Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?"

Transkript

1 Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? - en fortælling om potensfunktioner 133

2 Af Seniorforsker Ken H. Andersen, DTU Aqua Tour de France søndag den 10. juli Michael Rasmussen vinder bjergetapen overbevisende og skaber herved grundlaget for sin sejr i konkurrencen om den polkaprikkede bjergtrøje. Senere når han op på en andenplads i den samlede stilling, men selv da tror han ikke for alvor på en podieplads og sagde: Jeg taber mindst 5 minutter på enkeltstarten. Det gjorde han som forudsagt, og mere til, men hvordan kunne han på forhånd vide dette? Tour de France Super Mario Cippolini excellerer på de flade etaper og vinder flere sejre. Så snart feltet rammer bjergene, kryber han dog ind i team-bilen og lader sig transportere hjem til Italien til stor fortrydelse for tour-arrangørerne. Jeg har jo ikke en chance i bjergene er Mario Cippolinis begrundelse, men hvorfor tager han sig ikke bare sammen og konkurrerer om den samlede sejr? Tour de France På den 15. etape når Marco il pirate Pantani toppen af bjerget og får da omgående overrakt to fulde flasker med vand, som han sætter fast på cyklen uden at drikke af dem. Hvis han ikke drikker vandet, hvad skal han så med flaskerne? I dette kapitel skal vi se på, hvordan man ved hjælp af matematik kan svare på disse spørgsmål. Sammenhæng mellem vægt, muskelkraft og vindmodstand Grimpeurs kaldes de små bjergkonger i de store etapeløb. I bjergene er de helte, men de vinder sjældent de store etapeløb, fordi de er for lette til at gøre sig gældende på de oftest flade enkeltstarter. Vi ved altså godt, at bjergrytternes succes har noget med deres vægt at gøre. En typisk bjergrytter som Michael Rasmussen vejer omkring 58 kg, mens badevægten ryger op på 80 kg, når en sprinter-specialist som Tom Boonen træder op på den. De små ryttere har simpelthen færre kilo, der skal bæres op over bjerget men de har jo også tilsvarende mindre muskler, så hvad er sammenhængen? En simpel matematisk model for, hvordan effekterne af tyngdekraften, vindmodstanden og muskelstyrken afhænger af en rytters vægt, giver svar på, hvorfor en rytters vægt er afgørende for, om han excellerer på de flade vindomsuste strækninger eller på bjergenes nådesløse stigninger. Forsøg lavet ikke blot på cykelryttere, men for mange andre sportsgrene viser, at den maksimale muskelkraft kan beskrives som en potensfunktion af deres vægt x og er cirka proportional med vægten x 3/4 (se boks). Hvis man bliver dobbelt så stor, bliver man 134

3 altså ikke dobbelt så stærk, men kun 2 3/4 = 1,68 gange så stærk. En lille person er derfor stærkere pr. kilo end en stor person. Vindmodstanden afhænger af, hvor hurtigt man kører, og hvor stort et areal man har eksponeret fortil mod vinden. Arealet af en person afhænger også med en potensfunktion af vægten cirka proportionalt x 2/3. Hvis man bliver halvt så tung, bliver den vindmodstand, man skal overvinde derfor ikke halveret, men kun reduceret med en faktor ½ 2/3 = 0,63. En lille rytter oplever derfor en større vindmodstand pr. kilo end en stor person. Sammenhæng mellem rytterens vægt og terrænets stigning På flad vej bliver muskelkraften 3 x 3/4 balanceret af vindmodstanden 0,001 x 2/3 f 2, hvor f er hastigheden, således at: 3 x 3/4 = 0,001 x 2/3 f 2 f(x) = 3/0.001 x 3/4 /x 2/3. Ved at benytte regnereglen x a /x b = x a-b fås: f(x) = 3000 x 3/4-2/3 = 55 x 1/12. Da x = x 1/2 og (x a ) b = x a b fås: f(x) = 55 x 1/24. f(x), dvs. den maksimale hastighed, er altså en svagt voksende funktion af vægten x (se figur 1). Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer derfor den første tredjedel af Tour de France, som typisk foregår på de flade nordfranske sletter. I bjergene skal rytterne ikke blot overvinde luftmodstanden, men også tyngdekraften, som er proportional med hældningen og med vægten x af rytteren. Ved at tilføje tyngdekraften kan hastigheden ved en 5 % stigning f 5 (x) og 10 % stigning f 10 (x) skrives som: f 5 (x) = 3000 x 1/ x 1/3 f 10 (x) = 3000 x 1/ x 1/3. Funktionen, der beskriver hastigheden som funktion af vægten, er nu blevet kvadratroden af en differens mellem to potensfunktioner. Ved lave vægte vil det første led x 1/12 dominere, men som vægten stiger, vil det andet led x 1/3 få overtaget, således at funktionen nu får et maksimum (figur 1). Dette maksimum kan beregnes eksplicit som en funktion ved at generalisere f(x) til en funktion af to parametre, vægten x og hældningen y: f(x,y) = 3000 x 1/ y x 1/3. 135

