gudmandsen.net Integraler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "gudmandsen.net Integraler"

Transkript

1 gudmandsen.net Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler... Omvendt differentialkvotient Stamfunktioner til simple funktioner Integrationsprøven (omvendt differentiation) Regneregler for uestemte integraler Bevis for sum og differens Bevis for skalar Partiel integration Udledning af partiel integration Integration ved sustitution Udledning af integration ved sustitution... 4 Det estemte integrale Summer Arealfunktionen Integrael funktion Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale Nummerisk areal Areal mellem graferne for to funktioner Buelængde Volumen af omdrejningslegeme Bevis for volumen af omdrejningslegeme Volumen mellem omdrejningslegemer for graferne for flere funktioner Overfladeareal af omdrejningslegeme Gariels trompet Regneregler for estemte integraler Relationer Sum og differens Bevis for sum og differens Skalar Bevis for skalar Partiel integration Integration ved sustitution Bevis for integration ved sustitution Omyttede grænser ved estemt integration Bevis for omyttede grænser Indskudsreglen Bevis for indskudsreglen Middelværdi...43 integrale_a.odt Side /43 Jako Gudmandsen:

2 Integraler Efter at kende til differentialkvotient, som en metode til at finde den asolutte funktionstilvækst, tangentens hældning, kunne det være interessant at finde den inverse operator, som (måske) kan finde tilage til den oprindelige funktion. Det viser sig at denne kan ruges til flere andre ting, herunder eregning af areal, volumen, kurvelængde m.m. Omvendt differentialkvotient En stamfunktion kan opfattes som en operator, som den inverse operator til differentialoperatoren ved navn integraleoperatoren, hvorved det i princippet - er muligt at finde den oprindelige funktion til en afledet funktion. Illustration : Integration som omvendt differentialkvotient Desværre går der nogle oplysninger tat ved differentialoperatoren (eksempelvis konstantled), hvorved der opstår en uekendt konstant ved integration af en afledet funktion, kaldet stamfunktionen F(x) til en funktion. Den anden vej går det derimod fint, hvorfor definitionen for stamfunktion er givet ved: d ( F ( x)) = f (x) dx Illustration 2: Integration som omvendt differentialkvotient ver.2 integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

3 I princippet urde det være det samme som den anden vej rundt, men her er det vi skal tilføje en aritrer konstant: d dx ( F ( x)) = f (x) f (x)dx = F ( x)+c Notationerne F(x), f(x), f'(x) m.fl. er i princippet lot et udtryk for hvor mange trin differentialeller integrationsoperatoren har virket på en estemt funktion. Dette illustreres i særdeleshed i forindelse med potensfunktioner, som netop mister en heltallig potens ved hver differentiering. Omvendt stiger potensen et trin ved integration. Illustration 3: Differentialtrappen En stamfunktion kan også udtrykkes som det uestemte integrale. f (x)dx = F ( x)+c d ( f ( x)dx) = d ( F ( x)+c) = f (x) dx dx integrale_a.odt Side 3 /43 Jako Gudmandsen:

4 2 Stamfunktioner til simple funktioner Grundlaget for stamfunktioner ygger på en række løsninger: Funktion f(x) Stamfunktion F(X) f (x) = x n F (x) = n+ xn+ +c, n f (x) = x = x f (x) = 0 F (x) = ln(x)+c F (x) = c f (x) = c = c x 0 F (x) = c x = c x f (x) = e x F (x) = e x +c f (x) = e kx F (x) = k ekx +c f (x ) = ln( x) F (x) = x ln( x) x+c f (x) = a x F (x) = ax ln (a) +c f (x) = x = x ½ F (x) = x 2 +c = 2 x x+c 3 Den aritrere konstant c etyder, at der er uendeligt mange stamfunktioner til en funktion, som lot adskiller sig fra hinanden, ved at have forskellige konstanter lagt til udtrykket grafisk forskudt i y-aksens retning. Eksempelvis kan stamfunktioner til et 2.gradspolynomium findes: 3x 2 2x 9 dx = x 3 x 2 9x+c d dx ( 3x 2 2x 9 dx) = d dx (x3 x 2 9x+c ) 3x 2 2x 9 = 3x 2 2x 9 x 0 q.e.d. Alt efter størrelsen af konstanten c vil denne kunne skitseres grafisk som på Illustration 3 Alle disse stamfunktioner vil have den samme afledte, da netop konstantleddet går ud ved differentiering. integrale_a.odt Side 4 /43 Jako Gudmandsen:

5 Illustration 4: Forskellige stamfunktioner til y = 3x 2-2x-9 2. Integrationsprøven (omvendt differentiation) Da reglerne for differentialkvotienter er accepterede, kan disse ruges til at eftervise postulerede regler for integration, med udgangspunkt i definitionen for stamfunktion: d ( F ( x)) = f (x ) dx Eksempelvis kan regnereglen for stamfunktion til potensfunktioner efterkontrolleres ved hjælp af differentiation: x n dx = n+ x n+ +c d dx ( x n dx) = d dx ( n+ xn+ +c) x n = (n+) n+ xn+ +0 = x n q.e.d. Prøves det samme med den naturlige logaritme, fås: ln(x) dx = x ln(x) x d dx ln( x)dx = d dx ( x ln(x) x ) ln(x) = ln(x)+x = ln( x) x På samme vis kan de øvrige løsninger og regler for åde funktionsudtryk og regneregler i vid udstrækning eftervises. integrale_a.odt Side 5 /43 Jako Gudmandsen:

6 3 Regneregler for uestemte integraler På lige fod med differentialoperatoren findes der en række regneregler for uestemte integraler. Sum og differens Skalar Partiel integration Integration ved sustitution ( f ±g )(x)dx = f (x)dx± g (x)dx k f ( x)dx = k f ( x)dx f ( x) g( x)dx = F (x) g( x) F (x) g ' (x)dx f (g (x)) g ' ( x)dx = F (g(x)) De to første svarer fuldkommen til reglerne for differentialkvotienterne, mens de to næste kræver en dyere forklaring. Tages der udgangspunkt i regneregler for differentialkvotienter, har vi følgende: d ( f ( x)± g (x)) = f ' (x)±g ' (x ) dx d (k f (x)) = k f ' (x) dx d ( f ( x) g (x)) = f ' ( x) g (x)+ f (x) g ' (x) dx d dx ( f ( g (x)) = d ( f (g( x))) = dx f ' (x) g(x) f (x) g ' (x) ( g(x)) 2 f ' ( g( x)) g ' (x) I ovenstående tael gælder alle forholdene for differentiation fra venstre til højre, hvilket må etyde at samme forhold må være gældende ifm. integration fra højre til venstre. d dx ( f ( g (x))) = f ' ( g(x)) g ' ( x) f ' ( g( x)) g' ( x)dx = f ( g (x))+c Dette evis optræder flere steder i lærerøgerne for Matematik A. Samme forhold må gøre sig gældende for de øvrige regneregler for differentialkvotienter, eksempelvis: d dx ( f ( g (x)) = f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x) (g (x)) 2 f ' (x) g (x) f (x) g ' (x) ( g (x)) 2 dx = f (x) g(x) +c integrale_a.odt Side 6 /43 Jako Gudmandsen:

7 d ( f (x) g( x)) = f ' ( x) g(x)+ f (x) g ' (x) dx f ' ( x) g(x)+ f (x) g ' (x)dx = f (x) g(x)+c Førstnævnte (division) er meget sjældent optrædende når der skal løses integraler, men løsning af multiplikater af funktioner kan sagtens ruges til noget fornuftigt. Se Partiel integration side Bevis for sum og differens f ( x)±g (x)dx = f ( x)dx± g (x)dx Ved at anvende integrationsprøven og differentiere egge sider af lighedstegnet ved hjælp af sumreglen for differentiation kan reglen for summen af to funktioner efterprøves: d dx ( f ( x)dx+ g (x)dx) = d dx ( f ( x)dx)+ d dx ( g ( x)dx ) = f ( x)+ g (x) Resultatet er integranden, hvorved reglen er evist. Tilsvarende kan reglen for differens evises Bevis for skalar k f ( x)dx = k f ( x)dx Ved at differentiere egge sider, med reglen for skalar for differentiation fås d dx ( k f (x)dx ) = k d dx ( f ( x)dx) = k f (x ) Resultatet er integranden, hvorved reglen er evist. 3. Partiel integration Parteil integration enyttes ved produkt af to uforenlige funktioner. f ( x) g ( x)dx = F (x) g( x) F (x) g ' (x)dx Det er ligetil at finde en funktion som er produkt af to funktioner og indsætte den i reglen for partiel integration, men der kan være faldgruer og funktioner uden løsninger. Eksempelvis: integrale_a.odt Side 7 /43 Jako Gudmandsen:

8 f (x) = x 2 e x f ( x)dx = x3 3 e x x3 3 e x dx+c I løsningen optræder et nyt integrale, som skal løses med partiel integration og som vil resultere i endnu et integrale, da den aflede til e x jo netop er e x. Der kan altså ikke findes nogen løsning på denne måde. Byttes der derimod om på x 2 og e x, hvilket er fuld ud tilladt ved produkt, giver det en mere konstruktiv eregning: f (x) = e x x 2 f ( x)dx = e x x 2 e x 2x dx+c = e x x 2 (e x 2x e x 2dx)+c = e x x 2 (e x x 2 (e x 2))+c = (x 2 2x+2) e x +c Her er systemet, at sikrer at potensfunktionen indgår i den del af produktet, g(x), som ender i en konstant ved gentagne differentieringer. Ved trigonometriske funktioner vil denne metode typisk ikke kunne ruges, da der aldrig opnås eliminering af sådanne funktioner. e x sin (x)dx = e x sin (x) e x cos( x)dx+c sin( x) e x dx = cos( x) e x cos( x) e x dx+c Både e x og sin(x) liver aldrig elimineret, hvorfor vi kan integrerer for evigt, uden at finde en algeraisk løsning. I sådanne tilfælde kan integraletaeller og/eller CAS 2 være et rugart alternativ. 3.. Udledning af partiel integration Beviset for partiel integration følger samme mønster med 'omvendt differentiation', men er snarere udtrykt ved udviklingen frem til partiel integration på aggrund af differentiation af produktet af to (uforenelige) funktioner: d ( f ( x) g ( x)) = f ' ( x) g( x)+ f ( x) g ' ( x) dx d dx ( f ( x) g (x)) dx = f ' ( x) g ( x)+ f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x)+c = f ' (x) g ( x)+ f ( x) g ' (x)dx Integralet herover er sjældent forekommende, og det vi gerne vil finde, er en løsning til integration af multiplikater af funktioner, f(x) g(x). Det (måske) edste værktøj er Wolfram Mathematica Online Integrator, 2 CAS: Computer Algera System = et matematikprogram som kan håndtere symolsk matematik eller en avanceret lommeregner. integrale_a.odt Side 8 /43 Jako Gudmandsen:

9 Derfor forsøger vi at isolere denne: f ' ( x) g (x)+ f (x) g ' (x)dx= f (x) g(x) f ' ( x) g(x)dx+ f (x) g ' (x)dx= f ( x) g(x) f ' (x) g(x)dx= f (x) g (x) f (x) g ' (x)dx Notationerne F(x), f(x) og f'(x) angiver relative niveauer af differentiation ift. udgangspunktet, hvorfor forholdene; d d F (x) = f (x) og dx dx f ( x) = f ' (x ) angiver samme trin i samme retning på en differentialtrappe. Det samme gør sig gældende ved integration; f ' (x)dx = f ( x)+c og f ( x)dx = F (x)+c for trinvis retning op ad på Illustration 3: Differentialtrappen side 3. Derfor vil vi kunne omskrive ovenstående evis for partiel integration, 2. linje om til: f x g x dx F x g ' x dx=f x g x f x g x dx = F x g x F x g ' x dx...hvor F(x) er stamfunktion til f(x) og g'(x) er den afledede funktion til g(x). 3.2 Integration ved sustitution Sustitutionsmetoden kan ses som den inverse til differentiering af en sammensat funktion. d ( f ( g (x))) = f ' (g (x)) g ' (x) dx d dx ( f ( g (x))) dx = f ' (g (x)) g ' (x)dx Omskrevet ved hjælp af Differentialtrappen, hvor f'(x) erstattes af f(x), kan dette skrives som f (g (x)) g ' (x)dx = F ( g(x)) integrale_a.odt Side 9 /43 Jako Gudmandsen:

10 Det er ofte ikke tilfældet at en funktion er sat sammen med den indre funktions afledte, hvorfor der må en kreativ teknik til løsningen, eksempelvis funktionen S(x): S (x) = f ( g(x)) S (x) = 4x dx, g(x) = u = 4x og f (u) = u = u / 2 F (u) = 2 3 u 3 2 og du dx = 4 du = 4dx dx = 4 du Indsættes udtrykket for dx i integralet fås: 4xdx = u ( 4 )du = u 3 2 +c = 6 ( 4x) 3 2 +c I dette tilfælde gik det godt, da den indre funktions afledede funktion viser sig som en konstant, hvilket ikke altid er tilfældet. Er der tale om indre funktioner i form af potensfunktioner af højere orden eller andre ikke-eliminerare funktioner kan det live meget svært at løse i hånden, hvorfor CAS må tages i rug, eksempelvis: ln(x 2 )dx, f (u) = ln(u), u = x 2 F (u) = u ln u u, du dx = 2x dx = 2x du ln(u) u' 2x du =? du Her liver der ikke elimineret noget i forhold til størrelsen dx = 2x kræver særlig kreativitet, som ikke ehandles i nærværende skrift. Derimod kan CAS være et anvendeligt værktøj:, hvorfor en løsning Illustration 5: Løsning fra Wolfram Mathematica Online Integrator Dette kaldes for integration ved sustitution, da netop g(x) sustitueres (erstattes) med u. Metoden er mest teknik, som veksler alt efter hvilken type funktioner der er tale om. integrale_a.odt Side 0 /43 Jako Gudmandsen:

11 3.2. Udledning af integration ved sustitution Ved differentialkvotienter findes der løsning til sammensatte funktioner, hvilket ville være rart ifm. integration også. Med udgangspunkt i differentialkvotient af sammensatte funktioner, kan der udledes noget rugart: d ( f (g ( x))) = f ' ( g (x)) g ' ( x) dx Jævnførende Illustration 3: Differentialtrappen side 3 kan f(x) omdøes, når lot dennes afledede også omdøes derefter og integraleoperatoren udføres på egge sider. d ( F ( g (x))) = F ' (g (x)) g ' ( x) = dx f (g( x)) g ' (x) d dx (F (g (x)))dx = f ( g(x)) g ' ( x)dx F ( g(x)) = f ( g(x)) g ' ( x)dx Sættes g(x) = u kan udtrykkes skrives som f (u) du dx = F (u) dx integrale_a.odt Side /43 Jako Gudmandsen:

12 4 Det estemte integrale Som invers operator til den afledede, giver det uestemte integrale en ny funktion i forhold til udgangspunktet, men der er en anden rug af integralerne, som giver os et tal som resultat: Det estemte integrale. Senere skal der ses på nogle af de mest anvendte fortolkninger af det fremkomne tal. Det estemte integrale eregnes som: a f (x) = [ F (x)]a = F () F (a) Her findes det uestemte integrale, og derefter indsættes nogle valgte grænser, inden for hvilket interval der ønskes at integreres over, a til. Ser vi på funktionen f (x) = 2x 2 +8x 6 og nu ønsker at finde det estemte integrale mellem x = og x = 3, enyttes ovenstående metode: 3 2x 2 +8x 6dx = [ 2x3 3 +4x2 6x+c] = ( c) ( c) = (0+c) ( 8 3 +c ) = Det estemte integrale for f(x) i intervallet x ε [;3] er altså tallet 8/3, men hvad etyder det? Der er mange fortolkninger, alt efter hvilken anvendelse integralet har, og inden for fysikken ses en næsten uegrænset anvendelse af integraler til løsning af mange udfordringer. I det efterfølgende ser vi på nogle af de mest asale tolkninger / anvendelser af estemte integraler Summer En måde at anskue det estemte integrale er en sum af uendeligt mange uendeligt små størrelser, jævnførende infinitesimalregningens grundlag. En sum kan eskrives som addition af en lang række ens eregninger. n a i i= = a +a 2 +a a n Hvis eregningen eksempelvis er y = x 2 vil summen intervallet n [;6 ] kunne udtrykkes ved; integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

13 6 x 2 = = 9 i= Begreet summer, kan etragtes meget grundigt, på universitetsniveau, men her accepteres lot metoden til at udlede særlige estemte integraler. 4. Arealfunktionen Arealet af en cirkel er kendt i enhver skoleog, værende A cirkel = π r 2 men det har ikke været let for oldtidens matematikere at komme frem til denne sammenhæng. De har måske tegnet en stor nøjagtig cirkel og udfyldt den med kendte geometriske størrelser, så som rektangler. Illustration 6: Arealet af en cirkel eregnet som summen af mange rektangler Denne medtode egrænses af udøverens nøjagtighed og tålmodighed, i forhold til hvor mange og små rektangler der tegnes og udregnes. Samme metode kan udføres på landkort, som slet ikke har nogen kendte geometriske former. 4.. Integrael funktion Anskues en funktion y = f (x) og dennes graf, kan det være nyttigt at vide arealet under grafen, det vil sige mellem grafen for y og.aksen. Som udgangspunkt vil det være rart at enytte nogle geometriske former, hvis areal er kendt i forvejen, her rektangler. integrale_a.odt Side 3 /43 Jako Gudmandsen:

14 Illustration 7: Arealet under grafen for f(x) i intervallet fra a til, opdelt i små rektangler De inddelte rektangler med redden Δx kan enævnes efter startsværdien x til x n. Hvert enkelt rektangel har således arealet, højde gange redde, hvor højden er givet ved funktionsværdien f(x n) og redden er givet ved Δx. A A 2 A 3 A n = f ( x ) Δ x = f ( x 2 ) Δ x = f ( x 3 ) Δ x... = f ( x n ) Δ x A tot = A +A 2 + A A n Alle disse små rektanglers arealer kan summeres op til et tilnærmelsesvist areal: A a n = i= f (x) Δ x = f (x ) Δ x+ f ( x 2 ) Δ x+ f (x 3 ) Δ x+...+ f ( x n ) Δ x Dette areal vil dog altid have en afvigelse, på grund af geometriske forskelle mellem rektanglet og den ikke-vandrettet graf. Ved at gøre rektanglerne mindre, ved at gøre Δx mindre, minimeres fejlen, men medfører et øget antal eregninger. Lader vi Δx gå mod 0 (nul) fås uendeligt mange uendeligt små rektangler, som i princippet er uden fejl, hvorved eregningen vil live til de nøjagtige areal mellem grafen og.aksen: integrale_a.odt Side 4 /43 Jako Gudmandsen:

15 A a n = i= f (x i ) Δ x a f ( x)dx for Δ x 0 Herved fås det nøjagtige areal under grafen for f(x) i intervallet fra a til : Illustration 8: Arealet under grafen for f(x) opdelt i uendeligt mange uendeligt små rektangler Det estemte integrale kan altså også tolkes som eregning af arealet mellem grafen for f(x) og.aksen. A tot = a f x dx = [ F x ]a = F F a Herved ses det at det estemte integrale kan være et udtryk for arealet mellem grafen for funktionen f(x) og førsteaksen. Ses der eksempelvis på den tidligere funtkion f (x) = 2x 2 +8x 6 fandt vi at det estemte integrale mellem x = og x = 3 var lig 8/3 ~2.667, hvilket altså er arealet under grafen. integrale_a.odt Side 5 /43 Jako Gudmandsen:

16 Illustration 9: Arealet under grafen for f(x) = -2x 2 +8x-6 lig 2.67 Et lille kuriositum vedrørende arealfunktionen for en paraelspids er, at arealet er præcist 2/3 af arealet af det omsluttende rektangel. Arealet af det omsluttende rektangel A rekt = Δx Δy er i dette tilfælde 2 2 = 4, hvor 2/3 af dette giver netop 8/ Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale Arealfunktionen A(x) defineres, som den funktioner der angiver arealet af området mellem grafen for f(x) og.aksen i intervallet [a ; x], hvor x [a ;]. Arealet A(x) er angiveligt en stamfunktion til f(x), hvilket vil sige af der må gælde at A ' (x) = f (x) eller arealfunktionen er differentiael i et vilkårligt punkt x 0. A ' (x 0 ) = f (x 0 ) hvilket kan vises ved, at differenskvotienten i x 0 Δ A Δ x = A( x +Δ x) A(x ) 0 0 Δ x har en grænseværdi for Δ x 0 og at denne grænseværdi er lig f(x 0). integrale_a.odt Side 6 /43 Jako Gudmandsen:

17 Illustration 0: Arealfunktionen På Illustration 0 kan følgende sammenhænge udledes: f ( x 0 ) Δ x Δ A f ( x 0 +Δ x) Δ x f ( x 0 ) Δ x A( x 0 +Δ x) A(x 0 ) f (x 0 +Δ x) Δ x f ( x 0 ) A( x +Δ x) A(x ) 0 0 f ( x Δ x 0 +Δ x) Da f (x 0 +Δ x) f ( x 0 ) for Δ x 0 vil differentialkvotienten A ' (x 0 ) f (x 0 ) for Δ x 0. Hermed er det påvist at i punktet x 0 gælder at Δ A Δ x f ( x 0 ) for Δ x 0 Da x 0 er vilkårligt valgt i intervalle [a ;] kan der konkluderes at A ' (x) = f (x) og dermed at arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)! Ved at enytte viden om det estemte integrale kan det faktiske areal udregnes ved a f ( x)dx = [ A(x)]a = A() A(a) Da A(x) er stamfunktion til f(x) kan udregningen omskrives til integrale_a.odt Side 7 /43 Jako Gudmandsen:

18 a f ( x)dx = [ A(x)]a = [F (x)+c ] a = F () F (a) 4..3 Nummerisk areal Det viser sig at estemte integraler for funktioner under.aksen (negative y-værdier) vil resultere i negative størrelser, og da arealer pr. definition er positive, må fuldstændige korrekte arealeregning være A a = a f ( x)dx = F () F (a) I ovenstående parael vil det estemte integrale mellem x = 0 og x = resultere i størrelsen -8/3, hvorfor tolkningen som areal vil resultere i A = -8/3 = 8/3. Se Illustration side 8. Illustration : Arealeregning for f(x) = -2x 2 +8x-6 for interval med negative y-værdier. For arealer for en graf, som krydser.aksen, skal eregningen opdeles i intervaller og summeres efterfølgende, hvorved det estemte integrale og arealet ikke altid giver samme værdi. Mere herom under Indskudsreglen side Areal mellem graferne for to funktioner Skal arealet mellem graferne for to (positive) funktioner i givent interval estemmes, er det relativt let at overevises om, at det må løses ved at fratrække de to funktioners individuelle arealer. På Illustration 2 ses to funktioner med arealerne opmærket i intervallet mellem funktionernes skæringer. Den lyse farve indikerer arealet under f(x) (som selvfølgeligt fortsætter hele vejen ned til.aksen) og den mørkere farve indkerer arealet under g(x). Den synlige del af arealet under f(x) svarer til arealet mellem de to grafer, hvorfor det må gælde at A = a f (x)dx a g( x)dx integrale_a.odt Side 8 /43 Jako Gudmandsen:

19 Jævnførende Regneregler for estemte integraler side 36 kan vi udføre leddevis integration, hvorved det ofte vil være en fordel at fratrække de to funktioner før udledning af det estemte integrale; A = a f (x) g( x)dx Illustration 2: Arealet mellem graferne for to funktioner 4.2 Buelængde Da en kurve aseret på et algeraisk udtryk sjældent er simpelt nok til at eregne ved hjælp af de klassiske geometriske formler, vil det ofte være formålstjenstligt at kunne eregne kurvelængde ad anden vej. Deles kurven op i små segmenter, kan disse segmenter med god tilnærmelse etragtes som små rette linjestykker i form af hypotenuser i retvinklede trekanter, hvor katederne er henholdsvis Δx og Δy. Illustration 3: Retvinklet trekant med katederne Δx og Δy n. Jævnførende Pythagoras' lærersætning, kan hypotenusen eregnes udfra L n = (Δ x) 2 +(Δ y n ) 2 integrale_a.odt Side 9 /43 Jako Gudmandsen:

20 Illustration 4: Kurven for f(x) opdelt i små hypotenuser Hver af disse segmenters længde kan herved etragtes som hypotenusen på en lille retvinklet trekant, og længden kan hermed eregnes ved hjælp af pythagoras' læresætning: L = (Δ x) 2 +(Δ y ) 2 L 2 = (Δ x) 2 +(Δ y 2 ) 2 L 3 = (Δ x) 2 +(Δ y 3 ) 2... L n = (Δ x) 2 +(Δ y n ) 2 L tot = L + L 2 + L L n Når den samlede kurvelængde i intervallet fra x=a til x= skal eregnes, summeres alle de små linjestykker op: L a n = (Δ x) 2 +(Δ y i ) 2 i= Her har vi igen en lille fejl, da hypotenusen i hver lille retvinklede trekant er en ret linje i modsætning til kurvens (forventede) uede form, hvorfor resultatet pr. definition vil live en lidt for kort kurvelængde. Ved at minimere linjestykkerne, ved at gøre Δx mindre, minimeres fejlen men der skal integrale_a.odt Side 20 /43 Jako Gudmandsen:

21 gennemføres flere eregninger. Ved at lade Δx gå mod 0 (nul) vil fejlen elimineres og vi får: Illustration 5: Kurve for f(x) opdelt i uendeligt mange uendeligt små hypotenuser L a n = (Δ x ) 2 +(Δ y i ) 2 i= a dx 2 +dy 2 for Δ x 0 Desværre kender vi ikke de enkelte værdier for Δy og i modsætning til arealeregningen har vi ikke noget 'dx' som afslutning på integralet, hvorfor lidt omregning må finde sted. Ses der alene på kvadratroden i integranden, fås der: dx 2 dy 2 = dx 2 dy 2 dx dx = dx2 dy 2 dx = dx2 dx 2 dx dy2 2 dx 2 dx 2 dx dx dy 2 dx 2 dx = dy a p dx dx = = a p dx2 og p dx = 2 dy 2 dx = dy 2 2 dx Nu har vi fået 'dx' uden for kvadratroden og ser at prolemet med at eregne de enkelte funktionstilvækster Δy er løst i samme omgang, da (dy/dx) 2 er funktionens afledede opløftet i anden potens, og denne urde kunne findes relativt let. Ergo: L tot = a dy 2 dx dx integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

22 Ved enyttelse af ovenstående til eregning af kurvelængde, skal der altså først findes den afledede funktion, som opløftes i anden potens og dette indsættes i funktionsudtrykket til eregning af længdeintegralet. Sammensatte funktioner er generelt esværlige at løse også ved hjælp af sustitutionsmetoden og ved funktioner som ikke er ekstremt simple vil der ikke kunne findes en algeraisk løsning, hvorfor det anefales at ruge CAS i de fleste tilfælde. Disse har som regel indygget en stor dataase med løsninger til særlige integraler. Eksempel I: Ret linje Den simpleste rette linje er givet ved f (x) = x dy dx ( = dy 2 dx ) = L 0 = 0 + x 0 dx = 2 [ x ] 0 = 2 ( 0) = 2,442 Denne har den fordel, at den kan verificeres ved hjælp af Pythagoras: c 2 = a her L 0 = = 2,442 Eksempel II: Kvadratrodsfunktionen Den simpleste kvadratrodsfunktion er y = x. Længden i intervallet x ε [0;] L 0 = 0 dy dx = 2 x 2 ( dy 2 dx) = 4 x = 4x + 4x dx = [ 8 4 x +4 x+ln ( 4 ( x ) +4+2 x+ )]0 Det uestemte integraler er løst ved hjælp af CAS / Wolfram 'Wolfram Mathematica Online Integrator' på integrale_a.odt Side 22 /43 Jako Gudmandsen:

23 Dette illustrerer tydeligt hvordan vi meget let kan få integraler, som ikke er til at løse i hånden, og ovenstående vil da også være meget esværligt at udregne i hånden, hvorfor det letteste er at forsætte med at ruge CAS. L 0 = ln ( 5+2) ,47894 Dette er en anelse længere end den rette linje gennem samme endepunkter, som lev eregnet i eksempel I, hvorfor det lyder meget troværdigt. 4.3 Volumen af omdrejningslegeme Hvis vi ser på grafen for funktionen y = f(x) i det sædvanlige 2-dimensionelle retvinklede koordinatsystem og lader grafen dreje 360 (2π rad.) om.aksen, fås et såkaldt omdrejningslegeme eller rotationslegeme, forsøgt illustreret herunder: For at finde volumen (rumfanget) af dette legeme, tages udgangspunkt i kendt form fra geometrien cylinder. En cylinders rumfang kan let eregnes som endefladeareal gange højde, og da endefladen er en cirkel fås: V cyl = A h = r 2 h Deles omdrejningslegemet op i mange små cylindere - alle med højden lig Δx og radius r lige funktionsværdien i f(x n) - kan volumen af de enkelte cylindere eregnes ud fra: Notationen f 2 (x) er den sammen som (f(x)) 2 integrale_a.odt Side 23 /43 Jako Gudmandsen:

24 V V 2 V 3 V n = π( f (x )) 2 Δ x = π( f (x 2 )) 2 Δ x = π( f (x 3 )) 2 Δ x... = π( f (x n )) 2 Δ x V tot = V +V 2 +V V n For at finde den samlede volumen summeres alle de små cylindere op: V a n = π ( f (x i )) 2 Δ x i= Fejlen ved denne metode er helt analog med fejlen ved arealeregning, og løses tilsvarende, ved at lade cylinderhøjden Δx live så lille som muligt: V a n = π ( f (x i )) 2 2 Δ x a π( f ( x)) dx for Δ x 0 i= En konstant/skalar foran et funktionsudtryk kan sættes uden for og der fås at volumen er: V tot = a f x 2 dx Ved eregning af volumen skal funktionsudtrykket opløftes i anden potens og dette indsættes integrale_a.odt Side 24 /43 Jako Gudmandsen:

25 i formlen herover. Husk π (pi)! Eksempel I: Kegle i form af ret linje Når en ret linje drejes omkring. aksen vil der fremkomme en form, som en kegle(stu), alt efter de valgte grænser. I enhver formelsamling kan der findes udtryk for rumfanget, givet ved: V kegle = 3 π r2 h Udtrykkes keglen ved den simpleste rette linje y = x i intervallet fra x = 0 til x 2 =, kan volumen eregnes. V 0 f (x) = x f 2 ( x) = x 2 = π 0 x 2 dx = π[ x3 3 ]0 = π( 3 0 ) = π 3,0472 I dette tilfælde giver det en kegle med radius r = og højden h =, som kan eregnes ved hjælp af den geometriske løsning, som V = 3 π 2 = π 3 Ændres grænserne til eksempelvis fra x = til x 2 = 3, giver det en keglestu, med lille radius a =, stor radius = 3 og højden h = 2. Murray R. Spiegel; Mathematical Handook af Formulas and Tales, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, NY integrale_a.odt Side 25 /43 Jako Gudmandsen:

26 V = π x 2 dx = π[ x3 3 ] = π( ) = 26π 3 27,23 I formelsamlingen findes keglestuens volumen til V keglestu = 2 π h(a2 +a+ 2 ) Indsat med aktuelle værdier giver det V = 3 π 2( ) = π 2 26 π 3 = 3 3 Eksempel II: Paraol i form af kvadratrodsfunktionen Den simpleste kvadratrodsfunktion er y = x som er den inverse til x 2, og derved en liggende parael. integrale_a.odt Side 26 /43 Jako Gudmandsen:

27 Volumen af omdrejningslegemet er givet ved V 0 = π 0 x 2 dx = π 0 x dx = π [ x2 2 ]0 = π( 2 0 ) = π 2,57 I en formelsamling er fundet volumen for en paraol med radius og højden a V paraola = 2 π 2 a Med værdierne a = og = giver det V = 2 π 2 = π 2, Bevis for volumen af omdrejningslegeme Analog med Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale side 6 defineres rumfangsfunktionen V(x), som skal være differentialel i et vilkårligt punkt x 0 [a ;] med følgende differentialkvotient: V ' (x) = π ( f (x 0 )) 2 hvilket vil sige at differenskvotienten, udtrykt ved Spiegel, M.R.; Mathematical Handook of Formulas oand Tales, Schaum Outline Series, McGraw-Hill Inc. NY integrale_a.odt Side 27 /43 Jako Gudmandsen:

28 ΔV Δ x = V ( x +Δ x) V (x ) 0 0 Δ x har en grænseværdi for Δ x 0 som er lig π f 2 (x). Ved at vælge et punkt x 0 og et andet punkt x 0+Δx og udregne rumfanget af de to cylindre, som fremkommer ved funktionsværdierne f(x 0) og f(x 0+Δx ) som radius og Δx som højde, må der gælde følgende sammenhæng: Da f(x) er kontinuert gælder det at ΔV = V ( x 0 +Δ x) V (x 0 ) f (x 0 +Δ x) f ( x 0 ) for Δ x 0 π f 2 (x 0 +Δ x) π f 2 (x 0 ) for Δ x 0 Der er hermed vist at i punktet x 0 gælder at V (x 0 +Δ x) V ( x 0 ) Δ x π f 2 (x 0 ) for Δ x 0 og da punktet er valgt vilkårligt må det gælde at differentialkvotienten er givet ved V ' (x) = π f 2 (x) Herved er der evist at V(x) er stamfunktionen til π f 2 (x) ergo π a f 2 (x)dx = π [V ( x)] a = π (V () V (a)) Som mindre detalje tilføjes her volumen for omdrejning rundt om y-aksen: V y = 2 a x y dx hvor y = f(x) og x = f - (y). Dette evises ikke her. integrale_a.odt Side 28 /43 Jako Gudmandsen:

29 4.3.2 Volumen mellem omdrejningslegemer for graferne for flere funktioner Ved arealeregning mellem graferne for to funktioner, viste det sig at det med fordel er muligt at fratrække de to funktioner inden løsning af det estemte integrale. Dette gælder ikke for volumen mellem to omdrejningslegemer!!! Da der netop er tale om funktioner opløftet i 2. potens, vil deres indhold ikke kunne trækkes fra hinanden inden integration. For to funktioner f(x) og g(x) vil forskellen i volumen, derfor være givet ved; V a = π a f 2 (x)dx π a g 2 (x)dx = π a f 2 ( x) g 2 (x)dx 4.4 Overfladeareal af omdrejningslegeme Til at udlede arealet af omdrejningslegeme, tages udgangspunkt i en masse små keglestue. Arealet af den krumme overflade på en keglestu, kan slås op i enhver formelsamling: O = π (r+ R) s hvor s er længden af den skrå flade, jævnførende Buelængde side 9, r er den ene radius og R er den anden radius. Højden af keglestuen må være Δx. Jævnførende Illustration 6 side29 er disse værdier enævnt r = f (x 0 ), R = f ( x 0 +Δ x) og s svarer til et segment af uelængden. Se Buelængde Side 9. Illustration 6: Overfladearel af funktion drejet om.aksen En sum af mange små keglestues areal kan således skrives som integrale_a.odt Side 29 /43 Jako Gudmandsen:

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Openoffice.org 3+ Math Editor

Openoffice.org 3+ Math Editor gudmandsen.net Openoffice.org 3+ Math Editor - en hurtig indførelse ver. 2.0 Jako Gudmandsen Septemer 2010 Ophavsret Kopiering, distriution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere