Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?

Transkript

1 Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? - en fortælling om potensfunktioner 133

2 Af Seniorforsker Ken H. Andersen, DTU Aqua Tour de France søndag den 10. juli Michael Rasmussen vinder bjergetapen overbevisende og skaber herved grundlaget for sin sejr i konkurrencen om den polkaprikkede bjergtrøje. Senere når han op på en andenplads i den samlede stilling, men selv da tror han ikke for alvor på en podieplads og sagde: Jeg taber mindst 5 minutter på enkeltstarten. Det gjorde han som forudsagt, og mere til, men hvordan kunne han på forhånd vide dette? Tour de France Super Mario Cippolini excellerer på de flade etaper og vinder flere sejre. Så snart feltet rammer bjergene, kryber han dog ind i team-bilen og lader sig transportere hjem til Italien til stor fortrydelse for tour-arrangørerne. Jeg har jo ikke en chance i bjergene er Mario Cippolinis begrundelse, men hvorfor tager han sig ikke bare sammen og konkurrerer om den samlede sejr? Tour de France På den 15. etape når Marco il pirate Pantani toppen af bjerget og får da omgående overrakt to fulde flasker med vand, som han sætter fast på cyklen uden at drikke af dem. Hvis han ikke drikker vandet, hvad skal han så med flaskerne? I dette kapitel skal vi se på, hvordan man ved hjælp af matematik kan svare på disse spørgsmål. Sammenhæng mellem vægt, muskelkraft og vindmodstand Grimpeurs kaldes de små bjergkonger i de store etapeløb. I bjergene er de helte, men de vinder sjældent de store etapeløb, fordi de er for lette til at gøre sig gældende på de oftest flade enkeltstarter. Vi ved altså godt, at bjergrytternes succes har noget med deres vægt at gøre. En typisk bjergrytter som Michael Rasmussen vejer omkring 58 kg, mens badevægten ryger op på 80 kg, når en sprinter-specialist som Tom Boonen træder op på den. De små ryttere har simpelthen færre kilo, der skal bæres op over bjerget men de har jo også tilsvarende mindre muskler, så hvad er sammenhængen? En simpel matematisk model for, hvordan effekterne af tyngdekraften, vindmodstanden og muskelstyrken afhænger af en rytters vægt, giver svar på, hvorfor en rytters vægt er afgørende for, om han excellerer på de flade vindomsuste strækninger eller på bjergenes nådesløse stigninger. Forsøg lavet ikke blot på cykelryttere, men for mange andre sportsgrene viser, at den maksimale muskelkraft kan beskrives som en potensfunktion af deres vægt x og er cirka proportional med vægten x 3/4 (se boks). Hvis man bliver dobbelt så stor, bliver man 134

3 altså ikke dobbelt så stærk, men kun 2 3/4 = 1,68 gange så stærk. En lille person er derfor stærkere pr. kilo end en stor person. Vindmodstanden afhænger af, hvor hurtigt man kører, og hvor stort et areal man har eksponeret fortil mod vinden. Arealet af en person afhænger også med en potensfunktion af vægten cirka proportionalt x 2/3. Hvis man bliver halvt så tung, bliver den vindmodstand, man skal overvinde derfor ikke halveret, men kun reduceret med en faktor ½ 2/3 = 0,63. En lille rytter oplever derfor en større vindmodstand pr. kilo end en stor person. Sammenhæng mellem rytterens vægt og terrænets stigning På flad vej bliver muskelkraften 3 x 3/4 balanceret af vindmodstanden 0,001 x 2/3 f 2, hvor f er hastigheden, således at: 3 x 3/4 = 0,001 x 2/3 f 2 f(x) = 3/0.001 x 3/4 /x 2/3. Ved at benytte regnereglen x a /x b = x a-b fås: f(x) = 3000 x 3/4-2/3 = 55 x 1/12. Da x = x 1/2 og (x a ) b = x a b fås: f(x) = 55 x 1/24. f(x), dvs. den maksimale hastighed, er altså en svagt voksende funktion af vægten x (se figur 1). Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer derfor den første tredjedel af Tour de France, som typisk foregår på de flade nordfranske sletter. I bjergene skal rytterne ikke blot overvinde luftmodstanden, men også tyngdekraften, som er proportional med hældningen og med vægten x af rytteren. Ved at tilføje tyngdekraften kan hastigheden ved en 5 % stigning f 5 (x) og 10 % stigning f 10 (x) skrives som: f 5 (x) = 3000 x 1/ x 1/3 f 10 (x) = 3000 x 1/ x 1/3. Funktionen, der beskriver hastigheden som funktion af vægten, er nu blevet kvadratroden af en differens mellem to potensfunktioner. Ved lave vægte vil det første led x 1/12 dominere, men som vægten stiger, vil det andet led x 1/3 få overtaget, således at funktionen nu får et maksimum (figur 1). Dette maksimum kan beregnes eksplicit som en funktion ved at generalisere f(x) til en funktion af to parametre, vægten x og hældningen y: f(x,y) = 3000 x 1/ y x 1/3. 135

4 Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer som regel den første tredjedel af Tour de France, der sædvanligvis foregår på de flade nordfranske sletter. Maksimum af f(x,y) som funktion af x kan findes ved brug af lommeregner som: x max = y -4. Dette er en kraftigt faldende funktion af hældningen y. Som også kan ses af figur 1, falder vægten af den optimale rytter, jo stejlere hældningen er. Når hældningen y er nul, divergerer x max mod uendeligt; på flad vej er den største rytter hurtigst. På de stejle nedkørsler træder rytterne ofte ikke i hjulene. Man kan derfor ignorere muskelkraften. Kraften til fremdrift leveres af tyngdekraften, som skifter fortegn. I det tilfælde kommer f(x) til at bestå af en potensfunktion, f.eks. for 10 % nedad: f -10 (x) = 1000 x 1/3 = 32 x 1/6. Funktionen er nu igen blevet en voksende funktion af massen, blot vokser den nu endnu hurtigere, end den gjorde på flad vej. Situationen er derfor som på flad vej, hvor den tunge rytter har en fordel, bare endnu mere udtalt. 136

5 Tour-planlægning Michael Rasmussen og andre små ryttere har et problem i forhold til de tungere ryttere fordi luftmodstanden opleves relativt stærkere for de små ryttere. På de almindelige flade etaper kan de små bjergryttere blive pakket ind af deres hold, således at de bliver beskyttet for noget af vinden. Dermed undgår de at blive kørt agterud af feltet. På enkeltstarterne er de dog uden denne beskyttelse fra deres hold, og de taber derfor ofte adskillige minutter, helt som Michael Rasmussen forudsagde i I bjergene er hastigheden meget lavere og genvinsten ved at ligge på baghjul tilsvarende mindre. De store ryttere må derfor ofte se sig sat af bjergrytteren, når det bliver rigtig stejlt. På nedkørslen derimod er bjergrytteren endnu dårligere end de tunge ryttere, og de forsøger at kompensere ved at læsse lidt ekstra vand og dermed vægt på, hvis de har muligheden for det. Hvis man har et højdekort over en given etape, kan en matematisk model som den, der er udviklet her, bruges til at sige noget om, hvilken type rytter der har størst chance for at vinde. Ved at designe et etapeløb med en korrekt vekslen mellem flade strækninger og bjergetaper kan man altså balancere løbet, således at ingen specifik ryttertype bliver favoriseret. Derfor er den typiske vinder af Tour de France også en såkaldt komplet rytter, som kan lidt af det hele, og som ligger i en mellemvægt kategori. Måske benytter Tour de France-ledelsen sig netop af en matematisk model som led i deres bestræbelser på at opnå et balanceret løb år for år? hastighed (km/t) f(x) vægt (kg) flad vej 3 % hældning 10 % hældning x Figur 1. Den forventede hastighed f(x) som funktion af vægten x for tre forskellige hældninger. På flad vej har store ryttere en fordel over små ryttere. Ved 3 % hældning er forskellen stort set udlignet. På en meget stejl stigning er den forventede hastighed langt lavere end på flad vej, og små ryttere har en klar fordel. 137

6 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmiske akser En potensfunktion kan med fordel tegnes i et koordinatsystem med dobbeltlogaritmiske akser, da den derved bliver til en ret linje. Hvis vi tager logaritmen på begge sider af funktionen g(x) = a x b, får vi ln(g(x)) = ln(a x b ). Ved at benytte at ln(c d) = ln(c) + ln(d), fås ln(g(x)) = ln(a) + ln(x b ). Endelig ved at bruge ln(x b ) = b ln(x), fås: ln(g(x)) = ln(a) + b ln(x). Hvis vi definerer y = ln(g(x)), A = ln(a) og X =ln(x) fås y = A + bx. Dette er ligningen for en ret linje med hældningen b. Hvis x-aksen bliver transformeret til ln(x) og y-aksen til ln(g(x)), fås altså en ret linje. EnergiforbrugHCal. pr. timel vægthkgl vægthkgl Ovenfor er vist forbruget af ilt ved bevægelse målt for forskellige organismer som funktion af deres størrelse. Forbruget er tegnet i et almindeligt koordinatsystem til venstre og med dobbeltlogaritmiske akser til højre. Når forbruget er tegnet i dobbeltlogaritmisk plot, bliver det til en ret linje, hvilket viser, at sammenhængen mellem vægt (x) og iltforbruget er en potensfunktion. Eksponenten af potensfunktionen er 3/4, hvilket giver en hældning på ¾. Målingerne er taget fra Hemmingsen: Energy metabolism as related to body size (1960). Artiklens forfatter Seniorforsker Ken H. Andersen 138

7 139