4 Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer som regel den første tredjedel af Tour de France, der sædvanligvis foregår på de flade nordfranske sletter. Maksimum af f(x,y) som funktion af x kan findes ved brug af lommeregner som: x max = y -4. Dette er en kraftigt faldende funktion af hældningen y. Som også kan ses af figur 1, falder vægten af den optimale rytter, jo stejlere hældningen er. Når hældningen y er nul, divergerer x max mod uendeligt; på flad vej er den største rytter hurtigst. På de stejle nedkørsler træder rytterne ofte ikke i hjulene. Man kan derfor ignorere muskelkraften. Kraften til fremdrift leveres af tyngdekraften, som skifter fortegn. I det tilfælde kommer f(x) til at bestå af en potensfunktion, f.eks. for 10 % nedad: f -10 (x) = 1000 x 1/3 = 32 x 1/6. Funktionen er nu igen blevet en voksende funktion af massen, blot vokser den nu endnu hurtigere, end den gjorde på flad vej. Situationen er derfor som på flad vej, hvor den tunge rytter har en fordel, bare endnu mere udtalt. 136

5 Tour-planlægning Michael Rasmussen og andre små ryttere har et problem i forhold til de tungere ryttere fordi luftmodstanden opleves relativt stærkere for de små ryttere. På de almindelige flade etaper kan de små bjergryttere blive pakket ind af deres hold, således at de bliver beskyttet for noget af vinden. Dermed undgår de at blive kørt agterud af feltet. På enkeltstarterne er de dog uden denne beskyttelse fra deres hold, og de taber derfor ofte adskillige minutter, helt som Michael Rasmussen forudsagde i I bjergene er hastigheden meget lavere og genvinsten ved at ligge på baghjul tilsvarende mindre. De store ryttere må derfor ofte se sig sat af bjergrytteren, når det bliver rigtig stejlt. På nedkørslen derimod er bjergrytteren endnu dårligere end de tunge ryttere, og de forsøger at kompensere ved at læsse lidt ekstra vand og dermed vægt på, hvis de har muligheden for det. Hvis man har et højdekort over en given etape, kan en matematisk model som den, der er udviklet her, bruges til at sige noget om, hvilken type rytter der har størst chance for at vinde. Ved at designe et etapeløb med en korrekt vekslen mellem flade strækninger og bjergetaper kan man altså balancere løbet, således at ingen specifik ryttertype bliver favoriseret. Derfor er den typiske vinder af Tour de France også en såkaldt komplet rytter, som kan lidt af det hele, og som ligger i en mellemvægt kategori. Måske benytter Tour de France-ledelsen sig netop af en matematisk model som led i deres bestræbelser på at opnå et balanceret løb år for år? hastighed (km/t) f(x) vægt (kg) flad vej 3 % hældning 10 % hældning x Figur 1. Den forventede hastighed f(x) som funktion af vægten x for tre forskellige hældninger. På flad vej har store ryttere en fordel over små ryttere. Ved 3 % hældning er forskellen stort set udlignet. På en meget stejl stigning er den forventede hastighed langt lavere end på flad vej, og små ryttere har en klar fordel. 137

6 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmiske akser En potensfunktion kan med fordel tegnes i et koordinatsystem med dobbeltlogaritmiske akser, da den derved bliver til en ret linje. Hvis vi tager logaritmen på begge sider af funktionen g(x) = a x b, får vi ln(g(x)) = ln(a x b ). Ved at benytte at ln(c d) = ln(c) + ln(d), fås ln(g(x)) = ln(a) + ln(x b ). Endelig ved at bruge ln(x b ) = b ln(x), fås: ln(g(x)) = ln(a) + b ln(x). Hvis vi definerer y = ln(g(x)), A = ln(a) og X =ln(x) fås y = A + bx. Dette er ligningen for en ret linje med hældningen b. Hvis x-aksen bliver transformeret til ln(x) og y-aksen til ln(g(x)), fås altså en ret linje. EnergiforbrugHCal. pr. timel vægthkgl vægthkgl Ovenfor er vist forbruget af ilt ved bevægelse målt for forskellige organismer som funktion af deres størrelse. Forbruget er tegnet i et almindeligt koordinatsystem til venstre og med dobbeltlogaritmiske akser til højre. Når forbruget er tegnet i dobbeltlogaritmisk plot, bliver det til en ret linje, hvilket viser, at sammenhængen mellem vægt (x) og iltforbruget er en potensfunktion. Eksponenten af potensfunktionen er 3/4, hvilket giver en hældning på ¾. Målingerne er taget fra Hemmingsen: Energy metabolism as related to body size (1960). Artiklens forfatter Seniorforsker Ken H. Andersen 138

7 139

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Cykelnerven 2015. 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville. Længde: 115,5 km. Højdemeter: + 2221 m. Nedkørsel: - 2219 m.

Cykelnerven 2015. 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville. Længde: 115,5 km. Højdemeter: + 2221 m. Nedkørsel: - 2219 m. Cykelnerven 2015 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville Længde: 115,5 km Højdemeter: + 2221 m Nedkørsel: - 2219 m Ruteplan: Se detaljeret kort Ruteprofil: Albertville Cykelnervens 1. etape

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Kør godt. Spørgeskema til manuel kørestol

Kør godt. Spørgeskema til manuel kørestol Kør godt Spørgeskema til manuel kørestol Spørgsmål Navn (manuel kørestolsbruger) Dato (dag, måned, år) Udfyldte du selv spørgeskemaet? Hvis du fik hjælp til at udfylde skemaet, hvad er navnet på hjælperen?

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Rejsebeskrivelse Kalender Praktiske informationer

Rejsebeskrivelse Kalender Praktiske informationer Rejsebeskrivelse Kalender Praktiske informationer Velkommen til Unicef Executive Challenge 2013 Team UNICEF Executive Challenge er et team for erhvervsledere og beslutningstagere, der ønsker at blive udfordret

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

EVENT-CYKLING. På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent. med dine venner

EVENT-CYKLING. På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent. med dine venner EVENT-CYKLING På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent med dine venner Nu har du mulighed for at få en oplevelse lidt udover det sædvanlige sammen med dine kolleger, venner og bekendte. Kombinér motion,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2012/2013 Institution Silkeborg Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Team Hjallerup. Tour de Alperne

Team Hjallerup. Tour de Alperne Team Hjallerup Tour de Alperne 2010 Dag 1. Fredag d. 9. juli 2010. Efter at bilerne var pakket med cykler og bagage torsdag aften, var det afgang til de franske alper fredag kl. ca. 00:00. De forventningsfulde

Læs mere

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.?

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.? Inspirationsark 1. I Tivoli kan du lave et forsøg, hvor du får lov til at tage et plastikglas med lidt vand med op i Det gyldne Tårn. Hvad tror du der sker med vandet, når du bliver trukket ned mod jorden?

Læs mere

Coast to coast. Med Baghjulet Coast to Coast gennem Pyrenæerne

Coast to coast. Med Baghjulet Coast to Coast gennem Pyrenæerne Coast to coast Af Mogens Lilleør Med Baghjulet Coast to Coast gennem Pyrenæerne Om jeg ville med Coast to Coast gennem Pyrenæerne næste år i september? Fra Bayonne i vest til Port la Nouvelle ved Middelhavet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Ballerup Cykelmotion havde et stærkt hold på Korsika i uge 25 2015

Ballerup Cykelmotion havde et stærkt hold på Korsika i uge 25 2015 Ballerup Cykelmotion havde et stærkt hold på Korsika i uge 25 2015 Inspireret af Tour de France s start på Korsika i 2012 havde 6 ryttere fra Ballerup Cykelmotion tilmeldt sig Dan Frost cykelrejers tur

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

man kører Guide CYKELLØB - er noget Træningsprogram Guide: Det skal du spise sider April 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.

man kører Guide CYKELLØB - er noget Træningsprogram Guide: Det skal du spise sider April 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b. Foto: Scanpix Guide April 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus 14 sider CYKELLØB - er noget man kører Træningsprogram Guide: Det skal du spise Cykelløb - er noget man kører INDHOLD: Cykelløb

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Jørn Iversen Rødekro Aps. Hydevadvej 48 Hydevad DK-6230 Rødekro Tel.: +45 74669242 Fax.: +45 74669294 e-mail.: iversen@ji.dk Web.: www.ji.

Jørn Iversen Rødekro Aps. Hydevadvej 48 Hydevad DK-6230 Rødekro Tel.: +45 74669242 Fax.: +45 74669294 e-mail.: iversen@ji.dk Web.: www.ji. - 1 - Indholdsfortegnelse Brugsanvisning 3 Brugervejledning 4 Før du kører ud på din første tur 4 Din første tur 5 Tilpasning af din cykel 6 Justering af sadel 6 Lås 6 Justering af styr 7 Håndbremse og

Læs mere

CYKELNERVEN 2016 SPONSORKONCEPT

CYKELNERVEN 2016 SPONSORKONCEPT CYKELNERVEN 2016 SPONSORKONCEPT KAMPEN MOD SCLEROSE - EN HOLDINDSATS! CYKELNERVEN er Scleroseforeningens årlige event, som giver rytterne den ultimative sportslige udfordring på to hjul. Hvert år vil rytterne

Læs mere

Teorien om High Dynamic Range Fotografering

Teorien om High Dynamic Range Fotografering Teorien om High Dynamic Range Fotografering Indhold High Dynamic Range - HDR 2 HDR sidder i øjet 3 Du ser kun en lille del ad gangen 4 HDR for det hele med, Princip 1 5 Ev-trin på histogrammet 6 Farver

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

BLIV SUND OG UNDGÅ OVERVÆGT HVAD MENER EKSPERTERNE?

BLIV SUND OG UNDGÅ OVERVÆGT HVAD MENER EKSPERTERNE? FYSISK SUNDHED JANUAR 2010 BLIV SUND OG UNDGÅ OVERVÆGT HVAD MENER EKSPERTERNE? Selv blandt danske forskere inden for folkesundhed kan der være forskellige holdninger til sundhed. Denne artikel er fremkommet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Skal vi køre en bjergetape?

Skal vi køre en bjergetape? Skal vi køre en bjergetape? Få en spændende oplevelse med dine kolleger, venner eller træningskammerater En sund oplevelse ud over det sædvanlige Hvorfor ikke kombinere den næste afdelingsdag, polterabend

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere