FitzHugh Nagumo modellen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "FitzHugh Nagumo modellen"

Transkript

1 FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner. E af disse emner er eskrivelsen af de signaler, der akiverer l.a. menneskekroppens skelemuskler de såkalde akionspoenialer. Maemaisk omhandler eskrivelsen af disse signaler kolede differenialligninger. Der findes mange modeller på område, hvoraf de flese er for komplicerede il gymnasierug. En model der dog er ilgængelig for en dygig gymnasieelev fx il en SRP er den såkalde FizHugh Nagumo model (herefer FHN model) som esår af o kolede differenialligninger, og som i kominaion med idræsfage kan give en god indsig i mekanismerne ag eksplosiv muskelkraf. Teori Inden vi går i gang med a analysere FHN modellen skiseres den nødvendige maemaiske eori. Der er mange måder a analysere o kolede differenialligninger på, og analysen kan live vilkårlig svær. Mange kolede differenialligninger kan ikke løses analyisk, hvilke også er ilfælde med FHN modellen. I denne arikel præseneres en analyse, der dels ygger på lineær algera og Taylorudvikling sam asisviden inden for differenialregning hos gymnasieelever med maemaik A og dels muligheder med TI Nspire CAS sofware. De grafiske arejde er lave vha. en Nspire skaelon (se link il sids i ariklen), som løser o kolede differenialligninger. Alernaiv kan analysen foreages via menuen grafindasninger differenialligninger som har de samme funkionalieer og god rugerflade, og hvor man ilmed kan kole flere end o differenialligninger. Lineære og ikke lineære sysemer E simpel sysem af o kolede differenialligninger er de såkalde lineære sysem. Dee er e sysem på formen x = ax + y (a) y = cx + dy () x = f (x, y) (2a) y = g (x, y) (2) hvor (2) ikke har formen (), kan man udføre en såkald linearisering. Denne meode går ud på, a man ved Taylorudvikling, eregner den lineære ilnærmelse il syseme omkring e fikspunk. De lineariserede sysem udrykkes med variaelnavnene u og v for ikke a ruge samme variaelnavne som de lineære sysem der ilnærmes. De har følgende form: u x y () v = u + højereordens led v x y Maricen kaldes Jakoimaricen for syseme og højereordens leddene er så små, a vi ser or fra dem ). Den afsluende del af analysen esår i a karakerisere fikspunker. Der er i denne arikel ikke plads il en dealjere gennemgang af de forskellige fikspunksyper. For en grundig gennemgang se [] side E fikspunks ype vurderes ud fra nogle krierier. Til dee formål får vi rug for definiioner af spor og deerminan af maricen A sam en derilhørende sæning. a Definiion For en marice M = enævnes spore for c d M med Tr (eng.: race) og er give ved Tr = a + d. a Definiion For en marice M = enævnes deermi- c d nanen for M med og er give ved = a d c. Maemaik E fikspunk, alså en x og en y værdi hvor syseme er saionær, for ligningssyseme () esemmes som løsningen il ligningerne x = 0 og y = 0, ide disse o ligninger neop fasslår, a hverken varialen x eller y ændrer sig over id. Fikspunke eegnes (x *, y * ). Syseme () skrives på marixform som a x = Ax hvor A = c d Her er vekorer skreve med fed skrif. x og x = y. For e ikke lineær sysem på den generelle form a Sæning 2) Lad maricen A = være enen maricen c d for e lineær sysem af o kolede differenialligninger eller lineariseringen af e ikke lineær sysem af o kolede differenialligninger. Om fikspunke (x *, y * ) gælder: (x *, y * ) er sail hvis Tr < 0 og > 0 (x *, y * ) er usail hvis Tr > 0 og > 0 (x *, y * ) er e sadelpunk hvis < 0 Bemærkning: For Tr 2 4 = 0, Tr = 0 og = 0 skal der yderligere analyse il for a udale sig om fikspunkes opførsel. 4 LMFK-lade 4/204

2 FizHugh Nagumo modellen E elekrisk signal, der akiverer kroppens nerve og muskelceller kaldes e akionspoeniale. FHN modellen eskriver e akionspoeniale og er en forsimpling af den mere dealjerede Huxley Hudgkin model. FHN modellen esår af o kolede differenialligninger, og findes i lid varierende udgaver. i ager her udgangspunk i en form, der ydeliggør dynamikken i de indgående variale ) : = w+ Iex (4a) w = ( + a w) (4) Modellens variale og paramere er: : Den elekriske spændingsforskel (elekriske poeniale) på værs af en cellememran. w: En recovery variael, der sikrer, a srømmen gennem cellememranen vender rening, når de elekriske poeniale liver for sor. I ex : En eksern elekrisk simulans. : En idsskalakonsan, der syrer, hvor hurig w ændrer sig i forhold il. a og : Dimensionsløse modelparamere, der eskriver kineikken af varialen w. En skemaisk illusraion af e akionspoeniale (AP) kan ses på figur. De er grundlæggende karakerisika ved dee AP, som FHN modellen forsøger a eskrive. En nerve eller muskelcelle har e hvilememranpoeniale på 70 m. Påvirkes denne værdi ved en eksern elekrisk simulans (irriamen) (I ex i FHN modellen), så ærskelværdien på 55m passeres, liver e AP udløs. Den førse del af processen, hvor memranpoeniale vokser, kaldes depolarisering. Her åner cellen førs for nariumkanalerne, så Na + ioner srømmer ind i cellen. Processen forsærker sig selv men evirker samidig, a K + ioner diffunderer hurigere ud af cellen. I saren vokser memranpoeniale hurig, men efer kor id sarer en repolarisering, hvorved poeniale afager ra l.a. fordi åne nariumkanaler inakiveres. Ofe ender poeniale under udgangspunke på 70m. Dee kaldes hyperpolarisering. Modelvarialen Ser vi udelukkende på afhængigheden af (4a), kan vi få e simpel indlik i dynamikken. For posiiv memranpoeniale siger eksponeniel for små værdier, hvilke udrykkes i de førse led af (4a) med 4) =. Fysiologisk vender ionsrømmen rening, når poeniale liver for sor. Dee modelleres gennem ledde -. Alså vokser = sor se eksponeniel ( = ) for 0 < og holder sig posiiv for <. Bliver > sørger lede - for, a liver negaiv, så ikke liver mege posiiv, ide < 0 for > og > 0 for <. Tilsvarende for negaive værdier af. Dee semmer neop overens med fysiologiske målinger på akionspoenialer, der vokser sejl op il en høj posiiv værdi, hvorefer afager ra il en negaiv værdi, der nummerisk se er mindre end den er posiive op. Efer a har anage minimum opygges de langsom il en nul værdi, hvorfra de på ny kan gennemlø en cyklus. Undersøgelse af nullclines En nullcline (eller ligevægskurve) er en kurve i faserumme, e (, w) koordinasysem, hvor den idsaflede af en variael er nul. E sysems fikspunker findes der, hvor nullclines skærer hinanden. Nullclines esemmes: = 0 w+ Iex = 0 w = + + I a w = 0 ( + a w) = 0 w = + i døer nu, for senere reference, de o funkioner for nullcli- nes p( ) = + + Iex og q ( ) = + a. ex Maemaik Efer e AP er der en såkald refrakærperiode, i hvis førse del (asolu refrakærperiode) depolarisering sle ikke kan finde sed, og i hvis anden del (relaiv refrakærperiode) denne kun kan finde sed ved e højere irriamen end normal. Jo krafigere e irriamen er, jo idligere i den relaive refrakærperiode kan de evirke e ny AP. De er l.a. derfor a e krafigere irriamen ikke giver e krafigere AP men i sede en højere frekvens af AP er. De er alså samspille mellem refrakærperiodens længde og irriamenes sørrelse, der esemmer, hvornår e ny akionspoeniale kan skydes af. E akionspoeniale varer kun få millisekunder. For en dealjere gennemgang se [] side 4 og 0. Figur Skemaisk fremsilling af akionspoeniale. 6 LMFK-lade 4/204

3 > 0 w+ Iex > 0 w < + + I a w > 0 ( + a w) > 0 w < + Tilsvarende udregninger laves for de negaive værdier af og w og resulae ses i figur. Linearisering af modellen og karakerisering af fikspunk ed a skrive syseme (4) som = f (, w) (5a) w = g (, w) (5) ex Figur 2 De o nullclines for FHN modellen, ploe for værdierne a = 0,7, = 0,8, τ = og I ex = 0. Bemærk, a grafedioren i Nspire kun acceperer x som uafhængig variael derfor svarer x il. Fikspunkes koordinaer esem med grafværkøje semmer overens med de eregnede. På figur 2 kan de o nullclines p( ) og q( ) ses ploe i e (, w) koordinasysem alså i faserumme. Fikspunkes koordinaer er indegne. I FHN modellen sikrer ledde I ex i (4a), a den kuiske nullcline kan evæges lodre, mens den lineære opførsel a w i ligning (4) sikrer, a den lineære nullcline er skrå og med mulighed for a variere åde hældningskoefficien og skæring med den lodree akse. Maemaisk er analle af skæringer mellem de o nullclines mellem e og re, afhængig af parameerne a, og I ex. Med e pasende krav il værdien af kan de sikres, a der kun vil være en skæring mellem de o nullclines og dermed kun e fikspunk. Dee giver fysiologisk se den edse model. Fikspunkes koordinaer kan esemmes analyisk ved a løse ligningen p( ) = q( ) og med parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0 fås i overenssemmelse med Nspires grafiske løsningsværkøj fikspunke ( *, w * ) = (,994, 0,624259). Monooniforholdene for og w kan nu esemmes på aggrund af nullclines: Opskrives ligningerne (2): w = Dee giver Jacoimaricen A = w + højereordens led w w 2 w + = w Jacoimaricen evalueres nu i fikspunke ( *, w * ), hvilke giver: w w * * (, w ) * ( ) 2 + = i ved fra sæning, a vi på korrek vis kan karakerisere fikspunkes sailie ved a se på foregn af spor og deerminan af Jacoimaricen. i får: Tr = ( * ) 2 + = ( ( * ) 2 + ) + = ( ( * ) 2 + ) i kan nu opsille krierierne: Sail fikspunk: Tr < 0 * < eller * > med = 0, 96874, hvor de idligere angivne parameer- værdier er anvend. Deril kommer krave Δ > 0, hvilke i denne arikel ikke udregnes generel, ide dee vil kræve en egenværdianalyse. I sede jekkes de lo i konkree ilfælde om Δ > 0 er opfyld. * Usail fikspunk: Tr > 0 < <. Jf. sæning skal de herefer i hver ilfælde undersøges om Δ > 0. Figur Monooniforhold for og w. LMFK-lade 4/204 7 Maemaik

4 Man kan på ilsvarende vis udregne e krav for, a Tr Dee vil vi ikke gøre som e generel udryk, ide dee liver re esværlig, men lo opfordre il a værdien udregnes i hver konkre ilfælde, hvor paramerene og anager eseme værdier. De skal emærkes, a saile og usaile fikspunker kan opdeles i en række yper, l.a. spiraler, nodes (eng.), cenre og sjerner. Disse inddelinger er spændende men undlad i denne arikel for a egrrænse omfange. Ineresserede kan fx se [] s Eksremumsundersøgelse af kuisk nullcline 5) i kan på aggrund af hel normal A niveau maemaik fra gymnasie sige en del om fikspunkes sailie når I ex 0. i lader derfor I ex 0 og foreager en eksremumsundersøgelse: p ( ) = 0 Û 2 + = 0 Û = ± i kan nu opsille e simpel krierie for, om den lineære nullcline q( ) skærer den kuiske p( ) på de miderse sykke mellem lokal minimum og lokal maksimum, hvilke er afgørende for sailieen. De anages i de følgende, a der kun er en skæring mellem den kuiske og den lineære nullcline. Da p( ) = 2 + I ses de a: ex Hvis q( ) < 2 + I : q( ) skærer p( ) il højre for p( ) s ex minimum. Dee svarer il e usail fikspunk. Hvis q( ) > 2 + I : q( ) skærer p( ) il vensre for p( ) s ex minimum. Dee svarer il e sail fikspunk. Hvis q() > 2 + I : q( ) skærer p( ) il vensre for p( ) s ex maksimum. Dee svarer il e usail fikspunk. Hvis q() < 2 + I : q( ) skærer p( ) il højre for p( ) s ex maksimum. Dee svarer il e sail fikspunk. Numerisk løsning af FHN modellen FHN modellen er som sag ikke analyisk løsar, og vi har derfor enye e af Nspires værkøjer il numerisk løsning. Den anvende skaelon enyer sig af en fjerde ordens Runge Kua algorime. Bruger man menuen grafindasninger differenialligninger kan man vælge mellem en Euler og en Runge Kua algorime. De kan dog sagens lade sig gøre a arejde numerisk i Nspire ved egen kraf, fx ved a enye regnearke Eksempel Sail fikspunk i anvender parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0, hvilke er ypiske parameerværdier 6). ed a sæe de o nullclines lig hinanden giver dee fikspunke: ( *, w * ) = (,994, 0,624259). Evalueres spor og deerminan af Jakoimaricen i dee fikspunk fås: 2 Tr = + = 2 = , (, ) 8 = 0, 5002 < 0 Dee semmer overens med krave < eller > da = 0, * * i forsæer med a anvende sæning for a sikre, a analysen er lovlig: 2 = + = 0 09 > 0 ( ), Tr 2 4 = 5, Der er alså ale om e sail fikspunk. Maemaik Figur 4 viser resulaer fra Nspire skaelonen il numerisk løsning. Figur 4 E eksempel på FHN modellen for parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex =0. x svarer il og y svarer il w. De ses øvers, a fikspunke er sail og efer en næsen fuld ekskursion i faserumme finder fasepunke hvile når de rammer fikspunke. Dee svarer alså il e akionspoeniale, der udsendes og derefer dør hen. Refrakærperioden ses (neders på (,x) grafen) som en (uendelig) lang opygning mod hvileniveaue. 8 LMFK-lade 4/204

5 Eksempel 2 Usail fikspunk i anvender parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0,5. I ex 0 medfører, a den kuiske nullcline forskydes opad, og alså vil fikspunke for givne værdier af a, og opføre sig anderledes, end hvis I ex = 0. Skæring mellem nullclines giver fikspunke ( *, w * ) = ( 0,804848,,8806). Evalueres spor af Jakoimaricen i dee fikspunk fås: 2 Tr = + = 2 = , (, ) 8 = 0, > 0 Dee semmer overens med krave * < < da = 0, For a sikre, a analysen er korrek, udregnes som før: 2 = + = > 0 ( ), Tr 2 4 = 0,65 0. Der er alså ale om e usail fikspunk. i kan supplere den neop udføre fikspunksanalyse med en normal eksremumsundersøgelse som eskreve ovenfor. i sarer med a eregne q( ) = 0,75 og q() = 2,25, hvilke giver e krierium om usail fikspunk for 0,29667 < I ex <,458. For alle andre værdier af I ex er fikspunke sail. Med I ex = 0,5 skal vi derfor have e usail fikspunk og dermed oscillerende løsninger, der modellerer på hinanden følgende akionspoenialer. A dee neop er ilfælde ses i figur 5. isuel er de ydelig, a der i faserumme er ale om en grænsecykel. Figur 5 E eksempel på FHN modellen for parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0,5. x svarer il og y svarer il w. De ses, a fikspunke er usail og fasepunke udfører cykliske evægelser i faserumme (øvers). I de nedre panel ses neders på hinanden følgende akionspoenialer, (, x) graf. I samme panel øvers ses w() som (,y) grafen, som ikke umiddelar har en fysiologisk forolkning. Maemaik il løsning ved Eulers meode. Her kendes værdien af en variael, x, sam varialens ændring per id, x, hvorfra varialens værdi idsrumme senere esimeres som x i + = x i + x i. Meoden ygger alså på en ilnærmelse il lineær evægelse i kore idsrum. Har man ligeledes ligninger der esemmer x som funkion af x kan x i + også eregnes ud fra x i +. Eulers meode anvend på FHN modellens, w, og w er opsille skemaisk neders i oksen på næse side, hvor man skal foresille sig, a hver rurik svarer il en rurik i e Nspire regneark. ed a markere de eregnede feler og række med musen, eregnes hurig flere hundrede punker. Når punkerne er eregne laves en huriggraf, hvilke ses i figur 6. Her er også de o nullclines indegne ved i værkøjsmenuen a vælge undersøg graf og derefer plo funkion. Bemærk forskellen i den srækning, som faserumspunke når a evæge sig i de o ilfælde 00 skrid øvers il vensre og 200 skrid øvers il højre. Sammenlignes figur 6 med figur 5 ses de, a i omegnen af den kuiske nullclines eksrema reagerer Eulers algorime forvenlig langsommere end den fjerde ordens Runge Kua som Nspire skaelonen enyer sig af. isualisering af Nullclines i D E redimensionel plo af FHN modellens ligninger (4) kan udvide forsåelsen af nullclines. I figur 7 ses dee vha. Nspire værkøj il D plos. 20 LMFK-lade 4/204

6 Figur 6 Øvers faserumme, neders (). Beregninger er asere på Eulers algorime med = 0,2. I vensre kolonne har algorimen age 00 skrid og når mere end en hel cyklus. I højre kolonne er der age 200 skrid og de ses i faserumme (øvers), a en hel ur rund i cyklen ikke opnås. Parameerværdierne a,, og sam egyndelsesværdien (, w) = (,05, 0,5) er ens i alle paneler og magen il figur 5. Figur 7 Nspires værkøj il D plos (værkøjsmenuen is D grafegning) er rug il en alernaiv undersøgelse af nullclines. Den mørkelå flade er faslag af funkionen z = x y + I x ex og den røde flade af z = x + a y ( ), alså svarende il hhv. og w. Den lyselå plan definerer z = 0. x svarer il og y il w. Den lineære og den kuiske nullcline ses som de o skæringskurver mellem den mørkelå hhv. den røde plans skæring med den lyselå z = 0 plan. Planen z = 0 svarer neop il = w = 0. Fikspunke kan lokaliseres som de fælles skæringspunk mellem de re flader. A B C D w w Gæ Gæ A =A B+ I ex = (A+ a B) 2 =A + D C =B + D D A2 =A2 B2+ I ex = (A2+ a B2) =A2 + D C2 =B2 + D D2 L L 4 M M 5 LMFK-lade 4/204 2 Maemaik

7 Figur 8 ensre kolonne har I ex = 0,4. Højre kolonne har I ex =,5. Begge værdier sikrer e usail fikspunk. Øvers ses den nummeriske løsning for x() og y(), og neders ses faserumsporræe. De er (, x) grafen (nederse graf i øverse række), der skal forolkes som akionspoeniale, ide varialen x svarer il varialen. De ses ydelig, a refrakærperioden (iden fra x varialen passerer 0 oppefra il den passerer 0 nedefra) er længere for den lave værdi af I ex end for den høje. Maemaik FHN modellen og ræning af de neurale drive I mange idræsgrene gælder de om a kunne udvikle mes mulig kraf på kores id. Krafudvikling per id kaldes inden for idræsfage rae of force developmen (RFD), og på fx sprinerdisancerne i lø, syrkeløf og kuglesød kan en god udøver præsere en høj RFD. Den neurale simulaion af en muskel sarer med a e AP overføres il muskelfieren fra nervesysemes omkringliggende nerveceller. En krafig simulans skaes ved en høj frekvens af akionspoenialerne og jo højere denne frekvens er, jo højere liver RFD. Op il en vis grænse, hvor musklen oversimuleres, gælder de alså for udøvere, der ønsker en høj RFD, om a kunne generere højfrekvene akionspoenialer. Opnår udøveren dee, siger man, a de neurale drive er foredre 7). En ræningsmeode der ifølge lierauren 8) øger kroppens evne il a generere e sørre irriamen er ung og/eller eksplosiv syrkeræning. FHN modellen kan således hjælpe il a forså grundlæggende neurofysiologiske mekanismer, som spiller ind, når ung og/eller eksplosiv syrkeræning ruges som ræningsmeode il a foredre RFD for idræsudøvere. i har idligere i denne arikel se, a for de valge parameerværdier a = 0,7, = 0,8 og = er fikspunke usail når I ex > 0,29. I figur 8 ses FHN modellens eskrivelse af akionspoenialer for o karakerisisk forskellige værdier af I ex : I ex = 0,4 og I ex =,5. De ses ydelig, a den høje værdi af I ex giver en korere refrakærperiode og alså korere id inden akionspoeniale kan skyde igen. FHN modellen fanger alså mekanismen, hvor sørrelsen af de irriamen I ex, som nervesyseme kan producere, afgør frekvensen af akionspoenialerne. I figur 9 ses o siuaioner, hvor akionspoeniale ikke skydes af. Den mindse værdi I ex = 0, kan olkes som e irriamen, der ikke oversiger ærskelværdien, hvor e akionspoenial kan skyde. Den sørse værdi I ex =,60 kan olkes som en oversimulans, der evirker, a mekanismen ag akionspoeniale kollapser. Dee kan forolkes som en krampeilsand i musklen. Sor ak il Susanne Dilevsen, Insiu for maemaiske fag, Køenhavs Universie, for hjælp il faglige og didakiske overvejelser. 22 LMFK-lade 4/204

8 Figur 9 ensre kolonne har I ex = 0,. Højre kolonne har I ex =,60. Øvers ses den nummeriske løsning for y() og x(). Neders ses faserummesporræe. De er (, x) grafen, der skal forolkes som akionspoeniale, ide varialen x svarer il varialen. Noer ) [] afsni 6., side ) [] side 7 og 5. ) Se fx en.wikipedia.org/wiki/fizhugh%e2%80%9nagumo_model 4) Tænk på løsningen il en differenialligning af ypen y = k y. 5) Gode animaioner, der viser FHN modellens opførsel for varierende paramere, kan ses på følgende hjemmeside, der l.a. er lave af Fizhugh og Izhikevich: scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_model 6) scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_model eller Simple Neuron Models: FizHugh Nagumo and Hindmarsh Rose, R. Zillmer, INFN, Sezione di Firenze. 7) [2] side 28, ael. 8) [2] side Lieraur, nyige links og dokumener []: Seven H. Srogaz, Nonlinear dynamics and chaos, Wesview, 994. [2]: Jesper Franch m.fl., Idræ B idræseori,. udg., Sysime, []: Bene Schiye, Klaus Klausen m. fl., Menneskes fysiologi,. udg., 5. opl., FADL Der findes på nee en del lieraur om åde FizHugh Nagumo modellen og om løsning af kolede differenialligninger generel. Nedenfor findes nyige links. Noe om grafisk løsning af differenialligninger Knud Nissen og Bjørn Felsager, educaion.i.com/sies/danmark/ downloads/pdf/numeri-.pdf Skaelonen il numerisk løsning af kolede differenialligninger Philippe Forin, educaion.i.com/da/danmark/nonproducsingle/ma_ infiniisimal Scholarpedia om FizHugh Nagumo modellen Izhikevich og FizHugh, scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_ model Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/fizhugh%e2%80%9nagumo_model LMFK-lade 4/204 2 Maemaik

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website Praksisorienere forskningsformidling via e offenlig wesie Refleksioner over meoder anvend i forindelse med rekonsrukion af wesie for By og Byg (Saens Byggeforskningsinsiu) Jesper Kirkeskov Maserafhandling

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11.

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11. DFG/TFG 660-690 12.12 - Drifsanvisning 51289397 11.14 K DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90 Overenssemmelseserklæring Jungheinrich AG, Am Sadrand

Læs mere

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark SAM B Samarbejde om borger/paienforløb Samarbejdsafale mellem kommuner og region om borger/paienforløb i Region Syddanmark Forord il medarbejderen 2 3 Denne pjece indeholder en kor version af den regionale

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark Program il Udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Triniy for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 2.5.2014 KEU syd Praksisdag Syd 2. maj 2014 Målgruppen for Praksisdag

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Udarbejde af gr. 542 Aalborg Universie, AAUE 2002 De eknisk-naurvidenskabelige falkule Insiu 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Tielblad Tiel: Klimacompuer il vækshus Tema: Appara- og/eller sysemkonsrukion

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren Facade og mur Nyheder Gulve Leca Flisv Anvendelsesip Produker Find forhandler Konak Min konakperson Farveværkøj Projeker Videoer Forsiden Projeker Nyheder Om Weber Leca leklinker på oppen af Nyborg Lige

Læs mere

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark Inviaion il udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Triniy - for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 23.5.2008 Praksisdag Syd 23. maj 2008 Målgruppen for Praksisdag Syd

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel.

Bilag 1: Beregningseksempel. Bila 1: Bereninseksemel. Claus F. Jensen, 5/4-01 Bilae har il ormål a vise bereninsroceduren or e elemen a en lasacade. De anvende elemen er rundlæende idenisk med de i ren 13947 anivne. Der renes i dee

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Byg en mur rundt om din pc

Byg en mur rundt om din pc BESKYT PC EN MOD ANGREB FRA INTERNETTET: Byg en ur rund o din pc Ny progra på cd en Med en firewall på copuen har du en effekiv ur od kriinelle fra innee. Freov vil du finde firewallen ZoneAlar på cd en,

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040 Grønlands Økonomiske Råd, okober 21 Teknisk baggrundsnoa om de finanspoliiske udfordringer frem mod 24 Indhold Del I: Model og meode...3 1. Finansindikaoren...3 1.1. Den offenlige ineremporale budgeresrikion

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Grønne regnskaber 2013

Grønne regnskaber 2013 Grønne regnskaber 2013 Grøn og dynamisk med respek for dig! 1 Udgiver: Miljø- og Energiforvalningen Aalborg Forsyning, Renovaion Over Bækken 2 9000 Aalborg Udgivelse: April 2014 Sagsnr.: 2013-50948 Dok.

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX Denne liste angiver facit til bogens opgaver. Opgaver hvor svaret er redegørende, fortolkende eller vurderende er udeladt. I statistikopgaver hvor der er flere muligheder

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen SKRÆPPEBLADET sepember 2005 Tovrækning ved sommerfesen i Hasselhøj/Hasselengen Nr.07 ISSN 0906-267X Gudrunsvej 2, kld., 8220 Brabrand Tlf. 86 25 26 99. E-pos: skraeppen@mail1. sofane.dk Hjemmeside: www.skraeppeblade.dk

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003 Insiu for Finansiering Vejleder: Carsen Tanggaard Kandidaafhandling Forfaer: Sudienummer: 243060 Teoreisk og empirisk markedskvaliesanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 il augus 2003

Læs mere

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik B A T k a r e l l e BAT Nr. 5 sepember 2007 Den 29. juni besluede forligsparierne a revidere Øsafalen. Revisionen kom i sand efer god en måneds forhandlinger mellem Beskæfigelsesminiserie, Dansk Arbejdsgiverforening

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til fagpersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail: socialsyrelsen@socialsyrelsen.dk

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Træningsplan UTMB.xlsx. Plan Løb Styrketræning Øvrig træning. Arme, mave, ryg. Timer høj intensite. Andet

Træningsplan UTMB.xlsx. Plan Løb Styrketræning Øvrig træning. Arme, mave, ryg. Timer høj intensite. Andet Uge Daoer Særlig Ande Tibeanere 4 S 4 1,00 8,50 9,50 68 11 0 0 39 Ma 23. januar 10 Ti 24. januar 1 1,25 10 7 On 25. januar 1 0,75 0,75 12 6 7 To 26. januar 12 7 Fr 27. januar 1 0,25 1,75 14 9 Lø 28. januar

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

gudmandsen.net Integraler

gudmandsen.net Integraler gudmandsen.net 2000-203 Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler...

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Kirkeligt Teater. Underholdende

Kirkeligt Teater. Underholdende Kirkelig Teaer For børn og familier, minikonfirmander, konfirmander, unge og voksne»de er Kirkeeaeres oplevelse, a når børn og unge morer sig under forkyndelsen, husker de mege bedre den bibelske forælling«foredrag

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere