Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er

Transkript

1 Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er I kapitel 1 så vi netop på, hvordan man geometrisk kan modellere regnbuen. Vi fik også et indtryk af, at regnbuen faktisk først rigtig blev forstået i 1600 tallet, hvor bl.a. Descartes påviste, hvordan regnbuen fremkommer ved brydning og tilbagekastning af solens stråler i regndråber, mens Newton også gjorde fuldstændigt rede for farvespredningen. Men der findes også andre himmelfænomener, som vi kan modellere. Vi vil her se på Zenith buer og Halo er. Zenithbue Halo Zenith buen Zenithbuen er set af mange, men forveksles ofte med en regnbue: I modsætning til regnbuen skal man kigge i samme retning som Solen, blot højere oppe på himlen. Zenithbuen ligger på en cirkelbue med centrum i Zenith, dvs. himmelpunktet lodret over iagttageren, og vender derfor den modsatte vej af en regnbue, der jo har sit centrum i det punkt under horisonten, der ligger lige modsat Solen (anti sol). Endelig er Zenithbuen ikke forbundet med regnvejr, hvorfor der ikke behøver være skyer på himlen. Afgørende er blot et ofte højtliggende atmosfærelag med klar frost. Jo højere oppe i atmosfæren man kommer, jo koldere er det, så de øvre lag i atmosfæren indeholder ofte iskrystaller. Det gælder selvfølgelig også de nedre lag, når blot det er koldt nok. Iskrystallernes typiske form er sekskantede prismer. De flade iskrystaller kaldes pladekrystaller, mens de langstrakte iskrystaller kaldes søjlekrystaller. De fungerer ligesom glasprismer og spejler og bryder derfor solens lys. Derved giver de anledning til en lang række himmelfænomener, hvoraf vi her først vil se på zenithbuen og senere på halo en. 1

2 Billederne ovenfor viser fotografier af iskrystaller opsamlet i atmosfæren samt modeller af strålegangen for de stråler, der frembringer zenithbuen. Pladekrystal Søjlekrystal I begge tilfælde rammer strålen først en vandret sideflade, hvor den brydes, og derefter en lodret sideflade, hvor den brydes endnu en gang. Samlet brydes strålen altså i en kantvinkel på 90. Ved zenithbuer er pladekrystaller særligt fremherskende, og det venstre fotografi stammer netop fra indsamling af krystaller under en tydelig zenithbue. For at frembringe en zenithbue skal alle pladekrystallerne ligge vandret, og der er derfor kun én indfaldsvinkel i, som afhænger af solens højde h på himlen. Der bliver derfor også kun én vinkel s til slut, som angiver højden af zenithbuen på himlen. Men da pladekrystallerne kan drejes omkring deres lodrette akse sendes slutstrålen ud i et bånd af retninger, der alle danner den samme vinkel s med lodret. Derfor ses genspejlingen af solen i en ringformet bue omkring zenith. Det er sammenhængen mellem solhøjden h og zenithbuens højde s vi nu vil undersøge. Solhøjden h i b n = i' b' Zenithbuens højde s Jorden Øvelse: Ovenfor ses en model af strålegangen i en iskrystal set lige fra siden. Brydningsforholdet for is er som vist sat til a) Undersøg sammenhængen mellem de forskellige vinkler på figuren og konstruer strålegangen i et dynamisk geometriprogram. b) Undersøg derefter sammenhængen mellem solhøjden h og zenithbuens højde s, såvel som rækkefølgen af farverne i zenithbuen, idet brydningsforholdet for violet er en smule større end for rødt. c) Hvor højt på himlen må solen være for at vi stadigvæk kan se en zenithbue? På hvilke tidspunkter af dagen skal man så kigge efter zenithbuer? Hvad er det der går galt, hvis solen står for højt på himlen? 2

3 Hvadermatematik?B,i bog ISBN Projekter:Kapitel1 Haloen PåudvalgteaftenerkanmanværeheldigatseenklarhaloomkringMånen,dvs.enlysenderingmeden radiuspåca.20.derkanogsåværeknyttethaloertilsolen,hvorderydermereogsåkanværetydelige refleksionerafsolenidetohalopunktervandretudforsolen,desåkaldtebisole.fotoetvisernetopen solhalomedtobisoleogøverstitilgiftenzenithbue. Haloenfremkommer,nårlysetfraSolenellerMånenbrydesiiskrystallerhøjtoppeiatmosfæren. Iskrystallerneharformsomsekskantedestave,ogbrydningenfindersteditoflader,derdannervinklen v=60 medhinanden,dvs.nårlysstrålentrængerindikrystallenspringesnabofladenoverogdenslipper udigengennemdennæsteflade. Hvisallesøjlernestårlodret,sendeslysetudvinkelretpåsøjlerne,ogderfrembringesbisole/bimåner én påhverside.menhvissøjlerneliggeriallemuligeretninger,sendeslysetudienkredsomkring Solen/Månen,ogvifårfrembragthaloen. 2012L&RUddannelseA/S Vognmagergade11 DK 1148 KøbenhavnK Tlf: info@lru.dk 3

4 Når lyset sendes gennem iskrystallen, rammer det krystallen under mange forskellige indfaldsvinkler og kommer derfor ud i mange forskellige retninger. I princippet skulle man derfor kunne se Solens genskin over et stort område af himlen. Men i praksis kan man kun se Solens genskin, hvis den spredte stråle er særlig intens. Det viser sig nu, at det spredte lys er særligt intenst, når strålen spredes minimalt. Denne gang er vi derfor interesserede i at gøre spredningsvinklen s mellem den indkommende og den udgående lysstråle så lille som mulig. Øvelse: Spredningsvinklen som en funktion For at regne på strålegangen ABCD i et iskrystal indfører vi på sædvanlig vis indfaldsvinkler og brydningsvinkler v = 60 A i B b P i' C b' s Q Iskrystal D a) Gør rede for at vinkel Q, dvs. BQC, er 120. b) Gør rede for at vinkel P, dvs. BPC, er 180 s. c) Gør rede for, at de 'indre vinkler' i krystallen i' og b er knyttet til hinanden med sammenhængen i' + b = 60. d) Gør rede for at spredningsvinklen s kan udtrykkes direkte ved de 'ydre vinkler' i og b' via sammenhængen: s = i + b' 60. Vi kan tænke på det sidste udtryk for spredningsvinklen som en funktion, idet indfaldsvinklen i kan varieres, hvorefter de andre vinkler følger med. Brydningsloven knytter indfaldsvinklerne til brydningsvinklerne, hvor brydningsforholdet n sættes til bsin sin( i) og b' sin nsin( i'). n Geometriske sammenhænge 1 1 1) b sin sin( i) n 2) i' 60b b n i 1 3) ' sin sin( ') 4) s ib' 60 Funktionssammenhænge 1 1 1) bx ( ) sin sin( x) n 2) i'( x) 60 b( x) b x n i x 1 3) '( ) sin sin( '( )) 4) sx ( ) xb'( x) 60 Du kan nu bygge den samlede funktion op og derved få tegnet grafen for spredningsvinklen s som funktion af indfaldsvinklen i. Indskriv og tegn derfor graferne for funktionerne. Afsæt et frit grafpunkt P på grafen for s(x) og mål koordinaterne. Flyt det hen til toppunktet på grafen for spredningsvinklen s, og aflæs derved såvel den minimale spredningsvinkel som den kritiske indfaldsvinkel. 4

5 Hvad gælder der om de to indre vinkler b og i' for denne kritiske indfaldsvinkel? Hvad gælder der om strålegangen i en iskrystal, når spredningsvinklen er minimal? Beregn ved hjælp heraf såvel den kritiske indfaldsvinkel som den minimale spredningsvinkel. Ved at variere på brydningsforholdet n kan du endelig fastlægge rækkefølgen af farverne i haloen såvel som haloens bredde. Simulering af Haloen Du skal nu have en lysstråle til at ramme sidefladen af et sekskantet prisme under forskellige indfaldsvinkler og du skal følge strålegangen for at undersøge hvordan spredningsvinklen varierer. Det kan fx gøres ved at dreje iskrystallen, hvorved indfaldsvinklen netop varierer. 1. Konstruktion af lysstrålen a) Vælg et tilfældigt punkt O ca. midt på skærmen. Træk en lodret halvlinje ud fra O og overfør tallet 10 til halvlinjen. Derved fås et punkt Y på halvlinjen, der ligger 10 cm lodret over O. b) Konstruér derefter en hjælpecirkel med OY som radius. c) Konstruér midtnormalen for OY. Den skal spille rollen som den indkommende lysstråle, som vi sender ind fra venstre side. I denne konstruktion ligger den indkommende lysstråle altså fast! 2. Konstruktion af iskrystallen Midtnormalen skærer cirklen i to punkter, der tilsammen udspænder en tredjedel af cirklen. Konstruer nu den sekstantbue, der starter i det højre skæringspunkt og slutter i Y. Undervejs er du nødt til at afsætte et hjælpepunkt på cirklen. Herefter kan såvel hjælpepunktet som cirklen skjules. a) Konstruer et frit punkt P på sekstantbuen. Med udgangspunkt i P vil vi nu konstruere en regulær sekskant. Udnyt programmets muligheder til at konstruere regulære polygoner, hvor centrum er O, og P er et hjørnepunkt. Her med har du som vist fået konstrueret sekskanten med hjørnepunkterne P, Q, R, S, T og U. Den repræsenterer iskrystallen som markeres med en fed streg. b) Herefter trækker du iskrystallen op med kanten UT, som den kant lysstrålen skal ramme i simuleringen og kanten PQ som den kant, strålen skal slippe ud af igen. Ved at trække i P kan 6 kanten drejes rundt på sin omskrevne cirkel. Derved sikres netop at lysstrålen får forskellige indfaldsvinkler fra 0 til 60. Men man får altså ikke alle indfaldsvinklerne med på én gang! 3. Konstruktion af strålegangen ABCD a) Konstruer skæringspunktet B mellem lysstrålen og krystallen. b) I B konstrueres indfaldsloddet vinkelret på siden UT. c) Mål indfaldsvinklen i måles og navngiv den. 5

6 d) Beregn brydningsvinklen b ved brug af formlen: sin sin( i), med brydningsforholdet n =1.31. n e) Drej nu indfaldsloddet vinklen b omkring punktet B. f) Konstruer skæringspunktet C mellem den brudte stråle og den side PQ, hvor strålen forlader krystallen. 1 1 g) Konstruer indfaldsloddet til siden PQ i skæringspunktet C. 1 h) Mål indfaldsvinklen i 2, og beregn brydningsvinklen b 2 ved brug af formlen: sin sin( ) n i. Drej nu indfaldsloddet vinklen b 2 omkring C (idet vinklen fra indfaldsloddet til den brudte stråle nu er negativ). Træk endelig strålegangen ABCD op med en fed streg. 4. Spredningsvinklen s som funktion af i a) Mål nu spredningsvinklen s som vinklen mellem den indkommende stråle AB og den udgående stråle CD (eller den kan beregnes direkte ved hjælp af formlen s = i + b 2 60 ). b) Grib fat i P og drej krystallen, så du kan finde ud af, hvor brydningen med den mindste spredningsvinkel finder sted. c) Konstruér en graf over sammenhørende værdier af i og s ved fx først at overføre målingerne i og s til akserne i koordinatsystem og dernæst konstruere de vinkelrette gennem de overførte aksepunkter. d) Grafen konstrueres nu som et geometrisk sted ved at udpege såvel det uafhængige punkt P som grafpunktet (i, s). e) Gør på grundlag af grafen rede for, hvorfor der dannes en halo. En anden mulighed er at indskrive forskriften for spredningsvinklen som funktion af indfaldsvinklen. 2 Brydningsforholdet og lysets farve Brydningsforholdet afhænger af, hvilken farve lyset har. a) Bestem de tilhørende kritiske vinkler for henholdsvis violet lys med brydningsforholdet n = og rødt lys med brydningsforholdet n = b) Hvilken bredde (målt i grader) får haloen på himmelhvælvet? c) Hvad bliver rækkefølgen af farverne? 6

7 Teorien bag haloen Hvad har vi indset så langt? Jo vi har først og fremmest indset, at spredningsvinklen s altid er større end 22. Det betyder, at det månelys, der brydes i iskrystallerne, kun kan ses i et område udenom Månen, der ligger længere væk end 22 fra Månen, idet spredningsvinklen genfindes som vinklen mellem synslinjen til månen og synslinjen til iskrystallen. Det forklarer derfor det mørke område lige udenom månen og det lyse område længere væk. Og noget tilsvarende gælder selvfølgelig for Solens halo. Men hvad så med den lysende ring lige på overgangen mellem det mørke og det lyse område? Hvorfor er Månens genskin i iskrystallerne særligt intens lige ved overgangen mellem de to områder? Det kan vi forstå på samme måde som ved regnbuen ved at se på grafen for spredningsvinklen. I almindelighed vil iskrystallerne ligge i alle mulige retninger, svarende til at månelyset vil ramme iskrystallerne under alle mulige indfaldsvinkler. Men hvis vi i stedet ser på et indkommende strålebundt, der ligger tæt på minimumspunktet vil grafen være meget flad og det spredte strålebundt vil være meget fokuseret. Det spredte bundt vil derfor fremstå intenst. 7