Statistik. Ib Michelsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Statistik. Ib Michelsen"

Transkript

1 Statistik Ib Michelsen Ikast 2007

2 Forsidebilledet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.0 incl. Sandsynlighed

3 Indholdsfortegnelse Indledning HF-bekendtgørelsen Statistik Deskriptiv statistik Skives ungdom Deskriptorer Et statistisk eksempel Observationer og deskriptorer Boksplot Boksplot Grupperede observationer Histogram Histogrammer og flere deskriptorer Den kumulerede hyppighed Sumkurven Fraktiler Kvartilsæt mv. for grupperede data Middeltal Middeltallet for grupperede data Sandsynlighed Spil på "sekseren" Sikkert eller tilfældigt? Stokastiske eksperimenter Stokastisk eksperiment Stokastisk variabel Frekvenser og sandsynligheder Grundlaget Binomialfordelingen Binomialforsøg Binomialfordelingen Estimat, Hypotese og Test Estimat Hypoteser Test...233

4

5 Indledning I denne sidste del af bogen, skal vi beskæftige os med statistik. Men ikke kun det: det er naturligt at placere statistik i en større helhed, hvori der også indgår sandsynlighed, hypoteser, test og estimat. Men for at få overblik over, hvad der er kernestof og hvad der er supplerende stof citeres bekendtgørelsen i min gengivelse: HF-bekendtgørelsen Kursisterne skal kunne: give en statistisk behandling af et talmateriale og kunne formidle konklusioner i et klart sprog Kernestoffet er: deskriptiv statistik med grafisk præsentation og bestemmelse af simple empiriske statistiske deskriptorer Suppplerende stof omfatter: indsamling og bearbejdning af data, herunder diskussion af hypoteser og af repræsentativitet af stikprøver Statistik Og hvad betyder så ordet statistik? Statistik er videnskaben om at tilvejebringe statistikker, det vil sige: en oversigt over en stats eller staters indre forhold især hvad angår talmæssige forhold. 1 Det første eksempel om Skives ungdom falder i denne kategori selvom Skive ikke er hele Danmark. I dag bruges ordet statistikker også om andre talmæssige forhold end statens som for eksempel i firmaets salgsstatistik. Betydningen af ordet statistik er blevet bredere og dækker nu næsten en hvilken som helst (talmæssig) beskrivelse af et fænomen: vejrstatistik, vildtstatistik... Talmæssige forhold for en stat består tit af overvældende mange tal. Statistikerens arbejde i dette område er derfor ofte at koncentrere sådanne mængder af tal til et eller nogle få tal eller en overskuelig figur, for at læseren ikke skal drukne i information. Sådanne tal kaldes statistiske deskriptorer. Gennemsnitskarakteren er et eksempel på en sådan deskriptor. 1 jævnfør Ordbog over det Danske Sprog, Bind 21, Gyldendal, 1943 (1982) 195

6

7 Deskriptiv statistik

8

9 Skives ungdom Danmarks Statistik 2 er en statsinstitution, der har til opgave at indsamle og formidle oplysninger om alt mellem himmel og jord. I Statistikbanken, der er gratis og offentlig tilgængelig på Internettet, får man et indtryk af bredden ved at se på emneoversigten: Miljø og energi, Befolkning og valg, Uddannelse og kultur, Arbejdsmarked, Løn, Sociale forhold, Sundhed og retsvæsen, Indkomst, Forbrug og priser, Generel erhvervs-statistik, Landbrug, Industri, Byggeri og boligforhold, Serviceerhverv, Transport, Udenrigshandel, Nationalregnskab og betalingsbalancen, Offentlige finanser, Penge og kapitalmarked. Derfra er de følgende data hentet: på tegningen man ser hvordan: Ved hjælp af markeringerne: Skive, 0, 1, 2,... år og 2005 vælger du, hvilke data du vil se. De vises så umiddelbart på hjemmesiden eller de kan hentes ind i et regneark. Herunder ses de data, der er svaret på forespørgslen. Og derunder ses et diagram, der viser (en del af) de samme data

10 Deskriptorer Ved en eksamen har Josephine opnået følgende karakterer: 7, 4, 4, 7, 10, 7, 7, 10, 7, 2, 4, 7, 10, 4, 7, 10, 7, 4, 12, 10. Hvis der er tale om 20 enkeltkarakterer, kan det virke uoverskueligt. Derimod synes beskeden: Josephine bestod X-eksamen med gennemsnittet 7 at være en klar besked og ofte lige så god som alle enkeltkaraktererne. Her vil vi i stedet for ordet gennemsnit bruge ordet middelværdi. Ofte vil man også være interesseret i, hvilke karakterer Josephine har fået flest af: dvs. hendes typiske karakter. "Josephine har typisk fået 7" Når vi har en række observationer, kaldes den observation (her karakter), der er flest af, typetallet. Vi kunne også sortere alle Josephines karakterer i størrelsesorden begyndende med 2, så 4, 4... og til sidst 12. Den karakter, der står midt i rækken er medianen. Er der et lige antal observationer, benytter vi middelværdien af de to midterste observationer. 200

11 Både middelværdi, typetal og median beskriver Josephines eksamen; de er deskriptorer. At de her blev samme tal er ikke sikkert, men at de har omtrent samme værdier er heller ikke unormalt. Hvad der er vigtigt (for os) er, at deskriptoren fortæller det vigtigste uden at vildlede. Det har nok ikke altid været tilfældet... 3 Her var det karakterer vi observerede, men det kunne have været alt muligt andet: mord på ægtefæller, længden af torsk, antal rugende ørne i Danmark, prisen på en tønde olie... Når vi har en række af sådanne (samhørende) data, kan vi give dem en statistisk behandling. Et statistisk eksempel Dette er en undersøgelse af, hvor mange timer en 8. klasse har set tv på et døgn. Observationer: Nr TV 0 0 ½ ½ ½ ½ Nr TV 1½ 1½ 1½ 1½ 1½ 1½ ½ Eleverne er nummererede (øverst), der er altså 21 elever og nederst står det antal timer, de har set tv. Observationssættets størrelse er 21. Her er medianen observation nummer 11 i ovenstående tabel, altså 1½ time. Hvis der kun havde været 20 observationer, ville medianen have været middeltallet af observation 10 og 11. Denne undersøgelse har typetal 1½ time, fordi det forekommer flest gange. Middeltallet er gennemsnittet af antal timer der ses tv, i 3 " There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics. Benjamin Disraeli British politician ( ) (http://www.quotationspage.com/quote/487.html) 201

12 dette tilfælde: Middeltallet = (0+0+½+½+½ ½+1½+1½+1½+1½+1½+1½ ½):21 = 25,5:21=1,21 Middelværdien af børnenes tv-kiggeri er 1,21 timer/døgn Hyppighedstabel for antal timer Observation Hyppighed Frekvens Frekvens omregnet til % 0 timer 2 2/21=0,095 0,095*100=9,5% ½ time 3 3/21=0,143 0,143*100=14,3% 1 time 5 5/21=0,238 0,238*100=23,8% 1½ time 7 7/21=0,333 0,333*100=33,3% 2 timer 3 3/21=0,143 0,143*100=14,3% 2½ time 1 1/21=0,048 0,048*100=4,8% I alt: 21 21/21=1 100% Du kan finde mere på denne hjemmeside: Beregn karaktergennemsnit for Ida, der fik karaktererne : 4, 7, 7, 10,10 for eleverne til en prøve, der fik karakterer Karakterer Antal karakterer Idas gennemsnitskarakter: Elevgruppens gennemsnitskarakter En sommer er der i højsæsonen solgt følgende antal vaffelis (XTR-Mega) pr. dag: , 320, 398, 265, 225, 175, 195, 285, 267, 165, 138, 185, 168, 241, 350, 375, 300, 280, 264, 277, 239. Beregn middelværdien (gennemsnittet) Find kvartilsættet Dvs: Find først medianen og så medianen for hver af de to dele af materialet over hhv. under medianen.

13 Observationer og deskriptorer En observation er resultatet eller svaret på en undersøgelse ofte et tal. Symbolsk skrives det ofte x i, hvor i står for et eller andet nummer 1, 2, 3... og x i så er værdien af den i'te observation. Et observationssæt er alle de samhørende tal: {x 1 ; x 2 ; x 3 ;... x n } Observationssættets størrelse (n) er antallet af observationer; ofte gives de enkelte observationer numre fra 1 til n som ovenfor. Observationerne kan antage en række mulige værdier; for hver af disse kan vi opgøre, hvor mange af vore observationer, der er lig med denne værdi. Dette er hyppigheden (af denne værdi.) Hyppigheden (h) omregnes ofte til en frekvens (f) således: f = h n Det normale er at angive brøken som decimalbrøk med 2 eller 3 cifre efter kommaet. Frekvensen kan også angives i procent: f = h n 100 % Middeltallet x= x x... x 1 2 n x i = n n Typetallet er den hyppigste observation Medianen er den midterste observation, når observationerne er ordnet efter størrelse. Er der to i midten (når n er lige), benyttes middeltallet af disse to. Nedre kvartil findes som medianen men kun i den første halvdel af observationerne (sorteret i voksende rækkefølge.) Ved ulige antal ses der bort fra midterste observation. Øvre kvartil findes på tilsvarende måde blandt de største observationer. Kvartilsættet er mængden bestående af nedre kvartil (= 1. kvartil), median (= 2. kvartil) og øvre kvartil (=3. kvartil). 203

14 Boksplot Ved hjælp af en simpel tegning (et boksplot eller på dansk: en kassetegning) kan der gives megen information om en række data på en overskuelig måde: I superligaen var målscoren pr. kamp i de første 3 runder, som det fremgår af tabellen: Disse data sorteres efter størrelse (voksende): Det ses, at der er resultater fra 18 kampe. Ifølge definitionen fås medianen så som middeltallet af det 9. og det 10. resultat: Medianen = (3+3)/2 = 3 Der er 9 tal til venstre i (den grønne) tabels første halvdel: Det midterste af disse er 1. kvartil: 1. kvartil = 2 Tilsvarende fås: 3. kvartil = 4 Kvartilsættet bliver så Kvartilsæt = { 2; 3; 4 } Kvartilsættet sammen med mindste og største observation benyttes til at illustrere målscoren i superligakampe i Superligaens første 3 runder i efteråret 2006: runde Mål i superligaen efteråret Antal mål Figuren læses således: Der er markeret en almindelig x-akse (som her er inddelt fra 0 til 6) Observationerne er i eksemplet antal mål pr. kamp Den mindste observation er 1 og den største 5 Kvartilsættet {2;3;4} er benyttet til at tegne den midterste grøn/blå firkant, hvor farveskiftene markerer kvartilerne. Det fremgår fx, at i den mest målfattige fjerdedel af kampene, blev der scoret et eller to mål. 204

15 Boksplot Et boksplot er en figur, der med en boks (= rektangel) viser kvartilerne samtidig med største og mindste observation. Bemærkning: Der er markeret en sædvanlig x-akse, men der er ingen y-akse. Kassens "højde" har ingen betydning. Læsbarheden er nok bedst, hvis tegningen placeres lidt over x-aksen; evt. kan der placeres flere boksplots over hinanden for at kunne sammenligne observationssæt. Sammenligningen kan støttes af lodrette hjælpelinjer for bedre at kunne aflæse tal på x-aksen. Fortsæt eksemplet med vaffelis (3 sider tidligere) og tegn det tilsvarende boksplot. Grupperede observationer I dag vil man nemt kunne håndtere tusindvis af data opsamlet af computere eller i hvert fald indtastet på computer. Tidligere har man møjsommeligt måtte regne med papir og blyant og har derfor ved optælling grupperet sine observationer for at få en vis arbejdslettelse uden at resultaterne for beregningerne ændredes ret meget: I stedet for at Jens var 17 år 287 dage, blev han med en pind registreret fx som én tilhørende aldersgruppen årige. Også i dag må man sommetider nøjes med at arbejde med det offentliggjorte grupperede materiale. Lad os se på et eksempel: Sukkerfabrikken På Wollesen Sukkerfabrik laver man en statistik i forbindelse med påfyldning og pakning i detailemballage: Fra kæmpemæssige lagerbeholdere hældes sukkeret automatisk gennem påfyldningsanlæg ned i tokilogramsposer. Med regelmæssige mellemrum udtages poser, som bliver 205

16 kontrolvejet. Formålet er at kontrollere, at anlægget virker korrekt, så kunderne ikke bliver snydt men også, at firmaet ikke forærer noget væk. Poserne vejer naturligvis ikke præcis lige meget, men er afhængig af anlæggets kvalitet og justering. Idealet er, at variationen er så lille som muligt, således at alle poser vejer mindst 2000 g, men helst ikke meget mere. Man kontrolvejer ikke samtlige poser, men nøjes med nogle få. Man regner med, at man vil opdage fejl, fejljustering og lignende (næsten) lige så hurtigt for en meget mindre omkostning. Teknikken med at udtage nogle få (her poser) af en større mængde, for at sige noget om den større mængde (her: alle posernes vægt) kaldes at udtage en stikprøve fra en population. Når vi angiver størrelsen af en observation, benytter vi ikke uendelig mange decimaler. Sommetider sker der afrunding efter 5-reglen, sommetider afrundes der kun ned. Ved beregningerne skal man være opmærksom på, hvilken afrundingsmetode der er anvendt. Wollesens Sukkerfabrik Stikprøve den kl.11: I modsætning til eksemplet med karakterer, hvor der kun er 7 forskellige, varierer sukkerposernes vægt kontinuert. Det vil sige, at inden for variationsområdet kan en pose veje hvad som helst som fx 2.008, g I princippet er der ikke to poser, der vejer nøjagtig det samme! I tabellen her er resultatet vist i hele gram lad os antage, at der konsekvent er rundet ned. For at få et overblik over alle vægtene i tabellen kan man gruppere materialet: det vil sige, at vi deler variations-området op i en passende mængde halvåbne intervaller (ty 206

17 pisk 5 15 intervaller). Vi laver derfor en tabel, der for ethvert interval angiver intervalhyppigheden, det vil her sige, hvor mange poser har en vægt, der ligger i intervallet. Intervallerne herunder i øvelsen er vist, som man ofte gør, men det bør selvfølgelig præciceres, hvor observationen fx 1990 skal placeres. Da observationen er et nedrundet tal, placeres den naturligt i intervallet og ikke i intervallet Af øvelsen herunder fremgår det, at vi tæller, hvor mange observationer, der falder i et bestemt interval: det er intervalhyppigheden. Ved sammenligning med andre observationssæt af en anden størrelse, kan hyppigheden ikke umiddelbart bruges til sammenligning; omregnes de derimod til intervalfrekvenser, går det fint. Interval "pinde" Intervalhyppigheder l llll Histogram Færdiggør tabellen. Kontroller, at der er 50 observationer! Histogrammet minder om søjlediagrammet, men må ikke forveksles hermed. I søjlediagrammet står der (i princippet) under hver søjle, hvad der måles. Dvs. der er ikke tale om en alm. x-akse! I histogrammet har man et normalt retvinklet koordinatsystem, hvor x-aksen inddeles som sædvanligt!. I eksemplet her vil vi have en x-akse hvor tallene 1980; 1990;..., 2050 er markerede. Den første søjle svarende til intervallet [1980 ; 1990[ tegnes mellem 1980 og 1990, den næste mellem1990 og 2000 osv. Bemærk, at her støder nabosøjler sammen. Højden på 207

18 søjlen svarer til intervalhyppigheden. 4 Histogrammer og flere deskriptorer En intervalhyppighed er antallet af observationer i et bestemt interval En intervalfrekvens er den hertil svarende brøk eller procent. Et histogram er en tegning der viser hyppigheder (eller frekvenser) som søjler; søjlerne er placeret ved siden af hinanden på en sædvanlig x-akse og deres areal svarer til hyppigheden (frekvensen.) Ofte er bredden af søjlerne ens og i det tilfælde svarer søjlernes højde også til hyppighederne (eller frekvenserne.) Et typeinterval er det interval, hvor histogrammets søjle er højest. Bemærk, at hvis intervallerne ikke er lige brede, kan der være et bredere interval med flere observationer end typeintervallet. 4 Hvis alle intervallerne har samme bredde, kan højden på søjlerne afsættes som intervalhypighederne. Men hvis et interval med hyppigheden 15 er 3 gange så bredt som de andre, svarer det jo til 3 søjler med gennemsnitshyppigheden 5. I det tilfælde skal søjlehøjden være 5! Hvis du på y-aksen angiver procent som måleenhed, bør alle søjlerne være lige brede eller hvis du har en søjle med 3-dobbelt bredde, kan du opdele den i 3 søjler med stiplede linjer. Alternativt kan du opgive at benytte y-aksen som målestok for hyppighederne (frekvenserne), men i stedet tegne et lille kvadrat som svarer til fx. hyppigheden: 10 observationer (eller hvis histogrammet er baseret på frekvenser: 10 %) 208

19 Histogram-øvelse Færdigggør histogrammet; det handler stadig om Wollesens Sukkerfabrik. Hvis vi beregner intervalhyppighederne i procent af det samlede antal observationer (n = observationssættets størrelse) findes intervalfrekvenserne. f([1980 ; 1990[) = 1/50 = 0,02 = 0,02*100 % = 2 % f([1990 ; 2000[) = 4/50= 0,08 = 0,08*100 % = 8 % Frekvens-øvelse antal poser gram pr. pose Beregn de resterende intervalfrekvenser ved hjælp af intervalhyppighederne fra den tidligere øvelse. 209

20 Den kumulerede hyppighed Kumulerede intervalhyppigheder Tabellen (nogle sider før) med intervalhyppigheder, kan suppleres med en ekstra kolonne: Summerede 5 intervalhyppigheder: Ud for intervallet: [1980 ; 1990[ skrives 1, fordi: antallet af poser med en vægt, der er ligger i dette interval er 1 (her: intervalhyppigheden.) - og fordi der ikke findes poser med en mindre vægt. Dette var jo det første interval! Ud for intervallet: [1990 ; 2000[ skrives 5, fordi: antallet af poser med en vægt, der er mindre end 2000 er: Dem, der er mindre end 1990 (1) og dem, der ligger i intervallet [1990 ; 2000[ (4); i alt 1+4 = 5. Opstillet en tabel foregår beregningen ret mekanisk: Interval Intervalhyppighed Summeret intervalhyppighed Den summerede (kumulerede) intervalhyppighed er antallet af observationer, der er mindre end det tilsvarende intervals højre endepunkt. For at finde resultatet 13 = benyttes tallet lige over og lige til venstre for 13. De er markeret med gult. Øvelse om summerede intervalhyppigheder Beregn de resterende kumulerede hyppigheder som i skemaet herover. 5 Kumulerede eller summerede 210

21 Interval Intervalfrekvens Kumuleret intervalfrekvens ,02 0, ,08 0, Den summerede (kumulerede) intervalfrekvens er brøken (eller procenten) af observationer, der er mindre end intervallets højre endepunkt. Sumkurven Beregn de kumulerede intervalfrekvenser som påbegyndt i skemaet herover. Sumkurven er defineret som grafen for funktionen, der for enhver mulig observationsstørrelse (x-værdi) angiver brøken (eller procenten) af observationer, der er mindre end denne x-værdi. Overvej, at punkter, hvor x-værdien er højre endepunkt af et interval og y-værdien er den til intervallet svarende summerede intervalfrekvens, ligger på sumkurven! Tegn sumkurven herunder på mm-papir og skitser den på tegningen herunder. F(x) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

22 Bemærkninger Når vi forbinder støttepunkter for sumkurven, kender vi ikke de enkelte posers vægt; i mangel af bedre viden regner vi med en jævn fordeling og derfor tegnes grafen mellem nabostøttepunkter som rette linjestykker. Fraktiler Definition: p %-fraktilen Vi har en givet sumkurve og tilsvarende funktionen F(x) p %-fraktilen er den (mindste) x-værdi, hvor F(x) = p % Bemærk: p er en y-værdi. Derfor starter du på y-aksen, tegner en vandret linje ud til grafen og fra skæringspunktet tegner du lodret ned til x-aksen, hvor du aflæser p%-fraktilen. Fraktil-øvelse Aflæs på nedenstående figur 10 %-fraktil, 25 %-fraktil, 50 %-fraktil, 75 %-fraktil, 90 %- fraktil, 94 %-fraktil, 100 %-fraktil. Sumkurve procent x På figuren aflæses, at 54%-fraktilen =

23 Kvartilsæt mv. for grupperede data 25 %-fraktil kaldes 1. kvartil (eller: nedre kvartil) 50 %-fraktil kaldes 2. kvartil eller medianen 75 %-fraktil kaldes 3. kvartil (eller: øvre kvartil) Tilsammen kaldes de 3 kvartiler kvartilsættet. Skrivemåden for kvartilsættet er fx Kvartilsættet = {12 ; 17; 21} idet 1. kvartil = 12 osv. Bemærk, at denne definition bruges for grupperede observationer hvor ikke alle enkelte observationer kendes. 6 Lønstatistik 7 Fra Ledernes lønstatistik får man blandt andet oplyst følgende om lønnen for halinspektører i 2005: Ledernes lønstatistik 2005 Halinspektører Nedre Kvartil (1.) Median Øvre Kvartil (3.) % -fraktil Indtegn en delvist skitseret sumkurve for halinspektørernes løn på mm-papir. Hvilken månedsløn får en halinspektør, der ligger på 61 %-fraktilen? Hvilken fraktil svarer månedslønnen kr. til? 6 Det er bestemt ikke normalt, at det samme begreb defineres på to forskellige måder, der vel at mærke giver forskellige resultater. I Danmark er der en gammel tradition for at anvende definition, der bygger på fraktiler. Denne tradition er ved at blive erstattet af den mere intuitive definition, du tidligere har set. For ikke at blive misforstået, når du anvender kvartilsæt, må du derfor tilføje, hvordan kvartilsættet er fundet: Enten ved hjælp af de tre fraktiler eller ved hjælp af de tre observationer, der deler materialet i 4 lige store dele

24 Lægevagten Hos lægevagten i X-købing har man lavet statistik over antallet af henvendelser, som det fremgår af skemaet under øvelsen. Tegn et histogram, der svarer til tabellens oplysninger Beregn det gennemsnitlige antal henvendelser pr. døgn Hvad er typeintervallet? Beregn frekvenserne, der svarer til hyppighederne Beregn de summerede frekvenser Tegn sumkurven Find kvartilsættet Hvor mange procent af døgnene var der færre end 125 henvendelser? Hvor mange procent af døgnene var der flere end 200 henvendelser? Tegn et boksplot Antal henvendelser pr. døgn Hyppighed Middeltal Middeltallet x For en række observationer x, 1 x2,..., x kan middeltallet beregnes som: x1 + x xn x = n n I forbindelse med Josephines karakterer blev gennem 214

25 snitskarakter omtalt som middeltal. På nøjagtig samme måde kan vi beregne middeltallet for sukkerposerne på Wollesens Sukkerfabrik hvis vi kender de individuelle vægte. x = /50 = 2.018,8 det vil sige, at poserne i gennemsnit vejer 2.018,8 gram Forudsætter vi, at poserne i gennemsnit er rundet ned med 0,5 g, skal dette lægges til så gennemsnittet bliver 2019,3 g. Ofte har man imidlertid kun de grupperede data til rådighed til beregning af middeltallet, hvilket i princippet er umuligt i henhold til ovenstående definition. Løsningen er: at lade som vi kender dem: Interval hyppigheder h midtpunkt m m*h [1980 ; 1990[ [1990 ; 2000[ [2000 ; 2010[ [ [ [2030 ; 2030[ [2030 ; 2040[ [2040 ; 2050[ Ialt Middeltal = / Forudsætningen for rigtigheden er, at gennemsnittet for observationerne i hvert interval = intervalmidtpunktet. Det er naturligvis kun omtrent rigtigt, men så kan vi yderligere antage, at fejlene omtrent udligner hinanden. Sammenlignes resultaterne 2019,3 og 2019 ser det ud, som denne antagelse er rimelíg i hvert fald for det anførte eksempel. Middeltallet for grupperede data For en række observationer x, 1 x2,..., xn kan middeltallet beregnes som: hi mi x = n hvor det græske bogstav (store sigma) betyder, at man skal addere: her er det en række produkter; hvert produkt har faktoren h (intervalhyppigheden) og faktoren m (intervalmidtpunktet.) 215

26 Det er præcis denne definition, vi har anvendt ved beregningen i ovenstående tabel. Rind Dambrug På Rind Dambrug kontrolleres ørredproduktionen: Man har taget en stikprøve på 40 ørreder og vejet dem for at vurdere, om produktionen er salgsklar. Resultatet fremgår af tabellen: Rind Dambrug Kontrolvejning 15. marts Hvad er typeintervallet? Beregn middelværdien For dambruget er det selvfølgelig uden betydning, om de 40 ørreder er salgsklare men som stikprøve skal de fortælle noget om alle ørrederne, man planlægger at sælge. 216

27 Sandsynlighed Spil på "sekseren" Under 2. verdenskrig 8 blev der gravet brunkul i Midtjylland og der (og mange andre steder) var der smugkroer, hvor man spillede Fortuna eller på "sekseren": et populært (og ulovligt) hasardspil. 9 Spillet var uhøre enkelt: Der benyttes en spilleplade som nedenstående og 3 terninger: Først bestemmer hver spiller sin indsats: stor eller lille efter eget ønske. Der kan sættes penge på et eller flere tal. Der kan være en eller mange spillere, der spiller mod Banken. Pengene lægges på pladen på det tal, man satser på. Antag, at du har satset 500 kroner på 2'eren. Bankøren ryster raflebægeret med de tre terninger og vender det. Regnskabet 1. Er der nul toere, er indsatsen tabt 2. Er der en toer, vinder du din indsats: altså 500 kr. fra banken (og beholder indsatsen). Tilsvarende: 3. Er der to toere, vinder du to gange 500 kr. og Den, som søger erhverv ved hasardspil eller væddemål af tilsvarende art, der ikke ifølge særlig bestemmelse er tilladt, eller ved at fremme sådant spil, straffes med bøde eller fængsel indtil 1 år. Stk. 2. Retten afgør, om det vundne udbytte skal inddrages eller tilbagebetales. (Straffelovens 203) 217

28 4. Er der tre toere, vinder du tre gange 500 kr. Øvelse: Spil på "sekseren" Gevinst "Pinde" Hyppighed Frekvens Antal observationer i alt Samlet gevinst (+) eller tab(-) i "sekser-kroner": I grupper på ca. 4 elever trækkes der lod: en er bankør og resten er spillere Alle - både bankør og spillere - udstyres med "matadorpenge" af læreren; spillerne får også et regnskabsark som ovenstående Der spilles nogle runder i minutter eller indtil banken er gået konkurs eller spillerne har mistet alle deres penge. Efter hver runde (eller spil) sætter hver spiller en "pind" for at lave statistik over sit spilleforløb Efter spillet diskuterer gruppen: Hvem vil du helst være: bankør eller spiller? Hvorfor? Er det et fair spil? Kan banken gå fallit? Hvordan skal gevinsterne ændres, før du skifter mening? Hvornår er det ligemeget, om man er bankør eller spiller? Er der nogen udfald af terningekastet der er gode for banken? Findes der en god "strategi for spillerne? Sammenlign spillernes frekvenser. Ligner de hinanden? hvorfor? 218 Kan man regne ud, hvad frekvenserne omtrent bliver?

29 In plenum: Diskussionen samles op. Grupperne argumenterer for deres svar. Evt. udarbejdes et samlet frekvensskema for alle spillere. Find matadorpenge 10 Øvelse: Præsidentvalget Gore vs. Bush jr. De to kandidater fik ved præsidentvalget i 2000 omtrent lige mange stemmer; Gore flest i US som helhed ("the popular majority"), men valget af præsident og vicepræsident afgøres af "United States Electoral College", som består af et antal repræsentanter fra de respektive stater. Helt afgørende blev staten Florida, hvor optællingen viste næsten samme antal stemmer til hhv. demokrater og republikanere. Officielt endte optællingen med et flertal til Bush jr. på 537 i denne stat ud af afgivne stemmer. Hvis Gallup eller et andet opinionsundersøgelsesinstitut skulle spå om valgresultatet, kunne det så spå rigtigt? helt sikkert? Hvis der var 6 konkurrerende institutter, der uafhængigt af hinanden spåede om resultatet, kunne de så alle spå rigtigt? Eller alle spå forkert? Hvilke kombinationer af forudsigelser ville du forvente, når du nu kender afstemningsresultatet? Se 11 Sikkert eller tilfældigt? Når man lader en terning falde fra Rundetårn kan man måle (eller se): 10 Find pengene: "Sekserpenge" 11U.S. presidential election, 2000, Florida electoral votes (Margin: % svarende til 537 votes af 5,962,657 votes in Florida). Kilde: en.wikipedia.org 219

30 hvor lang tid der går fra terningen slippes til den rammer fortovet eller hvor mange øjne terningen viser. I det første tilfælde udføres et deterministisk eksperiment: vi har funktioner, der beskriver faldhøjden som en funktion af tiden. Forsøgets resultat kan beregnes før det gennemføres. Det kan gentages og resultatet bliver det samme. I det andet tilfælde udføres et stokastisk eksperiment: resultatet afhænger af tilfældigheder og kan ikke forudsiges sikkert. Dog ved vi, at terningen må vise 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øjne. Beskrivelsen her er sort-hvid; matematiske modeller er forenklede beskrivelser af virkeligheden. I modellen kan vi lave en serie fuldstændig ens eksperimenter, fordi vi bevidst ser bort fra det uvæsentlige i den virkelige verden. Det deterministiske eksperiment er derfor en idealforestilling fra modellernes verden. Stokastiske eksperimenter Forudsætningen er: under så vidt mulige velbeskrevne og kontrollerede omstændigheder udføres et eksperiment en eller flere gange. Eksperimenter har et udfald. For de deterministiske er der kun et muligt udfald modsat stokastiske, hvor der er flere mulige udfald. Terningekastet har 6 mulige udfald: nemlig 1, 2, øjne. Vi regner kun med disse 6 mulige udfald og ser bort fra, at terningen kunne gå i stykker, forsvinde eller blive stående på et hjørne. Stokastisk eksperiment Et eksperiment udføres på nøjagtig samme måde, men resultatet varierer uforudsigeligt hver gang. De mulige udfald kan beskrives som et udfaldsrum (= mængden af mulige udfald.) Den eneste viden, der haves er, at vi i det lange løb vil se et mønster i frekvenserne for observationer af forskellige udfald. 220

31 Stokastisk variabel Det vi måler ved et stokastisk eksperiment, kaldes en stokastisk variabel. Et eksempel kunne være gevinsten ved et enkelt spil i et kasino på en roulette. Eller gevinsten (- snarere tabet) ved 100 spil. Eller hvor mange gange ud af 100 kuglen lander på "ulige". Bemærk, at det udfald vi observerer kan være farven (rød eller sort), men i samme eksperiment kan man også observere for eksempel nummeret (1-36) eller lige/ulige. Øvelse: Stokastisk variabel Hvis det "stokastiske eksperiment" er et spil på "sekseren": Find to forslag til en stokastisk variabel! Eksempel Fra en serie på 1000 terningeslag er der i tabellen herunder vist frekvensen af 6 ere for det første eksperiment, for de 2 første,... og for de 10 første: Slag Frekvens ,00 0,50 0,33 0,25 0,20 0,33 0,29 0, ,33 0,40 Diagrammet herunder viser grafisk hvorledes (i dette tilfælde) frekvensen nærmer sig et tal i nærheden af 1/6; faktisk er den sidst målte frekvens 0,172 (og 1/6 = 0,167). Frekvens af 6'ere 1 0,8 0,6 0,4 0, Terningeslag 221

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo F+E+D 1 brikkerne statistik og sandsynlighed F+E+D 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

statistik og sandsynlighed E+D

statistik og sandsynlighed E+D brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed E+D ISBN: 978-87-92488-20-6 1. udgave som E-bog til tablets

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger. Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold IBC Aabenraa HHX Matematik C Lars Erik Henriksen 1HHI 1 Funktioner og polynomier a) Lave en grafisk funktionsanalyse. 1. Definitionsmængde.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere