Statistik. Ib Michelsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Statistik. Ib Michelsen"

Transkript

1 Statistik Ib Michelsen Ikast 2007

2 Forsidebilledet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.0 incl. Sandsynlighed

3 Indholdsfortegnelse Indledning HF-bekendtgørelsen Statistik Deskriptiv statistik Skives ungdom Deskriptorer Et statistisk eksempel Observationer og deskriptorer Boksplot Boksplot Grupperede observationer Histogram Histogrammer og flere deskriptorer Den kumulerede hyppighed Sumkurven Fraktiler Kvartilsæt mv. for grupperede data Middeltal Middeltallet for grupperede data Sandsynlighed Spil på "sekseren" Sikkert eller tilfældigt? Stokastiske eksperimenter Stokastisk eksperiment Stokastisk variabel Frekvenser og sandsynligheder Grundlaget Binomialfordelingen Binomialforsøg Binomialfordelingen Estimat, Hypotese og Test Estimat Hypoteser Test...233

4

5 Indledning I denne sidste del af bogen, skal vi beskæftige os med statistik. Men ikke kun det: det er naturligt at placere statistik i en større helhed, hvori der også indgår sandsynlighed, hypoteser, test og estimat. Men for at få overblik over, hvad der er kernestof og hvad der er supplerende stof citeres bekendtgørelsen i min gengivelse: HF-bekendtgørelsen Kursisterne skal kunne: give en statistisk behandling af et talmateriale og kunne formidle konklusioner i et klart sprog Kernestoffet er: deskriptiv statistik med grafisk præsentation og bestemmelse af simple empiriske statistiske deskriptorer Suppplerende stof omfatter: indsamling og bearbejdning af data, herunder diskussion af hypoteser og af repræsentativitet af stikprøver Statistik Og hvad betyder så ordet statistik? Statistik er videnskaben om at tilvejebringe statistikker, det vil sige: en oversigt over en stats eller staters indre forhold især hvad angår talmæssige forhold. 1 Det første eksempel om Skives ungdom falder i denne kategori selvom Skive ikke er hele Danmark. I dag bruges ordet statistikker også om andre talmæssige forhold end statens som for eksempel i firmaets salgsstatistik. Betydningen af ordet statistik er blevet bredere og dækker nu næsten en hvilken som helst (talmæssig) beskrivelse af et fænomen: vejrstatistik, vildtstatistik... Talmæssige forhold for en stat består tit af overvældende mange tal. Statistikerens arbejde i dette område er derfor ofte at koncentrere sådanne mængder af tal til et eller nogle få tal eller en overskuelig figur, for at læseren ikke skal drukne i information. Sådanne tal kaldes statistiske deskriptorer. Gennemsnitskarakteren er et eksempel på en sådan deskriptor. 1 jævnfør Ordbog over det Danske Sprog, Bind 21, Gyldendal, 1943 (1982) 195

6

7 Deskriptiv statistik

8

9 Skives ungdom Danmarks Statistik 2 er en statsinstitution, der har til opgave at indsamle og formidle oplysninger om alt mellem himmel og jord. I Statistikbanken, der er gratis og offentlig tilgængelig på Internettet, får man et indtryk af bredden ved at se på emneoversigten: Miljø og energi, Befolkning og valg, Uddannelse og kultur, Arbejdsmarked, Løn, Sociale forhold, Sundhed og retsvæsen, Indkomst, Forbrug og priser, Generel erhvervs-statistik, Landbrug, Industri, Byggeri og boligforhold, Serviceerhverv, Transport, Udenrigshandel, Nationalregnskab og betalingsbalancen, Offentlige finanser, Penge og kapitalmarked. Derfra er de følgende data hentet: på tegningen man ser hvordan: Ved hjælp af markeringerne: Skive, 0, 1, 2,... år og 2005 vælger du, hvilke data du vil se. De vises så umiddelbart på hjemmesiden eller de kan hentes ind i et regneark. Herunder ses de data, der er svaret på forespørgslen. Og derunder ses et diagram, der viser (en del af) de samme data

10 Deskriptorer Ved en eksamen har Josephine opnået følgende karakterer: 7, 4, 4, 7, 10, 7, 7, 10, 7, 2, 4, 7, 10, 4, 7, 10, 7, 4, 12, 10. Hvis der er tale om 20 enkeltkarakterer, kan det virke uoverskueligt. Derimod synes beskeden: Josephine bestod X-eksamen med gennemsnittet 7 at være en klar besked og ofte lige så god som alle enkeltkaraktererne. Her vil vi i stedet for ordet gennemsnit bruge ordet middelværdi. Ofte vil man også være interesseret i, hvilke karakterer Josephine har fået flest af: dvs. hendes typiske karakter. "Josephine har typisk fået 7" Når vi har en række observationer, kaldes den observation (her karakter), der er flest af, typetallet. Vi kunne også sortere alle Josephines karakterer i størrelsesorden begyndende med 2, så 4, 4... og til sidst 12. Den karakter, der står midt i rækken er medianen. Er der et lige antal observationer, benytter vi middelværdien af de to midterste observationer. 200

11 Både middelværdi, typetal og median beskriver Josephines eksamen; de er deskriptorer. At de her blev samme tal er ikke sikkert, men at de har omtrent samme værdier er heller ikke unormalt. Hvad der er vigtigt (for os) er, at deskriptoren fortæller det vigtigste uden at vildlede. Det har nok ikke altid været tilfældet... 3 Her var det karakterer vi observerede, men det kunne have været alt muligt andet: mord på ægtefæller, længden af torsk, antal rugende ørne i Danmark, prisen på en tønde olie... Når vi har en række af sådanne (samhørende) data, kan vi give dem en statistisk behandling. Et statistisk eksempel Dette er en undersøgelse af, hvor mange timer en 8. klasse har set tv på et døgn. Observationer: Nr TV 0 0 ½ ½ ½ ½ Nr TV 1½ 1½ 1½ 1½ 1½ 1½ ½ Eleverne er nummererede (øverst), der er altså 21 elever og nederst står det antal timer, de har set tv. Observationssættets størrelse er 21. Her er medianen observation nummer 11 i ovenstående tabel, altså 1½ time. Hvis der kun havde været 20 observationer, ville medianen have været middeltallet af observation 10 og 11. Denne undersøgelse har typetal 1½ time, fordi det forekommer flest gange. Middeltallet er gennemsnittet af antal timer der ses tv, i 3 " There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics. Benjamin Disraeli British politician ( ) (http://www.quotationspage.com/quote/487.html) 201

12 dette tilfælde: Middeltallet = (0+0+½+½+½ ½+1½+1½+1½+1½+1½+1½ ½):21 = 25,5:21=1,21 Middelværdien af børnenes tv-kiggeri er 1,21 timer/døgn Hyppighedstabel for antal timer Observation Hyppighed Frekvens Frekvens omregnet til % 0 timer 2 2/21=0,095 0,095*100=9,5% ½ time 3 3/21=0,143 0,143*100=14,3% 1 time 5 5/21=0,238 0,238*100=23,8% 1½ time 7 7/21=0,333 0,333*100=33,3% 2 timer 3 3/21=0,143 0,143*100=14,3% 2½ time 1 1/21=0,048 0,048*100=4,8% I alt: 21 21/21=1 100% Du kan finde mere på denne hjemmeside: Beregn karaktergennemsnit for Ida, der fik karaktererne : 4, 7, 7, 10,10 for eleverne til en prøve, der fik karakterer Karakterer Antal karakterer Idas gennemsnitskarakter: Elevgruppens gennemsnitskarakter En sommer er der i højsæsonen solgt følgende antal vaffelis (XTR-Mega) pr. dag: , 320, 398, 265, 225, 175, 195, 285, 267, 165, 138, 185, 168, 241, 350, 375, 300, 280, 264, 277, 239. Beregn middelværdien (gennemsnittet) Find kvartilsættet Dvs: Find først medianen og så medianen for hver af de to dele af materialet over hhv. under medianen.

13 Observationer og deskriptorer En observation er resultatet eller svaret på en undersøgelse ofte et tal. Symbolsk skrives det ofte x i, hvor i står for et eller andet nummer 1, 2, 3... og x i så er værdien af den i'te observation. Et observationssæt er alle de samhørende tal: {x 1 ; x 2 ; x 3 ;... x n } Observationssættets størrelse (n) er antallet af observationer; ofte gives de enkelte observationer numre fra 1 til n som ovenfor. Observationerne kan antage en række mulige værdier; for hver af disse kan vi opgøre, hvor mange af vore observationer, der er lig med denne værdi. Dette er hyppigheden (af denne værdi.) Hyppigheden (h) omregnes ofte til en frekvens (f) således: f = h n Det normale er at angive brøken som decimalbrøk med 2 eller 3 cifre efter kommaet. Frekvensen kan også angives i procent: f = h n 100 % Middeltallet x= x x... x 1 2 n x i = n n Typetallet er den hyppigste observation Medianen er den midterste observation, når observationerne er ordnet efter størrelse. Er der to i midten (når n er lige), benyttes middeltallet af disse to. Nedre kvartil findes som medianen men kun i den første halvdel af observationerne (sorteret i voksende rækkefølge.) Ved ulige antal ses der bort fra midterste observation. Øvre kvartil findes på tilsvarende måde blandt de største observationer. Kvartilsættet er mængden bestående af nedre kvartil (= 1. kvartil), median (= 2. kvartil) og øvre kvartil (=3. kvartil). 203

14 Boksplot Ved hjælp af en simpel tegning (et boksplot eller på dansk: en kassetegning) kan der gives megen information om en række data på en overskuelig måde: I superligaen var målscoren pr. kamp i de første 3 runder, som det fremgår af tabellen: Disse data sorteres efter størrelse (voksende): Det ses, at der er resultater fra 18 kampe. Ifølge definitionen fås medianen så som middeltallet af det 9. og det 10. resultat: Medianen = (3+3)/2 = 3 Der er 9 tal til venstre i (den grønne) tabels første halvdel: Det midterste af disse er 1. kvartil: 1. kvartil = 2 Tilsvarende fås: 3. kvartil = 4 Kvartilsættet bliver så Kvartilsæt = { 2; 3; 4 } Kvartilsættet sammen med mindste og største observation benyttes til at illustrere målscoren i superligakampe i Superligaens første 3 runder i efteråret 2006: runde Mål i superligaen efteråret Antal mål Figuren læses således: Der er markeret en almindelig x-akse (som her er inddelt fra 0 til 6) Observationerne er i eksemplet antal mål pr. kamp Den mindste observation er 1 og den største 5 Kvartilsættet {2;3;4} er benyttet til at tegne den midterste grøn/blå firkant, hvor farveskiftene markerer kvartilerne. Det fremgår fx, at i den mest målfattige fjerdedel af kampene, blev der scoret et eller to mål. 204

15 Boksplot Et boksplot er en figur, der med en boks (= rektangel) viser kvartilerne samtidig med største og mindste observation. Bemærkning: Der er markeret en sædvanlig x-akse, men der er ingen y-akse. Kassens "højde" har ingen betydning. Læsbarheden er nok bedst, hvis tegningen placeres lidt over x-aksen; evt. kan der placeres flere boksplots over hinanden for at kunne sammenligne observationssæt. Sammenligningen kan støttes af lodrette hjælpelinjer for bedre at kunne aflæse tal på x-aksen. Fortsæt eksemplet med vaffelis (3 sider tidligere) og tegn det tilsvarende boksplot. Grupperede observationer I dag vil man nemt kunne håndtere tusindvis af data opsamlet af computere eller i hvert fald indtastet på computer. Tidligere har man møjsommeligt måtte regne med papir og blyant og har derfor ved optælling grupperet sine observationer for at få en vis arbejdslettelse uden at resultaterne for beregningerne ændredes ret meget: I stedet for at Jens var 17 år 287 dage, blev han med en pind registreret fx som én tilhørende aldersgruppen årige. Også i dag må man sommetider nøjes med at arbejde med det offentliggjorte grupperede materiale. Lad os se på et eksempel: Sukkerfabrikken På Wollesen Sukkerfabrik laver man en statistik i forbindelse med påfyldning og pakning i detailemballage: Fra kæmpemæssige lagerbeholdere hældes sukkeret automatisk gennem påfyldningsanlæg ned i tokilogramsposer. Med regelmæssige mellemrum udtages poser, som bliver 205

16 kontrolvejet. Formålet er at kontrollere, at anlægget virker korrekt, så kunderne ikke bliver snydt men også, at firmaet ikke forærer noget væk. Poserne vejer naturligvis ikke præcis lige meget, men er afhængig af anlæggets kvalitet og justering. Idealet er, at variationen er så lille som muligt, således at alle poser vejer mindst 2000 g, men helst ikke meget mere. Man kontrolvejer ikke samtlige poser, men nøjes med nogle få. Man regner med, at man vil opdage fejl, fejljustering og lignende (næsten) lige så hurtigt for en meget mindre omkostning. Teknikken med at udtage nogle få (her poser) af en større mængde, for at sige noget om den større mængde (her: alle posernes vægt) kaldes at udtage en stikprøve fra en population. Når vi angiver størrelsen af en observation, benytter vi ikke uendelig mange decimaler. Sommetider sker der afrunding efter 5-reglen, sommetider afrundes der kun ned. Ved beregningerne skal man være opmærksom på, hvilken afrundingsmetode der er anvendt. Wollesens Sukkerfabrik Stikprøve den kl.11: I modsætning til eksemplet med karakterer, hvor der kun er 7 forskellige, varierer sukkerposernes vægt kontinuert. Det vil sige, at inden for variationsområdet kan en pose veje hvad som helst som fx 2.008, g I princippet er der ikke to poser, der vejer nøjagtig det samme! I tabellen her er resultatet vist i hele gram lad os antage, at der konsekvent er rundet ned. For at få et overblik over alle vægtene i tabellen kan man gruppere materialet: det vil sige, at vi deler variations-området op i en passende mængde halvåbne intervaller (ty 206

17 pisk 5 15 intervaller). Vi laver derfor en tabel, der for ethvert interval angiver intervalhyppigheden, det vil her sige, hvor mange poser har en vægt, der ligger i intervallet. Intervallerne herunder i øvelsen er vist, som man ofte gør, men det bør selvfølgelig præciceres, hvor observationen fx 1990 skal placeres. Da observationen er et nedrundet tal, placeres den naturligt i intervallet og ikke i intervallet Af øvelsen herunder fremgår det, at vi tæller, hvor mange observationer, der falder i et bestemt interval: det er intervalhyppigheden. Ved sammenligning med andre observationssæt af en anden størrelse, kan hyppigheden ikke umiddelbart bruges til sammenligning; omregnes de derimod til intervalfrekvenser, går det fint. Interval "pinde" Intervalhyppigheder l llll Histogram Færdiggør tabellen. Kontroller, at der er 50 observationer! Histogrammet minder om søjlediagrammet, men må ikke forveksles hermed. I søjlediagrammet står der (i princippet) under hver søjle, hvad der måles. Dvs. der er ikke tale om en alm. x-akse! I histogrammet har man et normalt retvinklet koordinatsystem, hvor x-aksen inddeles som sædvanligt!. I eksemplet her vil vi have en x-akse hvor tallene 1980; 1990;..., 2050 er markerede. Den første søjle svarende til intervallet [1980 ; 1990[ tegnes mellem 1980 og 1990, den næste mellem1990 og 2000 osv. Bemærk, at her støder nabosøjler sammen. Højden på 207

18 søjlen svarer til intervalhyppigheden. 4 Histogrammer og flere deskriptorer En intervalhyppighed er antallet af observationer i et bestemt interval En intervalfrekvens er den hertil svarende brøk eller procent. Et histogram er en tegning der viser hyppigheder (eller frekvenser) som søjler; søjlerne er placeret ved siden af hinanden på en sædvanlig x-akse og deres areal svarer til hyppigheden (frekvensen.) Ofte er bredden af søjlerne ens og i det tilfælde svarer søjlernes højde også til hyppighederne (eller frekvenserne.) Et typeinterval er det interval, hvor histogrammets søjle er højest. Bemærk, at hvis intervallerne ikke er lige brede, kan der være et bredere interval med flere observationer end typeintervallet. 4 Hvis alle intervallerne har samme bredde, kan højden på søjlerne afsættes som intervalhypighederne. Men hvis et interval med hyppigheden 15 er 3 gange så bredt som de andre, svarer det jo til 3 søjler med gennemsnitshyppigheden 5. I det tilfælde skal søjlehøjden være 5! Hvis du på y-aksen angiver procent som måleenhed, bør alle søjlerne være lige brede eller hvis du har en søjle med 3-dobbelt bredde, kan du opdele den i 3 søjler med stiplede linjer. Alternativt kan du opgive at benytte y-aksen som målestok for hyppighederne (frekvenserne), men i stedet tegne et lille kvadrat som svarer til fx. hyppigheden: 10 observationer (eller hvis histogrammet er baseret på frekvenser: 10 %) 208

19 Histogram-øvelse Færdigggør histogrammet; det handler stadig om Wollesens Sukkerfabrik. Hvis vi beregner intervalhyppighederne i procent af det samlede antal observationer (n = observationssættets størrelse) findes intervalfrekvenserne. f([1980 ; 1990[) = 1/50 = 0,02 = 0,02*100 % = 2 % f([1990 ; 2000[) = 4/50= 0,08 = 0,08*100 % = 8 % Frekvens-øvelse antal poser gram pr. pose Beregn de resterende intervalfrekvenser ved hjælp af intervalhyppighederne fra den tidligere øvelse. 209

20 Den kumulerede hyppighed Kumulerede intervalhyppigheder Tabellen (nogle sider før) med intervalhyppigheder, kan suppleres med en ekstra kolonne: Summerede 5 intervalhyppigheder: Ud for intervallet: [1980 ; 1990[ skrives 1, fordi: antallet af poser med en vægt, der er ligger i dette interval er 1 (her: intervalhyppigheden.) - og fordi der ikke findes poser med en mindre vægt. Dette var jo det første interval! Ud for intervallet: [1990 ; 2000[ skrives 5, fordi: antallet af poser med en vægt, der er mindre end 2000 er: Dem, der er mindre end 1990 (1) og dem, der ligger i intervallet [1990 ; 2000[ (4); i alt 1+4 = 5. Opstillet en tabel foregår beregningen ret mekanisk: Interval Intervalhyppighed Summeret intervalhyppighed Den summerede (kumulerede) intervalhyppighed er antallet af observationer, der er mindre end det tilsvarende intervals højre endepunkt. For at finde resultatet 13 = benyttes tallet lige over og lige til venstre for 13. De er markeret med gult. Øvelse om summerede intervalhyppigheder Beregn de resterende kumulerede hyppigheder som i skemaet herover. 5 Kumulerede eller summerede 210

21 Interval Intervalfrekvens Kumuleret intervalfrekvens ,02 0, ,08 0, Den summerede (kumulerede) intervalfrekvens er brøken (eller procenten) af observationer, der er mindre end intervallets højre endepunkt. Sumkurven Beregn de kumulerede intervalfrekvenser som påbegyndt i skemaet herover. Sumkurven er defineret som grafen for funktionen, der for enhver mulig observationsstørrelse (x-værdi) angiver brøken (eller procenten) af observationer, der er mindre end denne x-værdi. Overvej, at punkter, hvor x-værdien er højre endepunkt af et interval og y-værdien er den til intervallet svarende summerede intervalfrekvens, ligger på sumkurven! Tegn sumkurven herunder på mm-papir og skitser den på tegningen herunder. F(x) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

22 Bemærkninger Når vi forbinder støttepunkter for sumkurven, kender vi ikke de enkelte posers vægt; i mangel af bedre viden regner vi med en jævn fordeling og derfor tegnes grafen mellem nabostøttepunkter som rette linjestykker. Fraktiler Definition: p %-fraktilen Vi har en givet sumkurve og tilsvarende funktionen F(x) p %-fraktilen er den (mindste) x-værdi, hvor F(x) = p % Bemærk: p er en y-værdi. Derfor starter du på y-aksen, tegner en vandret linje ud til grafen og fra skæringspunktet tegner du lodret ned til x-aksen, hvor du aflæser p%-fraktilen. Fraktil-øvelse Aflæs på nedenstående figur 10 %-fraktil, 25 %-fraktil, 50 %-fraktil, 75 %-fraktil, 90 %- fraktil, 94 %-fraktil, 100 %-fraktil. Sumkurve procent x På figuren aflæses, at 54%-fraktilen =

23 Kvartilsæt mv. for grupperede data 25 %-fraktil kaldes 1. kvartil (eller: nedre kvartil) 50 %-fraktil kaldes 2. kvartil eller medianen 75 %-fraktil kaldes 3. kvartil (eller: øvre kvartil) Tilsammen kaldes de 3 kvartiler kvartilsættet. Skrivemåden for kvartilsættet er fx Kvartilsættet = {12 ; 17; 21} idet 1. kvartil = 12 osv. Bemærk, at denne definition bruges for grupperede observationer hvor ikke alle enkelte observationer kendes. 6 Lønstatistik 7 Fra Ledernes lønstatistik får man blandt andet oplyst følgende om lønnen for halinspektører i 2005: Ledernes lønstatistik 2005 Halinspektører Nedre Kvartil (1.) Median Øvre Kvartil (3.) % -fraktil Indtegn en delvist skitseret sumkurve for halinspektørernes løn på mm-papir. Hvilken månedsløn får en halinspektør, der ligger på 61 %-fraktilen? Hvilken fraktil svarer månedslønnen kr. til? 6 Det er bestemt ikke normalt, at det samme begreb defineres på to forskellige måder, der vel at mærke giver forskellige resultater. I Danmark er der en gammel tradition for at anvende definition, der bygger på fraktiler. Denne tradition er ved at blive erstattet af den mere intuitive definition, du tidligere har set. For ikke at blive misforstået, når du anvender kvartilsæt, må du derfor tilføje, hvordan kvartilsættet er fundet: Enten ved hjælp af de tre fraktiler eller ved hjælp af de tre observationer, der deler materialet i 4 lige store dele

24 Lægevagten Hos lægevagten i X-købing har man lavet statistik over antallet af henvendelser, som det fremgår af skemaet under øvelsen. Tegn et histogram, der svarer til tabellens oplysninger Beregn det gennemsnitlige antal henvendelser pr. døgn Hvad er typeintervallet? Beregn frekvenserne, der svarer til hyppighederne Beregn de summerede frekvenser Tegn sumkurven Find kvartilsættet Hvor mange procent af døgnene var der færre end 125 henvendelser? Hvor mange procent af døgnene var der flere end 200 henvendelser? Tegn et boksplot Antal henvendelser pr. døgn Hyppighed Middeltal Middeltallet x For en række observationer x, 1 x2,..., x kan middeltallet beregnes som: x1 + x xn x = n n I forbindelse med Josephines karakterer blev gennem 214

25 snitskarakter omtalt som middeltal. På nøjagtig samme måde kan vi beregne middeltallet for sukkerposerne på Wollesens Sukkerfabrik hvis vi kender de individuelle vægte. x = /50 = 2.018,8 det vil sige, at poserne i gennemsnit vejer 2.018,8 gram Forudsætter vi, at poserne i gennemsnit er rundet ned med 0,5 g, skal dette lægges til så gennemsnittet bliver 2019,3 g. Ofte har man imidlertid kun de grupperede data til rådighed til beregning af middeltallet, hvilket i princippet er umuligt i henhold til ovenstående definition. Løsningen er: at lade som vi kender dem: Interval hyppigheder h midtpunkt m m*h [1980 ; 1990[ [1990 ; 2000[ [2000 ; 2010[ [ [ [2030 ; 2030[ [2030 ; 2040[ [2040 ; 2050[ Ialt Middeltal = / Forudsætningen for rigtigheden er, at gennemsnittet for observationerne i hvert interval = intervalmidtpunktet. Det er naturligvis kun omtrent rigtigt, men så kan vi yderligere antage, at fejlene omtrent udligner hinanden. Sammenlignes resultaterne 2019,3 og 2019 ser det ud, som denne antagelse er rimelíg i hvert fald for det anførte eksempel. Middeltallet for grupperede data For en række observationer x, 1 x2,..., xn kan middeltallet beregnes som: hi mi x = n hvor det græske bogstav (store sigma) betyder, at man skal addere: her er det en række produkter; hvert produkt har faktoren h (intervalhyppigheden) og faktoren m (intervalmidtpunktet.) 215

26 Det er præcis denne definition, vi har anvendt ved beregningen i ovenstående tabel. Rind Dambrug På Rind Dambrug kontrolleres ørredproduktionen: Man har taget en stikprøve på 40 ørreder og vejet dem for at vurdere, om produktionen er salgsklar. Resultatet fremgår af tabellen: Rind Dambrug Kontrolvejning 15. marts Hvad er typeintervallet? Beregn middelværdien For dambruget er det selvfølgelig uden betydning, om de 40 ørreder er salgsklare men som stikprøve skal de fortælle noget om alle ørrederne, man planlægger at sælge. 216

27 Sandsynlighed Spil på "sekseren" Under 2. verdenskrig 8 blev der gravet brunkul i Midtjylland og der (og mange andre steder) var der smugkroer, hvor man spillede Fortuna eller på "sekseren": et populært (og ulovligt) hasardspil. 9 Spillet var uhøre enkelt: Der benyttes en spilleplade som nedenstående og 3 terninger: Først bestemmer hver spiller sin indsats: stor eller lille efter eget ønske. Der kan sættes penge på et eller flere tal. Der kan være en eller mange spillere, der spiller mod Banken. Pengene lægges på pladen på det tal, man satser på. Antag, at du har satset 500 kroner på 2'eren. Bankøren ryster raflebægeret med de tre terninger og vender det. Regnskabet 1. Er der nul toere, er indsatsen tabt 2. Er der en toer, vinder du din indsats: altså 500 kr. fra banken (og beholder indsatsen). Tilsvarende: 3. Er der to toere, vinder du to gange 500 kr. og Den, som søger erhverv ved hasardspil eller væddemål af tilsvarende art, der ikke ifølge særlig bestemmelse er tilladt, eller ved at fremme sådant spil, straffes med bøde eller fængsel indtil 1 år. Stk. 2. Retten afgør, om det vundne udbytte skal inddrages eller tilbagebetales. (Straffelovens 203) 217

28 4. Er der tre toere, vinder du tre gange 500 kr. Øvelse: Spil på "sekseren" Gevinst "Pinde" Hyppighed Frekvens Antal observationer i alt Samlet gevinst (+) eller tab(-) i "sekser-kroner": I grupper på ca. 4 elever trækkes der lod: en er bankør og resten er spillere Alle - både bankør og spillere - udstyres med "matadorpenge" af læreren; spillerne får også et regnskabsark som ovenstående Der spilles nogle runder i minutter eller indtil banken er gået konkurs eller spillerne har mistet alle deres penge. Efter hver runde (eller spil) sætter hver spiller en "pind" for at lave statistik over sit spilleforløb Efter spillet diskuterer gruppen: Hvem vil du helst være: bankør eller spiller? Hvorfor? Er det et fair spil? Kan banken gå fallit? Hvordan skal gevinsterne ændres, før du skifter mening? Hvornår er det ligemeget, om man er bankør eller spiller? Er der nogen udfald af terningekastet der er gode for banken? Findes der en god "strategi for spillerne? Sammenlign spillernes frekvenser. Ligner de hinanden? hvorfor? 218 Kan man regne ud, hvad frekvenserne omtrent bliver?

29 In plenum: Diskussionen samles op. Grupperne argumenterer for deres svar. Evt. udarbejdes et samlet frekvensskema for alle spillere. Find matadorpenge 10 Øvelse: Præsidentvalget Gore vs. Bush jr. De to kandidater fik ved præsidentvalget i 2000 omtrent lige mange stemmer; Gore flest i US som helhed ("the popular majority"), men valget af præsident og vicepræsident afgøres af "United States Electoral College", som består af et antal repræsentanter fra de respektive stater. Helt afgørende blev staten Florida, hvor optællingen viste næsten samme antal stemmer til hhv. demokrater og republikanere. Officielt endte optællingen med et flertal til Bush jr. på 537 i denne stat ud af afgivne stemmer. Hvis Gallup eller et andet opinionsundersøgelsesinstitut skulle spå om valgresultatet, kunne det så spå rigtigt? helt sikkert? Hvis der var 6 konkurrerende institutter, der uafhængigt af hinanden spåede om resultatet, kunne de så alle spå rigtigt? Eller alle spå forkert? Hvilke kombinationer af forudsigelser ville du forvente, når du nu kender afstemningsresultatet? Se 11 Sikkert eller tilfældigt? Når man lader en terning falde fra Rundetårn kan man måle (eller se): 10 Find pengene: "Sekserpenge" 11U.S. presidential election, 2000, Florida electoral votes (Margin: % svarende til 537 votes af 5,962,657 votes in Florida). Kilde: en.wikipedia.org 219

30 hvor lang tid der går fra terningen slippes til den rammer fortovet eller hvor mange øjne terningen viser. I det første tilfælde udføres et deterministisk eksperiment: vi har funktioner, der beskriver faldhøjden som en funktion af tiden. Forsøgets resultat kan beregnes før det gennemføres. Det kan gentages og resultatet bliver det samme. I det andet tilfælde udføres et stokastisk eksperiment: resultatet afhænger af tilfældigheder og kan ikke forudsiges sikkert. Dog ved vi, at terningen må vise 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øjne. Beskrivelsen her er sort-hvid; matematiske modeller er forenklede beskrivelser af virkeligheden. I modellen kan vi lave en serie fuldstændig ens eksperimenter, fordi vi bevidst ser bort fra det uvæsentlige i den virkelige verden. Det deterministiske eksperiment er derfor en idealforestilling fra modellernes verden. Stokastiske eksperimenter Forudsætningen er: under så vidt mulige velbeskrevne og kontrollerede omstændigheder udføres et eksperiment en eller flere gange. Eksperimenter har et udfald. For de deterministiske er der kun et muligt udfald modsat stokastiske, hvor der er flere mulige udfald. Terningekastet har 6 mulige udfald: nemlig 1, 2, øjne. Vi regner kun med disse 6 mulige udfald og ser bort fra, at terningen kunne gå i stykker, forsvinde eller blive stående på et hjørne. Stokastisk eksperiment Et eksperiment udføres på nøjagtig samme måde, men resultatet varierer uforudsigeligt hver gang. De mulige udfald kan beskrives som et udfaldsrum (= mængden af mulige udfald.) Den eneste viden, der haves er, at vi i det lange løb vil se et mønster i frekvenserne for observationer af forskellige udfald. 220

31 Stokastisk variabel Det vi måler ved et stokastisk eksperiment, kaldes en stokastisk variabel. Et eksempel kunne være gevinsten ved et enkelt spil i et kasino på en roulette. Eller gevinsten (- snarere tabet) ved 100 spil. Eller hvor mange gange ud af 100 kuglen lander på "ulige". Bemærk, at det udfald vi observerer kan være farven (rød eller sort), men i samme eksperiment kan man også observere for eksempel nummeret (1-36) eller lige/ulige. Øvelse: Stokastisk variabel Hvis det "stokastiske eksperiment" er et spil på "sekseren": Find to forslag til en stokastisk variabel! Eksempel Fra en serie på 1000 terningeslag er der i tabellen herunder vist frekvensen af 6 ere for det første eksperiment, for de 2 første,... og for de 10 første: Slag Frekvens ,00 0,50 0,33 0,25 0,20 0,33 0,29 0, ,33 0,40 Diagrammet herunder viser grafisk hvorledes (i dette tilfælde) frekvensen nærmer sig et tal i nærheden af 1/6; faktisk er den sidst målte frekvens 0,172 (og 1/6 = 0,167). Frekvens af 6'ere 1 0,8 0,6 0,4 0, Terningeslag 221

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

En lille introduktion til WordMat og statistik.

En lille introduktion til WordMat og statistik. En lille introduktion til WordMat og statistik. WordMat er et gratis program som kan arbejde sammen med word 2007 og 2010. Man kan downloade programmet fra nettet. Se hvordan på linket: http://www.youtube.com/watch?v=rqsn8aakb-a

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

statistik basis+g DEMO

statistik basis+g DEMO statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 92%

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 1 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 1 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive Torben Rønne Statistik med TI InterActive Indholdsfortegnelse 1 Beskrivende statistik... 3 1.1 Middelværdi, kvartilsæt og boksplot... 3 1. Histogram og sumkurve... 5 1.3 Varians og spredning... 9 Normalfordelingen...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Dorthe Jørgensen

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere