FitzHugh Nagumo modellen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "FitzHugh Nagumo modellen"

Transkript

1 FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner. E af disse emner er eskrivelsen af de signaler, der akiverer l.a. menneskekroppens skelemuskler de såkalde akionspoenialer. Maemaisk omhandler eskrivelsen af disse signaler kolede differenialligninger. Der findes mange modeller på område, hvoraf de flese er for komplicerede il gymnasierug. En model der dog er ilgængelig for en dygig gymnasieelev fx il en SRP er den såkalde FizHugh Nagumo model (herefer FHN model) som esår af o kolede differenialligninger, og som i kominaion med idræsfage kan give en god indsig i mekanismerne ag eksplosiv muskelkraf. Teori Inden vi går i gang med a analysere FHN modellen skiseres den nødvendige maemaiske eori. Der er mange måder a analysere o kolede differenialligninger på, og analysen kan live vilkårlig svær. Mange kolede differenialligninger kan ikke løses analyisk, hvilke også er ilfælde med FHN modellen. I denne arikel præseneres en analyse, der dels ygger på lineær algera og Taylorudvikling sam asisviden inden for differenialregning hos gymnasieelever med maemaik A og dels muligheder med TI Nspire CAS sofware. De grafiske arejde er lave vha. en Nspire skaelon (se link il sids i ariklen), som løser o kolede differenialligninger. Alernaiv kan analysen foreages via menuen grafindasninger differenialligninger som har de samme funkionalieer og god rugerflade, og hvor man ilmed kan kole flere end o differenialligninger. Lineære og ikke lineære sysemer E simpel sysem af o kolede differenialligninger er de såkalde lineære sysem. Dee er e sysem på formen x = ax + y (a) y = cx + dy () x = f (x, y) (2a) y = g (x, y) (2) hvor (2) ikke har formen (), kan man udføre en såkald linearisering. Denne meode går ud på, a man ved Taylorudvikling, eregner den lineære ilnærmelse il syseme omkring e fikspunk. De lineariserede sysem udrykkes med variaelnavnene u og v for ikke a ruge samme variaelnavne som de lineære sysem der ilnærmes. De har følgende form: u x y () v = u + højereordens led v x y Maricen kaldes Jakoimaricen for syseme og højereordens leddene er så små, a vi ser or fra dem ). Den afsluende del af analysen esår i a karakerisere fikspunker. Der er i denne arikel ikke plads il en dealjere gennemgang af de forskellige fikspunksyper. For en grundig gennemgang se [] side E fikspunks ype vurderes ud fra nogle krierier. Til dee formål får vi rug for definiioner af spor og deerminan af maricen A sam en derilhørende sæning. a Definiion For en marice M = enævnes spore for c d M med Tr (eng.: race) og er give ved Tr = a + d. a Definiion For en marice M = enævnes deermi- c d nanen for M med og er give ved = a d c. Maemaik E fikspunk, alså en x og en y værdi hvor syseme er saionær, for ligningssyseme () esemmes som løsningen il ligningerne x = 0 og y = 0, ide disse o ligninger neop fasslår, a hverken varialen x eller y ændrer sig over id. Fikspunke eegnes (x *, y * ). Syseme () skrives på marixform som a x = Ax hvor A = c d Her er vekorer skreve med fed skrif. x og x = y. For e ikke lineær sysem på den generelle form a Sæning 2) Lad maricen A = være enen maricen c d for e lineær sysem af o kolede differenialligninger eller lineariseringen af e ikke lineær sysem af o kolede differenialligninger. Om fikspunke (x *, y * ) gælder: (x *, y * ) er sail hvis Tr < 0 og > 0 (x *, y * ) er usail hvis Tr > 0 og > 0 (x *, y * ) er e sadelpunk hvis < 0 Bemærkning: For Tr 2 4 = 0, Tr = 0 og = 0 skal der yderligere analyse il for a udale sig om fikspunkes opførsel. 4 LMFK-lade 4/204

2 FizHugh Nagumo modellen E elekrisk signal, der akiverer kroppens nerve og muskelceller kaldes e akionspoeniale. FHN modellen eskriver e akionspoeniale og er en forsimpling af den mere dealjerede Huxley Hudgkin model. FHN modellen esår af o kolede differenialligninger, og findes i lid varierende udgaver. i ager her udgangspunk i en form, der ydeliggør dynamikken i de indgående variale ) : = w+ Iex (4a) w = ( + a w) (4) Modellens variale og paramere er: : Den elekriske spændingsforskel (elekriske poeniale) på værs af en cellememran. w: En recovery variael, der sikrer, a srømmen gennem cellememranen vender rening, når de elekriske poeniale liver for sor. I ex : En eksern elekrisk simulans. : En idsskalakonsan, der syrer, hvor hurig w ændrer sig i forhold il. a og : Dimensionsløse modelparamere, der eskriver kineikken af varialen w. En skemaisk illusraion af e akionspoeniale (AP) kan ses på figur. De er grundlæggende karakerisika ved dee AP, som FHN modellen forsøger a eskrive. En nerve eller muskelcelle har e hvilememranpoeniale på 70 m. Påvirkes denne værdi ved en eksern elekrisk simulans (irriamen) (I ex i FHN modellen), så ærskelværdien på 55m passeres, liver e AP udløs. Den førse del af processen, hvor memranpoeniale vokser, kaldes depolarisering. Her åner cellen førs for nariumkanalerne, så Na + ioner srømmer ind i cellen. Processen forsærker sig selv men evirker samidig, a K + ioner diffunderer hurigere ud af cellen. I saren vokser memranpoeniale hurig, men efer kor id sarer en repolarisering, hvorved poeniale afager ra l.a. fordi åne nariumkanaler inakiveres. Ofe ender poeniale under udgangspunke på 70m. Dee kaldes hyperpolarisering. Modelvarialen Ser vi udelukkende på afhængigheden af (4a), kan vi få e simpel indlik i dynamikken. For posiiv memranpoeniale siger eksponeniel for små værdier, hvilke udrykkes i de førse led af (4a) med 4) =. Fysiologisk vender ionsrømmen rening, når poeniale liver for sor. Dee modelleres gennem ledde -. Alså vokser = sor se eksponeniel ( = ) for 0 < og holder sig posiiv for <. Bliver > sørger lede - for, a liver negaiv, så ikke liver mege posiiv, ide < 0 for > og > 0 for <. Tilsvarende for negaive værdier af. Dee semmer neop overens med fysiologiske målinger på akionspoenialer, der vokser sejl op il en høj posiiv værdi, hvorefer afager ra il en negaiv værdi, der nummerisk se er mindre end den er posiive op. Efer a har anage minimum opygges de langsom il en nul værdi, hvorfra de på ny kan gennemlø en cyklus. Undersøgelse af nullclines En nullcline (eller ligevægskurve) er en kurve i faserumme, e (, w) koordinasysem, hvor den idsaflede af en variael er nul. E sysems fikspunker findes der, hvor nullclines skærer hinanden. Nullclines esemmes: = 0 w+ Iex = 0 w = + + I a w = 0 ( + a w) = 0 w = + i døer nu, for senere reference, de o funkioner for nullcli- nes p( ) = + + Iex og q ( ) = + a. ex Maemaik Efer e AP er der en såkald refrakærperiode, i hvis førse del (asolu refrakærperiode) depolarisering sle ikke kan finde sed, og i hvis anden del (relaiv refrakærperiode) denne kun kan finde sed ved e højere irriamen end normal. Jo krafigere e irriamen er, jo idligere i den relaive refrakærperiode kan de evirke e ny AP. De er l.a. derfor a e krafigere irriamen ikke giver e krafigere AP men i sede en højere frekvens af AP er. De er alså samspille mellem refrakærperiodens længde og irriamenes sørrelse, der esemmer, hvornår e ny akionspoeniale kan skydes af. E akionspoeniale varer kun få millisekunder. For en dealjere gennemgang se [] side 4 og 0. Figur Skemaisk fremsilling af akionspoeniale. 6 LMFK-lade 4/204

3 > 0 w+ Iex > 0 w < + + I a w > 0 ( + a w) > 0 w < + Tilsvarende udregninger laves for de negaive værdier af og w og resulae ses i figur. Linearisering af modellen og karakerisering af fikspunk ed a skrive syseme (4) som = f (, w) (5a) w = g (, w) (5) ex Figur 2 De o nullclines for FHN modellen, ploe for værdierne a = 0,7, = 0,8, τ = og I ex = 0. Bemærk, a grafedioren i Nspire kun acceperer x som uafhængig variael derfor svarer x il. Fikspunkes koordinaer esem med grafværkøje semmer overens med de eregnede. På figur 2 kan de o nullclines p( ) og q( ) ses ploe i e (, w) koordinasysem alså i faserumme. Fikspunkes koordinaer er indegne. I FHN modellen sikrer ledde I ex i (4a), a den kuiske nullcline kan evæges lodre, mens den lineære opførsel a w i ligning (4) sikrer, a den lineære nullcline er skrå og med mulighed for a variere åde hældningskoefficien og skæring med den lodree akse. Maemaisk er analle af skæringer mellem de o nullclines mellem e og re, afhængig af parameerne a, og I ex. Med e pasende krav il værdien af kan de sikres, a der kun vil være en skæring mellem de o nullclines og dermed kun e fikspunk. Dee giver fysiologisk se den edse model. Fikspunkes koordinaer kan esemmes analyisk ved a løse ligningen p( ) = q( ) og med parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0 fås i overenssemmelse med Nspires grafiske løsningsværkøj fikspunke ( *, w * ) = (,994, 0,624259). Monooniforholdene for og w kan nu esemmes på aggrund af nullclines: Opskrives ligningerne (2): w = Dee giver Jacoimaricen A = w + højereordens led w w 2 w + = w Jacoimaricen evalueres nu i fikspunke ( *, w * ), hvilke giver: w w * * (, w ) * ( ) 2 + = i ved fra sæning, a vi på korrek vis kan karakerisere fikspunkes sailie ved a se på foregn af spor og deerminan af Jacoimaricen. i får: Tr = ( * ) 2 + = ( ( * ) 2 + ) + = ( ( * ) 2 + ) i kan nu opsille krierierne: Sail fikspunk: Tr < 0 * < eller * > med = 0, 96874, hvor de idligere angivne parameer- værdier er anvend. Deril kommer krave Δ > 0, hvilke i denne arikel ikke udregnes generel, ide dee vil kræve en egenværdianalyse. I sede jekkes de lo i konkree ilfælde om Δ > 0 er opfyld. * Usail fikspunk: Tr > 0 < <. Jf. sæning skal de herefer i hver ilfælde undersøges om Δ > 0. Figur Monooniforhold for og w. LMFK-lade 4/204 7 Maemaik

4 Man kan på ilsvarende vis udregne e krav for, a Tr Dee vil vi ikke gøre som e generel udryk, ide dee liver re esværlig, men lo opfordre il a værdien udregnes i hver konkre ilfælde, hvor paramerene og anager eseme værdier. De skal emærkes, a saile og usaile fikspunker kan opdeles i en række yper, l.a. spiraler, nodes (eng.), cenre og sjerner. Disse inddelinger er spændende men undlad i denne arikel for a egrrænse omfange. Ineresserede kan fx se [] s Eksremumsundersøgelse af kuisk nullcline 5) i kan på aggrund af hel normal A niveau maemaik fra gymnasie sige en del om fikspunkes sailie når I ex 0. i lader derfor I ex 0 og foreager en eksremumsundersøgelse: p ( ) = 0 Û 2 + = 0 Û = ± i kan nu opsille e simpel krierie for, om den lineære nullcline q( ) skærer den kuiske p( ) på de miderse sykke mellem lokal minimum og lokal maksimum, hvilke er afgørende for sailieen. De anages i de følgende, a der kun er en skæring mellem den kuiske og den lineære nullcline. Da p( ) = 2 + I ses de a: ex Hvis q( ) < 2 + I : q( ) skærer p( ) il højre for p( ) s ex minimum. Dee svarer il e usail fikspunk. Hvis q( ) > 2 + I : q( ) skærer p( ) il vensre for p( ) s ex minimum. Dee svarer il e sail fikspunk. Hvis q() > 2 + I : q( ) skærer p( ) il vensre for p( ) s ex maksimum. Dee svarer il e usail fikspunk. Hvis q() < 2 + I : q( ) skærer p( ) il højre for p( ) s ex maksimum. Dee svarer il e sail fikspunk. Numerisk løsning af FHN modellen FHN modellen er som sag ikke analyisk løsar, og vi har derfor enye e af Nspires værkøjer il numerisk løsning. Den anvende skaelon enyer sig af en fjerde ordens Runge Kua algorime. Bruger man menuen grafindasninger differenialligninger kan man vælge mellem en Euler og en Runge Kua algorime. De kan dog sagens lade sig gøre a arejde numerisk i Nspire ved egen kraf, fx ved a enye regnearke Eksempel Sail fikspunk i anvender parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0, hvilke er ypiske parameerværdier 6). ed a sæe de o nullclines lig hinanden giver dee fikspunke: ( *, w * ) = (,994, 0,624259). Evalueres spor og deerminan af Jakoimaricen i dee fikspunk fås: 2 Tr = + = 2 = , (, ) 8 = 0, 5002 < 0 Dee semmer overens med krave < eller > da = 0, * * i forsæer med a anvende sæning for a sikre, a analysen er lovlig: 2 = + = 0 09 > 0 ( ), Tr 2 4 = 5, Der er alså ale om e sail fikspunk. Maemaik Figur 4 viser resulaer fra Nspire skaelonen il numerisk løsning. Figur 4 E eksempel på FHN modellen for parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex =0. x svarer il og y svarer il w. De ses øvers, a fikspunke er sail og efer en næsen fuld ekskursion i faserumme finder fasepunke hvile når de rammer fikspunke. Dee svarer alså il e akionspoeniale, der udsendes og derefer dør hen. Refrakærperioden ses (neders på (,x) grafen) som en (uendelig) lang opygning mod hvileniveaue. 8 LMFK-lade 4/204

5 Eksempel 2 Usail fikspunk i anvender parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0,5. I ex 0 medfører, a den kuiske nullcline forskydes opad, og alså vil fikspunke for givne værdier af a, og opføre sig anderledes, end hvis I ex = 0. Skæring mellem nullclines giver fikspunke ( *, w * ) = ( 0,804848,,8806). Evalueres spor af Jakoimaricen i dee fikspunk fås: 2 Tr = + = 2 = , (, ) 8 = 0, > 0 Dee semmer overens med krave * < < da = 0, For a sikre, a analysen er korrek, udregnes som før: 2 = + = > 0 ( ), Tr 2 4 = 0,65 0. Der er alså ale om e usail fikspunk. i kan supplere den neop udføre fikspunksanalyse med en normal eksremumsundersøgelse som eskreve ovenfor. i sarer med a eregne q( ) = 0,75 og q() = 2,25, hvilke giver e krierium om usail fikspunk for 0,29667 < I ex <,458. For alle andre værdier af I ex er fikspunke sail. Med I ex = 0,5 skal vi derfor have e usail fikspunk og dermed oscillerende løsninger, der modellerer på hinanden følgende akionspoenialer. A dee neop er ilfælde ses i figur 5. isuel er de ydelig, a der i faserumme er ale om en grænsecykel. Figur 5 E eksempel på FHN modellen for parameerværdierne a = 0,7, = 0,8, = og I ex = 0,5. x svarer il og y svarer il w. De ses, a fikspunke er usail og fasepunke udfører cykliske evægelser i faserumme (øvers). I de nedre panel ses neders på hinanden følgende akionspoenialer, (, x) graf. I samme panel øvers ses w() som (,y) grafen, som ikke umiddelar har en fysiologisk forolkning. Maemaik il løsning ved Eulers meode. Her kendes værdien af en variael, x, sam varialens ændring per id, x, hvorfra varialens værdi idsrumme senere esimeres som x i + = x i + x i. Meoden ygger alså på en ilnærmelse il lineær evægelse i kore idsrum. Har man ligeledes ligninger der esemmer x som funkion af x kan x i + også eregnes ud fra x i +. Eulers meode anvend på FHN modellens, w, og w er opsille skemaisk neders i oksen på næse side, hvor man skal foresille sig, a hver rurik svarer il en rurik i e Nspire regneark. ed a markere de eregnede feler og række med musen, eregnes hurig flere hundrede punker. Når punkerne er eregne laves en huriggraf, hvilke ses i figur 6. Her er også de o nullclines indegne ved i værkøjsmenuen a vælge undersøg graf og derefer plo funkion. Bemærk forskellen i den srækning, som faserumspunke når a evæge sig i de o ilfælde 00 skrid øvers il vensre og 200 skrid øvers il højre. Sammenlignes figur 6 med figur 5 ses de, a i omegnen af den kuiske nullclines eksrema reagerer Eulers algorime forvenlig langsommere end den fjerde ordens Runge Kua som Nspire skaelonen enyer sig af. isualisering af Nullclines i D E redimensionel plo af FHN modellens ligninger (4) kan udvide forsåelsen af nullclines. I figur 7 ses dee vha. Nspire værkøj il D plos. 20 LMFK-lade 4/204

6 Figur 6 Øvers faserumme, neders (). Beregninger er asere på Eulers algorime med = 0,2. I vensre kolonne har algorimen age 00 skrid og når mere end en hel cyklus. I højre kolonne er der age 200 skrid og de ses i faserumme (øvers), a en hel ur rund i cyklen ikke opnås. Parameerværdierne a,, og sam egyndelsesværdien (, w) = (,05, 0,5) er ens i alle paneler og magen il figur 5. Figur 7 Nspires værkøj il D plos (værkøjsmenuen is D grafegning) er rug il en alernaiv undersøgelse af nullclines. Den mørkelå flade er faslag af funkionen z = x y + I x ex og den røde flade af z = x + a y ( ), alså svarende il hhv. og w. Den lyselå plan definerer z = 0. x svarer il og y il w. Den lineære og den kuiske nullcline ses som de o skæringskurver mellem den mørkelå hhv. den røde plans skæring med den lyselå z = 0 plan. Planen z = 0 svarer neop il = w = 0. Fikspunke kan lokaliseres som de fælles skæringspunk mellem de re flader. A B C D w w Gæ Gæ A =A B+ I ex = (A+ a B) 2 =A + D C =B + D D A2 =A2 B2+ I ex = (A2+ a B2) =A2 + D C2 =B2 + D D2 L L 4 M M 5 LMFK-lade 4/204 2 Maemaik

7 Figur 8 ensre kolonne har I ex = 0,4. Højre kolonne har I ex =,5. Begge værdier sikrer e usail fikspunk. Øvers ses den nummeriske løsning for x() og y(), og neders ses faserumsporræe. De er (, x) grafen (nederse graf i øverse række), der skal forolkes som akionspoeniale, ide varialen x svarer il varialen. De ses ydelig, a refrakærperioden (iden fra x varialen passerer 0 oppefra il den passerer 0 nedefra) er længere for den lave værdi af I ex end for den høje. Maemaik FHN modellen og ræning af de neurale drive I mange idræsgrene gælder de om a kunne udvikle mes mulig kraf på kores id. Krafudvikling per id kaldes inden for idræsfage rae of force developmen (RFD), og på fx sprinerdisancerne i lø, syrkeløf og kuglesød kan en god udøver præsere en høj RFD. Den neurale simulaion af en muskel sarer med a e AP overføres il muskelfieren fra nervesysemes omkringliggende nerveceller. En krafig simulans skaes ved en høj frekvens af akionspoenialerne og jo højere denne frekvens er, jo højere liver RFD. Op il en vis grænse, hvor musklen oversimuleres, gælder de alså for udøvere, der ønsker en høj RFD, om a kunne generere højfrekvene akionspoenialer. Opnår udøveren dee, siger man, a de neurale drive er foredre 7). En ræningsmeode der ifølge lierauren 8) øger kroppens evne il a generere e sørre irriamen er ung og/eller eksplosiv syrkeræning. FHN modellen kan således hjælpe il a forså grundlæggende neurofysiologiske mekanismer, som spiller ind, når ung og/eller eksplosiv syrkeræning ruges som ræningsmeode il a foredre RFD for idræsudøvere. i har idligere i denne arikel se, a for de valge parameerværdier a = 0,7, = 0,8 og = er fikspunke usail når I ex > 0,29. I figur 8 ses FHN modellens eskrivelse af akionspoenialer for o karakerisisk forskellige værdier af I ex : I ex = 0,4 og I ex =,5. De ses ydelig, a den høje værdi af I ex giver en korere refrakærperiode og alså korere id inden akionspoeniale kan skyde igen. FHN modellen fanger alså mekanismen, hvor sørrelsen af de irriamen I ex, som nervesyseme kan producere, afgør frekvensen af akionspoenialerne. I figur 9 ses o siuaioner, hvor akionspoeniale ikke skydes af. Den mindse værdi I ex = 0, kan olkes som e irriamen, der ikke oversiger ærskelværdien, hvor e akionspoenial kan skyde. Den sørse værdi I ex =,60 kan olkes som en oversimulans, der evirker, a mekanismen ag akionspoeniale kollapser. Dee kan forolkes som en krampeilsand i musklen. Sor ak il Susanne Dilevsen, Insiu for maemaiske fag, Køenhavs Universie, for hjælp il faglige og didakiske overvejelser. 22 LMFK-lade 4/204

8 Figur 9 ensre kolonne har I ex = 0,. Højre kolonne har I ex =,60. Øvers ses den nummeriske løsning for y() og x(). Neders ses faserummesporræe. De er (, x) grafen, der skal forolkes som akionspoeniale, ide varialen x svarer il varialen. Noer ) [] afsni 6., side ) [] side 7 og 5. ) Se fx en.wikipedia.org/wiki/fizhugh%e2%80%9nagumo_model 4) Tænk på løsningen il en differenialligning af ypen y = k y. 5) Gode animaioner, der viser FHN modellens opførsel for varierende paramere, kan ses på følgende hjemmeside, der l.a. er lave af Fizhugh og Izhikevich: scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_model 6) scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_model eller Simple Neuron Models: FizHugh Nagumo and Hindmarsh Rose, R. Zillmer, INFN, Sezione di Firenze. 7) [2] side 28, ael. 8) [2] side Lieraur, nyige links og dokumener []: Seven H. Srogaz, Nonlinear dynamics and chaos, Wesview, 994. [2]: Jesper Franch m.fl., Idræ B idræseori,. udg., Sysime, []: Bene Schiye, Klaus Klausen m. fl., Menneskes fysiologi,. udg., 5. opl., FADL Der findes på nee en del lieraur om åde FizHugh Nagumo modellen og om løsning af kolede differenialligninger generel. Nedenfor findes nyige links. Noe om grafisk løsning af differenialligninger Knud Nissen og Bjørn Felsager, educaion.i.com/sies/danmark/ downloads/pdf/numeri-.pdf Skaelonen il numerisk løsning af kolede differenialligninger Philippe Forin, educaion.i.com/da/danmark/nonproducsingle/ma_ infiniisimal Scholarpedia om FizHugh Nagumo modellen Izhikevich og FizHugh, scholarpedia.org/aricle/fizhugh-nagumo_ model Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/fizhugh%e2%80%9nagumo_model LMFK-lade 4/204 2 Maemaik

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Projektmateriale 2 i tilknytning til Susanne Ditlevsens video: Matematisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller

Projektmateriale 2 i tilknytning til Susanne Ditlevsens video: Matematisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Projektmateriale i tilknytning til Susanne Ditlevsens video: Matematisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Indhold 0. Introduktion... FitzHugh-Nagumo modellen matematisk modellering af signaler

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i f r a i d é i l p r o j e k e n m e o d e i l n y æ n k n i n g o g p r o b l e m l ø s n i n g n o v a i s p r o c e s s e n i n d e h o l d e r... n n o v a p r e j e k Toolki & Mindhouse er o konsulenvirksomheder,

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder n IDEKLIMA Overføring af ulrafi e og gasser mellem o Overføring af gasser, og røglug mellem er ofe e problem for beboere i ældre eageejendomme. Derfor har Saens Byggeforskningsinsiu undersøg en ny æningsmeode,

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri Maemaikkens mserier - på e høj niveau af Kenneh Hansen 4. Rumgeomeri Hvordan kan o forskellige planer ligge i forhold il hinanden? 4. Rumgeomeri Indhold 4. Vekorer i rumme 4. Krdsproduke 7 4. Planer og

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer:

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer: 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Anvendelseseksempler Anvendelseseksempel A Udklækningsid for flueæg (Daa i dee eksempel sammer fra Pracical saisics for environmenal and biological scieniss

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del.

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del. orma klasse ræninshæfe LS Side ordel lieli. majs på hver. bacon på hver. ananas på hver. ordel lieli o find. ordel fylde lieli på pizzaerne. æl pizzafylde, o skriv analle. Skriv derefer analle på hver

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning B A T k a r e l l e BAT Nr. 3 maj 2008 Bygningsarbejdernes idéer og opfindelser bliver ikke udnye ilsrækkelig i byggerie. De viser en rappor, som Teknologisk Insiu neop har lag sidse hånd på. Side 3 De

Læs mere

Dansk pengeefterspørgsel

Dansk pengeefterspørgsel 45 Dansk pengeeferspørgsel 98 Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I den økonomiske lieraur har pengeeferspørgselsfunkioner ilrukke sig beydelig opmærksomhed. De skyldes

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRY=KDERWLQVN\UHDNWLRQ. Abstract

7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRY=KDERWLQVN\UHDNWLRQ. Abstract Absrac 7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRYKDERWLQVN\UHDNWLRQ Ved hjælp af umerisk og maemaisk aalyse udersøges e model for e lukke Belousov-Zhaboisky reakio, som er e redo-reakio mellem broma og malosyre kaalysere

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7 GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER Slides il Makro 2, Forelæsning 9 31. okober 2005 Chaper 7 Hans Jørgen Whia-Jacobsen Ocober 26, 2005 De klassiske økonomer, Smih, Ricardo, Malhus m.fl.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere