Modulation af digitale signaler
|
|
- Michael Clausen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KAPITL LV Modulation af digitale signaler I forbindelse med transmission af signaler gennem luften eller over netværk, er der behov for at modulere det enten analoge eller digitale signal, for at tilpasse det til transmissionsmediet. I dette kapitel gennemgåes basale modulationsmetoder for digitale signaler i afsnit For mere avancered modulationsformer henvises til speciallitteraturen, f.eks. Stremler (199), Bissel & Chapman (199) eller Wade (1994) Tilpasset filter I mange anvendelser udsendes og modtages pulser. Tiden indtil modtagelsen kan være et udtryk for distancen mellem sender og modtager, som i f.eks. radar og medicinsk ultralyd (Skolnik 198; Jensen 1996). Styrken af det modtagne signal er relateret til genstanden, som har reflekteret den udsendte puls. F.eks. modtager en radar som regel et kraftigere signal fra store genstande end fra små. Sådanne signaler er oftest behæftet med støj, og det er derfor ønskeligt at maksimere det ønskede signal og minimere støjen med en passende signalbehandling. Dette kan gøres med et tilpasset filter. Det modtagne signal r(t) antages at være givet ved r(t) = g(t) + n(t) (11.1) hvor g(t) er responset fra systemet for f.eks. en enkelt reflektor, og n(t) er støjen, som er ukorreleret med g(t). Der ønskes nu et lineært, tids-invariant filter, der maksimerer forholdet mellem det ønskede signal og støjeffekten til tiden t m. Dette forhold kan udtrykkes ved SN p = y(t m ) {n o(t m )} y(t) = g(t) h(t) (11.) hvor y(t m ) er signalværdien til tiden t m, h(t) er impulsresponsen for det tilpassede filter, y(t) er udgangssignalet fra det lineære, tilpassede filter uden støj, og n o (t) er den filtrerede støj. Da støjen er stationær kan t m erstattes med t og forholdet kan i frekvensdomænet udtrykkes ved y(t m ) {n o(t)} = G(f)H(f)ejπftm df S (11.3) n(f) H(f) df idet n(t) antages at være stationær, og derfor har en effekt, som er uafhængig af tiden. S n (f) er støjens effekttæthedsspektrum. Antages støjen hvid fås y(t m ) {n o(t)} = G(f)H(f)ejπft m df A (11.4) H(f) df 15
2 1 Ultralydpuls Tidsreverseret puls x Filtreret puls x x 1 6 Figur 11.1: Tilpasset filter for en ultralydpuls og resulterende signal efter filtrering. Her er A støjens effekttæthed. Benyttes nu Schwarz ulighed (se apppendix B) fås G(f)H(f)e jπft m df H(f) df G(f)e jπft m df (11.5) hvor lighedstegnet gælder for H(f) = k 1 (G(f)e jπft m ) = k 1 G (f)e jπft m (11.6) k 1 er en konstant. Det maximale forhold fås derfor, når (11.6) er opfyldt og dermed y(t m ) {n o(t)} H(f) df G(f)ejπftm df A H(f) df = G(f) df A = A (11.7) Det benyttes her, at p df = p p df hvorved faktoren e jπft m er uden betydning. Til detektionstidspunktet er signalværdien fra filteret for den ønskede del af signalet altså proportional med signalets energi. Den fouriertransformerede af filteret, som maksimerer spidsamplituden for udgangssignalet i forhold til støjen, er således givet ved H(f) = k 1 G (f)e jπftm (11.8) hvilket er h(t) = k 1 g(t m t) (11.9) i tidsdomænet. Filteret er en tidsreverseret og forsinket version af det oprindelige, støjfrie signal. Forsinkelsen t m vælges så filteret er kausalt. t eksempel for en ultralydpuls er givet i figur Filteret er tilpasset signalet så frekvensområder med megen signalenergi ikke dæmpes og områder med udelukkende støj dæmpes kraftigt. n forøget båndbredde for filteret ville forøge støjen uden en 16 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler
3 P f P fk µ K Figur 11.: Sandsynlighedstætheder for signalet y 1 (t). tilsvarende forøgelse i signalenergi efter filteret, hvorimod en båndbreddeformindskelse ville reducere signalenergien. Det bør bemærkes at resultatet kun gælder for hvid støj (se f.eks. Stremler (199) for eksempel med farvet støj). 11. Detektion af støjbehæftede binære signaler fter filtrering skal det f.eks. i en radar afgøres, om der er et fly til tiden t m eller ikke, og i telekommunikation skal afgøres hvilket symbol, der modtages. t simplificeret tilfælde er at betragte det binære signal g(t) som enten har værdien eller 1. Når g(t) har passeret det tilpassede filter h(t) fås værdien K, når g(t) har værdien 1. Til tidspunktet t m kan man altså efter det tilpassede filter modtage enten eller y 1 (t m ) = K + n (t m ) y 1 (t m ) = n (t m ) (11.1) når g(t) har passeret en støjbehæftet kanal og er blevet filteret med et tilpasset filter. For at beslutte om signalværdien er eller 1 må benyttes en tærskelværdi µ, hvor det antages at g(t m ) er lig 1 for y 1 (t m ) µ og g(t m ) er for y 1 (t m ) < µ. På grund af støjen er der to muligheder for fejl. nten kan n (t m ) reducere værdien af y 1 (t m ), så den bliver mindre end µ selvom g(t m ) = 1, eller y 1 (t m ) > µ selvom g(t m ) =. Den første fejl resulterer i at en puls, som er tilstede, ikke detekteres (falsk negativ). I det andet tilfælde detekteres et signal, som ikke er der (falsk positiv). t eksempel med gaussisk støj er vist i figur 11.. Det skraverede areal viser, hvor sandsynlige de to fejl er. Det kan ses, at uanset valget af µ vil der begås fejl. Den samlede sandsynlighed for fejl afhænger af hvor tit og K optræder i signalet. Hvis K forekommer sjældent vil falsk negative fejl også forekomme sjældent. Den samlede sandsynlighed for at begå fejl er P f = P P f + P K P fk (11.11) 11.. Detektion af støjbehæftede binære signaler 17
4 hvor P er sandsynligheden for g(t m ) =, og P f er sandsynligheden for at n (t m ) > µ. Da der kun optræder de to symboler fås P f = P P f + (1 P )P fk (11.1) Hvis der er den samme sandsynlighed for og K fås P f = 1 (P f + P fk ) (11.13) Hvis sandsynlighedstæthedsfunktionen for støjen er symmetrisk omkring dens middelværdi fås P f = P fk, og tærskelværdien bliver umiddelbart µ = K/, da begge fejltyper har samme vægt. De to sandsynligheder, P f og P fk, er for gaussisk støj givet ved P f = P f = P fk = µ 1 πσ e ξ /(σ ) dξ (11.14) der afhænger af µ og σ, hvor σ er standardafvigelsen for n (t). Fejlsandsynligheden er vist som funktion af K/σ i figur Oftest er sandsynligheden for de to symboler ikke lige store, og dermed bliver valget af tærskelværdien ikke umiddelbart. For det tilpassede filter fås til tiden t m en værdi, der er proportional med signalets energi. Hvis der ikke modtages noget svar fra, f.eks. refleksion af radarimpulsen fra et fly, modtages kun støj. Det er ækvivalent til situationen givet i formel (11.1). Derfor fås den samme sandsynlighed for fejl, og den samme metode for bestemmelsen af tærskelværdien kan benyttes. K/σ er således forholdet mellem den modtagne signalenergi divideret med to gange RMS værdien af støjen filtreret gennem det tilpassede filter. Oftest vil man f.eks. i radar have at P K er meget mindre end P, og at P K ikke kendes. Derfor må tærskelværdien oftest bestemmes empirisk Digitale modulationsformer I mange moderne anvendelser findes resultatet af en signalbehandling i form af et digitalt signal, som ønskes transmitteret via modem, netværk eller digital teletransmission. Signalet skal derfor ved digital modulation bringes fra en digital form til en passende analog form, som er egnet til transmission. Der findes basalt tre modulationstyper: amplitude-, fase- og frekvensmodulation, som omtales i det følgende Digital amplitudemodulation I digital amplitudemodulation benyttes at signalets amplitude afhænger af værdien af det binære digitale signal. For værdien 1 sendes signalet p(t) = { a sin(πfc t) t T, ellers (11.15) hvor f c er centerfrekvensen for den sendte puls, og T er dens varighed. For værdien sendes et signal med amplituden. Den binære streng 1111 sendes således som vist på figur Den øverste graf viser det ideelle signal, og den nederste viser signalet efter passage gennem en telefonlinie med et brugbart gennemgangsområde fra 3 Hz til 3 khz. Der skiftes altså mellem to amplitudeværdier og metoden benævnes Amplitude-Shift Keying (ASK) i den engelsksprogede litteratur. 18 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler
5 1 1 1 Sandsynlighed for fejl K/( σ ) [db] Figur 11.3: Sandsynligheden for fejl for gaussisk fordelt støj, når der er lige stor sandsynlighed for de to symboler. 1.5 y(t) [V] y(t) [V] Figur 11.4: Amplitudemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = 4/f c = 3.3 ms. Den nederste graf viser signalet efter det har passeret en kanal med en begrænset båndbredde (f.eks. en telefonlinie) Digitale modulationsformer 19
6 Når signalet modtages efter transmission skal den binære datastrøm gendannes. Det kan f.eks. ske ved at anvende et tilpasset filter, og dernæst finde om der blev sendt eller 1. Den tilpassede filtrering består af en foldning med p(t m t), hvor t m er tidspunktet for detektionen. Den maximale værdi ud fra filteret er proportional med energien af den udsendte puls (se afsnit 11.1). Hvis sandsynligheden for og 1 er lige store sættes tærskelværdien for skelnen mellem de to værdier til /. K i formel (11.1) svarer således til, og hermed fås fejlsandsynligheden givet i figur 11.3 i det forrige afsnit. ksempel 11.1 Det amplitudemodulerede signal vist øverst på figur 11.4 sendes over en telefonkanal med uendelig båndbredde, som tilføjer signalet gaussisk fordelt støj med en konstant effekttæthed på 1 4 W/Hz indenfor en båndbredde på f n = 5 khz. Beregn fejlsandsynligheden: nergien af signalet efter den tilpassede filtrering er = 4/fc [ a sin (πf c t)dt = a x πf c ] sin x 8π = a (11.16) 4 f c Det tilpassede filter er en tidsreverseret version af den udsendte puls, og kan via frekvensforskydningsreglen ses at have sin maximale forstærkning omkring f = f c (se f.eks. figur.7). Overføringsfunktionen er således koncentret omkring f = f c og forstærkningen falder for højere værdier af f. Antages det at forstærkningen er forsvindende for f > f n fås støjeffekten via Parsevals formel til (Dette svarer til at antage at støjen er hvid og overvurderer derfor støjens effekt) P n = = S n () fn H(f) S n (f)df = S n () H(f) df S n () f n H(f) df h (t)dt = S n () a f c (11.17) hvor S n (f) er støjens effekttæthed. Forholdet /σ er således σ = P n = S n () a (11.18) f c a σ = f c a (11.19) S n () a S n ()f c Med de givne tal fås f c = σ = = 6. db 1 Hermed fås en fejlsandsynlighed på 1. De forskellige signaler er vist i figur 11.5 for den binære sekvens Øges amplituden for sinuspulsen fra 1 til volt fås et forhold på 1 db og dermed en fejlsandsynlighed på ; altså en betydelig forbedring. Fejlsandsynligheden vil også afhænge af om det korrekte detektionstidspunkt benyttes. Derfor er det vigtigt, at modtageren synkroniseres til afsenderen. Dette problems løsning falder dog uden for rammerne for disse noter. For hvid støj kan udledes en simpel relation til bestemmelse af fejlsandsynligheden, som giver indsigt i filterets og støjens indflydelse. Antages det at støjen er hvid (har konstant effekttæthed) fås støjens effekt efter filtrering til P n = S n () (11.) Kapitel 11. Modulation af digitale signaler
7 1 Ideelt signal y(t) [V] y(t)+e(t) [V] (y(t)+e(t))*h(t) [V] Signal med stoej x 1 3 Filtreret signal Figur 11.5: Amplitudemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = 4/f c = 3.3 ms. Den øverste graf viser det ideelle signal, den næste viser signalet med støj, og til sidst efter filtrering med et tilpasset filter. Den vandrette line viser tærskelværdien /, og de lodrette streger viser tidspunkterne for detektion. hvor er energien af pulsen p(t). Hermed fås forholdet σ = S n () = 4S n () (11.1) Det er altså forholdet mellem energien af pulsen og effekttætheden af støjen tilført fra transmissionskanalen, der bestemmer sandsynligheden for fejl Frekvensmodulation Den digitale information kan også overføres ved at benytte pulser med forskellig centerfrekvenser. For symbolet 1 sendes { a sin(πf1 t) t T, p 1 (t) = (11.) ellers og for symbolet : hvor f 1 T of f T er heltal. p (t) = { a sin(πf t) t T, ellers (11.3) Den binære streng 1111 sendes som vist øverst på figur Der skiftes mellem to frekvensværdier og metoden benævnes Frequency-Shift Keying (FSK) i den engelsksprogede litteratur. Der benyttes nu to tilpassede filtre til detektionen; et for hver pulstype. Til tidspunktet for detektion er signalværdien fra filtrene proportional med energien for den udsendte puls. Da varigheden af pulserne for de to symboler er lige store er energien for pulserne lig hinanden. n mulig detektionsmetode er vist på figur Det modtagne signal passerer de to tilpassede filtre og subtraheres. Denne signalbehandling kan uden støjbidraget skrives som y(t) = g(t) h 1 (t) g(t) h (t) = g(t) (h 1 (t) h (t)). (11.4) Digitale modulationsformer 1
8 1.5 g(t) [V] g(t) [V] Figur 11.6: Frekvensmoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f 1 = Hz, f = 1 Hz og T = ms. Den øverste graf viser det transmitterede signal, og den nederste viser signalerne for symbolerne 1 og separat. Figur 11.7: Detektor for FSK modulation. Kapitel 11. Modulation af digitale signaler
9 For detektionstidspunktet t m fås y(t m ) = g(θ)(h 1 (t m θ) h (t m θ)dθ (11.5) hvor h 1 (t m t) = g 1 (t m t m + t) = g 1 (t) (se ligning (11.9)) og h (t m t) = g (t). Til detektionstidspunktet t m = fås derfor en signalværdi på y() = T a sin(πf 1 θ)(a sin(πf 1 θ) a sin(πf θ))dθ (11.6) når der modtages symbolet 1 og signalet er støjfrit. Dette kan omskrives til T y() = = a = a a sin(πf 1 θ)a sin(πf θ)dθ T T cos(π(f 1 f )θ) cos(π(f 1 + f )θ)dθ cos(π fθ) cos(π(f + f)θ)dθ (11.7) Det sidste integral vil være nul, hvis der integreres over et helt antal perioder af sinus signalet med frekvensen f = f 1 f. Dette er opfyldt når T f = p, hvor p er et heltal, og de to signaler siges at være ortogonale. n lignende udregning fås, når der modtages pulsen for symbolet. Her fås y() = T a sin(πf θ)(a sin(πf 1 θ) a sin(πf θ))dθ = (11.8) Ud fra denne detektor fås derfor enten værdien eller afhængig af hvilken puls, der er udsendt, når de to signaler er ortogonale. Tærskelværdien kan derfor sættes til. Støjen i signalet bliver også filtreret, og den resulterende støjeffekt er givet ved P n = H 1 (f) H (f) S n (f)df (11.9) hvor S n (f) er effektætheden af støjen og H 1, H er overføringsfunktionerne for de to tilpassede filtre. Antages det, at støjens effekttæthed er konstant inden for området, hvor de to filtre har betydende forstærkning fås P n = S n () H 1 (f) H (f) df (11.3) Det sidste led er: = (H 1 (f) H (f))(h 1 (f) H (f))df H 1 (f) + H (f) H 1 (f)h (f) H 1 (f)h (f))df De to sidste led er lig signalet g (t) foldet med den tidsreverserede af signalet g 1 (t), og resultatet er, da de to signaler er ortogonale. Hermed fås P n = S n () Støjeffekten bliver altså fordoblet ved subtraktionen. H 1 (f) + H (f) df = S n () (11.31) Sandsynligheden for fejl kan, som for ASK modulation, findes ud fra figur Tærskelværdien er nul, og det er kun støjamplituder over en værdi på, der giver anledning til fejl. Støjeffekten er blevet Digitale modulationsformer 3
10 g(t) [V] Figur 11.8: Fasemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = /f c = ms. fordoblet ved subtraktionen, og derved er det forholdet /( σ), som bestemmer sandsynligheden. På lignende måde som i forrige afsnit kan forholdet, som bestemmer fejlsandsynligheden, udregnes til σ = S n () = S n () Der opnås altså en 3 db forbedring i forholdet ved benyttelse af FSK istedet for ASK modulation. (11.3) Fasemodulation Ved denne metode benyttes skift i signalets fase for at indikere om der sendes symbolet eller 1. Når der sendes to symboler benyttes at skifte mellem en fase på π og. Metoden benævnes Phase Shift Keying (PSK). Den binære sekvens 1111 kommer derved til at se ud som på figur Til detektionen benyttes et tilpasset filter, som er den tidsreverserede puls. For symbolet 1 vil filterets udgangsværdi være proportional med (energien af pulsen) ved detektionstidspunktet og for symbolet er værdien. Tærskelværdien for detektionen kan derfor sættes til, når der er lige stor sandsynlighed for de to signaler. ffekten af støjen efter filtreringen er P n = σ = S n (), og amplituden af støjen skal være større end for at give anledning til en fejldetektion. Hermed fås forholdet, som bestemmer sandsynligheden, til σ = S n () = S n () (11.33) altså en 6 db forbedring i forhold til ASK modulation. For det tidligere eksempel svarer det til at man kan sende med en amplitude på 1 volt og opnå en fejlsandsynlighed på ved at benytte PSK istedet for ASK modulation. 4 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereVEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk
VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereModulationer i trådløs kommunikation
Modulationer i trådløs kommunikation Valg af modulationstype er et af de vigtigste valg, når man vil lave trådløs kommunikation. Den rigtige modulationstype kan afgøre, om du kan fordoble din rækkevidde
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereDen menneskelige cochlea
Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereDigitale periodiske signaler
KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereTrivsel og fravær i folkeskolen
Trivsel og fravær i folkeskolen Sammenfatning De årlige trivselsmålinger i folkeskolen måler elevernes trivsel på fire forskellige områder: faglig trivsel, social trivsel, støtte og inspiration og ro og
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereTeknologi & Kommunikation
Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereLinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereMultipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test
Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x k uafhængige variable
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereOpg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen
Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereArduino kursus lektion 4:
Arduino kursus lektion 4: I denne lektion skal vi bruge et digitalt termometer til at aflæse temperaturen! Herefter skal vi tænde 3 dioder som hver indikerer forskellige temperaturer! Opgave 1: Temperatursensor
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.129 Side 1
Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereRediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse
Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Institutionens brugeradministrator på Optagelse.dk kan oprette medarbejdere med forskellige roller og rettigheder. Når du opretter en
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVed aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik
Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik 1 Indhold Socialpolitikken og Socialudvalgets MVV... 3 Politikkens fokusområder...
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs merePicasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012
Picasa Web En ressource i SkoleIntra Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er PicasaWeb?...4 Kom på!...5 Google-konto...5 Når du er logget ind: Indstillinger...5 Når du er logget ind: Upload...6
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereVands bevægelse i kanaler
Vands bevægelse i kanaler Væskemængde pr tid Væskemængden pr tid Q i et lukket rør er defineret som det volumen ΔV, der passerer et givet sted i røret i løbet af tidsrummet Δt. Dvs at V Q (1) t Hvis rørets
Læs mereTilladelse H031156 til anvendelse af frekvenser til trådløst kommunikationsnet (TK) i Danmark.
IT- og Telestyrelsen, den 23. december 2009 Tillæg nr. 2 til Tilladelse til anvendelse af frekvenser til oprettelse og drift af radioanlæg i GSM1-nettet I GSM-tilladelsen af 28. februar 1997 (GSM1) foretages
Læs mereRespondenter Procent Skriv navn 13 100,0% I alt 13 100,0% Respondenter Procent I en gruppe 13 100,0% Individuelt 0 0,0% I alt 13 100,0%
Vælg din vejleder Skriv navn 13 100,0% Vælg din vejleder - Skriv navn Lars Ditrichson Lars dietrichson Lars Grubbe Dietrichson lars dietrichson Lars Dietrictson Lars Grubbe Ditrichson Blev projektet udarbejdet
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereNotat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager
Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Ajourføring - Ejendomme J.nr. Ref. lahni/pbp/jl/ruhch Den 7. marts 2013 Introduktion til notatet... 1 Begrebsafklaring... 1 Hvorfor er det aktuelt
Læs mereVejledende Matematik B
Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereFacitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag
[1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereSPØRGESKEMAUNDERSØGELSE
SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE Sådan ser du svarprocenten og rykker for eller tilbagekalder besvarelser I denne vejledning kan du læse, hvordan du kan følge arbejdspladsens svarprocent på spørgeskemaundersøgelsen
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereFÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS
FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereQuickguide til anvendelse af kort i ODA
Quickguide til anvendelse af kort i ODA Jens Bøgestrand og Lars M. Svendsen, DCE. 17. september 2015. Fra og med ODA version 7 er der introduceret en facilitet, som gør det muligt at vælge observationssteder
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereDer er derfor, for at alle kan sende, kun tilladt, at sende intermitterende. Altså korte pakker. ( Dette skal dog verificeres!!)
MHz KIT Rev: /- Det er ikke tilladt, at man bare udsender radiobølger på den frekvens, man ønsker. Forskellige frekvenser er udlagt til forskellige formål. Nogle til politiet, militæret, FM-radio-transmission,
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereOprettelse af Aktivitet
Oprettelse af Aktivitet 1. Fra Organizerens forside Kalender vælges og det ønskede tidspunkt for aktiviteten. 2. Nu dukker formen frem som aktiviteten bliver oprettet med. Formen har som udgangspunkt 3
Læs mereEDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus
Afsnit 4-5-6 EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand http://en.wikipedia.org/wiki/index_of_electronics_articles http://openbookproject.net/electriccircuits/ 2012-09-13 OZ1DUG 4-5-6 1 Repetition
Læs mereVejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse:
Vejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse: Side 2: Nyheder valg til personligt nyhedsbrev, Mine Nyheder og visning på enkeltsider Side 3: Funktionen
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereTilstandsligningen for ideale gasser
ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hh121-mat/b-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereKanalstrategi en strategi for henvendelseskanaler til og fra kommunen [Udkast] Juni 2013. Natur og Udvikling
Kanalstrategi en strategi for henvendelseskanaler til og fra kommunen [Udkast] Juni 2013 Natur og Udvikling Kanalstrategi Hvert år håndterer Halsnæs Kommune rigtig mange henvendelser til og fra borgere
Læs mereArtikel til digst.dk om offentlige myndigheders særlige vejledningspligt ifm. kanalskifte til Digital Post
20. marts 2014 KUI/BIL KIK/Masoe Artikel til digst.dk om offentlige myndigheders særlige vejledningspligt ifm. kanalskifte til Digital Post Særlig vejledningsforpligtelse ved offentlige myndigheders overgang
Læs mereVejledning til ledelsestilsyn
Vejledning til ledelsestilsyn Ledelsestilsynet er et væsentligt element i den lokale opfølgning og kan, hvis det tilrettelægges med fokus derpå, være et redskab til at sikre og udvikle kvaliteten i sagsbehandlingen.
Læs mereModulpakke 3: Uendelige Rækker
Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer
Læs mereTIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR
TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR Sådan sikrer du dig, at eleverne både får en sjov dag og noget fagligt med hjem. FØR TUREN Fortæl klassen om den tematur, de skal på. Lad eleverne drøfte de spørgsmål, som
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereOneRemote INT Converter. Type 32002638. Brugervejledning. Betjening med Bang & Olufsen. Triax C-HD207CX. 32002638u3dk
OneRemote INT Converter Type 32002638 Brugervejledning Betjening med Bang & Olufsen Triax C-HD207CX 32002638u3dk Daglig betjening med Beo4, Beo5, Beo6 Afspille funktioner OO OK o o0 Play press 1 sec. Play
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereUDBUDS- GUIDEN VEJLEDNING TIL OFFENTLIGE INDKØBERE VED INDKØB AF KOMMUNIKATIONSYDELSER. udbud2.indd 1 16-12-2008 15:16:10
UDBUDS- GUIDEN VEJLEDNING TIL OFFENTLIGE INDKØBERE VED INDKØB AF KOMMUNIKATIONSYDELSER udbud2.indd 1 16-12-2008 15:16:10 INDLEDNING OG BAGGRUND FOR VEJLEDNINGEN Som offentlig indkøber er det en svær og
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mere1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)
Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes
Læs mereEksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.
Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.
Læs mereVejledning om dybe links i Digital Post. Februar 2016
Vejledning om dybe links i Digital Post Februar 2016 Hvem skal anvende vejledningen? Vejledningen er relevant for dig, hvis du vil indsætte et link til myndighedens postkasse i Digital Post som kontaktoplysning
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mere