gudmandsen.net Integraler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "gudmandsen.net Integraler"

Transkript

1 gudmandsen.net Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler... Omvendt differentialkvotient Stamfunktioner til simple funktioner Integrationsprøven (omvendt differentiation) Regneregler for uestemte integraler Bevis for sum og differens Bevis for skalar Partiel integration Udledning af partiel integration Integration ved sustitution Udledning af integration ved sustitution... 4 Det estemte integrale Summer Arealfunktionen Integrael funktion Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale Nummerisk areal Areal mellem graferne for to funktioner Buelængde Volumen af omdrejningslegeme Bevis for volumen af omdrejningslegeme Volumen mellem omdrejningslegemer for graferne for flere funktioner Overfladeareal af omdrejningslegeme Gariels trompet Regneregler for estemte integraler Relationer Sum og differens Bevis for sum og differens Skalar Bevis for skalar Partiel integration Integration ved sustitution Bevis for integration ved sustitution Omyttede grænser ved estemt integration Bevis for omyttede grænser Indskudsreglen Bevis for indskudsreglen Middelværdi...43 integrale_a.odt Side /43 Jako Gudmandsen:

2 Integraler Efter at kende til differentialkvotient, som en metode til at finde den asolutte funktionstilvækst, tangentens hældning, kunne det være interessant at finde den inverse operator, som (måske) kan finde tilage til den oprindelige funktion. Det viser sig at denne kan ruges til flere andre ting, herunder eregning af areal, volumen, kurvelængde m.m. Omvendt differentialkvotient En stamfunktion kan opfattes som en operator, som den inverse operator til differentialoperatoren ved navn integraleoperatoren, hvorved det i princippet - er muligt at finde den oprindelige funktion til en afledet funktion. Illustration : Integration som omvendt differentialkvotient Desværre går der nogle oplysninger tat ved differentialoperatoren (eksempelvis konstantled), hvorved der opstår en uekendt konstant ved integration af en afledet funktion, kaldet stamfunktionen F(x) til en funktion. Den anden vej går det derimod fint, hvorfor definitionen for stamfunktion er givet ved: d ( F ( x)) = f (x) dx Illustration 2: Integration som omvendt differentialkvotient ver.2 integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

3 I princippet urde det være det samme som den anden vej rundt, men her er det vi skal tilføje en aritrer konstant: d dx ( F ( x)) = f (x) f (x)dx = F ( x)+c Notationerne F(x), f(x), f'(x) m.fl. er i princippet lot et udtryk for hvor mange trin differentialeller integrationsoperatoren har virket på en estemt funktion. Dette illustreres i særdeleshed i forindelse med potensfunktioner, som netop mister en heltallig potens ved hver differentiering. Omvendt stiger potensen et trin ved integration. Illustration 3: Differentialtrappen En stamfunktion kan også udtrykkes som det uestemte integrale. f (x)dx = F ( x)+c d ( f ( x)dx) = d ( F ( x)+c) = f (x) dx dx integrale_a.odt Side 3 /43 Jako Gudmandsen:

4 2 Stamfunktioner til simple funktioner Grundlaget for stamfunktioner ygger på en række løsninger: Funktion f(x) Stamfunktion F(X) f (x) = x n F (x) = n+ xn+ +c, n f (x) = x = x f (x) = 0 F (x) = ln(x)+c F (x) = c f (x) = c = c x 0 F (x) = c x = c x f (x) = e x F (x) = e x +c f (x) = e kx F (x) = k ekx +c f (x ) = ln( x) F (x) = x ln( x) x+c f (x) = a x F (x) = ax ln (a) +c f (x) = x = x ½ F (x) = x 2 +c = 2 x x+c 3 Den aritrere konstant c etyder, at der er uendeligt mange stamfunktioner til en funktion, som lot adskiller sig fra hinanden, ved at have forskellige konstanter lagt til udtrykket grafisk forskudt i y-aksens retning. Eksempelvis kan stamfunktioner til et 2.gradspolynomium findes: 3x 2 2x 9 dx = x 3 x 2 9x+c d dx ( 3x 2 2x 9 dx) = d dx (x3 x 2 9x+c ) 3x 2 2x 9 = 3x 2 2x 9 x 0 q.e.d. Alt efter størrelsen af konstanten c vil denne kunne skitseres grafisk som på Illustration 3 Alle disse stamfunktioner vil have den samme afledte, da netop konstantleddet går ud ved differentiering. integrale_a.odt Side 4 /43 Jako Gudmandsen:

5 Illustration 4: Forskellige stamfunktioner til y = 3x 2-2x-9 2. Integrationsprøven (omvendt differentiation) Da reglerne for differentialkvotienter er accepterede, kan disse ruges til at eftervise postulerede regler for integration, med udgangspunkt i definitionen for stamfunktion: d ( F ( x)) = f (x ) dx Eksempelvis kan regnereglen for stamfunktion til potensfunktioner efterkontrolleres ved hjælp af differentiation: x n dx = n+ x n+ +c d dx ( x n dx) = d dx ( n+ xn+ +c) x n = (n+) n+ xn+ +0 = x n q.e.d. Prøves det samme med den naturlige logaritme, fås: ln(x) dx = x ln(x) x d dx ln( x)dx = d dx ( x ln(x) x ) ln(x) = ln(x)+x = ln( x) x På samme vis kan de øvrige løsninger og regler for åde funktionsudtryk og regneregler i vid udstrækning eftervises. integrale_a.odt Side 5 /43 Jako Gudmandsen:

6 3 Regneregler for uestemte integraler På lige fod med differentialoperatoren findes der en række regneregler for uestemte integraler. Sum og differens Skalar Partiel integration Integration ved sustitution ( f ±g )(x)dx = f (x)dx± g (x)dx k f ( x)dx = k f ( x)dx f ( x) g( x)dx = F (x) g( x) F (x) g ' (x)dx f (g (x)) g ' ( x)dx = F (g(x)) De to første svarer fuldkommen til reglerne for differentialkvotienterne, mens de to næste kræver en dyere forklaring. Tages der udgangspunkt i regneregler for differentialkvotienter, har vi følgende: d ( f ( x)± g (x)) = f ' (x)±g ' (x ) dx d (k f (x)) = k f ' (x) dx d ( f ( x) g (x)) = f ' ( x) g (x)+ f (x) g ' (x) dx d dx ( f ( g (x)) = d ( f (g( x))) = dx f ' (x) g(x) f (x) g ' (x) ( g(x)) 2 f ' ( g( x)) g ' (x) I ovenstående tael gælder alle forholdene for differentiation fra venstre til højre, hvilket må etyde at samme forhold må være gældende ifm. integration fra højre til venstre. d dx ( f ( g (x))) = f ' ( g(x)) g ' ( x) f ' ( g( x)) g' ( x)dx = f ( g (x))+c Dette evis optræder flere steder i lærerøgerne for Matematik A. Samme forhold må gøre sig gældende for de øvrige regneregler for differentialkvotienter, eksempelvis: d dx ( f ( g (x)) = f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x) (g (x)) 2 f ' (x) g (x) f (x) g ' (x) ( g (x)) 2 dx = f (x) g(x) +c integrale_a.odt Side 6 /43 Jako Gudmandsen:

7 d ( f (x) g( x)) = f ' ( x) g(x)+ f (x) g ' (x) dx f ' ( x) g(x)+ f (x) g ' (x)dx = f (x) g(x)+c Førstnævnte (division) er meget sjældent optrædende når der skal løses integraler, men løsning af multiplikater af funktioner kan sagtens ruges til noget fornuftigt. Se Partiel integration side Bevis for sum og differens f ( x)±g (x)dx = f ( x)dx± g (x)dx Ved at anvende integrationsprøven og differentiere egge sider af lighedstegnet ved hjælp af sumreglen for differentiation kan reglen for summen af to funktioner efterprøves: d dx ( f ( x)dx+ g (x)dx) = d dx ( f ( x)dx)+ d dx ( g ( x)dx ) = f ( x)+ g (x) Resultatet er integranden, hvorved reglen er evist. Tilsvarende kan reglen for differens evises Bevis for skalar k f ( x)dx = k f ( x)dx Ved at differentiere egge sider, med reglen for skalar for differentiation fås d dx ( k f (x)dx ) = k d dx ( f ( x)dx) = k f (x ) Resultatet er integranden, hvorved reglen er evist. 3. Partiel integration Parteil integration enyttes ved produkt af to uforenlige funktioner. f ( x) g ( x)dx = F (x) g( x) F (x) g ' (x)dx Det er ligetil at finde en funktion som er produkt af to funktioner og indsætte den i reglen for partiel integration, men der kan være faldgruer og funktioner uden løsninger. Eksempelvis: integrale_a.odt Side 7 /43 Jako Gudmandsen:

8 f (x) = x 2 e x f ( x)dx = x3 3 e x x3 3 e x dx+c I løsningen optræder et nyt integrale, som skal løses med partiel integration og som vil resultere i endnu et integrale, da den aflede til e x jo netop er e x. Der kan altså ikke findes nogen løsning på denne måde. Byttes der derimod om på x 2 og e x, hvilket er fuld ud tilladt ved produkt, giver det en mere konstruktiv eregning: f (x) = e x x 2 f ( x)dx = e x x 2 e x 2x dx+c = e x x 2 (e x 2x e x 2dx)+c = e x x 2 (e x x 2 (e x 2))+c = (x 2 2x+2) e x +c Her er systemet, at sikrer at potensfunktionen indgår i den del af produktet, g(x), som ender i en konstant ved gentagne differentieringer. Ved trigonometriske funktioner vil denne metode typisk ikke kunne ruges, da der aldrig opnås eliminering af sådanne funktioner. e x sin (x)dx = e x sin (x) e x cos( x)dx+c sin( x) e x dx = cos( x) e x cos( x) e x dx+c Både e x og sin(x) liver aldrig elimineret, hvorfor vi kan integrerer for evigt, uden at finde en algeraisk løsning. I sådanne tilfælde kan integraletaeller og/eller CAS 2 være et rugart alternativ. 3.. Udledning af partiel integration Beviset for partiel integration følger samme mønster med 'omvendt differentiation', men er snarere udtrykt ved udviklingen frem til partiel integration på aggrund af differentiation af produktet af to (uforenelige) funktioner: d ( f ( x) g ( x)) = f ' ( x) g( x)+ f ( x) g ' ( x) dx d dx ( f ( x) g (x)) dx = f ' ( x) g ( x)+ f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x)+c = f ' (x) g ( x)+ f ( x) g ' (x)dx Integralet herover er sjældent forekommende, og det vi gerne vil finde, er en løsning til integration af multiplikater af funktioner, f(x) g(x). Det (måske) edste værktøj er Wolfram Mathematica Online Integrator, 2 CAS: Computer Algera System = et matematikprogram som kan håndtere symolsk matematik eller en avanceret lommeregner. integrale_a.odt Side 8 /43 Jako Gudmandsen:

9 Derfor forsøger vi at isolere denne: f ' ( x) g (x)+ f (x) g ' (x)dx= f (x) g(x) f ' ( x) g(x)dx+ f (x) g ' (x)dx= f ( x) g(x) f ' (x) g(x)dx= f (x) g (x) f (x) g ' (x)dx Notationerne F(x), f(x) og f'(x) angiver relative niveauer af differentiation ift. udgangspunktet, hvorfor forholdene; d d F (x) = f (x) og dx dx f ( x) = f ' (x ) angiver samme trin i samme retning på en differentialtrappe. Det samme gør sig gældende ved integration; f ' (x)dx = f ( x)+c og f ( x)dx = F (x)+c for trinvis retning op ad på Illustration 3: Differentialtrappen side 3. Derfor vil vi kunne omskrive ovenstående evis for partiel integration, 2. linje om til: f x g x dx F x g ' x dx=f x g x f x g x dx = F x g x F x g ' x dx...hvor F(x) er stamfunktion til f(x) og g'(x) er den afledede funktion til g(x). 3.2 Integration ved sustitution Sustitutionsmetoden kan ses som den inverse til differentiering af en sammensat funktion. d ( f ( g (x))) = f ' (g (x)) g ' (x) dx d dx ( f ( g (x))) dx = f ' (g (x)) g ' (x)dx Omskrevet ved hjælp af Differentialtrappen, hvor f'(x) erstattes af f(x), kan dette skrives som f (g (x)) g ' (x)dx = F ( g(x)) integrale_a.odt Side 9 /43 Jako Gudmandsen:

10 Det er ofte ikke tilfældet at en funktion er sat sammen med den indre funktions afledte, hvorfor der må en kreativ teknik til løsningen, eksempelvis funktionen S(x): S (x) = f ( g(x)) S (x) = 4x dx, g(x) = u = 4x og f (u) = u = u / 2 F (u) = 2 3 u 3 2 og du dx = 4 du = 4dx dx = 4 du Indsættes udtrykket for dx i integralet fås: 4xdx = u ( 4 )du = u 3 2 +c = 6 ( 4x) 3 2 +c I dette tilfælde gik det godt, da den indre funktions afledede funktion viser sig som en konstant, hvilket ikke altid er tilfældet. Er der tale om indre funktioner i form af potensfunktioner af højere orden eller andre ikke-eliminerare funktioner kan det live meget svært at løse i hånden, hvorfor CAS må tages i rug, eksempelvis: ln(x 2 )dx, f (u) = ln(u), u = x 2 F (u) = u ln u u, du dx = 2x dx = 2x du ln(u) u' 2x du =? du Her liver der ikke elimineret noget i forhold til størrelsen dx = 2x kræver særlig kreativitet, som ikke ehandles i nærværende skrift. Derimod kan CAS være et anvendeligt værktøj:, hvorfor en løsning Illustration 5: Løsning fra Wolfram Mathematica Online Integrator Dette kaldes for integration ved sustitution, da netop g(x) sustitueres (erstattes) med u. Metoden er mest teknik, som veksler alt efter hvilken type funktioner der er tale om. integrale_a.odt Side 0 /43 Jako Gudmandsen:

11 3.2. Udledning af integration ved sustitution Ved differentialkvotienter findes der løsning til sammensatte funktioner, hvilket ville være rart ifm. integration også. Med udgangspunkt i differentialkvotient af sammensatte funktioner, kan der udledes noget rugart: d ( f (g ( x))) = f ' ( g (x)) g ' ( x) dx Jævnførende Illustration 3: Differentialtrappen side 3 kan f(x) omdøes, når lot dennes afledede også omdøes derefter og integraleoperatoren udføres på egge sider. d ( F ( g (x))) = F ' (g (x)) g ' ( x) = dx f (g( x)) g ' (x) d dx (F (g (x)))dx = f ( g(x)) g ' ( x)dx F ( g(x)) = f ( g(x)) g ' ( x)dx Sættes g(x) = u kan udtrykkes skrives som f (u) du dx = F (u) dx integrale_a.odt Side /43 Jako Gudmandsen:

12 4 Det estemte integrale Som invers operator til den afledede, giver det uestemte integrale en ny funktion i forhold til udgangspunktet, men der er en anden rug af integralerne, som giver os et tal som resultat: Det estemte integrale. Senere skal der ses på nogle af de mest anvendte fortolkninger af det fremkomne tal. Det estemte integrale eregnes som: a f (x) = [ F (x)]a = F () F (a) Her findes det uestemte integrale, og derefter indsættes nogle valgte grænser, inden for hvilket interval der ønskes at integreres over, a til. Ser vi på funktionen f (x) = 2x 2 +8x 6 og nu ønsker at finde det estemte integrale mellem x = og x = 3, enyttes ovenstående metode: 3 2x 2 +8x 6dx = [ 2x3 3 +4x2 6x+c] = ( c) ( c) = (0+c) ( 8 3 +c ) = Det estemte integrale for f(x) i intervallet x ε [;3] er altså tallet 8/3, men hvad etyder det? Der er mange fortolkninger, alt efter hvilken anvendelse integralet har, og inden for fysikken ses en næsten uegrænset anvendelse af integraler til løsning af mange udfordringer. I det efterfølgende ser vi på nogle af de mest asale tolkninger / anvendelser af estemte integraler Summer En måde at anskue det estemte integrale er en sum af uendeligt mange uendeligt små størrelser, jævnførende infinitesimalregningens grundlag. En sum kan eskrives som addition af en lang række ens eregninger. n a i i= = a +a 2 +a a n Hvis eregningen eksempelvis er y = x 2 vil summen intervallet n [;6 ] kunne udtrykkes ved; integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

13 6 x 2 = = 9 i= Begreet summer, kan etragtes meget grundigt, på universitetsniveau, men her accepteres lot metoden til at udlede særlige estemte integraler. 4. Arealfunktionen Arealet af en cirkel er kendt i enhver skoleog, værende A cirkel = π r 2 men det har ikke været let for oldtidens matematikere at komme frem til denne sammenhæng. De har måske tegnet en stor nøjagtig cirkel og udfyldt den med kendte geometriske størrelser, så som rektangler. Illustration 6: Arealet af en cirkel eregnet som summen af mange rektangler Denne medtode egrænses af udøverens nøjagtighed og tålmodighed, i forhold til hvor mange og små rektangler der tegnes og udregnes. Samme metode kan udføres på landkort, som slet ikke har nogen kendte geometriske former. 4.. Integrael funktion Anskues en funktion y = f (x) og dennes graf, kan det være nyttigt at vide arealet under grafen, det vil sige mellem grafen for y og.aksen. Som udgangspunkt vil det være rart at enytte nogle geometriske former, hvis areal er kendt i forvejen, her rektangler. integrale_a.odt Side 3 /43 Jako Gudmandsen:

14 Illustration 7: Arealet under grafen for f(x) i intervallet fra a til, opdelt i små rektangler De inddelte rektangler med redden Δx kan enævnes efter startsværdien x til x n. Hvert enkelt rektangel har således arealet, højde gange redde, hvor højden er givet ved funktionsværdien f(x n) og redden er givet ved Δx. A A 2 A 3 A n = f ( x ) Δ x = f ( x 2 ) Δ x = f ( x 3 ) Δ x... = f ( x n ) Δ x A tot = A +A 2 + A A n Alle disse små rektanglers arealer kan summeres op til et tilnærmelsesvist areal: A a n = i= f (x) Δ x = f (x ) Δ x+ f ( x 2 ) Δ x+ f (x 3 ) Δ x+...+ f ( x n ) Δ x Dette areal vil dog altid have en afvigelse, på grund af geometriske forskelle mellem rektanglet og den ikke-vandrettet graf. Ved at gøre rektanglerne mindre, ved at gøre Δx mindre, minimeres fejlen, men medfører et øget antal eregninger. Lader vi Δx gå mod 0 (nul) fås uendeligt mange uendeligt små rektangler, som i princippet er uden fejl, hvorved eregningen vil live til de nøjagtige areal mellem grafen og.aksen: integrale_a.odt Side 4 /43 Jako Gudmandsen:

15 A a n = i= f (x i ) Δ x a f ( x)dx for Δ x 0 Herved fås det nøjagtige areal under grafen for f(x) i intervallet fra a til : Illustration 8: Arealet under grafen for f(x) opdelt i uendeligt mange uendeligt små rektangler Det estemte integrale kan altså også tolkes som eregning af arealet mellem grafen for f(x) og.aksen. A tot = a f x dx = [ F x ]a = F F a Herved ses det at det estemte integrale kan være et udtryk for arealet mellem grafen for funktionen f(x) og førsteaksen. Ses der eksempelvis på den tidligere funtkion f (x) = 2x 2 +8x 6 fandt vi at det estemte integrale mellem x = og x = 3 var lig 8/3 ~2.667, hvilket altså er arealet under grafen. integrale_a.odt Side 5 /43 Jako Gudmandsen:

16 Illustration 9: Arealet under grafen for f(x) = -2x 2 +8x-6 lig 2.67 Et lille kuriositum vedrørende arealfunktionen for en paraelspids er, at arealet er præcist 2/3 af arealet af det omsluttende rektangel. Arealet af det omsluttende rektangel A rekt = Δx Δy er i dette tilfælde 2 2 = 4, hvor 2/3 af dette giver netop 8/ Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale Arealfunktionen A(x) defineres, som den funktioner der angiver arealet af området mellem grafen for f(x) og.aksen i intervallet [a ; x], hvor x [a ;]. Arealet A(x) er angiveligt en stamfunktion til f(x), hvilket vil sige af der må gælde at A ' (x) = f (x) eller arealfunktionen er differentiael i et vilkårligt punkt x 0. A ' (x 0 ) = f (x 0 ) hvilket kan vises ved, at differenskvotienten i x 0 Δ A Δ x = A( x +Δ x) A(x ) 0 0 Δ x har en grænseværdi for Δ x 0 og at denne grænseværdi er lig f(x 0). integrale_a.odt Side 6 /43 Jako Gudmandsen:

17 Illustration 0: Arealfunktionen På Illustration 0 kan følgende sammenhænge udledes: f ( x 0 ) Δ x Δ A f ( x 0 +Δ x) Δ x f ( x 0 ) Δ x A( x 0 +Δ x) A(x 0 ) f (x 0 +Δ x) Δ x f ( x 0 ) A( x +Δ x) A(x ) 0 0 f ( x Δ x 0 +Δ x) Da f (x 0 +Δ x) f ( x 0 ) for Δ x 0 vil differentialkvotienten A ' (x 0 ) f (x 0 ) for Δ x 0. Hermed er det påvist at i punktet x 0 gælder at Δ A Δ x f ( x 0 ) for Δ x 0 Da x 0 er vilkårligt valgt i intervalle [a ;] kan der konkluderes at A ' (x) = f (x) og dermed at arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)! Ved at enytte viden om det estemte integrale kan det faktiske areal udregnes ved a f ( x)dx = [ A(x)]a = A() A(a) Da A(x) er stamfunktion til f(x) kan udregningen omskrives til integrale_a.odt Side 7 /43 Jako Gudmandsen:

18 a f ( x)dx = [ A(x)]a = [F (x)+c ] a = F () F (a) 4..3 Nummerisk areal Det viser sig at estemte integraler for funktioner under.aksen (negative y-værdier) vil resultere i negative størrelser, og da arealer pr. definition er positive, må fuldstændige korrekte arealeregning være A a = a f ( x)dx = F () F (a) I ovenstående parael vil det estemte integrale mellem x = 0 og x = resultere i størrelsen -8/3, hvorfor tolkningen som areal vil resultere i A = -8/3 = 8/3. Se Illustration side 8. Illustration : Arealeregning for f(x) = -2x 2 +8x-6 for interval med negative y-værdier. For arealer for en graf, som krydser.aksen, skal eregningen opdeles i intervaller og summeres efterfølgende, hvorved det estemte integrale og arealet ikke altid giver samme værdi. Mere herom under Indskudsreglen side Areal mellem graferne for to funktioner Skal arealet mellem graferne for to (positive) funktioner i givent interval estemmes, er det relativt let at overevises om, at det må løses ved at fratrække de to funktioners individuelle arealer. På Illustration 2 ses to funktioner med arealerne opmærket i intervallet mellem funktionernes skæringer. Den lyse farve indikerer arealet under f(x) (som selvfølgeligt fortsætter hele vejen ned til.aksen) og den mørkere farve indkerer arealet under g(x). Den synlige del af arealet under f(x) svarer til arealet mellem de to grafer, hvorfor det må gælde at A = a f (x)dx a g( x)dx integrale_a.odt Side 8 /43 Jako Gudmandsen:

19 Jævnførende Regneregler for estemte integraler side 36 kan vi udføre leddevis integration, hvorved det ofte vil være en fordel at fratrække de to funktioner før udledning af det estemte integrale; A = a f (x) g( x)dx Illustration 2: Arealet mellem graferne for to funktioner 4.2 Buelængde Da en kurve aseret på et algeraisk udtryk sjældent er simpelt nok til at eregne ved hjælp af de klassiske geometriske formler, vil det ofte være formålstjenstligt at kunne eregne kurvelængde ad anden vej. Deles kurven op i små segmenter, kan disse segmenter med god tilnærmelse etragtes som små rette linjestykker i form af hypotenuser i retvinklede trekanter, hvor katederne er henholdsvis Δx og Δy. Illustration 3: Retvinklet trekant med katederne Δx og Δy n. Jævnførende Pythagoras' lærersætning, kan hypotenusen eregnes udfra L n = (Δ x) 2 +(Δ y n ) 2 integrale_a.odt Side 9 /43 Jako Gudmandsen:

20 Illustration 4: Kurven for f(x) opdelt i små hypotenuser Hver af disse segmenters længde kan herved etragtes som hypotenusen på en lille retvinklet trekant, og længden kan hermed eregnes ved hjælp af pythagoras' læresætning: L = (Δ x) 2 +(Δ y ) 2 L 2 = (Δ x) 2 +(Δ y 2 ) 2 L 3 = (Δ x) 2 +(Δ y 3 ) 2... L n = (Δ x) 2 +(Δ y n ) 2 L tot = L + L 2 + L L n Når den samlede kurvelængde i intervallet fra x=a til x= skal eregnes, summeres alle de små linjestykker op: L a n = (Δ x) 2 +(Δ y i ) 2 i= Her har vi igen en lille fejl, da hypotenusen i hver lille retvinklede trekant er en ret linje i modsætning til kurvens (forventede) uede form, hvorfor resultatet pr. definition vil live en lidt for kort kurvelængde. Ved at minimere linjestykkerne, ved at gøre Δx mindre, minimeres fejlen men der skal integrale_a.odt Side 20 /43 Jako Gudmandsen:

21 gennemføres flere eregninger. Ved at lade Δx gå mod 0 (nul) vil fejlen elimineres og vi får: Illustration 5: Kurve for f(x) opdelt i uendeligt mange uendeligt små hypotenuser L a n = (Δ x ) 2 +(Δ y i ) 2 i= a dx 2 +dy 2 for Δ x 0 Desværre kender vi ikke de enkelte værdier for Δy og i modsætning til arealeregningen har vi ikke noget 'dx' som afslutning på integralet, hvorfor lidt omregning må finde sted. Ses der alene på kvadratroden i integranden, fås der: dx 2 dy 2 = dx 2 dy 2 dx dx = dx2 dy 2 dx = dx2 dx 2 dx dy2 2 dx 2 dx 2 dx dx dy 2 dx 2 dx = dy a p dx dx = = a p dx2 og p dx = 2 dy 2 dx = dy 2 2 dx Nu har vi fået 'dx' uden for kvadratroden og ser at prolemet med at eregne de enkelte funktionstilvækster Δy er løst i samme omgang, da (dy/dx) 2 er funktionens afledede opløftet i anden potens, og denne urde kunne findes relativt let. Ergo: L tot = a dy 2 dx dx integrale_a.odt Side 2 /43 Jako Gudmandsen:

22 Ved enyttelse af ovenstående til eregning af kurvelængde, skal der altså først findes den afledede funktion, som opløftes i anden potens og dette indsættes i funktionsudtrykket til eregning af længdeintegralet. Sammensatte funktioner er generelt esværlige at løse også ved hjælp af sustitutionsmetoden og ved funktioner som ikke er ekstremt simple vil der ikke kunne findes en algeraisk løsning, hvorfor det anefales at ruge CAS i de fleste tilfælde. Disse har som regel indygget en stor dataase med løsninger til særlige integraler. Eksempel I: Ret linje Den simpleste rette linje er givet ved f (x) = x dy dx ( = dy 2 dx ) = L 0 = 0 + x 0 dx = 2 [ x ] 0 = 2 ( 0) = 2,442 Denne har den fordel, at den kan verificeres ved hjælp af Pythagoras: c 2 = a her L 0 = = 2,442 Eksempel II: Kvadratrodsfunktionen Den simpleste kvadratrodsfunktion er y = x. Længden i intervallet x ε [0;] L 0 = 0 dy dx = 2 x 2 ( dy 2 dx) = 4 x = 4x + 4x dx = [ 8 4 x +4 x+ln ( 4 ( x ) +4+2 x+ )]0 Det uestemte integraler er løst ved hjælp af CAS / Wolfram 'Wolfram Mathematica Online Integrator' på integrale_a.odt Side 22 /43 Jako Gudmandsen:

23 Dette illustrerer tydeligt hvordan vi meget let kan få integraler, som ikke er til at løse i hånden, og ovenstående vil da også være meget esværligt at udregne i hånden, hvorfor det letteste er at forsætte med at ruge CAS. L 0 = ln ( 5+2) ,47894 Dette er en anelse længere end den rette linje gennem samme endepunkter, som lev eregnet i eksempel I, hvorfor det lyder meget troværdigt. 4.3 Volumen af omdrejningslegeme Hvis vi ser på grafen for funktionen y = f(x) i det sædvanlige 2-dimensionelle retvinklede koordinatsystem og lader grafen dreje 360 (2π rad.) om.aksen, fås et såkaldt omdrejningslegeme eller rotationslegeme, forsøgt illustreret herunder: For at finde volumen (rumfanget) af dette legeme, tages udgangspunkt i kendt form fra geometrien cylinder. En cylinders rumfang kan let eregnes som endefladeareal gange højde, og da endefladen er en cirkel fås: V cyl = A h = r 2 h Deles omdrejningslegemet op i mange små cylindere - alle med højden lig Δx og radius r lige funktionsværdien i f(x n) - kan volumen af de enkelte cylindere eregnes ud fra: Notationen f 2 (x) er den sammen som (f(x)) 2 integrale_a.odt Side 23 /43 Jako Gudmandsen:

24 V V 2 V 3 V n = π( f (x )) 2 Δ x = π( f (x 2 )) 2 Δ x = π( f (x 3 )) 2 Δ x... = π( f (x n )) 2 Δ x V tot = V +V 2 +V V n For at finde den samlede volumen summeres alle de små cylindere op: V a n = π ( f (x i )) 2 Δ x i= Fejlen ved denne metode er helt analog med fejlen ved arealeregning, og løses tilsvarende, ved at lade cylinderhøjden Δx live så lille som muligt: V a n = π ( f (x i )) 2 2 Δ x a π( f ( x)) dx for Δ x 0 i= En konstant/skalar foran et funktionsudtryk kan sættes uden for og der fås at volumen er: V tot = a f x 2 dx Ved eregning af volumen skal funktionsudtrykket opløftes i anden potens og dette indsættes integrale_a.odt Side 24 /43 Jako Gudmandsen:

25 i formlen herover. Husk π (pi)! Eksempel I: Kegle i form af ret linje Når en ret linje drejes omkring. aksen vil der fremkomme en form, som en kegle(stu), alt efter de valgte grænser. I enhver formelsamling kan der findes udtryk for rumfanget, givet ved: V kegle = 3 π r2 h Udtrykkes keglen ved den simpleste rette linje y = x i intervallet fra x = 0 til x 2 =, kan volumen eregnes. V 0 f (x) = x f 2 ( x) = x 2 = π 0 x 2 dx = π[ x3 3 ]0 = π( 3 0 ) = π 3,0472 I dette tilfælde giver det en kegle med radius r = og højden h =, som kan eregnes ved hjælp af den geometriske løsning, som V = 3 π 2 = π 3 Ændres grænserne til eksempelvis fra x = til x 2 = 3, giver det en keglestu, med lille radius a =, stor radius = 3 og højden h = 2. Murray R. Spiegel; Mathematical Handook af Formulas and Tales, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, NY integrale_a.odt Side 25 /43 Jako Gudmandsen:

26 V = π x 2 dx = π[ x3 3 ] = π( ) = 26π 3 27,23 I formelsamlingen findes keglestuens volumen til V keglestu = 2 π h(a2 +a+ 2 ) Indsat med aktuelle værdier giver det V = 3 π 2( ) = π 2 26 π 3 = 3 3 Eksempel II: Paraol i form af kvadratrodsfunktionen Den simpleste kvadratrodsfunktion er y = x som er den inverse til x 2, og derved en liggende parael. integrale_a.odt Side 26 /43 Jako Gudmandsen:

27 Volumen af omdrejningslegemet er givet ved V 0 = π 0 x 2 dx = π 0 x dx = π [ x2 2 ]0 = π( 2 0 ) = π 2,57 I en formelsamling er fundet volumen for en paraol med radius og højden a V paraola = 2 π 2 a Med værdierne a = og = giver det V = 2 π 2 = π 2, Bevis for volumen af omdrejningslegeme Analog med Bevis for arealfunktionen som det estemte integrale side 6 defineres rumfangsfunktionen V(x), som skal være differentialel i et vilkårligt punkt x 0 [a ;] med følgende differentialkvotient: V ' (x) = π ( f (x 0 )) 2 hvilket vil sige at differenskvotienten, udtrykt ved Spiegel, M.R.; Mathematical Handook of Formulas oand Tales, Schaum Outline Series, McGraw-Hill Inc. NY integrale_a.odt Side 27 /43 Jako Gudmandsen:

28 ΔV Δ x = V ( x +Δ x) V (x ) 0 0 Δ x har en grænseværdi for Δ x 0 som er lig π f 2 (x). Ved at vælge et punkt x 0 og et andet punkt x 0+Δx og udregne rumfanget af de to cylindre, som fremkommer ved funktionsværdierne f(x 0) og f(x 0+Δx ) som radius og Δx som højde, må der gælde følgende sammenhæng: Da f(x) er kontinuert gælder det at ΔV = V ( x 0 +Δ x) V (x 0 ) f (x 0 +Δ x) f ( x 0 ) for Δ x 0 π f 2 (x 0 +Δ x) π f 2 (x 0 ) for Δ x 0 Der er hermed vist at i punktet x 0 gælder at V (x 0 +Δ x) V ( x 0 ) Δ x π f 2 (x 0 ) for Δ x 0 og da punktet er valgt vilkårligt må det gælde at differentialkvotienten er givet ved V ' (x) = π f 2 (x) Herved er der evist at V(x) er stamfunktionen til π f 2 (x) ergo π a f 2 (x)dx = π [V ( x)] a = π (V () V (a)) Som mindre detalje tilføjes her volumen for omdrejning rundt om y-aksen: V y = 2 a x y dx hvor y = f(x) og x = f - (y). Dette evises ikke her. integrale_a.odt Side 28 /43 Jako Gudmandsen:

29 4.3.2 Volumen mellem omdrejningslegemer for graferne for flere funktioner Ved arealeregning mellem graferne for to funktioner, viste det sig at det med fordel er muligt at fratrække de to funktioner inden løsning af det estemte integrale. Dette gælder ikke for volumen mellem to omdrejningslegemer!!! Da der netop er tale om funktioner opløftet i 2. potens, vil deres indhold ikke kunne trækkes fra hinanden inden integration. For to funktioner f(x) og g(x) vil forskellen i volumen, derfor være givet ved; V a = π a f 2 (x)dx π a g 2 (x)dx = π a f 2 ( x) g 2 (x)dx 4.4 Overfladeareal af omdrejningslegeme Til at udlede arealet af omdrejningslegeme, tages udgangspunkt i en masse små keglestue. Arealet af den krumme overflade på en keglestu, kan slås op i enhver formelsamling: O = π (r+ R) s hvor s er længden af den skrå flade, jævnførende Buelængde side 9, r er den ene radius og R er den anden radius. Højden af keglestuen må være Δx. Jævnførende Illustration 6 side29 er disse værdier enævnt r = f (x 0 ), R = f ( x 0 +Δ x) og s svarer til et segment af uelængden. Se Buelængde Side 9. Illustration 6: Overfladearel af funktion drejet om.aksen En sum af mange små keglestues areal kan således skrives som integrale_a.odt Side 29 /43 Jako Gudmandsen:

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 Maj/juni 2017 Institution Uddannelsescenter Ringkøbing-Skjern Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj - juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 414 Københavns VUC Hfe Matematik B Tom Juul

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2012 HTX Vibenhus

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere