Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning"

Transkript

1 3-ugers kursus, s og s Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi Danmarks Tekniske Universitet 19 Januar 2005

2 ii

3 Indhold List of figures vi 1 Indledning 1 2 Navier-Stokes ligningen Leddene i Navier-Stokes ligningen Poiseuille strømning Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit Topologi-optimering Topologi-optimering af et stationært Navier-Stokes flow Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Ulineær Darcy dæmpning Bestemmelse af koefficienterne c 1, c 2 og c Undersøgelse af ulineariteter i F Da Simulering af hastighedsprofil i rektangulær kanal FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær kanal Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Konklusion 27 iii

4 iv INDHOLD

5 Figurer 2.1 Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translationsinvariant i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + p for x = (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med 10% af maximalværdien v x (0, h 2 ), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa Væskestrømning gennem lige mikrokanal Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q- parameteren Grafisk illustration af den iterative proces, som benyttes i topologi-optimeringen. Kontur-kurverne symboliserer målfunktionen, mens den røde linie symboliserer de fysiske grænsebetingelser i systemet Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier D plot af F Da v som funktion af γ og α v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære Darcy kraft samt værdierne β = 1 og Da = 1e 5 benyttet, således at tværsnittet af den simulerede kanal er rektangulær v

6 vi FIGURER 5.5 Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen

7 Kapitel 1 Indledning I denne rapport opstilles en model til at beskrive væskestrømninger i en mikrokanal med et givent tværsnit. Modellen bygger på den antagelse, at det er muligt at beskrive dæmpningen af væskestrømningen ved at tilføje et ulineært dæmpningsled i den fundamentale Navier-Stokes ligning. Dette dæmpningsled går ofte under navnet den ulineære Darcy kraft. Modellen er en udbygning af en i forvejen kendt model, som ikke benytter ulineær Darcy dæmpning. Det er tanken, at man ved indførelsen af dette dæmpningsled kan opnå mere korrekte simuleringer for kanaler med visse tværsnit. Det er hensigten, at modellen skal kunne bruges til at beskrive mange forskellige tværsnitsgeometrier blot ved at justere på en enkelt parameter kaldet β. Dog vil der i denne rapport kun betragtes kanaler med rektangulært tværsnit af hovedsageligt to grunde. For det første kendes teoretiske løsninger til en sådan geometri allerede fra litteraturen, og for det andet er netop denne geometri af stor forskningsmæssig interesse, da mange lab-on-a-chip systemer i praksis benytter sig af kanaler med rektangulært tværsnit. Ved brug af programmet FemLab og den opstillede model beregnes hastighedsprofiler for væskestrømninger i en sådan kanal, og β bestemmes, således at profilen stemmer godt overens med den teoretisk beregnede. Det beskrives efterfølgende, hvordan modellen kan implementeres i en på forhånd kendt MatLab rutine, som er konstrueret til at foretage topologi-optimering af forskellige strømningsproblemer. Til slut sammenlignes simuleringer foretaget ved brug af denne rutine for et givent strømningsproblem, både ved brug af den opstillede model (med ulineær Darcy dæmpning) og uden ulineær Darcy dæmpning. 1

8 2 KAPITEL 1. INDLEDNING

9 Kapitel 2 Navier-Stokes ligningen I dette kapitel betragtes Navier-Stokes ligningen, som er en af de mest fundamentale ligninger i mikrofluid-teori. Først knyttes nogle kommentarer til de enkelte led i ligningen, og derefter beregnes hastighedsprofilen for væskestrømningen i en kanal med rektangulært tværsnit. 2.1 Leddene i Navier-Stokes ligningen I langt de fleste tilfælde vil det være rimeligt at antage, at den betragtede væske er inkompressibel. I dette tilfælde er Navier-Stokes ligningen givet ved ρ( t v + (v )v) = p + η 2 v + ρg + ρ el E, (2.1) hvor ρ er densiteten af væsken, v er hastighedsfeltet, p er trykket, η er viskositeten, ρ el er ladningsdensiteten og E er det eksterne elektriske felt. Det er i denne sammenhæng vigtigt at understrege, at hastighedsfeltet ikke betegner hastigheden for en enkelt væskepartikel, men i stedet er hastigheden i et bestemt punkt i rummet (givet ved stedvektoren r) til tiden t. Det bemærkes, at ligningen er en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket i mange tilfælde gør det umuligt at finde analytiske løsninger. Ligningen er opskrevet vha. Newtons anden lov, og venstresiden betegner den resulterende kraft (pr. volumen), som afhænger af både af den tidslige variation af hastighedsfeltet og dets divergens. Højresiden af ligningen er en superposition af de enkelte krafter (eller rettere kraftdensiteterne) som har en indvirkning på væskestrømningen. Det første led angiver gradienten af trykket. Ofte vælges koordinatsystemet og geometrien af ens fysiske system således, at trykgradienten kan skrives som et trykfald, p. Det andet led kaldes det viskøse led, eftersom det beskriver gnidningskrafterne i væsken. Det vil sige, betragtes en region Ω i væsken med overfladen Ω, vil gnidningskrafter fra den omsluttende væske virke på overfladen Ω. Størrelsen af disse viskøse krafter er til dels bestemt af viskositeten, η, som er en materialespecifik parameter. De to sidste led er såkaldte body forces, som er ydre krafter virkende på hele væsken. Det første af disse to led er gravitationskraften, og det andet led er kraftpåvirkningen hidrørende fra et ydre elektrisk felt, som vekselvirker med ladning i væsken. Det skal til slut nævnes, at det er 3

10 4 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN muligt at udbygge den her betragtede Navier-Stokes ligning, så den også tager højde for andre kraftpåvirkninger. Dette gøres i praksis ved at addere disse krafter på højresiden af ligningen. 2.2 Poiseuille strømning Som nævnt i det foregående afsnit, er Navier-Stokes ligningen en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket gør det svært at bestemme analytiske løsninger i de fleste tilfælde. Det er imidlertid muligt at bestemme mange løsninger ved hjælp af numeriske beregningsmetoder, fx ved hjælp af MatLab. Dog er det ofte til stor hjælp at kende til de få analytiske løsninger, man kan finde, da de kan bidrage til en større forståelse af andre beslægtede problemstillinger. I dette afsnit opstilles de fysiske ligninger for en speciel klasse af strømningsproblemer, som kaldes Poiseuille problemer. I næste afsnit vil løsningen til et sådant problem bestemmes for en kanal med et rektangulært tværsnit. Et Poiseuille strømningsproblem er karakteriseret ved, at der ikke er nogen tidslig variation af strømningerne, og at der benyttes tryk til at drive væsken gennem uendeligt lange translations-invariante kanaler. Desuden benyttes såkaldte no slip grænsebetingelser, som betyder, at hastighedsfeltet forsvinder på grænsefladen Ω mellem væsken og kanalvæggene, det vil sige v(r) = 0, for r Ω. (2.2) Denne grænsebetingelse bygger på den antagelse, at de molekyler i væsken som er i kontakt med kanalvæggene ligger fuldstændigt stille i forhold til molekylerne i kanalvæggen. Der betragtes nu en kanal med arbitrært tværsnit C, som er translations-invariant i x- retningen, og som indeholder en væske, der er udsat for et trykfald p. Definitionerne, der benyttes i det følgende, er skitseret i fig p(0) = p 0 + p z y C C x p(l) = p 0 Figur 2.1: Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translations-invariant i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + p for x = 0.

11 2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT5 Gravitationskraften er udbalanceret af en hydrostatisk trykgradient i z-retningen, og disse krafter er derfor udeladt i beregningerne. Eftersom strømningen er tidsinvariant, er t v = 0. Desuden bevirker translations-invariansen af C i x-retningen, og det faktum at krafterne i yz planet udbalancerer hinanden, at (v )v = 0. Navier-Stokes ligningen bliver da i dette tilfælde 0 = η 2 [v(r)] p, v(r) = v x (y, z)e x. (2.3) Eftersom y- og z-komposanterne af hastighedsfeltet er nul, bliver trykfeltet uafhængigt af y og z, og dermed er p(r) = p(x). Det er således muligt at skrive x-komposanten af Navier-Stokes ligningen som η[ 2 y + 2 z ]v x (y, z) = x p(x). (2.4) Denne anden-ordens partielle differentialligning kan løses ved hjælp af metoden kaldet seperation af de variable. Først indses det, at højresiden kun afhænger af x, og at venstresiden afhænger af y og z. Derved kan hver af de to sider sættes lig med den samme konstant. Dette betyder, at trykket må afhænge lineært af x, og ved at benytte grænsebetingelserne fås p(x) = p L (L x) + p 0. Det er således muligt at opskrive den anden-ordens partielle differentialligning, lign. (2.4), med tilhørende no-slip grænsebetingelser, som modellerer væskestrømningen i Poiseuille problemet η[ y 2 + z 2 ]v x (y, z) = p, for (y, z) C (2.5) ηl v x (y, z) = 0, for (y, z) C. Det er ikke muligt at løse denne differentialligning uden at vælge et specifikt kanaltværsnit. I næste afsnit løses denne ligning for en kanal med rektangulært tværsnit. 2.3 Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit I dette afsnit bestemmes løsningerne til lign. (2.5) for en kanal med rektangulært tværsnit. Det viser sig imidlertid, at problemet ikke kan løses analytisk, men at løsningen kan bestemmes med tilfredsstillende nøjagtighed ved hjælp af Fourierrækker. Højden, h, af kanalen er mindre end dens bredde w. Benyttes tillige no-slip grænsebetingelserne er Navier-Stokes ligningen med tilhørende grænsebetingelser givet ved η[ y 2 + z 2 ]v x (y, z) = p ηl, for 1 2 w < y < 1 w, 0 < z < h, (2.6) 2 v x (y, z) = 0, for y = ± 1 w, z = 0, z = h. 2

12 6 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN Som nævnt kan dette Poiseuille strømningsproblem løses ved først at lave en Fourierrækkeudvikling i z-retningen af alle funktionerne og derefter benytte de givne grænsebetingelser. Det kan vises [1], at hastighedsfeltet for væskestrømningen i kanalen er givet ved v x (y, z) = 4h2 p π 3 ηl n,odd 1 n 3 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z ). (2.7) h I fig. 2.2 er hastighedsprofilerne langs symmetriakserne afbildet, samt et konturplot af hastighedsfeltet i et tværsnit af kanalen. h (a) z (c) 0 (b) v x (y,h/2) 1 2 w 1 2 w y v x (0,z) Figur 2.2: (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med 10% af maximalværdien v x (0, h 2 ), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z. For at simplificere problemet yderligere betragtes kun den ene halvdel af tværsnittet, og der integreres over z-retningen, således at der udledes et udtryk for middelhastigheden i x-retningen, som alene er en funktion af y. < v x (y) > = 1 h h < v x (y) > = 8h2 p π 4 ηl 0 dz 4h2 p π 3 ηl n,odd n,odd 1 n 3 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z h ) 1 n 4 [1 cosh(nπ y h ) cosh(nπ w (2.8) 2h )] Det ses, at for y = w 2, er v x(y) = 0, det vil sige, at no-slip grænsebetingelsen er opfyldt. I den anden grænse, altså i midten af kanalen, bliver hastigheden < v x (0) >= h2 p 12ηL. (2.9)

13 2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT7 I fig. 2.3 ses v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. 3.5 x 10 6 Hastighedsprofil, v x (y) v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 2.3: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. Denne hastighedsprofil vil blive benyttet senere til at tilpasse en matematisk model, som efterfølgende vil kunne bruges til at simulere væskestrømningen i en kanal med rektangulært tværsnit. Ydermere vil modellen kunne benyttes til at lave topologi-optimering i et system, hvor væskestrømningerne foregår i kanaler med rektangulære tværsnit. Mere om dette i kapitel 4.

14 8 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN

15 Kapitel 3 Topologi-optimering Dette kapitel er baseret på [2], og beskriver en metode til at optimere diverse strømningsproblemer. Denne metode kaldes topologi-optimering og er en numerisk iterativ løsningsmetode. For lettest at kunne forklare, hvad topologi-optimering nærmere går ud på, tager vi udgangspunkt i et konkret eksempel. Figur 3.1: Væskestrømning gennem lige mikrokanal. Strukturen i den ovenstående figur forestiller en lige mikrokanal med højden h og længden L = 10h. Som det kan ses, er kanalen sammensat af tre forskellige områder. Det blå område, som er det midterste af de tre, skal forestille, at kanalen her er fyldt med et porøst svampelignende materiale, som har en rumligt varierende porøsitet, mens de to yderste områder skal forestille tom kanal. Påtrykkes en trykforskel, p, vandret hen over mikrokanalen, kan man få drevet væske fra den venstre ende af kanalen gennem det porøse materiale og til den højre ende. Betragtes størrelsen af x-komposanten af væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r*, vil denne være afhængig af, hvorledes svampen er udformet, da porøsiteten af svampen kan varieres rumligt. Formålet med dette konkrete eksempel på topologi-optimering er at finde den mest optimale udformning af svampen, således at netop x-komposanten af væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r* bliver minimeret. Da topologi-optimeringen foregår numerisk ved hjælp af programmet FemLab, er det nødvendigt at indføre nogle forskellige størrelser. Den første størrelse er en såkaldt målfunktion, 9

16 10 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING Φ, som er en funktion, der udtrykker netop x-komposanten af væskens hastighedsvektor i punktet r*. Φ(v, γ) = v x (r ) (3.1) Det er altså denne funktion, Φ, som skal minimeres ved at variere den lokale porøsitet af svampen, hvilket svarer til at finde den mest optimale udformning af svampen. Som det kan ses, afhænger målfunktionen af hastighedsfeltet v, som er løsningen til Navier-Stokes ligningen, samt af størrelsen γ, som forklares i det følgende. For at kunne kontrollere variationen af porøsiteten af svampen rumligt, indføres et designvariabelt felt, γ(r), som kan antage værdier mellem 0 og 1. Når γ = 0 i et bestemt punkt, svarer det til, at kanalen i det pågældende punkt er fyldt med solidt materiale, mens γ = 1 svarer til, at kanalen i det pågældende punkt er tom. Sammenhængen mellem denne design-variabel, γ(r), og den lokale inverse porøsitet, givet ved α(r), fås ved hjælp af følgende ligning q[1 γ(r)] α(r) = α min + (α max α min ) (3.2) q + γ(r) Ligningen viser, at α kan variere både lineært og ikke-lineært som funktion af γ afhængig af størrelsen på parameteren q. For q 0, er der en ikke-lineær sammenhæng mellem α og γ, mens en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng opstår, når q >> 1. Parameteren q bruges altså til at skrue på sammenhængen mellem α og γ, hvilket også kan ses ved hjælp af følgende figur. Figur 3.2: Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q- parameteren. I lign. (3.2) optræder foruden γ og q, de to størrelser α min og α max. Disse to størrelser, som svarer til henholdsvis ingen materiale, altså uendelig porøsitet, og solidt materiale, altså ingen porøsitet, burde teoretisk set være lig med henholdsvis 0 og. Men for at lette det numeriske arbejde sættes α min = 0, mens α max sættes lig med den endelige værdi η α max = Da L 2 (3.3)

17 3.1. TOPOLOGI-OPTIMERING AF ET STATIONÆRT NAVIER-STOKES FLOW 11 I denne ligning beskriver L den karakteristiske længdeskala i systemet, η er viskositeten af væsken i systemet, og Da er det såkaldte Darcy tal, som beskriver forholdet mellem de viskøse og porøse gnidningkræfter i systemet. Da α max angiver den inverse porøsitet, og da α max afhænger omvendt af Da, vil porøsiteten altså afhænge proportionalt med Da. Dette resulterer i, at jo mindre Darcy tallet er, des mindre vil porøsiteten af materialet være. For at sikre at materialet kan blive solidt, skal man i praksis have et Darcy tal på Da << 1e Topologi-optimering af et stationært Navier-Stokes flow Som vist i det foregående kapitel, kan den stationære Navier-Stokes ligning for en inkompressiblel væske skrives som 0 = p + η 2 v + ρg + ρ el E, (3.4) hvor det igen er benyttet, at det ikke-lineære led (v )v er lig med 0, da kanalstrukturen er translations-invariant i x-retningen, og hastigheden samtidig kun har en x-komposant. Løsningen til denne inhomogene anden-ordens differentialligning angiver hastighedsprofilen for væskestrømningen. For at kunne finde nogle løsninger, som er fysisk acceptable, er det nødvendigt at opstille nogle grænsebetingelser, der sikrer, at fysikken er overholdt. Hvis disse grænsebetingelser skrives som g(v, γ) = 0, går topologi-optimeringen altså ud på at finde det design af svampen, som optimerer Φ(v, γ), altså minimerer x-komposanten af hastighedsvektoren i punktet r*, bedst muligt, og som samtidig overholder fysikken. For at kunne forstå den iterative løsningsmetode, som topologi-optimeringen som sagt er, betragtes nedenstående figur, som er en grafisk illustration af optimerings-problemet. Figur 3.3: Grafisk illustration af den iterative proces, som benyttes i topologi-optimeringen. Kontur-kurverne symboliserer målfunktionen, mens den røde linie symboliserer de fysiske grænsebetingelser i systemet. I denne figur angiver den røde linie de fysiske grænsebetingelser, mens kontur-kurverne angiver størrelsen af målfunktionen Φ(v, γ). Minimum for målfunktionen findes et sted indeni den mindste af kontur-kurverne.

18 12 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING Den iterative løsningsproces ser ud som følger. For at starte iterationen gætter man på et simpelt svampe-design, altså et simpelt gamma-felt. For at gøre dette gæt fysisk beregnes den tilhørende hastighedsprofil for væskestrømningen, hvilket vil sige, at den simplificerede Navier-Stokes ligning løses. Med denne hastighedsprofil beregnes dernæst gradienten af målfunktionen langs den røde linie. Ved at følge denne gradient mod minimaet for målfunktionen, kommer man frem til et bedre gæt på gamma-feltet. Dette gæt gøres så igen fysisk ved at beregne den tilhørende hastighedsprofil for væsken. Med denne profil beregnes så igen gradienten af målfunktionen langs den røde linie, og man kan dermed komme med et endnu bedre gæt på gamma-feltet. Denne iterative proces fortsættes, indtil man ikke kan minimere målfunktionen y- derligere, og man har altså derved fundet det bedst mulige svampe-design. 3.2 Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal Der vil nu blive betragtet en konkret problemstilling, som omhandler topologi-optimering i en bestemt geometri med visse veldefinerede fysiske grænsebetingelser. Værktøjerne, som benyttes til at simulere problemet med, er MatLab og FemLab, som begge er programmer, der benytter sig af numeriske beregningsmetoder. Først defineres i FemLab det domæne, hvori problemet skal løses. I denne simulering konstrueres et vinklet domæne, som ligner et roteret L. Dette L-domæne opdeles i tre sub-domæner. Det midterste af disse sub-domæner skal svare til en porøs svamp af samme type, som den der blev omtalt først i dette kapitel, mens de to andre domæner skal svare til en tom kanal, hvor væsken kan bevæge sig frit dog med no-slip grænsebetingelser på kanalvæggene. Dette gøres ved at definere et varierende γ-felt i det midterste sub-domæne, og sætte γ = 1 i de to andre sub-domæner. Hvis simuleringen køres, er resultatet de to figurer vist i fig Den øverste af figurerne viser det design af svampen, som simuleringen har fundet frem til bedst minimerer målfunktionen, mens den nederste figur viser, hvordan hastigheden af væsken varierer gennem kanalen. Ved at betragte det design, som simuleringen er kommet frem til, kan det meget let konkluderes, at design-optimeringen bestemt ikke er triviel. Det kræver i hvert fald en meget god fantasi, hvis man selv skulle komme op med netop dette design. Denne simulering, som senere vil blive refereret til som s-svings simuleringen, har altså nu optimeret målfunktionen for en væskestrømning gennem den porøse svamp. I simuleringen er den kanal, som væsken skal flyde igennem, en kanal som er translations-invariant i z-retningen, hvilket svarer til, at kanalen ikke har nogen top og bund. Det vil altså sige, at denne simulering er første skridt imod en simulering af en rektangulær kanal, som jo foruden vægge også har top og bund.

19 3.2. SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL13 Figur 3.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings simuleringen. Formålet med resten af denne rapport vil altså være at få udviklet en ny model, som ligner den, der er brugt i den ovenstående simulering, men som tager højde for, at kanalen har et rektangulært tværsnit og ikke bare er translations-invariant i z-retningen.

20 14 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING

21 Kapitel 4 Ulineær Darcy dæmpning Næste skridt på vej mod simuleringen af en rektangulær kanal, er altså at få taget højde for kanalens top og bund. Dette gøres ved at tilføje endnu en gnidningskraft, den såkaldte Darcy kraft, på højresiden af Navier-Stokes ligningen. ρ( t v + (v )v) = p + η 2 v + ρg + ρ el E f Da v (4.1) I teorien er f Da lig en uendelig potensrække. Men eftersom højere-ordens leddene bidrager mindre og mindre, er det en rimelig simplificering kun at medtage leddene op til anden orden. Hermed kan F Da altså skrives som hvor α(γ) er givet ved lign. (3.2). F Da = v (c 1 α 2 (γ) + c 2 α(γ) + c 3 ) (4.2) Bestemmelse af koefficienterne c 1, c 2 og c 3 For at kunne bestemme nogle udtryk for koefficienterne c 1, c 2 og c 3, betragtes fig Som figuren viser, kan de tre koefficienter ikke vælges frit og uafhængigt af hinanden. Dette skyldes, at der blandt andet gælder følgende to krav og F Da,min = v (c 1 α 2 min + c 2 α min + c 3 ) (4.3) F Da,max = v (c 1 α 2 max + c 2 α max + c 3 ). (4.4) Da begge disse ligninger altid skal være opfyldt, kan c 3 isoleres i begge ligninger, og de to fremkomne udtryk for c 3 kan sættes lig med hinanden. Derved kan man efter lidt simplificering nå frem til følgende udtryk, som angiver relationen mellem c 1 og c 2. c 2 = 1 F Da,max F Da,min c 1 (α max + α min ) v α max α min Dette udtryk for c 2 kan imidlertid simplificeres, da F min og F max kan udtrykkes på følgende måde F min = v α min F max = v α max 15

22 16 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING Figur 4.1: Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier. Indsættes dette i lign. (4.0.1), fås efter simplificering, at c 2 = 1 c 1 (α min + α max ) (4.5) Ved at indsætte dette simple udtryk for c 2 i enten lign. (4.3) eller lign. (4.4) og igen benytte, at F min = v α min, kan man finde et tilsvarende simpelt udtryk for c 3. c 3 = c 1 α min α max (4.6) For at kunne bestemme et udtryk for c 1 skal figur 4.1 betragtes påny. Foruden de allerede nævnte to krav på F min og F max, er der også følgende krav på hældningskoefficienten i punkterne (α min, F min ) og (α max, F max ) df Da dα α min 0 df Da dα α max 0. Hvis disse to krav ikke er opfyldt, vil det være muligt at få en kraft, som ligger udenfor intervallet [F Da,min, F Da,max ], hvilket er ufysisk.

23 4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 17 Ved hjælp af lign. (4.2) samt lidt ulighedsregning, giver disse to krav, at c 2 2c 1 α min c 2 2c 1 α max Indsættes det tidligere fundne udtryk for sammenhængen mellem c 2 og c 1, altså lign. (4.5), i disse to uligheder, kan man efter simplificering nå frem til at c c 1 α max α min α max α min Disse 2 uligheder kan samles i en trekantsulighed, således at 1 c 1 α max α min 1 α max α min (4.7) Ved at indføre en dimensionsløs parameter, β, som ligger mellem -1 og 1, kan denne trekantsulighed skrives på følgende kompakte måde. c 1 = β α max α min For at opsummere, er udtrykkene for koefficienterne c 1, c 2 og c 3 altså givet ved: β c 1 =, α max α min β [ 1, 1] (4.8) c 2 = 1 c 1 (α min + α max ) (4.9) c 3 = c 1 α min α max (4.10) 4.1 Undersøgelse af ulineariteter i F Da Som det er set tidligere, kan Darcy kraften skrives som F Da = v (c 1 α 2 (γ) + c 2 α(γ) + c 3 ) hvor koefficienterne er givet ved hjælp af lign.(4.8), (4.9) og (4.10). Det er let at se, at F Da afhænger ulineært af α gennem α 2 -leddet, men derimod er det lidt sværere at se, at der yderligere er en ulinearitet i F Da. Dette skyldes, at denne ulinearitet er gemt i α. Jævnfør lign. (3.2) kan α afhænge ulineært af γ afhængigt af q-parameteren. Det vil dermed sige, at F Da også kommer til at kunne afhænge ulineært af γ både gennem det ulineære α 2 -led og gennem det lineære α-led. Det vil altså sige, at Darcy kraften afhænger ulineært af både α og γ. Ved hjælp af de to parametre β og q, kan påvirkningen fra disse ulineariteter dog justeres. Når der skrues på β-parameteren, som jo ligger mellem -1 og 1, skrues der nemlig på c 1 -koefficienten og derved på α-ulineariteten, mens γ-ulineariteten påvirkes, når der skrues på q-parameteren, da sammenhængen mellem α og γ jo afhænger af q, jævnfør figur 3.2.

24 18 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING Når Darcy kraften bliver medtaget i simuleringerne af væskestrømningen gennem den porøse svamp, hvilket jo svarer til, at der kommer top og bund på den kanal, der går gennem svampen, vil q-parameteren variere i løbet af simuleringen. Dette skyldes, at parameteren bruges til at få simuleringen til at konvergere mod et egentligt resultat. Derimod vil β-parameteren ikke variere gennem simuleringen, eftersom denne vælges inden simuleringen starter. Det vil altså sige, at sammenhængen mellem F Da og α er bestemt inden simuleringen, mens sammenhængen mellem F Da og γ varierer i løbet af simuleringen, således at F Da afhænger ulineært af γ i begyndelsen af simuleringen, hvor q-parameteren er lille, mens den afhænger tilnærmelsesvis lineært af γ i slutningen af simuleringen, hvor q = 1. For at kaste en smule lys over disse ulineariteter, er F Da afbildet i den nedenstående figur som funktion af både γ og q for tre forskellige værdier af β. β= 1 β=0 0 0 F Da / v 50 F Da / v γ 0 0 q γ 0 0 q β=1 0 F Da / v γ 0 0 q Figur 4.2: 3D plot af F Da v som funktion af γ og α.

25 4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 19 Som det kan ses af de tre figurer, spiller valget af β-parameteren ind på sammenhængen mellem F Da og γ. For β = 0 afhænger F Da lineært af γ for høje q, her q = 2, mens F Da afhænger ulineært af γ selv for høje q, når β = 1 og β = 1.

26 20 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING

27 Kapitel 5 Simulering af hastighedsprofil i rektangulær kanal Tilbage i afsnit 2.3 blev hastighedsprofilen for den rektangulære kanal beregnet teoretisk og afbildet. I dette kapitel vil det blive forsøgt at få denne hastighedsprofil simuleret numerisk ved hjælp af FemLab. Dette bliver gjort ved at lave simuleringer for forskellige værdier af Da og β. Formålet med dette er, at den kombination af Da- og β-værdier, der giver en hastighedsprofil, der matcher den anaytisk fundne bedst muligt, så senere kan bruges i en ny s-svings simulering, hvor der er taget højde for, at kanalen gennem svampen er rektangulær og ikke bare translations-invariant i z-retningen. 5.1 FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær kanal Målet med disse simuleringer i FemLab er altså at finde en kombination af de to parametre Da og β, der giver en hastighedsprofil, som ligner den analytisk fundne hastighedsprofil. For at have målet klart for øje, afbildes den tidligere fundne analytiske hastighedsprofil i fig Måden, hvorpå simuleringerne bliver lavet i FemLab, vil ikke blive beskrevet fuldstændigt her, da det hurtigt bliver for komplificeret at forklare. I stedet vil fremgangsmåden kun blive beskrevet i hovedtræk. I FemLab tegnes et 1D domæne, som har en bredde som er halvt så stor som bredden på dén rektangulære kanal, der er blevet brugt i den analytisk fundne løsning. Dette skyldes, at symmetrien i kanaltværsnittet gør, at man bare kan nøjes med at betragte den ene halvdel af kanalen. Dette domæne deles så op i tre sub-domæner, hvor sub-domæne 1 skal svare til væggen af kanalen, sub-domæne 2 skal svare til området i kanalen tæt på væggen, mens sub-domæne 3 skal svare til området i kanalen langt væk fra væggen. Ved så at lade Darcy kraften være konstant og meget stor i sub-domæne 1, være variende i sub-domæne 2, samt være konstant men lille i sub-domæne 3, kan man altså få lavet en simulering af en hastighedsprofil, der minder om hastighedsprofilen for den rektangulære kanal. 21

28 22KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL 3.5 x 10 6 Hastighedsprofil, v x (y) v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.1: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mpas og p = 1 Pa. Som sagt afhænger den simulerede hastighedsprofil af, hvilke værdier af Da og γ, der benyttes i simuleringen. Denne afhængighed kan ses i fig. 5.2 og fig. 5.3, hvor den simulerede hastighedsprofil er afbildet både for tre forskellige Da-værdier og for tre forskellige γ- værdier. I begge figurer er den analytisk fundne hastighedsprofil også afbildet, således at det ved en sammenligning med de simulerede er muligt at finde en kombination af Da- og β-værdier, der giver en hastighedsprofil, der bedst muligt matcher den analytisk fundne. Som det kan ses i de to figurer, kommer den simulerede hastighedsprofil til at ligne den analytisk fundne profil, når man vælger de to parametre til at være Da = 1e 5 og β = 1. Hermed er det altså fundet, at hvis man i en ny s-svings simulering vælger Da = 1e 5 og β = 1, vil den kanalstruktur, som simuleres, altså svare til en tilnærmelsesvis rektangulær kanal i stedet for en kanal, der er translations-invariant i z-retningen. 5.2 Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal I afsnit 3.2 blev den såkaldte s-svings simulering lavet. Modellen, der blev brugt i den simulering, tog som sagt ikke højde for, at kanalen har et rektangulært tværsnit. Men ved at udbygge den benyttede model og bruge de fundne værdier af Da og β, er det altså muligt at få lavet en ny s-svings simulering, der tager højde for det rektangulære tværsnit. For at udbygge modellen tilføjes den ulineære Darcy kraft i Navier-Stokes ligningen. Med

29 5.2. NY S-SVINGS SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL 3.5 x Hastighedsprofil, v x (y) for β= 1 Da=1e 6 Da=5e 6 Da=1e 5 Reel løsning v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.2: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil. 3.5 x Hastighedsprofil, v x (y) for Da=5e 6 β= 1 β=0 β=1 Reel løsning v x (y) [m/s] y [m] x 10 4 Figur 5.3: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den teoretisk beregnede hastighedsprofil. værdierne β = 1 og Da = 1e 5 indsat i denne nye model, fås simuleringsresultat, som kan ses i fig For at kunne sammenligne resultatet af denne nye simulering med resultatet fra den

30 24KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL Figur 5.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære Darcy kraft samt værdierne β = 1 og Da = 1e 5 benyttet, således at tværsnittet af den simulerede kanal er rektangulær. tidligere s-svings simulering, afbildes det tidligere fundne simuleringsresultatet igen, i fig Eftersom der er mange forskellige parametre, der spiller ind i simuleringerne, skal der ikke forsøges at lave nogle endegyldige konklusioner omkring de to simuleringer. I stedet skal de observationer, man kan gøre sig ved at sammenligne dem, blot kommenteres. Sammenlignes fig. 5.4 og 5.5, ses det, at begge simuleringer finder frem til, at s-svings strukturen bedst minimerer målfunktionen, som jo er at få minimeret x-komposanten af væskens hastighedsvektor i punktet r*. Men sammenligningen viser dog også, at der er en tydelig forskel på resultatet af de to simuleringer. Resultatet af den tidligere simulering blev nemlig en ret tynd kanal gennem svampen, mens resulatet af den nye simulering er en noget tykkere kanal. Sammenlignes hastigheden af væsken i punktet r* i de to simuleringer, kan det desuden ses, at hastigheden er blevet dobbelt så stor i den nye simulering i forhold til hastigheden i den tidligere simulering. Dette kan dog måske forklares ved, at Darcy tallet ikke er det samme i de to simuleringer. I den tidligere er Da = 1e 6, mens det i den nye simulering er Da = 1e 5. Som sagt er det nødvendigt at lave mange flere simuleringer, hvis man skal gøre sig håb om at komme med nogle endegyldige konklusioner. Men desværre ligger dette ikke indenfor tidsrammen for dette projekt.

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Numerisk Fysik. Emner

Numerisk Fysik. Emner Numerisk Fysik Emner 1 Vektorer, 2D plot, fit i hånden 2 Arrays, lineære fit, koordinat-transformationer 3 Funktioner, minima, integration, ikke-lineære fit 4 Små-simuleringer 5 1. ordens differentialligninger

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Vi skal således finde en metode til:

Vi skal således finde en metode til: Vi skal således finde en metode til: 1. At anvende maskinen som målemaskine til at finde det forudbestemte startpunkt. 2. At finde programmeringskoordinatsystemets afstand til startpunktet. 3. At indføre

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

C.V. for PER NIELSEN

C.V. for PER NIELSEN NAVN: Per Nielsen ADRESSE: Bistrup Park 81 3460 Birkerød e mail: per42nielsen@gmail.com FØDT: 25. juli 1961 UDDANNELSE: 1991 Ph.D., Danmarks Tekniske Universitet, Laboratoriet for Anvendt Matematisk Fysik

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere