Fortolkning, illustration mm. af interaktion i lineære regressionsmodeller ved hjælp af MS Excel og SPSS

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fortolkning, illustration mm. af interaktion i lineære regressionsmodeller ved hjælp af MS Excel og SPSS"

Transkript

1 Fortolkning, illustration mm. af interaktion i lineære regressionsmodeller ved hjælp af MS Excel og SPSS KIM MANNEMAR SØNDERSKOV Tlf INSTITUT FOR STATSKUNDSKAB AARHUS UNIVERSITET UNIVERSITETSPARKEN 8000 ÅRHUS C Version 1.6 December 2010

2 0. Indledning 1 Denne note gennemgår hvordan interaktion i lineære regressionsmodeller kan illustreres grafisk og behandler nogle yderligere forhold omkring interaktionsmodeller særligt deres fortolkning. Notatet bygger på Brambor et al. (2006) og Kam & Franzese (2007) samt delvist Agresti & Finlay (2009). Se endvidere Sønderskov og Nielsen (2009) for en mere detaljeret og avanceret behandling af illustrationsdelen. Gennemgangen tager udgangspunkt i en model med følgende variable: Y en metrisk afhængig variabel X 1 en metrisk uafhængig variabel som interessen samler sig om (den primære variabel) X 2 en metrisk uafhængig variabel, som potentielt modererer X 1 s effekt på Y X 1 X 2 interaktionsleddet, som er dannet med krydsproduktet mellem X 1 og X 2 K en metrisk kontrolvariabel, som ikke indgår i interaktionsleddet Det vil løbende blive beskrevet, hvordan den primære og den modererende variabel kan erstattes med kategoriske variable. Bemærk at X 1 og X 2 samlet kaldes de konstituerende led eller 1. ordensleddene, mens interaktionsleddet også kaldes 2. ordensleddet. Test, fortolkning og illustration af interaktionsmodeller vil typisk følge en procedure a la denne: 1. Problemstilling, teori, hypotese og model 2. Operationalisering og dannelse af interaktionsled 3. Estimation af interaktionsmodellen 4. Vurdering af forudsætninger 5. Rapportering af relevante estimater/statistikker 6. Fortolkning af koefficienter og tilhørende P-værdier 7. Illustration af den forudsagte sammenhæng mellem X 1 og Y ved udvalgte niveauer af X 2 8. Beregning af signifikansniveauer for X 1 ved udvalgte niveauer af X 2 9. Konklusion på problemstillingen Dette notat er struktureret efter denne procedure, om end punkt 4 og 9 kun behandles overfladisk. 1. Problemstilling, teori, hypotese og model Proceduren eksemplificeres med følgende problemstilling: Er effekten af ulandsbistand på økonomisk vækst betinget af kvaliteten af de statslige institutioner, der er til stede i bistandsmodtagerlandene? Sagt på en anden måde: modererer kvaliteten af statslige institutioner ulandsbistands effekt på økonomisk vækst? På baggrund af litteraturen (fx Burnside & Dollar, 2000) kan det forventes at ulandsbistand har den mest positive effekt på økonomisk vækst i lande, hvor de statslige institutioner understøtter vækst (fx ved fravær af korruption og tilstedeværelse af institutionelle mekanismer, der sikrer at politikerne bliver holdt ansvarlige for deres handlinger). 1 Notatet er skrevet med udgangspunkt i SPSS/PASW Statistics 18 og MS Excel Tak til Simon Calmar Andersen, Helene Marie Fisker, Jacob Seier Petersen, Lars Engelbrecht Jensen, Lasse Laustsen, Peter Thorgård og Søren Heldgaard Olesen for konstruktive kommentarer og forslag. 1

3 Hypotesen er dermed at ulandsbistand har den mest positive effekt i lande, hvor kvaliteten af de statslige institutioner er høj. Denne problemstilling og hypotese er oplagt at undersøge ved hjælp af en interaktionsmodel, da der forventes en interaktiv sammenhæng mellem ulandsbistand (den primære variabel (X 1 )) og økonomisk vækst (Y) på den måde at effekten af ulandsbistand forventes at variere afhængigt af institutionel kvalitet (den modererende variabel (X 2 )). Figur 1 illustrerer denne forventning. Figur 1: Forventet sammenhæng X 1 : Ulandbistand Y: Vækst X 2 : Institutionel kvalitet Modelopbygningen bør følge de samme procedurer som enhver test af kausale påstand med multipel regression hvilket blandt andet betyder at modellen bør inkludere alle relevante kontrolvariable (jf. Stubager & Sønderskov, 2011). Her inkluderes for eksemplets skyld en enkelt kontrolvariabel: initial velstand altså velstand på et tidligere tidspunkt. Logikken bag inddragelsen af denne kontrolvariabel er, at velstående lande har tendens til at have lavere vækstrater end fattigere økonomier (se fx Justesen, 2006). Samtidigt er det yderst plausibelt at fortidige velstandsniveauer påvirker såvel fremtidige niveauer af ulandsbistand og institutionel kvalitet Operationalisering og dannelse af interaktionsled Den afhængige variabel (Y), økonomisk vækst, operationaliseres som den gennemsnitlige årlige vækst i brutto nationalproduktet (BNP) i perioden , og måles med data fra Verdensbankens World Development Indicators (WDI) (Verdensbanken, 2010) samt fra Penn World Tables (2010). Den primære uafhængige variabel (X 1 ), ulandsbistand, operationaliseres som gennemsnitlig modtaget ulandsbistand per indbygger i perioden målt i amerikanske dollars (2000 niveau). Data er fra WDI. Den modererende variabel (X 2 ), institutionel kvalitet, operationaliseres som den gennemsnitlige score på fem indikatorer angående kvaliteten af statslige institutioner i år 2000 (Worldwide Governance Indicators fra Verdensbanken (2010)). Da denne variabel ikke har en meningsfuld skala er den reskaleret så den går fra 0 til 1, hvor 1 udtrykker det højeste kvalitetsniveau af statslige institutioner blandt de inkluderede lande. Kontrolvariablen (K) Initial velstand operationaliseres som BNP per capita i år 1990 og måles med data fra samme kilder som vækstvariablen. 2 Bemærk at modellen ikke er uproblematisk; der kan nemt identificeres flere relevante kontrolvariable (se Justesen, 2006), endogenitetsbias kan ikke afvises og, som det vil fremgå om lidt, stikprøven er ikke en stikprøve. Resultaterne skal derfor tages med visse forbehold og tjener primært som eksempel. 2

4 Tabel 1 viser deskriptive statistikker for modellens variable, hvor i_aidxinsti er interaktionsleddet. Dette led er dannet i SPSS med følgende kommando (hvor bistand og instikval er navnene på hhv. X 1 og X 2 i datasættet): COMPUTE i_aidxinsti = bistand*instikval. Tabel 1: Deskriptive statistikker for inkluderede variable (i SPSS-format) 3 3. Estimation af interaktionsmodellen Y X 1 X 2 K X 1 X 2 Estimation af lineære interaktionsmodeller foregår på samme måde som andre multiple regressionsmodeller. I nærværende tilfælde estimeres følgende model: E(Y) = α + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X 2 + β 4 K Bemærk at både de konstituerende led (X 1 og X 2 ) samt interaktionsleddet er inkluderet i modellen. Interaktionsmodeller skal som udgangspunkt indeholde alle konstituerende led. Estimationsresultaterne fremgår af Tabel 2. Tabel 2: Parameterestimater mm. fra interaktionsregressionen 3 Bemærk at SPSS-output normalt ikke regnes for fyldestgørende til eksamen i Metode på Institut for Statskundskab. 3

5 4. Vurdering af forudsætinger Vurderingen af hvorvidt forudsætningerne er opfyldt i nærværende eksempel gennemgås ikke her, men i interaktionsmodeller gælder de samme forudsætninger som i normale additive regressionsmodeller (se fx Stubager & Sønderskov, 2011). Dog vil man normalt ikke undersøge linearitetsforudsætningen for interaktionsleddet samt de konstituerende led (altså X 1 X 2, X 1 og X 2 ), da dette ikke umiddelbart er muligt (jf. Stubager & Sønderskov, 2011: note 9). Linearitetsforudsætningen for disse variable må derfor blot antages at være opfyldt. Derudover vil man normalt se bort fra multikollinearitetsproblemer, der vedrører interaktionsleddet og de konstituerende variable (jf. note 4 nedenfor). Det bør i denne sammenhæng bemærkes at centrering af variable ikke løser multikollinearitetsproblemer (som det ellers anføres visse steder og antydes i Agresti & Finlay, 2009: 343f). 5. Rapportering af relevante estimater/statistikker Figur 2 viser hvordan afrapportering af estimationsresultaterne kan tage sig ud. Figur 2: Forslag til afrapportering af resultater 6. Fortolkning af koefficienter og tilhørende P-værdier Det første man bør bemærke i forbindelse med resultaterne fra en interaktionsmodel er P- værdien for interaktionsleddet (X 1 X 2 ). Hvis interaktionsleddet er insignifikant ved konventionelle niveauer, er konklusionen, at der ikke er interaktion. I vort tilfælde ville et insignifikant interaktionsled indikere, at effekten af ulandsbistand ikke afhænger af institutionel kvalitet. I 4

6 sådanne tilfælde vil en interaktionsanalyse typisk stoppe her. 4 Næste skridt vil typisk være at se på fortegnet for interaktionsleddet. Fortegnet angiver modellens bud på om effekten af den primære variable på E(Y) stiger (+) eller falder (-) når den modererende variabel stiger. Dette skal forstås numerisk; fortegnet viser om effekten falder eller stiger numerisk set og dermed ikke nødvendigvis om effekten bliver større eller mindre i absolutte termer. I nærværende tilfælde viser fortegnet, at effekten af ulandsbistand stiger (bliver mere positiv) når kvaliteten af de statslige institutioner stiger. Dette understøtter hypotesen, da resultaterne indikerer at effekten af ulandsbistand er mere positiv i lande med velfungerende institutioner end i lande med ringere institutioner. I visse tilfælde kunne analysen stoppe her, da hypotesen på sin vis er undersøgt. I langt de fleste tilfælde vil man dog gå videre. I nærværende tilfælde er interaktionsleddet signifikant (på 0,05-niveauet) og det kan på den baggrund konkluderes at effekten af ulandsbistand på økonomisk vækst varierer med kvaliteten af statslige institutioner. Næste skridt vil være at se på koefficienten for interaktionsleddet. Koefficienten viser modellens bud på hvor meget koefficienten for X 1 (βx 1 ) ændrer sig, når X 2 ændres med +1. I nærværende tilfælde er fortolkningen af koefficienten (+0,18), at effekten af ulandsbistand på vækst stiger med 0,18 når institutionel kvalitet stiger med 1. Da institutionel kvalitet her er skaleret fra 0 til 1, udtrykker koefficienten ændringen i effekten af bistand, når institutionel kvalitet ændres fra minimumsværdien til maksimumsværdien. Koefficienten og signifikanstesten for X 1 har også en direkte fortolkning, men man vil dog sjældent fortolke indgående på disse værdier. I stedet vil man oftest illustrere sammenhængen som gennemgået nedenfor. For fuldstændighedens skyld gennemgås fortolkningen af koefficienten og P-værdien for X 1 dog her. Koefficienten for X 1 udtrykker den estimerede ændring i E(Y) når X 1 ændres med +1 for X 2 =0. På et enkelt punkt adskiller dette sig fra tolkningen i en model uden interaktion. I en sådan model udtrykker koefficienten for X 1 den estimerede ændring i E(Y) når X 1 stiger 1 og når X 2 holdes konstant. Med andre ord er fortolkningen af koefficienten for X 1 delvist den samme som i en model uden interaktion, men adskiller sig på den måde, at X 2 ikke bare er holdt konstant, men holdt på niveauet 0. 5, 6 Pointen i interaktionsmodeller er jo, at effekten af X 1 på Y ændres når X 2 ændres. I en interaktionsmodel giver det derfor ikke mening at tale om 4 Bemærk dog at grundet multikollinearitet vil standardfejlen for interaktionsleddet (og de konstituerede led) ofte være høje, hvilket betyder, at der med en vis sandsynlighed begås en type II-fejl når insignifikante interaktionsled medfører afvisning af interaktion. På trods af dette er standarden i litteraturen at afvise interaktion når P-værdien for interaktionsleddet er over konventionelle niveauer. Bemærk også at interaktionsmodeller med krydsprodukter kun kan afgøre om X 1 s effekt på Y er monotomt stigende eller faldende med X 2. På den baggrund kan man med en krydsproduktsinteraktionsmodel ikke afvise at andre former for interaktion forekommer, eksempelvis at effekten først stiger og siden falder. 5 Fortolkningen af koefficienten for X 2 er parallel til fortolkningen for X 1. Koefficienten for X 2 udtrykker ændringen i Y når X 2 stiger 1 for X 1 =0. Koefficienter for variable der ikke indgår i interaktionsled (her BNP per capita) har helt samme fortolkning som i modeller uden interaktion: Koefficienten udtrykker ændringen i Y-hat når variablen stiger 1 og alle øvrige variable holdes konstant. 6 Bemærk at koefficienten for X 1 kan være meningsløs, hvis X 2 ikke antager værdien 0 helt på samme måde som konstanten fra alle typer regressionsmodeller kan være meningsløs hvis 0 ligger udenfor observationsområdet. 5

7 effekten af X 1 på Y når X 2 holdes konstant. I nærværende eksempel viser koefficienten på -0,09, at ulandsbistand ifølge modellen har en negativ effekt på den økonomiske vækst i lande med relativt dårlige institutioner (IK=0). Fortolkningen af P-værdier er derimod helt analogt til modeller uden interaktion. Det betyder her at den negative effekt af bistand under relativt dårlige institutioner er statistisk signifikant. Resultaterne fortæller os blandt andet følgende: Effekten af ulandsbistand på økonomisk vækst afhænger af kvaliteten af de institutioner, der er til stede i de lande der modtager bistand. Effekten stiger når kvaliteten stiger, og denne stigning er statistisk signifikant dette fremgår af det positive og signifikante interaktionsled. Derudover fremgår det, at ulandsbistand har en signifikant negativ effekt på vækst i lande med relativt ringe statslige institutioner (da koefficienten for X 1 udtrykker effekten af X 1 for X 2 =0). Endelig kan man forholdsvis nemt udregne, at i lande med relativt gode institutioner (X 2, institutionel kvalitet = 1) er effekten af ulandsbistand 0,09: (bx 1 X 2 =1) = (b ulandsbistand IK = 1) = bx 1 + 1*bX 1 X 2 = -0,09+0,18 = 0,09 - da bx 1 X 2 (0,18) netop udtrykker forskellen i effekten af X 1 når X 2 stiger med 1. Med andre ord er der altså en positiv effekt af ulandsbistand i lande med relativt velfungerende institutioner. Hvad resultaterne ikke umiddelbart fortæller os, er om denne effekt er signifikant forskellig fra 0 og heller ikke hvad effekten af ulandsbistand er ved andre niveauer af X 2. Typisk vil disse forhold også være interessante og relevante i fortolkningen, hvorfor videre arbejde er nødvendigt. Den videre proces kan inddeles i to procedurer: 1) Illustration af sammenhængen mellem den primære variabel (X 1 ) og Y ved udvalgte niveauer af den modererende variabel (X 2 ). 2) beregning af hvornår den primære variabel har en signifikant effekt på Y. Resten af notatet omhandler disse to procedurer. 7. Illustration af den forudsagte sammenhæng mellem X1 og Y ved udvalgte niveauer af X2 Figur 3 er et (foreløbigt) eksempel på hvordan den forudsagte sammenhæng mellem ulandsbistand og økonomisk vækst kan illustreres kan illustreres ved udvalgte niveauer af institutionel kvalitet. 6

8 Figur 3: Foreløbigt eksempel på illustration af resultaterne Som vi skal se om lidt er figuren dannet på baggrund at estimationsresultaterne som fremkom ovenfor. Figuren illustrerer den interaktive sammenhæng mellem ulandsbistand og vækst, idet den fremhæver at sammenhængen mellem de to variable afhænger af niveauet på variablen Institutionel kvalitet. Mere konkret viser figur 3 at stigende ulandsbistand medfører faldende vækst i lande med relativt dårlige institutioner (IK=0) eller rettere at ulandsbistand medfører negativ vækst i sådanne lande. Dette resultat svarer til koefficienten for ulandsbistand som vi estimerede ovenfor (b udlandsbistand = bx 1 = -0,09). Den øverste linje viser at stigende bistand medfører øget vækst i lande med relativt gode institutioner (IK=1). Dette resultat svarer til beregningen der blev foretaget ovenfor, hvor b udlandsbistand blev beregnet for IK = 1. Den mellemste linje viser sammenhængen mellem ulandsbistand og vækst ved IK=0,41, som er gennemsnittet for institutionel kvalitet i stikprøven (jf. Tabel 1). De følgende afsnit gennemgår, hvordan Figur 3 er dannet. Første skridt i denne procedure er at afgøre, hvor mange og hvilke niveauer af den modererende variabel (X 2, her IK), sammenhængen mellem X 1 og Y skal vises for. Typisk vil man illustrere sammenhængen for 3-4 niveauer af den modererende variabel. 7 Hvilke niveauer af den modererende variabel sammenhængen bør vises for er svært at sige generelt, da problemstillingen eller andre forhold vil spille ind her. To generelle muligheder er dog at vise sammenhængen mellem X 1 og Y ved følgende niveauer af den modererende variabel: X 2 = minimum, middel, maksimum eller X 2 = 25. percentiel, middel/median, og 75. percentiel hvor den sidstnævnte kombination i mange tilfælde vil være den mest oplagte, da sammenhængen dermed illustreres for ikke-ekstreme værdier af X 2. Her er sammenhængen mellem ulandsbistand og økonomisk vækst dog beregnet for X 2 = min/middel/max altså for 7 Hvis den modererende variabel er kategorisk vil man naturligt anvende disse kategorier i illustrationen. 7

9 institutionel kvalitet = 0, 0,41 og 1 (jf. Tabel 1). Andre værdier kan også være meningsfulde, men X 2 -værdierne bør ligge indenfor (eller tæt på) observationsområdet på X 2 ellers vil der være tale om (meningsløs) ekstrapolation. Næste skridt er at vælge, hvilken range af X 1 -værdierne sammenhængen skal vises for, altså spændet på X-aksen i figuren. Det oplagte valg er spændet (range) mellem minimum og maksimum for X 1 -værdierne i stikprøven (eller hele tal der ligger tæt herpå). Her er følgende range valgt: (jf. Tabel 1). At vise sammenhængen for X 1 -værdier udenfor observationsområdet ville være ekstrapolation. Hvis der er øvrige variable i modellen skal disse holdes konstant på et fastsat niveau i illustrationen typisk middel, median eller mode. Her vælges det at sætte BNP per capita til middelværdien (= 5.845). Bemærk at dette niveau bør fremgå i noterne til figuren (hvilket det endnu ikke gør ) Resten af illustrationsarbejdet kan udføres i Excel. Det er en god ide at kopiere estimationsresultaterne fra SPSS til Excel, da man dermed har de relevante tal ved hånden. Dette minimerer muligheden for fejl. Efter kopiering indtastes navnet på den primære variabel som den skal fremstå på X-aksen i en tom celle (her Ulandshjælp/capita jf. Figur 4). I de to celler under denne celle indtastes rangen for X-værdierne (her 0 og 130). Til venstre for navnet på X-aksen indtastes navnet på den modererende variabel samt de værdier den sættes til. Her forkortes Institutionel kvalitet til IK jf. figur 4. Figur 4: Forberedelse af et Excel-ark For at vise den forudsagte sammenhæng mellem X 1 og Y ved forskellige niveauer af X 2 skal Y-hat beregnes for yderpunkterne for X 1 (her 0 og 130) for hver af de værdier af X 2 som vi har valgt at vise sammenhængen for (her 0; 0,41 og 1). Med andre ord skal Y-hat beregnes ved at indsætte parameterestimaterne og de fastsatte værdier for X 1, X 2 og kontrol ind i følgende ligning: Y-hat = a + b 1 x 1 + b 2 X 2 + b 3 X 1 X 2 +b 4 *k 8

10 Figur 5 viser, hvordan Y-hat for Ulandshjælp=0 og IK=0 beregnes. I feltet indtastes ligningen for Y- hat ved at indsætte parameterestimaterne og de værdierne der blev fastsat ovenfor bemærk hvordan SPSS-outputtet anvendes direkte i beregningen. De øvrige kombinationer af X 1 og X 2 beregnes på samme måde og Figur 6 viser beregningen for Y-hat for Ulandhjælp = 130 og IK = 1. Figur 5: Beregning af Y-hat for Ulandshjælp=0 og IK=0 b for X2 X2 = 0 her b for X1X2 Konstanten X1 = 0 her b for X1 X1 og X2 = 0 her b for Kontrol Kontrol = middel 9

11 Figur 6: Beregning af Y-hat for Ulandhjælp = 130 og IK = 1 Når Y-hat er beregnet for alle kombinationer kan sammenhængen illustreres. Marker dataområdet som vist i Figur 7, klik på fanen Indsæt, på Punktdiagram > Punktdiagram med lige streger. Den resulterende graf vender i de fleste tilfælde forkert, hvilket afhjælpes ved (på fanen Design) at klikke på Skift række/kolonne se Figur 7. Figur 7: Illustration Med lidt arbejde, lidt held og særligt ved hjælp af Fanen Layout kan man få grafen til at se ud som vist i Figur 3, ovenfor Havde X 1 været kategorisk er det lettere misvisende at fremstille sammenhængen som ovenfor, da X 1 og dermed og Y-hat ikke antager værdierne indikeret i figuren. For eksemplets skyld kunne vi forestille os at ulandsbistand kun antager to værdier lav og høj i dette tilfælde kan man overveje at fremstille sammenhængen som vist i Figur 8. 10

12 Figur 8: Grafisk illustration med X 1 som kategorisk variabel 20 Gennemsnitlig årlig vækst (%) IK=0 IK=0,41 IK=1-15 LAV Ulandsbistand/capita (US$) HØJ 8. Beregning af signifikansniveauer for X1 ved udvalgte niveauer af X2 Figur 3 (og til dels Figur 8) viser den forudsagte sammenhæng mellem ulandbistand og vækst ved udvalgte niveauer af institutionel kvalitet. Hvad figuren i midlertidig ikke viser er, om de enkelte sammenhænge mellem ulandsbistand og vækst er signifikante. Ovenfor, i afsnit 6, fandt vi at sammenhængen er signifikant negativ for IK=0, mens vi ikke kender signifikansniveauerne for de øvrige sammenhænge. Disse kan beregnes i hånden, men det er nemmere at lade SPSS beregne dem. Konkret gøres det ved at udnytte at SPSS beregner signifikansniveauet for X 1 ved X 2 = 0. Man kan altså omkode X 2 så den har nulpunkt, der hvor man gerne vil beregne signifikansniveauet for X 1. Med andre ord kan man parallelforskyde X 2 til X 2 * der har nulpunkt der hvor vi vil signifikansteste og derefter estimere modellen med den omkodede X 2 = X 2 * (og X 1 X 2 *) I nærværende tilfælde skal vi have dannet to ny variable (da vi allerede har signifikanstesten for den ene af de tre linjer: for IK=0). Disse skal have nulpunkt ved henholdsvis X 2 =0,41 og X 2 =1. Vi skal altså have trukket henholdsvis 0,41 og 1 fra X 2. COMPUTE x2middel=instikval COMPUTE x2max=instikval-1. Dernæst skal der dannes to nye interaktionsled med disse nye variable COMPUTE i_middel = x2middel*bistand. COMPUTE i_max =x2max*bistand. Endelig skal sammenhængene estimeres igen med de nye variable. Dette resulterer i nedenstående estimater, hvor det første output (bl.a.) viser koefficienten og signifikanstesten for X 1 ved X 2 = middel og det andet for X 1 ved X 2 = max. 11

13 Tabel 3: Estimater med parallelforskudte X 2 -værdier Det fremgår at den svage negative effekt af ulandshjælp med gennemsnitlige institutioner er insignifikant (P= 0,24), mens den positive effekt af bistand under de bedste institutioner ikke er signifikant på 0,05-niveauet, men på 0,1-niveauet (P=0,06). Disse beregninger kan tilføjes illustrationen som vist i Figur 9 der samtidigt indeholder de informationer, der kan siges at være nødvendige i forbindelse illustration af interaktionsmodeller. 12

14 Figur 9: Forslag til illustration af interaktionsmodeller 9. Konklusion Overlades i dette tilfælde til læseren (hvilket dog ikke kan anbefales i en eksamenssituation ) Litteratur Agresti, A. & Finlay, B. (2009). Statistical methods for the social sciences, Fourth edn. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. Brambor, T., Clark, W.R., & Golder, M. (2006). Understanding Interaction Models: Improving Empirical Analyses. Political Analysis, 14(1), Burnside, C. & Dollar, D. (2000). Aid, Policies, and Growth. American Economic Review, 90(4), Justesen, M.K. (2006). Politiske institutioner og økonomisk vækst. Politica, 38(3), Kam, C.D. & Franzese, R.J. (2007). Modeling and Interpreting Interactive Hypotheses in Regression Analysis. Ann Arbor: University of Michigan Press. Penn World Tables (2010). Penn World Tables v6.2 fra Data hentet 6. marts Stubager,R. & Sønderskov,K.M. (2011). Forudsætninger for lineær regression og variansanalyse efter mindste kvadraters metode, 5. udg., Århus: Institut for Statskundskab. Sønderskov, K.M. og Nielsen,J. (2009). Illustration af interaktionsmodeller i Stata, 3. udgave. Pt. tilgængelig på IFSK s interne drev: N:\STAFF\Soenderskov\Noter. Verdensbanken (2010) Wold development indicators fra Data hentet 6. marts

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

FORUDSÆTNINGER FOR LINEÆR REGRESSION OG VARIANSANALYSE EFTER MINDSTE KVADRATERS METODE

FORUDSÆTNINGER FOR LINEÆR REGRESSION OG VARIANSANALYSE EFTER MINDSTE KVADRATERS METODE FORUDSÆTNINGER FOR LINEÆR REGRESSION OG VARIANSANALYSE EFTER MINDSTE KVADRATERS METODE AF RUNE STUBAGER & KIM MANNEMAR SØNDERSKOV 5. udgave, januar 2011 DEPARTMENT OF POLITICAL SCIENCE Aarhus University

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere

Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere Bilag I afrapportering af signifikanstest i tabeller i artikel er der benyttet følgende illustration af signifikans: * p

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Quick Guide til RKKP-dokumentation.dk. - Find rundt i databasernes dokumentation i online systemet på RKKP-Dokumentation.dk

Quick Guide til RKKP-dokumentation.dk. - Find rundt i databasernes dokumentation i online systemet på RKKP-Dokumentation.dk Quick Guide til RKKP-dokumentation.dk - Find rundt i databasernes dokumentation i online systemet på RKKP-Dokumentation.dk Kontakt: Ann Qvist Rasmussen E-mail: anncrs@rm.dk Version 1.0 Senest redigeret:

Læs mere

Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater

Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater 17. december 2013 Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater Dette notat redegør for den økonometriske analyse af betydningen af grundskolelæreres gennemsnit fra gymnasiet

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

ØGET ØKONOMISK FRIHED TRÆKKER I RETNING AF MINDRE DYBE KRISER

ØGET ØKONOMISK FRIHED TRÆKKER I RETNING AF MINDRE DYBE KRISER Af Cheføkonom Mads Lundby Hansen Direkte telefon 21 23 79 52 24. august 2015 ØGET ØKONOMISK FRIHED TRÆKKER I RETNING AF MINDRE DYBE KRISER En stigning i økonomisk frihed på 10 pct.point vil medføre en

Læs mere

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0. Opgave 6 Vi sætter P = 1000 og isolerer x i ligningen Se Bilag 2! P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.6 ( 10 y 0.4 )1 /0.6 = x 10 1 /0.6 y 0.4 /0.6 = x x = 10 5 /3

Læs mere

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4 Indholdsfortegnelse INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF OULATIONEN... 4 DELOGAVE 1...5 BEGREBSVALIDITET... 6 Differentiel item funktionsanalyser...7 Differentiel item effekt...10 Lokal

Læs mere

Hvad kan forklare danmarks eksport mønster?

Hvad kan forklare danmarks eksport mønster? Organisation for erhvervslivet Januar 2010 Hvad kan forklare danmarks eksport mønster? AF CHEFKONSULENT MORTEN GRANZAU NIELSEN, MOGR@DI.DK en nyudviklet eksportmodel fra DI kan forklare 90 pct. af Danmarks

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Baggrundsnotat: Modelteknisk

Baggrundsnotat: Modelteknisk Sekretariatet for Energitilsynet Baggrundsnotat: Modelteknisk materiale Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Center for Varme Tekniske bilag I dette baggrundsnotat gennemgås de økonometriske forhold

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Praktikpladsmangel øger risiko for at ende i passivitet

Praktikpladsmangel øger risiko for at ende i passivitet Praktikpladsmangel øger risiko for at ende i passivitet Mangel på praktikpladser fører til at flere unge står uden job eller uddannelse. Ceveas beregninger viser, at hvis alle kommuner var lige så gode

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Analyse af sociale baggrundsfaktorer for elever, der opnår bonus A

Analyse af sociale baggrundsfaktorer for elever, der opnår bonus A Analyse af sociale baggrundsfaktorer for elever, der opnår bonus A Analyse af sociale baggrundsfaktorer for elever, der opnår Bonus A Forfattere: Jeppe Christiansen og Lone Juul Hune UNI C UNI C, juni

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Basal Statistik. Praktiske bemærkninger om kurset. Lene Theil Skovgaard. 1. september 2015

Faculty of Health Sciences. Basal Statistik. Praktiske bemærkninger om kurset. Lene Theil Skovgaard. 1. september 2015 Faculty of Health Sciences Basal Statistik Praktiske bemærkninger om kurset. Lene Theil Skovgaard 1. september 2015 1 / 19 Undervisningstider Forelæsninger tirsdag 10.15 13.00 for ca. 125 personer (i princippet)

Læs mere

Basal Statistik. Undervisningstider. Formål med kurset. Faculty of Health Sciences. Praktiske bemærkninger om kurset.

Basal Statistik. Undervisningstider. Formål med kurset. Faculty of Health Sciences. Praktiske bemærkninger om kurset. Faculty of Health Sciences Undervisningstider Basal Statistik Praktiske bemærkninger om kurset. Lene Theil Skovgaard 1. september 2015 Forelæsninger tirsdag 10.15 13.00 for ca. 125 personer (i princippet)

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger.

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. N O T A T Filial eller netbank 24. oktober 2013 Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. Ved seneste opgørelse i 2012 brugte

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Teknikker til analyse af tal med Excel

Teknikker til analyse af tal med Excel 1 Appendiks 2 Teknikker til analyse af tal med Excel Dette appendiks indeholder mange gentagelser fra kapitel 10, afsnit 4 Teknikker til analyse af tal i Den skinbarlige virkelighed) dog med den forskel,

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Syddansk Universitet i Odense. Samfundsvidenskabelig metode og videnskabsteori. Ulandshjælp

Syddansk Universitet i Odense. Samfundsvidenskabelig metode og videnskabsteori. Ulandshjælp Syddansk Universitet i Odense Samfundsvidenskabelig metode og videnskabsteori Ulandshjælp En kvantitativ undersøgelse af danskernes holdninger til ulandshjælp med særlig fokus på betydningen af tillid

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011

Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011 Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011 Udarbejdet af Scharling Research for redaktionen af Folkeskolen, november 2011 Scharling.dk Formål Denne rapport har til hensigt at afdække respondenternes kendskab

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank.

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank. De danske huspriser homes husprisindeks København den 1. sept. 7 For yderligere information: Steen Bocian, Danske Bank +5 5 1 5 31, stbo@danskebank.dk Niels H. Carstensen, home +5 15 3 nica@home.dk Den

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Baggrundsnotat: Undervisningstimer på universitetet

Baggrundsnotat: Undervisningstimer på universitetet 17. december 2013 Baggrundsnotat: Undervisningstimer på universitetet Dette notat redegør for den økonometriske analyse af sammenhængen mellem undervisningstid og indkomst i afsnit 5.3 i Analyserapport

Læs mere

Indledende analyser af forsøg med modersmålsbaseret undervisning

Indledende analyser af forsøg med modersmålsbaseret undervisning US AARH Indledende analyser af forsøg med modersmålsbaseret undervisning Rapport udarbejdet for Undervisningsministeriet Marts 2014 Simon Calmar Andersen Maria Humlum Anne Brink Nandrup Institut for Statskundskab

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet

Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet N O T A T Tilstanden på de finansielle markeder har større betydning for væksten i Danmark end i euroområdet 26. februar 2010 Konklusioner Finansrådets analyse viser, at forholdene på de finansielle markeder

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Køber gifte kvinder flere aktier?

Køber gifte kvinder flere aktier? Køber gifte kvinder flere aktier? Baggrund og resumé Finansrådet undersøger i denne analyse, hvordan ændringer i ægteskabsstatus påvirker kvinders og mænds deltagelse på aktiemarkedet og deres risikovillighed.

Læs mere

Indledning. På de følgende sider vises, primært i tegneserieform, lidt om mulighederne i PC-AXIS for Windows.

Indledning. På de følgende sider vises, primært i tegneserieform, lidt om mulighederne i PC-AXIS for Windows. Indledning PC-AXIS for Windows er et talbehandlingsprogram, der kan håndtere store mængder statistisk materiale. PC-AXIS giver mulighed for at arbejde videre med det statistiske materiale i egne programmer

Læs mere

Store forskelle i varmepriserne hvorfor?

Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Der er store prisforskelle på fjernvarme rundt om i landet. Energitilsynet analyserer her, hvordan brændselsvalg, beliggenhed i forhold kunderne, størrelse og ejerskab

Læs mere

Effektmålsmodifikation

Effektmålsmodifikation Effektmålsmodifikation Mads Kamper-Jørgensen, lektor, maka@sund.ku.dk Afdeling for Social Medicin, Institut for Folkesundhedsvidenskab It og sundhed l 21. april 2015 l Dias nummer 1 Sidste gang Vi snakkede

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh141-mat/b-23052014 Fredag den 23. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh11-mat/b-70501 Mandag den 7. maj 01 kl. 9.00-1.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER 5.1 TRIN

5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER 5.1 TRIN 5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER Under fanen Dok. skabeloner kan du arbejde med de skabeloner som du har i systemet, eller du kan oprette nye. I denne vejledning kigger vi på hvordan du kan tilrette selve

Læs mere

Gymnasiekarakterers betydning for succes på videregående uddannelser

Gymnasiekarakterers betydning for succes på videregående uddannelser Gymnasiekarakterers betydning for succes på videregående uddannelser En undersøgelse af gymnasiekarakterers relevans som udvælgelseskriterie til de videregående uddannelser 1 Gymnasiekarakterers betydning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Beregneren Skole-Hjem-udgaven - Tillæg til vejledning til brug af Beregneren med kriteriescorer

Beregneren Skole-Hjem-udgaven - Tillæg til vejledning til brug af Beregneren med kriteriescorer Beregneren Skole-Hjem-udgaven - Tillæg til vejledning til brug af Beregneren med kriteriescorer Introduktion Denne vejledning skal ses som et tillæg til i Vejledningen til Beregneren i standardudgaven.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KALUNDBORG FORSYNING Totalrapport December 2013 INDHOLD 3 HOVEDRESULTATER OPSUMMERET 4 OM DENNE RAPPORT 4 EFFEKTANALYSE 5 OPBYGNING AF RAPPORTEN 6 DEL 1: OVERORDNEDE RESULTATER

Læs mere