Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?"

Transkript

1 Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? - en fortælling om potensfunktioner 133

2 Af Seniorforsker Ken H. Andersen, DTU Aqua Tour de France søndag den 10. juli Michael Rasmussen vinder bjergetapen overbevisende og skaber herved grundlaget for sin sejr i konkurrencen om den polkaprikkede bjergtrøje. Senere når han op på en andenplads i den samlede stilling, men selv da tror han ikke for alvor på en podieplads og sagde: Jeg taber mindst 5 minutter på enkeltstarten. Det gjorde han som forudsagt, og mere til, men hvordan kunne han på forhånd vide dette? Tour de France Super Mario Cippolini excellerer på de flade etaper og vinder flere sejre. Så snart feltet rammer bjergene, kryber han dog ind i team-bilen og lader sig transportere hjem til Italien til stor fortrydelse for tour-arrangørerne. Jeg har jo ikke en chance i bjergene er Mario Cippolinis begrundelse, men hvorfor tager han sig ikke bare sammen og konkurrerer om den samlede sejr? Tour de France På den 15. etape når Marco il pirate Pantani toppen af bjerget og får da omgående overrakt to fulde flasker med vand, som han sætter fast på cyklen uden at drikke af dem. Hvis han ikke drikker vandet, hvad skal han så med flaskerne? I dette kapitel skal vi se på, hvordan man ved hjælp af matematik kan svare på disse spørgsmål. Sammenhæng mellem vægt, muskelkraft og vindmodstand Grimpeurs kaldes de små bjergkonger i de store etapeløb. I bjergene er de helte, men de vinder sjældent de store etapeløb, fordi de er for lette til at gøre sig gældende på de oftest flade enkeltstarter. Vi ved altså godt, at bjergrytternes succes har noget med deres vægt at gøre. En typisk bjergrytter som Michael Rasmussen vejer omkring 58 kg, mens badevægten ryger op på 80 kg, når en sprinter-specialist som Tom Boonen træder op på den. De små ryttere har simpelthen færre kilo, der skal bæres op over bjerget men de har jo også tilsvarende mindre muskler, så hvad er sammenhængen? En simpel matematisk model for, hvordan effekterne af tyngdekraften, vindmodstanden og muskelstyrken afhænger af en rytters vægt, giver svar på, hvorfor en rytters vægt er afgørende for, om han excellerer på de flade vindomsuste strækninger eller på bjergenes nådesløse stigninger. Forsøg lavet ikke blot på cykelryttere, men for mange andre sportsgrene viser, at den maksimale muskelkraft kan beskrives som en potensfunktion af deres vægt x og er cirka proportional med vægten x 3/4 (se boks). Hvis man bliver dobbelt så stor, bliver man 134

3 altså ikke dobbelt så stærk, men kun 2 3/4 = 1,68 gange så stærk. En lille person er derfor stærkere pr. kilo end en stor person. Vindmodstanden afhænger af, hvor hurtigt man kører, og hvor stort et areal man har eksponeret fortil mod vinden. Arealet af en person afhænger også med en potensfunktion af vægten cirka proportionalt x 2/3. Hvis man bliver halvt så tung, bliver den vindmodstand, man skal overvinde derfor ikke halveret, men kun reduceret med en faktor ½ 2/3 = 0,63. En lille rytter oplever derfor en større vindmodstand pr. kilo end en stor person. Sammenhæng mellem rytterens vægt og terrænets stigning På flad vej bliver muskelkraften 3 x 3/4 balanceret af vindmodstanden 0,001 x 2/3 f 2, hvor f er hastigheden, således at: 3 x 3/4 = 0,001 x 2/3 f 2 f(x) = 3/0.001 x 3/4 /x 2/3. Ved at benytte regnereglen x a /x b = x a-b fås: f(x) = 3000 x 3/4-2/3 = 55 x 1/12. Da x = x 1/2 og (x a ) b = x a b fås: f(x) = 55 x 1/24. f(x), dvs. den maksimale hastighed, er altså en svagt voksende funktion af vægten x (se figur 1). Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer derfor den første tredjedel af Tour de France, som typisk foregår på de flade nordfranske sletter. I bjergene skal rytterne ikke blot overvinde luftmodstanden, men også tyngdekraften, som er proportional med hældningen og med vægten x af rytteren. Ved at tilføje tyngdekraften kan hastigheden ved en 5 % stigning f 5 (x) og 10 % stigning f 10 (x) skrives som: f 5 (x) = 3000 x 1/ x 1/3 f 10 (x) = 3000 x 1/ x 1/3. Funktionen, der beskriver hastigheden som funktion af vægten, er nu blevet kvadratroden af en differens mellem to potensfunktioner. Ved lave vægte vil det første led x 1/12 dominere, men som vægten stiger, vil det andet led x 1/3 få overtaget, således at funktionen nu får et maksimum (figur 1). Dette maksimum kan beregnes eksplicit som en funktion ved at generalisere f(x) til en funktion af to parametre, vægten x og hældningen y: f(x,y) = 3000 x 1/ y x 1/3. 135

4 Jo tungere en rytter er, jo hurtigere vil han kunne køre på flad vej. De tunge ryttere dominerer som regel den første tredjedel af Tour de France, der sædvanligvis foregår på de flade nordfranske sletter. Maksimum af f(x,y) som funktion af x kan findes ved brug af lommeregner som: x max = y -4. Dette er en kraftigt faldende funktion af hældningen y. Som også kan ses af figur 1, falder vægten af den optimale rytter, jo stejlere hældningen er. Når hældningen y er nul, divergerer x max mod uendeligt; på flad vej er den største rytter hurtigst. På de stejle nedkørsler træder rytterne ofte ikke i hjulene. Man kan derfor ignorere muskelkraften. Kraften til fremdrift leveres af tyngdekraften, som skifter fortegn. I det tilfælde kommer f(x) til at bestå af en potensfunktion, f.eks. for 10 % nedad: f -10 (x) = 1000 x 1/3 = 32 x 1/6. Funktionen er nu igen blevet en voksende funktion af massen, blot vokser den nu endnu hurtigere, end den gjorde på flad vej. Situationen er derfor som på flad vej, hvor den tunge rytter har en fordel, bare endnu mere udtalt. 136

5 Tour-planlægning Michael Rasmussen og andre små ryttere har et problem i forhold til de tungere ryttere fordi luftmodstanden opleves relativt stærkere for de små ryttere. På de almindelige flade etaper kan de små bjergryttere blive pakket ind af deres hold, således at de bliver beskyttet for noget af vinden. Dermed undgår de at blive kørt agterud af feltet. På enkeltstarterne er de dog uden denne beskyttelse fra deres hold, og de taber derfor ofte adskillige minutter, helt som Michael Rasmussen forudsagde i I bjergene er hastigheden meget lavere og genvinsten ved at ligge på baghjul tilsvarende mindre. De store ryttere må derfor ofte se sig sat af bjergrytteren, når det bliver rigtig stejlt. På nedkørslen derimod er bjergrytteren endnu dårligere end de tunge ryttere, og de forsøger at kompensere ved at læsse lidt ekstra vand og dermed vægt på, hvis de har muligheden for det. Hvis man har et højdekort over en given etape, kan en matematisk model som den, der er udviklet her, bruges til at sige noget om, hvilken type rytter der har størst chance for at vinde. Ved at designe et etapeløb med en korrekt vekslen mellem flade strækninger og bjergetaper kan man altså balancere løbet, således at ingen specifik ryttertype bliver favoriseret. Derfor er den typiske vinder af Tour de France også en såkaldt komplet rytter, som kan lidt af det hele, og som ligger i en mellemvægt kategori. Måske benytter Tour de France-ledelsen sig netop af en matematisk model som led i deres bestræbelser på at opnå et balanceret løb år for år? hastighed (km/t) f(x) vægt (kg) flad vej 3 % hældning 10 % hældning x Figur 1. Den forventede hastighed f(x) som funktion af vægten x for tre forskellige hældninger. På flad vej har store ryttere en fordel over små ryttere. Ved 3 % hældning er forskellen stort set udlignet. På en meget stejl stigning er den forventede hastighed langt lavere end på flad vej, og små ryttere har en klar fordel. 137

6 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmiske akser En potensfunktion kan med fordel tegnes i et koordinatsystem med dobbeltlogaritmiske akser, da den derved bliver til en ret linje. Hvis vi tager logaritmen på begge sider af funktionen g(x) = a x b, får vi ln(g(x)) = ln(a x b ). Ved at benytte at ln(c d) = ln(c) + ln(d), fås ln(g(x)) = ln(a) + ln(x b ). Endelig ved at bruge ln(x b ) = b ln(x), fås: ln(g(x)) = ln(a) + b ln(x). Hvis vi definerer y = ln(g(x)), A = ln(a) og X =ln(x) fås y = A + bx. Dette er ligningen for en ret linje med hældningen b. Hvis x-aksen bliver transformeret til ln(x) og y-aksen til ln(g(x)), fås altså en ret linje. EnergiforbrugHCal. pr. timel vægthkgl vægthkgl Ovenfor er vist forbruget af ilt ved bevægelse målt for forskellige organismer som funktion af deres størrelse. Forbruget er tegnet i et almindeligt koordinatsystem til venstre og med dobbeltlogaritmiske akser til højre. Når forbruget er tegnet i dobbeltlogaritmisk plot, bliver det til en ret linje, hvilket viser, at sammenhængen mellem vægt (x) og iltforbruget er en potensfunktion. Eksponenten af potensfunktionen er 3/4, hvilket giver en hældning på ¾. Målingerne er taget fra Hemmingsen: Energy metabolism as related to body size (1960). Artiklens forfatter Seniorforsker Ken H. Andersen 138

7 139

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Ryttere i god form kører 6 x 3/2 (3 min aktiv, 2 min pause) Ryttere i mindre god form kører 4 x 3/2 (3 min aktiv, 2 min pause)

Ryttere i god form kører 6 x 3/2 (3 min aktiv, 2 min pause) Ryttere i mindre god form kører 4 x 3/2 (3 min aktiv, 2 min pause) 14 Uvelse AT-intervaller: Der køres på den store rundstrækning (Kurreholmvej) - der skal nok bruges to runder til intervallerne. Ryttere i god form kører 6 x 3/3 (3 min aktiv, 3 min pause) Ryttere i mindre

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN. Rette gear til rette sted. Gearskifte i modbakke GEAR OG BREMSE GEAR OG BREMSE

DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN. Rette gear til rette sted. Gearskifte i modbakke GEAR OG BREMSE GEAR OG BREMSE Nr.9966 Nr.9965 Gearskifte i modbakke glidende, eller hakkende sejtrækkeri. Rette gear til rette sted Solo eller makker-øvelse. Let øvede og øvede ryttere Let øvede og øvede Hold fokus på det glidende

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2013 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Bogen om cykling. cykling. Praktisk træningshåndbog til alle cykelmotionister

Bogen om cykling. cykling. Praktisk træningshåndbog til alle cykelmotionister interesserer sig for cykling. Lige meget om man ønsker at forbedre formen, træne op til og gennemføre et løb, blive en bedre bjergrytter, enkeltstartsrytter, mountainbiker, banecykelrytter eller cykelmotionist

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Kør godt. Spørgeskema til manuel kørestol

Kør godt. Spørgeskema til manuel kørestol Kør godt Spørgeskema til manuel kørestol Spørgsmål Navn (manuel kørestolsbruger) Dato (dag, måned, år) Udfyldte du selv spørgeskemaet? Hvis du fik hjælp til at udfylde skemaet, hvad er navnet på hjælperen?

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX

Læs mere

Cykelnerven 2015. 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville. Længde: 115,5 km. Højdemeter: + 2221 m. Nedkørsel: - 2219 m.

Cykelnerven 2015. 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville. Længde: 115,5 km. Højdemeter: + 2221 m. Nedkørsel: - 2219 m. Cykelnerven 2015 1. etape: Albertville Col de la Madeleine Albertville Længde: 115,5 km Højdemeter: + 2221 m Nedkørsel: - 2219 m Ruteplan: Se detaljeret kort Ruteprofil: Albertville Cykelnervens 1. etape

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik Afprøvet inspirationsmateriale 1

Matematik Afprøvet inspirationsmateriale 1 Afprøvet inspirationsmateriale 1 Lektioner forløb er planlagt til otte lektioner. Mål Eleverne skal opnå viden om og arbejde med statistisk databehandling. De skal opnå erfaring med at bearbejde data i

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

UDFORDRINGER UNDER OPHOLDET PÅ MARS: HVORDAN VIL I HOLDE JER I FORM?

UDFORDRINGER UNDER OPHOLDET PÅ MARS: HVORDAN VIL I HOLDE JER I FORM? MISSION I har nu gennemført jeres basisuddannelse som astronauter, og I har tilegnet jer viden om nogle af de fag, man skal vide noget om for at kunne bestride jobbet som astronaut. Og i NVH Space Center

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution VID Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

EVENT-CYKLING. På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent. med dine venner

EVENT-CYKLING. På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent. med dine venner EVENT-CYKLING På vej mod toppen? Deltag i en cykelevent med dine venner Nu har du mulighed for at få en oplevelse lidt udover det sædvanlige sammen med dine kolleger, venner og bekendte. Kombinér motion,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Mountain b. Masser af tekniske. 10 tip til bedre teknik på. Stil dig op, når det bliver svært. Læg vægten bagud, når det går stejlt nedad

Mountain b. Masser af tekniske. 10 tip til bedre teknik på. Stil dig op, når det bliver svært. Læg vægten bagud, når det går stejlt nedad 10 tip til bedre teknik på Mountain b At køre på mountainbike handler ikke kun om at have stærke ben og gode lunger. din teknik er mindst lige så vigtig. Ved hjælp af nogle få fif og trick fra vores eksperter

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2016 Institution VID Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Vores træningstur (1994)

Vores træningstur (1994) Vores træningstur (1994) Af: Michael Størtzer (SCK-Nyt 2/1994). Jeg har haft fornøjelsen at træne sammen med licensrytterne et par gange. Det er altid den samme tur. Men indtil nu har det bestemt ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 13/14 Institution Campus Vejle VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Lars Therkelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere