Noter i statistik. Indholsfortegnelse. 2 - Beskrivende statistik. 3 - Fordelinger. 4 - Variation. 1 of /02/

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter i statistik. Indholsfortegnelse. 2 - Beskrivende statistik. 3 - Fordelinger. 4 - Variation. 1 of 117 05/02/10 13.49"

Transkript

1 Noter i statistik Thomas Bendsen 2008 VIA University College Bioanalytikeruddannelsen Indholsfortegnelse 1 - Introduktion Introduktion Brug af disse sider Analysenavne DANAK Betydende cifre Excel Copyright Referencer 2 - Beskrivende statistik Introduktion Grafer xy-plot Differensplot Histogram Tabeller Beregninger Excel Lineær regression Mere om regression Talskalaer 3 - Fordelinger Introduktion Population og stikprøve Sandsynlighed og fraktiler - lidt notation Normalfordelingen Normalfordeling - grafisk repræsentation Normalfordeling - beregning Normalfordeling - test Beregning - non-paramtrisk Probit-diagram 4 - Variation Introduktion Måleusikkerhed Analytisk variation - præcision 1 of /02/

2 4.4 - Analytisk variation - eksempel Systematisk variation - korrekthed Oversigt Biologisk variation Biologisk variation - eksempel Krav til analytisk variation Dobbeltbestemmelser Frihedsgrader Usikkerhedsbudget Referenceintervaller Referenceintervaller - eksempel Referenceintervaller - eksempel Konfidensintervaller Introduktion Beregning Eksempel Eksempel 1 - detaljer Eksempel Kvalitetskontrol Introduktion 6 - Hypotesetest Introduktion Hypotesetest - et eksempel Princip Signifikansniveau og fejltyper Eksempel fortsat t-test t-test, 1 stikprøve t-test, 1 stikprøve - eksempel t-test, 2 uparrede stikprøver Uparret t-test - eksempel t-test, 2 parrede stikprøver Parret eller uparret? Enkelt- og dobbelt-sidet test F-test F-test - eksempel Variansanalyse - generelt Variansanalyse - teknikken Excel - variansanalyse Excel - F- og t-test Metodesammenligning 7 - Hypotesetest - ikke parametrisk 2 of /02/

3 7.1 - Introduktion Mann-Whitney Wilcoxon Χ Χ 2 - resumé Normalfordelings- approximation Flere tests 8 - Metodevurdering Introduktion Begreber Eksempler Sensititvitet og specificitet Prædiktive værdier ROC-kurver ROC-kurver - eksempel 10 - Statistisk kvalitetskontrol Introduktion Kontrolkort Kontrolmateriale Kontrolgrænser Westgard-regler P og P fr ed Ekstern kvalitetskontrol 11 - Tabeller Tabeller Mann-Whitney Wilcoxon Χ t Normalfordeling F 13 - Lidt matematik Lineær interpolation Logaritmisk transformation Notation 14 - Ændringer Ændringer 1.1 Indledning Hvad er statistik? 3 of /02/

4 Statistik handler groft sagt om talbehandling. Mange beslutninger i dagens samfund er baseret på tal. Politiske beslutninger er bl.a. baseret på tal om den økonomiske udvikling, mens medicinske beslutninger bl.a. er baseret på tal om patienter. Dels tal som beskriver den enkelte patient, dels tal som beskriver hele befolkningen, for at have et sammenligningsgrundlag. Det er klart at hvis man ønsker at sammenligne en konkret patients hæmoglobinkoncentration med den raske del af befolkningen, så bliver man ikke specielt klog af at se hæmoglobinkoncentrationerne fra f.eks raske personer. Man bliver nødt til at kunne danne sig et overblik over disse tal, og det er bl.a. her statistikken kommer ind i billedet. Statistik kan overordnet opdeles i to områder: Beskrivende statistik (deskriptiv statistik) Konkluderende statistik (eller induktiv statistik, eller statistisk inferens) Beskrivende statistik Den beskrivende statistik handler om at skabe overblik over en masse tal. I stedet for at opskrive 3000 hæmoglobinkoncentrationer kan man måske nøjes med at angive en middelværdi og en spredning, eller man kan måske lave et histogram som illustrerer tallene grafisk. Hvis man er omhyggelig med at vælge den rigtige metode, så kan der være samme (relevante) information i en sådan graf, eller i en middelværdi og spredning, som der var i de oprindelige 3000 tal. Og det er vel at mærke blevet væsentlig lettere at overskue og vurdere denne information. Statistisk inferens Mens den beskrivende statistik handler om at udtrække den væsentlige information fra en masse tal, så handler statistisk inferens om at træffe beslutninger på grundlag af denne information. Det kan f.eks. være at afgøre om to forskellige analysemaskiner leverer forskellige svar, eller om en patients koncentration af et eller andet stof har ændret sig pga. en behandling. Kapitel 2 uddyber den beskrivende statistik, altså hvilke former for tabeller, grafer og beregninger man kan anvende til at opsummere data, mens de efterfølgende kapitler tager fat på den induktive statistik. 1.2 Om disse noter Disse sider er primært skrevet som undervisningsmateriale i statistik til bioanalytikeruddannelsen ved VIA University College. Det er indtil videre vigtigt at bemærke at siderne langt fra er færdige. Indtil videre vil der derfor mangle adskillige emner, ligesom nogle emner kun vil være meget kort beskrevet. Jeg vil selvfølgelig være taknemmelig for at blive gjort opmærksom på fejl og mangler (klik på copyright-linien nederst). Siderne indeholder desuden diverse tests som kan anvendes som en delvis kontrol af om materialet er forstået korrekt. Ofte vil eksemplerne ikke være gennemgregnede, men i stedet 4 of /02/

5 være baseret på at man selv udfører beregningerne, som så kan kontrolleres vha. "Kontroller"-knappen nederst på siden. I de opgaver hvor man skal indtaste et tal er det vigtigt at man indtaster det korrekte antal betydende cifre. Hvis man svarer forkert vil man ofte få forslag til hvad man har gjort forkert eller hvor man kan læse mere om teorien. Dette kræver at ens browser er sat til at tillade "popup"-vinduer. Til studerende ved VIA Bioanalyitkeruddannelsen: Hvis man ikke kan få det rigtige svar kan man søge hjælp hos undervisere og medstuderende i den tilhørende konference i Fronter eller på Studienettet. Brug denne mulighed i stedet for at sidde og blive frustreret. Søgefunktion/indholdsfortegnelse Nederst i menuen til venstre findes en søgefunktion, som erstatter den traditionelle indholdsfortegnelse. Funktionen er indtil videre ikke specielt avanceret, idet man kun kan søge på et enkelt ord ad gangen, og de sider der indeholder dette ord vises i numerisk rækkefølge. Man kan uden videre søge på dele af et ord. Bemærk at hvis man har svært ved at finde ordet på de angivne sider, kan man bruge browserens indbyggede søgefunktion når man har valgt siden (typisk CTRL-f eller CTRL-b). På den side hvor søgeresultaterne angives, er der desuden en "Google"-søgeboks, som tillader mere avancerede søgninger. Udskrift På denne side er der mulighed for at få vist en udskriftsvenlig version af et udvalgt kapitel, eller af alle siderne på en gang. Bemærk at udskriften endnu ikke bliver særlig elegant, men den er brugbar, hvis man ikke bryder sig om at læse på skærmen. 1.3 Analysenavne I de kliniske laboratorier anvendes internationale betegnelser for de analyser der foretages. Disse navne er opbygget på følgende måde: System-Komponent, Egenskabsart. Et eksempel på et sådant navn er "P-haptoglobin, stofk.". Dette navn giver 3 forskellige informationer om analysen, som forklaret nedenfor: System I eksemplet er dette "P", som angiver at der måles på plasma. Nogle ofte anvendte systemer er: Forkortelse P U B Navn Plasma Urin Blod 5 of /02/

6 S Serum (ofte anvendes kun P) Komponent I eksemplet er dette "haptoglobin". Dette angiver hvilket "stof" der måles på, f.eks. hæmoglobin eller folat. Egenskabsart I eksemplet er dette "stofk.". Dette angiver hvorledes svaret skal angives. Føglende angiver nogle ofte anvendte egenskabsarter: Forkortelse Betydning stofk. stofkoncentration (dvs. antal molekyler pr volumen; angives ofte i mol/l) antalk. antalkoncentration, (dvs. antal celler pr volumen) L -1 enz.k. Enzymkoncentration U/L antalfr. Antalfraktion (f.eks. andelen af celler af en bestemt type) kat.k. Katalytisk koncentration U/L Enhed mol/l Dimensionsløs 1.4 DANAK DANAK er Danmarks nationale akkrediteringsorgan, og spiller således en særdeles stor rolle indenfor bioanalysen i dag. Disse noter tilstræber, så vidt muligt, at tage udgangspunkt i DANAKS terminologi og begreber (omend der sikkert kan findes adskillige steder hvor det ikke lykkes). Primært tages der udgangspunkt i DANAKs retningslinier i forbindelse med akkreditering indenfor medicinsk undersøgelse, RL1 1 og RL6 2. Pr. 1/ er disse retningslinier afløst af et nyt regelsæt 3. De nye regler er imidlertid ikke helt så let tilgængelige, hvorfor disse noter indtil videre fastholder referencer til RL1 og RL6. Referencer DANAK, RL1 Metodevalidering i kemisk analytiske laboratorier. DANAK, RL6 Validering af måleprocedurer (metodevalidering) i klinisk biokemiske laboratorier DANAK, Akkrediteringskrav efter 1. oktober of /02/

7 1.5 Betydende cifre I forbindelse med angivelse af måleresultater er det vigtigt at tænke over antallet af betydende cifre. Denne side har ikke til opgave at forklare hvordan man afgør det korrekte antal betydende cifre i en given sammenhæng, men blot at gennemgå betydningen af begrebet. Antal betydende er simpelthen antallet af cifre i et tal, talt fra det første ciffer (forskelligt fra nul) fra venstre og mod højre. Bemærk at det kun er "foranstillede" nuller som ikke tælles med. "Bagvedstillede" nuller skal medregnes. Det er formentlig nemmest at forstå ved at kigge på en række eksempler: Tal 5 1 5,00 3 0,5 1 0, * ,0* ,23 3 Antal betydende cifre 1.6 Excel Her følger en oversigt over de sider, hvor man kan læse nærmere om brugen af Excel i forbindelse med statistiske beregninger. Listen er pt. ikke opdateret. Side Indhold Basal brug af Excel. Middelværdi og spredning Lineær regression Installation af "dataanalyse"-pakken, som indholder diverse statistiske værktøjer Variansanalyse F-test t-test Matrix-formler Mann-Whitney-testen 7 of /02/

8 7.3 Wilcoxon-testen 12.2 og 12.3 Generel brug af Excel XY-punktdiagrammer Beregning af sandsynlighed og fraktiler i normalfordelingen. Fremstilling af histogrammer, herunder: Generel brug af Excel Funktionen "tæl.hvis" der optæller antallet af celler der opfylder et bestemt kriterium. Fremstilling af søjlediagrammer Fremstilling af referenceintervaller, herunder: Generel brug af Excel Grafer (xy-plot) Probit-plot 1.7 Copyright Disse noter kan anvendes gratis til ikke-kommercielle formål. Distribution må dog kun ske på en af følgende måder: Som et hyperlink til: eller til en underside heraf. I en papirudgave, hvis denne udstyres med den forside som kan hentes her. Ønskes en anden forside, kan dette aftales individuelt ved henvendelse til forfatteren på Noterne kan fås i en nogenlunde printbar udgave via knappen nederst til venstre i menuen. Enhver form for tilbagemelding i forbindelse med brug af noterne modtages med glæde på 1.8 Referencer Referencer angives i disse noter med hævet skrift. Selve referencerne findes nederst på den pågældende side. 8 of /02/

9 2.1 Beskrivende statistik Grundlæggende er der tre metoder til at lave beskrivende statistik, altså til at opsummere den relevante information der ligger i et givet datasæt. Grafer: Kan være gode til at skabe et overblik, og kan bidrage til at afsløre strukturer i tallene. Er de jævnt fordelt, samler de sig omkring en enkelt værdi med nogle få ekstreme værdier, eller noget helt trejde. Tabeller: Velegnede hvis man ønsker en kvantitativ opremsning af måledata, eller på anden vis ønsker at præsentere tal som skal anvendes til videre beregninger. Beregnede værdier: Dette kan f.eks. være middelværdi og spredning. Sikrer en kvantitativ opsummering af tallene (i modsætning til f.eks. en kvalitativ graf), som f.eks. kan bruges til at teste hypoteser. Bør sjældent stå helt alene, da man risikerer at overse væsentlige strukturerer. 2.2 Grafer Man kan selvfølgelig lave mange forskellige grafer, som alle kan have deres berettigelse, afhængig af situationen. Her gennemgås i første omgang 2 typer, som er blandt de mest anvendte, nemlig xy-plot og differensplot. Når man anvender grafer er der nogle få regler som det er godt at følge: Ikke mere information i figuren end højst nødvendigt. Dvs. man skal ikke anvende specielle 3D-effekter og lignende hvis det ikke tjener et formål. Tilstrækkelig information til at man kan forstå grafen (inkl. figurtekst) isoleret, dvs. det bør ikke være nødvendigt at læse den ledsagende tekst. Det er således obligatorisk at der er navn og enheder på akserne. På de følgende sider kan man læse nærmere om forskellige typer af ofte anvendte grafer. 2.3 XY-plot Et xy-plot bruges når man har målt to sammenhørende parametre. Det kan f.eks. være højde og vægt hos en række personer, eller substratkoncentration og enzymaktivitet i en række serumprøver. På side 12.3 gennemgås hvordan man bruger Excel til at fremstille et xy-plot. Eksempel 1 9 of /02/

10 Substratkonc. (mmol/l) enzymaktivitet (U/L) 0,6 37 1,2 52 2, of /02/

11 2.4 Differensplot Et differensplot bruges typisk hvis man har målt to parametre som i princippet burde være identiske, eller sagt med andre ord: hvis man forventer at et xy-plot giver en ret linje gennem (0,0) og med hældning 1. Et typisk eksempel er metode- eller apparatursammenligning. Dvs. at man har en række patientprøver som analyseres på to forskellige apparater som gerne skulle give samme resultat. På side 12.2 gennemgås hvordan man bruger Excel til at fremstille et differensplot. Eksempel 2 Metode 1 konc (mmol/l) Metode2 konc (mmol/l) Middelværdi (mmol/l) Differens (mmol/l) 0,91 0,88 0,895 0,03 1,62 1,49 1,555 0,13 3,07 3,10 3,085-0,03 4,38 4,51 4,445-0,13 5,36 5,48 5,420-0,12 6,52 6,69 6,605-0,17 6,34 6,13 6,235 0,21 7,93 7,91 7,920 0,02 9,33 9,44 9,385-0,11 10,0 9,57 9,785 0,43 I tabellen ses resultater fra sammenhørende koncentrationsbestemmelser foretaget med to forskellige metoder. Desuden er middelværdi og differens beregnet for hvert par af målinger. Hvis man ønsker at skabe sig hurtigt overblik over om de to metoder giver samme resultater, kan man dels lave et xy-plot, men man kan også med fordel lave et differensplot som vist på Figur 2, hvor middelværdien af hvert målepar er afsat på x-aksen, mens differensen er afsat på y-aksen. 11 of /02/

12 I dette tilfælde ses ikke nogen tydelig forskel på de to metoder. Nogle gange giver den ene metode den største værdi, andre gange er det den anden metode der giver den højeste værdi. Fordelen ved differensplottet, frem for f.eks. et xy-plot er at det nemt afslører hvis f.eks. metode 1 systematisk måler højere end metode 2, idet alle punkter så vil ligge over 0. Ligeledes vil det kunne afsløre hvis variationen mellem de to metoder afhænger af koncentrationen. Men vil således ofte se at forskellen mellem metoderne er større, når koncentrationen i prøven er større. 2.5 Histogrammer Histogrammer bruges når man ønsker at vurdere hvordan tallene i et datasæt fordeler sig (se evt. side 3.1). Histogrammer har historisk haft en vigtig funktion i forhold til at vurdere om et givet datasæt er normalfordelt (se side 3.4), hvilket er vigtigt, da normalfordeling medfører at det bliver væsentligt nemmere at drage konklusioner på baggrund af tallene. De seneste årtier har den teknologiske udvikling imidlertid medført at regnekraft ikke længere er en begrænset ressource, og dermed er probit-plot i mange tilfælde et bedre redskab til at foretage en konkret vurdering af om data er normalfordelte. Probit-plot er nærmere beskrevet på side 3.9. Histogrammer kan dog bidrage til en bedre forståelse af fordelingsbegrebet, hvorfor emnet gennemgås her, samt i powerpoints på side 12.5 og Et histogram er egentlig blot en grafisk præsentation af en klasseinddeling. Følgende er et forsøg på at give en kort teoretisk beskrivelse, men begrebet forstås formentlig nemmest ved at se side 12.5, som indeholder et powerpoint, der gennemgår hvorledes man fremstiller 12 of /02/

13 histogrammer i Excel. Klasseinddeling Hvis man skal præsentere et stort datasæt, er det ofte ikke muligt eller fornuftigt at præsentere dette ved at opskrive samtlige data. I stedet kan man vælge en passende måde at opsummere dette på. Det kunne f.eks. være ved at angive middelværdi og spredning, men ulempen herved at man mister information om hvordan data egentlig fordeler sig. Hvis man har brug for at bevare denne information i lidt større detalje, kan man anvende en såkaldt klasseinddeling. Hvis man f.eks. har målt P-Glukose, stofk. hos 110 raske danskere kan denne se således ud: P-Glukose, stofk. (mmol/l) Antal personer ]3,0-3,5] 1 ]3,5-4,0] 5 ]4,0-4,5] 29 ]4,5-5,0] 36 ]5,0-5,5] 23 ]5,5-6,0] 11 ]6,0-6,5] 4 ]6,5-7,0] 1 Her er altså talt op at 29 af de 110 personer har en glukosekoncentration i intervallet 4,0-4,5 (hvor 4,5 er inkluderet men 4,0 ikke er). Intervallerne bør laves i henhold til nedenstående: Intervallerne skal være lige store. Der skal være et tilstrækkelig stort antal intervaller, til at man rent faktisk kan vurdere fordelingen herudfra. Et sted mellem 5 og 10 intervaller må således betragtes som et absolut minimum. Der skal være et tilstrækkeligt stort antal målinger i intervallerne. Antallet af målinger i det bedst repræsenterede interval bør næppe være meget under 20. Frekvens og hyppighed I forbindelse med (bl.a.) histogrammer ser man ofte begreberne (relativ) frekvens og/eller hyppighed. Desværre er der ikke fuldkommen enighed om betydningen af disse to begreber, og man bør derfor altid overveje hvad der menes i en given sammenhæng. Ordet hyppighed anvendes formentlig oftest i betydningen "antal målinger i et interval". I eksemplet ovenfor er hyppigheden af personer med en koncentration mellem 3,5 og 4 altså 5. Når ordet hyppighed anvendes i denne betydning kan man bruge ordet frekvens i betydningen "antal målinger i et interval delt med det totale antal målinger". Frekvensen af personer med en koncentration mellem 3,5 og 4 er således 5/110=0,045. Alternativt kan man også se at ordet frekvens anvendes med samme betydning som hyppighed ovenfor. Dvs. at frekvensen er 5. I så fald anvendes begrebet relativ frekvens om andelen 5/ of /02/

14 Histogram På grundlag af denne klasseinddeling kan man nu fremstille et histogram, som blot er en grafisk repræsentation heraf: Vha. dette histogram kan man nu foretage en visuel vurdering af fordelingen. I dette tilfælde ses en tendens til at fordelingen er lidt "højreskæv", dvs. der er formentlig ikke tale om en normalfordeling. Excel I Excel kan man fremstille histogrammer på flere måder. Dels manuelt som gennemgået på side 12.6, dels automatisk som gennemgået kort herunder. Fordelen ved den manuelle metode, er at histogrammet automatisk opdateres, hvis data ændres, men ellers er den automatiske metode nok nemmest. Først og fremmest skal man have aktiveret tilføjelsespakken "analysis toolpak", hvilket man kan få hjælp til på side Data opskrives nu i en kolonne, og i fanen "data" vælges "analysis toolpak" som befinder sig længst ude til højre. I den dialogboks der nu dukker op vælges histogram, og man får derved nedenstående billede: 14 of /02/

15 Dialogboksen "histogram" udfyldes som vist på billedet. "Inputområde" angiver det område hvor man har sine data. Hvis man selv ønsker at bestemme intervalinddelingen, skrives de øvre intervalgrænser i en kolonne, og disse angives så i "intervalområde". Hvis dette felt ikke udfyldes, bestemmer Excel nogle passende intervalgrænser. "Outputområde" angiver hvor Excel angiver resultatet af optællingen, og laver diagrammet (hvis man har sat kryds "diagramoutput"). Det diagram Excel laver, ser ud som vist nedenfor. Hvis formålet udelukkende er at foretage en hurtig vurderingen af fordelingen, er Excels diagram tilfredsstillende, men hvis det på nogen måde skal præsenteres, så skal man ændre design og layout væsentligt, så man får et diagram, som vist ovenfor (for P-Glukose). Hvordan dette gøres, er gennemgået på side of /02/

16 2.6 Tabeller Tabeller anvendes typisk til at angive måleresultater. Fordelen ved brug af tabeller er at de gengiver resultaterne kvantitativt, dvs. de tillader læseren at regne videre på tallene, eller at kontrollere beregninger mv. Til gengæld sikrer de ikke nødvendigvis samme overblik som en veldesignet grafisk repræsentation. Tabeller kan også være opsummerende. Hvis man f.eks. har undersøgt 100 personer for en specifik sygdom, vil man næppe lave en tabel hvor resultatet angives for hver enkelt person. I stedet vil man oftest lave en tabel hvor man angiver antallet af syge og antallet af raske. Det er svært at angive generelle regler for hvordan en god tabel ser ud, men ofte betaler det sig at bruge lidt tid på at tænke over hvordan man præsenterer sine tal, så de bliver så letforståelige som muligt. Ligesom for grafer gælder det selvfølgelig, at man ikke skal inkludere mere information end nødvendigt, men omvendt skal der også være information nok til at tabellen umiddelbart kan forstås af læseren. 2.7 Beregninger Den sidste mulighed for at skabe overblik over et større eller mindre datasæt er at beregne en eller flere parametre, som på fornuftig vis beskriver dette datasæt. Hvis en avis skal skrive en artikel om bioanalytikeres løn, så vil de nok referere til et gennemsnit af forskellige bioanalytikeres løn, frem for at opremse hver enkelt lønning. Det er ikke helt trivielt at bruge en parameter som f.eks. middelværdi til at opsummere et datasæt, men korrekt anvendt kan det være et stærkt værktøj. Nedenfor er en kort gennemgang af de mest anvendte parametre. Middelværdi/gennemsnit Middelværdien (eller mere korrekt: det aritmetiske gennemsnit) af et datasæt betegnes med x og beregnes efter formlen: Forklaring: x 1, x 2,..., x n betegner de enkelte målinger i datasættet, og n er det samlede antal målinger. Formlen angiver altså at man skal lægge alle målinger sammen og dividere med antallet af målinger. Spredning/varians Spredningen af et datasæt betegnes SD og beregnes efter formlen: 16 of /02/

17 Spredningen siger noget om hvor langt de enkelte målinger spreder sig fra middelværdien. Hvis man igen ser på bioanalytiker-lønninger så indikerer en stor værdi af SD altså at der er stor forskel på lønningerne, mens en lille værdi af SD indikerer at alle tjener nogenlunde det samme. Variansen er kvadratet på spredningen, altså Variationskoefficient varians = SD 2 Variationskoefficient (CV - "Coefficient of Variance") er defineret som CV = SD / x altså spredningen delt med middelværdien. Denne størrelse er interessant hvis man skal vurdere om en spredning er "stor" eller "lille". Betragt f.eks. en pipette hvor man har foretaget 10 afpippeteringer med samme volumen. Som man kan læse på side 4.3 er spredningen på disse tal et udtryk på pipettens usikkerhed. På grundlag af en sådan spredning er det altså oplagt at spørge om der er tale om en god eller dårlig pipette. Men hvis man kun ved at spredningen er f.eks. 10 µl er det selvfølgelig umuligt at besvare spørgsmålet. Kender man derimod også middelværdien kan det besvares. Hvis de 10 afpippeteringer havde en middelværdi på 1000 µl må der være tale om en særdeles god pipette (CV=0,01=1%) og hvis de 10 afpippeteringer havde en middelværdi på 20 µl må der være tale om en særdeles dårlig pipette (CV=0,5=50%). Median Nogen gange kan det være uheldigt at bruge gennemsnittet. I et lille datasæt kan enkelte ekstreme værdier forrykke gennemsnittet markant. Hvis man f.eks. kigger på lønnen hos 10 bioanalytikere, hvor de 9 tjener ,- om året, mens den sidste tjener ,- (han/hun har måske vundet i lotto) så er det f.eks. ikke ret interessant at vide at gennemsnittet er ,-. Lidt teknisk må middelværdien egentlig kun bruges når datasættet er normalfordelt, (dvs. fordeler sig nogenlunde symmetrisk og klokkeformet omkring middelværdien - se side 3.4). I andre tilfælde kan man bruge medianen. Denne findes ved at opstille tallene i stigende rækkefølge og så vælge det midterste tal. Medianen af datasættet (3,5,6,7,2) er således 5. Hvis man har et datasæt med et lige antal data, hvor der således ikke er en midterste værdi, vælger man gennemsnittet af de to tal i midten. Medianen af tallene (3,7,6,4) er således 5. I eksemplet med bioanalytikernes løn, vil medianen være ,- hvilket nok er noget mere interessant end middelværdien. Medianen er også det samme som 0,5-fraktilen (se side 3.3 og 3.8). Modus 17 of /02/

18 Et begreb man kan støde på i forskellige sammenhænge, men som sjældent er specielt relevant er modus. Dette er det tal i en stikprøve, som forekommer flest gange. Hvis flere forskellige tal forekommer lige mange gange, kan man anvende gennemsnittet (eller medianen) af de oftest forekomne tal Excel Lineær regression Denne forrige side sider beskriver har beskæftiget helt basal brug sig med, af Excel hvodan til f.eks. man beregning opsummerer af middelværdi målinger af en og enkelt spredning. parameter; På f.eks. side hæmoglobin 1.6 er der henvisninger hos raske danskere. til flere eksempler En anden på klassisk mere problemstilling eller mindre avanceret brug måling af af Excel. to sammenhængende Siden tager udgangspunkt parametre, i Excel som 2007, f.eks. men eksempel det basale 1 og 2 er på identisk side 2.3 i ældre og 2.4. udgaver af Excel (og Open Office). I disse tilfælde er det ikke nødvendigvis specielt interessant at kunne udtale sig om Når middelværdien man skal have af målingerne Excel til at på foretage den ene en eller beregning den anden i celle, parameter. starter Derimod man med er det ofte lighedstegn. interessant at Skrives kunne f.eks. udtale "=2+2" sig om (uden graden anførselstegn) af sammenhæng i en mellem celle, vil de Excel to parametre. skrive "4". Dvs. Har man hvis man brug kender for formel, den ene som parameter, man ikke kan umiddelbart man så forudsige kender, værdien kan man af få den hjælp anden? under Og fanen hvis "formler". svaret herpå Under "ja": punktet Kan "flere man så formler" opskrive er et der matematisk en oversigt udtryk over alle for de denne statistiske sammenhæng? funktioner som Excel kender. Allerførst er det vigtigt at gøre sig klart at man ikke, med rent matematiske udregninger, kan Beregning udtale sig om af middelværdi hvorvidt der og er spredning en given sammenhæng foretages som mellem vist på to nedenstående paramtre. Dvs. billede. hvis man ønsker at undersøge dette, så begynder man altid med et xy-plot som gennemgået på side 2.3. Hvis dette giver anledning til at tro på at der en lineær sammenhæng mellem de to parametre, så kan man gå videre med statistiske beregninger, som kan sige noget om hvor god denne sammenhæng er, og som kan give en matematisk beskrivelse af sammenhængen. Det klassiske eksempel fra bioanalysen på brug af lineær regression, er i forbindelse med fotometri og Lambert-Beers lov. Fotometri anvendes til bestemmelse af koncentrationen af farvede stoffer i en opløsning, idet Lambert-Beers lov siger at der er en lineær sammenhæng mellem den såkaldte "absorbans" og koncentrationen af det farvede stof. Når man skal anvende fotometri til at fastlægge koncentrationen af et stof i en ukendt prøve, fremstilles først en standardkurve, dvs. at man måler på en række prøver med kendt koncentration. Resultatet af dette plottes grafisk (i et xy-plot - se side 2.3), og hvis dette viser en lineær sammenhæng, anvendes lineær regression til at fastlægge den matematiske sammenhæng mellem absorbans og koncentration. Endelig kan denne matematiske sammenhæng så anvendes til at bestemme koncentrationen i den ukendte prøve, ved at man måler dens absorbans, og herefter bruger den fundne sammenhæng til at beregne koncentrationen I det følgende gennemgås hvordan man anvender Excel til at lave lineær regression. Teorien bag lineær regression gennemgås ikke. Data opskrives typisk i en kolonne, hvorefter middelværdien beregnes i en tilfældig celle ved at Eksempel skrive: "=middel(a1:a10)". a1 og a10 henviser til nummeret på den første og sidste celle med data. I forbindelse med fremstilling af en standardkurve, har man målt følgende sammenhæng Spredningen beregnes vha. formlen "=stdafv(a1:a10)". mellem koncentration og absorbans: Ønsker man f.eks. at beregne variationskoefficienten, kan det (i dette eksempel) gøres ved at skrive "=E4/E3" i en tilfældig Koncentration celle. (mmol/l) Absorbans 0,00 0,000 Der er mere inspiration til generel brug af Excel på side of /02/

19 1,00 0,216 2,00 0,438 3,00 0,680 4,00 0,861 Først plottes disse målinger i et xy-plot (se evt. side 12.7 for en gennemgang af hvorledes dette gøres i Excel): Dette plot er i overenstemmelse med forventningen om at der er en lineær sammenhæng mellem koncentration og absorbans. For at lave lineær regression højreklikkes nu på et af datapunkterne, og der vælges "tilføj tendenslinie". I Excel XP/2003 skal man under fanen "type" vælge "lineær" og under fanen "avanceret" sætte kryds ved "Vis ligning i diagram" og vis "R-kvadreret værdi i diagram". I Excel 2007 findes disse felter under "indstillinger for tendenslinie". Herefter har man følgende diagram: Fortolkning Korrelationskoefficienten: 19 of /02/

20 Værdien R 2 er den såkaldte korrelationskoefficient, og angiver graden af sammenhæng mellem de to parametre. Hvis R 2 = 1 er der en perfekt lineær sammenhæng, og hvis R 2 = 0 er der overhovedet ingen sammenhæng. Regressionsligningen: Ligningen som i eksemplet er "y = 0,218x+0,001" angiver den matematiske forskrift, som bedst muligt beskriver sammenhængen mellem de to parametre. Hvis man f.eks. har en prøve med absorbansen 0,3 kan man nu bestemme koncentration vha. ligningen, dvs: c = (0,3-0,001)/0,218 = 1,37 mmol/l 2.10 Passing-Bablock og Deming regression Selv om de tekniske aspekter af lineær regression på side 2.9 blev overladt til Excel, er det forholdvist enkelt at forstå det grundlæggende princip bag almindelig lineær regression. De røde streger på figur 1, viser de såkaldte residualer, dvs. forskellen mellem de observerede y-værdier, og de estimerede værdier. Regressionslinjen beregnes som den linie der minimerer størrelsen af disse residualer (eller mere præcist: summen af kvadratet på residualerne). Denne metode har principielt nogle forudsætninger, hvoraf nedenstående nok er de vigtigste: Den uafhængige variabel (x) skal være bestemt uden usikkerhed Den afhængige variabel (y) skal være normalfordelt - dvs. at hvis man måler flere gange for samme værdi af x, skal disse målinger være normalfordelte. Især den første forudsætning er sjældent opfyldt i praksis. Den anden forudsætning medfører desuden at enkelte "outliers" (dvs. punkter som er målt meget forkert) kan påvirke resultatet kraftigt. Dette er stort set samme problemstilling, som når det skal afgøres, om man skal bruge middelværdien eller medianen til at opsummere en stikprøve. 20 of /02/

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Per Vejrup-Hansen STATISTIK. med Excel. 2. udgave

Per Vejrup-Hansen STATISTIK. med Excel. 2. udgave Per Vejrup-Hansen STATISTIK med Excel 2. udgave Per Vejrup-Hansen Statistik med Excel Per Vejrup-Hansen Statistik med Excel 2. trykte udgave 2012 1. e-bogsudgave 2012 Samfundslitteratur 2012 e-isbn: 978-87-593-1736-5

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Validitetserklæring for NPU02497 P-Insulin;stofk.

Validitetserklæring for NPU02497 P-Insulin;stofk. Valideringsperiode: December2010- Januar 2011 Arbejdsgruppe: Udstyr: Specialist bioanalytiker Britta Lende Poulsen Bioanalytiker underviser Britta Nielsen Kvalitetsleder Karin Heidemann Advia Centaur XP

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Skolesektionen på www.ballerup.dk

Skolesektionen på www.ballerup.dk Skolesektionen på www.ballerup.dk Louise Callisen Dyhr (ldyh) Marie Louise Gottlieb Frederiksen (mgfr) Janus Askø Madsen (jaam) Nanna Petersen (nshy) Antal tegn: 28319 Afleveringsdato: 21. maj 2014 1 Indledning...

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING... Indledning KAPITEL ET... Kom videre med Excel Flyt markering efter Enter... 8 Undgå redigering direkte i cellen... 9 Markering ved hjælp af tastaturet... 10 Gå til en

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014 Matematik B Højere handelseksamen hhx143-mat/b-15122014 Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i

Læs mere

Teknikker til analyse af tal med Excel

Teknikker til analyse af tal med Excel 1 Appendiks 2 Teknikker til analyse af tal med Excel Dette appendiks indeholder mange gentagelser fra kapitel 10, afsnit 4 Teknikker til analyse af tal i Den skinbarlige virkelighed) dog med den forskel,

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Excel anvendt på laboratoriet

Excel anvendt på laboratoriet U D K A S T Plan for kursusforløb Excel anvendt på laboratoriet Statens Seruminstitut Foråret 2006 KURSUSFORLØB Det forventes, at der vil blive tale om 2 parallelle forløb: A: Forløb for deltagere på begynder-niveau

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh141-mat/b-23052014 Fredag den 23. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Fag: KEMI Journal nr. Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT Navn: Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Formålet er at bestemme opløseligheden

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

At kommunikere i diagrammer

At kommunikere i diagrammer At kommunikere i diagrammer Statistik formidles grafisk i kurver, søjler, cirkler og tabeller, målet er at formidle data i form af tal på en let og overskuelig måde, så læseren hurtigt kan danne sig et

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Effektiv søgning på web-steder

Effektiv søgning på web-steder Effektiv søgning på web-steder 7. maj 1998 Udarbejdet af DialogDesign ved Rolf Molich, Skovkrogen 3, 3660 Stenløse Indhold 1. Indledning 3 1.1. Model for søgning 3 2. Forskellige former for søgning 4 2.1.

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere