Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Transkript

1 3-ugers kursus, s og s Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi Danmarks Tekniske Universitet 19 Januar 2005

2 ii

3 Indhold List of figures vi 1 Indledning 1 2 Navier-Stokes ligningen Leddene i Navier-Stokes ligningen Poiseuille strømning Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit Topologi-optimering Topologi-optimering af et stationært Navier-Stokes flow Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Ulineær Darcy dæmpning Bestemmelse af koefficienterne c 1, c 2 og c Undersøgelse af ulineariteter i F Da Simulering af hastighedsprofil i rektangulær kanal FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær kanal Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Konklusion 27 iii

4 iv INDHOLD

5 Figurer 2.1 Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translationsinvariant i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + p for x = (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med 10% af maximalværdien v x (0, h 2 ), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa Væskestrømning gennem lige mikrokanal Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q- parameteren Grafisk illustration af den iterative proces, som benyttes i topologi-optimeringen. Kontur-kurverne symboliserer målfunktionen, mens den røde linie symboliserer de fysiske grænsebetingelser i systemet Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier D plot af F Da v som funktion af γ og α v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære Darcy kraft samt værdierne β = 1 og Da = 1e 5 benyttet, således at tværsnittet af den simulerede kanal er rektangulær v

6 vi FIGURER 5.5 Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen

7 Kapitel 1 Indledning I denne rapport opstilles en model til at beskrive væskestrømninger i en mikrokanal med et givent tværsnit. Modellen bygger på den antagelse, at det er muligt at beskrive dæmpningen af væskestrømningen ved at tilføje et ulineært dæmpningsled i den fundamentale Navier-Stokes ligning. Dette dæmpningsled går ofte under navnet den ulineære Darcy kraft. Modellen er en udbygning af en i forvejen kendt model, som ikke benytter ulineær Darcy dæmpning. Det er tanken, at man ved indførelsen af dette dæmpningsled kan opnå mere korrekte simuleringer for kanaler med visse tværsnit. Det er hensigten, at modellen skal kunne bruges til at beskrive mange forskellige tværsnitsgeometrier blot ved at justere på en enkelt parameter kaldet β. Dog vil der i denne rapport kun betragtes kanaler med rektangulært tværsnit af hovedsageligt to grunde. For det første kendes teoretiske løsninger til en sådan geometri allerede fra litteraturen, og for det andet er netop denne geometri af stor forskningsmæssig interesse, da mange lab-on-a-chip systemer i praksis benytter sig af kanaler med rektangulært tværsnit. Ved brug af programmet FemLab og den opstillede model beregnes hastighedsprofiler for væskestrømninger i en sådan kanal, og β bestemmes, således at profilen stemmer godt overens med den teoretisk beregnede. Det beskrives efterfølgende, hvordan modellen kan implementeres i en på forhånd kendt MatLab rutine, som er konstrueret til at foretage topologi-optimering af forskellige strømningsproblemer. Til slut sammenlignes simuleringer foretaget ved brug af denne rutine for et givent strømningsproblem, både ved brug af den opstillede model (med ulineær Darcy dæmpning) og uden ulineær Darcy dæmpning. 1

8 2 KAPITEL 1. INDLEDNING

9 Kapitel 2 Navier-Stokes ligningen I dette kapitel betragtes Navier-Stokes ligningen, som er en af de mest fundamentale ligninger i mikrofluid-teori. Først knyttes nogle kommentarer til de enkelte led i ligningen, og derefter beregnes hastighedsprofilen for væskestrømningen i en kanal med rektangulært tværsnit. 2.1 Leddene i Navier-Stokes ligningen I langt de fleste tilfælde vil det være rimeligt at antage, at den betragtede væske er inkompressibel. I dette tilfælde er Navier-Stokes ligningen givet ved ρ( t v + (v )v) = p + η 2 v + ρg + ρ el E, (2.1) hvor ρ er densiteten af væsken, v er hastighedsfeltet, p er trykket, η er viskositeten, ρ el er ladningsdensiteten og E er det eksterne elektriske felt. Det er i denne sammenhæng vigtigt at understrege, at hastighedsfeltet ikke betegner hastigheden for en enkelt væskepartikel, men i stedet er hastigheden i et bestemt punkt i rummet (givet ved stedvektoren r) til tiden t. Det bemærkes, at ligningen er en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket i mange tilfælde gør det umuligt at finde analytiske løsninger. Ligningen er opskrevet vha. Newtons anden lov, og venstresiden betegner den resulterende kraft (pr. volumen), som afhænger af både af den tidslige variation af hastighedsfeltet og dets divergens. Højresiden af ligningen er en superposition af de enkelte krafter (eller rettere kraftdensiteterne) som har en indvirkning på væskestrømningen. Det første led angiver gradienten af trykket. Ofte vælges koordinatsystemet og geometrien af ens fysiske system således, at trykgradienten kan skrives som et trykfald, p. Det andet led kaldes det viskøse led, eftersom det beskriver gnidningskrafterne i væsken. Det vil sige, betragtes en region Ω i væsken med overfladen Ω, vil gnidningskrafter fra den omsluttende væske virke på overfladen Ω. Størrelsen af disse viskøse krafter er til dels bestemt af viskositeten, η, som er en materialespecifik parameter. De to sidste led er såkaldte body forces, som er ydre krafter virkende på hele væsken. Det første af disse to led er gravitationskraften, og det andet led er kraftpåvirkningen hidrørende fra et ydre elektrisk felt, som vekselvirker med ladning i væsken. Det skal til slut nævnes, at det er 3

10 4 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN muligt at udbygge den her betragtede Navier-Stokes ligning, så den også tager højde for andre kraftpåvirkninger. Dette gøres i praksis ved at addere disse krafter på højresiden af ligningen. 2.2 Poiseuille strømning Som nævnt i det foregående afsnit, er Navier-Stokes ligningen en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket gør det svært at bestemme analytiske løsninger i de fleste tilfælde. Det er imidlertid muligt at bestemme mange løsninger ved hjælp af numeriske beregningsmetoder, fx ved hjælp af MatLab. Dog er det ofte til stor hjælp at kende til de få analytiske løsninger, man kan finde, da de kan bidrage til en større forståelse af andre beslægtede problemstillinger. I dette afsnit opstilles de fysiske ligninger for en speciel klasse af strømningsproblemer, som kaldes Poiseuille problemer. I næste afsnit vil løsningen til et sådant problem bestemmes for en kanal med et rektangulært tværsnit. Et Poiseuille strømningsproblem er karakteriseret ved, at der ikke er nogen tidslig variation af strømningerne, og at der benyttes tryk til at drive væsken gennem uendeligt lange translations-invariante kanaler. Desuden benyttes såkaldte no slip grænsebetingelser, som betyder, at hastighedsfeltet forsvinder på grænsefladen Ω mellem væsken og kanalvæggene, det vil sige v(r) = 0, for r Ω. (2.2) Denne grænsebetingelse bygger på den antagelse, at de molekyler i væsken som er i kontakt med kanalvæggene ligger fuldstændigt stille i forhold til molekylerne i kanalvæggen. Der betragtes nu en kanal med arbitrært tværsnit C, som er translations-invariant i x- retningen, og som indeholder en væske, der er udsat for et trykfald p. Definitionerne, der benyttes i det følgende, er skitseret i fig p(0) = p 0 + p z y C C x p(l) = p 0 Figur 2.1: Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translations-invariant i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + p for x = 0.

11 2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT5 Gravitationskraften er udbalanceret af en hydrostatisk trykgradient i z-retningen, og disse krafter er derfor udeladt i beregningerne. Eftersom strømningen er tidsinvariant, er t v = 0. Desuden bevirker translations-invariansen af C i x-retningen, og det faktum at krafterne i yz planet udbalancerer hinanden, at (v )v = 0. Navier-Stokes ligningen bliver da i dette tilfælde 0 = η 2 [v(r)] p, v(r) = v x (y, z)e x. (2.3) Eftersom y- og z-komposanterne af hastighedsfeltet er nul, bliver trykfeltet uafhængigt af y og z, og dermed er p(r) = p(x). Det er således muligt at skrive x-komposanten af Navier-Stokes ligningen som η[ 2 y + 2 z ]v x (y, z) = x p(x). (2.4) Denne anden-ordens partielle differentialligning kan løses ved hjælp af metoden kaldet seperation af de variable. Først indses det, at højresiden kun afhænger af x, og at venstresiden afhænger af y og z. Derved kan hver af de to sider sættes lig med den samme konstant. Dette betyder, at trykket må afhænge lineært af x, og ved at benytte grænsebetingelserne fås p(x) = p L (L x) + p 0. Det er således muligt at opskrive den anden-ordens partielle differentialligning, lign. (2.4), med tilhørende no-slip grænsebetingelser, som modellerer væskestrømningen i Poiseuille problemet η[ y 2 + z 2 ]v x (y, z) = p, for (y, z) C (2.5) ηl v x (y, z) = 0, for (y, z) C. Det er ikke muligt at løse denne differentialligning uden at vælge et specifikt kanaltværsnit. I næste afsnit løses denne ligning for en kanal med rektangulært tværsnit. 2.3 Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit I dette afsnit bestemmes løsningerne til lign. (2.5) for en kanal med rektangulært tværsnit. Det viser sig imidlertid, at problemet ikke kan løses analytisk, men at løsningen kan bestemmes med tilfredsstillende nøjagtighed ved hjælp af Fourierrækker. Højden, h, af kanalen er mindre end dens bredde w. Benyttes tillige no-slip grænsebetingelserne er Navier-Stokes ligningen med tilhørende grænsebetingelser givet ved η[ y 2 + z 2 ]v x (y, z) = p ηl, for 1 2 w < y < 1 w, 0 < z < h, (2.6) 2 v x (y, z) = 0, for y = ± 1 w, z = 0, z = h. 2

12 6 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN Som nævnt kan dette Poiseuille strømningsproblem løses ved først at lave en Fourierrækkeudvikling i z-retningen af alle funktionerne og derefter benytte de givne grænsebetingelser. Det kan vises [1], at hastighedsfeltet for væskestrømningen i kanalen er givet ved v x (y, z) = 4h2 p π 3 ηl n,odd 1 n 3 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z ). (2.7) h I fig. 2.2 er hastighedsprofilerne langs symmetriakserne afbildet, samt et konturplot af hastighedsfeltet i et tværsnit af kanalen. h (a) z (c) 0 (b) v x (y,h/2) 1 2 w 1 2 w y v x (0,z) Figur 2.2: (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med 10% af maximalværdien v x (0, h 2 ), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z. For at simplificere problemet yderligere betragtes kun den ene halvdel af tværsnittet, og der integreres over z-retningen, således at der udledes et udtryk for middelhastigheden i x-retningen, som alene er en funktion af y. < v x (y) > = 1 h h < v x (y) > = 8h2 p π 4 ηl 0 dz 4h2 p π 3 ηl n,odd n,odd 1 n 3 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z h ) 1 n 4 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w (2.8) 2h )] Det ses, at for y = w 2, er v x(y) = 0, det vil sige, at no-slip grænsebetingelsen er opfyldt. I den anden grænse, altså i midten af kanalen, bliver hastigheden < v x (0) >= h2 p 12ηL. (2.9)

13 2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT7 I fig. 2.3 ses v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. 3.5 x 10 6 Hastighedsprofil, v x (y) v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 2.3: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. Denne hastighedsprofil vil blive benyttet senere til at tilpasse en matematisk model, som efterfølgende vil kunne bruges til at simulere væskestrømningen i en kanal med rektangulært tværsnit. Ydermere vil modellen kunne benyttes til at lave topologi-optimering i et system, hvor væskestrømningerne foregår i kanaler med rektangulære tværsnit. Mere om dette i kapitel 4.

14 8 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN

15 Kapitel 3 Topologi-optimering Dette kapitel er baseret på [2], og beskriver en metode til at optimere diverse strømningsproblemer. Denne metode kaldes topologi-optimering og er en numerisk iterativ løsningsmetode. For lettest at kunne forklare, hvad topologi-optimering nærmere går ud på, tager vi udgangspunkt i et konkret eksempel. Figur 3.1: Væskestrømning gennem lige mikrokanal. Strukturen i den ovenstående figur forestiller en lige mikrokanal med højden h og længden L = 10h. Som det kan ses, er kanalen sammensat af tre forskellige områder. Det blå område, som er det midterste af de tre, skal forestille, at kanalen her er fyldt med et porøst svampelignende materiale, som har en rumligt varierende porøsitet, mens de to yderste områder skal forestille tom kanal. Påtrykkes en trykforskel, p, vandret hen over mikrokanalen, kan man få drevet væske fra den venstre ende af kanalen gennem det porøse materiale og til den højre ende. Betragtes størrelsen af x-komposanten af væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r*, vil denne være afhængig af, hvorledes svampen er udformet, da porøsiteten af svampen kan varieres rumligt. Formålet med dette konkrete eksempel på topologi-optimering er at finde den mest optimale udformning af svampen, således at netop x-komposanten af væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r* bliver minimeret. Da topologi-optimeringen foregår numerisk ved hjælp af programmet FemLab, er det nødvendigt at indføre nogle forskellige størrelser. Den første størrelse er en såkaldt målfunktion, 9

16 10 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING Φ, som er en funktion, der udtrykker netop x-komposanten af væskens hastighedsvektor i punktet r*. Φ(v, γ) = v x (r ) (3.1) Det er altså denne funktion, Φ, som skal minimeres ved at variere den lokale porøsitet af svampen, hvilket svarer til at finde den mest optimale udformning af svampen. Som det kan ses, afhænger målfunktionen af hastighedsfeltet v, som er løsningen til Navier-Stokes ligningen, samt af størrelsen γ, som forklares i det følgende. For at kunne kontrollere variationen af porøsiteten af svampen rumligt, indføres et designvariabelt felt, γ(r), som kan antage værdier mellem 0 og 1. Når γ = 0 i et bestemt punkt, svarer det til, at kanalen i det pågældende punkt er fyldt med solidt materiale, mens γ = 1 svarer til, at kanalen i det pågældende punkt er tom. Sammenhængen mellem denne design-variabel, γ(r), og den lokale inverse porøsitet, givet ved α(r), fås ved hjælp af følgende ligning q[1 γ(r)] α(r) = α min + (α max α min ) (3.2) q + γ(r) Ligningen viser, at α kan variere både lineært og ikke-lineært som funktion af γ afhængig af størrelsen på parameteren q. For q 0, er der en ikke-lineær sammenhæng mellem α og γ, mens en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng opstår, når q >> 1. Parameteren q bruges altså til at skrue på sammenhængen mellem α og γ, hvilket også kan ses ved hjælp af følgende figur. Figur 3.2: Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q- parameteren. I lign. (3.2) optræder foruden γ og q, de to størrelser α min og α max. Disse to størrelser, som svarer til henholdsvis ingen materiale, altså uendelig porøsitet, og solidt materiale, altså ingen porøsitet, burde teoretisk set være lig med henholdsvis 0 og. Men for at lette det numeriske arbejde sættes α min = 0, mens α max sættes lig med den endelige værdi η α max = Da L 2 (3.3)

17 3.1. TOPOLOGI-OPTIMERING AF ET STATIONÆRT NAVIER-STOKES FLOW 11 I denne ligning beskriver L den karakteristiske længdeskala i systemet, η er viskositeten af væsken i systemet, og Da er det såkaldte Darcy tal, som beskriver forholdet mellem de viskøse og porøse gnidningkræfter i systemet. Da α max angiver den inverse porøsitet, og da α max afhænger omvendt af Da, vil porøsiteten altså afhænge proportionalt med Da. Dette resulterer i, at jo mindre Darcy tallet er, des mindre vil porøsiteten af materialet være. For at sikre at materialet kan blive solidt, skal man i praksis have et Darcy tal på Da << 1e Topologi-optimering af et stationært Navier-Stokes flow Som vist i det foregående kapitel, kan den stationære Navier-Stokes ligning for en inkompressiblel væske skrives som 0 = p + η 2 v + ρg + ρ el E, (3.4) hvor det igen er benyttet, at det ikke-lineære led (v )v er lig med 0, da kanalstrukturen er translations-invariant i x-retningen, og hastigheden samtidig kun har en x-komposant. Løsningen til denne inhomogene anden-ordens differentialligning angiver hastighedsprofilen for væskestrømningen. For at kunne finde nogle løsninger, som er fysisk acceptable, er det nødvendigt at opstille nogle grænsebetingelser, der sikrer, at fysikken er overholdt. Hvis disse grænsebetingelser skrives som g(v, γ) = 0, går topologi-optimeringen altså ud på at finde det design af svampen, som optimerer Φ(v, γ), altså minimerer x-komposanten af hastighedsvektoren i punktet r*, bedst muligt, og som samtidig overholder fysikken. For at kunne forstå den iterative løsningsmetode, som topologi-optimeringen som sagt er, betragtes nedenstående figur, som er en grafisk illustration af optimerings-problemet. Figur 3.3: Grafisk illustration af den iterative proces, som benyttes i topologi-optimeringen. Kontur-kurverne symboliserer målfunktionen, mens den røde linie symboliserer de fysiske grænsebetingelser i systemet. I denne figur angiver den røde linie de fysiske grænsebetingelser, mens kontur-kurverne angiver størrelsen af målfunktionen Φ(v, γ). Minimum for målfunktionen findes et sted indeni den mindste af kontur-kurverne.

18 12 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING Den iterative løsningsproces ser ud som følger. For at starte iterationen gætter man på et simpelt svampe-design, altså et simpelt gamma-felt. For at gøre dette gæt fysisk beregnes den tilhørende hastighedsprofil for væskestrømningen, hvilket vil sige, at den simplificerede Navier-Stokes ligning løses. Med denne hastighedsprofil beregnes dernæst gradienten af målfunktionen langs den røde linie. Ved at følge denne gradient mod minimaet for målfunktionen, kommer man frem til et bedre gæt på gamma-feltet. Dette gæt gøres så igen fysisk ved at beregne den tilhørende hastighedsprofil for væsken. Med denne profil beregnes så igen gradienten af målfunktionen langs den røde linie, og man kan dermed komme med et endnu bedre gæt på gamma-feltet. Denne iterative proces fortsættes, indtil man ikke kan minimere målfunktionen y- derligere, og man har altså derved fundet det bedst mulige svampe-design. 3.2 Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Der vil nu blive betragtet en konkret problemstilling, som omhandler topologi-optimering i en bestemt geometri med visse veldefinerede fysiske grænsebetingelser. Værktøjerne, som benyttes til at simulere problemet med, er MatLab og FemLab, som begge er programmer, der benytter sig af numeriske beregningsmetoder. Først defineres i FemLab det domæne, hvori problemet skal løses. I denne simulering konstrueres et vinklet domæne, som ligner et roteret L. Dette L-domæne opdeles i tre sub-domæner. Det midterste af disse sub-domæner skal svare til en porøs svamp af samme type, som den der blev omtalt først i dette kapitel, mens de to andre domæner skal svare til en tom kanal, hvor væsken kan bevæge sig frit dog med no-slip grænsebetingelser på kanalvæggene. Dette gøres ved at definere et varierende γ-felt i det midterste sub-domæne, og sætte γ = 1 i de to andre sub-domæner. Hvis simuleringen køres, er resultatet de to figurer vist i fig Den øverste af figurerne viser det design af svampen, som simuleringen har fundet frem til bedst minimerer målfunktionen, mens den nederste figur viser, hvordan hastigheden af væsken varierer gennem kanalen. Ved at betragte det design, som simuleringen er kommet frem til, kan det meget let konkluderes, at design-optimeringen bestemt ikke er triviel. Det kræver i hvert fald en meget god fantasi, hvis man selv skulle komme op med netop dette design. Denne simulering, som senere vil blive refereret til som s-svings simuleringen, har altså nu optimeret målfunktionen for en væskestrømning gennem den porøse svamp. I simuleringen er den kanal, som væsken skal flyde igennem, en kanal som er translations-invariant i z-retningen, hvilket svarer til, at kanalen ikke har nogen top og bund. Det vil altså sige, at denne simulering er første skridt imod en simulering af en rektangulær kanal, som jo foruden vægge også har top og bund.

19 3.2. SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL13 Figur 3.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen. Formålet med resten af denne rapport vil altså være at få udviklet en ny model, som ligner den, der er brugt i den ovenstående simulering, men som tager højde for, at kanalen har et rektangulært tværsnit og ikke bare er translations-invariant i z-retningen.

20 14 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING

21 Kapitel 4 Ulineær Darcy dæmpning Næste skridt på vej mod simuleringen af en rektangulær kanal, er altså at få taget højde for kanalens top og bund. Dette gøres ved at tilføje endnu en gnidningskraft, den såkaldte Darcy kraft, på højresiden af Navier-Stokes ligningen. ρ( t v + (v )v) = p + η 2 v + ρg + ρ el E f Da v (4.1) I teorien er f Da lig en uendelig potensrække. Men eftersom højere-ordens leddene bidrager mindre og mindre, er det en rimelig simplificering kun at medtage leddene op til anden orden. Hermed kan F Da altså skrives som hvor α(γ) er givet ved lign. (3.2). F Da = v (c 1 α 2 (γ) + c 2 α(γ) + c 3 ) (4.2) Bestemmelse af koefficienterne c 1, c 2 og c 3 For at kunne bestemme nogle udtryk for koefficienterne c 1, c 2 og c 3, betragtes fig Som figuren viser, kan de tre koefficienter ikke vælges frit og uafhængigt af hinanden. Dette skyldes, at der blandt andet gælder følgende to krav og F Da,min = v (c 1 α 2 min + c 2 α min + c 3 ) (4.3) F Da,max = v (c 1 α 2 max + c 2 α max + c 3 ). (4.4) Da begge disse ligninger altid skal være opfyldt, kan c 3 isoleres i begge ligninger, og de to fremkomne udtryk for c 3 kan sættes lig med hinanden. Derved kan man efter lidt simplificering nå frem til følgende udtryk, som angiver relationen mellem c 1 og c 2. c 2 = 1 F Da,max F Da,min c 1 (α max + α min ) v α max α min Dette udtryk for c 2 kan imidlertid simplificeres, da F min og F max kan udtrykkes på følgende måde F min = v α min F max = v α max 15

22 16 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING Figur 4.1: Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier. Indsættes dette i lign. (4.0.1), fås efter simplificering, at c 2 = 1 c 1 (α min + α max ) (4.5) Ved at indsætte dette simple udtryk for c 2 i enten lign. (4.3) eller lign. (4.4) og igen benytte, at F min = v α min, kan man finde et tilsvarende simpelt udtryk for c 3. c 3 = c 1 α min α max (4.6) For at kunne bestemme et udtryk for c 1 skal figur 4.1 betragtes påny. Foruden de allerede nævnte to krav på F min og F max, er der også følgende krav på hældningskoefficienten i punkterne (α min, F min ) og (α max, F max ) df Da dα α min 0 df Da dα α max 0. Hvis disse to krav ikke er opfyldt, vil det være muligt at få en kraft, som ligger udenfor intervallet [F Da,min, F Da,max ], hvilket er ufysisk.

23 4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 17 Ved hjælp af lign. (4.2) samt lidt ulighedsregning, giver disse to krav, at c 2 2c 1 α min c 2 2c 1 α max Indsættes det tidligere fundne udtryk for sammenhængen mellem c 2 og c 1, altså lign. (4.5), i disse to uligheder, kan man efter simplificering nå frem til at c c 1 α max α min α max α min Disse 2 uligheder kan samles i en trekantsulighed, således at 1 c 1 α max α min 1 α max α min (4.7) Ved at indføre en dimensionsløs parameter, β, som ligger mellem -1 og 1, kan denne trekantsulighed skrives på følgende kompakte måde. c 1 = β α max α min For at opsummere, er udtrykkene for koefficienterne c 1, c 2 og c 3 altså givet ved: β c 1 =, α max α min β [ 1, 1] (4.8) c 2 = 1 c 1 (α min + α max ) (4.9) c 3 = c 1 α min α max (4.10) 4.1 Undersøgelse af ulineariteter i F Da Som det er set tidligere, kan Darcy kraften skrives som F Da = v (c 1 α 2 (γ) + c 2 α(γ) + c 3 ) hvor koefficienterne er givet ved hjælp af lign.(4.8), (4.9) og (4.10). Det er let at se, at F Da afhænger ulineært af α gennem α 2 -leddet, men derimod er det lidt sværere at se, at der yderligere er en ulinearitet i F Da. Dette skyldes, at denne ulinearitet er gemt i α. Jævnfør lign. (3.2) kan α afhænge ulineært af γ afhængigt af q-parameteren. Det vil dermed sige, at F Da også kommer til at kunne afhænge ulineært af γ både gennem det ulineære α 2 -led og gennem det lineære α-led. Det vil altså sige, at Darcy kraften afhænger ulineært af både α og γ. Ved hjælp af de to parametre β og q, kan påvirkningen fra disse ulineariteter dog justeres. Når der skrues på β-parameteren, som jo ligger mellem -1 og 1, skrues der nemlig på c 1 -koefficienten og derved på α-ulineariteten, mens γ-ulineariteten påvirkes, når der skrues på q-parameteren, da sammenhængen mellem α og γ jo afhænger af q, jævnfør figur 3.2.

24 18 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING Når Darcy kraften bliver medtaget i simuleringerne af væskestrømningen gennem den porøse svamp, hvilket jo svarer til, at der kommer top og bund på den kanal, der går gennem svampen, vil q-parameteren variere i løbet af simuleringen. Dette skyldes, at parameteren bruges til at få simuleringen til at konvergere mod et egentligt resultat. Derimod vil β-parameteren ikke variere gennem simuleringen, eftersom denne vælges inden simuleringen starter. Det vil altså sige, at sammenhængen mellem F Da og α er bestemt inden simuleringen, mens sammenhængen mellem F Da og γ varierer i løbet af simuleringen, således at F Da afhænger ulineært af γ i begyndelsen af simuleringen, hvor q-parameteren er lille, mens den afhænger tilnærmelsesvis lineært af γ i slutningen af simuleringen, hvor q = 1. For at kaste en smule lys over disse ulineariteter, er F Da afbildet i den nedenstående figur som funktion af både γ og q for tre forskellige værdier af β. β= 1 β=0 0 0 F Da / v 50 F Da / v γ 0 0 q γ 0 0 q β=1 0 F Da / v γ 0 0 q Figur 4.2: 3D plot af F Da v som funktion af γ og α.

25 4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 19 Som det kan ses af de tre figurer, spiller valget af β-parameteren ind på sammenhængen mellem F Da og γ. For β = 0 afhænger F Da lineært af γ for høje q, her q = 2, mens F Da afhænger ulineært af γ selv for høje q, når β = 1 og β = 1.

26 20 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING

27 Kapitel 5 Simulering af hastighedsprofil i rektangulær kanal Tilbage i afsnit 2.3 blev hastighedsprofilen for den rektangulære kanal beregnet teoretisk og afbildet. I dette kapitel vil det blive forsøgt at få denne hastighedsprofil simuleret numerisk ved hjælp af FemLab. Dette bliver gjort ved at lave simuleringer for forskellige værdier af Da og β. Formålet med dette er, at den kombination af Da- og β-værdier, der giver en hastighedsprofil, der matcher den anaytisk fundne bedst muligt, så senere kan bruges i en ny s-svings simulering, hvor der er taget højde for, at kanalen gennem svampen er rektangulær og ikke bare translations-invariant i z-retningen. 5.1 FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær kanal Målet med disse simuleringer i FemLab er altså at finde en kombination af de to parametre Da og β, der giver en hastighedsprofil, som ligner den analytisk fundne hastighedsprofil. For at have målet klart for øje, afbildes den tidligere fundne analytiske hastighedsprofil i fig Måden, hvorpå simuleringerne bliver lavet i FemLab, vil ikke blive beskrevet fuldstændigt her, da det hurtigt bliver for komplificeret at forklare. I stedet vil fremgangsmåden kun blive beskrevet i hovedtræk. I FemLab tegnes et 1D domæne, som har en bredde som er halvt så stor som bredden på dén rektangulære kanal, der er blevet brugt i den analytisk fundne løsning. Dette skyldes, at symmetrien i kanaltværsnittet gør, at man bare kan nøjes med at betragte den ene halvdel af kanalen. Dette domæne deles så op i tre sub-domæner, hvor sub-domæne 1 skal svare til væggen af kanalen, sub-domæne 2 skal svare til området i kanalen tæt på væggen, mens sub-domæne 3 skal svare til området i kanalen langt væk fra væggen. Ved så at lade Darcy kraften være konstant og meget stor i sub-domæne 1, være variende i sub-domæne 2, samt være konstant men lille i sub-domæne 3, kan man altså få lavet en simulering af en hastighedsprofil, der minder om hastighedsprofilen for den rektangulære kanal. 21

28 22KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL 3.5 x 10 6 Hastighedsprofil, v x (y) v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.1: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. Som sagt afhænger den simulerede hastighedsprofil af, hvilke værdier af Da og γ, der benyttes i simuleringen. Denne afhængighed kan ses i fig. 5.2 og fig. 5.3, hvor den simulerede hastighedsprofil er afbildet både for tre forskellige Da-værdier og for tre forskellige γ- værdier. I begge figurer er den analytisk fundne hastighedsprofil også afbildet, således at det ved en sammenligning med de simulerede er muligt at finde en kombination af Da- og β-værdier, der giver en hastighedsprofil, der bedst muligt matcher den analytisk fundne. Som det kan ses i de to figurer, kommer den simulerede hastighedsprofil til at ligne den analytisk fundne profil, når man vælger de to parametre til at være Da = 1e 5 og β = 1. Hermed er det altså fundet, at hvis man i en ny s-svings simulering vælger Da = 1e 5 og β = 1, vil den kanalstruktur, som simuleres, altså svare til en tilnærmelsesvis rektangulær kanal i stedet for en kanal, der er translations-invariant i z-retningen. 5.2 Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal I afsnit 3.2 blev den såkaldte s-svings simulering lavet. Modellen, der blev brugt i den simulering, tog som sagt ikke højde for, at kanalen har et rektangulært tværsnit. Men ved at udbygge den benyttede model og bruge de fundne værdier af Da og β, er det altså muligt at få lavet en ny s-svings simulering, der tager højde for det rektangulære tværsnit. For at udbygge modellen tilføjes den ulineære Darcy kraft i Navier-Stokes ligningen. Med

29 5.2. NY S-SVINGS SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL 3.5 x Hastighedsprofil, v x (y) for β= 1 Da=1e 6 Da=5e 6 Da=1e 5 Reel løsning v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.2: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil. 3.5 x Hastighedsprofil, v x (y) for Da=5e 6 β= 1 β=0 β=1 Reel løsning v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.3: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil. værdierne β = 1 og Da = 1e 5 indsat i denne nye model, fås simuleringsresultat, som kan ses i fig For at kunne sammenligne resultatet af denne nye simulering med resultatet fra den

30 24KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL Figur 5.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære Darcy kraft samt værdierne β = 1 og Da = 1e 5 benyttet, således at tværsnittet af den simulerede kanal er rektangulær. tidligere s-svings simulering, afbildes det tidligere fundne simuleringsresultatet igen, i fig Eftersom der er mange forskellige parametre, der spiller ind i simuleringerne, skal der ikke forsøges at lave nogle endegyldige konklusioner omkring de to simuleringer. I stedet skal de observationer, man kan gøre sig ved at sammenligne dem, blot kommenteres. Sammenlignes fig. 5.4 og 5.5, ses det, at begge simuleringer finder frem til, at s-svings strukturen bedst minimerer målfunktionen, som jo er at få minimeret x-komposanten af væskens hastighedsvektor i punktet r*. Men sammenligningen viser dog også, at der er en tydelig forskel på resultatet af de to simuleringer. Resultatet af den tidligere simulering blev nemlig en ret tynd kanal gennem svampen, mens resulatet af den nye simulering er en noget tykkere kanal. Sammenlignes hastigheden af væsken i punktet r* i de to simuleringer, kan det desuden ses, at hastigheden er blevet dobbelt så stor i den nye simulering i forhold til hastigheden i den tidligere simulering. Dette kan dog måske forklares ved, at Darcy tallet ikke er det samme i de to simuleringer. I den tidligere er Da = 1e 6, mens det i den nye simulering er Da = 1e 5. Som sagt er det nødvendigt at lave mange flere simuleringer, hvis man skal gøre sig håb om at komme med nogle endegyldige konklusioner. Men desværre ligger dette ikke indenfor tidsrammen for dette projekt.