontinuert, konvergerer Fourierrækken mod værdien 2 ( f + f + ), dvs punktet midt mellem f(+) og f( ). Specielt gælder at hvis hele den 2π-periodiske funktion f er kontinuert, så der slet findes springpunkter for f, konvergerer Fourierrækken mod f(x) i ethvert punkt x. Hvis f har springpunkter betyder det ikke noget for beregningen af Fourierkoefficienterne, og derfor heller ikke for Fourierrækkens konvergens, hvilken værdi f er tillagt i springpunktet.

18 8 CHAPTER 6. MODULPAKKE 3: FOURIERRÆKKER Hvis og kun hvis f gives værdien 2 ( f + f + ) i eventuelle springpunkter, konvergerer Fourierrækken mod f(x) for alle punkter x. Nu har vi værktøjet klar til brug, og kan undersøge nogle eksempler. Vi begynder med den reelle form Eksempel på Fourierrækker på reel form Lad den 2π-periodiske funktion f være givet ved at funktionen mellem π og+π er f(x)=x 2. -π π Bemærk at det kun er mellem x= π og x=+π at funktionen f kan udtrykkes så simpelt som f(x) = x 2. Det gælder fx ikke mellem x = π og x = 2π. Når vi skal finde Fourierkoefficienterne ved at integrere, er det vigtigt at vi vælger integrationsintervallet der hvor vi kan skrive funktionsudtrykket på en simpel måde. Derfor vælger vi integrationsintervallet mellem π og π. a n = π b n = π +π π +π Vi benyttermaple til integrationerne. Først a n : > (/Pi)*int(x**2*cos(n*x),x=-Pi..Pi); π x 2 cos(nx)dx x 2 sin(nx)dx 2(sin(πn)π 2 n 2 + 2ncos(πn)π 2sin(πn)) πn 3 For at forenkle dette udtryk benytter vi dels at sin(πn) = 0 for alle heltallige værdier af n, og også at cos(πn)=( ) n. Herefter har vi, når n 0, at a n = 4( )n n 2

19 6.2. HOVEDSÆTNINGEN 9 For tilfældet n = 0 kan vi ikke bruge ovenstående udregning, da n står i nævneren. Her må vi tilbage og udføre integralet igen, med den specielle værdi n=0 indsat fra starten. > (/Pi)*int(x**2,x=-Pi..Pi); dvs a 0 = 2π2 3 og altså 2 a 0 = π2 3. 2π 2 For koefficienterne b n får vi > (/Pi)*int(x**2*cos(n*x),x=-Pi..Pi); for alle værdier af n. Så der er kun a n koefficienter i Fourierrækken for denne funktion. 3 0 Alt i alt har vi, idet denne 2π-periodiske funktion er kontinuert overalt (dvs uden springpunkter) at funktionen overalt er lig med grænsefunktionen for sin Fourierrække, så vi kan skrive f(x)= π ( ) n n= n 2 cos(nx) Eksempel på Fourierrækker på kompleks form Vi skal nu vise hvordan man med den samme funktion, altså den 2π periodiske funktion der mellem x= pi og x= pi er x 2, finder de komplekse Fourierkoefficienter. Igen bruger vimaple til udregningen: > (/(2*Pi))*int(x**2*exp(-I*n*x),x=-Pi..Pi); 2 ( (Ie 2Iπn π 2 n 2 Iπ 2 n 2 2e 2Iπn πn 2Ie 2Iπn 2πn+2I)e Iπn) Dette udtryk bliver væsentligt reduceret hvis vi bruger at e 2iπn = og at e iπn =( ) n for alle værdier af n. Med denne substitution får vi for n=0 må vi tilbage til definitionen på c 0 : > (/(2*Pi))*int(x**2,x=-Pi..Pi); Altså har vi: c 0 = π2 3, og c n = 2( )n n 2 c n = 2( )n n 2, n 0 3 π2 for n 0. Bemærk at vi også kunne have brugt omregningsformlerne fra (a n,b n ) til c n for at finde dette resultat.

20 0 CHAPTER 6. MODULPAKKE 3: FOURIERRÆKKER 6.3 Effekt Effekten af en 2π periodisk funktion er et mål for hvor meget funktionen fylder, uanset om funktionen antager positive eller negative værdier. Mange vigtige fysiske og tekniske begreber er udtrykt som kvadrater af andre størrelser. Definition 6.5 (Effekt). Lad f være en stykkevis kontinuert 2π-periodisk funktion. Funktionens effekt P f defineres som P f = f(x) 2 dx 2π 2π Effekten for en periodisk funktion er altså et enkelt tal. Der er en vigtig forbindelse mellem funktionens Fourierkoefficienter og funktionens effekt. Denne relation sætter os i stand til at give et mål for hvor meget de enkelte led i Fourierrækken fylder i funktionen. Sætning 6.4 (Parsevals sætning). Lad f være en stykkevis kontinuert 2π-periodisk funktion, med effekt P f. Der gælder da P f = 4 a P f = + c n 2 n= n= 2 a n b n 2 og Eksempel 6.3. For stepfunktionen s(x) (se eksempel) er effekten P s = π 2 dx= (π+ π)=. 2π π 2π

21 6.3. EFFEKT Vi har da med Parsevals sætning relationen = k= ( 2 4 (2k )π ) 2 = 8 π 2 k= (2k ) 2 idet kun Fourierkoefficienter b n med ulige værdier for n, dvs n=2k, er forskelig fra 0. I denne forstand kan vi eksempelvis sige at da de første 3 (ikke-nul) Fourierkoefficienter summer til k=3 8 π 2 (2k ) 2 = 8 ( π ) 5 2 = k= har vi at de tre første led af Fourierrækken tilsammen indeholder 93.3 % af effekten af s(x) Opgaver Vis udrryk for cos n pi etc Paritet